NILAI EKSTREM LOKAL FUNGSI POLINOMIAL BERDERAJAT 5 …repository.usd.ac.id/11195/2/131414039_full.pdf · iv HALAMAN PERSEMBAHAN “A great discovery solves a great problem but there

NILAI EKSTREM LOKAL FUNGSI POLINOMIAL BERDERAJAT 5

YANG SIMETRIS MENGGUNAKAN METODE GOLDEN SECTION

SEARCH YANG DIKOMBINASIKAN DENGAN KONSEP

ALJABAR DAN GEOMETRI

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh :

Cresentia Carina Ardianti Ayuningtyas

NIM : 131414039

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2017

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

i





SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh :


NIM : 131414039

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2017




iv

HALAMAN PERSEMBAHAN

“A great discovery solves a great problem but there is a grain of discovery in the

solution of any problem. Your problem may be modest, but if it challenges your

curiosity and brings into play your inventive faculties, and if you solve it by own

means you may experience the tension and enjoy the triumph of discovery”

George Polya

“Janganlah hendaknya kamu kuatir tentang apapun juga, tetapi nyatakanlah

dalam segala hal keinginanmu kepada Allah dalam doa dan permohonan dengan

ucapan syukur.” Filipi 4:6

Karya ini kupersembahkan untuk :

Keluarga kecilku : Petrus Sunardi, Lucia Purwanti dan Ch. Lucky A.

Barnabas Kresna R.

Sahabat seperjuangan : Fransiska Dian R., Rosalia Widi L., Paskalia K., Valentina

Retno P., Reska D., Lusia Widya K.

Keluarga Van Lith Angkatan 20

Seluruh teman-teman seperjuangan mahasiswa Pendidikan Matematika 2013


v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak

memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali telah disebutkan dalam

kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 29 Mei 2017

Penulis



vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIK

Yang bertanda tangan di bawah ini saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma :

Nama : Cresentia Carina Ardianti Ayuningtyas

NIM : 131414039

Demi perkembangan ilmu pengetahuan saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul :





Dengan demikian, saya memberikan kepada Perpusatkaan Universitas Sanata

Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain,

mengolahnya dalam pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan

mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademik

tanpa perlu meminta izin kepada saya atau memberikan royalti pada saya selama

masih tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya.


Yang menyatakan



vii

ABSTRAK

Cresentia Carina Ardianti Ayuningtyas, 2017. Nilai Ekstrem Lokal Fungsi

Polinomial Berderajat 5 Yang Simetris Menggunakan Metode Golden Section

Search Yang Dikombinasikan Dengan Konsep Aljabar Dan Geometri. Skripsi.

Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan,

Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Latar belakang dari penelitian ini adalah pengembangan dari penelitian

terdahulu yang membahas tentang menentukan nilai ekstrem fungsi polinomial

berderajat 5 tanpa menggunakan konsep turunan, tetapi menggunakan konsep

aljabar dan geometri. Pada penelitian ini, metode yang digunakan untuk mencari

nilai ekstrem lokal fungsi polinomial berderajat 5 adalah metode numerik yang

dikombinasikan dengan konsep aljabar dan geometri. Objek yang diteliti adalah

fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris. Metode numerik yang digunakan

adalah metode Golden Section Search.

Penelitian ini bertujuan untuk menentukan karakteristik fungsi polinomial

berderajat 5 yang simetris, menentukan selang pada fungsi polinomial berderajat 5

yang simetris sehingga fungsi unimodal pada selang tersebut dan menentukan

nilai ekstrem fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris menggunakan metode

Golden Section Search yang dikombinasikan dengan menggunakan konsep aljabar

dan geometri. Langkah awal yang dilakukan dalam penelitian ini adalah menguji

kesimetrisan fungsi polinomial berderajat 5, ( ) . Jika fungsi merupakan fungsi yang simetris maka proses dilanjutkan ke

langkah selanjutnya. Fungsi merupakan fungsi yang simetris jika fungsi

memiliki pusat simetri di

, dengan pusat simetri berupa titik simetri putar

( ( )). Langkah selanjutnya adalah melakukan translasi pada fungsi g dengan

menggeser titik simetri putarnya ke O(0,0). Hasil translasi tersebut diperoleh suatu

fungsi ganjil, yaitu fungsi .

Proses selanjutnya adalah menentukan pembuat nol dari fungsi dan

menganalisis banyaknya nilai ekstrem yang dimiliki oleh fungsi berdasarkan

banyaknya pembuat nol real dari fungsi . Hasil analisis tersebut menunjukkan

ada 7 kasus berbeda yang menggambarkan kemungkinan dari nilai ekstrem lokal

fungsi . Dari hasil analisis tersebut juga diperoleh selang sedemikian sehingga

fungsi unimodal pada selang tersebut. Selang tersebut terbentuk dari dua pembuat

nol real dari fungsi . Setelah diperoleh selang tersebut, nilai ekstrem lokal dari

fungsi ditentukan dengan menggunakan metode Golden Section Search. Proses

akhir dari penelitian ini adalah menentukan nilai ekstrem lokal dari fungsi

dengan cara mentranslasikan kembali dari fungsi ke fungsi . Setiap proses

yang dilakukan dalam penelitian ini disimulasikan menggunakan komputer dan

dituliskan menjadi sebuah program yang diaplikasikan pada MATLAB.

Kata Kunci : Fungsi Polinomial Berderajat 5, Golden Section Search, Nilai

Ekstrem, Polinomial, Unimodal.


viii

ABSTRACT

Cresentia Carina Ardianti Ayuningtyas, 2017. Extreme Relative Value of

Symmetric Fifth Degree Polynomial Function Use Golden Section Search

Method which is Combined with Algebraic and Geometry Concept. Thesis.

Mathematics Education Studi Program, Mathematics and Science Education

Department, Faculty of Teacher and Traingin and Education, Sanata

Dharma University, Yogyakarta.

The background of this research is the development from the previous

research that discuss about extreme value of fifth degree polynomial function

without derivative concepts, but with algebraic and geometry concepts. In this

research, numerical method which is combined with algebraic and geometry

concepts are used to determine extreme value of fifth degree polynomial function.

The object of this research is symmetric fifth degree polynomial function. Golden

Section Search method, one of numerical methods, is used in this research.

This research aims to determine characteristic of symmetric fifth degree

polynomial function, determine interval such that symmetric fifth degree

polynomial function is unimodal in that interval and determine extreme relative

value of symmetric fifth degree polynomial function with Golden Section Search

that is combined with algebraic and geometry concepts. The first step is to do the

symmetry test of fifth degree polynomial function, ( ) . If is a symmetric function, then the process will be continued.

Function g is symmetric if has symmetry center at

the center symmetry

of is rotational symmetry point ( ( )). The next step is to translate function

by moving its rotational symmetry point to origin O(0,0). From the result of the

translation, an odd function, which is called function , is obtained.

The next step is to determine the zeros of and analyzing how many has

extreme relative value based on the zeros of which it has. The result of this

analysis indicates that there are 7 different cases that illustrate the possibility of

extreme relative value . Besides, the analysis’s result finds interval such that

function is unimodal in this interval. The interval is formed of two zeros-real,

which are adjacent, of . After the interval is found, extreme relative value of is

determined by Golden Section Search method. The last process is to determine

extreme relative value of by translating to . Every process in this research

are simulated by computer and written into program that can be applied in

MATLAB.

Keyword : Fifth Degree Polynomial Function, Golden Section Search, Extreme

Value, Polynomial, Unimodal.


ix

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas

rahmat dan berkatNya, penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul “Nilai

Ekstrem Fungsi Polinomial Berderajat 5 yang Simetris Menggunakan Metode

Golden Section Search yang Dikombinasikan dengan Konsep Aljabar dan

Geometri” dengan baik. Skripsi ini disusun sebagai salah satu syarat untuk

memperoleh gelar sarjana Pendidikan pada Program Studi Pendidikan

Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma.

Banyak tantangan dan hambatan dalam proses penulisan skripsi ini, namun

berkat dukungan, doa dan motivasi dari semua pihak, penulis dapat

menyelesaikan skripsi ini. Pada kesempatan kali ini, penulis mengucapkan

terimakasih kepada beberapa pihak, di antaranya :

1. Bapak Rohandi, Ph.D., selaku dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu

Pendidikan Universitas Sanata Dharma.

2. Bapak Dr. Hongki Julie, M.Si., selaku Ketua Program Studi Pendidikan

Matematika Universitas Sanata Dharma.

3. Bapak Febi Sanjaya, M.Sc., selaku dosen pembimbing skripsi yang telah

berkenan meluangkan waktu, tenaga serta pikiran untuk membimbing

penulis sekaligus memberikan banyak masukan dan nasihat kepada penulis

selama menyusun skripsi.

4. Bapak Beni Utomo, M.Sc., selaku dosen pembimbing akademik yang

telah banyak membimbing, memberikan nasihat dan motivasi kepada

penulis selama berlangsungnya perkuliahan di Universitas Sanata Dharma.

5. Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Pendidikan Matematika yang telah

membimbing, mendidik dan memberi nasihat kepada penulis selama

menuntut ilmu di Program Studi Pendidikan Matematika Universitas

Sanata Dharma.


x

6. Seluruh staf sekretariat JPMIPA, Ibu Tari, Bapak Sugeng, Mas Arif dan

Mas Made yang telah banyak membantu memberikan pelayanan

kesekretariatan selama ini.

7. Kedua orangtuaku, Bapak Petrus Sunardi dan Ibu Lucia Purwanti, serta

kakakku Christophorus Lucky Ardi Pratama, yang senantiasa memberikan

motivasi, dukungan, semangat dan doa untuk penulis.

8. Teman-teman Pendidikan Matematika angkatan 2013, yang sudah

berproses bersama selama empat tahun ini.

9. Semua pihak yang telah membantu penulis menyelesaikan skripsi ini baik

secara langsung maupun tidak langsung yang tidak dapat penulis sebutkan

satu persatu.

Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan skripsi

ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun.

Semoga tulisan ini dapat memberi manfaat dan wawasan kepada setiap pembaca.


Penulis


xi

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ........................................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................. ii

HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................. iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ......................................................................... iv

HALAMAN KEASLIAN KARYA .................................................................... v

HALAMAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ILMIAH ...................................... vi

ABSTRAK .......................................................................................................... vii

ABSTRACT ..........................................................................................................viii

KATA PENGANTAR ........................................................................................ ix

DAFTAR ISI ....................................................................................................... xi

DAFTAR SIMBOL .............................................................................................xiv

DAFTAR GAMBAR ..........................................................................................xv

DAFTAR TABEL .......................................................................................... xviii

DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................. xix

BAB I PENDAHULUAN ...................................................................................1

A. Latar Belakang ........................................................................................1

B. Rumusan Masalah ...................................................................................6

C. Pembatasan Masalah ...............................................................................6

D. Batasan Istilah .........................................................................................6

E. Tujuan Penelitian.....................................................................................8

F. Manfaat Penelitian...................................................................................8


xii

G. Metode Penelitian ....................................................................................9

H. Sistematika Penulisan ..............................................................................10

BAB II LANDASAN TEORI .............................................................................12

A. Polinomial ...............................................................................................12

B. Fungsi Polinomial ...................................................................................13

C. Pembuat Nol Fungsi Polinomial .............................................................24

D. Diskiriminan ............................................................................................37

E. Nilai Ekstrem Fungsi Polinomial ............................................................39

F. Translasi ..................................................................................................43

G. Optimasi ..................................................................................................45

H. Golden Section ........................................................................................47

I. Metode Golden Section Search ...............................................................50

J. Penelitian yang Relevan ..........................................................................60

BAB III FUNGSI POLINOMIAL BERDERAJAT 5 .........................................64

A. Fungsi Polinomial Berderajat 5 ...............................................................64

B. Fungsi Polinomial Berderajat 5 yang Simetris ........................................69

C. Nilai Ekstrem Lokal Fungsi Polinomial Berderajat 5 Menggunakan

Golden Section ........................................................................................78

D. Proses Menentukan Nilai Ekstrem Lokal Fungsi Polinomial

Berderajat 5 yang Simetris ......................................................................89

E. Uji Simetris Fungsi Polinomial Berderajat 5 ..........................................95

F. Proses Translasi Fungsi Polinomial Berderajat 5 ....................................96


xiii

BAB IV NILAI EKSTREM LOKAL FUNGSI POLINOMIAL

BERDERAJAT 5 YANG SIMETRIS ................................................................99

A. Pembuat Nol dari Fungsi Polinomial ..................................................99

B. Titik Ekstrem Lokal Fungsi Polinoimal Ditinjau dari Pembuat Nol

Fungsi ...................................................................................................106

C. Nilai Ekstrem Lokal Fungsi Polinomial Menggunakan Metode

Golden Section Search ............................................................................169

D. Nilai Ekstrem Fungsi Awal .....................................................................175

E. Analisis Kesalahan ..................................................................................177

BAB V PENUTUP ..............................................................................................182

A. Kesimpulan..............................................................................................182

B. Saran ........................................................................................................188

DAFTAR PUSTAKA .........................................................................................189

LAMPIRAN ........................................................................................................191


xiv

DAFTAR SIMBOL

: Himpunan semua bilangan real.

: Himpunan semua bilangan kompleks.

: Notasi tak hingga.

: Notasi bentuk ekuivalen atau bentuk biimplikasi.

: Notasi implikasi.

: , konjugat dari bilangan kompleks

∑ : Sigma atau notasi jumlahan suku-suku yang merupakan variabel

berindeks atau suku-suku suatu deret.

: Vektor atau garis berarah dari titik A ke titik B.

: Segmen garis yang menghubungkan titik A dan titik B.

: Tanda akhir pembuktian.

QED : Quod Erat Demonstrandum, artinya sudah terbukti.


xv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Grafik Fungsi Genap (Even Function) .......................................... 16

Gambar 2.2 Grafik Fungsi Ganjil (Odd Function) ............................................ 16

Gambar 2.3 Grafik Fungsi ( ) .... 17

Gambar 2.4 Grafik Fungsi ( ) .................... 17

Gambar 2.5 (a) Fungsi Naik, (b) Fungsi Turun, (c) Fungsi Konstan ................ 18

Gambar 2.6 Grafik Fungsi yang Mulus dan Kontinu (Smooth and

Continous Curve)......................................................................... 19

Gambar 2.7 Grafik Fungsi yang Tidak Kontinu ................................................ 19

Gambar 2.8 Grafik Fungsi yang Tidak Mulus ................................................... 20

Gambar 2.9 Sifat The End Behavior of Polynomials untuk bilangan ganjil . 23

Gambar 2.10 Sifat The End Behavior of Polynomials untuk bilangan genap 23

Gambar 2.11(a)Akar Ganda-Dua,(b)Akar Ganda-Tiga,(c)Akar Ganda-Empat 26

Gambar 2.12 Titik – Titik Puncak dari Fungsi Polinomial ............................... 39

Gambar 2.13 Nilai Ekstrem Lokal dan Nilai Ekstrem Global ........................... 41

Gambar 2.14 Pergeseran Grafik Fungsi secara Vertikal dan Horisontal ....... 45

Gambar 2.15 Ilustrasi Golden Ratio .................................................................. 48

Gambar 2.16 Kondisi ketika ( ) ( ) ..................................................... 51



Gambar 2.19 (a) Kondisi ketika ( ) ( ), (b) Kondisi ketika

( ) ( ) ........................................................................ 54

Gambar 2.20 Pereduksian Selang Metode Langsung Jika ( ) ( )

untuk Kasus Minimum ................................................................ 54

Gambar 2.21 Pereduksian Selang Metode Langsung Jika ( ) ( )

untuk Kasus Minimum ................................................................ 55

Gambar 2.22 Ilustrasi Pereduksian Selang Metode Langsung Jika

( ) ( ) untuk Kasus Minimum ....................................... 55

Gambar 2.23 Ilustrasi Pereduksian Selang Metode Langsung Jika

( ) ( ) untuk Kasus Minimum ....................................... 55


xvi

Gambar 2.24 Ilustrasi Pereduksian Selang Metode Golden Section Search

Jika ( ) ( ) untuk Kasus Minimum................................ 57

Gambar 2.25 Ilustrasi Pereduksian Selang Metode Golden Section Search

Jika ( ) ( ) untuk Kasus Minimum................................ 57

Gambar 3.1 (a), (b), (c), (d) Berbagai Macam Bentuk Grafik Fungsi

Polinomial Berderajat 5 ............................................................... 66

(e), (f), (g), (h) Berbagai Macam Bentuk Grafik Fungsi

Polinomial Berderajat 5 ............................................................... 67

Gambar 3.2 Grafik Fungsi ( ) . 74

Gambar 3.3 Translasi Grafik Fungsi .............................................................. 75

Gambar 3.4 Grafik Fungsi ( ) ............... 76

Gambar 3.5 Translasi Grafik Fungsi .............................................................. 78

Gambar 3.6 Grafik Fungsi ( ) ... 80

Gambar 3.7 Diagram Proses Menentukan Nilai Ekstrem Lokal

Fungsi Polinomial Berderajat 5 yang Simetris untuk ......... 93

Gambar 3.8 Diagram Proses Menentukan Nilai Ekstrem Lokal

Fungsi Polinomial Berderajat 5 yang Simetris untuk ......... 94

Gambar 4.1 Grafik Fungsi ( ) ( )( ) .................................... 107

Gambar 4.2 Grafik Fungsi ( ) ( )( ) ........................... 107

Gambar 4.3 Grafik Fungsi ( ) ( )( ) ................................. 113

Gambar 4.4 Grafik Fungsi ( ) ( )( ) ............................. 113

Gambar 4.5 Kemungkinan Grafik Fungsi yang Memiliki 2 nilai

Ekstrem Lokal pada [ √ ] ......................................................... 115

Gambar 4.6 Grafik Fungsi ( ) ( )( ) .............................. 122

Gambar 4.7 Grafik Fungsi ( ) ( )( ) .............................. 122

Gambar 4.8 Grafik Fungsi ( ) ( ) ................................................ 130

Gambar 4.9 Grafik Fungsi ( ) ( ) ........................................ 130

Gambar 4.10 Grafik Fungsi ( )

( ) ............................................ 143

Gambar 4.11 Grafik Fungsi ( ) ( ) .......................................... 143

Gambar 4.12 Grafik Fungsi ( ) ...................................... 150


xvii

Gambar 4.13 Grafik Fungsi ( ) ................................ 150

Gambar 4.14 Grafik Fungsi ( ) ...................................... 150

Gambar 4.15 Grafik Fungsi ( ) ..................................... 151

Gambar 4.16 (a) Grafik Fungsi dan ..................................................... 152

(b) Pergerakan garis sebesar dan Titik Potongnya

dengan Grafik Fungsi .......................................................... 153

Gambar 4.17 Kemungkinan bentuk grafik jika ada 2 titik potong antara

dan ( ) ................................................................. 157

Gambar 4.18 Grafik fungsi dan ................................................................. 157

Gambar 4.19 Sumbu X (y=0) digeser ke bawah sebesar ............................... 159

Gambar 4.20 Grafik fungsi dan ................................................................... 159

Gambar 4.21 Kemungkinan bentuk grafik jika terdapat 3 titik potong

dan ( ) ................................................................. 161


Gambar 4.23 Sumbu X (y=0) digeser ke bawah sebesar ............................... 163


Gambar 2.25 Ilustrasi kesalahan metode numerik karena kebergantungan

nilai pada kasus 6 ..................................................................... 179

Gambar 4.26 Ilustrasi keterbatasan iterasi dan kebergantungan nilai

metode numerik pada kasus 6...................................................... 180


xviii

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Penamaan Beberapa Fungsi Polinomial .............................................. 13

Tabel 2.2 Sifat The End Behavior of Polynomials .............................................. 22

Tabel 3.1 Hasil Iterasi Menentukan Nilai Minimum Lokal di ............ 82

Tabel 3.2 Hasil Iterasi Menentukan Nilai Minimum Lokal di ................ 84

Tabel 3.3 Hasil Iterasi Menentukan Nilai Maksimum Lokal di .......... 87

Tabel 3.4 Hasil Iterasi Menentukan Nliai Maksimum Lokal di .......... 89

Tabel 5.1 Kemungkinan Banyaknya Nilai Pembuat Nol Real dari Fungsi ....184

Tabel 5.2 Kemungkinan Banyaknya Nilai Ekstrem Lokal Fungsi

Berdasarkan Pembuat Nol dari Fungsi ..........................................185


xix

DAFTAR LAMPIRAN

1. Code Program MATLAB ............................................................................ 192

2. Contoh Hasil Perhitungan MATLAB Kasus 1 ............................................ 217







1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Masalah optimasi merupakan permasalahan yang berkaitan dengan

mencari nilai ekstrem dari suatu fungsi. Nilai ekstrem fungsi identik

dengan nilai dari suatu variabel bebas yang memaksimumkan atau

meminimumkan suatu fungsi. Konsep turunan sering digunakan untuk

mencari nilai ekstrem dari sebuah fungsi, salah satunya adalah fungsi

polinomial atau suku banyak. Pencarian nilai ekstrem dari fungsi

polinomial menggunakan konsep turunan dapat dilakukan dengan mencari

akar-akar persamaan dari turunan pertama fungsi polinomial.

Konsep turunan dapat mudah digunakan untuk mencari nilai

ekstrem pada fungsi polinomial yang sederhana, seperti fungsi kuadrat dan

fungsi kubik. Sebab, hasil turunan pertama dari fungsi kuadrat dan fungsi

kubik dapat dengan mudah dicari akar-akar persamaannya. Masalah

seringkali muncul apabila konsep turunan digunakan untuk mencari nilai

ekstrem dari beberapa fungsi polinomial berderajat tinggi, seperti

polinomial berderajat 4, 5, dan seterusnya. Permasalahan yang muncul

adalah metode yang digunakan untuk mencari akar-akar persamaan dari

turunan pertama fungsi polinomial berderajat tinggi secara analitik. Salah

satu metode yang sering digunakan adalah metode Horner. Namun,

metode Horner tidak dapat digunakan dengan mudah untuk mencari


2

seluruh akar-akar persamaan dari turunan pertama fungsi polinomial

berderajat tinggi.

Berbagai penelitian muncul untuk menyelidiki metode yang dapat

digunakan untuk mencari nilai ekstrem dari fungsi polinomial tanpa

menggunakan konsep turunan. Taylor dan Hansen (2008) dalam artikel

“Optimization Cubic Function without Calculus” menunjukkan hasil

penelitian tentang pencarian nilai ekstrem pada fungsi polinomial

berderajat 3 atau fungsi kubik tanpa menggunakan konsep turunan tetapi

menggunakan konsep sederhana aljabar dan geometri. Penelitian tersebut

menghasilkan suatu formula mencari nilai ekstrem fungsi polinomial

berderajat 3, yang hasilnya sama dengan formula akhir jika menggunakan

turunan.

Ayuningtyas, Setyarini dan Retnosari (2016) dalam artikel

“Permasalahan Optimasi Fungsi Polinomial Berderajat Tinggi Tanpa

Melibatkan Konsep Turunan”, mencoba mengembangkan penelitian dari

Taylor dan Hansen, pada fungsi polinomial yang berorde lebih tinggi,

yaitu fungsi polinomial berderajat 5. Penelitian yang dilakukan tetap

menggunakan ide dasar yang sama yaitu melibatkan konsep sederhana

aljabar dan geometri. Hasil penelitian pengembangan tersebut masih

menunjukkan permasalahan dalam mencari nilai ekstrem fungsi

polinomial berderajat 5 dengan mengunakan konsep aljabar dan geometri

dan meninggalkan sistem persamaan yang tidak dapat diselesaikan secara

eksak.


3

Permasalahan yang masih ditinggalkan dalam hasil penelitian

Ayuningtyas, Setyarini dan Retnosari, melatarbelakangi penelitian ini

untuk meninjau lebih jauh metode yang dapat digunakan dalam mencari

nilai ekstrem fungsi polinomial berderajat 5 tanpa menggunakan konsep

turunan. Pada penelitian ini penyelesaian dalam menentukan nilai ekstrem

fungsi polinomial berderajat 5 menggunakan metode numerik, yaitu

sebuah teknik penyelesaian secara sistematis dengan menggunakan operasi

hitung atau aritmetika dan dilakukan secara iteratif baik manual atau

dengan bantuan komputer. Metode numerik menggunakan pendekatan

atau aproksimasi untuk mencari solusi dan sifatnya bersifat hampiran,

yang artinya terdapat galat atau error.

Menurut Priswanto (2005), secara numeris terdapat beberapa

metode yang dapat digunakan untuk menentukan nilai ekstrem dari fungsi

non-linear satu variabel, yaitu metode Golden Section Search, metode

Fibonacci, metode Biseksi dan metode Newton-Raphson. Metode Biseksi

dan Newton-Raphson menggunakan teknik yang melibatkan turunan

pertama dan kedua dari fungsi. Sedangkan, metode Golden Section Search

dan metode Fibonacci menggunakan teknik evaluasi nilai fungsi dan

penyempitan selang.

Jika ditinjau dari nilai awalan, metode Golden Section Search dan

Fibonacci merupakan metode tertutup, dan metode Biseksi dan metode

Newton-Raphson merupakan metode terbuka. Metode Golden Section

Search dan metode Fibonacci keduanya tidak menggunakan konsep


4

turunan dalam menentukan nilai ekstrem dari fungsi non-linear satu

variabel tanpa kendala. Kedua metode tersebut menggunakan penyempitan

atau pereduksian selang awal yang diketahui. Namun, yang menjadi

pembeda dari kedua metode tersebut adalah konstanta yang digunakan

untuk melakukan eliminasi atau reduksi selang. Pada metode Golden

Section Search, konstanta yang digunakan untuk mengeliminasi selang

selalu tetap atau konstan untuk setiap iterasi. Sedangkan pada metode

Fibonacci, konstanta yang digunakan untuk mengeliminasi selang berbeda

untuk setiap iterasi. Konstanta yang digunakan pada metode Fibonacci

menggunakan suku-suku barisan Fibonacci tertentu di setiap iterasi yang

disesuaikan dengan formula pada algoritmanya.

Jika ditinjau dari penentuan konstanta, metode Golden Section

Search lebih sederhana daripada metode Fibonacci, karena konstanta yang

digunakan tetap untuk setiap iterasi. Pada metode Fibonacci, setiap iterasi

konstanta bergantung pada suku-suku barisan Fibonacci tertentu, yang

artinya diperlukan proses untuk mencari suku tertentu atau suku yang

diminta di setiap iterasi. Oleh karena itu, peneliti memilih metode Golden

Section Search sebagai metode yang tepat pada penelitian ini untuk

mencari nilai ekstrem fungsi polinomial dengan satu variabel, sebab

algoritma yang digunakan tidak menggunakan konsep turunan dan

konstanta yang digunakan untuk mereduksi selang selalu konstan untuk

setiap iterasi.


5

Tugas akhir ini akan mencoba untuk menggabungkan ide dasar

pada penelitian-penelitian yang sudah ada dengan salah satu metode

numerik, yaitu metode Golden Section Search. Metode Golden Section

Search hanya dapat digunakan pada fungsi yang unimodal pada selang

tertentu, yang artinya fungsi hanya memiliki satu maksimum atau

minimum pada selang tersebut. Metode Golden Section Search merupakan

metode tertutup (bracketing method), artinya perlu diketahui selang yang

mempunyai nilai batas atas dan batas bawah sedemikian sehingga ada satu

nilai ekstrem yang termuat dalam selang tersebut. Penggunaan metode

Golden Section Search biasanya menggunakan selang yang sudah

diketahui terlebih dahulu, yang menjamin bahwa fungsi bersifat unimodal

pada selang tersebut. Namun, pada penelitian ini akan diteliti bagaimana

mencari selang yang sedemikian sehingga fungsi, khususnya fungsi

polinomial berderajat 5, bersifat unimodal pada selang tersebut. Penelitian

ini akan difokuskan pada fungsi polinomial berderajat 5 yang bersifat

simetris atau memiliki titik simetri putar (rotational symmetry).

Penggabungan kedua metode tersebut akan menjadi menarik untuk

diteliti karena hasil algoritma dari kedua metode tersebut akan

disimulasikan secara numeris menggunakan komputer dan dituangkan

menjadi sebuah program yang dapat diaplikasikan pada software

pemrograman seperti MATLAB.


6

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian di atas, peneliti dapat merumuskan masalah dalam

penelitian ini adalah sebagai berikut.

1. Bagaimana karakteristik fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris?

2. Bagaimana cara menentukan selang pada fungsi polinomial berderajat

5 yang simetris sehingga fungsi bersifat unimodal pada selang

tersebut?

3. Bagaimana cara menentukan nilai ekstrem lokal fungsi polinomial

berderajat 5 yang simetris dengan menggunakan Metode Golden

Section Search yang dikombinasikan dengan menggunakan konsep

aljabar dan geometri?

C. Pembatasan Masalah

Pembatasan masalah pada penelitian ini adalah fungsi polinomial

yang digunakan dibatasi pada fungsi polinomal berderajat 5 dalam satu

variabel yang mempunyai titik simetri putar (rotational symmetry) dan

pencarian nilai ekstrem fungsi polinomial tanpa menggunakan konsep

turunan.

D. Batasan Istilah

Berdasarkan latar belakang, untuk menghindari kesalahpahaman

dalam memahami hasil penelitian ini, maka diperlukan batasan istilah

sebagai berikut.


7

1. Nilai maksimum dari suatu fungsi pada himpunan adalah nilai

fungsi terbesar yang dicapai pada keseluruhan himpunan , dimana

adalah daerah asal dari .

2. Nilai minimum dari suatu fungsi pada himpunan adalah nilai

fungsi terkecil yang dicapai pada keseluruhan himpunan , dimana

adalah daerah asal dari .

3. Nilai maksimum lokal dari fungsi pada interval terbuka adalah nilai

fungsi yang terbesar yang dicapai pada keseluruhan himpunan

interval terbuka tersebut.

4. Nilai minimum lokal dari fungsi pada interval terbuka adalah nilai

fungsi yang terbesar yang dicapai pada keseluruhan himpunan

interval terbuka tersebut.

5. Nilai ekstrem global adalah nilai maksimum atau minimum dari

sebuah fungsi.

6. Nilai ekstrem lokal adalah nilai maksimum atau minimum lokal dari

sebuah fungsi.

7. Nilai ekstrem adalah nilai ekstrem global atau lokal dari sebuah

fungsi.

8. Titik simetri putar (rotational symmetry point) adalah titik yang

menjadi pusat simetri putar pada sebuah bangun atau kurva.

9. Fungsi bersifat unimodal pada suatu selang jika pada selang tersebut

fungsi hanya memuat satu nilai maksimum atau minimum lokal.


8

E. Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk :

1. Mengetahui karakteristik fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris.

2. Menentukan selang pada fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris

sehingga fungsi bersifat unimodal pada selang tersebut.

3. Menentukan algoritma dalam mencari nilai ekstrem fungsi polinomial

berderajat 5 yang simetris dengan menggunakan Metode Golden

Section Search yang dikombinasikan dengan menggunakan konsep

aljabar dan geometri.

F. Manfaat Penelitian

Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini adalah :

1. Bagi Pembaca

Pembaca dapat menambah pengetahuan tentang karakteristik

fungsi polinomial berderajat yang simetris dan metode Golden Section

Search yang dimodifikasi untuk mencari nilai ekstrem fungsi

polinomial berderajat 5 yang simetris tanpa menggunakan konsep

turunan. Selain itu, pembaca dapat menggunakan algoritma dan

program yang terdapat di tugas akhir ini untuk menentukan nilai

ekstrem fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris menggunakan

MATLAB atau software yang sejenis.


9

2. Bagi Penulis

Penulis dapat menambah pengetahuan dan pengalaman dalam

melakukan penelitian tentang metode Golden Section Search yang

dimodifikasi untuk mencari nilai ekstrem fungsi polinomial berderajat

5 yang simetris tanpa menggunakan konsep turunan.

3. Bagi Universitas

Universitas dapat menambah hasil penelitian yang dapat digunakan

untuk penelitian-penelitian selanjutnya yang memiliki kaitan dengan

penelitian ini.

G. Metode Penelitian

Metode yang digunakan pada penelitian ini adalah metode studi

literatur atau studi pustaka dan simulasi numeris dengan komputer.

Metode studi pustaka yang dilakukan adalah dengan mempelajari buku,

literatur, jurnal dan hasil penelitian yang berkaitan dengan metode Golden

Section Search, optimasi fungsi polinomial berderajat 5 dan karakteristik

fungsi polinomial berderajat 5. Buku, jurnal dan hasil penelitian tersebut

berperan sebagai data sekaligus sumber data yang menjadi acuan dalam

proses penelitian ini. Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian

ini adalah :

1. Mencari dan membaca berbagai referensi terkait topik nilai ekstrem

fungsi polinomial, fungsi polinomial berderajat 5, metode Golden


10

Section Search melalui buku, jurnal ilmiah, penelitian yang relevan,

dan data di internet.

2. Mempelajari konsep nilai ekstrem pada fungsi polinomial, fungsi

polinomial berderajat 5, konsep dan algoritma metode Golden Section

Search.

3. Mengeksplorasi pengetahuan dengan melakukan uji coba

menggunakan metode Golden Section Search dalam mencari nilai

ekstrem fungsi polinomial berderajat 5 dengan bantuan aplikasi

Microsoft Excel, Geogebra dan Matlab.

4. Menyusun program metode Golden Section Search untuk proses

optimasi fungsi polinomial berderajat 5 di aplikasi Matlab.

5. Menyusun seluruh materi dan hasil penelitian secara runtut agar

mudah dipahami oleh pembaca.

H. Sistematika Penulisan

Bab pertama merupakan bagian pendahuluan. Bagian pendahuluan

ini berisi mengenai latar belakang, rumusan masalah, pembatasan masalah,

batasan istilah, tujuan, manfaat, metode penelitian dan sistematika

penulisan.

Bab dua berisi penjelasan tentang definisi polinomial, fungsi

polinomial satu variabel, akar-akar dari persamaan polinomial,

diskriminan persamaan kuadrat, metode yang digunakan untuk

menentukan akar-akar persamaan polinomial, nilai ekstrem pada fungsi


11

polinomial, definisi fungsi naik dan fungsi turun, definisi fungsi ganjil dan

fungsi genap, definsi translasi, permasalahan optimasi dan metode Golden

Section Search yang akan menjadi dasar teori dari penelitian ini. Selain itu,

bab dua juga berisikan penelitian yang relevan terkait dengan penulisan

skripsi ini.

