Nociones Sobre Estructuras Algebraicas

7/23/2019 Nociones Sobre Estructuras Algebraicas

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ALGUNAS NOCIONES SOBRE ESTRUCTURAS ALGEBRÁICAS

1. Operación

1.1 Definición: Sea , A B dos conjuntos no vacíos, f una relación de de A en B , decimos que f es una operación cuando a cada elemento delconjunto A le corresponde un único elemento del conjunto B

la cual se representa por.:

( ) ; donde ; .

f A B

x f x y x A y B

→

→ = ∈ ∈

Son sinónimos: Función, Relación Operacional, Trasformación, Ley decomposición.

1.2 Clases de Operaciones: Éstas se clasifican de acuerdo a la formaque tenga el conjunto de partida. Es decir si

1 2 3.... ;n i A A A A A A φ = × × × × ∀ ≠ llamamos a

:

( ) ; donde ; .

f A B

x f x y x A y B

→

→ = ∈ ∈

a. Operación Unitaria : si1

A A= simbólicamente sería

1

1

:

( ) ; donde ; .

f A B

x f x y x A y B

→

→ = ∈ ∈

b. Operación Binaria : Si1 2

A A A= × . Simbólicamente

1 2

1 2

:

( ) ; donde ; .

f A A B

x f x y x A A y B

× →

→ = ∈ × ∈

Donde la forma de x es un par ordenado de la forma

1 2( , ) x a a= donde

1 1a A∈ ;

2 2a A∈ .

c. Operación n aria− : Si1 2 3

....n

A A A A A= × × × × . simbólicamente sería

1 2 3

1 2 3

: ....

( ) ; donde .... ; .

n

n

f A A A A B

x f x y x A A A A y B

× × × × →

→ = ∈ × × × × ∈

Donde la forma de x es una n ada− de la forma

1 2( , ,..., ) Donden i i x a a a a A= ∈ .

1.3 Clases de Operaciones Binarias.a. Operación Binaria Interna (OBI): Si f es una operación binaria

(como se definió arriba) y se cumple que1 2

A A= simbólicamente

1 1 1

1 1

:

( ) ; donde ; .

f A A A

x f x y x A A y B

× →

→ = ∈ × ∈

Obvio que es lo mismo si el subíndice hubiese sido 2.b. Operación Binaria Externa (OBE): Si f es una operación binaria

(como se definió arriba) y se cumple que1

B A= en tal caso se dirá



que f es una operación binaria externa definida en1

A por medio de

2 A a derecha, simbólicamente

1 2 1

1 2 1

:

( ) ; donde ; .

f A A A

x f x y x A A y A

× →

→ = ∈ × ∈

en forma análoga si 2 B A= en tal caso se dirá que f es unaoperación binaria externa definida

en2

A por medio de1

A a izquierda, simbólicamente

1 2 2

1 2 2

:

( ) ; donde ; .

f A A A

x f x y x A A y A

× →

→ = ∈ × ∈

1.4 Propiedades de las OBI.Por comodidad y para que el lector no se confunda representaremosla operación OBI por ” ∗ “ y por “ ∆ ”Sean : ; A A A∗ × → : ; A A A∆ × → dos OBI, donde en A se ha definido almenos una relación de equivalencia que para nuestro caso será la

igualdad; “ = “ entonces se dice que “∗ “ cumple con la propiedad:

A. Interna o clausurativa si solo si para todo ,a b A∈ se cumple quea b c∗ = donde c A∈

B. Asociativa si y solo si para todo , ,a b c A∈ se cumple que

( ) ( )a b c a b c∗ ∗ = ∗ ∗

C. Existencia de elemento Neutro si y solo si para todo a A∈ secumple que existe un único elemento e A∈ que cumple cona e a∗ = (llamado Neutro a derecha ) y que además debe cumplirseque e a a∗ = (llamado neutro a izquierda).

