Embed Size (px)
Citation preview
{[[W+bz0FkV43GmRt7u4DpvuYxd]]}
PHẠM PHU ( Chủ biên ) – PHẠM VĂN CHÓNG
( Theo chương trình phân ban THPT) Nhà xuất bản Đại học sư phạm
2
3
Lời nói đầu
Tiếp theo cuốn “ Tổng hợp kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 10”
chúng tôi biên soạn hai cuốn riêng biệt “ Tổng hợp kiến thức cơ bản và nâng cao
Hình học 11” và “ Tổng hợp kiến thức cơ bản và nâng cao Đại số và Giải tích 11”.
Chúng tôi tách thành hai cuốn do khối lượng môn toán lớp 11 là lớn, nếu trình bày
đầy đủ trong một cuốn thì sách sẽ quá dày không tiện lợi cho người sử dụng. Hơn
nữa, người sử dụng chính (học sinh) nhiều khi chỉ có nhu cầu bổ sung thêm cho
mình một trong hai phần toán học không mấy liên quan với nhau này. Mặt khác,
trong thực tế từ trước tới nay ở nước ta đều có hai bộ sách giáo khoa riêng về Hình
học và về Đại số và Giải tích. Ở một số nước còn tách riêng cả phần lượng giác ra
khỏi Đại số. Dưới đây chúng tôi trình bày về cấu trúc của cuốn “Tổng hợp kiến
thức cơ bản và nâng cao Đại số và Giải tích 11” để bạn đọc thuận tiện sử dụng và
theo dõi.
Cuốn sách chia làm hai phần chính : “Lí thuyết và đề bài tập” và “Lời
giải. Hướng dẫn. Đáp số”. Trong phần đầu, mỗi chương gồm các mục: I, II,....; mỗi
mục la mã này có ba nội dung chính: A. LÍ THUYẾT CẦN NHỚ; B. CÁC VÍ DỤ
MẪU và C. ĐỀ BÀI TẬP bao gồm một mục, một số mục hoặc một số phần của
một mục trong sách giáo khoa lớp 11 phân ban mới. Các bài tập ở nội dung C.
được đánh số thứ tự từ 1, 2,.... theo mỗi chương (khác với cuốn sách lớp 10 được
đánh số cho đến hết phần đầu. Phần sau là “LỜI GIẢI. HƯỚNG DẪN . ĐÁP SỐ”
bao gồm các lời giải, các hướng dẫn mang tính gợi ý hoặc đối với các bài tập đưa
ra ở nội dung C ở phần đầu. Để phần nào đó hạn chế tính ỷ lại của học sinh,
{[[W+bz0FkV43GmRt7u4DpvuYxd]]}
4
khuyên các em khi giải các bài tập ở nội dung C. thấy vướng mắc nên xem lại nội
dung B rồi hãy xem phần hướng dẫn giải ở phần sau. Ngoài hai phần chính ở trên,
trong cuốn sách còn có phần “Ôn tập cuối năm” để ở cuối sách gồm hai mục: A.
Đề bài tập (gồm 25 đề bài với khoảng 100 bài tập) và B. Lời giải-hướng dẫn-đáp
số. Trong các ví dụ mẫu cũng như đề bài tập chúng tôi có trích một số đề thi Đại
học, Cao đẳng trong những năm gần đây ở Việt Nam và nước ngoài.
Cuối cùng chúng tôi rất mong rằng cuốn sách này sẽ góp phần hỗ trợ thêm
cho học sinh lớp 11 học tốt hơn môn Đại số và Giải tích một cách sáng tạo và chủ
động. Phụ huynh học sinh cũng có thể dùng cuốn sách này để kiểm tra và hướng
dẫn con em mình học môn học này một cách hữu hiệu.
Các tác giả
5
LÝ THUYẾT VÀ ĐỀ BÀI TẬP
CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. HÀM SỐ TUẦN HOÀN VÀ CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
1. Hàm số tuần hoàn
a) Định nghĩa : Hàm số f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu
tồn tại một số T 0 sao cho với mọi x D ta có :
i) x – T D và x + T D
ii) f(x + T) = f(x)
Số T > 0 nhỏ nhất thoả mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần
hoàn f(x).
b) Đồ thị : Để vẽ đồ thị của hàm số tuần hoàn chu kì T, ta chỉ cần vẽ đồ thị của nó
trên đoạn [ a ; a + T ]. Sau đó thực hiện liên tiếp các phép tịnh tiến theo các vectơ
v , 2
v ,..., –
v , – 2
v (với a là số bất kì
v = (T; 0) không đổi) ta được toàn bộ đồ
thị của f(x).
