Embed Size (px)
Citation preview
PERSAMAAN DIFFERENSIAL
Banyak masalah dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dimodelkan dalam
persamaan diferensial. Untuk menyelesaikannya masalah tersebut kita perlu menyele-
saikan pula persamaan diferensialnya. Dalam bab ini persamaan diferensial yang diberi-
kan dibatasi pada persamaan diferensial tingkat satu khususnya sampai persamaan dife-
rensial eksak.
Pengertian Persamaan Diferensial
Secara matematis, persamaan differensial adalah persamaan yang didalamnya
terdapat turunan-turunan. Secara fisis, persamaan differensial adalah persamaan yang
menyatakan hubungan antara turunan (derivative) dari satu variabel tak bebas terhadap
satu/lebih variabel bebas.
Banyak permasalahan dalam berbagai bidang teknik, fisika maupun bidang –
bidang kehayatan yang dapat dimodelkan ke dalam bentuk persamaan diferensial.
Berikut diberikan beberapa contoh fenomena di alam yang dapat dimodelkan
dalam bentuk persamaan diferensial.
Fenomena Persamaan Diferensial
Peluruhan zat radioaktif, dengan m = massa zat, t = waktu, dan k adalah
konstanta pembanding
Hukum Newton tentang
gerak
F m , dengan F gaya, m massa benda, s
jarak, dan t = waktu.
Model logistik menurut
Verhulst
, dengan P besar populasi, t waktu,
dan a, b konstanta.
Laju perubahan tekanan
uap suatu zat
, dengan P tekanan uap dan T suhu.
Model ayunan (bandul)
sederhana
, dengan sudut perpindahan bandul,
g konstanta gravitasi, dan l panjang tali bandul
Berdasarkan banyaknya variabel bebas, Persamaan Differensial dapat dibedakan
menjadi dua macam, yaitu:
1. Persamaan Differensial Biasa, yaitu persamaan differensial yang mengandung
hanya satu variabel bebas
Contoh : 1.
2.
3. 4.
2. Persamaan Differensial Parsial, yaitu persamaan differensial yang mengandung
lebih dari satu variabel bebas.
Contoh : 1.
2.
Definisi : Tingkat (Ordo) suatu PD adalah tingkat turunan tertingi yang terlibat dalam
PD tersebut.
Derajat (degree) suatu PD adalah pangkat dari turunan ordo tertinggi jika PD
tersebut ditulis sebagai polinomial dalam turunan.
Contoh :
1. PD tingkat 1 derajat 1
2. PD tingkat 2 derajat 1
3. PD tingkat 2 derajat 2
4. PD tingkat 2 derajat 2
Definisi :Suatu persamaan yang tidak lagi memuat turunan dan memenuhi satu persa-
maan differesial disebut penyelesaian persamaan differensial.
Contoh : Persamaan merupakan selesaian dari PD:
sebab dan sehingga .
Penyelesaian suatu persamaan diferensial dibedakan menjadi 2 yaitu :
a. Penyelesaian Umum Persamaan Differensial (PUPD), adalah selesaian PD yang
masih memuat memuat konstanta penting (konstanta sebarang).
b. Penyelesaian Partikulir/Khusus Persamaan Differensial (PPPD/PKPD), adalah
selesaian PD yang diperoleh dari PUPD dengan mengganti konstanta penting
dengan konstanta yang memenuhi syarat awal atau syarat batas.
Contoh :
PD ditulis sehingga .
Jika kedua ruas diintegralkan, diperoleh sehingga .
Persamaan terakhir diubah bentuk menjadi .
Dengan mengintegralkan kembali kedua sisi diperoleh PUPD : , dengan
C1 dan C2 konstanta sebarang.
Jika PD tersebut memenuhi y 1 untuk x 0 dan y 4 untuk x 1 akan diperoleh C1 =
3 dan C2 = 1. Diperoleh PPPD : y = 3x + 1.
Persamaan Differensial Terpisah Dan Mudah Dipisah
Bentuk Umum PD dengan variable terpisah :
f(x) dx + g(y) dy = 0
Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh PUPD :
Contoh: Selesaikan PD:
1. x3dx + (y 1)dy = 0
2. ex dx +
Penyelesaian :
1. Dengan mengintegralkan kedua ruas , diperoleh PUPD :
. Bentuk terakhir disajikan pula dengan PUPD :
.
2. Dengan mengintegralkan kedua ruas + , diperoleh
+ sehingga PUPD :
Bentuk Umum PD dapat dipisah:
f(x)g(y) dx + p(x)q(y) dy = 0
Penyelesaian PD tersebut adalah membagi kedua ruas dengan g(y) p(x), sehingga
diperoleh
Dengan mengintegralkan didapat PUPD :
Contoh : Selesaikan PD :
1. 4 y dx + 2x dy = 0
2. x2(y + 1) dx + y2 (x – 1) dy = 0
Penyelesaian :
1. Membagi kedua ruas dengan xy, diperoleh . Dengan mengintegralkan
kedua ruas diperoleh PUPD : . Bentuk
terakhir dapat diubah ke bentuk PUPD : . Selanjutnya dapat pula
disederhanakan menjadi PUPD : x4 y2 C.
