Upload
duongdiep
View
246
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
NAMA :
KELAS :
NPM :
PJ :
KP :
TUTOR :
ASBAR :
LABORATORIUM MANAJEMEN DASAR
MATEMATIKA EKONOMI 2
ATA 2017/2018
MATEMATIKA EKONOMI 2 SUSUNAN TIM LITBANG
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 ii
SUSUNAN TIM LITBANG
MATEMATIKA EKONOMI 2
ATA 2017/2018
STAF PENANGGUNG
JAWAB
LISTA KUSPRIATNI, SE., MM
DESTI DIRNAENI, SE., MM
PENANGGUNG JAWAB
ASISTEN
PENANGGUNG JAWAB
PROGRAMMER
Laras Manjari
Afra Mikyal Z
Dionesia Sesilia
Mutiara Cindy W
Rizma Cania W
Anggita Azizah A
DERIVATIF
Rana Atiqah M
Khansa Shabirah Z
M Geri Setiawan
Rosdiana
Ika Nurfitriana
INTEGRAL TAK
TENTU
Rolan Pradana
Mickael Clinton S
Mustika Rahmi
Nurul Fauziah
Rita Darniati
M Rizky Anindisa
INTEGRAL
TERTENTU
Lusi Setiani
Ersa Bita D
Gita Fitri K
Jodie Immanuel N
Sarah Amanda
TRANSENDENTAL
YUNUS PATTY BAGAS ARDIAN
MATEMATIKA EKONOMI 2 KATA PENGANTAR
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 iii
KATA PENGANTAR
Puji syukur penyusun panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas berkat,
dan karunia yang diberikan-Nya, sehingga penyusun dapat menyelesaikan modul ini
tepat pada waktunya. Dalam rangka meningkatkan mutu pembelajaran dalam
perkuliahan, modul dapat menjadi salah satu penunjang yang efektif. Modul ini
disusun sebagai panduan kegiatan praktikum Laboratorium Manajemen Dasar
Universitas Gunadarma.
Modul praktikum ini merupakan penyempurnaan dari modul praktikum
sebelumnya dan diharapkan dengan adanya modul praktikum ini dapat meningkatkan
pemahaman dasar materi praktikum khususya Matematika Ekonomi 2, serta sebagai
pedoman bagi mahasiswa dalam melakukan penelitian-penelitian ekonomi. Selain itu
modul ini juga dapat digunakan sebagai dasar suatu pandangan mahasiswa melihat
keadaan perekonomian dan disesuaikan dengan teori-teori ekonomi yang ada.
Penyusun sangat menyadari bahwa modul praktikum ini masih perlu
disempurnakan lagi, maka saran dan kritik untuk penyajian modul ini kedepan sangat
diperlukan.
Akhir kata, penyusun mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang telah
membantu dalam peyusunan modul ini.
Jakarta, 20 Januari 2018
Tim Litbang Matek 2 (ATA 2017/2018)
MATEMATIKA EKONOMI 2 DAFTAR ISI
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 iv
DAFTAR ISI
SUSUNAN TIM LITBANG ....................................................................................... ii
KATA PENGANTAR ................................................................................................ iii
DAFTAR GAMBAR .................................................................................................. vi
DERIVATIF ................................................................................................................ 1
1. KONSEP DASAR TURUNAN ............................................................................ 1
2. KAIDAH DIFERENSIASI .................................................................................. 2
3. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA .................................. 7
3.1 Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun ...................... 7
3.2 Titik Ekstrim Fungsi Parabolik ................................................................. 7
4. PENERAPAN EKONOMI .................................................................................. 9
4.1 Elastisitas .................................................................................................... 9
4.2 BIAYA ...................................................................................................... 22
4.3 PENERIMAAN ........................................................................................ 27
4.4 LABA MAKSIMUM ................................................................................ 32
INTEGRAL TAK TENTU ....................................................................................... 36
1. KONSEP DASAR INTEGRAL TAK TENTU .................................................... 36
2. KAIDAH-KAIDAH DALAM INTEGRASI TAK TENTU .................................. 37
3. PENERAPAN EKONOMI ................................................................................ 39
3.1 FUNGSI BIAYA ........................................................................................... 39
3.2 FUNGSI PENERIMAAN .............................................................................. 44
MATEMATIKA EKONOMI 2 DAFTAR ISI
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 v
3.3 FUNGSI PRODUKSI .................................................................................... 49
3.4 FUNGSI UTILITAS ...................................................................................... 54
3.5 FUNGSI KONSUMSI DAN FUNGSI TABUNGAN .................................. 55
INTEGRAL TERTENTU ........................................................................................ 63
1. KONSEP DASAR INTEGRAL TERTENTU ..................................................... 63
2. PENERAPAN EKONOMI ................................................................................ 64
2.1 SURPLUS KONSUMEN .............................................................................. 64
2.2 SURPLUS PRODUSEN ................................................................................ 77
TRANSENDENTAL ................................................................................................. 84
1. KONSEP DASAR TRANSENDENTAL ............................................................. 84
1.1 Fungsi Eksponensial ...................................................................................... 85
1.2 Fungsi Logaritmik.......................................................................................... 88
2. PENERAPAN EKONOMI ................................................................................ 91
2.1 MODEL BUNGA MAJEMUK ..................................................................... 91
2.2 MODEL PERTUMBUHAN .......................................................................... 95
2.3 KURVA GOMPERTZ ................................................................................... 99
2.4 KURVA BELAJAR ..................................................................................... 101
DAFTAR PUSTAKA .............................................................................................. 105
MATEMATIKA EKONOMI 2 DAFTAR GAMBAR
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 vi
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 Tampilan Menu Derivatif .................................................................. 13
Gambar 1.2 Tampilan Pangkat Terbesar ............................................................... 13
Gambar 1.3 Tampilan Menu Input Data ............................................................... 14
Gambar 1.4 Output Data Elastisitas Permintaan .................................................. 14
Gambar 1.5 Tampilan Menu Derivatif .................................................................. 16
Gambar 1.6 Tampilan Pangkat Terbesar ............................................................... 17
Gambar 1.7 Tampilan Menu Input Data .............................................................. 17
Gambar 1.8 Output Data Elastisitas Penawaran ................................................... 18
Gambar 1.9 Tampilan Menu Derivatif .................................................................. 20
Gambar 1.10 Tampilan Pangkat Terbesar ............................................................. 20
Gambar 1.11 Tampilan Menu Input Data ............................................................. 21
Gambar 1.12 Output Data Elastisitas Produksi ..................................................... 21
Gambar 1.13 Tampilan Menu Derivatif ................................................................ 25
Gambar 1.14 Tampilan Pangkat Terbesar ............................................................. 25
Gambar 1.15 Tampilan Menu Input Data ............................................................. 26
Gambar 1.16 Output Data Fungsi Biaya ............................................................... 26
Gambar 1.17 Tampilan Menu Derivatif ................................................................ 30
Gambar 1.18 Tampilan Pangkat Terbesar ............................................................. 30
Gambar 1.19 Tampilan Menu Input Data ............................................................ 31
Gambar 1.20 Output Data Fungsi Penerimaan ..................................................... 31
MATEMATIKA EKONOMI 2 DAFTAR GAMBAR
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 vii
Gambar 1.21 Tampilan Menu Derivatif ................................................................ 34
Gambar 1.22 Output Data Fungsi Laba ................................................................ 35
Gambar 2.1 Tampilan Menu Awal Software EC-Math ........................................ 41
Gambar 2.2 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu......................................... 42
Gambar 2.3 Tampilan Menu Operasi Fungsi Biaya.............................................. 42
Gambar 2.4 Tampilan Menu Input Data Fungsi Biaya ......................................... 43
Gambar 2.5 Tampilan Menu Output Data Fungsi Biaya ...................................... 44
Gambar 2.6 Tampilan Menu Awal Software EC-Math ........................................ 46
Gambar 2.7 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu......................................... 47
Gambar 2.8 Tampilan Menu Operasi Fungsi Penerimaan .................................... 47
Gambar 2.9 Tampilan Menu Input Data Fungsi Penerimaan ............................... 48
Gambar 2.10 Tampilan Menu Output Data Fungsi Penerimaan ........................... 49
Gambar 2.11 Tampilan Menu Awal Software EC-Math ...................................... 51
Gambar 2.12 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu ....................................... 52
Gambar 2.13 Tampilan Menu Operasi Fungsi Produksi ....................................... 52
Gambar 2.14 Tampilan Menu Input Data Fungsi Produksi .................................. 53
Gambar 2.15 Tampilan Menu Output Data Fungsi Produksi ............................... 54
Gambar 2.16 Tampilan Menu Awal Software EC-Math ...................................... 59
Gambar 2.17 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu ....................................... 60
Gambar 2.18 Tampilan Menu Operasi Fungsi Konsumsi ..................................... 60
Gambar 2.19 Tampilan Menu Input Data Fungsi Konsumsi ................................ 61
Gambar 2.20 Tampilan Menu Output Data Fungsi konsumsi .............................. 62
Gambar 2.21 Tampilan Menu Output Data Fungsi Tabungan .............................. 62
MATEMATIKA EKONOMI 2 DAFTAR GAMBAR
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 viii
Gambar 3.1 Kurva Surplus Konsumen ................................................................. 64
Gambar 3.2 Kurva Surplus Konsumen Contoh Kasus 1 ....................................... 68
Gambar 3.3 Tampilan Awal Integral Tertentu ...................................................... 68
Gambar 3.4 Tampilan Surplus Konsumen 1 ......................................................... 69
Gambar 3.5 Hasil Perhitungan Surplus Konsumen 1............................................ 69
Gambar 3.6 Tampilan Awal Integral Tertentu ...................................................... 70
Gambar 3.7 Tampilan Surplus Konsumen 2 ......................................................... 70
Gambar 3.8 Hasil Perhitungan Surplus Konsumen 2............................................ 71
Gambar 3.9 Kurva Surplus Konsumen Contoh Kasus 2 ....................................... 73
Gambar 3.10 Tampilan Awal Integral Tertentu .................................................... 74
Gambar 3.11 Tampilan Surplus Konsumen 1 ....................................................... 74
Gambar 3.12 Hasil Perhitungan Surplus Konsumen 1.......................................... 75
Gambar 3.13 Tampilan Awal Integral Tertentu .................................................... 75
Gambar 3.14 Tampilan Surplus Konsumen 2 ....................................................... 76
Gambar 3.15 Hasil Perhitungan Surplus Konsumen 2.......................................... 76
Gambar 3.16 Kurva Surplus Produsen .................................................................. 77
Gambar 3.17 Kurva Surplus Produsen Contoh Kasus 3 ....................................... 80
Gambar 3.18 Tampilan Awal Integral Tertentu .................................................... 81
Gambar 3.19 Tampilan Surplus Produsen 1 ......................................................... 81
Gambar 3.20 Hasil Perhitungan Surplus Produsen 1 ............................................ 82
Gambar 3.21 Tampilan Awal Integral Tertentu .................................................... 82
Gambar 3.22 Tampilan Surplus Produsen 2 ......................................................... 83
Gambar 3.23 Hasil Perhitungan Surplus Produsen 2 ............................................ 83
MATEMATIKA EKONOMI 2 DAFTAR GAMBAR
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 ix
Gambar 4.1 Hasil Perhitungan Model Bunga Majemuk ....................................... 95
Gambar 4.2 Hasil Perhitungan Model Pertumbuhan ............................................ 98
Gambar 4.3 Hasil Perhitungan Kurva Gompertz .................................................. 101
Gambar 4.4 Hasil Perhitungan Kurva Belajar....................................................... 104
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 1
DERIVATIF
1. KONSEP DASAR TURUNAN
Diferensial membahas tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan
dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan
(Dumairy, 2012).
Bentuk ∆y/∆x disebut sebagai hasil bagi perbedaan atau kuosien
diferensi (difference quotient), mencerminkan tingkat perubahan rata-rata
variabel terikat y terhadap variabel bebas x. Proses penurunan sebuah fungsi,
disebut juga proses pendiferensian atau diferensiasi. Hasil yang diperoleh
dari proses diferensiasi tersebut dinamakan turunan atau derivatif. Turunan
diperoleh dengan menentukan limit dari hasil bagi diferensi, dimana: ∆x → 0.