2. Hàm số sin
a) Định nghĩa: Hàm số sin là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực
y = sinx (ở đây x (rad) là số đo của cung AM, còn y = sinx là tung độ của điểm M
trên đường tròn lượng giác) (h1.a)
6
Biểu diễn x trên trục hoành và sinx trên trục tung ta được (h.1b)
sin : R R
x y = sinx
b) Một số tính chất
Hàm số sin có tập xác định là D = R
Hàm số y = sinx là hàm số lẻ
– 1 sinx 1 ( tập giá trị là [– 1 ; 1 ]
Hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2
c) Sự biến thiên : Trong một chu kì [– ; ] có bảng biến thiên
x – 2
2
y = sinx 0
d) Đồ thị : Vẽ đồ thị trong một chu kì [– ; ], sau đó tịnh tiến nó song song với
trục hoành từng đoạn có độ dài 2 , ta được (h.2)
–1 1
1
0
M’ sinx
¤ x
M’’ cosx
O x
b) c) Hình 1
7
3. Hàm số cosin
a) Định nghĩa : Hàm số cosin là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số
thực y = cosx (x rad là số đo cung AM, còn y = cosx là hoành độ của M trên đường
tròn lượng giác) (h.1a)
Biểu diễn x trên trục hoành và cosx trên trục tung ta được (h.1c)
cos : R R
x y = cosx
b) Một số tính chất :
Tập xác định D = R
Tập giá trị là [– 1 ; 1 ] (–1 cosx 1)
Hàm số y = cosx là hàm số chẵn, tuần hoàn với chu kì 2
c) Sự biến thiên: Trong một chu kì [– ; ] có bảng biến thiên
x – 0
y = cosx
–1
1 –1
Hình 2
2
2
8
d) Đồ thị: Vì với mọi x R , ta có đẳng thức cosx = sin
2
x nên đồ thị của
hàm số y = cosx thu được từ đồ thị của hàm số y = sinx bằng cánh tịnh tiến song
song với trục Ox sang trái một đoạn có độ dài 2
(h.3)
4. Hàm số tang
a) Định nghĩa: Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức
y = tanx = x
x
cos
sin (cos x 0)
b) Một số tính chất
Tập xác định là D = R \
Zkk
2
Tập xác định là ( ; + )
Hàm số y = tanx là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì
c) Sự biến thiên: Trong một chu kì
2;
2
có bảng biến thiên
x
2
0
2
0
Hình 3
2
2 2
O
9
y = tanx
d) Đồ thị : (h.4)
5. Hàm số cotang
a) Định nghĩa : Hàm số cotang là hàm số được xác định bởi công thức
y = cotx = x
x
sin
cos (sinx 0)
b) Một số tính chất
Tập xác định : D = R \ Zkk
Tập giá trị ( ; )
Hàm số y = cotx là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì
c) Sự biến thiên
x 0
2
y = cotx
d) Đồ thị : (h.5)
0
2
2
2
3
Hình 4
y
x O
10
B. CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số
a) y = tan
72
x ; b) y =
1cos
sin2
x
x ; c) y =
x
x
3
cos1
Giải: a) Đặt 2x + 7
= X, khi đó y = tanX. Hàm số xác định khi và chỉ khi X thoả
mãn X2
+k 2x+
7
2
+ k 2x
14
5+ k x
28
5+ k
2
.
Như vậy, tập xác định của hàm số sẽ là : D = R \
Zkk
228
5
b) Hàm số xác định khi và chỉ khi cosx – 1 0 cosx 1 x k2 . Vậy tập
xác định của hàm số đó là D = R \ Zkk 2 .
c) Hàm số xác định khi x
x
3
cos1 0 (*) nhưng do –1 cosx 1
0 1 + cosx 2 với mọi x R , nên để thoả mãn (*) 3 – x > 0 x < 3
Vậy tập xác định của hàm số là D = (– ; 3)
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y = )sin1(5,4 x – 1
Giải: Từ – 1 sinx 1 , x R , ta có
2
2
2
Hình 5
y
x
11
0 1 + sinx 2 0 4,5 (1 + sinx ) 9 0 )sin1(5,4 x 3 . Từ
đó –1 y 2 .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2, khi sinx = 1 x = 2
+ k2
Giá trị nhỏ nhất của hàm số – 1, khi sinx = – 1 x = –2
+ k2 , k Z
Ví dụ 3: Hãy tìm những giá trị của x [0 ; 3 ] sao cho hàm số y = cotx
a) Nhận giá trị bằng 3 ; b) Nhận giá trị âm.
