- 1 -

NO.４ ＜力と運動方程式＞

物体に働くいろいろな力 2kg（１）重力 ｍｇ 5kg

地球上の物体に働く万有引力。 2g=19.6(N)大きさｍｇ（ｇ＝９．８、重力加速度） 空中の物体 5g 49(N)向きは鉛直下向き。 面上の物体

（２）垂直抗力 N N物体が面と接触しているとき、面が物体を押し返す力。

向きは、面と垂直、物体を押し返す向き。 2kg大きさは Nとおいて、釣り合いの式から計算して求める。

右図の例では、鉛直方向には動かないので、力の釣り合いより

N ＝ ２ｇ（重力） ＝１９．６（N)

（３）張力 T物体が糸やひもで結ばれているとき、糸やひもが縮もうとする力。

向きは糸に添って、糸を縮ませる向き。 T大きさは T とおいて、後で計算して求める。 3kg

右図の例では、物体が動かないとき、鉛直方向の釣り合いより

T ＝ ３ｇ（重力） ＝ ２９．４（N)

（４）摩擦力

物体が面と接触しているとき、物体の運動を妨げる力。

止まっている物体に働く静止摩擦力と、動いている物に働く動摩擦力がある。

向きは面に添って運動と逆向き。大きさは、

① 静止摩擦力 ： ｆとおいて、力の釣り合いから求める。

例・・机の上の 2kg の物体を５(N)の力で引いたが、動かなかったとき2kg ５(N) 動いていないので、力が釣り合う。

よって、左右方向の力の釣り合いより、

静止摩擦力ｆ ｆ ＝ ５（N)② 最大静止摩擦力 ： 動き出す瞬間の摩擦力、μ N（μは静止摩擦係数）

上の例で静止摩擦係数をμ＝ 0.4とすると、ｆ MAX ＝μ N＝ 0.4・2g＝ 7．92(N)

③ 動摩擦力 ： μ’N（μ’は動摩擦係数、μ’＜μ）例・・動摩擦係数μ’＝ 0.3の粗い面上を右方向に動いているとき

2kg ２０(N) 動いているので、動摩擦力

ｆμ ＝μ’N が働く。

動摩擦力ｆμ ∴ ｆμ ＝ 0.3・2g＝ 5.88(N)

- 2 -

＜例＞ 下のそれぞれの場合について、物体に働いている力を書き入れなさい。また、垂

直抗力、摩擦力がはたらいていれば、その大きさを求めなさい。

（１） 止まっている 2kgの物体 （２）滑らかな面上を動く 2kgの物体

５(N)ｙ ｙ ２０(N)