Dengan demikian,
Jika y = f(x), maka fungsi turunannya adalah
lim∆x → 0 ∆𝑦
∆𝑥= lim∆x → 0
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥
∆𝒚
∆𝒙=𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇( 𝒙 )
∆𝒙
Jika y = f (x), maka
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 2
2. KAIDAH DIFERENSIASI
Berikut ini kaidah diferensiasi dalam berbagai bentuk fungsi :
1. Diferensiasi fungsi konstanta
Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka yI = 0
Contoh : y = 7 maka yI = 0
2. Diferensiasi fungsi linier
Jika y = a + bx, dimana a adalah konstanta, maka yI = b
Contoh : y = 15 + 8x maka yI = 8
3. Diferensiasi fungsi pangkat
Jika y = axn , dimana a adalah konstanta, maka y
I = n.ax
n-1
Contoh : 8x2 maka y’ = 2.8x
2-1 = 16x
4. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi
Jika y = u ± v, dimana u = g(x) dan v = n(x), maka yI = u
I ± v
I
Contoh : y = 7x4 ± 7x
3
u = 7x4 maka u
I = 4.7x
4-1 = 28x
3
v = 7x3 maka v
I = 3.7x
3-1 = 21x
2
karena yI = u
I ± v
I, maka y
I = 28x
3 ± 21x
2
5. Diferensiasi perkalian
a. Perkalian fungsi dan konstanta
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 3
Jika y = k . u, dimana u = g(x), maka yI = k . u
I
Contoh : y = 5. x2
u = x2 maka u
I = 2.1x
2-1= 2x
karena yI = k . u
I, maka y
I = 5 . 2x = 10x
b. Perkalian fungsi
Jika y = u . v dimana u = g(x) dan v = h(x) , maka yI = u
I.v + u.v
I
Contoh : y = (x5 – 2)(5x
2 – 7)
u = (x5 – 2) u’ = 5.1x
5-1 = 5x
4
v = (5x2 – 7) v’ = 2.5x
2-1 = 10x
karena yI = u
I.v + u.v
I
yI = (5x
4)(5x
2 – 7) + (x
5 – 2)(10x)
= 25x6 – 35x
4 + 10x
6 – 20x
= 35x6 – 35x
4 – 20x
6. Diferensiasi hasil bagi fungsi
Jika y = 𝑢
𝑣 dimana u = g(x) dan v = h(x) , maka y
I =
𝒖′.𝒗−𝒖.𝒗′
𝒗𝟐
Contoh : (7𝑥2 − 5)
( 5𝑥3 − 6)
u = (7x2 – 5) u
I = 2.7x
2-1 = 14x
v = (5x3 – 6) v
I = 3.5x
3-1 = 15x
2
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 4
karena yI =
𝒖′.𝒗−𝒖.𝒗′
𝒗𝟐
yI =
(14𝑥)(5𝑥3−6)−(7𝑥2−5)(15𝑥2)
(5𝑥3−6)2
= 70𝑥4−84𝑥−105𝑥4+75𝑥2
(5𝑥3−6)2
= −35𝑥4+75𝑥2−84𝑥
25𝑥6−60𝑥3+36
7. Diferensiasi fungsi komposisi (dalil rantai)
Jika y = f (u) sedangkan u = g (x), dengan kata lain y = f [ g(x) ] , maka
𝒅𝒚
𝒅𝒙=
𝒅𝒚
𝒅𝒖𝒙𝒅𝒖
𝒅𝒙
Contoh 1:
y = (6x2 + 4)
2
Misalkan : u = 6x2 + 4 sehingga y = u
2
𝑑𝑢
𝑑𝑥 = 12x
𝑑𝑦
𝑑𝑢 = 2u
Maka 𝒅𝒚
𝒅𝒙=
𝒅𝒚
𝒅𝒖𝒙𝒅𝒖
𝒅𝒙
= 2u . 12x
= 2(6x2 + 4)(12x) = 144x
3 + 96x
Contoh 2:
y = √3𝑥2 + 4𝑥 − 5
y = (3𝑥2 + 4𝑥 − 5)1/2
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 5
misalkan : u = 3x2 + 4x – 5 , sehingga y = u
1/2
𝑑𝑢
𝑑𝑥 = 6x + 4
𝑑𝑦
𝑑𝑢 = ½ u
-1/2
Maka 𝒅𝒚
𝒅𝒙=
𝒅𝒚
𝒅𝒖𝒙𝒅𝒖
𝒅𝒙
= ½ u-1/2
. (6x + 4)
= ½ (3x2 + 4x – 5)
-1/2 . (6x + 4)
= 1
2 𝑥
1
√3𝑥2+4𝑥−5 x (6x + 4)
= 6𝑥+4
2√3𝑥2+4𝑥−5
8. Diferensiasi tingkat tinggi (derivatif dari derivatif)
Derivatif ke-n dari fungsi y = f(x) diperoleh dengan mendiferensiasikan
sebanyak n kali
Derivatif ke n dilambangkan dengan 𝒅𝒏𝒚
𝒅𝒙𝒏 atau f
n(x) atau y
n
Contoh : y = 6𝑥5 + 5𝑥4 + 4𝑥3 + 3𝑥2 + 𝑥 maka
yI atau
𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 30𝑥4 + 20𝑥3 + 6𝑥 + 1
yII atau
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 = 120𝑥3 + 60𝑥2 + 6
9. Diferensiasi implisit
Adalah suatu kaidah diferensiasi dengan mendiferensiasikan f (x,y) = 0
suku demi suku dengan memandang y sebagai fungsi x, kemudian dari
persamaan tersebut ditentukan nilai dy/dx.
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 6
Contoh : xy2 – x
2 + y = 0 didiferensiasikan terhadap x, maka :
y2 – 2x dx + 2xy + 1 dy = 0
(2xy + 1) dy = (-y2 + 2x) dx
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
−𝑦2+2𝑥
2𝑥𝑦+1
10. Diferensiasi fungsi logaritmik
y = alog x →
𝒅𝒚
𝒅𝒙=
𝟏
𝐱 𝐥𝐧𝒂
Contoh : jika y = 5log 2 maka tentukan dy/dx
𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
1
2 ln5
11. Diferensiasi fungsi eksponensial
▪ y = ex →
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑒𝑥
▪ y = ax →
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑎𝑥 ln 𝑎
12. Diferensiasi fungsi trigonometric
Beberapa turunan fungsi trigonometric yang penting adalah :
y = sin x → 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = cos x
y = cos x → 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = - sin x
y = tan x → 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = sec
2 x
y = cot x → 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = -cosec
2 x
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 7
y = sec x → 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = sec x . tan x
y = cosec x → 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = cosec x . cot x
Catatan :
sec x = 𝟏
𝐜𝐨𝐬 𝒙
cosec x = 𝟏
𝐬𝐢𝐧 𝒙
cot x = 𝟏
𝒕𝒂𝒏 𝒙
3. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA
3.1 MENENTUKAN KEADAAN FUNGSI MENAIK DAN FUNGSI
MENURUN
Derivatif pertama dari sebuah fungsi non-linier dapat digunakan untuk
menentukan apakah kurva dari fungsi yang bersangkutan menaik ataukah
menurun pada kedudukan tertentu.
1. Fungsi y = f (x) menaik jika f I(x) > 0
2. Fungsi y = f (x) menurun jika f I(x) < 0
3. Jika derivatif pertama f I(x) = 0, berarti fungsi berada pada titik ekstrim
3.2 TITIK EKSTRIM FUNGSI PARABOLIK
Dalam sebuah fungsi parabolik, derivatif pertama berguna untuk
menentukan letak titik ekstrimnya, sedangkan derivatif kedua digunakan
untuk mengetahui jenis titik ekstrim yang bersangkutan.
Jenis-jenis Titik Ekstrim Fungsi Parabolik adalah:
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 8
• Jika fII(x) > 0, maka (x , y) merupakan titik ekstrim minimum
• Jika fII(x) < 0, maka (x , y) merupakan titik ekstrim maksimum
Contoh Soal:
Diketahui y = 50x – 5x², tentukanlah titik ekstrim maksimum atau minimum
dari fungsi tersebut!
Jawab:
yI = 50 – 10x
yII = -10 < 0 (Titik ekstrim maksimum)
Letak titik ekstrim
yI = 0
50 – 10x = 0
50 = 10x
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 9
5 = x
y = 50(5) – 5(5)2
y = 125
Jadi letak titik ekstrim maksimum adalah pada koordinat (5,125).
4. PENERAPAN EKONOMI
4.1 ELASTISITAS
Elastisitas adalah perubahan persentase suatu variabel terikat (dependent
variable) sebagai akibat adanya perubahan persentase suatu variabel bebas
(independent variable) (Kalangi, 2015).
4.1.1 ELASTISITAS HARGA
Adalah perubahan persentase jumlah yang diminta oleh konsumen atau
ditawarkan oleh produsen akibat adanya perubahan persentase dari harga
barang itu sendiri. Untuk fungsi permintaan dan penawaran yang berbentuk Q
= f(P) maka rumus elastisitas harga titik permintaan adalah
Jika fungsi permintaan dan penawaran yang berbentuk P = f(Q) maka rumus
elastisitas harga titik permintaan adalah
Ƞh = 𝟏
𝒅𝑷/𝒅𝑸 .𝑷
𝑸
Ƞh = 𝐝𝐐/𝐐
𝐝𝐏/𝐏=
𝐝𝐐
𝐐 .𝐏
𝐝𝐏=
𝐝𝐐
𝐝𝐏 .𝐏
𝐐
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 10
CONTOH KASUS 1
Jika fungsi permintaan suatu barang di tunjukkan oleh Q = 150 – 5P, berapakah
elastisitas harga pada tingkat harga P = 10?
Penyelesaian:
Diketahui : Q = 150 – 5P
P = 10
Ditanya : Ƞh?
Jawab :
Jika P = 10 , maka Q = 100 dan 𝑑𝑄
𝑑𝑃= -5
Ƞh = 𝑑𝑄
𝑑𝑃 .
𝑃
𝑄= −5 (
10
100) = |-0,5| = 0,5 < 1 → inelastis
Analisis :
Jadi elastisitas harga permintaan pada tingkat harga sebesar 10 adalah sebesar -
0,5 yang mempunyai arti apabila harga barang naik 1%, maka jumlah
permintaan terhadap barang itu turun 0,5%.
Umumnya elastisitas harga dari permintaan di setiap titik pada kurva
permintaan yang menurun akan bernilai negatif, tetapi dalam mengukur
koefisien elastis harga biasanya diambil dari nilai mutlaknya (absolut) sehingga
nilai koefisien elastis harga paling kecil adalah 0 dan paling besar adalah ∞ (0 ≤
Ƞh ≤ ∞). Dari nilai absolut ini dapat dikategorikan menjadi lima macam
elastisitas yaitu :
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 11
a. |Ƞ| > 1 elastis
Contoh : Barang mewah
b. |Ƞ| < 1 inelastis
Contoh : Kebutuhan pokok
c. |Ƞ| = 1 unitary elastis
Contoh : Barang – barang elektronik
d. |Ƞ| = 0 inelastis sempurna
Contoh : Bahan bakar minyak
e. |Ƞ| = ∞ elastis tak hingga
Contoh : Bumbu dapur
4.1.2 ELASTISITAS PERMINTAAN
Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya persentase
perubahan jumlah barang yang diminta akibat adanya persentase perubahan
harga. Istilah yang lengkap adalah elastisitas harga-per-permintaan. Jika
fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f(P), maka elastisitas
permintaannya adalah
Ƞd = QdI .
𝑷
𝑸𝒅
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 12
CONTOH KASUS 2
Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan Qd = 70 –
8P2. Tentukan elastisitas permintaannya pada tingkat harga P = 10!
Analisislah!
Penyelesaian:
Diketahui : Qd = 70 – 8P2
Qd
I = -16P
P = 10
Ditanya : Ƞd ?
