Notas Aula Hiperestatica UFBA

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA

DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS ENG 298 – ESTÁTICA DAS CONTRUÇÕES

1ª. UNIDADE


DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS ENG 298 – ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES

2° Semestre de 2008

PROGRAMA DA DISCIPLINA 1. DIRETRIZES PARA A ELABORAÇÃO DE UM PROJETO ESTRUTURAL

1.1. Elementos Estruturais 1.2. Sistemas Estruturais 1.3. Forma da Estrutura

2. AÇÕES ATUANTES NAS ESTRUTURAS

2.1. Ações Permanentes 2.2. Ações Variáveis 2.3. Ações Excepcionais

3. CARREGAMENTO DE PAVIMENTOS - AÇÕES VERTICAIS

3.1. Carregamento de Lajes 3.2. Carregamento de Vigas 3.3. Carregamento de Pilares

4. AÇÕES DEVIDAS AO VENTO – AÇÕES HORIZONTAIS

4.1. Efeitos Estáticos do Vento 4.2. Forças devidas ao Vento em Edifícios

5. ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO

5.1. Ações Horizontais 5.2. Painéis de Contraventamento 5.3. Modelos para a Determinação dos Esforços Solicitantes

6. ESTABILIDADE GLOBAL DE EDIFÍCIOS 6.1. Classificação das Estruturas de Acordo com sua Deslocabilidade 6.2. Processos Utilizados para a Avaliação da Estabilidade Global de Edifícios

a) Parâmetro de Instabilidade α b) Coeficiente γZ

7. LINHAS DE INFLUÊNCIA – AÇÕES MÓVEIS

7.1. Definição de Linhas de Influência 7.2. Definição das Ações Móveis (Trens Tipo) 7.3. Envoltória de Esforços Cortantes 7.4. Envoltória de Momentos Fletores

8. MUROS DE ARRIMO

8.1. Tipos de Muros de Arrimo 8.2. Verificação da Estabilidade de Muros de Arrimo

METODOLOGIA DE AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM

A avaliação da aprendizagem, de acordo com o Regulamento do Ensino de Graduação, será realizada a partir:

• da apuração da freqüência às aulas. • da atribuição de notas aos alunos em três avaliações parciais e no exame final quando for o caso.

DATAS DAS AVALIAÇÕES:

Primeira Avaliação: 15/09/2008 Segunda Avaliação: 22/10/2008 Terceira Avaliação: 01/12/2008 Segunda Chamada: 05/12/2008 Prova final: 17/12/2008

OBSERVAÇÕES:

1. Nas avaliações podem ser utilizadas calculadoras científicas. Não é permitido o uso de calculadoras programáveis e alfanuméricas (HP, Casio, etc), palm top, handheld e telefone celular.

2. O aluno que faltar às avaliações e entrar com o pedido de segunda chamada no Departamento de Construção e Estruturas, apresentando justificativa de acordo com o Regulamento do Ensino de Graduação da UFBA

(www.sgc.ufba.br), e no prazo determinado por este, poderá fazer outra avaliação com o mesmo assunto da avaliação que faltar, e em horário determinado a critério da professora.

3. O aluno que faltar a uma avaliação, sem justificativa, deverá entrar com um pedido de segunda chamada no Departamento de Construção e Estruturas, no prazo determinado pelo REG, e poderá fazer outra avaliação com todo o assunto do curso, a ser realizada em 05/12/2008.

PLANO DE CURSO

No. DIA DATA ASSUNTO

1 Segunda 18/ago Apresentação do curso / Considerações Iniciais

2 Quarta 20/ago Diretrizes para a elaboração de um projeto estrutural

3 Segunda 25/ago Diretrizes para a elaboração de um projeto estrutural

4 Quarta 27/ago Ações atuantes nas edificações

5 Segunda 1/set Carregamento de pavimentos

6 Quarta 3/set Carregamento de pavimentos

7 Segunda 8/set Não haverá aula

8 Quarta 10/set Carregamento de pavimentos

9 Segunda 15/set PRIMEIRA AVALIAÇÃO

10 Quarta 17/set Ação do vento nas estruturas

11 Segunda 22/set Ação do vento nas estruturas

12 Quarta 24/set Ação do vento nas estruturas

13 Segunda 29/set Ação do vento nas estruturas

14 Quarta 1/out Estruturas de contraventamento

15 Segunda 6/out Estruturas de contraventamento

16 Quarta 8/out Estruturas de contraventamento

17 Segunda 13/out Estabilidade global das estruturas

18 Quarta 15/out Estabilidade global das estruturas

19 Segunda 20/out Estabilidade global das estruturas

20 Quarta 22/out SEGUNDA AVALIAÇÃO

21 Segunda 27/out Linhas de influência: Conceitos

22 Quarta 29/out Linhas de influência: Conceitos

23 Segunda 3/nov Linhas de influência: Envoltória de esforços solicitantes

24 Quarta 5/nov Linhas de influência: Envoltória de esforços solicitantes


26 Quarta 12/nov Linhas de influência: Envoltória de esforços solicitantes


28 Quarta 19/nov Muros de arrimo: Verificação da estabilidade

29 Segunda 24/nov Muros de arrimo: exercícios

30 Quarta 26/nov Muros de arrimo: exercícios

31 Segunda 1/dez TERCEIRA AVALIAÇÃO

32 Sexta 5/dez SEGUNDA CHAMADA

33 Quarta 17/dez PROVA FINAL

2a. U

NID

AD

E3

a. U

NID

AD

E1

a.

UN

IDA

DE

* Datas sujeitas a alterações

BIBLIOGRAFIA

Constante nas notas de aula fornecidas aos alunos.

REGULAMENTO DO ENSINO DE GRADUAÇÃO

CAPÍTULO VI Da Avaliação da Aprendizagem

Artigo 96 - Entende-se por avaliação de aprendizagem o processo de apreciação e julgamento do rendimento acadêmico dos alunos, com o objetivo de acompanhamento, diagnóstico e melhoria do processo de aprendizagem, bem como com a finalidade de habilitação do aluno em cada componente curricular.

Artigo 97 - A avaliação de aprendizagem far-se-á por período letivo, semestral ou anual, compreendendo:

I – a apuração das freqüências às aulas, atividades e aos trabalhos escolares;

II – a atribuição de notas aos alunos em avaliações parciais através de trabalhos escolares e no exame final quando for o caso.

Artigo 98 - As avaliações de aprendizagem através de trabalhos escolares e do exame final serão expressas sob a forma de notas numéricas, até uma casa decimal, obedecendo a uma escala de zero (0) a dez (10).

Parágrafo 1o - A metodologia de avaliação da aprendizagem será definida pelo professor ou grupo de professores de cada componente curricular no respectivo plano de curso, aprovado pelo plenário do Departamento e encaminhado ao(s) Colegiado(s) do(s) Curso(s) para conhecimento.

Parágrafo 2o - Até o final da segunda semana letiva, a metodologia da avaliação da aprendizagem será divulgada aos alunos em sala de aula.

Artigo 99 - Os trabalhos escolares para avaliações parciais de aprendizagem são obrigatórios, conferindo-se nota zero (0) ao aluno que não os fizer.

Parágrafo 1o - O aluno que faltar ou não executar trabalho escolar, ao qual será atribuída nota para fins de aprovação ou reprovação, terá direito à segunda chamada, se a requerer ao professor responsável pela disciplina, até dois dias úteis após a sua realização, comprovando-se uma das seguintes situações:

I - direito assegurado por legislação especifica;

II – motivo de saúde comprovado por atestado médico;

III – razão de força maior, a critério do professor responsável pela disciplina.

Parágrafo 2o - A nota atribuída em segunda chamada substituirá a nota zero (0).

Parágrafo 3o - A falta à segunda chamada implicará na manutenção automática e definitiva da nota zero (0).

Parágrafo 4o - A avaliação da aprendizagem em segunda chamada será feita pelo próprio professor da turma, em horário por este designado, com, pelo menos, três (3) dias de antecedência, consistindo na execução de trabalhos similares àqueles aplicados na primeira chamada.

Artigo 100 - Ao longo do período letivo, deverão ser atribuídas a cada aluno, com base nos trabalhos escolares, no mínimo duas (2) e no máximo seis (6) notas.

Artigo 101 - O exame final constará de prova escrita e/ou prática e/ou oral e/ou execução de um trabalho, versando sobre assunto da matéria lecionada no período.

Parágrafo 1o - O exame de que trata o caput deste artigo deverá realizar-se, no mínimo, uma semana após o encerramento do curso.

Parágrafo 2o - Aplicam-se ao exame final as disposições dos parágrafos 1o, 2o, 3o e 4º do artigo 99 desde regulamento.

Artigo 102 - A nota final do aluno, em cada componente curricular, será determinada pela média aritmética ponderada dos dois valores seguintes:

I – média aritmética simples, sem aproximação, dos valores das notas obtidas pelo aluno nas avaliações parciais de aprendizagem, com peso seis (6);

II – nota obtida no exame final, com peso quatro (4).

Parágrafo 1o - A nota final correspondente ao valor obtido de acordo com os incisos I e II deste artigo será expressa sob a forma de números inteiros ou fracionários, até uma casa decimal, numa escala de zero (0) a dez (10).

Parágrafo 2o - Será dispensado do exame final, salvo se o requerer dentro das vinte e quatro (24) horas que precedem o exame, o aluno que, durante as avaliações parciais da aprendizagem, houver alcançado média mínima igual ou superior a sete (7), sem aproximação, média esta que corresponderá à nota final.

Artigo 103 - Será considerado inabilitado ou reprovado, em cada componente curricular, o aluno que alternativa ou cumulativamente:

I – deixar de cumprir a freqüência mínima de setenta e cinco por cento (75%) às aulas e às demais atividades escolares de cada componente curricular, ficando, conseqüentemente, vedada a realização das avaliações subseqüentes ao estudante que tenha faltado mais de 25% da carga horária do componente curricular;

II – não obtiver nota igual ou superior a um vírgula sete (1,7) resultante da média das avaliações parciais de cada componente curricular, ficando conseqüentemente vedada a prestação do exame final;

III – não obtiver nota final igual ou superior a cinco (5), sem aproximação, resultante da média das avaliações parciais e do exame final de cada componente curricular.

Artigo 104 - Os trabalhos escolares aos quais sejam atribuídas notas, para fins de aprovação ou reprovação dos alunos, deverão ser marcados com pelo menos uma semana de antecedência e, preferencialmente, figurar no plano de curso do componente curricular, respeitados os dias e horários destinados ao ensino do mesmo.

Parágrafo 1o - O resultado de cada avaliação parcial de aprendizagem deverá ser divulgado ao aluno antes da realização da avaliação seguinte com no mínimo quarenta e oito (48) horas de antecedência.

Parágrafo 2o - Os trabalhos escolares referidos no caput deste artigo deverão ser comentados pelo professor, em sala de aula, após a divulgação das notas, eliminando as dúvidas por parte dos alunos.

Artigo 105 – O trabalho escolar poderá ter sua nota reavaliada em primeira instancia pelo professor que a atribuiu e em segunda instancia por uma banca examinadora composta por três (3) professores inclusive o professor responsável pela turma, mediante solicitação escrita e fundamentada pelo aluno, se a encaminhar até três (3) dias úteis após o dia da divulgação do resultado, ao Departamento respectivo, instancia definitiva.

Parágrafo único - Quando a nota a ser reavaliada tiver sido atribuída por mais de um professor, constituir-se-á nova banca examinadora a qual deverá integrar o docente responsável pela turma.

Supresso - Prevalece o Artigo 45 do Regimento da UFBA:

Artigo 45 - O trabalho escolar poderá ter sua nota reavaliada pelo professor que atribuiu, por solicitação escrita e fundamentada pelo aluno, se requerido até 3 (três) dias úteis após o dia da divulgação do resultado, ao Departamento respectivo, instância definitiva.

Artigo 106 - Para o componente curricular cuja particularidade exigir um sistema de avaliação específico, esse sistema deverá ser submetido à aprovação do(s) respectivo(s) Colegiado(s) de Curso e da Câmara de Ensino de Graduação, resguardando-se o princípio de avaliação intermediária e de recurso de conceito.

OBSERVAÇÃO: O texto completo do Regulamento do Ensino de Graduação pode ser encontrado no seguinte sítio: http://www.sgc.ufba.br

ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 1

Texto provisório – Sujeito a alterações

11 DDIIRREETTRRIIZZEESS PPAARRAA AA EELLAABBOORRAAÇÇÃÃOO DDEE UUMMPPRROOJJEETTOO EESSTTRRUUTTUURRAALL

1.1 INTRODUÇÃO

A simples observação das construções existentes no meio urbano é suficiente para indicar a

grande diversidade de estilos arquitetônicos cotidianamente empregados. Não tão notória, entretanto, é a

variedade de soluções estruturais às quais os projetistas podem recorrer.

Cada solução estrutural consiste num conjunto de estruturas de suporte da construção, seja ela

uma residência, um edifício alto, ou uma contenção, que necessita de projeto, planejamento e execução

particulares.

As estruturas de suporte, também denominadas sistemas estruturais , devem ser entendidas

como disposições racionais e adequadas de diversos elementos estruturais , classificando-se como

elementos estruturais os corpos sólidos, elásticos-deformáveis, que possuem capacidade de receber e

de transmitir ações.

A estrutura portante dos edifícios pode ser constituída por elementos estruturais de materiais

diversos, como o concreto (simples, armado ou protendido), a alvenaria estrutural (armada ou não), os

metais (aço e alumínio), a madeira, e, mais recentemente, a argamassa armada. Não são raros os casos

de associações entre esses materiais, dos quais pode-se destacar a grande difusão do uso de estruturas

em composite (vigas metálicas e lajes de concreto que funcionam conjuntamente).

A decisão para se projetar a estrutura portante de um edifício utilizando qualquer uma das opções

anteriormente citadas depende não apenas de fatores técnicos, mas também econômicos e executivos.

Independente da solução adotada, os critérios de segurança da estrutura devem ser obrigatoriamente

atendidos.

Neste curso, as diretrizes apresentadas se referem basicamente às estruturas em concreto

armado.



1.2 ELEMENTOS ESTRUTURAIS

Os elementos estruturais dos sistemas estruturais convencionais dos edifícios de concreto armado

arranjam-se na superestrutura ou na fundação. No primeiro grupo, destacam-se as lajes, as vigas, os

pilares e os conjuntos destes elementos (como as escadas e os reservatórios); no segundo, pode-se citar

as sapatas (flexíveis ou semi-rígidas) e os blocos sobre estacas.

Diversas são as possibilidades de classificação desses elementos; a mais simples e direta talvez

seja a classificação geométrica. E dentro dos diversos dados geométricos passíveis de serem analisados, é

usual se estudar as relações entre as ordens de grandeza das três dimensões características de cada

elemento estrutural.

1.2.1 CLASSIFICAÇÃO QUANTO À GEOMETRIA

Com base na classificação geométrica, pode-se agrupar os elementos estruturais em quatro tipos

fundamentais:

a) Elementos lineares de seção delgada

São os elementos que têm a espessura b muito menor que a altura h da seção transversal e, esta

muito menor que o comprimento l , como mostrado na figura abaixo.

lh b

Figura 1.1 - Elementos lineares de seção delgada.

Estes elementos são estudados pala Teoria das Barras de Elementos Delgados. Podem ser citados

como exemplos as peças de argamassa armada.

b) Elementos lineares de seção não delgada ou barras

São os elementos que têm a espessura b da mesma ordem de grandeza da altura h da seção

transversal, ambas bem menores que o comprimento l .

Os elementos lineares de seção não delgada, nas estruturas dos edifícios, são as vigas, os pilares

e, se houver, os tirantes.



Os esforços solicitantes nesses elementos são calculados a partir dos conceitos relativos à

Resistência dos Materiais.

lh

b

Figura 1.2 - Elementos lineares de seção não delgada.

c) Elementos bidimensionais

São os elementos estruturais que têm as suas dimensões em planta (b e l) da mesma ordem de

grandeza, e muito maiores que a espessura (h).

lh

b

Figura 1.3 - Elementos bidimensionais.

Como exemplos de elementos bidimensionais têm-se as lajes dos pavimentos dos edifícios, as

paredes dos reservatórios, as lajes das escadas e as cortinas de contenção, etc.

d) Elementos tridimensionais ou blocos

São aqueles que têm as três dimensões da mesma ordem de grandeza. São exemplos de

elementos tridimensionais as sapatas, os blocos sobre estacas, os consolos entre outros.

lh

b

Figura 1.4 - Elementos tridimensionais.



Para efeito de orientação prática, pode-se considerar da mesma ordem de grandeza as dimensões

cuja relação se mantenha inferior a 1:10.

Esse tipo de classificação, apesar de correto, não associa cada elemento com seu comportamento

estrutural. E essa associação é de fundamental importância para um bom projeto estrutural.

1.2.2 CLASSIFICAÇÃO QUANTO AO COMPORTAMENTO ESTRUTURAL

O ponto de partida de um projeto estrutural consiste na idealização de um arranjo estrutural

formado por elementos estruturais, com o qual se pretende que todas as partes da construção possam ter

sua resistência assegurada. Para se imaginar um arranjo estrutural eficiente, é necessário se conhecer o

comportamento de cada elemento da estrutura a ser projetada, ou seja, a forma com que as ações são

recebidas e transmitidas.

Torna-se conveniente relacionar as características de funcionamento dos elementos com suas

características geométricas, a fim de se escolher corretamente a teoria que regerá o cálculo dos esforços.

Assim sendo, pode-se apresentar a seguinte classificação:

a) Elementos lineares

Os elementos lineares, de seção delgada ou não, são caracterizados segundo a Mecânica das

Estruturas como elementos de barras. Podem ser submetidos a solicitações normais ou tangenciais. As

solicitações normais (momento fletor e/ou esforço normal) são características das barras submetidas a

compressão uniforme, flexão composta (normal ou oblíqua), flexão simples ou tração simples. As

solicitações tangenciais (esforços cortantes) se limitam a barras submetidas a flexão simples.

São exemplos de elementos lineares usuais:

• Pilares

Os pilares são barras submetidas a ação ou de compressão simples ou de flexão composta. Essa

variação do tipo de solicitação é função da posição de cada um deles na planta do edifício, como pode ser

visto na Figura 1.5.

• Vigas

As vigas são barras submetidas a flexão simples. Geralmente encontram-se na horizontal, servindo

de apoio para as lajes.

• Tirantes

Os tirantes são barras submetidas a tração simples. São usualmente feitos com materiais

metálicos, pois o concreto apresenta uma resistência à tração muito baixa.



Laje

VigaPilar

a) Planta

Mx

yMN

b) Pilar de canto (flexão composta oblíqua)

Mx

N

c) Pilar de extremidade (flexão composta normal)

N

d) Pilar central (compressão centrada)

Figura 1.5- Solicitações nos pilares.



b) Elementos bidimensionais

Os elementos bidimensionais são elementos de superfície nos quais, como já foi visto, duas das

dimensões, medidas ao longo da superfície média, têm ordem de grandeza maior que a espessura.

Quando a curvatura na superfície média for diferente de zero, estes elementos são chamados de

cascas ; caso contrário, ou seja, quando a curvatura for nula, são chamados ou de placas ou de chapas .

As cascas são estruturas não planas que têm sido utilizadas na construção de coberturas de

grandes vãos, tampas de reservatórios de grande capacidade de armazenamento, e silos, entre outros.

Figura 1.6 - Exemplo de casca.

As placas caracterizam-se por uma ação uniformemente distribuída, aplicada perpendicularmente

ao plano de sua superfície média.

Figura 1.7 – Exemplo de placa.

As chapas , por outro lado, apresentam a ação uniformemente distribuída aplicada paralelamente

ao plano da superfície média.

Figura 1.8 – Exemplo de chapa.



São exemplos de elementos bidimensionais:

• Lajes

As lajes são placas de concreto armado, normalmente dispostas horizontalmente, podendo

apresentar-se segundo alguns diferentes tipos, como: moldadas no local ou pré-fabricadas; maciças ou

nervuradas. Além disso, podem estar diretamente apoiadas nos pilares, dispensando o uso de vigas, sendo

nestes casos chamadas de lajes-cogumelo ou lajes planas.

As lajes maciças são aquelas em que, ao longo de toda sua superfície, a espessura é mantida

constante ou sofre pequena variação. As lajes nervuradas, por sua vez, podem ser entendidas como um

conjunto de pequenas vigas (nervuras), em uma ou nas duas direções, solidarizadas a uma mesa de

espessura constante (laje maciça).

As lajes sem vigas apóiam-se diretamente sobre pilares. Estes pilares podem ou não possuir um

aumento da sua seção transversal próximo da ligação com a laje, que é chamado capitel, cuja principal

finalidade é diminuir as tensões de cisalhamento nessa região, prevenindo a punção. Quando a laje

apresenta capitel, ela pode ser chamada de laje -cogumelo; quando não apresenta, é chamada de laje

plana.

Figura 1.9 - Lajes sem vigas, com ou sem capitéis.

Quanto aos esforços, as lajes são solicitadas essencialmente a flexão simples, com momentos

fletores agindo nas direções de seus eixos principais.

• Paredes

As paredes estruturais são chapas de concreto armado, definidas pela NB-1/78 como "estruturas

laminares planas verticais, apoiadas de modo contínuo em toda a sua base, sendo que o

comprimento da seção transversal é maior que 5 vezes a largura".



Como exemplo pode-se citar as paredes de reservatórios enterrados ou apoiados diretamente

sobre o solo, cuja laje de fundo funciona também como fundação. As reações de apoio das lajes de tampa

e de fundo, transmitidas às paredes são ações uniformemente distribuídas e que atuam paralelamente ao

seu plano médio.

b

h > 5b

Figura 1.10 - Parede

• Vigas Parede

As vigas parede são chapas de concreto armado, definidas pela NB-1/78 como "estruturas

laminares planas verticais apoiadas de modo descontínuo, cuja altura total, no caso de peças de

tramo único livremente apoiadas, seja no mínimo igual à metade do vão, e nos demais casos seja

no mínimo igual a 0,4 do vão".

l

h ≥ 0,5 lou

h ≥ 0,4 l

Figura 1.11 – Viga-parede

Como exemplo de vigas parede podem ser citadas as paredes de reservatórios elevados, apoiadas

sobre pilares, que além de receberem o empuxo de água (comportamento de placa), recebem as reações

de apoio das lajes de tampa e de fundo. trabalhando como chapa.

c) Sapatas Flexíveis

As sapatas flexíveis, que podem ser consideradas como placas, são elementos estruturais que têm

a finalidade de transferir para o terreno as ações dos pilares. Elas possuem altura relativamente menor

que as dimensões da base, o que contribui para que os esforços devidos à flexão simples e à punção sejam

relevantes para o dimensionamento.



d) Elementos tridimensionais

Dentre os elementos estruturais, os tridimensionais são os de análise mais complexa, devido às

dificuldades de se estudar a distribuição das tensões.

