Note di studio su Economia dei Mercati Finanziari · Economia dei Mercati Finanziari Dipartimento di Economia e Management Universita di Pisa Note di studio su Economia dei Mercati

Economia dei Mercati Finanziari

Dipartimento di Economia e Management

Universita di Pisa

Note di studio su

Economia dei Mercati Finanziari∗

Davide Fiaschi e Nicola Meccheri

Dipartimento di Economia e Management

Universita di Pisa

[email protected] – [email protected]

Versione aggiornata al 9/12/2018

∗Queste dispense sono da considerarsi una versione provvisoria e incompleta con fini esclusivamentedidattici. Segnalazioni di eventuali errori o refusi sono davvero gradite e benvenute.

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Indice

1 Aspetti introduttivi 7

I Mercati finanziari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

II Tasso di rendimento dei titoli finanziari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

III Intermediazione finanziaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

IV Efficienza dei mercati finanziari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

V Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

A.1 Concetti elementari di statistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Scelte in condizioni di incertezza 35

I Definizione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

II Valore atteso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

III Utilita attesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

III.A Atteggiamento nei confronti del rischio . . . . . . . . . . . . . . . . 40

IV Domanda di assicurazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

V Scelte di portafoglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

VI Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

A.1 Derivazione matematica del premio per il rischio . . . . . . . . . . . 53

A.2 Utilita attesa e scelte di portafoglio: derivazione matematica . . . . 55

3 Il modello media-varianza 57

I Preferenze degli investitori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

II Portafoglio che minimizza il rischio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

II.A Tre casi particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

III Frontiera dei portafogli con solo titoli rischiosi . . . . . . . . . . . . . . . . 67

III.A Frontiera dei portafogli con n = 2 titoli rischiosi . . . . . . . . . . . 67

III.B Frontiera dei portafogli con n > 2 titoli rischiosi . . . . . . . . . . . 72

IV Titoli rischiosi e un titolo privo di rischio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

V Indici di performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

VI Teorema di separazione e portafoglio ottimo . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3

4

VII Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

A.1 Dall’utilita attesa VNM all’utilita media-varianza . . . . . . . . . . 87

A.2 Derivazione matematica della frontiera dei portafogli . . . . . . . . 89

4 Il modello CAPM 93

I Assunzioni del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

I.A Equilibrio nei mercati dei capitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

I.B Scelte degli investitori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

I.C Aspettative omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

II Portafoglio di mercato e linea del mercato dei capitali . . . . . . . . . . . . 95

III Linea del mercato delle attivita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

III.A Derivazione della linea del mercato delle attivita . . . . . . . . . . . 99

III.B Prezzi di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

III.C Disequilibrio e aggiustamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

IV Rischio di mercato e diversificazione del portafoglio . . . . . . . . . . . . . 107

V Indici di performance basati sul CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5 Arbitraggio, modello a fattori e l’APT 113

I Arbitraggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

I.A Ambiente incerto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

I.B Arbitraggio e rendimento delle attivita . . . . . . . . . . . . . . . . 120

II Il modello a fattori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

II.A Il modello ad un fattore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

II.B Il modello multifattoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

II.C Quali fattori considerare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

III APT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

III.A Derivazione dell’APT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

III.B I prezzi di equilibrio nell’APT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

III.C Premio per il rischio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

III.D Il rendimento e la varianza di portafoglio nell’APT . . . . . . . . . 144

III.E La relazione fra CAPM e APT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6 L’analisi empirica 149

I Un breve riassunto dell’analisi di regressione multivariata . . . . . . . . . 149

I.A La stima via minimi quadrati ordinari (OLS ) . . . . . . . . . . . . 150

I.B Le proprieta della stima OLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

II Statistiche descrittive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

II.A La frontiera dei portafogli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5

III La stima del modello CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

III.A La stime del CAPM per alcune azioni della Borsa Italiana . . . . . 157

III.B Linea del mercato delle attivita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

III.C Stima del rischio di mercato e rischio idiosincratico per un portafoglio161

III.D Indici di performance basati sul CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . 162

IV APT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

7 La teoria del NPV 169

I Il NPV di un’attivita senza incertezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

I.A Orizzonte infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

II Incertezza nella teoria del NPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

III Volatilita nel prezzo delle azioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

III.A Critiche all’analisi di Shiller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

IV Finanza comportamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

V Schemi di Ponzi e bolle nei prezzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

8 L’efficienza informativa 195

I L’ipotesi di mercati efficienti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

II Condizioni per l’esistenza di mercati efficienti . . . . . . . . . . . . . . . . 197

III Varieta dei concetti di efficienza dei mercati . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

III.A Il paradosso di Grossman-Stiglitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

IV La dinamica dei prezzi e dei rendimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

IV.A Efficienza dei mercati come gioco equo . . . . . . . . . . . . . . . . 201

IV.B L’efficienza dei mercati come martingala nei prezzi . . . . . . . . . 202

IV.C Camminata casuale nel prezzo dei titoli . . . . . . . . . . . . . . . . 203

V L’evidenza empirica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

V.A Test sull’efficienza in forma debole . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

V.B Test sull’efficienza in forma semi forte . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

V.C Altre anomalie dei mercati finanziari . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

9 Finanza comportamentale 213

I Errori comportamentali ed euristiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

II Evidenza sperimentale e teoria del prospetto . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

III Fenomeni osservati nei mercati finanziari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

IV Limiti all’arbitraggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

V Finanza classica e finanza comportamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

6

10 Le obbligazioni 241

I Alcune definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

II Le obbligazioni zero-coupon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

II.A Le obbligazioni reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

III Le obbligazioni con cedole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

III.A La Macaulay duration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

IV La valutazione di obbligazioni non quotate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

V Il rischio per portafogli obbligazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

VI L’immunizzazione di portafogli obbligazionari . . . . . . . . . . . . . . . . 253

VI.A Alcune osservazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

VII La struttura a termine dei tassi di interesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

VII.A La stima del tasso di inflazione atteso . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

VII.B I tassi forward impliciti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

VII.C La teoria della struttura a termine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

11 Le opzioni 269

I Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

II Ritorno, guadagno e valore di un’opzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

II.A Portafogli con opzioni call e put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

III La varieta dei contratti di opzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

IV Limiti superiori e inferiori al prezzo delle opzioni . . . . . . . . . . . . . . . 282

IV.A I limiti nel prezzo dell’opzione call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

IV.B I limiti nel prezzo dell’opzione put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

IV.C La parita tra opzioni call e put europee . . . . . . . . . . . . . . . . 288

V La teoria del prezzo delle opzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

Capitolo 1

Economia dei mercati finanziari:

aspetti introduttivi

I Mercati finanziari

I mercati finanziari sono i mercati in cui si scambiano fondi prestabili o, piu sem-

plicemente, risorse finanziarie. Tali mercati svolgono la funzione essenziale di trasferire

risorse finanziarie da chi ne dispone in eccesso, rispetto ai suoi bisogni del momento, a

chi, viceversa, ne necessita un ammontare maggiore rispetto a quelle che ha attualmente

disposizione. I primi soggetti, cioe coloro che risparmiano e danno a prestito fondi, ven-

gono sovente definiti unita in surplus o creditori, mentre i secondi, che prendono a

prestito fondi, sono detti unita in deficit o debitori. In altri termini, nell’ambito dei

mercati finanziari, i primi soggetti esprimono l’offerta, mentre i secondi la domanda di

fondi prestabili. Dal lato dell’offerta, tra i principali creditori si annoverano generalmen-

te le famiglie, ma talvolta anche le imprese o certe amministrazioni pubbliche (governi

nazionali o esteri) possono disporre di eccedenze finanziarie rispetto ai propri effettivi

bisogni e decidere di investirle prestandole a chi ne fa domanda.1 Dal lato della domanda,

invece, i piu importanti debitori sono le imprese e i governi. Le prime, infatti, necessitano

di ingenti risorse per finanziare gli investimenti connessi alla propria attivita produttiva

e commerciale, mentre i secondi ricorrono all’indebitamento per finanziare la spesa pub-

blica che eccede le entrate fiscali. Peraltro, non raramente anche le famiglie ricorrono

all’indebitamento per finanziare livelli di consumo superiori ai propri redditi correnti o

l’acquisto di beni durevoli (ad esempio, contraendo un mutuo per l’acquisto della casa).

I mercati finanziari possono svolgere un ruolo fondamentale per il buon funzionamento

1Un esempio e costituito dai cosiddetti fondi sovrani che rappresentano speciali istituzioni di inve-stimento pubbliche controllate direttamente dai governi dei relativi paesi per investire surplus fiscali oriserve di valuta estera.

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I. Mercati finanziari 1. ASPETTI INTRODUTTIVI

dell’economia. Cio in quanto, spesso, i soggetti che dispongono di risorse finanziarie in

eccesso rispetto al loro fabbisogno non coincidono con quelli con le opportunita di investi-

mento piu vantaggiose (che, peraltro, non disponendo delle risorse necessarie, potrebbero

non essere in grado di realizzarle). In questi casi, dunque, un trasferimento di risorse dai

primi soggetti ai secondi potrebbe rappresentare l’unica soluzione per sfruttare le oppor-

tunita di investimento, con potenziali conseguenze positive per i soggetti coinvolti nello

scambio e, piu in generale, per l’economia nel suo complesso.

I mercati finanziari oltre a configurarsi come luogo “fisico” o, sempre piu frequentemen-

te, per effetto dello sviluppo delle transazioni via computer (e-finance), “virtuale”, dove

si incontrano soggetti che offrono e domandano risorse finanziarie, costituiscono (al pari

di ogni mercato di qualsiasi bene o servizio) anche un insieme di meccanismi e strumenti

istituzionali che facilitano gli scambi tra tali soggetti. In generale, uno strumento finan-

ziario e un titolo emesso da un soggetto che domanda risorse finanziarie e che conferisce

a colui che l’“acquista” (prestando cosı risorse al soggetto che lo ha emesso) un diritto

sui redditi futuri dell’emittente o sul suo patrimonio. Chiaramente, tale titolo costituisce

un’attivita finanziaria per il soggetto che l’ha acquistato (o sottoscritto) e, viceversa,

una passivita finanziaria per quello che lo ha emesso. Per effetto dell’innovazione fi-

nanziaria che, a seguito dei cambiamenti tecnologici e istituzionali, ha introdotto nuove

tipologie di strumenti finanziari, esistono oggi diversi titoli finanziari che differiscono, an-

che sostanzialmente, gli uni dagli altri; per tale motivo si parla espressamente di mercati

finanziari (al plurale), in quanto, almeno in linea concettuale, e possibile individuare un

distinto mercato (con un proprio peculiare funzionamento) per ognuno dei diversi titoli di

riferimento. La lista che segue, sebbene non esaustiva, individua alcuni mercati dei titoli

finanziari piu importanti, evidenziandone alcune delle caratteristiche peculiari.

Mercati delle azioni (equity). Le azioni2 sono titoli che rappresentano quote di pro-

prieta di una societa e, in virtu di cio, attribuiscono diritti a chi le sottoscrive su una quota

dell’utile netto (reddito al netto di costi e imposte) della societa, nonche sul suo patrimo-

nio (attivita). L’emissione di azioni rappresenta uno dei principali strumenti attraverso

cui le imprese (quotate in borsa) reperiscono risorse finanziarie da destinare alla propria

attivita produttiva. Per chi le sottoscrive costituiscono un investimento il cui rendimen-

to dipende essenzialmente da due elementi: a) il prezzo delle azioni e b) i dividendi

distribuiti dalla societa agli azionisti.

2Esistono, in realta, diversi tipi di azioni (azioni ordinarie, azioni privilegiate, azioni di risparmio, ecc.)le quali presentano tra loro differenze anche rilevanti. Per i nostri scopi, in cio che segue l’attenzione saraconcentrata essenzialmente sul tipo piu comune dell’azione ordinaria.

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1. ASPETTI INTRODUTTIVI I. Mercati finanziari

Il prezzo unitario delle azioni si determina nei mercati borsistici, in cui si ha la com-

pravendita di tali titoli, in base alla legge della domanda e dell’offerta.3 Ovviamente, per

chi ha sottoscritto delle azioni a un dato prezzo, un aumento sul mercato di quel prezzo

puo produrre un rendimento positivo (in quanto e possibile rivendere sul mercato ciascuna

azione a un prezzo maggiore di quello speso per il suo acquisto), e viceversa. I dividendi,

invece, costituiscono la parte dell’utile (profitti) della societa che vengono distribuiti ai

suoi proprietari (azionisti), in rapporto alla rispettiva quota di proprieta. Ad esempio, se

si e acquistato un numero di azioni che corrispondono, rispetto al numero totale di quelle

emesse dalla societa, ad una quota pari a un milionesimo e i dividendi complessivamente

distribuiti ammontano a un milione di euro, avremo diritto a ricevere una somma pari a

un euro. Detenendo azioni, in quanto proprietari della societa, avremo inoltre diritto di

voto (nuovamente in rapporto alla quota proprietaria) nelle decisioni societarie, tra cui,

particolarmente importante, quella sulla scelta degli amministratori.

Dal punto di vista degli investitori che sottoscrivono azioni, il principale inconveniente

legato all’acquisto di tale titolo e legato al fatto che il diritto sugli utili che esso conferisce

e un diritto residuale (per usare un’espressione anglosassone, un’azionista e residual

claimant). Cio vuol dire che la societa e legalmente obbligata a rimborsare tutti gli altri

creditori prima di distribuire risorse finanziarie ai suoi azionisti. Inoltre, anche rispetto

alla distribuzione del residuo, la decisione ultima spetta, in generale, al management della

societa. Gli amministratori, ad esempio, potrebbero decidere di non distribuire l’utile

netto agli azionisti, per reinvestirlo nell’attivita produttiva della societa. In piu, in virtu

del fatto che il prezzo di mercato delle azioni puo variare sostanzialmente anche per pe-

riodi relativamente brevi, l’acquisto di azioni e generalmente considerato un investimento

relativamente rischioso.

Mercati delle obbligazioni (bonds). Un’obbligazione e un titolo di debito che con-

tiene la promessa di pagamenti periodici a scadenze prestabilite. Essi sono ampiamente

utilizzati sia dalle imprese private che dai governi e le pubbliche amministrazioni per

reperire risorse finanziarie. Nel caso particolare delle imprese, la scelta di finanziare la

propria attivita ricorrendo all’emissione di obbligazioni piuttosto che a quella di azioni,

ossia, in altri termini, ricorrere al debito piuttosto che all’aumento del capitale proprio

(equity), costituisce in concreto una scelta strategica particolarmente rilevante. Oltre al-

l’importante distinzione tra obbligazioni emesse da imprese private o da enti pubblici,

un’altra rilevante classificazione e quella che distingue le obbligazioni a seconda della loro

3Una distinzione importante in relazione ai mercati in cui i titoli finanziari, non solo le azioni, sonoscambiati e quella tra mercati primari e secondari. Nei primi si acquistano titoli di nuova emissione (adesempio, nel caso delle azioni, nuove azioni emesse dalla societa a fronte di un aumento di capitale). Neisecondi, invece, si (ri)vendono e si acquistano titoli gia in circolazione.

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scadenza, o momento del rimborso, in obbligazioni a breve termine (scadenza inferiore

all’anno), a medio termine (scadenza compresa tra uno e dieci anni) e a lungo termine

(scadenza a oltre dieci anni dall’emissione).4

Dal punto di vista degli investitori che sottoscrivono un titolo obbligazionario, pre-

stando cosı denaro al soggetto che lo ha emesso, il rendimento e legato agli interessi che

rappresentano la remunerazione corrisposta a fronte del prestito. Gli interessi sono cal-

colati sul valore nominale (o valore di rimborso) del titolo, sono corrisposti a scadenze

prefissate, spesso semestrali, e sono espressi in termini percentuali (tassi di interesse)

ipotizzando un “prestito” di 100.5 I tassi di interesse sono particolarmente importanti

in quanto in grado di influenzare numerose decisioni economiche (quali quelle di rispar-

mio delle famiglie e di investimento delle imprese), da cui dipende la crescita economica

complessiva di intere nazioni.

Sebbene il rendimento di un’obbligazione dipenda dagli interessi che percepiscono i

suoi possessori, le due cose non coincidono necessariamente (si veda la sezione II). Analo-

gamente alle azioni, infatti, le obbligazioni, una volta emesse e sottoscritte, possono poi

essere scambiate sul mercato (secondario) ad un certo prezzo, il quale dipende dall’anda-

mento dei tassi di interesse. In particolare, un aumento del tasso di interesse implica una

riduzione del prezzo dell’obbligazione (e viceversa).6 Di conseguenza, se un soggetto che

ha sottoscritto un’obbligazione decide poi di non attendere il momento della scadenza,

ma, invece, di rivendere prima l’obbligazione sul mercato, il suo rendimento dipendera,

oltre che dagli interessi percepiti fino a quel momento, anche dal guadagno o la perdita

in conto capitale (capital gain o capital loss), legata alla differenza tra il prezzo a

cui l’obbligazione e stata sottoscritta e quello a cui e stata poi rivenduta.

Un investimento in un titolo obbligazionario e generalmente considerato meno rischioso

rispetto a quello in azioni. Cio in quanto, a differenza che per le azioni, ai detentori

di obbligazioni spetta il diritto di ricevere pagamenti (in relazione agli interessi e/o al

rimborso finale) certi e a scadenze prefissate contrattualmente. Peraltro, tale investimento

raramente e del tutto privo di rischio: il soggetto emittente, infatti, potrebbe trovarsi

nell’impossibilita di far fronte agli impegni contrattuali, sia in relazione al pagamento degli

interessi che a quello del rimborso finale. In questi casi si parla di rischio di bancarotta

4Talvolta, il termine obbligazione viene utilizzato con riferimento esclusivo agli strumenti di debito amedio e lungo termine emessi dalle societa (obbligazioni corporate) e dai governi, mentre per gli strumentidi debito a breve termine si parla piu specificatamente di strumenti monetari.

5Per alcune obbligazioni, quelle cosiddette senza cedola (o titoli a sconto), non e previsto un vero eproprio pagamento di interessi. In particolare, tali titoli sono acquistati a un valore inferiore a quellonominale e vengono poi rimborsati a quel valore. Un noto esempio di titoli senza cedola e rappresentatodai Buoni Ordinari del Tesoro (BOT).

6Piu specificatamente, i prezzi delle obbligazioni si formano in funzione dei rendimenti a scadenzarichiesti dal mercato.

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1. ASPETTI INTRODUTTIVI I. Mercati finanziari

(default) del soggetto emittente. In generale, tale rischio e maggiore quando il prestito

obbligazionario e stato emesso da societa private, ma non puo escludersi in assoluto tale

evenienza anche per emissioni da parte di governi o altre amministrazioni pubbliche.

Mercati delle valute. Le risorse finanziarie da trasferire da una nazione a un’altra de-

vono essere convertiti dalla valuta del paese di origine a quella del paese di destinazione.

La conversione di una valuta in un’altra avviene nel mercato valutario, in cui, general-

mente, si determina anche il prezzo di una valuta in termini di quello di un’altra, ossia

il tasso di cambio. Il rendimento di un investimento all’estero come, ad esempio, l’ac-

quisto di azioni di una societa statunitense, dipendera, quindi, non solo dall’andamento

del prezzo delle azioni (quotate in dollari), ma anche dall’andamento del tasso di cambio

tra l’euro ed il dollaro. Piu in generale, investire denaro in un valuta estera significa

“scommettere” sull’apprezzamento di quella valuta rispetto a quella del proprio paese.

Mercati dei prestiti ipotecari. La natura essenziale dei prestiti ipotecari e quella di

essere dei titoli di debito strettamente connessi ad un bene fisico (quello su cui e accesa

l’ipoteca). Tipico e il caso dei mutui ipotecari per l’acquisto di abitazioni, il cui valore

garantisce il creditore per il rimborso del finanziamento.

Mercati dei titoli assicurativi e derivati. Come avremo modo di analizzare detta-

gliatamente, il rischio e l’incertezza sono fattori che pervadono i mercati finanziari. Allo

stesso tempo, esistono strumenti finanziari che consentono a un soggetto di modificare il

profilo di rischio del proprio reddito e/o della propria ricchezza. Piu esattamente, attra-

verso lo scambio di attivita finanziarie e la stipulazione di contratti finanziari, e possibile

il trasferimento del rischio e dell’incertezza dai soggetti meno propensi ad affrontarli ad

altri soggetti piu propensi a farlo.

I titoli assicurativi (o polizze di assicurazione) costituiscono l’esempio piu sem-

plice e diffuso. Acquistando tali strumenti, infatti, i soggetti possono “proteggersi” da

fluttuazioni del proprio reddito o della propria ricchezza che sono in larga parte indipen-

denti dai loro comportamenti (ad esempio, in relazione al rischio di incendio della propria

abitazione, di furto dell’auto o di malattia). In questa prospettiva, un titolo assicurativo

puo produrre un rendimento positivo, per colui che lo ha sottoscritto, se si verifica l’evento

dannoso (per cui la polizza assicurativa e stata sottoscritta) e cio determina il diritto al

rimborso. Contrariamente, il titolo produce un rendimento negativo nel caso contrario,

in cui l’evento dannoso non si realizza, per cui, a fronte del pagamento di sottoscrizione

della polizza, l’assicurato non riceve alcun rimborso.

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Altri titoli finanziari, piu complessi, che consentono di modificare il profilo di rischio

di investimento, potendo contribuire a ridurlo, sono i titoli derivati. Un titolo derivato e

un’attivita finanziaria costituita da un contratto, definito su di un’altra attivita finanziaria

preesistente (quale un’azione, un’obbligazione, un prestito ipotecario, una valuta estera o

un indice di borsa), oppure su un’attivita reale, che viene definita attivita sottostante o

primitiva. Gli esempi piu noti di titoli derivati sono i contratti forward (o contratti

a termine) e le opzioni.

Con i contratti forward due parti si impegnano a realizzare una transazione finan-

ziaria in un momento futuro a un prezzo prefissato.7 In gergo, la parte che si impegna

a vendere l’attivita sottostante in futuro assume una posizione corta (short position),

mentre la parte che si impegna ad acquistare l’attivita assume una posizione lunga (long

position). Ad esempio, due soggetti potrebbero concordare di scambiarsi tra un anno dei

titoli obbligazionari attualmente in possesso di una delle parti a un prezzo predefinito

in funzione del tasso di interesse di oggi. Poiche il contratto “blocca” oggi i termini (il

prezzo) dello scambio futuro, cio mette al riparo i due soggetti da fluttuazioni dei tassi

di interesse (e quindi dei prezzi delle obbligazioni) che si dovessero produrre da oggi ad

un anno. Le opzioni sono, invece, contratti che offrono all’acquirente la possibilita, o il

diritto, di acquistare o vendere l’attivita finanziaria sottostante a un prezzo specificato,

chiamato prezzo di esercizio, per un determinato periodo di tempo. La sostanziale dif-

ferenza tra le opzioni e i contratti a termine e la seguente: con le opzioni, se, da un lato,

il venditore e obbligato ad acquistare o a vendere il titolo sottostante qualora l’acquirente

eserciti il diritto di opzione, quest’ultimo non e costretto ad esercitare tale opzione, ma

puo decidere di lasciarla scadere senza usarla.

I limiti dei titoli derivati sono essenzialmente due: il primo e che puo non essere

semplice per un soggetto che intende stipulare un contratto di un certo tipo trovare una

controparte con esigenze che si “sposano” esattamente con le proprie. Il secondo problema

con i derivati e che, se da un lato, riducono il rischio di fluttuazioni dei prezzi, dall’altro,

sono soggetti al rischio di insolvenza. Ad esempio, se un soggetto si e impegnato ad

acquistare tra un anno un certo titolo ad un dato prezzo e se poi tra un anno il prezzo di

mercato del titolo risulta molto piu basso di quello concordato per l’acquisto, tale soggetto

potrebbe decidere di non onorare il contratto. Oppure, se il soggetto e una societa, egli

potrebbe non essere in grado di rispettare il contratto semplicemente perche nel corso

dell’anno e fallita.

7Titoli derivati del tutto analoghi ai contratti forward sono i contratti futures. La differenza sostanzialetra i due strumenti finanziari sta nel fatto che, mentre i contratti forward sono negoziati bilateralmentetra i contraenti (che dispongono quindi di maggiori margini di autonomia nel definirne i termini), i futuressono contratti con caratteristiche standard per i quali esiste un mercato ufficiale.

12

1. ASPETTI INTRODUTTIVI II. Tasso di rendimento dei titoli finanziari

II Tasso di rendimento dei titoli finanziari

Ovviamente, un soggetto che investe in un certo titolo o attivita finanziaria lo fa per

ottenere (o perche si aspetta di ottenere) un certo rendimento da quel titolo. Come

e stato gia accennato nella sezione precedente, la natura del rendimento di un titolo

dipende dal tipo di titolo considerato. Inoltre, il rendimento si riferisce anche all’orizzonte

temporale per cui il titolo e detenuto dall’investitore (o piu in generale, alla durata del

periodo presa in considerazione per calcolare il rendimento). Ad esempio, se vogliamo

calcolare il rendimento di un’attivita dal tempo t, ad esempio oggi, al tempo t + 1, ad

esempio tra un anno oppure tra due anni, ecc., esso dipendera, nel caso di un’azione, dalla

differenza di prezzo dell’azione al tempo t e a quello t+ 1 nonche dai dividendi percepiti

in tale arco temporale, nel caso di un’obbligazione, ancora dalla differenza di prezzo del

titolo nei due periodi e dagli interessi incassati tra t e t+ 1, nel caso di una valuta estera,

dall’andamento del tasso di cambio tra valuta estera e nazionale nell’intervallo di tempo

considerato, e cosı via.

Esiste, comunque, un’espressione generale per calcolare il rendimento, o piu corretta-

mente il tasso di rendimento, dei titoli, che ben si presta, quindi, anche per effettuare

confronti tra i rendimenti di attivita finanziarie diverse tra loro. In particolare, se ci rife-

riamo ad un generico titolo i in un dato arco temporale, da t a t + 1, avremo che il suo

tasso di rendimento ri,t+1 e dato da:

ri,t+1 =vi,t+1 − pi,t

pi,t

dove pi,t rappresenta il prezzo del titolo al tempo t, mentre vi,t+1 rappresenta il payoff

che l’investitore ottiene dal titolo (o puo ottenere se vende il titolo) al tempo t + 1. In

particolare, tale payoff e dato dal pagamento che l’investitore otterrebbe dalla vendita (o

dal rimborso) del titolo al tempo t+1 piu i pagamenti gia incassati dal titolo (ad esempio,

per dividendi o interessi) nell’arco del periodo considerato (da t a t+ 1).

Esempio 1 (Tasso di rendimento di un’azione)

Un investitore possiede azioni della societa “Alfa” acquistate al tempo t al prezzo unitario

di 1, 50 euro. Dopo un anno (tempo t+1) incassa un dividendo pari a 0, 15 euro per azione

e decide di rivendere le azioni ad un prezzo di mercato di 1, 80 euro. Si calcoli il tasso di

rendimento del suo investimento.

rAlfa,t+1 =(1, 80 + 0, 15)− 1, 50

1, 50=

0, 45

1, 50= 0, 3

per cui l’investimento ha fruttato un (tasso di) rendimento del 30%.

13

II. Tasso di rendimento dei titoli finanziari 1. ASPETTI INTRODUTTIVI

Esempio 2 (Tasso di rendimento di un’obbligazione rimborsata alla scadenza)

Un investitore sottoscrive obbligazioni della societa “Beta” a 1000 euro. Le obbligazioni

hanno scadenza ad un anno e un tasso annuo di interesse del 5%. Si calcoli il tasso di

rendimento che ottiene l’investitore se detiene le obbligazioni fino alla scadenza.

In questo caso individuare il tasso di rendimento che ottiene l’investitore e molto

semplice: esso e chiaramente pari al 5% annuo.8 Ovviamente, esso sarebbe emerso (con

qualche calcolo in piu) anche utilizzando la formula generale. Si noti, infatti, che l’inve-

stitore paga l’obbligazione 1000 euro, ottiene un rimborso finale pari alla stessa cifra e

percepisce un ammontare di interessi pari a 50 euro, per cui:

rBeta,t+1 =(1000 + 50)− 1000

1000=

50

1000= 0, 05.

In alcuni casi, il calcolo del tasso di rendimento per un’obbligazione non e cosı imme-

diato; si consideri il caso seguente.

Esempio 3 (Tasso di rendimento di un’obbligazione venduta prima della scadenza)

Un investitore sottoscrive obbligazioni della societa “Gamma” a 100 euro. Le obbligazioni

hanno scadenza a tre anni e un tasso annuo di interesse del 5%. Alla fine del primo

anno, per sopravvenute necessita di denaro liquido, l’investitore decide di rivendere le

obbligazioni sul mercato; il prezzo di mercato e, in quel momento, 85 euro. Si calcoli il

tasso di rendimento che ottiene l’investitore.

rGamma,t+1 =(85 + 5)− 100

100=−10

100= −0, 1

per cui, nell’anno l’investimento ha fruttato un rendimento negativo del 10%.

In questo esempio, non deve sorprendere il fatto che, sebbene l’obbligazione abbia un

tasso di interesse positivo, il rendimento che ottiene l’investitore dal titolo e negativo. Il

tasso di interesse, infatti, non tiene conto di eventuali differenze tra il prezzo a cui il titolo

e stato acquistato e quello a cui il titolo viene smobilizzato (ossia dei guadagni o delle

perdite in conto capitale).

8In taluni casi gli interessi sono capitalizzati piu volte in un anno e il tasso di interesse e espresso inrelazione alla frazione di anno a cui si riferisce. In questi casi, ai fini di un confronto tra alternative diinvestimento con tassi di interesse per periodi diversi, e utile trasformare i tassi in modo che si riferiscanoallo stesso periodo, ad esempio un anno. Utilizzando la formula dell’interesse composto, si ha che:

iA = (1 + ik)k − 1

dove iA e il tasso annuo di interesse, mentre k e il numero di volte in cui l’interesse viene capitalizzatonel corso dell’anno (ad esempio, se il tasso di interesse ik e semestrale, k e pari a 2). Un tasso di interessesemestrale del 4, 16% corrisponde, ad esempio, ad un tasso annuo pari a iA = (1+0, 0416)2−1 = 0, 0849,ossia 8, 49%.

14


Esempio 4 (Tasso di rendimento di un’azione in valuta estera)

Si consideri un investitore italiano che al tempo t converte euro in dollari al tasso di cambio

euro/dollaro di 1, 3 (con un euro si acquistano 1, 3 dollari) per acquistare azioni della

societa statunitense “MG” al prezzo unitario di 2, 6 dollari. Al tempo t + 1 l’investitore

rivende le azioni della societa al prezzo di 2, 8 dollari per azione. Si calcoli il tasso di

rendimento che l’investitore ottiene al tempo t+ 1 se il tasso di cambio e passato a 1, 4.

In questo caso, per calcolare correttamente il rendimento dell’investimento e opportuno

innanzitutto esprimere i prezzi delle azioni in euro (la valuta del paese dell’investitore)

anziche in dollari. Al tempo t, al tasso di cambio euro/dollaro di 1, 3, il prezzo delle azioni

di 2, 6 dollari corrisponde a 2, 6/1, 3 = 2 euro. Al tempo t+1, invece, al tasso di cambio di

1, 4, il prezzo delle azioni in euro e pari a 2, 8/1, 4 = 2. Si puo adesso calcolare facilmente

il tasso di rendimento dell’investimento che e pari a:

rMG,t+1 =2− 2

2= 0.

Non deve sorprendere il fatto che, sebbene il prezzo (in dollari) dell’azione sia salito, il

rendimento dell’investimento e risultato nullo. Cio e dipeso dal fatto che nel frattempo

l’euro si e apprezzato rispetto al dollaro e, poiche l’investimento era espresso in dolla-

ri, cio ha completamente “annullato” l’effetto positivo connesso all’aumento del prezzo

dell’azione.

Esempio 5 (Tasso di rendimento di un titolo assicurativo)

Si consideri un soggetto che acquista al tempo t una polizza assicurativa contro il furto

dell’auto pagando un premio di 100 euro. La polizza assicurativa prevede che nel caso di

furto dell’auto il soggetto abbia diritto ad un rimborso di 1.000 euro. Si calcoli il tasso di

rendimento del titolo assicurativo al tempo t+ 1 nelle ipotesi che, a quella data: i) l’auto

non sia stata rubata; ii) l’auto sia stata rubata.

Nel caso l’auto al tempo t+1 non sia stata rubata, il tasso di rendimento della polizza

assicurativa e pari a:

rass,t+1 =0− 100

100= −1.

Il titolo assicurativo ha dato un tasso di rendimento negativo del 100%.

Viceversa, nel caso l’auto al tempo t+ 1 sia stata rubata, il tasso di rendimento della

polizza assicurativa e pari a:

rass,t+1 =1000− 100

100= 9

per cui il titolo ha fornito un tasso di rendimento pari al 900%.

15


Finora abbiamo discusso del tasso di rendimento di un titolo finanziario senza fare

alcuna distinzione tra tasso nominale di rendimento e tasso reale di rendimen-

to. Il tasso reale di rendimento si ottiene “correggendo” il tasso nominale dall’effetto

dell’inflazione (tasso di variazione percentuale del livello generale dei prezzi). Piu esat-

tamente, il tasso reale di rendimento di un’attivita finanziaria i nell’arco del periodo

t− t+ 1, indicato con ri,t+1, e dato da:

ri,t+1 ' ri,t+1 − πt+1 (1.1)

dove πt+1 rappresenta il tasso di inflazione nell’arco del periodo considerato. Ad esem-

pio, un tasso (nominale) di rendimento del 5%, ottenuto da un investitore dal possesso di

un certo titolo finanziario nell’arco di un dato periodo, equivale (all’incirca) ad un tasso

reale del 3%, se, nell’arco di quel periodo, si e registrato un tasso di inflazione del 2%.

L’Equazione (1.1), spesso indicata come equazione di Fisher, dal nome del noto eco-

nomista americano dell’Universita di Yale, Irving Fisher, assume particolare rilevanza

nell’ambito delle discipline di economia monetaria e macroeconomia.9

Un ultimo aspetto rilevante, per quanto concerne il tasso di rendimento di un titolo

finanziario, e il seguente. Fino ad ora abbiamo ragionato in termini di tasso effettivo di

rendimento o tasso di rendimento ex-post, ossia calcolato al tempo t+ 1. Peraltro,

quando un soggetto deve decidere al tempo t in quale titolo investire, conoscera (ad esem-

pio, dai quotidiani finanziari) il prezzo dei titoli in quel momento (pi,t), ma, generalmente,

non avra la possibilita di conoscere con certezza i payoffs che potra ottenere dai vari ti-

toli fino a t + 1 (vi,t+1).10 Eppure, al momento dell’acquisto, formarsi delle aspettative

su tali payoffs, e quindi sul tasso di rendimento dei titoli, e essenziale per effettuare un

investimento “oculato”. Si parla, dunque, di tasso atteso di rendimento o tasso di

rendimento ex-ante in relazione al tasso di rendimento di un titolo atteso o “stimato”

al tempo t, indicato formalmente come:

E [ri,t+1] =E [vi,t+1]− pi,t

pi,t(1.2)

dove il simbolo E rappresenta l’aspettativa, o speranza, matematica.11

9L’equazione di Fisher e piu spesso presentata in termini di tasso di interesse (reale e nominale),piuttosto che in quello, piu generale, di tasso di rendimento. Inoltre, in tale contesto, il tasso di inflazioneche rileva non e principalmente quello effettivo, ma quello atteso.

10Cio e chiaramente vero per le azioni, il cui prezzo varia nel tempo in base al mercato. Peraltro, ancheper le obbligazioni, l’investitore, generalmente, non puo escludere al tempo t di trovarsi successivamentenelle condizioni di dover rivendere sul mercato i titoli. In tale evenienza, quindi, anche il payoff delleobbligazioni diventa incerto al momento dell’acquisto, potendo poi dipendere anch’esso dall’andamentodel mercato obbligazionario.

11Nell’Appendice A.1 in fondo al capitolo saranno presentati e analizzati alcuni concetti elementari distatistica, quale il valore atteso di una variabile casuale o aleatoria (un cui esempio e proprio rappresentato

16


Esempio 6 (Metodi di calcolo del tasso atteso di rendimento)

I metodi piu semplici per calcolare il tasso atteso di rendimento di un’attivita finanziaria

sono due: quello che fa riferimento ai possibili “stati del mondo” e alle relative probabilita

e quello che fa riferimento ai dati storici.

Il primo metodo richiede di prevedere ex-ante tutti i possibili risultati (rendimenti)

che possono prodursi ex-post detenendo un certo titolo e stimare per ciascun risultato

la probabilita che questo possa effettivamente realizzarsi. Ad esempio, consideriamo un

investitore che ha investito al tempo t in un certo titolo azionario i e, sempre al tempo

t, prevede che al tempo t + 1, in cui liquidera l’investimento, possano verificarsi cinque

differenti scenari (tecnicamente anche definiti “stati del mondo” o “stati di natura”) ad

ognuno dei quali corrisponde un certo risultato, rappresentato dal rendimento ottenuto

sul proprio investimento. A ciascun stato di natura, poi, l’investitore associa una certa

probabilita con cui lo stato di natura puo realizzarsi. La tabella seguente, sintetizza tutte

le informazioni relative ai possibili scenari e ai corrispondenti risultati e probabilita.12

Scenari Risultati (Rendimenti) Probabilita

1 50% 0, 1

2 30% 0, 2

3 0 0, 4

4 −10% 0, 2

5 −30% 0, 1

A questo punto e possibile calcolare il tasso atteso di rendimento dell’investimento

come media ponderata dei rendimenti associati ai vari scenari, dove i pesi sono le pro-

babilita con cui ciascun scenario puo verificarsi. In particolare, la formula generale e la

seguente:

E [ri,t+1] =m∑

k=1

ri,t+1,k · πk

dove m rappresenta il numero di scenari considerati (e k lo scenario generico), mentre πk

la probabilita che si verifichi lo scenario k. Nel nostro esempio, quindi, il tasso atteso di

rendimento e:

dal rendimento di un titolo finanziario), che saranno ampiamente utilizzati nei capitoli successivi.12Ovviamente, dal momento che i rendimenti delle attivita finanziarie rappresentano una variabile

casuale continua, questa rappresentazione discreta dei possibili valori che puo assumere il rendimento deltitolo e una semplificazione. La stessa logica dell’esempio, peraltro, puo essere estesa (seppur utilizzandouna matematica piu complessa) al caso con distribuzione continua dei rendimenti.

17


E [ri,t+1] = (0, 5)·(0, 1)+(0, 3)·(0, 2)+(0)·(0, 4)+(−0, 1)·(0, 2)+(−0, 3)·(0, 1) = 0, 1 = 10%.

Chiaramente, i problemi maggiori con questo metodo si legano al fatto che, general-

mente, stimare le probabilita con cui i differenti scenari possono realizzarsi non e semplice

e potrebbero differire da soggetto a soggetto. Per questo motivo, nella pratica, per calco-

lare il rendimento atteso di un titolo finanziario si ricorre tipicamente al secondo metodo,

basato sui dati storici.

In particolare, supponiamo nuovamente che l’investitore al tempo t (es. inizio dell’an-

no) voglia nuovamente calcolare il rendimento atteso del titolo i al tempo t + 1 (es. fine

dell’anno) e supponiamo adesso che conosca i rendimenti annui (effettivi) fatti registrare

dal titolo i nei sei anni passati, cioe nei periodi t− 1, t− 2, ..., t− 6, come indicato nella

tabella seguente:

Periodi Rendimenti

t− 1 12%

t− 2 8%

t− 3 −10%

t− 4 12%

t− 5 −5%

t− 6 −13%

In questo caso, l’investitore puo sfruttare le informazioni sui rendimenti passati dei

titoli per calcolare il suo rendimento atteso per l’anno successivo come media aritmetica

(semplice) dei rendimenti passati:

E [ri,t+1] =

∑Tx=1 ri,t−xT

dove T e il numero di osservazioni passate (o dati storici utilizzati).13 Per cui, nel nostro

esempio, il rendimento atteso del titolo i e:

E [ri,t+1] =0, 12 + 0, 08− 0, 1 + 0, 12− 0, 05 + 0, 13

6= 0, 05 = 5%.

13Talvolta, i dati storici disponibili non si riferiscono immediatamente ai rendimenti ma ai prezzi (o piuin generale ai payoffs) passati dei titoli. In questo caso, una formula analoga (con vi,t−x al posto di ri,t−x)puo essere utilizzata per calcolare il prezzo atteso futuro del titolo, ossia E[vi,t+1]. Una volta calcolatoE[vi,t+1] (e conoscendo pi,t) e possibile utilizzare la formula generale del tasso atteso di rendimento (1.2)per calcolare questo ultimo.

18

1. ASPETTI INTRODUTTIVI III. Intermediazione finanziaria

Come emerge dall’Esempio 6, una questione rilevante e quali informazioni possono

utilizzare gli investitori per formarsi delle aspettative su vi,t+1 (e quindi, conoscendo pi,t,

su ri,t+1). A tale riguardo, un’informazione che potrebbero utilizzare e proprio il prezzo

del titolo che osservano al momento dell’acquisto, pi,t. Cio esprime un aspetto cruciale

per quanto concerne il funzionamento dei mercati finanziari e, piu specificatamente, sul

ruolo peculiare che assumono i prezzi dei beni scambiati (titoli e attivita finanziarie) in

tali mercati. Nei mercati finanziari, infatti, i prezzi svolgono una duplice funzione:

1. funzione allocativa. Questa e la tipica funzione che i prezzi svolgono nei mercati di

qualsiasi bene: far fronte, tramite adeguati “aggiustamenti”, a momentanei squilibri

tra domanda e offerta;

2. funzione di trasmissione delle informazioni. Nei mercati finanziari i prezzi odierni

dei titoli trasmettono informazioni su quelli che saranno i loro prezzi futuri (e quindi

sui rispettivi tassi di rendimento).

La seconda funzione dei prezzi nei mercati finanziari, oltre a rivestire un’enorme im-

portanza, si caratterizza per alcune implicazioni non banali. Una di queste fu indivi-

duata per primo dall’economista inglese John Maynard Keynes in un noto passaggio (sul

“concorso legato alla gara di bellezza”) della sua opera piu famosa: la Teoria Generale.

Poiche i prezzi correnti delle attivita finanziarie agiscono (trasmettendo informazioni) sul-

le aspettative degli investitori su quelli che saranno i loro prezzi futuri, essi influiranno

sulle decisioni di acquisto e di vendita di tali investitori. Ma tali decisioni determineranno,

di fatto, i prezzi futuri delle attivita finanziarie. In sostanza, il processo che lega i prezzi

dei titoli e le aspettative degli investitori su tali prezzi e circolare e mal si presta, quindi,

ad esprimere una chiara relazione di causa-effetto tra di essi.

III Intermediazione finanziaria

Il “circuito” attraverso cui le risorse finanziarie si trasferiscono dalle unita in surplus

(creditori) a quelle in deficit (debitori) puo essere duplice: si parla, infatti, di circui-

to diretto quando, attraverso l’emissione di titoli, i debitori prendono a prestito fondi

direttamente dai creditori; si parla, invece, di circuito indiretto quando nel processo

interviene un intermediario finanziario, cioe un soggetto che si interpone tra debitori

e creditori, agevolando il trasferimento di fondi dagli uni agli altri. L’esempio tipico di

intermediari finanziari sono le banche, che prendono a prestito dalle unita in surplus per

concedere finanziamenti a quelle in deficit, ma lo sono anche le societa finanziarie e quelle

19

III. Intermediazione finanziaria 1. ASPETTI INTRODUTTIVI

assicurative, i fondi comuni d’investimento e i fondi pensione, nonche i dealer e i broker

che operano nei mercati secondari.14

Gli intermediari finanziari possono svolgere un ruolo essenziale nell’ambito dei mer-

cati finanziari, dal momento che nel circuito indiretto transita la parte relativamente piu

importante delle risorse finanziarie scambiate. Un punto centrale dell’economia dei mer-

cati finanziari e dunque quello di comprendere l’importanza del ruolo che svolgono in tali

mercati gli intermediari finanziari; esso concerne aspetti legati ai costi di transazione,

all’allocazione del rischio e alla presenza di asimmetrie informative, che caratterizzano i

mercati in questione.

Costi di transazione. I costi di transazione sono tutti quei costi, sia di natura mo-

netaria che non monetaria (quali, ad esempio, la perdita di tempo), che debitori e creditori

devono sostenere per realizzare uno scambio (transazione). Ad esempio, due soggetti che

intendono realizzare uno scambio di fondi, dovranno innanzitutto accordarsi sui termi-

ni del contratto che regola la transazione (durata del finanziamento, remunerazione del

creditore, modalita del rimborso, ecc.). Tutto questo puo richiedere tempo! Inoltre, una

volta decisi i termini contrattuali, le parti potrebbero decidere di renderli legalmente piu

“robusti” di fronte ad un notaio. Cio, oltre che tempo, imporrebbe loro anche un esborso

monetario.

Gli intermediari finanziari possono ridurre i costi di transazione nei mercati dei fondi

prestabili, innanzitutto in virtu dell’esperienza maturata nei rapporti, da un lato, con chi

offre risorse finanziarie e, dall’altro, con chi le domanda. Inoltre, cosa piu importante, essi

hanno la possibilita di ridurre i costi unitari di transazione, potendo sfruttare la presenza

di economie di scala. Per capire come, riflettiamo su questo fatto: un intermediario

finanziario, ad esempio una banca, propone uno stesso contratto “tipo”, cioe con le stesse

clausole contrattuali, a tutti i soggetti interessati a stipulare con essa quel tipo di con-

tratto (pensiamo, ad esempio, a un deposito di risparmio). Ovviamente, progettare quel

contratto sara per la banca fonte di costi di transazione (ad esempio, per assumere un

esperto finanziario e/o un avvocato che individuino la forma contrattuale piu conveniente

e legalmente praticabile per la banca), ma e ragionevole supporre che tali costi non dipen-

dano dal numero di contratti che poi la banca sara effettivamente in grado di stipulare

con i suoi clienti; in altri termini, si tratta di un costo fisso. Proprio perche e un costo

fisso, tanto maggiore e poi il numero di contratti stipulati, tanto piu basso sara il costo

14I dealer facilitano l’incontro tra venditori e compratori acquistando i titoli dai primi e vendendoli aisecondi, mentre i broker si limitano a mettere in contatto potenziali acquirenti con potenziali venditori,ma non effettuano operazioni di compravendita.

