NAUKA O ČVRSTOĆI I(3+2)(3+2)

P eda anja p of d s Go an TURKALJPredavanja: prof. dr. sc. Goran TURKALJ

Vježbe: asist. Edin MERDANOVIĆ, dipl. ing.j , p g

02/05/2011 1

Lit tLiteratura:

• Brnić, J., Turkalj, G.: Nauka o čvrstoći I, Sveučilište u Rijeci, Tehnički fakultet, Rijeka, 2004.

• Brnić J Turkalj G : Nauka o čvrstoći II Zigo Rijeka 2006• Brnić, J., Turkalj, G.: Nauka o čvrstoći II, Zigo, Rijeka, 2006.

• Alfirević, I.: Nauka o čvrstoći I, Tehnička knjiga, Zagreb, 1989.

• Šimić, V.: Otpornost materijala I, Školska knjiga, Zagreb, 1992.

• Brnić J : Nauka o čvrstoći Školska knjiga Zagreb 1991• Brnić, J.: Nauka o čvrstoći, Školska knjiga, Zagreb, 1991.

• Seed, G. M.: Strength of Materials, Saxe-Colburg Publication, Edinburgh, UK, 2000.

• Nash, W.: Strength of Materials, McGraw-Hill, New York, 1998., g , , ,

• Gere, J. M.: Mechanics of Materials, Brooks/Cole–Thomson Learning, Belmont, CA, 2004.

02/05/2011 2

VRSTA ECTSi ISHODI SPECIFIČNA AKTIVNOST METODA PROCJENJIVANJA BODOVI VRSTA AKTIVNOSTI ECTSi ISHODI

UČENJA SPECIFIČNA AKTIVNOST METODA PROCJENJIVANJA BODOVI MAX.

Pohađanje nastave 2.5 1-9

Prisutnost studenta: 80 % = 1 bod81-85 % = 2 boda86-90 % = 3 boda91 95 % 4 b d

Evidencija prisutnosti na predavanjima i vježbama. 5

91-95 % = 4 boda96-100 % = 5 bodova

Laboratorijske vježbe 0.5 2, 7, 8, 9

Izrada 5 laboratorijskih vježbi. 5 vj. x 1 bod = 5 bodova

Bodovi se dodjeljuju temeljem aktivnosti na vježbama. Student mora sakupiti minimalno 4 boda.

5

Kontrolne zadaće 3 1-82 kontrolne zadaće. Na svakoj zadaći student rješava 5 zadataka.

Svaki zadatak nosi 6 bodova. 60

Završni ispit(min. 40 bodova)

1 9

Student rješava 5 zadataka.Svaki zadatak nosi 6 bodova. Student mora sakupiti minimalno 15 bodova.

30

Svaki zadatak nosi 5 bodova. St d t k iti Popravni ispit

(min. 30 bodova)Student rješava 2 zadatka.

Student mora sakupiti minimalno 5 bodova, a u ukupnom zbiru mora imati minimalno 40 bodova.

10

UKUPNO 7 100

02/05/2011 3

Podjela mehanike:prema stanju mirovanja:

statikakinematikakinematikadinamika

prema svojstvima tijela:

mehanika krutih ili nedeformabilnih tijelamehanika čvrstih ili deformabilnih tijelamehanika fluida (plinova i tekućina)

MEHANIKA KONTINUUMA}}

prema metodama rješavanja:

eksperimentalna mehanikapanalitička mehanikanumerička mehanikagrafostatika

02/05/2011 4

prema primjeni:

t tik k t k ijstatika konstrukcijastabilnost konstrukcijadinamika strojeva i konstrukcija (teorija vibracija)mehanika lomamehanika tla i stijena

KONTINUUM = NEPREKINUTA SREDINAKONTINUUM = NEPREKINUTA SREDINA

fl idi

Podjela kontinuuma:fluidi:

idelani ili neviskozni fluidrealni ili viskozni fluid

ij ltijela:

idelano ili apsolutno kruto tijelorealno ili čvrsto tijelo

02/05/2011 5

Mehanika čvrstih ili deformabilnih tijela:Mehanika čvrstih ili deformabilnih tijela:

teorija elastičnosti

teorija plastičnosti

teorija viskoelastičnosti

teorija viskoplastičnosti

REOLOGIJA REOLOŠKI MODELI

Eσ ε=ddtεσ η=

Tσ σ≤σ

σ

σ

σ

σ

σ

linearno-elastičnaopruga

linearni viskozniprigušivač

frikcijski model(Saint-Venantov model)