São exemplos de elementos tridimensionais:

• Sapatas semi-rígidas

As sapatas semi-rígidas, assim como as flexíveis, são elementos estruturais que têm a finalidade

de transferir para o terreno as ações dos pilares. Possuem altura da mesma ordem de grande das

dimensões da base.

• Blocos sobre estacas

Os blocos sobre estacas são elementos de transição. Sua função é transmitir as ações dos pilares

para as estacas, que, por sua vez, transmitem-nas ao terreno. Vale ressaltar que as estacas não são

necessariamente de concreto, podendo ser também de madeira ou metálicas.

• Consolos

Os consolos podem ser definidos como vigas de pequeno vão em balanço, com relação entre vão

e altura menor do que 1,0. São solicitados principalmente ao cisalhamento.

e) Conjuntos de elementos estruturais

Os conjuntos de elementos estruturais são aqueles formados por elementos estruturais diversos, de

geometria e comportamentos não necessariamente iguais, que juntos conseguem desempenhar uma

determinada função específica diferente de suas funções individuais.

Muitos dos sistemas estruturais dos edifícios são compostos por conjuntos de elementos

estruturais. Podem ser citados:

• Reservatórios

Os reservatórios são compostos por elementos de placa que apresentam comportamentos

estruturais diferentes. No caso de reservatórios elevados, as paredes desempenham tanto a função de

lajes verticais, submetidas a ação da água, como as de vigas parede, submetidas a ação das reações de

apoio das lajes de tampa e de fundo.

• Escadas

As escadas são compostas por lajes, que formam os patamares e os degraus, apoiadas em vigas,

posicionadas ou transversalmente ou longitudinalmente.

• Muros de Arrimo

Os muros de arrimo também podem ser considerados como conjuntos de elementos estruturais

quando são formados por uma parede, em contato direto com o terreno a ser contido, e por uma sapata



corrida, em sua base. Enquanto a parede se comporta como uma laje submetida a uma ação linearmente

variável (empuxo de terra), a sapata também se comporta como uma placa cuja finalidade seria equilibrar

o momento de tombamento gerado pela parede.

Esses elementos ou conjuntos de elementos estruturais descritos anteriormente podem ser

visualizados na figura abaixo, que apresenta a perspectiva de parte de um edifício.

Figura 1.16 – Perspectiva de parte de um edifício.

1.3 SISTEMAS ESTRUTURAIS

Como já mencionado, os elementos estruturais podem ser utilizados de variadas formas na

composição de um sistema estrutural. Em qualquer uma delas, cada elemento deve ser capaz de

desempenhar adequadamente sua função individual, contribuindo para a adequação do desempenho da

edificação como um todo.

Quando uma ação é aplicada a um dos elementos estruturais de um edifício, os demais acabam

por receber parcelas dela, em forma de reações. Com isso a capacidade resistente da estrutura cresce.

Em outras palavras, cada laje, viga, pilar ou parede estrutural deve apresentar, individualmente, resistência

mecânica, estabilidade local e rigidez, de modo que a resistência global da edificação seja suficiente para

garantir a segurança.

O funcionamento conjunto dos elementos estruturais é conseguido através da transmissão das

ações, verticais e horizontais.

Num edifício de vários pavimentos, de estrutura convencional, as lajes (elementos de placa

horizontais) recebem as ações verticais distribuídas em sua superfície e as transmitem para seus apoios: as



vigas (elementos lineares horizontais). Estas, por sua vez, distribuem suas ações (reações das lajes e

cargas de parede) para os pilares (elementos lineares verticais), lance a lance, de forma que a carga final

na fundação corresponde à carga total incidente na edificação, mais seu peso próprio.

Com relação às ações horizontais, o sistema resistente é constituído basicamente pelo conjunto de

pilares e vigas, denominado pórtico. Se houver necessidade de se aumentar a capacidade desse sistema,

pode-se introduzir chapas verticais rígidas, chamadas de pilares-parede, que podem atuar isolados ou em

pórticos.

1.3.1 DISPOSIÇÃO DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS EM UM SISTEMA

ESTRUTURAL

Dentre os aspectos que regem a disposição dos elementos estruturais dentro de um sistema

estrutural, é essencial que o projetista gere condições de resistência para a estrutura, tanto às ações

verticais como às horizontais.

A idealização de um projeto estrutural está, portanto, intimamente associada ao conhecimento das

ações incidentes. Só assim pode-se coletá-las e controlar-lhes o fluxo até a fundação.

Pode-se subdividir os sistemas estruturais em subsistemas, de acordo com o tipo de ação que ele

se destina a receber: horizontal ou vertical.

a) Subsistemas Horizontais

Os subsistemas horizontais são formados por combinações de elementos de placa (lajes) e barra

(vigas) dispostos horizontalmente. O exemplo mais simples seria formado apenas por painéis de laje, sem

vigas (laje cogumelo).

Esses grupos de elementos estruturais têm duas finalidades principais: coletar e transmitir as ações

gravitacionais (verticais) para os diversos subsistemas verticais, em função da rigidez e disposição de cada

um deles; e coletar e transmitir as ações horizontais para os subsistemas verticais que compõem os painéis

resistentes às ações laterais.

O caminho das ações gravitacionais já foi mencionado anteriormente. Quanto às horizontais, as

lajes, por apresentarem rigidez “infinita” no plano horizontal (comportamento de diafragma rígido),

distribuem essas ações de acordo com a rigidez dos elementos que as suportam (subsistemas verticais); as

vigas, neste caso, funcionam como enrijecedores do subsistema horizontal e auxiliam na transmissão das

ações para os pilares.

b) Subsistemas Verticais

Os subsistemas verticais são formados por elementos de barra ou de chapa, dos quais pode-se

destacar os pilares, os pórticos, os pilares-parede, e as caixas de elevadores e escadas (arranjos

tridimensionais de chapas que geralmente envolvem as regiões de fluxo humano vertical nos edifícios).



Esses grupos de elementos estruturais têm três finalidades principais: suportar os subsistemas

horizontais; compor com os subsistemas horizontais os painéis resistentes às ações laterais; e transmitir as

ações gravitacionais e horizontais que recebe para os elementos de fundação.

1.4 ESCOLHA DA FORMA DA ESTRUTURA

Para que se possa determinar o arranjo estrutural de uma edificação, ela deve estar perfeitamente

delimitada através de um projeto arquitetônico. E é importante que a posição dos elementos estruturais não

crie interferências neste projeto (apesar dele usualmente criar imposições estruturais) nem nos demais

(instalações hidráulicas, sanitárias, elétricas, ar condicionado, incêndio, telefone, etc).

A forma de uma estrutura em concreto armado é definida a partir da posição dos pilares, e depois

das vigas. Com a disposição destas, os painéis das lajes ficam definidos.

1.4.1 LOCAÇÃO DOS PILARES

Como já foi dito, a forma da estrutura começa a ser delineada a partir do posicionamento dos

pilares, chamado de locação, e sempre em concordância com o projeto arquitetônico.

Procura-se manter um certo alinhamento entre estes elementos, com a finalidade de gerar pórticos

capazes de resistir às ações horizontais. Também é conveniente posicioná-los coincidindo com as paredes

previstas pela arquitetura.

Não se pode deixar de ter em mente que afastamentos exagerados entre pilares exigirão vigas

com alturas significativas, em decorrência do grande vão livre. Como muitas vezes essas alturas são

limitadas pelas esquadrias, o melhor é se controlar as distâncias entre apoios.

Quanto às dimensões, elas são adotadas em função dos esforços solicitantes, respeitando-se os

limites mínimos estabelecidos por norma.

1.4.2 POSICIONAMENTO DAS VIGAS

As vigas podem se apoiar diretamente nos pilares, ou em outras vigas.

É conveniente posicioná-las coincidindo com as paredes previstas pela arquitetura. Entretanto, não

é necessário se prever uma viga coincidindo com cada parede do pavimento, uma vez que as lajes são

capazes de absorver suas cargas linearmente distribuídas.

Também não se pode deixar de ter em mente que afastamentos exagerados entre vigas exigem

lajes com espessuras elevadas, em decorrência do grande vão livre. Como isso acarreta um grande

consumo de concreto, o melhor é se controlar as distâncias entre apoios.

As larguras das vigas são adotadas em função da necessidade de compatibilizá-las com as

espessuras da parede acabada de alvenaria, respeitando-se os limites mínimos estabelecidos por norma; as



alturas, por sua vez, são definidas a partir dos esforços solicitantes e da arquitetura (não devem

ultrapassar a distância de piso a piso menos a altura das portas e caixilhos).

1.4.3 POSICIONAMENTO DAS LAJES

Uma vez definida as posições dos pilares e das vigas, as lajes ficam automaticamente

determinadas.

1.4.4 PAVIMENTO DE TRANSIÇÃO

Se os pilares lançados para o pavimento-tipo estiverem em posições que interferem áreas

destinadas a garagem ou em algum ambiente social do playground, eles não poderão descer até o nível da

fundação. O pavimento onde esses pilares nascerão é o chamado de pavimento de transição.

Os pavimentos de transição caracterizam-se por vigas de grandes dimensões (vigas de transição),

uma vez que elas são carregadas pelas reações dos pilares, cuja ordem de grandeza é bastante superior ao

das vigas do pavimento-tipo. Por isso, este tipo de solução deve, sempre que possível, ser evitado.

1.4.5 RECOMENDAÇÕES

De uma maneira geral, quando do lançamento de uma estrutura, deve-se procurar:

• Atender ao projeto arquitetônico;

• Posicionar os pilares de modo a se obter distâncias entre seus eixos da ordem de 4 a 7 m,

preferencialmente alinhando-os para formar pórticos;

• Definir as lajes em conjunto com as vigas, de modo a se ter o menor vão da ordem de 4 a 6 m;

• Verificar sempre a interferência com os outros projetos complementares.

1.5 DIMENSÕES MÍNIMAS DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS

São apresentadas a seguir, as dimensões mínimas de alguns elementos estruturais em concreto

armado, de acordo com a NB1 (1978).

1.5.1 LAJES

a) Espessuras mínimas em função da utilização:

Lajes maciças Lajes sem vigas

Lajes de cobertura (não em balanço) 5 cm 12 cm

Lajes de piso e lajes em balanço 7 cm 15 cm

Lajes destinadas à passagem de veículos 12 cm 15 cm



b) Observações para lajes nervuradas:

A distância livre entre as nervuras não deve ultrapassar 100 cm;

A espessura das nervuras não deve ser inferior a 4 cm;

A espessura da mesa não deve ser inferior a 4 cm, nem a 1/15 da distância livre entre as

nervuras.

1.5.2 VIGAS

A largura das vigas de seção retangular, as nervuras das vigas de seção T e as paredes das vigas

de seção caixão não devem ser menores do que 8 cm.

1.5.3 PILARES

a) Pilares de estruturas convencionais

• Pilares não cintados:

A menor dimensão deve ser maior ou igual a 20 cm ou 1/25 da altura livre.

• Pilares cintados:

O diâmetro do núcleo do pilar deve ser maior ou igual a 20 cm ou 1/10 da altura livre.

b) Pilares que suportam lajes sem vigas

• Pilares não cintados:

A menor dimensão deve ser maior ou igual a 30 cm ou 1/15 da altura livre.

• Pilares cintados:

O diâmetro do núcleo do pilar deve ser maior ou igual a 30 cm ou 1/10 da altura livre.

c) Observações

1. Para pilares que suportam lajes sem vigas, sua espessura em cada direção não deve ser

inferior a 1/20 da distância entre seus eixos nessa direção.

2. Para pilares de estruturas convencionais, permite-se adotar espessuras menores que as

indicadas acima em alguns casos específicos, desde que o coeficiente de majoração dos

esforços adotado seja 1,8.



1.6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT (1978). (NB-1) NBR 6118 -

Projeto e execução de obras de concreto armado. Rio de Janeiro.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT (1997). Texto-Base para Revisão

da NB-1. Rio de Janeiro.

FUSCO, P. B. (1976). Estruturas de concreto: fundamentos do projeto estrutural. São Paulo.

McGraw – Hill / Editora da Universidade de São Paulo.

GIONGO, J. S. (1996). Concreto Armado: projeto estrutural de edifícios. Escola de Engenharia de

São Carlos – Universidade de São Paulo. Publicação 059.

MACGREGOR, J. G. (1992). Reinforced Concrete: Mechanics and Design. 2ed. Englewood Cliffs,

Prentice Hall.



22 AAÇÇÕÕEESS AA SSEERREEMM CCOONNSSIIDDEERRAADDAASS NNOO PPRROOJJEETTOO DDEE EEDDIIFFÍÍCCIIOOSS

2.1 INTRODUÇÃO

Segundo a NBR 8681/84, ações são “as causas que provocam esforços ou deformações nas

estruturas”. Na prática, os esforços e as deformações causados por essas ações são considerados como

se fossem as próprias ações.

Na análise estrutural, deve ser considerada a influência de todas as ações que possam produzir

efeitos significativos para a estrutura em estudo, considerando-se tanto os estados limites últimos como os

de utilização.

Ainda de acordo com a NBR 8681/84, as ações que atuam nas estruturas podem ser divididas em

ações permanentes, ações variáveis e ações excepcionais, de acordo com as variações de seus valores

em torno de sua média, ao longo da vida da construção.

As grandezas e os tipos de cada uma dessas ações variam segundo o as características e

peculiaridades da estrutura analisada, e de acordo com as normas pertinentes a cada caso.

2.2 AÇÕES PERMANENTES

Segundo o Texto-Base para Revisão da NB-1, as ações permanentes são “as que ocorrem com

valores praticamente constantes durante toda a vida da construção”. Também são consideradas

como permanentes as ações que crescem no tempo tendendo a um valor limite constante. As ações

permanentes são consideras com seus valores representativos mais desfavoráveis para a segurança.



2.2.1 AÇÕES PERMANENTES DIRETAS

As ações permanentes diretas são constituídas pelo peso próprio dos elementos de concreto

armado que compõem a estrutura, dos elementos construtivos e das instalações permanentes, além dos

empuxos devidos ao peso próprio de terras não removíveis e ao peso da água de piscinas e reservatórios.

2.2.2 AÇÕES PERMANENTES INDIRETAS

As ações permanentes indiretas são constituídas pelas deformações impostas pelos fenômenos de

retração ou fluência do concreto, deslocamentos de apoio, imperfeições geométricas ou protensão.

2.2.3 QUANTIFICAÇÃO DAS AÇÕES PERMANENTES DIRETAS

De acordo com a NBR 6120/80, devem ser considerados nos projetos de edifícios, os pesos

próprios de elementos estruturais (lajes, vigas, pilares e fundações), elementos de vedação (paredes de

alvenaria), caixilhos e divisórias, elementos de revestimento de paredes (como argamassas, azulejos,

pedras decorativas e madeiras), elementos de revestimentos de lajes (rebocos na face inferior das lajes,

contrapisos ou camadas de regularização, e pisos de madeira, cerâmica, pedras, carpetes, etc.).

O projetista da estrutura deve ter conhecimento de todos os materiais de acabamento

especificados e seus respectivos pesos próprios, para não cometer erros na avaliação das ações.

Por exemplo, um piso de 2 cm de espessura em ipê róseo tem peso por unidade de área igual a

0,20 kN/m2; se for usado um piso de mármore de mesma espessura, o peso passa para 0,56 kN/m2, o que

significa uma diferença de 180%.

Para situações gerais, e na falta de determinação experimental, a NBR 6120/80 fornece valores

aproximados dos pesos específicos aparentes de materiais de construção como os anteriormente citados.

Tais valores são apresentados na Tabela 2.1.

Para situações específicas, devem ser consultados catálogos do fabricante ou seu departamento

técnico, a fim de se tomar conhecimento do peso específico correto do material. Na falta de dados

normalizados ou de catálogos, há necessidade de se determinar experimentalmente os pesos específicos

dos materiais.

Em termos de projeto, é mais conveniente que os valores dos pesos próprios dos materiais estejam

referidos por unidade de área, e não de volume (pesos específicos). Por exemplo, para se determinar o

valor da ação de uma alvenaria atuante sobre uma viga de um edifício, por unidade de comprimento, o

cálculo se restringe à multiplicação da altura da alvenaria pelo peso por unidade de área pré-determinado.

Utilizando os valores dos pesos específicos aparentes indicados na Tabela 2.1, pode-se determinar

esses pesos por unidade de área para qualquer um dos materiais listados.



Materiais Peso específico aparente (kN/m3)

Arenito 26Basalto 30Gnaiss 30Granito 28Mármore e calcário 28Blocos de argamassa 22Cimento amianto 20

Blocos Lajotas cerâmicas 18Artificiais Tijolos furados 13

Tijolos maciços 18Tijolos sílico-calcários 20Argamassa de cal, cimento e areia 19

Revestimentos Argamassa de cimento e areia 21e Argamassa de gesso 12,5

concretos Concreto simples 24Concreto armado 25Pinho, cedro 5Louro, imbuia, pau óleo 6,5Guajuvirá, guatambu, grápia 8Angico, cabriuva, ipê róseo 10Aço 78,5Alumínio e ligas 28Bronze 85Chumbo 114Cobre 89Ferro fundido 72,5Estanho 74Latão 85Zinco 72Alcatrão 12Asfalto 13

Materiais Borracha 17diversos Papel 15

Plástico em folhas 21Vidro plano 26

Rochas

Madeiras

Metais

Tabela 2.1- Peso específico dos materiais de construção (Retirada da NBR 6120/80).

Exemplo do cálculo do peso próprio de alvenaria de um tijolo furado revestida

Seja uma alvenaria de tijolos furados, com dimensões de 9cm x 19cm x 19cm, revestida com

argamassa mista (cimento, areia, cal) de 2 cm de espessura. Pela tabela o peso específico aparente dos

tijolos furados é de 13 kN/m3, e da argamassa é de 19 kN/m3.



O assentamento dos tijolos será com a mesma argamassa, com camadas de 1cm de espessura

entre as fiadas horizontais e entre as faces verticais dos tijolos, como mostrado na Figura 2.1. Ainda nesta

figura, nota-se que a espessura final da alvenaria é de 23cm, já que a largura do tijolo é 19cm e o

revestimento de argamassa em cada face é de 2cm.

1190,5 0,519 19 19 19

1 1 1100

1

90,

59

1

9

1

9

1

9

1

9

1

9

1

9

1

9

1

90,

5

1 2 3 4 5

19

100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2 2

Figura 2.1 - 1m2 de alvenaria de tijolos furados com revestimento.

Para se construir uma parede de 1m2, são necessários 50 tijolos, cujo peso próprio é dado por:

50 x (0,19 x 0,19 x 0,09) x 13 = 2,11 kN/m2

Para se computar o peso próprio da argamassa de assentamento basta determinar o volume da

argamassa, na direção horizontal e vertical, e multiplicar pelo peso específico aparente da argamassa,

resultando:

10 x (0,19 x 0,01 x 0,95) x 19 + 5 x (0,19 x 0,01 x 1,00) x 19 = 0,52 kN/m2

O valor do peso próprio do revestimento em ambas as faces da alvenaria é dado por:

2 x (0,02 x 1,00 x 1,00) x 19 = 0,76 kN/m2

Portanto, o peso próprio de 1m2 de alvenaria de tijolo furado (Figura 2.1), revestida de argamassa

em cada face, é igual:

2,11 + 0,52 + 0,76 = 3,39 kN/m2

Na determinação deste valor já se imaginou que a resultante de cada parcial estava dividida por

1m2.



Para alvenarias com outros tipos de tijolos ou outras dimensões e tipos de revestimento, o

procedimento é análogo.

Na Tabela 2.2 são apresentados os pesos por unidade de área, m2, para os principais materiais de

alvenaria, enchimento de lajes rebaixadas, forros, coberturas, formas, esquadrias e caixilhos utilizados nos

edifício usuais. Para as paredes, considerou-se uma espessura de 1cm para a camada de assentamento e

1,5cm para a de revestimento. Para as coberturas, considerou-se o peso específico de telhas úmidas,

prevendo a ocorrência de chuvas.

Item Material Ação (kN/m2)

Tijolos maciços, com 25cm de espessura 4,0Tijolos maciços, com 15cm de espessura 2,5Tijolos furados, com 23cm de espessura 3,2Tijolos furados, com 13cm de espessura 2,2Tijolos de concreto, com 23cm de espessura 3,5Tijolos de concreto, com 13cm de espessura 2,2Tijolos de concreto celular, com 23cm de espessura 0,8Tijolos de concreto celular, com 13cm de espessura 0,5Com telhas cerâmicas, com madeiramento 1,2Com telhas de fibrocimento, com madeiramento 0,4Com telhas de alumínio e estrutura de aço 0,3Com telhas de alumínio e estrutura de alumínio 0,2Com painéis de gesso, com estrutura de madeira e aço 0,5Com blocos sólidos de gesso 0,7Com estruturas de alumínio, com vidros 0,2Com estruturas de aço, com vidros 0,3De fibrocimento tipo Canalete 43 0,28De fibrocimento tipo Canalete 90 0,25

Telhas

Paredes

Coberturas

Forros

Caixilhos

Tabela 2.2 - Ações permanentes por unidade de área.

2.3 AÇÕES VARIÁVEIS

Segundo a NBR 8681/84, as ações variáveis são “as que ocorrem com valores que apresentam

variações significativas em torno de sua média, durante toda a vida da construção”. Correspondem

às ações que ocorrem no uso das edificações, quantificadas através de estudos probabilísticos de

ocorrência.

2.3.1 AÇOES VARIÁVEIS NORMAIS

São aquelas com probabilidade de ocorrência suficientemente grande para que sejam

obrigatoriamente consideradas no projeto estrutural, de acordo com a NBR 8681/84. São as chamadas

cargas acidentais atuantes sobre as lajes dos pavimentos, decorrentes da presença, por exemplo, de

pessoas, móveis, utensílios e veículos.



2.3.2 AÇÕES VARIÁVEIS ESPECIAIS

São consideradas ações variáveis especiais aquelas que ocorrem durante um curto período na vida

útil da estrutura, como as ações sísmicas e as cargas de natureza ou intensidade especiais.

2.3.3 QUANTIFICAÇÃO DAS AÇÕES VARIÁVEIS NORMAIS

As ações variáveis normais são supostas verticais, uniformemente distribuídas e atuantes numa

superfície horizontal e plana, como uma laje. Seus valores mínimos para edifícios residenciais e comerciais

destinados a escritórios estão indicados na NBR 6120/80, e são apresentados na Tabela 2.3.

