NA_Uvod.pdf

8/22/2019 NA_Uvod.pdf

1/33

Uvod: potrebna predznanja

Numeri cka analizaM. Klaricic Bakula

Listopad, 2008.


2/33

Numericka analiza 2

LITERATURA NA WEB-u:

http://www.pmfst.hr/~milica

http://docs.sun.com/source/806-3568/ncg_goldberg.htmlhttp://web.math.hr/~rogina/2001096/num_anal.pdf

http://www.pmfst.hr/zavodi/matematika/scripta/nummat.pdf



3/33

Numericka analiza 3

1 UvodNumericka analiza je disciplina koja proucava i numericki rjeava matematicke prob-

leme koji se javljaju u znanosti, tehnici, gospodarstvu, itd. Iako se sama disciplinanajcece povezuje s numerickim metodama, treba naglasiti da bez dubljeg poznavanjasamog problema kojeg rjeavamo nije moguce procijeniti je li neka metoda dobra usmislu da daje zadovoljavajuce tocna rjeenja u dovoljno kratkom vremenskom inter-valu.

O problemu kojeg elimo rijeiti treba znati barem sljedece:postoji li njegovo rjeenje i, ako postoji, da li je jedinstveno;

kako se rjeenja (ili rjeenje) ponaaju kada se polazni podaci malo promijene (teorijaperturbacije).



4/33

Numericka analiza 4

Kada se konstruira neka metoda za rjeavanje danog problema, otvara se nekolikopitanja:

problem konvergencije(konvergira li niz dobivenih aproksimacija prema rjeenju);brzina konvergencije (ako niz konvergira kako to radi: linearno, kvadratno, kubno,...);

adaptibilnost metodeza posebna (paralelna, vektorska) racunala;

sloenost metode(broj racunskih operacija, zauzece memorije, prijenos podataka,dohvat operanada,...);

to cnost metode(koliko znacajnih znamenaka izracunatog rjeenja je tocno);

stabilnost metode (ocemu ovisi tocnost dobivenog rjeenja, analiza greaka zaokrui-vanja).



5/33

Numericka analiza 5

2 Pomocni rezultati iz analizeTEOREM. (Teorem o meduvrijednosti) Neka je funkcija f : [a; b] ! Rneprekidna na

konacnom intervalu[a; b] R:Neka su

m= inf axb

f(x) i M= supaxb

f(x)

inmum i supremum funkcijef :Tada za svaki realni broj2[m; M]postoji realni broj2 [a; b]takav da je

f() =:

Posebno, postoje realni brojevixix takvi da vrijedi

m= f(x) i M=f(x) :

TEOREM. (Rolleov teorem) Neka je funkcijafneprekidna na nekom intervalu[a; b]R

:Ako jef(a) =f(b) = 0i akof0

postoji na(a; b) ;onda je za neki2(a; b)ispunjenof0 () = 0:



6/33

Numericka analiza 6

TEOREM. (Teorem o srednjoj vrijednosti) Neka je funkcijaf : [a; b]! R neprekidna nakonacnom intervalu[a; b] Ri derivabilna na otvorenom intervalu(a; b) :Tada postojibarem jedna tocka

2(a; b)takva da je

f(b) f(a) =f0 () (b a) :

TEOREM. (Teorem o integralnoj srednjoj vrijednosti) Neka je funkcija w : [a; b] ! Rnenegativna i integrabilna na konacnom intervalu [a; b] R; te neka je funkcija f :

[a; b]! R neprekidna na[a; b] :Tada postoji tocka2[a; b]takva da vrijediZ ba

f(x) w (x) dx= f()

Z ba

w (x) dx:

Jedan od najvanijih alata u numerickoj matematici je Taylorov teorem. On nam,naime, daje jednostavnu metodu aproksimacije funkcije pomocu polinoma. No da

bismo koristili takav pristup u aproksimaciji promatrana funkcija mora biti dovoljnoglatka.