σ σσ

02/05/2011 6

Teorija elastičnosti (elastomehanika) :

razmatra pomake deformaciju i naprezanja uzrokovanarazmatra pomake, deformaciju i naprezanja uzrokovanadjelovanjem vanjskog opterećenja na čvrsto tijelo u elastičnompodručju

problemi se rješavaju egzaktno → parcijalne diferencijalneproblemi se rješavaju egzaktno → parcijalne diferencijalnejednadžbe

Nauka o čvrstoći (Otpornost materijala) → pretpostavke oraspodjeli deformacije i naprezanjaraspodjeli deformacije i naprezanja

deformacija i neprezanje međusobno su vezani, ali ne ovise ovremenu

linearna i nelinearna teorija

02/05/2011 7

linearna teorija elastičnosti:

mali pomaci i deformacijep jlinearno elastičan (Hookeov) materijal

1

σ

Econst.E σ

ε= =

ε0

02/05/2011 8

nelinearna teorija elastičnosti:

veliki (konačni) pomaci pri deformiranju tijela (geometrijskanelinearnost)nelinearnost)nelinearno elastičan materijal (materijalna nelinearnost)

td const.d

E σε

= ≠

Et

1

σ

ε0

02/05/2011 9

Teorija plastičnosti (plastomehanika) :

razmatra pomake, deformaciju i naprezanja uzrokovana djelovanjemj k t ć j č t tij l l tič d čj tjvanjskog opterećenja na čvrsto tijelo u plastičnom području, tj. u

području trajnih (nepovratnih, plastičnih) deformacija

σ

σT T

trajna deformacija

ε0

T – granica tečenja, granica plastičnosti

02/05/2011 10

Teorije viskoelastičnosti i viskoplastičnosti:

uspostavljaju zakone nastanka i razvoja deformacije kontinuumaovisne o tijeku vremena, a uzrokovane termičkim, kemijskim i drugimutjecajimapuzanje → porast deformacije pri konstantnom naprezanju ili

ćopterećenjurelaksacija → smanjenje naprezanja pri konstantnoj deformaciji

02/05/2011 11

PUZANJE RELAKSACIJAσ

ε

t0

krivuljapuzanja

const.σ =ε

0 t

t0

const.T =

0ε

krivuljarelaksacije

σ

σ

brzinadeformacije

dd tεε =

ε 0σ

0 t

t0sekundarno

puzanjetercijarnopuzanje

primarnopuzanje

02/05/2011 12

Vektor:z

ya

xaza

ya

x

x y z x y za a a a a i a j a k= + + = + +x y z x y zj

{ }x xa a

a a a a⎡ ⎤ ⎧ ⎫

⎪ ⎪⎢ ⎥= = = = ⎨ ⎬⎢ ⎥a { } y y

z z

a a a aa a

= = = = ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎩ ⎭

a

02/05/2011 13

Intenzitet vektora:

2 2 22 2 2x y za a a a a= = + +

Transponirani vektor:

{ } { }Ta a a a a= ={ } { }x y za a a a a

02/05/2011 14

J di ič i kJedinični vektor:

2 2 2x y z 1a a a a a= = + + =y

1, 1, 1i i j j k k= = = = = =

( ), ,x y z i j k⊥⇒ ⊥

{ } { } { }1 0 00 , 1 , 00 0 1

i i j j k k⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = = = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭0 0 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

02/05/2011 15

Sk l i d k ( l d d i d )Skalarni produkt (engl. dot product, inner product):

b

a

b( ), cosa b a b ab θ⋅ = =

θ

b θ acosb θ

VRIJEDI ZAKON KOMUTATIVNOSTI

{ } { }Tx x y y z za b a b a b a b= + +

VRIJEDI ZAKON KOMUTATIVNOSTI

a b b a⋅ = ⋅

02/05/2011 16

Vektorski produkt (engl. cross product):

, , sina b a b c c c ab θ⎡ ⎤× = = = =⎣ ⎦c

b

{ }x y z z y

y z x x z

c a b a bc c c a b a b

⎧ ⎫−⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪

aθ

c−z x y y xc a b a b⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎩ ⎭ ⎩ ⎭

i j k( ) ( ) ( )x y z y z z y z x x z x y y x

x y z

i j ka b a a a a b a b i a b a b j a b a b k

b b b× = = − + − + −

NE VRIJEDI ZAKON KOMUTATIVNOSTI

b a a b c× = − × = −

02/05/2011 17

b a a b c× ×

Mješoviti produkti:

x y z

x y z

x y z

a a aa b c b b b

c c c× ⋅ =

( ) ( ) ( )a b c b a c c a b× × = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