Ação (kN/m2)

(Incluindo a massa das máquinas) a ser determinada em cada caso, porém com valor mínimo deCom acesso ao público 3,0

Sem acesso ao público 2,5Edifícios Dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro 1,5

Residenciais Dispensa, área de serviço e lavanderia 2,0Com acesso ao público 3,0Sem acesso ao público 2,5Anfiteatro com assentos fixos, corredor e sala de aula 3,0Outras salas 2,0

Escritórios Salas de uso geral e banheiros 2,0Forros Sem acesso a pessoas 0,5

Galerias de Arte

Galerias de lojas

Garagens e Para veículo de passageiros ou semelhantes com carga

Estacionamentos máxima de 25 kN por veículoGinásio de esportes 5,0

Sem acesso ao público 2,0Terraços Com acesso ao público 3,0

Inacessível a pessoas 0,5

A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo de 3,0

3,0

Escolas

A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo de 3,0

7,5

Ambiente Arquitetônico

Casas de Máquinas

Corredores

Escadas

Tabela 2.3- Valores mínimos das ações variáveis normais (NBR 6120/80).

Para projetos de edifícios com outras finalidades, devem ser consultadas normas específicas.

Vale destacar que no caso de balcões e parapeitos, deve-se prever a mesma carga acidental do

ambiente com o qual há comunicação, além de uma ação horizontal de 0,8 kN/m na altura do corrimão e

uma ação vertical mínima de 2,0 kN/m.



2.4 AÇÕES EXCEPCIONAIS

As ações excepcionais são aquelas que têm duração extremamente curta e muito baixa

probabilidade de ocorrência durante a vida útil da construção, mas que devem ser consideradas no projeto

de determinadas estruturas. São provocadas por fenômenos como incêndios, enchentes, choques de

veículos e explosões.

No caso de concreto armado, existe uma norma específica para projeto de estruturas resistentes

ao fogo.



Projeto e Execução de Obras de Concreto Armado. Rio de Janeiro.


Cargas para Cálculo de Estruturas de Edificações. Rio de Janeiro.


Ações e Segurança nas Estruturas. Rio de Janeiro.



GIONGO, J. S. (1996). Concreto armado: projeto estrutural de edifícios. Escola de Engenharia de São

Carlos – Universidade de São Paulo. Publicação 059.

2,0



33 AAÇÇÕÕEESS VVEERRTTIICCAAIISS:: CCAARRRREEGGAAMMEENNTTOO DDEE UUMM PPAAVVIIMMEENNTTOO

3.1 INTRODUÇÃO

Já foi visto que a estrutura convencional de um edifício de vários pavimentos é constituída de lajes,

vigas e pilares. As ações verticais distribuídas na superfície das lajes são transmitidas, através das reações

de apoio, para as vigas. Estas, por sua vez, transmitem as ações que recebem para os pilares, lance a

lance, de forma que a carga final que chega na fundação corresponde à carga total incidente na

edificação.

Este capítulo indica como se determinar as ações verticais atuantes nas lajes, vigas e pilares. Para

isto, será desenvolvido, como exemplo, o carregamento de um pavimento de um edifício destinado a salas

de escritórios. Convém ressaltar que, nesta etapa do curso, ainda não serão consideradas as ações

horizontais.

3.2 DESCRIÇÃO DO EDIFÍCIO ESTUDADO

Seja um edifício destinado a salas de escritórios, cuja planta do pavimento tipo encontra-se na

Figura 3.1a, e sendo o pé-direito de 2,80 m. Foram escolhidas as seguintes especificações:

• pisos : L1 e L4, lajotas cerâmicas, com 1 cm de espessura;

L2, L3 e L5, tabuado em ipê róseo, com 2 cm de espessura;

• camada de regularização: argamassa de cimento e areia, com 2,5 cm de espessura;

• forro: argamassa de cal, cimento e areia, com 1cm de espessura;

• parede : tijolos maciços de 15cm de espessura;

• enchimento: L4, entulho (peso específico aparente de aproximadamente17 kN/m3);



347

397

31715 15

397

1515

115

1515

15

Mureta (H = 100cm)

Terraço

Sala 1 Sala 2

Sala 3

Sanitário Sanitário

15 151 15115 15

100

282

1515

Figura 3.1 - Planta de arquitetura



350

400

32012 12

400

1212

118

1212

12

V1 (12/60)

V2 (12/60)

V3 (12/60)

V4 (12/60)

V5

(12/

60)

V6

(12/

60)

V7

(12/

60)

L1h = 8

L2h = 10

L3h = 10

L5h = 10

L4h = 10

P1(20/40)

P2(20/40)

P3(20/40)

P5(20/40)

P6(20/40)

P7(20/40)

P4(20/20)

CORTE A-A'

30

1020

50

10

A A'

BB

'

301020

528

5010

CO

RT

E B

-B'

Figura 3.2 - Planta de forma



3.3 CARREGAMENTO DE LAJES

Atuam nas lajes as ações permanentes diretas, provenientes dos pesos próprios da placa de

concreto e dos materiais de acabamento, e as ações variáveis normais, decorrentes da utilização de cada

ambiente. Essas ações são adotadas por unidade de área.

3.3.1 CÁLCULO DO CARREGAMENTO DAS LAJES DO EDIFÍCIO ESTUDADO

a) AÇÕES PERMANENTES DIRETAS

• Laje L1

De acordo com as informações fornecidas, a laje L1 apresenta as seguintes camadas:

1.02.5

8.0

1.0

Piso Camada de regularização

Forro Laje

Figura 3.3 - Espessuras para cálculo dos pesos próprios na laje L1.

Utilizando-se os pesos específicos da Tabela 2.1, tem-se:

§ peso próprio da laje:

0,08 × 25 = 2,000 kN/m2

§ peso próprio da camada de regularização:

0,025 × 21 = 0,525 kN/m2

§ peso próprio do piso (lajota cerâmica):

0,01 × 18 = 0,180 kN/m2

§ peso próprio do forro:

0,01 × 19 = 0,190 kN/m2

Portanto, a ação permanente direta total na laje L1 é igual a 2,895 kN/m2.

• Lajes L2, L3 e L5

As lajes L2, L3 e L5 apresentam as camadas ilustradas na Figura 3.4.



2.02.5

10.0

1.0

Piso Camada de regularização

Forro Laje

Figura 3.4 - Espessuras para cálculo dos pesos próprios nas lajes L2, L3, L5.

Utilizando-se novamente os pesos específicos da tabela 2.1, tem-se:


0,10 × 25 = 2,500 kN/m2


0,025 × 21 = 0,525 kN/m2

§ peso próprio do piso (ipê róseo)

0,02 × 10 = 0,200 kN/m2


0,01 × 19 = 0,190 kN/m2

Portanto, a ação permanente direta total nas lajes L2, L3 e L5 é igual a 3,415 kN/m2.

• Laje L4

Como pode ser visto na figura 3.5, a laje L4 é rebaixada em relação às demais, e, de acordo com

a Tabela 2.1, têm-se os seguintes pesos próprios para as diversas camadas que a compõem:


0,10 × 25 = 2,500 kN/m2

§ peso próprio do piso (lajota cerâmica):

0,01 × 18 = 0,180 kN/m2


0,025 × 21 = 0,525 kN/m2


0,01 × 19 = 0,190 kN/m2

§ peso próprio do enchimento:

0,20 × 17 = 3,400 kN/m2



Piso

Camada de regularização

L5

V6ForroL4

20.0

10.01.0

1.02.5

Enchimento

Figura 3.5 - Espessuras para cálculo dos pesos próprios na laje L4

§ peso da parede:

Deve-se considerar também a ação das paredes que se apóiam na laje L4. A ação da parede

pode ser suposta uniformemente distribuída na área da laje, e determinada a partir dos comprimentos

medidos de eixo a eixo (vão teórico) das vigas de apoio. Para a L4 em estudo:

Lx = 3,20 + 0,12 = 3,32m

Ly = 4,00 + 0,12 = 4,12m

Portanto, a resultante da ação das paredes na laje L4 é:

22,96kN/m

4,12 3,322,50 0,10)(2,80 2,82)(3,17

=⋅

⋅−⋅+

onde,

(3,17 + 2,82) é o somatório dos comprimentos das paredes;

(2,80 - 0,10) é a altura total da parede, que corresponde ao pé direito, menos a espessura da laje;

2,50 é o peso por unidade de área da parede de tijolos maciços, com 15 cm de espessura

(Tabela 2.2);

3,32 × 4,12 é a área da laje; corresponde ao produto dos comprimentos medidos de eixo a eixo das

vigas de apoio.

Portanto, a ação permanente direta total da laje L4 vale 9,755 kN/m2



b) AÇÕES VARIÁVEIS NORMAIS

Como o edifício em estudo é destinado a escritórios, a ação variável normal a ser

considerada é igual a 2,0 kN/m2 , segundo a NBR 6120/80 (Tabela 2.3).

c) AÇÕES VERTICAIS TOTAIS

Para as lajes analisadas nos itens anteriores, as ações verticais totais, correspondentes à

soma das ações permanentes diretas (g) e das ações variáveis normais (q), são apresentadas a seguir.

Camada de

Regularização

L1 8 2 0,18 0,525 0,19 - - 2,895 2 4,895

L2

L3

L5L4 10 2,5 0,18 0,525 0,19 3,4 2,96 9,755 2 11,755

2 5,415

Laje Piso Forro Enchimento Paredeq (kN/m2) p (kN/m2)

10 2,5 0,2 0,525 0,19 - - 3,415

Laje h(cm)Peso próprio (kN/m2)

g (kN/m2)

3.3.2 CÁLCULO DO PESO PRÓPRIO DE LAJES NERVURADAS

No caso de lajes nervuradas, como a da figura a seguir, o peso próprio deve ser calculado

da seguinte forma:

700

400

117 711

8

17

21

11

17

Enchimento:- Tijolo furado de 11x17x21 cm

Detalhe das Nervuras

Mesa (ou capa)

Nervura

Figura 3.6 - Laje com nervuras em uma direção



§ peso próprio da mesa (ou capa):

0,08 × 25 × 1,00 = 2,00 kN/m2

§ peso próprio das nervuras:

2kN/m 1,0329

100 x 25 x 0,17 x 0,07 =

§ peso próprio dos tijolos (enchimento):

2kN/m 1,6829

100 x 13 x 0,17 x 0,22 =

Portanto, a ação permanente direta total da laje nervurada vale 4,71 kN/m2.

3.4 CARREGAMENTO DE VIGAS

As ações atuantes nas vigas são provenientes do seu peso próprio e das paredes ou

divisórias que nelas se apóiam, e das reações de apoio das lajes.

3.4.1 REAÇÕES DE APOIO DAS LAJES

A NB-1 (1978) sugere que as reações de apoio de lajes retangulares sejam determinadas

a partir das linhas de plastificação. Diz o seguinte: ”Permite-se calcular as reações de apoio das lajes

retangulares, com ação uniformemente distribuída, considerando-se para cada apoio ação correspondente

aos triângulos ou trapézios obtidos traçando-se, a partir do vértice, na planta da laje, retas inclinadas de”:

- 45o entre dois apoios de mesmo tipo;

45°

45°

- 60o a partir do apoio engastado quando o outro for simplesmente apoiado;

60°

60°

- 90o a partir do apoio quando a borda vizinha for livre.

90°



Na Figura 3.7 são apresentados alguns tipos de sistemas estáticos e suas configurações de linhas

de plastificação, para lajes retangulares usuais submetidas a carregamento uniformemente distribuído.

45°

45°

60°

60°

60°

60°45°

45°45°

45°45° 45°45°

45°45°

45°

45°

45°45°

45°

60° 60°

60° 60°

60° 60°

60°

60°45°

45°

Simplesmente apoiada (sem continuidade)Engastada (com continuidade)Borda livre

Figura 3.7 - Esquemas estáticos das lajes

Como aplicação da recomendação da norma, sejam os exemplos a seguir.



Exemplo 1: Calcular as reações de apoio da laje da Figura 3.8, cuja ação total incidente é de 6 kN/m2.

300

500

A1 150

150

87263

60°45°

45° 60°

150

A2

3A A 4

1R

2R

3R 4R

Figura 3.8 - Laje do exemplo 1

221 m 5,721,50 x

22,635,0

AA =

+

== ⇒ kN/m 6,875,00

6,00 x 5,72p ARR

1

121 ====

l

23 m 2,25

21,50 x 3,00

A == ⇒ kN/m 4,503,00

6,00 x 2,25p AR

2

33 ===

l

24 m 1,305

20,87 x 3,00

A == ⇒ kN/m 2,613,00

6,00 x 1,305p AR

2

44 ===

l

Exemplo 2: Calcular as reações de apoio da laje apresentada a seguir, cuja ação total incidente é de

(p+g).

l

l

A1

l - l

45°

45°

l /2

A 2

3A A 4

1R

2R

3R 4R2

1

1

45°

45°

22

l /2 2

l /2 2

l /22

Figura 3.9 - Laje do exemplo 2

( )4

)2(22

AA 221

221121

lll

llll−=

−+== ⇒

4p

2pA

RR 2

1

2

1

121

lll

l

−===

4AA

22

43l

== ⇒ 4 pp A

RR 2

2

343

ll

===



3.4.2 PESO PRÓPRIO DAS VIGAS

O peso próprio das vigas deve ser dado por metro linear. Para isso, multiplica-se o peso específico

do concreto armado pela área da seção transversal da viga (b × h). Por exemplo, uma viga em concreto

armado, com seção transversal de 15 cm de largura por 60 cm de altura tem peso próprio igual a:

25 × 0,15 × 0,60 = 2,25 kN/m

3.4.3 PESO PRÓPRIO DE PAREDES

O peso próprio de paredes (ou divisórias) que se apoiam em vigas também deve ser dado por

metro linear, e é obtido pela multiplicação da altura da parede pelo seu peso por unidade de área (dado na

Tabela 2.2). Sendo assim, uma parede de tijolos furados, com 23cm de espessura (3,2 kN/m2) e 2,80m de

altura, se apoiando sobre uma viga, causa nesta uma ação por metro linear de:

3,20 × 2,80 = 8,96 kN/m

3.4.4 CÁLCULO DO CARREGAMENTO DAS VIGAS DO EDIFÍCIO ESTUDADO

a) V1 (12 x 60)

• Peso próprio da viga:

25 × 0,12 × 0,60 = 1,80 kN/m

• Reação de apoio da laje L1: (p = 4,895 kN/m2 calculado anteriormente)

59848 48

694

13082

48A1

2A3A 4A

1R

2R

3R 4R

Figura 3.10 - Esquema estático da laje L1

21 m 3,100,48 x

25,986,94

A =

+

= kN/m 2,196,94

4,895 x 3,10l

p AR

1

11 ===

• Peso próprio da mureta de 1m de altura, com tijolos maciços, com 15 cm de espessura:

2,50 × 1,0 = 2,50 kN/m

• Ação vertical total atuante, por metro linear, na viga V1:

(1,80 + 2,19 + 2,50) = 6,49 kN/m



• Esquema estático da viga V1

694

6,49 kN/m

A B

V5 V7

Figura 3.11 - Esquema estático da viga V1

b) V5 (12/60)

• Peso próprio da viga:

25 × 0,12 × 0,60 = 1,80 kN/m

• Peso próprio da parede nos vãos 1 e 2 (hpar = 2,80 - 0,60 = 2,20m)

2,50 × 2,20 = 5,50 kN/m

• Peso próprio da parede no balanço (hpar = 1,00m)

2,50 × 1,00 = 2,50 kN/m

• Reação de apoio das lajes:

No vão 1 (L4): p = 11,755 kN/m2 (calculado anteriormente) 16

680

166

166166

412

332

45°45°

45°45°

A3R 3


23 m 4,08 66,1

20,804,12

A =⋅

+

=

⇒ kN/m 11,644,12

11,755 x 4,08p AR

3

33 ===

l



No vão 2 (L2): p = 5,415 kN/m2 (calculado anteriormente)

23 m 3,001,22 x

20,804,12

A =

+

=

⇒ kN/m 3,944,12

5,415 x 3,00p AR

3

33 ===

l

412

332

A 3

R 3

210

8012

2

210122

60°

45°60°

45°


No balanço (L1, ver figura 3.12)

23 m31,0

248,030,1

A =

+

=

⇒ m/kN17,130,1

895,4x31,0pAR

3

33 ===

l

• Ação vertical total atuante, por metro linear, na viga V1:

Vão 1 ⇒ 1,80 + 5,50 + 11,64 = 18,94 kN/m

Vão 2 ⇒ 1,80 + 5,50 + 3,94 = 11,24 kN/m

Vão 3 ⇒ 1,80 + 2,50 + 1,17 = 5,47 kN/m

• Reação de apoio de V1

É importante observar que, na extremidade do balanço, existe uma carga concentrada oriunda da

reação de apoio da viga V1 na viga V5, que vale:

kN 22,522

6,94 x 6,492p

(V1)R A === l



• Esquema estático da viga V5

18,94 kN/m11,24 kN/m 5,47 kN/m

R V = 22,52 kNA 1

398 150398A B C

Figura 3.14 - Esquema estático da viga V5

3.5 CARREGAMENTO DE PILARES

A ação vertical atuante nos pilares é proveniente do peso próprio destes e das reações das vigas

que neles se apóiam.

3.5.1 CÁLCULO DO CARREGAMENTO DOS PILARES DO EDIFÍCIO ESTUDADO

a) Pilar P1

• Peso próprio

0,40 × 0,20 × 2,80 × 25 = 5,60 kN

• Reações de apoio das vigas

RA V2 e RC V5

b) Pilar P2

• Peso próprio

0,40 × 0,20 × 2,80 × 25 = 5,60 kN


RB V2 e RC V7

c) Pilar P3

• Peso próprio

0,40 × 0,20 × 2,80 × 25 = 5,60 kN


RB V5 e RA V3

d) Pilar P4

• Peso próprio

0,20 × 0,20 × 2,80 × 25 = 2,80 kN


RB V3 e RB V6



e) Pilar P5

• Peso próprio

0,40 × 0,20 × 2,80 × 25 = 5,60 kN


RC V3 e RB V7

f) Pilar P6

• Peso próprio

0,40 × 0,20 × 2,80 × 25 = 5,60 kN


RA V5 e RA V4

g) Pilar P7

• Peso próprio

0,40 × 0,20 × 2,80 × 25 = 5,60 kN


RB V4 e RA V7

3.6 EXERCÍCIO 1

Para a estrutura em concreto armado, apresentada na Figura 3.15, determinar o carregamento das

lajes, vigas e pilares. Sabe-se que:

§ revestimento = 1,50 kN/m2

§ ação variável normal = 2,50 kN/m2

§ parede: tijolos furados, com 13 cm de espessura (2,2 kN/m2)

§ considerar paredes em V1, V3 e V4.

3.6.1 CARREGAMENTO DAS LAJES

a) L1 (h = 12 cm)

§ peso próprio (0,12 × 25) = 3,00 kN/m2



Total = 7,00 kN/m2

b) L2 (h = 8 cm)

§ peso próprio (0,08 × 25) = 2,00 kN/m2



Total = 6,00 kN/m2



c) L3 (h = 10 cm)

§ peso próprio (0,10 × 25) = 2,50 kN/m2



Total = 6,50 kN/m

V1 (12/50)

V4

(15/

60)

P1(25/60)

P2(20/50)

P3(25/60)

P4(20/50)

L1h = 12

L3h = 10

L2h = 8

V2 (12/50)

V3 (12/50)

V5

(20/

60)

1238

032

012

15 425 20 100

12

295

295

Corte Esquemático

Planta de Forma

Figura 3.15 – Planta de forma

3.6.2 CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO DAS LAJES

a) L1 (p = 7,00 kN/m2)

A1

60°

45°

A2

3A A 4

1R

2R

3R 4R

45°

60°

249

442,5

392

143

156,5143 143

Figura 3.16 – Esquema estático da laje L1



kN/m 6,784,4257,00

x 1,43 x 2

1,5654,425R1 =

+

=

kN/m 80,114,4257,00

x 2,49 x 2

1,5654,425R 2 =

+

=

kN/m 5,003,927,00

x 21,4392,3

RR 43 =

⋅

==

b) L2 (p = 6,00 kN/m2)

3A3R39

2

1A

2A

60°

60°

R1

R 2

110

264

6464


c) L3 (p = 6,50 kN/m2)

A1

A2

3A A4

2R

3R4R

442,5

122 122198,5

210

122

332

1R

60° 60°

45°45°


kN/m ,9211,106,00 x

264,010,1R 21 =

⋅== R

kN/m 52,53,926,00

x x1,102

64,292,3R 3 =

+

=



kN/m 89,94,4256,50

x 2,10 x 2

1,9854,425R1 =

+

=

kN/m 74,54,4256,50

x 1,22 x 2

1,9854,425R 2 =

+

=

kN/m 97,33,326,50

x 21,2232,3

RR 43 =

⋅

==

3.6.3 CARREGAMENTO DAS VIGAS

a) V1 (12/50)

Vão:

§ peso próprio: 0,12 × 0,50 × 25 = 1,50 kN/m

§ parede: 2,20 × (2,95 - 0,50) = 5,39 kN/m

§ reação de apoio de laje (R1 L1) = 6,78 kN/m

Total =13,67 kN/m

Balanço:

§ peso próprio: 0,12 × 0,50 × 25 = 1,50 kN/m

§ parede: 2,20 × 2,45 = 5,39 kN/m


Total = 8,81 kN/m

Esquema estático:

422,5

13,67 kN/m

125

8,81 kN/m

A BP1 P2

Cálculo das reações de apoio:

kN 25,27R 02

1,25 8,81

24,225

13,674,225 R 0M A

22

AB =⇒=⋅+⋅−⋅→=∑

kN 52,41R 04,2252

1,25 1,25 8,81

24,225

13,674,225 R 0M B

2

BA =⇒=

+⋅⋅−⋅−⋅→=∑



b) V2 (12/50)

Vão:

§ peso próprio: 0,12 × 0,50 × 25 = 1,50 kN/m

§ reações de apoio de laje (R2 L1) = 11,80 kN/m

(R1 L3) = 9,89 kN/m

Total = 23,19 kN/m

Balanço:

§ peso próprio: 0,12 × 0,50 × 25 = 1,50 kN/m


Total = 3,42 kN/m

Esquema estático:

442,5

23,19 kN/m

110

3,42 kN/m

A BV4 V5


02

1,10 x 42,3

24,225

x 3,1924,225 x R 0M22

AB =+−→=∑ ⇒ RA = 50,84 kN

04,2252

1,10 x 1,10 x 42,3

24,225

x 3,1924,225 x R 0M2

BA =

+−−→=∑

⇒ RB = 55,54 kN

c) V3 (12/50)

