Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa:´ …›pny wynik dla algebraicznego równania Lapunowa Wste˛pny wynik dla rózniczkowego równania Lapunowa˙ Dopuszczalne elementy wejsciowe´

WprowadzenieRózniczkowe równanie Lapunowa z ograniczonym wejsciem

Rózniczkowe równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemAlgebraiczne równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciem

Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa:teoria i przykłady zastosowan

Zbigniew Emirsajłow

Katedra Sterowania i PomiarówZachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie

e-mail: [email protected]

Zielona Góra, 22 listopada 2010

Zbigniew Emirsajłow Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa



Spis tresci

1 WprowadzenieO jakie równanie chodzi?Wstepne oznaczenia i załozeniaPrzykład 1 - czesc I

2 Rózniczkowe równanie Lapunowa z ograniczonym wejsciemPodstawowe własnosci półgrupy złozonej

3 Rózniczkowe równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemRozszerzenie półgrupy złozonejWstepny wynik dla algebraicznego równania LapunowaWstepny wynik dla rózniczkowego równania LapunowaDopuszczalne elementy wejscioweGłówny wynik dla rózniczkowego równania LapunowaPrzykład 1 - czesc II

4 Algebraiczne równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemGłówny wynik dla algebraicznego równania LapunowaPrzykład 2




O jakie równanie chodzi?Wstepne oznaczenia i załozeniaPrzykład 1 - czesc I

Równania Lapunowa

Głównym celem referatu jest przedstawienie teorii półgrupy złozonej i pokazanie, zejest ona efektywnym narzedziem analizy nieskonczenie wymiarowych rózniczkowychoraz algebraicznych równan Lapunowa. Głównym równaniem motywujacym załozenia,przy których rozwiniemy teorie półgrupy złozonej, jest rózniczkowe równanieLapunowa o postaci

M(t) = AM(t) + M(t)A∗ + BB′ , t ≥ 0 , M(0) = M0 , (1)

w którym (M(t))t≥0 , A, A∗ i BB′ sa liniowymi operatorami działajacymi wnieskonczenie wymiarowych przestrzeniach Hilberta.Postac algebraiczna równania Lapunowa jest stacjonarna wersja równania (1) iwyglada nastepujaco:

AM + MA∗ + BB′ = 0 , (2)

gdzie operator M nie zalezy od czasu.





Oznaczenia

H, U sa przestrzeniami Hilberta (które identyfikujemy z ich przestrzeniamidualnymi.

H = L (H) jest przestrzenia Banacha liniowych, ograniczonych operatorów z Hdo H z norma ‖ · ‖. (H, ‖ · ‖) oznacza L (H) z jednostajna topologia operatorowa(indukowana przez norme ‖ · ‖) a (H, τ) oznacza L (H) z silna topologiaoperatorowa τ , tzn., topologia indukowana przez rodzine półnorm P = {ph},gdzie ph(X) = ‖Xh‖H dla X ∈ L (H) i h ∈ H.

A jest liniowym, nieograniczonym operatorem na H generujacym silnie ciagłapółgrupe (T (t))t≥0 ⊂ H. HA

1 = D(A) jets przestrzenia Hilberta z iloczynemskalarnym 〈·, ·〉A

1 = 〈(λI − A)(·), (λI − A)(·)〉H i norma ‖ · ‖A1 , gdzie λ ∈ ρ(A) i

ρ(A) jest zbiorem rezolwentowym operatora A. AAnalogicznie definiujemyHA∗

1 = D(A∗), gdzie A∗ jest nieograniczonym operatorem sprzezonym do A.

HA−1 jest uzupełnieniem H w normie ‖ · ‖A

−1 = ‖(λI − A)−1(·)‖H indukowanej

przez iloczyn skalarny 〈·, ·〉A−1 = 〈(λI − A)−1(·), (λI − A)−1(·)〉H , gdzie λ ∈ ρ(A).

Przestrzen Hilberta HA−1 mozna równowaznie zdefiniowac jako dualna (HA∗

1 )′

do HA∗

1 . Zachodzi HA1 → H → HA

−1 z ciagłymi i gestymi włozeniami.

Analogicznie, wprowadzamy HA∗

−1.





