NEWTONOV OPĆI ZAKON GRAVITACIJE

• Razvoj ideje o gibanju nebeskih tijela (Ptolomej , Kopernik , Kepler )

• Newtonov opći zakon gravitacije ( izračunavanje masa nebeskih tijela , akceleracija slobodnog pada , sateliti , svemirske brzine )

Klaudije Ptolemej85-166

Najveće djeloMegale sintaxis (Veliki zbornik)

očuvano u arapskom prijevodu kao Almagest

- objedinio rezultate prethodnika

- dao prvu sustavnu raspravu o svim nebeskim gibanjima

- Ptolemejev geocentrički sustav,

utjecajan kao i Aristotelova filozofija

Ptolemejev geocentrični sustav (2. st.)djelo : Almagest

epicikl

deferent

Ptolomaic Model Simulator

Marsova putanja

Zemljina putanja

Nikola Kopernik ( Thorn 1473. – Frauenburg 1543. )

Aristarh (310. - 230. pr. Kr.)

Giordano Bruno, 1600. spaljen

Galileo Galilei (1564. – 1642.)

Planetary Configurations Simulator

Keplerovi zakoni

A2

A1

A1 = A2

1. 2.

3. 32

31

22

21 :: rrTT

Tycho Brahe (1546. – 1601.)

Johannes Kepler (1571. – 1630.)

Johannes Kepler (1571.-1630.)

Iz promatračkih podataka Tycha Brahea izvodi tri zakona:

1. Staze su elipse

2. Konstantnost plošne brzine

3.

Kinematika planetskih gibanja

Elipsa

APSIDE

• apoapsis i periapsis –točke na krajevima velike osi elipse ;

• apoapsis je najdalja točka , a periapsis najbliža točka • afel i perihel - za planete kao Sunčeve satelite• apogej i perigej - za Zemljine satelite ( Mjesec)• apoluna i periluna - za Mjesečeve satelite• apohermij i perihermij – za Merkur• apojovij i perijovij - za Jupiter•  ……

Newtonov opći zakon gravitacije

aa

aa

a

aa

G = 6,67·10-11 N m2 kg-2 – gravitacijska konstanta

221

rmmGF

2

24T

ra

22

22

21

12

214

:4

:T

rT

raa

22

22

1

121 ::

Tr

Tr

aa

32

31

22

21 :: rrTT

22

21

32

23

1

121

1:1::rrr

rrr

aa

2

1r

a

2

1r

F

F mpF ms

2rmm psF

Opći zakon gravitacije

Primjer 1: Izračunajmo masu (M) i srednju gustoću () Zemljeiz njezina polumjera (R = 6,4·106 m) i akceleracije slobodnog pada na njezinoj površini (g = 9,81 m s-2).

Rješenje:

R = 6,4·106 mg = 9,81 m s-2

M = ?

F = mg, 221

RmmGF

2RmMGmg

2-1-311

26-22

s kg m 1067,6)m 104,6(s m 81,9

G

gRM

M = 6·1024 kg

VM

334 RV ,

36

24

3 m) 10(6,44kg 1063

43RM

= 5 467 kg m-3

= ?

Primjer 2: Izvedimo izraz za akceleraciju slobodnog pada na visini h iznad Zemljine površine.

Rješenje:

2RmmGmg Z

2)( hRmmGgm Z

2

2)(

RmmG

hRmmG

mggm

Z

Z

2

hR

Rgg

2

hRRgg

Zadatak 1: Kolika je akceleracija slobodnog pada na asteroidu polumjera 5 km i gustoće 5500 kg m-3?

Rješenje:

R = 5 km = 5·103 m

= 5 500 kg m-3

2Rmm

Gmg ag = ?

2RVGg

3-2-1-311 m kg 5500m5000s kg m1067,634

g = 7,7·10-3 m s-2

2

3

34

R

RG

GRg34

Zadatak 2: Na koju visinu moramo podignuti tijelo da bi muse težina smanjila upola? Poznat je polumjer Zemlje (6,4·106 m).