Giải: a) Do tính nghịch biến của hàm số y = cotx, nên x = 6
là giá trị duy nhất
trên [ 0 ; ] sao cho cot6
= 3 . Ngoài ra, vì hàm số cotx là tuần hoàn với chu kì
nên trên [ 0 ; 3 ] còn hai giá trị nữa của x : x = +6
=
6
7 và x = 2 +
6
= 6
13 có cotang bằng 3 .
Vậy trên [ 0 ; 3 ] có ba giá trị : 6
;
6
7 và
6
13 có cotang bằng 3 .
b) Từ đồ thị của hàm số y = cotx (h.5) ta thấy hàm số nhận giá trị âm trên khoảng
;2
. Vì hàm số đó tuần hoàn với chu kì nên trên [ 0 ; 3 ] còn hai khoảng
nữa mà trên đó hàm số nhận giá trị âm, đó là
2;2
3 và
3;2
5.
Ví dụ 4: Dựa vào đồ thị của hàm số y = cosx, hãy:
a) Vẽ đồ thị của hàm số y = xcos . Dựa vào đó nhận xét về tính chẵn lẻ, tính tuần
hoàn của nó.
b) Vẽ đồ thị của hàm số y = – 2cosx
{[[W+bz0FkV43GmRt7u4DpvuYxd]]}
12
c) Vẽ đồ thị của hàm số y = cos2x
Giải: a) Đồ thị của hàm số y = )(xf được suy ra từ đồ thị của hàm số y = f(x)
bằng cách giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hoành, lấy đối xứng qua trục
hoành phần đồ thị phía dưới trục hoành. Vậy
Ta có đồ thị của hàm số y = xcos trên hình 6.
Từ đồ thị ta thấy hàm số y = xcos tuần hoàn với chu kì , chẵn.
b) Trước hết ta vẽ đồ thị của hàm số y = 2cosx, đồ thị này được suy ra từ đồ thị của
hàm số y = cosx bằng cách dãn trục tung 2 lần ( vì 2 > 1), được hiểu là mỗi tung độ
của các điểm trên đồ thị được tăng lên 2 lần (xuống dưới hoặc lên trên tuỳ theo
tung độ đó âm hay dương)
2
0
2
2
3
Hình 6
Hình 7
2 cosx
- 2 cosx
cosx
13
Sau đó từ đồ thị của hàm số y = 2cosx suy ra đồ thị của hàm số y = – 2cosx bằng
cách lấy đối xứng qua trục hoành. Trên (h.7) đồ thị của hai hàm số
y = cosx và y = 2cosx vẽ nét đứt, còn đồ thị của hàm số y = – 2cosx vẽ nét liền.
c) Trước hết ta hãy chứng minh rằng hàm số y = cos2x tuần hoàn với chu kì là .
Ta có f(x) = cos2x = cos( 2x +2 ) = cos 2( x + ) = f( x + ) (*) x R . Ta
hãy chứng minh rằng là số dương nhỏ nhất thoả mãn tính chất : cos2(x + T) =
cos2x , x R .
Chọn x = 0, ta được cos2T = cos0 = 1. Nhưng cos = 1 khi và chỉ khi
= k2 , k Z , do đó phải có 2T = 2.k T = k , k Z , điều này mâu
thuẫn với giả thiết 0 < T <
Vậy chu kì của hàm số y = cosx gấp hai lần chu kì của hàm số y = cos2x, tức là khi
hàm số y = cosx biến thiên trong một chu kì là 2 thì tương ứng hàm số y = cos2x
biến thiên trong hai chu kì. Như vậy đồ thị của hàm số
y = cos2x suy ra từ đồ thị của hàm số y = cosx bằng cách co trục hoành 2 lần (h.8).
Đồ thị của y = cos2x biển thị nét liền
C. ĐỀ BÀI TẬP
1. Hãy khoanh vào câu trả lời đúng. Hàm số y = f(x) = – 2 là hàm số
2
4
2
2
3
2
Hình 8
x
y
14
A) Tuần hoàn với chu kì - 2; B) Tuần hoàn với chu kì 10
1
C) Không tuần hoàn ; D) Tuần hoàn nhưng không có chu kì
2. Tìm tập xác định của các hàm số
a) y = cot
33
x ; b) y =
53
sin1
x
x
c) y = tan
x2
6
; d) y =
x
xx
cos1
452
3. Hãy tìm những giá trị của x trên đoạn [- 3 ; 5 ] sao cho hàm số y = sinx nhận giá
trị :
a) Bằng 2
1 ; b) Bằng 0 ; c) Âm ; d) Dương
4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
a) y = – 4cos
3
x – 7 ; b) y = xsin54 + 2
5. Dựa vào tính đồng biến của hàm số y = tanx trên
2;
2
hãy tìm giá trị nhỏ
nhất và lớn nhất của nó trên
6;
3
.