Oznaczenia - c.d.

(T (t))t≥0 ⊂ H mozna obciac do (T1(t))t≥0 ⊂ L (HA1 ) a jej generator (A1,D(A1))

jest czescia A w HA1 ⊂ H. Ponadto, (T (t))t≥0 ⊂ H mozna rozszerzyc do

(T−1(t))t≥0 ⊂ L (HA−1) z generator (A−1,D(A−1)) bedacym rozszerzeniem A,

gdzie D(A−1) = H. Analogicznie, wprowadzamy (T∗1 (t))t≥0 ⊂ L (HA∗

1 ) z

generatorem (A∗1 ,D(A∗

1 )) i (T∗−1(t))t≥0 ⊂ L (HA∗

−1) z generatorem(A∗

−1,D(A∗−1)), gdzie D(A∗

−1) = H.

B ∈ L (U,HA−1) z operatorem sprzezonym B′ ∈ L (HA∗

1 ,U).

H∼ = L (HA∗

1 ,HA−1) jest przestrzenia Banacha liniowych i ograniczonych

operatorów z HA∗

1 do HA−1 z norma ‖ · ‖∼. (H∼, ‖ · ‖∼ ) oznacza L (HA∗

1 ,HA−1) z

jednostajna topologia operatorowa (indukowana przez ‖ · ‖∼) a (H∼, τ∼ )

oznacza L (HA∗

1 ,HA−1) z silna topologia operatorowa τ∼, tzn., topologia

indukowana przez rodzine półnorm P∼ = {p∼h }, gdzie p∼

h (X) = ‖Xh‖HA−1

dla

X ∈ L (HA∗

1 ,HA−1) i h ∈ HA∗

1 .

Uwaga

Przestrzen topologiczna (H, τ) jest ciagowo zupełna na zbiorach o ograniczonejnormie.





Przykład

Sterowanie optymalne przy kwadratowym wskazniku jakosci - czesc I.

Układ sterowania z nieograniczonym operatorem wejsciowym

x(t) = A−1x(t) + Bu(t) , t ≥ 0 , x(0) = x0 , (3)

gdzie (x(t))t≥0 jest trajektoria stanu, a (u(t))t≥0 ⊂ U jest sterowaniem.Załozenia: czas t1 ∈ (0,∞) jest ustalony, x0 ∈ H, z1 ∈ H, B jest dopuszczalnymoperatorem wejsciowym.Zadanie: Znalezc sterowanie uopt ∈ L2(0, t1;U), które zminimalizuje kwadratowywskaznik jakosci

Jt1 (u) = ‖x(t1)− z1‖2H + ‖u‖2

L2(0,t1;U)(4)

na całej przestrzeni L2(0, t1;U).Sterowanie optymalne uopt istnieje i jest jednoznaczne.Optymalna para {uopt, xopt} ∈ L2(0, t1;U)× C([0, t1];H) jest jednoznaczniescharakteryzowana równaniami:

xopt(t) = A−1xopt(t) + Buopt(t) , t ∈ [0, t1] , xopt(0) = x0 , (5a)

p(t) = −A∗p(t) , t ∈ [0, t1] , p(t1) = z1 − xopt(t1) , (5b)

uopt(t) = B′p(t) . (5c)





Przykład

Dla x0, z1 ∈ H i dopuszczalnego B ∈ L (U,HA−1) rozwiazania równan (5a) i (5b)

sa rozumiane w sensie słabym, a wyrazenie (5c) na sterowanie optymalne masens tylko jako funkcja z przestrzeni L2(0, t1;U).

Podstawiajac (5c) do (5a), otrzymamy[

x1(t)x2(t)

]

=

[

A−1 BB′

0 −A∗

] [

x1(t)x2(t)

]

, t ∈ [0, t1] ,[

x1(0)x2(t1)

]

=

[

x0z1 − x1(t1)

]

,

(6)gdzie xopt = x1 i uopt = B′x2.