§ peso próprio: 0,12 × 0,50 × 25 = 1,50 kN/m

§ parede: 2,20 × 2,45 = 5,39 kN/m


Total = 12,63 kN/m

Esquema estático:

422,5

12,63 kN/m

A BP3 P4


kN 26,682

4,225 x 12,63RR BA ===



d) V4 (15/60)

1o trecho:

§ peso próprio: 0,15 × 0,60 × 25 = 2,25 kN/m

§ parede: 2,20 × (2,95 - 0,60) = 5,17 kN/m


Total = 11,39 kN/m

2o trecho: § peso próprio: 0,15 × 0,60 × 25 = 2,25 kN/m

§ parede: 2,20 × (2,95 - 0,60) = 5,17 kN/m


Total = 12,42 kN/m

Reação de apoio de V2:

§ RAV2 = 50,84 kN Esquema estático:

11,39 kN/m

368308

12,42 kN/m

R V2 = 50,84 kN

AP3 B P1

A


02

3,68 x 12,423,68 x 50,843,68

23,08

x 3,08 x 11,396,76 x R 0M2

AB =−−

+−→=∑

⇒ RA = 67,21 kN

03,082

3,68 x 3,68 x 12,423,08 x 50,84

23,08

x 11,396,76 x R 0M2

BA =

+−−−→=∑

⇒ RB = 64,42 kN

e) V5 (20/60)

1o trecho:

§ peso próprio: 0,20 × 0,60 × 25 = 3,00 kN/m


Total = 6,97 kN/m



2o trecho:

§ peso próprio: 0,20 × 0,60 × 25 = 3,00 kN/m

§ reações de apoio de laje (R4 L1) = 5,00 kN/m

(R3 L2) = 5,52 kN/m

Total = 13,52 kN/m

Reação de apoio de V2:

§ RBV2 = 55,54 kN

Esquema estático:

6,97 kN/m

388328

13,52 kN/m

R V2 = 55,54 kN

A

P4

B

P2

B


02

3,88 x 13,523,88 x 55,543,88

23,28

x 3,28 x 97,67,16 x R 0M2

AB =−−

+−→=∑

⇒ RA = 61,94 kN

03,282

3,88 x 3,88 x 13,523,28 x 55,54

23,28

x 97,67,16 x R 0M2

BA =

+−−−→=∑

⇒ RB = 68,92 kN

3.6.4 CARREGAMENTO DOS PILARES

a) P1 (25/60)

§ peso próprio:

0,25 × 0,60 × 2,95 × 25 = 11,06 kN

§ reações de apoio das vigas

RA V1 = 27,25 kN

RB V4 = 64,42 kN

§ Total = 102,73 kN



b) P2 (20/50)

§ peso próprio:

0,20 × 0,50 × 2,95 × 25 = 7,38 kN


RB V1 = 41,52 kN

RB V5 = 68,92 kN

§ Total = 117,82 kN

c) P3 (25/60)

§ peso próprio:

0,25 × 0,60 × 2,95 × 25 = 11,06 kN


RA V3 = 26,68 kN

RA V4 = 67,21 kN

§ Total = 104,95 kN

d) P4 (20/50)

§ peso próprio:

0,20 × 0,50 × 2,95 × 25 = 7,38 kN


RB V3 = 26,68 kN

RA V5 = 61,94 kN

§ Total = 96,00 kN

3.7 EXERCÍCIO 2

Para a estrutura em concreto armado, apresentada na figura abaixo, determinar o carregamento das

lajes, vigas e pilares. Sabe-se que:

• Pé-direito = 3,0 m

• Revestimento das lajes (piso, camada de regularização, forro) = 1,50 kN/m2

• A estrutura faz parte de uma escola (sala de aula)

• As paredes são de tijolos de concreto celular, com 13 cm de espessura

• Existem paredes até o teto, em toda a extensão das vigas V1, V2 e V4



V1 (15/50)

V2 (15/50)

V3

(15/

65)

V4

(15/

60)

39015 1585

1559

015

P1(25/35)

P2(20/40)

P3(25/50)

P4(20/50)

L2h = 12

L1h = 8

VISTA 1

VIS

TA

2

A A'

B

B'

CORTE A-A’

37585 25 20

P1 P2

V1V3 V4

L1 L2

8

42

12

38

CORTE B – B’

P4 P2

V4

V2 V1

12

48

53050 40

PLANTA DE FORMA



VISTA 1

37585 25 20

P3 P4

V2V3 V4

L1 L2

VISTA 2

53550 35

P3 P1

V3

V2 V1

L1

3.7.1 CARREGAMENTO DAS LAJES

a) L1:

Carga permanente:

• Peso próprio da laje = 0,08 × 25 = 2,00 kN/m2

• Revestimento = 1,50 kN/m2

Carga variável (utilização: terraço com acesso ao público): q = 3,00 kN/m2

Carga vertical total: = g + q = p = 6,50 kN/m2

b) L2:

Carga permanente:

• Peso próprio da laje = 0,12 × 25 = 3,00 kN/m2

• Revestimento = 1,50 kN/m2

Carga variável (utilização: sala de aula): q = 3,00 kN/m2

Carga vertical total: = g + q = p = 7,50 kN/m2

2kN/m 3,50 g =⇒

2kN/m 4,50 g =⇒



3.7.2 CARREGAMENTO DAS VIGAS

a) Reações de apoio das lajes:

§ L1

605

92,5

498,2

53,4

53,4 A1

A 3

A 2

60°

60°

§ L2

Caso 1: Totalmente apoiada:

202,5 202,5

202,5

202,5

200

405

605

45° 45°

45°45°

A 1

2A

3A A4

2221 m 0,247 cm 2470

24,535,92

AA ==⋅==

m/kN 74,1925,0

6,50 247,0

p ARR

1

121 =⋅=⋅==⇒

l

( ) 223 m 5,102 cm 51023

25,92 2,498605

A ==⋅+=

kN/m 48,505,6

6,50 102,5p AR

3

33 =⋅=⋅=⇒

l

221

221

m 10,4AA

cm 410062202,5 405

AA

==⇒

=⋅

==

kN/m 59,7RR 05,47,50 10,4pA

RR

21

1

121

==⇒

⋅=

⋅==

l

( )

243

243

m 15,8AA

cm 815062

5,202200605AA

==⇒

=⋅+

==

kN/m 10,10RR

05,650,715,8pA

RR

43

3

343

==⇒

⋅=

⋅==

l



Caso 2: Um lado engastado e os demais apoiados:

405

605

A1

2A

3A A 4 308,6

148,2

148,2

256,8 148,2

60°

60°45°

45°

b) Carregamento total das vigas

• Viga V1 = Viga V2 (15/50)

Balanço:

• Peso próprio = 0,15 × 0,50 × 25 = 1,875 kN/m

• Reação de apoio de L1 (R1) = 1,740 kN/m

• Peso de parede = hparede × pparede

38

250

12

3812

300

L2 (1 PAV.)

L2 (2 PAV.)

o

o V1 (2 PAV.)o

oV1 (1 PAV.)

→ Peso da parede = 2,50 × 0,50 = 1,25 kN/m

⇒ Carga vertical total do balanço = 1,875 + 1,74 + 1,25 = 4,865 kN/m

221

221

m 00,3AA

cm 300102148,2 405

AA

==⇒

=⋅

==

kN/m 56,505,47,50 00,3

RR 21 =⋅

==

( )

23

23

m 73,11A

cm 1173062

8,2566,308605A

=⇒

=⋅+

=

kN/m 54,1405,6

50,773,11pAR

3

33 =⋅=

⋅=

l

( )

24

24

m 77,6A

cm 676982

2,1486,308605A

=⇒

=⋅+

=

kN/m 39,805,6

50,777,64

pAR 4

4 =⋅

=⋅

=l

=

==

2.2) (Tabela kN/m 0,50 p

m 2,50 0,50 - 3,00 h

2parede

parede



Vão 1:

Caso 1

• Peso próprio = 0,15 × 0,50 × 25 = 1,875 kN/m


• Peso de parede = 1,250 kN/m

⇒ Carga vertical total do vão 1 = 1,875 + 7,59 + 1,25 = 10,715 kN/m

Caso 2

• Peso próprio = 0,15 × 0,50 × 25 = 1,875 kN/m


• Peso de parede = 1,250 kN/m

⇒ Carga vertical total do vão 1 = 1,875 + 5,56 + 1,25 = 8,685 kN/m

Esquema estático e reações de apoio da viga V1 (= V2):

Caso 1:

4,865 kN/m

10,715 kN/m

3,9750,975

A B

Reações de apoio da viga V1:

kN 26,621 R

02

3,975 975,3 715,10R 975,3975,3

20,975

0,975 865,4 - 0M

A

AB

=⇒

=⋅⋅−+

+⋅⋅→=∑

kN 714,20R

0R 975,32

3,975 759,3 715,10

20,975

0,975 4,865 - 0M

B

BA

=⇒

=−⋅⋅+⋅⋅→=∑



Caso 2:

4,865 kN/m8,685 kN/m

3,9750,975

A B


kN 22,587 R

02

3,975 759,3 685,8R 975,3975,3

20,975

0,975 865,4 - 0M

A

AB

=⇒

=⋅⋅−+

+⋅⋅→=∑

kN 680,16R

0R 975,32

3,975 759,3 685,8

20,975

0,975 4,865 - 0M

B

BA

=⇒

=−⋅⋅+⋅⋅→=∑

• Viga V3 (15/65)

Caso 1:

• Peso próprio = 0,15 × 0,65 × 25 = 2,438 kN/m

• Reações de apoio das lajes:

L1 (R3) = 5,480 kN/m

L2 (R3) = 10,100 kN/m

⇒ Carga vertical total de V3 = 2,438 + 5,48 + 10,10 = 18,018 kN/m

Caso 2:

• Peso próprio = 0,15 × 0,65 × 25 = 2,438 kN/m

• Reações de apoio das lajes

L1 (R3) = 5,480 kN/m

L2 (R3) = 14,54 kN/m


Esquema estático reações de apoio da viga V3:

Caso 1:

18,018 kN/m

5,775

A B




kN 027,522

5,775 8,01812 p

RR BA =⋅=== l

Caso 2: 22,458 kN/m

5,775

A B


kN 847,642

5,775 458,222 p

RR BA =⋅=== l

• Viga V4 (15/60)

Caso 1

• Peso próprio = 0,15 × 0,60 × 25 = 2,25 kN/m

• Reações de apoio da laje L2 (R4) = 10,10 kN/m

• Peso de parede = (3,00-0,60) × 0,50 = 1,20 kN/m


Caso 2

• Peso próprio = 0,15 × 0,60 × 25 = 2,25 kN/m

• Reações de apoio da laje L2 (R4) = 8,39 kN/m

• Peso de parede = (3,00-0,60) × 0,50 = 1,20 kN/m


Esquema estático e reações de apoio da viga V4:

Caso 1 13,55 kN/m

5,75

A B




kN 956,382

5,75 3,5512 p

RR BA =⋅=== l

Caso 2 11,84 kN/m

5,75

A B


kN 04,342

5,75 84,112 p

RR BA =⋅=== l

3.7.3 CARREGAMENTO DOS PILARES

a) P1 (25/35)

• Peso próprio = 0,25 × 0,35 × 3,00 × 25 = 6,56 kN Caso 1

• Reação RA de V1 = 26,621 kN

• Reação RB de V3 = 52,027 kN

⇒ Carga total de P1 = 85,208 kN

Caso 2




b) P2 (20/40)

• Peso próprio = 0,20 × 0,40 × 3,00 × 25 = 6,00 kN

Caso 1






Caso 2




c) P3 (25/50)

• Peso próprio = 0,25 × 0,50 × 3,00 × 25 = 9,375 kN Caso 1




Caso 2

§ Reação RA de V2 = 22,587 kN



d) P4 (20/50)

§ Peso próprio = 0,20 × 0,50 × 3,00 × 25 = 7,50 kN Caso 1

§ Reação RB de V2 = 20,774 kN



Caso 2

§ Reação RB de V2 = 16,680 kN



Carregamento dos pilares (em kN)

Pilar Caso 1 Caso 2

P1 85,208 93,994

P2 65,730 56,720

P3 88,023 96,809

P4 67,230 58,220

Σ 306,2 305,7







Cargas para Cálculo de Estruturas de Edificações. Rio de Janeiro.


Ações e Segurança nas Estruturas. Rio de Janeiro.







2ª. UNIDADE



44 AAÇÇÃÃOO DDOO VVEENNTTOO NNAASS EEDDIIFFIICCAAÇÇÕÕEESS

4.1 INTRODUÇÃO

Vento é o movimento de massas de ar, causado por condições de pressão e de temperatura na

atmosfera. O estudo dessas condições é do domínio da meteorologia, que nos deve fornecer informações

sobre as características do fluxo de ar, necessárias para a determinação os efeitos do vento sobre as

edificações.

Para que um engenheiro projetista possa desenvolver todas as análises sobre a ação do vento em

estruturas é necessário o conhecimento das seguintes características:

§ direção do vento;

§ gradiente de velocidade do vento;

§ máxima velocidade do vento e indicação de ocorrência durante a vida útil da estrutura;

§ intensidade de turbulência e espectro de energia das rajadas.

4.2 VELOCIDADE DO VENTO

A velocidade do vento em uma região depende, além de aspectos meteorológicos, de vários

fatores, dentre os quais podem ser citados:

§ Topografia do terreno.

§ Rugosidade do terreno (tipo e altura dos obstáculos à passagem do vento).

§ Altura em relação ao nível do terreno

Fica evidente, então, que para a determinação da velocidade do vento é necessária a consideração

de todos esses fatores, que são comentados a seguir.



4.2.1 VELOCIDADE GRADIENTE DO VENTO

Como já foi comentado, a velocidade do vento varia com a altura e com a condição de ocupação

(rugosidade) do terreno. Entretanto, a partir de determinada altura, as massas de ar movem-se a uma

velocidade aproximadamente constante. Essa altura limite, a partir da qual não ocorrerão alterações

significativas na velocidade do vento, varia com a rugosidade do terreno e é chamada altura gradiente. A

velocidade do vento na altura gradiente é chamada de velocidade gradiente. Na Figura 4.1 é ilustrado o

perfil da velocidade média do vento, proposto por DAVENPORT (1963).

500

400

300

200

100

0

160

145

129

110

83

160

148

133

109

160

153

137

Z (m)

Perfil da velocidade do vento (km/h)

Figura 4.1 – Perfil da velocidade do vento (DAVENPORT – 1963)

4.2.2 VELOCIDADE BÁSICA DO VENTO

Quando se quer determinar o efeito do vento em uma edificação, é necessário se conhecer qual é

a velocidade máxima do vento que atuará na edificação durante sua vida útil.

Como se trata de um evento ainda por ocorrer, pode-se apenas estimá-lo, e isto é feito baseando-

se em medidas de velocidade do vento feitas durante vários anos. Esta estimativa envolve o nível de

probabilidade de ocorrência dessa velocidade máxima durante a vida útil da edificação. A NBR 6123

(1987) define tal probabilidade em 63% , e fixa a vida útil das edificações em 50 anos.

A velocidade máxima instantânea do vento não tem aplicação prática na engenharia, pois é

necessário um certo tempo de atuação de uma força para que toda a estrutura resistente seja solicitada.

Além disso, a duração da rajada deve ser suficiente para abranger todo o campo aerodinâmico no entorno

da edificação.



Um dos critérios para se determinar a duração mínima de uma rajada, para que ela seja capaz de

mobilizar toda a estrutura da edificação, é baseado nas dimensões dos turbilhões. Um turbilhão de

comprimento C (Figura 4.2) possui diâmetro da seção transversal da ordem de um terço a metade de seu

comprimento, e, como a velocidade na periferia do turbilhão é fraca, é necessário que seu diâmetro seja da

ordem de três vezes a altura ou largura da edificação (H) para que toda a estrutura seja solicitada.

C

H

VC3

a2C

Turbilhão

Figura 4.2 – Dimensões de um turbilhão

Assim,

2C

a 3C

H3 = H 9 a 6C =⇒

Como a velocidade (V) de deslocamento do turbilhão é igual a velocidade média do vento, levará

um tempo (t) para que o turbilhão passe pela edificação, igual a

==

VH

9 a 6VC

t

Desta forma, tem-se que:

§ Para H = 20m e V = 40 m/s, tem-se t = 3 a 4,5s.

§ Para H = 100m e V = 40 m/s, tem-se t = 15 a 22,5s.

Conclui-se, então, que rajadas rápidas devem ser consideradas para a determinação de pressões

locais ou em pequenas construções (postes, painéis de propaganda, pórticos e arcos isolados, etc).

Construções em que pelo menos uma das dimensões é grande, serão afetadas apenas por rajadas de

maior duração, e, conseqüentemente, de menor velocidade média. A NBR 6123 (1987) emprega rajadas

de 3s, 5s e 15s.

Do exposto até aqui, pode-se notar que a determinação da velocidade do vento é bastante difícil, já

que varia de acordo com os vários fatores comentados, e apresenta valores diferentes para cada região

onde se deseja calcula -la. Assim, foi definida uma velocidade a ser utilizada como padrão de comparação,

denominado velocidade básica do vento (V0), que de acordo com a NBR 6123 (1987) é assim definida:



" A velocidade básica do vento Vo é a velocidade de uma rajada de 3s, excedida em média

uma vez em 50 anos, a 10 metros acima do terreno, em campo aberto e plano."

Os valores da velocidade básica do vento, que tem a probabilidade de 63% de ser igualada ou

superada, foram determinados com base nos registros de várias estações meteorológicas situadas em todo

o Brasil. Esses valores de V0, são apresentados no gráfico de isopletas de velocidade básica, ilustrado na

Figura 4.3, fornecido pela NBR 6123 (1987).

Figura 4.3 – Isopletas de velocidade básica do vento (NBR 6123 – 1987)



4.2.3 VELOCIDADE CARACTERÍSTICA DO VENTO

Excepcionalmente se terá uma edificação na qual pode-se admitir que atuará um vento com a

velocidade básica; as condições particulares da cada edificação conduzem à velocidade característica do

vento Vk que é determinada mediante a multiplicação da velocidade básica pelos fatores S1, S2 e S3, ou

seja:

0321k V S S SV = (1)

a) FATOR S1

O fator S1 leva em consideração as variações locais na topografia do terreno. Essas variações

fazem com que as linhas de fluxo do vento sejam forçadas a se aproximarem ou a se afastarem,

ocasionando com isso um aumento ou diminuição da velocidade do vento.

Segundo a NBR 6123 (1987), tem-se:

§ Terreno plano ou fracamente acidentado

S1 = 1,0

§ Taludes e morros

Para taludes e morros alongados, nos quais pode ser admitido um fluxo de ar bidimensional,

soprando no sentido indicado na Figura 4.4, vale:

• No ponto A (morros) e nos pontos A e C (taludes):

S1 = 1,0

• No ponto B, S1 é uma função de z, dada por:

Se θ < 3° → 0,1)z(S1 =

Se 6° ≤ θ < 17° → ( ) 0,1 3- tg dz

5,20,1)z(S o1 ≥θ

+=

Se θ ≥45° → 0,1 ,310 dz

5,20,1)z(S1 ≥⋅

+=

Onde:

z é a altura medida a partir da superfície do terreno no ponto considerado,

d é a diferença de nível entre a base e o topo do talude ou morro,

θ é a inclinação média do talude ou encosta do morro.

OBS.: Para os valores de θ compreendidos entre 3° < θ < 6° e 17° < θ < 45°, o valor de S1 é obtido por

interpolação linear. Assim como para pontos entre A e B e entre B e C.



4dd θ

A

S = 1,01

B

S = S (z)1 1

C

S = 1,01

z

z z

a) Talude

d θ

A

S = 1,01

BS = S (z)1 1

z

z

b) Morro

Figura 4.4 – Fator topográfico S1(z).

§ Vales profundos, protegidos de ventos de qualquer direção

S1 = 0,9

b) FATOR S2

O fator S2 leva em conta o efeito da rugosidade do terreno, a variação da velocidade do vento

com a altura em relação ao nível do terreno e as dimensões da edificação.

b.1) Rugosidade do terreno

A rugosidade do terreno é classificada, segundo a NBR 6123 (1987), em cinco categorias:

§ Categoria I

Superfícies lisas de grandes dimensões, com mais de 5 km de extensão, medidas na direção e

sentido do vento incidente. Exemplos:

§ mar calmo

§ lagos e rios

§ pântanos sem vegetação



§ Categoria II

Terrenos abertos em nível ou aproximadamente em nível, com poucos obstáculos isolados, tais

como árvores e edificações baixas. Exemplos:

§ zonas costeiras planas

§ pântanos com vegetação rala

§ campos de aviação

§ pradarias e charnecas

§ fazendas sem sebes ou muros

A cota média do topo dos obstáculos é considerada inferior ou igual a 1,0m.

§ Categoria III

Terrenos planos ou ondulados com obstáculos, tais como sebes e muros, poucos quebra-ventos de

árvores, edificações baixas e esparsas. Exemplos:

§ granjas e casas de campo, com exceção das partes com matos;

§ fazendas com sebes e muros;

§ subúrbios a considerável distância do centro, com casas baixas e esparsas.

A cota média do topo dos obstáculos é considerada igual a 3,0m.

§ Categoria IV

Terrenos cobertos por obstáculos numerosos e poucos afastados, em zona florestal, industrial ou

urbanizada. Exemplos:

§ zonas de parques e bosques com muitas árvores;

§ cidades pequenas e seus arredores;

§ subúrbios densamente construídos de grandes cidades;

§ áreas industriais plena ou parcialmente desenvolvidas.

A cota média do topo dos obstáculos é considerada igual a 10m.

Esta categoria também inclui zonas com obstáculos maiores e que ainda não possam ser

consideradas na categoria V.

§ Categoria V

Terrenos cobertos por obstáculos numerosos, grandes, altos e pouco espaçados. Exemplos:

§ florestas com árvores altas e copas isoladas;

§ centros de grandes cidades;

§ complexos industriais bem desenvolvidos.

A cota média do topo dos obstáculos é considerada igual ou superior a 25m.



b.2) Dimensões da Edificação

Em função das dimensões das edificações, a NBR 6123 (1987) classifica-as em

§ Classe A

Todas as unidades de vedação, seus elementos de fixação e peças individuais de estruturas de

vedação. Toda edificação na qual a maior dimensão horizontal ou vertical não exceda 20 m.

§ Classe B:

Toda edificação ou parte dela para a qual a maior dimensão horizontal ou vertical da superfície

frontal esteja entre 20 e 50 m.