Rješenje:

R = 6,4·106 m

h = ?

gg FF21

22 21

)( RmmG

hRmmG ZZ

22 21

)(1

RhR

RhR 2

RhR 211

h = 2,65·106 m

RRh 2

12 Rh

12m 104,6 6 h

Satelitiv

RMGv

2

2

RMmG

Rmv

Fcp = Fg

Prva kozmička brzina

mgR

mv

2

gRv

m104,6s m 81,9 6-2 v

v 7,9 km s-1

Na Zemlji: R

Druga kozmička brzina

gRv 2 v 11 km s-1

Putanje

Primjer: Koliko je od Zemljine površine udaljen satelit kojikruži u ekvatorijalnoj ravnini tako da se uvijek nalazi iznad istog mjesta na Zemlji (geostacionarni satelit)? Ophodno vrijeme geostacionarnog satelita jednako je periodu rotacije Zemlje.Rješenje:T = 24 h

R = 6,4 ·106 m

h = ?

Gms mZT2 = 42(R + h)3ms

2

2

2)(4

TmhR

hRmm

G sZs

mgR

mmG Z 2

GmZ = gR2

h = 3,6·107 m

32

2

4ZmGThR

32

22

4TgRhR

RTgRh 32

22

4Fg = Fcp

m104,64

)s 86400()m104,6(s m 81,9 632

226-2

= 86400 s

Zadatak 1: Izračunajte masu Sunca uzimajući da je udaljenostZemlje od Sunca 1,51011m.

Rješenje:

r = 1,5 ·1011 mmS = ?

Fg = Fcp

2

2

2

4T

rmrmmG ZZS

2

324GT

rmS

22-1-311

3112

)s360024365(s kg m1067,6)m105,1(4

mS = 21030 kg

Zadatak 2: Kojom se brzinom giba satelit na visini 420 km iznad površine Zemlje? Za polumjer Zemlje uzmite 6 400 km. Poznata je još akceleracija slobodnog pada na površini Zemlje (g = 9,81 m s-2).

Rješenje:h = 420 kmR = 6400 kmg = 9,81 m s-2

v = ?

Fcp = Fg

2

2

hRmmG

hRvm Zss

hRGmv Z

mgR

mmG Z 2

GmZ = gR2

hRgR

2

hRgRv

m10420m106400s 9,81mm106400 33

-23

v = 7,7103 m s-1

= 420 ·103 m= 6400·103 m

Prilozi

Težina tijela na površini nebeskog tijela

Gt = m· g

Na Zemlji: Gz = m· gz

Slijedi: Gt/ Gz = g / gz

Zakonitosti slobodnog pada :v = g t , v2 = 2 g h , h = g t2 /2 , h = v t /2

Centrifugalna sila

• Inercijska sila u rotirajućem sustavu ( nebeskom tijelu).

• Fcf = m v2 / r = m 4 π2 r / T2 = = m ω2 r

• Jednoliko gibanje po kružnici : v = 2 r π / T = ω r a = v2 / r

Težina tijela na površini rotirajućeg nebeskog tijela

• Idealizacija : Re = Rp = R• Zbroj gravitacijske sile i

centrifugalne sile :

• Na ekvatoru : m ge = G m M / R2 - m 4 π2 R / T2

• Na polu : m gp = G m M / R2 , ( Fcf = 0 )

Spljoštenost Zemlje je zanemarena ! Općenito spljoštenost planeta = Re – Rp / Re

Težina tijela na površini rotirajućeg nebeskog tijela (2)

• na geografskoj širini φ :

Gt = Fg – Fcf,v

m gφ = G m M / R2 - (m 4 π2 r / T2 )· cos φ m gφ = G m M / R2 - (m 4 π2 R· cosφ / T2 )·

cos φ

• Slijedi :

gφ = G M / R2 - (4 π2 R / T2 )· (cos φ)2

Gt = m gφ

cos φ = r / R r = R · cos φ

Centar mase dvojnog sustava• Za niz masa na istom pravcu , x-osi ,

općenito položaj centra mase (CM) se odredi iz izraza :

xCM = m1 ·x1 + m2 ·x2 + m3 ·x3 +…/ m1 + m2 + m3 +…• Iznos koordinate centra mase ovisi o izboru

referentne točke !• Na skici b): xCM = r1

xCM = m1 ·0 + m2 ·r/ m1 + m2 Slijedi : r1 = m2 ·r/ m1 + m2 ; r2 = r – r1 = …• Na skici c) : xCM = 0 0 = m1 ·(-r1) + m2 ·r2 / m1 + m2

Slijedi : m1· r1 = m2· r2

Mase m1 i m2 na međusobnoj udaljenosti r gibaju se kružno oko zajedničkog centra mase (skica a)) .

