COSMOLOGIA

RELATIVÍSTICA

TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL

Gravidade não é uma força e sim consequência de que

o espaço-tempo não é plano

E-T curvo pela distribuição de

massa+energia nele contida

Teoria geral da gravitação!

Geometrias possíveis:

MÉTRICA DE ROBERTSON-WALKER (MRW)

Medidas de distâncias dentro de espaços de geometrias

diferentes (curvaturas diferentes)

curvatura deve ser constante (princípio cosmológico)

Definição mais completa: distância entre dois eventos

num E-T de 4 dimensões definidos pelas coordenadas

de tempo e espaço

Modelo cosmológico relativístico

Geometrias possíveis:

MÉTRICA DE ROBERTSON-WALKER (MRW)

Modelo cosmológico relativístico

Distribuição de matéria + energia provoca uma

curvatura no E-T = geometria

Universo está em movimento num dado tempo o

tamanho do universo é diferente

Definição de FATOR DE ESCALA (R) : variação nas

escalas (por exemplo, distâncias entre as galáxias)

produzidas pela expansão (ou contração) do universo

Modelo cosmológico relativístico

t1

t2

A

A

B

B

r0

r1

r1= R×r0

Suposições:

• universo como um fluído isotrópico e homogêneo : fluído cosmológico

• descrição da posição de um objeto no espaço: coordenadas comóveis

MÉTRICA

Distância entre dois pontos numa superfície

Ex. Uma superfície plana, onde usamos coordenadas

cartesianas

Y

X

yB

yA

xA xB

ds

ds2=dx2+dy2

dx=xB-xA dy=yB-yA

Nota: ds é um invariante

independe do

sistema de coordenadas

Geodésica: menor distância entre dois pontos

• espaço euclidiano: linhas retas

• espaço esférico: arco de círculo máximo

• espaço hiperbólico: hipérbole

Um caminho descrito por um corpo livre que obedece a 1a lei

de Newton de movimento pode ser descrita expressando suas

coordenadas espaciais como função do tempo: x(t), y(t), z(t)

t absoluto

Este caminho representa a menor distância entre dois pontos

geodésica do espaço

Todo corpo continua no estado de repouso ou de

movimento retilíneo, a menos que seja obrigado a

mudá-lo por forças a ele aplicadas.

CASO RELATIVÍSTICO: t é relativo

Supondo um espaço plano 3-D dado por dl2=dx2+dy2+dz2

Pode-se substituí-lo por um espaço-tempo 4-D de Minkowski,

definido pelas coordenadas espaciais x,y,z e pela

distância temporal ct, onde x() , y() , z() , t()

tempo próprio

ds2=c2dt2-|dl2| métrica pseudo-euclidiana

a distância espacial dl entre dois pontos num espaço 3-D é

generalizada à distância ds entre dois eventos num E-T 4-D definido pelas coordenadas de tempo e espaço

Sai do caso plano, para diferentes curvaturas Ҝ ou

geometrias possíveis

Mas Ҝ é sempre constante (princípio cosmológico)

Ҝ= -1/R2

Ҝ= 1/R2

X

Y

Z

R

P

Definição:

Geometrias

Possíveis:

Ҝ(t)=k / R2(t) k =-1,0,+1

A curvatura é constante somente num dado t, mas varia para

tempos diferentes

fator de escala ou

parâmetro de expansão

MÉTRICA DE ROBERTSON-WALKER (MRW)

22222

22222

sin(1

)(

dd

k

dtRdtcds

MÉTRICA DE ROBERTSON-WALKER (MRW)

Métricas 3D para espaço de Ҝ constante

R= fator de escala

k= curvatura =+1,0,-1

= coordenada comóvel (função de R)

ijij Tc

GG

4

8

Einstein: distribuição de matéria e

energia relacionado com geometria

Modelo cosmológico relativístico

Gij = tensor de Einstein : descreve a geometria do universo

Tij = tensor energia-momentum: descreve a distribuição de

matéria e energia no espaço-tempo

Distribuição de matéria+energia provoca uma curvatura

no E-T que é descrita pelas equações de Einstein

O tensor energia-momemtum é a fonte da geometria, assim como a massa é a fonte do campo gravitacional (mecânica Newtoniana).

ijij Tc

GG

4

8

Modelo cosmológico relativístico

Em cosmologia Tij vai depender de 2 funções: pressão p(t)

e densidade (t), onde p(t) é a pressão exercida num fluído

cosmológico devido à radiação + movimento peculiar das galáxias

pressão

dinâmica

EQUAÇÕES DE FRIEDMANN-LEMAîTRE

Equações de Einstein da TRG + MRW = equações

fundamentais que regem a dinâmica do universo

ijij Tc

GG

4

8

22222

22222

sin(1

)(

dd

k

dtRdtcds

2 2

2 2 2

2 2

2 2

8 ( ) ( )( ) 2

( ) ( ) ( )

8 ( )( )

3 ( ) ( ) 3

G kc R t R tp t

c R t R t R t

G kc R tt

R t R t

Einstein:distribuição de matéria e

energia relacionado com

geometria

MRW: distância no E-T em

função do fator de escala

R= fator de escala

k= curvatura =+1,0,-1

Modelo cosmológico relativístico

dark energy

Einstein e a constante cosmológica

Einstein supôs inicialmente um universo

estático. Então foi originalmente

introduzida nas equações para evitar

que o universo colapsasse.

Quando Hubble demostrou a expansão

do universo, Einstein removeu a

constante cosmológica.

→ introduzida por Einstein para obter soluções para um universo em equilíbrio

Soluções estáticas (R=cte)

Combinando as duas equações:

)(3

1)(

)(3)(

3

42

tRtRc

tpt

GR

Equação do movimento que vai definir a

expansão ou contração do universo

As equações de Friedmann-Lemaître nos dão: k (geometria) e R(escalas de

distância) do universo, conhecendo-se e p.

E obtemos a equação da evolução do universo R(t) t para uma dada geometria

Se =0 e p=0 R

GR

3

4

Vê-se que não existem soluções estáticas para =0,isto é, R=cte...

por isso Einsten introduziu

UNIVERSOS DE FRIEDMANN

Soluções da equação supondo =0

Usando a equação de movimento do fluído, com p~0

0

R

Calculando R(t) t

R

R

R

kcG

2

2

2

3

8

partindo de: substituindo:

3

00

R

R

2

3

002

3

8kc

R

RGR

Universo desacelera a

expansão RG

R

3

4

22kc

RR

R

ct

dRkR

Rcdt

0

0

2

c.i. R(0)=0

R

c

dRkR

Rct

0 2

variação do fator de escala com o tempo

De fato considerando =0, as equações de

Friedmann prevêem os 3 futuros para a

expansão do universo

esférica hiperbólica

No entanto os 3 modelos anteriores de expansão predizem

idades menores do que as idades estimadas de estrelas

mais velhas

Idades de aglomerados

globulares ~ 10 a 12 Ganos

Universo não pode ser mais

jovem do que a idade das

estrelas mais velhas!!

O modelo que mais concorda com as idades estimadas de

estrelas velhas: universo acelerando (presença de força

repulsiva = positivo). T ~14 Ganos

Quasar : 13 Ganos