§ Classe C

Toda edificação ou parte dela para a qual a maior dimensão horizontal ou vertical da superfície

exceda 50 m.

b.3) Altura sobre o terreno

O fator S2 em uma altura z acima do nível geral do terreno é obtido pela expressão:

p

r2 10z

F bS

=

onde

Fr é o fator de rajada (sempre correspondente a Categoria II)

b e p são parâmetros meteorológicos que dependem da classe e da categoria da edificação e da

altura zg (que define o contorno superior da camada atmosférica)

z é a altura considerada

Os valores do fator de rajada Fr e os parâmetros meteorológicos b e p são fornecidos pelo NBR

6123 (1987) e apresentados na Tabela 1.

Tabela 1 – Parâmetros meteorológicos

zg

(m) A B Cb 1,10 1,11 1,12

p 0,06 0,065 0,07b 1,00 1,00 1,00Fr 1,00 0,98 0,95p 0,085 0,09 0,10b 0,94 0,94 0,93p 0,10 0,105 0,115b 0,86 0,85 0,84

p 0,12 0,125 0,135b 0,74 0,73 0,71p 0,15 0,16 0,175

V

Parâmetro

250

350

420

500

300II

III

IV

CategoriaClasses

I



A NBR 6123 (1987) também fornece valores de S2 para as diversas categorias de rugosidade do terreno, classes de dimensões das edificações e alturas

z. Esses valores estão na Tabela 2.

Tabela 2 – Fator S2

A B C A B C A B C A B C A B C5 1,06 1,04 1,01 0,94 0,92 0,89 0,88 0,86 0,82 0,79 0,76 0,73 0,74 0,72 0,67

10 1,10 1,09 1,06 1,00 0,98 0,95 0,94 0,92 0,88 0,86 0,83 0,80 0,74 0,72 0,6715 1,13 1,12 1,09 1,04 1,02 0,99 0,98 0,96 0,93 0,90 0,88 0,84 0,79 0,76 0,7220 1,15 1,14 1,12 1,06 1,04 1,02 1,01 0,99 0,96 0,93 0,91 0,88 0,82 0,80 0,7630 1,17 1,17 1,15 1,10 1,08 1,06 1,05 1,03 1,00 0,98 0,96 0,93 0,87 0,85 0,8240 1,20 1,19 1,17 1,13 1,11 1,09 1,08 1,06 1,04 1,01 0,99 0,96 0,91 0,89 0,8650 1,21 1,21 1,19 1,15 1,13 1,12 1,10 1,09 1,06 1,04 1,02 0,99 0,94 0,93 0,8960 1,22 1,22 1,21 1,16 1,15 1,14 1,12 1,11 1,09 1,07 1,04 1,02 0,97 0,95 0,9280 1,25 1,24 1,23 1,19 1,18 1,17 1,16 1,14 1,12 1,10 1,08 1,06 1,01 1,00 0,97

100 1,26 1,26 1,25 1,22 1,21 1,20 1,18 1,17 1,15 1,13 1,11 1,09 1,05 1,03 1,01120 1,28 1,28 1,27 1,24 1,23 1,22 1,20 1,20 1,18 1,16 1,14 1,12 1,07 1,06 1,04140 1,29 1,29 1,28 1,25 1,24 1,24 1,22 1,22 1,20 1,18 1,16 1,14 1,10 1,09 1,07160 1,30 1,30 1,29 1,27 1,26 1,25 1,24 1,23 1,22 1,20 1,18 1,16 1,12 1,11 1,10180 1,31 1,31 1,31 1,28 1,27 1,27 1,26 1,25 1,23 1,22 1,20 1,18 1,14 1,14 1,12200 1,32 1,32 1,32 1,29 1,28 1,28 1,27 1,26 1,25 1,23 1,21 1,20 1,16 1,16 1,14250 1,34 1,34 1,33 1,31 1,31 1,31 1,30 1,29 1,28 1,27 1,25 1,23 1,20 1,20 1,18300 - - - 1,34 1,33 1,33 1,32 1,32 1,31 1,29 1,27 1,26 1,23 1,23 1,22350 - - - - - - 1,34 1,34 1,33 1,32 1,30 1,29 1,26 1,26 1,26400 - - - - - - - - - 1,34 1,32 1,32 1,29 1,29 1,29420 - - - - - - - - - 1,35 1,35 1,33 1,30 1,30 1,30450 - - - - - - - - - - - - 1,32 1,32 1,32500 - - - - - - - - - - - - 1,34 1,34 1,34

Classez

(m) Classe Classe Classe Classe

CATEGORIAI II III IV V



c) FATOR S3

O fator S3 é baseado em conceitos estatísticos, e considera o grau de segurança requerido e a

vida útil da edificação. O nível de probabilidade (63%) e a vida útil (50 anos) adotados são considerados

adequados para edificações normais destinadas a moradias, hotéis, escritórios, etc. Na falta de uma norma

específica sobre segurança nas edificações, ou de indicações correspondentes na norma estrutural, os

valores mínimos adotados pela NBR 6123 (1987) para o fator S3 são:

§ Grupo 1

Edificações cuja ruína total ou parcial pode afetar a segurança ou possibilidade de socorro a

pessoas após uma tempestade destrutiva (hospitais, quartéis de bombeiros e de forças de

segurança, centrais de comunicação, etc.).

S3 = 1,10

§ Grupo 2

Edificações para hotéis e residências.

Edificações para comércio e indústria com alto fator de ocupação.

S3 = 1,00

§ Grupo 3

Edificações e instalações industriais com baixo fator de ocupação ( depósitos, silos, construções

rurais, etc.).

S3 = 0,95

§ Grupo 4

Vedações (telhas, vidros, painéis de vedação, etc.).

S3 = 0,88

§ Grupo 5

Edificações temporárias. Estruturas dos grupos 1 a 3 durante a construção.

S3 = 0,83

Para a determinação dos fatores S1, S2 e S3 é importante a consideração adequada das

características da edificação e do terreno onde ela será implantada.

Vales ressaltar que o cálculo da velocidade característica do vento corresponde à adequação de

sua velocidade básica às características da edificação e do terreno.



4.3 EFEITO ESTÁTICO DO VENTO

A rigor, toda ação devida ao vento é dinâmica, pois a velocidade real do vento varia com o tempo.

Entretanto, pode-se dividi-la, por razões práticas, em uma componente constante (estática) e uma

componente de flutuação (dinâmica). Quando o período médio de separação da componente de flutuação

é maior ou igual a 100 vezes o período de vibração da estrutura, pode-se considerar o efeito do vento

como sendo estático. Esta condição se verifica para a maioria dos casos de análise da ação do vento

sobre as estruturas.

4.3.1 CONCEITOS GERAIS

São apresentados a seguir alguns conceitos de interesse para a avaliação dos efeitos do vento em

edificações.

a) Pressão Dinâmica

A pressão dinâmica de um fluido é definida por:

2V21

q ρ=

onde,

V é a velocidade do fluido

ρ é a densidade do fluido, dada por:

gγ

=ρ

com γ igual ao peso específico do fluido e g a aceleração da gravidade

Em condições normais de pressão e temperatura (P = 1,0 atm e T = 15 °C), o peso específico do

ar é igual a 1,2 kgf/m3 e como a aceleração da gravidade ao nível do mar vale aproximadamente 9,81

m/s2, tem-se:

4

2

m

skgf1223,0

81,92,1 ⋅

==ρ

Portanto,

22 V 612,0V 1,223 21

q ==

com q em N/m2 e V em m/s.

A NBR 6123 (1987) define a pressão dinâmica do vento como:

2kV 613,0q = (2)

onde Vk é a velocidade característica do vento



b) Teorema de Bernoulli

Para um fluído incompressível em um fluxo em regime permanente a soma das pressões estática,

dinâmica e piezométrica é constante, ou seja:

constante z g P V 21 2 =ρ++ρ

onde,

P é a pressão estática

V é a velocidade do fluído

g é a aceleração da gravidade

ρ é a massa específica do fluído

z é a cota do ponto considerado

No caso da ação do vento em edificações é possível desprezar a pressão piezométrica. Portanto:

constante P V 21 2 =+ρ

c) Coeficientes de Pressão

Um objeto mergulhado em um fluxo em movimento uniforme desvia as linhas de fluxo, como pode

ser visto na Figura 4.5. Algumas delas incidem praticamente perpendicular à sua superfície e param.

Nesses pontos, a pressão efetiva é a pressão de estagnação que é igual a pressão dinâmica. Para um

ponto genérico p da superfície do objeto tem-se, então:

Objeto

po

Vo pV = 0e

e

Vp

pp

Figura 4.5 – Objeto mergulhado em um fluído

2pp

2oo V

21

pV21

p ρ+=ρ+

A pressão efetiva no ponto p é dada, então, por:

( )2p

2oop VV

21

ppp −ρ=−=∆ ou

=

ρ=∆

2o

2p

2o

2p2

oV

V-1 q

V

V-1 V

21

p



Chamando de cp, coeficiente de pressão, a parcela entre parênteses, a expressão anterior pode

ser escrita da seguinte forma:

=

2o

2p

pV

V-1c (3)

tem-se, então a pressão efetiva dada por:

q cp p=∆ (4)

Considerando agora que o fluído é o vento e o objeto é uma estrutura, como representado na

Figura 4.6, tem-se uma ação externa combinada a uma ação interna.

pe pi

Estrutura

Figura 4.6 – Estrutura submetida à ação do vento

Para um ponto genérico p, a aplicação da eq.(4) fornece, para a face externa:

qp

c epe

∆=

e, para a face interna:

qp

c ipi

∆=

onde cpe e cpi são, respectivamente, o coeficiente de pressão externa e o coeficiente de pressão interna.

A pressão efetiva ∆p, em um ponto da superfície da edificação, é definida, então, por:

ie p p p ∆−∆=∆

ou,

( )q ccp pipe −=∆

Se ∆p é positiva, a pressão efetiva é de sobrepressão externa. Caso contrário, se ∆p é negativa, a

pressão efetiva é de sucção externa.



d) Coeficiente de Força

A força global do vento Fg, ilustrada na Figura 4.7, que atua em uma edificação, ou parte dela, é

obtida pela soma vetorial das forças devidas ao vento que atuam em toda a edificação.

Edificação

Fg

aF

lF

sF

Vento

Figura 4.7 – Força global do vento e suas componentes

O coeficiente de força global é dado pela divisão da força Fg pela pressão dinâmica q e pela área

A referente à edificação, ou seja

A q

FC

gg =

As componentes da força global do vento são as seguintes:

§ Forca de sustentação Fs

§ Forca lateral Fl

§ Forca de arrasto Fa

A força de arrasto Fa é a componente da força global Fg na direção do vento. Ela é de

fundamental importância, pois permite ao calculista determinar ações com características globais, ou seja,

ações estas que serão aplicadas em toda a estrutura.

e) Coeficiente de Arrasto

A partir do coeficiente de força global, pode-se definir o coeficiente de arrasto como:

A qF

C aa = (5)

onde,



Fa é a força de arrasto

q é a pressão dinâmica do vento, calculada a partir de eq.(2)

A é a área de incidência do vento

Assim , a força de arrasto Fa pode ser calculada a partir de:

A q CF aa = (6)

Para uma edificação de planta retangular e vento não turbulento, o coeficiente de arrasto pode ser

determinado em função das dimensões dessa edificação (altura, comprimento e largura).

A NBR 6123 (1987) apresenta um gráfico, reproduzido na Figura 4.9, que fornece o valor do

coeficiente de arrasto em função das relações:

1

hl

e 2

1ll

onde

h é a altura da edificação

l1 é a dimensão perpendicular à direção do vento

l2 é a dimensão paralela à direção do vento, como pode ser visto na Figura 4.8.

EdificaçãoVento

h

l

l2

1

Figura 4.8 – Dimensões da edificação para a determinação de Ca



VENTO

VENTO

l

l1

2

l2

1l

Figura 4-9 – Coeficiente de arrasto Ca para edificações com planta retangular e vento de baixa

turbulência.



4.4 FORÇAS DEVIDAS AO VENTO EM EDIFÍCIOS

A determinação das forças devidas ao vento em uma edificação consiste no cálculo das forças de

arrasto, como visto no item anterior. A seguir, apresenta-se um exemplo de cálculo dessas forças.

4.4.1 EXEMPLO DE CÁLCULO DAS FORÇAS DE ARRASTO EM UM EDIFÍCIO

Calcular as forças de arrasto em um edifício de escritórios, situado no centro de São Paulo, com

16 pavimentos de pé direito igual a 3,00 m. O edifício será construído em um terreno aproximadamente

plano, e suas dimensões são apresentadas na Figura 4.10.

ELEVAÇÃO

16 x 3,0 = 48 m

28,5 m

20 m

PLANTA

Vento

Figura 4.10 – Dimensões do edifício em estudo

a) Velocidade característica do vento Vk:

A velocidade característica do vento é calculada a partir da eq.(1), ou seja:

0321k V S S SV =

Para as características da edificação, sua localização e topografia do terreno onde será

implantada, tem-se

§ V0 = 45 m/s (cidade de São Paulo)

§ S1 = 1,0 (terreno plano)

§ S3 = 1,0 (edifício de escritório - grupo 2)

Assim, a velocidade característica pode ser expressa da seguinte forma:

2k S 45V = (7)



b) Pressão dinâmica do vento

A pressão dinâmica do vento, função da velocidade característica, é dada pela eq.(2). Assim

( ) 22

22

2k S 325,1241S 45 613,0V 613,0q === (8)

c) Coeficiente de arrasto

Para a determinação do coeficiente de arrasto, tem -se

§ l1 = 20 m (dimensão perpendicular à direção do vento)

§ l2 = 28,5 (dimensão paralela à direção do vento)

§ h = 48 m (altura do edifício = número de pavimentos × pé direito)

Assim,

70,05,28

20

2

1 ==ll

40,22048h

1==

l

E, de acordo com o gráfico da Figura 4.9, o coeficiente de arrasto vale:

13,1Ca ≅ (9)

d) Área de Incidência do Vento

Com o vento agindo na direção indicada na Figura 4.10, a área A é calculada por:

'h 20'bhA ==

onde h’ corresponde à altura da área de influência de cada força de arrasto atuante nos diversos

pavimento do edifício, como mostra a Figura 4.11.

A altura h’ corresponde à metade do pé direito inferior mais metade do pé direito superior do

pavimento onde se está calculando a força Fa. No pavimento de cobertura, embora não haja pé direito

superior, pode-se considerar metade do pé direito inferior na parte de cima deste pavimento para se levar

em consideração qualquer parede que se possa ter no seu contorno.

e) Cálculo das Forças de arrasto

As forças de arrasto atuantes em cada pavimento do edifício são dadas por:

A q CF aa =

E, substituindo-se os valores de (8) e (9), obtém-se

22

22a S 'h945,28053S 'h021241,32513,1F ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=

22a S 'h945,28053F ⋅⋅=⇒



1 Pav.o

o2 Pav.

o3 Pav.

o4 Pav.

o5 Pav.

o6 Pav.

o7 Pav.

o9 Pav.

10 Pav.o

11 Pav.o

12 Pav.o

13 Pav.o

14 Pav.o

15 Pav.o

16 Pav.o

8 Pav.o

F a 0

F a 1

F a 2

F a 3

F

a 4

F a 5

F a 6

F a 7

F a 8

F a 9

a 10

a 11F

a 12F

a 13F

a 14F

a 15F

a 16F

F a 10

a 4

0,0

3,00

6,00

9,00

12,00

15,00

18,00

21,00

24,00

27,00

30,00

33,00

36,00

39,00

42,00

45,00

48,00

h' = 3,0 m

h' = 3,0 m

h' = 3,0 m

h' = 3,0 m

h' = 3,0 m

h' = 3,0 m

h' = 3,0 m

h' = 3,0 m

h' = 3,0 m

h' = 3,0 m

h' = 3,0 m

h' = 3,0 m

h' = 3,0 m

h' = 3,0 m

h' = 3,0 m

h' = 3,0 m

h' = 1,5 m

Figura 4.11 – Alturas de influência das forças de arrasto

Como as alturas h’ já foram determinadas (Figura 4.11), para o cálculo das forças de arrasto é

necessário se determinar os valores do fator S2. Já que o edifício em estudo está situado em uma região

de categoria V e corresponde à classe B, os valores de S2 podem ser determinados utilizando-se a Tabela

2. Esses valores são apresentados na Figura 4.13.

OBSERVAÇÃO:

Vale ressaltar que podem ocorrer valores diferentes do fator S2 para uma mesma altura h’. Neste

caso, para a determinação de Fa, deve-se calcular a parcela da força de arrasto correspondente a

cada valor de S2, sendo a força de arrasto total, a soma de cada uma dessas parcelas, como pode

ser visto na Figura 4.12.



S = Y2

S = X2 F = F' + F"a

h'h'

h'S = Y2

S = X2

F' = f (S = X)a

F" = f (S = Y)a 2

2

a a

Figura 4.12 – Altura de influência da força de arrasto em função do fator S2

1 Pav.o

o2 Pav.

o3 Pav.

o4 Pav.

o5 Pav.

o6 Pav.

o7 Pav.

o9 Pav.

10 Pav.o

11 Pav.o

12 Pav.o

13 Pav.o

14 Pav.o

15 Pav.o

16 Pav.o

8 Pav.o

S = 0,722

S = 0,722

S = 0,762

S = 0,802

S = 0,852

S = 0,892

S = 0,932

F a 0

F a 1

F a 2

F a 3

F a 4

F a 5

F a 6

F a 7

F a 8

F a 9

F a 10

a 11F a 12F a 13F a 14F a 15F a 16F

40,0 m

30,0 m

48,5 m

20,0 m

15,0 m

10,0 m

5,0 m

48,0 mS = 0,932

Figura 4.12 – Valores do fator S2 em função da altura.

Calculando-se, então, a força de arrasto Fa para cada pavimento, tem-se:

N 7,21814)5,172,0(945,28053F 20a =⋅⋅=

N 5,43629)0,372,0(945,28053F 21a =⋅⋅=

N 5,43629)0,372,0(945,28053F 22a =⋅⋅=

N 9,44459)0,5 0,76 5,272,0(945,28053F 223a =⋅+⋅⋅=



N 9,48611)0,376,0(945,28053F 24a =⋅⋅=

N 7,51237)1,5 0,80 5,176,0(945,28053F 225a =⋅+⋅⋅=

N 6,53863)0,380,0(945,28053F 26a =⋅⋅=

N 7,59649)2,5 0,85 5,080,0(945,28053F 227a =⋅+⋅⋅=

N 9,60806)0,385,0(945,28053F 28a =⋅⋅=

N 9,60806)0,385,0(945,28053F 29a =⋅⋅=

N 8,63735)1,5 0,89 5,185,0(945,28053F 2210a =⋅+⋅⋅=

N 6,66664)0,389,0(945,28053F 211a =⋅⋅=

N 6,66664)0,389,0(945,28053F 212a =⋅⋅=

N 8,67685)0,5 0,93 5,289,0(945,28053F 2213a =⋅+⋅⋅=

N 6,72791)0,393,0(945,28053F 214a =⋅⋅=

N 6,72791)0,393,0(945,28053F 215a =⋅⋅=

N 6,72791)0,393,0(945,28053F 216a =⋅⋅=





Forças devidas ao vento em edificações. Rio de Janeiro.



DAVENPORT, A. G. (1963). The relationship of Wind structure to Wind loading. IN: Wind effects on

Building and Structures. Teddington. P.53-102.



LIMA, J. S. (1998) Avaliação dos efeitos de segunda ordem em edifícios altos. Escola Politécnica da

Universidade Federal da Bahia. Salvador 1998.

SALES, J. J., MALITE, M., GONÇALVES, R. M. (2002). Ação do vento nas edificações. Escola de

Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo. Publicação 01094.



55 EESSTTRRUUTTUURRAA DDEE CCOONNTTRRAAVVEENNTTAAMMEENNTTOO

5.1 INTRODUÇÃO

Chama-se de estrutura de contraventamento o sistema estrutural, formado pela totalidade ou parte

dos elementos estruturais, que resiste às ações horizontais.

A definição de qual elemento estrutural, pertencente à estrutura de um edifício, fará parte do

chamado sistema de contraventamento é uma atribuição do projetista.

As estruturas de contraventamento são fundamentais para a segurança e o bom funcionamento de

uma edificação. Em especial no caso de edifícios relativamente altos, pode-se afirmar que a sua importância

é até maior que a do sistema que absorve cargas verticais. Portanto, qualquer erro na avaliação dos esforços

solicitantes em seus elementos componentes pode realmente acarretar a ruína ou o mau funcionamento da

estrutura da edificação em toda a sua vida útil.

As principais ações horizontais que podem agir sobre as estruturas de contraventamento são:

§ Ações devidas ao vento.

§ Ações devidas ao desaprumo ou às excentricidades globais.

§ Ações devidas aos abalos sísmicos.

As ações devidas ao vento são as mais importantes em termos de valores atuantes, especialmente no

Brasil onde não se registram sismos de intensidade significativa. Entretanto, para um correto

dimensionamento da estrutura de contraventamento é necessário que o projetista leve em consideração todas

as ações horizontais importantes que possam estar atuando sobre a estrutura. Por exemplo, em edificações

que apresentem subsolos com empuxos não compensados, é impossível deixar de considerá-los na avaliação

dos esforços solicitantes que atuam nos elementos. E assim como nesse exemplo citado, pode haver outros

casos particulares onde determinadas ações específicas são de grande importância para a estrutura a ser

considerada.



5.2 AÇÕES HORIZONTAIS

As principais ações horizontais a serem consideradas nas estruturas de contraventamento são a ação

dos ventos e o desaprumo, já que os sismos, para o caso das estruturas brasileiras, não apresentam

importância significativa.

5.2.1 AÇÃO DO VENTO

As forças de arrasto são calculadas com base nas prescrições da NBR 6123 (1987), como visto no

capítulo anterior.

a) Forma de Atuação

Considera-se que o vento atua sobre as paredes que estão dispostas na perpendicular à sua direção.

Estas passam a ação às lajes dos pavimentos que distribuem, de acordo com a rigidez, aos elementos que

constituem a estrutura de contraventamento, como apresentado na Figura 5.1.

Laje

LajeParede

Contraventamento

(Pórtico)

Contraventamento

(Pórtico)

F (vento)a

a,i+1F

Fa,i

Figura 5.1 – Distribuição da ação do vento entre os painéis de contraventamento.

Para que essa distribuição possa se verificar é necessário que a laje possua uma rigidez compatível

com a suposta. No caso usual, as lajes estarão sendo consideradas como diafragmas totalmente rígidos em

seu plano e sem rigidez na direção normal.