6. Dựa vào đồ thị của hàm số y = cotx, vẽ đồ thị của hàm số y = xcot
7. Dựa vào đồ thị của hàm số y = sinx, vẽ đồ thị của hàm số y = sin2
x
8. Vẽ đồ thị của hàm số y = tan
4
x .
9. Chứng minh rằng hàm số y = tan3x tuần hoàn, xác định chu kì của nó.
II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A. LÍ THUYẾT CẦN NHỚ
15
1. Các chú ý chung
a) Phương trình lượng giác là phương trình chứa ẩn số ở các hàm số lượng giác ở
vế trái, vế phải hoặc cả hai vế. Giải phương trình lượng giác là tìm tất cả các giá trị
của ẩn số thoả mãn phương trình đã cho. Các phương trình lượng giác thường có
vô số nghiệm ( do tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác ).
b) Ngoài các công thức biến đổi nên nhớ giá trị lượng giác của những góc đặc biệt
: 0; 6
;
4
;
3
;
2
; vì nhiều bài tập cũng như bài thi liên quan đến các giá trị
này.
c) Khi giải các phương trình lượng giác phải lưu ý đến đơn vị đo cung (góc): chỉ
được sử dụng một loại đơn vị đo ( hoặc độ hoặc radian), tuyệt đối không sử dụng
lẫn lộn cả hai loại đơn vị trong một công thức.
d) Khi giải phương trình lượng giác nên đưa phương trình về cùng một loại cung :
x , 2x , 2
3x, ..., f(x)
e) Nên áp dụng linh hoạt các phép biến đổi tương đương để đưa về phương trình
chỉ chứa một hàm số lượng giác.
2. Các phương trình lượng giác cơ bản
Học sinh phải nắm chắc cách giải bốn phương trình cơ bản dưới đây vì đối với các
phương trình lượng giác dù có rất phức tạp đều phải cố gắng tìm cách áp dụng các
công thức biến đổi để đưa về bốn loại phương trình này.
a) Phương trình sinx = a
Với | a | > 1 , phương trình vô nghiệm
Với | a | 1 , phương trình có nghiệm là x =
2arcsin
2arcsin
ka
ka
,k Z , trong đó arcsin a (đọc là ác-sin-a ) là cung
2;
2
có
sin = a
16
Nếu = arcsina được đo bằng độ thì nghiệm của phương trình có dạng
x =
00
0
360180
360
k
k
, k Z
Với a = 1, a = – 1 và a = 0 thì nghiệm của phương trình có dạng đơn giản
hơn, mà học sinh nên nhớ. Cụ thể :
Với a = 1 thì x = 2
+ k2 ( hoặc x = 900 + k3600 )
Với a = – 1 thì x = –2
+ k2 ( hoặc x = - 900 + k3600 )
Với a = 0 thì x = k ( hoặc x = k1800 )
b) Phương trình cosx = a
Với | a | > 1 , phương trình vô nghiệm
Với | a | 1 , phương trình có nghiệm là x = arccosa + k2 , k Z ,
trong đó arccosa ( đọc là ác -cosin -a ) là cung [ 0, ] có cos =
0
Nếu = arccosa được đo bằng độ thì nghiệm của phương trình có
dạng x = arccosa + k3600, k Z
Với a = 1 thì phương trình cosx = 1 có nghiệm là x = k2 , k Z
Với a = –1 thì phương trình cosx = 1 có nghiệm là x =(2k + 1)
k Z
Với a = 0, phương trình cosx = 0 có nghiệm là x =2
+ k , k Z
c) Phương trình tanx = a
17
Điều kiện của phương trình : x 2
+ k , k Z . Nghiệm của phương
trình là: x = arctana + k , k Z , trong đó arctana ( đọc là ác - tang- a ) là
cung
2;
2
thoả mãn tan = a
Nếu arctana = được đo bằng độ thì nghiệm của phương trình có dạng x
= + k1800 , k Z
d) Phương trình cotx = a
Điều kiện của phương trình : x k , k Z . Nghiệm của phương trình
là: x = arccota + k , k Z , trong đó arccota ( đọc là ác - cotang - a ) là
cung ( 0 , ) thoả mãn cot = a.