Bab tiga berisi karakteristik fungsi polinomial berderajat 5 yang

simetris dan gambaran secara umum tentang langkah-langkah dalam

menentukan nilai ekstrem fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris.

Setiap langkah dalam menentukan nilai ekstrem dituangkan dalam

program yang disimulasikan menggunakan software MATLAB. Pada bab

tiga juga berisikan program yang telah disusun sesuai dengan langkah

yang sedang dibahas.

Bab empat berisi pembahasan lebih lanjut tentang proses pencarian

nilai ekstrem fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris, yaitu

khususnya tentang mencari selang pada fungsi polinomial yang simetris,

sehingga fungsi bersifat unimodal pada selang tersebut. Setelah ditemukan

selang yang membuat fungsi bersifat unimodal, proses menentukan nilai

ekstrem dilanjutkan dengan menggunakan metode Golden Section Search.

Bab empat juga berisikan program yang telah disusun yang disesuaikan

dengan langkah atau proses yang sedang dibahas pada bab empat.

Bab lima yang merupakan bab terakhir dalam skripsi ini, berisikan

kesimpulan hasil penelitian dan saran-saran yang dapat digunakan untuk

penelitian selanjutnya.


12

BAB II

LANDASAN TEORI

Pada bab ini berisikan landasan teori yang digunakan dalam tugas akhir.

Landasan teori yang digunakan meliputi polinomial, fungsi polinomial, akar-akar

dari persamaan polinomial, diskriminan, titik ekstrem lokal pada fungsi

polinomial, translasi, optimasi, Golden Section, Metode Golden Section dan

penelitian yang relevan.

A. Polinomial

Aufmann dalam buku “College Algebra” menyatakan bahwa

monomial adalah sebuah konstanta atau sebuah variabel atau hasil kali dari

konstanta dan satu atau lebih variabel, dengan variabel yang memiliki

eksponen bilangan bulat nonnegatif. Derajat dari monomial adalah jumlah

eskponen pada variabel. Jumlahan berhingga dari bermacam-macam

monomial disebut polinomial. Setiap monomial pada polinomial disebut

suku dari polinomial.

Definisi 2.1 (Aufmann, 1990:26)

Bentuk umum dari polinomial satu variabel ( ) adalah :

dengan ( ) adalah konstanta yang merupakan bilangan real

atau kompleks, dan adalah bilangan bulat nonnegatif.

Koefisien disebut sebagai leading coefficient dan disebut

sebagai leading term. Dari definisi di atas, setiap polinomial dapat

dinyatakan sebagai jumlahan berhingga dari suku-suku monomial yang


13

berbentuk dengan variabel yang dipangkatkan oleh bilangan bulat

tidak negatif. Pangkat terbesar dari suku-suku di dalam polinomial adalah

derajat dari polinomial.

E.J Barbeau (2003) menyatakan bahwa dalam kasus , suku

banyak atau polinomial dikatakan polinomial berderajat dapat

dituliskan . Berikut adalah penamaan beberapa fungsi

polinomial berderajat tertentu menurut E.J. Barbeau.

Tabel 2.1 Penamaan Beberapa Fungsi Polinomial

Degree of Polynomial Type of Polynomial

1 Linear

2 Quadratic

3 Cubic

4 Quartic

5 Quintic

B. Fungsi Polinomial

Relasi f dari himpunan D ke himpunan R adalah fungsi jika dan

hanya jika setiap anggota himpunan D memiliki tepat satu pasangan

dengan anggota di R oleh relasi f. Himpunan D disebut domain dari f dan

himpunan R yang menjadi bayangan dari anggota himpunan D disebut

range dari f. Fungsi dilambangkan dengan : (Prayudi, 2006: 33)


14

Misal diketahui * ( ) + dan *

( ) + maka fungsi disebut fungsi real dan dapat dilambangkan

dengan : (Clapham, 1990: 148)

Penyajian fungsi dapat berupa himpunan pasangan terurut, rumus fungsi,

diagram panah atau grafik fungsi (Aufmann, 1990: 148).

Fungsi dapat diklasifikasikan menjadi fungsi ganjil (odd function),

fungsi genap (even function), atau bukan keduanya.

Definisi 2.2 (Aufmann,190:150)

Fungsi adalah fungsi genap jika ( ) ( ) untuk setiap anggota

domain .

Fungsi adalah fungsi ganjil jika ( ) ( ) untuk setiap anggota

domain .

Contoh 2.1 :

1. ( )

Diperhatikan bahwa :

( ) ( ) ( )

( )

Fungsi memenuhi ( ) ( ), maka fungsi adalah fungsi

genap.


15

2. ( )


( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

Fungsi memenuhi ( ) ( ), maka fungsi adalah fungsi

ganjil.

3. ( )


( ) ( ) ( )

Pada bentuk di atas, fungsi tidak memenuhi bentuk ( ) ( )

dan ( ) ( ), maka fungsi bukan fungsi genap dan bukan

fungsi genap.

Ciri geometris dari fungsi genap adalah grafik fungsinya simetris

terhadap sumbu Y. Sumbu Y menjadi sumbu simetri dari grafik fungsi

genap. Artinya, jika grafik fungsi telah diperoleh untuk maka grafik

secara keseluruhan dapat digambarkan secara mudah dengan

mencerminkan terhadap sumbu Y. Sedangkan, ciri geometris dari fungsi

ganjil adalah grafik fungsinya simetris terhadap titik asal O(0,0). Titik

O(0,0) merupakan titik simetri putar (rotational symmetry) dari grafik

fungsi ganjil. Artinya, jika grafik fungsi telah diperoleh untuk maka


16

grafik secara keseluruhan dapat diperoleh dengan merotasikan sebesar

dengan pusat rotasi titik O(0,0). (Stewart, 2009: 28)

Menurut Carico (1984:123), jika dilihat secara grafik, fungsi genap

simetris terhadap sumbu Y. Grafik fungsi simetris terhadap sumbu Y

artinya jika titik ( ) termuat dalam grafik maka ( ) juga termuat

dalam grafik. Sedangkan fungsi ganjil simetris terhadap titik O(0,0), atau

yang sering disebut titik asal (origin). Grafk fungsi simetris terhadap

titik O(0,0) artinya jika titik ( ) termuat dalam grafik maka titik

( ) juga termuat dalam grafik.

Gambar 2.1 Grafik Fungsi Genap (Even Function)

𝑦

Gambar 2.2 Grafik Fungsi Ganjil (Odd Function)

Sumber : Calculus (Stewart, 2009:27)

𝑦

𝑦


17

Pada beberapa grafik fungsi polinomial terlihat seperti fungsi

genap tetapi sumbu simetrinya bukan sumbu Y. Ada pula beberapa grafik

fungsi polinomial terlihat seperti fungsi ganjil tetapi titik simetrinya bukan

pada O(0,0) (Goehle dan Kobayasi, 2013).

Pada gambar 2.3, grafik fungsi terlihat simetris dengan titik simetri putar

di ( ( )). Sedangkan pada gambar 2.4, grafik fungsi terlihat

simetris dengan sumbu simetri .

Goehle dan Kobayasi (2013) mendefinisikan fungsi polinomial

berderajat adalah fungsi ganjil di jika fungsi memiliki titik simetri

putar di ( ( )) untuk bilangan ganjil. Sedangkan, fungsi genap di

jika fungsi memiliki sumbu simetri di untuk bilangan genap.

Selanjutnya, disebut sebagai pusat simetri dari fungsi polinomial. Fungsi

memiliki pusat simetri berupa sumbu simetri artinya jika titik

Gambar 2.4 Grafik fungsi

𝑔(𝑥) 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥

Gambar 2.3 Grafik fungsi

𝑓(𝑥) 𝑥 𝑥 𝑥

𝑥 4𝑥


18

( ) termuat dalam grafik maka titik ( ) juga termuat dalam

grafik. Sedangkan, fungsi memiliki pusat simetri berupa titik simetri

putar ( ), dengan adalah nilai fungsi dari , artinya jika titik ( )

termuat dalam grafik maka titik ( ) juga termuat dalam

grafik.

Grafik sebuah fungsi dapat berupa garis lurus ataupun kurva

lengkung. Salah satu hal yang penting dalam membuat sketsa grafik fungsi

adalah mengetahui fungsi naik atau fungsi turun atau fungsi konstan.

Aufmann (1990:157) menjelaskan tentang fungsi naik (increasing

function), fungsi turun (decreasing function) dan fungsi konstan (constant

function) sebagai berikut :

Definisi 2.3 (Aufmann,1990:157)

Jika a dan b adalah anggota dalam interval I (baik interval tertutup ataupun

terbuka) yang merupakan himpunan bagian dari domain fungsi , maka :

(i) fungsi naik pada I jika ( ) ( ) untuk setiap

(ii) fungsi turun pada I jika ( ) ( ) untuk setiap

(iii) fungsi konstan pada I jika ( ) ( ) untuk setiap dan

anggota I.

Gambar 2.5(a) Fungsi

Naik

Gambar 2.5(b). Fungsi

Turun Gambar 2.5(c). Fungsi

Konstan


19

Definisi 2.4 (Suryawan, 2016: 55)

Fungsi polinomial adalah sebuah fungsi P: dalam variabel yang

berbentuk :

( )

dengan adalah konstanta, yang disebut koefisien

polinomal, dan adalah bilangan bulat nonnegatif.

Domain atau daerah asal untuk semua fungsi polinomial real

adalah . Fungsi polinomial merupakan fungsi yang terdefinisi dan

kontinu untuk semua nilai (Stewart, 2009: 40). Selain itu, setiap

fungsi polinomial memiliki grafik fungsi yang berbentuk kurva mulus dan

kontinu (smooth continuous curves). Sebuah kurva mulus adalah kurva

yang tidak memiliki ujung yang lancip. Sedangkan, kurva yang kontinu

artinya kurva tidak memiliki lubang atau lompatan. (Swokowski dan Cole,

2004: 248)

Gambar 2.6 Grafik fungsi yang mulus

dan kontinu (smooth continuous curve)

Gambar 2.7 Grafik fungsi yang tidak

kontinu


20

Grafik fungsi polinomial berderajat 0 atau fungsi konstan

berbentuk garis lurus horisontal. Sedangkan grafik fungsi polinomial

berderajat 1 atau fungsi linear berbentuk garis lurus atau linear dengan

kemiringan tidak nol. Grafik dari fungsi polinomial berderajat 2 atau

fungsi kuadrat selalu berbentuk parabola (James Stewart, 2009: 40).

Definisi 2.5 (Swokowski dan Cole, 2004: 260)

Sebuah polinomial ( ) dibagi oleh polinomial ( ), dengan ( )

( ) artinya dapat ditemukan polinomial ( ) dan ( ) sedemikian

sehingga :

( ) ( ) ( ) ( )

dengan ( ) kurang dari ( ). ( ) disebut sebagai pembagi dan

( ) adalah sisa.

Definisi 2.5 sering disebut sebagai definisi dari algoritma pembagian pada

polinomial atau division algorithm for polynomials.

Gambar 2.8 Grafik fungsi yang tidak mulus

Sumber : courses.lumenlearning.com


21

Teorema 2.1 (Spitzbart & Bardell, 1958: 75)

Jika sebuah polinomial ( ) dibagi dengan , dengan bilangan

sembarang hingga sisanya berupa konstanta, maka sisanya adalah ( ).

Bukti :

Misalkan hasil bagi ( ) oleh ( ) adalah ( ) dan sisa pembagiannya

adalah konstanta , akan ditunjukkan bahwa ( ) .

Berdasarkan definisi 2.3, maka bentuk fungsi polinomial dapat

dituliskan menjadi :

( ) ( ) ( )

Untuk , maka :

( ) ( ) ( )

Teorema 2.1 terbukti. QED

Menurut Aufmann (1990), bentuk grafik dari fungsi polinomial

dapat diperkirakan dengan leading term test atau sering disebut dengan

sifat the end behavior, yaitu dengan mengetahui sejauh mana nilai fungsi

bergerak naik atau turun dari kiri ke kanan. Jika diketahui fungsi

polinomial berderajat , ( )

,

maka disebut leading term dan disebut leading coefficient dari

fungsi . Leading term test atau sifat dari the end behavior dapat

memperkirakan nilai fungsi hanya dengan melihat leading term dan

leading coefficient dari fungsi . Leading term adalah suku yang memuat


22

pangkat tertinggi dari fungsi polinomial , artinya mendominasi

fungsi . Diperhatikan bahwa untuk dengan yang semakin besar,

maka juga akan bertambah semakin besar. Oleh karena itu, grafik

fungsi polinomial dengan sebagai leading term memiliki sifat

sebagai berikut :

bilangan genap bilangan ganjil

Jika maka ( )

Jika maka ( )

Grafik fungsi semakin naik ke

kiri dan semakin naik ke kanan

(up to left and up to right).

Jika maka ( )

Jika maka ( )

Grafik fungsi semakin turun ke

kiri dan semakin naik ke kanan

(down to left and up to right).

Jika maka ( )

Jika maka ( )

Grafik fungsi semakin turun ke

kiri dan semakin turun ke kanan

(down to left and down to right).

Jika maka ( )

Jika maka ( )

Grafik fungsi semakin naik ke

kiri dan semakin turun ke kanan

(up to left and down to right).

Tabel 2.2 Sifat The End Behavior of Polynomials (Aufmann, 1990)


23

Berikut adalah gambar yang mengilustrasikan sifat the end

behavior of polynomials :

Gambar 2.9 Sifat The End Behavior of Polynomials untuk 𝑛 bilangan ganjil

𝒂𝒏 𝟎

Up to

right

Down

to left

Down

to right

Up to

left

𝒂𝒏 𝟎

𝒏 bilangan ganjil

Up to

right Up to

left

𝒂𝒏 𝟎

Down

to right Down

to left

𝒂𝒏 𝟎

𝒏 bilangan genap

Gambar 2.10 Sifat The End Behavior of Polynomials untuk 𝑛 bilangan genap


24

C. Pembuat Nol Fungsi Polinomial

Pembuat nol dari fungsi polinomial disebut juga solusi atau akar

dari persamaan polinomial ( ) . Menurut Departemen Pendidikan

dan Kebudayaan (1995), persamaan polinomial adalah polinomial satu

variabel atau lebih yang sama dengan 0. Bentuk umum dari persamaan

polinomial satu variabel dalam dapat dituliskan :

dengan ( ) adalah konstanta yang merupakan bilangan real

atau kompleks, dan adalah bilangan bulat nonnegatif.

Definisi 2.6 (Aufmaan,1990:225)

Jika ( ) adalah sebuah fungsi polinomial, maka nilai dari yang

membuat ( ) bernilai 0 disebut pembuat nol dari ( ) atau akar-akar

dari persamaan ( ) .

Teorema 2.2 (Spitzbart & Bardell, 1958:76)

Sebuah fungsi polinomial ( ) mempunyai faktor jika dan hanya

jika ( ) .

Bukti :

1. Misal fungsi mempunyai faktor . Akan ditunjukkan ( ) .

Berdasarkan asumsi bahwa adalah faktor dari fungsi dapat

dituliskan :

( ) ( ) ( ) (2.1)

untuk suatu polinomial ( ).


25

Misal R adalah sisa pembagian dari ( ) oleh , maka dari

persamaan (2.1) diperoleh .

Berdasarakan teorema 2.1, jika fungsi dibagi oleh , maka sisa

pembagiannya adalah ( ) Oleh karena itu, ( ) . (terbukti)

2. Misal ( ) . Akan ditunjukkan adalah faktor dari fungsi .

Asumsi ( ) , berdasarkan teorema 2.1 maka :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (2.2)

untuk suatu polinomial ( ).

Dari persamaan (2.2) jelas bahwa ( ) adalah faktor dari fungsi

polinomial .

Dari 1 dan 2, teorema 2.2 terbukti. QED

Pembuat nol dari fungsi polinomial dapat berupa bilangan yang

kembar dan diulang untuk beberapa kali pembuat nol kembar atau disebut

multiple zero. Sedangkan, akar-akar dari persamaan polinomial yang

diulang untuk beberapa kali disebut akar-akar ganda atau multiple roots.

Aufmann dalam buku “College Algebra” juga mengungkapkan definisi

dari multiple zero of polynomial.

Definisi 2.7 (Aufmann, 1990:226)

Jika fungsi polinomial memiliki ( ) sebagai faktor untuk

kali, maka disebut sebagai pembuat nol yang kembar sebanyak dari

polinomial .


26

Sebagai contoh, misal diketahui ( ) ( )( )(

)( )( )( 4). Pada fungsi polinomial P, untuk nilai adalah :

5 sebagai pembuat nol kembar-dua atau zero of multiplicity 2

-2 sebagai pembuat nol kembar-tiga atau zero of multiplicity 3

-4 sebagai pembuat nol tunggal atau zero of multiplicity 1 (simple zero)

Chapra dan Canale (1989) menyatakan bahwa jika akar-akar dari

persamaan polinomial diulang sebanyak kali, dengan adalah bilangan

ganjil maka grafik fungsi polinomial akan memotong sumbu X di titik

pembuat nol tersebut. Sedangkan untuk bilangan genap, maka grafik

fungsi polinomial akan menyinggung sumbu X di titik pembuat nol

tersebut.

Teorema 2.3 (Loveless, 2011)

Bilangan adalah pembuat nol dari fungsi polinomial ( ) berderajat

( ) jika dan hanya jika ( ) ( ) ( ) untuk suatu polinomial

( ) berderajat .

Sumber : Numerical Method for Engineers 6th Edition

Gambar 2.11(a). Akar

ganda-dua

Gambar 2.11(b). Akar

ganda-tiga

Gambar 2.11(c). Akar

ganda-empat


27

Bukti :

Misal fungsi polinomial ( ) berderajat dengan .

(i) Asumsi ( ) ( ) ( ) untuk suatu polinomial ( )

berderajat . Akan ditunjukkan adalah pembuat nol dari

fungsi .

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) (2.3)

Berdasarkan definisi 2.4, persamaan (2.3) menunjukkan bahwa

adalah pembuat nol dari fungsi . (terbukti)

(ii) Asumsi adalah pembuat nol dari fungsi . Akan ditunjukkan

( ) ( ) ( ) untuk suatu polinomial ( ) berderajat

.

( )

,

( ) ∑

Berdasarkan definisi 2.4 dan asumsi adalah pembuat nol dari

fungsi , maka ( ) .

( ) ( ) ( ) ( ) ∑

∑

∑ ( )

2 4


28

Suku dengan dieliminasi karena ( ) ( )

.

Oleh karena itu, fungsi pada persamaan (2.4) dapat menjadi :

( ) ∑ ( )

Karena maka bentuk ( ) dapat difaktorkan menjadi :

( ) ( )( )

Misalkan ( ) ( ) maka

( ) ( ) ( ) (2.5)

dengan ( ) adalah fungsi polinomial dengan derajat .

Persamaan (2.5) disubstitusikan ke persamaan (2.4) menjadi :

( ) ∑ ( ) ( )

( )∑ ( )

( ) ( )

Perhatikan bahwa :

( ) ∑ ( ) ∑

( )

Suku terjadi satu kali disaat dan . Jadi, ( )

adalah polinomial dengan derajat . (terbukti)

Dari (i) dan (ii), maka teorema 2.2 terbukti. QED


29

Teorema 2.4 (Meserve, 1959:139)

Setiap fungsi polinomial berderajat memiliki pembuat nol bilangan

kompleks yang tidak harus berbeda.

Bukti :

Pembuktian teorema ini menggunakan kontradiksi.

Kasus 1 :

Diketahui fungsi polinomial berderajat 0. Misal adalah pembuat nol

dari fungsi .

Berdasarkan definisi 2.4 yaitu tentang definisi fungsi polinomial, fungsi

polinomial merupakan fungsi konstan dengan konstanta bukan nol,

sehigga fungsi dapat dituliskan dalam bentuk :

( )

( )

( )

dengan .

Diperhatikan dari bentuk fungsi bahwa untuk semua nilai , berlaku

( ) . Artinya fungsi tidak memiliki pembuat nol fungsi atau dengan

kata lain fungsi memiliki 0 pembuat nol. Hal ini bersifat kontradiksi

dengan asumsi yang dimiliki yaitu fungsi memiliki 1 pembuat nol yaitu

.

Kasus 2 :

Misal diketahui fungsi polinomial ( ) berderajat , dan

adalah pembuat nol dari ( ) yang berjumlah .


30

Berdasarkan teorema 2.1 dan 2.2, maka :

( ) ( ) ( ) untuk suatu polinomial ( ) yang derajatnya 1

kurangnya dari derajat ( ) dan ( ) mempunyai nilai pembuat nol,

misal .

( ) ( )( ) ( ) untuk suatu polinomial ( ) yang

derajatnya 2 kurangnya dari derajat ( ) dan ( ) mempunyai nilai

pembuat nol, misal .

( ) ( )( )( ) ( ) untuk satu polinomial ( ) yang

derajatnya 3 kurangnya dari derajat ( ) dan ( ) mempunyai nilai

pembuat nol, misal .

.

.

.

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) untuk suatu

polinomial ( ) yang derajatnya kurangnya dari derajat ( ) dan

( ) mempunyai nilai pembuat nol, misal .

Jika ( ) maka ( ) . Oleh karena itu haruslah

( ) adalah fungsi konstan. Misal ( ) .

Asumsi yang sudah dibuat adalah masih ada pembuat nol fungsi yaitu

. juga merupakan pembuat nol dari ( ), maka : ( ) .

Persamaan tersebut dapat terjadi jika dan hanya jika , yang

mengakibatkan ( ) . Hal ini kontradiksi dengan asumsi bahwa ( )

adalah polinomial berderajat .


31

Jadi, fungsi polinomial berderajat memiliki bilangan real pembuat nol

fungsi. Jadi, teorema 2.4 terbukti. QED

Teorema 2.5 (Aufmann, 1990:234)

Jika ( √ ) adalah pembuat nol dari fungsi

polinomial ( ) dengan koefisien bilangan real, maka konjugatnya yaitu

juga merupakan pembuat nol dari fungsi polinomial ( )

Bukti :

Misal adalah pembuat nol dari fungsi P atau ( ) . Akan

ditunjukkan adalah pembuat nol juga atau ( )

( )

(2.6)

dengan ( ) adalah bilangan real.

Karena bilangan kompleks yang ada di ruas kiri sama dengan bilangan

kompleks di ruas kanan pada persamaan (2.6), maka berlaku juga untuk

konjugatnya.

(sifat )

(sifat )

(sifat dan konjugat

dari bilangan real adalah bilangan

itu sendiri)

(2.7)

Dari persamaan (2.7) dapat ditulis sebagai ( ) .



32

Teorema 2.6 (Loveless, 2011)

Setiap fungsi polinomial berderajat n memiliki paling banyak pembuat

nol bilangan real.

Bukti :

Pembuktian teorema ini menggunakan induksi matematika.

Misalkan adalah fungsi polinomial berderajat dalam variabel .

(i) Langkah Dasar :

Jika , maka fungsi adalah fungsi konstan. Berdasarkan definisi

2.4, maka fungsi dengan dapat dinyatakan dalam bentuk :

( )

( )

( )

dengan .

Jelas bahwa nilai ( ) untuk sembarang nilai , sehingga fungsi

tidak mempunyai nilai pembuat nol. Jadi, untuk tidak ada

nilai pembuat nol dari fungsi .

(ii) Diasumsikan benar untuk bahwa setiap polinomial berderajat

memiliki paling banyak pembuat nol bilangan real untuk suatu

bilangan bulat dengan .

(iii) Akan dibuktikan untuk berlaku fungsi polinomial

berderajat mempunyai paling banyak pembuat nol

bilangan real.


33

Misalkan fungsi berderajat . Jika fungsi f tidak memiliki

pembuat nol, maka jelas 0 .

Jika fungsi memiliki paling tidak satu pembuat nol, misalkan a

adalah pembuat nol dari fungsi f, maka berdasarkan teorema 2.3 dapat

dituliskan

( ) ( ) ( )

dengan ( ) adalah suatu polinomial yang berderajat .

Berdasarkan asumsi untuk , artinya fungsi memiliki paling

banyak pembuat nol bilangan real. Sedangkan, a adalah pembuat nol

dari fungsi f.

Jadi, ( ) ( ) ( ) memiliki paling banyak pembuat

nol bilangan real.

Dari (i),(ii),(iii) maka dapat disimpulkan untuk setiap polinomial

berderajat memiliki paling banyak pembual nol bilangan real.


Pembuat nol fungsi polinomial atau akar-akar dari persamaan

polinomial dapat berupa bilangan kompleks atau bilangan real. Teorema

2.4 menunjukkan jika fungsi polinomial mempunyai akar kompleks, maka

akar tersebut selalu berpasangan dengan konjugatnya, sehingga setiap

fungsi polinomial memiliki akar-akar kompleks yang berpasangan.

Pembuat nol real dapat menentukan apakah grafik fungsi polinomial

memotong atau menyinggung sumbu X. Sedangkan pembuat nol yang


34

memuat bilangan imajiner tidak membuat grafik fungsi memotong dan

meyinggung sumbu X. (Splitzbart dan Bardell, 1958:160).

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk mencari

pembuat nol dari fungsi polinomial atau akar-akar persamaan polinomial.

Berdasarkan teorema 2.4, fungsi linear atau fungsi polinomial berderajat 1

memiliki 1 nilai pembuat nol real. Operasi aljabar sederhana dapat

digunakan untuk menentukan akar dari fungsi linear.

Contoh 2.2 :

( )

Pembuat nol dari dapat ditentukan dengan cara :

( )

Fungsi kuadrat atau fungsi polinomial berderajat 2 memiliki 2 nilai

pembuat nol. Metode yang dapat digunakan untuk menentukan akar-akar

dari persamaan kuadrat adalah metode pemfaktoran, melengkapkan

kuadrat sempurna atau metode abc (metode dengan formula fungsi

kuadrat). Metode abc atau menggunakan formula kuadratik dapat

diselesaikan dengan formula berikut. (Swokowski dan Cole, 2004: 84)

Jika maka :

√

(2.8)


35

Contoh 2.3 :

( )

Penentuan pembuat nol dari dapat dilakukan dengan cara :

1. Metode Pemfaktoran

( )

( )( )

atau

2. Metode Melengkapkan Kuadrat Sempurna

( )

4

4

(

)

4

√

4

atau

atau


36

3. Metode abc atau menggunakan formula kuadrat (Quadratic Formula)

( )

√ 4

( ) √( ) 4( )( )

( )

√ 4

√

atau

atau

Pembuat nol dari fungsi polinomial berderajat 3 atau yang lebih

tinggi lagi dapat ditentukan dengan metode Horner dan beberapa metode

secara numerik. Metode Horner merupakan metode yang dapat digunakan

untuk menentukan akar-akar fungsi polinomial secara analitis. Metode

Horner menggunakan konsep pembagian fungsi polinomial dengan nilai-

nilai yang diduga sebagai faktornya. Namun, tidak semua bentuk fungsi

polinomial dapat diselesaikan dengan mudah oleh metode Horner. Oleh

karena itu, ada beberapa metode yang dapat digunakan secara numerik

untuk menentukan akar-akar dari fungsi polinomial.


37

D. Diskriminan

Persamaan kuadrat memiliki nilai diskriminan (discriminant). Nilai

diskriminan menentukan banyaknya pembuat nol fungsi kuadrat yang real

atau akar real dari persamaan kuadrat. Formula kuadrat (The Quadratic

Formula) untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat berbentuk :

√ 4

Bentuk 4 disebut sebagai diskriminan dari formula kuadrat

(Quadratic Formula). Diskriminan sering dilambangkan dengan notasi .

(Swokowski dan Cole, 2004: 85)

Teorema 2.7 (Swokowski dan Cole, 2004: 85)

Diketahui persamaan kuadrat mempunyai

diskriminan 4 .

(i) Jika , maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang

berbeda.

(ii) Jika , maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang

kembar, artinya persamaan kuadrat hanya memiliki 1 akar real.

(iii) Jika , maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar kompoleks yang

berbeda.

Bukti :

Dari persamaan (2.8) dan definisi diskriminan maka persamaan 2.8 dapat


√

(2.9)


38

(i) Misal , maka persamaan (2.9) menjadi :

√

√

dan

√

karena , maka √

diperoleh 2 nilai real yang berbeda. (terbukti)

(ii) Misal , maka persamaan (2.9) menjadi :

√

dan

dan

diperoleh 2 nilai yang sama, yaitu

. (terbukti)

(iii) Misal , maka persamaan (2.9) menjadi :

√

karena , maka √

√( )

dan

√( )

diperoleh 2 nilai x yang merupakan bilangan kompleks. (terbukti)

Dari (i), (ii), (iii) maka teorema 2.7 terbukti. QED

Berdasarkan teorema 2.7 yang berkaitan dengan diskriminan,

berakibat bahwa nilai diskriminan menentukan kedudukan akar-akar

persamaan kuadrat terhadap sumbu X dalam grafik fungsi kuadrat.

Jika , maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di 2 titik.

Jika , maka grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu X di 1 titik.

Jika , maka grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu X.


39

E. Nilai Ekstrem Fungsi Polinomial

Swokowski dan Cole 2004:249 dalam buku “Fundamentals of

College Algebra” menyatakan bahwa meningkatnya derajat (degree) pada

fungsi polinomial maka grafik fungsinya biasanya menjadi lebih rumit.

Grafik fungsi polinomial berderajat tinggi berbentuk kurva mulus yang

memiliki beberapa titik puncak (high points and low points), seperti titik

P, Q, R dan S pada gambar 2.12. Keempat titik tersebut dapat disebut

sebagai titik balik atau turning points pada grafik.

Setiap ordinat dari titik balik disebut nilai ekstrem lokal

(extremum) dari fungsi polinomial. Pada setiap titik ekstrem lokal, fungsi

mengalami perubahan dari fungsi naik menjadi fungsi turun, atau

sebaliknya.

Gambar 2.12 Titik-Titik Puncak dari Fungsi Polinomial

X

Y


40

Teorema 2.8 (Swokowski dan Cole, 2004: 249)

Sebuah fungsi polinomial berderajat memiliki paling banyak titik

balik.

Nilai ekstrem pada fungsi polinomial dapat berupa nilai maksimum

atau nilai minimum. Nilai ekstrem juga terbagi menjadi nilai ekstrem

global (absolut) atau lokal (relatif). Titik balik (turning points) pada fungsi

polinomial sering disebut juga titik ekstrem lokal. (Carico, 1984: 117)

Definisi 2.8 (Stewart, 2009: 318)

Sebuah fungsi memiliki sebuah maksimum global atau ekstrem

maksimum global di jika ( ) ( ) untuk semua dalam ,

dimana adalah daerah asal dari . Nilai maksimum dari adalah ( ).

Begitu pula, fungsi memiliki sebuah minimum global atau ekstrem

minimum global di jika ( ) ( ) untuk semua dalam D, dimana

D adalah daerah asal dari . Nilai minimum dari adalah ( )

Definisi 2.9 (Stewart, 2009: 319)

Sebuah fungsi memiliki maksimum lokal atau ekstrem maksimum relatif

di jika ( ) ( ) ketika dekat atau di selang terbuka yang memuat

.

Begitu pula, memiliki minimum lokal atau ekstrem minimum relatif di

jika ( ) ( ) ketika dekat atau di selang terbuka yang memuat .


41

Fungsi memiliki ekstrem global di c jika ( ) adalah nilai maksimum

atau minimum global. Sedangkan, fungsi memiliki ekstrem lokal di

jika ( ) adalah maksimum atau minimum lokal.

Pada gambar 2.12 menunjukkan bahwa di titik P dan R terdapat

nilai maksimum lokal. Sedangkan di titik Q dan S terdapat nilai minimum

lokal. Fungsi pada gambar 2.12, tidak memiliki nilai maksimum dan

minimum global karena di kanan titik S, fungsi naik tanpa batas dan di kiri

titik P, fungsi turun tanpa batas. Sedangkan, jika diperhatikan pada gambar

2.13, fungsi memiliki nilai maksimum lokal yang terletak di titik A dan C,

dan memiliki nilai minimum lokal di titik B. Titik A merupakan titik

maksimum lokal sekaligus titik maksimum global, karena pada titik A

nilai fungsinya tertinggi untuk setiap pada domain fungsi. Fungsi pada

gambar 2.13 tidak memiliki nilai minimum global karena di kiri titik A

dan di kanan titik C, nilai fungsi turun tanpa batas.

Gambar 2.13. Nilai ekstrem lokal dan nilai ekstrem global


42

Teorema 2.9

Diantara 2 nilai pembuat nol real dari fungsi polinomial atau 2 akar real

persamaan polinomial terdapat minimal 1 titik balik.

Bukti :

Pembuktian dari teorema ini akan menggunakan kontradiksi.

Asumsikan diantara 2 nilai pembuat nol dari fungsi polinomial tidak ada

titik balik.

Misal dan adalah pembuat nol dari fungsi polinomial dengan ,

artinya ( ) dan ( ) .

Dari asumsi yang dipunyai, fungsi tidak memiliki titik balik diantara

dan , artinya tidak terjadi perubahan dari fungsi naik menjadi fungsi

turun atau sebaliknya pada selang , -.

Kasus 1 : Fungsi naik pada selang , -.

Dari definisi fungsi naik, maka berlaku ( ) ( ) untuk setiap

, - dengan .

dan merupakan anggota , - dan , karena fungsi naik pada

, - maka berlaku ( ) ( ). Hal tersebut kontradiksi dengan fakta

bahwa dan adalah pembuat nol dari fungsi , yang artinya ( )

( ) . Oleh karena itu, memiliki minimal 1 titik balik.

Kasus 2 : Fungsi konstan pada selang , -.

Dari definisi fungsi konstan, maka berlaku ( ) ( ) untuk setiap

, -.


43

Diperhatikan bahwa ( ) ( ) . Jika fungsi konstan pada , -,

maka untuk setiap , - berlaku ( ) . Hal terserbut terjadi

apabila fungsi memiliki leading coefficient 0 dan koefisien dari setiap

suku adalah 0. Hal tersebut kontradiksi dengan definisi fungsi polinomial

yang memberikan syarat bahwa fungsi polinomial berderajat , koefisien

yang memuat suku berpangkat tidak sama dengan 0. Oleh karena itu,

fungsi konstan pada selang , - tidak berlaku.