Uwaga

Jest to typowe zagadnienie dwugraniczne, którego rozwiazanie [x1(t) x2(t)]T ,t ∈ [0, t1] jest trudne do wyznaczenia. Wynika to z faktu, ze warunek koncowy x2(t1)zalezy od warunku koncowego x1(t1) i wobec tego oba równania rózniczkowe sa zesoba sprzegniete, a ponadto operator BB′ wystepujacy w pierwszym równaniu jest„silnie” nieograniczony wzgledem przestrzeni stanu H (spełnia on warunekBB′ ∈ H∼ = L (HA∗

1 ,HA−1)).





Przykład

Równania (6) zastepujemy zagadnieniem dwugranicznym:[

x1(t)x2(t)

]

=

[

A−1 BB′

0 −A∗

] [

x1(t)x2(t)

]

, t ∈ [0, t1] ,[

x1(0)x2(t1)

]

∈ H×HA∗

2 ,

(7)gdzie nie zakładamy a priori dopuszczalnosci operatora B, a HA∗

2 jest dziedzina

A∗1 rozumianego jako nieograniczony operator na przestrzeni HA∗

1 .

Warunki poczatkowo-koncowe problemu (7) róznia sie od warunków z problemu(6), poniewaz nie zakładamy teraz zaleznosci stanu x2(t1) od stanu x1(t1).

Dla x2(t1) ∈ HA∗

2 , otrzymujemy

x2(·) ∈ C([0, t1];HA∗

2 ) ∩ C1([0, t1];HA∗

1 ) ,

a rózniczkowalnosc funkcji x2(·) oraz załozenie x1(0) ∈ H gwarantuja, ze

x1(·) ∈ C([0, t1];H) ∩ C1([0, t1];HA−1) .

Równania rózniczkowe (7) sa spełnione w przestrzeni HA−1 × HA∗

1 dla kazdegot ∈ [0, t1].





Przykład

Wprowadzamy nowe zmienne stanu [w1(t) w2(t)]T

[

w1(t)w2(t)

]

=

[

I −M(t)0 I

] [

x1(t)x2(t)

]

, t ∈ [0, t1] (8)

spełniajace równania[

w1(t)w2(t)

]

=

[

A−1 00 −A∗

] [

w1(t)w2(t)

]

, t ∈ [0, t1] ,[

w1(0)w2(t1)

]

=

[

x1(0)x2(t1)

]

,

(9)gdzie (M(t))t∈[0,t1 ] jest nieznana rodzina operatorów.

Aby okreslic ogólne warunki, które powinna spełniac ta rodzina, formalniezrózniczkujmy (8)

[

w1(t)w2(t)

]

=

[

I −M(t)0 I

] [

x1(t)x2(t)

]

+

[

I −M(t)0 I

] [

x1(t)x2(t)

]

. (10)





Przykład

Powyzsze wyrazenia maja sens, jezeli:

Operator M(t) bedzie ograniczony na przestrzeni stanu H, tzn.

(M(t))t∈[0,t1 ] ⊂ H , (11)

i ciagły w czasie w silnej topologii operatorowej τ przestrzeni H, tzn.M(·) ∈ C([0, t1]; (H, τ)). Ponadto

M(0) = 0 , (12)

co wynika z warunków poczatkowo-koncowych problemu (9).

Pochodna M(t) bedzie dobrze zdefiniowana w przestrzeni L (HA∗

1 ,HA−1), tzn.

(M(t))t∈[0,t1 ] ⊂ H∼ , (13)

i ciagła w czasie w silnej topologii operatorowej τ∼ przestrzeni H∼, tzn.M(·) ∈ C([0, t1]; (H∼, τ∼)).

Powyzsze własnosci rodziny (M(t))t∈[0,t1 ] gwarantuja, ze układ (10) jest dobrze

zdefiniowany w HA−1 × HA∗

1 dla kazdego t ∈ [0, t1].





Przykład

Po przekształceniach otrzymujemy[

w1(t)w2(t)

]

=

[

A−1 −M(t) + A−1M(t) + M(t)A∗ + BB′

0 −A∗

] [

w1(t)w2(t)

]

,

(14)który ma sens w przestrzeni HA

−1 × HA∗

1 dla kazdego t ∈ [0, t1].