20

1. ASPETTI INTRODUTTIVI III. Intermediazione finanziaria

unitario di transazione per la banca (in quanto, ovviamente, il costo si ripartisce su un

numero maggiore di contratti).

In sostanza, proprio grazie al fatto che gli intermediari finanziari stipulano numerosi

contratti finanziari sia con chi presta loro denaro, sia con chi riceve da loro dei finan-

ziamenti, riescono piu facilmente, rispetto ai singoli soggetti, ad “ammortizzare” i loro

costi di transazione. Tutto cio, inoltre, puo favorire un miglior funzionamento dei mercati

finanziari, dal momento che, con costi unitari di transazione piu bassi, gli intermediari

sono piu inclini a realizzare scambi (es. concessione di prestiti) che i singoli soggetti, da

soli, non avrebbero convenienza a fare.

Allocazione del rischio. Il rischio e un elemento centrale nei mercati di cui stiamo

discutendo. Coloro che investono risorse finanziarie si aspettano di ricevere un dato ren-

dimento e sperano di riuscire a ottenerlo col rischio piu basso possibile. Gli intermediari

finanziari possono consentire di ridurre l’esposizione degli investitori al rischio in diverse

modi.

In primo luogo, emettendo e scambiando titoli con profili diversi di incertezza sui ren-

dimenti, gli intermediari finanziari consentono il trasferimento di risorse tra soggetti con

atteggiamenti differenti rispetto al rischio, attuando quel processo noto come ridistri-

buzione del rischio. Inoltre, un modo ulteriore per ridurre il rischio di investimento

e rappresentato dalla sua diversificazione. Essa implica la scelta da parte dell’investi-

tore di una combinazione di attivita finanziarie, detta portafoglio, i cui rendimenti si

muovono in modo diverso gli uni dagli altri, con il risultato che il rischio complessivo e

minore di quello delle singole attivita che compongono il portafoglio. In tale prospettiva,

la presenza degli intermediari finanziari puo essere di ausilio per i singoli soggetti. Essi,

infatti, potrebbero ottenere i benefici della diversificazione investendo in fondi comuni o

in fondi pensione, dato che usano i fondi raccolti da una molteplicita di individui per

investirli in un insieme particolarmente ampio di attivita finanziarie.

Si noti, infine, che le funzioni, generalmente collegate, di ridistribuzione del rischio e

di diversificazione possono essere svolte piu efficientemente dagli intermediari, anche in

virtu dei piu bassi costi (unitari) di transazione che essi devono sopportare.

Asimmetrie informative. Con riferimento al funzionamento dei mercati, si utilizza

l’espressione asimmetria informativa quando i soggetti coinvolti in uno scambio non

sono tutti informati allo stesso modo. In altri termini, un soggetto dispone di alcune in-

formazioni, rilevanti per la transazione, che non sono a conoscenza dell’altro, o degli altri,

soggetto(i). La presenza di asimmetrie informative costituisce una delle cause principali

e piu diffuse di fallimento del mercato, in quanto la loro presenza puo impedire la rea-

21

III. Intermediazione finanziaria 1. ASPETTI INTRODUTTIVI

lizzazione concreta di transazioni mutuamente vantaggiose (cioe che potrebbero produrre

un beneficio per tutti i soggetti in esse coinvolti).

Quelli finanziari sono tra i mercati in cui i problemi legati alla presenza di asimme-

trie informative sono maggiormente pressanti. A tale riguardo e importante distinguere

tra due diverse forme di asimmetria informativa, le quali possono generare due problemi

di diversa natura. Una prima forma e quella definita di asimmetria informativa pre-

contrattuale, in quanto relativa ad una situazione in cui un soggetto dispone di infor-

mazioni private, che gli altri soggetti non hanno, gia prima di stipulare un contratto

finanziario con gli altri soggetti. Ad esempio, consideriamo un contratto di finanziamento

tra un’unita in surplus e un’impresa (unita in deficit). Ovviamente, prima di concedere

il finanziamento, cioe prima di stipulare il contratto, l’unita in surplus avra interesse a

conoscere il grado di “rischiosita” effettiva del progetto di investimento per cui l’impresa

richiede il finanziamento. In generale, peraltro, questa informazione e “privata” per le

imprese che richiedono il prestito. Inoltre, tali imprese potrebbero aver convenienza a

non rivelare correttamente l’effettivo grado di rischiosita dei loro progetti se cio riduce la

probabilita di ottenere il finanziamento. Tale situazione puo generare un problema par-

ticolare sul funzionamento del mercato, che e noto con il termine di selezione avversa

(adverse selection). Per capire di cosa si tratta, riprendiamo l’esempio del contratto di

finanziamento e consideriamo che se l’unita in surplus fosse perfettamente informata sulla

rischiosita di ogni progetto di investimento per cui le imprese richiedono un finanziamento,

opererebbe una politica di tassi di interesse bassi per i progetti a basso rischio e di tassi di

interesse alti per i progetti ad alto rischio. Ma se invece non e in grado di stabilire a priori

con certezza il grado di rischiosita effettiva di un dato progetto di investimento, potrebbe

non trovare altra alternativa che fissare un tasso di interesse unico sulla base di un rischio

atteso (o medio) di fallimento del progetto. Peraltro, dal momento che generalmente tasso

di rendimento e rischio sono correlati positivamente, un tasso di interesse cosı determinato

potrebbe risultare troppo alto per le imprese che intendono realizzare investimenti a basso

rischio (e basso tasso di rendimento). Tali imprese accantonerebbero il proprio proget-

to. Invece, le uniche imprese a presentare richieste di finanziamento sarebbero quelle i

cui progetti di investimento risultano ad alto rischio (ed alto tasso di rendimento), cioe

proprio quelle meno “appetibili” dal punto di vista dell’unita in surplus.

Oltre a potersi presentare gia prima della conclusione del contratto, influenzando la

selezione delle proposte di finanziamento, il problema dell’asimmetria informativa puo

prodursi anche successivamente alla stipula dell’accordo tra i soggetti. In tali circostanze,

si parla di asimmetria informativa post-contrattuale e riguarda, piu specificatamente, certe

azioni, scelte e/o comportamenti che un soggetto mette in essere in seguito all’accordo e

che possono condizionare fortemente il risultato ottenuto dai soggetti coinvolti nell’ambito

22

1. ASPETTI INTRODUTTIVI IV. Efficienza dei mercati finanziari

della transazione. Tale situazione puo generare un problema concettualmente distinto

dalla selezione avversa e denominato azzardo morale (moral hazard). In generale, nei

mercati finanziari tale problema si ricollega al rischio che coloro che prendono a prestito

fondi attuino dei comportamenti che, per accrescere i propri rendimenti, aumentano anche

la loro probabilita di insolvenza (ad esempio, un’impresa che di fronte ad un insieme

possibile, o menu, di progetti sceglie quello con piu alto rendimento atteso, ma maggior

rischio).

Le problematiche della selezione avversa e dell’azzardo morale, proprio perche perva-

dono i mercati finanziari, contribuiscono a spiegare molti fenomeni che caratterizzano tali

mercati, quali, ad esempio, le crisi finanziarie, le politiche di finanziamento delle banche e

le scelte relative alla struttura finanziaria delle imprese. Inoltre, essi possono fornire una

giustificazione del ruolo e della presenza degli intermediari finanziari. Infatti, quando ope-

rano in modo efficiente e corretto, gli intermediari possono ridurre sostanzialmente i rischi

legati alle problematiche in questione. Ad esempio, in virtu della sua specializzazione e

dell’esperienza maturata nelle operazioni di finanziamento, i costi che una banca sostiene

per acquisire informazioni sul rischio di fallimento di un’impresa e/o per monitorare le

scelte di investimento attuate, successivamente al finanziamento, dal suo management so-

no, in generale, sostanzialmente piu bassi di quelli che dovrebbe sostenere, per tali scopi,

un piccolo risparmiatore che prestasse i suoi fondi direttamente all’impresa.

IV Efficienza dei mercati finanziari

Sui media spesso si dibatte sulla questione se i mercati finanziari funzionino o meno in

modo efficiente. Dal punto di vista degli economisti, il concetto di efficienza nei mercati

finanziari non e unico, prestandosi ad essere analizzato sotto diversi punti di vista. Come

sara illustrato qui di seguito, tali concetti, sebbene distinti, non sono indipendenti gli uni

dagli altri.

Efficienza allocativa (o Pareto-efficienza). Il concetto di efficienza allocativa o

nel senso di Pareto, dal nome dell’economista italiano Vilfredo Pareto, e quello piu

ampiamente utilizzato nella teoria economica. Esso e un concetto molto (forse troppo)

generale: una data allocazione (o distribuzione) delle risorse e detta Pareto-efficiente se

non e possibile modificarla (cioe attuare un processo di ridistribuzione di quelle risorse)

in modo da migliorare il benessere di qualche soggetto senza peggiorare quello di qualche

altro soggetto.

Nell’ambito dei mercati finanziari, una questione rilevante e quella se tali mercati

sono in grado di conseguire un risultato Pareto-efficiente e in che modo. Un importante

23

IV. Efficienza dei mercati finanziari 1. ASPETTI INTRODUTTIVI

risultato della teoria economica, noto come Primo Teorema dell’Economia del Benessere,

afferma che, se i mercati sono perfettamente concorrenziali, essi sono sempre in grado di

produrre un’allocazione delle risorse Pareto-efficiente. Molti economisti hanno sostenuto

che, grazie al numero molto elevato sia di creditori che di debitori che operano nei mercati

finanziari, tali mercati presentino un grado di concorrenza sufficientemente elevato (molto

piu elevato di quello che caratterizza molti altri mercati). Questo ne assicurerebbe il

miglior funzionamento possibile. Inoltre, sulla base di questo presupposto, varie forme

di intervento e di regolamentazione pubblica in tali mercati sarebbero sconsigliabili e

dovrebbero essere contenute al minimo possibile.

D’altro canto, affinche i mercati funzionino in modo concorrenziale, sono necessari

ulteriori presupposti oltre quello dell’elevato numero di compratori e venditori. Tra essi,

vi e quello che i soggetti che operano nel mercato siano tutti perfettamente informati.

Come abbiamo discusso nella Sezione III, la presenza di asimmetrie informative pervade

i mercati finanziari e costituisce una delle cause principali di “fallimento” nel loro funzio-

namento.15 Per tale motivo, altri economisti ritengono che una qualche forma (per alcuni

anche “robusta”) di intervento e di regolamentazione pubblica sia del tutto necessaria

per consentire un’allocazione delle risorse piu efficiente rispetto a quella che i mercati

finanziari garantirebbero se lasciati liberi di funzionare senza alcun intervento dello Stato.

Efficienza operativa. Il concetto di efficienza operativa e un concetto che concerne

principalmente l’efficienza tecnica (connessa, ad esempio, alla riduzione dei costi) con cui

operano i vari soggetti che agiscono nei mercati finanziari tra cui, soprattutto, gli inter-

mediari finanziari. Il concetto di efficienza operativa, sebbene piu specifico, si ricollega

comunque a quello di efficienza allocativa. Ad esempio, il grado di concorrenza tra gli

intermediari finanziari, elemento centrale nella prospettiva dell’efficienza allocativa, gioca

un ruolo importante anche per l’efficienza operativa. Infatti, solo un grado piu elevato

di concorrenza tra gli intermediari finanziari puo creare gli adeguati incentivi affinche, da

un lato, essi riducano i costi di produzione dei loro servizi e, dall’altro, offrano condizioni

(ad esempio, in termini di commissioni, spese, ecc.) piu vantaggiose agli altri soggetti,

loro clienti, che operano nel mercato. Inoltre, come abbiamo discusso nella Sezione III, la

presenza degli intermediari nei mercati finanziari e strettamente legata al ruolo che essi

svolgono nella riduzione dei costi di transazione, nella ridistribuzione del rischio e nella

riduzione delle asimmetrie informative. Dal momento che tali aspetti sono centrali per

il conseguimento di un’allocazione Pareto-efficiente, il grado di efficienza operativa con

15Tecnicamente, la presenza di asimmetrie informative costituisce una delle cause principali di incom-pletezza dei mercati finanziari, che ne puo pregiudicare la possibilita di conseguire un’allocazione dellerisorse Pareto-efficiente.

24

1. ASPETTI INTRODUTTIVI V. Appendice

cui gli intermediari assolvono tali compiti assume chiara rilevanza non soltanto fine a se

stesso, ma anche dal punto di vista allocativo.

Efficienza informativa. Il concetto di efficienza informativa e un concetto molto

piu specifico dei precedenti e concerne il modo con cui i prezzi dei titoli finanziari riflettono

informazioni rilevanti. In prima approssimazione, i mercati finanziari sono detti efficien-

ti in senso informativo quando i prezzi correnti dei titoli riflettono perfettamente tutta

l’informazione disponibile utile per le decisioni di investimento. Il concetto di efficienza

informativa, sebbene relativamente semplice dal punto di vista concettuale, presenta di-

versi aspetti non banali dal punto di vista applicativo, che meritano un approfondimento

piu specifico (cio sara fatto nel Capitolo 8).

Efficienza di portafoglio (portfolio efficiency). Un portafoglio efficiente e un

investimento in una combinazione di titoli che consente all’investitore di ottenere un dato

rendimento atteso con il rischio piu basso e, al contempo, di massimizzare il rendimen-

to atteso dell’investimento per un dato livello di rischio. Tale questione sara indagata

dettagliatamente nel Capitolo 4.

V Appendice

A.1 Concetti elementari di statistica di uso comune in economia finanziaria

In questa appendice riportiamo alcune definizioni e formule relative a statistiche de-

scrittive e di variabili casuali che possono risultare utili allo studente in quanto ampia-

mente utilizzate nei capitoli che seguono.16

Statistiche descrittive

• Media aritmetica: la media aritmetica (o media) di una variabile X, denotata da

X, di cui sono disponibili n osservazioni e definita come:

X =

∑ni=1Xi

n, (A1)

dove Xi rappresenta l’osservazione i-esima della variabile X.

16Per un riferimento utile per eventuali approfondimenti si rimanda a Mood, Graybill e Boes (1974),Introduction to the Theory of Statistics, 3ed, New York: McGraw-Hill o a Wonnacott e Wonnacott(2011), Introduzione alla statistica, Roma: Franco Angeli.

25

V. Appendice 1. ASPETTI INTRODUTTIVI

• Media geometrica: la media geometrica di una variabile X, denotata da XGEO

,

di cui sono disponibili n osservazioni e definita come:

XGEO

= (Πni=1Xi)

1/n . (A2)

• Mediana: la mediana di X si ottiene ordinando in senso crescente gli Xi e pren-

dendo il valore corrispondente al (n+ 1)/2 elemento di questa lista ordinata se n e

dispari, mentre si prende la media degli elementi n/2 e n/2 + 1 se n e pari.

• Moda: la moda e il valore che compare con frequenza piu alta fra gli Xi.

• Varianza: la varianza di X, indicata con varX o σ2X , rappresenta un indice sintetico

di dispersione ed e definita come la media delle deviazioni delle osservazioni dalla

loro media, ossia:

varX = σ2X =

∑ni=1

(Xi −X

)2

n. (A3)

• Deviazione standard: la deviazione standard σX di X e la radice quadrata della

varianza, ossia:

σX =

√∑ni=1

(Xi − X

)2

n. (A4)

• Coefficiente di variazione: il coefficiente di variazione CV o coefficiente di di-

spersione e una misura di dispersione relativa e, in relazione a una variabile X, e

definito come:

CVX =σX

X. (A5)

• Variabile standardizzata: data la variabile originaria X, la variabile standardiz-

zata X e definita come:

Xi ≡Xi −XσX

. (A6)

Per definizione la variabile standardizzata ha media zero e varianza unitaria.

• Indice di asimmetria (skewness) di una distribuzione: un indice sinteti-

co della asimmetria della distribuzione degli Xi e dato dal momento terzo della

distribuzione, denominato skew e cosı definito:

skew ≡∑n

i=1

(Xi−XσX

)3

n=

∑ni=1

(Xi

)3

n. (A7)

26


Per una distribuzione normale con media zero e varianza unitaria l’indice di asim-

metria e pari a 0; un indice minore di zero significa generalmente che la coda sinistra

della distribuzione e piu ”spessa” (si parla di distribuzioni asimmetriche a sinistra)

e che X < Mediana di X < Moda di X (attenzione: non e sempre cosı). L’opposto

vale per distribuzione asimmetriche a destra.

• Curtosi (kurtosis): la curtosi misura quanto le code della distribuzione siano

spesse, ossia quanti eventi estremi posso osservare dato X. L’indice di curtosi, kurt,

e cosı definito:

kurt ≡∑n

i=1

(Xi−XσX

)4

n=

∑ni=1

(Xi

)4

n(A8)

ossia rappresenta il momento quarto della distribuzione. Per una distribuzione nor-

male con media zero e varianza unitaria kurt assume valore pari a 3. Una distri-

buzione il cui valore di curtosi e superiore a 3 si dice leptocurtica perche appare

generalmente “appuntita”, ossia concentrata intorno alla sua moda, e con code

“spesse”; viceversa una distribuzione con curtosi inferiore a 3 si dice platicurtica

ed appare poco concentrata intorno alla sua moda, ossia “piatta”, con code poco

spesse. Nella pratica alcuni autori considerano kurt − 3 come indice di curtosi di

una distribuzione, perche la distribuzione normale ha un indice di curtosi pari a 3.

Nella parte alta della Figura 1.1 sono riportati due esempi di distribuzioni con 1000

osservazioni, la prima estratta da una distribuzione log-normale (il nome e dovuto al fatto

che e il logaritmo delle osservazioni ad essere distribuito normalmente), la seconda che ha

gli stessi elementi della prima solo con il segno cambiato. Nella parte bassa della Figura

1.1 sono riportai gli istogrammi delle stesse due distribuzioni per un possibile confronto.

La prima distribuzione come atteso ha un indice di skewness pari a circa 38, mentre la

seconda pari a circa -38, che e esattamente il segno atteso; mentre entrambi le distribuzioni

hanno una curtosi pari a circa 606, segnalando la presenza di code molto spesse.

Nel seguito riportiamo alcune delle statistiche descrittive piu usate quando siamo

interessati a come due variabili X ed Y (ad esempio il tasso di rendimento di due titoli

finanziari) si comportano fra loro.

• Covarianza: prese una sequenza di lunghezza n di coppie di osservazioni (Xi, Yi),

la covarianza e definita come:

covXY = σXY =

∑ni=1

(Xi −X

) (Yi − Y

)

n. (A9)

La covarianza puo assumere qualsiasi valore fra −∞ e +∞.

27


0 5 10 15 20 25 30

0.0

00

.10

0.2

00

.30

X

De

nsità

ma

rgin

ale

−30 −25 −20 −15 −10 −5 0

0.0

00

.04

0.0

8

X

De

nsità

ma

rgin

ale

X

Pro

ba

bili

tà

0 2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

X

Pro

ba

bili

tà

−10 −8 −6 −4 −2 0

0.0

0.2

0.4

0.6

Figura 1.1: Distribuzioni con asimmetrie e curtosi diverse dalla distribuzione normale

28


• Coefficiente di correlazione: misura la correlazione fra due variabili X ed Y

come la covarianza, ma e calcolato sulle variabili normalizzate X e Y , ossia:

ρXY =

∑ni=1 XiYin

=σXYσXσY

. (A10)

Il principale vantaggio di usare il coefficiente di correlazione e che questo e definito

nell’intervallo [−1, 1].

Variabili casuali, distribuzione di probabilita e loro proprieta

Nel seguito riportiamo alcune definizioni relative alle variabili casuali.

• Variabile casuale: una variabile casuale si dice tale quando il suo valore e il risulta-

to di un esperimento casuale. Molti fenomeni economici possono essere rappresentati

come variabili casuali quando esiste un elemento di incertezza o alea nella loro de-

terminazione, come ad esempio i rendimenti osservati di un certo titolo finanziario.

Le variabili casuali sono dette continue nel caso in cui la variabile puo assumere un

numero infinito di valori all’interno di un certo intervallo (esempio un rendimento di

un titolo); mentre sono dette discrete nel caso in cui i valori che possono assumere

sono in numero finito (ad esempio il numero di volte che esce croce in 10 lanci).

• Distribuzione di probabilita: la distribuzione di probabilita di una variabile ca-

suale discreta rappresenta il vettore di tutti i possibili risultati o esiti (tecnicamente

si parla di stati di natura) che puo assumere la variabile a cui viene associato un al-

tro vettore contenente le probabilita con cui ciascuno stato si verifica. La somma di

tutte queste probabilita deve fare uno ed ogni probabilita deve essere non negativa.

Ad esempio la Tabella 1.1 fornisce un esempio di distribuzione di probabilita con 6

possibili stati e le relative probabilita:

Stato 2 3 5 6 8 10Probabilita 0.1 0.35 0.05 0.15 0.1 0.25

Tabella 1.1: Esempio di distribuzione di probabilita

• Funzione di densita di probabilita: data una variabile casuale continua, e un

intervallo di possibili valori (stati), l’area sottostante la funzione di densita di pro-

babilita relativa a questo intervallo, fornisce la probabilita di osservare una realizza-

zione della variabile casuale che sia contenuta nell’intervallo stesso. E’ molte volte

29


chiamata pdf (probability density function), funzione di densita o semplicemente

densita e si indica con f(X).17

• Funzione di ripartizione: essa fornisce la probabilita che la variabile causale

sia minore od uguale ad un particolare valore X. e chiamata anche distribuzione di

probabilita cumulata o cdf (da cumulative density function) e si indica generalmente

con F (X).18

Nella Figura 1.2 abbiamo riportato un esempio di: i) funzione di distribuzione di

probabilita pdf (si veda l’area individuata dall’intervallo [X1, X2] e la relativa associata

probabilita); e ii)funzione di ripartizione cdf (si veda l’area individuata dal limite superiore

X3 e la relativa associata probabilita).

pdf di X

XX2X1X3

Pr(X ≤ X3) = cdf(X3)

Pr(X ≥ X1 & X ≤ X2)

Figura 1.2: Funzione di densita di probabilita pdf e di funzione di ripartizione cdf

Valore atteso, varianza, covarianza e correlazione di variabili casuali

Nel seguito riportiamo alcune definizioni relative al valore atteso, varianza, covarianza

e correlazione di variabili casuali.

• Valore atteso: il valore atteso di una variabile casuale X, indicato con E[X] o µX ,

e il valore medio della variabile causale calcolato sulla base della distribuzione di

17Essendo f(X) una pdf deve valere che∫ +∞−∞ f(X)dX = 1.

18In particolare F (X) =∫ X−∞ f(X)dX.

30


probabilita o della funzione di densita di probabilita pdf nel caso, rispettivamente,

di variabili discrete o continue. Si parla anche di aspettativa o speranza matematica

di X.

Nel caso di variabile causale discreta, indicando con (π1, π2, ..., πm) il vettore delle

probabilita associato a m possibili stati di natura (con k l’indice riferito al generico

stato, k = 1, 2, ...,m), abbiamo che:

E [X] = µX =m∑

k=1

πkXk (A11)

mentre nel caso di variabile casuale continua, indicando con f(X) la pdf abbiamo

che:

E [X] = µX =

∫ +∞

−∞f(X)XdX. (A12)

Elenchiamo adesso alcune utili proprieta del valore atteso di X:

⊗ presa una costante a, allora E[a] = a;

⊗ prese due costanti a e b, allora E[a+ bX] = a+ bE [X].

• Varianza e deviazione standard: la varianza di X, indicata con var(X) o σ2X ,

e la derivata deviazione standard, indicata con σX , misurano la dispersione della

distribuzione di X calcolata tramite il valore atteso del quadrato degli scarti dalla

media, ossia:

var(X) = σ2X = E[(X − µX)2] (A13)

mentre la deviazione standard e pari a :

σX =

√E[(X − µX)2]. (A14)

Per una variabile discreta abbiamo quindi che:

var(X) = σ2X =

m∑

k=1

πk (Xk − µX)2 (A15)

mentre per una variabile continua:

var(X) = σ2X =

∫ +∞

−∞f(X) (X − µX)2 dX. (A16)

Elenchiamo adesso alcune utili proprieta della varianza di X:

31


⊗ la varianza di una costante a e pari a zero, ossia var(a) = 0;

⊗ var(X) = E[(X − µX)2] = E[X2]− µ2X ;

⊗ prese due costanti a e b, allora var(a+ bX) = b2var(X).

• Covarianza fra due variabili casuali: prese due variabili causali X ed Y abbiamo

che la loro covarianza, indicata con cov(X, Y ) o σXY , e definita come:

cov(X, Y ) = σXY = E [(X − µX) (Y − µY )] = E [XY ]− µXµY . (A17)

Elenchiamo adesso alcune utili proprieta della covarianza di X e Y :

⊗ se X ed Y sono indipendenti allora E[XY ] = µXµY (per definizione stessa di

indipendenza fra X ed Y ), e quindi cov(X, Y ) = 0;

⊗ prese quattro costanti a, b, c e d, allora cov (a+ bX, c+ dY ) = bdcov(X, Y )

• Coefficiente di correlazione: analogamente a quanto gia visto in precedenza,

date due variabili casuali X e Y , e possibile definire il coefficiente di correlazione

fra X ed Y , ρXY , come:

ρXY =σXYσXσY

(A18)

che e compreso nell’intervallo [−1, 1].

• Varianza di somma di variabili casuali: presi X e Y e due costanti a e b, allora:

var (aX + bY ) = a2var(X)+b2var(Y )+2abcov(X, Y ) = a2σ2X+b2σ2

Y +2abρXY σXσY .

(A19)

Notiamo che se X ed Y sono indipendenti allora ρXY = 0 e quindi var(aX + bY ) =

a2σ2X + b2σ2

Y . Inoltre, e possibile generalizzare l’Espressione (A19) al caso di somma

di J variabili casualiX(1), X(2), ..., X(J) e un vettore di parametri a(1), a(2), ..., a(J),

ossia:

var

(J∑

j=1

a(j)X(j)

)=

J∑

j=1

a(j)2σ2X(j) +

J∑

j=1

J∑

q=1,q 6=j

a(j)a(q)ρX(j)X(q)σX(j)σX(q).

(A20)

• Stimatore del valore atteso, della varianza e della covarianza da un cam-

pione casuale: nell’analisi dei dati reali si osserva, tranne in poche eccezioni, un

campione di dati e non l’universo del fenomeno che si vuole studiare. Da questo

32


campione e tuttavia possibile stimare la media, la varianza ed altre proprieta dell’u-

niverso da cui proviene, sotto l’ipotesi che il campione osservato sia stato estratto

in maniera causale dall’universo stesso.

In particolare, dato un campione causale (X1, ..., Xn) di n osservazioni estratto

dall’universo X, allora la media campionaria e lo stimatore corretto della media

dell’universo, ossia:

µX =

∑ni=1 Xi

n, (A21)

dove µX e la stima corretta della media dell’universo; lo stimatore corretto della

varianza dell’universo e invece dato da:19

σ2X =

∑ni=1 (Xi − µX)2

n− 1; (A22)

infine lo stimatore corretto della covarianza tra due variabili casuali X ed Y , dato

un campione di coppie ((X1, Y1) , ..., (Xn, Yn)), e dato da:

σX,Y =

∑ni=1 (Xi − µX) (Yi − µY )

n− 1. (A23)

Letture di approfondimento

• Bailey R.E., The Economics of Financial Markets, Cambridge University Press,

2005; Cap. 1.

• Mishkin F.S., Eakins S.G., Forestieri G., Istituzioni e mercati finanziari, Pearson,

2007; Cap. 2.

19Notiamo come lo stimatore corretto richieda di correggere la varianza del campione per un fattorepari a n/(n− 1).

33


34

Capitolo 2

Elementi di teoria delle scelte in

condizioni di incertezza

Il rischio e l’incertezza sono elementi che pervadono i mercati finanziari. Un investi-

mento finanziario, generalmente, comporta sempre che colui che lo realizza debba soppor-

tare un certo grado, piu o meno ampio, di rischio. Questo in quanto una serie di eventi,

indipendenti dai comportamenti degli investitori, potranno condizionare il rendimento as-

sociato all’investimento. Per comprendere i comportamenti dei soggetti e i fenomeni che si

osservano nei mercati finanziari e innanzitutto necessario dotarsi, dunque, di un apparato

teorico che ci consenta di analizzare le decisioni dei soggetti in condizioni di incertezza.1

In questo capitolo ci occuperemo di gettare le basi per costruire un tale approccio teorico.

Nel capitolo successivo, applicheremo (con alcuni accorgimenti) il modello qui analizzato

alle cosiddette scelte di portafoglio, cioe allo studio del mix ottimale di titoli finanziari in

cui i risparmiatori decidono (o, piu esattamente, dovrebbero decidere) di investire la loro

ricchezza.

I Definizione del problema di scelta in condizioni di incertezza

Immaginiamo un soggetto che debba fare una certa scelta, tra diverse alternative pos-

sibili, in relazione ad un evento incerto. L’incertezza consiste nel fatto che, al momento

della scelta, il soggetto non ha la possibilita di conoscere il risultato finale dell’evento.

1In seguito, i concetti di rischio e di incertezza saranno utilizzati quasi indifferentemente l’uno dall’al-tro. e importante pero sottolineare come nell’ambito della teoria economica essi abbiano spesso assuntoconnotati ben distinti. In particolare, nella sua opera del 1920 Risk, Uncertainty and Profit, l’economistaamericano Frank Knight per primo fece riferimento al concetto di “rischio” in relazione ad eventi noncerti, ma alle cui possibili realizzazioni e sensato assegnare delle probabilita, mentre accosto il concettodi “incertezza” a eventi talmente imprevedibili per cui non e in alcun modo possibile associare delleprobabilita alle loro realizzazioni. E al primo concetto che sara fatto riferimento in cio che segue.

35

I. Definizione del problema 2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA

Piu specificatamente, ipotizziamo che il soggetto possa scegliere tra diversi atti o azioni

ognuno dei quali puo produrre per lui dei risultati incerti. Ad esempio, potrebbe trattarsi

di un risparmiatore che deve decidere come investire i suoi risparmi tra diversi titoli (o

tra diverse combinazioni di titoli), non sapendo a priori quali saranno i rendimenti che

potra ottenere da essi. Per semplificare l’analisi, immaginiamo che, sebbene il soggetto

non possa sapere con certezza quale risultato si produrra in concreto, esso conosca l’in-

sieme dei possibili risultati finali o, piu specificatamente, dei livelli della sua ricchezza

finale complessiva associati a ciascun atto che puo scegliere: indichiamo con il vettore

(W1,W2, ...,Wm) gli m risultati (livelli di ricchezza finale) possibili associati ad una qual-

siasi azione appartenente all’insieme di scelta del soggetto. Ad esempio, nel caso di un

investimento finanziario, (W1,W2, ...,Wm) potrebbero rappresentare il valore complessivo

dell’investimento (che dipende ovviamente dai payoffs che l’investimento puo consentire

di ottenere) nei differenti stati di natura (o stati del mondo) che si possono verificare

ex-post, ossia al termine dell’investimento.

Ipotizziamo, inoltre, che il soggetto conosca le probabilita con cui ciascun risultato si

puo realizzare in concreto. Indichiamo con (π1, π2, ..., πm) il vettore delle probabilita: data

l’azione generica scelta dal soggetto, il risultato Wk (connesso a quell’azione) si produrra

con probabilita πk, con k = 1, 2, ...,m, che rappresenta l’indice con cui sono identificati i

differenti possibili stati di natura.

Definiamo, adesso, un concetto rilevante per l’analisi successiva, cioe quello di lotteria:

Definizione 1 (Lotteria)

Data un’azione scelta dal soggetto, la lotteria L ad essa associata e il vettore casuale

L ≡ (W1,W2, ...,Wm; π1, π2, ..., πm)

dove Wk e un risultato possibile e πk e la probabilita che, data l’azione compiuta dal

soggetto, quel risultato si verifichi (con k = 1, 2, ...,m e∑

k πk = 1).

In sostanza, per ogni azione che il soggetto puo scegliere, avremo una lotteria ad

essa associata. La lotteria riassume l’insieme dei risultati finali, e le probabilita che essi si

realizzino, connessi ad una certa azione che appartiene all’insieme di scelta del soggetto. Il

problema di scelta di quest’ultimo, quindi, puo essere impostato nei termini di scelta della

lotteria che meglio soddisfa le sue preferenze. Individuando la lotteria preferita, infatti,

e possibile individuare la scelta migliore del soggetto (quella a cui la lotteria preferita e

associata). Ovviamente, a questo punto si tratta di definire un criterio che ci consenta di

“ordinare” le lotterie in funzione delle preferenze del soggetto.

36

2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA II. Valore atteso

II Valore atteso

Da qui in poi considereremo che i risultati (W1,W2, ...,Wm) di ogni lotteria, trattandosi

di livelli di ricchezza finale, siano sempre espressi in termini monetari. Un primo semplice

modo per ordinare le lotterie e quello in base al loro valore atteso, indicato con E[W ],

che puo essere calcolato nel modo seguente:

E[W ] = W1π1 +W2π2 + ...+Wmπm =m∑

k=1

Wkπk.

Esempio 7 (Valore atteso e titoli finanziari)

Guardiamo di utilizzare il concetto di valore atteso, descritto precedentemente, per un

titolo finanziario, mettendolo in relazione con quello di tasso atteso di rendimento del

titolo, cosı come definito nel Capitolo 1 (Sezione II).2 A tale scopo, si consideri un rispar-

miatore che sta valutando la possibilita di investire i suoi risparmi nel titolo azionario

della societa “X”. Al momento dell’investimento, gli analisti finanziari prevedono che tra

un anno il prezzo dell’azione “X” possa valere 1, 20 euro con probabilita 13, 1, 50 euro con

probabilita 13

e 1, 80 euro con probabilita 13. Se l’investitore acquistasse oggi 100 azioni

della societa “X” per rivenderle tra un anno, quale sarebbe il valore atteso della ricchezza

finale prodotta dall’investimento sulla base delle previsioni degli analisti (e previsto che

nel corso dell’anno non vengono distribuiti dividendi)? Inoltre, se oggi il prezzo dell’azio-

ne e pari a 0, 90 euro, qual’e il tasso atteso di rendimento dell’investimento da oggi a un

anno?

Consideriamo che nel caso dei titoli finanziari, il generico risultato Wk in termini di

ricchezza finale, che un risparmiatore ottiene ad una certa data dal possesso dei titoli,

e pari al prodotto tra il prezzo (o piu in generale il payoff) del titolo a quella data e il

numero di unita di quel titolo possedute dall’investitore. Nel nostro esempio, indicando

con x la quantita delle azioni acquistate dall’investitore e con vk il prezzo dell’azione

all’atto del disinvestimento (che puo variare in base allo stato del mondo che si realizza),

avremo quindi che Wk = vkx. Tenendo, inoltre, conto che, al momento dell’investimento,

le previsioni degli analisti individuano tre possibili “scenari” le cui rispettive probabilita

sono π1 = π2 = π3 = 13, applicando la formula del valore atteso, otteniamo:

E[W ] = 120

(1

3

)+ 150

(1

3

)+ 180

(1

3

)= 150.

2Per semplificare il testo, rispetto alle definizioni del Capitolo 1, di seguito, per il tasso atteso direndimento non viene riportato l’indice temporale e quello che identifica il particolare titolo.

37

II. Valore atteso 2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA

Per calcolare il tasso atteso di rendimento possiamo fare riferimento alla formula in-

dividuata nella Sezione II del Capitolo 1 (E[r] = (E[v] − p)/p). In particolare, tenendo

conto delle probabilita con cui i vari payoff (prezzi) vk si realizzano avremo che:

E[r] =

[(1, 20)

(13

)+ (1, 50)

(13

)+ (1, 80)

(13

)]− 0, 90

0, 90' 0, 66 = 66%.

Si noti, infine, che chiaramente saremmo arrivati allo stesso risultato facendo riferi-

mento, anziche ai valori unitari E[v] e p, ai corrispondenti valori complessivi, ossia al

valore atteso della ricchezza finale derivante dall’investimento E[W ] = E[v]x e la ric-

chezza iniziale investita, che possiamo indicare come W = px, utilizzando la formula

E[r] = (E[W ]−W )/W . Infatti:

E[r] =150− 90

90' 0, 66 = 66%.

Definito il concetto di valore atteso di una lotteria, potremmo essere tentati di affer-

mare che cio e tutto quello che ci serve per ordinare differenti lotterie secondo le preferenze

dei soggetti. Ciascun soggetto potrebbe preferire la lotteria che, rispetto a tutte le altre,

garantisce il valore atteso piu alto. Tale ragionamento, in generale, non e corretto in

quanto non e in grado di tener conto del differente atteggiamento nei confronti del

rischio da parte dei soggetti.

Immaginiamo le due seguenti lotterie: L′ = (−900, 300, 900; 13, 1

3, 1

3) e L′′ = (50, 150; 1

2, 1

2).

Entrambe le lotterie hanno lo stesso valore atteso, pari a 100, e quindi potremmo essere

tentati di affermare che siano tra loro indifferenti per i vari soggetti. Peraltro, le due lot-

terie sono tra loro ben diverse. Nella prima esiste una probabilita positiva di ottenere sia

un risultato positivo elevato, sia un risultato sempre positivo ma piu contenuto. Al tempo

stesso, pero, esiste una probabilita non trascurabile di ottenere un risultato fortemente

negativo (−900 con probabilita 13). Nella seconda lotteria, invece, vi e una probabilita pari

al 50% di ottenere un risultato positivo piu o meno elevato, ma comunque relativamente

modesto. In altri termini, a parita di valore atteso, L′ e molto piu rischiosa di L′′; d’altro

canto L′ puo consentire al soggetto dei risultati che con L′′ non e assolutamente in grado

di raggiungere. In virtu di cio, e lecito aspettarsi che ci siano soggetti che preferiscano

L′ a L′′, altri soggetti che preferiscono L′′ a L′, e altri ancora per cui le due lotterie sono

effettivamente equivalenti. Inoltre, sebbene la lotteria L′ abbia un valore atteso stretta-

mente positivo, e del tutto probabile che vi siano soggetti non disposti a “giocare” L′, in

quanto assolutamente contrari alla possibilita che si verifichi un risultato negativo pari a

−900. Questi ultimi soggetti, inoltre, potrebbero perfino preferire alla lotteria L′ un’altra

lotteria molto simile a L′′, ma con un valore atteso leggermente piu basso (ad esempio, la

lotteria L′′′ = (50, 149; 12, 1

2)).

38

2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA III. Utilita attesa

In conclusione, la scelta dei soggetti dipendera anche (soprattutto) dalla loro propen-

sione ad accettare il rischio e il solo criterio del valore atteso, come abbiamo dimostrato,

non e assolutamente in grado di cogliere tale aspetto. Un altro famoso esempio che rias-

sume l’inadeguatezza del concetto di valore atteso come base per descrivere le scelte dei

soggetti in condizioni di incertezza fu proposto per la prima volta dal matematico svizzero

Daniel Bernoulli ed e noto con il nome di Paradosso di San Pietroburgo.

Esempio 8 (Paradosso di San Pietroburgo)

Supponiamo di partecipare al seguente gioco (lotteria). Si lancia una moneta non truccata,

per cui la probabilita che esca testa (croce) e pari a 1/2, fino a che non esce testa. La prima

volta che esce testa si smette di lanciare la moneta e si determinano i premi nel modo

seguente: se esce testa al primo lancio si vince una somma pari a 2 (euro, ad esempio).

Se esce testa al secondo lancio si ottiene una somma pari a 22 = 4. Se esce testa al terzo

lancio si ottiene 23 = 8, al quarto lancio 24 = 16 e cosı via. Poiche, se necessario, la

moneta viene lanciata un numero infinito di volte, i lanci sono indipendenti tra loro e la

probabilita che esca testa e 1/2, il valore atteso della vincita di questa lotteria e pari a:

2

(1

2

)+ 22

(1

2

)2

+ 23

(1

2

)3

+ ... = 1 + 1 + 1 + ... =∞.

In sostanza, poiche il valore atteso della vincita di questo gioco e infinito, se un soggetto

facesse le sue scelte esclusivamente sulla base del valore atteso, dovrebbe essere disposto

a pagare una grande somma di denaro pur di partecipare a questa lotteria. In realta,

ovviamente, le persone non sono disposte a pagare una grande somma di denaro per

partecipare ad un gioco, come quello appena descritto, che da loro una probabilita molto

piccola di vincere una grande somma di denaro.

III Utilita attesa

Per ovviare ai problemi connessi al valore atteso, descritti precedentemente, si puo

fare riferimento al concetto di utilita attesa, che rappresenta l’ipotesi di comporta-

mento maggiormente utilizzata dagli economisti nell’analisi delle scelte in condizioni di

incertezza. La teoria dell’utilita attesa von Neumann-Morgenstern (VNM), dal nome del

matematico John von Neumann e da quello dell’economista Oskar Morgenstern che per

primi l’hanno elaborata,3 afferma che le preferenze dei soggetti rispetto a certe azioni,

3Von Neumann e Morgenstern elaborarono tale teoria nel 1944 nel loro libro Theory of Games andEconomic Behavior come teoria normativa, cioe come una teoria che definisce le scelte ottimali degliagenti in condizioni di incertezza, date certe ipotesi di comportamento. Peraltro, tale approccio vienespesso utilizzato (compreso nell’ambito dei mercati finanziari) come teoria positiva, cioe come teoria chedescrive gli effettivi comportamenti degli agenti. In tale prospettiva, peraltro, essa non e esente da critiche

39

III. Utilita attesa 2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA

o lotterie che le rappresentano, possono essere rappresentate tramite una funzione che

assegna alla generica lotteria L un valore, indicato con U(L), dato da:

U(L) = u(W1)π1 + u(W2)π2 + ...+ u(Wm)πm =m∑

k=1

u(Wk)πk (2.1)

dove u(Wk) e la funzione che associa un dato livello di utilita alla generica somma di

denaro (livello di ricchezza finale) Wk ottenuta con certezza.4 In base all’ipotesi di utilita

attesa VNM, date due lotterie qualsiasi L′ e L′′, un soggetto preferira (strettamente) la

prima lotteria alla seconda se e solo se l’utilita attesa che egli attribuisce alla prima lotteria

e maggiore di quella che attribuisce alla seconda, ossia se e solo se vale U(L′) > U(L′′).

Come emerge chiaramente dall’Equazione (2.1), con il criterio dell’utilita attesa cio

che conta per attribuire un “valore” alla lotteria L non e semplicemente il suo valore

atteso (ossia la media ponderata, in base alle rispettive probabilita, dei risultati della

lotteria), ma si deve tener conto anche di come e fatta la funzione u. Come vedremo,

e proprio tale funzione, che puo differire da soggetto a soggetto, che consentira di tener

conto dell’atteggiamento nei confronti del rischio, nell’ambito del processo con cui vengono

valutate e ordinate le varie lotterie. In particolare, U(L) e una funzione lineare ponderata

dell’utilita che i soggetti percepiscono in condizioni di certezza, in generale u(W ), dove i

pesi sono dati dalle probabilita associate ai vari risultati. In altri termini, essa esprime

l’aspettativa dei soggetti sull’utilita che otterranno dall’esito finale della lotteria; per tale

motivo, in cio che segue, sara anche indicata con E[u(W )] (cioe U(L) ≡ E[u(W )], per cui,

di qui in avanti, U(L) e E[u(W )] saranno utilizzati indifferentemente per indicare l’utilita

attesa della lotteria considerata).5

III.A Atteggiamento nei confronti del rischio

Una volta definita la funzione di utilita attesa VNM che rappresenta le preferenze

dei soggetti su lotterie, ossia su alternative incerte, e necessario approfondire la forma e

e contraddizioni come sara ampiamente discusso nel Capitolo 9.4E opportuno ribadire ulteriormente la differenza sostanziale che esiste tra le funzioni U e u. Mentre

la funzione di utilita attesa U e definita su un “bene” incerto quale una lotteria, ossia esprime l’utilitache un soggetto ottiene “giocando” la lotteria L, la funzione di utilita u e definita su un “bene” certoquale una somma di denaro, ossia esprime l’utilita che un soggetto ottiene disponendo con certezza dellasomma Wk, che rappresenta un risultato possibile della lotteria L.

5Analogamente a quanto studiato nel corso di microeconomia per la funzione di utilita del consumatorenei problemi di scelta in condizioni di certezza, l’esistenza della funzione di utilita attesa VNM si fondasu alcune ipotesi, o assiomi, relativi al comportamento dei soggetti. Inoltre, e possibile dimostrare chetale funzione e unica a meno di trasformazioni affini positive. Non ci concentreremo qui su tali aspetti,che esulano in larga parte dai nostri scopi, per i quali rimandiamo il lettore interessato ad un manuale dimicroeconomia (es. Kreps (1993, Cap. 3)).

40


le proprieta della funzione u(W ), soprattutto per quanto concerne la predisposizione dei

soggetti ad accettare il rischio.

Innanzitutto, poiche stiamo considerando i risultati delle lotterie come livelli di ricchez-

za finale espressi in termini monetari, generalmente si suppone che la funzione in questione

sia sempre crescente; formalmente, avremo sempre che u′(W ) = du(W )/dW > 0. Piu

interessante e analizzare la curvatura della funzione (ossia se cresca piu o meno propor-

zionalmente rispetto ai risultati) dal momento che cio esprime proprio l’atteggiamento

nei confronti del rischio dei vari soggetti. Prima di fare questo, e opportuno definire due

concetti che saranno utili nell’analisi successiva: quello di equivalente certo e quello di

premio per il rischio.

Definizione 2 (Equivalente certo)

Data una lotteria L, si definisce equivalente certo di L il risultato CEL che, se ottenuto

con certezza, fornisce un’utilita esattamente uguale all’utilita attesa di L, ossia

u(CEL) = E[u(W )]. (2.2)

La definizione di equivalente certo implica un confronto tra risultati certi ed incerti.

Infatti, per un soggetto, “partecipare” ad una lotteria comporta sempre l’assunzione di un

certo grado di rischio. L’equivalente certo ci dice quale sarebbe la situazione non rischiosa

che sarebbe per lui indifferente a partecipare alla lotteria.