02/05/2011 18

Tenzorski ili dijadski produkt (engl tensor productTenzorski ili dijadski produkt (engl. tensor product,outer product):

{ }{ } [ ]x x x y x z

Tilia b a b a b

b b T b b b⎡ ⎤⎢ ⎥⊗ T { }{ } [ ]T

y x y y y z

z x z y z z

ilia b a b T a b a b a ba b a b a b

⎢ ⎥⊗ = = = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

T

NE VRIJEDI ZAKON KOMUTATIVNOSTI

T – tenzor drugoga reda

a b a b a b⎡ ⎤

( ) Tb a a b⊗ = ⊗

{ }{ } [ ]x x y x z x

T TTx y y y z y

x z y z z z

ilia b a b a b

b a b a T a b a b a ba b a b a b

⎡ ⎤⎢ ⎥⊗ = = = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

T

02/05/2011 19

Dif ij l i iDiferencijalni operatori:

- diferencijal:d

d d dff f∂ ′

Funkcija: f = f(x)

f∂d d dff x f xx∂ ′= =∂

Funkcija: f = f(x y z)

f fx∂ ′=∂ - obična derivacija

Funkcija: f = f(x, y, z)

d d d df f ff x y zx y z∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

; ;f f fx y z∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

- parcijalna derivacijax y z∂ ∂ ∂ x y z∂ ∂ ∂

02/05/2011 20

- Hamiltonov operator (nabla, del):∇

i j kx y z∂ ∂ ∂

∇ = + +∂ ∂ ∂x y z∂ ∂ ∂

2 2 2∂ ∂ ∂

- Laplaceov operator (Laplace, delta):Δ

2 2 22

2 2 2x y z∂ ∂ ∂

Δ =∇⋅∇ =∇ = + +∂ ∂ ∂

02/05/2011 21

Skalarno polje: U = U(x, y, z)

grad U U UU U i j kx y z

∂ ∂ ∂∇ = = + +

∂ ∂ ∂

( )2 2 2

2Δ div grad U U UU U U ∂ ∂ ∂= ∇ = = + +( ) 2 2 2Δ div gradU U U

x y z=∇ = = + +

∂ ∂ ∂

02/05/2011 22

V k k lj ( ) ( ) ( )

yx zdivaa aa a

∂∂ ∂∇ + +

Vektorsko polje: ( ) ( ) ( )x y z, , , , , , , ,a a x y z a x y z a x y z=

yx zdiv a ax y z

∇⋅ = = + +∂ ∂ ∂

x x xa a a∂ ∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥

rot curl

i j k

a a ax y z∂ ∂ ∂

∇× = = =∂ ∂ ∂

x x x

y y ygrad

x y za a a

a ax y z

⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥

∇ = = ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥x y z

x y za a a∂ ∂ ∂

z z z

ya a ax y z

⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )2Δ grad div rot rot a a a a a a=∇ = − =∇ ∇⋅ −∇× ∇×

02/05/2011 23

Skalarni matrični i indeksni zapis:Skalarni, matrični i indeksni zapis:

v3x

Stari koordinatni sustav:

{ } { }Tv

2x2x

3x { } { }T1 2 3=v v v v

Novi (zarotirani) koordinatni sustav:T

1x

2

1x

{ } { }T1 2 3=v v v v

( ) ⎫∠( )( )

11 1 1 11

12 1 2 12

cos , coscos , cos

a x xa x x

αα

⎫= ∠ =⎪= ∠ = ⎪⎪⎬⎪

( )ij i j ijcos , cosa x x α=⇒ = ∠( )( )

32 3 2 32

33 3 3 33

cos , coscos , cos

a x xa x x

αα

⎪= ∠ =⎪

= ∠ = ⎪⎭

( )ij i j ij

02/05/2011 24

T f ij k k l i iTransformacija vektora – skalarni zapis:

1 11 1 12 2 13 3

2 21 1 22 2 23 3

a a aa a a

= + +

= + +

v v v vv v v v2 21 1 22 2 23 3

3 31 1 32 2 33 3

a a aa a a

+ +

= + +

v v v vv v v v

Transformacija vektora – matrični zapis:

{ } [ ]{ }1 11 12 13 1

2 21 22 23 2 ilia a aa a a a

⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪

v vv v v v

3 31 32 33 3a a a⎢ ⎥

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭v v

– osnovna transformacijska matrica[ ]a

[ ] [ ]1 Ta a− = [ ] [ ] [ ]Ta a I⇒ = ORTOGONALNA MATRICA⇒

02/05/2011 25

T f ij k i d k i iTransformacija vektora – indeksni zapis:

j 3

i ij jj 1

, i 1, 2 ili 3a=

=

= =∑v vj 1=

Einsteinova konvencija o sumiranju:

i ij j , i, j 1, 2, 3a= =v v

slobodni indeks: i = 1 2 ili 3slobodni indeks: i = 1, 2 ili 3

ponovljeni indeks: j = 1, 2 i 3

02/05/2011 26

Skalar vektor tenzor:Skalar, vektor, tenzor:Skalar:

temperatura, masa, gustoća, vlažnostza opisivanje 30 = 1 podatakza opisivanje 30 = 1 podataktenzor nultoga redatransformacija:

S S=

Vektor:

sila moment pomak brzina ubrzanjesila, moment, pomak, brzina, ubrzanjeza opisivanje 31 = 3 podatkatenzor prvoga redatransformacija:

{ } [ ]{ }a=v v i ij jili a=v v

02/05/2011 27

Tenzor drugoga reda:

naprezanje, deformacija, tromost (inercija)za opisivanje 32 = 9 podatkaza op s vanje 3 9 podatkatransformacija:

[ ] [ ] [ ]TT a T a⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ij ip jq pqili T a a T=

Tenzor četvrtoga reda:

t l tič ti (t l tič ih k t ti) ttenzor elastičnosti (tenzor elastičnih konstanti), tenzorpodatljivostiza opisivanje 34 = 81 podatkatransformacija:

ijkl ip jq kr ls pqrsT a a a a T=

02/05/2011 28

Tenzor drugoga reda - svojstva:

transponirani tenzor:TT T=ij jiT T=

[ ] [ ]11 12 13 11 21 31

TT T T T T T

T T T T T T T T⇒⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥[ ] [ ]21 22 23 12 22 31

31 32 33 13 23 33

T T T T T T T TT T T T T T

⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

simetričan tenzor:simetričan tenzor:S

ij ji ij ijT T T T=⇒=

a b c⎡ ⎤S

a b cT b d e

c e f

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

02/05/2011 29

antisimetričan tenzor:

ij ji za i jT T ≠= −⎧⎪ ij jiASij ij

ij

za i j

za i j0

T TT T

T

≠

=

⎧⎪= ⎨ =⇒

⎪⎩

AS

00

0

a bT a c

b

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥0b c−⎢ ⎥⎣ ⎦

02/05/2011 30

tenzor drugoga možemo rastaviti na simetrični i antisimetrični tenzor :

[ ] S AST T T⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦S AS

ij ij ijili T T T= +[ ] ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ij ij ij

( ) ( )S T AS Tij ij ij ij ij ij

1 1,2 2

T T T T T T= + = −

11 11 12 21 13 31S S

ij 21 12 22 22 23 3212

T T T T T TT T T T T T T T

+ + +⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤= = + + +⎣ ⎦ ⎢ ⎥

31 13 32 23 33 33

2T T T T T T

⎢ ⎥⎢ + + + ⎥⎣ ⎦

12 21 13 3101

T T T T− −⎡ ⎤⎢ ⎥AS AS

ij 21 12 33 32

31 13 32 23

1 02

0T T T T T T

T T T T

⎢ ⎥⎡ ⎤= = − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ − − ⎥⎣ ⎦

02/05/2011 31

polarna dekompozicija tenzora drugoga reda :

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]T R Q P R= =

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 T TR R R R I− = ⇒ =

[ ] [ ] [ ] [ ] T T,Q Q P P= =

02/05/2011 32

deriviranje tenzora drugoga reda :

ij ij i3i1 i2ij j

T T TT TT∂ ∂ ∂∂ ∂

= = +⇒ +ij,jj j 1 2 3x x x x x∂ ∂ ∂∂ ∂

ij ij 1 j 2 j 3 jij i

T T T T TT

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = + +

∂ ∂⇒

∂ ∂ ∂ij,ii i 1 2 3x x x x x∂ ∂∂ ∂ ∂

2 2 22 2ij ij i3i1 i2

ij jj

T T TT TT∂ ∂ ∂∂ ∂

= = + +⇒ij,jj2 2 2 2 2j j 1 2 3

Tx x x x x

+ +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⇒

2 2 2 2 2ij ij 1 j 2 j 3 jT T T T T

T∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= = + +⇒ij,ii2 2 2 2 2i i 1 2 3