Para a maior parte dos edifícios correntes essa suposição não é difícil de ser verificada. Entretanto,

deve-se estar atento a casos especiais, como, por exemplo, grandes aberturas ou outros detalhes que reduzam

significativamente a rigidez da laje em seu próprio plano.

b) Importância da Consideração da Ação do Vento

A atuação do vento deve ser analisada com muito cuidado nas estruturas correntes. Os esforços

obtidos são muito significativos, mesmo quando comparados, por exemplo, aos produzidos pelas cargas

verticais.



Embora até pouco tempo a norma de concreto permitisse a dispensa de sua análise para certos casos

(recomendação motivada pela falta de recursos computacionais que vigorava até algum tempo atrás), a nova

norma de concreto, NBR 6118 (2003), que entra em vigor em março de 2004, já menciona que todos as

estruturas necessitam da análise com a consideração dessa ação.

A importância da consideração do vento nas estruturas convencionais pode ser analisada a partir da

Figura 5.2.

Número depavimentos

Número depavimentos

10 20 30 40

Esf

orço

s no

s Pi

lare

s

Esf

orço

s na

s V

igas

Ação VerticalAção do Vento

10 20 30 40

Figura 5.2 – Esforços nas estruturas de contraventamento

Nos gráficos apresentados na Figura 5.2 são mostradas as variações de esforços em pilares e vigas de

estruturas de contraventamento usuais em relação ao número de pavimentos das edificações. Observa-se que

os esforços em pilares e vigas são da mesma ordem de grandeza para edificações de 25 a 30 pavimentos. A

partir daí os esforços devidos ao vento são preponderantes. É importante ressaltar que os gráficos

apresentados são válidos para estruturas convencionais. No caso de lajes lisas ou protendidas os esforços se

igualam para edificações que tenham de 18 a 20 pavimentos.

5.2.2 DESAPRUMO

O desaprumo representa uma inclinação acidental, um deslocamento angular em relação à posição

inicial, como representado na Figura 5.3, variável de edificação para edificação e decorrente de imperfeições

construtivas.

A NBR 6118 (2003) sugere que o desaprumo seja considerado separadamente para cada um dos

pórticos planos existentes na estrutura, com valor:

2n1

1 1a

+θ=θ (5.1)

na qual:

n é o número de pilares contínuos do pórtico,



θ1 H 100

1=

sendo H a altura da estrutura , em metros, e

=θmóveis nós de estruturas para

3001

fixos nós de estruturas para 4001

min1 2001

máx1 =θ

θa

H

Figura 5.3 – Representação do ângulo de desaprumo.

Pode-se transformar esse deslocamento angular (desaprumo) em um conjunto de ações horizontais

fictícias equivalentes.

As ações horizontais fictícias ∆Hi para cada nível de um pórtico, a ilustradas na Figura 5.4, são

calculadas a partir de:

∑=

θ=∆n

1jaiji tgVH (5.2)

onde

n é o número de pilares contínuos do pórtico,

Vij é a ação vertical aplicada ao pilar j somente pelo andar i,

θa é o ângulo de desaprumo do pórtico, em radianos, calculado a partir da eq.(5.1).

Como os ângulos correspondentes ao desaprumo são muito pequenos, pode-se considerar tg θa ≅ θa,

em radianos.

O desaprumo não deve necessariamente ser superposto ao carregamento de vento. Entre os dois,

vento e desaprumo, pode ser considerado apenas o mais desfavorável, que pode ser definido através do que

provoca o maior momento total na base de construção.



∆H1

∆H2

∆H3

∆H4

∆H5

V11

V21 V22

V31 V32

V41

V51 V52

V42

V53

V43

V33

V23

V13V12

1 2 3

Figura 5.4 – Ações horizontais fictícias equivalentes ao desaprumo

5.2.3 SISMOS

A ação de sismos pode ser considerada através da ação de forças horizontais equivalentes. Para a

definição dessas forças deve-se consultar normas específicas.

5.3 ANÁLISE ESTRUTURAL DO SISTEMA DE CONTRAVENTAMENTO

A estrutura de contraventamento de um edifício é aquela que resiste a eventuais ações horizontais e

provê o travamento horizontal dos pavimentos do edifício. Já a estrutura contraventada faz parte do sistema

estrutural, mas não ajudam a resistir às ações horizontais. Em um sistema estrutural pode existir um

subsistema de contraventamento e um subsistema contraventado.

Na verdade, é impossível separar elementos que contraventam de elementos contraventados. Porém,

é comum adotar a estrutura de contraventamento sem que dela façam parte todos os elementos estruturais.

Isso ocorre principalmente quando se tem um dos seguintes casos:

§ Vigas que apóiam em vigas

§ Pilares isolados trabalhando segundo a menor inércia

§ Pórticos na direção perpendicular à ação horizontal

A não consideração desses elementos na estrutura de contraventamento não deve trazer nenhuma

alteração significativa na distribuição das ações entre os painéis componentes, pois os eventuais esforços que

apareceriam nesses elementos seriam pequenos.

Entretanto, se os elementos contraventados realmente podem apresentar uma participação

significativa na rigidez do conjunto, não é adequado que isso seja feito sem uma análise cuidadosa dos

efeitos que podem daí advir. Não é correto pensar, que a retirada dessas peças atue sempre a favor da

segurança. Realmente existe a tendência à obtenção de esforços maiores nos elementos restantes, mas as

peças retiradas estarão totalmente livres dessas ações no cálculo realizado, sem que isso de fato se verifique



na prática. Dessa forma introduz-se um distanciamento da realidade estrutural, o que não é conveniente sob

nenhum aspecto: seja a economia ou a segurança.

Assim, pode-se recomendar que na medida do possível sejam consideradas todos os elementos que

podem participar do contraventamento. Essa é a maneira mais segura e econômica de se analisar a estrutura e

deve ser adotada sempre que possível, especialmente quando os recursos computacionais disponíveis

permitam que isso seja realizado com tranqüilidade.

5.3.1 PAINÉIS DE CONTRAVENTAMENTO

Os painéis são os elementos básicos de um sistema estrutural de contraventamento. Podem ser

compostos por apenas uma peça, como no caso de uma parede isolada, ou por um certo número de peças,

como no caso de um pórtico de várias prumadas. Em qualquer caso são os elementos que trabalham

oferecendo resistência aos deslocamentos horizontais dos pavimentos. Os principais painéis de

contraventamento são:

§ Painel Parede (Pilar Parede)

§ Painel Pórtico

§ Associação de Painel Parede e Painel Pórtico

a) Painel Parede (Pilar Parede)

Os painéis parede são os elementos mais simples de uma estrutura de contraventamento, porque são

compostos por apenas um elemento, e também porque seu comportamento pode ser analisado a partir de uma

viga engastada submetida a carregamento transversal. A forma de sua linha elástica típica é representada na

Figura 5.5.

a

Figura 5.5 – Linha elástica típica do painel pilar-parede

Pode-se observar que a parede tende a apresentar deslocamentos bem menores junto à base e maiores

à medida que se aproxima do topo. Por essa condição, a parede tende a apresentar mais rigidez junto à base,

portanto, absorvendo uma parcela maior do carregamento total do sistema de contraventamento nesse trecho.

Esse comportamento é típico de uma estrutura cujos deslocamentos acontecem por momento fletor



b) Painel Pórtico

O painel pórtico é formado por pelo menos dois pilares e uma viga. Portanto, sua consideração no

sistema de contraventamento tende a ser menos simples que o painel parede.

a

Figura 5.6 – Linha elástica típica do painel pórtico

Por ter uma rigidez elevada ao momento fletor e ser deformável à força cortante, se observa, a partir

da linha elástica típica do painel pórtico, que este tende a apresentar maiores deslocamentos horizontais junto

à base, diminuindo quando se aproxima do topo. Portanto, de forma oposta à parede, o pórtico tende a

absorver menor parcela do carregamento junto à base, aumentando sua participação à medida que se

consideram pontos mais próximos do topo. Esse comportamento é típico de estruturas que se deformam

preferencialmente por força cortante.

Esse comportamento típico se verifica, na realidade, quando a inércia da viga é grande em relação à

inércia dos pilares, como é o caso mostrado na Figura 5.7a. Nesse caso, a deformação do painel se dá

principalmente por força cortante, obtendo-se o resultado da Figura 5.6.

a) Deformação por cortante b) Deformação por cortante e momento fletor

Figura 5.7 – Painéis pórticos



Caso a situação seja a apresentada na Figura 5.7b, ou seja quando a inércia dos pilares é de mesma

ordem de grandeza ou mesmo maior que a da viga, o painel não deve apresentar o comportamento típico da

Figura 5.6. Nesse caso, a linha elástica tende a ser uma mistura entre as linhas elásticas típicas do painel

parede e do painel pórtico. Esse painel, na verdade, pode ser comparado a uma associação de um pórtico com

uma parede, que será analisada com maiores detalhes no próximo item.

c) Associação de Pórtico e Parede

Quando a inércia dos pilares é de mesma ordem de grandeza, ou mesmo maior, que a da viga, o

painel tende a se comportar como uma mistura entre o painel parede e o painel pórtico, apresentando

deslocabilidade semelhante tanto junto à base quanto ao topo (Figura 5.8).

a

Figura 5.8 – Associação plana de pilar-parede e pórtico

Devido a seus comportamentos complementares, é impossível não pensar nos benefícios que podem

advir de uma associação entre um pórtico e uma parede. Junto à base, quando o pórtico tem uma rigidez

relativamente pequena, a parede acaba suportando a maior parte do carregamento total do painel. Já junto ao

topo a situação se inverte e é o pórtico que compensa a menor rigidez relativa da parede, suportando a maior

parcela do carregamento total. Esse comportamento é ilustrado na Figura 5.9.

Total Parede Pórtico

Figura 5.9 – Distribuição das parcelas de cargas em associações de paredes e pórticos



Os benefícios dessa associação são inegáveis, e essa análise do comportamento conjunto pode ser

importante para a definição, ainda na fase da concepção da estrutura, de um sistema de contraventamento

mais eficaz e conceitualmente correto.

5.3.2 DISTRIBUIÇÃO DE AÇÕES ENTRE PAINÉIS DE CONTRAVENTAMENTO

Um ponto fundamental para as análises a serem realizadas é a condição da estrutura quanto à

simetria. Pode-se classificá-las em dois tipos:

§ Contraventamento simétrico

§ Contraventamento assimétrico

O contraventamento é sempre considerado em relação à direção na qual o vento atua. Sendo assim,

uma estrutura que possua apenas um eixo de simetria, será considerada simétrica para o vento atuando nessa

direção e assimétrica para as demais.

Quando a estrutura é simétrica, o pavimento, considerado como um diafragma rígido, apresenta

apenas translações (Figura 5.10a). Já no caso de contraventamentos assimétricos (Figura 5-10b), os

pavimentos devem apresentar, além das translações, rotações em relação a um ponto chamado centro

elástico. Tanto os recursos computacionais necessários quanto os resultados obtidos são distintos para os dois

casos.

a) Contraventamento simétrico b) Contraventamento assimétrico

Figura 5.10 – Contraventamento simétrico e assimétrico

Quanto à distribuição das ações, pode-se considerar que existem dois grandes grupos de

procedimentos para distribuição das ações laterais entre os painéis de um sistema contraventamento:

§ Técnica do Meio Contínuo (TMC)

§ Procedimentos Discretos (Método dos Elementos Finitos)

a) Técnica do Meio Contínuo

Os procedimentos baseados na Técnica do Meio Contínuo consistem em se substituir os elementos

componentes de uma estrutura por um meio contínuo de rigidez equivalente. Assim, pode-se descrever o seu

comportamento por equações diferenciais que resolvidas fornecem esforços e deslocamentos.



Esses procedimentos apresentam como vantagens:

§ Poucos dados de entrada.

§ Poucos, mas significativos, resultados obtidos.

§ Praticamente não necessita de recursos computacionais.

Sendo as principais desvantagens:

§ Dificuldade para consideração de variações discretas de carregamento e geometria.

§ Perturbações junto à base e ao topo da edificação.

b) Procedimentos Discretos

Os procedimentos discretos são aqueles onde todos os elementos são efetivamente discretizados

através de pontos nodais e elementos. O método mais utilizado é o Método dos Elementos Finitos Nesse caso não existirão restrições quanto a variações das características da estrutura e do

carregamento. A análise ganha muito em generalidade podendo-se calcular estruturas com detalhes

localizados e variações significativas de rigidez como pavimentos de transição, interrupção de pilares e

vigas, etc. Entretanto, a complexidade da modelagem será muito maior, obtendo-se normalmente um extenso conjunto de dados de entrada.

Com relação ao cálculo da estrutura propriamente dita, é necessária a utilização de um programa

especialmente desenvolvido para esse fim. Os resultados obtidos são também em grande número,

dificultando a sua interpretação.

Assim, os procedimentos discretos apresentam como vantagens:

§ Facilidade para consideração de variações discretas de carregamento e geometria.

§ Ausência de perturbações junto à base e ao topo da edificação.

E as desvantagens são:

§ Muitos dados de entrada. § Muitos, e às vezes pouco significativos, resultados obtidos.

§ Necessita de recursos computacionais bem desenvolvidos.

5.3.3 MODELOS PARA A DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES

Uma vez determinada a ação horizontal e definida a estrutura de contraventamento, o passo seguinte

é o cálculo dos esforços solicitantes resultantes dessa ação.

a) Associação Plana de Painéis de Contraventamento (Modelo de Pórticos Planos)

A associação plana de painéis de contraventamento só é possível se a estrutura for simétrica em

relação ao eixo de aplicação da ação horizontal, ou pelo menos, assim puder ser considerada. Trata-se, então, de modelar uma série de painéis de contraventamento (pórticos e pilares-paredes) na

direção considerada e ligá-los por barras articuladas nas extremidades, que estarão representando as lajes.

Nas Figuras 5.11 e 5.12 encontram-se exemplos de associação plana de painéis de contraventamento.

O carregamento pode ser aplicado a qualquer painel, já que a ligação por barras articuladas fará a distribuição dessas cargas, de acordo com a capacidade de absorção de cada painel.



As barras articuladas que representam as lajes devem ter uma rigidez bastante elevada, de modo a

produzir deslocamentos idênticos em um mesmo nível. No entanto, a adoção de um valor muito alto em relação às demais peças estruturais, poderia causar uma série de problemas numéricos durante o

processamento da análise. Por isso, recomenda-se adotar:

§ Comprimento de 0,5 m a 1 m. Esse comprimento acaba resultando da posição dos painéis no modelo.

§ Características da seção tomadas para uma faixa de 2 m de laje, mantendo-se a sua espessura real.

P1(25/80)

P2(25/80)

P3(25/60)

P5(25/120)

P4(25/60)

P7(25/60)

P6(25/60)

P8(25/80)

P9(25/80)

V1 (15/60)

L1h = 10

V2 (15/60)

V3

(15/

60)

V4

(15/

60)

V5

(15/

60)

L2h = 10

Vento

P8 P6 P3 P1 P5 P9 P7 P4 P2

Figura 5.11 – Exemplo de associação plana de painéis de contraventamento



Figura 5.12 – Exemplo de associação plana de painéis de contraventamento



b) Pórticos Tridimensionais ou Espaciais

Consiste na representação espacial de uma estrutura através de um modelo geometricamente

condizente. Todos os elementos que tenham alguma participação no contraventamento são locados em

posições correspondentes às posições reais. Assim, pode ser utilizado tanto para as estruturas simétricas

quanto para as assimétricas.

Neste tipo de modelo pode-se analisar tanto os efeitos da torção global da estrutura quanto os da

torção local em cada um dos elementos; a ação do vento pode ser analisada segundo qualquer uma das

direções do espaço tridimensional. Assim, obtém-se valores de esforços solicitantes e de deslocamentos mais

representativos que os do modelo plano. Entretanto, apresenta maior grau de dificuldade e tempo gasto para

a modelagem.

P1(25/60)

P2(25/120)

P3(20/100)

P4(25/60)

P6(25/80)

P5(25/60)

P8(25/60)

P7(25/120)

V1 (15/60)

V2 (15/60)

L1h = 10

L2h = 10

L3h = 10

V3

(15/

60)

V4

(15/

60)

V5

(15/

60)

V6

(15/

60)

P1 P2 P3 P4

P5 P6 P7 P8

Figura 5.13 – Exemplo de um modelo de pórtico espacial



5.3.4 CONSIDERAÇÕES SOBRE O COMPORTAMENTO NÃO-LINEAR DAS

ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO

a) Não-Linearidade Física

A Não-Linearidade Física é definida como o fenômeno correspondente à perda de proporcionalidade

entre tensão aplicada e deformação sofrida pelo material (Figura 5.14b).

σ

ε

E

ε

σ

a) Material elástico linear b) Material não linear

Figura 5.14 – Diagramas tensão-deformação

No caso do concreto, essa perda de proporcionalidade começa a acontecer para baixos valores de

tensões, principalmente devido à formação e abertura de fissuras na seção transversal, e da deformação

longitudinal do elemento.

Admitir o comportamento dos elementos estruturais em concreto armado totalmente elástico torna-se

equivocado quando se percebe que, ao longo da vida útil, a fissuração e a deformação só tendem a aumentar.

O principal efeito disso é a perda de área efetiva da seção transversal, que contribui para a rigidez do

elemento. Buscou-se, então, determinar um módulo de rigidez EI, capaz de representar, além da

porcentagem de perda de rigidez proveniente da fissuração, o próprio comportamento plástico do concreto

armado. O módulo de rigidez é definido como o produto do módulo de deformação longitudinal do concreto

E pelo momento de inércia da seção transversal do elemento I.

Na determinação do módulo de rigidez, a adoção do momento de inércia da seção bruta de concreto

pode levar a uma superestimativa da rigidez, uma vez que o concreto sempre apresenta algumas fissuras.

Entretanto, a adoção do momento de inércia da seção transversal considerada totalmente fissurada pode levar

a subestimativa da rigidez, já que os elementos apresentam trechos fissurados e trechos não-fissurados.

Assim, para ser usado tanto no modelo de pórtico plano quanto de pórtico espacial, surgiu o conceito de

módulo de rigidez equivalente EIequiv, que representa a rigidez de um elemento situada entre a rigidez do

elemento antes da fissuração e a rigidez do elemento após a fissuração. A NBR 6118 (2003) recomenda que

se utilize:

§ Para vigas:

( )( )

==

≠=

s'sccequiv

s'sccequiv

AA se IE5,0EI

AA se IE4,0EI



§ Para pilares:

( ) ccequiv IE8,0EI =

Onde AS é a área da armadura de tração da viga, AS’ é a área da armadura de compressão da viga, Ic é o

momento de inércia da seção bruta de concreto do elemento, e Ec é o módulo de deformação longitudinal

secante do concreto, dado por:

( )MPa em f4700E ckc =

com fck igual à resistência característica do concreto à compressão.

Para estruturas de contraventamento compostas apenas de vigas e pilares, pode ser considerado, para

ambos:

( ) ccequiv IE7,0EI =

b) Não-Linearidade Geométrica

A Não-Linearidade Geométrica representa os deslocamentos laterais sofridos pela estrutura quando

sobre ela incidem ações horizontais, como o vento.


ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2003). NBR 6118 - Projeto de estruturas de

concreto. Rio de Janeiro

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT (1987). (NB-599) NBR 6123 - Forças

devidas ao vento em edificações. Rio de Janeiro.

OBSERVAÇÃO:

Este capítulo foi adaptado das notas de aulas da Disciplina SET-5869 Análise Estrutural de

Edifícios de Concreto Armado, ministrada no Departamento de Engenharia de Estruturas da

Escola de Engenharia de São Carlos – USP, pelos Professores Associados Márcio Antonio

Ramalho e Márcio Roberto Silva Corrêa.



66 6 EESSTTAABBIILLIIDDAADDEE GGLLOOBBAALL DDEE EEDDIIFFÍÍCCIIOOSS

6.1 INTRODUÇÃO

As ações verticais atuando em uma estrutura na sua posição inicial, não deslocada, geram esforços

solicitantes chamados esforços de primeira ordem. As ações horizontais agindo simultaneamente com

essas ações verticais, provocam deslocamentos laterais na estrutura. Atuando, agora, na estrutura em sua

posição deformada, as ações verticais causam acréscimos nos esforços de primeira ordem. Esses acréscimos

nos esforços são chamados de esforços de segunda ordem (Figura 6.1). Os esforços de segunda ordem

somente não ocorreriam se a estrutura pudesse ser considerada indeslocável, o que é impossível em termos

absolutos.

Dessa forma, pode-se dizer que os efeitos de primeira ordem são aqueles obtidos a partir de uma

análise de equilíbrio da estrutura que considera a sua posição geométrica inicial, isto é, indeformada, e os de

segunda ordem, aqueles resultantes da análise da estrutura na sua posição deformada. Enquanto nas análises

de primeira ordem os esforços e os deslocamentos variam linearmente com as ações, nos de segunda ordem,

essas relações tornam-se não-lineares.

l l

aP

H

P

H

a) Posição indeslocada b) Posição deslocada

A A

M = H hA M = H h + P aA

Figura 6.1 – Momentos fletores de primeira e de segunda ordem em uma estrutura.



Com a valorização cada vez maior dos espaços nas grandes cidades, a construção de edifícios altos

passou a ser quase uma obrigação, fazendo com que as estruturas se tornassem mais esbeltas. Como

conseqüência, os efeitos das ações horizontais tornaram-se ainda mais significativos para o estudo da

estabilidade global desses edifícios.

Pode-se dizer que a estabilidade global de uma estrutura é a sua capacidade de manter o

equilíbrio sob a incidência de ações verticais e horizontais. Para isso, deve-se avaliar a influência dos esforços

de segunda ordem na resistência das estruturas.

6.2 CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS DE ACORDO COM SUA

DESLOCABILIDADE

Algumas estruturas são rígidas, quase indeslocáveis, e, conseqüentemente, apresentam pequena

interferência dos esforços de segunda ordem em seus esforços totais. Essas estruturas são chamadas de nós

fixos. Outras, ao contrário, são mais flexíveis, bastante deslocáveis, e os efeitos de segunda ordem

contribuem significativamente para o aumento dos esforços totais. Estas são chamadas de estruturas de nós

móveis . Pode-se considerar uma estrutura com de nós fixos se os esforços de segunda ordem forem

inferiores a 10% dos esforços de primeira ordem.

Assim, as estruturas nas quais, devido a uma maior rigidez, os deslocamentos horizontais são

pequenos, e, por decorrência, os efeitos de segunda ordem podem ser considerados desprezíveis (menores

que 10% dos respectivos esforços de primeira ordem), são chamadas estruturas de nós fixos ou

estruturas indeslocáveis . Nesse caso, não há necessidade de se considerar os esforços de segunda ordem

no dimensionamento de seus elementos.