2. Jika kedua ruan dibagi dengan (y + 1).(x – 1) PD menjadi .
Kedua ruas diintegralkan . Untuk memperoleh hasilnya,
diubah menjadi . Bentuk ini diubah menjadi
,
diperoleh PUPD : .
Untuk selanjutnya penulisan persamaan diferensial dalam bab ini disajikan sebagai :
M(x,y) dx N(x,y) dy 0.
Persamaan Differensial Homogen
Untuk dapat menyelesaikan sebuah persamaan diferensial homogen/non
homogen, terlebih dahulu harus difahami pengertian fungsi homogen.
Fungsi dikatakan homogen berderajat n, jika memenuhi
, dengan suatu konstanta.
Contoh :
1. Fungsi merupakan fungsi yang homogen berderajat 2, sebab
=
=
=
2. Fungsi merupakan fungsi homogen berderajat 1, sebab
=
=
3. Fungsi bukan fungsi homogen sebab
=
Persamaan Differensial dikatakan suatu PD
homogen jika dan masing-masing merupakan fungsi homogen
berderajat sama. Penyelesaian PD homogen dapat dilakukan dengan subtitusi :
y = v x dan
pada persamaan . Dari substitusi ini akan didapatkan PD
dengan variabel x dan v yang dapat dipisah, sehingga dapat dicari penyelesaiannya.
Contoh : Selesaikan PD .
Penyelesaian :
Dapat ditunjukkan bahwa dan merupakan fungsi-fungsi yang homogen
berderajat 3.
Misalkan sehingga
PD menjadi :
Kedua ruas dibagi , diperoleh yang merupakan PD
terpisah. Dengan mengintegralkan diperoleh PUPD: .
Bentuk ini dapat diubah nmenjadi :
Jadi PUPD : , dapat dituliskan sebagai : .
Persamaan Differensial Eksak
Suatu persamaan diferensial tingkat satu derajat satu yang berbentuk :
disebut Persamaan Differensial Eksak, jika dan hanya jika :
Contoh : Selidikilah apakah persamaan diferensial merupakan
persamaan eksak
Penyelesaian :
Karena , makaPD tersebut Eksak.
Penyelesaian Persamaan Diferensial Eksak
Pandang Persamaan , dengan C konstanta sebarang. Differensial
total dari ruas kiri adalah d yaitu :
Karena diferensial ruas kanan adalah dC = 0, diperoleh
Jika bentuk di atas dianalogkan dengan , diperoleh :
dan
sehingga PUPD Eksak : berbentuk .
Akibatnya, penyelesaian PD eksak tersebut dapat diperoleh dari kedua bentuk di atas,
yaitu :
a.
Jika kedua ruas diintegralkan terhadap x, maka
(Catatan : menyatakan bahwa dalam integral tersebut, y dipandang sebagai kon-
stanta, dan g(y) adalah konstanta sebarang hasil pengintegralan yang harus dicari).
Untuk mencari g(y), bentuk F(x,y) di atas didiferensialkan ke-y, yaitu :
atau
Karena , maka sehingga
Karena merupakan fungsi y saja, maka dengan pengintegralan
terhadap y akan diperoleh .
b. Cara lain untuk mencari penyelesaian persamaan (1) adalah dengan mengambil
sehingga
Bentuk di atas dideferensialkan terhadap x untuk mendapatkan g(x), yaitu
atau
Karena , maka
Karena g’(x) adalah fungsi x saja, maka dengan mengintegralkan terhadap x akan
dapat diperoleh g(x).
Contoh : Selesaikan PD :
Penyelesaian : Terlebih dahulu akan diuji apakah PD diatas Eksak/bukan.
Karena , maka PD diatas Eksak. Salah satu cara berikut dapat digunakan
untuk menentukan penyelesaian PD tersebut.
a. Jika diambil , maka
Karena , maka
Jadi PUPD : , dapat pula ditulis .
b. Jika diambil , maka
Karena , maka
Jadi PUPD : , dapat pula ditulis .
Aplikasi PD Dalam Bidang Kehayatan
Berikut diberikan beberapa contoh kasus yang melibatkan model persamaan
diferensial.
1. Masalah peluruhan zat radioaktif
Zat radioaktif meluruh dengan memancarkan radiasi secara spontan. Jika m(t)
adalah massa zat yang tersisa pada saat t, m0 adalah massa awal zat, maka laju
peluruhan relative terhadap massanya bernilai konstan, yaitu
dengan k konstanta.
Oleh karena itu laju perubahan massa zat m terhadap waktu t dapat dinyatakan
dengan
Persamaan diferensial ini dapat dituliskan pula sebagai :
Dengan pengintegralan diperoleh : .
Pada saat awal (t 0) massa zat adalah m0, sehingga . Jika disubstitusikan
pada hasil pengintegralan diperoleh
Yang dapat ditulis dalam bentuk : .