ｘ ｘ

（３）粗い面上を動く 2kg の物体 （４）粗い斜面上を滑り降りる 2kg の物体（動摩擦係数μ’＝ 0.2） （動摩擦係数μ’＝ 0.2、θ＝ 30°）

ｙ ２０(N) ｙ

θ＝ 30°ｘ ｘ 2kgの物体

（５）糸で結ばれて静止した物体 （６）糸で結ばれている物体

5kg2kg

面との動摩擦係数μ’=0.23kg

20kg

4kg

- 3 -

＜運動方程式のたて方と解き方＞

運動を求める ←→ 任意の時刻ｔでの速度ｖと位置ｘを求める

（Ａ）運動方程式（ｍａ＝Ｆ）をたてる

↓

（Ｂ）加速度 ａ を求める。

（Ｃ）ｔ秒後の速度ｖ(t)、位置ｘ(t)を求める

（１）力が一定の時 （２）力が時間変化するとき

↓ ↓

等加速度直線運動の公式 積分して求める

具体的なプロセス

（Ａ）運動方程式をたてる

① 図を書く

② 適当な座標軸を決める。

直線運動の場合は、進行方向にｘ軸、それに垂直にｙ軸をとる。

③ 力をそれぞれの座標軸の成分に分解する。

④ 各方向（ｘ、ｙ方向）の合力Ｆｘ，Ｆｙを求める。

⑤ それぞれの軸について運動方程式を立てる。

ｘ方向 ： ｍ・ａｘ ＝Ｆｘ （力のｘ成分の合力）

ｙ方向 ： ｍ・ａｙ ＝Ｆｙ （力のｙ成分の合力）

（Ｂ）加速度を求める

⑤より、ａｘ、ａｙを計算する。

（Ｃ）ｔ秒後の速度ｖ(t)、位置ｘ(t)を求める(1) 力が一定の時 → 等加速度直線運動の公式を使ってよい。

初速度ｖｏ、はじめの位置ｘ０、加速度ａとすると

ｖ(t)＝ｖｏ＋ａｔ、

ｘ(t)＝ｘ０＋ｖｏｔ＋ａｔ２／２、

ｖ(t)２－ｖｏ２＝２・ａ・ｓ

(2) 力が時間変化するとき、→ 加速度を積分して速度ｖと位置ｘを求める。

- 4 -

（例題１）

なめらかな床の上に質量２ kg の物体を置き、10(N)の力で水平方向に引いたとき、ｔ秒後の速度と位置を求めなさい。

N y a（解き方） 10（Ａ）運動方程式をたてる。 2g ｘ

(1) 図を書き、物体に働く力をすべて書き込む。 座標軸と加速度

(2) 座標軸をとる。

一直線上を運動しているときは、 ａ

運動方向を ｘ軸 、この向きに加速度 ａ を書き込む。 m 10それに垂直な方向を ｙ軸 ｘ軸方向の力

(3)力をｘ軸、ｙ軸方向に分解し、各方向の合力を求める。（この例題では必要なし）(4)ｘ軸、ｙ軸それぞれについて運動方程式をたてる。

ｘ軸方向について（進行方向を正にとる） Ｎ

運動方向なので、加速度は aｘ軸方向の力は F=10 2g∴ 運動方程式は 2ａ＝ 10 ・・・① ｙ軸方向の力

ｙ軸方向について（上向きを正）

運動方向に垂直なので、この向きには動かない。よって加速度＝０

ｙ軸方向の力は 重力 － 2ｇ（下向きなので－をつける）垂直抗力 Ｎ （上向き）

∴ 運動方程式は、 2・０＝－ 2ｇ＋Ｎ ・・・②

（Ｂ）加速度 ａ を求める。

①式より、 ａ＝Ｆ／ｍ＝１０／２＝５

②式より、 Ｎ＝２ｇ

（Ｃ）力が一定なので、等加速度直線運動の公式を使って速度と位置を求める。

初めの位置 ｘ０，初速度 ｖｏ、 加速度 ａ の等加速度直線運動

ｔ秒後の速度 ｖ、位置をｘ、進んだ距離をｓとすると、

ｖ＝ｖｏ＋ａｔ、 ｘ＝ｘ０＋ｖｏｔ＋ａｔ２／２、ｖ２－ｖｏ２＝２ａｓ

又は、加速度を積分していき、速度と場所を求める。

この問題では、初めの位置を原点にし （ｘ０ ＝０）、初め静止しているので ｖｏ ＝０

また、（Ｂ）より 加速度ａ＝５

これらを公式に代入して、

ｖ ＝ ５・ｔ

５ｘ ＝ ・ｔ２

２

- 5 -

＜２体問題（物体が２つ以上ある時）＞

（例題２）

軽い滑車に糸をかけ、糸の両端に質量ｍ１，ｍ２

（ｍ１＞ｍ２）のおもりを付けてはずす。

このときのおもりの加速度と、糸の張力を求めよ。 T Ta ｍ１ ｍ２ a

（ポイント） ｍ１ g ｍ２ gこの例題は、糸につながれて物体が２つある。このようなときは、

①運動方程式をそれぞれの物体ごとにたてる。（２物体なら２つ、３物体なら３つ）

②糸につながれて運動しているいるとき、それぞれの物体の速度、加速度は等しい。

よって、どちらの物体も、加速度をａとおく。

③張力は、糸が縮む向き、すなわち糸が物体を引っ張る向きで、糸の質量が無視で

きるときは、１本の糸で結ばれた２物体に働く張力の大きさは等しい。