D. Tiene la propiedad de la existencia del elemento inverso si ysolo si ∗ cumple la propiedad del elemento neutro e A∈ y que paratodo a A∈ se cumple que existe un único elemento ,

a A∈ llamadoelemento inverso de a que tiene la característica que

,a a e∗ = (Inverso a derecha) y además ,

a a e∗ = (Inverso aizquierda)

E. Conmutativa si y solo si para todo , ;a b A a b b a∈ ∗ = ∗ . F. Distributiva: se dice que ∆ distribuye a ∗ si se cumple que para

todo ( ) ( ) ( ), , ;a b c A a b c a b a c∈ ∆ ∗ = ∆ ∗ ∆

1.5 ESTRUCTURA ALGEBRAÍCAUn conjunto A se dice que es una Estructura Algebraica si A φ ≠ y en A

se define un conjunto no vacío de operaciones { }, , , , ,....∗ ⊗ ⊕ ∆ y un

conjunto no vacío de relaciones{ }, , , , , , ,...= ≤ ≥ ≅ ≠∼

1.6 PRINCIPALES ESTRUCTURAS ALGEBRAICASLas principales Estructuras Algebraicas que se pueden definir en elconjunto A φ ≠ en el cual se han definido al menos las operaciones (PO),



llamada primera y (SO) llamada segunda operación, y al menos unarelación como la igualdad son:El Grupo, ; A PO ; El anillo ; ; A PO SO ; El anillo Unitario ; ; A PO SO ;

El anillo Conmutativo ; ; A PO SO ; Cuerpo ; ; A PO SO ; Campo

; ; A PO SO las cuales deben de cumplir las propiedades que se muestranen la tabla de abajo

PROPIEDADES

G R U P O

G R U P O A

B E L I A N O

A N I L L O

A N

I L L O C

O N M U T A T I V O

A N I L L O U

N I T A R I O

C U E R P O

Primera Operación (PO) x x x x x x x(PO) es Interna x x x x x x x

(PO) cumple con asociativa x x x x x x x(PO) cumple con elemento Neutro x x x x x x x

(PO) cumple propiedad de elementos inversos x x x x x x x(PO) cumple conmutativa x x x x x x

segunda Operación (SO) x x x x x(SO) es Interna x x x x x

(SO) cumple con asociativa x x x x x

(SO) cumple con elemento Neutro x x x(SO) cumple propiedad de elementos inversos en el conjuno menos el neutro de la (PO) x x

(SO) cumple conmutativa x x(SO) distribuye a (PO) x x x x x

ESPACIOS LINEALES SOBRE UN CAMPO

La principal estructura que trabaja el curso de Álgebra Lineal es la deEspacio Lineal sobre un Campo, regularmente este campo será losReales y en tal caso lo llamaremos ESPACIOS LINEALES REALES o

también puede ser que el capo sea los complejos tal caso lo llamaremosESPACIOS LINEALES SOBRE LOS COMPLEJOS.

Definición: El conjunto A φ ≠ en el cual se define una relación deequivalencia como la igualdad se dice que conforma un Espacio Linealsobre el Campo K (Los Reales o los Complejos) si se cumple losiguienteEn A se define una OBI que cumple que ; A OBI es un Grupo Abeliano

En A se define una OBE en A por medio de K tal que en ; A OBI;OBE

se cumple que si , K α β ∈ y que ,u v A∈ entonces



1 ( ) ( ) ( ) u u uα β α β =OBI OBE OBE OBI OBE

2. ( ) ( ) ( ) vu v uα α α =OBE OBI OBE OBI OBE

3. ( ) ( ) u uα β α β =OBE OBE OBE OBE

4. Si e es el neutro de OBE en el campo ;K OBI;OBE entonces

e u u=OBE

Regularmente para nosotros en el curso de Álgebra Lineal OBI es la operación“ + “y OBE es la operación “ i ” tal cual como están definidas en el conjunto A

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