Jawab :
Ƞd = QdI. P
Qd
Ƞd = -16P . P
70−8P2
Ƞd = -16(10) . 10
70−8(10)2
Ƞd = 2,19 > 1 Elastis
Analisis :
Jadi besarnya elastisitas permintaan adalah 2,19 pada saat tingkat harga sebesar
Rp.10. Jika harga tersebut mengalami perubahan sebesar 1% maka barang
yang diminta akan mengalami perubahan sebanyak 2,19%.
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 13
Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math
1. Buka aplikasi EC-Math, Pilih Derivatif, kemudian pilih Mencari
Elastisitas Permintaan.
Gambar 1.1 Tampilan Menu Derivatif
2. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 2 kemudian tekan Enter
Gambar 1.2 Tampilan Pangkat Terbesar
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 14
3. Maka akan muncul tampilan di bawah ini. Masukkan angka yang diketahui
di soal.
Gambar 1.3 Tampilan Menu Input Data
4. Kemudian tekan Enter,maka hasilnya adalah sebagai berikut.
Gambar 1.4 Output Data Elastisitas Permintaan
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 15
4.1.3 ELASTISITAS PENAWARAN
Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya persentase
perubahan jumlah barang yang ditawarkan berkenaan adanya persentase
perubahan harga. Istilahnya yang lengkap adalah elastisitas harga-per-
penawaran. Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan Qs = f(P), maka
elastisitas penawarannya adalah
CONTOH KASUS 3
Fungsi penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qs = 60 + 5P².
Tentukanlah elastisitas penawaran pada saat P = Rp5 per unit. Bagaimana sifat
elastisitasnya? Analisislah!
Penyelesaian:
Diketahui : Qs = 60 + 5P² QsI = 10P
P = 5
Ditanya : Ƞs ?
Jawab :
Ƞs = 𝑄𝑠′ . 𝑃
𝑄𝑠
= 10𝑃 . 𝑃
60+5𝑃2
Ƞs = 𝑸𝒔′.𝑷
𝑸𝒔
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 16
= 10(5) . 5
60+5(5)2
Ƞs = 1,35 > 1 Elastis
Analisis :
Jadi, besarnya elastisitas penawaran adalah 1,35 pada saat harga produk
sebesar Rp5. Jika harga tersebut mengalami perubahan 1% maka barang yang
diminta akan mengalami perubahan sebesar 1,35%.
Langkah – Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math
1. Buka aplikasi EC-Math. Pilih Derivatif, kemudian pilih mencari Elastisitas
Penawaran
Gambar 1.5 Tampilan Menu Derivatif
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 17
2. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 2 kemudian tekan Enter
Gambar 1.6 Tampilan Pangkat Terbesar
3. Maka akan muncul tampilan dibawah ini. Masukkan angka yang diketahui
di soal
Gambar 1.7 Tampilan Menu Input Data
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 18
4. Kemudian tekan Enter, maka hasilnya adalah berikut
Gambar 1.8 Output Data Elastisitas Penawaran
4.1.4 ELASTISITAS PRODUKSI
Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah
keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan
(input) yang digunakan. Jika P melambangkan jumlah produk yang dihasilkan
sedangkan X melambangkan jumlah input yang digunakan, dan fungsi produksi
dinyatakan dengan P = f(X), maka elastisitas produksinya adalah
CONTOH KASUS 4
Diketahui fungsi produksi suatu barang ditunjukkan oleh P = 5x³ - 8x².
Hitunglah elastisitas pada X = 7 unit dan analisislah!
Ƞp = 𝑷′.𝑿
𝑷
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 19
Penyelesaian:
Diketahui : P = 5x³ – 8x² PI = 15x² - 16x
X = 7
Ditanya : Ƞp ?
Jawab :
Ƞp = 𝑃′ . 𝑋
𝑃
= (15𝑥2 − 16𝑥) . 𝑋
5𝑥3−8𝑥2
= 15𝑥3−16𝑥2
5𝑥3−8𝑥2
= 15(7)3−16(7)2
5(7)3−8(7)2
= 4361
1323
Ƞp = 3,30 > 1 Elastis
Analisis :
Jadi besarnya elastisitas produksi adalah 3,30 pada saat jumlah masukkan
(input) produk sebanyak 7 unit. Jika terjadi perubahan masukkan sebesar 1%
maka barang yang diproduksi akan mengalami perubahan sebesar 3,30%.
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 20
Langkah – Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math
1. Buka aplikasi EC-Math. Pilih Derivatif, kemudian pilih mencari Elastisitas
Produksi
Gambar 1.9 Tampilan Menu Derivatif
2. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 3 kemudian tekan Enter
Gambar 1.10 Tampilan Pangkat Terbesar
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 21
3. Maka akan muncul tampilan dibawah ini. Masukkan angka yang diketahui
di soal
Gambar 1.11 Tampilan Menu Input Data
4. Kemudian tekan Enter, maka hasilnya adalah berikut
Gambar 1.12 Output Data Elastisitas Produksi
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 22
TC = F(Q) atau TC = FC + VC
4.2 BIAYA
4.2.1 BIAYA TOTAL (TC)
Adalah seluruh biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi atau
memasarkan sejumlah barang atau jasa, baik yang merupakan biaya tetap atau
biaya variabel.
Dimana:
TC = Biaya Total (Total Cost)
FC = Biaya Tetap (Fixed Cost)
VC = Biaya Variabel (Variabel Cost)
Q = Jumlah Barang (Quantity)
4.2.2 BIAYA RATA-RATA (AC)
Biaya untuk memproduksi satu unit barang disebut sebagai biaya rata-
rata (average cost). Biaya rata-rata diperoleh dari biaya total dibagi dengan
jumlah unit barang yang diproduksi.
Dimana :
AC = Biaya rata-rata (Average Cost)
𝑨𝑪 =𝑻𝑪
𝑸=𝑭(𝑸)
𝑸
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 23
TC = Biaya Total (Total Cost)
Q = Jumlah Barang (Quantity)
4.2.3 BIAYA MARGINAL (MC)
Adalah tingkat perubahan biaya total sebagai akibat adanya perubahan
satu unit produk yang diproduksi.
Dimana :
MC = Biaya Marginal (Marginal Cost)
∆TC = Perubahan Biaya Total
∆Q = Perubahan Satu Unit Produk
CONTOH KASUS 5
Biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan sabun mandi PT UNILOVER di
tunjukkan oleh persamaan TC = 50Q3 + 70Q
2 – 10Q + 15. Tentukan besarnya
biaya total, biaya rata-rata, dan biaya marginal pada saat kuantitas 5 unit?
Berikan Analisisnya!
Penyelesaian:
Diketahui : TC = 50Q3 + 70Q
2 – 10Q + 15
Q = 5
𝑴𝑪 = 𝑻𝑪′ =∆𝑻𝑪
∆𝑸
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 24
Ditanya : TC, AC, MC pada saat Q = 5?
Jawab :
TC = F(Q)
= 50Q3 + 70Q
2 – 10Q + 15
= 50(5)3 + 70(5)
2 – 10(5) + 15
= 6250 + 1750 – 50 + 15
= 7965
AC = 𝑇𝐶
𝑄
= 7965
5
= 1593
MC = TCI
= 150Q2 + 140Q – 10
= 150(5)2 + 140(5) – 10
= 3750 + 700 – 10
= 4440
Analisis :
Jadi pada saat perusahaan memproduksi sebesar 5 unit maka biaya total yang
dikeluarkan sebesar Rp 7.695 dengan biaya rata-rata sebesar Rp 1.593 dan
biaya marginal Rp 4.440.
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 25
Langkah – Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math
1. Buka aplikasi EC-Math. Pilih Derivatif, kemudian pilih mencari Fungsi
Biaya
Gambar 1.13 Tampilan Menu Derivatif
2. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 3 kemudian tekan Enter
Gambar 1.14 Tampilan Pangkat Terbesar
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 26
3. Maka akan muncul tampilan dibawah ini. Masukkan angka yang diketahui di
soal
Gambar 1.15 Tampilan Menu Input Data
4. Kemudian tekan Enter, maka hasilnya adalah berikut
Gambar 1.16 Output Data Fungsi Biaya
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 27
4.3 PENERIMAAN
4.3.1 PENERIMAAN TOTAL (TR)
Adalah hasil kali antara jumlah produk yang diminta atau yang terjual
dengan harga produk per unit.
4.3.2 PENERIMAAN RATA-RATA (AR)
Adalah hasil dari penerimaan per unit yang diperoleh dari penjualan
suatu barang/jasa pada kuantitas tertentu. Fungsi Average revenue sama
dengan fungsi permintaan dari harga barang tersebut.
4.3.3 PENERIMAAN MARGINAL (MR)
Adalah tambahan penerimaan total yang diakibatkan oleh adanya
tambahan satu unit produk yang terjual.
𝐀𝐑 =𝐓𝐑
𝐐=𝐏𝐱𝐐
𝐐= 𝐏
TR = F(Q) = P . Q
𝐌𝐑 = 𝐓𝐑′ =∆𝐓𝐑
∆𝐐
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 28
CONTOH KASUS 6
Fungsi permintaan perusahaan batik ditunjukkan oleh P = -7Q + 85.
Bagaimanakah persamaan penerimaan totalnya? Lalu berapakah besarnya
penerimaan total, penerimaan rata-rata, dan penerimaan marginal jika
penjualannya sebesar 10 unit? Analisislah!
Penyelesaian:
Diketahui : P = -7Q + 85
Q = 10
Ditanya : Persamaan TR?
Besarnya TR, AR, MR pada saat Q = 10?
Jawab :
TR = P x Q
= (-7Q + 85) x Q
= -7Q2 + 85Q
Jika Q = 10, maka :
TR = F(Q)
= -7Q2 + 85Q
= -7(10)2 + 85(10)
= -700 + 850
= 150
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 29
AR = TR/Q
= 150 / 10
= 15
MR = TRI
= -14Q + 85
= -14(10) + 85
= -55
Analisis :
Jadi penerimaan total yang diterima perusahaan batik saat penjualan 10 unit
sebesar Rp 150 dengan penerimaan rata-rata sebesar Rp 15 dan penerimaan
marginal sebesar –Rp 55.
Langkah – Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math
1. Buka aplikasi EC-Math. Pilih Derivatif, kemudian pilih mencari Fungsi
Penerimaan
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 30
Gambar 1.17 Tampilan Menu Derivatif
2. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 2 kemudian tekan Enter
Gambar 1.18 Tampilan Pangkat Terbesar
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 31
3. Maka akan muncul tampilan dibawah ini. Masukkan angka yang diketahui di
soal
Gambar 1.19 Tampilan Menu Input data
4. Kemudian tekan Enter, maka hasilnya adalah berikut
Gambar 1.20 Output Data Fungsi Penerimaan
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 32
4.4 LABA MAKSIMUM
Laba adalah selisih antara penerimaan total dengan biaya total, atau
dapat dinyatakan dengan rumus :
Dimana :
𝜋 = Laba
TR = Penerimaan Total
TC = Biaya Total
Terdapat tiga pendekatan perhitungan laba maksimum yaitu :
1. Pendekatan Totalitas (Totality Approach)
2. Pendekatan Rata-Rata (Average Approach)
3. Pendekatan Marginal (Marginal Approach)
Pada bab ini kita hanya akan membahas perhitungan laba maksimum
dengan pendekatan marginal (Marginal Approach). Perhitungan laba
dilakukan dengan membandingkan Biaya Marginal (MC) dan Pendapatan
Marginal (MR). laba maksimum akan tercapai pada saat MR = MC.
Laba (π dibaca: phi) = TR – TC. Laba maksimum tercapai bila turunan
pertama fungsi (dπ/dQ) sama dengan nol dan nilainya sama dengan nilai
turunan pertama TC (dTC/dQ atau MC ) sehingga MR – MC = 0. Dengan
demikian, perusahaan akan memperoleh laba maksimum (atau kerugian
minimum), bila ia berproduksi pada tingkat output di mana MR = MC.
𝝅 = TR – TC atau 𝝅 = (P . Q) – (FC + VC)
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 33
CONTOH KASUS 7
Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = -18Q +
5.000 dengan biaya variabel VC = 10Q2 – 100Q. Biaya tetap yang dikeluarkan
perusahaan sebesar 70.000. Tentukanlah pada tingkat penjualan berapa
perusahaan bisa mendapatkan laba maksimum dan berapakah besarnya laba
tersebut? Berikan Analisisnya!
