İÇİNDEKİLER - ALTIN NOKTA...= 3n2 + 4n + 1 dir. Basamak ve Taban Bir doğal sayının rakamlarının sayıda bulunduğu yere basamak, rakamların bulundukları basamaklara göre

İÇİNDEKİLER

Bölüm 1: SAYILAR……………………………………………..………………….. 7

Bölüm 2: ÇARPANLARA AYIRMA…………………………………………… 73

Bölüm 3:ORAN ORANTI VE PROBLEM ÇÖZÜMLERİ….....………… 95

Bölüm 4: MODÜLER ARİTMETİK………………………………….......….. 123

Bölüm 5: POLİNOMLAR…………………………………………………......… 145

Bölüm 6: DİZİLER………………………………………………………….......... 161

Bölüm 7: 2.,3. DERECEDEN DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER 177

Bölüm 8: DENKLEM ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ………………………….. 205

Bölüm 9: SONLU MATEMATİK…………………………………………...... 227

Bölüm 10: GEOMETRİ…………………………………………………........… 285

Bölüm 11: ALIŞTIRMALARIN ÇÖZÜMLERİ………………………..…. 387

Bölüm 12: DENEMELER…………………………………………………....… 497

DENEME SINAVLARI CEVAP ANAHTARI.............……………........... 552

BÖLÜM 1

SAYILAR

7

Sayılar

8ALTIN NOKTA YAYINEVİ

Rakam

Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir.

{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } kümesinin elemanları onluk sayma sisteminin rakamlarıdır.

Sayı

Rakamların bir çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşturulan ifadeye sayı

denir.

Sayı Kümeleri

1. Doğal Sayılar

N = { 0, 1, 2, 3, … } kümesine doğal sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına

da doğal sayı denir.

N = { 0, 1, 2, 3, … } kümesi neden doğal sayılar şeklinde adlandırılmıştır?

Bazı matematikçiler 0 (sıfır)ı doğal sayı kabul etmezler, neden?

2. Sayma Sayıları

N+ = { 1, 2, 3, … } kümesine sayma sayıları kümesi ve bu kümenin her bir elemanına

da sayma sayısı denir.

3. Tam Sayılar

Z = { …, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, … } kümesine tam sayılar kümesi ve bu kümenin her bir

elemanına da tam sayı denir.

Z+ = { 1, 2, 3, … } kümesine pozitif tam sayılar

Z– = { …, – 3, – 2, – 1 } kümesine negatif tam sayılar kümesi denir.

0 (sıfır) bir tam sayıdır, fakat pozitif ya da negatif değildir. Yani işaretsizdir. O halde,

Z = Z+ ∪ Z – ∪ {0} dır.

4. Rasyonel Sayılar

a ve b birer tam sayı ve a ile b aralarında asal olmak üzere b ≠ 0 için şeklinde

yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir.

Q =

5. İrrasyonel Sayılar

Rasyonel olmayan sayılara irrasyonel sayı denir.

Qı = { şeklinde yazılamayan sayılara denir }

Sayılar

9 ALTIN NOKTA YAYINEVİ

birer irrasyonel sayıdır.

sayı doğrusu üzerinde vardır. Fakat yerini rasyonel sayılar gibi tam olarak göstere-

meyiz. Onun için bu sayılara irrasyonel sayılar denir.

6. Reel (Gerçek) Sayılar

Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi olan kümeye reel

(gerçek) sayılar kümesi denir.

Reel sayılar kümesi : R = Q ∪ Q′ şeklinde gösterilir.

Tam Sayı Çeşitleri

n ∈ Z olmak üzere, 2n ifadesiyle belirtilen sayılara çift sayı, 2n – 1 veya 2n + 1 ifade-

siyle belirtilen sayılara tek sayı denir. Tek sayılar T, çift sayılar Ç ile gösterilmek üzere;

T ± T = Ç T . T = T n ∈ Z+

T ± Ç = T T . Ç = Ç Tn = T

Ç ± Ç = Ç Ç . Ç = Ç Çn = Ç

Örnek

1 den 15 e kadar (15 dahil) olan sayıların çarpım tablosunda 225 çarpım bulunmaktadır.

Bu çarpımlardan kaç tanesi çifttir?

A) 113 B) 112 C) 146 D) 161 E) Hiçbiri

Çözüm (Cevap D)

{ 1, 2, 3, …, 15 } kümesinin 8. elemanı tektir. Buna göre 225 çarpımdan 8.8 = 64 tanesi

tektir. Çünkü T . T = T, T . Ç = Ç, Ç . Ç = Ç tir.

O halde 225 çarpımdan 225 – 64 = 161 tanesi çifttir.

Örnek

a bir tam sayı olmak üzere, aşağıdakilerden hangisinin sonucu daima tek sayıdır?

A) a2 + a B) a(a2 – 1) C) a2 + a + 2 D) a2 + a + 1 E) Hiçbiri

0

1

1

Sayılar


Çözüm (Cevap D)

a bir tam sayı ise a2 + a = a (a + 1) olup ardışık iki tam sayının çarpımı her zaman çift

sayıdır.

a(a2 – 1) = a(a – 1) (a + 1) = (a – 1) a (a + 1) olup, ardışık üç sayının çarpımı daima çift

sayıdır. a2 + a + 2 yine çift sayıdır. a2 + a çift sayı olacağından, a2 + a + 1 tek sayıdır.

Örnek

İki basamaklı üç farklı doğal sayının toplamı kaç farklı değer alır?

A) 300 B) 270 C) 262 D) 261 E) 162

Çözüm (Cevap C)

Üç farklı iki basamaklı doğal sayının toplamının alabileceği en küçük değer

10 + 11 + 12 = 33 tür. 33 ten büyük her değer 97 + 98 + 99 = 294 e kadar yazılabilir.

O halde, iki basamaklı üç farklı doğal sayının toplamı 294 – 33 + 1 = 262 farklı değer alır.

Örnek

Toplamları 167 olan iki basamaklı dört farklı sayıdan en büyüğü kaç farklı değer alır?

A) 55 B) 56 C) 90 D) 91 E) 92

Çözüm (Cevap B)

İki basamaklı üç farklı sayı 10, 11, 12 olduğunda en büyük olan dördüncü sayı

167 – 33 = 134 olup üç basamaklı olduğundan, dört sayıdan en büyük olanı 99 olabilir.

İki basamaklı dört sayıdan en büyüğünün alabileceği en küçük değer ise, 40, 41, 42, 44

ten 44 tür. Buna göre { 44, 45, 46, …, 99 } kümesinin eleman sayısı 56 dır.

Örnek

α1, α2, α3, …, α19 sayıları 1, 2, 3, …, 19 sayılarının farklı dizilişleri olsun.

(α1 – 1)(α2 – 2) … (α19 – 19) çarpımının çift sayı olduğunu gösterelim.

Çözüm

{ 1, 2, 3, 4, …, 19 } kümesinin 19 elemanından 10 tanesi tek, 9 tanesi çifttir. 9 tek

ile 9 çift farklı şekilde gelse bile çarpanlardan bir tanesi kesin T – T = Ç olacaktır. O halde

(α1 – 1) (α2 – 2) … (α19 – 19) çarpımı çifttir.

Sayılar


Pozitif ve Negatif Sayılar

Sıfırdan büyük tam sayılara pozitif tam sayılar, sıfırdan küçük tam sayılara negatif tam sayılar

denir. Buna göre;

1. a > 0 ve b > 0 ise,

a + b > 0, a.b > 0 ve > 0

2. a < 0 ve b < 0 ise,

a + b < 0, a.b > 0 ve > 0

3. a > 0 ve b < 0 ise,

a.b < 0 ve < 0

4. a > 0 ve n ∈ R ise an > 0

5. a < 0 olmak üzere,

n tek (tam) sayı ise, an < 0

n çift (tam) sayı ise, an > 0

6. x ∈ R ve n ∈ Z ise x2n ≥ 0

Örnek

x ve y gerçek sayılar olmak üzere; (x + y – 4)2 + (y – 1)2 = 0 olduğuna göre, x – y farkı

kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Çözüm (Cevap B)

(x + y – 4)2 + (y – 1)2 = 0 ise x + y – 4 = 0 ve y – 1 = 0 olmalıdır. Buna göre, y = 1

ve x = 3 tür. O halde, x – y = 3 – 1 = 2 dir.

Örnek

1 + 2 + 3 + ... + n = olduğunu gösterelim.

Sayılar


Çözüm

1 + 2 + 3 + 4 + ... + n – 1 + n = A

n + n – 1 + n – 2 + n – 3 + ... + 2 + 1 = A

tersten yazıp taraf tarafa topladığımızda, her iki terimin toplamı n + 1 olup, n tane

n + 1 in toplamı n(n + 1) dir. Bu toplam;

2A = n(n + 1) olduğundan olur.

Örnek

1 + 3 + 5 + ... + 2n – 1 = n2 olduğunu gösterelim.

Çözüm

1 + 3 + 5 + ... + 2n – 1 toplamına tek terimlerden sonra çift sayıları ekler çıkartırsak

1 + 3 + 5 + ... + 2n – 1=1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 2n – 1 + 2n– 2 – 4 – 6 – ... – 2n

= – 2( 1 + 2 + 3 + ... + n )

= n( 2n + 1 ) –

= 2n2 + n – n2 – n = n2 bulunur.

Ardışık Sayılar

Belli bir kurala göre ard arda gelen sayı dizilerine (örüntüye) ardışık sayılar denir.

n bir tam sayı olmak üzere,

Ardışık tam sayılar; ..., n, n + 1, n + 2, ...