Já as estruturas onde esses deslocamentos horizontais não são pequenos e, conseqüentemente, os

efeitos de segunda ordem são significativos para o dimensionamento dos elementos estruturais (superiores a

10% dos respectivos esforços de primeira ordem), são chamadas estruturas de nós moveis ou estruturas

deslocáveis .

Essa classificação das estruturas trata-se na verdade de uma simplificação, que consiste em chamar

uma estrutura pouco deslocável de indeslocável. Entretanto, como foi comentado, tal classificação é muito

importante, já que é tomada como base para se decidir se é ou não necessário que a análise de uma

determinada estrutura seja feita em teoria de segunda ordem, ou seja, com a estrutura em sua posição

deformada.

6.3 AVALIAÇÃO DOS EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM EM EDIFÍCIOS

Uma avaliação de estabilidade não deve ser feita sem uma análise de segunda ordem, já que a

instabilidade pode até conduzir ao colapso. Desta forma, é importante que se conheça os critérios mais

utilizados para se avaliar os efeitos de segunda ordem em uma estrutura.



A avaliação dos efeitos de segunda a partir da análise da estrutura na posição deformada é sempre

um processo interativo. Para tanto existem processos, que podem ser chamados de rigorosos, onde são feitas

alterações na matriz de rigidez e vetor de cargas, dentro de um programa computacional de pórtico plano ou

tridimensional.

“No caso dos processos rigorosos, é necessário que se tenha acesso a um programa computacional

que permita a consideração da posição deformada da estrutura, ou não-linearidade geométrica. Esses

programas não têm ainda uma utilização disseminada, pelo menos para análises usuais. Exige uma entrada de

dados normalmente mais complexa e apresenta um tempo de processamento relativamente elevado, motivos

pelos quais tem utilização mais restrita a casos especiais”. (Segundo RAMALHO & CORREA).

Podem ainda ser utilizados processos simplificados, comentados a seguir.

6.3.1 PARÂMETRO DE INSTABILIDADE α

O Parâmetro de Instabilidade α , introduzido por BECK & KÖNIG (1966) e, posteriormente,

adaptado por FRANCO (1985), tem como único objetivo avaliar a “sensibilidade” da estrutura aos efeitos de

segunda ordem. Para isso, calcula -se um valor de α para a estrutura analisada e compara-se esse valor com

um limite. Se o valor calculado for maior que esse limite a estrutura é considerada de nós móveis. Nesse

caso, o projetista deve utilizar um outro processo para a avaliação dos esforços de segunda ordem.

a) Breve Histórico

Os primeiros estudos voltados para a avaliação dos efeitos de segunda ordem eram baseados na

análise do comportamento de barras isoladas. BECK & KÖNIG (1966) desenvolveram os primeiros

trabalhos que analisavam a estrutura com um todo.

O modelo proposto por BECK& KÖNIG (1966) consistia em representar um edifício a partir de um

pilar engastado na base e livre no topo, de seção constante e submetido a uma ação vertical uniformemente

distribuída ao longo de todo o seu comprimento (Figura 6.2). Esse modelo admitia comportamento elástico do

material.

Hq

Figura 6.2 – Modelo de pilar estudado por BECK& KÖNIG



A rigidez desse pilar correspondia à soma das rigidezes de todos os pilares isolados da estrutura de

contraventamento. A partir da solução da equação diferencial de equilíbrio do pilar, Beck & König

observaram que o deslocamento relativo entre dois pontos do pilar, referentes a dois pavimentos consecutivos,

estava associado a um coeficiente que levava em consideração o carregamento e as características

geométricas do pilar. Eles chamaram esse coeficiente de α , que eram calculado a partir de:

EIF

l=α (6.1)

sendo:

l o comprimento do pilar,

EI o módulo de rigidez do pilar,

F a força vertical total no pilar.

b) Extensão da Teoria ao Estudo de Edifícios Contraventados por Pilares-Parede

Pode-se observar que edifícios altos têm uma altura muito maior que suas dimensões em planta, como

uma barra, e os elementos de fundação os engastam na base, sendo que a extremidade superior fica livre.

Esse comportamento é semelhante ao do pilar idealizado por Beck & König.

Além disso, conforme comentado no capítulo anterior, um edifício alto contraventado apenas por

pilares-parede apresenta uma deformada (linha elástica) semelhante à deformada do pilar de Beck & König.

E, admitindo-se ainda que o carregamento vertical de cada pavimento do edifício é praticamente o mesmo,

comportando-se como uma carga vertical uniformemente distribuída ao longo da altura (Figura 6.3), pode-se

considerar o comportamento do edifício semelhante ao do pilar de Beck & König, sendo, portanto, válidas as

hipóteses estudadas por eles.

P1

P2

Pi-1

Pi

Pi+1

Pn

H

Linha elástica do edificio

Linha elástica do pilarde Beck & König

Figura 6.3 – Analogia entre o pilar de Beck & König e os edifícios

H

Pq

n

ii∑

=



Assim, para o estudo de edifícios, o parâmetro α dado pela eq.(6.1) pode ser escrito da seguinte

forma:

EIN

H=α (6.2)

onde:

H é a altura total do edifício

EI é o módulo de rigidez da estrutura

N é o somatório de todas as ações verticais atuantes na estrutura.

A partir do estudo da estabilidade de estruturas contraventadas unicamente por pilares-parede, com

carregamento e geometria uniformes, Beck & König chegaram a um valor limite para o parâmetro α igual a:

60,0lim =α

Desta forma, as estruturas eram consideradas de nós fixos se o valor do parâmetro α fosse menor

que α lim, em caso contrário, ou seja, quando o valor de α fosse maior que o de α lim, a estrutura era dita de

nós móveis.

c) Módulo de Rigidez Equivalente

A partir do estudo de Beck e König, para a determinação do módulo de rigidez EI, considerava-se a

soma das rigidezes individuais dos pilares, não levando em conta o acréscimo que essas rigidezes sofrem

devido à ligação das vigas com esses mesmos pilares nas estruturas moldadas no local.

De acordo com VASCONCELOS (1985), essa consideração não representava bem o

comportamento das estruturas de concreto armado como as moldadas no local, onde há ligação monolítica

entre os elementos. Seria adequada apenas a estruturas como as pré-moldadas. Sendo assim, como a rigidez

adotada era bem menor que a real, os valores de α eram bem maiores que os reais.

Para tentar minimizar este problema, FRANCO (1985) introduziu o conceito de rigidez equivalente.

Segundo ele, a rigidez do pilar único que representa a estrutura deveria ser equivalente à da estrutura de

contraventamento. A equivalência residiria na igualdade das flechas horizontais no topo decorrentes da

incidência das ações horizontais.

Assim, considere-se, por exemplo, um edifício de módulo de rigidez EI, altura H, submetido a uma

carga horizontal q. Essa estrutura sofrerá um deslocamento a no topo. O módulo de rigidez equivalente

(EI)eq é o módulo de rigidez de uma estrutura prismática, com o pilar de Beck e König, de comprimento H,

submetida a carga q e deslocamento no topo a’ igual a a (Figura 6.4).

Percebe-se, então, que o módulo de rigidez equivalente não depende diretamente do valor atribuído à

carga q, e sim, de seu arranjo físico. Apesar de muitos estudos terem sido feitos considerando-se q uma

carga horizontal unitária concentrada no topo, parece ser mais acertado considerá-la unitária uniformemente

distribuída ao longo da edificação, pelo fato de aproximar-se mais do tipo de ação do vento.



q EI a a' = a(EI) eq

H

a) Edifício b) Pilar equivalente

Figura 6.4 – Módulo de rigidez equivalente

Da Resistência dos Materiais, para o pilar equivalente (Figura 6.4b) engastado na base e livre na

outra extremidade, submetido a uma carga uniformemente distribuída q ao longo de seu vão H, o

deslocamento na extremidade livre é dado por:

eq

4

)EI( 8H q

'a = (6.3)

E, igualando-se os deslocamentos dos topos do edifício e do pilar equivalente (a = a’), o módulo de rigidez

equivalente (EI)eq pode então ser obtido por:

a 8H q

)EI(4

eq = (6.4)

sendo:

q a ação horizontal uniformemente distribuída (geralmente é adotado um valor unitário)

H a altura total do edifício

a o deslocamento do topo do edifício quando submetido à ação horizontal de valor igual a q

E o parâmetro de instabilidade α passa a ser expresso da forma usualmente empregada na análise

de edifícios, que é

eq

k

)EI(N

H=α (6.5)

sendo:

H a altura do pilar, medida a partir do topo da fundação ou de um nível muito pouco deslocável do

subsolo,

Nk somatório de todas as ações verticais atuantes no edifício (a partir do nível considerado para o cálculo

de H), com valor característico,



(EI)eq módulo de rigidez da estrutura do edifício equivalente a um pilar de seção constante engastado na

base e livre no topo

d) Extensão da Teoria para os Demais Tipos de Contraventamento

Como foi comentado no Capítulo 4, a linha elástica da estrutura é diferente para cada tipo de painel

de contraventamento. Assim, as expressões obtidas anteriormente para edifícios contraventados por pilares-

parede, que tiveram por base a equação da linha elástica (deformada) para esta situação, devem ser

adaptadas para que possam ser utilizadas em outros tipos de painéis, cujas equações de linha elástica são

diferentes.

FRANCO (1985) define, a partir do estudo da linha elástica de cada painel de contraventamento, o

parâmetro de forma da estrutura, dado por:

Na

yPn

1 iii

⋅

⋅=ψ

∑= (6.6)

na qual:

Pi é a força vertical em cada pavimento;

yi é o deslocamento horizontal em cada pavimento;

a é o deslocamento no topo da estrutura;

N é o somatório das ações verticais atuantes;

n é o número de pavimentos.

Escrevendo o somatório em forma de integral, tem-se:

∫ ⋅⋅⋅=ψH

0

dPya1

N1

Para cada um dos sistemas de contraventamento, define-se uma equação da estrutura deformada

(linha elástica). FRANCO (1985) expõe essas equações, a partir das quais encontra os parâmetros de forma

ψ da estrutura, cujos valores são os usualmente empregados são:

§ ψ = 0,4 para estruturas contraventadas por pilares-parede

§ ψ = 0,5 para estruturas contraventadas por associações de painéis de contraventamento

§ ψ = 0,67 para estruturas contraventadas por pórticos

O coeficiente de forma relaciona-se com os valores limite de α através da expressão:

ψ⋅=α

112

k (6.7)

A eq.(6.7) fornece, então, os seguintes valores limites para α , que devem ser comparados com o

valor de α calculado a partir da eq.(6.5), para a avaliação dos efeitos de segunda ordem:



§ α lim = 0,7 (estruturas contraventadas por pilares-parede)

§ α lim = 0,6 (estruturas contraventadas por associações de pórticos e pilares-parede)

§ α lim = 0,5 (estruturas contraventadas por pórticos)

O estudo de FRANÇA (1985) apresenta um exemplo em que se varia, numa mesma estrutura, o tipo

de contraventamento. A partir dos resultados obtidos por ele, percebe-se que a deformada da estrutura é

bastante diferente em cada um dos casos, e, conseqüentemente, a grandeza dos esforços de segunda ordem

também. Dessa forma, a utilização de limites diferentes para α , a depender do sistema de contraventamento,

é, além de coerente, necessária.

Segundo a NBR 6118 (2003), o valor limite para α é dado por:

§ n1,02,0lim +=α , se n ≤ 3

§ 1,0lim =α , se n ≥ 4

onde, n é número de níveis de barras horizontais (andares) acima da fundação, ou de um nível pouco

deslocável do subsolo.

De acordo com essa Norma, o valor α lim = 0,6, para n ≥ 4 é, em geral, aplicável às estruturas usuais

de edifícios, onde o contraventamento é constituído de associações de pilares-parede, ou de associações de

pórticos e de pilares-parede. Entretanto, este valor pode ser aumentado para α lim = 0,7 para

contraventamento constituído exclusivamente por pilares-parede, e deve ser reduzido para α lim = 0,5 quando

no contraventamento só houver pórticos; recaindo-se nos limites fornecidos por FRANCO (1985).

Vale ressaltar que a diferença entre o valor limite de α , para estrutura de contraventamento

composta apenas por pilares-parede, do estudo de Beck & König (αlim = 0,6) e do estudo de Franco (αlim =

0,7) se deve ao fato do trabalho inicial considerar γf = 1,5 e o trabalho de Franco considerar γf = 1,4 (de

acordo com a norma brasileira), sendo γf o coeficiente majorador das ações.

6.3.2 COEFICIENTE γZ

O coeficiente γz, assim como o parâmetro de instabilidade α , também avalia a sensibilidade da

estrutura aos esforços de segunda ordem. Além disso, em alguns casos, é capaz de avaliar com certa

precisão o valor dos esforços finais, dispensando uma análise de segunda ordem.

d1

dz

MM

1

1∆

−=γ

(6.8)

na qual:

M1d é o momento fletor total de todas as componentes de força horizontal, com seu valor de cálculo, em

relação à base da estrutura (momento de tombamento),



∆Md é a soma dos produtos das forças verticais atuantes em cada pavimento, com os valores de cálculo,

pelos respectivos deslocamentos horizontais, decorrentes das alterações na estrutura indeformada

submetida a ações.

Assim, para um edifício de n pavimentos, com cargas vertical Pid e horizontal FHid, atuantes em

cada um desses n pavimentos, cujos pés-direitos valem hi, como mostrado na Figura 6.5, têm-se:

( )∑ ⋅=∆ iidd aPM (6.9)

( )∑ ⋅= iidd1 hFHM (6.10)

FH

Pn

n

FHi+1

FHi

FH3

FH2

FH 1

i+1P

iP

3P

2P

1P

a n

a i+1

a i

a 3

a 1

a2

h 1

2h

3h

i+1h

nh

a) Painel de contraventamento b) Deformada do contraventamento

nP

i+1P

Pi

P3

P2

P1

Figura 6.5 – Carregamento horizontal e vertical, e deformada do contraventamento.

Os deslocamentos horizontais ai de cada pavimento são calculados aplicando-se as ações horizontais

(forças de arrasto ou desaprumo) na estrutura de contraventamento, e utilizando-se para sua resolução

programas de pórticos planos ou tridimensionais, seguindo-se as recomendações apresentadas no Capítulo 5,

como a consideração da não linearidade física do concreto a partir da redução dos momentos de inércia dos

elementos.

Os valores de cálculo das ações são obtidos multiplicando-se os valores característicos das ações

pelos respectivos coeficientes de ponderação γf. Esses coeficientes estão relacionados a três parcelas:

3f2f1ff γ⋅γ⋅γ=γ

onde:

γ f1 considera a variabilidade das ações

γ f2 considera a simultaneidade das ações

γ f3 considera as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das solicitações



Segundo FRANCO & VASCONCELOS (1991) para o cálculo do coeficiente γz, pode-se utilizar:

§ γf = 1,0 para ações verticais (casos gerais)

§ γf = 1,1 para ações verticais (casos especiais)

§ γf = 1,4 para ações horizontais

Para análise de estabilidade, é necessário que o valor de γz encontrado seja comparado com valores

limite. Assim, considera-se a estrutura como de nós fixos se γz ≤ 1,1 (que corresponde, aproximadamente, à

consideração dos esforços de segunda ordem com inferiores a 10% dos de primeira ordem), e nós móveis

em caso contrário, ou seja, γz ≥ 1,1.

Para valores compreendidos entre 1,1 e 1,3, o coeficiente γz poderá ser utilizado como coeficiente

majorador dos efeitos de primeira ordem, avaliando os efeitos finais sem precisar calcular os de segunda

ordem. No caso dos esforços, aqueles a serem considerados no dimensionamento dos elementos devem ser

obtidos pela análise em primeira ordem, multiplicados pelo valor de 0,95γz.

Por fim, para valores de γz ≥ 1,3, os esforços de segunda ordem devem ser obrigatoriamente

determinados por algum outro processo (como o processo rigoroso), devendo ser adicionados aos de primeira

ordem para o dimensionamento dos elementos estruturais.

Assim, resumindo, tem-se:

§ γz ≤ 1,1 considera-se a estrutura de nós fixos ,

§ γz ≥ 1,1 considera-se a estrutura de nós móveis,

§ 1,1 ≤ γz ≤ 1,3 γz pode ser utilizado com coeficiente majorador dos efeitos de 1a. ordem,

§ γz ≥ 1,3 deve-se utilizar outro processo para a avaliação dos efeitos de 2a. ordem.

6.3.3 COMENTÁRIOS

Foi visto que a utilização dos efeitos de segunda ordem para o dimensionamento dos elementos

estruturais pode ser dispensada se eles representarem menos de 10% dos esforços de primeira ordem. A

depender do processo utilizado, essa consideração pode ser verificada a partir do parâmetro de instabilidade

α e do coeficiente γz. No caso do parâmetro α , ele deve ser menor ou igual a α lim; no caso do coeficiente

γz, ele deve ser menor ou igual a 1,1.

Se uma estrutura for considerada de nós fixos, pode-se tratar cada elemento estrutural isoladamente,

dimensionando-o por algum dos métodos já consagrados e previstos em norma. Por outro lado, se a estrutura

for considerada de nós móveis, não são comuns os casos em que o projetista opta por calcular os feitos finais,

já incluindo os de segunda ordem, e utilizá-los para o dimensionamento dos elementos da estrutura. O

procedimento usual é se tentar mudar a estrutura de contraventamento, alterando, por exemplo, a disposição

dos pilares, ou introduzindo pilares-parede, aumentando, desta forma, a rigidez horizontal. A estrutura é, então,

analisada novamente, até que possa ser classificada como de nós fixos.



6.4 EXEMPLOS

Com o objetivo de apresentar a verificação da estabilidade global de estruturas, são apresentados a

seguir dois exemplos. No primeiro, esta verificação é feita para um pórtico simples, já no segundo, tal

verificação é realizada para um edifício.

A resolução dos pórticos dos exemplos foi feita a partir de um programa de pórtico plano, respeitando

as recomendações contidas no Capítulo 5.

6.4.1 EXEMPLO 1

Para o pórtico ilustrado na Figura 6.6, constituído por dois pilares ligados por vigas nos seus vários

níveis, os efeitos de 2ª ordem serão avaliados a partir do parâmetro de instabilidade α e do coeficiente γz.

São dados do pórtico:

§ Fk = 10 KN

§ Pk = 250 KN

§ E = 3,0 x 107 KN/m2

A altura de cada nível é constante e vale 3m, como representado na Figura 6.6. e as características

geométricas das seções transversais dos elementos foram devidamente consideradas na resolução do pórtico.

a) Cálculo do parâmetro de instabilidade α

Para o cálculo do parâmetro α é necessário resolver o pórtico sob a ação de uma carga horizontal de

valor unitário, e uniformemente distribuída ao longo de sua altura. Este procedimento é feito para a

determinação do deslocamento no topo (a), e assim se calcular o módulo de rigidez equivalente (EIeq). Esse

deslocamento vale:

a = 0,0307 m

E, sendo a altura do pórtico igual a 54m, tem-se

0307.08541

a 8H q

)EI(44

eq ⋅⋅==

Portanto,

(EI)eq = 34.621.563,5 kNm2

O somatório de todas as ações verticais atuantes no pórtico (Nk), com seus valores característicos,

vale:

Nk = Σ Pk = 18 × ( 2 × 250) = 9.000 kN

já que se têm duas cargas de 250 kN em cada um dos 18 níveis (ou pavimentos) do pórtico.



Pk Pk

Pk Pk

Pk Pk

Pk Pk

Pk Pk

Pk Pk

Pk Pk

Pk Pk

Pk Pk

Pk Pk

Pk Pk

Pk Pk

Pk Pk

Pk Pk

Pk Pk

Pk Pk

Pk Pk

Pk Pk

Fk

Fk

Fk

Fk

Fk

Fk

Fk

Fk

Fk

Fk

Fk

Fk

Fk

Fk

Fk

Fk

Fk

Fk

18 x 3,00 = 54,0 m

Figura 6.6 – Pórtico do exemplo 1

Pode-se, então, calcular o parâmetro de instabilidade α :

87,05,563.621.34

900054

)EI(N

Heq

k =⋅==α

Como a estrutura de contraventamento neste exemplo é composta apenas de pórtico o valor limite de

α é 0,6 ( 6,0lim =α )

Deste modo, como

α = 0,87 > α lim = 0,6

a estrutura é de nós móveis , e os efeitos de segunda ordem devem ser considerados no dimensionamento

dos elementos.

b) Cálculo do coeficiente γz

No cálculo do coeficiente γz as ações horizontais e verticais devem ser consideradas com seus

valores de cálculos, ou seja, seus valores característicos devem ser majorados pelo coeficiente γ f. Assim,

como, apresentado anteriormente, para as ações horizontais, tem-se:

kN 14 104,1FF kfd =⋅=⋅γ=



E, para as ações verticais, tem-se:

kN 502 2500,1PP kfd =⋅=⋅γ=

Utilizando-se a eq.(6.10), calcula -se o momento na base do pórtico, causado pelas ações horizontais,

que vale:

( )∑ ⋅= iidd1 hFHM

+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 271424142114181415141214914614314 M d1

541451144814451442143914361433143014 ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+

)181716151413121110987654321(314 M d1 +++++++++++++++++⋅⋅=

⇒ kNm 182.7 M d1 =

Para se determinar ∆Md, dado pela eq.(6.9), é necessário se conhecer os deslocamentos horizontais

dos pavimentos, causados pelas cargas horizontais Fdi. Tais deslocamentos, obtidos a partir da resolução do

pórtico da Figura 6.6, submetido apenas à ação das forças horizontais, em um programa de pórtico plano, são

apresentados na Tabela 1.

Vale ressaltar que as cargas horizontais são consideradas com seus valores de cálculo, para o cálculo

dos deslocamentos apresentados na Tabela 1.

Logo,

( )∑ ⋅=∆ iidd aPM

3509540,0500337013,0500034716,0500016954,0500004663,0500M d ⋅+⋅++⋅+⋅+⋅=∆ L

)3509540,0337013,0034716,0016954,0004663,0(500M d +⋅++⋅+⋅=∆ L

⇒ kNm 1.666,67 M d =∆

Portanto, de posse de M1d e de ∆Md, pode-se calcular o coeficiente γz:

30,1

182.767,666.1

1

1

MM

1

1

d1

dz =

−=

∆−

=γ

Assim, como:

1,1 30,1z >=γ

a estrutura é de nós móveis .



Tabela 1 – Deslocamentos horizontais de cada pavimento do pórtico da Figura 6.6.