④それぞれの物体について運動方程式をたてるとき、それぞれの物体の進行方向を

プラスの向きにとる。

この問題では、ｍ１＞ｍ２なので、ｍ１は下がり、ｍ２は上がる。

よって、ｍ１の運動方程式は、下向きをプラスにとり、加速度 a を下向きに、ｍ２の運動方程式は、上向きをプラスにとり、加速度 a を上向きにとる。

（解答例）

ｍ１について、加速度、合力について下向きをプラスにとると、

運動方程式 ： ｍ１ ａ＝ ・・・①

ｍ２について、上向きをプラスにとると、

運動方程式 ： ｍ２ ａ＝ ・・・②

求めるものは、加速度ａと張力 Tなので、①、②より、連立方程式を解いて、ａと Tを求める。

- 6 -

＜向きの違う力が２つ以上働き、力の分解が必要なとき＞

（例題３）

長さＬ、傾角θの斜面の最上点から、質量ｍの物体を静かにすべり落とした。このとき、

運動方程式をたてて加速度を求めなさい。

また、物体が斜面の最下点に達するまでの時間及びそのときの速さを求めなさい。ただし、

物体と斜面との間の動摩擦係数をμとする。

ｙ

（解き方）

（Ａ）運動方程式をたてる。

(1) 図を書き、物体に働く力をすべて書き込む。

重力

垂直抗力

動摩擦力

ｘ

(2) 座標軸をとる。

斜面に沿って下向きに運動しているので、

運動方向（斜面に沿って下向き）をｘ軸 、進む向きをプラスにとる。

この向きに加速度ａを書き込む。

それに垂直な方向（斜面に垂直）をｙ軸。上向きをプラスにとる

(3)力をｘ軸、ｙ軸方向に分解する。

・重力 ： 大きさ 、 向き 方向

→ ｘ方向とｙ方向に分解する。

ｘ方向成分 ：

ｙ方向成分 ：

・垂直抗力 ： 向き 方向

・動摩擦力 ： 向き 方向

以上より、

ｘ方向の力 ： 、 （２個）

ｘ方向の合力 Ｆｘ＝ ・・(a)

ｙ方向の力 ： 、 （２個）

ｙ方向の合力 Ｆ y＝ ・・(b)

- 7 -

(4)ｘ軸、ｙ軸それぞれについて運動方程式をたてる。・ｘ軸方向について（斜面に沿って進行方向を正にとる）

運動方向なので、加速度は aｘ軸方向の合力Ｆｘの式 (a)より、ｘ方向の運動方程式は

∴ ｍａ＝ ・・・①

ｙ軸方向について（斜面に垂直、上向きを正）

運動方向に垂直なので、この向きには動かない。よって加速度＝０

ｘ軸方向の合力Ｆ y の式 (b)より、ｙ方向の運動方程式は

∴ 運動方程式は、ｍ・０＝ ・・・②

（Ｂ）加速度 ａ を求める。

②式より、 Ｎ＝

これを①式に代入して、 ａ＝ ・・・③

（Ｃ）力が一定なので、等加速度直線運動の公式を使って速度と位置を求める。

等加速度直線運動の公式

ｖ＝ｖｏ＋ａｔ、 ｘ＝ｘ０＋ｖｏｔ＋ａｔ２／２、ｖ２－ｖｏ２＝２ａｓ

を使って、速度と位置を求める。

（Ｂ）より、加速度 ａ＝ ③

初めの位置（最上点）を原点にすると、ｘ０ ＝ 、④

静かにすべり落としたので、 初速度 ｖｏ＝ ⑤

これらを等加速度直線運動の公式に代入し、ｔ秒後の速度ｖと位置ｘを求めると、

ｖ（ｔ）＝ ⑥

ｘ（ｔ）＝ ⑦

最下点に達したときの速度と時刻を求めるには、次の(a),(b)二つの方法がある。(a)⑦式でｘ＝Ｌとおいて時間ｔを求め、それを速度の式⑥に代入して速度を求める。(b)ｖ２－ｖｏ

２＝２ａｓの式で、ｓ＝Ｌとおいて速度ｖを求め、⑥式から時刻を求める。

自分で解いてみましょう。

- 8 -

（１） 質量 2.0kg の物体が軽い糸でつるしてある。次のそれぞれの場合について、運動方程式をたて、糸の張力 Tの大きさを求めなさい。(a)物体が静止しているとき(b)物体が等加速度 3.0 m/s2で加速しながら上昇しているとき

(c)物体が一定の速度 2.0m/s で上昇しているとき(d)物体が等加速度 4.0m/s2で減速しながら上昇しているとき

（２）粗い水平面上に置かれた質量 2.0(kg）の物体が、水平方向の力Ｆ＝ 2.0（Ｎ）を受けて水平面上をすべっているとき、運動方程式をたて、加速度を求めなさい。また、ｔ秒

後の速度と位置を求め、物体が止まるまでの時間と、それまでに動く距離を求めなさい。

ただし、物体と面との間の動摩擦係数をμ＝ 0.20 とし、物体ははじめ（ｔ＝０）原点にあり、初速度 20(m/s)で動いているとする。（プリントの例題１を参考にすること）