Diagonalizacja (9) wymaga istnienia rozwiazaniaM(·) ∈ C([0, t1]; (H, τ)) ∩ C1([0, t1]; (H∼, τ∼)) równania:

M(t) = A−1M(t) + M(t)A∗ + BB′ , t ∈ [0, t1] , M(0) = 0 , (15)

gdzie równosc rozumiana jest w przestrzeni H∼.

Wniosek

Interesuje nas rozwiazanie niejednorodnego rózniczkowego równaniem Lapunowaz nieograniczonym elementem wejsciowym:

M(t)h = A−1M(t)h + M(t)A∗h + BB′h , t ≥ 0 , M(0) = M0 , h ∈ HA∗

1 , (16)

gdzie równosc rozumiana jest w HA−1, przy załozeniach M0 ∈ H oraz BB′ ∈ H∼.




Podstawowe własnosci półgrupy złozonej

Własnosci półgrupy złozonej

Wykorzystujac półgrupy (T (t))t≥0 ⊂ H i (T∗(t))t≥0 ⊂ H generowane przez A i A∗,odpowiednio, definiujemy jeszcze jedna półgrupe.

Definicja

Rodzine operatorów (U(t))t≥0 ⊂ L (H), zdefiniowana zaleznoscia

U(t)X = T (t)XT∗(t), X ∈ H, t ≥ 0 , (17)

nazywamy półgrupa złozona.

Z definicji wynikaja nastepujace własnosci rodziny (U(t))t≥0 ⊂ L (H) :

(a) Rodzina operatorów (U(t))t≥0 ⊂ L (H) jest półgrupa, tzn.,

U(0)X = X , X ∈ H ,

U(t + s)X = U(t)(U(s)X) = U(s)(U(t)X) , X ∈ H, t, s ≥ 0 .

(b) (U(t))t≥0 ⊂ L (H) jest silnie τ -ciagła dla kazdego t ≥ 0, tzn. dla kazdego X ∈ H

τ - lim∆→0

(

U(t+∆)X−X)

= lim∆→0

‖(U(t+∆)X)h−(U(t)X)h‖H = 0 , h ∈ H . (18)






Definicja

Generatorem A półgrupy złozonej (U(t))t≥0 ⊂ L (H) nazywamy granice

AX = τ - limtց0

U(t)X − X

t, X ∈ D(A) , (19)

gdzie D(A) ⊂ H jest dziedzina operatora A zdefiniowana nastepujaco

D(A) = {X ∈ H : τ - limtց0

U(t)X − X

tisnieje w (H, τ)} . (20)

(c) X ∈ H nalezy do dziedziny D(A) wtedy i tylko wtedy, gdy obciecie X do HA∗

1

nalezy do L (HA∗

1 ,HA1 ), tzn.,

D(A) ⊂ H∩ L (HA∗

1 ,HA1 ) , (21)

i rozszerzenie operatora (AX + XA∗) ∈ L (HA∗

1 ,H) do H nalezy do H.(d) Operator A posiada nastepujaca jawna reprezentacja

(AX)h = AXh + XA∗h , X ∈ D(A) , h ∈ HA∗

1 . (22)






(e) Dla X ∈ H mamy∫ t

0U(r)X dr ∈ D(A) , t ≥ 0 , (23)

gdzie całka ma sens w (H, τ). Jezeli X ,Y ∈ H, to

U(t)X − X =

∫ t

0U(r)Y dr , t ≥ 0 , (24)

wtedy i tylko wtedy, gdy X ∈ D(A) i Y = AX .(f) Jezeli X ∈ D(A), to (U(t)X)t≥0 ⊂ D(A) i jest τ -rózniczkowalne wzgledem t , tzn.

U(·)X ∈ C1([0,∞); (H, τ)), oraz

d

dtU(t)X = A(U(t)X) = U(t)(AX) , t ≥ 0 . (25)

(g) Spełnione sa równosci

‖U(t)‖L (H) = ‖T (t)‖H‖T∗(t)‖H = ‖T (t)‖2H , t ≥ 0 , (26)

i jezeli ω0(T ) jest wskaznikiem wzrostu (T (t))t≥0 ⊂ H, a ω0(U) jest wskaznikiemwzrostu (U(t))t≥0 ⊂ L (H), to

ω0(U) = 2ω0(T ) . (27)






Dla λ ∈ C2ω0(T ) := {z ∈ C : Re z > 2ω0(T )} definiujemy rodzine operatorówR(λ) ∈ L (H) wykorzystujac przekształcenie Laplace’a

R(λ)X =

∫ ∞

0e−λtU(t)X dt =

∫ ∞

0e−λt T (t)XT∗(t) dt , X ∈ H , (28)

gdzie całki sa zbiezne w (H, τ).