Ardışık çift sayılar; ..., 2n – 2, 2n, 2n + 4, ...

Ardışık tek sayılar; ..., 2n – 1, 2n + 1, 2n + 3, ...

7 nin katı olan ardışık sayılar; ..., 7n – 7, 7n, 7n + 7, 7n + 14, ...

Örnek

r ≠ 1 için,

1 + r + r2 + r3 + ... + rn–1 = olduğunu gösterelim.

Sayılar


Çözüm

1 + r + r2 + r3 + ... + rn–1 toplamına T deyip, bu toplamı önce –1 ile daha sonra r ile

çarpıp taraf tarafa toplayalım. Yani,

Not

2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1),

,dir.

Örnek

1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 100.101 toplamını bulalım.

Çözüm

1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 100.101=1(1 + 1) + 2(1 + 2) + 3(1 + 3) + .... + 100(1 + 100)

= 1 + 12 + 2 + 22 + 3 + 32 + ... + 100 + 1002

= 1 + 2 + 3 + ... + 100 + 12 + 22 + 32 + ... + 1002

= = 5050 + 50.101.67 = 343 400 bulunur.

Not

r : ilk terim

n : son terim

x : artış miktarı

olmak üzere, bir aritmetik dizinin terimleri

r + (r + x) + (r + 2x) + ... + n

olmak üzere, bu dizideki terim sayısı dir.

Sayılar


Buna göre bu dizinin terimleri toplamı

r + (r + x) + (r + 2x) + ... + n = dir.

Örnek

1 den n ye kadar olan n tane doğal sayının kareleri toplamı,

T = 12 + 22 + 32 + ... + n2 dir.

Bu n tane doğal sayıdan her biri 1 arttırıldığında T kaç artar?

Çözüm

T nin her bir terimindeki n doğal sayısının bir arttırılmasıyla oluşan toplam A olsun.

Örnek

1 + 3 + 5 + ... + 2n – 1 = n2 olduğuna göre,

(2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) + ... + (4n + 1)

toplamını n cinsinden hesaplayalım.

Çözüm

2n + 1 + 2n + 3 + ... + 2n + 2n + 1=

= (n + 1)2 + (n + 1)2n = n2 + 2n + 1 + 2n2 + 2n

= 3n2 + 4n + 1 dir.

Basamak ve Taban

Bir doğal sayının rakamlarının sayıda bulunduğu yere basamak, rakamların bulundukları

basamaklara göre yer aldığı değere basamak değeri, rakamın kaç birlikten meydana

geldiğini gösteren değere de bu rakamın sayı değeri denir.

Sayının gruplandırılarak sayılmasına taban denilir. Günlük hayatta sayarken gruplandırmayı

10’a göre yaptığımızda, buna onluk taban veya onluk sayma sistemi deriz.

Sayılar


Örnek

Onluk sayma sisteminde 2307 sayısının rakamlarının basamak ve sayı değerleri,

2307 Basamak değeri Sayı değeri

7x1 = 7 7x1 = 7

0x10 = 0 0x1 = 0

3x100 = 300 3x1 = 3

2x1000 = 2000 2x1 = 2

Örnek

Tahtaya soldan sağa doğru yazılı k tane rakamdan her seferinde 3 ü hariç diğerleri

silinerek tüm üç basamaklı sayılar elde edilebiliyorsa, k en az kaç olmalıdır?

A) 19 B) 20 C) 29 D) 30 E) 59

Çözüm (Cevap C)

Tüm üç basamaklı sayıları elde etmek için “0” hariç her rakam en az üçer defa yazılmalıdır.

111, 999 u elde etmek için her rakam en az üçer defa yazılıyor. Fakat 000 şeklinde üç

basamaklı sayı olmadığından “0” rakamını en az iki defa yazmak yeterlidir. O halde k tane

rakamdan her seferinde üçü hariç diğerleri silinerek tüm üç basamaklı sayıları elde etmek

için k en az 29 olmalıdır. Bu yazılış 123...90123...90123...9 şeklindedir.

Çözümleme

Bir sayının rakamlarının basamak değerleri şeklinde yazılmasına bu sayının çözümlenmesi

denir.

(1923)10 = 1.103 + 9.102 + 2.101 + 3.100

100 (bir)ler basamağı

101 (on)lar basamağı

102 (yüz)ler basamağı

103 (bin)ler basamağı

Örnek

2 x 3 + 4 x 5

ifadesinde, uygun şekilde parantezler yerleştirerek birçok farklı değer elde etmek

mümkündür. Yukarıdaki açıklamalar doğrultusunda verilen ifadeden kaç farklı değer elde

etmek mümkündür?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Sayılar


Çözüm (Cevap C)

1. (2 x 3) + (4 x 5) = 26

2. 2 x (3 + 4 x 5) = 46

3. 2 x (3 + 4) x 5 = 70

4. [ (2 x 3) + 4 ] x 5 = 50 değerleri elde edilebilir.

Sayı Tabanı

Sayı tabanı, sayma sisteminin diğer bir adıdır. Aslında sayı tabanı, paketleme sistemidir.

Elimizde birbirinin aynı 34 tane çikolata var. Bu çikolataları her dörtlüyü bir kutu yapacak

şekilde paketleyelim.

42.2 + 41.0 + 2 = (202)4 demektir.

t ≥ 2 ve t sayı tabanını göstermek üzere, t tabanında bir sayı yazılırken kullanılan rakam-

lar t tane olup 0, 1, 2, 3, ..., t – 1 dir.

t tabanındaki beş basamaklı sayının (abcde)t sayısının basamakları ve çözümlenmiş şekli,

(abcde)t = a.t4 + b.t3 + c.t2 + d.t1 + e.t0

t0 (bir)ler basamağı

t1 ler basamağı

t2 ler basamağı

t3 ler basamağı

t4 ler basamağı

t Tabanındaki Bir Sayının 10 Tabanında Yazılması

t tabanındaki bir sayı, bu tabana göre çözümlenip toplandığında elde edilen değer 10 ta-

banındaki karşılığıdır.

10 Tabanındaki Bir Sayının t Tabanında Yazılması

Verilen sayı, a0, a1, a2, ..., an t tabanında birer rakam olmak üzere,

tnan + tn–1an–1 + ...+ t1a1 + t0a0 şeklinde yazıldığında (anan–1an–2...a1a0)t demektir.

Sayılar


Örnek

x, y, z doğal sayılar olmak üzere, x + y + z = 99 denkleminin çözümü olan kaç farklı

(x, y, z) sıralı üçlüsü vardır?

(Sıralı üçlü demek (x, y, z) için (1, 2, 96), (2, 1, 96), (1, 96, 2), (96, 1, 2), (2, 96, 1),

(96, 2, 1) üçlülerinin farklı çözüm sayılmaları demektir.)

A) 99 B) 1010 C) 1100 D) 5050 E) 4950

Çözüm (Cevap D)

a, b doğal sayıları için a + b = 3 denkleminin çözümü olan dört farklı (a, b) sıralı ikilisi

vardır. a + b = n, n ≥ 1 için n + 1 tane (a, b) doğal sayı çözümikilisi vardır. Buna göre,

x + y + z = 99 denkleminde z = 99 için (x, y) çözüm ikilisi 1 tanedir. z = 98 için (x, y)

çözüm ikilisi 2 tanedir. Bu şekilde devam ettiğimizde z = 0 için (x, y) ikilisi 100 tane olup

bunların toplamı,

Buna göre, x, y, z doğal sayıları için x + y + z = n, n ≥ 1 denkleminin çözümü olan

(x, y, z) sıralı üçlülerinin sayısı;

Örnek

246 + 215 + 1 sayısı 2 tabanında yazıldığında kaç basamaklı bir sayı olur?

Çözüm

246 + 215 + 1 = 246.1 + 245.0 + ... + 216.0 + 215.1 + 214.0 + ... + 21.0 + 20.1

= (100...010...1)2 olup 47 basamaklıdır.

Örnek

Bir doğal sayının birler basamağındaki rakam silindiğinde elde edilen yeni sayı ilkine göre

2010 küçülüyor. Buna göre ilk sayının rakamları toplamı kaçtır?

A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 15

Çözüm (Cevap B)

Sayı dört basamaklı bir sayıdır. Buna göre sayımız abcd olsun.

1000a + 100b + 10c + d = 2010 + 100a + 10b + c

Sayılar


900a + 90b + 9c + d = 2010 denkleminden 1< a < 3 olup a = 2 dir.

a = 2 ise 90b + 9c + d = 210

b = 2 ise 9c + d = 30 ve c = d = 3 tür.

Buna göre sayımız 2233 tür.

Örnek

S(n), n doğal sayısının rakamları toplamı olmak üzere,

S(n) + 3n = 2012

eşitliğini sağlayan kaç farklı n sayısı vardır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Çözüm (Cevap B)

Sayı abc gibi üç basamaklı bir sayıdır. Buna göre,

a + b + c + 3( 100a + 10b + c ) = 2012

a, b, c birer rakam olduğundan,

i) 5 < a < 7 ise a = 6 dır. a = 6 için,

301.6 + 31b + 4c = 2012

31b + 4c = 2012 – 1806 = 206

ii) 5 < b < 7 ise b = 6 dır. b = 6 için,

4c = 206 – 186 ve 4c = 20 ise c = 5

olup abc = 665 tir.

Örnek

p(n), n pozitif tam sayısının rakamları çarpımı olduğuna göre,

p(1) + p(2) + p(3) + ... + p(100)

toplamı kaçtır?