Kasus 3 : Fungsi turun pada selang , -.

Dari definisi fungsi turun, maka berlaku ( ) ( ) untuk setiap

, - dengan .

dan merupakan anggota , - dan , karena fungsi naik pada

, - maka berlaku ( ) ( ). Hal tersebut kontradiksi dengan fakta

bahwa dan adalah pembuat nol dari fungsi , yang artinya ( )

( ) . Oleh karena itu, memiliki minimal 1 titik balik.

Jadi, diantara 2 nilai pembuat nol real dari fungsi polinomial terdapat

minimal 1 titik balik. Teorema 2.9 terbukti. QED

F. Translasi

Translasi atau pergeseran adalah suatu transformasi tanpa merubah

bentuk objek. Menurut Mathematics Forum (2010), translasi adalah

transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang menurut jarak

dan arah tertentu. Jarak dan arah suatu translasi dapat dilambangkan

dengan garis berarah atau vektor, misalnya . /. Misalkan titik


44

( ) ditranslasi atau digeser berdasarkan vektor . /, maka hasil

pergeserannya adalah ( ) atau dapat dituliskan menjadi :

( ) .

/

→ ( ) ( )

dengan ( ) adalah koordinat titik awal dan ( ) adalah koordinat titik

hasil translasi atau pergeseran.

Translasi juga dapat dikenakan pada grafik fungsi. Pergeseran pada

grafik fungsi dapat menghasilkan grafik fungsi yang baru yang tentunya

akan menghasil fungsi yang baru. Secara umum, apabila diketahui fungsi

ditranslasikan oleh suatu vektor . / maka :

jika diambil sembarang koordinat ( ) di berlaku :

( )………………………………………… 2 10)

……………………………………… 2 11)

……………………………………… 2 12)

Persamaan (2.11) dan (2.12) disubstitusi ke (2.10) menjadi :

( )

( ) ……………………………… 2 13)

Persamaan (2.13) menunjukkan hasil translasi fungsi f oleh vektor .


45

Translasi pada grafik fungsi dapat dilakukan dengan menggeser

secara vertikal dan horizontal. Aufmann menjelaskan tentang translasi

secara vertikal dan horizontal sebagai berikut.

Jika adalah fungsi dan c > 0, maka :

( ) yaitu grafik dari ( ) digeser naik sebanyak c satuan.

( ) yaitu grafik dari ( ) digeser turun sebanyak c satuan.

( ) yaitu grafik dari ( ) digeser ke kiri sebanyak c satuan.

( ) yaitu grafik dari ( ) digeser ke kanan sebanyak c

satuan.

G. Optimasi

Priswanto (2005:1) menyatakan bahwa masalah optimasi

merupakan masalah untuk menentukan nilai ekstrem suatu fungsi.

Masalah dalam ekstrem fungsi adalah masalah menemukan nilai dari suatu

variabel bebas, ( ) pada suatu fungsi dari ( ), yang

memaksimumkan atau meminimumkan ( ). Dalam masalah optimasi,

Gambar 2.14. Pergeseran grafik fungsi 𝑓 secara vertikal dan horisontal

Sumber : Calculus (James Stewart, 2009:53)


46

berdasarkan jumlah variabelnya dibedakan menjadi optimasi fungsi satu

variabel dan optimasi fungsi variabel, dengan . Berdasarkan

kendala yang menyertainya, masalah optimasi terbagi menjadi optimasi

fungsi dengan kendala dan optimasi fungsi tanpa kendala. Menurut jenis

fungsi yang diberikan, masalah optimasi dibedakan menjadi optimasi

fungsi linear dan optimasi fungsi non-linear. Sedangkan menurut cara atau

metode penyelesaiannya, terbagi menjadi metode analitis dan metode

numeris.

Penyelesaian optimasi fungsi non-linear secara analitis

menghasilkan nilai yang eksak. Sedangkan penyelesaian dengan

menggunakan metode numeris akan menghasilkan nilai pendekatan atau

hampiran dengan suatu ketelitian tertentu. Penentuan ekstrem fungsi

secara analitis terkadang ditemukan kesulitan di dalam prosesnya. Metode

numeris merupakan metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan

permasalahan yang ada pada proses metode analitis.

Metode numeris yang dapat digunakan untuk menentukan ekstrem

fungsi satu variabel tanpa kendala adalah metode langsung metode Golden

Section Search, metode Fibonacci, metode biseksi dan metode Newton-

Raphson. (Priswanto, 2005) Metode Golden Section Search dan metode

Fibonacci termasuk metode langsung, yaitu teknik yang digunakan hanya

meliputi penggunaan nilai fungsi. Metode Biseksi adalah metode yang

tekniknya meliputi penggunaan turunan pertama. Sedangkan, metode

Newton-Raphson adalah metode yang tekniknya meliputi penggunaan


47

turunan kedua. Selain ditinjau dari teknik yang digunakan, metode-metode

tersebut dapat terbagi berdasarkan nilai awal yang diberikan. Metode

Golden Section Search dan metode Fibonacci merupakan metode tertutup

(bracketing method), karena dalam penggunaannya perlu diketahui selang

yang memuat satu nilai maksimum atau minimum. Sedangkan metode

Biseksi dan metode Newton-Raphson termasuk metode terbuka (open

method), karena dalam penggunaannya tidak perlu diketahui selang tetapi

hanya menggunakan satu atau dua nilai tebakan awal saja.

Menurut Chapra dan Canale, metode tertutup menghasilkan nilai

yang bergerak semakin dekat ke nilai yang sebenarnya selama

berlangsungnya komputasi. Hal ini disebut dengan konvergen. Sedangkan,

metode terbuka terkadang hasilnya divergen atau menjauhi nilai yang

sebenarnya selama berlangsungnya komputasi. Namun, jika metode

terbuka hasilnya konvergen maka metode terbuka lebih cepat

dibandingkan dengan metode tertutup untuk mendekati nilai yang

sebenarnya.

H. Golden Section

Golden Ratio didefinisikan pertama oleh Euclid of Alexandria

sekitar 300 tahun sebelum masehi. Luca Paccioli, Matematikawan di tahun

1500, menulis buku, dimana Da Vinci mengilustrasikan De Divine

Proportione. (Hvidsten, 2005: 8)


48

“Geometry has two great treasures: one is the theorem of Pythagoras, the

other, the division of a line into extreme and mean ratio. The first we may

compare to a measure of gold; the second we may name a precious jewel ”

Euclid mendefinisikan sebuah perbadingan dari pembagian

sederhana sebuah garis yang disebut dengan “extreme and mean ratio”

Definisi 2.10 (Livio, 2003: 3)

“A straight line is said to have been cut in extreme and mean ratio when,

as the whole line is to greater segment, so is the greater to the lesser.”

Kalimat Euclid tersebut dapat diilustrasikan dengan gambar 2.15. Jika

diperhatikan pada gambar 2.15, segmen garis jelas lebih panjang dari

pada segmen garis . Di saat yang sama, segmen garis lebih panjang

daripada . Jika perbandingan dari panjang terhadap sama

dengan perbandingan dari panjang terhadap , maka garis tersebut

dipotong dalam “extreme and mean ratio” atau dipotong dalam

Perbandingan Emas atau Golden Ratio.

Jika panjang adalah 1 dan panjang adalah , maka

perbandingan yang dimaksudkan adalah :

Gambar 2.15. Ilustrasi Golden Ratio


49

Persamaan kuadrat diatas mempunyai 2 akar yaitu √

. Akar positif dari

persamaan kuadrat tersebut adalah √

atau 0,6180339…

Perhatikan bahwa diperoleh √

, maka

√

. Oleh karena

itu, perbandingan senilai dari segmen-segmen garis tersebut dapat

diperoleh dengan : (Livio, 2003)

1. Cara 1 :

√

√

√

√

2. Cara 2 :

√

√

√

√

Selanjutnya, bilangan yang diperoleh dari rasio tersebut yaitu

dan disebut sebagai Golden Number. Pada

abad kelima sebelum masehi, ahli matematika Yunani menetapkan


50

bilangan tersebut disebut bilangan Golden Ratio yang bukan merupakan

bilangan bulat ataupun bilangan rasional.

Menurut R.Knoot dalam situsnya, simbol untuk Golden Ratio

menggunakan huruf Yunani yaitu phi( ) untuk melambangkan

dan Phi( ) untuk melambangkan Namun,

beberapa ahli Yunani sering menggunakan lambang (alpha) atau (tau).

Pada perkembangannya, istilah Golden Ratio juga dikenal dengan nama

Golden Section. Definisi yang dikemukakan oleh Euclid dan bilangan

Golden Section tersebut kemudian dikembangkan dalam perkembangan

geometri Yunani (www.maths.surrey.ac.uk).

I. Metode Golden Section Search

Metode Golden Section Search sering disebut juga dengan metode

Irisan Emas. Metode Golden Section Search adalah metode tertutup yang

bertujuan untuk menentukan nilai ekstrem, baik maksimum atau minimum

dari suatu fungsi non linear satu variabel tanpa kendala, dengan teknik

yang sederhana (Chapra dan Canale, 2010). Dalam penggunaan metode

Golden Section Search perlu diketahui selang yang memuat satu titik

maksimum atau minimum lokal. Kondisi dimana fungsi memiliki satu titik

maksimum atau minimum lokal pada selang tertentu disebut fungsi

bersifat unimodal pada selang tersebut.

Definisi 2.11 (Priswanto, 2005:5)

Suatu fungsi bersifat unimodal pada , - artinya jika adalah titik

maksimum lokal pada , - maka :


http://www.maths.surrey.ac.uk/

51

adalah fungsi naik pada interval , - dan adalah fungsi turun

pada interval , -.

Pada kasus minimum, definisi di atas berlaku sebaliknya, yaitu adalah

fungsi turun pada interval , - dan adalah fungsi naik pada interval

, - dengan adalah titik minimum lokal pada , -.

Salah satu syarat dalam algoritma metode Golden Section Search

adalah fungsi harus bersifat unimodal pada , -. Menurut Fitriani (2013),

konsep dasar yang digunakan dalam Golden Section Search adalah

mempersempit selang daerah asal hingga mencapai titik optimal. Sebelum

mempersempit selang, ada beberapa kasus sifat fungsi untuk selang yang

lebih sempit daripada , -. Berikut adalah beberapa kasus untuk , -

di dalam , - dan kasus mencari nilai maksimum.

1. Kasus 1 : ( ) ( )

Fungsi naik pada sebagian , - dan unimodal. Titik

optimal bukan pada , - tetapi pada , -.

2. Kasus 2 : ( ) ( )

Fungsi turun pada sebagian , - dan unimodal. Titik

optimal bukan pada , - tetapi pada , -.

Gambar 2.16. Kondisi ketika 𝑓(𝑥 ) 𝑓(𝑥 )

Sumber. http://rahmafitriani.lecture.ub.ac.id


52

3. Kasus 3 : ( ) ( )

Fungsi turun pada sebagian , - dan unimodal. Nilai

optimalnya tidak akan lebih dari , oleh karena itu nilai

optimal terletak pada , -.

Sedangkan untuk kasus mencari nilai minimum, sifat fungsi diatas

juga berlaku sebaliknya. Sifat fungsi pada ketiga kasus di atas akan

membantu dalam proses eliminasi selang yang dilakukan pada metode

Golden Section Search.

Berdasarkan tekniknya, metode Golden Section Search termasuk

metode langsung yaitu metode yang tekniknya menggunakan evaluasi nilai

fungsi di dua titik yang berbeda pada selang awal yang diduga memuat






53

nilai minimum atau maksimum. Nilai fungsi dari dua titik tersebut akan

dibandingkan dan hasilnya akan digunakan sebagai dasar penyempitan

selang sehingga terbentuk selang yang baru. Berikut adalah algoritma

penentuan titik dan penyempitan selang pada metode langsung.

1. Misalkan pada kasus minimum, diketahui fungsi adalah

fungsi non-linear satu variabel dan bersifat unimodal pada

, -. Artinya, pada , - termuat satu nilai minimum

fungsi .

2. Pada iterasi pertama dipilih titik antara dan , misal dan

dengan . Kondisi bahwa fungsi adalah fungsi

unimodal pada , - menjamin bahwa ( ) dan ( ) lebih

kecil dari ( ) dan ( )

3. Selanjutnya, dilakukan evaluasi nilai fungsi ( ) dan ( )

untuk menentukan kasus yang terjadi (lihat sifat kasus untuk

selang yang lebih sempit yang sudah dijelaskan sebelumnya).

Setelah mengetahui jenis kasus yang terjadi, maka dapat

ditentukan interval baru, yaitu :

Jika ( ) ( ), maka pembuat minimum berada di [ ].

Jika ( ) ( ), maka pembuat minimum berada di [ ].


54

4. Apabila yang terjadi adalah kasus dimana ( ) ( ),

artinya dari selang , - menjadi , -. Panjang interval

baru menjadi lebih kecil daripada panjang interval lama, atau

dapat dituliskan menjadi :

( ) dengan

Begitu juga apabila yang terjadi adalah kasus dimana

( ) ( ), artinya dari selang , - menjadi , -. Hal

yang sama terjadi adalah panjang interval baru menjadi lebih

kecil dari panjang interval yang lama.

Sumber : Metode Numeris Untuk Menemukan Ekstrem Fungsi n-Variabel Tanpa

Kendala (Priswanto,2005)

Gambar 2.19.(a) Kondisi ketika 𝑓(𝑎 ) 𝑓(𝑏 )

(a) (b)

Gambar 2.19.(b) Kondisi ketika

𝑓(𝑎 ) 𝑓(𝑏 )

𝒂𝟎 𝒃𝟎 𝒂𝟏 𝒃𝟏

𝒂𝟎 𝒂𝟏 𝒃𝟏

Gambar 2.20. Pereduksian selang pada metode langsung jika

𝑓(𝑎 ) 𝑓(𝑏 ) untuk kasus minimum

Interval

baru

Interval

awal


55

5. Pada metode langsung, dipilih nilai agar pereduksian dalam

selang menjadi simetrik. Untuk mempermudah perhitungan,

tanpa mengurangi keumuman, misalkan panjang interval

, - adalah 1 atau dapat ditulis .

Jika diperhatikan pada gambar 2.22 dan 2.23, pereduksian yang

dilakukan bertujuan agar reduksi selang simetris sedemikan sehingga :

𝒂𝟎 𝒃𝟎 𝒂𝟏 𝒃𝟏

𝒂𝟏 𝒃𝟏 𝒃𝟎

Gambar 2.21. Pereduksian selang pada metode langsung

jika 𝑓(𝑎 ) 𝑓(𝑏 ) untuk kasus minimum

Interval

awal Interval

baru

Gambar 2.22. Ilustrasi pereduksian selang jika 𝑓(𝑎 ) 𝑓(𝑏 )

untuk kasus minimum

𝒑 𝟏 𝒑

𝒃𝟎 𝒂𝟎 𝟏

𝒂𝟎 𝒃𝟎 𝒂𝟏 𝒃𝟏

𝒂𝟏 𝒂𝟎 𝒃𝟐 𝒂𝟏 𝒃𝟏 Iterasi 2

Iterasi 1

𝒂𝟐

𝒂𝟎 𝒃𝟎 𝒂𝟏 𝒃𝟏

𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝒃𝟏 𝒃𝟏 𝒃𝟎

Gambar 2.23. Ilustrasi pereduksian selang pada metode

langsung jika 𝑓(𝑎 ) 𝑓(𝑏 ) untuk kasus minimum

Iterasi 1

Iterasi 2

𝒑 𝟏 𝒑

𝒃𝟎 𝒂𝟎 𝟏

𝒃𝟐


56

( )

dengan suatu konstanta dan

Pereduksian selang tersebut dilakukan hingga panjang interval memenuhi

panjang interval akhir yang sudah ditentukan.

Algoritma di atas merupakan algoritma dari metode langsung

untuk menentukan nilai ekstrem dari fungsi non-linear satu variabel tanpa

kendala. Pada metode Golden Section Search algoritma yang digunakan

sama namun konstanta diharapkan konstan atau tetap untuk setiap iterasi

dalam pereduksian selang.

Pada iterasi ke-k, misal interval perkiraan adalah , -, maka

dapat ditemukan dua titik baru dan dengan :

( ) ( )( ) (2.14)

( ) ( )( ) (2.15)

dimana

sedemikan sehingga , - dan , - simetris yaitu :

( )

Nilai diharapkan konstan untuk setiap iterasi. Langkah

selanjutnya, salah satu dari titik akan digunakan sebagai titik interior pada

selang yang baru, sementara titik yang lain akan menjadi batas pada selang

baru. Kemudian, dalam setiap iterasi hanya akan dicari satu titik dan hanya

satu evaluasi yang akan dilakukan.


57

Perhatikan gambar 2.24, jika ( ) ( ) dan hanya satu

evaluasi fungsi yang akan dilakukan, maka rasio antara subinterval pada

interval awal harus sama dengan panjang sub interval yang baru, yaitu :

dari (2.14) dan (2.15) diperoleh :

( )

( )( )

( )

√

Gambar 2.24. Ilustrasi pereduksian selang metode Golden

Section Search jika 𝑓(𝑎 ) 𝑓(𝑏 ) untuk kasus minimum

𝒑 𝟏 𝒑

𝒃𝟎 𝒂𝟎 𝟏

𝒂𝟎 𝒃𝟎 𝒂𝟏 𝒃𝟏

𝒂𝟏 𝒂𝟎 𝒃𝟐 𝒂𝟏 𝒃𝟏 Iterasi 2

Iterasi 1

𝒂𝟐

𝒂𝟎 𝒃𝟎 𝒂𝟏 𝒃𝟏

𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝒃𝟏 𝒃𝟏 𝒃𝟎

Gambar 2.25. Ilustrasi pereduksian selang metode Golden Section Search

jika 𝑓(𝑎 ) 𝑓(𝑏 ) untuk kasus minimum

Iterasi 1

Iterasi 2

𝒑 𝟏 𝒑

𝒃𝟎 𝒂𝟎 𝟏

𝒃𝟐


58

Demikian pula jika ( ) ( ) dan hanya satu evaluasi

fungsi yang akan dilakukan, maka rasio antara subinterval pada interval

awal harus sama dengan panjang sub interval yang baru, yaitu :

dari (2.14) dan (2.15) diperoleh :

( )

( )( )

( )

√

Dari dua kemungkinan di atas maka diperoleh suatu rasio

√

, karena nilai di dalam interval ( ) maka dipilih

√

.

Konstanta rasio tersebut sering disebut golden ratio untuk menyusutkan

selang pada metode Golden Section Search.

Secara singkat, pada iterasi ke–k, dan dipilih berdasarkan

(2.14) dan (2.15) dengan √

kemudian interval

perkiraan disusutkan dengan faktor . Iterasi pertama memerlukan dua

evaluasi fungsi dan pada iterasi selanjutnya hanya diperlukan satu

evaluasi. Pada iterasi ke- panjang interval adalah ( ) ( ).


59

Misalkan adalah panjang interval akhir yang diinginkan, maka harus

dipilih sedemikan hingga :

( ) ( )

( )

( ) (2.16)

Berikut adalah algoritma Golden Section Search :

a. Langkah Awal

Misalkan diketahui fungsi bersifat unimodal pada , -. Interval

yang telah diberikan di awal menjadi interval awal dalam algoritma.

Tentukan panjang interval akhir yang diinginkan dengan .

Tentukan jumlah iterasi yang akan dikerjakan ( ) dengan

menggunakan rumus (2.16) yaitu ( )

( ).

b. Langkah Utama

1. Hitung nilai dan dengan menggunakan bentuk

persamaan (2.14) dan (2.15), yaitu :

( ) ( )( )

( ) ( )( )

dengan √

dan

2. Hitung nilai fungsi dari dan .

a. Kasus Maksimum

(i) Jika ( ) ( ) maka dipilih interval baru

, - dan dipilih .


60

(ii) Jika ( ) ( ) maka dipilih interval baru

, - dan dipilih .

b. Kasus Minimum

(i) Jika ( ) ( ) maka dipilih interval baru

, - dan dipilih .

(ii) Jika ( ) ( ) maka dipilih interval baru

, - dan dipilih .

3. Ulangi 1 dan 2 hingga dan hingga selisih interval akhir

sudah sesuai yang diharapkan.

4. Jika proses telah sampai pada iterasi terakhir, maka dipilih nilai

paling minimum (dalam kasus minimum) atau maksimum (dalam

kasus maksimum) dari 2 titik interior di dalam selang atau interval

terakhir.

J. Penelitian yang Relevan

Dalam penelitian ini, penulis memaparkan penelitian terdahulu

yang relevan dengan permasalahan dalam menentukan nilai ekstrem pada

fungsi polinomial tanpa mengunakan konsep turunan dan simetri pada

grafik fungsi polinomial.

Taylor, R.D dan Hansen, R (2008) memaparkan penyelesaian

masalah dalam menentukan nilai ekstrem pada fungsi polinomial

berderajat 3 (fungsi kubik) tanpa menggunakan konsep turunan dalam

jurnal “Optimization of Cubic Polynomial Function without Calculus”

Taylor dan Hansen pada jurnal tersebut menggunakan konsep dasar aljabar


61

dan geometri dalam menentukan nilai ekstrem fungsi polinomial

berderajat 3. Acuan yang digunakan dalam penelitian tersebut berasal dari

penelitian sebelumnya oleh de Villiers (2004) yang mengungkapkan

bahwa setiap fungsi polinomial berderajat 3 mempunyai titik simetri putar

(rotational symmetry point).

Ide dasar pada penelitian Taylor dan Hansen adalah membawa

sembarang fungsi polinomial berderajat 3 menjadi fungsi ganjil dengan

menggunakan konsep translasi, yaitu dengan memindahkan titik simetris

yang dimiliki oleh fungsi polinomial berderajat 3 ke titik origin O(0,0).

Proses translasi tersebut menghasilkan fungsi baru yang simetris terhadap

titik origin O(0,0) atau juga disebut fungsi ganjil. Tahap selanjutnya masih

menggunakan translasi dan manipulasi aljabar. Salah satu titik ekstrem

dari fungsi ganjil tersebut ditranslasi sedemikian sehingga titik ekstrem

tersebut menyinggung sumbu X. Proses translasi yang kedua ini

menghasilkan fungsi baru dimana titik ekstrem fungsi sekaligus menjadi

akar atau pembuat nol dari fungsi yang baru. Proses selanjutnya

menggunakan manipulasi aljabar sehingga diperoleh formula titik ekstrem

pada fungsi yang baru.

Penentuan nilai ekstrem dari fungsi awal juga menggunakan

translasi, yaitu dengan menggeser fungsi akhir kembali ke posisi fungsi

awal. Beberapa proses translasi dan manipulasi aljabar tersebut dapat

menghasilkan solusi (solusi dalam bentuk formula) yang sama dengan

solusi menggunakan konsep turunan.


62

Ayuningtyas, Setyarini, dan Retnosari (2016) memaparkan hasil

penelitian dimana penelitian tersebut pengembangan dari penelitian Taylor

dan Hansen, dalam “Permasalahan Optimasi pada Fungsi Polinomial

Berderajat Tinggi Tanpa Melibatkan Konsep Turunan” Penelitian tersebut

memaparkan proses mencari nilai ekstrem fungsi polinomial berderajat 5

tanpa menggunakan konsep turunan, tetapi menggunakan konsep dasar

aljabar dan geometri seperti yang dilakukan oleh Taylor dan Hansen.

Meskipun langkah-langkah yang digunakan pada penelitian tersebut

hampir sama dengan penelitian Taylor dan Hansen, namun ada yang

menjadi perbedaan dalam proses penelitian.

Apabila setiap fungsi polinomial berderajat 3 selalu simetris atau

memiliki titik simetri putar (rotational symmetry point), lain halnya

dengan fungsi polinomial berderajat 5. Penelitian tersebut memaparkan

bahwa tidak semua fungsi polinomial berderajat 5 simetris atau memiliki

titik simetri putar (rotational symmetry point). Goehle dan Kobayasi

(2013) medefinisikan bahwa fungsi polinomial berderajat merupakan

fungsi ganjil di , jika fungsi memiliki titik simetri putar di ( ( )),

untuk bilangan ganjil. Sedangkan, fungsi merupakan fungsi genap di

, jika fungsi mempunyai sumbu simetri , untuk genap.

Selanjutnya, disebut sebagai pusat simetri dari fungsi polinomial. Fungsi

polinomial yang simetris adalah fungsi yang memiliki titik simetri putar

atau sumbu simetri.


63

Menurut Goehle dan Kobayasi, jika didefinisikan ( )

dengan dan fungsi simetris, maka

fungsi memiliki titik simetri putar dengan absis

. Hasil penelitian

dari Goehle dan Kobayasi dikembangkan lebih lanjut oleh Ayuningtyas,

Setyarini, dan Retnosari yaitu menentukan sifat dari fungsi polinomial

berderajat 5 yang simetris dengan menggunakan konsep fungsi ganjil.

Fungsi merupakan fungsi yang simetris apabila memenuhi persamaan :

(2.17)

Hasil penelitian dari Ayuningtyas, Setyarini, dan Retnosari

meninggalkan permasalahan sebab pada langkah translasi yang

memindahkan titik ekstrem lokal menjadi bersinggungan dengan sumbu

X, menghasilkan sistem persamaan yang tidak dapat diselesaikan secara

eksak.


64

BAB III

FUNGSI POLINOMIAL BERDERAJAT 5

Pada bab ini akan dibahas tentang sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi

polinomial berderajat 5, baik secara umum dan fungsi polinomial berderajat 5

yang simetris, hasil eksplorasi peneliti dalam menentukan nilai ekstrem lokal

fungsi polinomial berderajat 5 menggunakan metode Golden Section Search

dengan bantuan Geogebra dan Microsoft Excel. Selain itu, pada bab ini akan

dibahas tentang langkah-langkah yang akan digunakan oleh peneliti untuk

menentukan nilai ekstrem lokal fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris

secara garis besar. Pada bab ini juga akan dibahas secara khusus langkah uji

simetris pada fungsi polinomial berderajat 5 dan proses translasi yang dilakukan

pada fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris menjadi fungsi ganjil.

A. Fungsi Polinomial Berderajat 5

Berdasarkan definisi fungsi polinomial secara umum, bentuk

umum dari fungsi polinomial berderajat 5 adalah :

( )

dengan dan adalah konstanta.

Fungsi polinomial berderajat 5 adalah fungsi ganjil jika dan hanya

jika konstanta dari bernilai 0.

Misal sembarang fungsi polinomial berderajat 5, ( )

dengan fungsi adalah fungsi ganjil.


65

Berdasarkan definisi 2.2, fungsi adalah fungsi ganjil jika dan hanya jika

memenuhi persamaan ( ) ( ).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(3.1)

( ) ( )

(3.2)

Untuk memenuhi definisi fungsi ganjil maka persamaan (3.1) harus sama

dengan (3.2). Sedangkan agar (3.1) ekuivalen dengan (3.2) haruslah

.

Misal sembarang fungsi polinomial berderajat 5, ( )

dengan .

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

Karena memenuhi persamaan ( ) ( ) maka fungsi adalah

fungsi ganjil.

Jadi, terbukti bahwa fungsi polinomial berderajat 5 adalah fungsi ganjil

jika dan hanya jika konstanta dari bernilai 0

Berdasarkan sifat titik balik (turning points) pada fungsi

polinomial, fungsi polinomial berderajat 5 memiliki paling banyak 4 titik

balik (turning points). Selain itu, fungsi polinomial berderajat 5 memiliki 5


66

pembuat nol baik bilangan real atau bilangan kompleks. Fungsi polinomial

berderajat 5 memiliki paling banyak 5 pembuat nol bilangan real. Hal

tersebut berakibat grafik fungsi polinomial berderajat 5 memiliki paling

banyak 5 titik yang memotong atau menyinggung sumbu X.

Grafik fungsi polinomial berderajat 5 tidak memiliki bentuk yang

sama untuk setiap fungsi. Berbeda dengan fungsi linear dan kuadrat yang

memiliki bentuk grafik yang sama, yaitu fungsi linear selalu berbentuk

garis lurus dan fungsi kuadrat selalu berbentuk parabola.

(a) (b)

(d) (c)


67

Berdasarkan sifat the end behavior pada fungsi polinomial, grafik

fungsi polinomial berderajat 5,

( )

memiliki karakteristik sebagai berikut :

1. Jika koefisien dari suku yang memuat pangkat 5 atau leading

coeficient adalah bilangan positif, artinya maka

Gambar 3.1. Berbagai Macam Bentuk Grafik Fungsi Polinomial Berderajat 5

(e) (f)

(g) (h)


68

maka nilai ( )

maka nilai ( )

Artinya untuk yang semakin bertambah besar atau bilangan

positif yang besar, nilai ( ) juga bertambah semakin besar.

Hal yang sama juga berlaku untuk yang semakin berkurang

atau semakin ke arah bilangan negatif yang besar, nilai ( )

juga berkurang ke arah bilangan negatif yang besar.

Jika dilihat dari grafik, fungsi semakin naik ke arah kanan

dan semakin turun ke arah kiri.

2. Jika koefisien dari suku yang memuat pangkat 5 atau leading

coeficient adalah bilangan negatif, artinya maka

maka nilai ( )

maka nilai ( )

Pada kasus ini berlawanan dengan kasus sebelumnya yaitu

kasus untuk . Pada kasus , berlaku untuk yang

semakin bertambah besar atau bilangan positif yang besar, nilai

( ) semakin berkurang ke arah bilangan negatif yang besar.

Hal yang sama juga berlaku untuk yang semakin berkurang

atau semakin ke arah bilangan negatif yang besar, nilai ( )

bertambah semkain besar ke arah bilangan positif yang besar.

Jika dilihat secara grafik, fungsi semakin turun ke arah kanan

dan semakin naik ke arah kiri.


69

Dari karakteristik di atas, fungsi polinomial berderajat 5 tidak

memiliki nilai maksimum global, karena fungsi semakin naik ke arah

kanan untuk atau fungsi semakin naik ke arah kiri untuk .

Fungsi polinomial berderajat 5 juga tidak memiliki nilai minimum global,

karena fungsi semakin turun ke arah kiri untuk atau fungsi

semakin turun ke arah kanan untuk .

B. Fungsi Polinomial Berderajat 5 yang Simetris

Berdasarkan definisi 2.2, fungsi ganjil memiliki karakteristik yaitu

grafik fungsinya simetris terhadap titik O(0,0). Sedangkan, grafik fungsi

genap simetris terhadap sumbu Y atau garis . Goehle dan Kobayasi

(2013) mendefinisikan bahwa fungsi polinomial berderajat merupakan

fungsi genap di jika fungsi tersebut memiliki sumbu simetri untuk

adalah bilangan genap. Sedangkan, fungsi merupakan fungsi ganjil di

jika fungsi tersebut memiliki titik simetri putar (rotational symmetry) di

( ( )) untuk adalah bilangan ganjil. Absis dari titik simetri putar atau

garis dari sumbu simetri tersebut, yaitu disebut sebagai pusat simetri

(center symmetry). Oleh karena itu, pusat simetri pada fungsi polinomial

dapat berupa sumbu simetri atau titik simetri putar.

Dalam menentukan nilai , Goehle dan Kobayasi menggunakan

dugaan bahwa nilai ditentukan oleh 2 koefisien pertama pada fungsi

polinomial. Dugaan tersebut diawali dengan mengamati fungsi polinomial

berderajat rendah, yaitu berderajat 0, 1, 2 dan 3. Fungsi polinomial


70

berderajat 0, atau fungsi konstan merupakan fungsi genap di setiap nilai

manapun karena setiap titik pada dapat menjadi sumbu simetri. Fungsi

polinomial berderajat 1, atau fungsi linear dengan kemiringan garis tidak

sama dengan 0, merupakan fungsi ganjil di setiap nilai manapun, karena

setiap dapat menjadi absis dari titik semetri putar. Fungsi polinomial

berderajat 2 atau fungsi kuadrat, ( ) memiliki bentuk

grafik fungsi berbentuk parabola yang mempunyai sumbu simetri, dengan

sumbu simetri

. Oleh karena itu, fungsi polinomial berderajat 2

merupakan fungsi genap di

. Berdasarkan hasil penelitian de

Villiers, setiap fungsi polinomial berderajat 3, ( )

memiliki titik simetri putar di (

(

)*. Oleh karena itu, setiap

fungsi polinomial berderajat 3 merupakan fungsi ganjil di

. Dari

pengamatan karakteristik beberapa fungsi polinomial tersebut, Goehle dan

Kobayasi menduga fungsi polinomial berderajat :

( )

memiliki pusat simetris (center symmetry) di

. Namun, ternyata

dalam proses penelitian, Goehle dan Kobayasi menemukan bahwa tidak

semua fungsi polinomial berderajat tinggi, yaitu berderajat 4,5 dan

seterusnya, memiliki pusat simetri (sumbu simetri atau titik simetri putar).

Goehle dan Kobayasi mengatakan untuk memastikan apakah fungsi

polinomial berderajat mempunyai pusat simetri, dapat dilakukan dengan


71

cara mentranslasikan fungsi polinomial dengan menggeser absis

ke untuk bilangan genap, atau menggeser titik (

(

))

ke titik origin O(0,0). Setelah melakukan translasi, kemudian dilakukan

pengecekan menggunakan definisi fungsi ganjil dan fungsi genap untuk

menentukan fungsi termasuk fungsi genap, fungsi ganjil atau bukan

keduanya.

Berdasarkan hasil penelitian Goehle dan Kobayasi, jika fungsi

polinomial berderajat 5, ( ) adalah

fungsi yang simetris, maka pusat simetrinya terletak di

.

Ayuningtyas, Setyorini dan Retnosari (2016) mengembangkan penelitian

dari Goehle dan Kobayasi, yaitu menentukan karakteristik fungsi

polinomial berderajat 5 yang simetris.

Misal fungsi , ( ) ,

mempunyai titik semetri putar di ( ) dengan

dan ( ).

Jika fungsi ditranslasikan dengan menggeser titik ( ) ke titik origin

( ) maka akan terbentuk fungsi baru yang diperoleh dari translasi

fungsi terhadap (

) . Misalkan fungsi baru yang terbentuk adalah

fungsi , maka fungsi dapat dituliskan dalam bentuk :

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )


72

( ) (

) ( ) (

) ( )

( ) ( )

( ) ( ) (3.1)

Fungsi merupakan hasil translasi fungsi yang diperoleh dengan

menggeser titik simetri putar fungsi ke titik O(0,0), sehingga fungsi

memiliki titik simetri putar di O(0,0). Artinya fungsi merupakan fungsi

ganjil. Oleh karena itu, koefisien dari dan pada persamaan (3.1)

haruslah bernilai 0.