(h) ZachodziC2ω0(T ) ⊂ ρ(A) , (29)

gdzie ρ(A) jest zbiorem rezolwentowym operatora A.

(i) Jezeli λ ∈ C2ω0(T ), to operator R(λ) pokrywa sie z rezolwenta R(λ,A) operatoraA, tzn.

R(λ) = R(λ,A) = (λI − A)−1 ∈ L (H) (30)

orazR(R(λ)) = R(R(λ,A)) = D(A) . (31)






Wniosek

Bezposrednio z własnosci (f) wynika, ze dla kazdego X0 ∈ D(A) wyrazenie

X(t) = U(t)X0 = T (t)X0T∗(t) , t ≥ 0 ,

spełnia warunek (X(t))t≥0 ⊂ D(A) oraz X(·) ∈ C1([0,∞); (H, τ)), i w rzeczywistoscijest τ -rózniczkowalnym rozwiazaniem jednorodnego zagadnienia Cauchyego

X (t) = AX(t) ∈ H, t ≥ 0 , X(0) = X0 . (32)

Na mocy własnosci (d) równanie (32) mozna przepisac w postaci

X(t)h = AX(t)h + X(t)A∗h , h ∈ HA∗

1 , t ≥ 0 , X(0) = X0 , (33)

które jest jednorodnym równaniem rózniczkowym Lapunowa.

Uwaga

Przede wszystkim interesuje nas jednak niejednorodne równanie Lapunowa znieograniczonym wejsciem F spełniajacym warunek

F ∈ H∼ = L (HA∗

1 ,HA−1) .Zbigniew Emirsajłow Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa



Rozszerzenie półgrupy złozonejWstepny wynik dla algebraicznego równania LapunowaWstepny wynik dla rózniczkowego równania LapunowaDopuszczalne elementy wejscioweGłówny wynik dla rózniczkowego równania LapunowaPrzykład 1 - czesc II

Rozszerzenie półgrupy złozonej

Na H definiujemy dodatkowa norme ‖X‖⋆ := ‖R(λ,A)X‖, gdzie X ∈ H, orazrodzine półnorm P⋆ = {p⋆ h}, gdzie p⋆ h(X) = ph(R(λ,A)X) = ‖(R(λ,A)X)h‖Hdla X ∈ H i h ∈ H. τ⋆ oznacza topologie na H indukowana przez rodzine P⋆.

H−1 jest przestrzenia Banacha zdefiniowana jako uzupełnienie H rozumiane wsensie klas równowaznosci ciagów Cauchy’ego w (H, τ⋆) o ograniczonej normie‖ · ‖⋆. Norma w H−1 zdefiniowana jest zaleznoscia

‖X‖−1 = supp−1 h∈P

−1

p−1 h(X) , X ∈ H−1 ,

gdzie P−1 = {p−1 h} jest rodzina półnorm p−1 h na H−1, zdefiniowanych granica

p−1 h(X) = limn→∞

p⋆ h(Xn) , h ∈ H ,

gdzie (Xn)n∈N ⊂ H jest dowolnym reprezentantem klasy równowaznosci X . Jezeliτ−1 oznacza topologie na H−1 indukowana przez rodzine P−1, wówczaskanoniczna injekcja (H, τ) → (H−1, τ−1) jest bi-ciagła i bi-gesta.