7/33

Numericka analiza 7

TEOREM. (Taylorov teorem) Neka funkcija f ima neprekidne derivacije do ukljucivoredan+ 1; n2 N0;na intervalu[a; b] R:Ako sux; x02[a; b] ;onda vrijedi

f(x) =pn(x) +Rn+1(x) ;

gdje je

pn(x) =f(x0) +nX

k=1

f(k) (x0)

k! (x x0)

k ;

Rn+1(x) = 1

n!

Z xx0

(x t)n f(n+1) (t) dt=(x x0)n+1

(n+ 1)! f(n+1) () ;

za nekikoji lei izmedu tocakaxix0:



8/33

Numericka analiza 8

Polinom pn nazivamo razvojem u Taylorov red funkcije f u tocki x0:Ako je funkcija fbeskonacno derivabilna polinompnprelazi u red potencija s opcimclanom (x x0)

n ;a zove se Taylorov red. Tako vrijede sljedeci razvoji u Taylorov red:

ex = 1 +x+x2

2!+ +

xn

n!+

xn+1

(n+ 1)!e;

cos x = 1x2

2!+

x4

4!+ + (1)n

x2n

(2n)!+ (1)n+1

x2n+2

(2n+ 2)!cos ;

sin x = xx3

3!+x

5

5! + (1)n1 x

2n1

(2n 1)!+ (1)n x

2n+1

(2n+ 1)!sin ;

(1 +x) = 1 +

1

x+

2

x2 + +

n

xn +

n+ 1

xn+1

(1 +)n+1;

pri cemu tockalei izmedu0 ix:



9/33

Numericka analiza 9

Ponekad je problem izracunati n-tu derivaciju promatrane funkcije, i u nekim se odtakvih slucajevima moemo koristiti vec poznatim razvojima u Taylorov red nekih funkcija.Npr. da bismo razvili u Taylorov red oko nule funkciju zadanu sa

f(x) =ex2

;

iskoristimo vec poznati razvoj eksponencijalne funkcije u Taylorov red oko nule stavlja-jucix2 umjestox. Dobijemo

ex2

= 1 x2 +x4

2! + (1)n

x2n

n! + (1)n+1

x2n+2

(n+ 1)!e;

pri cemu je2

x2; 0



10/33

Numericka analiza 10

Da bismo dobili razvoj funkcijearctgoko nule moemo u red

(1 +x) = 1 +

1x+

2x2 + +

nxn +

n+ 1 xn+1

(1 +)n+1

uvrstiti = 1ix = t2;nakoncega dobijemo

1

1 +t2= 1 t2 +t4 +(1)n t2n +(1)n+1

t2n+2

1 +t2:

Integriranjem ove jednakosti potna [0; x]dobijemo

arctg (x) =x x3

3 +

x5

5 + (1)n

x2n+1

2n+ 1+ (1)n+1

Z x0

t2n+2

1 +t2dt;

dok primjena Teorema o srednjoj vrijednosti daje

Z x

0

t2n+2

1 +t2

dt= x2n+3

2n+ 3

1

1 +

2 ;

zaizmedu0i x:



11/33


Kada funkcija koju promatramo nije derivabilnacesto nam umjesto derivacija te funkcijemogu posluiti njene podijeljene razlike.

DEFINICIJA. Neka sux0; : : : ; xn; n 2 N0;razliciti realni brojevi ifrealna funkcija deni-rana na nekom intervalu koji ih sadri. Podijeljenu razliku n-tog reda funkcije f utockamax0; : : : ; xndeniramo rekurzivno s

f[xi] =f(xi) ; i2 f0; 1; : : : ; ng ;

f[x0; x1; : : : ; xk] =f[x1; x2; : : : ; xk] f[x0; x1; : : : ; xk1]

xk x0; i2 f1; : : : ; ng :

Ako je funkcijaf kputa derivabilna na odgovarajucem intervalu, moe se pokazati davrijedi:

f[x0; x1; : : : ; xk] =f(k) ()

k! ;

pri cemu tockalei izmedu minimuma i maksimuma skupafx0; x1; : : : ; xkg :



12/33


Postoji poopcenje Taylorovog teorema za funkcije vie varijabla, no nas ce zanimatisamo slucaj funkcije dviju varijabla. Najprije oznacimo s L [x0; y0; x1; y1] skup svihtocaka na pravcu odredenom tockama(x

0; y

0)i (x

1; y

1) ;a nalaze se izmedu tih tocaka

(krace kaemo da jeL [x0; y0; x1; y1]segment izmedu tih dviju tocaka).