Koefisien adalah , maka :

(3.2)

Koefisien adalah , maka :

(3.3)

Jika persamaan (3.2) disubstitusikan ke persamaan (3.3), maka

(

*

(

*

(

*


73

(3.4)

Jika koefisien dari dan bernilai 0, maka persamaan (3.1) menjadi :

( ) ( ) (

) (3.5)

Dari perhitungan di atas, fungsi merupakan fungsi polinomial

berderajat 5 yang simetris jika memenuhi persamaan (3.4), dengan pusat

simetri di

. Oleh karena itu, fungsi yang simetris memiliki titik

simetri putar di (

(

)*.

Contoh 3.1

1. ( )

Misal :

Perhatikan nilai dari

pada fungsi

( )( )

( )

( )

( )

Dari perhitungan di atas, diperoleh bahwa fungsi memenuhi

persamaan (3.4), maka fungsi adalah fungsi polinomial berderajat 5

yang simetris dengan pusat simetris di

( )


74

Untuk lebih memastikan hal tersebut, akan dilakukan pengecekan

dengan melihat grafik fungsi .

Misalkan fungsi memiliki titik simetri putar di titik , maka titik

simetri putar dari fungsi adalah ( ( )).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Jika fungsi ditranslasikan dengan menggeser titik ( ) ke titik

( ) menjadi fungsi baru yaitu fungsi , maka:

( )( )

→ ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Gambar 3.2. Grafik fungsi 𝑔(𝑥) 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥


75

( )

Setelah ditranslasikan, fungsi adalah fungsi ganjil baik secara grafik

fungsi dan rumus fungsi, karena fungsi hanya memuat suku-suku

yang pangkatnya ganjil.

Jadi, fungsi adalah fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris

dengan titik simetri putar di ( ).

2. ( )

Misal :

Perhatikan nilai dari

pada fungsi

( )( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

Gambar 3.3. Translasi Grafik Fungsi 𝑔


76

Dari perhitungan di atas, diperoleh bahwa fungsi tidak memenuhi

persamaan (3.4), maka fungsi bukan fungsi polinomial berderajat 5

yang simetris.

Untuk lebih memastikan hal tersebut, akan dilakukan pengecekan

dengan melihat grafik fungsi .

Menurut Goehle dan Kobayasi, jika fungsi adalah fungsi polinomial

berderajat 5 yang simetris, maka pusat simetrisnya di :

( )

Misalkan fungsi mempunyai titik simetri putar di (

(

)*.

(

* (

*

(

*

(

*

(

*

(

*

Gambar 3.4. Grafik fungsi (𝑥) 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥


77

Jika fungsi ditranslasikan dengan menggeser titik (

) ke

titik ( ) menjadi fungsi , maka :

( )

(

)

→ ( )

( ) (

* (

*

( ) (

*

(

*

(

*

(

*

(

*

Uji apakah fungsi merupakan fungsi ganjil. Fungsi merupakan

fungsi ganjil jika memenuhi persamaan ( ) ( ).

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) (

*

Dari perhitungan di atas, fungsi bukan merupakan fungsi ganjil

karena tidak memenuhi ( ) ( ).


78

Setelah ditranslasikan, fungsi adalah bukan fungsi ganjil baik secara

grafik fungsi dan rumus fungsi, karena fungsi tidak memenuhi

definisi fungsi ganjil.

Jadi, dapat disimpulkan fungsi bukan fungsi polinomial berderajat 5

yang simetris.

C. Nilai Ekstrem Lokal Fungsi Polinomial Berderajat 5 Menggunakan

Golden Section

Metode Golden Section Search adalah salah satu metode yang

dapat digunakan untuk menentukan nilai ekstrem dari fungsi nonlinear

satu variabel. Fungsi polinomial berderajat 5 merupakan salah satu macam

fungsi nonlinear dalam satu variabel. Pada subbab ini akan diberikan

Gambar 3.5. Translasi fungsi


79

contoh penggunaan metode Golden Section Search untuk menentukan

nilai ekstrem lokal fungsi polinomial berderajat 5.

Dalam menentukan nilai ekstrem dari sebuah fungsi nonlinear satu

variabel menggunakan Golden Section Search perlu diketahui selang yang

menjamin bahwa fungsi tersebut unimodal pada selang tersebut, yang

artinya pada selang tersebut hanya memuat satu nilai ekstrem lokal saja.

Proses yang dilakukan dalam metode Golden Section Search adalah

penyempitan selang, dimulai dari selang yang diketahui awal (iterasi 0),

dengan menggunakan konstanta yang tetap pada setiap iterasi, yaitu

√

…

Contoh 3.2

Tentukan nilai ekstrem lokal dari fungsi di bawah ini

menggunakan metode Golden Section Search dengan panjang interval

akhir

( )

Penyelesaian :

Berdasarkan algoritma metode Golden Section Search perlu

diketahui selang yang menjamin fungsi unimodal pada selang tersebut.

Untuk mengetahui selang tersebut, diperlukan bantuan menggunakan

grafik fungsi .


80

Dari gambar grafik fungsi , terlihat bahwa fungsi memiliki 2

titik maksimum lokal dan 2 titik minimum lokal. Fungsi memuat nilai

maksimum lokal pada selang dan dan nilai minimum

lokal pada selang dan .

Iterasi yang harus dilakukan pada metode Golden Section dapat

ditentukan sesuai dengan panjang interval akhir yang diinginkan atau

ditentukan. Pemilihan banyaknya iterasi yang dilakukan dapat

menggunakan rumus pada (2.7).

1. Kasus 1 : Menentukan nilai minimum lokal

Pada kasus ini akan dicari nilai minimum lokal pada fungsi . Fungsi f

memiliki 2 nilai minimum lokal yang termuat pada selang

dan .

a. Nilai minimum lokal pada selang

Gambar 3.6. Grafik fungsi 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥


81

(i) Langkah awal : menentukan banyak iterasi

( )

( )

( )

( ( ))

( )

( )

Jadi, dipilih , karena ( )

(ii) Langkah utama

Iterasi 1

Dicari 2 titik baru di dalam selang , misal dan .

Pemilihan titik dan berdasarkan (2.5) dan (2.6)

( ) ( )

( ) ( )

Dilakukan evaluasi nilai fungsi dari ( ) dan ( )

( )

( )

Karena dan ( ) ( ) maka dipilih interval baru

yaitu .

Iterasi 2

Dipilih 2 titik di dalam selang , misalkan

dan .

( )


82

( )

yang merupakan titik interior dalam selang

merupakan titik . Oleh karena itu, hanya

perlu evaluasi nilai fungsi pada satu titik baru.

( ) ( )

( ) ( )


yaitu

Iterasi selanjutnya menggunakan bantuan tabel dan Microsoft Excel.

Jadi, minimum lokal fungsi diperkirakan berada di

dengan nilai fungsi .

Iterasi

( )

Batas

bawah

selang ( )

( ) ( ) ( )

Batas

atas

selang

( )

( )

0 -3 2 -2.61803 0.618034 -2.381966 0.742646 -2 2

1 -3 2 -2.76393 0.913216 -2.618034 0.618034 -2.381966 0.742646

2 -2.763932 0.913216 -2.61803 0.618034 -2.527864 0.582982 -2.381966 0.742646

3 -2.618034 0.618034 -2.52786 0.582982 -2.472136 0.61422 -2.381966 0.742646

4 -2.618034 0.618034 -2.56231 0.583532 -2.527864 0.582982 -2.472136 0.61422

5 -2.562306 0.583532 -2.52786 0.582982 -2.506578 0.590321 -2.472136 0.61422

6 -2.562306 0.583532 -2.54102 0.581358 -2.527864 0.582982 -2.506578 0.590321

7 -2.562306 0.583532 -2.54915 0.581483 -2.54102 0.581358 -2.527864 0.582982

8 -2.54915 0.581483 -2.54102 0.581358 -2.535995 0.581713 -2.527864 0.582982

9 -2.54915 0.581483 -2.54413 0.581304 -2.54102 0.581358 -2.535995 0.581713

10 -2.54915 0.581483 -2.54604 0.581333 -2.544125 0.581304 -2.54102 0.581358

11 -2.546045 0.581333 -2.54413 0.581304 -2.542939 0.58131 -2.54102 0.581358

12 -2.546045 0.581333 -2.54486 0.581309 -2.544125 0.581304 -2.542939 0.58131

13 -2.544858 0.581309 -2.54413 0.581304 -2.543672 0.581304 -2.542939 0.58131

14 -2.544858 0.581309 -2.54441 0.581305 -2.544125 0.581304 -2.543672 0.581304

15 -2.54441 0.581305 -2.544125 0.581304 -2.543952 0.581303 -2.543672 0.581304

Tabel 3.1. Hasil Iterasi Menentukan Nilai Minimum Lokal di


83

b. Nilai minimum lokal pada selang


( )

( )

( )

( ( ))

( )

( )


(ii) Langkah utama

Iterasi 1



( ) ( )

( ) ( )


( ) ( )

( ) ( ( )


yaitu .


84

Iterasi 2

Dipilih 2 titik di dalam selang , misalkan dan

.

( )

( )

yang merupakan titik interior dalam selang .

merupakan titik . Oleh karena itu, hanya perlu evaluasi nilai

fungsi pada satu titik baru.

( ) ( )

( ) ( )


yaitu .


Itera

si

( )

Batas

bawah

selang

( )

( ) ( ) ( )

Batas

atas

selang

( )

( )

0 -1 2 -0.61803 -0.62808 -0.38197 -1.61803 0 2

1 -0.61803 -0.62808 -0.38197 -1.61803 -0.23607 -1.30935 0 2

2 -0.61803 -0.62808 -0.47214 -1.39578 -0.38197 -1.61803 -0.23607 -1.30935

3 -0.47214 -1.39578 -0.38197 -1.61803 -0.32624 -1.61384 -0.23607 -1.30935

4 -0.47214 -1.39578 -0.41641 -1.56299 -0.38197 -1.61803 -0.32624 -1.61384

5 -0.41641 -1.56299 -0.38197 -1.61803 -0.36068 -1.63092 -0.32624 -1.61384

6 -0.38197 -1.61803 -0.36068 -1.63092 -0.34752 -1.63014 -0.32624 -1.61384

7 -0.38197 -1.61803 -0.36881 -1.62801 -0.36068 -1.63092 -0.34752 -1.63014

8 -0.36881 -1.62801 -0.36068 -1.63092 -0.35565 -1.63143 -0.34752 -1.63014

9 -0.36068 -1.63092 -0.35565 -1.63143 -0.35255 -1.63125 -0.34752 -1.63014

10 -0.36068 -1.63092 -0.35757 -1.63135 -0.35565 -1.63143 -0.35255 -1.63125

11 -0.35757 -1.63135 -0.35565 -1.63143 -0.35447 -1.63141 -0.35255 -1.63125

Tabel 3.2. Hasil Iterasi Menentukan Nilai Minimum Lokal di


85

12 -0.35757 -1.63135 -0.35639 -1.63142 -0.35565 -1.63143 -0.35447 -1.63141

13 -0.35639 -1.63142 -0.35565 -1.63143 -0.3552 -1.63143 -0.35447 -1.63141

14 -0.35639 -1.63142 -0.35593 -1.63143 -0.35565 -1.63143 -0.3552 -1.63143

15 -0.35593 -1.63143 -0.35565 -1.63143 -0.35548 -1.63143 -0.3552 -1.63143

Jadi, minimum lokal fungsi diperkirakan berada di


2. Kasus 2 : Menentukan maksimum lokal

Pada kasus ini akan dicari nilai maksimum lokal pada fungsi . Fungsi

memiliki 2 nilai maksimum lokal yang termuat pada selang

dan .

a. Nilai maksimum lokal pada selang


( )

( )

( )

( ( ))

( )

( )


(ii) Langkah utama

Iterasi 1




86

( ) ( )

( ) ( )


( ) ( )

( ) ( )


yaitu .

Iterasi 2


dan .

( )

( )


merupakan titik . Oleh karena itu, hanya


( ) ( )

( ) ( )


yaitu .



87

Jadi, maksimum lokal fungsi diperkirakan di


b. Nilai maksimum lokal pada selang


( )

( )

( )

( ( ))

( )

Iterasi

( )

Batas

bawah

selang

( )

( ) ( ) ( )

Batas

atas

selang

( )

( )

0 -4 2 -3.61803 5.618034 -3.381966 4.628084 -3 2

1 -4 2 -3.76393 5.309351 -3.618034 5.618034 -3.381966 4.628084

2 -3.763932 5.309351 -3.61803 5.618034 -3.527864 5.395779 -3.381966 4.628084

3 -3.763932 5.309351 -3.67376 5.613837 -3.618034 5.618034 -3.527864 5.395779

4 -3.673762 5.613837 -3.61803 5.618034 -3.583592 5.562987 -3.527864 5.395779

5 -3.673762 5.613837 -3.63932 5.630918 -3.618034 5.618034 -3.583592 5.562987

6 -3.673762 5.613837 -3.65248 5.63014 -3.63932 5.630918 -3.618034 5.618034

7 -3.652476 5.63014 -3.63932 5.630918 -3.63119 5.62801 -3.618034 5.618034

8 -3.652476 5.63014 -3.64435 5.631432 -3.63932 5.630918 -3.63119 5.62801

9 -3.652476 5.63014 -3.64745 5.631251 -3.644345 5.631432 -3.63932 5.630918

10 -3.647451 5.631251 -3.64435 5.631432 -3.642426 5.631353 -3.63932 5.630918

11 -3.647451 5.631251 -3.64553 5.631408 -3.644345 5.631432 -3.642426 5.631353

12 -3.645531 5.631408 -3.64435 5.631432 -3.643612 5.631419 -3.642426 5.631353

13 -3.645531 5.631408 -3.6448 5.63143 -3.644345 5.631432 -3.643612 5.631419

14 -3.644798 5.63143 -3.64435 5.631432 -3.644065 5.63143 -3.643612 5.631419

15 -3.644798 5.63143 -3.64452 5.631432 -3.644345 5.631432 -3.644065 5.63143

Tabel 3.3. Hasil Iterasi Menentukan Nilai Maksimum Lokal di


88

( )


(ii) Langkah utama

Iterasi 1



( ) ( )

( ) ( )


( ) ( )

( ) ( )


yaitu .

Iterasi 2


dan .

( )

( )


. merupakan titik . Oleh karena itu, hanya


( ) ( )


89

( ) ( )


yaitu .


Itera

si ( )

Batas

bawah

selang

( )

( ) ( ) ( )

Batas

atas

selang

( )

( )

0 -2 2 -1.61803 3.257354 -1.38197 3.381966 -1 2

1 -1.61803 3.257354 -1.38197 3.381966 -1.23607 3.086784 -1 2

2 -1.61803 3.257354 -1.47214 3.417018 -1.38197 3.381966 -1.23607 3.086784

3 -1.61803 3.257354 -1.52786 3.38578 -1.47214 3.417018 -1.38197 3.381966

4 -1.52786 3.38578 -1.47214 3.417018 -1.43769 3.416468 -1.38197 3.381966

5 -1.52786 3.38578 -1.49342 3.409679 -1.47214 3.417018 -1.43769 3.416468

6 -1.49342 3.409679 -1.47214 3.417018 -1.45898 3.418642 -1.43769 3.416468

7 -1.47214 3.417018 -1.45898 3.418642 -1.45085 3.418517 -1.43769 3.416468

8 -1.47214 3.417018 -1.46401 3.418287 -1.45898 3.418642 -1.45085 3.418517

9 -1.46401 3.418287 -1.45898 3.418642 -1.45587 3.418696 -1.45085 3.418517

10 -1.45898 3.418642 -1.45587 3.418696 -1.45396 3.418667 -1.45085 3.418517

12 -1.45898 3.418642 -1.45706 3.41869 -1.45587 3.418696 -1.45396 3.418667

12 -1.45706 3.41869 -1.45587 3.418696 -1.45514 3.418691 -1.45396 3.418667

13 -1.45706 3.41869 -1.45633 3.418696 -1.45587 3.418696 -1.45514 3.418691

14 -1.45633 3.418696 -1.45587 3.418696 -1.45559 3.418695 -1.45514 3.418691

15 -1.45633 3.418696 -1.45605 3.418697 -1.45587 3.418696 -1.45559 3.418695

Jadi, maksimum lokal fungsi diperkirakan berada di


D. Proses Menentukan Nilai Ekstrem Lokal Fungsi Polinomial

Berderajat 5 yang Simetris

Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan nilai ekstrem lokal

fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris dengan memadukan metode

Tabel 3.4. Hasil Iterasi Menentukan Nilai Maksimum Lokal di


90

Golden Section Search dan konsep aljabar dan geometris seperti yang

dilakukan oleh Ronald dan Hansen. Pada sub bab ini berisi tentang

langkah-langkah atau proses secara garis besar dalam menentukan nilai

ekstrem lokal fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris dengan

memadukan kedua metode tersebut. Berikut adalah algoritma proses yang

akan dilakukan dalam penelitian ini.

1. Langkah awal

Langkah awal yang akan dilakukan adalah inisiasi atau proses

input koefisien-koefisien dari fungsi polinomial berderajat 5. Fungsi

awal yang diinputkan diberikan nama fungsi . Selanjutnya dilakukan

pengujian kesimetrisan fungsi . Pengujian kesimetrisan fungsi

dilakukan dengan cara yang sudah dibahas pada subbab sebelumnya.

Jika fungsi adalah fungsi yang simetris, maka proses dilanjutkan.

Sedangkan jika fungsi bukan merupakan fungsi yang simetris, maka

proses dihentikan.

2. Langkah Utama

Jika fungsi adalah fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris,

maka proses dilanjutkan ke tahap langkah utama.

a. Fungsi yang simetris akan ditranslasikan dengan menggeser

titik simetri putar ke titik origin O(0,0). Hasil translasi tersebut

akan menghasilkan fungsi baru yang merupakan fungsi ganjil,

dimana fungsi yang baru merupakan fungsi polinomial

berderajat 5 yang hanya memuat suku-suku dengan pangkat


91

bilangan ganjil. Hasil translasi tersebut diberikan nama fungsi

.

b. Mencari pembuat nol dari fungsi , dengan cara membantuk

persamaan polinomial berderajat 4, yang hanya memuat suku

, dan konstanta. Persamaan polinomial berderajat 4

tersebut kemudian dimanipulasi menjadi bentuk persamaan

kuadrat, dengan memisalkan ,sehingga .

c. Melakukan analisis banyaknya nilai ekstrem lokal yang

dimiliki oleh fungsi berdasarkan banyaknya pembuat nol real

fungsi dan nilai diskriminan dari persamaan kuadrat dalam

variabel .

1) Jika fungsi memiliki nilai ekstrem lokal dan

diskriminan dari persamaan kuadrat yang terbentuk

bernilai lebih besar sama dengan 0, maka dari nilai-nilai

pembuat nol real fungsi dapat dibentuk interval yang

menjamin fungsi bersifat unimodal pada interval

tersebut. Interval dibentuk menggunakan 2 nilai

pembuat nol fungsi yang berdekatan.

2) Jika nilai diskriminan dari persamaan kuadrat yang

terbentuk bernilai negatif, maka dilakukan pengecekan

apakah fungsi memiliki nilai ekstrem lokal. Cara yang

dilakukan adalah menggerakan garis ke atas

sebesar , selanjutnya diperiksa banyaknya titik potong


92

antara grafik fungsi dengan garis . Apabila

terdapat lebih dari 1 titik potong, maka fungsi

memiliki nilai ekstrem lokal dan absis dari 2 titik

potong yang berdekatan dapat dibentuk interval yang

menjamin fungsi bersifat unimodal pada interval

terserbut. Jika hanya terdapat 1 titik potong, maka garis

akan digerakkan kembali ke atas dengan

pergerakan konstanta yang sama, yaitu . Proses

pergerakan garis tersebut dilakukan hingga terdapat

lebih dari 1 titik potong dan memenuhi banyaknya

iterasi yang ditentukan.

d. Selanjutnya, akan diuji apakah di antara selang atau interval

yang terbentuk memuat nilai maksimum atau minimum lokal.

Hal ini bertujuan untuk menentukan algoritma metode Golden

Section dalam kasus maksimum atau minimum.

e. Mencari nilai ekstrem lokal dari fungsi dengan metode

Golden Section.

3. Langkah Akhir

Setelah mendapat nilai ekstrem lokal dari fungsi , maka akan

dilakukan translasi kembali ke fungsi awal. Nilai ekstrem lokal dari

fungsi dapat ditentukan dengan menggeser fungsi ke fungsi ,

yaitu dengan menggeser dari titik O(0,0) ke titik simetri putar fungsi .


93

1. Proses insiasi koefisien

fungsi polinomial berderajat

5 : fungsi 𝑔.

2. Uji kesimetrisan fungsi 𝑔

3. Proses translasi fungsi 𝑔

yang simetris.

4. Mencari pembuat nol dari

fungsi , yang merupakan

fungsi hasil translasi.

5. Menganalisis banyaknya nilai

ekstrem lokal dari nilai pembuat

nol fungsi dan diskriminan (𝐷)

dari persamaan kuadrat yang

terbentuk.

6. Jika 𝐷 ≥ , maka interval

dibentuk dari 2 pembuat nol

real fungsi yang bedekatan.

Fungsi bersifat unimodal

pada interval tersebut.

7. Memeriksa nilai ekstrem

lokal maksimum atau

minimum yang termuat dalam

selang tersebut.

8. Menggunakan metode Golden

Section sesuai dengan kasus yang

sesuai (kasus maksimum atau

minimum).

9. Melakukan translasi kembali

ke fungsi 𝑔.

Gambar 3.7. Diagram Proses Menentukan Nilai Ekstrem Lokal Fungsi

Polinomial Berderajat 5 yang Simetris untuk 𝐷 ≥


94

1. Proses Insiasi Koefisien

Fungsi Polinomial

Berderajat 5 : Fungsi 𝑔

2. Uji Kesimetrisan

Fungsi 𝑔

3. Proses Translasi

Fungsi 𝑔 yang

Simetris

4. Mencari pembuat nol

dari fungsi h, yang

merupakan fungsi hasil

translasi

5. Menganalisis banyaknya nilai

ekstrem lokal dari nilai pembuat

nol fungsi dan diskriminan (𝐷)

dari persamaan kuadrat yang

terbentuk

6. Jika 𝐷 , garis 𝑦

digerakkan ke atas sebesar 𝑘,

sehingga menjadi 𝑦 𝑘

9. Memeriksa nilai ekstrem

lokal maksimum atau

minimum yang termuat dalam

selang tersebut

10. Menggunakan metode

Golden Section sesuai dengan

kasus yang sesuai (kasus

maksimum atau minimum)

11. Melakukan translasi

kembali ke fungsi 𝑔

Gambar 3.8. Diagram Proses Menentukan Nilai Ekstrem Lokal Fungsi

Polinomial Berderajat 5 yang Simetris untuk 𝐷

7. Memeriksa banyaknya titik

potong antara grafik fungsi

dengan 𝑦 𝑘

8. a. Jika terdapat lebih dari 1

titik potong, maka interval

dibentuk dari absis 2 titik

potong yang berderkatan.

8. a. Jika terdapat 1 titik potong,

garis 𝑦 𝑘 digerakkan ke atas

sebesar 𝑘. Proses pada langkah

6 diulang hingga terdapat lebih

dari 1 titik potong dan

banyaknya perulangan sesuai

dengan banyaknya iterasi yang

sudah ditentukan.


95

E. Uji Simetris Fungsi Polinomial Berderajat 5

Pengujian kesimetrisan fungsi polinomial berderajat 5 dilakukan

dengan menguji apakah fungsi polinomial berderajat 5 yang diberikan

memenuhi persamaan (3.4). Jika fungsi polinomial berderajat 5 tidak

memenuhi persamaan (3.4) maka proses akan dihentikan. Sedangkan, jika

fungsi polinomial berderajat 5 memenuhi persamaan (3.4), maka proses

akan dilanjutkan. Sebelum uji kesimetrisan dilakukan, terlebih dahulu

dilakukan inisiasi atau proses input koefisien-koefisien dari fungsi

polinomial berderajat 5.

Proses inisiasi dan uji simetris fungsi polinomial berderajat 5

dituliskan dalam program pada MATLAB ditulis dalam M-File dan

dipanggil di Command Windows dengan nama inisiasi_dan_uji_simetris.

Berikut ini adalah program inisiasi dan uji simetris fungsi polinomial

berderajat 5.

%Proses Inisasi Fungsi Polinomial Berderajat 5 clear all close all %input koefisien Polinomial disp('------------------------------------'); disp('Inisiasi Fungsi Polinomial Pangkat 5'); disp('------------------------------------'); a=input('masukkan koefisien x^5 : '); b=input('masukkan koefisien x^4 : '); c=input('masukkan koefisien x^3 : '); d=input('masukkan koefisien x^2 : '); e=input('masukkan koefisien x : '); f=input('masukkan konstanta : '); disp(' '); disp(['g(x)= ',num2str(a),'*x^5 + (',num2str(b),')*x^4 + (',num2str(c),')*x^3 + (',num2str(d),')*x^2 + (',num2str(e),')*x + (',num2str(f),')'])


96

G=[a b c d e f] %Matriks yg berisi Koefisien Polinomial disp(' '); %Proses Uji Simetris Grafik Fungsi disp('------------------------------'); disp('Uji Kesimetrisan Grafik Fungsi'); disp('------------------------------'); m= -b/(5*a); n=polyval(G,m); disp(['Asumsi fungsi memiliki titik simetris di (',num2str(m),',',num2str(n),')']) %Pengujian Fungsi g simetris di titik (m,n) S= (((4*(b^3))/(25*(a^2))))-((3*b*c)/(5*a))+d

if S==0 disp(['Fungsi polinomial tersebut simetris di (',num2str(m),',',num2str(n),')']) disp('Ketik lanjut_translasi untuk melanjutkan proses') disp('==============================================='); else disp('Fungsi polinomial tersebut tidak simetris dan program tidak dapat dilanjutkan. Program selesai.') disp('================================================='); end disp(' ');

Setelah dilakukan proses inisiasi dan pengujian, pengguna program

diberikan informasi atau keterangan tentang hasil pengujian. Jika fungsi

polinomial berderajat 5 yang diberikan tidak simetris, maka proses

berhenti. Sedangkan, jika fungsi polinomial berderajat 5 yang diberikan

simetris, maka fungsi polinomial berderajat simetris di titik tertentu dan

proses akan dilanjutkan dengan memanggil M-file lanjut_translasi pada

Command Windows.

F. Proses Translasi Fungsi Polinomial Berderajat 5

Setelah dilakukan uji kesimetrisan fungsi polinomial berderajat 5,

maka proses selanjutnya hanya akan dilakukan pada fungsi polinomial


97

berderajat 5 yang simetris. Proses yang selanjutnya adalah melakukan

translasi fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris dengan menggeser

titik simetri putarnya ke titik origin O(0,0). Pada subbab sebelumnya, telah

dilakukan perhitungan secara aljabar untuk hasil translasi fungsi

polinomial berderajat 5 yang simetris dengan menggeser titik simetri

putarnya ke titik origin O(0,0) dan hasilnya adalah rumus fungsi baru

(3.5). Misalkan fungsi awal polinomial berderajat 5 yang simetris adalah

fungsi , ( ) dan hasil translasinya

merupakan fungsi , dengan ( )

, maka berdasarkan (3.5) :

sehingga fungsi menjadi :

( ) ( )

( ) (3.6)

(3.7)

Pada proses sebelumnya, program yang telah dikerjakan adalah

program untuk mengenali fungsi polinomial berderajat 5 dan uji simetris

fungsi polinomial berderajat 5. Jika fungsi polinomial berderajat 5 yang


98

diberikan bukan merupakan fungsi yang simetris, maka program akan

memberikan informasi yang sesuai dan proses berhenti. Sedangkan, jika

fungsi polinomial berderajat 5 yang diberikan adalah fungsi yang simetris,

maka program akan memberikan informasi yang sesuai dan meminta

pengguna program untuk memanggil M-File dengan nama lanjut_translasi.

M-file dengan nama lanjut_translasi berisikan program lanjutan yang

memuat algoritma dari proses translasi fungsi polinomial berderajat 5.

Berikut adalah program dari proses translasi fungsi polinomial berderajat 5

yang simetris yang termuat dalam M-file lanjut_translasi :

disp('----------------------------------------------'); disp('Proses Translasi Fungsi g dengan vektor (-m,-n)'); disp('----------------------------------------------') %Translasi fungsi g dengan menggeser titik (m,n) ke (0,0) a1=a; b1=0; c1=10*a*(m^2) + 4*b*m + c d1=0; e1=5*a*(m^4) + 4*b*(m^3) + 3*c*(m^2) + 2*d*m + e; f1=0; %Perhitungan diperoleh dari proses translasi polinomial secara umum %Peta dari fungsi g setelah ditranslasi oleh vektor (-m,-n) menjadi fungsi h H=[a1 b1 c1 d1 e1 f1] %Matriks koefisien dari peta fungsi g

setelah ditranslasi


99

BAB IV


YANG SIMETRIS

Pada bab ini akan dibahas proses lanjutan dari pencarian nilai ekstrem

lokal fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris, yang sudah dibahas pada bab

sebelumnya. Bab sebelumnya telah dijelaskan tentang uji simetris fungsi

polinomial berderajat 5, yaitu fungsi , dan

hasil translasi fungsi yang simetris menjadi fungsi . Berdasarkan proses

perhitungan bentuk fungsi dari fungsi adalah ( )

dengan , ( ) dan (

) Bab ini membahas tentang nilai pembuat nol dari fungsi hasil translasi

atau akar-akar persamaan polinomial dari fungsi hasil translasi yaitu fungsi ,

nilai ekstrem lokal fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris dan analisis

kesalahan.

A. Pembuat Nol dari Fungsi

Proses menentukan nilai ekstrem lokal fungsi polinomial berderajat

5 yang simetris, yang telah dibahas pada bab sebelumnya adalah proses

inisiasi koefisien polinomial berderajat 5, uji kesimetrisan fungsi

polinomial berderajat 5 dan proses translasi fungsi polinomial berderajat 5

yang simetris. Translasi yang dilakukan pada fungsi polinomial berderajat

5 yang simetris menghasilkan fungsi baru, yang merupakan fungsi ganjil.

Rumus fungsi (3.7) menunjukkan rumus fungsi baru, dimisalkan dengan


100

fungsi , yang merupakan hasil translasi fungsi polinomial berderajat 5

yang simetris dengan menggeser titik simetri putarnya ke titik O(0,0).

Setelah mendapat fungsi baru dari hasil translasi, proses

selanjutnya adalah menentukan nilai pembuat nol dari fungsi . Nilai

pembuat nol pada fungsi ditentukan dengan langkah sebagai berikut.

( )

(

)

atau

atau

(4.1)

Bentuk pada (4.1) menunjukkan salah satu pembuat nol dari fungsi

adalah 0 dan muncul bentuk persamaan polinomial berderajat 4, dimana

nilai pembuat nol dari fungsi merupakan akar-akar dari persamaan

polinomial berderajat 4 tersebut.

Misal ( )

, perhatikan bahwa persamaan

polinomial merupakan persamaan polinomial berderajat 4 hanya memuat

suku-suku yang pangkatnya bilangan genap. Misalkan , artinya

untuk setiap ,

dan

maka :

( )


101

(4.2)

Bentuk (4.2) menunjukkan bahwa persamaan polinomal berderajat 4

dalam yang muncul pada (4.1) dapat diubah ke bentuk persamaan

kuadrat dalam variabel .

Misalkan ( ) , maka akar-akar dari persamaan

kuadrat dapat ditentukan dengan menggunakan rumus kuadrat pada

(2.8), sehingga :

√( )

√

√

dan

√

(4.3)

Dari perhitungan di atas, akar-akar persamaan kuadrat bergantung pada

nilai diskriminan ( ( ) ) dan koefisien . Berikut adalah

kemungkinan akar-akar persamaan kuadrat ditinjau dari nilai

diskriminannya.

1. Kasus

Jika nilai , maka . Dalam kasus , terdapat

beberapa kemungkinan juga untuk nilai dan .

a. Kasus 1 : dan keduanya positif ( dan )

Perhatikan bahwa , dimana untuk setiap .

Diketahui dan , maka :

√


102

√

Jadi, persamaan polinomial memiliki 4 akar real yang berbeda.

Jika persamaan polinomial memiliki 4 akar real yang berbeda,

maka fungsi memiliki 5 nilai pembuat nol real yang berbeda

yaitu √ , √ , √ , √ dan .

b. Kasus 2 : dan keduanya berlainan tanda

Kemungkinan yang terjadi pada kasus 2 adalah nilai dan

keduanya berlainan tanda, artinya salah satunya nilai dari atau

bernilai positif dan lainnya bernilai negatif.

Pada kasus berlaku √ sehingga :

√

√

( √ )

√

√

( √ )

Perhatikan bahwa √ √ , maka :

√ √

√ ( ) √ ( )

√ √

( √ )

( √ )

(4.4)

Jadi, pada kasus nilai dan berlainan tanda, kondisi yang

terjadi adalah dan karena .



103

√ ,

√ ,




yaitu √ , √ dan .

c. Kasus 3 : dan


√ ,

√ ,

Jadi, persamaan polinomial memiliki 0 akar real yang berbeda

karena akar-akar persamaan polinomialnya merupakan bilangan

kompleks. Jika persamaan polinomial memiliki 0 akar real, maka

fungsi memiliki 1 nilai pembuat nol real yaitu .

2. Kasus

Jika nilai , maka :

√

√


104

Berdasarkan perhitungan di atas, diperoleh bahwa

.

Jika diperhatikan untuk kasus , akar-akar persamaan kuadrat

hanya bergantung pada nilai . Pada kasus ini terdapat 2

kemungkinan nilai dari akar-akar persamaan kuadrat .

Misalkan

a. Kasus 4 :

Diketahui , maka

√ √(

) ,




yaitu √(

), √(

) dan .

b. Kasus 5 :

Diketahui , maka

√ √(

) ,

Jadi, persamaan polinomial memiliki 0 akar real. Jika persamaan

polinomial memiliki 0 akar real yang berbeda, maka fungsi

memiliki 1 nilai pembuat nol real yaitu .