Rozszerzenie półgrupy złozonej

(U−1(t))t≥0 ⊂ L (H−1) jest τ−1-ciagła półgrupa zdefiniowana zaleznoscia

U−1(t)X := τ−1- limn→∞

U(t)Xn = τ−1- limn→∞

T (t)XnT∗(t) , t ≥ 0 , X ∈ H−1 ,

gdzie (Xn)n∈N ⊂ H jest ciagiem ograniczonym w ‖ · ‖−1 i τ−1-zbieznym do X .Generator (A−1,D(A−1)) posiada dziedzine D(A−1) = H i spełnia warunekA−1X = AX dla X ∈ D(A). Ponadto, ω0(U−1) = ω0(U) = 2ω0(T ).Niejednorodny problem Cauchy’ego

X(t) = A−1X(t) + F , t ≥ 0 , X(0) = X0 , (34)

gdzie X0 ∈ H i F ∈ H−1.

Lemat

Jezeli F ∈ H−1 i X0 ∈ H, to (34) ma jednoznaczne rozwiazanie spełniajace warunek

X(·) ∈ C([0,∞); (H, τ)) ∩ C1([0,∞); (H−1, τ−1)) . (35)

Rozwiazanie to dane jest zaleznoscia

X(t) = U(t)X0 +

∫ t

0U−1(t − r)F dr . (36)





Reprezentacja A−1 i U−1(t)

(U∼(t))t≥0 ⊂ L (H∼) jest półgrupa złozona zdefiniowana

U∼(t)X := T−1(t)ZT∗1 (t) , X ∈ H , t ≥ 0 . (37)

(A∼,D(A∼)) oznacza jej generator. Zachodzi H ⊂ D(A∼) i ω0(U∼) = ω0(U).

Lemat

(a) (H, τ) → (H−1, τ−1) → (H∼, τ∼) i injekcje sa bi-ciagłe i bi-geste.

(b) Prawdziwe sa nastepujace zaleznosci (równosci w HA−1):

(A−1X)h = (A∼X)h

= A−1Xh + XA∗h , X ∈ H , h ∈ HA∗

1 , (38)

(U−1(t)X)h = (U∼(t)X)h

= T−1(t)XT∗1 (t)h , X ∈ H−1 , t ≥ 0 , h ∈ HA∗

1 , (39)

(R(λ,A−1)X)h = (R(λ,A∼)X)h

=

∫ ∞

0e−λt T−1(t)XT∗

1 (t)hdt , X ∈ H−1 , h ∈ HA∗

1 . (40)





Algebraiczne równanie Lapunowa

Lemat

Niech λ ∈ C2ω0(T ) i F ∈ H∼. Algebraiczne równanie Lapunowa (w HA−1)

λXh − A−1Xh − XA∗h = Fh , h ∈ HA∗

1 (41)

posiada jednoznaczne rozwiazanie X ∈ H = L (H) wtedy i tylko wtedy, gdy

F ∈ H−1 (42)

równowaznie,R(λ,A∼)F ∈ H . (43)

Uwaga

Z równowaznosci HA−1 i (HA∗

1 )′ wynika, ze (41) mozna przepisac w postaci

λ〈Xh, g〉H − 〈Xh, A∗g〉H − 〈XA∗h, g〉H = 〈Fh, g〉(HA∗

1 )′×HA∗1

, h, g ∈ HA∗

1 , (44)

gdzie 〈·, ·〉(HA∗

1 )′×HA∗1

oznacza relacje dualnosci miedzy HA∗

1 i (HA∗

1 )′.





Rózniczkowe równanie Lapunowa

Niejednorodny problem Cauchy’ego

X (t) = A∼X(t) + F , t ≥ 0 , X(0) = X0 , (45)

gdzie X0 ∈ H i F ∈ H∼, lub rownowaznie

X (t)h = A−1X(t)h + X(t)A∗h + Fh , h ∈ HA∗

1 , t ≥ 0 , X(0) = X0 , (46)

gdzie X0 ∈ H, F ∈ H∼ i równosc (46) zachodzi w HA−1.

Czesciowy wynik (wynika z lematu dla problemu Cauchy’ego (34)).

Wniosek

Jezeli F ∈ H−1 i X0 ∈ H, to rózniczkowe równanie Lapunowa (46) posiadajednoznaczne rozwiazanie X(·) ∈ C([0,∞); (H, τ)) ∩ C1([0,∞); (H−1, τ−1)), danezaleznoscia

X(t) = U(t)X0 +

∫ t

0U∼(t − r)F dr

= T (t)X0T∗(t) +∫ t

0T−1(t − r)FT∗

1 (t − r) dr , t ≥ 0 . (47)





Dopuszczalny element wejsciowy

Wprowadzamy rodzine operatorów ((MF )(t))t≥0 ⊂ H∼

(MF )(t) =∫ t

0U∼(t − r)Fdr =

∫ t

0T−1(t − r)FT∗

1 (t − r)dr , F ∈ H∼ , t ≥ 0 .