Tx x x x x

= = + +∂ ∂ ∂

⇒∂ ∂

02/05/2011 33

1. Zadaci nauke o čvrstoći:

• stvaranje računskih metoda za procjenu čvrstoće, krutosti, stabilnosti i sigurnosti konstrukcijskih elemenatastabilnosti i sigurnosti konstrukcijskih elemenata

• primjena računskih metoda:

Zadano Traženo

oblik, opterećenje i materijal konstrukcije

dimenzije konstrukcijskih elemenata

oblik, dimenzije i opterećenje konstrukcije

materijal konstrukcijskih elemenata

oblik, dimenzije i materijal konstrukcije

dopušteno opterećenje konstrukcijej j

02/05/2011 34

2. Metode rješavanje u nauci o čvrstoći

• analitičke metode:

ž• diferencijalne jednadžbe

• integralne jednadžbe

• numeričke metode:

• metoda konačnih diferencija (MKD, FDM)

• metoda konačnih elemenata (MKE, FEM)( , )

• metoda konačnih volumena (MKV, FVM)

• metoda rubnih elemenata (MRE, BEM)

02/05/2011 35

3. Proračunski model konstrukcije

Stvarna konstrukcija Proračunski (matematički) model

Q1, 23

3S /24

q 3

Q Q

II I

B2B1,A 1,A 22A A 1

C, D E

z

xy

1zSS1x

S1y

A 1I

B1

q 3q 2q 1

21

lim

3E

II

B22A

B1A 1

D

C

y

I

02/05/2011 36

4. Pretpostavke u nauci o čvrstoći

• osnovna pretpostavka:

• neprekidnost materijala:

• vrijede isti zakoni mehanike kao i za apsolutno kruto tijelo

• tijelo je u potpunosti ispunjeno materijom (kontinuum)• tijelo je u potpunosti ispunjeno materijom (kontinuum)

• homogenost materijala:

dmd const.d

mV=

• male deformacije (teorija prvoga reda)

02/05/2011 37

5. Pojmovi u nauci o čvrstoći

• elastičnost

• plastičnost

• čvrstoća

• krutost

• krhkost

• izotropnost• izotropnost

• anizotropnost

• ortotropnost (ortogonalna anizotropnost)

02/05/2011 38

6. Opterećenje nosača

Vanjsko opterećenje:• Vanjsko opterećenje:

• volumensko ili obujamsko

• površinsko ili kontaktno

• U ovisnosti o vremenu djelovanja:

• statičko opterećenje

• dinamičko opterećenje

02/05/2011 39

• U ovisnosti o načinu uvođenja:

• statičko opterećenjestatičko opterećenje

• dinamičko opterećenje

• udarno opterećenje

• U ovisnosti o načinu djelovanja:

• osnovni oblici opterećenja• osnovni oblici opterećenja

• složeni oblici opterećenja

• kombinacija dvaju ili više osnovnih oblika

02/05/2011 40

Osnovni oblici opterećenja:Osnovni oblici opterećenja:

F F F F

aksijalno opterecenje

M

smicanje

M

Mt

uvijanje (torzija)Mt

ravno cisto savijanje

3FF1 2F

F F

ravno cisto savijanje

ij j il

F

i ij j

F

02/05/2011 41

ravno savijanje silama izvijanje

Složeni oblici opterećenja:

qx

AF

x0

y0

F

koso savijanje

F

z y

y

ekscentricno opterecenje

A

xB z

yM

p j

opF

z

zz'

x

xM

D

tMz

y90

d

xRy' M

N

Mz

x, x'

o

opruge = aksijalno opterecenje & savijanje & uvijanje

y

savijanje & uvijanje

op

DFop

dM

yy

N

F

Q

02/05/2011 42

opruge aksijalno opterecenje & savijanje & uvijanjesavijanje & uvijanje

7. Kriteriji dimenzioniranja

• kriterij čvrstoće (KČ)

• kriterij krutosti (KK)

• kriterij stabilnosti (KS)

02/05/2011 43

• Kriterij čvrstoće:

• kriterij maksimalnog normalnog naprezanja:• kriterij maksimalnog normalnog naprezanja:

max dopσ σ≤

• kriterij maksimalnog tangencijalnog naprezanja:

max dopτ τ≤

• kriterij ekvivalentnog (reduciranog normalnog) naprezanja:

k dσ σ≤ekv dopσ σ≤

02/05/2011 44