105

3. Kasus

Kasus 6 :

Jika nilai , maka . dan merupakan bilangan

kompleks, karena memuat bilangan imajiner.

Jadi, persamaan polinomial memiliki 0 akar real. Jika persamaan

polinomial memiliki 0 akar real yang berbeda, maka fungsi

memiliki 1 nilai pembuat nol real yaitu .

Proses menentukan pembuat nol dari fungsi juga dilakukan

dengan menggunakan bantuan program MATLAB. Program yang

digunakan untuk menentukan pembuat nol dari fungsi merupakan

program lanjutan dari proses yang sebelumnya sudah dilakukan yaitu

proses inisiasi, uji simetris dan proses translasi fungsi menjadi fungsi .

Hasil perhitungan dari program yang sudah dijalankan sebelumnya, pada

M-file inisiasi_dan_uji_simetris, masih digunakan dalam proses

menentukan pembuat nol dari fungsi . Berikut adalah algoritma dalam

mencari pembuat nol dari fungsi yang merupakan program lanjutan yang

masih termuat dalam M_file lanjut_translasi :

%Pencarian pembuat nol dari fungsi h selain x=0 Disk=(c1^2)-(4*a1*e1) %c1,a1 dan e1 telah didefinisikan

pada proses sebelumnya %Akar-akar dari persamaan r p1=(-c1+sqrt(Disk))/(2*a1); p2=(-c1-sqrt(Disk))/(2*a1); %Pembuat nol dari fungsi h selain 0 K=[1 0 -p1]; L=[1 0 -p2]; %Pengurutan nilai pembuat nol dari fungsi h akar1=sort(roots(K)) akar2=sort(roots(L))


106

B. Titik Ekstrem Lokal Fungsi Polinomial Ditinjau dari Pembuat Nol

Fungsi

Setelah menentukan nilai pembuat nol dari fungsi , proses

selanjutnya adalah menganalisis banyaknya nilai ekstrem lokal yang

dimiliki fungsi , berdasarkan banyaknya nilai pembuat nol real dari

fungsi .

Fungsi merupakan fungsi polinomial berderajat 5, maka fungsi

memiliki paling banyak 4 nilai ekstrem lokal atau paling banyak 4 titik

balik (turning points). Fungsi merupakan fungsi ganjil, yang artinya

grafik fungsi simetris terhadap titik O(0,0). Berdasarkan sifat simetris

pada fungsi ganjil, banyaknya nilai ekstrem lokal pada ) sama dengan

banyaknya nilai ekstrem lokal pada ( . Analisis banyaknya nilai

ekstrem lokal yang dimiliki oleh fungsi ditinjau dari 6 kasus yang

menggambarkan kemungkinan-kemungkinan nilai pembuat nol fungsi

yang sudah dibahas pada sub bab sebelumnya.

1. Kasus

a. Kasus 1 :

Pada kasus 1, diskriminan dari persamaan kuadrat bernilai

positif dan fungsi memiliki 5 nilai pembuat nol real yang

berbeda yaitu √ , √ , √ , √ dan . Perhatikan bahwa

, , , maka nilai-nilai pembuat nol tersebut

dapat diurutkan menjadi :

√ √ √ √


107

Dari kelima pembuat nol real tersebut dapat dibuat selang atau

interval dengan menggunakan batas atas dan batas bawah dari

selang adalah 2 pembuat nol yang berdekatan. Oleh karena itu,

selang yang terbentuk dari 2 pembuat nol yang berdekatan adalah

[ √ √ ], [ √ ], [ √ ], dan [√ √ ].

Berdasarkan percobaan yang dilakukan pada beberapa contoh

fungsi yang memenuhi kondisi untuk kasus 1, dengan melihat

grafik fungsi, pada [ √ √ ], [ √ ], [ √ ], dan

[√ √ ] memuat 1 nilai ekstrem lokal saja. Berikut adalah

grafik fungsi dari hasil dari percobaan yang dilakukan, yaitu

grafik fungsi yang memenuhi kasus 1 :

Berdasarkan hasil percobaan di atas, diduga pada

[ √ √ ], [ √ ], [ √ ], dan [√ √ ] hanya

memuat 1 nilai ekstrem lokal dari fungsi . Hal tersebut akan

dibuktikan secara matematis dengan uraian di bawah ini :

(𝑥) 𝑥(𝑥 )(𝑥 )

Gambar 4.1. Grafik fungsi

(𝑥) 𝑥(𝑥 )(𝑥 )



108

Akan dibuktikan setiap selang yang terbentuk dari 2 nilai pembuat

nol fungsi yang berdekatan, yaitu hanya terdapat 1 nilai ekstrem

lokal.

Bukti :

Pembuktian menggunakan kontradiksi.

1) Asumsi : ada diantara selang yang terbentuk yaitu

[ √ √ ], [ √ ], [ √ ], dan [√ √ ], tidak

memuat nilai ekstrem lokal.

Hal ini tentu bersifat kontradiksi dengan teorema yang telah

dibuktian pada teorema (2.9) yang mengatakan bahwa diantara

2 pembuat nol fungsi polinomial terdapat minimal 1 nilai

ekstrem lokal atau 1 titik balik. Jadi, setiap selang yang

terbentuk yaitu [ √ √ ], [ √ ], [ √ ], dan

[√ √ ] memuat nilai ekstrem lokal.

2) Asumsi : ada diantara selang yang terbentuk yaitu

[ √ √ ], [ √ ], [ √ ], dan [√ √ ], memuat

lebih dari 1 nilai ekstrem lokal.

Artinya, terdapat lebih dari 4 nilai ekstrem lokal yang

dimiliki fungsi . Hal ini kontradiksi dengan sifat fungsi

polinomial, yaitu fungsi memiliki paling banyak 4 nilai

ekstrem lokal atau paling banyak 4 titik balik.


109

Jadi, setiap selang yang terbentuk yaitu

[ √ √ ], [ √ ], [ √ ] dan [√ √ ] hanya

memuat 1 nilai ekstrem lokal.

Oleh karena itu, fungsi , pada kasus 1, memiliki 4 nilai

ekstrem lokal yang masing-masing terletak pada selang

[ √ √ ] [ √ ] [ √ ] dan [√ √ ]. Jadi, fungsi

bersifat unimodal pada [ √ √ ] [ √ ] [ √ ] dan

[√ √ ]

b. Kasus 2 :


positif dan fungsi memiliki 3 nilai pembuat nol real yang

berbeda yaitu √ , dan √ . Nilai-nilai pembuat nol tersebut

dapat diurutkan menjadi :

√ √

Dari ketiga pembuat nol tersebut dapat dibuat 2 selang yaitu

[ √ ] dan [ √ ]. Berdasarkan teroema (2.9), diantara 2

pembuat nol terdapat minimal 1 nilai ekstrem lokal. Artinya,

setiap selang yang terbentuk yaitu [ √ ] dan [ √ ]

memuat minimal 1 nilai ekstrem lokal.

Perhatikan bahwa fungsi pada kasus 2 dapat dituliskan

dalam bentuk :

( ) ( )( ) (4.5)


110

dengan dan .

Akan dilakukan evaluasi nilai fungsi pada [ √ ] dan

[ √ ] untuk memudahkan ilustrasi fungsi untuk kasus 2.

1) Nilai fungsi pada [ √ ]

Ambil sembarang [ √ ], artinya √ .

√

√

( ) (√ )

(4.5)

Perhatikan bahwa , sedangkan diketahui bahwa

maka dengan menggunakan sifat transitif diperoleh :

(4.6)

Akibatnya,

( )( )

Untuk , berlaku :

( )(

) (4.7)

Untuk , berlaku :

( )(

) (4.8)


111

Jika bentuk (4.7) dikalikan dengan , perhatikan bahwa

√ , maka :

( )( )

( ) (4.9)


√ , maka :

( )( )

( ) (4.10)

Jadi, diperoleh :

1. [ √ ], ( ) untuk .

2. [ √ ], ( ) untuk .

2) Nilai fungsi pada [ √ ]

Ambil sembarang [ √ ], artinya √ .

√

( ) (√ )

(4.11)

Perhatikan bahwa , sedangkan diketahui bahwa

maka dengan menggunakan sifat transitif diperoleh :

(4.12)


112

Akibatnya,

( )( )

Untuk , berlaku :

( )(

) (4.13)

Untuk , berlaku :

( )(

) (4.14)


√ , maka :

( )( )

( ) (4.15)


√ , , maka :

( )( )

( ) (4.16)

Jadi diperoleh :

1. [ √ ], ( ) untuk .

2. [ √ ], ( ) untuk .


fungsi yang memenuhi kondisi untuk kasus 2, pada [ √ ]

dan [ √ ] hanya memuat 1 nilai ekstrem lokal saja. Berikut

adalah grafik fungsi dari hasil dari percobaan yang dilakukan,

yaitu grafik fungsi yang memenuhi kasus 2 :


113

Dugaan yang ditemukan adalah setiap selang yang terbentuk

dari 2 pembuat nol real yang berdekatan dari fungsi , yaitu

[ √ ] dan [ √ ] memiliki 1 nilai ekstrem lokal.

Fungsi merupakan fungsi ganjil, akibatnya banyaknya nilai

ekstrem lokal pada sumbu X positif sama dengan banyaknya nilai

ekstrem lokal pada sumbu X negatif. Oleh karena itu, analisis

banyaknya nilai ekstrem lokal dari fungsi cukup dilakukan pada

sumbu X positif saja. Akan ditunjukkan fungsi memiliki 1 nilai

ekstrem lokal pada [ √ ]. Hal ini akan dibuktikan dengan

kontradiksi melalui ilustrasi.

Bukti :

Kontradiksi dari pernyataan yang akan dibuktikan adalah

fungsi tidak memiliki nilai ekstrem lokal pada [ √ ] dan

fungsi memiliki nilai ekstrem lokal lebih dari 1 pada [ √ ]

(𝑥) 𝑥(𝑥 )(𝑥 )


(𝑥) 𝑥(𝑥 )(𝑥 )



114

1) Asumsi : fungsi tidak memiliki nilai ekstrem lokal pada

[ √ ].

Diperhatikan bahwa √ dan 0 adalah pembuat nol real dari

fungsi . Oleh karena itu, asumsi bahwa fungsi tidak memiliki

nilai ekstrem lokal pada [ √ ], kontradiksi dengan teorema

(2.9) yang menyatakan bahwa diantara 2 pembuat nol terdapat

minimal 1 nilai ekstrem lokal.

2) Asumsi : fungsi memiliki nilai ekstrem lokal lebih dari 1

pada [ √ ].

Asumsi pernyataan di atas akan dibagi menjadi 2 kasus yaitu,

fungsi memiliki 2 nilai ekstrem lokal pada [ √ ] dan fungsi

memiliki lebih dari 2 nilai ekstrem lokal pada [ √ ]

a) Kasus : fungsi memiliki 2 nilai ekstrem lokal pada

[ √ ].

Diperhatikan bahwa dan √ adalah pembuat nol dari

fungsi . Jika fungsi memiliki 2 nilai ekstrem lokal pada

[ √ ], maka kemungkinan bentuk grafik fungsi

adalah :


115

Misal : [ √ ] memuat 2 nilai ekstrem lokal dari fungsi

seperti pada bentuk gambar 4.5.

Ilustrasi yang digambarkan pada gambar 4.5.

menunjukkan bahwa fungsi memiliki 2 nilai ekstrem

lokal pada [ √ ] dengan salah satu nilai ekstremnya

terjadi di √ , yaitu salah satu pembuat nol real dari

fungsi .

Jika nilai ekstrem lokal dari fungsi terjadi di salah

satu pembuat nol real, maka grafik fungsi

menyinggung sumbu X di √ . Sedangkan berdasarkan

sifat pembuat nol kembar pada fungsi polinomial

(multiplicity zeros), kondisi tersebut terjadi apabila

Gambar 4.5. Kemungkinan grafik fungsi yang memiliki 2

nilai ekstrem lokal pada [ √𝑝 ]


116

fungsi memiliki pembuat nol kembar yang diulang

sebanyak , dengan bilangan genap. Hal ini

kontradiksi dengan bentuk dari fungsi pada kasus 2

yaitu :

( ) ( )( ) (4.18)

dengan dan .

Pada bentuk (4.18) menunjukkan bahwa fungsi

tidak memiliki pembuat nol kembar yang diulang

sebanyak , dengan bilangan genap.

b) Kasus : fungsi memiliki lebih dari 2 nilai ekstrem lokal

pada [ √ ].

Perhatikan bahwa [ √ ] terletak pada sumbu X positif.

Asumsi bahwa fungsi memiliki lebih dari 2 nilai ekstrem

lokal pada [ √ ], berakibat juga fungsi memiliki lebih

dari 2 nilai ekstrem lokal pada sumbu X negatif. Artinya,

fungsi memiliki lebih dari 4 nilai ekstrem lokal. Hal ini

kontradiksi dengan sifat pada teorema (2.9), yaitu fungsi

polinomial berderajat 5 memiliki paling banyak 4 nilai

ekstrem lokal.

Berdasarkan pembuktian yang dilakukan dengan kontradiksi

pada 1) dan 2), maka terbukti bahwa fungsi memiliki 1 nilai


117

ekstrem lokal pada [ √ ]. Akibatnya, fungsi juga memiliki 1

nilai ekstrem lokal pada [ √ ].

Hasil dari pembuktian di atas menunjukkan terdapat 2 nilai

ekstrem lokal yang dimiliki oleh fungsi yang masing-masing

terletak pada [ √ ] dan [ √ ]. Berdasarkan percobaan

untuk beberapa contoh fungsi pada kasus 2, ditemukan juga

bahwa fungsi pada kasus 2 hanya memiliki 2 nilai ekstrem

lokal. Oleh karena itu, hal tersebut akan ditunjukkan secara

matematis. Akan dibuktikan bahwa fungsi tidak memiliki nilai

ekstrem lokal pada ( √ ] dan √ ).

Akan ditunjukkan :

(1) Fungsi naik pada ( √ ] untuk

(2) Fungsi turun pada ( √ ] untuk

(3) Fungsi naik pada √ ) untuk

(4) Fungsi turun pada √ ) untuk

Bukti :

(1) Diketahui , dan

Ambil sembarang ( √ ] sedemikian

sehingga , maka diperoleh :

√

, maka

maka


118

( ) ( )

(4.19)

(4.20)

Perhatikan bahwa , dan , maka :

dan (4.21)

Perhatikan bahwa √ dan √ maka :

√ √

(√ )

( ) (√ )

( )

diperoleh

dan (4.22)

Akibat dari (4.21) dan (4.22) adalah berlaku :

( )( ) ( )(

)

( )( )( ) ( )( )(

)

( )( )( ) ( )( )(

) (4.23)

( ) ( ) (4.24)


119

Fungsi merupakan fungsi ganjil maka bentuk (4.24)

menjadi :

( ) ( )

( ) ( )

Jadi, diperoleh fungsi adalah fungsi naik pada

( √ ] untuk

(2) Untuk menunjukkan bahwa fungsi turun pada

( √ ] dengan , dapat dilakukan dengan cara

yang sama pada langkah 1) untuk . Namun, bentuk

dari (4.23) menjadi :

( )( )( ) ( )( )(

) (4.25)

( ) ( ) (4.26)

karena . Fungsi merupakan fungsi ganjil maka

bentuk (4.26) menjadi :

( ) ( )

( ) ( )

Jadi, diperoleh fungsi adalah fungsi turun pada

( √ ] untuk

(3) Diketahui , dan

Ambil sembarang √ ) sedemikian sehingga

, maka diperoleh :

√


120

(4.27)

(4.28)

Perhatikan bahwa , dan , maka :

dan (4.29)


√ √

(√ )

( ) (√ )

( )

diperoleh

dan (4.30)


( )( ) ( )(

)

( )( )( ) ( )( )(

)

( )( )(

) ( )( )(

) (4.31)

( ) ( ) (4.32)


√ ) untuk .

(4) Untuk menunjukkan bahwa fungsi turun pada √ )

dengan , dapat dilakukan dengan cara yang sama


121

pada langkah 3) untuk . Namun, bentuk dari (4.31)

menjadi :

( )( )(

) ( )( )(

) (4.33)

( ) ( ) (4.34)

Jadi, diperoleh fungsi adalah fungsi turun pada √ )

untuk .

Berdasarkan pembuktian di atas, diperoleh bahwa pada

( √ ] dan √ ) fungsi tidak mengalami

perubahan dari fungsi naik menjadi fungsi turun atau

sebaliknya karena fungsi adalah fungsi naik pada

( √ ] dan √ ) untuk dan fungsi adalah

fungsi turun pada ( √ ] dan √ ) untuk

Akibatnya, fungsi tidak memiliki nilai ekstrem lokal pada

( √ ] dan [√ ) Jadi, fungsi memiliki 2 nilai

ekstrem lokal pada ( ).

c. Kasus 3 :


positif dan kemungkinan untuk nilai dan adalah dan

sehingga fungsi hanya memiliki 1 nilai pembuat nol

yaitu . Berdasarkan kondisi tersebut, fungsi dapat dituliskan ke

dalam bentuk :

( ) ( )( ) (4.35)


122

dengan dan


fungsi yang memenuhi kondisi untuk kasus 3, dengan melihat

grafik fungsi, ditemukan fungsi tidak memiliki nilai ekstrem

lokal. Berikut adalah grafik fungsi dari contoh dari hasil

percobaan yang dilakukan, yaitu grafik fungsi yang memenuhi

kasus 3 :

Dugaan dari hasil percobaan di atas yaitu fungsi tidak

memiliki nilai ekstrem lokal akan dibuktikan secara matematis

dengan uraian di bawah ini :

Akan dibuktikan bahwa fungsi tidak memiliki titik ekstrem

lokal artinya fungsi tidak memiliki titik balik (turning point).

Hal tersebut juga mengandung makna bahwa fungsi tidak

mengalami perubahan dari fungsi naik menjadi fungsi turun


(𝑥)

𝑥(𝑥 )(𝑥 )


(𝑥) 𝑥(𝑥 )(𝑥 )


123

ataupun sebaliknya sehingga fungsi adalah fungsi naik atau

fungsi turun untuk semua anggota dalam domain fungsi .

Untuk membuktikan hal di atas artinya akan ditunjukkan :

1) ( ) ( ) untuk

2) ( ) ( ) untuk

Bukti :

1) Diketahui , , dan

a) Akan ditunjukkan fungsi merupakan fungsi naik pada

).

Ambil sembarang bilangan nonegatif sedemikian

sehingga .

( ) ( )

(4.36)

(4.37)

Perhatikan bahwa , , dan maka :

dan (4.38)

dan (4.39)


( )( ) ( )(

)

( )( ) ( )(

)

( )(

) ( )(

) (4.40)


124

( ) ( )

Jadi, diperoleh fungsi merupakan fungsi naik pada

).

b) Akan ditunjukkan fungsi merupakan fungsi naik pada

( .

(1) Kasus I :

Ambil sembarang bilangan negatif sedemikan

sehingga .

, maka

maka

( ) ( )

(4.41)

(4.42)

Perhatikan bahwa , , dan

maka :

dan (4.43)

dan (4.44)


( )( ) ( )(

)


125

( )( )( ) ( )( )(

)

( )( )( ) ( )( )(

) (4.45)

( ) ( ) (4.46)


menjadi :

( ) ( )

( ) ( ) (4.47)

(2) Kasus II : dan

Ambil sembarang bilangan negatif . Diketahui

.

Karena adalah sembarang bilangan negatif dan

maka :

Berdasarkan langkah sebelumnya telah dibuktikan

untuk , diperoleh bahwa : (lihat 4.47)

( ) ( )

diperhatikan dan adalah pembuat nol dari

fungsi maka dapat diperoleh

( )

Jadi, berdasarkan (1) dan (2) diperoleh fungsi merupakan

fungsi naik pada ( .

Jadi, fungsi merupakan fungsi naik pada ( ) untuk

.


126

2) Diketahui , , dan

a) Akan ditunjukkan fungsi merupakan fungsi turun pada

).

Ambil sembarang bilangan nonegatif sedemikan

sehingga .

Untuk menunjukkan bahwa fungsi turun pada )

untuk , dapat dilakukan dengan cara yang sama pada

langkah sebelumnya yaitu langkah 1) sub a) untuk .

Namun, bentuk dari (4.40) menjadi :

( )( )(

) ( )( )(

) (4.48)

( ) ( ) (4.49)

Jadi, diperoleh fungsi adalah fungsi turun pada )

untuk .

b) Akan ditunjukkan fungsi merupakan fungsi turun pada

( .

(1) Kasus I : dan keduanya bilangan real negatif


sehingga .

Untuk menunjukkan bahwa fungsi turun pada

( ) untuk , dapat dilakukan dengan cara

yang sama pada langkah sebelumnya yaitu langkah 1)


127

sub b) bagian (1) untuk . Namun, bentuk dari

(4.45) menjadi :

( )( )( ) ( )( )(

) (4.50)

( ) ( ) (4.51)



( ) ( )

( ) ( ) (4.52)


( ) untuk .

(2) Kasus 2 : dan


.


maka :

Berdasarkan langkah sebelumnya telah dibuktikan

untuk , diperoleh bahwa : (lihat 4.52)

( ) ( )

diperhatikan dan adalah pembuat nol dari

fungsi maka dapat diperoleh

( )


128


fungsi turun pada ( .

Jadi, fungsi merupakan fungsi turun pada ( ) untuk

.

Berdasarkan pembuktian di atas, maka terbukti bahwa pada

kasus 3 untuk , fungsi naik pada selang ( ).

Sedangkan, untuk fungsi turun pada selang

( ) Oleh karena itu, fungsi adalah fungsi naik atau fungsi

turun untuk semua anggota dalam domain fungsi . Akibatnya,

fungsi tidak mengalami perubahan dari fungsi naik menjadi

fungsi turun atau sebaliknya. Jadi, pada kasus 3 fungsi tidak

memiliki titik ekstrem lokal.

d. Kasus 4 :

Pada kasus 4, nilai diskriminan dari persamaan kuadrat adalah 0

dan akar persamaan dari merupakan akar kembar real yaitu ,

dengan . Hal ini berakibat bahwa fungsi memiliki 3 nilai

pembuat nol real yang berbeda yaitu √ dan √ . Oleh karena itu,

fungsi dapat dituliskan dalam bentuk :

( ) ( )( )

( ) ( ) (4.53)

( ) [( √ )( √ )]

( ) ( √ ) ( √ )

(4.54)


129

Bentuk (4.54) menunjukkan bahwa ada 2 pembuat nol kembar

(multiplicity zero), yaitu √ diulang 2 kali dan √ yang juga

diulang 2 kali. Berdasarkan sifat pembuat nol kembar, grafik fungsi

menyinggung sumbu X di √ dan √ karena pembuat nol

√ dan √ diulang sebanyak 2, yang merupakan bilangan genap.

Dari ketiga pembuat nol real tersebut dapat dibuat selang yaitu

( √ ) dan ( √ ). Menurut teorema (2.9), diantara 2 pembuat nol

terdapat minimal 1 nilai ekstrem lokal. Oleh karena itu, pada ( √

dan [ √ ) termuat minimal 1 nilai ekstrem lokal pada setiap selang.


fungsi dalam kasus 4, ditemukan bahwa pada setiap ( √ dan

[ √ ) hanya termuat 1 nilai ekstrem lokal dari fungsi dan nilai

ekstrem lokal fungsi juga terjadi di √ dan √ . Selain itu,

ditemukan bahwa fungsi tidak memiliki nilai ekstrem lokal pada

( √ ) dan (√ ).


130

Berikut adalah grafik fungsi dari hasil dari percobaan yang

dilakukan, yaitu grafik fungsi yang memenuhi kasus 4 :

Dugaan yang ditemukan dari hasil percobaan tersebut akan

dibuktikan secara matematis dalam uraian di bawah ini.

Akan dibuktikan :

Gambar 4.8. Grafik fungsi (𝑥) 𝑥(𝑥 )

Gambar 4.9. Grafik fungsi (𝑥) 𝑥(𝑥 )


131

1) Fungsi tidak memiliki nilai ekstrem lokal pada ( √ ) dan

(√ ) Artinya, fungsi tidak mengalami perubahan dari fungsi

naik menjadi fungsi turun atau sebaliknya, pada selang tersebut.

2) Nilai ekstrem lokal dari fungsi pada kasus 4 terjadi di √ dan

√ . Artinya akan ditunjukkan bahwa nilai fungsi √ dan √

adalah nilai maksimum atau minimum lokal dari fungsi .

3) Pada ( √ dan [ √ ) hanya termuat 1 nilai ekstrem lokal

dari fungsi .

Bukti :

1) Akan ditunjukkan bahwa :

a) Fungsi naik pada ( √ ) dan (√ ) untuk

Bukti :

(1) Fungsi pada ( √ )

Ambil sembarang ( √ ) sedemikian sehingga

, maka diperoleh :

√

, maka

maka

( ) ( )


132


√ √

(√ )

( ) (√ )

( )

diperoleh :

dan (4.55)

Akibatnya,

( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

(4.56)

( ) ( ) (4.57)


menjadi :

( ) ( )

( ) ( )


( √ ) untuk

(2) Fungsi pada (√ )

Ambil sembarang (√ ) sedemikian sehingga

, maka diperoleh :


133

√


(√ )

( ) (√ )

( )

diperoleh :

dan (4.58)

Akibatnya,

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

(4.59)

( ) ( )

Jadi, diperoleh fungsi adalah fungsi naik pada (√ )

untuk

Jadi, diperoleh bahwa fungsi adalah fungsi naik

pada( √ ) dan (√ ) untuk .

b) Fungsi turun pada ( √ ) dan (√ ) untuk

Bukti :

(1) Fungsi pada ( √ )


134

Ambil sembarang ( √ ) sedemikian sehingga

.

Untuk menunjukkan bahwa fungsi turun pada

( √ ) dengan , dapat dilakukan dengan cara

yang sama pada langkah a) sub (1) untuk . Namun,

bentuk dari (4.56) menjadi :

( )( )( ) ( )( )(

) (4.60)

( ) ( ) (4.61)



( ) ( )

( ) ( )


( √ ) untuk

(2) Fungsi pada (√ )

Ambil sembarang (√ ) sedemikian sehingga

Untuk menunjukkan bahwa fungsi turun pada (√ )


pada langkah a) sub (2) untuk . Namun, bentuk dari

(4.59) menjadi :

( )

( )

(4.62)


135

( ) ( )

Jadi, diperoleh fungsi adalah fungsi turun pada (√ )

untuk .

Jadi, diperoleh bahwa fungsi adalah fungsi turun pada

( √ ) dan (√ ) untuk .

Hasil pembuktian di atas menunjukkan bahwa fungsi

tidak mengalami perubahan dari fungsi naik menjadi fungsi

turun ataupun sebaliknya pada ( √ ) dan (√ )

karena fungsi adalah fungsi naik pada ( √ ) dan

(√ ) untuk dan fungsi adalah fungsi turun pada

( √ ) dan (√ ) untuk . Artinya, fungsi

tidak memiliki nilai ekstrem lokal pada ( √ ) dan

(√ ).

2) Perhatikan bahwa 0, √ dan √ adalah pembuat nol dari fungsi

, maka ( ) (√ ) ( √ ) . Dari ketiga pembuat nol

real tersebut dapat dibuat selang yaitu ( √ ) dan ( √ ).

Berikut akan dilakukan evaluasi nilai fungsi pada selang

( √ ) dan ( √ ).

a) Nilai fungsi pada ( √ )

Ambil sembarang ( √ ), artinya √ .


136

Diperhatikan bahwa , maka .

√

√

( ) (√ )

( )

( )( )

Untuk , berlaku :

( )( )

( ) (4.63)

Fungsi adalah fungsi ganjil maka bentuk (4.63) dapat


( )

( )

Untuk , berlaku :

( )( )

( ) (4.64)



( )

( )


137

Jadi, diperoleh :

1. ( √ ) ( ) untuk

2. ( √ ) ( ) untuk

b) Nilai fungsi pada ( √ )


√

( ) (√ )

( )

( )

Untuk , berlaku :

( )

( ) (4.65)

Untuk , berlaku :

( )

( ) (4.66)

Jadi, diperoleh :

1. ( √ ) ( ) untuk

2. ( √ ) ( ) untuk

Pada proses sebelumnya telah ditunjukkan bahwa fungsi tidak

memiliki nilai ekstrem lokal pada ( √ ) dan (√ ).


138

Langkah pembuktian selanjutnya adalah memeriksa nilai fungsi

pada ( √ ) dan (√ ).

c) Nilai fungsi pada ( √ )


, maka

√

√

(√ )

( )

( )

( )( ) (4.67)

Untuk , berlaku :

( )( )

( ) (4.68)



( )

( ) (4.69)

Untuk , berlaku :

( )( )

( ) (4.70)


139



( )

( ) (4.71)

Jadi, diperoleh :

1. ( √ ) ( ) untuk

2. ( √ ) ( ) untuk

d) Nilai fungsi pada (√ )

Ambil sembarang (√ ), artinya √ .

√

( )

( )

Untuk , berlaku :

( )

( ) (4.72)

Untuk , berlaku :

( )

( ) (4.73)

Jadi, diperoleh :

1. (√ ) ( ) untuk


140

2. (√ ) ( ) untuk

Berdasarkan evaluasi nilai fungsi di atas, perhatikan untuk

interval ( ) dan , berlaku :

( ) pada ( √ ) dan ( ) pada (√ )

Di lain sisi (√ ) . Artinya nilai fungsi pada √ adalah

yang terkecil untuk interval ( ). Jadi nilai ekstrem minimum

lokal pada ( ) terjadi pada √ . Sedangkan untuk pada

( ) berlaku :

( ) pada ( √ ) dan ( ) pada (√ )

Artinya nilai fungsi pada √ adalah yang terbesar untuk

interval ( ). Jadi nilai ekstrem maksimum lokal pada ( )

terjadi pada √

Perhatikan untuk interval ( ) dan , berlaku :

( ) pada ( √ ) dan ( ) pada ( √ )

Di lain sisi ( √ ) . Artinya nilai fungsi pada √ adalah

yang terbesar untuk interval ( ). Jadi nilai ekstrem

maksimum lokal pada ( ) terjadi pada √ . Sedangkan

untuk untuk pada ( ) berlaku :

( ) pada ( √ ) dan ( ) pada ( √ )


141

Artinya nilai fungsi pada √ adalah yang terkecil untuk

interval ( ). Jadi nilai ekstrem minimum lokal pada ( )

terjadi pada √ .

Jadi, dapat diperoleh bahwa nilai ekstrem lokal dari fungsi

terjadi pada √ dan √ .

3) Akan ditunjukkan bahwa pada ( √ dan [ √ ) hanya

termuat 1 nilai ekstrem lokal dari fungsi .

Fungsi merupakan fungsi ganjil, akibatnya banyaknya

nilai ekstrem lokal pada sumbu X positif sama dengan banyaknya

nilai ekstrem lokal pada sumbu X negatif. Oleh karena itu,

analisis banyaknya nilai ekstrem lokal dari fungsi cukup

dilakukan pada sumbu X positif saja ( ) Oleh karena itu

akan ditunjukkan fungsi memiliki 1 nilai ekstrem lokal pada

[ √ ). Pembuktian hal terserbut akan menggunakan kontradiksi.

a) Asumsi : fungsi tidak memiliki nilai ekstrem lokal pada

[ √ ).

Perhatikan bahwa dan √ adalah pembuat nol dari fungsi .

Berdasarkan teorema 2.9, diantara 2 pembuat nol dari fungsi

polinomial terdapat minimal 1 nilai ekstrem lokal. Oleh karena

itu, diantara dan √ terdapat minimial 1 pembuat nol. Hal ini

kontradiksi dengan asumsi yang dimiliki. Jadi, fungsi

memiliki nilai ekstrem lokal pada [ √ ).


142

b) Asumsi : fungsi memiliki lebih dari 1 nilai ekstrem lokal

pada [ √ ).

Jika fungsi memiliki lebih dari 1 nilai ekstrem lokal pada

[ √ ), maka fungsi juga memiliki lebih dari 1 nilai

ekstrem lokal pada ( √ . Hal terserbut berlaku karena

fungsi merupakan fungsi ganjil.

Perhatikan pada langkah 2) telah ditunjukkan bahwa ada 2

nilai ekstrem lokal dari fungsi yang terjadi pada √ dan

√ . Akibatnya, fungsi memiliki nilai ekstrem lokal lebih

dari 4. Sedangkan, hal ini kontradiksi dengan sifat yang

dimiliki oleh yang memiliki nilai ekstrem lokal paling banyak

4.

Berdasarkan pembuktian di atas, maka fungsi memiliki 1 nilai

ekstrem lokal pada [ √ ), yang artinya fungsi juga memiliki 1

nilai ekstrem lokal pada pada ( √ .

Hasil dari pembuktian di atas menunjukkan bahwa fungsi adalah

fungsi yang unimodal pada ( √ dan [ √ ). Selain itu

menunjukkan pula bahwa fungsi memiliki 4 nilai ekstrem lokal yang

terjadi pada ( √ [ √ ), √ dan √ .


143

e. Kasus 5 :

Pada kasus 5, nilai diskriminan dari persamaan kuadrat adalah 0

dan akar persamaan dari merupakan akar kembar real yaitu ,

dengan . Hal ini berakibat fungsi memiliki 1 nilai pembuat nol

real yaitu . Dalam kasus 5, fungsi dapat dituliskan dalam bentuk :

( ) ( ) (4.74)

dengan .


fungsi yang memenuhi kondisi untuk kasus 5, ditemukan bahwa

fungsi tidak memiliki nilai ekstrem lokal. Berikut adalah grafik

fungsi dari hasil dari percobaan yang dilakukan, yaitu grafik fungsi

yang memenuhi kasus 5 :


(𝑥)

𝑥(𝑥 )


(𝑥) 𝑥(𝑥 )


144

Dugaan dari hasil percobaan terserbut adalah fungsi pada kasus 5

tidak memiliki nilai ekstrem lokal. Hal ini akan dibuktikan secara

matematis. Fungsi tidak memiliki titik ekstrem lokal artinya fungsi

tidak memiliki titik balik (turning point). Akibat dari hal ini adalah

fungsi tidak mengalami perubahan dari fungsi naik menjadi fungsi

turun ataupun sebaliknya. Oleh karena itu, fungsi adalah fungsi naik

atau fungsi turun untuk semua anggota dalam domain fungsi .