Izvod 3. Keplerovog zakona

• M >> m• Za xCM = 0 vrijedi : 0 = M·(-r1) + m·r2 / M + m Slijedi : M· r1 = m· r2

• Oba tijela se s jednakim periodom gibaju jednoliko po kružnici oko centra mase sustava.

• Fcp = Fg

• Za tijelo mase M : M ·4· π2· r1 / T2 = G· m ·M / r2 / : M

• Za tijelo mase m : m·4· π2· r2 / T2 = G· m ·M / r2 / : m

• Zbrajanjem tih jednadžbi dobije se : 4· π2( r1 + r2) / T2 = G ( M + m ) / r2

• Slijedi : T2 / r3 = 4· π2/ G·( M +m)

r = r1 + r2

v = 2·π·r2 / T

Fcp = Fg

m·v2/ r2 = G· m ·M / r2

Jednoliko gibanje nebeskog tijela po kružnici

v = 2· r ·π / T = ω·rFcp = m ·acp = m·v2 /rr = R + h

Fg = Fcp ; m <<< M G ·m ·M / r2 = m·v2/ rv2 = G·M / r

• Ukupna energija nebeskog tijela : E = Ek + Ep

• E = ( m·v2/2) + ( - G ·m ·M / r )= = (m/2)·( G·M / r) - G ·m ·M / r = - G ·m ·M / 2·r

Eliptična putanja nebeskog tijela(1)

rmin = a – e rmax = a + e• Zbrajanjem , oduzimanjem i

dijeljenjem tih jednadžbi se dobije :

rmax + rmin / 2 = a rmax - rmin / 2 = e rmax/ rmin = a + e / a – e

• ε = e/a – numerički ekscentricitet elipse e = ε·a ,

rmax/ rmin = 1 + ε / 1 – ε

Iz slike :rmin = a – ermax = a + e

Eliptična putanja nebeskog tijela(2)

• θ = 00 : r = rmin ; rmin = p / 1 + ε

• θ = 1800 : r = rmax ; rmax = p / 1 – ε

• Iz tih jednadžbi slijedi :• p = rmin·(1 + ε ) = rmax·( 1 – ε)• rmax/ rmin = 1 + ε / 1 – ε• ε = e/a (numerički ekscentricitet

elipse )• rmax/ rmin = a + e / a – e

Jednadžba elipse :r = p / 1 + ε·cosθp- parametar elipse

Kutni polumjer Sunca u perihelu i afelu

• αmax =2· Rs / rmin ,

• αmin =2· Rs / rmax

• Dijeljenjem jednadžbi dobije se :• αmax / αmin = rmax/ rmin

• ε = e/a (numerički ekscentricitet elipse ) e = ε·a

• αmax / αmin = a + e / a – e αmax / αmin = 1 + ε / 1 – ε

αmax/2 = Rs / rmin

αmin/2 = Rs / rmax

Brzina tijela na eliptičnoj stazi oko Sunca

• Zemlja : vz≈ konst , rz ≈az = 1 AJ• Za tijelo na eliptičnoj stazi oko Sunca : r – trenutna udaljenost od Sunca , a –

poluos eliptične staze• Ukupna energija tijela : E = Ek + Ep = m·v2/ 2 +( - G ·m ·M/ r) , /1/• Problem možemo pojednostavniti kao da se tijelo giba jednoliko po kružnici

polumjera a s brzinom vsr.• E = Ek + Ep = m·vsr

2/ 2 + ( - G ·m ·M/ a) , /2/• U tom slučaju vrijedi : Fcp = Fg ,• m·vsr

2/ a = G ·m ·M/ a2 / · a/m• vsr

2 = G · M/ a , /3/• Iz /2/ i /3/ slijedi : • E = (m/ 2)·( G · M/ a) + ( - G ·m ·M/ a) = - G ·m ·M/ 2·a , /4/• Iz /1/ i /4/ slijedi :• m·v2/ 2 + ( - G ·m ·M/ r) = - G ·m ·M/ 2·a /·(2/m)• v2 = G· M·/ (2/r) – (1/a) /• U slučaju Zemlje to je :• vz

2 = G· M·/ (2/rz) – (1/rz) /= G· M·/rz

• Ako se udaljenosti : a , r , rz izrazi u AJ vrijedi: vz2= G· M/AJ ,

• v2 = vz2·/ (2/r) – (1/a) /