A) 2025 B) 2070 C) 2500 D) 4050 E) 5000

Çözüm (Cevap B)

p(1) + p(2) + p(3) + ... + p(10) = 1 + 2 + 3 + ... + 9 + 0 = 45

p(11) + p(12) + p(13) + ... + p(20) = 1.1 + 1.2 + 1.3 + ... + 1.9 + 2.0

= 1.( 1 + 2 + 3 + ... + 9 ) = 45

p(21) + p(22) + p(23) + ... + p(30) = 2.( 1 + 2 + 3 + ... + 9 ) = 2.45 olup,

p(1) + p(2) + p(3) + ... + p(100) için 45 + 1.45+ 2.45 + 3.45 + ... + 9.45 şeklinde bir

genelleme yaparak,

45 + 1.45+ 2.45 + 3.45 + ... + 9.45= 45.( 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 9 )

= 45.46 = 2070 bulunur.

Sayılar


Örnek

işleminin sonucu 3 tabanında yazıldığında, kaç tane basamağı 0 (sıfır) olur?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Çözüm (Cevap A)

= 36 + 35 + 34 + 33 + 32 + 31 + 30 = (1111111)3 tür.

Örnek

x ve 5 sayı tabanları olmak üzere,

(3x1)5 + (123)xtoplamının sonucu 10 luk sistemde kaçtır?

A) 63 B) 106 C) 123 D) 136 E) 145

Çözüm (Cevap C)

(3x1)5 ten x < 5 ve (123)x ten x > 3 olmalıdır. Buna göre, x bir rakam olduğuna göre

x = 4 tür. O halde,

(341)5 + (123)4 sayıları tabanlarına göre çözümlendiklerinde,

= 52.3 + 51.4 + 50.1 + 42.1 + 41.2 + 40.3

= 96 + 27 = 123 bulunur.

Örnek

Bilgisayar klavyesindeki A ve B tuşları ile oynanan bir oyunda, tuşlardan birine bir defa

basma işine bir hamle deniyor. Oyuna başlandığında ekrana bir sayı geliyor. A tuşuna

basıldığında ekrandaki sayı 1 artıyor. B tuşuna basıldığında sayı 2 katı oluyor.

Bu iki tuşu kullanarak, oyuna başladığımızda ekrana gelen sayı 1 ise 200 sayısını elde

etmek için en az kaç hamle gerekir?

A) 5 B) 9 C) 13 D) 17 E) 20

Çözüm (Cevap B)

Soruyu çözmek için 200 den geriye doğru çarpmayı - bölme, 1 arttırmayı 1 eksiltme

olarak gidelim.

200 : 2 = 100

100 : 2 = 50

Sayılar


50 : 2 = 25

25 – 1 = 24

24 : 2 = 12

12 : 2 = 6

6 : 2 = 3

3 – 1 = 2

2 : 2 = 1

şeklinde en az dokuz hamle ile 1 den başlayarak 200 sayısına verilen şartlar doğrul-

tusunda ulaşılabileceği görülmektedir.

Bu sorunun çözümü 200 sayısının 2 tabanında yazımı ile de çözülebilir.

Yine dokuz hamle bulunur.

Örnek

p(n), n pozitif tam sayısının 4 tabanında yazılımındaki rakamların çarpımı olsun (Çarpım

onluk sistemde yapılıyor. Örneğin 31 = (133)4 olup p(31) = 1.3.3 = 9 dur.) Buna göre,

p(1) + p(2) + p(3) + ... + p(254) + p(255)

toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

A) 1496 B) 1554 C) 1572 D) 1596 E) 1624

Çözüm (Cevap B)

255 = (3333)4 olup bu sayı 4 tabanında yazılabilecek en büyük sayıdır. Buna göre, bir

basamaklı sayıların rakamları çarpımı

p(1) + p(2) + p(3) = 6 olur.

İki basamaklı sayılar için “0” bulunanları almaya gerek yoktur. Diğer sayıların rakamları

çarpımı ise,

( 1+ 2 + 3 )( 1 + 2 + 3 )

= 1.1 + 1.2 + 1.3 + 2.1 + 2.2 + 2.3 + 3.1 + 3.2 + 3.3

= 1.6 + 2.6 + 3.6 = 62 olur.

200 2

100

0

2

50

0

2

25

0

2

12

1

2

6

0

2

3

0

2

1

1

Sayılar


Bu şekilde devam ettirdiğimizde,

p(1) + p(2) + p(3) + ... + p(254) + p(255)

= 6 + 62 + 63 + 64 = 6.( 1 + 6 + 36 + 216 ) = 1554 bulunur.

Bölünebilme

a ve b ∈ Z ve b ≠ 0 olmak üzere, a = b.c olacak şekilde bir c ∈ Z varsa b, a yı böler-

veya a, b nin katıdır denir.

a = b.c ise b | a ( b böler a yı) şeklinde gösterilir.

a = b.c + r ve 0 ≤ r <|b|

Özellikler:

a, b, c tam sayılar olmak üzere,

1. a | a (Yansıma Özelliği)

2. a | b ve b | c ise a | c (Geçişme Özelliği)

3. a | b ve b ≠ 0 ise |a| ≤ |b|

4. a | b ve a | c ise ∀ x, y ∈ Z a | bx + cy

5. a | b ve a | b ± c ise a | c

6. a | b ve b | a ise |a| = |b|

7. a | b ve b ≠ 0 ise | b

8. a | b ve c ≠ 0 ancak ve ancak a.c | b.c

Not

0 ≤ r <|b|

• Bölme işleminde r = 0 ( a sayısı b ile tam bölünüyor ) ise b ve c, a sayısının

birer tam sayı bölenidir.

• 1 sayısı her tam sayının bölenidir.

a b

c

r

a b

c

r

Bölünen Bölen

Bölüm

Kalan

Sayılar


• 0 sayısı hiçbir sayıyı bölemez. Kendisi hariç bütün tamsayılara bölünür ve bölüm

0 olur. 0 sayısı bütün sayıların tam katı ( 0 katı )dır.

• A ve B tam sayılarının x ile bölümünden kalanlar sırasıyla m ve n olsun;

i) A.B nin x ile bölümünden kalan ( m.n )

ii) At nin x ile bölümünden kalan mt , t ∈ Z+

iii) A ± B nin x ile bölümünden kalan ( m ± n ) dir.

Burada ( m.n ), m.t ve m ± n değerleri x ten küçük değilse, bu değerler x ile

tekrar bölünerek kalan bulunur.

A=11 sayısının 7 ile bölümünden kalan 4 olduğundan A2 + 6A nın 7 ile bölümünden

kalan 42 + 6.4 = 40 olup, 40 ın da 7 ile bölümünden kalan 5 tir.

Bölme Algoritması

Teorem: a, b ∈ Z ve b > 0 olmak üzere, a = b.q+ r ( 0 ≤ r <|b|) şartlarını sağlayan q

ve r tamsayıları vardır ve tektir.

Örnek

1, 2, 3, ..., 2010 sayılarının 7 ile bölümünden kalanlar toplamı kaçtır?

A) 21 B) 2009 C) 2010 D) 6027 E) 6028

Çözüm (Cevap E)

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sayılarının 7 ile bölümünden kalanlar sırasıyla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0 dır.

Bunaların toplamı da 21 dir. 2010 a kadar sayıları 7 li gruplandırdığımızda

2010 = 7.287 + 1

olup aranan toplam 287.21 + 1 = 6028 dir.

Örnek

Şekildeki A, B, C, D, E sütunlarına A dan başlayarak sırasıyla her bir sütunda bir rakam

olacak şekilde 1, 2, 3, ..., 12, 13, ... sayılarının rakamları yazılıyor.

Buna göre, 2011 sayısını yazarken hangi sütun kullanılmamıştır?

A) A B) B C) C D) D E) E

A B C D E

1

6

0

1

.

.

2

7

1

3

.

.

3

8

1

.

.

.

4

9

1

.

.

.

5

1

2

.

.

.

Sayılar


Çözüm (Cevap C)

Önce “1, 2, 3, ..., 2010, 2011 sayılarını yazarken kaç tane rakam kullanılmıştır?” sorusu-

nun cevabını bulalım. Kullanılan toplam rakam sayısının 5 ile bölümünden kalan sütun nu-

marasını verecektir. 5 ile bölümünden 1 kalanını veren A, 2 kalanını veren B, 3 kalanını

veren C, 4 kalanını veren D ve 5 kalanını veren E sütunundadır. Buna göre 1 basamak-

lılarda 9 rakam, 2 basamaklılarda 90.2 = 180 rakam, 3 basamaklılarda

900.3 = 2700 rakam, 1000 ile 2011 arası (1000 ve 2011 dahil) 1012.4 = 4048 rakam

kullanılmış olup, bunların toplamı 189 + 2700 + 4048 = 6937 olup, bu sayının 5 ile

bölümünden kalan 2 dir. O halde C sütunu kullanılmamıştır.

Bölünebilme Kuralları

1. 2 ile Bölünebilme : Her çift sayı 2 ile bölünür. Tek sayının 2 ile bölümünden

kalan 1 dir.

2. 3 ile Bölünebilme : Rakamları toplamı üçün katı olan sayılar 3 ile bölünür.

3. 4 ile Bölünebilme : Sayının son iki basamağının belirttiği sayı dört ile bölüne-

bilen sayılar 4 ile bölünür.

4. 5 ile Bölünebilme : Birler basamağı 5 veya 0 olan sayılar 5 ile bölünür.

