NEWTONOV OPĆI ZAKON GRAVITACIJE

• Razvoj ideje o gibanju nebeskih tijela (Ptolomej , Kopernik , Kepler )

• Newtonov opći zakon gravitacije ( izračunavanje masa nebeskih tijela , akceleracija slobodnog pada , sateliti , svemirske brzine )

Klaudije Ptolemej85-166

Najveće djeloMegale sintaxis (Veliki zbornik)

očuvano u arapskom prijevodu kao Almagest

- objedinio rezultate prethodnika

- dao prvu sustavnu raspravu o svim nebeskim gibanjima

- Ptolemejev geocentrički sustav,

utjecajan kao i Aristotelova filozofija

Ptolemejev geocentrični sustav (2. st.)djelo : Almagest

epicikl

deferent

Marsova putanja

Zemljina putanja

Nikola Kopernik ( Thorn 1473. – Frauenburg 1543. )

Aristarh (310. - 230. pr. Kr.)

Giordano Bruno, 1600. spaljen

Galileo Galilei (1564. – 1642.)

Keplerovi zakoni

A2

A1

A1 = A2

1. 2.

3. 32

31

22

21 :: rrTT

Tycho Brahe (1546. – 1601.)

Johannes Kepler (1571. – 1630.)

Elipsa

APSIDE

• apoapsis i periapsis –točke na krajevima velike osi elipse ;

• apoapsis je najdalja točka , a periapsis najbliža točka • afel i perihel - za planete kao Sunčeve satelite• apogej i perigej - za Zemljine satelite ( Mjesec)• apoluna i periluna - za Mjesečeve satelite• apohermij i perihermij – za Merkur• apojovij i perijovij - za Jupiter•  ……

Newtonov opći zakon gravitacije

aa

aa

a

aa

G = 6,67·10-11 N m2 kg-2 – gravitacijska konstanta

221

rmmGF

2

24T

ra

22

22

21

12

214

:4

:T

rT

raa

22

22

1

121 ::

Tr

Tr

aa

32

31

22

21 :: rrTT

22

21

32

23

1

121

1:1::rrr

rrr

aa

2

1r

a

2

1r

F

F mpF ms

2rmm psF

Opći zakon gravitacije

Primjer 1: Izračunajmo masu (M) i srednju gustoću () Zemljeiz njezina polumjera (R = 6,4·106 m) i akceleracije slobodnog pada na njezinoj površini (g = 9,81 m s-2).

Rješenje:

R = 6,4·106 mg = 9,81 m s-2

M = ?

F = mg, 221

RmmGF

2RmMGmg

2-1-311

26-22

s kg m 1067,6)m 104,6(s m 81,9

G

gRM

M = 6·1024 kg

VM

334 RV ,

36

24

3 m) 10(6,44kg 1063

43RM

= 5 467 kg m-3

= ?

Primjer 2: Izvedimo izraz za akceleraciju slobodnog pada na visini h iznad Zemljine površine.

Rješenje:

2RmmGmg Z

2)( hRmmGgm Z

2

2)(

RmmG

hRmmG

mggm

Z

Z

2

hR

Rgg

2

hRRgg

Zadatak 1: Kolika je akceleracija slobodnog pada na asteroidu polumjera 5 km i gustoće 5500 kg m-3?

Rješenje:

R = 5 km = 5·103 m

= 5 500 kg m-3

2Rmm

Gmg ag = ?

2RVGg

3-2-1-311 m kg 5500m5000s kg m1067,634

g = 7,7·10-3 m s-2

2

3

34

R

RG

GRg34

Zadatak 2: Na koju visinu moramo podignuti tijelo da bi muse težina smanjila upola? Poznat je polumjer Zemlje (6,4·106 m).

Rješenje:

R = 6,4·106 m

h = ?

gg FF21

22 21

)( RmmG

hRmmG ZZ

22 21

)(1

RhR

RhR 2

RhR 211

h = 2,65·106 m

RRh 2

12 Rh

12m 104,6 6 h

Satelitiv

RMGv

2

2

RMmG

Rmv

Fcp = Fg

Prva kozmička brzina

mgR

mv

2

gRv

m104,6s m 81,9 6-2 v

v 7,9 km s-1

Na Zemlji: R

Druga kozmička brzina

gRv 2 v 11 km s-1

Putanje

Primjer: Koliko je od Zemljine površine udaljen satelit kojikruži u ekvatorijalnoj ravnini tako da se uvijek nalazi iznad istog mjesta na Zemlji (geostacionarni satelit)? Ophodno vrijeme geostacionarnog satelita jednako je periodu rotacije Zemlje.Rješenje:T = 24 h

R = 6,4 ·106 m

h = ?

Gms mZT2 = 42(R + h)3ms

2

2

2)(4

TmhR

hRmm

G sZs

mgR

mmG Z 2

GmZ = gR2

h = 3,6·107 m

32

2

4ZmGThR

32

22

4TgRhR

RTgRh 32

22

4Fg = Fcp

m104,64

)s 86400()m104,6(s m 81,9 632

226-2

= 86400 s

Zadatak 1: Izračunajte masu Sunca uzimajući da je udaljenostZemlje od Sunca 1,51011m.

Rješenje:

r = 1,5 ·1011 mmS = ?

Fg = Fcp

2

2

2

4T

rmrmmG ZZS

2

324GT

rmS

22-1-311

3112

)s360024365(s kg m1067,6)m105,1(4

mS = 21030 kg

Zadatak 2: Kojom se brzinom giba satelit na visini 420 km iznad površine Zemlje? Za polumjer Zemlje uzmite 6 400 km. Poznata je još akceleracija slobodnog pada na površini Zemlje (g = 9,81 m s-2).

Rješenje:h = 420 kmR = 6400 kmg = 9,81 m s-2

v = ?

Fcp = Fg

2

2

hRmmG

hRvm Zss

hRGmv Z

mgR

mmG Z 2

GmZ = gR2

hRgR

2

hRgRv

m10420m106400s 9,81mm106400 33

-23

v = 7,7103 m s-1

= 420 ·103 m= 6400·103 m