Penyelesaian:
Diketahui : TC = VC + FC = 10Q2 – 100Q + 70.000
TR = P x Q = (-18Q + 5.000)Q
= -18Q2 + 5.000Q
Ditanya : Q pada saat laba maksimum, dan besar laba (π)?
Jawab :
MR = TRI
MR = -36Q + 5.000
MC = TCI
MC = 20Q – 100
Perhitungan Laba Maksimum (πmax)
MR = MC
-36Q + 5.000 = 20Q – 100
5.000 + 100 = 20Q + 36Q
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 34
5.100 = 56Q
Q = 91,07 ≈ 91
TR = -18(91)2 + 5.000(91) = 305.942
TC = 10(91)2 – 100(91) + 70.000 = 143.710
πmax = 305.942 – 143.710 = 162.232
Analisis :
Jadi untuk mendapatkan laba maksimum, perusahaan harus menjual
produknya sebanyak 91 unit sehingga keuntungan maksimum yang didapat
sebesar Rp162.232.
Langkah – Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math
1. Buka aplikasi EC-Math. Pilih Derivatif, kemudian pilih mencari Fungsi Laba
Gambar 1.21 Tampilan Menu Derivatif
MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 35
2. Kemudian masukkan data-data yang ada di soal, maka akan muncul output
seperti ini
Gambar 1.22 Output Data Fungsi Laba
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TAK TENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 36
INTEGRAL TAK TENTU
1. KONSEP DASAR INTEGRAL TAK TENTU
Dalam kalkulus integral dikenal dua macam pengertian integral, yaitu
Integral Tak Tentu (Indefinite Integral) dan Integral Tertentu (Definite
Integral). Integral tak tentu adalah kebalikan dari diferensial, yakni suatu konsep
yang berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal apabila turunan
atau derevatif dari fungsinya diketahui, sedangkan Integral tertentu adalah suatu
konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas suatu area yang batas-
batas limit dari area tersebut sudah tertentu (Dumairy, 2012).
Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral
atau turunan-antinya, yaitu F(x).
Bentuk umum integral dari f(x) adalah:
∫ f(x)dx = F(x) + k
Keterangan :
∫ = Tanda integral
f(x)dx = Diferensial dari F(x)
F(x) = Integral particular
k = Konstanta pengintegralan
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TAK TENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 37
Dalam diferensial kita menemukan bahwa jika suatu fungsi asal
dilambangkan dengan F(x) dan fungsi turunannya dilambangkan dengan f(x)
maka:
Untuk fungsi asal : F(x) = x2 + 5
Fungsi turunannya : f(x)dx = 𝑑 𝐹(𝑥)
𝑑𝑥 = 2x
Jika prosesnya dibalik, yakni fungsi turunan f(x) diintegralkan, maka :
∫ f(x)dx = F(x) + k = x2 + k
Karena derivatif dari setiap konstanta adalah nol. Jadi setiap kita
mengintegralkan fungsi turunan konstanta k tetap dalam bentuk k. Nilai k tidak
dapat diisi dengan sembarang bilangan tertentu kecuali nilai k tersebut sudah
ditentukan. Karena ketidaktentuan nilai konstanta itulah maka bentuk integral
yang merupakan kebalikan dari diferensial dinamakan integral tak tentu.
2. KAIDAH-KAIDAH DALAM INTEGRASI TAK TENTU
Karena integrasi tak tentu pada dasarnya merupakan kebalikan dari
diferensial, maka kaidah-kaidah integrasi tak tentu akan dapat dipahami
berdasarkan pengetahuan tentang kaidah-kaidah diferensiasi.
Kaidah 1. Formula Pangkat
∫ xn dx =
𝑥𝑛+1
𝑛+1+ 𝑘
Contoh :
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TAK TENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 38
∫ x4 dx =
𝑥𝑛+1
𝑛+1 + k =
𝑥5
5 + k = 0,2 x
5 + k
Kaidah 2. Formula Logaritmis
∫ 1
𝑥 dx = ln x + k
Contoh :
∫ 3
𝑥 dx = 3 ln x + k
Kaidah 3. Formula Eksponensial
∫ ex dx = e
x + k
∫ eu du = e
u + k u = f(x)
Contoh :
∫ ex + 2
dx = ex + 2
d(x + 2 ) = ex + 2
+ k
Kaidah 4. Formula Penjumlahan
∫ {f(x) + g(x)} = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx = F(x) + G(x) + k
Contoh :
∫ (x4 + 3x
2) dx = ∫ x
4 dx + ∫ 3x
2 dx = 0,2x
5 + x
3 + k
Kaidah 5. Formula Perkalian
∫ nf(x)dx = n ∫ f(x)dx
Contoh :
∫ 3x2 dx = 3 ∫ x
2 dx = 3 (
𝑥2+1
2+1+ 𝑘) = x
3 + k
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TAK TENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 39
Kaidah 6. Formula Substitusi
∫ f(u) 𝑑𝑢
𝑑𝑥 dx =
𝑥𝑛+1
𝑛+1 f(u) du = F(u) + k
Contoh :
Selesaikanlah ∫ 𝑥+3
𝑥2+6𝑥 dx
Misalkan u = x2 + 6x, maka du = 2x + 6 dx
Karena pembilang (x + 3) = 1
2 (du/dx). Sehingga :
∫ 𝑥+3
𝑥2+6𝑥 dx = ∫
1/2(𝑑𝑢/𝑑𝑥)
𝑢 dx
= ∫ 1/2𝑑𝑢
𝑢 =
1
2 ∫ 𝑑𝑢
𝑢
= 1
2 ∫
1
𝑢 du =
1
2 ln u + k
3. PENERAPAN EKONOMI
Pendekatan integral tak tentu dapat diterapkan untuk mencari persamaan
fungsi total dari suatu variable ekonomi apabila persamaan fungsi marginalnya
diketahui. Karena fungsi marginal pada dasarnya merupakan turunan dari fungsi
total, maka dengan proses sebaliknya, yaitu integrasi, dapat dicari fungsi asal dari
fungsi turunan tersebut atau fungsi totalnya.
3.1 FUNGSI BIAYA
BIAYA TOTAL (TC) = ∫ MC dQ = ∫ f (Q) dQ
BIAYA RATA-RATA (AC) = 𝑻𝑪
𝑸
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TAK TENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 40
CONTOH KASUS 1
Diketahui fungsi biaya marginal pada suatu perusahaan sebesar MC = 15Q2 +
18Q + 5. Bentuklah persamaan biaya total dan biaya rata-rata apabila diketahui
konstanta sebesar 5. Berapakah besarnya biaya total dan biaya rata-rata jika
kuantitasnya sebesar 11? Analisislah!
Penyelesaian:
Diketahui : MC = 15Q2 + 18Q + 5
k = 5
Q = 11
Ditanya : Persamaan TC dan AC?
Besarnya TC dan AC jika Q = 11 ?
Jawab :
TC = ∫ MC dQ
TC = ∫ 15Q2 + 18Q + 5 dQ
TC = 15𝑄3
3+
18 𝑄2
2+ 5𝑄 + 𝑘
TC = 5Q3 + 9Q
2 + 5Q + 5
AC = 𝑇𝐶
𝑄
AC = 5𝑄3+ 9𝑄2 + 5Q + 5
𝑄
AC = 5Q2 + 9Q + 5 +
5
𝑄
Jika Q = 11, maka :
TC = 5Q3 + 9Q
2 + 5Q + 5
TC = 5(11)3 + 9(11)
2 + 5(11) + 5
TC = 5(1.331) + 9(121) + 55 + 5
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TAK TENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 41
TC = 6.655 + 1.089 + 55 + 5
TC = 7.804
AC = 𝑇𝐶
𝑄
AC = 7.804
11
AC = 709,45
Analisis:
Apabila MC = 15Q2 + 18Q + 5 dan konstanta sebesar 5, maka fungsi biaya total
dan fungsi biaya rata-ratanya adalah TC = 5Q3 + 9Q
2 + 5Q + 5 dan AC = 5Q
2 +
9Q + 5 + 5
𝑄. Pada saat kuantitasnya sebesar 11 unit, maka biaya total sebesar Rp.
7.804 dan biaya rata-ratanya sebesar Rp. 709,45.
Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software EC-Math
1. Buka aplikasi EC-Math
Gambar 2.1 Tampilan Menu Awal Software Ec-Math
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TAK TENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 42
2. Pilih Integral Tak Tentu
Gambar 2.2 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu
3. Pilih Fungsi Biaya
Gambar 2.3 Tampilan Menu Operasi Fungsi Biaya
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TAK TENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 43
4. Masukkan data-data yang diketahui dari soal. Untuk menentukan Banyaknya
Variabel hitung berapa banyak variabel pada data soal, yaitu 2. Masukkan FC
sebesar k, yaitu: 5. Kemudian masukkan persamaan MC seperti yang diketahui di
soal. Klik Calculate.
Gambar 2.4 Tampilan Menu Input Data Fungsi Biaya
5. Untuk mencari besarnya TC dan AC, masukkan nilai Q seperti yang ada di
soal,yaitu 11. Kemudian klik Calculate.
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TAK TENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 44
Gambar 2.5 Tampilan Menu Output Data Fungsi Biaya
3.2 FUNGSI PENERIMAAN
PENERIMAAN TOTAL (TR) = ∫MR dQ = ∫ f (Q) dQ
PENERIMAAN RATA-RATA (AR) = 𝑻𝑹
𝑸
CONTOH KASUS 2
Jika fungsi penerimaan marginal suatu perusahaan ditunjukkan oleh persamaan
MR = 15Q2 + 10Q + 5, maka bentuklah persamaan TR dan AR jika k = 0?
Berapakah besarnya penerimaan total dan penerimaan rata-rata jika kuantitas
yang terjual sebesar 15 unit? Analisislah!
Penyelesaian:
Diketahui : MR = 15Q2 + 10Q + 5
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TAK TENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 45
k = 0
Q = 15
Ditanya : Persamaan TR dan AR?
Besarnya TR dan AR jika Q = 15?
Jawab :
TR = ∫ MR dQ
TR = ∫15Q2 + 10Q + 5 dQ
TR = 15𝑄3
3 +
10𝑄2
2 + 5Q + k
TR = 5Q3 + 5Q
2 + 5Q
AR = 𝑇𝑅
𝑄
AR = 5𝑄3+ 5𝑄2+5𝑄
𝑄
AR = 5Q2 + 5Q + 5
Jika Q = 15, maka :
TR = 5Q3 + 5Q
2 + 5Q
TR = 5(15)3 + 5(15)
2 + 5(15)
TR = 5(3.375) + 5(225) + 75
TR = 16.875 + 1.125 + 75
TR = 18.075
AR = 𝑇𝑅
𝑄
AR = 18.075
15
AR = 1.205
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TAK TENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 46
Analisis:
Apabila MR = 15Q2 + 10Q + 5 dan konstanta sebesar 0, maka fungsi penerimaan
total dan fungsi penerimaan rata-ratanya adalah TR = 5Q3 + 5Q
2 + 5Q dan AR =
5Q2 + 5Q + 5. Pada saat kuantitasnya sebesar 15 unit, maka penerimaan total
sebesar Rp. 18.075 dan penerimaan rata-ratanya sebesar Rp. 1.205.
Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software EC-Math
1. Buka aplikasi EC-Math
Gambar 2.6 Tampilan Menu Awal Software Ec-Math
2. Pilih Integral Tak Tentu
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TAK TENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 47
Gambar 2.7 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu
3. Pilih Fungsi Penerimaan
Gambar 2.8 Tampilan Menu Operasi Fungsi Penerimaan
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TAK TENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 48
4. Masukkan data-data yang diketahui dari soal. Untuk menentukan Banyaknya
Variabel hitung berapa banyak variabel pada data soal, yaitu 2. Kemudian
masukkan persamaan MR seperti yang diketahui di soal. Klik Calculate.
Gambar 2.9 Tampilan Menu Input Data Fungsi Penerimaan
5. Untuk mencari besarnya TR dan AR, masukkan nilai Q seperti yang ada di
soal,yaitu 15. Kemudian klik Calculate.