Akan ditunjukkan :

1) ( ) ( ) untuk

2) ( ) ( ) untuk

Bukti :

1) Diketahui , dan

a) Akan ditunjukkan : fungsi merupakan fungsi naik pada

).


sehingga .

( ) ( )

Perhatikan bahwa , dan maka :

dan

Akibatnya,

( ) ( )


145

( ) ( )

( ) (

) (4.75)

( ) ( ) (4.76)

Jadi, fungsi merupakan fungsi naik pada ).

b) Akan ditunjukkan fungsi merupakan fungsi naik pada

( .


Ambil sembarang bilangan negatif sedemikian

sehingga .

, dan maka :

dan

( ) ( )

Perhatikan bahwa , dan maka :

dan

Akibatnya,

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )( ) (4.77)

( ) ( ) (4.78)


146

Fungsi adalah fungsi ganjil maka bentuk pada (4.78)

dapat diubah menjadi :

( ) ( )

( ) ( ) (4.79)

Jadi, fungsi merupakan fungsi naik pada ( ).

(2) Kasus 2 : dan


.


maka :

Berdasarkan langkah sebelumnya telah dibuktikan untuk

, diperoleh bahwa : (lihat 4.79)

( ) ( )

diperhatikan dan adalah pembuat nol dari fungsi

maka dapat diperoleh

( )


fungsi naik pada ( .

Jadi, fungsi merupakan fungsi naik pada ( ) untuk

.


147

2) Diketahui , dan

a) Akan ditunjukkan fungsi merupakan fungsi turun pada

).


sehingga .

Untuk menunjukkan bahwa fungsi turun pada ) dengan

, dapat dilakukan dengan cara yang sama pada langkah

1) sub a) untuk . Namun, bentuk dari (4.76) menjadi :

( )( )(

) ( )( )(

) (4.80)

( ) ( ) (4.81)

Jadi, diperoleh fungsi adalah fungsi turun pada ) untuk

.

b) Akan ditunjukkan fungsi merupakan fungsi turun pada

( ).



sehingga .

Untuk menunjukkan bahwa fungsi turun pada ( )


pada langkah 1) sub b) untuk . Namun, bentuk dari

(4.77) menjadi :

( )( )( ) ( )( )(

) (4.82)

( ) ( ) (4.83)


148



( ) ( )

( ) ( ) (4.84)

Jadi, fungsi merupakan fungsi turun pada ( ).

(2) Kasus II : dan


.


maka :

Berdasarkan langkah sebelumnya telah dibuktikan untuk

, diperoleh bahwa : (lihat 4.84)

( ) ( )

diperhatikan dan adalah pembuat nol dari fungsi

maka dapat diperoleh

( )


fungsi turun pada ( .

Jadi, fungsi merupakan fungsi turun pada ( ) untuk

.

Berdasarkan pembuktian di atas, maka terbukti bahwa pada kasus 5

untuk , fungsi naik pada selang ( ). Sedangkan,


149

untuk fungsi turun pada selang ( ). Oleh karena itu,

fungsi adalah fungsi naik atau fungsi turun untuk semua anggota

dalam domain fungsi . Akibatnya, fungsi tidak mengalami

perubahan dari fungsi naik menjadi fungsi turun atau sebaliknya.

Jadi, pada kasus 5 fungsi tidak memiliki titik balik atau titik

ekstrem lokal.

f. Kasus 6 :


negatif dan akar-akar persamaan kuadrat bukan merupakan bilangan

real, tetapi bilangan kompleks yang memuat bilangan imajiner.

Akibatnya, fungsi hanya memiliki 1 pembuat nol real yaitu 0.


fungsi yang memenuhi kondisi untuk kasus 6, ditemukan bahwa ada

fungsi yang memiliki titik ekstrem lokal dan ada fungsi yang tidak

memiliki titik ekstrem lokal. Dari percobaan yang dilakukan beberapa

contoh, fungsi untuk kondisi kasus 6, yang memiliki titik ekstrem,

selalu memiliki 4 titik ekstrem lokal, dengan 2 titik ekstrem lokal

terletak di sumbu X positif dan 2 titik ekstrem lokal terletak di sumbu

X negatif. Oleh karena itu, kasus 6 akan dipecah menjadi 2 kasus yaitu

kasus 6.a untuk fungsi yang memiliki titik ekstrem lokal dan kasus

6.b untuk fungsi yang tidak memiliki titik ekstrem lokal.

Berikut adalah grafik fungsi dari hasil dari percobaan yang

dilakukan, yaitu grafik fungsi yang memenuhi kasus 6 :


150

Gambar 4.12. Grafik fungsi (𝑥) 𝑥 𝑥 𝑥

Gambar 4.13. Grafik fungsi (𝑥) 𝑥 8𝑥 𝑥



151

Cara yang dilakukan untuk mengetahui apakah fungsi termasuk

kasus 6.a atau kasus 6.b adalah dengan menggunakan metode numerik

yang dikerjakan dalam program MATLAB. Ide dasar yang digunakan

adalah konsep translasi dengan menggerakkan garis atau sumbu

X ke atas dan ke bawah sebesar konstanta ( ) yang sudah ditentukan,

sehingga persamaan garis menjadi (jika sumbu X digerakkan ke

atas) atau (jika sumbu X digerakkan ke bawah). Selanjutnya,

proses yang dilakukan adalah mencari titik potong dengan

fungsi Jika banyaknya titik potong hanya terdapat 1, maka proses

translasi kembali dikerjakan dengan menggeser garis sebesar

konstanta yang sama sehingga persamaan garis menjadi .

Proses translasi atau pergerakan dari garis tersebut terus dilakukan

hingga mencapai kondisi terdapat lebih dari 1 titik potong. Namun,



152

pergerakan sumbu X dilakukan dengan jumlah iterasi yang dibatasi

dalam program. Batasan iterasi perlu digunakan karena ada

kemungkinan fungsi tidak memiliki nilai ekstrem lokal, sehingga

jika tidak dibatasi jumlah iterasi maka bisa terjadi perulangan atau

pergerakan terus berjalan tanpa henti karena belum mencapai kondisi

stop. Oleh karena itu, penentuan apakah fungsi merupakan kondisi

kasus 6.a atau 6.b sangat bergantung pada konstanta pergerakan yang

digunakan dan batasan iterasi yang ditentukan dalam program. Berikut

adalah ilustrasi pergerakan garis dan titik potong grafik

terhadap garis :

Gambar 4.16 (a). Grafik fungsi dan 𝑦


153

Proses translasi dengan menggerakan sumbu X ke atas, akan

menghasilkan fungsi baru, yaitu :

( ) ( )

Jika diperhatikan, penyelesaian dari mencari titik potong antara garis

dan fungsi identik dengan mencari akar-akar dari persamaan

polinomial .

Misal :

Persamaan polinomial dapat dibentuk dari fungsi , yaitu :

( )

( ) (4.85)

( ) dan ; . Penyelesaian untuk menentukan titik

potong antara garis dan fungsi dilakukan dengan cara :

( )

Gambar 4.16 (b). Pergerakan garis 𝑦 sebesar 𝑘 dan titik potongnya

dengan grafik fungsi


154

( ) (4.86)

Jika dilihat dari bentuk (4.85), penyelesaian dari titik potong antara

garis dan fungsi adalah akar-akar real dari persamaan

polinomial .

Dengan cara yang sama, jika sumbu X digerakkan ke bawah

sebesar , maka dapat diperoleh fungsi baru yaitu :

( ) ( )

Artinya titik-titik potong antara garis garis dan fungsi

ekuivalen dengan akar-akar real persamaan polinomial .

Proses pengujian fungsi pada kasus 6 dapat dituliskan dalam

algoritma di bawah ini :

1) Tentukan banyak iterasi ( ) dan konstanta pergeseran ( ).

2) Definisikan dan ( ), adalah nilai pada iterasi

ke- dan .

3) Cek banyaknya titik potong antara dan ( ).

4) Misal adalah banyaknya titik potong antara dan

( ). Jika maka proses berhenti. Namun, jika

maka proses diulang kembali ke langkah 2).

5) Jika proses telah sampai pada iterasi ke- dan hasilnya

maka proses dihentikan.

Algoritma di atas dapat digunakan untuk proses pergerakkan garis

, baik bergerak ke atas ataupun ke bawah. Namun dalam proses

ini cukup dilakukan dengan menggeser ke atas, karena fungsi


155

merupakan fungsi ganjil, yaitu fungsi yang simetris terhadap titik

O(0,0). Artinya jika banyaknya titik potong antara dan fungsi

adalah , maka banyaknya titik potong antara dan fungsi

adalah .

Jika proses pengujian fungsi untuk kasus 6 telah sampai langkah

5), maka tidak dapat disimpulkan bahwa fungsi tidak memiliki nilai

ekstrem lokal karena proses tersebut dibatasi oleh banyaknya iterasi

dan konstanta pergeseran dari garis . Artinya, terdapat 3

kemungkinan yang terjadi, yaitu titik ekstrem lokal fungsi sudah

terlewati karena konstanta yang digunakan terlalu besar atau titik

ekstrem lokal fungsi belum terlewati sampai iterasi ke- atau fungsi

memang tidak memiliki nilai ekstrem lokal. Sedangkan, jika proses

pengujian dari fungsi untuk kasus 6 dapat ditemukan suatu

sedemikian sehingga banyaknya titik potong antara dan

( ) lebih dari 1 maka dapat diduga fungsi memiliki nilai

ekstrem lokal. Sebelum membuktikan dugaan tersebut, dilakukan

pengamatan pada banyaknya titik potong yang mungkin terjadi antara

dan ( ). Berdasarkan pengamatan tersebut, ada 3

kemungkinan banyaknya titik potong yaitu terdapat 1 titik potong, 2

titik potong atau 3 titik potong.

Berikut ini akan dibuktikan jika titik potong antara dan

( ) lebih dari 1 tetapi tidak lebih dari 3, maka fungsi memiliki

nilai ekstrem lokal.


156

Bukti :

Asumsi : banyaknya titik potong antara dan ( ) lebih

dari 1 tetapi tidak lebih dari 3.

Fungsi merupakan fungsi ganjil artinya fungsi simetris

terhadap O(0,0). Artinya, jika terdapat lebih dari 1 titik potong antara

dan ( ) maka terdapat pula lebih dari 1 titik potong

antara antara dan ( ).

Misalkan ( ) ( ) , maka penyelesaian dari titik potong

antara dan ( ) adalah akar-akar real dari persamaan

polinomial . Banyaknya titik potong antara dan ( )

lebih dari 1 artinya persamaan polinomial memiliki lebih dari 1 akar

real.

Misalkan ( ) ( ) , maka penyelesaian dari titik potong

antara dan ( ) adalah akar-akar real dari persamaan

polinomial . Banyaknya titik potong antara dan ( )

lebih dari 1 artinya persamaan polinomial memiliki lebih dari 1 akar

real.

Berikut akan diberikan ilustrasi kemungkinan banyaknya titik

potong antara dan ( ) :

1) Kemungkinan 1 : terdapat 2 titik potong antara dan

( )


157

Fungsi pada kasus 6 hanya memiliki 1 pembuat nol real yaitu

0 sehingga jika terdapat 2 titik potong antara dan

( ), maka kemungkinan grafiknya adalah :

Misalkan dan adalah titik potong antara dan

( ). Oleh karena itu dan adalah akar-akar real dari

persamaaan polinomial .

𝑋

𝑌

Gambar 4.17. Kemungkinan bentuk grafik jika ada 2 titik potong antara

𝑦 𝑘𝑖 dan 𝑦 (𝑥)

𝑌

𝑋

Gambar 4.18. Grafik fungsi dan 𝑙


158

Berdasarkan ilustrasi yang diberikan di atas, fungsi

menyinggung sumbu X di yang artinya merupakan pembuat

nol kembar dari fungsi yang diulang sebanyak , dengan

bilangan genap. Jika diperhatikan kondisi fungsi pada

kemungkinan ini terdapat kesamaan dengan kondisi fungsi pada

kasus 4. Artinya nilai ekstrem lokal dari fungsi terjadi pada .

dan adalah pembuat nol real dari fungsi polinomial , maka

pada ( ) memuat minimal 1 nilai ekstrem lokal dari fungsi .

Perhatikan bahwa fungsi diperoleh dari translasi fungsi ke

bawah. Di lain sisi, diketahui bahwa pada ( ) memuat

minimal 1 nilai ekstrem lokal dari fungsi dan nilai ekstrem lokal

dari fungsi terjadi di . Sedangkan, proses translasi tidak

mengubah bentuk grafik fungsi dan pergeseran yang terjadi hanya

pergeseran secara vertikal, maka pada ( ) juga memuat


fungsi juga terjadi di .


terhadap O(0,0). Artinya, jika terdapat 2 titik potong antara

dan ( ) maka terdapat pula 2 titik potong antara antara

dan ( ).


159

Karena fungsi adalah fungsi yang simetris terhadap O(0,0)

maka diperoleh titik potong dan ( ) terletak di

dan . Oleh karena itu, dan adalah akar-akar real dari


𝑌

𝑋

Gambar 4.19. Sumbu X (y=0) digeser ke bawah sebesar 𝑘

𝑌

𝑋

Gambar 4.20. Grafik fungsi dan 𝑗


160

Berdasarkan ilustrasi yang diberikan di atas, fungsi

menyinggung sumbu X di yang artinya merupakan

pembuat nol kembar dari fungsi yang diulang sebanyak ,

dengan bilangan genap. Artinya nilai ekstrem lokal dari fungsi

terjadi pada . dan adalah pembuat nol real dari

fungsi polinomial , maka pada ( ) memuat minimal 1

nilai ekstrem lokal dari fungsi .


atas. Di lain sisi, diketahui bahwa pada ( ) memuat


dari fungsi terjadi di . Sedangkan, proses translasi tidak

mengubah bentuk grafik fungsi dan pergeseran yang terjadi hanya

pergeseran secara vertikal, maka pada ( ) juga memuat


fungsi juga terjadi di .

Jadi, terbukti bahwa fungsi memiliki nilai ekstrem lokal.

Berdasarkan pembuktian di atas, ditemukan bahwa nilai ekstrem

lokal dari fungsi terjadi pada dan . Selain itu, pada

( ) dan ( ) memuat minimal 1 nilai ekstrem lokal.

Jika pada ( ) dan ( ) memuat lebih dari 1 nilai

ekstrem lokal, artinya fungsi memiliki lebih dari 4 nilai ekstrem

lokal. Hal tersebut tentu kontradiksi dengan sifat fungsi yang

memiliki nilai ekstrem lokal paling banyak 4. Oleh karena itu,


161

pada ( ) dan ( ) hanya termuat 1 nilai ekstrem lokal

pada setiap selangnya.

2) Kemungkinan : terdapat 3 titik potong antara dan ( )

Fungsi pada kasus 6 hanya memiliki 1 pembuat nol real yaitu 0

sehingga jika terdapat 3 titik potong antara dan ( ),

maka kemungkinan grafiknya adalah :

Misalkan , dan adalah titik potong antara dan

( ). Oleh karena itu , dan adalah akar-akar real dari


Gambar 4.21. Kemungkinan bentuk grafik jika terdapat 3 titik potong

𝑦 𝑘𝑖 dan 𝑦 (𝑥)


162

Berdasarkan ilustrasi di atas diperoleh bahwa , dan

adalah pembuat nol real dari fungsi polinomial , maka pada

dan memuat minimal 1 nilai ekstrem lokal dari

fungsi .


bawah. Di lain sisi, diketahui bahwa pada dan

memuat minimal 1 nilai ekstrem lokal dari fungsi . Sedangkan,

proses translasi tidak mengubah bentuk grafik fungsi dan

pergeseran yang terjadi hanya pergeseran secara vertikal, maka

pada dan juga memuat minimal 1 nilai ekstrem

lokal dari fungsi .


terhadap O(0,0). Artinya, jika terdapat 3 titik potong antara

Gambar 4.22. Grafik fungsi dan 𝑙


163

dan ( ) maka terdapat pula 3 titik potong antara antara

dan ( ).

Karena fungsi adalah fungsi yang simetris terhadap

O(0,0) maka diperoleh titik potong dan ( ) terletak

di , dan . Oleh karena itu, , dan adalah

akar-akar real dari persamaaan polinomial .

Gambar 4.23. Sumbu X (y=0) digeser ke bawah sebesar 𝑘

Gambar 4.24. Grafik fungsi dan 𝑗


164

Berdasarkan teorema (2.9), pada dan

terdapat minimal 1 nilai ekstrem lokal dari fungsi polinomial .

Perhatikan bahwa fungsi diperoleh dari translasi fungsi ke atas.

Di lain sisi, diketahui bahwa pada dan

memuat minimal 1 nilai ekstrem lokal dari fungsi . Sedangkan,

proses translasi tidak mengubah bentuk grafik fungsi dan

pergeseran yang terjadi hanya pergeseran secara vertikal, maka

pada dan juga memuat minimal 1 nilai

ekstrem lokal dari fungsi .

Jadi, terbukti bahwa fungsi memiliki nilai ekstrem lokal.

Dari hasil pembuktian di atas menunjukkan bahwa pada

, dan memuat minimal 1

nilai ekstrem lokal dari fungsi . Apabila ada di antara selang

tersebut memuat nilai ekstrem lokal fungsi lebih dari 1, maka

banyaknya nilai ekstrem lokal dari fungsi lebih dari 4. Hal

tersebut kontradiksi dengan sifat dari fungsi yang memiliki nilai

ekstrem lokal maksimal 4. Oleh karena itu pada ,

dan hanya termuat 1 nilai ekstrem

lokal dari fungsi .

Hasil pembuktian di atas juga menunjukkan bahwa jika fungsi

memenuhi kondisi pada kasus 6.a, maka ada 2 kemungkinan

yang terjadi yaitu :


165

1) Kasus 6.a.(i) : fungsi memiliki 1 nilai ekstrem lokal pada

setiap selang , dan

jika terdapat 3 titik potong antara dan ( ).

2) Kasus 6.a.(ii) : fungsi memiliki nilai ekstrem lokal pada

, . Selain itu, fungsi memiliki 1 nilai ekstrem lokal

pada setiap selang ( ) dan ( ) jika terdapat 2

titik potong antara dan ( ).

Pada subbab sebelumnya, proses mencari pembuat nol dari fungsi

telah dikerjakan dalam program MATLAB, dengan nama M-file

lanjut_translasi. Hasil dari perhitungan proses tersebut akan digunakan

dalam proses pada sub bagian ini, yaitu penentuan banyak titik ekstrem

lokal ditinjau dari pembuat nol fungsi polinomial . Algoritma yang

dituliskan dalam program dibawah ini disesuaikan dengan hasil analisis

yang sudah dilakukan di atas, sehingga pengguna program hanya akan

diberikan informasi tentang banyaknya titik ekstrem lokal fungsi h sesuai

dengan kondisi yang terjadi. Algoritma berikut merupakan sub bagian dari

algoritma yang termuat dalam M-file lanjut_translasi, yang dikhususkan

untuk menentukan banyaknya titik ekstrem lokal dari fungsi .

%Penentuan Banyaknya Titik Puncak yg dimiliki if Disk>0 if (p1>0)&&(p2>0) %Kasus1

disp('Fungsi h mempunyai 5 akar real dan 4 nilai ekstrem lokal dengan 2 titik maksimum lokal dan 2 titik minimum lokal') disp('Fungsi h bersifat unimodal pada interval :') disp(['[',num2str(min(akar1(1),akar2(1))),',',num2str(max akar1(1),akar2(1))),']'])

disp(['[',num2str(max(akar1(1),akar2(1))),', 0]'])


166

disp(['[0,',num2str(min(akar1(2),akar2(2))),']']) disp(['[',num2str(min(akar1(2),akar2(2))),',',num2str(max akar1(2),akar2(2))),']'])

disp(' '); disp('Ketik lanjut_4 untuk melanjutkan proses mencari nilai ekstrem lokal.');%next to other program

else if (p1<0)&(p2<0)%Kasus3 disp('Fungsi h mempunyai 1 akar real yaitu x=0 dan

tidak mempunyai nilai ekstrem lokal') disp('Fungsi g tidak mempunyai nilai ekstrim. Program

selesai.') disp('---------------END--------------------------'); else disp('Fungsi h mempunyai 3 akar real dan 2 nilai

ekstrem lokal dengan 1 titik maksimum lokaldan 1 titik minimum lokal') %Kasus2

disp('Fungsi h bersifat unimodal pada interval :') if p1>0 disp(['[',num2str(min(akar1)),', 0]']) ak=min(akar1); disp(['[0,',num2str(max(akar1)),']']) ak2=max(akar1); else disp(['[',num2str(min(akar2)),', 0]']) ak=min(akar2); disp(['[0,',num2str(max(akar2)),']']) ak2=max(akar2); end disp(' '); disp('Ketik lanjut_2 untuk melanjutkan proses mencari

nilai ekstrem lokal');%next to other program end end else

if Disk==0 if (p1>0) %Kasus4

disp('Fungsi h mempunyai 5 akar real (ada 2 pasang kembar) dan 4 nilai ekstrem lokal dengan 2 titik maksimum dan 2 titik minimum, dimana akar selain 0 jadi absis puncak')

disp('Fungsi h bersifat unimodal pada interval :') disp(['(',num2str(min(akar1)),', 0]']) disp(['[0,',num2str(max(akar1)),')']) disp(' ') disp('Ketik lanjut_3 untuk melanjutkan proses mencari nilai

ekstrem');%next to other program else %Kasus5


167

disp('Fungsi h mempunyai 1 akar real dan tidak memiliki nilai ekstrem lokal.')

disp('Fungsi g tidak mempunyai nilai ekstrem lokal. Program selesai.')

disp('-------------END--------------------------'); end else disp('Fungsi h mempunyai 1 akar real. Ada kemungkinan memiliki nilai ekstrem.') %Kasus6 disp('Ketik lanjut_coba') %next to other program end

end Pada algoritma di atas, pengguna program diberikan informasi

tentang banyaknya titik ekstrem lokal yang dimiliki oleh fungsi . Jika

fungsi sudah dipastikan tidak memiliki nilai ekstrem lokal, seperti kasus

3 dan kasus 5, maka proses berhenti. Sedangkan, jika fungsi sudah

dipastikan memiliki nilai ekstrem lokal, seperti kasus 1, 2 dan 4, maka

pengguna program diminta memanggil nama M-file yang sesuai dengan

kondisi dari fungsi . Sedangkan, jika kasus 6 yang terjadi, pengguna

program juga diminta memanggil M-file, dengan nama lanjut_coba, untuk

mengecek apakah fungsi memiliki nilai ekstrem lokal. Berikut adalah

algoritma yang termuat dalam M-file lanjut_coba :

%Pengujian Fungsi h pada Kasus 6 %Tujuan dari program ini adalah : %menentukan apakah fungsi h pada kasus 6 memiliki nilai ekstrem lokal disp('----------------------------------------------------') disp(' Pengujian Fungsi h pada Kasus 6 ') disp('----------------------------------------------------') f=0; k=0.1; %Pada program bagian pengujian ini, banyaknya iterasi dibatasi hingga 1000

%konstanta pergerakan sumbu X menggunanakan k=0.1 f=f+k; r=0; iter=0;


168

while r<=1 & iter<1000 T=[0 0 0 0 0 f]; L=(H-T); akr=sort(roots(L)); for i=1:5 if imag(akr(i))==0 r=r+1; end end

if r>1 %Kasus6.a k_i=f; disp(['Fungsi h memiliki ',num2str(r),' titik potong

antara y=',num2str(k_i),' dan y=h(x)']) for i=1:5 if imag(akr(i))==0 disp(akr(i)) end end disp(['Fungsi h juga memiliki ',num2str(r),' titik

potong antara y=',num2str(-1*k_i),' dan y=h(x)']) Z=[0 0 0 0 0 k_i]; J=(H+Z); akr2=sort(roots(J)); for i=1:5 if imag(akr2(i))==0 disp(akr2(i)) end end

if akr(2)==akr(3) %Kasus6.a.(ii)

disp(['Nilai ekstrem lokal fungsi h terjadi pada ',num2str(akr(2)),' dan ',num2str(akr2(2))]); disp(['Fungsi h unimodal pada [',num2str(akr(1)),',',num2str(akr(2)),'] dan [',num2str(akr2(1)),',',num2str(akr2(2)),']'])

else %Kasus6.a.(i) disp('Fungsi h unimodal pada :') disp(['[',num2str(akr(1)),',',num2str(akr(2)),']']) disp(['[',num2str(akr(2)),',',num2str(akr(3)),']']) disp(['[',num2str(akr2(1)),',',num2str(akr2(2)),']']) disp(['[',num2str(akr2(2)),',',num2str(akr2(3)),']']) disp(' ') disp('Ketik lanjut_cari untuk melanjutkan proses

mencari nilai ekstrem lokal') end else r=0; f=f+k;


169

iter=iter+1; end end

if iter==1000 %Kasus6.b

disp('Hasil sementara di proses ini dengan 1000 iterasi, fungsi h tidak memiliki titik ekstrem lokal.')

disp('-----------------END-------------------------'); end

C. Nilai Ekstrem Lokal Fungsi Menggunakan Golden Section Search

Pada sub bab sebelumnya, telah dilakukan analisis banyaknya titik

ekstrem lokal yang dimiliki oleh fungsi ditinjau dari pembuat nol fungsi

. Hasil analisis pada fungsi yang memiliki nilai ekstrem lokal

menunjukkan selang-selang yang menjamin bahwa fungsi unimodal

pada selang tersebut. Artinya, fungsi hanya memiliki 1 nilai ekstrem

lokal pada selang tersebut. Hasil dari analisis yang sudah dilakukan dan

menunjukkan selang-selang yang menjamin fungsi unimodal adalah :

1. Pada kasus 1, fungsi bersifat unimodal pada

[ √ √ ], [ √ ], [ √ ] dan [√ √ ]

2. Pada kasus 2, fungsi bersifat unimodal pada [ √ ] dan

[ √ ].

3. Pada kasus 4, fungsi bersifat unimodal pada ( √ ) dan

( [ √ ]).

4. Pada kasus 6.a.(i), fungsi berifat unimodal pada ,

dan .


170

5. Pada kasus 6.a.(ii), fungsi bersifat unimodal pada ( dan

( .

Pada sub bab ini akan dilakukan proses mencari nilai ekstrem lokal

fungsi dengan menggunakan metode Golden Section Search pada kasus

1, 2, 4, 6.a.(i) dan 6.a.(ii). Syarat yang diperlukan untuk menggunakan

metode Golden Section Search telah dipenuhi yaitu diketahui selang yang

menjadi fungsi unimodal pada selang tersebut. Namun sebelum

menggunakan metode Golden Section Search pada fungsi , perlu

diketahui dalam selang tersebut memuat nilai ekstrem maksimum atau

minimum lokal, karena algoritma metode Golden Section Search untuk

kasus maksimum sedikit berbeda dengan kasus minimum. Ide yang

digunakan untuk menentukan apakah selang memuat nilai ekstrem

maksimum atau minimum lokal adalah melakukan evaluasi nilai fungsi

batas bawah selang dan bilangan yang terletak cukup dekat di sebelah

kanan dengan batas bawah, pada setiap selang.

Perhatikan bahwa interval yang telah diperoleh pada proses

sebelumnya, nilai fungsi pada batas bawah sama dengan nilai fungsi batas

atas interval. Misal diketahui fungsi bersifat unimodal pada dan

( ) ( ) dengan . Akibatnya, fungsi memiliki 1 nilai

ekstrem lokal pada , artinya fungsi hanya mengalami perubahan

dari fungsi naik menjadi fungsi turun atau sebaliknya, hanya satu kali.

Untuk menentukan apakah selang tersebut memuat nilai ekstrem

maksimum atau minimum lokal, maka dilakukan evaluasi fungsi ( )


171

dan bilangan yang terletak cukup dekat di sebelah kanan dari . Misalkan

, dipilih

. dan

1. Jika ( ) ( ), maka fungsi merupakan fungsi naik pada

Fungsi hanya mengalami perubahan naik menjadi turun atau

sebaliknya hanya satu kali dan karena fungsi naik pada

, maka pada termuat nilai ekstrem maksimum lokal.

2. Sedangkan, jika jika ( ) ( ), maka fungsi merupakan fungsi

turun pada Fungsi hanya mengalami perubahan naik menjadi

turun atau sebaliknya hanya satu kali dan karena fungsi turun pada

, maka pada termuat nilai ekstrem minimum

lokal.

Berikut adalah algortima untuk menyelidiki apakah nilai ekstrem

minimum atau maksimum lokal dari fungsi yang termuat dalam selang

, jika diketahui fungsi unimodal pada :

%Diketahui fungsi H unimodal pada [x0,xt] %uji nilai fungsi pada [x0,xt] delta=(1/10)*(abs(xt-x0)); %x0 dan xt harus terlebih dahulu

diketahui %x0 dan xt ditentukan pada proses

sebelumnya x1=x0+delta; %uji nilai fungsi di dekat sebelah kanan x0 y1=polyval(H,x0); y2=polyval(H,x1); %evaluasi nilai fungsi pada [x0,x1] if y1 < y2 disp('-----Fungsi naik pada selang tersebut. Ada titik

maksimum di selang tersebut-----') else if y1 > y2 disp('-----Fungsi turun pada selang tersebut. Ada titik


172

minimum di selang tersebut-----') end end

Pada penelitian ini, algoritma di atas dilakukan pada selang yang

terbentuk dari 2 pembuat nol real yang berdekatan yang sudah

ditentukan pada M-file lanjut_translasi. Algoritma di atas juga akan

dipadukan dengan algoritma metode Golden Section Search pada proses

selanjutnya. Setelah mengetahui selang memuat nilai ekstrem maksimum

atau minimum lokal, metode Golden Section Search siap digunakan untuk

menentukan nilai ekstrem lokal fungsi yang disesuaikan dengan kasus

maksimum atau minimum lokal.

Berikut adalah algoritma untuk menentukan nilai ekstrem lokal

fungsi secara umum :

1. Kasus Maksimum

disp('==================================================='); disp('--Pencarian Nilai Maksimum dengan Golden Section--'); disp('===================================================');

eps=0.01*(10^-4); R=(5^0.5 - 1)/2; %goldenratio xl=x0; %x0:batasbawahinterval xh=xt; %xt:batasatasinterval del=R*(xh-xl); x1=xl+del; x2=xh-del; y1=polyval(H,x1); %H : matriks koefisien dari fungsi

polinomial H yang terlebih dahulu didefinisikan

y2=polyval(H,x2); while abs(xh-xl)>eps if y2>y1 xh=x1; x1=x2; del=R*(xh-xl); x2=xh-del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2);


173

else xl=x2; x2=x1; del=R*(xh-xl); x1=xl+del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); end end

if y1>=y2 Ax=x1; Ay=y1; else Ax=x2; Ay=y2; end disp(['Titik maksimum lokal fungsi h terletak di:

(',num2str(Ax),',',num2str(Ay),')'])

2. Kasus Minimum

disp('==================================================='); disp('--Pencarian Nilai Minimum dengan Golden Section--'); disp('==================================================='); eps=0.01*(10^-4);

R=(5^0.5 - 1)/2; %goldenratio xl=x0; %x0:batasbawahinterval xh=xt; %xt:batasatasinterval del=R*(xh-xl); x1=xl+del; x2=xh-del; y1=polyval(H,x1); %H : matriks koefisien dari fungsi

polinomial H yang terlebih dahulu didefinisikan

y2=polyval(H,x2); while abs(xh-xl)>eps if y2<y1 xh=x1; x1=x2; del=R*(xh-xl); x2=xh-del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); else xl=x2; x2=x1; del=R*(xh-xl); x1=xl+del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2);


174

end end

if y1<=y2 Bx=x1; By=y1; else Bx=x2; By=y2; end disp(['Titik minimum lokal fungsi h terletak di: (',num2str(Bx),',',num2str(By),')'])

Algoritma metode Golden Section Search di atas digunakan pada

masing-masing kasus yaitu kasus 1,2,4, 6.a.(i) dan 6.a.(ii) untuk

menentukan nilai ekstrem lokal maksimum dan minimum dari fungsi .

(lihat lampiran). Penentuan nilai ekstrem lokal fungsi untuk kasus 1

termuat dalam M-file dengan nama lanjut_4. Sedangkan penentuan nilai

ekstrem lokal fungsi untuk kasus 2 termuat dalam M-file dengan nama

lanjut_3. Proses menentukan nilai ekstrem lokal fungsi pada kasus 4

termuat dalam M-file dengan nama lanjut_2. Sedangkan untuk kasus 6.a.(i)

dan 6.a.(ii), termuat dalam M-file dengan nama lanjut_cari.

Pada algoritma yang digunakan pada penelitian ini, panjang

interval akhir yang diinginkan dilambangkan dengan variabel eps atau

epsilon. Epsilon yang digunakan pada penelitian ini adalah .

Pencarian nilai ekstrem lokal fungsi hanya dilakukan pada sumbu X

positif atau untuk . Hal ini dapat dilakukan karena fungsi

merupakan fungsi ganjil, sehingga apabila nilai ekstrem lokal fungsi

pada sumbu X positif sudah diketahui maka nilai ekstrem lokal fungsi

pada sumbu X negatif juga dapat ditentukan.


175

D. Nilai Ekstrem Lokal Fungsi Awal

Pada sub bab sebelumnya telah didapat informasi tentang

banyaknya nilai ekstrem yang dimiliki dari fungsi dan nilai ekstrem

lokal dari fungsi , untuk fungsi yang memiliki nilai ekstrem lokal.

Fungsi awal atau fungsi asli yang diberikan adalah fungsi polinomial

berderajat 5 yang simetris yaitu fungsi . Tujuan awal adalah menentukan

nilai ekstrem lokal dari fungsi . Oleh karena itu, proses yang selanjutnya

adalah menggeser fungsi kembali ke fungsi awal yaitu fungsi . Jika

fungsi diperoleh dengan menggeser fungsi oleh vektor (

), maka

proses selanjutnya yang dilakukan adalah menggeser fungsi oleh vektor

yang besarnya sama tetapi berlawanan arah, yaitu vektor (

).