Definizione 3 (Premio per il rischio)

Data una lotteria L, si definisce premio per il rischio la somma PRL per cui risulta

u(E[W ]− PRL) = E[u(W )]. (2.3)

Anche l’intuizione che sta dietro al concetto di premio per il rischio e relativamente

semplice. Se il soggetto gioca la lotteria L sa che otterra in media un risultato pari a

E[W ], ma potrebbe anche ottenere un risultato peggiore (o migliore). La questione che

si puo dunque porre e la seguente: quale somma massima il soggetto e disposto a pagare

per “assicurarsi” e ottenere il valore medio (atteso) della lotteria con certezza anziche

“partecipare” alla lotteria? Tale somma e proprio quella rappresentata dal premio per il

rischio.

Si noti, infine, un ultimo aspetto rilevante connesso alle definizioni di equivalente certo

e premio per il rischio. Considerando congiuntamente le Equazioni (2.2) e (2.3) notiamo

che u(CEL) = u(E[W ] − PRL), che implica CEL = E[W ] − PRL o, equivalentemente,

PRL = E[W ]−CEL.6 In sostanza, il premio per il rischio associato ad una lotteria L e dato

6Tecnicamente, cio richiede che la funzione u sia invertibile, il che e assicurato dal fatto che u e unafunzione monotona crescente (u′(W ) > 0).

41


dalla differenza tra il valore atteso della lotteria e il suo equivalente certo (nell’Appendice

A.1 in fondo al capitolo viene fornita una derivazione matematica piu dettagliata del

premio per il rischio associato a una data lotteria).

Avversione al rischio

Partiamo dall’analisi del comportamento di un soggetto che non ama il rischio; piu

tecnicamente si parla in questo caso di soggetto avverso al rischio. Immaginiamo, come

esempio di riferimento, la seguente lotteria con due possibili risultati: L = (W1,W2; π1, π2),

con W1 < W2. Indichiamo, inoltre, con µL il valore atteso della lotteria, ossia µL ≡E[W ] = W1π1 + W2π2. In relazione alla lotteria in questione, la funzione di utilita di un

soggetto avverso al rischio e rappresentata graficamente in Figura 2.1. Si noti subito la

forma della funzione u(W ), che, come specificato in precedenza, esprime l’utilita del sog-

getto in corrispondenza di risultati certi. Tale funzione, oltre ad essere sempre crescente

(in quanto u′(W ) > 0), ha una curvatura concava verso il basso; di seguito capiremo

perche e soprattutto le implicazione che ne derivano.

u (W )

W

u (W )

W1 W2

u (W2)

u (W1)

CELµL

u (µL)

u (CEL) = E [u (W )]

a

e

b

d

c

Figura 2.1: Avversione al rischio

In particolare, u(W1) e u(W2), sull’asse delle ordinate, rappresentano l’utilita che il

nostro soggetto otterrebbe potendo disporre con certezza delle somme di denaro W1 e W2,

rispettivamente. u(µL), che equivale a u(E[W ]), rappresenta invece l’utilita che il soggetto

42


otterrebbe ottenendo una somma certa pari al valore atteso della lotteria L.7 Ma come

si trova il valore che il soggetto attribuisce alla lotteria L? Ossia, in altri termini, come

si trova l’utilita attesa E[u(W )] (o U(L)) che il soggetto avverso al rischio attribuisce alla

possibilita di “giocare” la lotteria L? Per rispondere a questa domanda, consideriamo, in

Figura 2.1, il segmento che unisce i punti a e c, corrispondenti ai livelli di utilita u(W1)

e u(W2). Indichiamo, poi, con d il punto su tale segmento in corrispondenza, sull’asse

delle ascisse, del valore atteso della lotteria, µL. L’utilita attesa attribuita dal soggetto

(avverso al rischio) alla lotteria L, indicata con E[u(W )], si trova sull’asse delle ordinate

proprio in corrispondenza del punto d. Si notino i seguenti aspetti.

1. Poiche risulta E[u(W )] < u(µL) (o, equivalentemente, E[u(W )] < u(E[W ])) l’utilita

attesa che un soggetto avverso al rischio ottiene giocando una lotteria il cui valore

atteso e µL e inferiore all’utilita che avrebbe ottenuto potendo disporre con certezza

di una somma esattamente pari al valore atteso della lotteria (tale utilita corrispon-

de, sull’asse delle ordinate in Figura 2.1, al punto b). In sostanza, l’avversione al

rischio esprime la preferenza per la certezza a scapito della dispersione della ricchez-

za. E importante sottolineare come tale risultato dipenda strettamente dalla forma

concava della funzione u(W );8 cio dunque spiega il perche si utilizzi una funzione

u fatta in questo modo per rappresentare le preferenze di un soggetto avverso al

rischio.

2. In Figura 2.1 e anche riportato sull’asse delle ascisse, con CEL, l’equivalente certo

associato alla lotteria L. In base alla Definizione 2, esso rappresenta la somma

certa che fornisce un livello di utilita, sull’asse delle ordinate, tale per cui risulta

u(CEL) = E[u(W )] (utilita corrispondente al punto e sulla funzione u(W )). Si

noti che, in questo caso, l’equivalente certo e inferiore al valore atteso della lotteria

(CEL < µL). In virtu di cio, considerando la definizione di premio per il rischio

(PRL = µL − CEL), si puo anche affermare che, nel caso di soggetti avversi al

rischio, il premio per il rischio e positivo (PRL > 0).

In conclusione, possiamo riassumere questa sezione con la seguente definizione generale

di soggetto avverso al rischio individuando, successivamente, le tre condizioni equivalenti

che contraddistinguono tale atteggiamento nell’ambito dell’approccio teorico dell’utilita

7Ovviamente, sull’asse delle ascisse µL si colloca tra W1 e W2, trattandosi di una loro media ponderata.8Infatti, dati due numeri reali W1 e W2 e fissati 0 ≤ π1, π2 ≤ 1, con π1 + π2 = 1, una funzione

u si definisce (strettamente) concava se risulta π1u(W1) + π2u(W2) < u(π1W1 + π2W2). Si noti che,nel nostro caso, il termine di sinistra della disuguaglianza (nota anche come disuguaglianza di Jensen)corrisponde all’utilita attesa associata alla lotteria (E[u(W )]), mentre il termine di destra corrispondeall’utilita associata al valore atteso della lotteria (u(E[W ])).

43


attesa VNM (nell’Appendice A.1 in fondo al capitolo sono discusse piu dettagliatamente

alcune misure di avversione al rischio dei soggetti).

Definizione 4 (Avversione al rischio)

Un soggetto si definisce avverso al rischio ogni qual volta l’utilita che ottiene da un

risultato certo e maggiore dell’utilita attesa di una lotteria con lo stesso risultato (valore)

atteso.

Le condizioni che individuano un soggetto avverso al rischio sono le seguenti:

• la funzione di utilita sui risultati certi e concava (formalmente, u′′(W ) < 0);

• l’equivalente certo di una qualsiasi lotteria e inferiore al suo valore atteso;

• il premio per il rischio e positivo.

Esempio 9 (Utilita attesa con soggetto avverso al rischio)

Ad un soggetto viene offerto un titolo finanziario che si prevede possa produrre una

ricchezza finale pari a 64 euro con probabilita 12

e 100 euro con probabilita 12. Il soggetto e

avverso al rischio e le sue preferenze sono rappresentate dalla funzione di utilita u(W ) =√W . Si determini l’utilita attesa del titolo per il soggetto, il suo equivalente certo e il

premio per il rischio.

L’acquisto del titolo corrisponde all’acquisto di una lotteria L = (64, 100; 12, 1

2), per cui

l’utilita attesa che il soggetto ottiene e:

E[u(W )] =1

2u(64) +

1

2u(100) =

1

2

√64 +

1

2

√100 = 4 + 5 = 9.

Per calcolare l’equivalente certo occorre individuare quella somma certa CEL che

fornisce al soggetto un’utilita pari a quella attesa dalla lotteria, ossia per cui risulta:

u(CEL) =√CEL = 9.

Tale somma e ovviamente CEL = 92 = 81.

Infine, il premio per il rischio PRL non e altro che la differenza tra il valore atteso del

titolo ed il suo equivalente certo, per cui:

PRL = E[W ]− CEL =1

2(64) +

1

2(100)− 81 = 82− 81 = 1.

Neutralita al rischio

Consideriamo la stessa lotteria L della sezione precedente, ma analizziamo adesso il

caso di un soggetto ne avverso, ne amante del rischio: tecnicamente si parla in questo caso

44


di soggetto neutrale al rischio. In questo caso, la sua funzione di utilita e rappresentata

graficamente in Figura 2.2.

u (W )

W

u (W )

W1 W2

u (W2)

u (W1)

µL = CEL

u (µL) = u (CEL) = E [u (W )]

Figura 2.2: Neutralita al rischio

Come e possibile notare, la funzione u(W ) adesso e lineare. Cio comporta che il sog-

getto sia indifferente tra ricevere una somma certa µL oppure giocare la lotteria L, il cui

risultato atteso e µL. Formalmente, E[u(W )] = u(µL) (o E[u(W )] = u(E[W ])). Inoltre,

proprio per questo motivo, l’equivalente certo associato alla lotteria coincide esattamente

con il suo valore atteso (CEL = µL) e il premio per il rischio e nullo (PRL = 0). Analoga-

mente a quanto fatto per un soggetto avverso al rischio, tutto cio puo essere sintetizzato

come segue.

Definizione 5 (Neutralita al rischio)

Un soggetto si definisce neutrale al rischio ogni qual volta l’utilita che ottiene da un

risultato certo e esattamente uguale all’utilita attesa di una lotteria con lo stesso risultato

(valore) atteso.

Le condizioni che individuano un soggetto neutrale al rischio sono le seguenti:

• la funzione di utilita sui risultati certi e lineare (formalmente, u′′(W ) = 0);

• l’equivalente certo di una qualsiasi lotteria e uguale al suo valore atteso;

• il premio per il rischio e nullo.

Esempio 10 (Utilita attesa con soggetto neutrale al rischio)

Si riprenda l’Esempio 9, ma assumiamo adesso che il soggetto sia neutrale al rischio: le sue

preferenze sono rappresentate dalla funzione di utilita u(W ) = W . Si determini l’utilita

attesa del titolo per il soggetto, il suo equivalente certo ed il premio per il rischio.

45


L’utilita attesa, che coincide adesso con il valore atteso della lotteria associata al titolo

finanziario, e data da:

E[u(W )] =1

2u(64) +

1

2u(100) =

1

2(64) +

1

2(100) = 32 + 50 = 82.

L’equivalente certo CEL che fornisce al soggetto un’utilita pari a quella attesa dalla

lotteria risulta adesso:

u(CEL) = CEL = 82.

Tale somma coincide con il valore atteso del titolo (E[W ] = CEL), per cui il premio

per il rischio PRL e pari a zero.

Propensione al rischio

L’ultimo caso da considerare e quello di un soggetto amante del rischio, ossia quello

che e tecnicamente definito soggetto propenso al rischio. L’andamento della funzione

di utilita nel caso di propensione al rischio e presentata in Figura 2.3.

Come era logico attendersi, questo caso e l’esatto contrario di quello con avversione al

rischio. In primo luogo, la funzione u(W ) per un soggetto propenso al rischio e convessa

verso il basso. Il soggetto preferisce, quindi, giocare la lotteria L piuttosto che ottenere con

certezza µL. Formalmente, E[u(W )] > u(µL) (o E[u(W )] > u(E[W ])). Cio ovviamente ha

perfettamente senso. Soggetti amanti del rischio preferiranno “giocarsi” la possibilita di

disporre di una somma elevata piuttosto che accontentarsi di una somma certa inferiore,

anche se questo gli espone al rischio di rimanere alla fine con una somma molto bassa di

quella certa. Inoltre, con propensione al rischio, l’equivalente certo associato alla lotteria

e maggiore del suo valore atteso (CEL > µL), ossia il premio per il rischio e negativo

(PRL < 0). Anche questo e facilmente spiegabile: mentre nel caso di avversione al rischio

il soggetto, pur di ottenere una somma certa, e disposto a pagare un premio per eliminare

il rischio associato alla lotteria, un soggetto propenso al rischio, viceversa, chiede lui di

essere pagato (premio negativo) per privarsi del rischio insito nella lotteria.

Definizione 6 (Propensione al rischio)

Un soggetto si definisce propenso al rischio ogni qual volta l’utilita che ottiene da un

risultato certo e inferiore all’utilita attesa di una lotteria con lo stesso risultato (valore)

atteso.

Le condizioni che individuano un soggetto propenso al rischio sono le seguenti:

• la funzione di utilita sui risultati certi e convessa (formalmente, u′′(W ) > 0);

46


• l’equivalente certo di una qualsiasi lotteria e superiore al suo valore atteso;

• il premio per il rischio e negativo.

u (W )

W

u (W )

W1 W2

u (W2)

u (W1)

CELµL

u (µL)

u (CEL) = E [u (W )]

Figura 2.3: Propensione al rischio

Esempio 11 (Utilita attesa con soggetto propenso al rischio)

Riprendiamo nuovamente l’Esempio 9, ma consideriamo adesso un soggetto propenso al

rischio con preferenze rappresentate dalla funzione di utilita u(W ) = W 2. Si determini

l’utilita attesa del titolo per il soggetto, il suo equivalente certo ed il premio per il rischio.

Data la funzione utilita u(W ) = W 2, l’utilita attesa che ottiene il soggetto e:

E[u(W )] =1

2u(64) +

1

2u(100) =

1

2(64)2 +

1

2(100)2 = 2048 + 5000 = 7048.

Per calcolare l’equivalente certo corrispondente al titolo occorre individuare quella

somma certa CEL che soddisfa:

u(CEL) = (CEL)2 = 7048.

Tale somma e CEL =√

7048 ' 83, 95.

Il premio per il rischio PRL, infine, e (come ci si attendeva) negativo in quanto pari

a:

PRL = E[W ]− CEL ' 82− 83, 95 ' −1, 95.

47

IV. Domanda di assicurazione 2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA

IV Avversione al rischio e domanda di assicurazione

Come abbiamo illustrato precedentemente, pur di ottenere una somma certa piutto-

sto che quella incerta associata alla lotteria, il soggetto avverso al rischio e disposto a

pagare una somma positiva (il premio per il rischio). In questa sezione affronteremo piu

dettagliatamente tale questione, analizzando come tutto cio si traduca nella domanda di

assicurazione (o di titoli assicurativi) che un tale soggetto chiede al mercato per far fronte

all’incertezza legata al futuro.

Immaginiamo un soggetto avverso al rischio che in un dato istante temporale t disponga

di una data ricchezza pari a W . Supponiamo che esista una probabilita positiva π che il

soggetto subisca un certo evento dannoso che produca per lui una perdita di un ammontare

monetario pari a D, cosı che la sua ricchezza complessiva possa diventare W −D al tempo

t+1. Il soggetto puo pero rivolgersi al mercato per assicurarsi contro l’evento dannoso. In

particolare, puo “acquistare” unita di denaro come rimborso al tempo t+1 condizionato al

verificarsi dell’evento dannoso. Indichiamo con w le unita di denaro/rimborso acquistate

dal soggetto (che esprimono, quindi, l’entita della copertura assicurativa contro l’evento

dannoso) e assumiamo che ognuna di esse abbia un prezzo pari a 0 < p < 1.9 Il problema

da analizzare concerne, quindi, la scelta ottimale di w da parte del nostro soggetto.

A tale scopo, consideriamo innanzitutto quali sono i risultati per il soggetto in corri-

spondenza dei due eventi possibili: quello in cui il danno si verifica e quello in cui non

si verifica. Immaginando che il soggetto si assicuri per una somma generica w, nel caso

si verifichi il danno, il risultato (o ricchezza finale) che ottiene e W − D + w − pw (la

ricchezza che residua piu il rimborso dell’assicurazione meno il pagamento o premio assi-

curativo). Se, viceversa, il danno non si verifica, il risultato per il soggetto e W − pw (la

ricchezza iniziale meno il premio). Dati questi risultati, il soggetto scegliera l’ammontare

ottimale di copertura assicurativa in modo da massimizzare la sua utilita attesa associata

alla particolare “lotteria” che stiamo esaminando. Formalmente:

maxw

πu(W −D + w − pw) + (1− π)u(W − pw). (2.4)

La condizione del primo ordine per il problema (2.4) e data da:

π(1− p)u′(W −D + w − pw)− p(1− π)u′(W − pw) = 0

che, tramite semplici passaggi algebrici, puo essere riscritta come:10

9Ovviamente, p non puo assumere un valore maggiore di uno, altrimenti nessun soggetto avrebbeconvenienza ad assicurarsi.

10Si noti che, con soggetti avversi al rischio, la condizione del secondo ordine per il problema di massi-mizzazione, descritto dall’espressione (2.4), e sempre soddisfatta. Infatti, la condizione del secondo ordine

48

2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA IV. Domanda di assicurazione

u′(W −D + w − pw)

u′(W − pw)=p(1− π)

π(1− p) . (2.5)

A questo punto, con lo scopo di approfondire ulteriormente la questione, e opportuno

introdurre la definizione seguente:

Definizione 7 (Contratto assicurativo attuarialmente equo)

Un contratto assicurativo si definisce attuarialmente equo, o piu semplicemente equo, se

il valore atteso del rimborso per l’assicurato e pari al premio assicurativo che deve pagare

per assicurarsi.

Poiche, chiaramente, la scelta ottima del soggetto dipende da p, il prezzo dell’assicu-

razione, e importante chiedersi, a questo punto, qual’e il prezzo che rende il contratto (o

titolo) assicurativo equo per il soggetto. In effetti, dal punto di vista del soggetto, possia-

mo considerare il titolo assicurativo come una lotteria con risultati w−pw (rimborso meno

pagamento iniziale), nel caso di danno, e −pw (perdita pari al pagamento) nel caso in cui

il danno non si verifichi; formalmente, tale lotteria puo essere rappresentata dal seguente

vettore (w − pw,−pw; π, 1 − π). Posta la questione in questi termini, e semplice adesso

individuare il valore di p che rende equo il titolo assicurativo. Esso e dato da p = π: il

prezzo di un’unita di denaro ottenuto come rimborso per il verificarsi dell’evento dannoso

deve essere pari alla probabilita che l’evento dannoso si verifichi.11

Assumiamo che il contratto assicurativo sia equo e individuiamo la scelta ottima di w

(la copertura assicurativa) da parte del soggetto. A tale scopo, notiamo che con p = π il

lato destro della condizione espressa dall’Equazione (2.5) e pari a uno. Di conseguenza,

affinche tale condizione sia soddisfatta, anche il rapporto che si trova al lato sinistro deve

essere uguale a uno. Cio comporta12 che W −D+w− pw = W − pw, che, a sua volta, e

soddisfatta per w = D. Qualunque soggetto avverso al rischio decide sempre di assicurarsi

completamente contro il rischio di un evento dannoso, se il contratto di assicurazione che

gli viene offerto e attuarialmente equo.

Potendo stipulare contratti assicurativi equi, chi e avverso al rischio decide sempre

per un’assicurazione che copre completamente il danno e, cosı facendo, stabilizza la sua

ricchezza.13 Infatti, e facile calcolare come, con assicurazione completa, la ricchezza finale

e data da π(1− p)2u′′(W −D+w− pw) + p2(1−π)u′′(W − pw) < 0, che e sempre soddisfatta per u′′ < 0(soggetto avverso al rischio).

11Dal punto di vista della compagnia di assicurazione che offre il titolo assicurativo, un prezzo p = πimplica un profitto atteso nullo: cio equivale all’ipotesi di concorrenza perfetta nel settore assicurativo.

12Si ricordi che la funzione u e sempre strettamente concava.13Una copertura assicurativa non totale da parte di soggetti avversi al rischio, che si puo osservare

frequentemente nella realta, puo essere spiegata in vari modi. Ad esempio, e facile verificare che se ilcontratto non e equo, perche risulta p > π, il soggetto, sebbene avverso al rischio, sceglie un livellodi copertura assicurativa solo parziale (w < D). Anche gli aspetti connessi alla presenza di asimmetrie

49

IV. Domanda di assicurazione 2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA

(al tempo t+1) del soggetto sia costante, e pari a W −pw, indipendentemente dall’evento

che si produce in concreto. Cio avviene, di fatto, perche acquistando il titolo assicurativo

il soggetto sfrutta un effetto di diversificazione: per lui, infatti, il “rendimento” del titolo

e positivo quando si verifica l’evento negativo (il danno) e negativo quando si ha l’evento

positivo (il danno non si realizza). e proprio sottoponendosi a due fonti di rischio correlate

negativamente che egli riduce il suo rischio complessivo. Tale questione diventa centrale

per la scelta dei titoli nei mercati finanziari (le cosiddette scelte di portafoglio), che sara

introdotta nella sezione seguente e analizzata piu dettagliatamente nel Capitolo 3.

Esempio 12 (Domanda di assicurazione)

Si consideri un soggetto avverso al rischio la cui funzione di utilita assume la forma

seguente: u(W ) =√W . Tale soggetto dispone di una ricchezza iniziale pari a 100 euro,

ma esiste la possibilita che un evento dannoso (ad esempio, un furto) possa ridurla a

30 euro. Supponiamo che la probabilita con cui il danno si verifichi sia stimata al 30%.

Supponiamo che per ogni euro di copertura assicurativa che il soggetto puo acquistare da

una compagnia di assicurazione, sia richiesto il pagamento di un premio di 0, 40 euro. Per

quanto sceglie di assicurarsi il nostro soggetto?

Per rispondere alla domanda, consideriamo che, data la funzione di utilita u(W ) =√W , con un certo livello w di copertura assicurativa, se il danno si verifica (con probabilita

π = 0, 3), il nostro soggetto ottiene una ricchezza finale pari a 30+w−0, 4w = 30+0, 6w,

a cui corrisponde un’utilita data da√

30 + 0, 6w. Viceversa, se il danno non si verifica

(con probabilita (1 − π) = 0, 7), il soggetto ottiene una ricchezza finale 100 − 0, 4w, a

cui corrisponde un’utilita pari a√

100− 0, 4w. Quindi, applicando l’Equazione (2.5), con

semplici passaggi algebrici otteniamo:

√100− 0, 4w√30 + 0, 6w

=0, 4(0, 7)

0, 3(0, 6)

che implica 18√

100− 0, 4w = 28√

30 + 0, 6w (dove entrambi i termini sono stati mol-

tiplicati per cento). Elevando entrambi termini al quadrato e risolvendo rispetto a w

otteniamo w = 14, 8. Il soggetto, sebbene avverso al rischio, sceglie in questo caso una

copertura assicurativa solo parziale, cioe sceglie di assicurarsi per un ammontare inferiore

all’entita del danno (14, 8 < 70). Cio era prevedibile in quanto con un premio di 0, 40 euro,

il titolo assicurativo non e una lotteria equa, bensı una lotteria attuarialmente svantag-

giosa per l’assicurato. Infatti, per avere una lotteria equa (che avrebbe spinto l’assicurato

a scegliere la copertura totale) il premio sarebbe dovuto essere pari a 0, 30 euro.

informative nei mercati possono contribuire a spiegare contratti assicurativi sottoscritti da soggetti avversial rischio con grado di copertura non totale.

50

2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA V. Scelte di portafoglio

V Utilita attesa e scelte di portafoglio

Consideriamo adesso in che modo l’apparato teorico dell’utilita attesa VNM, descritto

in precedenza, possa essere utilizzato per studiare il problema delle scelte di portafoglio.

In sostanza, tale problema consiste nell’analizzare come un soggetto investa in modo

ottimale (cioe nel modo che meglio risponde alle proprie preferenze) la ricchezza di cui

dispone in un portafoglio (o mix) di titoli o attivita finanziarie.

Indichiamo con P il generico portafoglio di investimento. Esso puo essere rappresen-

tato come un vettore (x1, x2, ..., xn), dove xi rappresenta la quantita del titolo generico i

presente nel portafoglio (con n titoli a disposizione su cui poter investire). Rappresentia-

mo, invece, con il solito vettore (W1,W2, ...,Wm) i possibili risultati (in termini ricchezza

finale) che l’investitore puo ottenere investendo la sua ricchezza iniziale in un dato por-

tafoglio. Come al solito, a tali risultati e associato il vettore (π1, π2, ..., πm), che esprime

le probabilita con cui i diversi risultati possono realizzarsi. Consideriamo, inoltre, che il

generico risultato Wk dipende, adesso, da: i) la quantita xi di ciascun titolo contenuta nel

portafoglio e ii) il payoff ottenuto dall’investitore per ciascuna unita posseduta del titolo

i. Poiche quest’ultimo valore e una variabile aleatoria, nel senso che puo variare a seconda

dell’evento che si realizza in concreto, esso sara indicato con vki. Ad esempio, se il titolo i

e un’azione, vki rappresenta il prezzo (payoff ) dell’azione in corrispondenza dell’“evento”

(possibile andamento di borsa) k. In virtu di cio, il generico risultato relativo alla ric-

chezza finale associata ad un dato portafoglio puo essere riscritto, piu specificatamente,

come:

Wk = vk1x1 + vk2x2 + ...+ vknxn =n∑

i=1

vkixi. (2.6)

Il problema dell’investitore nella scelta del portafoglio ottimale puo dunque essere

espresso nei termini seguenti:

max(x1,x2,...,xn)

E[u(W )] =m∑

k=1

πku(Wk) (2.7)

s. a:

p1x1 + p2x2 + ...+ pnxn = W. (2.8)

Il problema rappresentato dalle Espressioni (2.7) e (2.8) puo essere sintetizzato come

segue: l’investitore sceglie il portafoglio di investimento P = (x1, x2, ..., xn) in modo

da massimizzare la sua utilita attesa E[u(W )] (dove i vari Wk corrispondono a quelli

51

V. Scelte di portafoglio 2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA

dell’Espressione (2.6)) dato il vincolo (2.8). Quest’ultimo rappresenta il vincolo di bilancio

dell’investitore: la sua ricchezza iniziale, indicata con W , uguaglia la spesa complessiva

per l’acquisto del portafoglio, data da∑

i pixi (dove pi rappresenta il prezzo unitario del

titolo i). Piu in generale, il vincolo espresso dalla Condizione (2.8) deve valere con il segno

di disuguaglianza, ≤, nel senso che l’ammontare delle risorse spese dall’investitore non

puo superare le risorse a sua disposizione (la sua ricchezza iniziale); peraltro, sulla base

di certe assunzioni, in particolare quella che il soggetto preferisca sempre un’ammontare

superiore, anziche inferiore, di ricchezza finale, la disuguaglianza puo essere sostituita con

l’uguaglianza.

La soluzione del problema espresso dalle Espressioni (2.7)-(2.8) e derivata analitica-

mente nell’Appendice A.2 a questo capitolo. Qui ci limiteremo a considerare la soluzione

finale. In particolare, in corrispondenza della scelta ottima dell’investitore deve essere

soddisfatta la condizione seguente:

E[(v1/p1)u′(W )] = E[(v2/p2)u′(W )] = ... = E[(vn/pn)u′(W )]. (2.9)

L’Espressione (2.9) puo essere facilmente rappresentata in termini di tassi di rendi-

mento dei vari titoli. In effetti, tale trasformazione puo tornare utile dal momento che la

valutazione e le scelte dei diversi titoli, da parte degli investitori, si basa generalmente sui

loro tassi (attesi) di rendimento (si veda la Sezione II del Capitolo 1). Poiche il tasso di

rendimento di un generico titolo i e ri = (vi − pi)/pi, otteniamo che vi/pi = 1 + ri, per

cui l’Espressione (2.9) puo essere riscritta come:

E[(1 + r1)u′(W )] = E[(1 + r2)u′(W )] = ... = E[(1 + rn)u′(W )]. (2.10)

L’Espressione (2.10) puo essere interpretata nel modo seguente. Un soggetto che

investe un’unita addizionale della sua ricchezza nel generico titolo i ottiene un payoff

(ponderato per il prezzo del titolo) (1 + ri) che gli produce un incremento di utilita pari

a (1 + ri)u′(W ). Ovviamente, dal momento che tale incremento puo variare a seconda

dell’evento che si realizza ex-post, al momento dell’investimento il soggetto valutera l’in-

cremento atteso di utilita, rappresentato da E[(1+ri)u′(W )]. L’Espressione (2.10) indica,

appunto, che la scelta del portafoglio ottimo di investimento si ha quando il soggetto

sceglie le quantita dei diversi titoli in modo tale che l’incremento atteso di utilita (o uti-

lita marginale attesa) derivante dall’investire un’unita addizionale di ricchezza e uguale

per tutti i titoli. Perche questo? Perche se cosı non fosse, cioe se E[(1 + ri)u′(W )] fosse

maggiore per alcuni titoli e minore per altri, l’investitore non starebbe facendo la scelta

ottimale, dal momento che gli converrebbe disinvestire ricchezza dai titoli con utilita mar-

ginale attesa piu bassa per investirla nei titoli con utilita marginale attesa piu elevata.

52

2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA VI. Appendice

Cosı facendo, infatti, aumenterebbe la sua utilita attesa.

Le Condizioni (2.9) e (2.10), che sono equivalenti, costituiscono un insieme di condi-

zioni necessarie per la soluzione del problema di scelta del portafoglio di investimento da

parte di un soggetto; esse, peraltro, in generale non sono sufficienti. La sufficienza e assi-

curata dall’ipotesi di avversione al rischio (u′′(W )) dell’investitore.14 Peraltro, anche con

soggetto avverso al rischio, l’approccio seguito in questa sezione rimane troppo generale

per sviluppare considerazioni piu specifiche. A tale scopo occorre necessariamente fare

ricorso a delle forme particolari della funzione di utilita u(W ). Nel capitolo che segue ci

muoveremo in tale direzione. Cio ci permettera di scendere piu in profondita nell’analisi

delle scelte ottimali di investimento dei risparmiatori nei mercati finanziari.

VI Appendice

A.1 Derivazione matematica del premio per il rischio e misure di avversione

al rischio

Il concetto di premio per il rischio e quello, connesso, di equivalente certo di una

lotteria, introdotti in questo capitolo, si riferiscono ad una particolare funzione di utilita

u definita su risultati certi. In questa appendice, il concetto di premio per il rischio

sara derivato esplicitamente da una particolare lotteria e dalla funzione di utilita di un

soggetto. In particolare, assumiamo adesso che i risultati della lotteria L considerata siano

una variabile aleatoria continua, il cui valore atteso e E[W ] ≡ µL.

Indicando con PRL il premio per il rischio associato alla lotteria L, dalla definizione

di premio per il rischio, abbiamo che:

u(µL − PRL) = E[u(W )]. (A1)

Indichiamo adesso con W la realizzazione di una certo risultato della lotteria. Utiliz-

zando l’espansione di Taylor centrata sul valore atteso della lotteria, µL, fino al secondo

ordine otteniamo che l’utilita che il soggetto ottiene dalla realizzazione di W e:15

u(W ) ' u(µL) + (W − µL)u′(µL) +1

2(W − µL)2u′′(µL). (A2)

Sostituendo W conW , nell’espressione (A2), e calcolandone il valore atteso, otteniamo:

14In particolare, l’ipotesi di avversione al rischio garantisce che la Condizione (2.10) definisca un’unicasoluzione del problema di massimizzazione dell’utilita attesa in termini di ricchezza e un insieme disoluzioni in termini di portafoglio. Ulteriori proprieta sono richieste per l’unicita del portafoglio ottimo.

15Si noti che in cio che segue si assume che la funzione u sia due volte differenziabile. Inoltre, fer-marsi al secondo ordine dell’espansione di Taylor equivale ad assumere che la differenza tra W e µL sia“sufficientemente” piccola.

53

VI. Appendice 2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA

E[u(W )] ' u(µL) + E[W − µL]u′(µL) +1

2E[(W − µL)2]u′′(µL)

che, considerando che E[W −µL] = E[W ]−µL = µL−µL = 0 e che E[(W −µL)2] = σ2L

(dove σ2L rappresenta la varianza dei risultati della lotteria L), puo essere riscritta come:

E[u(W )] ' u(µL) +1

2σ2Lu′′(µL). (A3)

Se, come abbiamo ipotizzato finora, le differenze tra i diversi risultati della lotteria

L e il suo valore atteso, µL, sono sufficientemente piccoli, allora anche il premio per

il rischio PRL sara sufficientemente piccolo. Possiamo allora applicare l’espansione di

Taylor, sempre centrandola in µL, fino al primo ordine all’Espressione (A1) ottenendo:

u(µL − PRL) ' u(µL)− PRLu′(µL). (A4)

Considerando, dall’Equazione (A1), che u(µL−PRL) = E[u(W )], usando le Espressioni

(A3) e (A4) e risolvendo rispetto a PRL, otteniamo un’espressione analitica per il premio

per il rischio, che dipende dalla lotteria L e dalla funzione di utilita u del soggetto:

PRL ' −1

2σ2L

u′′(µL)

u′(µL). (A5)

L’Espressione (A5) indica che il premio per il rischio dipende dalla variabilita dei

risultati della lotteria (espressa da σ2L) e dal rapporto u′′(µL)/u′(µL). In particolare,

tale rapporto (che dipende dalla funzione di utilita u) esprime una misura del grado di

avversione al rischio del soggetto, definita coefficiente assoluto (Arrow-Pratt) di

avversione al rischio. Piu precisamente, tale coefficiente e dato da:

Ra(W ) = −u′′(W )

u′(W ). (A6)

In particolare, dall’Espressione (A6), si noti che se il soggetto e avverso il rischio,

per cui u′′(W ) < 0, il coefficiente (assoluto) di avversione al rischio, Ra(W ) e positivo.

Inoltre, in questo caso, dall’Espressione (A5) e possibile verificare che, come gia sapevamo,

il premio per il rischio e positivo. In sostanza, come e logico attendersi, il premio per il

rischio che un soggetto avverso al rischio e disposto a pagare per eliminare l’incertezza

associata a una data lotteria e positivo e tanto piu elevato tanto maggiore e l’incertezza

della lotteria (ossia la variabilita dei suoi risultati espressa da σ2L) e tanto piu il soggetto

e avverso al rischio (ossia tanto piu elevato e il suo coefficiente di avversione al rischio

Ra(W )). Infine, utilizzando sempre le Espressioni (A5) e (A6), e facile verificare che,

in linea con quanto gia discusso nella Sezione III.A, nel caso di soggetto propenso al

54

2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA VI. Appendice

rischio (u′′(W ) > 0) valgono considerazioni esattamente opposte rispetto a quelle per un

soggetto avverso al rischio, mentre nel caso di un soggetto neutrale al rischio (u′′(W ) = 0)

il coefficiente di avversione al rischio e pari a zero e, conseguentemente, il premio per il

rischio e nullo.

Una misura alternativa, rispetto al coefficiente assoluto di avversione al rischio, e la

seguente, definita coefficiente relativo (Arrow-Pratt) di avversione al rischio:

Rr(W ) = −W u′′(W )

u′(W ). (A7)

Il vantaggio di Rr(W ) rispetto a Ra(W ), nel misurare il grado di avversione al rischio

di un soggetto, sta nel fatto che la prima (a differenza della seconda) non dipende dalla

scelta dell’unita di misura utilizzata per misurare i risultati della lotteria.

A.2 Utilita attesa e scelte di portafoglio: derivazione matematica

La soluzione del problema di scelta di portafoglio, presentato nella Sezione V e definito

dalle Espressioni (2.7) e (2.8), comporta, in primo luogo, la costruzione della seguente

funzione Lagrangiana:

L = π1u(W1) + π2u(W2) + ...+ πmu(Wm) + λ(W − p1x1 + p2x2 + ...+ pnxn). (A8)

Tenendo conto che Wk = vk1x1 +vk2x2 + ...+vknxn, calcoliamo le derivate parziali della

Funzione (A8) rispetto alla quantita da acquistare dei diversi titoli (i vari xi) e rispetto al

termine λ, che rappresenta il moltiplicatore di Lagrange associato al vincolo di bilancio.

Otteniamo cosı le seguenti n+ 1 condizioni (necessarie) del primo ordine (n per i vari xi

e una in relazione al termine λ):

π1v11u′(W1) + π2v21u

′(W2) + ...+ πmvm1u′(Wm) = λp1

π1v12u′(W1) + π2v22u

′(W2) + ...+ πmvm2u′(Wm) = λp2

...

π1v1nu′(W1) + π2v2nu

′(W2) + ...+ πmvmnu′(Wm) = λpn

p1x1 + p2x2 + ...+ pnxn = W.

Le prime n condizioni del primo ordine possono essere riscritte, in forma piu compatta,

nel modo seguente:16

16Si noti che le condizioni del primo ordine appena definite valgono tutte con il segno di uguaglianza

55

VI. Appendice 2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA

E[viu′(W )] = λpi con i = 1, 2, ..., n.

Adesso, dividendo ambo i lati per pi, otteniamo:

E[(vi/pi)u′(W )] = λ con i = 1, 2, ..., n. (A9)

Ovviamente, poiche tutti i valori di E[(vi/pi)u′(W )] (con i = 1, 2, ..., n) devono essere

uguali ad una stessa costante λ, dall’Espressione (A9) otteniamo:

E[(v1/p1)u′(W )] = E[(v2/p2)u′(W )] = ... = E[(vn/pn)u′(W )]

che e l’Espressione (2.9), utilizzata e descritta nella Sezione V di questo capitolo.



2005; Cap. 4.

• Barucci E., Teoria dei mercati finanziari, il Mulino, 2000; Cap. 2.

• Kreps D., Corso di microeconomia, il Mulino, 1993; Cap. 3.

• Schotter A., Microeconomia, Giappichelli, 2002; Cap. 14.

sotto l’ipotesi che l’investitore possa “acquistare” una quantita anche negativa di qualche titolo. Talesituazione e resa possibile, nell’ambito dei mercati finanziari, dalla possibilita di effettuare vendite alloscoperto, cioe prendere dei titoli a prestito per venderli, impegnandosi al tempo stesso a restituirli a unacerta scadenza (tale aspetto sara discusso e analizzato piu dettagliatamente nel Capitolo 3). Se viceversala vendita di titoli allo scoperto e esclusa, altri vincoli (di non-negativita delle quantita xi) andrebberoconsiderati e non sarebbe possibile escludere che le condizioni del primo ordine valgano, per qualchetitolo, con il segno di disuguaglianza (<). Cio, in particolare, varrebbe per i titoli per cui l’investitore e“forzato” a sceglierne un ammontare nullo, mentre avrebbe preferito acquistarne un ammontare negativo(venderli allo scoperto).

56

Capitolo 3

Il modello media-varianza delle

scelte di portafoglio

Nel capitolo precedente abbiamo introdotto il problema della scelta ottimale di un

portafoglio di investimento da parte di un soggetto. In questo capitolo approfondiremo

piu nel dettaglio tale questione. In particolare, assumeremo che i soggetti, nelle scelte

dei titoli finanziari da “inserire” nei loro portafogli di investimento, preferiscano un ren-

dimento atteso piu elevato, ma non amino il rischio (cioe siano avversi al rischio). In

tali circostanze, e sulla base di certe ipotesi che analizzeremo, il problema di scelta del

portafoglio ottimo di investimento puo essere espresso in termini di massimizzazione di

una funzione di utilita che dipende esclusivamente dalla media e dalla varianza dei rendi-

menti dei vari possibili portafogli di titoli.1 Nell’ambito di tale modello, infatti, la media e

la varianza dei rendimenti esprimono le aspettative degli investitori, rispettivamente, sul

rendimento e sul rischio dei vari portafogli e sono quindi tutte le informazioni che servono

loro per effettuare la scelta del portafoglio ottimale.2

Oltre che per la sua rilevanza teorica, il modello media-varianza acquisisce anche

un’importanza pratica dal momento che, tramite adeguate tecniche statistiche, le medie,

le varianze e le covarianze (che acquisiscono anch’esse rilevanza nell’ambito del modello)

dei rendimenti delle attivita finanziarie possono essere calcolate o stimate concretamente

sulla base degli andamenti passati dei prezzi dei titoli e/o utilizzando ulteriori informazioni

disponibili. Le scelte degli investitori che studieremo in questo capitolo, quindi, possono

1L’origine e lo sviluppo del modello media-varianza per l’analisi delle scelte di portafoglio si deveall’economista americano Harry Markowitz, premiato, insieme a William Sharpe e Merton Miller, con ilNobel nel 1990 per i contributi agli studi teorici ed empirici in campo finanziario.

2Il modello media-varianza delle scelte di portafoglio, che analizzeremo in questo capitolo, si fondasu alcune ipotesi semplificatrici tra cui, in particolare, la durata uniperiodale degli investimenti (cioe,nell’ambito del periodo di tempo considerato, gli investitori scelgono un certo portafoglio di investimentoe non modificano la loro scelta), l’assenza di (o, piu in generale, la neutralita delle) imposte e di costi ditransazione e la perfetta competitivita dei mercati finanziari.

57

I. Preferenze degli investitori 3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA

essere lette in questi termini: presa conoscenza, tramite le informazioni disponibili, delle

medie (rendimenti attesi) e delle varianze (rischi) dei diversi titoli finanziari, gli investitori

ne scelgono la combinazione (portafoglio) che meglio soddisfa le loro preferenze.3

I Preferenze degli investitori

Definiamo con P un generico portafoglio di titoli o attivita finanziarie (cioe un

insieme di diversi titoli o attivita finanziarie possedute da un investitore). In particolare,

come nella Sezione V del capitolo precedente, il portafoglio P puo essere pensato come un

vettore (x1, x2, ..., xn), dove xi rappresenta la quantita del titolo generico i presente nel

portafoglio (con n titoli a disposizione su cui poter investire). Immaginiamo poi che le pre-

ferenze degli investitori (avversi al rischio) rispetto ai vari portafogli siano rappresentate

dalla seguente funzione di utilita:

V = V (µP , σ2P ), (3.1)

dove µP ≡ E [rP ] rappresenta il (tasso di) rendimento medio o atteso del portafoglio

generico P (con rP il rendimento effettivo del portafoglio) e σ2P ≡ E [(rP − µP )2] e la

varianza del rendimento del portafoglio (cioe una misura di quanto il rendimento effettivo

di P puo variare rispetto alla sua media o rendimento atteso).4 Inoltre, sempre con

riferimento all’Espressione (3.1), ha senso interpretare la varianza del portafoglio, σ2P ,

come una misura del rischio a cui va incontro l’investitore “acquistando” il portafoglio

P : tanto piu il rendimento di P puo variare rispetto alla sua media, tanto piu e rischioso

scegliere la composizione di titoli rappresentata da quel portafoglio.

Poiche stiamo assumendo che gli investitori siano avversi al rischio, avremo che la

funzione V e crescente in µP (maggiore e il rendimento atteso di P maggiore e l’utilita

che l’investitore ottiene investendo in quel portafoglio) e decrescente in σ2P (maggiore e

il rischio associato a P minore e l’utilita che l’investitore ottiene investendo in esso la

3Peraltro, e importante sottolineare che i concetti teorici di media e varianza a cui ci riferiremo nelresto del capitolo e le loro stime statistiche, che e possibile ricavare dai dati a disposizione, sono dueconcetti distinti. Dal punto di vista dell’analisi economica che svilupperemo e sufficiente assumere che gliinvestitori si comportino secondo il criterio media-varianza, indipendentemente dal fatto che ne conoscanoi valori.

4Nell’Appendice A.1 di questo capitolo sara mostrato come la funzione di utilita V possa essere deri-vata analiticamente da una funzione di utilita attesa VNM nel caso la funzione u assuma la particolareforma quadratica nella ricchezza finale. In realta, l’ipotesi di funzione di utilita quadratica, non e ne-cessaria per giustificare il criterio media-varianza. Quest’ultimo, infatti, puo essere anche motivato, piuin generale, nell’ambito della teoria dell’utilita attesa nel caso i rendimenti dei titoli siano distribuiticome una variabile casuale normale. Peraltro, anche l’ipotesi di normalita della distribuzione dei rendi-menti, sebbene sufficiente, non e necessaria (teoricamente, infatti, l’utilizzo del criterio media-varianza ecompatibile con altri tipi di distribuzione statistica in relazione ai rendimenti dei titoli).

58

3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA I. Preferenze degli investitori

sua ricchezza), cioe, se V rappresenta le preferenze di un investitore, per esso µP e un

“bene”, mentre σ2P e un “male”. Formalmente, cio puo essere espresso con ∂V/∂µP > 0 e

∂V/∂σ2P < 0. In altri termini, a parita di rendimento atteso, investitori avversi al rischio

preferiranno sempre investimenti con minor variabilita del rendimento.5

Nel modello media-varianza delle scelte di portafoglio, le curve di indifferenza di

un investitore rappresentano l’insieme di tutte le combinazioni (µP , σ2P ) che danno all’in-

vestitore un uguale livello di utilita e che sono, quindi, per lui indifferenti. Inoltre, poiche

ogni coppia (µP , σ2P ) si riferisce a uno specifico portafoglio, ogni punto su una data curva

di indifferenza individua proprio un certo portafoglio di investimento. In altri termini,

una curva di indifferenza puo essere considerata come l’insieme dei portafogli che danno

all’investitore lo stesso livello di utilita.

µP

µPC′PC′

PCµPC

σ2PC′σ2

PCσ2P

PB′

PBµPB

µPA

PA

σ2PB′σ2

PB

µPB′

Figura 3.1: Curve di indifferenza dell’investitore nel modello media-varianza

In Figura 3.1 sono rappresentate, nello spazio (µP , σ2P ), le curve di indifferenza di un

investitore con preferenze rappresentate dall’Espressione (3.1), che rispecchiano il criterio

media-varianza. In relazione a tali curve di indifferenza, tre aspetti meritano di essere

sottolineati:

1. le curve di indifferenza sono inclinate positivamente. Cio dipende dal fatto che gli

argomenti della funzione V sono uno un “bene” (µP ) e l’altro un “male” (σ2P ): se ne

5Si noti come questo non sia vero se gli investitori fossero neutrali al rischio (per cui conterebbesolo il rendimento atteso, mentre, a parita di rendimento atteso, la variabilita dell’investimento nonrileverebbe) o propensi al rischio (che, a parita di rendimento atteso, preferirebbero investimenti conmaggiore variabilita del rendimento, in quanto, a fronte di perdite maggiori, potrebbero consentire diottenere guadagni piu alti).