5. 6 ile Bölünebilme : Hem 2 ye hem de 3 e ( 2 ve 3 e) bölünebilen sayılar 6

ile bölünür.

6. 7 ile Bölünebilme :

i) Bir A sayısı için A = 10a + b olsun. a – 2b sayısı 7 ile bölünebiliyorsa A

da 7 ile bölünür.

ii) A = a7a6a5a4a3a2a1 yedi basamaklı sayısı için,

( a1 + 3a2 + 2a3) – ( a4 + 3a5 + 2a6) + a7 = 7k

k ∈ Z ise A sayısı 7 ile bölünür. Genel durum anan–1an–2...a1 için,

( a1 + 3a2 + 2a3) – ( a4 + 3a5 + 2a6) + ( a7 + 3a8 + 2a9) + ... şeklinde

yazılır.

7. 8 ile Bölünebilme : Sayının son üç basamağının belirttiği sayı 8 ile bölünüyorsa

sayı 8 ile bölünür.

8. 9 ile Bölünebilme : Rakamları toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile bölünür.

Sayılar


9. 10 ile Bölünebilme : Birler basamağı 0 olan sayı 10 ile bölünür. Bir sayının

10 ile bölümünden kalan birler basamağındaki rakamdır.

10. 11 ile Bölünebilme : abcde beş basamaklı bir sayı olsun.

a b c d e → ( a + c + e ) – ( b + d ) = 11k

+ – + – +

( k ∈ Z ) ise abcde sayısı 11 ile bölünür.

Genel durum ise A = anan–1...a2a1 sayısı için

(a1

+ a3

+ a5

+ ...) – ( a2

+ a4

+ a6 + ...) = 11k ( k ∈ Z ) ise A sayısı 11 ile bölünür.

11. 13 ile Bölünebilme : A = 10a + b sayısı için a + 4b sayısı 13 ile bölünüyorsa

A sayısı 13 ile bölünür.

A = 10a + b için a – 5b 17 ile

a + 2b 19 ile

a + 7b 23 ile

bölünüyorsa A sayısı sırasıyla 17, 19 ve 23 ile bölünür.

Aralarında Asal Olma

İki sayının 1 den başka ortak pozitif tam sayı böleni yoksa iki sayı aralarında asaldır denir.

7 ile 5, 6 ile 5, 20 ile 21 aralarında asaldır.

Aralarında asal iki sayıdan her birine bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına da

bölünür. Buna göre, Buna göre bir sayının 15 ile bölünebilmesi demek, bu sayının 3 ve

5 ile bölünebilmesi demektir. Çünkü 3 ile 5 aralarında asaldır.

Örnek

Beş basamaklı 1A56B sayısının 36 ile bölümünden kalan 23 olduğuna göre, A kaç farklı

değer alabilir?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Çözüm (Cevap B)

36 ile bölümünden 23 kalanını veren bir sayı 4 ile bölündüğünde 3 kalanını ve 9 ile

bölündüğünde 5 kalanını verir. Buna göre,

1A56B sayısının 4 ile bölümünden kalan 3 ise B = 3, 7 dir.

B = 3 için, 1A563 sayısının 9 ile bölümünden kalan 5 ise A = 8

B = 7 için, 1A567 sayısının 9 ile bölümünden kalan 5 ise A = 4 olur.

Sayılar


Örnek

n ∈ Z olmak üzere, n3 – n ifadesinin 3 ile bölündüğünü gösterelim.

Çözüm

n3 – n = n( n2 – 1 ) = ( n – 1 )( n )( n + 1 )

ardşık üç sayının çarpımı olduğundan bu çarpım 3 ile bölünür.

Not

Ardışık n tam sayının çarpımı n ile bölünür.

Örnek

ppp, qr ve kr sırasıyla üç ve iki basamaklı sayılardır.

p + q + k + r toplamı kaçtır?

A) 16 B) 17 C) 20 D) 21 E) 27

Çözüm (Cevap D)

ppp = 111.p = ( qr )( kr ) ise 111.p = 37.3.p = ( qr )( kr ) dir. 37.3.p = ( qr )( kr ) ise

qr = 37 için q = 3 ve r = 7 olur. Buradan p = 9, k = 2 bulunur. O halde,

p + q + k + r = 21 dir.

Örnek

1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 71.72 toplamının 71 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 37 D) 57 E) 70

Çözüm (Cevap A)

1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 71.72

= 1( 1 + 1 ) + 2( 1 + 2 ) + 3( 1 + 3 ) + ... + 71( 1 + 71 )

= 1 + 2 + 3 + ...+ 71 + 12 + 22 + 32 + ... + 712

=

toplamının 71 in katı olduğu görülmektedir. O halde, verilen toplamın 71 ile bölümünden

kalan “0” dır.

Sayılar


Örnek

x2 – y2 = y – x + 24 denkleminin çözümü olan kaç farklı ( x, y ) doğal sayı ikilisi vardır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Çözüm (Cevap C)

( x – y )( x + y ) – ( y – x ) = 24

( x – y )( x + y + 1 ) = 24

1 24

3 8

24 1

8 3

x, y doğal sayı olduğundan x + y + 1 > 0 olacağından x – y > 0 olmalı. Bu da x > y ve

x + y + 1 > x – y olması demektir.

x – y = 1 ve x + y + 1 = 24 ise x = 12 ve y = 11

x – y = 3 ve x + y + 1 = 8 ise x = 5 ve y = 2 bulunur.

Not

a, b ∈ Z olmak üzere,

x – y = a

x + y + 1 = b

denklem sisteminin tam sayılarda çözümünün olabilmesi için a + b toplamı tek olmalıdır.

Çünkü,

x – y = a

x + y + 1 = b

2x = a + b – 1 dir.

Örnek

Rakamlarının ikisine birden bölünebilen iki basamaklı bütün sayıların toplamı kaçtır?

A) 495 B) 540 C) 630 D) 720 E) 900

Çözüm (Cevap C)

11, 22, 33, ..., 99 şeklindeki iki basamaklı tüm sayılar, rakamlarından ikisine birden bölünme

şartını sağlar. Bunların toplamı,

11 + 22 + 33 + ... + 99 = 11( 1 + 2 + 3 + ... + 9 )

Sayılar


= = 495 tir.

a ≠ b için ab iki basamaklı sayıda a | 10a + b ve b | 10a + b olmalıdır.

Buna göre, a | b ve b | 10a dan b = 2a veya b = 5a olmalıdır. Buradan,

a = 1 için b = 2 veya b = 5

a = 2 için b = 4

a = 3 için b = 6

a = 4 için b = 8

olup bu sayılar ve toplamı 12 + 15 + 24 + 36 + 48 = 135 tir.

Buna göre, soruda verilen şartı sağlayan iki basamaklı sayıların toplamı,

495 + 135 = 630 dur.

Asal Sayı

Kendisinden ve 1 den başka pozitif böleni olmayan 1 den büyük tam sayılara asal sayı

denir.

Asal olmayan 1 den büyük tam sayıya bileşik sayı denir.

• 1 den büyük bütün tam sayıların en az bir asal çarpanı vardır.

• Sonsuz çoklukta asal sayı vardır.

• n bileşik sayısı için, p ≤ ve p | n olacak şekilde bir p asal sayısı vardır.

• Asal sayılar 3k ± 1, 4k ± 1, k ∈ Z p > 3 için 6k ± 1 formundadır. Bu formda

olan her tam sayı asaldır diyemeyiz.

Not

Asal sayıların sonsuz çoklukta olduğunu Yunan matematikçi Euclid (Öklit) ispatladı.

Aşağıda 100 den küçük asal sayıları veren tablo ise Eratosthenes kalburu diye bilinir.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Sayılar


Eratosthenes (M.Ö. 276 - 194) sayıları 1 den 100 e kadar yazdı. 2 nin 1 ve kendisinden

başka böleni olmadığından 2 asal sayıdır. Sonra tablodan 2 nin katları olanları eledi. 3

asal sayıdır. Daha sonra 3 ün katı olan sayıları eledi. Bu şekilde devam ettiğinde 100 den

küçük asal sayıları buldu.

Tabloda 100 den küçük 25 tane asal sayı vardır.

Örnek

347777743 sayısının asal sayı olmadığını gösterelim.

Çözüm

347777743 = 333333300 + 11111110 + 3333333

şeklinde yazarak 1111111 sayısına bölündüğünden ve bölüm 1 den büyük olacağından

asal sayı olamaz.

Örnek

Bir tam sayının karesinin k ∈ N için 4k veya 4k + 1 formunda olduğunu, yani tam kare

bir sayının 4 ile bölümünden kalanın 0 veya 1 olduğunu gösterelim.

Çözüm

n çift sayı ise, n = 2t, t ∈ Z olup n2 = 4t2 dir. Yani 4k formundadır.

n tek sayı ise, n = 2t + 1, t ∈ Z olup n2 = 4t2 + 4t + 1 = 4k + 1 formundadır.

Örnek

{ 102 + 1, 102 + 2, 102 + 3, ..., 106 + 1 } kümesinin kaç elemanı tam kare bir sayıdır?

A) 990 B)997 C) 1000 D) 9990 E) 9997

Çözüm (Cevap A)

102 + 1 = 101 olduğundan 101 den büyük en küçük tam kare sayı 112 dir. Bundan son-

raki tam kare sayılar 112, 122, 132, ... şeklinde (103)2 < (103)2 + 1 olacağından soruda ver-

ilen kümedeki tam kare sayılar;

A = { 112, 122, ..., 10002 } olup s(A) = 1000 – 11 + 1 = 990 dır.