Analisis yang sudah dilakukan tentang banyaknya nilai ekstrem

lokal dari fungsi menentukan pula banyaknya nilai ekstrem lokal dari

fungsi . Hal ini dikarenakan fungsi merupakan hasil translasi dari

fungsi , yang artinya grafik fungsi tidak merubah bentuk dari grafik

fungsi . Pada kasus 3, 5 dan 6.b menunjukkan bahwa fungsi tidak

memiliki nilai ekstrem lokal, sehingga fungsi juga tidak memiliki nilai

ekstrem lokal. Sedangkan pada kasus 1, 2, 4, 6.a.(i) dan 6.a.(ii)

menunjukkan bahwa fungsi memiliki nilai ekstrem lokal dan pada proses

sebelumnya telah dilakukan pencarian titik ekstrem lokal dari fungsi ,

maka akibatnya titik ekstrem lokal fungsi juga dapat diketahui dengan


176

menambahkan sebesar untuk absis titik ekstrem dan untuk ordinat

dari titik ekstrem lokal.

Pada proses sebelumnya, yaitu menentukan nilai ekstrem lokal

dengan menggunakan metode Golden Section Search, termuat dalam M-

file yang terpisah dan disesuaikan dengan kondisi fungsi . Namun, pada

setiap M-file diakhiri dengan pemberian informasi kepada pengguna

program untuk memanggil M-file dengan nama lanjut_final. M-file

lanjut_final berisikan algoritma untuk menentukan nilai ekstrem lokal dari

fungsi awal yaitu fungsi . Hasil dari proses yang sebelumnya tetap

digunakan dalam perhitungan atau pengerjaan algoritma pada M-file

lanjut_final. Berikut adalah algoritma untuk menentukan nilai ekstrem

lokal dari fungsi awal yaitu fungsi .

%Penentuan Nilai Ekstrem Fungsi g disp('----------------------------------------------------'); disp(' Penentuan Nilai Lokal Ekstrem Fungsi g ') disp('----------------------------------------------------'); if (Ax~=0) & (Bx~=0) Ax1=Ax+m; Ax2=-Ax+m; %Ax adalah absis titik maksimum dari h

Ax2 adalah absis titik minimum dari g Ay1=Ay+n; Ay2=-Ay+n; %Ay adalah nilai lokal maksimum dari h

Ay2 adalah nilai lokal minimum dari g Bx1=Bx+m; Bx2=-Bx+m; %Bx adalah absis titik minimum dari h

Bx2 adalah absis titik maksimum dari g By1=By+n; By2=-By+n; %By adalah nilai lokal minimum dari h

By2 adalah nilai lokal maksimum dari g disp('--------------------------------------------------'); disp(' Titik Maksimum & Minimum Lokal Fungsi g '); disp('--------------------------------------------------'); disp(['Titik minimum lokal fungsi g terletak di:

(',num2str(Bx1),',',num2str(By1),')']) disp(['Titik minimum lokal fungsi g terletak di:

(',num2str(Ax2),',',num2str(Ay2),')'])


177

disp(' '); disp(['Titik maksimum lokal fungsi g terletak di: (',num2str(Ax1),',',num2str(Ay1),')']) disp(['Titik maksimum lokal fungsi g terletak di: (',num2str(Bx2),',',num2str(By2),')']) else if Ax~=0 Ax1=Ax+m; Ax2=-(Ax)+m; %Ax adalah absis titik maksimum dari h,

Ax2 adalah absis titik minimum dari g Ay1=Ay+n; Ay2=-Ay+n; %Ay adalah nilai lokal maksimum dari h,

Ay2 adalah nilai lokal minimum dari g disp('----------------------------------------------'); disp(' Titik Maksimum & Minimum Lokal Fungsi g '); disp('-----------------------------------------------'); disp(['Titik maksimum lokal fungsi g terletak di:

(',num2str(Ax1),',',num2str(Ay1),')']) disp(['Titik minimum lokal fungsi g terletak di:

(',num2str(Ax2),',',num2str(Ay2),')']) else Bx1=Bx+m; Bx2=-Bx+m; %Bx adalah absis titik minimum dari h,

Bx2 adalah absis titik maksimum dari g By1=By+n; By2=-By+n; disp('-----------------------------------------------'); disp(' Titik Maksimum & Minimum Lokal Fungsi g '); disp('-----------------------------------------------'); disp(['Titik minimum lokal fungsi g terletak di:

(',num2str(Bx1),',',num2str(By1),')']) disp(['Titik maksimum lokal fungsi g terletak di:

(',num2str(Bx2),',',num2str(By2),')']) end end

E. Analisis Kesalahan

Proses yang dilakukan dalam menentukan nilai ekstrem lokal pada

fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris, yaitu fungsi , terbagi

menjadi 9 langkah. Kesembilan langkah tersebut telah digambarkan dalam

diagram pada gambar 3.7. Dari kesembilan langkah tersebut, metode


178

numerik digunakan pada langkah menentukan nilai ekstrem lokal dari

fungsi dengan metode Golden Section dan secara khusus digunakan

untuk kasus 6 dalam langkah menganalisis banyaknya nilai ekstrem lokal

ditinjau dari pembuat nol fungsi . Solusi yang menggunakan metode

numerik merupakan solusi yang bersifat hampiran dari solusi yang eksak.

Hal ini berakibat terjadinya galat atau error dari solusi yang diperoleh dari

metode numerik.

Pada langkah analisis fungsi untuk kasus 6, dilakukan pengujian

fungsi menggunakan metode numerik. Ide dasar yang digunakan tetap

menggunakan konsep aljabar dan geometri, yaitu konsep translasi. Kondisi

yang terjadi pada kasus 6 adalah diskriminan dari persamaan kudrat

bernilai negatif sehingga fungsi hanya memiliki 1 pembuat nol real yaitu

0. Selain itu, kondisi yang ditemukan adalah ada fungsi yang memiliki

nilai ekstrem lokal dan ada fungsi yang tidak memiliki nilai ekstrem

lokal pada kasus 6. Translasi yang digunakan adalah menggerakkan atau

menggeser sumbu X ke atas, sebesar , secara berulang hingga terdapat

lebih dari 1 titik potong dengan grafik fungsi . Dalam algoritma yang

digunakan pada langkah translasi tersebut, perulangan dibatasi oleh 2 hal

yaitu banyaknya titik potong garis dengan ( ), dengan

sudah ditentukan yaitu , dan banyak iterasi yang ditentukan yaitu 1000

iterasi. Perulangan akan berhenti jika banyaknya titik potong garis

dengan ( ) lebih dari 1 dan perulangan sudah dilakukan sebanyak

1000.


179

Jika diperhatikan banyaknya titik potong garis dengan

( ), bergantung pada yang ditentukan pada program. Besar atau

nilai juga dapat mempengaruhi hasil dari proses ini. Apabila nilai yang

ditentukan terlalu besar, bisa jadi nilai ekstrem lokal dari fungsi telah

terlewati sehingga garis tidak memotong lebih dari 1 titik pada

grafik fungsi untuk setiap perulangan. Misalkan yang ditentukan

adalah . Artinya pada iterasi pertama . Perhatikan gambar

berikut ini :

Fungsi yang digunakan pada contoh di atas adalah ( )

. Grafik fungsi sangat kecil pada terjadinya nilai ekstrem lokal

fungsi. Pada grafik fungsi dapat ditunjukkan bahwa fungsi memiliki

nilai ekstrem lokal. Nilai ekstrem lokal fungsi terjadi di bawah garis

. Artinya, dari iterasi pertama hingga selanjutnya hanya terdapat 1

titik potong antara dan ( ), karena nilai ekstrem lokal dari

fungsi telah terlewati dari iterasi pertama. Akibatnya, pada iterasi ke-

Gambar 4.25. Ilustrasi kesalahan metode numerik karena kebergantungan nilai 𝑘

pada kasus 6


180

1000, perulangan berhenti dan memberikan informasi bahwa fungsi

hingga iterasi ke-1000 tidak menemukan nilai ekstrem lokal. Padahal,

kondisi yang sebenarnya terjadi adalah fungsi memiliki nilai ekstrem

lokal.

Hal yang serupa juga bisa terjadi jika nilai terlalu kecil akibatnya

hingga iterasi ke-1000, garis belum mencapai nilai ekstrem dari

fungsi . Jika , maka .

Perhatikan gambar di bawah ini :

Fungsi yang digunakan pada contoh di atas adalah ( )

. Pada grafik fungsi dapat ditunjukkan bahwa

fungsi memiliki nilai ekstrem lokal. Namun, perulangan yang sudah

sampai batas iterasi yaitu pada iterasi ke-1000, belum mencapai

Gambar 4.26. Ilustrasi keterbatasan iterasi dan kebergantungan nilai

𝑘 metode numerik pada kasus 6


181

nilai ekstrem lokal dari fungsi . Akibatnya, hasil final dari proses secara

numerik adalah hingga iterasi ke-1000 tidak ditemukan nilai ekstrem lokal

dari fungsi . Berdasarkan 2 ilustrasi yang diberikan tersebut, proses

mengidentifikasi fungsi pada kasus 6 masih memiliki kekurangan,

dimana proses identifikasi tersebut bergantung pada nilai konstanta

pergerakan dan banyaknya iterasi. Semakin kecil konstanta pergerakan dan

semakin banyaknya jumlah iterasi, maka kesalahan pada 2 ilustrasi di atas

dapat minimalisir.

Pada kasus 1, 2, 4, 6.a.(i) dan 6.a.(ii), metode Golden Section

Search digunakan untuk menentukan nilai ekstrem lokal dari fungsi . Jika

diperhatikan pada algoritma metode Golden Section, baik kasus

maksimum maupun minimum lokal, terdapat perulangan dari proses

penyempitan selang hingga kondisi stop terpenuhi. Kondisi stop pada

perulangan tersebut ditentukan dari panjang interval akhir yang

diinginkan. Pada algoritma yang digunakan, panjang interval akhir yang

diinginkan dilambangkan dengan variabel eps atau epsilon ( ). Pada

penelitian ini dipilih sebagai panjang interval akhir

yang diinginkan. Nilai epsilon yang digunakan dapat bervariasi,

bergantung pada pemakai program ataupun ketentuan yang telah

ditentukan. Namun, semakin kecil nilai epsilon maka solusi yang diperoleh

akan semakin mendekati solusi yang sebenarnya (solusi secara eksak).

Artinya, semakin kecil galat atau error yang terdapat pada solusi secara

numerik.


182

BAB V

PENUTUP

Pada bab ini diberikan kesimpulan dan saran dari pembahasan bab-bab

sebelumnya serta saran untuk penelitian selanjutnya.

A. Kesimpulan

Dari pembahasan dalam tugas akhir ini dapat disimpulkan sebagai

berikut.

1. Karakteristik dari fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris adalah

sebagai berikut.

a. Fungsi polinomial berderajat 5, ( )

, adalah fungsi yang simetris jika fungsi mempunyai pusat

simetri di

, dengan pusat simetri berupa titik simetri putar di

( ( )) Fungsi adalah fungsi yang simetris jika memenuhi

persamaan :

dengan pusat simetri di

.

b. Jika fungsi merupakan fungsi polinomial berderajat 5 yang

simetris, maka apabila fungsi ditranslasikan dengan menggeser

( ( )) ke O( ), hasil translasinya merupakan fungsi ganjil

dengan titik simetri putar di O( ).


183

c. Misal fungsi adalah fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris.

Jika fungsi ditranslasikan dengan menggeser (

(

)) ke

O( ) dan hasil translasinya adalah fungsi , maka fungsi

berbentuk :

( ) ( ) (

)

Jika , dan

, maka :

( )

(

)

Hasil translasi dari fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris,

dengan menggeser titik simetri putarnya ke O(0,0), akan

menghasilkan fungsi ganjil polinomial berderajat 5.

2. Nilai ekstrem lokal dari fungsi , fungsi polinomial berderajat 5 yang

simetris, dapat ditentukan dengan menggunakan konsep aljabar dan

geometri yang dikombinasikan dengan metode numerik yaitu metode

Golden Section Search. Namun syarat untuk menggunakan metode

Golden Section Search adalah perlu diketahui interval yang menjamin

fungsi unimodal pada interval tersebut. Oleh karena itu dalam

menentukan nilai ekstrem dari fungsi dengan menggunakan metode

Golden Section Search juga disertai dengan proses mencari interval


184

yang menjadi fungsi unimodal pada interval tersebut. Berikut adalah

langkah-langkah dalam menentukan nilai ekstrem dari fungsi :

a. Langkah awal yang dilakukan adalah melakukan translasi fungsi

dengan menggeser (

(

)) ke O( ) sedemikian sehingga

hasil translasi dari fungsi adalah fungsi dimana fungsi

merupakan fungsi ganjil dengan titik simetri putar O(0,0).

b. Menentukan pembuat nol dari fungsi , yang merupakan fungsi

hasil translasi dari fungsi . Dalam menentukan akar-akar dari

persamaan polinomial memunculkan bentuk persamaan

polinomial berderajat 4, yang hanya memuat suku dan .

Persamaan polinomial berderajat 4 tersebut dapat dimanipulasi

sehingga membentuk persamaan kuadrat. Oleh karena itu, pembuat

nol dari fungsi ditentukan dengan rumus kuadrat untuk mencari

akar-akar persamaan kuadrat yang terbentuk. Berdasarkan analisis

yang dilakukan pada bab IV, terdapat 6 kasus yang

menggambarkan kemungkinan banyaknya nilai pembuat nol real

dari fungsi . Berikut adalah hasil analisis tentang kemungkinan

banyaknya nilai pembuat nol real dari fungsi .

Nilai

Diskriminan Kondisi Kemungkinan

Kasus 1 : Fungsi memiliki 5 pembuat nol real yang berbeda.

Kasus 2 : Fungsi memiliki 3 pembuat nol real yang berbeda

Kasus 3 : Fungsi memiliki 1 pembuat nol real.

Tabel 5.1. Kemungkinan Banyaknya Nilai Pembuat Nol dari Fungsi


185

Kasus 4 : Fungsi memiliki 5 pembuat nol real, dengan dua

pasang pembuat nol kembar.



c. Setelah menentukan nilai-nilai pembuat nol real dari fungsi ,

langkah selanjutnya adalah melakukan analisis banyaknya nilai

ekstrem lokal yang dimiliki oleh fungsi berdasarkan

kemungkinan banyaknya pembuat nol real dari fungsi yang telah

dilakukan pada langkah sebelumnya. Nilai-nilai pembuat nol real

dari fungsi menjadi batas atas dan batas bawah dari interval yang

akan digunakan untuk menentukan nilai ekstrem fungsi

menggunakan metode Golden Section Search. Interval yang

digunakan terbentuk dari 2 pembuat nol real yang berdekatan dari

fungsi . Analisis yang dilakukan menguji apakah interval yang

terbentuk dari 2 pembuat nol real yang berdekatan menjamin fungsi

bersifat unimodal pada interval tersebut.Berikut adalah hasil

analisis banyaknya nilai ekstrem lokal pada fungsi berdasarkan

pembuat nol real dari fungsi

Nilai

Diskriminan Kemungkinan Pembuat Nol Banyaknya Nilai Ekstrem Lokal

Kasus 1 : Fungsi memiliki 5

pembuat nol real yang berbeda.

Fungsi memiliki 4 nilai ekstrem

lokal.


pembuat nol real yang berbeda.


lokal.

Tabel 5.2. Kemungkinan Banyaknya Nilai Ekstrem Lokal Fungsi Berdasarkan

Pembuat Nol Real dari Fungsi


186

Pada kasus 1, 2 dan 4, fungsi bersifat unimodal pada interval

yang terbentuk dari 2 pembuat nol real yang berdekatan. Pada

kasus 6, fungsi memiliki 2 kemungkinan yaitu fungsi memiliki

4 nilai ekstrem lokal atau fungsi tidak memiliki nilai ekstrem

lokal. Sedangkan pada kasus 6, fungsi hanya memiliki 1 pembuat

nol real yaitu 0. Untuk menyelidiki apakah fungsi pada kasus 6

memiliki nilai ekstrem atau tidak, digunakan langkah

menggerakkan sumbu X atau garis ke atas sebesar

sehingga persamaan garis menjadi . Selanjutnya, memeriksa

banyaknya titik potong antara grafik fungsi dengan garis .

Jika terdapat 1 titik potong, maka garis digerakkan kembali

ke atas sebesar . Proses translasi atau pergerakan garis tersebut

terus dilakukan hingga terdapat lebih dari 1 titik potong.

Pergerakan garis tersebut selain dibatasi oleh nilai yang telah

ditentukan, juga dibatasi oleh jumlah iterasi yang telah ditentukan

yaitu 1000 iterasi. Artinya, setelah 1000 iterasi jika ditemukan


pembuat nol real, yaitu 0.

Fungsi tidak memiliki nilai

ekstrem lokal.


pembuat nol real yang berbeda

dengan 2 pasang pembuat nol

kembar.


lokal. Ada 2 nilai ekstrem lokal

yang terjadi pada pembuat nol

real selain 0.


pembuat nol real.


ekstrem lokal.


pembuat nol real.


lokal.


ekstrem lokal.


187

terdapat 1 titik potong maka proses perulangan berhenti. Jika

sebelum iterasi ke-1000 terdapat lebih dari 1 titik potong, maka

proses perulangan juga berhenti. Titik-titik potong tersebut menjadi

batas bawah dan batas atas pada interval yang menjamin fungsi h

unimodal pada interval tersebut.

d. Setelah mengetahui interval yang menjamin fungsi unimodal

pada interval tersebut, langkah selanjutnya adalah memeriksa nilai

ekstrem lokal yang termuat dalam interval tersebut merupakan nilai

ekstrem lokal maksimum atau minimum. Pada langkah ini proses

yang dilakukan adalah memeriksa nilai fungsi pada batas bawah

interval dan nilai fungsi di dekat batas bawah sebelah kanan. Hal

ini dilakukan untuk memeriksa kondisi awal fungsi pada interval

tersebut. Jika kondisi awal fungsi pada interval tersebut naik, maka

pada interval tersebut memuat nilai ekstrem lokal maksimum.

Sedangkan jika kondisi awal fungsi pada interval tersebut turun,

maka pada interval tersebut memuat nilai ekstrem lokal minimum.

e. Jika telah diketahui interval yang menjamin fungsi unimodal

pada interval tersebut dan mengetahui nilai ekstrem lokal minimum

atau maksimum yang terletak pada interval tersebut, maka proses

yang selanjutnya adalah menentukan nilai ekstrem lokal fungsi

menggunakan metode Golden Section Search dengan panjang

interval akhir atau .


188

f. Setelah mendapatkan nilai ekstrem lokal fungsi , nilai ekstrem

lokal fungsi dapat diperoleh dengan melakukan translasi kembali

dari fungsi ke fungsi .

B. Saran

Adapun saran-saran yang dapat penulis berikan bagi penelitian

selanjutnya adalah sebagai berikut.

1. Fungsi polinomial yang dibahas pada penelitian ini adalah fungsi

polinomial berderajat 5, khususnya fungsi polinomial berderajat 5

yang simetris. Penelitian selanjutnya dapat membahas tentang nilai

ekstrem dari fungsi polinomial berderajat 5 secara umum atau fungsi

polinomial dengan derajat yang lebih tinggi tanpa menggunakan

konsep turunan.

2. Pada analisis banyaknya nilai ekstrem untuk kasus 6, ditemukan bahwa

ada 2 kemungkinan yaitu fungsi memiliki nilai ekstrem lokal dan

fungsi tidak memiliki nilai ekstrem lokal. Pada penelitian ini masih

terdapat kekurangan dalam mengidentifikasi fungsi polinomial untuk

kasus 6 termasuk fungsi yang memiliki nilai ekstrem lokal atau tidak

memiliki nilai ekstrem lokal, tanpa menggunakan konsep turunan.

Oleh karena itu, penelitian selanjutnya dapat membahas bagaimana

mengidentifikasi fungsi polinomial berderajat 5 untuk kasus 6

sehingga dapat menentukan fungsi tersebut mempunyai nilai ekstrem

lokal atau tidak memiliki nilai ekstrem lokal.


189

DAFTAR PUSTAKA

Aufmann, Barker dan Nation, Richard. (1990). College Algebra. Boston :

Houghton Mifflin Company.

Ayuningtyas, Setyarini, dan Retnosari. (2016). Permasalahan Optimasi pada

Fungsi Polinomial Berderajat Tinggi tanpa Melibatkan Konsep Turunan.

Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains X UKSW. 28

Mei 2016, hlm 54-63.

Bardell & Spitzbart. (1958). College Algebra and Plane Trigonometry.

Massachusetts:Addison-Wesley Publishing Company Inc.

Barbeau, E.J. (2003). Polynomials. New York : Springer-Verlag.

Carico, Charles C. (1984). College Algebra with Analytival Geometry. USA :

John Wiley & Sons, Inc.

Clapham, C. (1990). A Concise Oxford Dictionary of Mathematics. New York :

Oxford University Press.

Chapra, Steven C. & Raymond P. Canale. (2010). Numerical Methods for

Engineers: With Software and Programming Applications”, 6th

edition,

New York: McGraw-Hill Company, Inc.

Departemen Pendidikan dan Kebudayaan. (1995). Kamus Aljabar. Jakarta. ISBN :

979-459-578-0

de Villiers, M. (2004). All Cubic Polynomial are Point Symmetric. Learning and

Teaching Mathematics, 1, 12-15.

Fitriani, R. (2013). Algoritma Golden Section Search untuk Mencari Solusi

Optimal pada Pemrograman Non Linear Tanpa Kendala. [pdf]

(http://rahmafitriani.lecture.ub.ac.id/files/2013/09/4Algoritma-Golden-

Section-Search diakses tanggal 5 Desember 2016)

Gohle, G., & Kobayasi, M. (2013). Polynomial Graphs and Symmetry. The

Collage Mathematics Journal, 44(1), 3-42.

Hvidsten, Michael. Geometry with Geometry Explorer. (2005). New York : The

McGraw-Hill Companies, Inc.


http://rahmafitriani.lecture.ub.ac.id/files/2013/09/4Algoritma-Golden-Section-Search.ppt

http://rahmafitriani.lecture.ub.ac.id/files/2013/09/4Algoritma-Golden-Section-Search.ppt

190

Knott, R. (2010). Fibonacci Numbers and The Golden Section [online].

http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fib.html

(diakses 17 Mei 2017)

Livio, Mario. (2003). The Golden Ratio : The Story of Phi, the World’s Most

Astonishing Number. New York : Broadway Book.

Loveless. (2011). Fundamental Theorem of Algebra [pdf].

https://sites.math.washington.edu/~aloveles/Math300Summer2011/Funda

mentalTheoremOfAlgebra.pdf (diakses 24 Maret 2017)

Lumen Platform. Recognize Characteristics Graphs of Polynomials Function

[photo]. https://courses.lumenlearning.com/precalcone/chapter/recognize-

characteristics-of-graphs-of-polynomial-functions/ (diakses 16 Maret

2017)

Meserve, E. Bruce. (1959). Fundamental Concepts Of Algebra. Massachusetts :

Addison-Wesley Publishing Company, Inc.

Prayudi. (2006). Kalkulus Fungsi Satu Variabel. Yogyakarta : Graha Ilmu.

Priswanto, Ferry. (2005). Metode Numeris Untuk Menemukan Ekstrem Fungsi n-

Variabel Tanpa Kendala (Skripsi). Yogyakarta : Universitas Sanata

Dharma.

Swokowski dan Cole. (2004). Fundamentals of Algebra, 11th

edition. USA :

Thomson Brooks.

Stewart, James. Alih bahasa oleh Chriswan Sungkono. (2009). Calculus. Jakarta :

Salemba Teknika.

Suryawan, Herry P. (2016). Kalkulus Diferensial. Yogyakarta : Sanata Dharma

University Press.

Taylor, R.D., & Hanses, R. (2008). Optimization of Cubic Polynomial Function

without Calculus. Journal of The Mathematics Teacher, 101(6), 408-411.


http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fib.html

https://sites.math.washington.edu/~aloveles/Math300Summer2011/FundamentalTheoremOfAlgebra.pdf

https://sites.math.washington.edu/~aloveles/Math300Summer2011/FundamentalTheoremOfAlgebra.pdf

https://courses.lumenlearning.com/precalcone/chapter/recognize-characteristics-of-graphs-of-polynomial-functions/

https://courses.lumenlearning.com/precalcone/chapter/recognize-characteristics-of-graphs-of-polynomial-functions/

191

LAMPIRAN

1. Code Program MATLAB

2. Contoh Hasil Perhitungan MATLAB Kasus 1







192

1. Code Program MATLAB

Berikut adalah code program MATLAB untuk menentukan nilai ekstrem

lokal pada fungsi polinomial berderjaat 5 yang simetris.

a. Code Program dalam M_file inisiasi_dan_uji simetris, yang memuat proses

inisasi dan menguji kesimetrisan fungsi.

%Membuat Program Metode Golden Section Search untuk Polinomial

Pangkat 5 clear all close all

%input koefisien Polinomial disp('------------------------------------'); disp('Inisiasi Fungsi Polinomial Pangkat 5'); disp('------------------------------------'); a=input('masukkan koefisien x^5 : '); b=input('masukkan koefisien x^4 : '); c=input('masukkan koefisien x^3 : '); d=input('masukkan koefisien x^2 : '); e=input('masukkan koefisien x : '); f=input('masukkan konstanta : '); disp(' ');

disp(['g(x)= ',num2str(a),'*x^5 + (',num2str(b),')*x^4 +

(',num2str(c),')*x^3 + (',num2str(d),')*x^2 + (',num2str(e),')*x +

(',num2str(f),')']) G=[a b c d e f] %Matriks yg berisi Koefisien Polinomial disp(' '); %Uji Simetris Grafik Fungsi disp('------------------------------'); disp('Uji Kesimetrisan Grafik Fungsi'); disp('------------------------------');

m= -b/(5*a); n=polyval(G,m); disp(['Asumsi fungsi memiliki titik simetris di

(',num2str(m),',',num2str(n),')'])

%Pengujian Fungsi g simetris di titik (m,n) S= (((4*(b^3))/(25*(a^2))))-((3*b*c)/(5*a))+d

if S==0 disp(['Fungsi polinomial tersebut simetris di

(',num2str(m),',',num2str(n),')']) disp('Ketik lanjut_translasi untuk melanjutkan proses') disp('==============================================='); else disp('Fungsi polinomial tersebut tidak simetris dan program

tidak dapat dilanjutkan. Program selesai.')

disp('========================================================='); end disp(' ');


193

b. Code Program dalam M-file lanjut_translasi, yang memuat proses

translasi, menentukan pembuat nol dan menentukan banyaknya titik

ekstrem lokal

disp('-----------------------------------------------'); disp([‘Proses Translasi Fungsi g dengan vektor (-',num2str(m),',-

',num2str(n),')']); disp('-----------------------------------------------') %Translasi fungsi G dengan menggeser titik (m,n) ke (0,0) a1=a; b1=10*a*(m^2) + 4*b*m + c; c1=5*a*(m^4) + 4*b*(m^3) + 3*c*(m^2) + 2*d*m + e;

%Perhitungan diperoleh dari proses translasi polinomial secara

umum b=0; d=0; f=0; %Peta dari G setelah ditranslasi oleh vektor (m,n) menjadi H %H merupakan fungsi ganjil sehingga suku-suku yg termuat

adalah x^5, x^3 dan x H=[a1 b b1 d c1 f] %Matriks koefisien dari peta fungsi g setelah

ditranslasi %Pencarian akar-akar dari fungsi h selain x=0 Disk=(b1^2)-(4*a1*c1) p1=(-b1+sqrt(Disk))/(2*a1); p2=(-b1-sqrt(Disk))/(2*a1); K=[1 0 -p1]; L=[1 0 -p2]; akar1=sort(roots(K)) akar2=sort(roots(L))

%Penentuan Banyaknya Titik Puncak yg dimiliki if Disk>0 if (p1>0)&&(p2>0) %Kasus1 disp('Fungsi h mempunyai 5 akar real dan 4 nilai ekstrem

dengan 2 titik maksimum dan 2 titik minimum') %next gunakan selang

yg sudah ada disp('Fungsi h bersifat unimodal pada interval :')

disp(['[',num2str(min(akar1(1),akar2(1))),',',num2str(max(akar1(1)

,akar2(1))),']']) disp(['[',num2str(max(akar1(1),akar2(1))),', 0]']) disp(['[0,',num2str(min(akar1(2),akar2(2))),']'])

disp(['[',num2str(min(akar1(2),akar2(2))),',',num2str(max(akar1(2)

,akar2(2))),']']) disp(' '); disp('Ketik lanjut_1 untuk melanjutkan proses mencari

nilai ekstrem.');%next to other program else if (p1<0)&(p2<0)%Kasus3 disp('Fungsi h mempunyai 1 akar real yaitu x=0 dan

tidak mempunyai nilai ekstrem') disp('Fungsi g tidak mempunyai nilai ekstrim. Program

selesai.') disp('--------------END---------------------------'); else %Kasus2


194

disp('Fungsi h mempunyai 3 akar real dan 2 nilai

ekstrem dengan 1 titik maksimum dan 1 titik minimum') %next

gunakan selang yang sudah ada disp('Fungsi h bersifat unimodal pada interval :') if p1>0 disp(['[',num2str(min(akar1)),', 0]']) ak=min(akar1); disp(['[0,',num2str(max(akar1)),']']) ak2=max(akar1); else disp(['[',num2str(min(akar2)),', 0]']) ak=min(akar2); disp(['[0,',num2str(max(akar2)),']']) ak2=max(akar2); end disp(' '); disp('Ketik lanjut_2 untuk melanjutkan proses mencari

nilai ekstrem');%next to other program end end else if Disk==0 if (p1>0) %Kasus4 disp('Fungsi h mempunyai 5 akar real (ada 2 pasang kembar)

dan 4 nilai ekstrem dengan 2 titik maksimum dan 2 titik minimum,

dimana akar selain 0 jadi absis puncak') disp('Fungsi h bersifat unimodal pada interval :') disp(['(',num2str(min(akar1)),', 0]']) disp(['[0,',num2str(max(akar1)),')']) disp(' ') disp('Ketik lanjut_4 untuk melanjutkan proses mencari

nilai ekstrem');%next to other program else %Kasus5 disp('Fungsi h mempunyai 1 akar real dan tidak memiliki

nilai ekstrem.') disp('Fungsi g tidak mempunyai nilai ekstrem. Program

selesai.') disp('-------------------END-------------------------'); end else %Kasus6 disp('Fungsi h mempunyai 1 akar real. Ada kemungkinan memiliki

nilai ekstrem.') %next to other program disp('Ketik lanjut_coba') end end


195

c. Code Program dalam M-File lanjut_coba, yang memuat proses

pengujian pada kasus 6

%Pengujian Fungsi h pada Kasus 6 %Tujuan dari program ini adalah : %menentukan apakah fungsi h pada kasus 6 memiliki nilai ekstrem

disp('----------------------------------------------------'); disp(' Pengujian Fungsi h pada Kasus 6 ') disp('----------------------------------------------------'); f=0; k=0.1; %Pada program bagian pengujian ini, banyaknya iterasi

dibatasi hingga 1000 %konstanta pergerakan sumbu X menggunanakan k=0.1 f=f+k; r=0; iter=0;

while r<=1 & iter<1000 T=[0 0 0 0 0 f]; L=(H-T); akr=sort(roots(L)); for i=1:5 if imag(akr(i))==0 r=r+1; end end

if r>1 %Kasus 6.a k_i=f; disp(['Fungsi h memiliki ',num2str(r),' titik potong antara

y=',num2str(k_i),' dan y=h(x)']) for i=1:5 if imag(akr(i))==0 disp(akr(i)) end end disp(['Fungsi h juga memiliki ',num2str(r),' titik potong

antara y=',num2str(-1*k_i),' dan y=h(x)']) Z=[0 0 0 0 0 k_i]; J=(H+Z); akr2=sort(roots(J)); for i=1:5 if imag(akr2(i))==0 disp(akr2(i)) end end

if akr(2)==akr(3) %Kasus 6.a.(ii) disp(['Nilai ekstrem fungsi h terjadi pada

',num2str(akr(2)),' dan ',num2str(akr2(2))]); disp('Fungsi h unimodal pada :') disp(['[',num2str(akr(1)),',',num2str(akr(2)),']']) disp(['[',num2str(akr2(1)),',',num2str(akr2(2)),']'])


196

disp('Ketik lanjut_6.a.ii untuk melanjutkan proses

mencari nilai ekstrem lokal') else %Kasus 6.a.(i) disp('Fungsi h unimodal pada :') disp(['[',num2str(akr(1)),',',num2str(akr(2)),']']) disp(['[',num2str(akr(2)),',',num2str(akr(3)),']']) disp(['[',num2str(akr2(1)),',',num2str(akr2(2)),']']) disp(['[',num2str(akr2(2)),',',num2str(akr2(3)),']']) disp(' ') disp('Ketik lanjut_6.a.i untuk melanjutkan proses

mencari nilai ekstrem lokal') end else

r=0; f=f+k; iter=iter+1; end end

if iter==1000 disp('Hasil sementara di proses ini dengan 1000 iterasi dan

k=0.1, belum ditemukan nilai ekstrem dari fungsi h') disp('----------------------END-------------------------------

-------'); end

d. Code Program dalam M-file lanjut_1, yang memuat proses

menentukan nilai ekstrem lokal pada kasus 1.

disp('============================================================

====');

%Uji Nilai Fungsi H dengan arah x=0 ke kanan disp('----------------------------------------------------'); disp(' Pengujian Nilai Fungsi pada Interval ') disp('----------------------------------------------------');

disp('Fungsi h bersifat unimodal pada interval :') disp(['[',num2str(min(akar1(1),akar2(1))),',',num2str(max(akar1(1)

,akar2(1))),']']) disp(['[',num2str(max(akar1(1),akar2(1))),', 0]']) disp(['[0,',num2str(min(akar1(2),akar2(2))),']']) disp(['[',num2str(min(akar1(2),akar2(2))),',',num2str(max(akar1(2)

,akar2(2))),']'])

disp(' '); disp('Pengujian akan dilakukan hanya pada arah x=0 ke kanan') disp('Lakukan Pengujian Interval sebanyak 2 kali') disp(' ');

i=1;


197

while i<=2 if i==1 disp('----------------------------------------------------'); disp([' Uji Pertama dilakukan pada selang