59

I. Preferenze degli investitori 3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA

aumenta uno, per rimanere su una stessa curva di indifferenza (stesso livello di uti-

lita per l’investitore), deve necessariamente aumentare anche l’altro. Consideriamo,

ad esempio, i due portafogli rappresentati dai punti PB e PC che si trovano su una

stessa curva di indifferenza. PC rispetto a PB da all’investitore un rendimento atteso

maggiore. Di conseguenza, per trovarsi sulla stessa curva di indifferenza di PB, PC

deve essere anche piu rischioso di PB (cio e possibile solo con curve di indifferenza

inclinate positivamente); se cosı non fosse, infatti, darebbe necessariamente all’inve-

stitore un’utilita maggiore di PB e quindi, per definizione, dovrebbe trovarsi su una

diversa curva di indifferenza. Formalmente tutto cio puo essere riassunto dicendo

che il saggio marginale di sostituzione tra rendimento atteso e rischio dµP/dσ2P (os-

sia il saggio al quale l’investitore sarebbe disposto ad accettare un rischio piu alto a

fronte di un maggior rendimento), che misura graficamente l’inclinazione della curva

di indifferenza in ogni suo punto, e sempre positivo;6

2. l’utilita dell’investitore aumenta quando ci si sposta verso curve di indifferenza piu

alte. Consideriamo, ad esempio, i portafogli PA e PB. Essi sono caratterizzati

dallo stesso rischio (σ2PA

= σ2PB

), ma PB da un rendimento atteso maggiore di PA

(µPB> µPA

). PB e quindi certamente preferito dall’investitore rispetto a PA, cioe PB

da all’investitore un’utilita maggiore di PA. Inoltre, per definizione, tutti i portafogli

che si trovano sulla stessa curva di indifferenza (piu alta) di PB danno all’investitore

un’utilita maggiore di tutti i portafogli che si trovano sulla curva di indifferenza (piu

bassa) di PA;

3. le curve di indifferenza sono convesse verso l’origine degli assi. Intuitivamente,

tale proprieta puo essere spiegata nel modo seguente.7 Consideriamo nuovamente i

portafogli di investimento PB e PC . Immaginiamo di cambiare la composizione dei

titoli che compongono i due portafogli in modo da aumentare in egual misura (al

margine) il loro rischio (in Figura 3.1, da σ2PB

a σ2PB′ , per il portafoglio PB, e da σ2

PC

a σ2PC′ , per il portafoglio PC , con (σ2

PB′ − σ2

PB) = (σ2

PC′ − σ2

PC)). Ci potremmo allora

chiedere: di quanto deve aumentare il rendimento atteso dei due portafogli, quando

aumenta nella stessa misura il loro rischio, per ottenere due nuovi portafogli (PB′

e PC′) che rimangono sulla stessa curva di indifferenza di PB e PC? Con curve di

indifferenza convesse verso l’origine degli assi, avremo che l’aumento di rendimento

atteso del portafoglio ottenuto da PB (da µPBa µPB

′) e minore rispetto a quello del

6Cio puo essere verificato utilizzando la formula del saggio marginale di sostituzione: dµP /dσ2P =

−(∂V/∂σ2P )/(∂V/∂µP ). Poiche, in base alle nostre ipotesi, vale sempre ∂V/∂µP > 0 e ∂V/∂σ2

P < 0,necessariamente avremo che dµP /dσ

2P > 0.

7La convessita verso l’origine degli assi delle curve di indifferenza nello spazio(µP , σ

2P

)puo essere

dimostrata, piu rigorosamente, come implicazione della forma quadratica della funzione VNM.

60

3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA II. Portafoglio che minimizza il rischio

portafoglio ottenuto da PC (da µPCa µPC

′). Cio in quanto il grado di rischio di PC e

maggiore di quello di PB: per accettare un ulteriore incremento di rischio (e rimanere

sulla stessa curva di indifferenza) l’investitore richiede quindi un maggior incremento

di rendimento atteso “partendo” da PC (che ha gia un rischio relativamente alto)

piuttosto che da PB. Formalmente, il saggio marginale di sostituzione dµP/dσ2P e

crescente rispetto a σ2P , cioe rispetto al rischio.

II Scelta del portafoglio che minimizza in assoluto il rischio

Nella sezione precedente, abbiamo definito uno strumento, quello delle curve di indif-

ferenza nello spazio (µP , σ2P ), che ci servira per trovare il portafoglio di titoli o attivita

finanziarie che un investitore sceglie in base alle sue preferenze. Il passo successivo e quello

di definire un criterio per individuare l’insieme di tutti i portafogli tra cui l’investitore

sceglie il suo preferito. Prima di fare questo, e interessante (e anche utile per l’analisi

successiva) analizzare un caso molto particolare: quello in cui l’investitore e interessa-

to esclusivamente alla minimizzazione del rischio di investimento (ossia, il caso di

massima avversione al rischio da parte dell’investitore). In altri termini, consideriamo un

investitore che si disinteressa completamente del rendimento atteso e vuole investire la

sua ricchezza nel portafoglio che gli consente di ridurre al minimo il rischio, ossia σ2P .8

A tale scopo, indichiamo con ai la porzione di ricchezza dell’investitore investita nel

titolo i presente nel portafoglio P (con∑n

i=1 ai = 1), con µi il suo tasso atteso di rendi-

mento e con σij ≡ E[(ri − µi)(rj − µj)] la covarianza tra il tasso di rendimento del titolo

i e quello del titolo j (anch’esso presente nel portafoglio P ). Allora, il tasso atteso di

rendimento di P e il suo rischio (varianza) possono essere scritti come:9

µP =n∑

i=1

aiµi (3.2)

e

σ2P =

n∑

i=1

n∑

j=1

aiajσij. (3.3)

8Si noti che, in questo caso, l’investitore non sara mai disponibile a scambiare un maggior rischio diinvestimento con un piu elevato rendimento atteso. Formalmente, il saggio marginale di sostituzione trarischio e rendimento (atteso) per tale investitore e sempre pari a dµP /dσ

2P = ∞, che implica curve di

indifferenza perfettamente verticali.9In generale, la varianza complessiva di un portafoglio con n titoli sara data dalla somma di n termini

connessi alle varianze dei rendimenti dei singoli titoli piu altri n(n− 1)/2 termini connessi alle covarianzetra i rendimenti dei titoli.

61

II. Portafoglio che minimizza il rischio 3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA

Esempio 13 (Rendimento atteso e varianza di un portafoglio)

Si consideri un portafoglio di investimento composto da tre tipi di azioni: quelle della

societa “1-Alfa”, quelle della societa “2-Beta” e quelle della societa “3-Gamma” (i =

1, 2, 3). Le quote dei tre titoli presenti nel portafoglio sono, rispettivamente, del 20%,

30% e 50%. Supponiamo, inoltre, che i rendimenti attesi delle tre azioni, µ1, µ2 e µ3,

siano 10%, 20% e 8% e che le varianze dei rendimenti, σ21, σ2

2 e σ23, siano 16, 9, 4. Infine,

consideriamo che le covarianze tra i diversi titoli sono, rispettivamente, σ12 = 3, σ13 = −2

e σ23 = 0. Si calcolino il rendimento atteso del portafoglio, µP , e la sua varianza (grado

di rischio), σ2P .

Poiche con tre diversi titoli, in generale, abbiamo che:

µP = a1µ1 + a2µ2 + a3µ3,

nel caso del nostro esempio avremo che:

µP = 0.2(0.1) + 0.3(0.2) + 0.5(0.08) = 0.12

per cui il rendimento atteso del portafoglio e del 12%.

Nel caso di tre titoli la formula generale della varianza di portafoglio e data da:

σ2P = a1a1σ11+a1a2σ12+a1a3σ13+a2a1σ21+a2a2σ22+a2a3σ23+a3a1σ31+a3a2σ32+a3a3σ33,

da cui, considerando che σii = σ2i e σij = σji, otteniamo:

σ2P = a2

1σ21 + a2

2σ22 + a2

3σ23 + 2a1a2σ12 + 2a1a3σ13 + 2a2a3σ23.

Piu specificatamente, nel caso del nostro esempio abbiamo che:

σ2P = 0.64 + 0.81 + 1 + 0.36− 0.4 + 0 = 2.41,

per cui la varianza complessiva del portafoglio (che misura il suo grado di rischio) e 2.41.

Si noti subito un aspetto che sara approfondito dettagliatamente in seguito: in questo

caso il portafoglio “diversificato” (cioe composto da tre differenti azioni) ha un rischio

minore rispetto al caso in cui l’investitore avesse investito tutta la sua ricchezza in un

solo tipo di azione (infatti, il rischio di portafoglio, misurato dalla rispettiva varianza dei

rendimenti, e pari a 2,41 contro 16, 9 e 4 delle singole azioni).

Per semplificare ulteriormente l’analisi che segue, immaginiamo una situazione in cui

esistono due soli titoli, ad esempio, le azioni emesse da due distinte societa, in cui l’inve-

62


stitore puo investire la sua ricchezza. La questione che si pone e dunque: per minimizzare

il rischio di investimento, conviene investire in un solo titolo o in entrambe le azioni?

E ancora, come si determinano esattamente le quote della ricchezza a disposizione da

destinare ai due titoli finanziari?

Consideriamo innanzitutto che, con due sole attivita finanziarie, il rendimento atteso

del portafoglio e µP = a1µ1 + a2µ2. Peraltro, nel caso particolare che stiamo adesso

considerando, µP non e rilevante per l’investitore, in quanto il suo solo interesse e il

rischio di portafoglio che, con due soli titoli, e misurato da σ2P = a2

1σ21 + a2

2σ22 + 2a1a2σ12.

E’ utile, a questo punto, introdurre un concetto di statistica particolarmente importan-

te in campo finanziario: il coefficiente di correlazione. In particolare, siamo qui interessati

alla correlazione tra i rendimenti delle diverse attivita finanziarie: nel caso che stiamo

analizzando, il coefficiente di correlazione tra i tassi di rendimento dei due titoli, indicato

con ρ12, e dato da ρ12 ≡ σ12/σ1σ2(dove σ1 e σ2 sono le deviazioni standard dei rendimen-

ti dei due titoli). Inoltre, tenendo conto che, con due sole attivita finanziarie, abbiamo

a2 = 1−a1, il problema di scelta dell’investitore (portafoglio che minimizza il rischio) puo

essere cosı rappresentato:

mina1

σ2P = a2

1σ21 + (1− a1)2σ2

2 + 2a1(1− a1)ρ12σ1σ2. (3.4)

Ovviamente, trovando il valore ottimo di a1 che risolve il problema definito dall’e-

spressione (3.4), e possibile individuare automaticamente anche il valore di a2 (pari al

complemento a uno rispetto a a1) e quindi la composizione del portafoglio che minimizza

il rischio di investimento.10

A tale scopo, occorre calcolare la derivata prima di σ2P rispetto a a1 e uguagliarla a

zero (condizione del primo ordine):

dσ2P

da1

= 2a1σ21 − 2(1− a1)σ2

2 + 2(1− 2a1)ρ12σ1σ2 = 0,

da cui, risolvendo per a1, otteniamo il suo valore ottimo:11

a∗1 =σ2

2 − ρ12σ1σ2

σ21 + σ2

2 − 2ρ12σ1σ2

. (3.5)

10Inoltre, poiche ai e la porzione di ricchezza spesa dal soggetto per l’acquisto del titolo i, una voltaindividuato ai e semplice individuare la quantita xi che il soggetto acquista del titolio i. Essa, infatti, epari a xi = aiW/pi, dove W e pi sono dati e corrispondono, rispettivamente, alla la ricchezza complessivainvestita dal soggetto e al prezzo di mercato del titolo i.

11Si noti che la condizione del secondo ordine affinche la quota sotto indicata di ricchezza investitanel titolo 1 sia effettivamente quella che minimizza (anziche massimizza) il rischio, ossia d2σ2

P /da21 =

2(σ21 + σ2

2 − 2ρ12σ1σ2) > 0, e sempre soddisfatta.

63


Si noti come nel caso in cui un titolo fosse privo di rischio (risk-free), la scelta del-

l’investitore (interessato esclusivamente al rischio di investimento) diventerebbe banale:

investire tutta la sua ricchezza nel titolo privo di rischio. Cio e chiaramente confer-

mato dall’Espressione (3.5). Ad esempio, se il titolo privo di rischio fosse il titolo 1

(σ1 = σ21 = 0), dall’Espressione (3.5) otterremmo a∗1 = 1 e, conseguentemente, a∗2 = 0. Al

contrario, se il titolo privo di rischio fosse il titolo 2 (σ2 = σ22 = 0) otterremmo a∗1 = 0 e

a∗2 = 1. Inoltre, in entrambi i casi, il rischio dell’investimento sarebbe ovviamente nullo.

Peraltro, cio che risultera meno banale sara dimostrare, come faremo in seguito, che, in

certe circostanze, grazie alla diversificazione di portafoglio e possibile azzerare il rischio

di investimento anche quando i titoli sono entrambi rischiosi.

Esempio 14 (Portafoglio che minimizza in assoluto il rischio)

Si consideri un soggetto che intende investire la sua ricchezza in titoli azionari emessi

da due distinte societa (la societa A e la societa B) ed immaginiamo che l’investitore

sia interessato esclusivamente a minimizzare il rischio di investimento. Quale dovrebbe

essere la composizione ottimale del portafoglio dell’investitore nel caso si abbia σ2A = 0, 16,

σ2B = 0, 25 e ρAB = 0, 25 (cioe i rendimenti delle due azioni sono correlati positivamente)?

Quale e il grado di rischio che l’investitore sopporta in corrispondenza di tale portafoglio?

Applicando la formula (3.5) e facile calcolare la quota di ricchezza che l’investitore

deve spendere, per minimizzare il rischio di investimento, nell’acquisto del titolo A. Essa

e data da:

a∗A =0.25− 0.25(0.4)(0.5)

0.16 + 0.25− 2(0.25)(0.4)(0.5)=

20

31.

Per minimizzare il rischio di investimento il soggetto deve quindi spendere 20/31 della

sua ricchezza nell’acquisto delle azioni emesse dalla societa A e la restante parte, pari a

11/31, nell’acquisto di quelle emesse dalla societa B.

Utilizzando i valori ottimali di aA e aB nella formula della varianza di portafoglio,

otteniamo il rischio associato al portafoglio ottimo:

σ2P∗

=

(20

31

)2

0, 16 +

(11

31

)2

0.25 + 2

(20

31

)(11

31

)(0.25)(0.4)(0.5) ' 0.121,

che, anche in questo caso, e inferiore a quello dei portafogli con un solo titolo, σ2A = 0.16

e σ2B = 0.25.

II.A Tre casi particolari

In relazione all’Espressione (3.5) e importante analizzare tre casi particolari che ci

consentiranno di ottenere alcuni risultati particolarmente importanti per quanto concerne

la possibilita di ridurre, tramite un’adeguata diversificazione del portafoglio, il rischio di

64


investimento; i casi particolari sono quelli in cui il coefficiente di correlazione ρ12 assume

i valori (a) ρ12 = −1, (b) ρ12 = 0 e (c) ρ12 = 1.

Caso a: ρ12 = −1 Nel caso con ρ12 = −1, in cui i rendimenti dei due titoli sono

perfettamente correlati negativamente, l’Espressione (3.5) diventa:

a∗1 =σ2

2 + σ1σ2

σ21 + σ2

2 + 2σ1σ2

=σ2(σ1 + σ2)

(σ1 + σ2)2=

σ2

σ1 + σ2

, (3.6)

per cui a∗2 = 1− a∗1 = σ1σ1+σ2

.

Sostituendo i valori di a∗1 e 1 − a∗1 nella formula della varianza del rendimento di

portafoglio σ2P (con ρ12 = −1), che compare nell’Espressione (3.4), otteniamo:

σ2P∗

=σ2

2

(σ1 + σ2)2σ2

1 +σ2

1

(σ1 + σ2)2σ2

2 − 2

(σ2

σ1 + σ2

)(σ1

σ1 + σ2

)σ1σ2 =

=σ2

2σ21

(σ1 + σ2)2+

σ21σ

22

(σ1 + σ2)2− 2

σ21σ

22

(σ1 + σ2)2= 0. (3.7)

Si puo quindi concludere che, in questo caso, tramite un’adeguata diversificazione

del portafoglio e addirittura possibile azzerare il rischio di investimento, sebbene i titoli

utilizzati per costruire il portafoglio costituiscano di per se investimenti rischiosi.

Caso b: ρ12 = 0 Nel caso con ρ12 = 0, in cui non c’e correlazione tra i rendimenti dei

due titoli, l’Espressione (3.5) diventa semplicemente:

a∗1 =σ2

2

σ21 + σ2

2

(3.8)

e quindi a∗2 = 1− a∗1 =σ21

σ21+σ2

2.

Sostituendo i valori di a∗1 e 1 − a∗1 nella formula della varianza del rendimento di

portafoglio σ2P (con ρ12 = 0), che compare nell’Espressione (3.4), otteniamo:

σ2P∗

=

(σ2

2

σ21 + σ2

2

)2

σ21 +

(σ2

1

σ21 + σ2

2

)2

σ22 =

σ42σ

21 + σ4

1σ22

(σ21 + σ2

2)2=

=σ2

1σ22(σ2

1 + σ22)

(σ21 + σ2

2)2= σ2

1

(σ2

2

σ21 + σ2

2

). (3.9)

Innanzitutto si noti che(

σ22

σ21+σ2

2

)< 1, per cui dall’Espressione (3.9) emerge che σ2

P∗<

σ21; il rischio associato al portafoglio (ottimo) “diversificato” e sempre inferiore a quello

dell’investimento nel solo titolo 1. Inoltre, considerando che l’Espressione (3.9), nella sua

65


forma finale, puo anche essere riscritta come σ2P∗

= σ22

(σ21

σ21+σ2

2

)(e ricordando nuovamente

che(

σ21

σ21+σ2

2

)< 1), avremo anche che σ2

P∗< σ2

2.

In conclusione, quindi, anche quando i tassi di rendimento dei titoli non sono af-

fatto correlati, e possibile costruire adeguatamente un portafoglio diversificato che con-

sente sempre di ridurre (ma non azzerare) il rischio di investimento rispetto a quello

corrispondente a entrambi i soli titoli che lo compongono.

Caso c: ρ12 = 1 L’ultimo caso particolare da analizzare e quello con ρ12 = 1 (perfetta

correlazione positiva tra i rendimenti dei due titoli). Per stabilire adesso se la diversifica-

zione del portafoglio puo consentire di ridurre il rischio di investimento non e necessario

fare riferimento all’Espressione (3.5), ma e sufficiente utilizzare la formula della varianza

del rendimento di portafoglio che, con ρ12 = 1, e data da:

σ2P = a2

1σ21 + (1− a1)2σ2

2 + 2a1(1− a1)σ1σ2 = (a1σ1 + (1− a1)σ2)2, (3.10)

che comporta σP = (a1σ1+(1−a1)σ2). Ovviamente, la deviazione standard del rendimento

del portafoglio σP puo essere considerata, analogamente alla varianza σ2P , una misura del

rischio di portafoglio, nel senso che tanto piu grande e σP , tanto piu grande sara σ2P e

quindi il rischio associato al portafoglio P . Inoltre, poiche, con ρ12 = 1, σP e una media

ponderata delle deviazioni standard dei rendimenti dei due titoli, σ1 e σ2 (dove i pesi sono

rappresentati dalle quote, a1 e 1 − a1), che ne esprimono il rispettivo rischio, per una

nota proprieta della media aritmetica, σP si collochera necessariamente tra σ1 e σ2. In

particolare, se σ1 < σ2 avremo σ1 < σP < σ2, mentre se σ1 > σ2 risultera σ2 < σP < σ1,

per cui in questo caso non sara mai possibile sfruttare la diversificazione del portafoglio

per ridurre il rischio di investimento (converra infatti investire sempre tutta la propria

ricchezza nel solo titolo meno rischioso).

Ovviamente, gli investitori raramente hanno il solo obiettivo di ridurre al minimo il

rischio di investimento, disinteressandosi completamente del rendimento. Piu in genera-

le, essi ricercano quel portafoglio di investimento in grado di fornire quel giusto mix tra

rendimento e rischio che meglio soddisfa le loro preferenze. Prima di proseguire in tale di-

rezione, e pero opportuno sintetizzare i risultati piu importanti raggiunti in questa sezione

(si tenga presente che i risultati relativi ai tre casi particolari, analizzati in un contesto

semplificato con due soli titoli, possono essere estesi e valgono anche in un contesto piu

generale con n titoli), dal momento che torneranno poi utili anche nell’analisi successiva:

• tramite un’adeguata diversificazione di portafoglio e generalmente (ma non

sempre) possibile ridurre il rischio di investimento rispetto a quello delle singole

attivita possedute in portafoglio;

66

3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZAIII. Frontiera dei portafogli con solo titoli rischiosi

• a parita di altre condizioni, tanto piu c’e correlazione positiva tra i tassi di rendi-

mento delle attivita facenti parte del portafoglio di investimento, tanto maggiore e

il rischio ad esso associato (tale affermazione puo essere chiaramente verificata uti-

lizzando l’espressione generale (3.3) per il rischio (varianza) di portafoglio, riscritta

utilizzando i coefficienti di correlazione tra i rendimenti: σ2P =

∑i

∑j aiajρijσiσj;

poiche il coefficiente di correlazione assume valori compresi tra ±1, il rischio (va-

rianza) di portafoglio sara tanto maggiore tanto piu i vari ρij tendono al loro valore

massimo (+1) e tanto minore tanto piu essi tendono al loro valore minimo (-1));

• nel caso di correlazione negativa perfetta tra i tassi di rendimento delle attivita

finanziarie ( ρij = −1), tramite un’adeguata diversificazione del portafoglio e perfino

possibile ridurre a zero il rischio di investimento.

III Frontiera dei portafogli con solo titoli finanziari rischiosi (e

assenza di titoli privi di rischio)

III.A Frontiera dei portafogli con n = 2 titoli rischiosi

Iniziamo adesso l’analisi che consentira di definire scelta ottima dell’investitore (quan-

do e interessato non solo al rischio, ma anche al rendimento di portafoglio). Per individuare

l’insieme di scelta dell’investitore, cioe i possibili portafogli di investimento tra cui sceglie

quello preferito, il primo passo da compiere e quello di costruire la cosiddetta frontiera

dei portafogli (portfolio frontier) o frontiera rischio-rendimento, che, in termini

generali, puo essere definita nel modo seguente:

Definizione 8 (Frontiera dei portafogli)

La frontiera dei portafogli (o frontiera rischio-rendimento) individua tutti i portafogli

(combinazioni di titoli o attivita finanziarie) che consentono all’investitore di ottenere un

certo tasso atteso di rendimento al rischio piu basso.

In sostanza, la frontiera dei portafogli individua i portafogli di investimento che un

consulente finanziario dovrebbe proporre al nostro investitore (avverso al rischio) in base

al rendimento atteso da lui richiesto al consulente. A tale riguardo, si noti innanzitutto

una cosa: a differenza del caso analizzato nella sezione precedente, in cui l’investitore

si disinteressava completamente del rendimento atteso e si preoccupava solo del rischio

dell’investimento, con la frontiera dei portafogli e possibile individuare la combinazione di

titoli che consente di minimizzare il rischio, ma in relazione ad un dato tasso di rendimento

che l’investitore si prefigge di conseguire.

67

III. Frontiera dei portafogli con solo titoli rischiosi3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA

Procederemo nella costruzione della frontiera di portafoglio per tappe successive. In

primo luogo, continuiamo per il momento a considerare il caso particolare di un’economia

con due soli titoli finanziari assumendo che si tratti di titoli rischiosi (ad esempio, azioni

di due societa). Inoltre, seguendo una prassi consolidata, esprimeremo adesso il rischio di

portafoglio in termini di deviazione standard (σP ) piuttosto che in termini di varianza (σ2P )

dei rendimenti. Ai nostri scopi, poiche la varianza e il quadrato della deviazione standard,

cio non produrra alcun rilevante cambiamento.12 In generale, la frontiera dei portafogli per

il caso particolare che stiamo considerando, ossia di sole due attivita rischiose, assumera

la forma grafica rappresentata dalla curva in grassetto che unisce i punti P1 e P2 in Figura

3.2.

µP

σP

P1

P2

PZρ12 = 1

ρ12 = −1

Figura 3.2: Frontiera dei portafogli con due titoli rischiosi

I punti P1 e P2 rappresentano i due portafogli in cui l’investitore investe tutta la

sua ricchezza, rispettivamente, nelle azioni della prima societa e in quelle della seconda

societa. Ogni punto sulla curva che unisce i due punti rappresenta invece un portafoglio

per cui l’investitore spende la sua ricchezza per acquistare, in una certa combinazione,

sia azioni della prima che della seconda societa. Inoltre, in base alla Definizione 8, ogni

punto sulla frontiera individua il portafoglio che consente di ottenere un dato (tasso di)

rendimento atteso (µP sull’asse verticale) al rischio piu basso (espresso dal corrispondente

valore di σP sull’asse orizzontale).

12In particolare, poiche la costruzione della frontiera dei portafogli implica la minimizzazione del rischio(per ogni dato livello di rendimento atteso), minimizzare rispetto alla deviazione standard e equivalentea farlo rispetto alla varianza.

68


Per chiarire ulteriormente come la frontiera di portafoglio e stata costruita in Figura

3.2, puo essere utile considerare che ogni frontiera e disegnata per un dato valore del

coefficiente di correlazione tra i rendimenti delle due azioni e individuare la forma della

frontiera per i due casi particolari (estremi) in cui i rendimenti sono perfettamente correlati

positivamente e negativamente (ρ12 = ±1). A seconda del caso, in tali circostanze la

deviazione standard del portafoglio e pari a:13

σP =| a1σ1 ± (1− a1)σ2 | .

Consideriamo dapprima il caso con perfetta correlazione positiva per cui σP = a1σ1 +

(1− a1)σ2; in questo caso, come abbiamo gia analizzato nella Sezione II.A, la deviazione

standard del generico portafoglio P , in cui sono presenti contemporaneamente sia azioni

della prima che della seconda societa (0 < a1 < 1), e una combinazione lineare convessa

delle deviazioni standard dei due portafogli “estremi” (in cui sono presenti azioni di una

sola societa). Inoltre, poiche la stessa cosa vale per il tasso di rendimento atteso del

portafoglio, µP = a1µ1 + (1− a1)µ2, la frontiera dei portafogli e rappresentata, in Figura

3.2, dal segmento tratteggiato che unisce i portafogli P1 e P2.

Consideriamo adesso il caso con perfetta correlazione negativa. In tale circostanza,

dalla sezione precedente, sappiamo che tramite un’adeguata composizione (diversificazio-

ne) di portafoglio e addirittura possibile azzerare il rischio di investimento. Graficamente,

cio comporta che la frontiera di portafoglio che unisce i punti P1 e P2 passi per un punto

(portafoglio) sull’asse delle ordinate (dove abbiamo σP = 0). Immaginiamo che tale por-

tafoglio sia il punto indicato con la lettera PZ in Figura 3.2. Per cui, tenendo conto che

con ρ12 = −1 la frontiera e lineare e che, per definizione, σP non puo essere negativa, la

frontiera dei portafogli che unisce P1 e P2, nel caso di perfetta correlazione negativa, avra

la forma rappresentata, in Figura 3.2, dalla spezzata P1 PZ P2.

Ovviamente per valori intermedi di ρ12 (−1 < ρ12 < 1) la frontiera (che non sara

piu lineare) si trovera “nel mezzo” alle forme assunte nei due casi estremi, collocandosi

all’interno del triangolo che unisce i punti P1, PZ e P2 e potendo, quindi, assumere (per

un dato valore di ρ12) la forma della curva in grassetto rappresentata in Figura 3.2.

Prima di estendere il caso qui analizzato, e importante approfondire alcuni altri aspetti

connessi a tale economia (con due sole attivita finanziarie rischiose). In Figura 3.2 la fron-

tiera dei portafogli che unisce i punti P1 e P2 non “prosegue” oltre quelli. In altri termini,

se l’investitore decide di investire tutta la sua ricchezza nell’acquisto di un solo tipo di

13Tale formula si ottiene considerando che, con due titoli e ρ12 = ±1, la varianza di portafoglio eσ2P = a21σ

21 + (1 − a1)2σ2

2 ± 2a1(1 − a1)σ1σ2, che puo essere riscritta come σ2P = (a1σ1 ± (1 − a1)σ2)2.

La formula in questione si ricava, dunque, considerando che la deviazione standard (che, per definizione,non puo essere negativa) e la radice quadrata della varianza.

69


azione, ne potra acquistare un numero massimo pari a W/pi (con W la ricchezza iniziale

dell’investitore e pi il prezzo di mercato dell’azione i) e non piu di quello. In generale,

tutto cio appare sensato, ma nell’ambito dei mercati finanziari esiste uno “strumento” che

puo permettere di aggirare il vincolo della ricchezza iniziale dell’investitore e consentirgli

di costruirsi un portafoglio con un numero di azioni superiore a quello massimo che la sua

ricchezza iniziale gli avrebbe permesso di acquistare: si tratta delle cosiddette vendite

allo scoperto (short-sales).

µP

σP

P1

P2

PE

PS

PMR

PX

Figura 3.3: Frontiera dei portafogli con short-sales

Tramite le vendite allo scoperto un investitore puo vendere dei titoli che non possiede

(prendendoli a prestito, ad esempio, da un investitore finanziario) per poi riacquistarli e

restituirli alla scadenza pattuita (per tale motivo, analogamente ai contratti a termine, si

parla di posizione corta per l’investitore che deve restituire i titoli ottenuti in prestito).

Nel caso particolare che stiamo considerando, tramite le vendite allo scoperto, l’investitore

puo utilizzare il ricavato derivante dalla vendita allo scoperto di un certo tipo di azione

per acquistare un numero maggiore, rispetto a quello che si sarebbe potuto permettere

con la sua sola ricchezza iniziale, dell’altro tipo.14 La Figura 3.3 estende la frontiera dei

14In generale le vendite allo scoperto sono utilizzate nei mercati finanziari dagli investitori per otteneredei rendimenti aggiuntivi. Ad esempio, se un soggetto si aspetta che un certo titolo possa subire infuturo una riduzione di prezzo, avra interesse a farselo prestare per rivenderlo immediatamente. Se lesue previsioni si rivelano poi corrette, potra riacquistarlo in futuro al prezzo piu basso per restituirlo alpossessore originario, lucrando cosı sulla differenza di prezzo. Ovviamente, colui che presta titoli ad unaltro soggetto, generalmente, richiedera in cambio il pagamento di una commissione, che, peraltro, nonsara considerata espressamente nella nostra analisi (cio non produce importanti conseguenze sui risultati

70


portafogli vista precedentemente al caso in cui sono ammesse vendite di azioni allo sco-

perto. In particolare, poiche attraverso le vendite allo scoperto e possibile costruirsi dei

portafogli di investimento, e quindi raggiungere combinazioni rischio-rendimento (grafi-

camente, punti nel piano σP − µP ), che non si potevano ottenere senza tale strumento,

la frontiera comprendera adesso nuovi portafogli (come quello indicato con PS) che si

collocano “oltre” i punti P1 e P2 e che, quindi, non facevano parte della frontiera rappre-

sentata in Figura 3.2, in cui le vendite allo scoperto non erano ammesse. Si noti, peraltro,

che, anche utilizzando le vendite allo scoperto, non tutti portafogli (combinazioni rischio-

rendimento) sono “raggiungibili” dall’investitore; ad esempio, date le caratteristiche, in

termini di tassi attesi di rendimento, varianze e covarianze, dei titoli disponibili (il titolo

1 e il titolo 2) per formare portafogli di investimento, la combinazione rischio-rendimento

rappresentata dal portafoglio PX non e conseguibile.

Un altro importante portafoglio rappresentato in Figura 3.3 e il punto PMR. Esso,

infatti, e il portafoglio con minor rischio (σP piu basso) tra tutti quelli situati sul-

la frontiera. Si noti la differenza tra questo e qualsiasi altro portafoglio sulla frontiera:

mentre in ogni altro portafoglio diverso da PMR il rischio di investimento e minimizzato

per un dato rendimento atteso, il portafoglio PMR e quello che minimizza il rischio di

investimento indipendentemente dal rendimento. In sostanza, il portafoglio PMR corri-

sponde a quello individuato nella Sezione II, che sceglierebbe un investitore interessato

esclusivamente alla minimizzazione del rischio.

Un ultimo importante aspetto da sottolineare riguarda la relazione tra i portafogli

situati nel tratto crescente e quelli situati nel tratto decrescente della frontiera. A tale

riguardo, si considerino i portafogli P2 e PE in Figura 3.3: essi sono caratterizzati dallo

stesso rischio, ma PE fornisce un rendimento atteso maggiore di P2. Per tale motivo,

pur essendo situati entrambi sulla frontiera, solo PE e un portafoglio efficiente. In

particolare, un portafoglio efficiente puo essere definito nel modo seguente:

Definizione 9 (Portafoglio efficiente)

Un portafoglio P si definisce efficiente se si trova sulla frontiera dei portafogli (quindi

consente di minimizzare il rischio per un dato tasso atteso di rendimento) e al contempo

massimizza il tasso atteso di rendimento per un dato grado di rischio.

L’insieme (o frontiera) dei portafogli efficienti coincide con il tratto crescente

(a partire dal portafoglio PMR) della frontiera dei portafogli. Come avremo modo di

vedere in seguito, quando gli investitori hanno preferenze che soddisfano il criterio media-

che analizzeremo). Infine, occorre sottolineare che, anche per i rischi che tale pratica puo implicare, lapossibilita di effettuare vendite allo scoperto e generalmente assoggettata a precisi vincoli istituzionali enon tutti gli investitori finanziari possono ricorrere abitualmente a tale strumento.

71


varianza, sceglieranno sempre un portafoglio di investimento che appartiene all’insieme

dei portafogli efficienti.

III.B Frontiera dei portafogli con n > 2 titoli rischiosi

La prima estensione della semplice economia con due attivita finanziarie rischiose, che

abbiamo analizzato nella sezione precedente, consiste nell’introdurre un numero n > 2 di

titoli finanziari, tra cui l’investitore puo scegliere. Manteniamo per il momento, invece,

l’ipotesi che si tratti di tutti titoli rischiosi (ad esempio, tutte azioni di n distinte societa).

Ovviamente la prima questione da affrontare e come la frontiera dei portafogli cambi

rispetto al caso con due sole azioni. A tale proposito, una prima intuizione di come sia fatta

la frontiera di portafoglio con n > 2 azioni si puo ottenere considerando che all’aumentare

del numero delle azioni aumenta la possibilita dell’investitore di diversificare il proprio

portafoglio di investimento. Cio, come abbiamo visto, puo consentire di ridurne il rischio.

In altri termini, all’aumentare del numero dei titoli disponibili, e possibile investire la

ricchezza disponibile in modo da ottenere un certo rendimento (atteso) con un rischio

piu basso. Graficamente, cio implica che, in generale, all’aumentare di n la frontiera di

portafoglio si sposta sempre piu verso l’asse delle ordinate (valori sempre piu bassi di σP

per dati valori di µP ).15

Per approfondire graficamente ulteriormente la cosa, consideriamo la Figura 3.4. In

essa e riportata nuovamente la frontiera dei portafogli costruita con due soli titoli finanziari

rischiosi, che comprende i portafogli P1 e P2. Il portafoglio PC , che appartiene anch’esso

a quella frontiera, e, quindi, un portafoglio ottenuto con una data combinazione delle

azioni delle due societa di partenza. Immaginiamo adesso che l’investitore possa scegliere

tra tre azioni e che, in virtu di cio, il portafoglio P3 sia per lui una scelta possibile. In

particolare, “acquistando” il portafoglio P3, egli investe tutta la sua ricchezza nell’acquisto

delle azioni di una terza societa. Inoltre, adesso e anche possibile costruire nuovi portafogli

diversificati che contengono azioni della terza societa. Ad esempio, il portafoglio PD e

ottenuto combinando in certe proporzioni le azioni della terza societa con quelle della

seconda societa (si collocherebbe, quindi, sulla frontiera dei portafogli dell’“economia”

in cui fossero presenti solo titoli di tali societa). Allora, lo stesso ragionamento che, a

partire dai portafogli P1 e P2, avevamo utilizzato per costruire la frontiera dei portafogli

nella Sezione III.A, puo essere adesso ripetuto partendo da PC e PD, costruendo cosı

portafogli in cui sono contenute contemporaneamente azioni di tutte e tre le societa: cio

15Piu rigorosamente, la frontiera dei portafogli non si sposta mai verso destra (non si allontana maidall’asse delle ordinate) all’aumentare di n. Lo spostamento verso sinistra, infatti, potrebbe non realizzarsicon l’introduzione nell’insieme di scelta di nuovi titoli, i cui rendimenti sono perfettamente correlatipositivamente con quelli di attivita finanziarie ottenute come combinazioni di titoli gia presenti.

72


µP

σP

PC

PD P3

P2

P1

Figura 3.4: Frontiera dei portafogli con tre titoli rischiosi

che otteniamo e la frontiera in grassetto di Figura 3.4, la quale, come ci attendevamo,

si colloca, per ogni dato valore di µP , “piu vicina” (o, in generale, “non piu lontana”)

all’asse delle ordinate rispetto a quelle con due sole attivita finanziarie. Inoltre, come per

il caso con due soli titoli, l’insieme dei portafogli efficienti coincide con il tratto crescente

della frontiera.

L’idea di come si costruisce la frontiera dei portafogli con n attivita rischiose si puo

esprimere anche in termini analitici. Come abbiamo avuto piu volte modo di ricordare,

ogni portafoglio sulla frontiera rappresenta la combinazione di titoli o attivita finanzia-

rie che minimizza il rischio di investimento σ2P (o, equivalentemente, σP ) per ogni dato

livello di rendimento (atteso) µP . Formalmente, un portafoglio sulla frontiera puo essere

individuato dalla combinazione di titoli espressa dalle quote (a1, a2, ..., an) che soddisfano

il problema seguente:

min(a1,a2,...,an)

σ2P =

n∑

i=1

n∑

j=1

aiajσij (3.11)

s. a:n∑

i=1

aiµi = µP (3.12)

n∑

i=1

ai = 1. (3.13)

In particolare, i Vincoli (3.12) e (3.13) esprimono, rispettivamente, che: i) il portafoglio

73

IV. Titoli rischiosi e un titolo privo di rischio 3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA

individuato dalla soluzione del problema minimizza il rischio di investimento dato un

certo tasso atteso di rendimento (obiettivo) µP che l’investitore intende realizzare, e ii)

la somma delle quote di ricchezza investita nei vari titoli e pari a uno. Si noti che,

quando sono ammesse vendite allo scoperto, per alcuni titoli potra anche risultare ai > 1.

Ovviamente, a fronte di cio, per qualche altro titolo (venduto allo scoperto) j 6= i dovra

risultare aj < 0. Nel caso, invece, le vendite allo scoperto fossero vietate, un ulteriore

vincolo andrebbe inserito nel problema di minimizzazione, ossia ai ≥ 0,∀i.Dalla soluzione matematica del Problema (3.11), sotto i Vincoli (3.12) e (3.13), sara

possibile individuare (dalle quote di ricchezza investite nei vari titoli) un portafoglio che

appartiene alla frontiera. Ripetendo tale procedimento per ogni possibile valore “obiet-

tivo” del rendimento (atteso) µP , otterremo tutti i portafogli (uno per ogni µP ) che

costituiscono la frontiera.

IV Frontiera dei portafogli con titoli finanziari rischiosi e un

titolo privo di rischio

Introduciamo adesso nell’economia, insieme ai titoli finanziari rischiosi, un’attivita

priva di rischio (risk-free), ad esempio un deposito bancario o un titolo obbligaziona-

rio “sicuro” emesso dallo Stato (ad esempio un BOT).16 A tale riguardo, consideriamo,

innanzitutto, che introdurre la presenza di tale titolo puo consentire ai soggetti, non solo

la possibilita di investire i loro risparmi (concedendo cosı prestito ad altri soggetti) in

un’attivita senza rischio, ma anche quella di prendere denaro a prestito (ad esempio, da

una banca) al tasso di rendimento, o di interesse, privo di rischio.

Se indichiamo con r0 il tasso effettivo di rendimento del titolo privo di rischio, chia-

ramente, avremo che µ0 ≡ E[r0] = r0 e σ20 = σ0 = 0, dove µ0, σ2

0 e σ0 rappresentano,

rispettivamente, il tasso atteso di rendimento dell’attivita priva di rischio, la sua varianza

e la sua deviazione standard.

Adesso, e possibile affermare che la frontiera dei portafogli in un’economia in cui sono

presenti attivita finanziarie rischiose e un titolo privo di rischio e una semiretta inclina-

ta positivamente che origina dall’asse delle ordinate. Per dimostrare tale affermazione,

immaginiamo che l’investitore abbia, in qualche modo (possibilmente, ma non necessaria-

mente, in modo efficiente), gia individuato un portafoglio di investimento composto da

sole attivita rischiose: indichiamo con PR tale portafoglio (con µR e σ2R, rispettivamente,

16Si noti che se, da un lato, e del tutto sensato considerare senza rischio tali investimenti qualorasi faccia riferimento al rendimento nominale, d’altro lato, la questione risulta senz’altro piu discutibilein relazione al rendimento reale (in quanto l’inflazione potrebbe risultare un fenomeno particolarmenteincerto e complesso da prevedere).

74

3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA IV. Titoli rischiosi e un titolo privo di rischio

il suo tasso atteso di rendimento e la varianza). Ammettiamo che adesso si apra la pos-

sibilita di investire anche nel titolo privo di rischio. A partire dal portafoglio PR, quindi,

l’investitore puo adesso costruirsi un nuovo portafoglio in cui sono presenti sia attivita

rischiose che l’attivita priva di rischio. Piu specificatamente, egli ha adesso la possibilita

di scegliere quanto della sua ricchezza mantenere investita nel portafoglio PR e quanto,

viceversa, disinvestire da PR e destinare all’acquisto del titolo privo di rischio.

Indichiamo con a0 la quota di ricchezza disinvestita da PR per l’acquisto del titolo

risk-free e con P il nuovo generico portafoglio “costruito” dall’investitore combinando il

portafoglio rischioso PR con il titolo risk-free. Tenendo presente che la covarianza e, quindi,

il coefficiente di correlazione tra i rendimenti di un’attivita priva di rischio e un qualsiasi

altro portafoglio di investimento sono pari a zero, avremo, allora, che il rendimento atteso

e il rischio del portafoglio P saranno dati, rispettivamente, da:

µP = a0r0 + (1− a0)µR (3.14)

e

σ2P = (1− a0)2σ2

R. (3.15)

L’Espressione (3.15) implica, chiaramente, σP = (1 − a0)σR, che possiamo riscrivere

come:

1− a0 =σPσR, (3.16)

da cui si ottiene:

a0 =σR − σPσR

. (3.17)

Sostituendo per a0 e 1 − a0 (Espressioni (3.17) e (3.16)) nell’Equazione (3.14), tramite

semplici passaggi algebrici, otteniamo:

µP = r0 +

(µR − r0

σR

)σP . (3.18)

L’Espressione (3.18) esprime il fatto che, per portafogli di investimento in cui sono

presenti attivita rischiose e un’attivita priva di rischio, vale sempre una relazione linea-

re tra il tasso atteso di rendimento (µP ) e la deviazione standard, ossia il rischio, del

portafoglio (σP ).

Poiche, per costruzione, l’Equazione (3.18) vale per ogni generico portafoglio P (con

titoli rischiosi e un titolo privo di rischio), essa puo essere riscritta piu in generale come

µP = a + bσP (con a = r0 e b = (µR − r0)/σR) da cui emerge chiaramente come tutti i

portafogli costruiti combinando, in proporzioni differenti, un portafoglio di titoli rischiosi

(PR) con il titolo privo di rischio si collochino su una semiretta con intercetta positiva

75


sull’asse delle ordinate pari a r0 (il tasso di rendimento dell’attivita priva di rischio) e

inclinazione data da (µR − r0)/σR. A tale riguardo, si noti anche che, dal momento

che nessuno avrebbe convenienza a detenere attivita rischiose se il titolo senza rischio

offrisse anche un rendimento superiore, in generale, ha senso concentrarsi esclusivamente

sui portafogli che si collocano sulle semirette per cui vale µR−r0 > 0, le semirette, cioe, con

inclinazione positiva (si ricordi che la deviazione standard, σP , e positiva per definizione).

Cio esprime chiaramente la presenza di un trade-off tra rendimento e rischio: i portafogli

con un rendimento (atteso) piu alto presenteranno anche un maggiore rischio.17

µP

σP

PD

PT

PR

P0

r0

Figura 3.5: Frontiera dei portafogli efficienti con titoli rischiosi e un titolo privo di rischio

A tal punto, si tratta di stabilire quale, tra le tante semirette che originano da r0 e che

si ottengono combinando il titolo risk-free con i diversi portafogli rischiosi, costituisca la

frontiera dei portafogli efficienti. A tale riguardo si consideri la Figura 3.5 dove e riportato

il portafoglio P0 riferito a un investimento in cui tutta la ricchezza dell’investitore e spesa

per acquistare l’attivita priva di rischio: le sue coordinate, infatti, sono µ0 = r0 e σ0 = 0.

PR e PT , invece, sono due portafogli in cui l’investitore spende, in proporzioni diverse,

tutta la sua ricchezza nell’acquisto di soli titoli rischiosi (si noti che tali portafogli si

collocano sul tratto crescente della frontiera dei portafogli con soli titoli rischiosi per

cui, se non fosse presente il titolo risk-free, sarebbero entrambi portafogli efficienti). Le

due semirette che originano da P0 e passano per PR e PT rappresentano, dunque, tutti i

17Piu specificatamente, in base all’Espressione (3.18), µP cresce al crescere del rapporto σP /σR. Cioha chiaramente senso: poiche, come abbiamo visto, σP /σR e uguale a (1 − a0), che rappresenta laquota di titoli rischiosi presenti nel portafoglio P , al crescere di tale quota aumenta il rendimento attesodell’investimento µP in quanto µR > r0.

76

3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA IV. Titoli rischiosi e un titolo privo di rischio

portafogli che si ottengono combinando, in proporzioni differenti, il titolo privo di rischio

e, rispettivamente, i (le combinazioni di titoli presenti nei) portafogli rischiosi PR e PT .18

Peraltro, e facile mostrare che per ogni portafoglio situato sulla semiretta passante per

PR, esiste un altro portafoglio su quella passante per PT che:

i. consente di ottenere un dato rendimento atteso con un rischio minore; oppure

ii. a parita di rischio consente di ottenere un rendimento atteso maggiore.