(48)

Definicja

F ∈ H∼ nazywamy dopuszczalnym elementem wejsciowym dla rózniczkowegorównania Lapunowa (46) jezeli istnieja ε > 0 i C > 0 takie, ze

(MF )(t) ∈ H , t ∈ [0, ε] , (49)

sup0≤t≤ε

‖(MF )(t)‖ ≤ C , (50)

orazτ - lim

tց0(MF )(t) = 0 . (51)





Dopuszczalny element wejsciowy

Lemat

Jezeli F ∈ H∼ jest dopuszczalnym elementem wejsciowym dla rózniczkowegorównania Lapunowa (46), to spełniony jest warunek

(MF )(t) ∈ H , t ≥ 0 , (52)

oraz(MF )(·) ∈ C([0,∞); (H, τ)) . (53)

Twierdzenie

F ∈ H∼ jest dopuszczalnym elementem wejsciowym dla rózniczkowego równaniaLapunowa (46) wtedy i tylko wtedy, gdy F ∈ H−1.

Uwaga

Wszystkie elementy F ∈ H−1 mozna sparametryzowac zaleznoscia

F (X) = λX − A−1X − XA∗, X ∈ H.






Wniosek


M(t) = A−1M(t) + M(t)A∗ + BB′ , t ≥ 0 , M(0) = 0 , (54)

posiada jednoznaczne rozwiazanie (M(t))t≥0 ⊂ H spełniajace warunek

M(·) ∈ C([0,∞); (H, τ)) ∩ C1([0,∞); (H−1, τ−1))

(stad takze w M(·) ∈ C1([0,∞); (H∼, τ∼))) wtedy i tylko wtedy, gdy

BB′ ∈ H−1 , (55)

równowaznie,R(λ,A∼)(BB′) ∈ H . (56)

Rozwiazanie to dane jest zaleznoscia

M(t) =∫ t

0U−1(t − r)(BB′) dr =

∫ t

0T−1(t − r)BB′T∗

1 (t − r) dr , t ≥ 0 . (57)





Dopuszczalnosc operatora BB′

Uwaga

(a) Warunek (55) jest równowazny faktowi, ze dla λ ∈ C2ω0(T ) algebraiczne równanieLapunowa

λ〈Xh, g〉H − 〈Xh,A∗g〉H − 〈XA∗h, g〉H = 〈B′h,B′g〉U , h, g ∈ HA∗

1 , (58)

posiada jednoznaczne rozwiazanie X ∈ H.

(b) Jezeli X ∈ H spełnia równanie (58), to równiez spełnia je X∗ ∈ H.Jednoznacznosc implikuje wiec samosprzezonosc rozwiazania. Poniewaz Xmozna przedstawic w postaci

X = R(λ,A∼)(BB′) = R(λ,A−1)(BB′) , (59)

wiec wynika stad, ze operator X jest nieujemny.

Lemat

Niech B ∈ L (U,HA−1) (BB′ ∈ H∼). BB′ ∈ H−1 wtedy i tylko wtedy, gdy

B ∈ L (U,HA−1) jest dopuszczalnym operatorem wejsciowym dla (T (t))t≥0 ⊂ H.





Przykład 1 - c.d.

Sterowanie optymalne przy kwadratowym wskazniku jakosci - czesc II.

Koncowy układ równan rózniczkowych[

w1(t)w2(t)

]

=

[

A−1 00 −A∗

−1

] [

w1(t)w2(t)

]

, t ∈ [0, t1] (60)

(w przestrzeni HA−1 × HA∗

−1) z warunkami poczatkowo-koncowymi:

[

w1(0)w2(t1)

]

=

[

x0z1 − (I + M(t1))−1(w1(t1) + M(t1)z1)

]

, (61)

gdzie x0 ∈ H i z1 ∈ H.