Nếu arccota = được đo bằng độ thì nghiệm của phương trình có dạng x
= arccot + k1800 , k Z
3. Biểu diễn nghiệm của phương trình lượng giác trên đường tròn lượng giác :
Trong nhiều trường hợp, nhất là khi nghiệm có nhiều dạng khác nhau, nên biểu
diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác để có thể hình dung cách sắp xếp tập
nghiệm ( gồm vô hạn phần tử ) và từ đó xét xem có thể gộp các nghiệm đó lại cho
gọn hơn hay không.
4. Giải các phương trình lượng giác cơ bản bằng máy tính bỏ túi
Hiện nay nhiều học sinh đã được trang bị máy tính bỏ túi nên có thể dùng chúng để
giải các phương trình lượng giác cơ bản. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng đối với các
phương trình sinx = a, cosx = a, tanx = a và cotx = a máy chỉ cho nghiệm tương
ứng là x = arcsina, x = arccosa, x = arctana và x = arccota. Khi đó ta viết các
nghiệm là:
x =
2arcsin
2arcsin
ka
ka , k Z , ứng với phương trình sinx = a
x = arccosa + k2 , k Z , ứng với phương trình cosx = a
18
x = arctana + k , k Z (x = arccota + k , k Z ) ứng với phương trình
tanx = a (cotx = a)
5. Một số phương trình lượng giác thường gặp
a) Phương trình bậc n ( n 1) đối với một hàm số lượng giác . Trong chương trình
của lớp 11 hiện nay chỉ xét các phương trình bậc nhất và bậc hai và các phương
trình mà khi giải nhờ các phép biến đổi có thể đưa về phương trình bậc nhất hoặc
bậc hai đối với một hàm số lượng giác nào đó. Tuy vậy, ở đây xét một cách tổng
quát đối với n N* bất kì và phương pháp chung là đặt hàm số lượng giác có
trong phương trình bằng t (với điều kiện nào đó) để đưa phương trình đã cho về
phương trình bậc n đối với t. Sau khi tìm nghiệm của phương trình đối với ẩn t, ta
giải các phương trình lượng giác cơ bản ứng với các nghiệm t thoả mãn điều kiện
đã đặt.
b) Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Đó là phương trình có dạng :
asinx + bcosx = c , trong đó a, b, c R và ab 0
Để giải phương trình này có thể biến đổi vế trái của nó thành :
22 ba sin(x + ) hoặc 22 ba cos(x – ) để đưa về phương trình lượng
giác cơ bản. Ngoài ra cũng có thể áp dụng công thức tính sinx và cosx theo
t = tan2
xđể đưa phương trình đã cho về một phương trình bậc 2 đối với t.
Dễ dàng thấy rằng phương trình vô nghiệm nếu | c | > 22 ba ( hay c2 > a2 + b2 )
Chú ý : Giải B bằng cách trên có thể giải phương trình tổng quát hơn, đó là:
asin x + bcos x = c với a, b, c, R .
c) Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx
Tuy không có trong chương trình lớp 11, nhưng các học sinh khá trở lên nên biết.
Đó là phương trình có dạng : asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0
19
Ta chỉ xét trường hợp a, c không đồng thời bằng 0, vì ngược lại ta có phương trình
sinx.cosx = 0 sin2x = 0 x = k2
Với a 0 thì cosx 0 ( vì nếu cosx = 0 thì phương trình vô nghiệm ). Chia
cả hai vế của phương trình đã cho cho cos2x, ta được phương trình bậc hai
đối với tanx : atan2x + btanx + c = 0
Với a = 0, ta có phương trình :
bsinxcosx + ccos2x = 0 cosx(bsinx + ccosx ) = 0
(**)0cossin
(*)0cos
xcxb
x , các phương trình (*), (**) đã biết cách giải
Chú ý :
i) Đối với phương trình asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d, với d 0 ta có
thể đưa về phương trình đã biết bằng cách đặt d = d(cos2 + sin2x) rồi
chuyển sang bên trái và rút gọn.
ii) Khi giải phương trình dạng đã cho, có thể dùng các công thức hạ bậc,
nhưng khuyên không nên vì sẽ cồng kềnh hơn.
6. Khi gặp các phương trình lượng giác không thuộc các dạng trên, phức tạp hơn
thì :
Cố gắng đưa về các dạng đã biết thông qua các công thức biến đổi (góc
nhân đôi, góc nhân ba, tính theo tang của góc chia đôi, tổng thành tích, tích
thành tổng, hạ bậc,...), các hệ thức cơ bản cùng với các hệ quả của chúng.
Có thể áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ một cách linh hoạt.
Có thể biến đổi để đưa về phương trình tích.
B. CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1: Giải các phương trình lượng giác sau:
a) sinx = 2
3 ; b) cos(x + 150) =
2
1