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TAK TENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 49
Gambar 2.10 Tampilan Menu Output Data Fungsi Penerimaan
3.3 FUNGSI PRODUKSI
TOTAL PRODUKSI (TP) = ∫ MP dX = ∫ f (X) dX
PRODUKSI RATA-RATA (AP) = 𝑻𝑷
𝑿
Keterangan :
X = Masukan atau Input
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TAK TENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 50
CONTOH KASUS 3
Produksi marginal PT. PakaBopa ditunjukkan oleh persamaan MP = 75X2 + 50X
+ 10. Bentuklah persamaan produksi total dan produksi rata-ratanya jika k = 0?
Berapakah besarnya produksi total dan produksi rata-rata jika masukan yang
digunakan sebesar 10 unit? Analisislah!
Penyelesaian:
Diketahui : MP = 75X2 + 50X + 10
k = 0
X = 10
Ditanya : Persamaan TP dan AP?
Besarnya TP dan AP jika X = 10?
Jawab :
TP = ∫ MP dX
TP = ∫ 75X2 + 50X + 10 dX
TP = 75𝑋3
3 +
50𝑋2
2 + 10X + k
TP = 25X3 + 25X
2 + 10X
AP = 𝑇𝑃
𝑥
AP = 25𝑋3+ 25𝑋2+10𝑋
𝑥
AP = 25X2 + 25X + 10
Jika X = 10, maka :
TP = 25X3 + 25X
2 + 10X
TP = 25(10)3 + 25(10)
2 + 10(10)
TP = 25(1000) + 25(100) + 100
TP = 25.000 + 2.500 + 100
TP = 27.600
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TAK TENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 51
AP = 𝑇𝑃
𝑋
AP = 27.600
10
AP = 2.760
Analisis :
Apabila MP = 75X2 + 50X + 10 dan konstanta sebesar 0, maka fungsi produksi
total dan fungsi produksi rata-ratanya adalah TP = 25X3 + 25X
2 + 10X dan AP =
25X2 + 25X + 10. Pada saat kuantitasnya sebesar 10 unit, maka produksi total
sebesar 27.600 unit dan produksi rata-ratanya sebesar 2.760 unit.
Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software EC-Math
1. Buka aplikasi EC-Math
Gambar 2.11 Tampilan Menu Awal Software Ec-Math
2. Pilih Integral Tak Tentu
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TAK TENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 52
Gambar 2.12 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu
3. Pilih Fungsi Produksi
Gambar 2.13 Tampilan Menu Operasi Fungsi Produksi
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TAK TENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 53
4. Masukkan data-data yang diketahui dari soal. Untuk menentukan Banyaknya
Variabel hitung berapa banyak variabel pada data soal, yaitu 2. Kemudian
masukkan persamaan MP seperti yang diketahui di soal. Klik Calculate.
Gambar 2.14 Tampilan Menu Input Data Fungsi Produksi
5. Untuk mencari besarnya TP dan AP, masukkan nilai X seperti yang ada di
soal,yaitu 10. Kemudian klik Calculate.
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TAK TENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 54
Gambar 2.15 Tampilan Menu Output Data Fungsi Produksi
3.4 FUNGSI UTILITAS
UTILITAS TOTAL (TU) = ∫ MU dQ = ∫ f (Q) dQ
CONTOH KASUS 4
Bentuklah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas
marginalnya ditunjukkan oleh persamaan MU = 18Q2 + 18Q + 18 dan
konstantanya sebesar 0? Berapakah besarnya utilitas total jika Q = 18?
Analisislah!
Penyelesaian:
Diketahui : MU = 18Q2 + 18Q + 18
k = 0
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TAK TENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 55
Q = 18
Ditanya : Persamaan TU?
Besarnya TU jika Q = 18?
Jawab :
TU = ∫ MU dQ
TU = ∫18Q2 + 18Q + 18 dQ
TU = 18𝑄3
3 +
18𝑄2
2 + 18 + k
TU = 6Q3 + 9Q
2 + 18Q
Jika Q = 18, maka :
TU = 6Q3 + 9Q
2 + 18Q
TU = 6(18)3 + 9(18)
2 + 18(18)
TU = 6(5.832) + 9(324) + 324
TU = 34.992 + 2.916 + 324
TU = 38.232
Analisis:
Apabila MU = 18Q2 + 18Q + 18 dan konstanta sebesar 0, maka fungsi utilitas
total TU = 6Q3 + 9Q
2 + 18Q. Pada saat kuantitasnya sebesar 18 unit, maka
utilitas total sebesar 38.232.
3.5 FUNGSI KONSUMSI DAN FUNGSI TABUNGAN
Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyatakan fungsional
terhadap pendapatan nasional (Y).
C = f(Y) = a + bY
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TAK TENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 56
Karena, Y = C + S
Maka, S = -a + ( 1 – b )Y
Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi (C) adalah integral dari MPC dan
tabungan (S) adalah integral dari MPS.
C = ∫ MPC dY = F(Y) + k k = +a
S = ∫ MPS dY = F(Y) + k k = -a
Keterangan :
MPC (Marginal Propensity to Consume) = Perbandingan antara besarnya
perubahan konsumsi (∆C) dengan perubahan Pendapatan Nasional (∆Y) yang
mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut.
k = a = Autonomous Consumption = Konsumsi otonom menunjukkan besarnya
konsumsi nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol.
k = -a = Autonomous Saving = Tabungan otonom menunjukkan besarnya
tabungan nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol.
Dimana :
0,5 < MPC < 1
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TAK TENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 57
MPC + MPS = 1
MPC < 1 = Menunjukkan sebagian besar penggunaan tambahan pendapatan
digunakan untuk menambah besarnya konsumsi, sedangkan sisanya yaitu
sejumlah kecil merupakan tambahan tabungan.
MPC > 0,5 = Menunjukkan lebih dari 50% pendapatan yang diperoleh
digunakan untuk konsumsi.
CONTOH KASUS 5
Carilah persamaan konsumsi dan persamaan tabungan masyarakat sebuah Negara
jika diketahui konsumsi otonomnya sebesar 50 milyar dan MPC = 0,70. Berapa
besar konsumsi dan tabungan masyarakat jika pendapatan nasional Negara
sebesar 555 milyar? Analisislah!
Penyelesaian:
Diketahui : MPC = 0,70
k = a = 50 milyar
Y = 555 milyar
Ditanya : fungsi (C) dan fungsi (S) ?
Besar C dan S ?
Jawab :
MPC + MPS = 1
MPS = 1 – 0,70
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TAK TENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 58
MPS = 0,30
Fungsi (C) f(Y) = ∫ MPC dY
f(Y) = ∫ 0,70 dY
f(Y) = 0,70Y + k
f(Y) = 0,70Y + 50
Fungsi (S) f(Y) = ∫ MPS dY
f(Y) = ∫ 0,30 dY
f(Y) = 0,30Y – k
f(Y) = 0,30Y – 50
Jika Y = 555, maka :
C = 0,70Y + k
= 0,70 (555) + 50
= 388,5 + 50
= 438,5 milyar
S = 0,30Y – k
= 0,30 (555) – 50
= 166,5 – 50
= 116,5 milyar
Analisis :
Apabila MPC = 0,70 dan konsumsi otonomnya sebesar 50 milyar, maka
persamaan konsumsi yang terbentuk adalah C = 0,70Y + 50 dan persamaan
tabungannya adalah S = 0,30Y – 50. Jika pada saat Pendapatan Nasional sebesar
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TAK TENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 59
555 maka konsumsi dan tabungan masyarakat Negara sebesar Rp. 438,5 dan Rp.
116,5 milyar.
Langkah-langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math
1. Buka aplikasi EC-Math
Gambar 2.16 Tampilan Menu Awal Software Ec-Math
2. Pilih Integral Tak Tentu
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TAK TENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 60
Gambar 2.17 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu
3. Pilih Fungsi Konsumsi
Gambar 2.18 Tampilan Menu Operasi Fungsi Konsumsi
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TAK TENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 61
4. Masukkan nilai k atau a sesuai dengan data yang diketahui di soal sebesar 50,
kemudian masukkan nilai MPC yaitu 0,70. Kemudian klik Calculate.
Gambar 2.19 Tampilan Menu Input Data Fungsi Konsumsi
5. Masuk nilai Y sesuai data soal sebesar 555 pada kolom Y untuk menghitung
nilai konsumsinya, klik Calculate.
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TAK TENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 62
Gambar 2.20 Tampilan Menu Output Data Fungsi Konsumsi
6. Masukkan nilai k atau a sebesar -50 dan MPS sebesar 0,30. Kemudian
masukan nilai Y sesuai data soal sebesar 555 pada kolom Y untuk menghitung
nilai tabungannya, klik Calculate.
Gambar 2.21 Tampilan Menu Output Data Fungsi Tabungan
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TERTENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 63
INTEGRAL TERTENTU
1. KONSEP DASAR INTEGRAL TERTENTU
Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang nilai-nilai
variabel bebasnya (memiliki batas-batas) tertentu (Dumairy, 2012). Integral
tertentu juga memiliki penafsiran sebagai suatu metode untuk menentukan
luas daerah di bawah suatu kurva dengan batasan-batasan yang sudah
ditentukan.
Rumus integral tertentu :
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = [𝐹(𝑥)]𝑎𝑏 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑏
𝑎
Keterangan :
a = batas bawah
b = batas atas
dimana a < b
Contoh :
∫ 8x2+ 8x + 8 dx = …
5
1
Penyelesaian
∫ 8x2 + 8x + 8 dx = [
8
3x3 +
8
2x2 + 8x]
1
55
1
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TERTENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 64
∫ 8x2 + 8x + 8
5
1
= [8
3(5)
3 + 4(5)
2 + 8(5)] - [
8
3(1)
3 + 4(1)
2 + 8(1)]
∫ 8x2 + 8x + 8
5
1
= [8
3(125) + 4(25) + 8(5)] - [
8
3(1) + 4(1) + 8(1)]
∫ 8x2 + 8x + 8
5
1
= [1000
3 + 100 + 40] - [
8
3 + 4 + 8]
∫ 8x2 + 8x + 8
5
1
= 473,33 - 14,67
∫ 8x2 + 8x + 8
5
1
= 458,66
2. PENERAPAN EKONOMI
Integral tertentu dapat digunakan untuk mencari besarnya keuntungan
konsumen (surplus konsumen) dan besarnya keuntungan produsen (surplus
produsen).
2.1 SURPLUS KONSUMEN
Surplus konsumen (Consumers’ Surplus) mencerminkan suatu
keuntungan lebih atas surplus yang dinikmati oleh konsumen tertentu
berkenaan dengan tingkat harga pasar suatu barang (Dumairy, 2012).
Besarnya surplus konsumen (CS) ditunjukkan oleh luas area di bawah kurva
permintaan (P = f(Q)) tetapi di atas tingkat harga pasar (Pe).
Gambar 3.1 Kurva Surplus Konsumen
Q
P
0 Qe
Pe (Qe, Pe)
P
Q
Surplus Konsumen (CS)
P = f(Q)
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TERTENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 65
Rumus surplus konsumen :
𝐶𝑆 = ∫ 𝑓(𝑄) 𝑑𝑄 − 𝑄𝑒𝑃𝑒
𝑄𝑒
0
atau
𝐶𝑆 = ∫ 𝑓(𝑃) 𝑑𝑃𝑃
𝑃𝑒
Keterangan :
Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan pasar
Pe = Tingkat harga keseimbangan pasar
P = Tingkat harga pasar pada saat Q = 0
CONTOH KASUS 1
Jika fungsi permintaan suatu barang Pd = 80 – 5Q dan fungsi penawaran
Ps = 8 + Q, hitunglah surplus konsumen dengan dua cara! Analisislah dan buat
kurvanya!
Penyelesaian:
Diketahui : Pd = 80 – 5Q
Ps = 8 + Q
Ditanya : CS = ?
Jawab :
Catatan:
Untuk mencari surplus konsumen
maka menggunakan fungsi
permintaan.