Uwaga

Aby wyznaczyc (w1(t))t∈[0,t1 ], musimy najpierw rozwiazac pierwsze równanierózniczkowe z układu (60) do przodu w czasie i wówczas otrzymamy równiez w1(t1).Majac M(t1) i w2(t1), musimy nastepnie rozwiazac drugie równanie rózniczkowe zukładu (60) do tyłu w czasie i wówczas otrzymamy funkcje (w2(t))t∈[0,t1 ].





Przykład 1 - c.d.

Uwaga

Słabe rozwiazanie wyjsciowego zagadnienia dwugranicznego[

x1(t)x2(t)

]

=

[

A−1 BB′

0 −A∗

] [

x1(t)x2(t)

]

, t ∈ [0, t1],[

x1(0)x2(t1)

]

=

[

x0z1 − x1(t1)

]

,

(62)gdzie x0, z1 ∈ H, otrzymujemy z zaleznosci

[

x1(t)x2(t)

]

=

[

I M(t)0 I

] [

w1(t)w2(t)

]

, t ∈ [0, t1] . (63)

Z zaleznosci tej wynika, ze dla kazdej pary x0, z1 ∈ H zagadnienie dwugraniczne (62)ma jednoznaczne słabe rozwiazanie

[

x1(·)x2(·)

]

∈ C([0, t1];H)× C([0, t1];H) , (64)

które w sposób ciagły zalezy od danych x0 i z1.




Główny wynik dla algebraicznego równania LapunowaPrzykład 2

Dopuszczalnosc przy nieskonczonym horyzoncie czasowym

Definicja

Operator B ∈ L (U,HA−1) nazywany jest dopuszczalnym operatorem wejsciowym przy

nieskonczonym horyzoncie czasowym (dla półgrupy (T (t))t≥0 ⊂ L (H)), jezeli istniejestała C∞ > 0 taka, ze zachodzi warunek

‖

∫ ∞

0T−1(t)Bu(t) dt‖H ≤ C∞‖u‖L2(0,∞;U), u ∈ L2(0,∞;U) , (65)

lub równowaznie(

∫ ∞

0‖B′T∗

1 (t)h‖2U dt

)1/2≤ C∞‖h‖H , h ∈ D(A∗). (66)





Algebraiczne równanie Lapunowa

Lemat

B ∈ L (U,HA−1) jest dopuszczalnym operatorem wejsciowym przy nieskonczonym

horyzoncie czasowym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje samosprzezony i nieujemnyoperator M ∈ H spełniajacy równanie

−A∼M = BB′ (67)

w przestrzeni H∼, lub równowaznie, algebraiczne równanie Lapunowa

− A−1Mh − MA∗h = BB′h , h ∈ HA∗

1 (68)

w przestrzeni HA−1. Jezeli dodatkowo półgrupa (T (t))t≥0 ⊂ H jest wykładniczo stabilna

(ω0(T ) < 0), to rozwiazanie M ∈ H jest jednoznaczne i mozna je przedstawic wpostaci:

M = (−A∼)−1(BB′) = (−A−1)−1(BB′) =

∫ ∞

0U−1(t)(BB′) dt

=

∫ ∞

0T−1(t)BB′T∗

1 (t) dt . (69)





Twierdzenie Lapunowa

Lemat

Nastepujace warunki sa równowazne:

(a) ω0(T ) < 0, tzn. półgrupa (T (t))t≥0 ⊂ H jest wykładniczo stabilna.

(b) ω0(U) < 0, tzn. (U(t))t≥0 ⊂ L (H) jest wykładniczo stabilna.

(c) Istnieje samosprzezony i nieujemny operator M ∈ H∩ D(A) spełniajacy równanie

AM = −IH , (70)

gdzie równosc zachodzi w H, a IH jest operatorem tozsamosciowym w H, lubrównowaznie, równanie

〈Mh,A∗g〉H + 〈MA∗h, g〉H = −〈h, g〉H , h, g ∈ HA∗

1 . (71)


Documents

Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa:´ …›pny wynik dla algebraicznego równania Lapunowa Wste˛pny wynik dla rózniczkowego równania Lapunowa˙ Dopuszczalne elementy wejsciowe´