Örnek

p, q, r asal sayılar olmak üzere, 15p + 7pq + qr = pqr eşitliğini sağlayan kaç farklı

(p, q, r) üçlüsü vardır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Çözüm (Cevap C)

15p + 7pq + qr = pqr ise p(15+7.q)=q.r(p-1) dir. p ile p-1 aralarında asal olduğundan

p | q veya p | r dir. Bu da p=q veya p=r demektir.

i) p = q ise,

15p + 7.p2 + p.r = p2.r dir ve burada denklemin her iki tarafı p ile bölünerek

15 + 7p = r (p-1) ve Bu da p=2, p=3, p=23 demektir.

p = 2 için r = 29 ve q=2

p = 3 için r = 18 asal sayı değildir.

p = 23 için r = 8 asal sayı değildir.

ii) p = r ise,15r + 7rq +qr = r2.q ise 15 + 8q = r.q dur. Buradan elde edilir.

q = 3 için r = 13 ve p=3

q = 5 için r = 11 ve p=5 tir.

Buna göre, soruda verilen durumu sağlayan

(p, q, r) = { (2, 2, 29), (11, 5, 11), (13, 3, 13} tür.

Örnek

Kaç farklı p asal sayısı için 2p + p2 ifadesinin sonucu yine bir asal sayıdır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 3’ten çok

Çözüm (Cevap B)

p = 2 için 22 + 22 = 8 bir asal sayı değildir.

p = 3 için 23 + 32 = 17 bir asal sayıdır.

p > 3 için her asal sayı tektir.

21 in 3 ile bölümünden kalan 2

22 in 3 ile bölümünden kalan 1

23 in 3 ile bölümünden kalan 2...

Bir asal sayının 3 ile bölümünden kalan 2 veya 1 olup karesinin 3 ile bölümünden kalan

1 olacağından 2tek + p2 toplamı her zaman 3 ün katı olacağından p > 3 için 2p + p2

ifadesinin asal olmasını sağlayan p asal sayısı yoktur.

Sayılar


Sayılar


Not

1 den büyük her pozitif tam sayının en az bir asal çarpanı vardır.

π(x) : x pozitif reel sayısından büyük olmayan asal sayıların sayısıdır. Buna göre,

π(10) = 4 tür. Gerçekten bu sayılar;1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 sayılarından altı çizili olanlardır.

π(100) = 25 olduğunu Eratosthenes kalburunda görmüştük. π(11) = 5 olduğunu kolayca

söyleyebiiliriz.

Örnek

p, q, r asal sayı olmak üzere, p = q3 – r3 denklemini sağlayan kaç farklı (p, q, r) sayı

üçlüsü vardır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 4’ten çok

Not

x3 – y3 = ( x – y )( x2 + xy + y2 ) ve x3 + y3 = ( x + y )( x2 – xy + y2 )

Çözüm (Cevap A)

p = ( q – r )( q2 + qr + r2 ) dir. p, q, r asal sayı olduğundan q2 + qr + r2 > 1 olacağın-

dan q – r = 1 olmalıdır.

Buna göre, q ve r ardışık iki sayıdır. Ardışık iki sayıdan ikisinin de asal olduğu durum

sadece 2 ile 3 tür. Bu da q = 3 ve r = 2 demektir. Bunlar denklemde yerine yazıldığında

p = 19 bulunur. Bu da verilen denklemi sağlayan ( p, q, r ) = ( 19, 3, 2 ) üçlüsünün bir

tane olması demektir.

Örnek

n ∈ N olmak üzere, p = n4 + 4 için p nin asal sayı olmasını sağlayan n sayısının bir

tane olduğunu gösterelim.

Not

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2, (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 , x2 - y2 =(x – y)(x + y)

Çözüm

n4 + 4 = (n2)2 + (22) = (n2 + 2)2 – 4n

= (n2 + 2)2 – (2n)2 = ( n2 – 2n + 2 )( n2 + 2n + 2 ) dir.

p bir asal sayı ise, n2 – 2n + 2 = 1 veya n2 + 2n + 2 > 1 dir.

Buna göre n2 – 2n + 2 = 1 olmalıdır.

n2 – 2n + 2 = 1 ise n2 – 2n + 1 = 0 ve (n – 1)2 = 0 olup n = 1 dir.

Sayılar


n = 1 için p = 14 + 4 = 5 asal sayıdır.

Buna göre, p = n4 + 4 ifadesinin asal sayı olmasını sağlayan bir tek n değeri vardır.

Not

Bertrand Postulatı;

Her n > 1 doğal sayısı için n < p < 2n eşitsizliğini sağlayan en az bir p asal sayısı vardır.

Faktöriyel Kavramı

1 den n ye kadar olan ardışık sayma sayılarının çarpımına n! denir.

n! = 1.2.3. ... .n

0! = 1

1! = 1

2! = 2

3! = 1.2.3 = 6

4! = 1.2.3.4 = 24

5! = 1.2.3.4.5 = 120

• n! ∈ N olması için n ≥ 0 olmalıdır.

• 10! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10 olup 10! = 28.34.5.7

şeklinde asal çarpanlarının kuvvetlerinin çarpımı olarak yazılır..

Örnek

13! + 1 < p < 13! + 13 eşitsizliğini sağlayan kaç tane p asal sayısı vardır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 13 E) 13!

Çözüm (Cevap A)

13! + 1 < p < 13! + 13 için,

p = 13! + 2 = 2.( 1.3.4...13 + 1) Asal değil

p = 13! + 3 = 3.( 1.2.4.5...13 + 1) Asal değil

p = 13! + 4 = 4.( 1.2.3.5...13 + 1) Asal değil..

p = 13! + 12 = 12.( 1.2.3.4...11.13 + 1) Asal değil

Buna göre, 13! + 1 < p < 13! + 13 eşitsizliğini sağlayan p asal sayısı yoktur.

10 2

5 2

2 2

1

10 3

3 3

1

Sayılar


Bir Sayının Asal Çarpanlarına Ayrılması

p1, p2, p3, ..., pn asal sayılar ve α1, α2, α3, ..., αn ∈ N için,

A = p1α1 . p2

α2 . p3α3 ... pn

αn

şeklindeki yazmaya A doğal sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimi denir.

1. A nın pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı,

p.b.s = (α1 + 1)(α2 + 1)(α3 + 1)...(αn + 1) dir.

2. A nın pozitif bölenlerinin negatifleri de A nın bölenleridir.

3. A nın pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı,

dir.

Örnek

7200 sayısı asal çarpanlarına ayrıldığında, en büyük asal çarpanın üssü kaç olur?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Çözüm (Cevap B)

7200 = 9.8.100 = 9.8.25.4 = 25.32.52

olup en büyük asal çarpan 5 olduğundan üssü 2 dir.

Örnek

Tam kare sayı : Bir tam sayının karesi şeklinde ifade edilebilen sayıya tam kare sayı denir.

(Örneğin; 02, 4 = 22, 625 = 252 tam kare sayılardır.)

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi 1 den büyük tam kare bir sayının pozitif bölenlerinin

sayısı olabilir?

A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) Hiçbiri

Çözüm (Cevap E)

Tam kare bir sayı; p1, p2, p3, ..., pn asal sayılar ve α1, α2, α3, ..., αn ∈ N olmak üzere,

A = p12α1 . p2

2α2 . p32α3 ... pn

2αn

asal çarpanlarına ayrılır. Buna göre, pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı

p = (2α1 + 1)(2α2 + 1)(2α3 + 1)...(2αn + 1) dir.

p nin tüm çarpanları tek sayı olduğundan çarpımın sonucu yine tek sayıdır. Yani 1 den

büyük tam kare bir sayının pozitif bölenlerinin sayısı 1 den büyük tek sayıdır.

Sayılar


Örnek

6 tane pozitif böleni olan en küçük doğal sayının rakamları toplamı kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 9 D) 10 E) 12

Çözüm (Cevap A)

6 = 1.6 = 2.3 şeklinde çarpanlarına ayrılır.

25 = 32, 35 = 243, 22.31 = 12, 21.32 = 18 olup, 6 pozitif böleni olan en küçük sayı 12

olduğundan rakamları toplamı 3 tür.

Örnek

144 000 sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi 8 ile bölünüp 9 ile bölünmez?

A) 20 B) 32 C) 40 D) 42 E) 84

Çözüm (Cevap C)

144 000 = 122.103 = 24.32.23.53 = 27.32.53 = 23. 3 (24.3.53)

şeklinde yazıp 24.31.53 sayısının pozitif bölenlerinin her birini 23 ile çarptığımızda elde

edilen sayılar 144 000 sayısının pozitif tam sayı böleni olup 8 ile bölünür fakat 9 ile bölün-

mez. Bu da (4 + 1)(1 + 1)(3 + 1) = 5.2.4 = 40 demektir.

Örnek

ifadesini tam sayı yapan x tam sayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır?

A) 10 B) 15 C) 18 D) 30 E) 36

Çözüm (Cevap C)

243 = 35 olup her bir böleni tek sayıdır. Bu tek sayı bölenine 3 eklediğimizde çift sayı

olup 2 ile bölünür. Bu da demektir.

Bu durumu,

2x = 1 + 3 ise

2x = –1 + 3 ise

...

Sayılar


şeklinde modellediğimizde, olup aynı şekilde diğer bölenler için de

elde edilecektir.

Burada 12 tane tam sayı böleni olduğundan 12 tane nin toplamı = 18 olacak-

tır.