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TERTENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 66
P = 80 – 5Q
P = 80 – 5(12)
Pe = 20
CARA 1
CS =∫ f(Q) dQ - QePe
Qe
0
CS =∫ (80 - 5Q) dQ - (12)(20)
12
0
CS = [80Q - 2,5Q2]
0
12 - 240
CS = [80(12) - 2,5(12)2] - [80(0) - 2,5(0)2] - 240
CS = 600 - 0 - 240
CS = 360
CARA 2
Pd = 80 – 5Q 5Q = 80 – P
Qd = 16 – 0,2P
Jika Q = 0 ; P = 80
Pd = Ps
80 – 5Q = 8 + Q
-5Q - Q = 8 – 80
-6Q = -72
Qe = 12
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TERTENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 67
CS =∫ f(P) dP
P
Pe
CS=∫ (16 - 0,2P) dP
80
20
CS = [16P - 0,1P2]20
80
CS = [16(80) - 0,1(80)2] - [16(20) - 0,1(20)2]
CS = 640 - 280
CS = 360
Analisis:
Jadi surplus yang diterima konsumen tersebut sebesar Rp 360 karena
konsumen dapat membeli dengan harga Rp 20 padahal konsumen sanggup
membayar lebih tinggi dari harga keseimbangan sebesar Rp 20.
Langkah membuat kurva
1. Pd = 80 – 5Q
Misalkan P = 0 Q = 16
Misalkan Q = 0 P = 80
2. Letakkan nilai kuantitas keseimbangan pasar (Qe = 12) dan harga
keseimbangan pasar (Pe = 20)
3. Untuk area surplus konsumen dapat dihitung dengan rumus luas segitiga
(L = 1
2 a.t).
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TERTENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 68
Gambar 3.2 Kurva Surplus Konsumen Contoh Kasus 1
Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software EC-Math
CARA 1
1. Buka software EC-Math, pilih materi Integral Tertentu, lalu pilih Surplus
Konsumen 1.
Gambar 3.3 Tampilan Awal Integral Tertentu
Q
P
12 16
20
80 L =
1
2 a.t
L = 1
2 12.60
L = 360
Area Surplus Konsumen (CS) :
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TERTENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 69
2. Pilih jumlah variabel Q yang tertera pada soal (lihat fungsi permintaan),
pilih 1 variabel.
Gambar 3.4 Tampilan Surplus Konsumen 1
3. Masukkan data-data sesuai pada soal, jika sudah klik Hitung maka akan
muncul tampilan jawaban.
Gambar 3.5 Hasil Perhitungan Surplus Konsumen 1
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TERTENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 70
CARA 2
1. Buka software EC-Math, pilih materi Integral Tertentu, lalu pilih Surplus
Konsumen 2.
Gambar 3.6 Tampilan Awal Integral Tertentu
2. Pilih jumlah variabel Q yang tertera pada soal (lihat fungsi permintaan),
pilih 1 variabel.
Gambar 3.7 Tampilan Surplus Konsumen 2
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TERTENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 71
3. Masukkan data-data sesuai pada soal, jika sudah klik Hitung maka akan
muncul tampilan jawaban.
Gambar 3.8 Hasil Perhitungan Surplus Konsumen 2
CONTOH KASUS 2
Jika fungsi permintaan P = 58 – 8Q dan tingkat kuantitas keseimbangan
pasarnya sebesar 5, hitunglah surplus konsumen dengan dua cara! Analisislah
dan buat kurvanya!
Penyelesaian:
Diketahui : P = 58 – 8Q
Qe = 5
Ditanya : CS = ?
Jawab :
P = 58 – 8Q
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TERTENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 72
P = 58 – 8(5)
Pe = 18
CARA 1
CS =∫ f(Q) dQ - QePe
Qe
0
CS =∫ (58 - 8Q) dQ - (5)(18)
5
0
CS = [58Q - 4Q2]
0
5 - 90
CS = [58(5) - 4(5)2] - [58(0) - 4(0)2] - 90
CS = 190 - 0 - 90
CS = 100
CARA 2
P = 58 – 8Q 8Q = 58 – P
Q = 7,25 – 0,125P
Jika Q = 0 ; P = 58
CS =∫ f(P) dP
P
Pe
CS=∫ (7,25 - 0,125P) dP
58
18
CS = [7,25P - 0,0625P2]18
58
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TERTENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 73
CS = [7,25(58) - 0,0625(58)2] - [7,25(18) - 0,0625(18)2]
CS = 210,25 - 110,25
CS = 100
Analisis:
Jadi surplus yang diterima konsumen tersebut sebesar Rp 100 karena
konsumen dapat membeli dengan harga Rp 18 padahal konsumen sanggup
membayar lebih tinggi dari harga keseimbangan sebesar Rp 18.
Langkah membuat kurva
1. P = 58 – 8Q
Misalkan P = 0 Q = 7,25
Misalkan Q = 0 P = 58
2. Letakkan nilai kuantitas keseimbangan pasar (Qe = 5) dan harga
keseimbangan pasar (Pe = 18)
3. Untuk area surplus konsumen dapat dihitung dengan rumus luas segitiga
(L = 1
2 a.t).
Gambar 3.9 Kurva Surplus Konsumen Contoh Kasus 2
Q
P
5 7,25
18
58 L =
1
2 a.t
L = 1
2 5.40
L = 100
Area Surplus Konsumen (CS) :
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TERTENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 74
Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software EC-Math
CARA 1
1. Buka software EC-Math, pilih materi Integral Tertentu, lalu pilih Surplus
Konsumen 1.
Gambar 3.10 Tampilan Awal Integral Tertentu
2. Pilih jumlah variabel Q yang tertera pada soal (lihat fungsi permintaan),
pilih 1 variabel.
Gambar 3.11 Tampilan Surplus Konsumen 1
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TERTENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 75
3. Masukkan data-data sesuai pada soal, jika sudah klik Hitung maka akan
muncul tampilan jawaban.
Gambar 3.12 Hasil Perhitungan Surplus Konsumen 1
CARA 2
1. Buka software EC-Math, pilih materi Integral Tertentu, lalu pilih Surplus
Produsen 1.
Gambar 3.13 Tampilan Awal Integral Tertentu
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TERTENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 76
2. Pilih jumlah variabel Q yang tertera pada soal (lihat fungsi permintaan),
pilih 1 variabel.
Gambar 3.14 Tampilan Surplus Konsumen 2
3. Masukkan data-data sesuai pada soal, jika sudah klik Hitung maka akan
muncul tampilan jawaban.
Gambar 3.15 Hasil Perhitungan Surplus Konsumen 2
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TERTENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 77
2.2 SURPLUS PRODUSEN
` Surplus produsen (Produsers’ Surplus) mencerminkan suatu
keuntungan lebih atau surplus yang dinikmati oleh produsen tertentu
berkenaan dengan tingkat harga pasar dari barang yang ditawarkannya
(Dumairy, 2012). Besarnya surplus produsen ditunjukkan oleh luas area di
atas kurva penawaran (P = f(Q)) tetapi dibawah tingkat harga pasar (Pe).
Gambar 3.16 Kurva Surplus Produsen
Rumus surplus produsen :
𝑃𝑆 = 𝑄𝑒𝑃𝑒 −∫ 𝑓(𝑄) 𝑑𝑄𝑄𝑒
0
atau
𝑃𝑆 = ∫ 𝑓(𝑃) 𝑑𝑃𝑃𝑒
𝑃
Keterangan :
Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan pasar
Pe = Tingkat harga keseimbangan pasar
Q
P
0 Qe
Pe
(Qe, Pe)
Surplus Produsen (PS)
P = f(Q)
P
Catatan:
Untuk mencari surplus produsen
maka menggunakan fungsi
penawaran.
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TERTENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 78
P = Tingkat harga pasar pada saat Q = 0
CONTOH KASUS 3
Diketahui fungsi penawaran suatu barang yang dijual PT Pledis adalah Ps = 51
+ Q dan fungsi permintaannya Pd = 87 – Q. Hitunglah surplus PT Pledis
sebagai produsen dengan menggunakan dua cara! Analisis dan buatlah
kurvanya!
Penyelesaian:
Diketahui : Pd = 87 – Q
Ps = 51 + Q
Ditanya : PS = ?
Jawab :
P = 51 + Q
P = 51 + 18
Pe = 69
CARA 1
PS = QePe - ∫ f(Q) dQ
Qe
0
PS = (69)(18) - ∫ (51 + Q) dQ
18
0
Pd = Ps
87 – Q = 51 + Q
-Q - Q = 51 – 87
-2Q = -36
Qe = 18
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TERTENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 79
PS = 1242 - [51Q + 0,5Q2]
0
18
PS = 1242 - [51(18) + 0,5(18)2] - [51(0) - 0,5(0)2]
PS = 1242 - 1080 - 0
PS = 162
CARA 2
Ps = 51 + Q -Q = 51– P
Qs = -51 + P
Jika Q = 0 ; P = 51
PS =∫ f(P) dP
Pe
P
PS=∫ (-51 + P) dP
69
51
PS = [-51P + 0,5P2]51
69
PS = [-51(69) + 0,5(69)2] - [-51(51) + 0,5(51)2]
PS = -1.138,5 - (-1.300,5)
PS = 162
Analisis:
Jadi surplus yang diperoleh PT Pledis adalah sebesar Rp 162 karena PT Pledis
dapat menjual barang dengan harga Rp 69 padahal sebenarnya perusahaan
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TERTENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 80
tersebut bersedia menjual dengan harga yang lebih rendah dari harga
keseimbangan sebesar Rp 69.
Langkah membuat kurva
1. Ps = 51 + Q
Misalkan P = 0 Q = -51
Misalkan Q = 0 P = 51
2. Letakkan nilai kuantitas keseimbangan pasar (Qe = 18) dan harga
keseimbangan pasar (Pe = 69)
3. Untuk area surplus konsumen dapat dihitung dengan rumus luas segitiga
(L = 1
2 a.t).
Gambar 3.17 Kurva Surplus Produsen Contoh Kasus 3
Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software EC-Math
CARA 1
1. Buka software EC-Math, pilih materi Integral Tertentu, lalu pilih Surplus
Produsen 1.
Q
P
0 18 -51
51
L = 1
2 a.t
L = 1
2 18.18
L = 162
Area Surplus Produsen (PS) :
69
Ps = 51 + Q
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TERTENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 81
Gambar 3.18 Tampilan Awal Integral Tertentu
4. Pilih jumlah variabel Q yang tertera pada soal (lihat fungsi penawaran),
pilih 1 variabel.
Gambar 3.19 Tampilan Surplus Produsen 1
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TERTENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 82
5. Masukkan data-data sesuai pada soal, jika sudah klik Hitung maka akan
muncul tampilan jawaban.
Gambar 3.20 Hasil Perhitungan Surplus Produsen 1
CARA 2
1. Buka software EC-Math, pilih materi Integral Tertentu, lalu pilih Surplus
Produsen 2.
Gambar 3.21 Tampilan Awal Integral Tertentu
MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TERTENTU
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 83
2. Pilih jumlah variabel Q yang tertera pada soal (lihat fungsi penawaran),
pilih 1 variabel.
Gambar 3.22 Tampilan Surplus Produsen 2
3. Masukkan data-data sesuai pada soal, jika sudah klik Hitung maka akan
muncul tampilan jawaban.
Gambar 3.23 Hasil Perhitungan Surplus Produsen 2
MATEMATIKA EKONOMI 2 TRANSENDENTAL
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 84
TRANSENDENTAL
1. KONSEP DASAR TRANSENDENTAL
Pada dasarnya fungsi diklasifikasikan menjadi dua, yaitu fungsi aljabar dan
non aljabar. Fungsi non aljabar biasa disebut juga sebagai fungsi transendental
(transcendent function). Disebut fungsi transendental karena fungsi ini adalah
fungsi yang “melampaui” fungsi aljabar, dengan kata lain tidak dapat dinyatakan
dalam istilah aljabar. Yang termasuk dalam fungsi transendental adalah fungsi
eksponensial, fungsi logaritmik, fungsi trigonometrik, dan fungsi hiperbolik.
Penemu dari fungsi transendental dan fungsi yang terdapat dalam transendental
adalah Leonhard Euler.