Ovviamente, dal punto di vista grafico, tali risultati dipendono dal fatto che la semi-

retta passante per PT si colloca sempre a sinistra e al di sopra di quella passante per PR.

e semplice dimostrare, inoltre, che i portafogli sulla semiretta passante per PT dominano,

nel senso prima definito, tutti i portafogli che si collocano su una qualsiasi altra semiretta

che origina da P0 e che passa per un portafoglio qualsiasi sulla frontiera con solo titoli

rischiosi. Cio in quanto la semiretta passante per PT e l’unica che e tangente a quella

frontiera; per tale motivo, il portafoglio PT si definisce portafoglio di tangenza. In

sostanza, quindi, in presenza di un titolo senza rischio la frontiera dei portafogli efficienti

e la semiretta inclinata positivamente che origina dal portafoglio senza rischio P0 ed e

tangente alla frontiera dei portafogli con solo titoli rischiosi (in Figura 3.5, essa coincide,

dunque, con la semiretta in grassetto passante proprio per il portafoglio di tangenza PT ),

per cui l’equazione che la caratterizza sara:

µP = r0 +

(µT − r0

σT

)σP (3.19)

dove µT e σT sono, rispettivamente, il rendimento atteso e il rischio (deviazione standard)

del portafoglio di tangenza.

In relazione alla frontiera efficiente di Figura 3.5, si noti anche che per ciascun por-

tafoglio che si colloca tra P0 e PT (compreso P0, ma non PT ), spendendo parte della

sua ricchezza nell’acquisto del titolo privo di rischio, l’investitore, di fatto, sta conceden-

do denaro a prestito. Consideriamo, invece, il portafoglio PD. Esso si colloca oltre PT .

L’investitore, quindi, non avrebbe potuto raggiungerlo con la sola sua ricchezza. Per riu-

scirci, puo adesso sfruttare la presenza dell’attivita priva di rischio. In particolare, puo

18A questo punto si potrebbe porre la seguente domanda: consideriamo, ad esempio, la semirettapassante per PR (discorso analogo potrebbe essere fatto per quella passante per PT ); se in P0 l’investitorespende tutta la sua ricchezza per acquistare il titolo risk-free, in PR spende tutta la sua ricchezza peracquistare il portafoglio rischioso e tra P0 e PR spende tutta la sua ricchezza per acquistare portafogliche sono un mix dei portafogli precedenti, come puo l’investitore acquistare portafogli che si trovano sullasemiretta a destra di PR? Per rispondere a tale domanda si veda, tra un attimo, quanto argomentato inrelazione ai portafogli con debito.

77


indebitarsi (cioe prendere denaro a prestito al tasso risk-free) e utilizzare le risorse aggiun-

tive cosı ottenute per potersi permettere un investimento altrimenti non realizzabile: per

tale motivo, un portafoglio oltre PT , come PD, e anche detto portafoglio con debito

(levered portfolio).

Infine, analogamente a quanto visto nella Sezione III.B in assenza del titolo risk-

free, la frontiera (efficiente) dei portafogli puo essere ricavata analiticamente risolvendo il

seguente problema, che e del tutto simile al precedente, con l’unica (importante) differenza

che adesso “l’insieme di scelta” dell’investitore e piu ampio, comprendendo anche l’attivita

priva di rischio; in particolare, in cio che segue, a0 si riferisce alla scelta dell’investitore

sulla quota di ricchezza destinata all’acquisto dell’attivita risk-free (in Appendice A.2

al capitolo, il procedimento matematico per il calcolo della frontiera dei portafogli sara

sviluppato analiticamente per il caso particolare in cui sono presenti due attivita rischiose

e una priva di rischio):19

min(a0,a1,a2,...,an)

σ2P =

n∑

i=1

n∑

j=1

aiajσij (3.20)

s. a:

a0r0 +n∑

i=1

aiµi = µP (3.21)

a0 +n∑

i=1

ai = 1. (3.22)

Esempio 15 (Frontiera efficiente)

Si assuma che µT = 0, 1 e σT = 0, 5 siano, rispettivamente, il rendimento atteso e il rischio

del portafoglio di tangenza, mentre il tasso di rendimento del titolo privo di rischio sia del

5%. Se un investitore intende realizzare un investimento con rendimento atteso del 20%,

qual’e il rischio piu basso che deve sopportare? Inoltre, come si compone il portafoglio

che gli consente di ottenere il rendimento atteso desiderato con il rischio piu basso?

Il portafoglio che minimizza il rischio in corrispondenza di un rendimento atteso

del 20% si trova chiaramente sulla frontiera efficiente, per cui occorre far riferimento

19Oltre a quello rappresentato di seguito, un metodo matematico alternativo per individuare la frontieraefficiente (con un titolo risk-free) si basa sull’osservazione che quest’ultima coincide con la semirettaavente intercetta r0 sull’asse delle ordinate e con inclinazione piu elevata (compatibilmente con l’insiemedi scelta dei portafogli, rispetto al quale la semiretta e tangente). In virtu di tale osservazione, la frontieraefficiente puo essere costruita individuando i portafogli che, per ogni dato tasso atteso di rendimento µP ,massimizzano l’inclinazione della semiretta (µP−r0)/σP , sotto il vincolo che le quote di ricchezza investitenei vari titoli sommino a uno (a0 +

∑i ai = 1).

78

3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA V. Indici di performance

all’Equazione (3.19). In particolare, risolvendo rispetto a σP otteniamo:

σP =

(µP − r0

µT − r0

)σT ,

da cui, il rischio minimo per µP = 0.2 (considerando i valori di µT e σT ) e pari a:

σP =

(0.2− 0.05

0.1− 0.05

)0.5 = 1.5.

Per calcolare poi la composizione del portafoglio, possiamo fare riferimento alla formula

del rendimento atteso dello stesso, ossia µP = a0r0 + (1− a0)µT , che implica a0 = (µP −µT )/(r0 − µT ), da cui otteniamo che:

a0 =0.2− 0.1

0.05− 0.1= −2

e 1−a0 = 3. In altri termini, l’investitore si indebita (al tasso risk-free) per un ammontare

di risorse pari al doppio della sua ricchezza iniziale al fine di investire una somma pari a

tre volte la sua ricchezza iniziale nel portafoglio rischioso (di tangenza). Cio (cioe il fatto

che debba indebitarsi) era attendibile, dal momento che l’investitore ambisce a ottenere

un rendimento atteso piu elevato rispetto a quello del portafoglio di tangenza.

V Frontiera dei portafogli e indici di performance delle attivita

finanziarie

La frontiera dei portafogli puo essere utile di per se anche a definire, indipendente-

mente dalle preferenze dei singoli investitori, la performance di un’attivita finanziaria o

di un portafoglio di investimento contenente piu titoli finanziari contemporaneamente. In

particolare, in letteratura sono stati proposti vari indici per misurare le performance di

un’attivita che tenesse conto sia del rendimento atteso che della sua rischiosita che si ri-

chiamano esplicitamente al concetto di frontiera efficiente. Fra questi, assume particolare

interesse l’indice di Sharpe (Sharpe ratio), dal nome dell’economista William Sharpe

che per primo lo ha proposto, che, in relazione all’attivita i-esima, e definito come:

si =µi − r0

σi. (3.23)

L’indice di Sharpe valuta quindi un’attivita, che puo essere un singolo titolo oppu-

re un intero portafoglio, in relazione sia al suo rendimento atteso in eccesso rispetto al

rendimento dell’attivita risk-free, sia alla sua rischiosita, misurata da σi, la deviazione

79

V. Indici di performance 3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA

µP

σP

r0

P2

P1

s2 =µP2

−r0σP2

σP2σP1

µP1

µP2

PT

P3

FPE

s1 =µP1

−r0σP1

Figura 3.6: Indice di Sharpe

standard del suo rendimento. In Figura 3.6, ad esempio, il portafoglio P1 ha un rendi-

mento maggiore di P2, ma associato anche a un livello maggiore di rischio. Peraltro, se

valutiamo tramite l’indice di Sharpe i due portafogli P2 risulta preferito rispetto P1. Cio

e facilmente intuibile considerando anche che l’indice di Sharpe non e altro che l’inclina-

zione della semiretta (gia discussa nella Sezione IV) che origina dall’asse delle ordinate

in corrispondenza di r0, il tasso di rendimento del titolo privo di rischio, e passante per

il particolare portafoglio considerato. Poiche il portafoglio P2 si colloca su una semiretta

piu inclinata di quella su cui si colloca P1, in base all’indice di Sharpe, la performance di

P2 e migliore a quella di P1.

Ovviamente, se calcolato per due portafogli che si collocano sulla frontiera dei por-

tafogli efficienti (in Figura 3.6, la semiretta FPE), ad esempio PT (il “portafoglio di

tangenza”) e P3, l’indice di Sharpe risulta uguale, dal momento che i portafogli efficienti

si trovano tutti sulla stessa semiretta. Inoltre, per motivi che adesso dovrebbero risultare

chiari, l’indice e massimo proprio per i portafogli efficienti (si confronti l’indice di Sharpe

per i portafogli P1 e P2 con quello per i portafogli PT e P3). Possiamo dunque concludere

che, dati due portafogli, se l’indice di Sharpe del primo e superiore a quello del secon-

do, siamo sicuri che il secondo portafoglio non potra appartenere alla frontiera efficiente

(peraltro, a priori, non possiamo concludere che il primo vi appartenga).

Un altro indice di performance finanziaria, derivato dall’indice di Sharpe, e l’indice

RAP (Risk-Adjusted Performance), proposto dall’economista Franco Modigliani,

80

3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA V. Indici di performance

che fa riferimento ad un generico portafoglio ”benchmark” PBENCH ed e definito come:

RAPi = r0 +σBENCH

σi(µi − r0) ,

ossia, in termini dell’indice di Sharpe:

RAPi = r0 + σBENCHsi. (3.24)

Si noti, innanzitutto, che dal momento che l’indice RAP e una funzione lineare po-

sitiva dell’indice di Sharpe, i due indici mantengono esattamente lo stesso “ordine” di

performance dei vari titoli (portafogli). Inoltre, l’indice RAPi e pari al rendimento at-

teso dell’attivita i se il rischio dell’attivita i (ossia σi) e pari a quello del portafoglio

benchmark, mentre, a parita di rendimento atteso µi, cresce mano a mano che il rischio

”relativo” dell’attivita i diminuisce (ossia σi decresce rispetto a σBENCH). E’ immediato

che tale indice possa essere calcolato anche per un generico portafoglio.

µP

σP

r0

P2

P1

σBENCH

PT

RAP1

RAP2

RAPFPE

FPE

s1

Figura 3.7: Indice RAP

Graficamente, per un dato portafoglio, l’indice RAP si ottiene fissando sull’asse delle

ascisse il “rischio” del portafoglio benchmark, σBENCH , e individuandone il relativo va-

lore sull’asse delle ordinate in corrispondenza del punto di intersezione tra σBENCH e la

semiretta con intercetta r0 su cui si colloca il portafoglio considerato. Ad esempio, nella

Figura 3.7 l’indice RAP dei due portafogli P1 e P2 (RAP1 e RAP2), quando σBENCH

rappresenta il rischio del portafoglio benchmark, conferma che il portafoglio P2 dovrebbe

essere preferito a P1. Osserviamo che il RAP massimo viene raggiunto per i portafoglio

81

VI. Teorema di separazione e portafoglio ottimo 3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA

sulla frontiera efficiente (vedi RAPFPE nella figura), cosı che anche questo indice puo

essere utilizzato per scartare portafogli inefficienti.

Esempio 16 (Indici di Sharpe e RAP)

Si considerino i tre seguenti portafogli finanziari, caratterizzati dalle coppie tasso atteso

di rendimento-rischio: P1) µ1 = 15.5%, σ1 = 0.2; P2) µ2 = 9.2%, σ2 = 0.09; P3) µ3 =

12%, σ3 = 0.12. Si calcolino i rispettivi indici di Sharpe e RAP , ipotizzando che il

tasso di rendimento del titolo privo di rischio sia r0 = 5% e che il rischio del portafoglio

benchmark sia σBENCH = 0.1, e si indichi quali portafogli non appartengono alla frontiera

efficiente.

Applicando la formula dell’indice di Sharpe otteniamo:

s1 =0.155− 0.05

0.2= 0.525

s2 =0.092− 0.05

0.09' 0.467

s3 =0.12− 0.05

0.12' 0.583.

Applicando la formula dell’indice RAP otteniamo:

RAP1 = 0.05 +0.1

0.2(0.155− 0.05) = 0.1025

RAP2 = 0.05 +0.1

0.09(0.092− 0.05) ' 0.0967

RAP3 = 0.05 +0.1

0.12(0.12− 0.05) ' 0.1083.

Sulla base dei risultati degli indici possiamo dedurre che i portafogli P1 e P2 non

appartengono alla frontiera dei portafogli efficienti.

VI Teorema di separazione e scelta del portafoglio ottimo

Prima di passare ad analizzare la scelta del portafoglio ottimo (tra i tanti che si col-

locano sulla frontiera efficiente) da parte dell’investitore, e importante sottolineare un

ultimo aspetto. In effetti, in base al ragionamento con cui la frontiera efficiente e stata

individuata, tutti gli investitori con le stesse “credenze” riguardo ai rendimenti attesi e

alle varianze, o deviazioni standard, (e covarianze) dei rendimenti dei vari titoli, saranno

caratterizzati dalla stessa frontiera efficiente e avranno sempre convenienza a scegliere un

portafoglio che si colloca su quella stessa frontiera. Peraltro, per come la frontiera e stata

82

3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA VI. Teorema di separazione e portafoglio ottimo

costruita (combinando, in proporzioni diverse, il portafoglio risk-free e quello rischioso),

ogni suo portafoglio, limitatamente alla sola componente rischiosa, sara caratterizzato

dalla stessa combinazione di titoli. In particolare, considerando specificatamente la Fi-

gura 3.5 della Sezione IV, tale combinazione di titoli rischiosi sara quella corrispondente

al portafoglio “di tangenza” PT . Le preferenze degli investitori, dunque, determineranno

i punti (portafogli) in cui essi si posizioneranno lungo la frontiera (che, chiaramente, sa-

ranno diversi per investitori con preferenze diverse)20, ossia la particolare combinazione

tra titolo privo di rischio e portafoglio PT , ma non influiranno sulle proporzioni con cui

gli investitori deterranno titoli rischiosi. In altri termini, le preferenze degli investitori in-

fluiranno sull’ammontare assoluto di denaro investito in ciascun titolo rischioso (e quindi

nella componente rischiosa dell’investimento nel suo complesso), ma non nelle proporzioni

con cui il denaro viene investito tra i diversi titoli rischiosi. Tutto cio, ci porta a enunciare

un risultato fondamentale della teoria delle scelte di portafoglio, noto come teorema di

separazione o del fondo comune (separation or mutual fund theorem):

Teorema 1 (Teorema di separazione)

Per ogni investitore interessato soltanto alla media e alla varianza (deviazione standard)

dei rendimenti, il portafoglio ottimo consiste in una certa combinazione del titolo privo di

rischio e di un particolare portafoglio di attivita rischiose (il fondo comune) che e lo stesso

per tutti gli investitori con le stesse aspettative (o credenze) sulle medie, le varianze e le

covarianze dei rendimenti dei vari titoli.

L’asserto del teorema non e banale: qualunque siano le preferenze individuali (e la

ricchezza) degli investitori, questi ultimi distribuiranno la loro ricchezza tra il titolo privo

di rischio e un portafoglio rischioso che e indipendente dalle loro preferenze. In altri

termini, la scelta di portafoglio di ciascun investitore, concettualmente, puo essere separata

in due distinte fasi:

1. individuare la composizione efficiente del portafoglio relativa ai soli titoli rischiosi,

ossia individuare il portafoglio di tangenza; questa scelta e indipendente dalle prefe-

renze degli investitori ed e la stessa per tutti gli investitori con le stesse aspettative

o credenze sulle medie, varianze e covarianze dei rendimenti dei titoli (ossia, questa

scelta dipende dalle aspettative, ma non dalle preferenze degli investitori);

20Ad esempio, mentre un investitore piu avverso al rischio scegliera, verosimilmente, un portafogliosenza debito e in larga parte composto dal titolo privo di rischio (cioe, graficamente, un punto moltovicino a P0), un altro investitore, meno avverso al rischio, potrebbe scegliere il portafoglio PD, prendendoa prestito denaro per investirne un ammontare maggiore della propria ricchezza nel portafoglio PT .

83


2. individuare la composizione ottimale della ricchezza tra il portafoglio rischioso (di

tangenza) e il titolo privo di rischio; questa scelta dipende dalle preferenze dei singoli

investitori e, quindi, differira da soggetto a soggetto.

Ai fini pratici, inoltre, tutto questo puo avere implicazioni interessanti. Ad esempio,

un consulente finanziario che dovesse consigliare a un soggetto come investire in modo

ottimale la sua ricchezza, non dovrebbe preoccuparsi di individuare esattamente il porta-

foglio che meglio soddisfa le preferenze del suo cliente; potrebbe, invece, proporgli, insieme

al titolo risk-free, un solo portafoglio, quello corrispondente al portafoglio di tangenza, e

lasciare che il cliente scelga la combinazione tra i due che piu lo soddisfa!21

Esempio 17 (Quote dei titoli nel portafoglio di tangenza)

Si assuma un’economia composta da due titoli rischiosi, il titolo 1 e il titolo 2, e un titolo

privo di rischio. Un investitore A con preferenze media-varianza sceglie in modo ottimale

di investire la sua ricchezza nei tre titoli in base alle seguenti quote: aA∗0 = 0.5, aA∗1 = 0.3

e aA∗2 = 0.2. Un altro investitore B, che condivide le stesse aspettative (o “credenze”) di

A sulle medie, le varianze e le covarianze dei rendimenti dei titoli, ma e piu avverso al

rischio, sceglie in modo ottimale di investire nel titolo privo di rischio una quota maggiore

pari a aB∗0 = 0, 8. Facendo riferimento al Teorema di separazione, si calcolino le quote

investite da B nei titoli 1 e 2.

Utilizzando le quote investite da A nei tre titoli, tramite una semplice proporzione, e

possibile calcolare la composizione dei titoli rischiosi 1 e 2 rispetto alla sola componente

rischiosa del suo portafoglio (si noti che la componente rischiosa del portafoglio di A

ammonta al 50% del totale). In particolare, indicando con zA∗1 , la quota del titolo 1

rispetto alla sola componente rischiosa del portafoglio di A, avremo che:

zA∗1 =aA∗1

1− aA∗0

=0.3

0.5= 0.6

e analogamente:

21Sotto assunzioni particolari, che saranno analizzate dettagliatamente nello studio del modello CAPM(Cap. 4), il compito del consulente finanziario risulterebbe ancora piu facile in quanto, come portafogliorischioso, potrebbe semplicemente fare riferimento a un generale indice di borsa (quale, ad esempio, ilFTSE MIB per l’Italia o lo S&P 500 per gli Stati Uniti). Si noti, inoltre, che un risultato del tuttoanalogo a quello enfatizzato con il teorema di separazione vale anche per un’economia con solo titolirischiosi (in taluni casi, si parla infatti di primo e di secondo teorema di separazione, a seconda del tipodi economia considerata). In questo caso, la scelta ottima dell’investitore potrebbe essere individuataproponendogli, indipendentemente dalle sue preferenze, due portafogli (rischiosi) qualsiasi sulla frontieraefficiente, lasciando che lui scelga la combinazione tra i due che meglio lo soddisfa. Peraltro, in tal caso,i due “fondi comuni” (e tutti portafogli ottenuti combinandoli in proporzioni differenti) non sarannoovviamente caratterizzati dalla stessa proporzione di titoli rischiosi.

84

3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA VI. Teorema di separazione e portafoglio ottimo

zA∗2 =aA∗2

1− aA∗0

=0.2

0.5= 0.4.

Quindi, considerando solo (facendo quota 100) la componente rischiosa del portafoglio

di A, i titoli 1 e 2 sono presenti nella misura del 60% e del 40%, rispettivamente. In base

al Teorema di separazione, possiamo dedurre che: i) tale portafoglio rischioso rappresenta

proprio il portafoglio di tangenza di A, e ii) poiche B ha le stesse aspettative di A, e

il portafoglio di tangenza non dipende dalle preferenze (grado di avversione al rischio)

degli investitori, il portafoglio di tangenza di A coincide con quello di B: anche per B,

limitatamente alla sola componente rischiosa del suo investimento, le quote investite nei

due titoli saranno zB∗1 = 0.6 e zB∗2 = 0.4.

Noi dobbiamo calcolare pero aB∗1 e aB∗2 , cioe le quote investite da B nei titoli rischio-

si rispetto al portafoglio complessivo di investimento (si noti anche in questo caso che

la componente rischiosa dell’investimento complessivo di B e pari al 20% del totale).

Nuovamente, tramite una semplice proporzione, e possibile calcolare tali quote:

aB∗1 = zB∗1 (1− aB∗0 ) = (0.6)(0.2) = 0.12

aB∗2 = zB∗2 (1− aB∗0 ) = (0.4)(0.2) = 0.08.

Rispetto al portafoglio complessivo di investimento, B investe il 12% della sua ricchezza

nel titolo 1 e l’8% nel titolo 2.

Adesso, l’ultimo passo da compiere e quello di derivare il portafoglio ottimo per

l’investitore, cioe quello che si caratterizza per la combinazione rendimento atteso, µP ,

e rischio, σ2P (o σP ), che meglio soddisfa le sue preferenze (ossia, che massimizza la sua

funzione di utilita V , cosı come definita nella Sezione I). Come e stato appena specificato,

per gli investitori che si formano le stesse idee o credenze (perche dispongono, ad esempio,

delle stesse informazioni) sulle medie e le varianze (e le covarianze) dei rendimenti dei vari

titoli, la frontiera dei portafogli efficienti, e, conseguentemente, la combinazione ottimale

di titoli con specifico riferimento alla sola componente rischiosa, e la stessa. Peraltro,

la scelta “definitiva” di ciascun investitore non sara generalmente la stessa in quanto,

in presenza di un titolo privo di rischio, la quota di ricchezza da destinare all’acquisto

di quest’ultimo (e quindi quella residua da destinare alla componente rischiosa) potra

differire da investitore ad investitore in funzione delle diverse preferenze sulla combinazione

rischio-rendimento. Inoltre, in base al teorema di separazione, enunciato precedentemente,

sappiamo che per individuare il portafoglio che meglio soddisfa le preferenze di un certo

investitore, e sufficiente proporgli due soli portafogli (di cui uno quello privo di rischio e

85


l’altro scelto adeguatamente) e lasciare che decida come ripartire la sua ricchezza nella

combinazione di tali portafogli che piu lo soddisfa.

µP

σP

PT

r0

P ∗µP∗

σP∗

Figura 3.8: Scelta ottima del portafoglio di investimento

Al fine di individuare il portafoglio ottimo per un certo investitore (in base alle sue

preferenze), facciamo riferimento alla Figura 3.8. In essa e rappresentata la frontiera

dei portafogli efficienti che ha origine dal portafoglio risk-free ed e tangente, in corri-

spondenza del portafoglio PT , alla frontiera dei portafogli con soli titoli rischiosi. Date le

preferenze dell’investitore, espresse dalle curve di indifferenza rappresentate in Figura 3.8,

il portafoglio ottimo e P ∗ (a cui e associato un rendimento atteso µP ∗ e un rischio σP ∗).

Esso corrisponde al punto di tangenza tra la frontiera efficiente e la curva di indifferenza

piu lontana dall’origine degli assi, che rappresenta, quindi, il livello di utilita piu elevato

che, dato l’insieme dei portafogli efficienti, l’investitore puo conseguire. In questo caso,

inoltre, poiche il portafoglio ottimo si colloca tra il portafoglio senza rischio e quello di

tangenza, l’investitore sceglie di investire la sua ricchezza in parte nel titolo senza rischio

e in parte in titoli rischiosi; la combinazione di questi ultimi e quella corrispondente al

portafoglio PT . Infine si noti che, in base all’usuale interpretazione geometrica di un punto

di tangenza (per cui, in quel punto, la pendenza delle due curve e la stessa), il portafoglio

(punto) ottimo, P ∗, puo essere identificato con l’uguaglianza tra il saggio marginale di

sostituzione tra rendimento e rischio (dµP/dσP ) dell’investitore, che misura la pendenza

delle sue curve di indifferenza, e quella della frontiera efficiente; formalmente:

dµPdσP

|P=P ∗=µT − r0

σT. (3.25)

86

3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA VII. Appendice

In relazione alla condizione di equilibrio relativa alla scelta del portafoglio ottimo,

rappresentata dall’Espressione (3.25), meritano di essere sottolineati i seguenti aspetti:

1. a parita di altre condizioni, tanto maggiore e il rendimento atteso del portafoglio

rischioso (di tangenza) rispetto a quello del titolo risk-free (cioe tanto piu grande e

la differenza µT − r0) e tanto minore e il rischio associato al portafoglio di mercato,

σT , tanto maggiore sara la quota di ricchezza spesa dall’investitore nel portafoglio

rischioso (e viceversa). Cio in quanto, in tali circostanze, il lato destro dell’Espres-

sione (3.25) sara relativamente piu elevato (la frontiera efficiente sara relativamente

piu inclinata) e, in equilibrio, questo dovra valere anche per il lato sinistro. Ma

poiche il saggio marginale di sostituzione tra rendimento e rischio, dµP/dσP , e cre-

scente rispetto al rischio di portafoglio (si veda la Sezione I di questo capitolo),

questo si verifichera in corrispondenza di portafogli in cui la componente rischiosa

e (relativamente) piu elevata;

2. a parita di altre condizioni, tanto piu l’investitore e avverso al rischio, tanto minore

sara la quota di ricchezza che investira nel portafoglio rischioso (e viceversa). Cio,

oltre che intuitivamente, puo essere spiegato considerando che tanto piu un soggetto

e avverso al rischio, tanto maggiore sara (per ogni dato grado di rischio σP ) il “suo”

saggio marginale di sostituzione dµP/dσP (cioe maggiore sara la compensazione, in

termini di rendimento atteso, che richiedera per accettare un incremento marginale

del rischio di investimento). Tutto cio implica, graficamente, curve di indifferenza

dell’investitore piu inclinate e, conseguentemente, un punto di tangenza (portafoglio

ottimo) con una data frontiera efficiente piu vicino all’asse delle ordinate (in cui i

portafogli sono caratterizzati da una minore quota della componente rischiosa).22

VII Appendice

A.1 Dall’utilita attesa VNM all’utilita media-varianza: la funzione di utilita

con forma quadratica

La funzione di utilita media-varianza V = V (µP , σ2P ), utilizzata in questo capitolo

per rappresentare le preferenze dei risparmiatori nelle loro scelte dei portafogli di inve-

stimento, puo essere ricavata formalmente da una particolare funzione di utilita definita

22Il caso estremo, di un investitore interessato esclusivamente alla minimizzazione del rischio di investi-mento, comporta curve di indifferenza perfettamente verticali, con incrementi di utilita che si ottengonospostandosi verso curve di indifferenza piu vicine all’asse delle ordinate. Ovviamente, in tale situazione, ilportafoglio ottimo sara quello che minimizza il rischio di investimento indipendentemente dal rendimentoatteso, che coincidera con il portafoglio composto esclusivamente dal titolo risk-free.

87

VII. Appendice 3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA

sulla ricchezza (sui risultati) finale(i) dell’investitore, quella avente forma quadratica. In

particolare, qualsiasi funzione di utilita con forma quadratica puo essere rappresentata,

genericamente, nel modo seguente:

u(W ) = W − bW 2, (A1)

dove b > 0 e un parametro relativo alle preferenze dell’investitore.

Con riferimento all’Espressione (A1) si notino, innanzitutto, i seguenti aspetti. In

primo luogo, la derivata prima di u rispetto a W e u′(W ) = 1 − 2bW , per cui non e

necessariamente sempre positiva. Poiche nel Capitolo 2, in cui abbiamo introdotto la

funzione di utilita attesa VNM per analizzare le scelte dei soggetti in condizioni di incer-

tezza, si e assunto che valga sempre u′(W ) > 0 (i soggetti preferiscono sempre livelli piu

elevati di ricchezza), un’ipotesi aggiuntiva sulla funzione quadratica che, in tale contesto,

si assume generalmente soddisfatta e 2bW < 1, che assicura che u′(W ) > 0 sia sempre

rispettata.23 In secondo luogo, calcolando la derivata seconda della funzione quadratica,

otteniamo u′′(W ) = −2b < 0, per cui tale funzione esprime le preferenze di soggetti av-

versi al rischio;24 infatti, e proprio a tali tipi di soggetti che ci siamo riferiti nell’analisi

delle scelte di portafoglio basate sul criterio media-varianza. Ma come e possibile arrivare

alla funzione di utilita media-varianza partendo dalla funzione u con forma quadratica?

Calcolando l’aspettativa sull’utilita rappresentata nell’espressione (A1) (ossia la cor-

rispondente utilita attesa VNM), otteniamo:

E[u(W )] = E[W ]− bE[W 2] = E[W ]− b(var[W ] + E[W ]2), (A2)

dove var[W ], la varianza dei risultati finali, e definita come var[W ] ≡ E[(W−E[W ])2].

Dall’espressione (A2) risulta chiaro come, in questo caso, l’utilita attesa E[u(W )] di-

penda esclusivamente (b e un parametro) dalla “media” (valore atteso) della ricchezza

finale, E[W ], e dalla sua varianza, var[W ]; formalmente, E[u(W )] = F (E[W ], var[W ]),

dove F e una particolare forma funzionale.

Per passare dalla funzione F (E[W ], var[W ]) alla funzione V (µP , σ2P ), che e espressa

non in termini di ricchezza finale W prodotta dal portafoglio di investimento, ma in

quelli del suo (tasso di) rendimento (µP ≡ E [rP ], σ2P ≡ E [(rP − µP )2]), si noti che tra

la ricchezza finale e il rendimento prodotto da un dato portafoglio esiste la relazione

23Piu esattamente, poiche u e definita sui “risultati” di una lotteria, la condizione aggiuntiva deveessere soddisfatta per ogni possibile risultato, cioe 2bWk < 1, con k = 1, 2, ...,m.

24Si noti, peraltro, che se calcoliamo il coefficiente assoluto di avversione al rischio Arrow-Pratt (si vedal’Appendice A.1) per la forma funzionale in oggetto otteniamo Ra(W ) = −[u′′(W )/u′(W )] = 2b/(1 −2bW ), che implica R′a(W ) > 0; il grado di avversione (assoluta) al rischio aumenta all’aumentare dellaricchezza (premio) finale. Tale proprieta della funzione quadratica e stata spesso criticata in quantoritenuta controintuitiva.

88


seguente: W = (1 + rP )W , dove W e la ricchezza (pagamento) iniziale investita(o) dal

risparmiatore. Da cio, calcolando l’aspettativa su W (e ricordando le definizioni di µP e

σ2P ), deriva che E[W ] = (1 + µP )W e var[W ] = σ2

PW2. Sostituendo nella funzione F , da

quest’ultima si ottiene la definizione della funzione media-varianza V :25

F ((1 + µP )W,σ2PW

2) ≡ V (µP , σ

2P ). (A3)

A.2 Derivazione matematica della frontiera dei portafogli con due titoli ri-

schiosi e un titolo risk-free

Consideriamo un’economia composta da tre attivita finanziarie, di cui due rischiose (i

titoli 1 e 2) e una priva di rischio (il titolo 0). Il rischio del portafoglio P composto dalle

tre attivita, identificato con la varianza del rendimento σ2, e dunque pari a:

σ2P = a2

1σ21 + a2

2σ22 + 2a1a2ρ12σ1σ2. (A4)

Il rendimento atteso del portafoglio, µP , e invece pari a:

µP = a0r0 + a1µ1 + a2µ2. (A5)

Infine occorrera tener conto del vincolo che assicura che tutta la ricchezza dell’investi-

tore W venga allocata, ossia:

a0 + a1 + a2 = 1. (A6)

L’investitore dovra quindi trovare la combinazione di (a0, a1, a2) tale per cui σ2P e

minimizzato per un dato livello di rendimento atteso µP . Per fare questo impostiamo il

problema di minimo:

min(a0,a1,a2)

(1

2

)σ2P =

(1

2

)(a2

1σ21 + a2

2σ22 + 2a1a2ρ12σ1σ2

)

s. a:

µP = a0r0 + a1µ1 + a2µ2

a0 + a1 + a2 = 1

25Si noti come la funzione F , oltre che da µP e σ2P dipenda, in generale, anche da W , la ricchezza

iniziale dell’investitore, che, essendo data, costituisce un parametro che non compare nella funzione V .In particolare, per quanto concerne le curve di indifferenza dell’investitore, e possibile dimostrare che,ceteris paribus (cioe per ogni data coppia µP -σ2

P ), tanto maggiore e la sua ricchezza iniziale tanto menoinclinate sono le curve di indifferenza che rappresentano le sue preferenze.

89


dove nella minimizzazione abbiamo inserito la costante (1/2) semplicemente per facilitare

i calcoli.

Formuliamo quindi la Lagrangiana del problema sostituendo direttamente il vincolo

per le quote nel vincolo relativo al rendimento atteso di modo da eliminare una delle

variabili di scelta. In particolare sostituiamo per a0 = 1− a1 − a2, per cui:

L =

(1

2

)σ2P + λ [µP − r0 − a1 (µ1 − r0)− a2 (µ2 − r0)] .

Le condizioni del primo ordine per la massimizzazione del portafoglio sono:

∂L∂a1

= a1σ21 + a2ρ12σ1σ2 − λ (µ1 − r0) = 0 (A7)

∂L∂a2

= a2σ22 + a1ρ12σ1σ2 − λ (µ2 − r0) = 0 (A8)

∂L∂λ

= µP − r0 − a1 (µ1 − r0)− a2 (µ2 − r0) = 0. (A9)

Dalle Condizioni (A7) e (A8) otteniamo che:

a1σ21 + a2ρ12σ1σ2 = λ (µ1 − r0) (A10)

a2σ22 + a1ρ12σ1σ2 = λ (µ2 − r0) (A11)

da cui, moltiplicando entrambi i lati dell’Equazione (A10) per a1 ed entrambi i lati

dell’Equazione (A11) per a2, otteniamo:

a21σ

21 + a1a2ρ12σ1σ2 = a1λ (µ1 − r0) (A12)

a22σ

22 + a1a2ρ12σ1σ2 = a2λ (µ2 − r0) . (A13)

Infine, sommando lato a lato le due equazioni risulta:

a21σ

21 + a2

2σ22 + 2a1a2ρ12σ1σ2 = λ [a1 (µ1 − r0) + a2 (µ2 − r0)]

ossia, tenendo conto delle Equazioni (A4) e (A5):

σ2P = λ (µP − r0)

da cui:

λ =σ2P

µP − r0

. (A14)

Stabilito il valore di λ possiamo adesso ricavarci il valore di a2 dall’Equazione (A11),

90


ossia:

a2 =λ (µ2 − r0)− a1ρ12σ1σ2

σ22

che sostituito nell’Equazione (A10) porta a:

a1σ21 +

[λ (µ2 − r0)− a1ρ12σ1σ2

σ22

]ρ12σ1σ2 = λ (µ1 − r0)

da cui, dopo alcuni passaggi algebrici, si ottiene:

a1

(1− ρ2

12

)σ2

1σ22 = λ

[(µ1 − r0)σ2

2 − ρ12σ1σ2 (µ2 − r0)]. (A15)

In ultimo, sostituendo per λ (Equazione (A14)) nell’Equazione (A15), e ricordando

che ρ12σ1σ2 = σ12, otteniamo:

a∗1 =σ2P

(µP − r0) (1− ρ212)σ2

1

[µ1 − r0 −

σ12

σ22

(µ2 − r0)

](A16)

ed analogamente:

a∗2 =σ2P

(µP − r0) (1− ρ212)σ2

2

[µ2 − r0 −

σ12

σ21

(µ1 − r0)

]. (A17)

Infine, dal Vincolo (A6) abbiamo quindi che:

a∗0 = 1− a∗1 − a∗2. (A18)

Come era logico aspettarsi, la quota dell’attivita i-esima nel portafoglio efficiente P

aumenta all’aumentare del suo rendimento, µi, e diminuisce all’aumentare del rischio del

suo rendimento, ossia σ2i . Tuttavia l’effetto del rendimento dell’attivita j-esima, ossia µj,

sulla quota detenuta dell’attivita i-esima passa attraverso la covarianza delle due attivita,

ossia σij. Nel caso questa sia negativa, ossia σij < 0, allora un aumento di µj porta ad un

aumento di ai. La ragione ormai dovrebbe essere chiara, ossia covarianza negativa di un

rendimento significa per chi detiene quell’attivita un minor rischio di portafoglio.



2005; Cap. 5.


91


• Cuthbertson K. e Nitzsche D., Economia finanziaria quantitativa, il Mulino, 2005;

Cap. 5.

• Elton E.J. e Gruber M.J., Modern Portfolio Theory and Investment Analysis, John

Wiley, 1995.

• Sharpe W.F., Alexander G.J. e Bailey J.V., Investments, Printice-Hall, 1999; Capp.

6, 7, 8.

92

Capitolo 4

Il modello CAPM

Studiando come agiscono (o dovrebbero agire razionalmente) gli investitori nel formare

i loro portafogli di investimento, nel capitolo precedente abbiamo di fatto analizzato la

domanda di titoli finanziari in base a un particolare modello (quello media-varianza) di

comportamento degli investitori.1 Peraltro, nel modello media-varianza, gli investitori,

nel decidere i loro portafogli di investimento, considerano i prezzi e i rendimenti attesi

delle singole attivita finanziarie come dati. In altri termini, il modello media-varianza, di

per se, non dice niente su come si formano sul mercato i prezzi (e i rendimenti attesi) dei

singoli titoli. Il modello CAPM (Capital Asset Pricing Model), che analizzeremo

in questo capitolo, si propone invece di spiegare proprio come si formano, in equilibrio, i

prezzi e i rendimenti attesi delle attivita finanziarie.2

Le ipotesi fondamentali del CAPM sono che gli investitori: i) prendano le proprie

decisioni di investimento in base a quanto prescritto dal modello media-varianza delle

scelte di portafoglio; e ii) condividano tutti le stesse aspettative (o credenze) sulla media,

la varianza e le covarianze dei rendimenti delle attivita; si parla a questo proposito di

“homogeneous beliefs”. I prezzi di equilibrio delle attivita, che poi determineranno i

rendimenti di equilibrio, dovranno essere tali da eliminare possibili eccessi di domanda e

di offerta nel mercato. L’interesse e capire come si comportino i rendimenti in equilibrio

e come gli investitori decidano quanto rischio sopportare nei propri portafogli; in altri

1Si noti che la domanda di titoli finanziari riflette l’offerta di fondi prestabili. Sottoscrivendo (do-mandando) titoli finanziari, infatti, gli investitori offrono risorse finanziarie ai soggetti che li hannoemessi.

2Gli economisti William Sharpe e John Lintner hanno fornito, negli anni 60 dello scorso secolo, imaggiori contributi a questo filone di letteratura, tanto che Sharpe, insieme a Markovitz, ha ricevutonel 1990 il premio Nobel per l’economia. Esistono vari sviluppi ed estensioni del modello di base delCAPM. Ad esempio, se si considera un contesto in cui non e presente alcuna attivita priva di rischioallora abbiamo il ”Black CAPM ”, chiamato cosı in onore dell’economista Fischer Black, che piu ne haapprofondito le proprieta. Esistono poi versioni piu complicate del CAPM, come la versione con scelteintertemporali, il cosiddetto ICAPM (intertemporal CAPM ) e anche un modello che include le scelte diconsumo, il cosiddetto CCAPM (consumption CAPM ).

93

I. Assunzioni del modello 4. IL MODELLO CAPM

termini, che relazione sussiste in equilibrio tra i rendimenti (attesi) e il rischio delle varie

attivita finanziarie.

I Le assunzioni alla base del CAPM

Nel seguito presentiamo e vagliamo in dettaglio le ipotesi alla base del modello CAPM.

Divideremo tali ipotesi in tre gruppi principali, ossia i) le ipotesi relative all’equilibrio di

tutti i mercati delle attivita, ii) le ipotesi sul comportamento degli investitori e iii) le

ipotesi sulle aspettative degli investitori. L’esplicitazione delle ipotesi alla base del CAPM

dovrebbero servire a chiarire i suoi limiti applicativi alla realta, cioe quanto questi limiti

pregiudichino la capacita del modello nello spiegare i comportamenti degli investitori e i

prezzi osservati nei mercati.

I.A Equilibrio nei mercati dei capitali

1. Nei mercati non sono presenti frizioni di alcun tipo. Questo significa assenza di

costi di transazione e nessun limite allo scambio di attivita (ad esempio divieto di

vendite allo scoperto). Sebbene tale situazione non si verifica sostanzialmente mai

nella realta, il CAPM dara indicazioni tanto piu precise tanto minori sono le frizioni

presenti nel mercato (cioe tanto piu ci si avvicina al contesto ideale su cui il CAPM

si fonda).

2. Gli investitori non incontrano mai limiti nel prendere a prestito o nell’investire

nell’attivita priva di rischio. Se sono presenti dei limiti, ad esempio perche non e

possibile per un investitore prendere a prestito al tasso privo di rischio piu di un

certo ammontare di risorse, allora il CAPM potrebbe non essere adeguato a spiegare

i rendimenti di equilibrio.

3. Le attivita sono infinitamente divisibili. Il CAPM quindi potrebbe non essere ade-

guato se gli investitori hanno un patrimonio limitato ed esistano alcune attivita non

facilmente divisibili (si pensi all’investimento in beni immobili).

4. Tutti gli scambi devono avvenire ai prezzi di equilibrio di mercato. Non e quin-

di compatibile con il CAPM la possibilita che avvengano scambi a prezzi non di

equilibrio, come avviene di solito nei mercati. Tuttavia se tali scambi influenzano

marginalmente la ricchezza degli investitori l’ipotesi non si rivela cruciale.

5. Gli investitori devono comportarsi da price-taker, ossia non devono esistere situazio-

ni di monopolio nel mercato. Anche in questo caso e possibile che in alcuni mercati

94

4. IL MODELLO CAPM II. Portafoglio di mercato e linea del mercato dei capitali

esistano investitori che abbiano un certo potere di mercato, ossia abbiano il potere

di condizionare i prezzi di equilibrio (o pensino di poterlo fare).

6. Le imposte devono essere neutrali. Questo non significa che le tasse debbano essere

zero, ma che invece tutti gli investitori siano tassati alla medesima aliquota e che

non vi sia una tassazione differenziale fra guadagni in conto capitale e dividendi

(come invece e nella realta). In generale si richiede quindi che la tassazione sia non

distorsiva delle scelte individuali di investimento.

I.B Scelte degli investitori

1. Tutti gli investitori adottano un orizzonte uniperiodale. Quello che rileva per loro e

quindi la ricchezza alla fine del periodo considerato. Esistono estensioni del CAPM

che permettono di superare tale ipotesi (il cosiddetto ICAMP).

2. Tutti gli investitori si comportano in accordo al modello media-varianza. Tale ipotesi

e quella che ha dato ambito a un largo dibattito e a una notevole mole di contributi,

che mirano a dimostrare come gli investitori spesso non usino regole di decisione

ottimizzanti ma ispirate al buon senso o all’esperienza passata.3

I.C Aspettative omogenee

1. Tutti gli investitori condividono le stesse stime delle aspettative sul rendimento

atteso, varianza e covarianza delle diverse attivita. Questa ipotesi risulta cruciale

ai fini del CAPM e anch’essa ha dato origine a molte controversie in letteratura.

II Portafoglio di mercato e linea del mercato dei capitali

Come gia sappiamo dal modello media-varianza delle scelte di portafoglio, analizzato

nel capitolo precedente, investitori con aspettative omogenee sulle medie, le varianze e le

covarianze dei titoli finanziari condividono la stessa frontiera efficiente (FPE). Ossia, per

investitori con le stesse aspettative, i portafogli efficienti sono situati nello stesso luogo

geometrico nel piano (σP , µP ). Dal teorema di separazione sappiamo, inoltre, che tali

investitori detengono un portafoglio che, limitatamente alla sola componente rischiosa, e

uguale per tutti. Le differenze fra gli investitori, dovute a diverse attitudini al rischio (e

alla diversa ricchezza), si esplicano invece nelle diverse proporzioni in cui essi dividono la

propria ricchezza fra il portafoglio rischioso e l’attivita priva di rischio.

3Tale letteratura prende il nome di finanza comportamentale (behavioral finance) e sara trattata nelCapitolo 9.

95

II. Portafoglio di mercato e linea del mercato dei capitali 4. IL MODELLO CAPM

In base alle assunzioni del CAPM, tutti gli investitori che operano sul mercato dei ca-

pitali hanno aspettative omogenee e, conseguentemente, detengono attivita rischiose nelle

stesse proporzioni. Peraltro, dal momento che il mercato dei capitali e, chiaramente, un

aggregato di tutti gli investitori, logicamente ogni investitore deterra titoli rischiosi nella

stessa proporzione del mercato. Per tale motivo, sotto le assunzioni del CAPM, il por-

tafoglio di tangenza, che identifica proprio la combinazione di titoli rischiosi detenuta

da ciascun investitore, viene anche definito portafoglio di mercato e, analogamente, la

frontiera efficiente, costruita combinando in proporzioni differenti il portafoglio di mercato

con il titolo privo di rischio, viene anche indicata come linea del mercato dei capitali

o capital market line (CML).

Definizione 10 (Linea del mercato dei capitali)

La linea del mercato dei capitali, o CML, esprime la relazione di equilibrio tra il rendi-

mento atteso e il rischio (deviazione standard) dei portafogli efficienti.

In base alla Definizione 10 e dall’analisi sviluppata nel Capitolo 3 si puo facilmente

dedurre che l’equazione che caratterizza la CML e data da:

µP = r0 +

(µM − r0

σM

)σP (4.1)

dove µP e σP rappresentano il rendimento atteso e la deviazione standard di un generico

portafoglio efficiente P , mentre µM e σM esprimono il rendimento atteso e la deviazione

standard del portafoglio di mercato. La CML, quindi, e rappresentata da una retta con

intercetta verticale pari a r0 e coefficiente angolare (positivo) dato da (µM − r0)/σM .