Örnek

100 elemanlı bir kümenin 50 elemanlı alt kümelerinin sayısının 7 ile bölünmediğini

gösterelim.

Çözüm

100 elemanlı bir kümenin 50 elemanlı alt küme sayısı ∈ N dir.

100! sayısının içinde 16 tane 7 çarpanı ve 50! sayısının içinde 8 tane 7 çarpanı vardır.

∈ N dir.

7 ł A ve 7 ł B olduğundan 100 elemanlı bir kümenin 50 elemanlı alt küme sayısı 7 ile

bölünmez.

Örnek

a, b pozitif tam sayılar olmak üzere,

eşitliğini sağlayan kaç tane b sayısı vardır?

A) 4 B) 6 C) 7 D) 8 E) 14

Çözüm (Cevap D)

b! ve 4! pozitif tam sayılar olduğundan a nın da pozitif olması için b > 3 olmalıdır. b >

3 için b – 3 | 24 olmalıdır. Yani,

24 ün bölenleri kadar, b tam sayısı vardır.

Bunlar, b ∈ { 4, 5, 6, 7, 9, 11, 15, 27 } dir. O halde b pozitif tam sayısı 8 tanedir.

Sayılar


En Büyük Ortak Bölen (Ebob)

a ve b ikisi birden sıfır olmayan tam sayılar olmak üzere, a ve b sayılarından ikisini bir-

den bölen en büyük pozitif tam sayıya a ile b nin en büyük ortak böleni denir. ebob(a, b)

şeklinde gösterilir.

24 ve 48 in ortak bölenleri ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12 ve ± 24 olup, bunların en büyüğü

24 olduğundan ebob(24, 48) = 24 tür.

Not

a ve b ikisi birden sıfır olmayan tam sayıları için d ∈ Z+ olmak üzere,

1. d | a ve d | b

2. ∀ c ∈ Z, c | a, c | b ve c | d ise d sayısına a ile b nin en büyük ortak böleni

denir. ebob (a, b) = d şeklinde gösterilir.

ebob( 15, 81 ) = 3

ebob( 100,5 ) = 5

ebob( 17, 25 ) = 1

ebob( 0, 77 ) = 77

ebob( –6, –15 ) = 3

ebob( –17, 289 ) = 17

Aralarında Asal Olma

a ve b tam sayıları için ebob ( a, b ) = 1 ise a ve b aralarında asaldır denir.

a ve b aralarında asal ise ebob ( a, b ) = 1 dir.

Özellikler

a, b, c tam sayılar ve ebob(a, b) = d olmak üzere,

1.

2. ebob( a+b.c, b) = ebob( a, a.c+b) = ebob(a, b) = d

3. ebob (c.a, c.b) = c.ebob(a, b) = c.d

4. ebob(a, b) = 1 ise (a, b, c) = (a, c)

5. a1, a2, a3, ..., an sayıları 0 dan farklı tam sayılar olmak üzere,

ebob(a1, a2, a3, ..., an) = ebob(an–1, an) dir.

6. ebob(a, b) = 1 ve a | b.c ise a | c dir.

Sayılar


Örnek

ebob(a, b) = 6 ve a + b = 96 olmasını sağlayan kaç farklı (a, b) doğal sayı ikilisi vardır?

A) 5 B) 8 C) 11 D) 16 E) 20

Çözüm (Cevap B)

ebob(x, y) = 1 olmak üzere ebob(a, b) = 6 olduğuna göre, a = 6x ve b = 6y şeklinde

yazabiliriz. Buna göre,

a + b = 6x + 6y = 96 ve x + y = 16 dır.

Bu da (x, y) ∈ { (1, 15), (3, 13), (5, 11), (7, 9), (9, 7), (11, 5), (13, 3), (15, 1)} dir.

Not

α1, α2, α3, ..., αn ve β1, β2, β3, ..., βn ∈ N

a = p1α1 . p2

α2 . p3α3 ... pn

αn ve b = p1β1 . p2

β2 . p3β3 ... pn

βn

şeklinde asal çarpanlarına ayrılıyorsa,

ebob(a, b) = p1min(α1,β1) .p2

min(α2,β2) ....pnmin(αn,βn) dir.

Not

m, n pozitif tam sayıları için mx + ny = ebob(m, n) denklemini sağlayan x, y tam sayıları

vardır.

Örneğin; 2x + 3y = 1 denklemini sağlayan x, y tam sayılarından biri sırasıyla 2, –1 dir.

Örnek

n ∈ Z olmak üzere, ebob(14n + 3, 21n + 1) = 1 olduğunu gösterelim.

Çözüm

(14n + 3, 21n + 1) = ( 14n + 3, –1(14n + 3) + 21n + 1)

= (14n + 3, 7n – 2)

= (14n + 3 – 2(7n – 2), 7n – 2)

= (7, 7n – 2) (7 ł 7n – 2 olduğundan)

= (7, 7n – 2) = 1 dir.

Örnek

, n ∈ N kesrini kısaltan (k ≠ 1) doğal sayısının rakamları toplamı kaçtır?

(AÜMO - 1999)

A) 5 B) 7 C) 9 D) 11 E) 15

Sayılar


Çözüm (Cevap D)

Verilen kesri kısaltan k ≠ 1 sayısı pay ve paydanın en büyük ortak böleni olan,

( 23n + 2, 11n + 3 ) = ( n – 4, 11n + 3 ) = ( n – 4, 47 ) = 47

sayısını bölmelidir. 47 asal ve k ≠ 1 olduğundan k = 47 olmalıdır. O halde 47 nin rakam-

ları toplamı 4 + 7 = 11 cevaptır.

Not

a, b, c birer tam sayı olmak üzere,

ax + by = c

şeklindeki denklemlere iki bilinmeyenli lineer diyafont denklemleri denir.

a, b, c ∈ Z a veya b sıfırdan farklı olmak üzere,

ax + by = c

denkleminin çözüm kümesinin olması için ebob(a, b) = d için d | c olmalıdır. Bu du-

rumda denklemin çözümü olan sonsuz çoklukta (x, y) tam sayı ikilisi vardır. Bu çözüm-

lerden biri (x0, y0) ise k ∈ Z olmak üzere,

dır.

Örnek

abc ve xyx üç basamaklı sayılar olmak üzere,

(abc)2 = abc + (xyx).1000

eşitliği sağlanıyorsa xyx sayısının rakamları toplamı kaçtır?

A) 4 B) 6 C) 7 D) 9 E) 12

Çözüm

(abc)2 – abc = (xyx).1000 eşitliğinden,

abc( abc – 1 ) = xyx.53.23

eşitliği elde edilir. ebob( abc, abc – 1 ) = 1 olacağından, abc ve abc – 1 den biri tek iken

diğeri çifttir. Yani biri 53 e bölünürken diğeri 23 e bölünür fakat 5 e bölünmez. 125, 375,

625, 875 sayılarından komşusu 8 e bölünebilen sayı 375 ve 675 tir.

625.624 = 390 000 ve 376.375 = 141 000

olup xyx sayısı 141 dir. Bu sayının rakamları toplamı da 6 dır.

Sayılar


En Küçük Ortak Kat (Ekok)

a, b ∈ Z olmak üzere a ile b nin ortak katlarından en küçüğüne (k > 0) bu iki sayının

en küçük ortak katı denir. ekok(a, b) veya [a, b] şeklinde gösterilir.

4 ile 6 nın ortak katları; 12, 24, 36, 48, ... şeklinde olup bunların en küçüğü 12 olduğun-

dan ekok(4, 6) = 12 dir.

1. ekok(a, b) = c ise ekok(ta, tb) = tc

2. ebob(a, b) . ekok(a, b) = a.b dir.

Not

a ve b sayılarının asal çarpanlarına ayrılmış şekli,

a = p1α1 . p2

α2 . p3α3 ... pn

αn

b = p1β1 . p2

β2 . p3β3 ... pn

βn

olsun. Buna göre, ekok(a, b) = p1max(α1,β1) .p2

max(α2,β2) ....pnmax(αn,βn) dir.

Örnek

a,b,c pozitif tam sayıları için,

A = 3a + 1 = 5b + 3 = 7c + 5

eşitliği sağlandığına göre, A nın alabileceği üç basamaklı en büyük sayının rakamları

toplamı kaçtır?

A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20

Çözüm (Cevap C)

A = 3a + 1 = 5b + 3 = 7c + 5

eşitliğinde her bir ifadeye 2 eklersek,

A + 2 = 3a + 3 = 5b + 5 = 7c + 7

olur. Buna göre A + 2; 3, 5, 7 ile bölünebilen bir sayıdır. 3, 5 ve 7 ile bölünebilen en

küçük sayı ekok(3, 5, 7) = 105 olacağından, aynı şekilde 3, 5 ve 7 ile bölünebilen üç

basamaklı en büyüksayı da 945 tir.

A + 2 = 945 ise A = 943 bulunur. A nın rakamları toplamı ise 16 dır.

Örnek

ekok(a, b) + ebob(a, b) = a + b + 3 denklemini sağlayan kaç tane (a, b) pozitif tam sayı

ikilisi vardır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Sayılar


Çözüm (Cevap A)

m, n ∈ Z olmak üzere ebob(a, b) = d için a = m.d ve b = n.d ise ebob(m, n) = 1 dir.