Fungsi eksponensial berbeda dengan fungsi pangkat. Fungsi pangkat
adalah suatu fungsi dimana variabel bebasnya dipangkatkan dengan suatu
konstanta. Sedangkan fungsi eksponensial adalah suatu fungsi dimana
konstantanya dipangkatkan dengan variabel bebasnya
Logaritma dapat diartikan sebagai pangkat dari suatu bilangan pokok untuk
menghasilkan suatu bilangan tertentu. Misalnya, 72 = 49, ini berarti eksponen 2
sebagai logaritma dari 49 dengan bilangan pokok 7. Dan pernyataan ini dapat
ditulis 7Log 49 = 2. Sedangkan fungsi logaritma adalah fungsi yang variabel
bebasnya merupakan logaritma, seperti y = a log x atau y = a + b log x.
Fungsi trigonometrik, trigonometri diambil dari bahasa yunani, trigonos
dan metron. Trigonos berarti segitiga dan metron berarti ukuran sehingga
trigonometri dikenal sebagai ilmu ukur segitiga. Contoh dari fungsi
trigonometrik y = sin x, y = cos 2x
MATEMATIKA EKONOMI 2 TRANSENDENTAL
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 85
Namun pokok pembahasan di sini hanya pada fungsi eksponensial dan
fungsi logaritmik. Baik fungsi eksponensial maupun logaritmik keduanya
memiliki hubungan yang erat, dikarenakan fungsi logaritma adalah fungsi balilk
(inverse) dari fungsi eksponen tertentu, atau sebaliknya.
1.1 FUNGSI EKSPONENSIAL
Fungsi eksponensial berbeda dengan fungsi pangkat. Fungsi pangkat
adalah suatu fungsi dimana variabel bebasnya dipangkatkan dengan suatu
konstanta. Sedangkan fungsi eksponensial adalah suatu fungsi dimana
konstantanya dipangkatkan dengan variabel bebas.
Bentuk Fungsi Eksponensial yang paling sederhana adalah :
Dimana : n > 0
Bentuk Fungsi Eksponensial yang lebih umum adalah :
Hukum – hukum Eksponensial, antara lain :
1. 𝑎0 = 1
2. 𝑎−𝑘 = 1
𝑎𝑘
3. 𝑎1/𝑞 = √𝑎𝑞
4. 𝑎𝑚 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛
5. 𝑎𝑚 / 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛
6. (𝑎𝑚)𝑘 = 𝑎𝑚𝑘
y = 𝒏𝒙
y = 𝒏𝒆𝒌𝒙+ c Dimana :
n ≠ 0
e = 2,71828
k,c = konstanta
k
MATEMATIKA EKONOMI 2 TRANSENDENTAL
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 86
Berikut salah satu contoh soal dari hukum – hukum eksponensial :
1. Z = 50
jawab :
Z = 50
Z = 1
2. Z = 5−5
jawab :
Z = 1
55
Z = 0,00032
3. Z = 71/5
jawab :
Z = √75
Z = 1,476
4. Z = 81. 85
jawab :
Z = 81+5
Z = 86
Z = 262.144
5. Z = 75 / 71
jawab :
Z = 75−1
Z = 74
Z = 2.401
6. Z = (55)1
jawab :
Z = 55𝑥1
Z = 3.125
MATEMATIKA EKONOMI 2 TRANSENDENTAL
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 87
Contoh soal fungsi eksponensial dengan fungsi yang umum :
Tentukan titik potong kurva eksponensial, y = 𝑒0,15𝑥 − 5, pada masing – masing
sumbu dan hitunglah f(7)!
jawab :
Pada sumbu x ; y = 0
𝑒0,15𝑥 − 5 = 0
𝑒0,15𝑥 = 5
Ln 𝑒0,15𝑥 = Ln 5
0,15x Ln e = Ln 5
0,15x = 1,609
x = 10,726
Titik potong nya ( 10,726 ; 0 )
Ket :
Pada sumbu y ; x = 0
y = 𝑒0,15𝑥 − 5
y = 𝑒0,15(0) − 5
y = 𝑒0 – 5
y = 1 - 5
Ln e = 1
Ln 1 = 0
MATEMATIKA EKONOMI 2 TRANSENDENTAL
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 88
y = - 4
Titik Potongnya (0 ; -4)
Pada x = 7
y = 𝑒0,15𝑥 − 5
y = 𝑒0,15(7) − 5
y = 𝑒1,05 – 5
y = 2,718281,05 − 5
y = 2,8576 – 5
y = -2,1423
Titik potongnya ( 4 ; -2,1423 )
1.2 FUNGSI LOGARITMIK
Logaritma dapat diartikan sebagai pangkat dari suatu bilangan pokok untuk
menghasilkan suatu bilangan tertentu. Misalnya, 72 = 49, ini berarti eksponen 2
sebagai logaritma dari 49 dengan bilangan pokok 7. Dan pernyataan ini dapat
ditulis Log7 49 = 2. Sedangkan fungsi logaritma adalah fungsi yang variabel
bebasnya merupakan logaritma, seperti y = a log x atau y = a + b log x.
Bentuk Fungsi Logaritmik yang paling sederhana :
Dimana : n > 0
n ± 1
Bentuk Fungsi Logaritmik yang paling umum adalah :
y = 𝒏𝒍𝒐𝒈𝒙
MATEMATIKA EKONOMI 2 TRANSENDENTAL
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 89
Dimana : x > -1
Hukum – hukum logaritma, antara lain:
1. log a.b = log a + log b
2. log a/b = log a – log b
3. alog b = c, maka 𝑎𝑐 = b
4. alog a = 1
5. alog 𝑥𝑛 = n
alog x
6. alog 1 = 0
7. alog b.
blog c =
alog c
Contoh soal hukum logaritma :
1. 5log 5
jawab :
5log 5= 1
2. 8log 1
jawab :
8log 1= 0
3. log (100)(1.000)
jawab :
log (100)(1.000) = log 100 + log 1.000
y = a Ln ( 1 + x ) + b
MATEMATIKA EKONOMI 2 TRANSENDENTAL
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 90
= 2 + 3
= 5
Contoh soal logaritmik dalam bentuk fungsi yang umum :
Tentukan titik potong kurva logaritmik, y = -1,5 Ln ( 1 + x ) – 1, pada masing-
masing sumbu dan hitunglah f(5) ?
jawab :
Pada sumbu x ; y = 0
-1,5 Ln (1 + x) – 1 = 0
-1,5 Ln ( 1 + x) = 1
Ln (1 + x) = -0,67
1 + x = 𝑒−0,67
1 + x = 0,5117
x = -0,4883
Titik potongnya (-0,4883 ; 0)
Pada sumbu y ; x = 0
y = -1,5 Ln (1 + x) – 1
y = -1,5 Ln (1 + 0) – 1
y = -1,5 Ln 1 – 1
y = -1,5 . 0 – 1
y = -1
Titik potongnya ( 0 ; -1)
Untuk x = 5
MATEMATIKA EKONOMI 2 TRANSENDENTAL
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 91
y = -1,5 Ln (1 + x) – 1
y = -1,5 Ln (1 + 5) – 1
y = -1,5 Ln 6 – 1
y = -2,6876 – 1
y = -3,6876
Titik potongnya ( 5 ; -3,6876 )
2. PENERAPAN EKONOMI
Banyak model-model bisnis dan ekonomi sangat relavan ditelaah dan
diimplementasikan dengan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik, khususnya
model-model yang berkenaan dengan aspek pertumbuhan. Model-model yang
menerapkan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik antara lain:
2.1 MODEL BUNGA MAJEMUK
Bunga majemuk merupakan bentuk dari fungsi eksponensial. Model bunga
majemuk digunakan untuk menghitung jumlah nilai dimasa yang akan datang
ditambah dengan akumulasi penambahan bunga, misalnya besarnya pembelian
kredit dimasa yang akan datang berdasarkan tingkat suku bunga nya, dan jumlah
investasi yang akan diterima dimasa yang akan datang dengan diketahui jumlah
nilai sekarang dan tingkat suku bunga nya.
Jika modal awal atau (Present) dibunga majemukkan secara tahunan pada
suku bunga (interest) selama n tahun, maka rumus yang digunakan:
Fn = P (1 + i)𝒏
MATEMATIKA EKONOMI 2 TRANSENDENTAL
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 92
Jika bunga dimajemukan lebih dari satu kali (misal setiap triwulan,
caturwulan, atau semester) dalam setahun, maka menggunakan rumus:
Keterangan rumus:
Fn : Jumlah saldo pinjaman atau tabungan setelah n tahun
P : Jumlah saldo sekarang atau awalnya
i : Tingkat suku bunga pertahun
m : Frekuensi pembayaran bunga dalam setahun
n : Jumlah tahun
Dalam hal ini Fn merupakan variabel terikat ( dependent variable) dan n
sebagai variabel bebas ( independent variable). Dengan demikian, prinsip-prinsip
penyelesaian persamaan eksponensial relevan diterapkan pada model ini.
Model Bunga Majemuk Sinambung
Apabila bunga dimajemukkan secara kontinu selama satu tahun (m
sangat besar atau bunga diperhitungkan secara terus menerus) maka untuk
mencari jumlah nilai dimasa yang akan datang Fn adalah :
Dimana e = 2,71828
Fn = P (1 + 𝒊
𝒎)𝒎.𝒏
Fn ≈ P.𝒆𝒊.𝒏
MATEMATIKA EKONOMI 2 TRANSENDENTAL
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 93
Bentuk ini dinamakan model bunga majemuk sinambung (continous
compound interest). Bunga majemuk sinambung dalam kasus pinjam meminjam
seringkali dipraktekan oleh para “pelepas uang” atau “rentenir” atau “lintah
darat” yang kadang-kadang menetapkan atau memperhitungkan bunga atas uang
yang dipinjamkannya secara harian (m = 360).
CONTOH KASUS 1
Bu Nisa akan menyekolahkan anak nya di jenjang perkuliahan, untuk membayar
setoran pertama bu Nisa memutuskan untuk meminjam uang pada Bank.
Diketahui bu Nisa meminjam uang sebesar Rp. 10.555.888-, untuk jangka waktu
5 tahun dengan tingkat suku bunga 5% pertahun. Berdasarkan data tersebut maka
a. Hitunglah jumlah uang yang harus dikembalikan bu Nisa pada saat jatuh
tempo, jika suku bunga diperhitungkan per caturwulan!
b. Hitunglah jumlah uang yang harus dikembalikan bu Nisa pada saat jatuh
tempo, jika suku bunga diperhitungkan per jam!
Penyelesaian :
Diketahui : P = Rp. 10.555.888 i = 0,05
n = 5 m = 3
Ditanya : F5 per caturwulan ?
F5 per jam ?
Jawab :
a. Per caturwulan (menggunakan rumus bunga majemuk biasa)
1) Tanpa menggunakan logaritma
Fn = P (1 + 𝑖
𝑚 )𝑛.𝑚
F5 = 10.555.888 (1 + 0,05
3 )15
F5 = 10.555.888 (1,017)15
MATEMATIKA EKONOMI 2 TRANSENDENTAL
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 94
F5 = 10.555.888 (1,2876)
F5 = 13.591.761
2) Dengan menggunakan logaritma
F5 = 10.555.888 (1,017)15
Log F5 = Log 10.555.888 + 15 log 1,017
Log F5 = 7,0234 + 0,1098
Log F5 = 7,1332
F5 = 13.589.391
b. Per jam (menggunakan rumus bunga majemuk sinambung)
1) Tanpa menggunakan logaritma natural
Fn = P . 𝑒𝑖.𝑛
F5 = 10.555.888 x 𝑒0,25
F5 = 10.555.888 x 1,2840
F5 = 13.553.760
2) Dengan menggunakan logaritma natural
F5 = 10.555.888 x 𝑒0,25
Ln F5 = Ln 10.555.888 + 0,25 Ln e
Ln F5 = 16,1721 + 0,25
Ln F5 = 16,4221
F5 = 13.552.749
Analisis:
Maka jumlah uang yang harus dikembalikan oleh bu Nisa saat jatuh tempo
apabila pembayaran bunga dihitung per caturwulan adalah sebesar Rp.
13.391.761,-. Sedangkan jika pembayaran bunga dihitung per jam, maka jumlah
uang yang harus dikembalikan bu Nisa saat jatuh tempo adalah sebesar Rp.