La Figura 4.1 riporta la linea del mercato dei capitali (CML) che rappresenta, quindi,

il luogo geometrico nello spazio (σP , µP ) dei portafogli efficienti. Il portafoglio di mercato,

indicato con PM , e costituito invece dal portafoglio di tangenza tra la CML e la frontiera

efficiente con soli titoli rischiosi. Ovviamente, tutti i portafogli scelti in equilibrio dagli

investitori devono appartenere alla CML. In particolare, nella figura sono stati indicati

tre portafogli ottimali, P ∗1 , P ∗2 e P ∗3 , per tre possibili investitori con diverse preferenze.

96

4. IL MODELLO CAPM II. Portafoglio di mercato e linea del mercato dei capitali

µP

σP

r0

PM

µPM

σPM

CML

P ∗1

P ∗2

P ∗3

Figura 4.1: Portafoglio di mercato e linea del mercato dei capitali (CML)

Esempio 18 (CML)

Assumete che nel mercato esistano due sole attivita rischiose, il titolo A e il titolo B, i cui

tassi attesi e le deviazioni standard dei rendimenti sono riportati nella seguente tabella,

insieme alle proporzioni con cui tali titoli sono detenuti nel portafoglio di mercato:

Titolo µ σ Quote in PM

A 0,1 0,2 0,4

B 0,15 0,28 0,6

Dato un livello di correlazione fra i rendimenti delle attivita A e B pari a ρAB = 0, 3 e

un tasso di rendimento dell’attivita priva di rischio r0 = 0, 05, si calcoli l’equazione della

CML.

Per definire l’equazione della CML occorre innanzitutto calcolare µM e σM . In

particolare, il rendimento atteso del portafoglio di mercato e dato da:

µM = aAµA + aBµB = 0, 4(0, 1) + 0, 6(0, 15) = 0, 13

97

II. Portafoglio di mercato e linea del mercato dei capitali 4. IL MODELLO CAPM

mentre σM si puo ottenere nel modo seguente:

σM =√a2Aσ

2A + a2

Bσ2B + 2ρABaAaBσAσB =

=√

(0, 4)2(0, 2)2 + (0, 6)2(0, 28)2 + 2(0, 3)(0, 4)(0, 6)(0, 2)(0, 28) ≈ 0, 2.

Da tali dati, considerando l’Equazione (4.1), si deduce che, in questo esempio, l’equa-

zione della CML e data da: µP = 0, 05 +(

0,13−0,050,2

)σP = 0, 05 + 0, 4 σP .

Prima di passare ad analizzare piu dettagliatamente la relazione che sussiste, in equi-

librio, tra rendimento atteso di un singolo titolo e il suo rischio in base alle ipotesi del

CAPM, e opportuno evidenziare ulteriormente alcune importanti proprieta del portafoglio

di mercato che ci porteranno anche a fornirne una definizione piu precisa. In primo luogo,

e possibile affermare che tutte le attivita finanziarie (rischiose) disponibili sul mercato

saranno presenti nel portafoglio di mercato. In altri termini, non sara mai possibile che

un’attivita finanziaria disponibile abbia una quota pari a zero nel portafoglio di mercato.

Per capire questa affermazione occorre tener presente che il concetto di portafoglio di

mercato e un concetto di equilibrio. Se un’attivita fosse presente sul mercato ma non

fosse detenuta dagli investitori, si determinerebbe un’eccesso di offerta per quel titolo.

Questo produrrebbe una caduta del suo prezzo e, conseguentemente, un aumento del suo

rendimento atteso (si ricordi la formula generale del rendimento di un titolo). Ma cio

spingerebbe gli investitori a domandare l’attivita per cui, in equilibrio (domanda uguale

all’offerta), il relativo titolo entrera certamente a far parte, in una qualche proporzione

positiva, del portafoglio di mercato. Analogamente, se un’attivita fosse domandata in

una quantita maggiore rispetto a quella disponibile (offerta) sul mercato, il suo prezzo

salirebbe, mentre il rendimento scenderebbe. Cio spingerebbe gli investitori a ridurre la

domanda del titolo fino a quando domanda e offerta non si equilibrano. Nel portafoglio

di mercato, quindi, il titolo sara presente proprio nella proporzione per cui il prezzo e il

rendimento (atteso) sono tali da garantire l’uguaglianza tra domanda e offerta.4

Definizione 11 (Portafoglio di mercato)

Il portafoglio di mercato e il portafoglio composto da tutti i titoli (rischiosi) presenti sul

mercato, dove le quote dei diversi titoli sono quelle detenute in equilibrio dal mercato nel

suo complesso, ossia quelle per cui, per ciascun titolo, la domanda e l’offerta di mercato

sono uguali.5

4Ovviamente, la condizione di equilibrio dovra essere soddisfatta anche per il titolo risk-free. Inparticolare, il tasso di rendimento di tale titolo dovra essere tale per cui l’ammontare di risorse prese aprestito e quelle prestate a quel tasso sono le stesse.

5Sebbene l’idea di portafoglio di mercato sia piuttosto intuitiva e, ai fini pratici, molto rilevante(ad esempio, nel portafoglio di mercato dovrebbe investire un fondo comune che intendesse attuare una

98

4. IL MODELLO CAPM III. Linea del mercato delle attivita

III Linea del mercato delle attivita

In base alla Definizione 10, la linea del mercato dei capitali esprime la relazione di

equilibrio tra il rendimento atteso e il rischio (deviazione standard) dei portafogli efficienti.

Peraltro, di per se, essa non fornisce alcuna indicazione sulla relazione tra il rendimento

atteso e il rischio delle singole attivita finanziarie. Infatti, in generale, i singoli titoli

finanziari (o, piu precisamente i portafogli composti esclusivamente da un solo titolo)

non si collocheranno sulla CML, in quanto, come sappiamo dal capitolo precedente,

portafogli composti da un solo titolo sono generalmente inefficienti. Per approfondire la

relazione che sussiste (in equilibrio) tra il rendimento e il rischio dei singoli titoli occorre

quindi sviluppare un’analisi piu dettagliata che, in primo luogo, consistera nel derivarne

formalmente l’equazione.

III.A Derivazione della linea del mercato delle attivita

Si consideri la Figura 4.2 dove il portafoglio Pi e composto dal solo titolo generico

i. Chiaramente, dal momento che con il portafoglio Pi i vantaggi della diversificazione

non sono sfruttati, esso non e un portafoglio efficiente per cui non si colloca sulla CML

e neppure sulla frontiera efficiente con soli titoli rischiosi (si trova infatti all’interno del-

la frontiera dei portafogli con solo titoli rischiosi). Esistono cioe altri portafogli (anche

composti da soli titoli rischiosi) che, rispetto a Pi, consentono, a parita di rischio, di otte-

nere un rendimento atteso maggiore oppure, a parita di rendimento atteso, conferiscono

all’investitore un piu basso rischio.

Ammettiamo adesso di combinare in quote ai e (1 − ai) il portafoglio Pi con il por-

tafoglio di mercato PM , ottenendo cosı un nuovo portafoglio P con rendimento atteso e

varianza dati da:

µP = aiµi + (1− ai)µM (4.2)

σ2P = a2

iσ2i + (1− ai)2σ2

M + 2ai(1− ai)σiM . (4.3)

Per ragioni che dovrebbero essere adesso chiare, in base al valore assunto da ai, il

nuovo portafoglio P si collochera in un punto sulla curva tratteggiata che unisce i punti

strategia passiva di investimento, non scommettendo cioe su un particolare titolo, ma puntando sulla piuampia diversificazione possibile), individuarlo esattamente, in concreto, non e compito facile. Ad esempio,quali titoli rischiosi dovrebbero essere inclusi nel portafoglio di mercato (solo azioni o anche obbligazioni)?Solo titoli nazionali o anche stranieri? Altri investimenti rischiosi non prettamente finanziari, come quelliin capitale umano, immobili, metalli preziosi e opere d’arte, andrebbero considerati nel portafoglio dimercato? E in che modo? A causa di tali questioni, di non semplice soluzione, generalmente viene fattoriferimento ad alcune proxy del portafoglio di mercato che consistono negli indici azionari della borsa nelsuo complesso (quale, ad esempio, il FTSE MIB per l’Italia o lo S&P 500 per gli Stati Uniti).

99

III. Linea del mercato delle attivita 4. IL MODELLO CAPM

µP

σP

PM

r0

CML

Pi

Figura 4.2: Derivazione della linea del mercato delle attivita

Pi e PM (si tenga presente che sia Pi che PM sono portafogli composti da soli titoli

rischiosi). In particolare, nello spazio (σP , µP ), l’inclinazione della curva tratteggiata e

data da dµP/dσP ,6 che puo essere anche riscritta nel modo seguente:

dµPdσP

=dµP/daidσP/dai

. (4.4)

Utilizzando l’Espressione (4.2) e semplice calcolare che:

dµPdai

= µi − µM . (4.5)

Per calcolare invece dσP/dai occorre considerare che:

dσ2P

dσP· dσPdai

=dσ2

P

dai⇔ dσP

dai=

dσ2P/dai

dσ2P/dσP

(4.6)

dove, utilizzando l’Espressione (4.3), abbiamo che:

dσ2P

dai= 2aiσ

2i − 2(1− ai)σ2

M + 2(1− 2ai)σiM (4.7)

e

dσ2P

dσP= 2σP (4.8)

6Si noti che, trattandosi di una curva, l’inclinazione varia in ogni suo punto.

100


per cui:

dσPdai

=2aiσ

2i − 2(1− ai)σ2

M + 2(1− 2ai)σiM2σP

. (4.9)

L’ultimo passo da compiere consiste nel considerare che in corrispondenza del porta-

foglio di mercato PM , la curva tratteggiata in Figura 4.2 e tangente alla linea del mercato

dei capitali,7 per cui la sua inclinazione, in quel punto, coincide proprio con quella della

CML, ossia (µM − r0)/σM . Peraltro, in corrispondenza di PM , avremo anche che ai = 0

e P = PM , per cui, utilizzando le Espressioni (4.4), (4.5) e (4.9) (con ai = 0 e σP = σM)

otteniamo:

dµPdσP|P=PM

=(µi − µM)σMσiM − σ2

M

=µM − r0

σM(4.10)

da cui, risolvendo con alcuni passaggi algebrici rispetto a µi:

E[ri] ≡ µi = r0 +

(µM − r0

σ2M

)σiM . (4.11)

L’Equazione (4.11) rappresenta una linea retta con intercetta r0 e inclinazione (µM −r0)/σ2

M . Poiche l’inclinazione e certamente positiva, essa indica che, in equilibrio, le atti-

vita finanziarie che presentano covarianze con il rendimento del mercato nel suo complesso

σiM piu elevate saranno caratterizzate da rendimenti attesi maggiori. La relazione espres-

sa dall’Equazione (4.11) e nota come linea del mercato delle attivita o security

market line (SML).

Definendo con βi ≡ σiM/σ2M , la SML puo anche essere riscritta nel modo seguente:

µi = r0 + βi (µM − r0) (4.12)

dove il termine βi e noto come beta dell’attivita i-esima ed esprime la reattivita del

rendimento di tale attivita rispetto a variazioni del rendimento medio del mercato nel suo

complesso (cioe rispetto a variazioni del rendimento del portafoglio di mercato).

Definizione 12 (Linea del mercato delle attivita)

La linea del mercato delle attivita, o SML, esprime la relazione di equilibrio tra il ren-

dimento atteso e il rischio delle singole attivita finanziarie, dove il rischio e espresso dal

beta delle attivita.

L’Equazione (4.12), che, in Figura 4.3, e stata rappresentata graficamente nello spazio

(βi,µi), e il nocciolo del CAPM. Essa esprime il fatto che per calcolare il rendimento

7Chiaramente, la curva tratteggiata non puo “tagliare” la CML. Se cosı non fosse, infatti, non tuttii portafogli sulla CML sarebbero efficienti, il che contrasterebbe con la sua stessa definizione.

101


µi

βi

r0

SML

µM − r0

Figura 4.3: Linea del mercato delle attivita (SML)

atteso di un titolo finanziario e necessario conoscere due sole cose (oltre all’informazione,

facilmente disponibile, sul tasso di rendimento del titolo privo di rischio): i) il rendimento

atteso del mercato nel suo complesso e ii) il beta del titolo considerato. Essa stabilisce,

inoltre, che in equilibrio sussiste una relazione lineare tra il rendimento atteso di un titolo

e il rischio (espresso dal beta del titolo) ad esso associato.

E’ importante evidenziare alcune interessanti proprieta dei beta delle attivita finan-

ziarie e della SML. In primo luogo, considerando che σ0M = 0 e σMM = σ2M e immediato

stabilire che β0 = 0 e βM = 1, ossia il beta dell’attivita priva di rischio e nullo, mentre

il beta di mercato e pari a uno. Puo poi essere utile ricavare il premio per il rischio

(risk premium) dell’attivita i-esima, definito come la differenza fra il rendimento at-

teso dell’attivita i e il rendimento dell’attivita senza rischio, ossia µi − r0. Utilizzando

l’Equazione (4.12), esso e dato da:

µi − r0 = (µM − r0)βi. (4.13)

In base all’Equazione (4.13) emerge come per investimenti rischiosi (cioe in attivita

caratterizzate da un beta positivo), il premio per il rischio prevede un tasso di rendimento

aggiuntivo proporzionale alla reattivita rispetto al mercato. Titoli con coefficienti di

reattivita inferiori alla media (βi < 1) dovrebbero comportare un premio per il rischio

inferiore a quello del mercato nel suo complesso. Viceversa, titoli con coefficienti di

reattivita superiori alla media (βi > 1) dovrebbero comportare un premio per il rischio

superiore a quello del mercato.

102


Inoltre, dall’Espressione (4.13) emerge anche che potrebbe (raramente) accadere che

un’attivita presenti un premio per il rischio negativo. Cio potrebbe succedere perche

il suo beta e negativo, ossia se il suo rendimento atteso e correlato negativamente al

rendimento atteso del portafoglio di mercato, ossia ρiM ≡ σiM/(σiσM) < 0 (in Figura 4.3

si tratterebbe dei titoli che si collocano sulla SML a sinistra di r0). Dal grafico della

SML, si noti anche come in equilibrio i titoli con un beta negativo siano caratterizzati da

un rendimento atteso inferiore a quello del titolo privo di rischio. Cio potrebbe apparire

controintuitivo. Per quale motivo dovrebbero essere presenti nel portafoglio di mercato

(quindi detenuti in equilibrio dagli investitori) titoli rischiosi che presentano un rendimento

(atteso) piu basso del titolo risk-free? La risposta a tale domanda si ricollega proprio al

fatto che il rendimento di questi titoli e correlato negativamente a quello del mercato

nel suo complesso. Come sappiamo dal Capitolo 3, inserire questi titoli nel portafoglio

di mercato potra consentire di ridurre il rischio complessivo dell’investimento ancor di

piu che inserendo il titolo privo di rischio, il cui rendimento presenta una correlazione

nulla con quello del mercato. Per tale motivo, e in virtu del trade-off rischio/rendimento

che determina i valori di equilibrio delle singole attivita, i titoli con beta negativo si

caratterizzeranno (in equilibrio) da un rendimento atteso persino inferiore di quello del

titolo risk-free.

Infine, oltre al beta di un’attivita e possibile calcolare anche quello di un intero porta-

foglio: quest’ultimo e uguale alla media ponderata dei beta delle attivita incluse nel por-

tafoglio, dove i pesi sono dati dalle quote delle singole attivita sul totale del portafoglio.

Formalmente, il beta di un generico portafoglio P e dato da:

βP =n∑

i=1

aiβi. (4.14)

Di conseguenza, non solo ogni singola attivita finanziaria si collochera sulla SML, ma

anche ciascun portafoglio formato con le attivita presenti sul mercato. In particolare,

la relazione di equilibrio tra il rendimento atteso e il rischio di ogni generico portafoglio

P sara definita dall’equazione µP = r0 + (µM − r0)βP . Tutto cio inoltre consente di

chiarire meglio una delle differenze sostanziali che sussistono tra la linea del mercato dei

capitali (CML) e la linea del mercato delle attivita (SML): nella prima sono inclusi

esclusivamente i portafogli efficienti, mentre quelli inefficienti si collocano al di sotto della

linea; nella seconda, invece, si collocano tutti i portafogli, siano essi efficienti o inefficienti

(compresi quelli formati con un solo titolo).

Infine, proprio con riferimento ai portafogli efficienti, cioe i portafogli che si collocano

sulla CML, e possibile utilizzare l’Espressione (4.14) per calcolarne facilmente il relativo

beta. Infatti, per ciascun portafoglio efficiente, PEFF , composto per una quota a0 dal

103


titolo risk-free e una quota aM = 1− a0 dal portafoglio di mercato, avremo che il relativo

beta sara dato da (si ricordi che β0 = 0 e βM = 1):

βEFF = a0β0 + aMβM = aM . (4.15)

Dall’Espressione (4.15) emerge chiaramente come per portafogli efficienti composti in

parte dal titolo privo di rischio e in parte dal portafoglio di mercato (per cui vale a0 > 0)

avremo che 0 < βEFF = aM < 1, per cui in equilibrio saranno caratterizzati da un premio

per il rischio positivo, ma inferiore a quello del portafoglio di mercato. Viceversa, per

portafogli efficienti con debito (per cui vale a0 < 0) avremo che βEFF = aM > 1 e,

in equilibrio, il relativo premio per il rischio sara maggiore di quello del portafoglio di

mercato.

Esempio 19 (SML)

Si considerino i dati esposti nella seguente tabella in relazioni ai singoli titoli A e B, al

portafoglio di mercato (M) e al titolo risk-free (RF ):

Attivita ρiM σ

A 0,9 0,2

B 0,8 0,09

M 1 0,12

RF 0 0

Considerando che il rendimento del titolo privo di rischio e r0 = 0, 05 mentre quello

atteso del mercato e µM = 0, 12, si definisca l’equazione della SML, si calcolino i beta e

i premi per il rischio delle attivita A e B e quelli di un portafoglio composto per il 40%

dall’attivita A e per il 60% dall’attivita B.

Utilizzando l’Equazione (4.12), la SML e data da:

µi = 0, 05 + 0, 07βi.

Inoltre, considerando che σiM ≡ ρiMσiσM , con i dati a disposizione e facile calcolare i

beta delle due attivita:

βA =0, 9(0, 2)(0, 12)

(0, 12)2= 1, 5; βB =

0, 8(0, 09)(0, 12)

(0, 12)2= 0, 6

che implicano i seguenti premi per il rischio:

104


µA − r0 = 1, 5(0, 07) = 0, 105; µB − r0 = 0, 6(0, 07) = 0, 042.8

Infine, considerando l’Espressione (4.14), avremo che il beta e il premio per il rischio

del portafoglio saranno, rispettivamente:

βP = 0, 4(1, 5) + 0, 6(0, 6) = 0, 96; µP − r0 = 0, 96(0, 07) = 0, 0672.

III.B Prezzi di equilibrio

Stabiliti come si comportano i rendimenti attesi in equilibrio e possibile esprimere

il tutto anche in termini dei prezzi di equilibrio delle attivita. Ricordando la formula

generale per calcolare il tasso atteso di rendimento di un’attivita generica i, ossia:

E[ri] ≡ µi =E [vi]− pi

pi(4.16)

sostituendola nell’equazione della SML, cioe nell’Espressione (4.12), otteniamo:

E [vi]− pipi

= r0 + βi (µM − r0) (4.17)

da cui, risolvendo rispetto a pi:

pi =E [vi]

1 + r0 + βi (µM − r0). (4.18)

L’Equazione (4.18) afferma che, in equilibrio, il prezzo dell’attivita i, pi, deve essere

pari al valore “scontato” del suo prezzo atteso (o, piu in generale, del totale dei suoi payoffs

attesi) E[vi], dove il tasso di sconto tiene conto del rendimento dell’attivita priva di rischio

r0 (come sarebbe nel caso con investitori neutrali al rischio), ma anche del rischio che il

detenere tale attivita comporta per l’investitore, ossia βi (µM − r0); come abbiamo visto

in precedenza, infatti, quest’ultimo termine rappresenta proprio il premio per il rischio

associato all’attivita i-esima.

III.C Disequilibrio e aggiustamento

Come abbiamo visto, la linea del mercato delle attivita o SML rappresenta tutte le

combinazioni di rendimento atteso e beta che le attivita mostrano in equilibrio se vale

la teoria del CAPM. L’equazione che la caratterizza (Equazione (4.12)) si presta inoltre

8Si noti come, alternativamente, i premi per il rischio si sarebbero potuti ottenere calcolando irendimenti attesi di equilibrio dei due titoli utilizzando l’equazione della SML e sottraendo il tassorisk-free.

105


a essere verificata empiricamente una volta fissato r0 e calcolato (tramite dati storici)

il rendimento atteso e il beta di ogni attivita. In particolare, il CAPM predice che le

combinazioni effettivamente osservate tra i rendimenti attesi e i beta di tutte le attivita

dovrebbero posizionarsi intorno alla SML (la possibilita di un errore statistico nella

realizzazione del rendimento puo implicare che la combinazione effettivamente osservata

di rendimento/rischio non si collochi esattamente sulla SML).

µi

βi

r0

SMLPA

βA

µOA

µA

PB

Figura 4.4: Disequilibrio nel modello CAPM

La SML fornisce anche l’intuizione di cosa dovrebbe succedere se il mercato non fosse

in equilibrio, ossia se si osservasse una combinazione (µi, βi) situata fuori della SML. Si

consideri a questo riguardo la Figura 4.4. Come rappresentato in figura, ammettiamo, ad

esempio, che il portafoglio PA, composto solo dal titolo A (ma considerazioni del tutto

analoghe valgono anche per un portafoglio “diversificato”, cioe composto da diversi titoli),

presenti una combinazione rendimento atteso/rischio che risulta essere sopra la SML.

In tale situazione, dato βA, il rendimento atteso di equilibrio sarebbe dovuto essere µA

(quello corrispondente sulla SML). Invece il rendimento atteso corrente che si osserva

sul mercato e µOA (l’apice O si riferisce proprio al fatto che si tratta del rendimento atteso

effettivamente osservato) che e maggiore di µA. In questa situazione l’attivita A appare

sottovalutata (undervalued) o sottoprezzata (underpriced). Infatti, ricordando che il tasso

atteso di rendimento di un titolo generico i e dato da µi = (E[vi]− pi)/pi = (E[vi]/pi)− 1,

dato il valore atteso del prezzo dell’attivita A, E[vA], avremo che:

µOA =E [vA]

pOA− 1 > µA =

E [vA]

pA− 1⇔ pOA < pA (4.19)

106

4. IL MODELLO CAPM IV. Rischio di mercato e diversificazione del portafoglio

dove pA e il prezzo dell’attivita A corrispondente a µA, ossia il suo prezzo di equilibrio.

Ovviamente, in tutto questo ragionamento e implicita l’assunzione (alla base del CA-

PM) che gli investitori abbiano aspettative omogenee su E[vA]. In questo caso, quindi,

poiche l’attivita A e sottovalutata, tutti gli investitori (se credono al CAPM) tenderanno

a domandarne una quantita maggiore e cio produrra un aumento del prezzo corrente pOA;

cio proseguira fino a che pOA = pA che implica µOA = µA, per cui l’attivita A si collochera

adesso sulla SML (in equilibrio). Di converso la coppia rendimento atteso/rischio relativa

all’attivita B (rappresentata dal portafoglio PB nella figura), che risulta sotto la SML,

segnala che l’attivita B e sopravalutata (overvalued) o sovraprezzata (overpriced). In tale

caso, in base ad un ragionamento analogo al precedente, il prezzo corrente dell’attivita B

dovrebbe diminuire, e il suo rendimento atteso salire, fino a che il punto B non sara sulla

SML.

IV Rischio di mercato e diversificazione del portafoglio

Una questione che e importante approfondire e la seguente. In base alle predizioni

del CAPM, in equilibrio, il rendimento atteso di un titolo finanziario dovrebbe dipendere

dal beta del titolo. In altri termini, il beta del titolo esprime il rischio rilevante ai

fini della determinazione del rendimento atteso di equilibrio del titolo. Ma il beta di

un’attivita finanziaria non coincide in realta con il suo rischio complessivo, che e invece

rappresentato dalla varianza del suo rendimento. In particolare, in base al modello CAPM,

indicando con εi un termine di errore statistico con valore atteso nullo (E[εi] = 0) relativo

al rendimento del titolo i-esimo, in equilibrio, il rendimento effettivamente osservato di

tale titolo dovrebbe risultare pari a:

ri = r0 + βi (rM − r0) + εi (4.20)

che, sotto l’ipotesi che le variabili rM (il tasso di rendimento del portafoglio di mercato)

e εi non siano correlate (ossia, E[rMεi] = 0), implica che la varianza dei rendimenti del

titolo i, σ2i , puo essere espressa come:9

9Infatti:

σ2i = E

[(ri − µi)2

]= E

[(ri − r0 − βi (µM − r0))

2]

=

= E[(r0 + βi (rM − r0) + εi − r0 − βi (µM − r0))

2]

=

= E[(βi (rM − µM ) + εi)

2]

= E[β2i (rM − µM )

2+ ε2i + 2βi (rM − µM ) εi

]=

= β2i σ

2M + σ2

εi + 2βiE [(rM − µM ) εi] .

107

IV. Rischio di mercato e diversificazione del portafoglio 4. IL MODELLO CAPM

σ2i = β2

i σ2M + σ2

εi. (4.21)

L’Equazione (4.21) mostra che il rischio complessivo associato all’attivita i puo essere

scomposto nella somma di un rischio connesso alle fluttuazioni del mercato, chiamato

anche rischio sistematico o rischio di mercato, ossia β2i σ

2M , e di un rischio specifico

della sola attivita i-esima, chiamato anche rischio idiosincratico o rischio non di mer-

cato, ossia σ2εi

. La questione che quindi puo sorgere spontanea e perche, in equilibrio, il

rendimento atteso del titolo non dipende dal suo rischio complessivo o, in altri termini,

perche la componente di rischio non di mercato (che non dipende dal beta del titolo) non

contribuisce a determinarne il rendimento atteso?

Per fornire l’intuizione sulla risposta a tale questione, si consideri innanzitutto che,

poiche l’Espressione (4.21) vale per ogni singola attivita finanziaria, essa deve valere anche

per ciascun portafoglio P composto da differenti titoli:

σ2P = β2

Pσ2M + σ2

εP(4.22)

dove σ2εP

rappresenta la varianza del termine di errore relativo al rendimento dell’intero

portafoglio P , con εP =∑

i aiεi (dove ai e la quota del titolo i presente nel portafoglio

P ).

Sotto certe condizioni e tramite un’adeguata scelta delle quote ai che compongono

il portafoglio (in altri termini, tramite un’adeguata diversificazione dell’investimento), si

puo adesso dimostrare come sia possibile eliminare la componente idiosincratica del rischio

associato al portafoglio (che si ricollega alla componente idiosincratica, o non di mercato,

del rischio delle singole attivita che lo compongono). In particolare, assumiamo che: i) il

numero di attivita presenti in portafoglio sia N con ai = 1/N (ad esempio, se N = 100

ciascun titolo e presente in una quota pari all’ 1% dell’intero portafoglio); e ii) i termini

di errore dei rendimenti dei diversi titoli siano tra loro non correlati (σεiεj = 0,∀i, j con

i 6= j). In tali circostanze, avremo che:

σ2εP

=N∑

i=1

a2iσ

2εi

=N∑

i=1

(1

N

)2

σ2εi

=1

N

N∑

i=1

σ2εi

N. (4.23)

In base all’Espressione (4.23), sotto condizioni molto generali, ossia che la media delle

varianze dei termini di errore,∑

i σ2εi/N , sia limitata al crescere di N (questo succede se

le varianze sono finite), otteniamo che quando N → ∞ allora σ2εP→ 0. In altri termini,

tramite un’adeguata diversificazione del portafoglio di investimento, il ruolo della com-

Sotto l’ipotesi che E[(rM − µM ) εi] = 0, ossia che E[rMεi] = 0, otteniamo il risultato riportatonell’Equazione (4.21).

108

4. IL MODELLO CAPM IV. Rischio di mercato e diversificazione del portafoglio

ponente idiosincratica di rischio delle singole attivita che compongono il portafoglio puo

essere completamente eliminata.10 Cio, inoltre, fornisce anche una spiegazione del perche,

in base al modello CAPM, solo il rischio di mercato di un’attivita finanziaria determina il

suo rendimento atteso di equilibrio: infatti, in equilibrio (dove sono sfruttate tutte le op-

portunita di ridurre il rischio tramite un’adeguata diversificazione del portafoglio), solo la

componente di rischio dell’attivita che non puo essere eliminata tramite la diversificazione

(ossia la componente di rischio di mercato) giochera un ruolo rilevante nel determinarne

il rendimento atteso (e, con esso, il prezzo e il premio per il rischio).

Dobbiamo infine osservare che diversificare il portafoglio puo non essere l’unico mo-

do per diminuire il rischio idiosincratico. In effetti, l’investitore potrebbe decidere di

impiegare delle risorse per ottenere un’informazione piu precisa sulle caratteristiche di al-

cune particolari attivita. Questo comporterebbe una diminuzione della varianza relativa

al rendimento atteso di queste particolari attivita e quindi una riduzione della varianza

complessiva del portafoglio.

Esempio 20 (Rischio di mercato e idiosincratico)

Ipotizzando che la deviazione standard del rendimento del portafoglio di mercato sia

σM = 15, 2, si calcolino il rischio di mercato e quello idiosincratico (non di mercato) delle

tre attivita A, B e C, i cui dati rilevanti sono riportati nella tabella sottostante:

Attivita β σ

A 0,66 14,6

B 1,11 28,9

C 1,02 85,4

Innanzitutto, con i dati a disposizione e semplice calcolare il rischio di mercato delle

tre attivita:

β2Aσ

2M = (0, 66)2(15, 2)2 ' 100, 64

β2Bσ

2M = (1, 11)2(15, 2)2 ' 284, 66

β2Cσ

2M = (1, 02)2(15, 2)2 ' 240, 37.

10Si osservi che se esiste una covarianza non nulla fra i termini di errore dei rendimenti allora none possibile, in generale, concludere che il rischio idiosincratico possa essere annullato. A tal proposito,e interessante notare che, rigorosamente, l’ipotesi assoluta di covarianze nulle non e coerente con ilmodello CAPM. Infatti, nel CAPM, esiste in equilibrio una correlazione positiva fra le diverse componentiidiosincratiche dei rendimenti delle attivita. In realta, la conclusione che abbiamo appena raggiunto valeanche nel CAPM, ma la dimostrazione risulta piu complicata in quanto implica l’applicazione di unaversione della Legge dei Grandi Numeri che permetta una minima covarianza fra i rendimenti.

109

V. Indici di performance basati sul CAPM 4. IL MODELLO CAPM

Inoltre, utilizzando l’Espressione (4.21), in generale, il rischio idiosincratico di un titolo

puo essere calcolato come σ2εi

= σ2i − β2

i σ2M , per cui avremo che:

σ2εA' (14, 6)2 − 100, 64 = 103, 76

σ2εB' (28, 9)2 − 284, 66 = 550, 55

σ2εC' (85, 4)2 − 240, 37 = 7052, 79.

Si noti come, sebbene il rendimento del titolo C abbia una varianza complessiva molto

alta, gran parte di tale variabilita e riconducibile alla componente non di mercato del

rischio del titolo. Siccome la componente di rischio non di mercato puo essere eliminata

con la diversificazione, cio comporta che, sebbene nel complesso C sia piu rischioso di B,

il rendimento atteso di equilibrio del primo titolo sara meno elevato di quello del secondo.

V Indici di performance basati sul CAPM

Nel capitolo precedente abbiamo introdotto e analizzato alcuni indici di performance

per singole attivita finanziarie o per interi portafogli di investimento collegati al concetto di

frontiera efficiente. Adesso, presenteremo ulteriori indici di performance piu strettamente

connessi al modello CAPM. A tale riguardo, un primo indice utilizzato in letteratura e

l’indice di Treynor che, per una generica attivita (o un generico portafoglio) i e definito

come segue:

ti =µOi − r0

βi(4.24)

da cui emerge che tale indice esprime il premio per il rischio osservato dell’attivita con-

siderata, µOi − r0, normalizzato per il rischio dell’attivita in termini del suo beta. Ad

esempio, poiche il beta del portafoglio di mercato e uguale a uno, in equilibrio, il suo

indice di Treynor sara µM − r0. Inoltre, in equilibrio, tutte le attivita finanziarie saranno

caratterizzate dallo stesso indice di Treynor del portafoglio di mercato. Di conseguenza,

un’attivita (o un portafoglio) il cui indice di Treynor e maggiore di µM−r0 sta mostrando

un rendimento “anormalmente” alto rispetto all’equilibrio del CAPM. Questo dovrebbe

spingere gli investitori a comprare tale attivita. Inoltre, analogamente per gli altri indi-

ci analizzati nel capitolo precedente, e anche possibile utilizzare l’indice di Treynor per

classificare attivita/portafogli alternativi, preferendo quelle/i con l’indice piu elevato.

Un altro indice simile a quello di Treynor e l’indice di Jensen che, per l’attivita

i-esima, deriva dalla seguente espressione:

110

4. IL MODELLO CAPM V. Indici di performance basati sul CAPM

µOi − r0 = Ji + βi (µM − r0) (4.25)

e, piu precisamente, e dato da:

Ji = µOi − r0 − βi (µM − r0) . (4.26)

Valori dell’indice di Jensen maggiori di zero significano che l’attivita considerata sta

facendo meglio di quanto dovrebbe rispetto all’equilibrio (ossia, ha un rendimento atteso

osservato anormalmente alto rispetto all’equilibrio previsto dal CAPM) e quindi vi e

convenienza a comprarla; viceversa se Ji e negativo. Anche l’indice di Jensen puo essere

utilizzato per classificare diverse attivita o portafogli e, a questo proposito, e utile osservare

che esso fornisce lo stessa classificazione dell’indice di Treynor per le attivita (portafogli)

con beta positivo, ma non per quelle con beta negativo (infatti, e immediato verificare

che ti = Ji/βi + µM − r0 ossia Ji = βi (ti − µM + r0)).

Esempio 21 (Indice di Jensen)

Ipotizzando che il rendimento atteso di mercato (in equilibrio) sia µM = 0, 15, mentre il

tasso di rendimento del titolo privo di rischio sia r0 = 0, 05, si stabilisca, in base ai valori

stimati (osservati) riportati nella seguente tabella, quale delle attivita A e B presenta la

migliore performance in base all’indice di Jensen.

Titolo µO σ β

A 0,12 0,4 0

B 0,18 0,3 1,5

Calcolando l’indice di Jensen delle due attivita otteniamo:

JA = 0, 12− 0, 05− (0, 15− 0, 05)0 = 0, 07

e

JB = 0, 18− 0, 05− (0, 15− 0, 05)1, 5 = −0, 02,

da cui emerge chiaramente come, in base alla teoria del CAPM, il titolo A abbia una

performance migliore di quella del titolo B.

Si noti come non saremmo certamente arrivati a tale conclusione se si fossero conside-

rati soltanto i valori del rendimento atteso e della deviazione standard (senza considerare i

beta) dei due titoli. Infatti, il titolo B ha un rendimento atteso maggiore e una deviazione

111

V. Indici di performance basati sul CAPM 4. IL MODELLO CAPM

standard minore del titolo A. Ma, come sappiamo, nel CAPM cio che rileva come rischio

di un titolo e il suo beta e non la deviazione standard!

Da cio deriva anche che per confrontare il rendimento atteso di due titoli a parita

di rischio, occorre farlo tra due titoli con lo stesso beta. Tale considerazione ci aiuta

ulteriormente a capire perche il titolo A e un “buon titolo” (cioe un titolo con una buona

performance), mentre lo stesso non vale per il titolo B (che addirittura presenta un indice

di Jensen negativo). Infatti, il rendimento atteso del titolo A puo essere confrontato con

quello del titolo privo di rischio (entrambi infatti hanno un beta pari a zero e, quindi,

sono comparabili dal punto di vista del rischio) notando come il rendimento del titolo A

sia relativamente elevato (0, 12 contro 0, 05).

Invece, il rendimento atteso del titolo B deve essere confrontato con quello di un’at-

tivita (portafoglio) con lo stesso beta. Ad esempio, potrebbe essere confrontato con il

rendimento atteso di un portafoglio composto per una quota pari a 1, 5 dal portafoglio

di mercato e una quota pari a −0, 5 dal titolo privo di rischio; infatti, il beta di questo

portafoglio (con debito) e proprio 1, 5. Inoltre, (ricordando che µM = 0, 15 e r0 = 0, 05)

il suo rendimento atteso sara −0, 5(0, 05) + 1, 5(0, 15) = 0, 2; quindi, a parita di rischio,

fornisce un rendimento maggiore di quello del titolo B (che e 0,18).



2005; Cap. 6.


• Sharpe W.F., Alexander G.J. e Bailey J.V., Investments, Printice-Hall, 1999; Cap.

9.

112

Capitolo 5

Arbitraggio, modello a fattori e

l’APT

In questo capitolo esporremo la teoria dell’Arbitrage Price Theory (APT). Nel fare

questo abbiamo prima bisogno di definire meglio cosa si intende per arbitraggio in un am-

biente incerto (Sezione I) e introdurre il modello a fattori (Sezione II), che rappresentano

i due pilastri teorici alla base dell’APT (Sezione III).

I Arbitraggio

Per capire il significato di arbitraggio possiamo riportare in sintesi una storiella con-

tenuta in Varian (1987):

Un professore di economia ed un contadino stanno aspettando l’autobus. Per

ingannare il tempo il contadino propone al professore di fare un gioco. Il

professore accetta e chiede che tipo di gioco ha in mente. Il contadino pron-

tamente propone di fare una domanda a testa all’altro; nel caso di risposta

corretta chi ha fatto la domanda dovra pagare un euro al rispondente, mentre

nel caso di risposta errata l’opposto. Il professore apprezza la proposta, ma fa

notare che egli, essendo un professore (di economia), partirebbe avvantaggiato

rispetto al contadino. Quest’ultimo concorda, e propone quindi che nel caso

lui non sappia rispondere paghera solo 50 centesimi. Il professore a questo

punto accetta ritenendo il gioco piu equo. Il contadino allora chiede: “Che

cosa sale una collina con sette gambe e la scende con tre?” Il professore dopo

aver pensato a lungo senza trovare la risposta:“Non lo so. Ma allora rispondi

te: che cosa sale una collina con sette gambe e la scende con tre?” Al che il

113

I. Arbitraggio 5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT

contadino:“Non lo so neppure io, ma se tu mi dai il tuo euro io ti daro i tuoi

50 centesimi”.

Il contadino e quindi riuscito, senza alcun impegno di denaro, a guadagnare 50 cen-

tesimi scegliendo una domanda impossibile che gli garantiva un guadagno a quel punto

certo. Questo non dovrebbe essere possibile in equilibrio, ossia il professore di economia

dopo essere stato raggirato una volta non dovrebbe piu accettare un simile gioco. In altre

parole in equilibrio non dovrebbero essere presenti situazioni in cui un individuo possa

conseguire dei guadagni senza sopportare alcun rischio, non investendo a sua volta alcuna

somma di denaro. Questa situazione viene chiamata condizione di non arbitraggio.1

In generale, la condizione di non arbitraggio e una proprieta che viene piu volte invo-

cata quando si considera l’equilibrio di un mercato. Per capire cosa significa la presenza

di arbitraggio si consideri un mercato di un certo bene dove il prezzo di domanda sia

superiore a quello di offerta e le quantita domandata sia superiore a quella offerta; allora

un investitore potrebbe acquistare a debito una certa quantita del bene al prezzo corrente

di offerta e rivendere tale quantita al prezzo corrente di domanda piu elevato. Tale ope-

razione resa possibile dalle condizioni di mercato portera al soggetto un guadagno senza

che questo corra alcun rischio. Nell’equilibrio di mercato tali opportunita di guadagno

dovrebbero essere assenti, altrimenti gli investitori operando su tali possibilita di arbi-

traggio fra i prezzi di domanda ed offerta porterebbero anche ad una variazione dei prezzi

e delle quantita domandate ed offerte.

La presenza di possibilita di arbitraggio puo essere vista anche come una violazione

della Legge del Prezzo Unico, ossia che in un mercato lo stesso bene possa venire scambiato

a prezzi differenti (ricordiamo che l’investitore nell’arbitraggio acquista ad un prezzo e

vende ad un altro). L’assenza di arbitraggio e quindi vista come una condizione cruciale

dell’equilibrio e questa condizione e chiamata Principio di Arbitraggio.

In realta non succede sempre che i mercati soddisfino il Principio di Arbitraggio. La

ragione piu comunemente indicata e la presenza di frizioni. Queste, ad esempio, potrebbe-

ro essere rappresentate dalla diversita geografica fra dove il bene viene domandato e dove

questo viene offerto (ossia esistono dei costi di trasporto che non possono essere trascu-

rati). Esistono casi in cui, tuttavia, e difficile trovare una spiegazione del perche, almeno

nel breve periodo, la possibilita di arbitraggio sembra presente e questo avviene anche nei

mercati finanziari piu sviluppati ed, all’apparenza, efficienti. In questa eventualita si fa

riferimento alla possibile non piena razionalita degli agenti, a vincoli all’operativita per

alcuni di questi (ad esempio al divieto di vendita allo scoperto, a vincoli di liquidita, etc.).

1L’articolo di Hal Varian contiene una discussione molto approfondita delle implicazioni profondedell’assenza di arbitraggio in equilibrio.

114

5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT I. Arbitraggio

L’idea generale e che comunque, almeno nel lungo periodo, il Principio di Arbitraggio

dovrebbe valere a meno di frizioni.

I.A Arbitraggio in un ambiente incerto

Per definire esattamente una possibilita di arbitraggio in un ambiente incerto e ne-

cessario introdurre il concetto di portafoglio di arbitraggio. In sostanza un portafoglio

di arbitraggio deve i) non richiedere alcun esborso iniziale di moneta (ossia e costruito

comprando alcune attivita e vendendone allo scoperto altre) e, allo stesso tempo, ii) avere

un rendimento positivo indipendentemente dalle circostanze che possono accadere, o, in

termini piu tecnici, in ogni stato del mondo possibile.

Quindi, la condizione che il portafoglio di arbitraggio debba non richiedere risorse

aggiuntive di moneta (in inglese questa condizione e chiamata condizione di zero initial

outlay) implica che:

p1x1 + p2x2 + ...+ pnxn =n∑

i=1

pixi = 0, (5.1)

dove pi rappresenta il prezzo corrente dell’attivita i e xi la quantita detenuta dell’attivita

i (e chiaro che alcune attivita saranno vendute allo scoperto per poter acquistare con il

ricavato della altre, cosı che alcuni xi saranno negativi).

Inoltre, il fatto che un portafoglio di arbitraggio richieda un rendimento non negativo

(non il tasso di rendimento, ma si potrebbe facilmente estendere la condizione) in ogni

possibile stato del mondo implica che:

vk1x1 + vk2x2 + ...+ vknxn =n∑

i=1

vkixi ≥ 0 per ogni stato k = 1, ...,m, (5.2)

dove vkj e il prezzo dell’attivita i nello stato del mondo k.

Avremo quindi profitti di arbitraggio se nel mercato esiste ai prezzi correnti p =

(p1, ..., pn) un portafoglio x = (x1, x2, ..., xn) tale che valga la Condizione (5.1) e che,

dati i prezzi v, in tutti gli m possibili stati del mondo valga anche:

n∑

i=1

vkixi ≥ 0 per ogni stato k = 1, ...,m en∑

i=1

vkixi > 0 per almeno uno stato k. (5.3)

La presenza di profitti di arbitraggio implica l’esistenza di opportunita di arbitraggio.

Di converso l’assenza di opportunita di arbitraggio si ha quando:

1. on∑

i=1

vkixi = 0 per ogni stato k = 1, ...,m; (5.4)

115


2. o

n∑

i=1

vkixi ≥ 0 per qualche stato k en∑

i=1

vkixi < 0 per qualche altro stato k. (5.5)

Possiamo quindi definire piu precisamente il Principio di Arbitraggio:

Definizione 13 (Principio di Arbitraggio)

Il Principio di Arbitraggio stabilisce che nell’equilibrio di mercato non esistono profitti di

arbitraggio, ossia deve valere o la Condizione 5.4 o la Condizione 5.5.

In altre parole, il Principio di Arbitraggio afferma che le opportunita di arbitraggio

sono assenti nell’equilibrio di mercato.

Esempio 22 (Il Principio di Arbitraggio)

Supponiamo che nel mercato esistano solo due attivita A e B e che siano possibili solo

due stati, 1 e 2. La Tabella 5.1 riporta i valori attesi dei prezzi delle due attivita nei due

stati (ossia (vkA, vkB) con k = 1, 2) e i prezzi correnti pA e pB.

Attivita A BPrezzi stato 1 (v1A, v1B) 10 8Prezzi stato 2 (v2A, v2B) 8 1Prezzi correnti (pA, pB) 4 2

Tabella 5.1: Verifica del Principio di Arbitraggio

Possiamo verificare che il Principio di Arbitraggio valga partendo dalla condizione di

zero initial outlay, la quale richiede che (vedi Equazione (5.1)):

pAxa + pBxB = 4xa + 2xB = 0, (5.6)

dove xA e xB sono le quantita detenute dell’attivita A e B e verificando che le condizioni

per l’esistenza di profitti di arbitraggio, ossia:

10xA + 8xB ≥ 0;

8xA + xB ≥ 0,(5.7)

con almeno una delle due con un >, non siano mai soddisfatte (vedi Condizione (5.3)).

Ricavando xB come funzione di xA dall’Equazione (5.6) e sostituendo nella Condizione

(5.7) otteniamo che:

10xA + 8xB = −6xA ≥ 0;

8xA + xB = 6xA ≥ 0,(5.8)

116


che non potranno mai essere verificate congiuntamente con almeno una delle due con

un > (xA = 0 non rispetta quindi la condizione per avere profitti di arbitraggio). Cio

significa che ai prezzi correnti non esiste nessun portafoglio che mi faccia guadagna-

re indipendentemente dallo stato e quindi i prezzi correnti soddisfano il Principio di

Arbitraggio.