Buna göre, ekok(a, b) = m.n.d dir. O halde ekok(a, b) + ebob(a, b) = a + b + 3 dekle-

minden,

m.n.d + d = m.d + n.d + 3

elde edilir. Bu eşitlik,

m.d(n – 1) – d(n– 1) = 3

(n – 1)(m – 1).d = 3

şeklinde düzenlendiğinde; m, n, d ∈ Z+ olduğundan,

d = 1 için

n = 2 ve m = 4 aralarında asal değil

n = 4 ve m = 2 aralarında asal değil

d = 3 için

n = 2 ve m = 2 olup bunlar da aralarında asal olmadığından soruda verilen durumu

sağlayan (a,b) pozitif tam sayı ikilisi yoktur.

Örnek

a, b doğal sayılar olmak üzere, ebob(a, b) = 9 ve ekok(a, b) = 270 olduğuna göre bu

iki sayının toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A) 279 B) 153 C) 117 D) 99 E) 108

Çözüm (Cevap E)

ebob(a, b) = 9 olduğundan ebob(m, n) = 1 olmak üzere, a = 9m ve b = 9n yazılabilir.

ebob(a, b).ekok(a, b) = a.b özelliği kullanılarak 9.270 = 9m.9n eşitliği elde edilir. Bu eşit-

likten m.n = 30 bulunur. Bu da,

m = 1 için n = 30

m = 2 için n = 15

m = 3 için n = 10

m = 5 için n = 6

olup bu sayılar aralarında asaldır. Bu değerleri yerine yazıp kontrol ettiğimizde a + b nin

108 olamayacağını görürüz.

Sayılar


Örnek

ekok(a, b) + ebob(a, b) = a + b + 4 denklemini sağlayan kaç tane (a, b) pozitif tam sayı

çifti vardır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Çözüm (Cevap E)

ebob(a, b) = d olsun. Bu durumda ebob(m, n) = 1 olmak üzere, a = m.d ve b = n.d

yazılabilir. Buna göre, ekok(a, b) = m.n.d olacağından,

ekok(a, b) + ebob(a, b) = a + b + 4

denklemi d + m.n.d = m.d + n.d + 4 olur. Bu denklem d( m – 1)( n – 1) = 4 şeklinde

düzenlenebilir. Bu denkleme göre d = 1, 2, 4 olabilir. Bu durumlar ayrı ayrı incelenerek

çözüme gidilir.

d = 1 için m = 5 ve n = 2 veya m = 2 ve n = 5

d = 2 için m = 3 ve n = 2 veya m = 2 ve n = 3

d = 4 için çözüm olmadığından, problemde verilen denklemin pozitif tam sayı çözümleri;

(5, 2), (2, 5), (4, 6), (6, 4) olarak bulunur. O halde denklemin dört tane pozitif tam sayı

çözümü vardır.

Rasyonel Sayılar

a ve b aralarında asal olmak üzere; a, b ∈ Z, b ≠ 0, şeklinde yazılabilen sayılara ras-

yonel sayı denir.

şeklinde gösterilir. a ya rasyonel sayının payı, b ye ise pay-

dası adı verilir.

1. a ≠ 0 için,

2. tanımsızdır.

3. Basit kesir : Payı paydasından mutlak değerce küçük olan kesre basit kesir denir.

gibi. basit kesirdir.

4. Bileşik kesir : Payı paydasından mutlak değerce büyük veya paydasına eşit olan kesre

bileşik kesir denir. gibi. bileşik kesirdir.

Sayılar


5. Devirli Ondalık Sayı : Bir rasyonel sayı ondalıklı yazıldığında ondalık kısmındaki sayılar

belli bir rakamdan sonra tekrar ediyorsa, bu sayıya devirli ondalık sayı denir.

Örnek

0,1423423423... sayısına karşılık gelen kesri bulalım.

Çözüm

x = 0,1423423423... = denkleminden,

10x = 1,423423... ve 10000x = 1423,423423... elde edilir.

10000x – 10x = 1423,423423... – 1,423423... = 1422

bulunur. Buradan,

bulunur. Genel çözüm yöntemi bu şekilde olan devirli ondalık sayılar için, ondalık kısmına

göre,

şeklinde bir formül de kullanılmaktadır.

Rasyonel Sayılarda İşlemler

1. Toplama ve Çıkarma : Paydalar ekok larına eşitlenir.

2. Çarpma : Paylar paylarla, paydalar paydalarla çarpılır.

3. Bölme : Paydaki kesir aynen yazılır, paydadaki kesir ters çevrilip çarpılır.

Sayılar


İşlem Önceliği

Rasyonel sayılarda işlem önceliği şu şekildedir:

1. Parantezler ve ana kesir çizgileri işleme yön verir.

2. Üslü işlemler varsa yapılır.

3. Çarpma ve bölme işlemleri varsa yapılır.

4. Toplama ve çıkarma işlemleri yapılır. (Çarpma - Bölme, Toplama - Çıkarma kendi

aralarında sıralamaya konulmamıştır.)

Rasyonel Sayılarda Sıralama

1. Paydaları eşit olan pozitif iki rasyonel sayıdan payı büyük olan diğerinden daha

büyüktür.

2. Payları eşit olan pozitif iki rasyonel sayıdan paydası büyük olan diğerinden daha

küçüktür.

3. rasyonel sayıları için ise dir.

Örnek

işleminin sonucu kaçtır?

A) B) C) 861 D) 1722 E) 1

Çözüm (Cevap D)

olup toplamdaki her bir kesrin değeri olduğundan, bulunur.

Sayılar


Örnek

işleminin sonucu kaçtır?

A) 1 B) C) D) E) 2

Çözüm (Cevap A)

bulunur.

Örnek

10 : 9 : 8 : 7 : 6 : 5 : 4 : 3 : 2 : 1 ifadesinin uygun yerlerine parantez(ler) konularak elde

edilebilecek en büyük sayı kaçtır?

A) 504 000 B) 57 600 C) 40 320 D) 44 800 E) 67 200

Çözüm (Cevap D)

bulunur.

Örnek

ifadesini tanımsız yapan x değerleri toplamı kaçtır?

A) 3 B) C) D) E)

Çözüm (Cevap D)

x = 3 için tanımsız olduğundan ifade tanımsız olur.

olup ifade ifadesinde için ifade tanımsız olur.

Sayılar


olup ifadesi için tanımsız olur.

Buna göre ifadeyi tanımsız yapan x değerleri toplamı; bulunur.

Örnek

çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) B) C) D) E)

Çözüm (Cevap E)

a2 – b2 = (a – b)(a + b) iki kare farkından;

bulunur.

Örnek

Yukarıda verilen işlem; m, n pozitif tam sayıları için, şeklinde yazıldığında m + n

toplamı kaç olur?

( m ve n, 1 den başka ortak pozitif böleni olmayan sayılardır.)

A) 35 B) 42 C) 53 D) 64 E) Hiçbiri

Sayılar


Çözüm (Cevap C)

Buradan elde edilir.

O halde m + n = 22 + 31 = 53 tür.

Örnek

n pozitif tam sayısı için,

toplamı bir tam sayı oluyorsa aşağıda n ile ilgili verilen bilgilerden hangisi yanlıştır?

A) n, 5 ile bölünür. B) n, 6 ile bölünür.

C) n, 8 ile bölünür. D)

E) n < 50

Çözüm (Cevap B)

olması için n = 40 olmalıdır. n = 40 olması durumunda “n, 6 ile bölünür”

ifadesi yanlış olur.

Sayılar


Örnek

a, b, c ∈ Z+ ve

olduğuna göre a + b + c toplamı kaçtır?

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

Çözüm (Cevap C)

Buradan a = 3, b = 2 ve c = 4 bulunur. a + b + c = 3 + 2 + 4 = 9 dur.

Gerçek (Reel Sayılar)

Sayı ekseni üzerinde gösterilebilen sayılara gerçek (reel) sayı denir. Gerçek sayılar kümesi

rasyonel ve irrasyonel sayılar kümesinin birleşimidir. R = Q ∪ Qı

Her gerçek sayı, sayı doğrusunun yalnız bir noktasına karşılık gelir. Bu ifadenin karşıtı, sayı

doğrusu üzerindeki her bir noktaya karşılık gelen bir tek reel sayı vardır ifadesi de doğrudur.

Sayı doğrusunun sıfıra göre sağ tarafında bulunan gerçek sayılara pozitif gerçek sayılar, sol

tarafındakilere ise negatif gerçek sayılar denir.

Üslü İfadeler

a bir reel sayı ve n pozitif tam sayı olmak üzere, n tane a nın çarpımı olan,

ifadesine üslü ifade denir. an ifadesinde a ya taban, n ye de üs (kuvvet) denir.

Özellikler

1.

0–1–2–3 1 2 3 4

π

Sayılar


2. Özel durumlar dışında an ≠ n.a

3. a ≠ 0 olmak üzere, a0 = 1 dir.

4. 1n = 1

5. (an)m = an.m = (am)n

6.

7. x ∈ R+ için xn > 0

8. x ∈ R– için x2n > 0 ve x2n+1 < 0

9. (– a)2n = a2n

10. an.bn = (a.b)n , an.am = an+m

11. Üslü denklemler,

a. an = am ise n = m dir. ( a ≠ 0, a ≠ 1, a ≠ –1)

b.

c.

12. n ∈ N+, x, y ∈ R ve x, y ≠ 0 için,

a. 0 < x < y ise xn < xm

b. x > 1 ve n < m ise xn < xm

c. 0 < x < 1 ve n < m ise xn > xm

Örnek

Pınar, 319 un değerini hesap makinesinde doğru olarak 11a2261467 şeklinde hesapladı-

ğına göre a nın değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 6 E) 7

Sayılar


Çözüm (Cevap D)

319 değeri 9 un katıdır. 11a2261467 sayısının rakamları toplamı 30 + a nın 9 un katı ol-

ması için a = 6 olmalıdır.