- 9 -

（３）粗い水平面上に置かれた質量ｍの物体が、水平方向と角度θをなす向きに力Ｆを受

けて水平面上をすべっているとき、運動方程式をたて、加速度を求めなさい。ただし、物

体と面との間の動摩擦係数をμとする。また、この場合垂直抗力の大きさはいくらになる

か。（プリントの例題３を参考にすること。垂直抗力はｍｇではない！）

Ｆ

θ

（４）図のように、質量 1.0kgの物体 A と 2.0kg の物体Ｂを軽い糸でつなぎ、粗い水平面上に置いて力Ｆ＝２０(N)を加えたとき、物体Ａ，Ｂに働く力を図に書き込み、運動方程式を立てて物体の加速度を求めなさい。ただし、面と物体Ａ、B との動摩擦係数をそれぞれμＡ’＝ 0.2，μＢ’＝ 0.30とする。

Ｂ Ａ

Ｆ

- 10 -

（５）水平な机の面上に質量 5.0kg の物体Ａをおき、これに糸を付けて机の端に取り付けた摩擦のない滑車を通して、質量 20kg の物体Ｂをつるし、静かにはなした。物体Ａと机の面の間の動摩擦係数をμ’＝ 0.20 として、運動方程式を立て、物体Ａ，Ｂの加速度と糸の張力を求めなさい。（糸でつながれた２物体の運動。例題２を参考にすること）

- 11 -

（６）傾きθの斜面の上に質量ｍ(kg)の物体をのせ、図のように、斜面頂上の滑車を介して、糸で質量Ｍ(kg)の物体をつないだとき、次の問いに答えなさい。(a) 斜面がなめらかなとき、物体ｍが斜面上で静止を続けるには、物体の質量 M をいくらにしたらいいか。

(b) 斜面が粗く、物体が動いているとき、運動方程式を立て、物体の加速度ａと糸の張

力を求めなさい。ただし、ｍ＜Ｍとし、ｍと面の間の動摩擦係数をμとする。

ｍ

Mθ

- 12 -

（７）水平面から３０°傾いた斜面上で、質量２．０ｋｇの物体を最下点に置き、初速度

２０ｍ／ｓを与えて斜面に沿って上向きにすべり上がらせた。斜面と物体の間の動摩擦係

数がμ＝０．２のとき、運動方程式をたてて、加速度を求めなさい。

また、ｔ秒後の速度と位置を求め、物体が斜面に沿って上がりうる距離を求めなさい。

（例題３を参考にすること。この場合、物体は斜面に沿って上向きに動くので、ｘ軸の向

き及び、摩擦力の向きがプリントの例題とは異なることに注意すること）

- 13 -

＜ 運動量保存則と衝突 ＞

衝突と運動量の保存

→ → → →ｍ１ｖ１ ＋ ｍ２ｖ２ ＝ ｍ１ｖ１’ ＋ ｍ２ｖ２’

ｖ１ ｖ２ － F F

ｍ１ ｍ２

衝 突 中

ｍ１ｖ１ ＋ ｍ２ｖ２

衝 突 前

ｖ１’ ｖ２’

運動量保存則

ｍ１ ｍ２

衝突前後で、運動量の和は変わらない 衝 突 後

衝突前の運動量の和 ＝ ｍ１ｖ１’ ＋ ｍ２ｖ２’

衝突後の運動量の和

（１）質量がそれぞれ１ｋｇ、２ｋｇの２球Ａ，Ｂがある。Ａ，Ｂが次のような衝突をす

るとき、衝突後の Bの速さを求めなさい。但し、衝突前の Aの進行方向を正としなさい。(a)Ａ Ｂ

6 m/s 4 m/s 3 m/s ？

衝突前 衝突後

ｖ１ ＝ ｖ２ ＝ ｖ１’＝ ｖ２’(未知数)

① 衝突前の運動量の和＝ ② 衝突後の運動量の和＝

運動量保存則より、①＝② ∴ ｖ２’＝

(b)

30 m/s 6 m/s 2 m/s ？

衝突前 衝突後

- 14 -

はね返りの係数

ｖ１’ ｖ１’床面、壁面 ｅ ＝ －

ｖ１ ｖ１

衝突前 衝突後

下向きを正にすると、ｖ１’<0

ｖ２’－ ｖ１’２球間 ｅ ＝ －

ｖ２ － ｖ１

ｖ１ ｖ２ ｖ１’ ｖ２’