Supponiamo adesso che il prezzo atteso di A nello stato 1 sia pari a 20. La Condizione

(5.6) non risulta modificata, mentre le condizioni per i profitti di arbitraggio diventano:

20xA + 8xB = 4xA ≥ 0;

8xA + xB = 6xA ≥ 0,(5.9)

e quindi per xA > 0 otterrei sempre dei profitti di arbitraggio. Cio significa che i prezzi

correnti non possono essere di equilibrio. Infatti possiamo osservare come gli investitori

hanno interesse a comprare quanto piu possibile dell’attivita A finanziandosi vendendo allo

scoperto quanto piu possibile dell’attivita B. Il tutto dovrebbe determinare un aumento

del prezzo corrente di A (tendenzialmente abbiamo un eccesso di domanda infinito) ed

una diminuzione del prezzo corrente di B (tendenzialmente abbiamo un eccesso di offerta

infinito).

Seguendo questa linea di ragionamento chiediamoci quale dovrebbe essere il prezzo

corrente di A, pA che elimini i profitti di arbitraggio. Partendo sempre dalla condizione

di zero initial outlay

pAxa + pBxB = pAxa + 2xB = 0, (5.10)

ricavandoci xB = −pA/2xA e sostituendo il tutto nella condizione per i profitti di arbi-

traggio otteniamo:

20xA + 8xB = 4xA(5− pA) ≥ 0;

8xA + xB = 12xA(16− pA) ≥ 0,

(5.11)

il che significa che per pA compreso nell’intervallo (5, 16) varra il Principio di arbitraggio,

mentre al di fuori di tale intervallo esisteranno profitti di arbitraggio; in particolare per

pA ≤ 5 converra acquistare quanto piu possibile dell’attivita A, mentre per pA ≥ 16

converra acquistare quanto piu possibile dell’attivita B (e vendere allo scoperto la A).

Possiamo anche estendere il Principio di Arbitraggio ad una situazione in cui il porta-

foglio di arbitraggio considera un impiego positivo di capitale W (ossia non assumiamo che

valga la Condizione (5.1)) e che sia presente un’attivita priva di rischio il cui rendimento

sia r0.

117


In tale eventualita, il portafoglio di arbitraggio deve soddisfare la condizione seguente:

n∑

i=1

vkixi ≥ (1 + r0) W per ogni stato k = 1, ...,m,

con la stretta diseguaglianza per almeno uno stato.

Quindi l’assenza di opportunita di arbitraggio, ossia affinche il Principio di Arbitraggio

sia soddisfatto, richiede che:

1. o:n∑

i=1

vkixi = (1 + r0) W per ogni stato k = 1, ...,m;

2. o:

n∑

i=1

vkixi ≥ (1 + r0) W per qualche stato k en∑

i=1

vkixi < (1 + r0) W per qualche altro stato k.

Chiarito il concetto del Principio di Arbitraggio, un risultato importante e dato nella

Proposizione 1, la cui dimostrazione e intuitiva e non riportata.

Proposizione 1

In un mercato senza frizioni il Principio di Arbitraggio vale se e solo se esiste un investitore

che preferisce piu ricchezza a meno; e che tale investitore possa costruire il suo portafoglio

ottimale senza vincoli.

L’intuizione economica alla base della Proposizione 1 e immediata: se esistono inve-

stitori interessati a massimizzare la loro ricchezza allora in equilibrio non devono esistere

opportunita di arbitraggio; se queste ultime esistono allora vuol dire che i prezzi attuali

non sono di equilibrio. La presenza di tali opportunita di arbitraggio, infatti, spingereb-

bero gli investitori a modificare le proprie scelte di portafoglio, ossia la propria domanda

di attivita, con un conseguente effetto sui livelli dei prezzi delle attivita stesse.

Tutto questo ragionamento tiene se ogni investitore puo sempre costruire il suo porta-

foglio ottimale; infatti, potrebbero esserci dei casi estremi in cui tale possibilita non puo

verificarsi, come quando gli investitori formulano una domanda infinita di una certa atti-

vita ma le condizioni di mercato non permettono di soddisfare tale domanda. Si pensi al

caso in cui tutti gli investitori vogliano liberarsi di tutte le attivita finanziarie detenute per

ottenere moneta, indipendentemente dal prezzo a cui riescono a vendere tali attivita. In

tal caso il Principio di Arbitraggio potrebbe non valere (gli investitori si dicono vincolati

nelle loro scelte).

118


Il Principio di Arbitraggio puo essere utilizzato per calcolare i prezzi di equilibrio delle

attivita. Un esempio numerico dovrebbe aiutare a chiarire meglio questo aspetto.

Esempio 23 (Principio di Arbitraggio e prezzo dei titoli)

Si consideri la Tabella 5.2, dove abbiamo riportato il prezzo corrente delle attivita A, B

(cioe pA e pB) e i prezzi nei soli due possibili stati del mondo (cioe v1A, v1B e v1C e v2A, v2B

e v2C). La domanda che ci poniamo e quale dovrebbe essere il livello del prezzo corrente

dell’attivita C, pC , perche valga il Principio di Arbitraggio.

Attivita A B CPrezzi stato 1 (v1A, v1B, v1C) 10 8 9Prezzi stato 2 (v2A, v2B, v2C) 8 0 12Prezzi correnti (pA, pB, pC) 3 2 ?

Tabella 5.2: Esempio di applicazione del Principio di Arbitraggio per la determinazionedei prezzi delle attivita.

Per calcolare il livello del prezzo dell’attivita C tale per cui vale il Principio di

Arbitraggio poniamo innanzitutto la Condizione (5.1) di zero initial outlay, ossia:

3xA + 2xB + pCxC = 0. (5.12)

Poi imponiamo che non esistano opportunita di arbitraggio, ossia in ogni stato il rendi-

mento del portafoglio sia pari a zero (vedi la Condizione (5.4)):

10xA + 8xB + 9xC = 0 (5.13)

8xA + 12xC = 0 (5.14)

Abbiamo quindi xA/xC = −3/2 dall’Equazione (5.14), che sostituita nell’Equazione

(5.13) porta a xB/xC = 3/4; sostituendo nell’Equazione (5.12) per xA e xB in funzione di

xC , otteniamo il prezzo di equilibrio dell’attivita C, ossia:

pC = 3.

E’ immediato verificare che se pC fosse diverso da 3 allora nel mercato esisterebbero

profitti di arbitraggio. Per convincervi fissate pC diverso da 3, ad esempio 2, mantenete la

Condizione (5.12) e la Condizione (5.14), e verificate che 10xA+8xB+9xC > 0 per xC > 0.2

Esiste quindi una combinazione di (xA, xB, xC) tale da avere profitti di arbitraggio.2Ricavate xA in funzione di xC dalla Condizione (5.12) ed utilizzate tale relazione per ricavare xB

in funzione di xC dalla Condizione (5.12); infine sostituite il tutto nella Condizione (5.13), che risulterasempre violata per xC diverso da zero

119


I.B Arbitraggio e rendimento delle attivita

Puo essere interessante riesprimere le condizioni che implicano l’assenza di arbitraggio

in termini del tasso di rendimento delle attivita.

Il rendimento dell’attivita i nello stato k e definito da:

rki ≡vki − pipi

=vkjpi− 1,

dove vki e il prezzo dell’attivita i nello stato k; allora abbiamo che il prezzo futuro

dell’attivita i nello stato k puo essere espresso come:

vki = (1 + rki) pi. (5.15)

Dalle Equazioni (5.1) e (5.2) un portafoglio x e un portafoglio di arbitraggio se:

n∑

i=1

pixi = 0 e (5.16)

n∑

i=1

(1 + rki) pixi ≥ 0 per ogni stato k = 1, ...,m, (5.17)

dove abbiamo usato l’Equazione (5.15) per esprimere il prezzo futuro dell’attivita vki in

termini del suo rendimento rki.

Dato che∑n

i=1 pixi = 0, l’Equazione (5.17) puo essere riespressa come:

n∑

i=1

(1 + rki) pixi =n∑

i=1

pixi +n∑

i=1

rkipixi =n∑

i

rkipixi ≥ 0 per ogni stato k. (5.18)

Il Principio di Arbitraggio riespresso in termini di rendimento delle attivita afferma

quindi nell’equilibrio di mercato per ogni possibile portafoglio x tale che:

n∑

i=1

pixi = 0 (5.19)

deve anche valere che

1. o:n∑

i=1

rkipixi = 0 per ogni stato k = 1, ...,m (5.20)

120

5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT II. Il modello a fattori

2. o:

n∑

i=1

rkipixi ≥ 0 per qualche stato k en∑

i=1

rkipixi < 0 per qualche altro stato k.

Esempio 24 (La determinazione dei prezzi via Principio di Arbitraggio)

Si consideri la Tabella 5.3 che riporta i prezzi, le quantita detenute e i rendimenti di

due attivita A e B per i due possibili stati del mondo. Il Principio di Arbitraggio ci

Attivita A BRendimenti stato 1 (r1A, r1B) 5% ?Rendimenti stato 2 (r2A, r2B) 3% ?Prezzi correnti (pA, pB) 1 1Quantita detenute (xA, xB) 1 ?

Tabella 5.3: Esempio di applicazione del Principio di Arbitraggio per la determinazionedei rendimenti delle attivita

permette di calcolare i valori mancanti in tabella, in particolare i rendimenti dell’attivita

B. Osserviamo infatti che se vige il Principio di Arbitraggio allora la quantita detenuta

dell’attivita B dovra essere pari a −1 per soddisfare la Condizione (5.19)

Inoltre per soddisfare la Condizione (5.20) dovremo avere che rkB = rkA per k = 1, 2,

ossia r1B = 5% e r2B = 3%.

II Il modello a fattori

Il modello a fattori assume che il rendimento di un’attivita i possa essere spiegato da

un insieme comune di fattori esplicativi, in breve chiamati fattori (factors), piu una parte

stocastica che e specifica ad ogni titolo. Il tutto definisce il cosiddetto processo generatore

dei rendimenti (return-generating process). In genere si assume, inoltre, che il rendimento

di ogni titolo sia una funzione lineare dei fattori.

In prima battuta considereremo il modello ad un solo fattore (chiamato anche single-

index model), per poi estendere l’analisi al modello con piu fattori (multi-index model).3

II.A Il modello ad un fattore

Supponiamo che il seguente modello descriva bene il rendimento dell’attivita i:

ri = b0i + b1

iF1 + εi, per i = 1, ..., n; (5.21)

3Vedi Elton et al. (2002)

121

II. Il modello a fattori 5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT

in particolare:

• F 1 denota il fattore esplicativo comune a tutti i rendimenti. In molti lavori empirici

tale fattore si identifica con un indice di mercato (ad esempio l’indice FTSE per la

Borsa Italiana o l’indice S&P 500 per il NYSE). Questa fattore comune portera ad

un co-movimento nei rendimenti di tutte le attivita;

• b0i e la componente specifica non stocastica del rendimento dell’attivita i;

• b1i misura l’impatto del fattore F 1 sul rendimento dell’attivita i;

• εi e la componente stocastica idiosincratica del rendimento, ossia rappresenta un

errore casuale (non osservato):

– con valore atteso zero, ossia E[εi] = 0;

– con varianza costante, ossia E[ε2i ] = σ2

εi;

– con covarianza con il fattore F 1 pari a zero, ossia:

E[(F 1 − µF 1

)εi]

= E[F 1εi

]− µF 1E [εi] = E

[F 1εi

]= 0; (5.22)

– con covarianza con i termini di errore delle altre attivita pari a zero, ossia:

E[εiεj] = 0 per ogni i 6= j; (5.23)

e

– con auto-covarianza nulla, ossia E[εi,tεi,t−1] = 0 per ogni i e t, dove t e un

indice temporale.

Riguardo alle molteplici assunzioni sulla componente stocastica, osserviamo come l’as-

sunzione E[εi] = 0 non sia restrittiva. Di fatto per costruzione del modello questa viene

sempre rispettata; se, infatti, il valore atteso fosse diverso da zero potrei definire un’altra

variabile casuale pari a εi ma cui tolgo tale valore atteso; il valore atteso di εi andrebbe

ad aggiungersi a b0i e la nuova variabile causale avrebbe le stesse proprieta di εi ma con

valore atteso nullo.

Altre assunzioni potrebbero essere abbandonate senza grandi conseguenze, come l’ipo-

tesi di varianza costante. L’ipotesi di covarianza con i termini di errore delle altre attivita

pari a zero potrebbe non avere conseguenze su la stima di b1i , ma nondimeno pone dei

problemi; infatti, E[εiεj] 6= 0 suggerisce la presenza di un qualche fattore omesso nella

122


stima (ad esempio il rendimento medio del settore industriale quando consideriamo due

titoli appartenenti allo stesso settore).4

Si rivela al contrario cruciale nella logica del modello l’assunzione di covarianza zero fra

F 1 e εi: infatti nel modello ad un fattore solo quest’ultimo deve spiegare il rendimento. Se

dell’errore invece ci fosse “qualcosa” correlato a F 1, presumibilmente cio significherebbe

che esistono altri fattori significativi, oppure che la specificazione lineare non e una buona

rappresentazione del processo generatore dei rendimenti.

Infine, l’ipotesi di auto-covarianza nulla e rilevante nel momento in cui vado a stimare

il modello, ma dal punto di vista teorico non e rilevante.

Il Modello (5.21) viene anche chiamato il modello a fattori approssimato perche il

rendimento dell’attivita ri e spiegato dal fattore F 1 a meno della componente stocastica

εi; cio significa che il rendimento corrente osservato e non perfettamente spiegato in

termini del solo fattore F 1, ma ha una componente aleatoria.

Se b1i e positivo avremo che il rendimento dell’attivita i risulta in una relazione cre-

scente con F 1. La Figura 5.1 rappresenta tale situazione, assumendo che b0i (graficamente

esso rappresenta l’intercetta sull’asse delle ordinate) sia positivo.

F 1

ri

b0i b1i

µF 1

µi

Figura 5.1: Modello ad un fattore e possibili realizzazioni dei rendimenti dell’attivita i

Nella Figura 5.1 abbiamo riportato possibili realizzazioni dei rendimenti dell’attivita i,

che dovrebbero posizionarsi in maniera uniforme e casuale intorno alla retta di equazione

b0i + b1

iF1 (se il Modello (5.21) e corretto).

4Quest’ultima ipotesi e quella che distingue il modello ad un fattore dal cosiddetto modello di mercato,dove F 1 e identificato con un indice di mercato ed i termini di errore possono essere correlati.

123


Se poi considero il valore atteso di F 1, ossia µF 1 , possa individuare graficamente il

rendimento atteso dell’attivita i, µi, ossia:

µi = b0i + b1

iµF 1 . (5.24)

La varianza di ri, σ2i , si puo calcolare come segue:

σ2i = E

[(b0i + b1

iF1 + εi − µi

)2]

= E[b1i (F

1 − µF 1) + εi2]

=(b1i

)2σ2F 1 + σ2

εi+ 2b1

iE[(F 1 − µF 1)εi

]

=(b1i

)2σ2F 1 + σ2

εi, (5.25)

dove abbiamo usato l’ipotesi che F 1 ed εi abbiano covarianza zero.

Il primo termine dell’Equazione (5.25), ossia (b1i )

2σ2F 1 , e chiamato factor risk, in quanto

legato alla variabilita del fattore F 1 (espressa dalla varianza σ2F 1), mentre il secondo

termine, ossia σ2εi

, e chiamato non factor risk (o rischio idiosincratico). Abbiamo quindi

che la varianza del rendimento dell’attivita i e la risultante di due fonti di shock, una

comune a tutte le attivita, ed una specifica dell’attivita i. Il modello e completamente

silente per quello che riguarda la spiegazione di un alto o basso b1i , ma e intuibile che tale

parametro possa essere preso come una misura della rischiosita del rendimento dell’attivita

i (in questo caso si sta implicitamente assumendo che il rischio idiosincratico sia di norma

uguale per tutte le attivita ovvero non molto rilevante).

Notiamo come l’ipotesi di covarianza zero fra F 1 e ε1 sia cruciale anche per il cal-

colo della varianza del rendimento. Allo stesso modo se σ2ε dipendesse da F 1 avremo

un’importante informazione sulla varianza del rendimento.

Esempio 25 (Modello ad un fattore)

Si consideri un’attivita i il cui rendimento, riportato in Tabella 5.4, e ben rappresentato

dal seguente modello ad un fattore e dove quest’ultimo e identificato dal rendimento di

mercato rM :5

ri = 2 + 1.5rM + εi. (5.26)

In particolare, nella Tabella 5.4 abbiamo riportato 5 osservazioni mensili del rendimen-

to nell’attivita i, del rendimento di mercato rM e, sulla base del Modello (5.26) abbiamo

5Il lettore deve pazientare fino al prossimo Capitolo 6 per la discussione di come e possibile tramite irendimenti dell’attivita i stimare il Modello (5.26) via una metodologia detta di regressione basata sullaminimizzazione delle distanza tra i dati osservati e la retta che abbiamo riportato in Figura 5.1 (vedi inparticolare la Sezione I del Capitolo 6).

124


calcolato i residui εi (il simbolo “ˆ“ sta ad indicare che sono valori stimati e non gli εi

del modello teorico, che per loro natura sono non osservabili).

Mese ri rM εi1 10 4 22 3 2 -23 15 8 14 9 6 -25 3 0 1

Tabella 5.4: Tabella dei rendimenti di un’attivita per un modello ad un fattore

La somma dei εi e pari a zero in accordo con l’ipotesi E [εi] = 0.6 Possiamo poi

stimare µM sulla base dei cinque dati disponibili come media delle stessi, da cui risulta

che µM = 4. Possiamo, infine, stimare il valore atteso del rendimento dell’attivita i, pari

a µi = 2 + 1.5µM = 8 (vedi Equazione (5.24)), che coincide con la stima che ottengo dalla

media delle 5 osservazioni di ri riportate nella Tabella 5.4.

Infine posso decomporre la varianza del rendimento ri nelle sue due componenti; in

particolare dalla Tabella 5.4 posso calcolare σ2rM

= 10 e σ2εi

= 3.5 ossia:7

σ2i =

(b1i

)2σ2rM

+ σ2εi

= (1.5)2(10) + 3.5 = 26, (5.27)

che e la stessa varianza che otterrei calcolando direttamente dalle 5 osservazioni di ri la

varianza (corretta) del rendimento dell’attivita i σ2i .

Tramite il Modello (5.21) e possibile calcolare anche la covarianza fra due attivita i e

j indicata con σij. Infatti:

σij = E [(ri − µi)(rj − µj)] = E[b1i (F

1 − µF 1) + εib1j(F

1 − µF 1) + εj]

=

= b1i b

1jE[(F 1 − µF 1)2

]+ b1

iE[(F 1 − µF 1)εj

]+ b1

jE[(F 1 − µF 1)εi

]+ E [εiεj] =

= b1i b

1jσ

2F 1 , (5.28)

essendo gli ultimi tre termini (covarianze fra rumore e fattori e covarianza fra rumori)

pari a zero per ipotesi.

6Come vedremo nel prossimo capitolo questo risultato deriva direttamente dalla procedura usata perstimare b0i e b1i .

7La stima corretta della varianza dell’universo dei rendimenti richiede una correzione della varianzacampionaria ottenuta moltiplicando la stessa per 5/4 (in generale per n/(n − 1), si veda l’Appendice alCapitolo 1).

125


Mese ri rM εi rj εj1 10 4 2 6 0.42 3 2 -2 5 13 15 8 1 10 1.24 9 6 -2 5 -2.25 3 0 1 2 -0.4

Tabella 5.5: Tabella dei rendimenti di due attivita per un modello ad un fattore

Osserviamo come il possibile andamento congiunto dei rendimenti delle attivita i e j

passi solo attraverso il fattore comune F 1. Questo aspetto vedremo si rivelera cruciale nel

calcolo della varianza del rendimento di un portafoglio nella successiva Sezione II.A.

E’ inoltre possibile estendere l’analisi al caso in cui i rumori delle due attivita abbiano

una covarianza non nulla, ossia E [εiεj] 6= 0. Quest’ultima ipotesi puo anche essere sotto-

posta a test; nel caso l’ipotesi di covarianza nulla fosse rifiutata viene naturale chiedersi

se il Modello (5.21) non esaurisca tutti i fattori rilevanti nella spiegazione dei rendimenti,

ovvero che esista qualche fattore omesso nella spiegazione dei rendimenti.

Esempio 26 (Modello ad un fattore (continua))

Nella Tabella 5.5 riportiamo i dati della Tabella 5.4 con l’aggiunta di un’ulteriore attivita

j , di cui riportiamo nelle ultime due colonne, rispettivamente, il rendimento rj e i residui

εj calcolati dal seguente modello:8

rj = 2.4 + 0.8rM + εj. (5.29)

Osserviamo come l’attivita j sia meno correlata all’andamento dell’indice di mercato

rM rispetto all’attivita i (0.8 contro 1.5).

Possiamo stimare la covarianza fra i rendimenti dell’attivita i e j direttamente dalle

osservazioni, ottenendo un valore di σij pari a 13.9 Possiamo tuttavia anche calcolare la

covarianza dei rendimenti via le stime dei Modelli (5.4) e (5.5) applicando l’Equazione

(5.28) ottenendo un stima di σij pari a 12.10 L’Equazione (5.28) suggerisce che la discre-

panza tra le due stime possa essere giustificata sulla base di una possibile correlazione

fra i rumori εi e εj. In effetti la covarianza fra i residui εi e εj risulta proprio pari ad

8Anche in questo caso i coefficienti 2.4 e 0.8 sono stati ottenuti tramite un’analisi di regressione surendimenti dell’attivita j.

9Ricordiamo che per avere una stima statisticamente corretta della covarianza bisogna dividere per 4e non 5 la somma degli scarti dalla media, ossia correggere la covarianza campionaria per n/(n− 1) (vediAppendice al Capitolo 1).

10Anche qui ricordiamo che la stima corretta della varianza del rendimento di mercato σ2M richiede di

correggere la varianza campionaria per 5/4.

126


1, che potrebbe indicare la presenza di un fattore omesso nell’analisi (andrebbe tuttavia

verificato che la covarianza fra εi e εj sia statisticamente diversa da zero).

Rendimento e varianza di portafoglio nel modello ad un fattore

In base al modello ad un fattore introdotto nella sezione precedente, e possibile

calcolare il rendimento atteso e la varianza di un portafoglio di investimento.

Preso un portafoglio P con n attivita, indicando con ai la quota dell’attivita i in

portafoglio (e quindi∑n

i=1 ai = 1), avremo che il rendimento del portafoglio sara dato da:

rP =n∑

i=1

airi =n∑

i=1

aib0P +

n∑

i=1

aib1iF

1 +n∑

i=1

aiεi = b0P + b1

PF1 +

n∑

i=1

aiεi, (5.30)

dove

b0P =

n∑

i=1

aib0i

e

b1P =

n∑

i=1

aib1i

rappresentano rispettivamente una media ponderata dei b0i e dei b1

i delle attivita presenti

in portafoglio.

Il rendimento atteso del portafoglio µP e quindi dato da:

µP = E[rP ] = b0P + b1

PµF 1 , (5.31)

dato che E[εi] = 0 per ogni i. La varianza del rendimento del portafoglio e invece data

da:

σ2P = E

[(rP − µP )2] = E

b1P

(F 1 − µF 1

)+

n∑

i=1

aiεi

2 =

= E

(b1

P

)2 (F 1 − µF 1

)2+

(n∑

i=1

aiεi

)2

+ 2b1P

(F 1 − µF 1

) n∑

i=1

aiεi

=

=(b1P

)2E[(F 1 − µF 1

)2]

+ E

(

n∑

i=1

aiεi

)2+ 2b1

PE

[(F 1 − µF 1

) n∑

i=1

aiεi

].

(5.32)

Osserviamo come:

127


1. il primo termine sia la varianza del fattore F 1, σ2F 1 , a meno del parametro (b1

P )2;

2. il secondo termine include tutti i rumori presi al quadrato piu i loro doppi prodotti

e le relative quote di portafoglio; ad esempio per n = 3 cio significa che:

E

(

3∑

i=1

aiεi

)2 = E

[(a1ε1)2 + (a2ε2)2 + (a3ε3)2 + 2a1a2ε1ε2 + 2a1a3ε1ε3 + 2a2a3ε2ε3

]=

= a21E[ε2

1

]+ a2

2E[ε2

2

]+ a2

3E[ε2

3

]+ 2a1a2E [ε1ε2] + 2a1a3E [ε1ε3] +

+2a2a3E [ε2ε3] =

= a21σ

21 + a2

2σ22 + a2

3σ23 =

3∑

i=1

a2iσ

2εi,

dato che la covarianza fra gli errori delle diverse attivita e assunta pari a zero (vedi

Condizione (5.23)); il secondo termine e quindi una media pesata delle varianze

dei rumori delle singole attivita. Se le covarianze degli errori non fossero nulle

dovremo includere anche la somma di tutte le covarianze non nulle (e avremo anche

l’intuizione che qualche fattore comune potrebbe essere stato omesso nel modello a

fattori);

3. il terzo termine rappresenta la somma di tutte le covarianze fra il fattore F 1 e gli

errori; quindi per le ipotesi fatte (vedi Condizione (5.22)) e pari a 0; per esempio

per n = 2 questo significa:

2b1PE

[(F 1 − µF 1

) 2∑

i=1

aiεi

]=

= 2b1Pa1E

[(F 1 − µF 1

)ε1

]+ 2b1

Pa2E[(F 1 − µF 1

)ε2

]= 0.

Possiamo quindi concludere che l’Equazione (5.32) si riduce a:

σ2P =

(b1P

)2σ2F 1 + σ2

εP, (5.33)

dove

σ2εP

= Σni=1a

2iσ

2εi

(5.34)

e la media pesata delle varianza dei rumori delle diverse attivita in portafoglio.

L’Equazione (5.33) dovrebbe ricordare al lettore l’Equazione (4.22), che infatti descrive

la varianza di un portafoglio nel modello CAPM. L’unica differenza, ma fondamentale, e

che nell’Equazione (5.33) abbiamo il generico fattore F 1 e non il rendimento di mercato

rM .

128


L’Equazione (5.33) mostra intuitivamente come, se il modello ad un fattore e corret-

to, un portafoglio ben diversificato permette di mediare i factor risk delle singole attivita

(rappresentato dal termine (b1P )

2σ2F 1), ma, soprattutto, di diminuire il rischio idiosincrati-

co (rappresentato dal termine σ2εP

) quando la quota nel portafoglio di ogni singola attivita

diventa piu piccola (ossia quando ai diminuisce all’aumentare di n). Anche qui il lettore

dovrebbe trovare analogie con quanto discusso a proposito dell’Equazione (4.23) riferita

pero al modello CAPM.

Esempio 27 (Rendimento e varianza di un portafoglio)

Supponiamo di aver osservato 2 attivita per un certo periodo e di aver stimato tramite un

modello ad un fattore identificato con l’indice di mercato rM i loro b0i , b

1i e σ2

εi, che sono

riportati nella Tabella 5.6 e la loro covarianza nei rendimenti pari a 271. Il rendimento

Attivita b0i b1

i σ2εi

1 6 1.4 65

2 4 0.8 20

Tabella 5.6: Tabella dei rendimenti di due attivita per un modello ad un fattore

atteso dell’indice di mercato, ossia µM , nel periodo e stato pari a 12.5% e la sua varianza,

ossia σ2M , pari a 222.01. Con i dati a nostra disposizione possiamo calcolare il rendimento

atteso per ciascuna delle due attivita, ossia:

µ1 = 6 + 1.4 ∗ 12.5 = 23.5;

µ2 = 4 + 0.8 ∗ 12.5 = 14,

la loro varianza:

σ21 =

[(1.4)2 ∗ 222.01 + 65

]= 500.14

σ22 =

[(0.8)2 ∗ 222.01 + 20

]= 162.09

ed, infine, la loro covarianza:

σ12 = 1.4 ∗ 0.8 ∗ 222.01 = 248.65. (5.35)

La covarianza calcolata via stima del modello ad un fattore e quindi inferiore a quella

stimata direttamente dalle osservazioni, che e pari a 271; cio segnala che i rumori delle

129


due attivita presentano una covarianza non nulla, pari a:

E[ε1ε2] = 271− 248.65 = 22.35. (5.36)

come suggerito dall’Equazione (5.28).

Supponiamo ora di formare un portafoglio con quote paritetiche delle due attivita,

ossia a1 = a2 = 0.5.Il rendimento atteso del portafoglio e calcolabile tramite l’Equazione

(5.31), ossia:

µP = (0.5 ∗ 6 + 0.5 ∗ 4) + (0.5 ∗ 1.4 + 0.5 ∗ 0.8) ∗ 12.5 = 18.7, (5.37)

mentre la varianza tramite l’Equazione (5.33):

σ2P = (0.5 ∗ 1.4 + 0.5 ∗ 0.8)2 ∗ 222.01 + 0.52 ∗ 65 + 0.52 ∗ 20 = 289.88. (5.38)

Poiche la covarianza fra gli errori e pari 22.35 (vedi Equazione (5.36)) e non nulla come

ipotizzato nel ricavare l’Equazione (5.33), una stima piu accurata della varianza del por-

tafoglio P che include anche tale covarianza e pari da 289.88 + 2 ∗ (0.5) ∗ (0.5) ∗ 22.35 =

301.06.

II.B Il modello multifattoriale

In generale, il rendimento di un’attivita puo non dipendere da un unico fattore. L’e-

stensione del modello a fattori al caso di piu di un fattore risulta immediata. In particolare,

il modello a Q fattori assume la seguente forma:

ri = b0i + b1

iF1 + b2

iF2 + ...+ bQi F

Q + εi = b0i + ΣQ

q=1bqiF

q + εi, per j = 1, ..., n, (5.39)

dove εi e assunto possedere le stesse proprieta del caso del modello ad un fattore, ossia

valore atteso nullo (E [εi] = 0), varianza costante (E [ε2i ] = σ2

εi) e correlazione nulla con

qualsiasi fattore (E [F qεi] = 0 per ogni q).

In aggiunta, si assume che i fattori siano tra loro indipendenti, ossia che la loro co-

varianza sia nulla (σF qF z = E [(F q − µF q) (F z − µF z)] = 0 per z, q = 1, ..., Q e z 6= q).

Questa ipotesi e abbastanza innocua dal punto dell’analisi teorica, nel senso che presi due

fattori con covarianza non nulla, e sempre possibile ricavare due fattori la cui covarian-

za sia nulla.11 Di fatto l’assunzione e fatta soprattutto al fine di semplificare il calcolo

della varianza del rendimento (vedi Equazione (5.41)) e della stima del modello. Dal

punto di vista della stima empirica invece puo creare notevoli problemi di interpretazione

11Tecnicamente si parla di ortogonalizzare i fattori, vedi Elton e al. (2003), Cap. 8.

130


economica del risultato, inducendo un’incertezza sul vero impatto dei singoli fattori sul

rendimento del titolo (tipico in presenza della cosiddetta collinearita fra regressori nelle

regressioni multivariate).

Il Modello (5.39) rappresentare il caso in cui, ad esempio, il rendimento di un’attivita,

oltre che a dipendere dall’andamento generale del mercato e quindi da rM , dipende anche

dall’andamento medio di alcuni settori industriali. Calcolati tutta una serie di rendimenti

medi riferiti ai piu significativi settori industriali, potremo verificare che tali rendimenti

spieghino una parte dei rendimenti osservati sulla base che un’impresa possa dipendere

dall’andamento di piu settori; esempio un’impresa bancaria potrebbe dipendere sia dal-

l’andamento del settore bancario, ma anche da quello del settore assicurativo, etc.. In

effetti, cosı facendo corriamo il rischio di inserire troppi fattori nel modello (ossia il nu-

mero dei settori industriali che considero nell’analisi), i quali si tolgono l’uno con l’altro

potenza esplicativa a causa della loro probabile alta correlazione (violando cosı anche le

ipotesi del modello teorico). Altra opzione, che e anche la piu utilizzata nella pratica, e di

considerare per ogni attivita il rendimento medio del particolare settore a cui appartiene,

riducendo quindi il modello a solo due fattori. In altre parole e come se assumessi pari

a zero tutti i bqi riferiti ai diversi settori, ad eccezione di quello riferito al settore a cui

appartiene l’attivita i.

Esiste anche un altro approccio all’individuazione dei fattori, che fa riferimento ad

una tecnica statistica chiamata analisi delle componenti principali (principal component

analysis) che alla sua base ha ben poco di teoria economica. Senza addentrarci troppo

nell’argomento (si rimandano i lettori interessati ad Elton e al. (2003)), l’intuizione alla

base di questo approccio e come sia possibile, dato un insieme di attivita e i loro relativi

rendimenti, individuare alcune componenti che possano spiegare la varianza che si osserva

fra questi rendimenti. Queste componenti si caratterizzano per la capacita di spiegazione

della varianza complessiva e sono ordinate in tal senso in ordine di importanza. Quindi,

ad esempio, la prima componente potrebbe spiegare il 30%, la seconda il 20%, la terza

il 5% ecc.. Si useranno poi queste componenti (o quelle che spiegano almeno una parte

significativa della varianza dei rendimenti) nella stima del Modello (5.39). Un grosso

limite di tale approccio e che non ho nessuna indicazione a priori di quante componenti

considerare e, soprattutto, del significato economico delle diverse componenti. E’ tuttavia

un utile termine di raffronto.

Il rendimento atteso dell’attivita i calcolato dal Modello (5.39) e pari da:

µi = b0i + b1

iµF 1 + ...+ bQi µFQ = b0i +

Q∑

q=1

bqiµF q , per j = 1, ..., n, (5.40)

131


ossia il rendimento e pari ad una componente specifica dell’attivita i, b0i , piu una media

pesata dei valori attesi dei vari fattori,∑Q

q=1 bqiE [F q], dove i pesi sono i diversi fattori di

carico bqi .

La varianza del rendimento ri e pari a:

σ2i =

(b1i

)2σ2F 1 + ...+

(bQi

)2

σ2FQ + σ2

εi=

Q∑

q=1

(bqi )2 σ2

F q + σ2εi. (5.41)

La varianza del rendimento e quindi data dalla somma pesata delle varianze dei singoli

fattori (i pesi sono i bqi presi al quadrato), a cui si aggiunge la componente di rischio non

sistematico σ2εi

.

Nel caso l’ipotesi di covarianza nulla fra fattori (ossia σF qF z = 0 per z, q = 1, ..., Q e

z 6= q) non fosse verificata (cosa molto comune nella pratica) allora nell’Equazione (5.41)

andrebbero aggiunte (due volte) le covarianze non nulle pesate per i rispettivi fattori di

carico (ossi 2bqi bziσF qF z = 0).

Esempio 28 (Modello a due fattori)

Supponiamo di considerare un modello a due fattori come spiegazione dell’attivita i, dove

il primo fattore e sempre il rendimento dell’indice di mercato rM , mentre il secondo fattore

e il rendimento medio del settore a cui appartiene l’attivita j, denominato rI . La Tabella

5.7 riporta il rendimento dell’attivita i, dell’indice di mercato rM , del rendimento medio

del settore rI , ed, infine, i residui calcolati sulla base della stima del Modello (5.42) a due

fattori.

Mese ri rM rI εi1 10 4 10 0.62 3 2 8 03 15 8 11 -0.34 9 6 9 05 3 0 9 - 0.3

Tabella 5.7: Tabella dei rendimenti di due attivita per un modello a due fattori

La stima del modello a due fattori sulla base dei dati in Tabella 5.7 e la seguente:

ri = −16.7 + 0.94rM + 2.22rI + εi, (5.42)

da cui osserviamo come il rendimento dell’attivita i sia fortemente legato al rendimento

medio del settore (2.2 e infatti il coefficiente di impatto) e come questo faccia diminuire

l’impatto dell’indice di mercato (che passa da 1.5 a 0.9, vedi Equazione (5.26)).

132


Il rendimento atteso dell’attivita i calcolato sulla base della stima (5.42) e pari a (vedi

Equazione (5.40)):

µi = b0i + b1

iµM + b2iµI = −16.7 + 0.94 ∗ 4 + 2.22 ∗ 9.4 = 8

che e esattamente pari alla media del rendimento osservato dell’attivita i.

La varianza calcolata sempre sulla base della stima (5.42) e pari a:

σ2i = 0.942 ∗ 10 + 2.222 ∗ 1.3 + 0.135 = 15.51,

che non e molto vicina alla varianza osservata dell’attivita i pari a 26. La differenza tra

quanto stimato e quanto osservato e dovuta alla forte correlazione fra i due fattori pari

2.5, che invece e assunta pari a zero nel ricavare l’Equazione (5.41). Correggendo per

tale correlazione, ossia aggiungendo 2 ∗ 0.94 ∗ 2.22 ∗ 2.5 = 10.49 alla varianza calcolata,

otteniamo esattamente 26, la varianza osservata.

Rendimento e varianza di portafoglio nel modello multifattoriale

Sempre considerando un generico portafoglio P composto da n attivita, avremo che il

rendimento del portafoglio e pari da:

rP =n∑

i=1

aib0P+

n∑

i=1

aib1iF

1+n∑

i=1

aib2iF

2+...+n∑

i=1

aibQi F

Q+n∑

i=1

aiεi = b0P+

Q∑

q=1

bqPFq+

n∑

i=1

aiεi,

(5.43)

dove

b0P =

n∑

i=1

aib0i

e

bqP =n∑

i=1

aibqi

per q = 1, ..., Q.

Si puo osservare che rispetto al caso di modello ad un fattore (vedi Equazione (5.30))

non vi siano sostanziali novita se non l’aggiunta dei termini relativi ai fattori aggiuntivi

F 2, ..., FQ.

Dall’Equazione (5.43) seguendo lo stesso ragionamento fatto per il modello ad un

fattore, con l’aggiunta che qui anche i Q fattori sono assunti avere covarianza zero fra

133


loro, e possibile calcolare per il portafoglio P sia il suo rendimento atteso, pari a:

µP = b0P + b1

PµF 1 + b2PµF 2 + ...+ bQPµFQ = b0

P +

Q∑

q=1

bqPµF q , (5.44)

che la sua varianza, pari a:

σ2P =

(b1P

)2σ2F 1 +

(b2P

)2σ2F 2 + ...+

(bQP

)2

σ2FQ + σ2

εP=

Q∑

q=1

(bqP )2 σ2F q + σ2

εP, (5.45)

dove σ2εP

e definito come nell’Equazione (5.34).

Confrontando l’Equazione (5.44) con l’Equazione (5.45) possiamo osservare come por-

tafogli con rendimenti piu alti dovrebbero mostrare anche una piu alta varianza degli

stessi; infatti una scelta di portafoglio che privilegi alti valori di bqP portera sia ad un

maggiore µP , ma anche ad un piu alto σ2P .

Esempio 29 (Modello a due fattori (continua))

Riprendendo i dati dell’esercizio precedente per un modello a due fattori, supponiamo ora

che esista un’altra attivita j, il cui rendimento rj e riportato nella Tabella 5.8, insieme

con i residui εi calcolati sulla base della stima del Modello (5.46) (stima sempre basata

sui dati riportati in tabella).

rj = −14.47− 0.69rM + 2.56rI + εj, (5.46)

Mese ri rM rI εi rj εj1 10 4 10 0.6 8 -0.42 3 2 8 0 6 1.43 15 8 11 -0.3 9 0.94 9 6 9 0 3 -1.45 3 0 9 -0.3 8 -0.5

Tabella 5.8: Tabella dei rendimenti di un’attivita per un modello a due fattori

Supponiamo adesso di formare un portafoglio con quote uguali delle due attivita, ossia

ai = aj = 0.5. Dall’Equazione (5.43) avremo allora che il rendimento atteso del portafoglio

134


e pari a (i dati per l’attivita i sono presi dall’Equazione (5.42)):

µp = 0.5 ∗ (−16.7) + 0.5 ∗ (−14.47)︸︷︷︸b0P

+ [0.5 ∗ 0.94 + 0.5 ∗ (−0.69)]︸︷︷︸b1P

∗ 4︸︷︷︸µM

+

+ [0.5 ∗ 2.22 + 0.5 ∗ (2.56)]︸︷︷︸b2P

∗ 9.4︸︷︷︸µI

= 7.4; (5.47)

e facile verificare che questo e anche il rendimento medio del portafoglio del periodo

considerato.

Dall’Equazione (5.45) possiamo invece calcolare la varianza del portafoglio:

σ2P = [0.5 ∗ 0.94 + 0.5 ∗ (−0.69)]2︸︷︷︸

(b1P )2

∗ 10︸︷︷︸σ2M

+ [0.5 ∗ 2.22 + 0.5 ∗ (2.56)]2︸︷︷︸(b2P )

2

∗ 1.3︸︷︷︸σ2I

+

+ 0.52 ∗ 0.135 + 0.52 ∗ 1.285︸︷︷︸σ2εP

= 7.93. (5.48)

Notiamo che, se avessi tenuto il portafoglio P nei cinque mesi avrei avuto i seguenti

rendimenti mensili: 9.0, 4.5, 12.0, 6.0, 5.5, il che avrebbe implicato una varianza di por-

tafoglio pari a 9.43. La differenza come sappiamo e dovuta al fatto che i fattori hanno

covarianza non nulla (precisamente pari a 2.5, il che tende ad aumentare la varianza osser-

vata di portafoglio), cosı come i rumori (precisamente pari a -0.08, il che tende a diminuire

la varianza di portafoglio).

II.C Il punto debole del modello a fattori: quali fattori considerare?

Un aspetto cruciale del modello a fattori, che rappresenta la sua maggiore debolezza,

e l’individuazione dei fattori rilevanti per la spiegazione dei rendimenti. Questa indivi-

duazione e demandata alla ricerca empirica, che non risulta facile data l’alta correlazione

fra i molti fattori potenzialmente rilevanti nella spiegazione dei rendimenti delle attivita

finanziaria. Ad esempio tasso di crescita del PIL e tasso di disoccupazione possono esse-

re correlati con l’andamento dei rendimenti e quindi potrebbero essere identificati come

due fattori. Ma la relazione fra il tasso di disoccupazione e i rendimenti potrebbe essere

dovuta all’effetto che il tasso di crescita del PIL ha su entrambe le variabili e non ad

una loro relazione statistica effettiva. In econometria questo fenomeno prende il nome di

correlazione spuria.

Elton e al. (2003), concentrandosi sui soli fattori macroeconomici come potenziali

fattori esplicativi, concludono che le seguenti variabili svolgono un ruolo chiave nella

spiegazione dei rendimenti delle azioni del mercato statunitense (vedi Elton e al. (2003)):

135


1. differenza tra rendimento dei titoli di stato a lungo termine e titoli di stato a 30

giorni;

2. il tasso atteso di inflazione;

3. il rendimento di mercato;

4. la variazione nei tassi di interesse dei buoni del tesoro;

5. la variazione del valore del dollaro rispetto a un paniere di valute;

6. la variazione attesa del tasso di crescita del PIL reale e

7. la variazione attesa del tasso di inflazione.

Altri autori si concentrano piu su fattori microeconomici. In un famoso articolo del

1993 Eugene Fama e Kenneth French individuano nelle seguenti variabili i fattori chiave

per spiegare i rendimenti azionari statunitensi:12

1. il premio per il rischio di mercato, ossia il rendimento di mercato meno il tasso

dell’attivita priva di rischio;

2. il differenziale di rendimento tra le imprese di maggiori e minori dimensioni (in

termini di capitalizzazione di mercato) e

3. il differenziale di rendimento tra le imprese aventi valori alti e valori bassi dell’indice

book-to-market (ossia il rapporto tra valore di bilancio e valore di mercato delle

azioni).

Il primo fattore riprende il CAPM, mentre gli altri due sono suggeriti agli autori dalla

considerazione che: i) le imprese di minori dimensioni13; e ii) quelle che hanno un alto

rapporto tra valore di bilancio e valore di mercato delle azioni (in inglese book-to-market

ratio14) di norma mostrano rendimenti piu alti (e probabilmente anche una maggiore

volatilita).

E’ interessante notare che nei fattori e inserito di sovente il rendimento del mercato, il

che fornisce un’intuizione di come il modello a fattori possa, sotto particolari condizioni,

essere ricondotto al modello CAPM (discuteremo di questo nella Sezione III.E).

12Nello stesso articolo i due autori propongono un modello a cinque fattori per la spiegazione delmercato delle obbligazioni.

13Chiamate small caps in contrapposizione a quelle di maggiori dimensioni chiamate big caps.14Chiamate value stocks in contrapposizione a quelle con bassi book-to-market ratio, chiamate growth

stocks.

136

5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT III. APT

III Arbitrage Price Theory (APT)

In questa sezione mostreremo in primis come il Principio di Arbitraggio insieme al

modello a fattori possa essere usato per determinare una relazione di equilibrio fra il

rendimento atteso di un’attivita e i diversi fattori. Discuteremo poi come tale relazione

fornisce una misura alternativa del rischio delle attivita rispetto al CAPM.

III.A Derivazione dell’APT

Si consideri per semplicita che il rendimento delle n attivita possa essere espresso

tramite il seguente modello ad un fattore, ossia:

ri = b0i + b1

iF1 + εi, per i = 1, ..., n. (5.49)

La teoria dell’APT tende a dimostrare che i parametri b0i e b1

i devono essere collegati

fra loro nell’equilibrio di mercato dove vige il Principio di Arbitraggio.

Per dimostrarlo si consideri un generico portafoglio P , il cui rendimento totale e dato

da:

RTP =n∑

i=1

ripixi =n∑

i=1

b0i pixi + F 1

n∑

i=1

b1i pixi +

n∑

i=1

εipixi

Se nell’equilibrio deve valere il Principio di Arbitraggio deve tuttavia essere vero che

per tutti i portafogli tali che (vedi Condizione (5.19)):

n∑

i=1

pixi = 0 (5.50)

allora deve valere che (vedi Equazione (5.20)):

n∑

i=1

rkipixi = 0 per ogni stato k = 1, ...,m (5.51)

Supponiamo quindi che il nostro portafoglio P soddisfi la Condizione (5.20). Allora

nell’equilibrio il Principio di Arbitraggio richiede che RTP = 0, ossia:

n∑

i=1

b0i pixi + F 1

n∑

i=1

b1i pixi +

n∑

i=1

εipixi = 0. (5.52)

Tuttavia, poiche nell’equilibrio il portafoglio P comporta un investimento zero (vedi

Equazione (5.50)) e ha un rendimento nullo (vedi Equazione (5.52)), allora P non deve

comportare alcun rischio per l’investitore.