Pavimento Deslocamento Horizontal (m)

18 0,35095417 0,337013

16 0,32233215 0,306575

14 0,28950813 0,270985

12 0,25094611 0,229403

10 0,2064529 0,182267

8 0,1571157 0,131364

6 0,1055095 0,080193

4 0,0562433 0,034716

2 0,0169541 0,0046630 0,000000

6.4.2 EXEMPLO 2 (Adaptado de LIMA, 2001)

Como o objetivo deste exemplo é apenas demonstrar como pode ser feita a avaliação da estabilidade

global de um edifício de concreto, modelou-se uma associação plana de painéis de contraventamento.

Para fins didáticos, as ações horizontais consideradas foram apenas as do vento e para a direção X

de incidência, de acordo com as características do edifício e com os critérios já apresentados nos Capítulos 4

e 5 e na NBR 6123 (1987). Para fins de projeto, as forças horizontais fictícias provenientes do desaprumo

devem ser calculadas e comparadas com as duas direções principais de incidência dos ventos (X e Y).

Procurou-se seguir as recomendações do item 5.3.3.a (Capítulo 5). As barras biarticuladas tiveram

comprimento de um metro, e a distância entre os pilares foi tomada de eixo a eixo. Aproveitando a simetria

da estrutura na direção X, modelou-se a associação com apenas metade dos pórticos, evidentemente

tomando-se apenas a metade das cargas aplicadas.

O edifício escolhido, cujo corte esquemático e forma básica do pavimento tipo encontram-se nas

Figuras 6.7 e 6.8, respectivamente, está situado em Salvador. Este edifício tem 14 pavimentos tipo, cobertura

com piscina, play-ground e garagem, sendo que esta se encontra no subsolo (nível 0,0 m). Os pés-direitos e

as alturas dos pavimentos encontram-se na Tabela 6.2.

A resistência característica do concreto à compressão (fck) utilizada foi de 25 MPa.



O módulo de deformação longitudinal secante foi adotado de acordo com a equação apresentada no

item 5.3.4.a. Foram considerados os módulos de rigidez reduzidos 0,5EI para as vigas e 0,8EI para os

pilares, como abordado no Capítulo 4.

A carga vertical total incidente na fundação do edifício é de 79840 kN. As cargas verticais por

pavimento foram dispostas na tabela 6.1.

Figura 6.7 – Corte esquemático do edifício do exemplo 2.



Figura 6.8 – Planta de forma do pavimento tipo do edifício do exemplo 2.



Pórt

ico

Plan

o pa

ra d

ireç

ão X

- de

senh

o es

quem

átic

o {

3215

13o.

pav

207208

14o.

pav

cobe

rtura

17

1516

16

224 223

34

3132

33

35

22

214

6

198199200201202203204205206

11o.

pav

12o.

pav

9o. p

av

10o.

pav

7o. p

av

8o. p

av

5o. p

av

6o. p

av

26

101314

14 13

222 221

1112

12 11

220 219

29

30

31 30

27

28

29 28

8910 9

218 217

78 7

215216

24

25

27 26

23

25 24

P1194 193197 196 195

3o. p

av

4o. p

av

1o. p

av

2o. p

av

play

-gro

und

gara

gem

210212

45

6 5

213

234 3

211

2021

23 22 21

19 1820

P2

12 1

209

P3

17

19 18

225

P4

33

241

52

P5

49

257

69

P6

65

273

86

P7

81

289

103

219

Num

eraç

ão d

os n

ós -

1 a

221

Num

eraç

ão d

as b

arra

s ve

rtic

ais

- 193

a 4

00N

umer

ação

das

bar

ras

hori

zont

ais

- 1 a

192

192

191

221

220

400 399

129

113

P8305

97

120

P9321

137

P1015

4

337

145

P1117

1

353

161

390

182

186

190

189

188

187

218

398

217

397 396

216

215

395

184

185

183

214

394

213

393 391

212

392

211

386

181

180

179

178

388389

210

209

387

208

207

P1218

8

369

177

P13

385

206

205

Figura 6.9 – Associação plana dos painéis de contraventamento, para a direção X



Tabela 6.2 – Pé-direito, altura e carga vertical de cada pavimento do edifício em estudo.

(1) (2)

Pavimento Pé-direto (m) z (m) P (kN)

Cob. 2,90 47,34 7505

14o 2,90 44,44 4389

13o 2,90 41,54 4389

12o 2,90 38,64 4389

11o 2,90 35,74 4389

10o 2,90 32,84 4389

9o 2,90 29,94 4389

8o 2,90 27,04 4389

7o 2,90 24,14 4389

6o 2,90 21,24 4389

5o 2,90 18,34 4389

4o 2,90 15,44 4389

3o 2,90 12,54 4389

2o 2,90 9,64 4389

1o 3,24 6,74 4433PG 3,50 3,50 9023

a) Cálculo do Parâmetro α

§ Força horizontal uniformemente distribuída, arbitrada:

q = 1 kN/m

§ Deslocamentos horizontais na direção X:

ax = Tabela 6.3

§ Módulo de rigidez equivalente para a direção X, segundo a eq. (6.4):

(EI)eqx = 00232080,08

34,471 4

⋅⋅

= 2,71.108 kN.m2

§ Parâmetro α para a direção X, segundo a eq. (6.5):

αx = 81071,2

7984034,47

⋅⋅ = 0,81

§ Valor limite para α , para estrutura de contraventamento composta somente de pórticos, segundo a

NBR 6118 (2003):

αlim x = 0,5

§ Conclusão: α = 0,81 > αlim = 0,5 ⇒ estrutura de nós móveis .



Tabela 6.3 – Deslocamentos horizontais dos pavimentos, causados pela carga q = 1 kN/m

(3) (2) x (3)

Pavimento ax (m) P x ax

Cob. 0,0023208 17,417604

14o 0,0022882 10,042910

13o 0,0022311 9,792298

12o 0,0021582 9,472340

11o 0,0020710 9,089619

10o 0,0019699 8,645891

9o 0,0018548 8,140717

8o 0,0017261 7,575853

7o 0,0015841 6,952615

6o 0,0014292 6,272759

5o 0,0012619 5,538479

4o 0,0010827 4,751970

3o 0,0008925 3,917183

2o 0,0006929 3,041138

1o 0,0004875 2,161088PG 0,0002330 2,102359

∑(P x ax) = 114,914822

b) Cálculo das Forças de Arrasto

§ Velocidade básica do vento, segundo o mapa de isopletas (Capítulo 4) da NBR 6123 (1987):

Vo = 30 m/s

§ Fatores S1, S2 1 e S3, segundo os valores fornecidos pela NBR 6123/88:

S1 = 1,0 (terreno fracamente acidentado)

S3 = 1,0 (edificações para residência)

S2 = Tabela 6.4 (considerando-se categoria IV e classe B)

§ Velocidade característica do vento:

321ok SSSVV ⋅⋅⋅= = Tabela 6.4

1 O fator S2 pode ser obtido através de tabelas ou através de uma expressão fornecida pela NBR 6123 (1987), apresentada no Capítulo 4, aqui adotada e mostrada a seguir, já considerando a categoria IV e a classe B:

125,0

10

z98,085,02S

⋅⋅=

onde z é a altura para a qual se deseja calcular o fator S2.



§ Pressão dinâmica do vento:

2kV613,0q ⋅= = Tabela 6.4

Tabela 6.4 - Valores de S2, velocidade característica e pressão dinâmica

(4) (4) x Vo (5)

Pavimento S2 Vk (m/s) q (kN/m2)

Cob. 1,01 30,4 0,5614o 1,00 30,1 0,56

13o 1,00 29,9 0,55

12o 0,99 29,6 0,54

11o 0,98 29,3 0,53

10o 0,97 29,0 0,52

9o 0,96 28,7 0,50

8o 0,94 28,3 0,49

7o 0,93 27,9 0,48

6o 0,92 27,5 0,46

5o 0,90 27,0 0,45

4o 0,88 26,4 0,43

3o 0,86 25,7 0,41

2o 0,83 24,9 0,38

1o 0,79 23,8 0,35PG 0,73 21,9 0,29

§ Coeficiente de arrasto para a direção X:

Cax = 1,29

§ Áreas efetivas por pavimento para a direção X:

largura = 22,09m

altura = Tabela 6.5

Ae = largura x altura = Tabela 6.5

§ Forças de arrasto para a direção X:

eaa AqCF ⋅⋅= = Tabela 6.5



Tabela 6.5 - Áreas efetivas e forças de arrasto

(6) (7) (8) = Ca x (5) x (7)

Pavimento h (m) Ae (m2) Fa (kN)

Cob. 1,45 32,03 23,33

14o 2,90 64,06 45,93

13o 2,90 64,06 45,16

12o 2,90 64,06 44,35

11o 2,90 64,06 43,50

10o 2,90 64,06 42,59

9o 2,90 64,06 41,61

8o 2,90 64,06 40,57

7o 2,90 64,06 39,43

6o 2,90 64,06 38,19

5o 2,90 64,06 36,82

4o 2,90 64,06 35,26

3o 2,90 64,06 33,48

2o 2,90 64,06 31,35

1o 3,07 67,82 30,34PG 1,62 35,79 13,59

c) Cálculo do Coeficiente γ z

§ Deslocamentos horizontais para a direção X, incidindo-se na estrutura as forças de arrasto Fa,

calculadas anteriormente utilizando-se um programa de pórtico plano:

y = Tabela 6.6

§ ∆Md para a direção X, segundo a eq. (6.9), considerando-se γf = 1,0 para as ações verticais e γf =

1,4 para as ações horizontais:

∆Mdx = 1,4 . 1614,41 = 2260,17 kN.m

§ M1d para as direção X, segundo a eq. (6.10) considerando-se γf = 1,0 para as ações verticais e γf =

1,4 para as ações horizontais:

M1dx = 1,4 . 15998,63 = 22398,08 kN.m

§ Coeficiente γz para a direção X, segundo a eq. (6.8):

11,1

08,2239817,2260

1

1zx =

−=γ

§ Conclusão: 1,111,1zx >==γ ⇒ estrutura de nós móveis .



Tabela 6.5 - Deslocamentos horizontais causados por Fa

(9) (2) x (9) (1) x (8)

Pavimento y (m) P x y Fa x z

Cob. 0,0333786 250,51 1104,5414o 0,0328654 144,25 2041,24

13o 0,0319984 140,44 1876,12

12o 0,0308781 135,52 1713,85

11o 0,0295409 129,66 1554,60

10o 0,0279933 122,86 1398,56

9o 0,0262403 115,17 1245,92

8o 0,0243041 106,67 1096,94

7o 0,0221811 97,35 951,91

6o 0,0198843 87,27 811,18

5o 0,0174277 76,49 675,19

4o 0,0148261 65,07 544,48

3o 0,0120976 53,10 419,81

2o 0,0092747 40,71 302,18

1o 0,0063965 28,36 204,52PG 0,0028808 25,99 47,57

∑(P x y) = 1614,41 ∑(Fa x z) = 15998,63

d) Análise dos Resultados

Considerando-se tanto os valores obtidos para α como para γz, a estrutura é classificada como de

nós móveis na direção X. Isso significa que os efeitos de segunda ordem são significativos quando

comparados aos de primeira ordem, e, portanto, devem ser considerados para o dimensionamento dos

elementos estruturais. Uma maneira prática de se fazer isso é utilizar o γz como majorador dos efeitos de

primeira ordem, multiplicando-os por 0,95 × 1,11=1,06.

Cabe mencionar que nem sempre a classificação sugerida pelos dois métodos é a mesma. É bastante

usual se calcular o parâmetro α e ele apontar a estrutura como de nós móveis, e se calcular o coeficiente γz

e a indicação ser para estrutura de nós fixos. Nesses casos, as simplificações embutidas na formulação do α

são mais significativas e conduz a resultados mais conservadores.

Se o edifício do exemplo estudado neste capítulo tivesse apenas forro de cobertura, poderia -se

considerar a carga vertical deste pavimento como 60% do valor do tipo, cerca de 2634 kN. Mantendo-se os

demais dados do problema e refazendo-se todas as análises efetuadas neste exemplo, seriam encontrados

α = 0,77 e γz = 1,10.



Nesse caso, com o valor determinado para α , a estrutura seria classificada como de nós móveis na

direção X. Com os valores encontrados para γz, a estrutura já poderia ser classificada como de nós fixos

para essa mesma direção. O parâmetro α , então, superestimaria os efeitos de segunda ordem, já que

classifica uma estrutura que pode ser considerada como de nós fixos como de nós móveis. O projetista que

utilizasse este parâmetro ficaria obrigado a realizar uma análise de segunda ordem, que poderia ser

desnecessária.

Se o projetista utilizasse o coeficiente γz, por outro lado, já poderia identificar que a estrutura era de

nós fixos na primeira análise. Com isso, saberia que os esforços de segunda ordem do edifício em questão

não eram, em média, tão significativos a ponto de ser necessária a análise suplementar.

A vantagem do uso do α reside justamente no fato de ser desnecessário se calcular qualquer força

para ser utilizada no modelo (arbitra-se carga unitária uniformemente distribuída). No caso do γz, é

necessário se determinar as forças de arrasto.

Entretanto, para o projeto de edifícios de uma maneira geral, o dimensionamento dos elementos

estruturais é feito considerando-se os esforços totais provocados pela superposição das ações verticais e

horizontais, pelo menos os de primeira ordem. E para se calcular a parcela decorrente da ações horizontais, é

necessário que as forças de arrasto já tenham sido calculadas, mesmo independentemente da análise de

estabilidade global.

Dessa forma, pode-se dizer que os dois métodos demandam praticamente o mesmo tempo, e nenhum

deles fornece resultados contra a segurança das estruturas. Mas pode-se recomendar, sempre que possível, o

uso do coeficiente γz, que além de fornecer resultados mais precisos, ainda pode ser utilizado como

majorador dos efeitos de primeira ordem.


ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2003). NBR 6118 - Projeto de estruturas de

concreto. Rio de Janeiro.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. (1987). NBR 6123 (NB-599) - Forças devidas

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Estruturas, Lisboa, n.23, p.69-72.



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REUNIÃO ANUAL DO IBRACON: Colóquio sobre Estabilidade Global das Estruturas de Concreto

Armado, São Paulo. Anais.



3ª. UNIDADE

ENG 298 – Estática das Construções 1

LINHAS DE INFLUÊNCIA

1 INTRODUÇÃO

As ações que solicitam uma estrutura podem ser classificadas em:

• Ações permanentes

• Ações variáveis

• Ações excepcionais

Para fins de análise estática, essas ações têm posição e valor conhecidos na estrutura, logo o estudo dos

esforços provocados por elas não apresenta maiores dificuldades.

Existem também as ações móveis, que são aquelas geradas por veículos que percorrem a estrutura (caso

de pontes rodoviárias ou ferroviárias, viadutos, pontes rolantes industriais).

Como, embora tenham valores conhecidos, as posições que ocupam na estrutura variam à medida que

os veículos por elas representados a atravessam.

2 LINHAS DE INFLUÊNCIA

2.1 Definição

Linha de influência de um efeito elástico E qualquer, em uma dada seção S, é a representação gráfica

ou analítica do valor deste efeito naquela seção S, produzido por uma carga concentrada unitária, de cima

para baixo que percorre a estrutura.

Para a viga em balanço, apresentada na figura a seguir, o momento fletor no ponto A quando a carga P

está nos pontos B, 1, 2, 3 e A,vale:

l/4

l

l/4 l/4 l/4

P

A 3 2 1 B

l P MBA −=

43

P M1A

l−=

2 P M

2Al

−= 4

P M3A

l−= 0 AA

M =

Considerando a carga P com um valor unitário (P = 1), tem-se


- l/4

- l

- l/2- 3l/4

A 3 2 1 B

Linha de influência de MA

Observa-se, então, que o momento fletor no ponto A, quando a carga unitária P percorre a viga, vale:

y PMA =

onde y é a ordenada da linha de influência do momento fletor do ponto A.

2.2 Viga isostática

a) Linha de influência de reação de apoio

l

P

A Bx

RA RB

A reação de apoio no ponto A é dada por:

l xP

R A =

E pode-se escrever :

y PR A =

Com lx

y = , correspondendo à ordenada da linha de influência.

Logo, para x = 0 → y = 0, e x = l → y = 1

Assim, a linha de influência da reação do apoio A é dada por:

A B

1

Linha de influência de RA


A reação de apoio no ponto B é dada por:

( )ll x- P

R B = ou y PR B =

Com l

l xy

−= , correspondendo à ordenada da linha de influência.

Logo, para x = 0 → y = 0, e x = l → y = 1

Portanto, a linha de influência da reação do apoio B é dada por:

A B

1

Linha de influência de RB

(+)

b) Linha de influência de esforço cortante (para a seção S1)

b.1) A carga está entre S1 e B

l

P

A Bx

RA RB

a b

1S

AS RV1

= e l xP

R A =

l xP

V1S = ⇒ y PV

1S = ⇒ l x

y =

Assim, para x = 0 → y = 0, e x = b → lb

y =

E a linha de influência fica da seguinte forma:

A B1S

(+)

Linha de influência de VS1

b / l


b.2) A carga P está entre A e S1

l

P

A Bx

RA RB

a b

1S

BS RV1

−= e l xP

R B =

l xP

V1S −= ⇒ y PV

1S −= ⇒ l x

y −=

Assim, para x = 0 → y = 0, ex = a → la

y −=

A B1S

(-) a / l

Linha de influência de VS1 Desta forma, quando a carga P está entre A e B, tem-se:

A B1S(+)


b / l

a / l

d

d

b

bd ll

=

1b

bd =⋅=

ll


A B1S(+)


1

1

(-)

c) Linha de influência de momento fletor

c.1) A carga P está entre S1 e B

l

P

A Bx

RA RB

a b

1S

aRM AS1⋅= e

l xP

R A =

a xP

M1S l

= ⇒ y PM1S = ⇒

la x

y =

Assim, para x = 0 → y = 0, e x = b → lb a

y =

E a linha de influência fica da seguinte forma:

A B1S

(+)

Linha de influência de MS1

ab/l

Processo gráfico:


c.2) A carga P está entre A e S1

l

P

A B

x

RA RB

a b

1S

bRM BS1⋅=

l xP

R B =

b xP

M 1S l= ⇒ y PM

1S = ⇒ lb x

y =

Assim, para x = 0 → y = 0, e x = a → lb a

y =

A B1S

(+)

Linha de influência de M S1

ab/l

Desta forma, para a carga P agindo sobre toda a viga, tem-se:

A B1S

(+)

Linha de influência de MS1

ab/l

Processo gráfico:

A B1S

(+)

Linha de influência de M S1

ab/l

a b

d1

d2

ll

la

b

b ad1 == ⇒ ad1 =

ll

lb

a

b ad2 == ⇒ bd 2 =


Exemplo : Determinar o valor do momento no ponto A utilizando linhas de influência:

3 tf

A B

2 tf

2,0 m3,0 m 3,0 m

8,0 m

A B2,0 m3,0 m 3,0 m

8,0 m

(-)

y1

y2

8,0 m

2.3 Cargas distribuídas

Seja a viga abaixo

A B

l

dx

a

p

BA

yl

x

tfm21 )5332(MA −=⋅+⋅−=

Por linha de influência:

m 0,3y1 =

m 0,5y2 =

tfm215332y Py PM 2211A −=⋅−⋅−=−−=

ydx pdMA =

∫∫ ==a

0

a

0A dx y pydx pM

[ ] a

0A área pM =


Exemplo : Utilizando-se linhas de influência, calcular os esforços solicitantes na seção S1 da viga abaixo.

A B

3,0 m2,0 m 2,0 m

7,0 m

1,5 tf/m

S13,0 m

a) Linha de influência do momento fletor em S1

A BS1

3,0

yy1 2

y

[ ] área pM1S =

( ) ( ) tfm6,0 2

286,071,1

12

71,114,1 5,1M 1S =

⋅+

+⋅+

=

b) Linha de influência do esforço cortante em S1

A B

S11,0

y1

4y

1,02y

y3

[ ] área pV 1S =

( ) ( )

⋅

++⋅

+−= 2

229,057,0

12

29,043,0 5,1V 1S

tf 75,0 V1S =

m 1,71 y 0,4

y0,70,3

=⇒=

m 0,86 y 0,2

y0,70,3

22 =⇒=

m 1,14 y 0,2

y0,7

71,11

1 =⇒=

0,29 y 0,2

y0,70,1

11 =⇒=

0,43 y 0,3

y0,70,1

22 =⇒=

0,57 y 0,4

y0,70,1

33 =⇒=

0,29 y 0,2

y0,70,1

44 =⇒=


c) Linha de influência da reação de apoio em A

A B

S11,0 y1

2y

[ ] área pR A =

( ) tf2,25 3

20,290,71

5,1R A =

⋅

+=

d) Linha de influência da reação em B

A BS1

1,0y1 2y

[ ] área pR B =

( ) tf2,25 3

20,290,71

5,1R B =

⋅

+=

3 DEFINIÇÃO DAS AÇÕES MÓVEIS – TRENS-TIPO

Denominam-se trens -tipo (por influência das pontes ferroviárias), veículos ideais definidos pelas

normas de projeto de cada país, que variam dependendo da natureza e da forma de utilização da estrutura, e

que visam representar as ações móveis que agem nas estruturas.

Os trens -tipo são constituídos por cargas (concentradas e/ou uniformemente distribuídas), de valores

conhecidos e guardando uma distância conhecida e constante entre si. Desta forma, conhecida a posição de

uma das cargas do trem-tipo, conhecemos imediatamente a posição de todas as demais.

Exemplo representativo de trem-tipo é dado pela configuração da figura abaixo:

dcba fe

P1 2P 3P 4P 5P

1q 2q

q1, q2, P1, ..., P5, a, b, c, ...,f são grandezas conhecidas e de valor constante

0,71 y 0,5

y0,70,1

11 =⇒=

0,29 y 0,2

y0,70,1

22 =⇒=

29,0 y 0,2

y0,70,1

11 =⇒=

71,0 y 0,5

y0,70,1

22 =⇒=


Devido à possibilidade de tráfego nos dois sentidos, supõe-se, em geral, que o trem tipo possa percorrer

a estrutura nos dois sentidos. Os trens tipos mais usuais são aqueles de pontes rodoviárias e pontes

ferroviárias. Para as obras no Brasil, são definidos pela NB-6 e pela NB-7.

Uma vez determinado o trem tipo que atuará na estrutura, pode-se calcular os esforços solicitantes

máximos e mínimos provocados por este, definindo-se, então, entre que valores extremos variarão os

esforços nas seções da estrutura, conhecendo-se, assim, a faixa de trabalho dessas seções.

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Notas Aula Hiperestatica UFBA