Univerzitet u Tuzli – Mašinski fakultet Školska 2014/2015

1

NAUKA O ČVRSTOĆI II

Elastična stabilnost – IZVIJANJE

Dr. Salko Ćosić

Tuzla, april 2015

Univerzitet u Tuzli – Mašinski fakultet Školska 2014/2015

2

Pojam stabilnosti Elastična stabilnost Stabilan položaj = min. def. energije

Izvijanje štapova (stubova):

Vertikalni pomak napadne tačke sile:

izduženje opruge: ΔLo=Lα

Rad sile W = energija opruge U:

Univerzitet u Tuzli – Mašinski fakultet Školska 2014/2015

3

Izvijanje - primjeri

Univerzitet u Tuzli – Mašinski fakultet Školska 2014/2015

4

Prvi slučaj oslanjanja, DJEL:

1 2

1

2

2

min

2

2

min

2 2

2 2

min

2 2

min

2

2

KR 2

2

w(x) C cos( x) C sin( x); BC : w(0) 0; w(

M(x) d w M Fw ''(x) ; M(x) F w(x) w;

E I dx EI EI

d w F F d yw 0;

L) 0

C 0, C sin( ) 0

a a

a

y 0dx EI E I dx

n EIaL n F ; n

a

F

L

1L

a

EI

L

Univerzitet u Tuzli – Mašinski fakultet Školska 2014/2015

5

Posebni slučajevi:

1. Jednostrano ukliješten štap:

Univerzitet u Tuzli – Mašinski fakultet Školska 2014/2015

6

2. Štap ukliješten i zglobno vezan

Univerzitet u Tuzli – Mašinski fakultet Školska 2014/2015

7

a. Štap ukliješten na oba kraja

Univerzitet u Tuzli – Mašinski fakultet Školska 2014/2015

8

ekv. dužina izvijanja

Univerzitet u Tuzli – Mašinski fakultet Školska 2014/2015

9

Izvijanje u plastičnoj oblasti (Engesser)

2 2

2

2 2

KR mindoz cr 2 2 2

m

2

2

in

2

r A

r

E E Lr radijus in

F E IF E;

A A L A L Aercije presjeka, vitkost

L r

I r A

Univerzitet u Tuzli – Mašinski fakultet Školska 2014/2015

10

Pretpostavke: Idealno prav štap, homogen izotropan, zglobno oslonjen, centrično opterećen

Mali progibi,

Bernoulli-jeva hipoteza vrijedi i u plast. području

Tangentni modul elastičnosti Dif. Jednačina EL:

Redukovani modul elastičnosti

kritični napon=granica velikih deformacija (tečenja)

Univerzitet u Tuzli – Mašinski fakultet Školska 2014/2015

11

Eksperimentalna ispitivanja, Tetmayer, Jasinski, linearna veza:

Neracionalno je koristiti vitke nosače aksijalno opterećene na pritisak jer je nosivost istih mala.

Za povećanje nosivosti štapa bolje je povećati min. moment inercije presjeka a ne površinu

Univerzitet u Tuzli – Mašinski fakultet Školska 2014/2015

12

Primjer: Čelični profil je opterećen kao na slici. Odredi optimalni odnos stranica presjeka profila a/b tako da

isti ima maksimalnu otpornost prema izvijanju. Zatim dimenzioniši presjek.

L = 20 m, E = 210000 N/mm2, P = 5 kN FS = 2.5

Najbolji odnos a/b je onaj koji daje istu otpornost na izvijanje u obje ravni.

To znači da profil ima istu vitkost za xy ravan i za xz ravan.

3 21,2 12

3 21,2 12

,,

2

cr cr

0.7;

12 12 12

2;

12 12 / 12

0.7 2 0.70.35

212 / 12

2 202 138.6;

12 12

2.5 5 12.5 kN

12500 ;

0.35

e zzz z

z

y e y

y y

y

e ye z

z y

e

y

cr

cr

LbaI a a Lr r

A ab r a

I Lab b b Lr r

A ab r b

LL L L a

r r ba b

L L

r bb b

F FS F

F E

A b b L

2 11

2 2

2 11

2

2.1 10

138.6

2.1 1012500 135 mm, 0.35 47.2 mm.

0.35 138.6

e r b

b a bb b b

Univerzitet u Tuzli – Mašinski fakultet Školska 2014/2015

13

Za vježbu:

1. Za primjer na slici ispod odredi kritičnu vrijednost sile Fd.

2. Za konstrukciju prikazanu na slici desno odredi stepen sigurnosti protiv izvijanja ako je F = 800 kN.