Örnek

Salih, bilgisayarında tüm doğal sayıların 7 kuvvetlerini yazdırarak 17, 27, 37, ... şeklinde

sıralatıyor. Bu dizilişte kaç sayı 521 ile 256 arasındadır ( 521 ile 256 dahil)?

A) 3 B) 8 C) 121 D) 132 E) Hiçbiri

Çözüm (Cevap D)

521 = (53)7 = 1257

256 = (28)7 = 2567 dir.

Buna göre, 521 ile 256 arasındaki sayılar 1257, 1267, ... , 2567 olup bunların sayısı

256 – 125 + 1 = 132 dir.

Örnek

4a.3b = 324 ve 2b.9a = 144 olduğuna göre, 2a + b toplamı kaçtır?

A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 12

Çözüm (Cevap D)

Verilen iki eşitliği taraf tarafa çarpalım, ( 4a.3b )( 2b.9a ) = 34.24.24.32

ise 62a.6b = 66 eşitliğinden 2a + b = 6 bulunur.

Örnek

a ve b reel sayılar olmak üzere, 5a = 7, 7b = 35 olduğuna göre, oranı kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) E) Hiçbiri

Çözüm (Cevap D)

5a = 7 olduğuna göre, 7b = 35 = 5.7 de 7 = 5a yazarsak,

7b = 5.5a ve 7b = 5a+1

bulunur. 7 = 5a olduğuna göre 7b = 5a.b olup, 5a.b = 5a+1 elde edilir. Buna göre,

dir.

Sayılar


Örnek

a, b ∈ N ve a, b > 1 ise 1 ile 1000 arasındaki sayılardan kaç tanesi ab şeklinde yazıla-

bilir?(1000 dahil)

A) 25 B) 39 C) 40 D) 45 E) 49

Çözüm (Cevap C)

a, b ∈ N ve a, b > 1 olmak üzere, ab ifadesinde 1 < ab < 1000 için 1 < a < 32 ve

1 < b < 10 olur.

22, 23, ... , 29 : 8 adet

32, 33, ... , 36 : 5 adet

52, 53, 54 : 3 adet

62, 63 : 2 adet

72, 73, 102, 103, 112, ..., 312 : 22 adet (82, 92 ,162 , 252 , 272 sayılmıyor)

40 adettir. 4 ün kuvvetleri 2 nin kuvvetlerinde, 9 un kuvvetleri 3 ün kuvvetlerinde,

16 nın kuvveti 2 nin kuvvetinde ve 25 in kuvveti 5 in kuvvetinde geçmektedir.

Örnek

olduğuna göre, 5x kaçtır?

A) 3 B) 5 C) 10 D) 15 E) 20

Çözüm (Cevap D)

olduğuna göre, olup eşitliğinden 5x = 15 bulunur.

Örnek

Kaç farklı n pozitif tam sayısı için, 3n + 81 bir tam sayının karesine eşit olur?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Çözüm (Cevap B)

n ≤ 4 için 3n + 81 sayısı tam kare bir sayı olamaz.

n > 4 için k pozitif tam sayı olmak üzere, n = 4 + k olsun. Buna göre,

3n + 81 = 34+k + 81 = 81(3k + 1)

Sayılar


olur. 81(3k + 1) = a2 şeklinde bir tam kare ise 3k + 1 ifadesi de tam kare olmalıdır.

3k + 1 = t2 olsun. Bu durumda,

3k = (t – 1)(t + 1)

ise t – 1 ve t + 1 değerlerinden ikisi de 3 ün negatif olmayan kuvvetleridir. x ve y doğal

sayıları için k = x + y olmak üzere, t – 1 = 3x ve t + 1 = 3y olsun. Bu durumda,

3y – 3x = 2 ancak ve ancak y = 1 ve x = 0 için sağlanır. Bu da n = k + 4 = 5 demek-

tir.

Örnek

912 – 8 ifadesinin sonucu 9 tabanında yazıldığında elde edilen sayının rakamları toplamı

9 luk sistemde kaçtır?

A) 108 B) 81 C) 18 D) 801 E) Hiçbiri

Çözüm (Cevap A)

rakamlar toplamı (107)9 + (1)9 = (108)9

Örnek

(2 + 1)(22 + 1)(222 + 1)(223 + 1) ... (2299 + 1)

çarpımının sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2999 B) 2299 + 2 C) 22101 – 1 D) 22100 – 1 E) 2299 + 1

Çözüm (Cevap D)

x2 – y2 = (x + y)(x – y) özdeşliğini kullanarak,

A = (2 + 1)(22 + 1)(222 + 1)(223 + 1) ... (2299 + 1) eşitliğinin her iki yanını (2 – 1) ile

çarparsak,

(2 – 1)A = (2 – 1)(2 + 1)(22 + 1)(222 + 1)(223 + 1) ... (2299 + 1)

= (22 – 1)(22 + 1)(222 + 1) ... (2299 + 1)

= (222 – 1)(222 + 1) ... (2299 + 1)...

= (2299 – 1)(2299 + 1) = 22100 – 1 bulunur.

DENEME SINAVLARI CEVAP ANAHTARI

SORU NO DENEME 1 DENEME 2 DENEME 3 DENEME 4 DENEME 5 DENEME 6 DENEME 7 DENEME 8 DENEME 9 DENEME 10

1 D D C D C D D D E C

2 C C D C E A C E D A

3 C C B D C C C D B C

4 D C C C C D A B B C

5 B B A A B D D D A B

6 B D B B B B C D C E

7 D A E B B E B C E A

8 C C E D B C E A C D

9 E D D B E D C D D B

10 B D B C E B B D D D

11 E E C B C E A E C B

12 E A D E C D B E A B

13 C C B B C D C B B A

14 C E E B E C C B A D

15 C D B A C C A E D C

16 D D D D D C B E D E

17 B B C A A E D D B C

18 B C A E C C C C D D

19 C A D B A D E C C B

20 E E D A A E E E A D

21 B E D E D E C C A C

22 C B B A D A C B A B

23 D D B D D B C A A E

24 B E C C A B E A A C

25 B C D B C D B A A A

26 B C B B A B A C B D

27 B B C B A D C B D D

28 A D C C C B B D E B

29 C C A A B C E D D A

30 A E B C C C A B D B

KAYNAKÇA

1. Andreescu T.; Feng Z., 102 Combinatorial Problems from the Training of teh USA IMO Team, Birkhauser. 2002 2. Andreescu T.; An-drica D., An Introduction to Diophantine Equations, GIL publishing House, 2002 3. Andreescu T.; Andrica D., Feng Z., 104 Number The-ory Problems From the Training of teh USA IMO Team, Birkhauser. 2006 4. Engel, A., Problem-Solving Strategies, Problem Books inMathematics, Springer, 1998 5. Çallıalp, F., Sayılar Teorisi, İstanbul, 1999 6. Balcı, M., İleri Matematik 1, Tümay Yayınları, 1996 7. Gürlü,Ö., Meraklısına Matematik, Zambak Yayınları, 2008 8. Rosen, H., Elementary Number Theory and Its Applications, Addison, 1992 9.Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Sınavı Soru Kitapçıkları (1996 – 2011) 10. Ulusal Matematik Olimpiyatı Sınavı Soru Kitapçık-ları (1993 – 2011) 11. Akdeniz Üniversitesi Antalya Matematik Yarışması Soru Kitapçıkları, (1996 – 2011) 12. Şahin, Ramazan; Geometri1, Sürat Yayınları, İstanbul ,1997 13. Sarıgül, Ömer Esfer, Hasan Kılıçaslan; Suavi Tokerler; Geometri 2, MEB, Ankara, 2001 14. Cox-eter, H. S.; S. L. Greitzer; Geometry Revisited, The Mathematical Association of America, Washington, 1987 15. Posamentier, Alfred S.;Charles T. Saldind; Challenging Problems in Geometry, Dover Publications, New York, 1996 16. TITU Andreescu; Zuning Feng, Math-ematical Olimpiads. 1998–1999, Problems and Solutions From Around World, MMA, USA – 1999 17. Matematik Dünyası Dergileri,Türk Matematik Derneği.18. Karakaş, Halil İbrahim; İlham Aliyev, Sayılar Teorisinde Olimpiyat Problemleri ve Çözümleri, TübitakYayınları, Ankara 1996 19. Komisyon, Matematik 2, Fem Yayınları, İstanbul 1995 20. Çavdar, Ali; Algebra I, with Appilacions, Sürat Pub-lications, İstanbul 1997 21. Honsberger, Ross; From Erdos to Kiev, The Mathematical Association of America, Washington 1996 22.Chen, Chuan–Chong; Prenciples and Techniques in Combinatrorics World Scientific Publishing, 1992 23. The Contest Problem Book I,II, III, IV Anual High School Examinations, The Mathematical Association of America 24. Canadian Mathematical Competition Prob-lems; 1992 – 1997 25. American High School Mathematics Examinations (AHSME), 1992 – 2011 26. American Invitational Mathemat-ics Examinations (AIME), 1992 – 2011 27. www.mathlinks.ro

Documents

İÇİNDEKİLER - ALTIN NOKTA...= 3n2 + 4n + 1 dir. Basamak ve Taban Bir doğal sayının rakamlarının sayıda bulunduğu yere basamak, rakamların bulundukları basamaklara göre