13.553.760.
MATEMATIKA EKONOMI 2 TRANSENDENTAL
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 95
Langkah – Langkah Pengerjaan Menggunakan Software EC-Math:
1. Buka software Ec-Math.
2. Pilih menu Transedental, kemudian klik Transedental.
3. Pilih Model Bunga Majemuk, kemudian masukan data yang ada pada soal ke
software. Setelah itu klik hasil.
Gambar 4.1 Hasil Perhitungan Model Bunga Majemuk
Catatan:
Hasil perhitungan secara manual dengan menggunakan software Ec-Math tidak
persis sama karena pada perhitungan secara manual menggunakan pembulatan 4
angka dibelakang koma, sedangkan pada software Ec-Math tidak menggunakan
pembulatan.
2.2 MODEL PERTUMBUHAN
Model pertumbuhan merupakan bentuk dari fungsi eksponensial. Model ini
dapat digunakan untuk menghitung pertumbuhan beberapa variabel, seperti
MATEMATIKA EKONOMI 2 TRANSENDENTAL
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 96
penduduk dan makhluk hidup lainnya. Namun, kali ini hanya variabel
pertumbuhan penduduk yang akan dibahas. Rumus yang digunakan adalah :
Dimana R didapatkan dengan cara
Keterangan rumus:
Pt : Jumlah penduduk pada tahun ke-t
t : Jumlah tahun
P1 : Jumlah penduduk pada tahun pertama (tahun basis)
r : Tingkat pertumbuhan
R : Tingkat pertumbuhan setelah ditambah 100% pertumbuhan pada tahun basis
Agar model di atas dapat diterapkan secara umum terhadap segala macam
variabel dan tidak semata-mata hanya terpaku pada masalah kependudukan,
maka persamaan di atas dapat diubah bentuknya menjadi :
Dimana R didapatkan dengan cara
Keterangan rumus :
N : Variabel yang sedang diamati
r : Persentase pertumbuhan per satuan watu
t : Indeks tahun
Pt = P1. 𝑹𝒕−𝟏 R = 1 + r
Nt = N1. 𝑹𝒕−𝟏 R = 1 + r
MATEMATIKA EKONOMI 2 TRANSENDENTAL
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 97
CONTOH KASUS 2
Diketahui jumlah Anggota yang menjadi pengurus Bank Alpha di kota Depok
pada tahun 2011 berjumlah 578 anggota, diketahui dengan tingkat pertumbuhan
5% per tahun. Berdasarkan data tersebut hitunglah jumlah anggota Bank Alpha
di kota Depok pada tahun 2017!
Penyelesaian :
Diketahui : N1 = 578
r = 0,05
R = 1 + 0,05 = 1,05
t = 7
Ditanya : N7 ?
Jawab :
1) Tanpa menggunakan logaritma
Nt = N1 x 𝑅𝑡−1
N7 = 578 x 1,056
N7 = 578 x 1,3401
N7 = 774 orang
2) Dengan menggunakan logaritma
Nt = N1 x 𝑅𝑡−1
N7 = 578 x 1,056
Log N7 = log 578 + 6 log 1,05
Log N7 = 2,7619 + 0,1271
Log N7 = 2,889
N7 = 774 orang
MATEMATIKA EKONOMI 2 TRANSENDENTAL
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 98
Analisis:
Maka dalam jangka waktu 7 tahun ke depan diperkirakan jumlah anggota Bank
Alpha akan meningkat menjadi 774 orang, dengan jumlah peningkatan sebanyak
196 orang.
Langkah – Langkah Pengerjaan Menggunakan Software EC-Math:
1. Buka software Ec-Math, kemudian pilih materi Transedental
2. Pilih menu Transedental, kemudian klik Transedental
3. Pilih menu Model Pertumbuhan, kemudian masukan angka yang terdapat pada
soal ke dalam software, klik hasil untuk melihat jawaban nya.
Gambar 4.2 Hasil Perhitungan Model Pertumbuhan
Catatan:
Dalam mencari jumlah pertumbuhan makhluk hidup, hasil yang ditulis sebagai
jawaban adalah angka awal saja tanpa pembulatan, angka dibelakang koma
MATEMATIKA EKONOMI 2 TRANSENDENTAL
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 99
diabaikan karena hal yang berhubungan dengan jiwa seseorang tidak dapat
dibulatkan ke atas.
2.3 KURVA GOMPERTZ
Metode ini digunakan untuk menganalisis variabel yang meningkat secara
eksponensial selama jangka waktu tertentu, tetapi sesudah itu peningkatannya
sangat kecil atau tidak berarti meskipun waktu terus berjalan. Rumus yang
digunakan dalam kurva gompertz adalah sebagai berikut :
Keterangan : N = Jumlah variabel tertentu yang sedang diamati
c = Batas jenuh Pertumbuhan
a = Proporsi pertumbuhan awal (𝑋
𝐶)
x = Pertumbuhan awal
r = Tingkat pertumbuhan rata – rata
t = Indeks waktu
CONTOH KASUS 3
PT. Sinar Kencana adalah perusahaan yang memproduksi sepatu, yang setiap
tahunnya mengalami peningkatan penjualan sebesar 55%, dengan penjualan awal
sebesar 758 unit. Jika batas jenuh penjualan sebesar 1.777 unit, berapakah jumlah
produk yang akan terjual setelah perusahaan beroperasi selama 8 tahun?
Penyelesaian :
N = c. 𝒂𝒓𝒕
MATEMATIKA EKONOMI 2 TRANSENDENTAL
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 100
Diketahui : c = 1.777 x = 758 r = 0,55
a = 758
1.777 = 0,4265 t = 8
Ditanya : N8 ?
Jawab :
1) Tanpa menggunakan logaritma
N = c x 𝑎𝑟𝑡
N = 1.777 x 0,42650,558
N = 1.777 x 0,42650,008
N = 1.777 x 0,9931892562
N = 1.764
2) Dengan menggunakan logaritma
N = 1.777 x 0,42650,558
N = 1.777 x 0,42650,008
Log N = Log 1.777 + 0,008 Log 0,4265
Log N = 3,249687428 + 0,008 ( -0,370080964)
Log N = 3,249687428 + ( -0,002960647)
Log N = 3,246726958
N = 1.764
Analisis :
Jadi setelah beroperasi 8 tahun, PT. Sinar Kencana akan menjual 1.764 unit
sepatu jika penjualan awalnya sebesar 758 unit dengan tingkat pertumbuhan 55%
setiap tahun, dan batas jenuh penjualan 1.777.
Langkah – Langkah Pengerjaan Menggunakan Software EC-Math:
1. Buka software Ec-Math, kemudian pilih materi Transedental
MATEMATIKA EKONOMI 2 TRANSENDENTAL
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 101
2. Pilih menu Transedental, kemudian klik Transedental
3. Pilih menu Kurva Gompertz, kemudian masukan angka yang terdapat pada soal
ke dalam software, klik hasil untuk melihat jawaban nya.
Gambar 4.3 Hasil Perhitungan Kurva Gompertz
2.4 KURVA BELAJAR
Kurva belajar merupakan bagian penerapan ekonomi dalam transendental.
Model ini lebih banyak digunakan ke dalam penerapan ekonomi untuk
menggambarkan perilaku produksi dan biaya dalam hubungannya dengan
variabel waktu.
a. Bentuk Dasar
y = m - s𝒆−𝒌𝒙
MATEMATIKA EKONOMI 2 TRANSENDENTAL
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 102
Dimana : m = Batas jenuh y atau y tertinggi yang dapat tercapai k,m,s > 0
b. Perilaku Produksi
Keterangan rumus :
P : Produksi per satuan waktu setelah t satuan waktu
Pm : Kapasitas produksi maksimum per satuan waktu
Ps : Sisa kapasitas produksi pada permulaan kegiatan produksi (pada t=0)
t : Indeks waktu
r : Tingkat pertumbuhan produksi
c. Perilaku Biaya
Keterangan rumus :
C : Biaya total per satuan waktu
Cm : Biaya maksimum yang diperkenankan (anggaran yang disediakan)
per satuan waktu
Cs : Sisa anggaran pada permulaan periode ( pada t = 0)
t : Indeks waktu
r : Persentase kenaikan biaya per satuan waktu
CONTOH KASUS 4
Koperasi karyawan PT. Indosap atau KOPINDOSAP mampu menghasilkan
produksi sebesar 75% dari kapasitas maksimum saat pertama kali berproduksi.
Kepala Bagian memberikan keyakinan bahwa kegiatan produksinya dapat
P = Pm – Ps. 𝒆−𝒓.𝒕
C = Cm – Cs. 𝒆−𝒓.𝒕
MATEMATIKA EKONOMI 2 TRANSENDENTAL
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 103
ditingkatkan 15% setiap bulan. Jika kapasitas produksi maksimum yang
diperkenanan KOPINDOSAP sejumlah 1.555 perbulan, hitunglah besarnya
jumlah produksi perusahaan setelah beroperasi selama 5 bulan!
Penyelesaian :
Diketahui : Pm = 1.555
Ps = 25% ( 1.555) = 388,25
r = 15% = 0,15
t = 5
Ditanya : P5 ?
Jawab :
1) Tanpa menggunakan logaritma
P5 = Pm – Ps x 𝑒−𝑟.𝑡
P5 = 1.555 – 388 x 𝑒−0,15.5
P5 = 1.555 – 388 x 𝑒−0,75
P5 = 1.555 – 388 ( 0,4723)
P5 = 1.555 – 183,2524
P5 = 1.371,7476 ≈ 1.371
2) Dengan menggunakan logaritma natural
P5 = 1.555 – 388 x 𝑒−0,15.5
P5 = 1.555 – 388 x 𝑒−0,75
Ln P5 = 1.555 – 388 (-0,75 ln e )
Ln P5 = 1.555 – 388 ( -0,75 x 1 )
Ln P5 = 1.555 – 388 ( anti ln -0,75 )
Ln P5 = 1.555 – 388 (0,4723)
P5 = 1555 – 183,2524
P5 = 1.371,7476 ≈ 1.371
MATEMATIKA EKONOMI 2 TRANSENDENTAL
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 104
Analisis:
Dengan kapasitas produksi maksimum sebesar 1.555 unit perbulan dan
peningkatan produksi 15% setiap bulannya, maka jumlah produksi yang dihasilkan
perusahaan setelah beroperasi selama 5 bulan adalah 1.371 unit.
Langkah – Langkah Pengerjaan Menggunakan Software EC-Math:
1. Buka software Ec-Math
2. Pilih menu Transedental, klik Transedental kemudian pilih Model Kurva Belajar
3. Pilih mencari P, kemudian masukkan angka yang diketahui pada soal ke dalam
software klik hasil untuk melihat jawaban.
Gambar 4.4 Hasil Perhitungan Kurva Belajar
Catatan:
Untuk model kurva belajar dalam mencari unit produksi, maka hasil akhir nya
tidak dilakukan pembulatan angka, karena unit produksi berkaitan dengan benda
yang hanya dihitung barang yang sudah jadi saja.
MATEMATIKA EKONOMI 2 DAFTAR PUSTAKA
LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 105
DAFTAR PUSTAKA
A-Arif, M. Nur Rianto. 2013. Matematika Terapan Untuk Ekonomi. Jakarta:
Pustaka Setia.
Dowling, Edward T. Matematika Untuk Ekonomi. Erlangga.
Dumairy. 2012. Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta:
BPFE-Yogyakarta.
Kalangi, Josep Bintang. 2015. Matematika Ekonomi dan Bisnis. Jakarta: Salemba
Empat.
Kustituanto, Bambang. 1994. Seri Diktat Kuliah, Matematika Ekonomi. Jakarta:
Penerbit Gunadarma.
Lab Manajemen Dasar. Modul Matematika Ekonomi 2 ATA 2016/2017.
Nugroho, Yulianto, Ferdinand D. Saragih, dkk. 2015. Matematika Ekonomi dan
Bisnis. Rajawali Press.
Sessu, A. 2014. Pengantar Matematika Ekonomi. Jakarta: Bumi Aksara.
www.mathworld.wolfram.com/TranscendentalFunction.html