[0,',num2str(min(akar1(2),akar2(2))),']']) disp('----------------------------------------------------'); disp('Nilai x minimum pada selang yang akan diuji: 0') disp(['Nilai x maximum pada selang yang akan

diuji:',num2str(min(akar1(2),akar2(2)))]) disp(' '); %uji selang [x0,xt] x0=0; xt=min(akar1(2),akar2(2)); %Fungsi h unimodal pada [x0,xt] delta=(1/10)*(abs(xt-x0));

x1=x0+delta; %uji nilai fungsi di dekat sebelah kanan x0 y1=polyval(H,x0); y2=polyval(H,x1);

if y1 < y2 disp('-----Ada titik maksimum lokal di selang tersebut----

-') disp(' '); %Golden-Section Search Part

disp('===================================================='); disp('Pencarian Nilai Maksimum Lokal dengan Golden Section'); disp('===================================================='); eps=1*(10^-6); R=(5^0.5 - 1)/2;

xl=x0; xh=xt;

del=R*(xh-xl);

x1=xl+del; x2=xh-del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2);

while abs(xh-xl)>eps if y2>y1 xh=x1; x1=x2;

del=R*(xh-xl); x2=xh-del;

y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); else xl=x2; x2=x1;


198

del=R*(xh-xl); x1=xl+del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); end end if y1<y2 Ax=x1; Ay=y1; else Ax=x2; Ay=y2; end disp(['Titik maksimum lokal fungsi h terletak di:

(',num2str(Ax),',',num2str(Ay),')']) disp(' '); Ax1=x1+m; Ay1=y1+n; %Nilai ekstrem lokal dari fungsi g

else disp('---Ada titik minimum lokal di selang tersebut---') disp(' '); %Case minimum Golden Section Search

disp('==================================================='); disp('Pencarian Nilai Minimum Lokal dengan Golden Section');

disp('==================================================='); eps=0.01*(10^-4); R=(5^0.5 - 1)/2; xl=x0; xh=xt; del=R*(xh-xl); x1=xl+del; x2=xh-del;

y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2);

while abs(xh-xl)>eps if y2<y1 xh=x1; x1=x2; del=R*(xh-xl); x2=xh-del;

y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); else xl=x2; x2=x1; del=R*(xh-xl); x1=xl+del;

y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); end end


199

if y1<=y2 Bx=x1; By=y1; else Bx=x2; By=y2; end disp(['Titik minimum lokal fungsi h terletak di:

(',num2str(Bx),',',num2str(By),')']) disp(' '); disp(' '); Bx1=x1+m; By1=y1+n; %Nilai ekstrem lokal dari fungsi g

end

else disp('----------------------------------------------------'); disp([' Uji Kedua dilakukan pada selang

[',num2str(min(akar1(2),akar2(2))),',',num2str(max(akar1(2),akar2(

2))),']']) disp('----------------------------------------------------'); disp(['Nilai x minimum pada selang yang akan

diuji:',num2str(min(akar1(2),akar2(2)))]) disp(['Nilai x maximum pada selang yang akan

diuji:',num2str(max(akar1(2),akar2(2)))]) disp(' ');

%uji selang [x0,xt] x0=min(akar1(2),akar2(2)); xt=max(akar1(2),akar2(2)); %Fungsi h unimodal pada [x0,xt] delta=(1/10)*(abs(xt-x0));

x1=x0+delta; y1=polyval(H,x0); y2=polyval(H,x1); if y1 < y2 disp('----Ada titik maksimum lokal di selang tersebut---') disp(' '); %Golden-Section Search Part

disp('===================================================='); disp('Pencarian Nilai Maksimum Lokal dengan Golden Section');

disp('===================================================='); eps=0.01*(10^-4); R=(5^0.5 - 1)/2;

xl=x0; xh=xt;

del=R*(xh-xl);



200



y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); else xl=x2; x2=x1; del=R*(xh-xl); x1=xl+del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); end end if y1>=y2 Ax=x1; Ay=y1; else Ax=x2; Ay=y2; end disp(['Titik maksimum lokal fungsi h terletak di:

(',num2str(Ax),',',num2str(Ay),')']) disp(' '); Ax1=x1+m; Ay1=y1+n; %Nilai ekstrem lokal dari fungsi g

else disp('----Ada titik minimum lokal di selang tersebut---') disp(' '); %Case minimum Golden Section Search

disp('=================================================='); disp('Pencarian Nilai Minimum Lokal dengan Golden Section'); disp('=================================================='); eps=0.01*(10^-4); R=(5^0.5 - 1)/2; xl=x0; xh=xt;

del=R*(xh-xl); x1=xl+del; x2=xh-del;


while abs(xh-xl)>eps if y2<y1 xh=x1; x1=x2;


201



y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); end end if y1<=y2 Bx=x1; By=y1; else Bx=x2; By=y2; end disp(['Titik minimum lokal fungsi h terletak di:

(',num2str(Bx),',',num2str(By),')']) disp(' '); disp(' '); Bx1=x1+m; By1=y1+n; %Nilai ekstrem lokal dari fungsi g

end end

i=i+1; end

disp('Ketik lanjut_final untuk mengetahui semua titik ekstrem

fungsi g'); disp('==========================================================')

;


202

e. Code Program dalam M-file lanjut_2, yang memuat proses


disp('======================================================');

%Uji Nilai Fungsi H dengan arah x=0 ke kanan disp('----------------------------------------------------'); disp(' Pengujian Nilai Fungsi pada Interval ') disp('----------------------------------------------------');

disp('Fungsi h bersifat unimodal pada interval :') if p1>0 disp(['[',num2str(min(akar1)),', 0]']) ak=min(akar1); disp(['[0,',num2str(max(akar1)),']']) ak2=max(akar1); else disp(['[',num2str(min(akar2)),', 0]']) ak=min(akar2); disp(['[0,',num2str(max(akar2)),']']) ak2=max(akar2); end

disp(' '); disp('Pengujian akan dilakukan hanya pada arah x=0 ke kanan') disp('Lakukan Pengujian Interval sebanyak 1 kali') disp(' ');

disp('----------------------------------------------------'); disp([' Uji akan dilakukan pada selang

[0,',num2str(ak2),']']) disp('----------------------------------------------------'); disp('Nilai x minimum pada selang yang akan diuji: 0') disp(['Nilai x maximum pada selang yang akan

diuji:',num2str(ak2)]) disp(' '); %uji selang [x0,xt] x0=0; xt=ak2; %Fungsi h unimodal pada [x0,xt] delta=(1/10)*(abs(xt-x0));

x1=x0+delta; y1=polyval(H,x0); y2=polyval(H,x1);



disp('=========================================================');


203

disp(' Pencarian Nilai Maksimum Lokal dengan Golden Section '); disp('========================================================='); eps=0.01*(10^-4); R=(5^0.5 - 1)/2;

xl=x0; xh=xt;

del=R*(xh-xl);




y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); else xl=x2; x2=x1; del=R*(xh-xl); x1=xl+del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); end end if y1>=y2 Ax=x1; Ay=y1; else Ax=x2; Ay=y2; end disp(['Titik maksimum lokal fungsi h terletak di:

(',num2str(Ax),',',num2str(Ay),')']) disp(' '); Bx=0; disp(' '); else disp('-----Ada titik minimum lokal di selang tersebut-----

') disp(' '); %Case minimum Golden Section Search

disp('========================================================='); disp(' Pencarian Nilai Minimum Lokal dengan Golden Section'); disp('========================================================='); eps=0.01*(10^-4); R=(5^0.5 - 1)/2;


204

xl=x0; xh=xt; del=R*(xh-xl); x1=xl+del; x2=xh-del;





(',num2str(Bx),',',num2str(By),')']) disp(' '); disp(' '); Ax=0; disp(' '); end disp('Ketik lanjut_final untuk mengetahui semua titik ekstrem

fungsi g'); disp('==========================================================')

;

f. Code Program dalam M-file lanjut_4, yang memuat proses


disp('========================================================='); %Uji Nilai Fungsi H dengan arah x=0 ke kanan disp('----------------------------------------------------'); disp(' Pengujian Nilai Fungsi pada Interval ') disp('----------------------------------------------------');

disp('Fungsi h bersifat unimodal pada interval :') disp(['(',num2str(min(akar1)),', 0]'])


205

ak=min(akar1); disp(['[0,',num2str(max(akar1)),')']) ak2=max(akar1);

disp(' '); disp('Pengujian akan dilakukan hanya pada arah x=0 ke kanan') disp('Lakukan pengujian sebanyak 1 kali.') disp(' ');

disp('----------------------------------------------------'); disp([' Uji akan dilakukan pada selang [0,',num2str(ak2),']']) disp('----------------------------------------------------'); disp('Nilai x minimum pada selang yang akan diuji: 0') disp(['Nilai x maximum pada selang yang akan

diuji:',num2str(ak2)]) disp(' '); %uji selang [x0,xt] x0=0; xt=ak2; %Fungsi h unimodal pada [x0,xt] delta=(1/10)*(abs(xt-x0));


if y1 < y2 disp('-----Ada titik maksimum lokal pada selang tersebut--

---') disp(' '); %Golden-Section Search Part

disp('===================================================='); disp('Pencarian Nilai Maksimum Lokal dengan Golden Section');

disp('===================================================='); eps=0.01*(10^-4); R=(5^0.5 - 1)/2;

xl=x0; xh=xt;

del=R*(xh-xl);





206

y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); else xl=x2; x2=x1; del=R*(xh-xl); x1=xl+del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); end end if y1>=y2 Ax=x1; Ay=y1; else Ax=x2; Ay=y2; end Bx=ak2; By=polyval(H,ak2); disp(['Titik maksimum lokal fungsi h terletak di:

(',num2str(Ax),',',num2str(Ay),')']) disp(['Titik minimum lokal fungsi h terletak di:

(',num2str(Bx),',',num2str(polyval(H,Bx)),')']) disp(' ');

else disp('-----Ada titik minimum lokal pada selang tersebut---

--') disp(' '); %Case minimum Golden Section Search

disp('==================================================='); disp('Pencarian Nilai Minimum Lokal dengan Golden Section'); disp('==================================================='); eps=0.01*(10^-4); R=(5^0.5 - 1)/2; xl=x0; xh=xt; del=R*(xh-xl); x1=xl+del; x2=xh-del;



y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); else xl=x2;


207

x2=x1; del=R*(xh-xl); x1=xl+del;

y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); end end if y1<=y2 Bx=x1; By=y1; else Bx=x2; By=y2; end Ax=ak2; Ay=polyval(H,ak2); disp(['Titik minimum lokal fungsi h terletak di:

(',num2str(Bx),',',num2str(By),')']) disp(['Titik maksimum lokal fungsi h terletak di:

(',num2str(Ax),',',num2str(polyval(H,Ax)),')']) disp(' '); disp(' '); end disp('Ketik lanjut_final untuk mengetahui semua titik ekstrem

fungsi g'); disp('=========================================================');

g. Code Program dalam M-file lanjut_6.a.i, yang memuat proses

menentukan nilai ekstrem lokal pada kasus 6.a.i.

disp('========================================================='); %Uji Nilai Fungsi H dengan arah x=0 ke kanan disp('----------------------------------------------------'); disp(' Pengujian Nilai Fungsi pada Interval ') disp('----------------------------------------------------'); disp(' '); disp('Pengujian akan dilakukan hanya pada arah x=0 ke kanan') disp('Lakukan Pengujian Interval sebanyak 2 kali') disp(' ');

disp('Fungsi h unimodal pada :') disp(['[',num2str(akr(1)),',',num2str(akr(2)),']']) disp(['[',num2str(akr(2)),',',num2str(akr(3)),']']) disp(' ') i=1;

while i<=2 if i==1 disp('----------------------------------------------------'); disp([' Uji Pertama dilakukan pada selang

[',num2str(akr(1)),',',num2str(akr(2)),']']) disp('----------------------------------------------------'); disp(['Nilai x minimum pada selang yang akan

diuji:',num2str(akr(1))]) disp(['Nilai x maximum pada selang yang akan

diuji:',num2str(akr(2))]) disp(' ');


208

%uji selang [x0,xt] x0=akr(1); xt=akr(2); %Fungsi h unimodal pada [x0,xt] delta=(1/10)*(abs(xt-x0));

x1=x0+delta; %uji nilai fungsi di dekat sebelah kanan x0 y1=polyval(H,x0); y2=polyval(H,x1);



disp('===================================================='); disp('Pencarian Nilai Maksimum Lokal dengan Golden Section'); disp('===================================================='); eps=0.01*(10^-4); R=(5^0.5 - 1)/2;

xl=x0; xh=xt;

del=R*(xh-xl);




y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); else xl=x2; x2=x1; del=R*(xh-xl); x1=xl+del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); end end if y1>=y2 Ax=x1; Ay=y1; else Ax=x2; Ay=y2;


209

end disp(['Titik maksimum lokal fungsi h terletak di:

(',num2str(Ax),',',num2str(Ay),')']) disp(' ');

else disp('----Ada titik minimum lokal di selang tersebut----') disp(' '); %Case minimum Golden Section Search






(',num2str(Bx),',',num2str(By),')']) disp(' '); end else disp('----------------------------------------------------');


210

disp([' Uji Kedua dilakukan pada selang



diuji:',num2str(akr(3))]) disp(' ');

%uji selang [x0,xt] x0=akr(2); xt=akr(3); %Fungsi h unimodal pada [x0,xt] delta=(1/10)*(abs(xt-x0));

x1=x0+delta; y1=polyval(H,x0); y2=polyval(H,x1); if y1 < y2 disp('----Ada titik maksimum lokal di selang tersebut---') disp(' '); %Golden-Section Search Part


xl=x0; xh=xt;

del=R*(xh-xl);




y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); else xl=x2; x2=x1; del=R*(xh-xl); x1=xl+del; y1=polyval(H,x1);


211

y2=polyval(H,x2); end end if y1>=y2 Ax=x1; Ay=y1; else Ax=x2; Ay=y2; end disp(['Titik maksimum lokal fungsi h terletak di:

(',num2str(Ax),',',num2str(Ay),')']) disp(' ');

else disp('----Ada titik minimum lokal di selang tersebut----') disp(' '); %Case minimum Golden Section Search

disp('==================================================='); disp('Pencarian Nilai Minimum Lokal dengan Golden Section');

disp('==================================================='); eps=0.01*(10^-4); R=(5^0.5 - 1)/2; xl=x0; xh=xt;

del=R*(xh-xl); x1=xl+del; x2=xh-del;




y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); end end if y1<=y2 Bx=x1; By=y1; else Bx=x2; By=y2;


212

end disp(['Titik minimum lokal fungsi h terletak di:

(',num2str(Bx),',',num2str(By),')']) disp(' '); end end

i=i+1; end

disp('Ketik lanjut_final untuk mengetahui semua titik ekstrem

fungsi g'); disp('=========================================================');

h. Code Program dalam M-file lanjut_6.a.ii, yang memuat proses

menentukan nilai ekstrem lokal pada kasus 6.a.ii.

disp('=========================================================');

%Uji Nilai Fungsi H dengan arah x=0 ke kanan disp('----------------------------------------------------'); disp(' Pengujian Nilai Fungsi pada Interval ') disp('----------------------------------------------------'); disp(['Nilai ekstrem fungsi h terjadi pada ',num2str(akr(2)),' dan

',num2str(akr2(2))]);

disp('Fungsi h unimodal pada :') disp(['[',num2str(akr(1)),',',num2str(akr(2)),']']) disp(['[',num2str(akr2(1)),',',num2str(akr2(2)),']'])

disp(' '); disp('Pengujian akan dilakukan hanya pada arah x=0 ke kanan') disp('Lakukan pengujian sebanyak 1 kali.') disp(' ');

disp('----------------------------------------------------'); disp([' Uji akan dilakukan pada selang



diuji:',num2str(akr(2))]) disp(' '); %uji selang [x0,xt] x0=0; xt=ak2; %Fungsi h unimodal pada [x0,xt] delta=(1/10)*(abs(xt-x0));



213

if y1 < y2 disp('---Ada titik maksimum lokal pada selang tersebut--') disp(' '); %Golden-Section Search Part


xl=x0; xh=xt;

del=R*(xh-xl);




y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); else xl=x2; x2=x1; del=R*(xh-xl); x1=xl+del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); end end if y1>=y2 Ax=x1; Ay=y1; else Ax=x2; Ay=y2; end Bx=akr(2); By=polyval(H,akr(2)); disp(['Titik maksimum lokal fungsi h terletak di:

(',num2str(Ax),',',num2str(Ay),')']) disp(['Titik minimum lokal fungsi h terletak di:

(',num2str(Bx),',',num2str(By),')']) disp(' '); else disp('--Ada titik minimum lokal pada selang tersebut---')


214

disp(' '); %Case minimum Golden Section Search





y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); end end if y1<=y2 Bx=x1; By=y1; else Bx=x2; By=y2; end Ax=akr(2); Ay=polyval(H,akr(2));

disp(['Titik minimum lokal fungsi h terletak di:

(',num2str(Bx),',',num2str(By),')']) disp(['Titik maksimum lokal fungsi h terletak di:

(',num2str(Ax),',',num2str(Ay),')']) disp(' '); disp(' '); end disp('Ketik lanjut_final untuk mengetahui semua titik ekstrem

fungsi g'); disp('=======================================================');


215

i. Code Program dalam M-file lanjut_final, yang memuat proses

menentukan nliai ekstrem lokal pada fungsi awal.

%Penentuan Nilai Ekstrem Fungsi g disp('----------------------------------------------------'); disp(' Penentuan Nilai Lokal Ekstrem Fungsi g ') disp('----------------------------------------------------'); if (Ax~=0) & (Bx~=0) Ax1=Ax+m; Ax2=-Ax+m; %Ax adalah absis titik maksimum dari h, Ax2

adalah absis titik minimum dari g Ay1=Ay+n; Ay2=-Ay+n; %Ay adalah nilai lokal maksimum dari h, Ay2

adalah nilai lokal minimum dari g Bx1=Bx+m; Bx2=-Bx+m; %Bx adalah absis titik minimum dari h, Bx2

adalah absis titik maksimum dari g By1=By+n; By2=-By+n; %By adalah nilai lokal minimum dari h, By2

adalah nilai lokal maksimum dari g disp('----------------------------------------------------'); disp(' Titik Maksimum & Minimum Lokal Fungsi g '); disp('----------------------------------------------------'); disp(['Titik minimum lokal fungsi g terletak di:

(',num2str(Bx1),',',num2str(By1),')']) disp(['Titik minimum lokal fungsi g terletak di:

(',num2str(Ax2),',',num2str(Ay2),')']) disp(' '); disp(['Titik maksimum lokal fungsi g terletak di:

(',num2str(Ax1),',',num2str(Ay1),')']) disp(['Titik maksimum lokal fungsi g terletak di:

(',num2str(Bx2),',',num2str(By2),')']) else

if Ax~=0 Ax1=Ax+m; Ax2=-(Ax)+m; %Ax adalah absis titik maksimum dari h,

Ax2 adalah absis titik minimum dari g Ay1=Ay+n; Ay2=-Ay+n; %Ay adalah nilai lokal maksimum dari h, Ay2

adalah nilai lokal minimum dari g disp('-------------------------------------------------'); disp(' Titik Maksimum & Minimum Lokal Fungsi g '); disp('-------------------------------------------------'); disp(['Titik maksimum lokal fungsi g terletak di:

(',num2str(Ax1),',',num2str(Ay1),')']) disp(['Titik minimum lokal fungsi g terletak di:

(',num2str(Ax2),',',num2str(Ay2),')']) else Bx1=Bx+m; Bx2=-Bx+m; %Bx adalah absis titik minimum dari h, Bx2

adalah absis titik maksimum dari g By1=By+n; By2=-By+n;


216

disp('------------------------------------------------'); disp(' Titik Maksimum & Minimum Lokal Fungsi g '); disp('------------------------------------------------'); disp(['Titik minimum lokal fungsi g terletak di:

(',num2str(Bx1),',',num2str(By1),')']) disp(['Titik maksimum lokal fungsi g terletak di:

(',num2str(Bx2),',',num2str(By2),')']) end end


217

2. Contoh Hasil Perhitungan MATLAB Kasus 1 >> inisiasi_dan_uji_simetris

------------------------------------

Inisiasi Fungsi Polinomial Pangkat 5

------------------------------------

masukkan koefisien x^5 : 1




masukkan koefisien x : 24

masukkan konstanta : 2

g(x)= 1*x^5 + (10)*x^4 + (35)*x^3 + (50)*x^2 + (24)*x + (2)

G =

1 10 35 50 24 2

------------------------------

Uji Kesimetrisan Grafik Fungsi

------------------------------

Asumsi fungsi memiliki titik simetris di (-2,2)

S =

0

Fungsi polinomial tersebut simetris di (-2,2)

Ketik lanjut_translasi untuk melanjutkan proses

===============================================

>> lanjut_translasi

-----------------------------------------------

Proses Translasi Fungsi g dengan vektor (--2,-2)

-----------------------------------------------

H =

1 0 -5 0 4 0

Disk =

9

akar1 =

-2.0000

2.0000

akar2 =

-1

1

Fungsi h mempunyai 5 akar real dan 4 nilai ekstrem dengan 2

titik maksimum dan 2 titik minimum

Fungsi h bersifat unimodal pada interval :

[-2,-1]

[-1, 0]

[0,1]

[1,2]


218

Ketik lanjut_1 untuk melanjutkan proses mencari nilai

ekstrem.

>> lanjut_1

===========================================================

----------------------------------------------------

Pengujian Nilai Fungsi pada Interval

----------------------------------------------------


[-2,-1]

[-1, 0]

[0,1]

[1,2]

Pengujian akan dilakukan hanya pada arah x=0 ke kanan

Lakukan Pengujian Interval sebanyak 2 kali

----------------------------------------------------

Uji Pertama dilakukan pada selang [0,1]

----------------------------------------------------

Nilai x minimum pada selang yang akan diuji: 0

Nilai x maximum pada selang yang akan diuji:1

-----Ada titik maksimum lokal di selang tersebut-----

====================================================

Pencarian Nilai Maksimum Lokal dengan Golden Section

====================================================

Titik maksimum lokal fungsi h terletak di: (0.54391,1.4187)

----------------------------------------------------

Uji Kedua dilakukan pada selang [1,2]

----------------------------------------------------

Nilai x minimum pada selang yang akan diuji:1

Nilai x maximum pada selang yang akan diuji:2

-----Ada titik minimum lokal di selang tersebut-----

==================================================

Pencarian Nilai Minimum Lokal dengan Golden Section

==================================================

Titik minimum lokal fungsi h terletak di: (1.6444,-3.6314)

Ketik lanjut_final untuk mengetahui semua titik ekstrem

fungsi g

===========================================================

>> lanjut_final

----------------------------------------------------

Penentuan Nilai Lokal Ekstrem Fungsi g

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

Titik Maksimum & Minimum Lokal Fungsi g

----------------------------------------------------

Titik minimum lokal fungsi g terletak di: (-0.35557,-1.6314)

Titik minimum lokal fungsi g terletak di: (-2.5439,0.5813)

Titik maksimum lokal fungsi g terletak di: (-1.4561,3.4187)

Titik maksimum lokal fungsi g terletak di: (-3.6444,5.6314)


219


>> inisiasi_dan_uji_simetris

------------------------------------


------------------------------------

masukkan koefisien x^5 : -1






g(x)= -1*x^5 + (-5)*x^4 + (-9)*x^3 + (-7)*x^2 + (2)*x + (0)

G =

-1 -5 -9 -7 2 0

------------------------------


------------------------------

Asumsi fungsi memiliki titik simetris di (-1,-4)

S =

0

Fungsi polinomial tersebut simetris di (-1,-4)


===============================================

>> lanjut_translasi

-----------------------------------------------

Proses Translasi Fungsi g dengan vektor (--1,--4)

-----------------------------------------------

H =

-1 0 1 0 4 0

Disk =

17

akar1 =

0 - 1.2496i

0 + 1.2496i

akar2 =

-1.6005

1.6005

Fungsi h mempunyai 3 akar real dan 2 nilai ekstrem dengan 1

titik maksimum dan 1 titik minimum


[-1.6005, 0]

[0,1.6005]


ekstrem

>> lanjut_2

============================================================


220

----------------------------------------------------


----------------------------------------------------


[-1.6005, 0]

[0,1.6005]



----------------------------------------------------

Uji akan dilakukan pada selang [0,1.6005]

----------------------------------------------------


Nilai x maximum pada selang yang akan diuji:1.6005


============================================================


============================================================



fungsi g

============================================================

>> lanjut_final

----------------------------------------------------


----------------------------------------------------

----------------------------------------------------


----------------------------------------------------

Titik maksimum lokal fungsi g terletak di: (0.11508,0.12284)

Titik minimum lokal fungsi g terletak di: (-2.1151,-8.1228)


221



------------------------------------


------------------------------------






masukkan konstanta : -50

g(x)= 1*x^5 + (-10)*x^4 + (43)*x^3 + (-98)*x^2 + (118)*x +

(-50)

G =

1 -10 43 -98 118 -50

------------------------------


------------------------------

Asumsi fungsi memiliki titik simetris di (2,10)

S =

0

Fungsi polinomial tersebut simetris di (2,10)


===============================================

>> lanjut_translasi

-----------------------------------------------

Proses Translasi Fungsi g dengan vektor (-2,-10)

-----------------------------------------------

H =

1 0 3 0 2 0

Disk =

1

akar1 =

0 - 1.0000i

0 + 1.0000i

akar2 =

0 - 1.4142i

0 + 1.4142i

Fungsi h mempunyai 1 akar real yaitu x=0 dan tidak mempunyai

nilai ekstrem

Fungsi g tidak mempunyai nilai ekstrim. Program selesai.

-------------------END----------------------------------


222



------------------------------------


------------------------------------







g(x)= 2*x^5 + (-20)*x^4 + (72)*x^3 + (-112)*x^2 + (72)*x +

(-8)

G =

2 -20 72 -112 72 -8

------------------------------


------------------------------


S =

0



===============================================

>> lanjut_translasi

-----------------------------------------------


-----------------------------------------------

H =

2 0 -8 0 8 0

Disk =

0

akar1 =

-1.4142

1.4142

akar2 =

-1.4142

1.4142

Fungsi h mempunyai 5 akar real (ada 2 pasang kembar) dan 4

nilai ekstrem dengan 2 titik maksimum dan 2 titik minimum,

dimana akar selain 0 jadi absis puncak


(-1.4142, 0]

[0,1.4142)


ekstrem


223

>> lanjut_4

============================================================

----------------------------------------------------


----------------------------------------------------


(-1.4142, 0]

[0,1.4142)


Lakukan pengujian sebanyak 1 kali.

----------------------------------------------------

Uji akan dilakukan pada selang [0,1.4142]

----------------------------------------------------



-----Ada titik maksimum lokal pada selang tersebut-----

====================================================


====================================================


Titik minimum lokal fungsi h terletak di: (1.4142,0)


fungsi g

===========================================================

>> lanjut_final

----------------------------------------------------


----------------------------------------------------

----------------------------------------------------


----------------------------------------------------

Titik minimum lokal fungsi g terletak di: (3.4142,8)

Titik minimum lokal fungsi g terletak di: (1.3675,4.7618)

Titik maksimum lokal fungsi g terletak di: (2.6325,11.2382)

Titik maksimum lokal fungsi g terletak di: (0.58579,8)


224



------------------------------------


------------------------------------


masukkan koefisien x^4 : 5/2

masukkan koefisien x^3 : -4.5

masukkan koefisien x^2 : 17/4

masukkan koefisien x : -45/16

masukkan konstanta : 3.78125

g(x)= -1*x^5 + (2.5)*x^4 + (-4.5)*x^3 + (4.25)*x^2 + (-

2.8125)*x + (3.7813)

G =

-1.0000 2.5000 -4.5000 4.2500 -2.8125 3.7813

------------------------------


------------------------------

Asumsi fungsi memiliki titik simetris di (0.5,3)

S =

0

Fungsi polinomial tersebut simetris di (0.5,3)


===============================================

>> lanjut_translasi

-----------------------------------------------

Proses Translasi Fungsi g dengan vektor (-0.5,-3)

-----------------------------------------------

H =

-1 0 -2 0 -1 0

Disk =

0

akar1 =

0 - 1.0000i

0 + 1.0000i

akar2 =

0 - 1.0000i

0 + 1.0000i

Fungsi h mempunyai 1 akar real dan tidak memiliki nilai

ekstrem.

Fungsi g tidak mempunyai nilai ekstrem. Program selesai.

-------------------END----------------------------------


225


a. Kasus 6.a

1) Hasil Perhitungan pada Kasus 6 yang Memiliki Nilai Ekstrem dan

Berhasil Ditemukan Nilai Ekstrem


------------------------------------


------------------------------------







g(x)= 4*x^5 + (20)*x^4 + (35)*x^3 + (25)*x^2 + (7)*x +

(3)

G =

4 20 35 25 7 3

------------------------------


------------------------------

Asumsi fungsi memiliki titik simetris di (-1,2)

S =

0

Fungsi polinomial tersebut simetris di (-1,2)


===============================================

>> lanjut_translasi

-----------------------------------------------

Proses Translasi Fungsi g dengan vektor (--1,-2)

-----------------------------------------------

H =

4 0 -5 0 2 0

Disk =

-7

akar1 =

-0.8161 - 0.2026i

0.8161 + 0.2026i

akar2 =

0.8161 - 0.2026i

-0.8161 + 0.2026i

Fungsi h mempunyai 1 akar real. Ada kemungkinan

memiliki nilai ekstrem.

Ketik lanjut_coba

>> lanjut_coba


226

----------------------------------------------------

Pengujian Fungsi h pada Kasus 6

----------------------------------------------------

Fungsi h memiliki 3 titik potong antara y=0.4 dan

y=h(x)

0.2286

0.6385

0.8473

Fungsi h juga memiliki 3 titik potong antara y=-0.4

dan y=h(x)

-0.2286

-0.6385

-0.8473

Fungsi h unimodal pada :

[0.22863,0.63845]

[0.63845,0.84733]

[-0.22863,-0.63845]

[-0.63845,-0.84733]

Ketik lanjut_6_a_i untuk melanjutkan proses mencari

nilai ekstrem lokal

>> lanjut_6_a_i

=====================================================

----------------------------------------------------


----------------------------------------------------



Fungsi h unimodal pada :

[0.22863,0.63845]

[0.63845,0.84733]

----------------------------------------------------

Uji Pertama dilakukan pada selang [0.22863,0.63845]

----------------------------------------------------

Nilai x minimum pada selang yang akan diuji:0.22863



====================================================


====================================================

Titik maksimum lokal fungsi h terletak di:

(0.41647,0.52188)

----------------------------------------------------

Uji Kedua dilakukan pada selang [0.63845,0.84733]

----------------------------------------------------

Nilai x minimum pada selang yang akan diuji:0.63845



227

-----Ada titik minimum lokal di selang tersebut-----

===================================================

Pencarian Nilai Minimum Lokal dengan Golden Section

===================================================

Titik minimum lokal fungsi h terletak di:

(0.75931,0.33933)

Ketik lanjut_final untuk mengetahui semua titik

ekstrem fungsi g

======================================================

>> lanjut_final

----------------------------------------------------


----------------------------------------------------

----------------------------------------------------


----------------------------------------------------

Titik minimum lokal fungsi g terletak di: (-

0.24069,2.3393)

Titik minimum lokal fungsi g terletak di: (-

1.4165,1.4781)

Titik maksimum lokal fungsi g terletak di: (-

0.58353,2.5219)

Titik maksimum lokal fungsi g terletak di: (-

1.7593,1.6607)

2) Hasil Perhitungan pada Kasus 6 yang Memiliki Nilai Ekstrem dan

Tidak Berhasil Ditemukan Nilai Ekstrem, karena keterbatasan

jumlah iterasi dan konstanta pergeseran


------------------------------------


------------------------------------







g(x)= 450*x^5 + (-4500)*x^4 + (17250)*x^3 + (-

31500)*x^2 + (27450)*x + (-9200)

G =

450 -4500 17250 -31500 27450 -9200


228

------------------------------


------------------------------


S =

0



===============================================

>> lanjut_translasi

-----------------------------------------------


-----------------------------------------------

H =

450 0 -750 0 450 0

Disk =

-247500

akar1 =

-0.9574 - 0.2887i

0.9574 + 0.2887i

akar2 =

-0.9574 + 0.2887i

0.9574 - 0.2887i

Fungsi h mempunyai 1 akar real. Ada kemungkinan

memiliki nilai ekstrem.

Ketik lanjut_coba

>> lanjut_coba

----------------------------------------------------


----------------------------------------------------

Hasil sementara di proses ini dengan 1000 iterasi dan

k=0.1, belum ditemukan nilai ekstrem dari fungsi h

---------------------END------------------------------

b. Contoh Hasil Perhitungan MATLAB pada Kasus 6 yang Tidak

Memiliki Nilai Ekstrem


------------------------------------


------------------------------------





masukkan koefisien x : -22

masukkan konstanta : -8.5


229

g(x)= -1*x^5 + (-5)*x^4 + (-14)*x^3 + (-22)*x^2 + (-22)*x

+ (-8.5)

G =

-1.0000 -5.0000 -14.0000 -22.0000 -22.0000 -8.5000

------------------------------


------------------------------

Asumsi fungsi memiliki titik simetris di (-1,1.5)

S =

0

Fungsi polinomial tersebut simetris di (-1,1.5)


===============================================

>> lanjut_translasi

-----------------------------------------------

Proses Translasi Fungsi g dengan vektor (--1,-1.5)

-----------------------------------------------

H =

-1 0 -4 0 -5 0

Disk =

-4

akar1 =

0.3436 - 1.4553i

-0.3436 + 1.4553i

akar2 =

0.3436 + 1.4553i

-0.3436 - 1.4553i

Fungsi h mempunyai 1 akar real. Ada kemungkinan memiliki

nilai ekstrem.

Ketik lanjut_coba

>> lanjut_coba

--------------------------------------------------


--------------------------------------------------

Hasil sementara di proses ini dengan 1000 iterasi dan

k=0.1, belum ditemukan nilai ekstrem dari fungsi h

--------------------END---------------------------------


Documents

NILAI EKSTREM LOKAL FUNGSI POLINOMIAL BERDERAJAT 5 …repository.usd.ac.id/11195/2/131414039_full.pdf · iv HALAMAN PERSEMBAHAN “A great discovery solves a great problem but there