TEOREM. (Taylorov teorem za funkciju dviju varijabla) Neka su(x0; y0)i(x0+; y0+)dvije tocke u ravnini i neka je funkcijaf : R2 ! R n + 1puta neprekidno diferencijabilnau nekoj okolini segmentaL [x0; y0; x0+; y0+] :Tada je

f(x0+; y0+) = f(x0; y0) +

nXk=1

1k! @@x+ @@yk

f(x; y) x=x0y=y0

+ 1

(n+ 1)!

@

@x+

@

@y

n+1f(x; y)

x=x0+y=y0+

za neki 0 1: Pri tom je (x0+; y0+) neka proizvoljna tocka segmenta

L [x0; y0; x0+; y0+] :



13/33


Dokaz teorema bazira se na Taylorovom teoremu primjenjenom na funkciju F jednevarijable deniranu sa

F(t) =f(x0+t; y0+t) ; t2 [0; 1] :

Naime,Fzadovoljava sve uvjete Taylorovog teorema i vrijedi

F(1) =F(0) +F0 (0)

1! +

F00

(0)

2! + +

F(n) (0)

n! +

F(n+1) ()

(n+ 1)!

za neki0 1:Uocimo da je

F (0) = f(x0; y0) ; F(1) =f(x0+; y0+) ;

F0 (t) = @f(x0+t; y0+t)

@x +

@f(x0+t; y0+t)

@y

=

@

@x+

@

@y

f(x; y)

x=x0+t

y=y0+t:



14/33


Prisjetimo se da je npr.

@

@x+

@

@y2

f(x; y) =2@2f(x; y)

@x2 + 2

@2f(x; y)

@x@y +2

@2f(x; y)

@y2 ;

a po analogiji s razvojem k-te potencije binoma se onda denira i

@

@x+

@

@y

kf(x; y) :

Oznaka x=x0y=y0

oznacava da se sve prisutne parcijalne derivacije izvrednjavaju u tocki(x0; y0) :



15/33


PRIMJER. Odredimo razvoj funkcijefzadane izrazom

f(x; y) =x

yoko tocke(x0;y0) = (1; 2)do ukljucivoclana odredenog sn = 1:



16/33


RJEENJE. Imamo=x 2i =y 1;pa je

x

y = f(2; 1) +

@f(2; 1)

@x +

@f(2; 1)

@y

+1

2

2

@2f(x; y)

@x2 + 2

@2f(x; y)

@x@y +2

@2f(x; y)

@y2

x=y=

= 2 + (x 2) 1 + (y 2) (2)

+1

2

(x 2)2 0 + 2 (x 2) (y 1)

1

2 + (y 1)2

2

2

= x 2y+ 2 1

2(x 2) (y 1) + 2

3(y 1)3 ;

pri cemu je tocka (; ) iz segmenta L (2; 1; x; y) : Ako je (x; y) blizu (2; 1) ; onda jeL (2; 1; x; y)kratak, pa je i tocka(; )blizu tocke(2; 1)i vrijedi

x

yx 2y+ 2:

U stvari, graf funkcijez = x2y+ 2je ravnina tangencijalna grafu funkcijez =x=yu

tocki(2; 1; 2) :



17/33


3 Pomocni rezultati iz algebreUvedimo najprije osnovne oznake.

S Rn; n 2 N;oznacitcemo skup svih jednostupcanih realnih matrica (koje jo nazivamoi realnim vektorima)

Rn =

8

Documents

NA_Uvod.pdf