Para ahli fisika menyatakan laju peluruhan dalam waktu – paruh, yaitu waktu yang
dibutuhkan oleh zat untuk meluruh sampai separonya.
2. Bunga majemuk kontinu.
Misalkan modal $ 1000 ditabung dengan bunga 6 %, dihitung pertahun. setelah 1
tahun tabungannya bernilai $ 1000 (1,06) = $ 1060, setelah 2 tahun bernilai $ (1000
(1,06)) 1,06 = $ 1123,60, dan setelah t tahun bernilai $ 1000 (1,06)t.
Secara umum, jika modal sebesar A0 ditabung dengan bunga r, maka setelah t tahun
bernilai : A0(1 + r)t.
Namun demikian, biasanya, bunga dihitung lebih sering, katakanlah n kali
pertahun (misalkan bunga harian, maka dihitung 365 kali pertahun). Pada kasus ini,
dalam setiap periode perhitungan bunga, bunganya adalah r / n dan terdapat n t
periode perhitungan bunga dalam t tahun, sehingga nilai tabungan setelah t tahun
adalah
A(t) = A0
Dapat dilihat bahwa bunga yang dibayarkan semakin membesar bila banyaknya
periode perhitungan bunga (n) bertambah. Jika n (n mendekati tak berhingga),
maka nilai tabungan akan menjadi
A(t) = = = A0
= A0 ert
Jika persamaan tersebut diturunkan terhadap t, diperoleh
yang menunjukkan bahwa dengan bunga majemuk kontinu, laju pertambahan
tabungan sebanding dengan nilai tabungannya.
3. Model pertumbuhan logistik.
Suatu populasi meningkat secara eksponensial pada mulanya, yaitu ketika kondisi
lingkungan masih mendukung perkembangan populasi tersebut. Selanjutnya pertu-
mbuhan populasi tersebut melambat pada akhirnya dan mendekati kapasitas daya
tampungnya karena sumber daya alam yang terbatas. Jika P(t) menyatakan besar
populasi pada saat t, dapat diasumsikan bahwa
, jika P kecil
Persamaan tersebut mengisyaratkan bahwa laju pertumbuhan populasi pada awalnya
hampir sebanding dengan besar populasi. Dalam perkataan lain, laju pertumbuhan
relatifnya hampir konstan, jika populasi kecil. Akan tetapi kita juga ingin
mengungkapkan fakta bahwa laju pertumbuhan relatifnya menurun bila populasi P
meningkat dan bernilai negatif bila P melampaui kapasitas tampung (K). Bentuk
paling sederhana untuk laju pertumbuhan relatif yang mengakomodasi asumsi ini
adalah
, dengan P(0) = P0 menyatakan besar populasi awal dan k
konstanta pembanding
Persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai
, dengan P(0) = P0
Model pertumbuhan populasi tersebut dikenal sebagai model pertumbuhan
logistik. Untuk menentukan penyelesaian PD tersebut diubah ke bentuk
atau ditulis pula
Jika kedua ruas diintegralkan akan diperoleh , disajikan pula
sebagai .
Jika pada saat t 0 besarnya P(0) = P0 , diperoleh sehingga penyelesaian
persamaan diferensial logistik tersebut adalah :
Atau dapat disajikan sebagai
, dengan .
4. Perbandingan pertumbuhan alami dan logistik
Pada tahun 1930–an ahli biologi G.F. Gause melakukan percobaan dengan protozoa
Paramecium dan menggunakan persamaan logistik untuk memodelkan data yang
dihasilkannya. Tabel berikut menunjukkan hasil perhitungan harian untuk populasi
protozoa. Dia menaksir laju pertumbuhan relatif awalnya sebesar 0,7944 dan
kapasitas tampungnya sebesar 64.
T 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
P 2 3 22 16 39 52 54 47 50 76 69 51 57 70 53 59 57
T = waktu (hari), P besar populasi
Model pertumbuhan logistik populasi protozoa tersebut adalah :
, dengan P(0) = 2
Penyelesaian persamaan diferensial tersebut adalah :
P(t) =
Banyaknya populasi protozoa berdasarkan model (dibulatkan hingga bilangan bulat
terdekat) dapat dibandingkan populasi protozoa yang teramati, disajikan pada
tabel berikut.
T 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Pmo 2 3 22 16 39 52 54 47 50 76 69 51 57 70 53 59 57
ma 2 4 9 17 28 40 51 57 61 62 63 64 64 64 64 64 64
T = waktu (hari), P besar populasi , mo = hasil perhitungan (model),
ma = hasil pengamatan
Dari table tertlihat bahwa untuk t 5, model logistik mendekati hasil pengamatan.
Latihan.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8. ( x+2y)dx + (2x + y)dy = 0
9.
10.
11. yang memenuhi y 1 untuk x 1.
12.
13.
13. Manakah yang merupakan PD Eksak ?
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
Selesaikan PD di bawah ini (no 14 18)
14.
15. yang memenuhi y 2 untuk x 0.
16.
17.
18.