衝突前 衝突後

向きは右向きを正にすると、左向きの速さは負になる。

ｅ＝１のとき、（完全）弾性衝突 、運動エネルギーの和が衝突前後で保存。

ｅ＝０のとき、完全非弾性衝突、ｖ２’＝ ｖ１’（衝突後一体となって運動）。

０≦ｅ＜１のとき、非弾性衝突

（２）質量２ｋｇの物体が 10 m/s の速さで水平な床に垂直に衝突して跳ね返った。物体

と水平床面の跳ね返り係数を０．６とするとき、物体の衝突後の速さを求めよ。

（衝突前の物体の運動方向を正とする。ｖ、ｖ’の符号に注意！）

（３）質量２ｋｇの物体が水平な床に垂直に 20 m/s の速さでぶつかり、衝突後 16 m/sの速さで跳ね返った。このときの物体と床との跳ね返り係数を求めなさい。

（４）次の両方について、跳ね返り係数を求めなさい。ただし、右向きを正とする。

(ａ)

30 m/s 6 m/s 2 m/s 10 m/s衝突前 衝突後

ｖ１ ＝ ｖ２ ＝ ｖ１＝ ｖ２’=

(ｂ)

Ａ Ｂ

6 m/s 4 m/s 3 m/s 5 m/s

- 15 -

２球の衝突問題

衝突直前と直後の関係を求めるとき、

① 衝突前後の運動量保存則

② 跳ね返り係数

の両式を連立して衝突後の速度を求める。

（５）一直線上を質量 0.10 kg の小球Ａが、速さ 3.0 m/s で右向きに進み、同じ直線上を左向きに速さ 2.0 m/s で進んできた、質量 0.20 kg の小球Ｂと衝突した。はね返りの係数が 0.80 のとき、ＡおよびＢは、どちら向きにどのような速さで進むか。① 衝突後のＡ，Ｂの速さを右向きにｖＡ，ｖＢとして、衝突前後の運動量保存則を立てな

さい。ただし、衝突前のＡの進む方向（右向き）を正とする。

② 跳ね返り係数が 0.8であることから、跳ね返り係数とｖＡ，ｖＢ の関係式を書きなさい。

③ これより、①、②を連立させて解き、衝突後のＡ，Ｂの速さと向きを求めなさい。

（答え Ａは左向きに 3.0 m/s 、Ｂは右向きに 1.0 m/s ）

- 16 -

（６）滑らかな水平軌道上を速度 Vで移動している質量Mの物体が２つに分かれ、質量

mの部分は V-uの速度で移動を始めた。残りの部分は同一軌道上を運動を続けるとき、

その速度ｖはいくらか。

（７） 滑らかな水平軌道上で質量 ｍ１ で速度 ｕ１ で移動している物体が、質量 ｍ２ で

速度 ｕ２ の物体に追突した。反発係数が１のとき、衝突後の二物体の速度 ｖ１、ｖ２を

求めよ。

- 17 -

解答

P2, ＜例＞ 略

P5 ＜例題 2＞

P7 ＜例題 3＞ 最下点での速さと時刻

P8以降（１） (a) Ｔ＝１９．６（Ｎ） (b) Ｔ＝２５．６（Ｎ） (c) Ｔ＝１９．６（Ｎ）

(d) Ｔ＝１ 1．６（Ｎ）

（２）加速度 ａ＝－０．９６(m/s2)

止まるまでの時間 ｔ＝２０．８(s)、 動いた距離 208(m)

（３）加速度

（４）加速度 ａ＝（２０－ 0.8ｇ）／３

（５）加速度 ａ＝ 19ｇ／ 25 、 張力 Ｔ＝ 24ｇ／ 5

（６）(a) M＝ｍ sinθ､

(b)

（７）加速度 ａ＝－６．６(m/s2) 上がりうる距離 ｘ＝３０．３(m)

P13以降 ＜運動量保存則＞

（１）(a) 速度０．５(m/s)、右向き (b) 速度２２(m/s)で右向き

（２）上向きに 6.0 m/s

（３）ｅ＝０．８

（４）(a) ０．５， (b) ０．８

（５）Ａは左向きに 3.0 m/s 、Ｂは右向きに 1.0 m/s

（６）

（７）

gmmmmTg

mmmma

21

21

21

21 2,+

=+-

=

)cos(sin2,)cos(sin2

qmqqmq

-=-=

gLtLgv

gm

Fa mqmq ¢-

¢+=

)sin(cos

gmM

mMa+

¢+-=

)cos(s in qmq gmM

M mT+++= )c ossin1( qmq

umM

mVmM

m uVmMv-

+=-

+-=

)(

121

12

21

122

2 umm

mummmmv

++

+-

=2

21

21

21

211

2 umm

mummmmv

++

+-

=

- 18 -