137

III. APT 5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT

Questo si ottiene attraverso un’opportuna scelta di portafoglio, che renda zero sia∑ni=1 b

1i pixi, rendendo quindi ininfluenti le fluttuazioni di F 1, che

∑ni=1 εipixi. Quest’ul-

timo termine, in particolare, tendera ad andare a 0 al tendere di n all’infinito (abbiamo

discusso questa cosa piu volte a riguardo del rischio idiosincratico, vedi ad esempio la

Sezione IV) e quindi questa condizione varra sempre in termini approssimati, ossia piu

correttamente avremo∑n

i=1 εipixi ≈ 0.

Ma se∑n

i=1 b1i pixi = 0 e

∑ni=1 εipixi ≈ 0 allora dall’Equazione (5.52) abbiamo che

deve valere che:n∑

i=1

b0i pixi = 0 (5.53)

Una condizione sufficiente perche cio accada e che:

b0i = λ0 + θb1

i , (5.54)

ossia che i parametri b0i e b1

i abbiamo una relazione lineare (λ0 e θ sono due parametri che

possono assumere qualsiasi valore). Infatti:

n∑

i=1

b0i pixi =

n∑

i=1

(λ0 + θb1

i

)pixi =

n∑

i=1

λ0pixi +n∑

i=1

θb1i pixi = λ0

n∑

i=1

pixi + θn∑

i=1

b1i pixi = 0.

(5.55)

Se sostituiamo la Relazione (5.54) nel Modello (5.49) abbiamo che:

ri = λ0 + θb1i + b1

iF1 + εi, per i = 1, ..., n, (5.56)

ossia:

ri = λ0 +(θ + F 1

)b1i + εi, per i = 1, ..., n. (5.57)

Il tasso di rendimento atteso di ri e quindi pari a:

µi = λ0 + λ1b1i , per i = 1, ..., n, (5.58)

dove:

λ1 = θ + µF 1 . (5.59)

L’Equazione (5.58) afferma che, se il modello ad un fattore e corretto, in equilibrio i

rendimenti attesi di tutte le attivita differiscono fra loro in proporzione alla differenze

fra i loro factor loading, ossia i b1i e niente altro. Infatti dall’Equazione (5.58) prese due

attivita i e j abbiamo che:

µi − µj = λ1(b1i − b1

j

). (5.60)

138


In altre parole, maggiore e b1i maggiore sara il rendimento relativo dell’attivita i in equili-

brio; dall’Equazione (5.57) sappiamo tuttavia che anche la varianza del rendimento sara

maggiore.

Il modello APT con un attivita priva di rischio

Dato che l’attivita priva di rischio per definizione non presenta alcuna stocasticita nel

suo rendimento, deve valere che b10 = 0; dall’Equazione (5.58) avremo che:

r0 = λ0, (5.61)

il quale sostituito nell’Equazione (5.58) porta a:

µi = r0 + λ1b1i , per i = 1, ..., n. (5.62)

Questa rappresenta l’Equazione della APT market line o linea di mercato dell’APT nel

caso di un fattore in un economia con un’attivita priva di rischio.

Ripetendo lo stesso ragionamento, ma partendo con un modello a Q fattori, avremo

che il rendimento atteso della generica attivita i e dato da:

µi = r0 + λ1b1i + λ2b2

i ...+ λQbQi , per i = 1, ..., n, (5.63)

dove λq = θ+µF q per q = 1, ..., Q; l’Equazione ( 5.63) rappresenta l’APT market line nel

caso multifattoriale in presenza di un’attivita priva di rischio.

Esempio 30 (Il modello APT con due attivita)

Si consideri di nuovo la Tabella 5.5, da cui, come gia sappiamo, e possibile stimare i due

seguenti modelli ad un fattore per le attivita i e j

ri = 2.0 + 1.5rM + εi;

rj = 2.4 + 0.8rM + εj.

Sappiamo inoltre che µi = 8 e µj = 5.6. Allora se il modello APT e giusto, ossia se vige

il Principio di Arbitraggio, deve valere che (vedi Equazione (5.58)):

8 = λ0 + λ11.5;

5.6 = λ0 + λ10.8;

139


da cui e possibile calcolare (sottraendo membro a membro):

λ1 =8− 5.6

1.5− 0.8= 3.43

e

λ0 = 8− λ11.5 = 2.86.

Abbiamo quindi che per la generica attivita i deve valere che:

µi = 2.86 + 3.43b1i . (5.64)

Se quindi tramite la stima del modello ad un fattore per un’attivita z otteniamo che

b1i = 2, allora il rendimento atteso in equilibrio di questa attivita (se il modello APT e

corretto) e pari a:

µi = 2.86 + 3.43 ∗ 2 = 9.72.

III.B I prezzi di equilibrio nell’APT

La teoria APT fornisce, come il CAPM, una teoria dei prezzi correnti condizionata

alle aspettative sui prezzi futuri delle attivita. Infatti, ricordando che:

µi =E [vi]− pi

pi=E [vi]

pi− 1,

ossia:

pi =E [vi]

1 + µi,

sostituendo dall’Equazione (5.63) abbiamo che:

pi =E [vi]

1 + r0 + λ1b1i + ...+ λQbQi

. (5.65)

L’Equazione (5.65) e molto simile a quella che abbiamo gia discusso per il CAPM

(vedi Equazione (4.18)); questa mostra come il prezzo di equilibrio sia pari al prezzo

futuro atteso dell’attivita opportunamente scontato per il tasso risk free 1 + r0, piu un

premio per il rischio che l’attivita comporta, misurato dalla somma λ1b1i + ...+ λQbQi .

Nella Figura 5.2 abbiamo riportato la relazione negativa fra il prezzo di equilibrio e

il parametro b1i sotto l’ipotesi che λ1 sia positivo. Al crescere di quest’ultimo, quindi,

aumenta sia il rendimento che la volatilita dell’attivita i (vedi Equazione (5.57)).

L’Equazione (5.65) fornisce anche l’intuizione del processo di aggiustamento dei prezzi

all’equilibrio. Se il valore del coefficiente di b1i e dato da b1

i e il prezzo corrente risulta infe-

140


b1i

pi

E[vi]1+r0

b1i

A

pi

pAi

BpBi

Figura 5.2: Prezzo di equilibrio nel modello APT

riore al prezzo previsto dall’Equazione (5.65) (ad esempio al prezzo pBi , a cui corrisponde

il punto B in Figura 5.2) cio significa che l’attivita i risulta sottovalutata (underpriced),

ovvero esistono delle opportunita di arbitraggio nel mercato; in particolare, conviene rial-

locare il proprio portafoglio a favore dell’attivita i. Ma facendo cio creiamo un eccesso

di domanda dell’attivita i, che spinge al rialzo il suo prezzo fino a che le opportunita di

arbitraggio scompaiono. Viceversa, se il prezzo corrente risulta superiore a pj (ad esempio

pari al prezzo pAi , a cui corrisponde il punto A in Figura 5.2), l’attivita i risulta sopra-

valutata (overpriced) e conviene riallocare il proprio portafoglio a sfavore di tale attivita.

Cio comportera una pressione verso il basso del prezzo, fino a raggiungere pi.

Shock e prezzi delle attivita

L’Equazione (5.65) fornisce anche un’intuizione di come shock di varia natura possano

influenzare il livello dei prezzi correnti delle attivita.

Se, ad esempio, per l’intervento della Banca Centrale che diminuisce il tasso di sconto

osserviamo una diminuzione del tasso di interesse dell’attivita priva di rischio (da r0 a r′0

in Figura 5.3), allora avremo un aumento del prezzo corrente di equilibrio dell’attivita i

(da pi a p′i in Figura 5.3).

Un altro possibile shock riguarda i valori attesi dei Q fattori. Abbiamo discusso in

precedenza come sia molto comune trovare nella pratica modelli a fattori in cui un fattore

rappresenta l’andamento medio del settore. Se il fattore 1 rappresenta, in effetti, un indice

dell’andamento medio del settore a cui appartiene l’attivita i e se tale andamento medio

subisce una repentina caduta, avremo che λ1 diminuisce (vedi Equazione (5.59)) e, quindi,

il prezzo corrente sale. Il risultato controintuitivo (rendimenti attesi in discesi, prezzi in

salita) e dovuto al fatto che il rendimento dell’attivita i deve diminuire per riportarlo in

141


b1i

pi

E[vi]1+r0

b1i

pi

E[vi]1+r′0

p′i

Figura 5.3: Prezzo di equilibrio nel modello APT: diminuzione del tasso dell’attivita privadi rischio

equilibrio rispetto al rendimento delle altre attivita; questo, con un prezzo atteso E [vi]

costante, puo essere raggiunto solo con un aumento del prezzo corrente. Il presente ragio-

namento mostra i limiti dell’Equazione (5.65) come una teoria dei prezzi delle attivita, che

si basa sull’invarianza dei prezzi attesi, anche quando questi ragionevolmente dovrebbero

cambiare in risposta a possibili shock.

Esempio 31 (I prezzi di equilibrio nell’APT)

Riprendendo l’esercizio precedente Si consideri il seguente modello APT:

µi = 2.86 + 3.43b1i ,

supponendo che il prezzo atteso dell’attivita i sia 10 (ossia E[vi] = 10) e che b1i = 2.

Allora abbiamo che il prezzo di equilibrio corrente e pari a:

pi =10

1 + (2.86 + 3.43 ∗ 2)/100= 9.11.

Notiamo che nei calcoli abbiamo riportato il tasso in percentuale dividendo lo stesso per

100 (nei precedenti esercizi questo era implicito). Il prezzo corrente dell’attivita e quindi

inferiore al prezzo atteso e questo per garantire a chi la detenga un rendimento pari a:

10− 9.11

9.11∗ 100 = 9.72.

Se supponiamo ora che il tasso di interesse privo di rischio aumenti a 3.5, allora abbiamo

142


che il prezzo dell’attivita dovrebbe diminuire a:

pi =10

1 + (3.5 + 3.43 ∗ 2)/100= 9.06.

III.C Premio per il rischio nell’APT

La teoria dell’APT fornisce anche una misura alternativa del premio di rischio relativo

all’attivita i rispetto al CAPM (vedi Equazione (4.13)). Infatti, osserviamo dall’Equazione

(5.63) che il rendimento in eccesso rispetto al rendimento dell’attivita priva di rischio e

pari a:

µi − r0 = λ1b1i + ...+ λQbQi , (5.66)

che mostra come siano i vari coefficienti(b1i , ..., b

Qi

)a determinare il suo premio per il

rischio rispetto alle altre attivita. Il confronto tra le Equazioni (5.66) e (4.13) suggerisce

che l’APT, aumentando i fattori di spiegazione del rendimento delle attivita (ossia consi-

derando piu fattori e non il solo indice di mercato), determini il premio per il rischio in

maniera piu completa.

La relazione fra il rendimento atteso di un’attivita e i diversi coefficienti(b1i , ..., b

Qi

)

prende il nome di linea di mercato dell’APT (APT market line). La Figura 5.4 riporta

una rappresentazione grafica di tale linea di mercato rispetto al fattore 1 sotto l’ipotesi

che λ1 > 0 (ossia il coefficiente λ1 e stimato essere positivo).

λ1

µi

b1i

A

B

µAi

µBi

b1Ai b1Bi

APT market line

Figura 5.4: Linea di mercato dell’APT (APT market line) relativa al fattore 1.

Se l’APT e corretta, limitando l’attenzione ad un modello ad un fattore, stimati per

ogni attivita i (µi, b1i ), dovremo osservare che nello spazio (µ, b1) tali coppie si dispongono

143


attorno alla APT market line (non proprio sopra perche il modello e stato ricavato come

un’approssimazione, vedi Sezione III.A), che ha intercetta r0 e inclinazione λ1.

Se, ad esempio, per l’attivita i stimiamo una combinazione(µAi , b

1Ai

)rappresentata

dal punto A nella Figura 5.4 potremo concludere che l’attivita i e sottovalutata ai prezzi

correnti, poiche il rendimento stimato e eccessivo rispetto a quello di equilibrio, ossia il

prezzo corrente e troppo basso (ricordiamo che il prezzo futuro atteso e dato). Quindi

potremo modificare il nostro portafoglio a favore di tale attivita. L’inverso accade se la

combinazione stimata e(µBi , b

1Bi

)rappresentata dal punto B in Figura 5.4. In tal caso

dovremo tendere a vendere l’attivita i.

La combinazione A, tuttavia, potrebbe anche essere una combinazione di equilibrio

sotto due ipotesi alternative. La piu semplice e banale e che l’APT non sia una teoria

corretta dei prezzi di equilibrio. La seconda ipotesi invece e piu sottile: la teoria dell’APT

e giusta, ma i fattori inclusi nella spiegazione dei rendimenti non sono quelli giusti, ovvero

ne ho trascurato qualcuno. Solo la ricerca empirica puo dare una risposta a quale delle

due ipotesi sia corretta (dato per scontato che i prezzi osservati siano di equilibrio). Nella

teoria del CAPM questa seconda ipotesi non era ammissibile, dato che il CAPM contempla

come unico fattore esplicativo dei rendimenti il rendimento di mercato.

Esempio 32 (La valutazione di un’attivita nell’APT)

Riprendendo l’esercizio precedente si consideri il seguente modello APT:

µi = 2.86 + 3.43b1i ;

Per b1i = 2 allora µi = 9.72, Se quindi il rendimento stimato dell’attivita i fosse di

12 allora l’attivita appare sottovalutata, mentre se il rendimento fosse 8, allora appare

sopravalutata.

III.D Il rendimento e la varianza di portafoglio nell’APT

Stabilite le caratteristiche dei rendimenti attesi di equilibrio per l’APT delle singole

attivita, passiamo a considerare il rendimento e la varianza di portafoglio. Scopriremo co-

me queste si possono facilmente ricavare dall’analisi che abbiamo gia svolto per il modello

a fattori.

Per semplicita iniziamo con il modello ad un fattore; il rendimento atteso dal modello

ad un fattore e pari a (vedi Equazione (5.24)):

µi = b0i + b1

iµF 1 , (5.67)

144


mentre l’APT afferma che in equilibrio sia pari a (vedi Equazione (5.62)):

µi = r0 + λ1b1i , per i = 1, ..., n, (5.68)

Da cio deriva che (sottraendo membro a membro):

b0i = r0 + b1

i

(λ1 − µF 1

)= r0 + b1

i θ, (5.69)

dato che λ1 = θ + µF 1 (vedi Equazione (5.59)).

Sostituendo il tutto nell’Equazione (5.21) di ri ottengo che:

ri = r0 + θb1i + b1

iF1 + εi, (5.70)

che rappresenta il rendimento osservato di i se l’APT fosse corretta.

E’ immediato seguendo la stessa procedura ricavare il rendimento osservato dell’atti-

vita i nel caso di Q fattori:

ri = r0 + θ

Q∑

q=1

bqi +

Q∑

q=1

bqiFq + εi. (5.71)

Preso quindi un generico portafoglio P ed indicati con (a1, ..., an) le quote delle n

attivita detenute nel portafoglio abbiamo che il rendimento osservato del portafoglio e

dato da:

rP =n∑

i=1

airi = r0 + θ

Q∑

q=1

bqP +

Q∑

q=1

bqPFq +

n∑

i=1

aiεi, (5.72)

dove:

bqP =n∑

i=1

aibqi .

Il coefficiente bqP puo essere interpretato come la misura dell’impatto del fattore q sul

rendimento atteso e rischio del portafoglio P .

La somiglianza fra le Equazioni (5.43) e (5.72) e evidente (sono uguali ponendo bP0 =

r0 + θ∑Q

q=1 bqP ), cosı che rimandiamo alla Sezione II.B per i dettagli e le precisazioni di

come si possa calcolare il rendimento atteso di portafoglio nel modello APT, pari a:

µP = r0 + θ

Q∑

q=1

bqP +

Q∑

q=1

bqPµF q , (5.73)

145


e della varianza:

σ2P =

Q∑

q=1

(bqP )2 σ2F q + σ2

εP, (5.74)

dove σ2εP

e definito come nell’Equazione (5.34).

Il coefficiente bqP determina il contributo del fattore q al rischio del portafoglio P ed,

infatti, ne determina il premio per il rischio ed anche la varianza.

L’Equazione (5.74) mostra come la varianza del portafoglio P possa essere divisa

in due componenti come nelle analisi fatte per il CAPM: la prima componente, ossia∑Qq=1 (bqP )2 σ2

F q , dipende dal rischio sistematico causato dalle fluttuazioni nei diversi fat-

tori; la seconda componente, ossia σ2εP

, dal rischio idiosincratico delle singole attivita, che

tende a diminuire all’aumentare del numero delle attivita in portafoglio e del loro peso

relativo (la logica di diversificazione del rischio e la stessa di quella esposta per il modello

CAPM nella Sezione IV).

Esempio 33 (Media e varianza di portafoglio per l’APT)

Riprendendo i dati dell’Esercizio 30 avevamo che:

ri = 2.0 + 1.5rM + εi;

rj = 2.4 + 0.8rM + εj,

il che implica che b1i = 1.5 e b1

j = 0.8, mentre θ e r0 sono determinati dal sistema:

r0 + 1.5θ = 2;

r0 + 0.8θ = 2.4,

che impone che le intercette di entrambe le equazioni dei rendimenti soddisfino il modello

APT (vedi Equazione (5.70)). Possiamo quindi calcolare r0 = 2.86 (che e infatti pari a λ0

trovato nell’Esercizio 30) e θ = −0.57.

Dalla Tabella 5.5 sappiamo infine che µM = 4 e σ2M = 10, mentre dalle analisi di

regressione sappiamo che σ2εi

= 3.5 e σ2εj

= 1.9.

Supponiamo ora di voler calcolare il rendimento atteso e la varianza di un portafoglio

le cui quote dell’attivita i e j, ai e aj, siano pari a 0.5 e 0.5.

Applicando l’Equazione (5.73) per il caso di un solo fattore (Q = 1) dato dal rendi-

mento di mercato rM abbiamo che:

µP = 2.86︸︷︷︸r0

−0.57︸︷︷︸θ

∗ (0.5 ∗ 1.5 + 0.5 ∗ 0.8)︸︷︷︸b1P

+ (0.5 ∗ 1.5 + 0.5 ∗ 0.8)︸︷︷︸b1P

∗ 4︸︷︷︸µM

= 6.8,

146


mentre la varianza calcolata tramite l’Equazione (5.74) e pari a:

σ2P = (0.5 ∗ 1.5 + 0.5 ∗ 0.8)2

︸︷︷︸(b1P )

2

∗ 10︸︷︷︸σ2rM

+ 0.52︸︷︷︸a2i

∗ 3.5︸︷︷︸σ2εi

+ 0.52︸︷︷︸a2j

∗ 1.9︸︷︷︸σ2εj

= 14.58

Un indice sintetico del rischio del portafoglio P e dato da b1P = 0.5∗1.5+0.5∗0.8 = 1.15,

che non e altro che una media ponderata degli indici di rischio delle singole attivita.

III.E La relazione fra CAPM e APT

Per concludere la trattazione dell’APT e interessante mostrare come il CAPM possa

essere visto come un caso particolare dell’APT, in particolare quando si consideri un

modello con un solo fattore e questo sia il rendimento di mercato al netto del rendimento

dell’attivita priva di rischio.

Infatti dalle Equazioni (5.62) e (5.59) abbiamo che il rendimento dell’attivita i in

equilibrio e data da:

µi = r0 + b1i

(θ + E

[F 1]). (5.75)

Assumendo che F 1 = rM − r0 (ricordiamo che rM denota il rendimento osservato di

mercato) e che θ = 0 (in generale θ puo assumere qualsiasi valore), abbiamo quindi che:

µi = r0 + b1i (µM − r0) , (5.76)

che corrisponde all’Equazione (4.12) del CAPM quando b1i = βi.

In questa prospettiva l’APT rappresenta una generalizzazione del CAPM e questo

spiega perche nelle analisi empiriche e capace di spiegare con piu accuratezza i rendimenti

osservati (vedi Capitolo 6). D’altronde, a tale maggiore generalizzazione corrisponde

un’indeterminatezza su quali fattori dovrebbero essere considerati nell’APT, mentre il

CAPM fornisce una ricetta chiara: solo il rendimento del portafoglio di mercato e rilevante

insieme al rendimento dell’attivita priva di rischio.



2005; Cap. 4.


Cap. 5.

147


• Elton E.J., Gruber M.J., Brown S.J., and Goetzmann W. Modern Portfolio Theory

and Investment Analysis, John Wiley, 2002.

• Fama, E. e K. French (1993), Common Risk Factors in the Returns on Stocks and

Bonds, Journal of Financial Economics, 33, 3-56.

• Sharpe W.F., Alexander G.J. e Bailey J.V., Investments, Printice-Hall, 1999.

148

Capitolo 6

Un’introduzione all’analisi empirica

dei mercati finanziari

In questo capitolo discuteremo come i modelli CAPM ed APT possano trovare una

conferma nei dati empirici. L’analisi sara svolta sui dati giornalieri della Borsa Italiana

dal 2001 al 2011 e per i recenti dati azionari statunitensi. Nell’analisi prima presenteremo

alcune statistiche descrittive dei mercati finanziari; successivamente verificheremo come il

modello di mercato, che non rappresenta altro che un modello a fattori con un solo fattore,

ossia il rendimento di mercato, sia in grado di rappresentare la dinamica dei corsi azionari

considerati. Passeremo poi alla verifica e stima del modello CAPM. Infine, discuteremo

come la teoria dell’APT si adatti ai dati azionari statunitensi.

L’analisi empirica che segue richiede una minima conoscenza di analisi di regressione

multivariata. Nella prossima sezione quindi forniremo una breve introduzione a questo

tipo di analisi, prima di intraprendere l’analisi empirica vera e propria.

I Un breve riassunto dell’analisi di regressione multivariata

Si consideri di avere a disposizione l’osservazione di un’attivita finanziaria per T pe-

riodi, ad esempio il suo rendimento giornaliero; indicheremo con yt il dato osservato al

periodo t. Supponiamo poi di avere a disposizione anche osservazioni ripetute nel tem-

po di una variabile xt, che riteniamo possa spiegare l’andamento di y. Tecnicamente si

dice che abbiamo una serie temporale (time series) sia per y che per x e che riteniamo

yt la variabile da spiegare, od endogena, mentre x la variabile esplicativa, regressore, od

esogena.

Supponiamo inoltre che la relazione che lega y ed x sia di tipo lineare a meno di un

149

I. Un breve riassunto dell’analisi di regressione multivariata 6. L’ANALISI EMPIRICA

disturbo stocastico, ossia:

yt = α + βxt + εt, (6.1)

dove α e β sono parametri (coefficienti) da stimare, mentre εt e una variabile stocastica che

e assunta avere media zero, ossia E[ε] = 0, varianza costante nel tempo, ossia E[ε2] = σ2ε ,

nessun autocorrelazione temporale, ossia E[εtεs] = 0 per t 6= s, e nessuna correlazione

con xt, ossia E[xtεt] = 0. In molti casi e conveniente assumere che ε sia distribuita

normalmente con media nulla, varianza σ2ε . In letteratura ε viene anche chiamato rumore,

o rumore bianco, per evidenziare come debba contenere solo informazioni non rilevanti o

che non possano essere ulteriormente sfruttate per migliorare la conoscenza (stima) della

relazione fra xt ed yt.

La precisione con cui si descrivono le proprieta di ε e giustificata dal loro ruolo cruciale

rispetto alla possibilita di avere stime affidabili di α e β. Infatti, mentre e del tutto

plausibile che il valore atteso di ε sia pari a zero (come vedremo e il metodo stesso di

stima che lo impone), ed e quasi innocuo che la varianza di ε sia costante (potremo anche

rilassare tale ipotesi, si parlera di eteroschedasticita del rumore), non e per nulla innocuo

che ε sia autocorrelato nel tempo (questa e chiaramente un’informazione rilevante ed e

molto volte verificata nei dati empirici) e che E[xtεt] 6= 0, ossia che nel rumore rimanga

dell’informazione utile, la quale potrebbe essere usata in qualche modo per migliorare le

stime (si parla in questo caso di endogeneita e di bias nelle stime dovuta alla presenza di

endogeneita).

I.A La stima via minimi quadrati ordinari (OLS)

Indicando con α e β la stima dei parametri α e β (vedremo subito sotto come possono

essere ottenuti), abbiamo che i dati calcolati dal Modello (6.1) sono dati da:

yt = α + βxt, (6.2)

mentre i residui di stima sono dati da:

εt = yt − yt. (6.3)

Il metodo piu usato per ottenere la stima di α e β fu proposto da Carl Friedrich Gauss

agli inizi del 1800 ed e denominato metodo dei Minimi Quadrati Ordinari (OLS, acronimo

di Ordinary Least Square). In sostanza si calcola la somma dei residui di stima presi al

150

6. L’ANALISI EMPIRICA I. Un breve riassunto dell’analisi di regressione multivariata

quadrato, ossia:

S(α, β

)=

T∑

t=1

(yt − yt)2 =T∑

t=1

(yt − α− βxt

)2

, (6.4)

e la si minimizza rispetto ad α e β.

Come risultato standard abbiamo che:1

β =

∑Tt=1 (xt − x) (yt − y)

(xt − x)2 =σxyσ2x

(6.5)

e

α = y − βx, (6.6)

dove x e y sono le medie campionarie di x ed y, σxy la covarianza fra x ed y e σ2x la

varianza di x.

E’ immediato che tale procedura possa essere estesa anche al caso in cui il modello in-

cluda piu variabili esplicative (esogene); ad esempio nel modello seguente abbiamo incluso

altre due variabili esplicative z e q.

yt = α + βxt + γzt + θqt + εt. (6.7)

La stima diventa piu complicata, ma solo dal punto di vista del calcolo, dato che si

tratta sempre di minimizzare una somma di residui, ma questa volta rispetto a quattro

parametri e non due.

I.B Le proprieta della stima OLS

Oltre ad avere la stima dei coefficienti α e β potremo essere interessati a sapere quanto

il nostro modello riesce a catturare della variabilita di y, ossia quanto rimane di non

spiegato nella dinamica di y dopo aver tolto gli effetti stimati di x. Il coefficiente di

determinazione R2 fornisce una misura sintetica di questa cosiddetta bonta della stima

(goodness of fit) ed e definito come:

R2 = 1−∑T

t=1 (yt − yt)2

∑Tt=1 (yt − y)2

. (6.8)

Intuitivamente e una misura della varianza spiegata dal modello calcolato (numeratore)

rispetto alla varianza totale (denominatore) ed e costruito in modo da raggiungere 0

1Si veda ad esempio Wooldridge (2010), Introductory to Econometrics.

151

I. Un breve riassunto dell’analisi di regressione multivariata 6. L’ANALISI EMPIRICA

quando la stima non spiega nulla (la peggiore stima possibile) ed 1 quando si riesce a

spiegare tutto.

Tale misura di bonta della stima della stima tuttavia risente del numero di variabili

esplicative usate; al limite utilizzando tante variabili esplicative quanto sono le osservazioni

potrei avere un R2 pari ad 1; infatti, avrei tanti coefficienti quante osservazioni, ossia e

come se avessi tante equazioni (le mie osservazioni) tante quante sono i parametri da

stimare. In questo caso tecnicamente si dice che i gradi di liberta della stima sono pari

zero. In generale i gradi di liberta sono pari al numero delle osservazioni meno il numero dei

parametri da stimare; un alto livello di gradi di liberta significa che con pochi parametri,

e quindi poche variabili esplicative, ambisco a spiegare molte osservazioni (e viceversa).

In letteratura e quindi piu usuale utilizzare il cosiddetto R2 corretto indicato con R2,

ossia:

R2 = 1−(

T − 1

T − k − 1

)∑Tt=1 (yt − yt)2

∑Tt=1 (yt − y)2

, (6.9)

dove k e il numero dei parametri da stimare (2 per il Modello (6.1) e 4 per il Modello

(6.7)), che penalizza le stime in cui i gradi di liberta (pari a T − k) sono piu bassi (ossia

a parita di R2 valuto migliore la stima che utilizza meno variabili esplicative).

La ragione piu profonda dell’uso dell’R2 rispetto all’uso dell’R2 sta tuttavia nel fine

ultimo dell’analisi di regressione, che e la capacita di previsione del modello stimato (piu

tecnicamente si parla di out-of-sample prediction). Si puo dimostrare che la varianza di

previsione di un modello ha una relazione decrescente con i gradi di liberta del modello

stesso. In altre parole se impiego molte variabili per spiegare il rendimento di un titolo, a

parita di tutto l’accuratezza del modello nel prevedere il rendimento futuro del titolo sara

inferiore. Esiste quindi sempre un trade-off nell’includere variabili aggiuntive nel modello

di stima: da un lato aumento la spiegazione dei rendimenti osservati, dall’altro diminuisco

le capacita del modello di fornire previsioni accurate: R2 viene usato per orientarsi nella

scelte delle variabili alla luce di questo trade-off. Si parla a questo riguardo di selezione

del modello di stima (model selection).

E’ poi possibile avere anche un misura della significativita dei singoli coefficiente. Senza

entrare nei dettagli tecnici (rimandiamo sempre al Wooldrige (2010) i lettori interessati)

si puo dimostrare che date le stime dei coefficienti α, α, e β, β, queste sono distribuite

normalmente con varianza σ2α e σ2

β. Allora abbiamo che i rapporti:

α− ασα

eβ − βσβ

sono distribuiti come una t di Student con T −k gradi di liberta. E’ chiaro che e possibile

calcolare tali rapporti anche per eventuali altri coefficienti presenti nel modello.

152

6. L’ANALISI EMPIRICA II. Statistiche descrittive

Questo ci permette di effettuare test statistici di verifica d’ipotesi sui coefficienti sti-

mati. Molti programmi software effettuano automaticamente un test sulla significativita

statistica dei coefficienti basato sulla t di Student, ossia sul fatto che questi risultino

statisticamente differenti da zero. Il risultato di tale test non sara un si o no, ma una

probabilita; in genere si considerano soglie standard di significativita o 1% o 5%, il che

significa che esiste rispettivamente solo un 1% o 5% di probabilita che il coefficiente sia

pari a zero.

II Statistiche descrittive dell’andamento della Borsa Italiana

In questa sezione forniremo alcune statistiche descrittive dell’andamento dei rendimen-

ti giornalieri delle azioni quotate nella Borsa italiana di 237 imprese per il periodo che va

dal 06/09/2001 al 06/09/2011 per un totale di 618333 osservazioni e il tasso di variazione

giornaliero (rendimento) dell’indice di mercato FTSE calcolato dal 1/1/2003 (anno della

sua introduzione) al 06/09/2011.

−0.1

0−

0.0

50.0

00.0

50.1

0

Anno

Rendim

ento

gio

rnalie

ro F

TS

E

2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

Rendimento giornaliero dell’indice FTSE

Density

−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10

020

40

60

80

Figura 6.1: Il rendimento giornaliero della Borsa Italia. Pannello di sinistra: andamentotemporale del tasso di variazione dell’indice FTSE; pannello di destra: distribuzione diprobabilita del tasso di variazione dell’indice FTSE e distribuzione normale come terminedi paragone.

La Figura 6.1 mostra nel pannello di sinistra l’andamento temporale del tasso di

variazione dell’indice di mercato FTSE, mentre nel pannello di destra la sua distribuzione

153

II. Statistiche descrittive 6. L’ANALISI EMPIRICA

di probabilita. La media geometrica nel periodo dei tassi di variazione dell’indice FTSE

e pari a -0.000385: cio significa una perdita media annua dal 2003 al settembre 2011 pari

al 5%. La deviazione standard dei rendimenti giornalieri e pari a 0.01367, indicando la

presenza di una discreta volatilita. L’indice di skewness della distribuzione e pari a -0.29,

suggerendo una maggiore massa a sinistra della moda della distribuzione, mentre l’indice

di curtosi e pari a 10.609, che suggerisce la presenza di code ”spesse” in confronto ad

una ipotetica distribuzione normale dei tassi di variazione (in cui l’indice di curtosi lo

ricordiamo e pari a 3). Nella Figura 6.1 abbiamo riportato come termine di paragone

una distribuzione normale con media e deviazione standard pari a quelle osservate per

l’indice FTSE. Notiamo come effettivamente esistano agli estremi della distribuzione delle

osservazioni, ad esempio rendimenti minori del -5%, che sono di fatto quasi impossibili da

osservare in una distribuzione normale con quella media e varianza.

II.A La frontiera dei portafogli

Nel Capitolo 4 abbiamo discusso come sia possibile costruire la frontiera dei portafogli

efficienti senza e con un titolo privo di rischio partendo dal rendimento atteso, dalla

deviazione standard e dalla covarianza fra i rendimenti dei titoli.

Se teoricamente non esistono difficolta a considerare un numero molto ampio di titoli,

nella pratica la complessita dei calcoli numerici aumenta in maniera piu che proporzionale

rispetto al numero dei titoli considerati, il che e intuitivamente spiegato dal crescente

numero di covarianze che e necessario considerare nel Problema (3.11). Quindi nel seguito

ci limiteremo ad un’analisi su un campione limitato rispetto al totale delle azioni quotate

nella Borsa Italiana. Non entreremo inoltre nei dettagli di come si possa efficientemente

risolvere il Problema (3.11) quando il numero dei titoli e molto ampio; rimandiamo il

lettore a testi piu avanzati di scelte di portafoglio, come Elton et al. (2002). Limiteremo

anche il periodo temporale di analisi all’intervallo 03/01/2011-06/09/2011, di modo da

avere un campione completo dei rendimenti giornalieri delle azioni (prima di tale data per

alcune azioni presenti nel campione non esistono osservazioni) e consideriamo in prima

istanza le prime 20 azioni presenti del nostro campione (abbiamo ordinato le azioni in

ordine alfabetico).

154

6. L’ANALISI EMPIRICA II. Statistiche descrittive

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

−0.0

08

−0.0

06

−0.0

04

−0.0

02

0.0

00

0.0

02

0.0

04

MV

| s

olv

eR

quadpro

g

Figura 6.2: Frontiera dei portafogli per un campione di 20 azioni della Borsa Italiana nel

periodo 03/01/2011-06/09/2011 (in nero la parte efficiente). Il pallino rosso rappresenta

il portafoglio di minimo rischio. Le linee tratteggiate in grigio rappresentano possibili

portafogli composti solo da due azioni. I diversi pallini colorati la combinazione rischio

rendimento delle singole azioni. Il pallino blu rappresenta il portafoglio di tangenza nel

caso l’attivita priva di rischio abbia rendimento zero, mentre la linea blu la frontiera dei

portafogli rischiosi con un titolo privo di rischio.

Nella Figura 6.2 i diversi pallini colorati rappresentano la combinazione rischio rendi-

mento delle 20 azioni considerate. La frontiera dei portafogli senza titolo privo di rischio

appare come previsto dalla teoria: una curva ad U, con la concavita che guarda a destra

invece che in alto (si veda la Figura 3.4). Abbiamo evidenziato in nero la parte di fron-

tiera efficiente, ossia quei portafogli che sono candidati ad essere scelti. Il pallino rosso

rappresenta il portafoglio con minor rischio (ossia il portafoglio PMR nella Figura 3.3).

Abbiamo anche riportato tramite le linee tratteggiate in grigio la frontiera di portafoglio

per portafogli composti solo da due azioni. Sotto l’ipotesi che esista un’attivita priva di

rischio a rendimento nullo (la moneta), ossia r0 = 0, abbiamo poi identificato il portafo-

glio di tangenza (indicato con PT nella Figura 3.5) con un pallino blu e la frontiera dei

portafogli efficienti con un’attivita priva di rischio con la linea blu.

Che cosa succede alla frontiera efficiente senza e con titolo priva di rischio all’aumentare

dei titoli considerati nelle mie scelte e mostrato in Figura 6.3, dove considero un campione

155

III. La stima del modello CAPM 6. L’ANALISI EMPIRICA

di 20, 100 e 160 titoli (160 titoli e il massimo numero considerato per motivi di numerici

nel calcolo).

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

−0.0

08

−0.0

06

−0.0

04

−0.0

02

0.0

00

0.0

02

0.0

04

MV

| s

olv

eR

quadpro

gM

V | s

olv

eR

quadpro

gM

V | s

olv

eR

quadpro

g

Figura 6.3: Frontiera dei portafogli efficiente senza e con titolo privo di rischio per un

campione di 20, 100 e 160 azioni della Borsa Italiana nel periodo 03/01/2011-06/09/2011

(in nero la frontiera per 160 titoli, in verde quella per 100 ed in arancione quella per 20). I

pallini rosso, marrone e blue rappresentano il portafoglio di minimo rischio rispettivamente

per il campione con 160, 100 e 20 titoli.

Come era atteso la frontiera efficiente (sia senza che con titolo privo di rischio) si muove

verso l’alto, mentre il portafoglio di minimo rischio si muove verso sinistra, all’aumentare

del numero dei titoli considerati.

III La stima del modello CAPM

In primis osserviamo che secondo l’Equazione (4.12) il CAPM prevede che il rendi-

mento atteso dell’attivita i segua:

µi = r0 + βi (µM − r0) ;

156

6. L’ANALISI EMPIRICA III. La stima del modello CAPM

in questa forma, denominata ”ex-ante”, tuttavia la stima non e possibile dato che noi

non osserviamo ne il valore atteso del rendimento dell’attivita i, µi, ne il valore atteso del

rendimento del portafoglio di mercato µM .

E’ invece possibile stimare il CAPM nella sua versione ”ex-post”, ossia facendo riferi-

mento ai rendimenti osservati, come suggerito dall’Equazione (4.20):

rit = r0t + βi (rMt − r0t) + εit, (6.10)

dove rit e il rendimento osservato dell’azione i nel periodo t, r0t il rendimento dell’attivita

priva di rischio al periodo t, rMt il rendimento del portafoglio di mercato nel periodo t e

εit un rumore con media nulla e non correlato con rMt. In effetti puo essere conveniente

riesprimere l’Equazione (6.10) in termini di rendimenti in eccesso rispetto all’attivita priva

di rischio, ossia:

rit − r0t = βi (rMt − r0t) + εit; (6.11)

l’Equazione (6.11) rappresenta la base della stima del CAPM.

E’ infine da sottolineare che anche il rendimento del titolo privo di rischio r0 puo varia-

re nel tempo; questo puo succedere, ad esempio, se il rendimento reale del titolo privo di

rischio e costante nel tempo, ma il rendimento nominale, che e quello che utilizziamo nel-

l’analisi, riflette variazioni nel tasso di inflazione.2 Nella pratica empirica l’identificazione

di tale titolo ha sempre un margine di discrezionalita. Il titolo per eccellenza privo di

rischio e rappresentato dalla moneta, ma in pratica molte volte si fa riferimento al rendi-

mento di titoli pubblici a scadenza entro un anno. Nell’analisi successiva noi assumeremo

che il titolo privo di rischio sia rappresentato dai BOT, ed in particolare utilizzeremo un

indice composito basato sugli andamenti dei corsi dei BOT a diverse scadenze fornito

dalla Banca d’Italia

III.A La stime del CAPM per alcune azioni della Borsa Italiana

Consideriamo adesso l’andamento del rendimento dell’azione A2A (scelta perche prima

in ordine alfabetico nella lista delle aziende quotate).

La Figura 6.4 riporta l’andamento temporale e la distribuzione dei rendimenti nel

periodo 1/1/2003 - 06/09/2011 (lo stesso per cui e disponibile l’indice FTSE).

Il rendimento medio giornaliero di A2A e pari a -0.00002, mentre la deviazione stan-

dard dei rendimenti pari a 0.0169. La distribuzione dei rendimenti di A2A mostra un’evi-

dente asimmetria (l’indice di asimmetria e infatti pari a 0.33) ed eccesso di curtosi (l’indice

2Si tratta del cosiddetto effetto Fisher.

157


−0

.10

−0

.05

0.0

00

.05

0.1

0

Anno

Re

nd

ime

nto

gio

rna

liero

A2

A

2003 2005 2007 2009 2011

Rendimento giornaliero A2A

De

nsity

−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10

02

04

06

0

Figura 6.4: Il rendimento giornaliero di A2A. Pannello di sinistra: andamento temporaledel rendimento di A2A; pannello di destra: distribuzione di probabilita del rendimento diA2A e distribuzione normale come termine di paragone.

158


di curtosi e pari a 9.73), unito a periodi in cui la volatilita del rendimento sembra molto

elevata (vedi in particolare il periodo di fine 2008 inizio 2099).

La stima del CAPM via Equazione (6.11) per A2A e riportata in Tabella 6.1.

Stima Dev. stan. Valore di t Pr(> |t|)Intercetta 0.000 0.000 0.581 0.561

βi 0.727 0.021 34.318 0.0002263 gradi di liberta R2=0.342

Tabella 6.1: Stima del modello CAPM dell’Equazione (6.11) per A2A.

Nella stima abbiamo incluso anche una possibile intercetta per verificare se questa

possa fornire informazioni statisticamente rilevanti nella spiegazione del rendimento di

A2A (in eccesso rispetto al titolo privo di rischio).

La Tabella 6.1 evidenzia come l’intercetta non sia statisticamente significativa, come

era da attendersi dall’Equazione (6.11), mentre e fortemente significativa il coefficiente

del rendimento (in eccesso rispetto al rendimento del titolo privo di rischio) dell’indice

FTSE. In particolare il beta stimato di A2A e pari a 0.727, il che indica secondo la

teoria del CAPM un basso grado di rischio (ricordiamo che il valore di 1 e il discrimine,

rappresentando il beta del portafoglio di mercato). Questo risultato era atteso dato che

A2A opera in un settore industriale (forniture di servizi di pubblica utilita come elettricita)

considerato relativamente ”sicuro” per la stabilita dei profitti che genera.

Il valore di R2 pari a 0.342 significa che la regressione riesce a spiegare circa il 34%

della varianza del rendimento di A2A.

La Figura 6.5 fornisce una rappresentazione grafica della stima dell’Equazione (6.11).

159


−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10

−0.1

5−

0.1

0−

0.0

50.0

00.0

50.1

00.1

5

Rendimento (in eccesso) dell’indice FTSE

Rendim

ento

(in

eccesso)

di A

2A

Figura 6.5: Rendimento giornaliero (in eccesso rispetto al titolo privo di rischio) di A2A

contro il rendimento giornaliero (in eccesso rispetto al titolo privo di rischio) dell’indice

FTSE. La linea rossa rappresenta la retta di regressione stimata.

La linea rossa rappresenta la retta di regressione stimata, cosı che βi non e altro

che l’inclinazione di tale retta; le osservazioni appaiono disporsi in maniera abbastanza

evidente attorno alla retta di regressione, il che spiega l’alta significativita statistica della

stima di β.

Rischio di mercato e rischio idiosincratico

La Tabella 6.1 fornisce anche informazioni sul tipo di rischio che sopportiamo se de-

teniamo un’azione A2A. Infatti possiamo calcolare il rischio di mercato ed il rischio idio-

sincratico (o non di mercato) via Equazione (4.21). In particolare, abbiamo che il rischio

di mercato stimato e pari a:

β2i σ

2M = 0.00010 (6.12)

mentre il rischio idiosincratico stimato e pari a:

σ2εi

= 0.00019 (6.13)

da cui una varianza attesa del rendimento di A2A pari a 0.00029; quest’ultima e esatta-

mente pari alla varianza osservata nei dati come era da attendersi.

160


III.B Linea del mercato delle attivita

La linea di mercato delle attivita (SML) rappresenta la relazione positiva attesa fra i

rendimenti e i loro beta, con l’ulteriore specificazione che il rendimento relativo ad un beta

pari a zero dovrebbe essere pari al rendimento del titolo privo di rischio (vedi l’Equazione

(4.12)). Questa previsione del CAPM puo essere sottoposta a verifica empirica e viene

considerato un test cruciale sulla capacita del CAPM di descrivere l’effettivo andamento

del mercato. In particolare, stimando il modello:

µi = γ0 + γ1βi + εi, (6.14)

dove µi e stimato dal rendimento medio dell’azione i nel periodo e βi deriva dalla stima

dell’Equazione (6.11) per l’azione i dovremo ottenere che (si comparino le Equazioni (4.12)

e (6.14)): γ0 non sia significativamente diverso da r0 (dove r0 e stimato come media del

rendimento del titolo privo di rischio nel periodo); e γ1 pari a µM − r0 (dove µM e stimato

dalla media del rendimento dell’indice FTSE).

La Tabella 6.2 riporta il risultato della stima, che risulta non supportare l’ipotesi che

il CAPM sia un buon modello per la spiegazione dei rendimenti di equilibrio, essendo

γ0 = −0.00027 6= r0 = 0.00009 (la differenza e anche statisticamente significativa) e

γ1 = 0.00024 6= µ− r0 = −0.00038 (la differenza e anche statisticamente significativa).

Stima Dev. stan. Valore di t Pr(> |t|)γ0 -0.00027 0.00011 -2.50554 0.01290γ1 0.00024 0.00016 1.52904 0.12760

235 gradi di liberta R2=0.006

Tabella 6.2: Stima della linea di mercato delle attivita (SML)

Notiamo inoltre il basso R2, pari 0.006, indice del fatto la componente casuale sembra

essere preponderante nella relazione fra i rendimenti attesi e il beta di un titolo.

Nella Figura 6.6 riportiamo le combinazioni rendimenti attesi e beta stimati delle

diverse azioni, la stima del Modello (6.14) (in rosso) e come dovrebbe essere la SML dati

i valori osservati di r0 e µ− r0 (in verde).

E’ evidente la differenza fra quanto previsto dal CAPM e quanto osservato nella Borsa

Italiana.

III.C Stima del rischio di mercato e rischio idiosincratico per un portafoglio

La teoria del CAPM fornisce un chiara distinzione fra il rischio dovuti all’andamento

del mercato e il rischio dovuti a fattori idiosincratici nel detenere un certo portafoglio

161


0.0 0.5 1.0 1.5

−0.0

02

−0.0

01

0.0

00

0.0

01

0.0

02

Beta

Rendim

enti a

tteso

Figura 6.6: Combinazioni rendimenti attesi e beta stimati delle azioni quotate nella Borsaitaliana, stima del Modello (6.14) (in rosso) e come dovrebbe essere la SML dati i valoriosservati di r0 e µ− r0 (in verde)

(vedi Sezione IV).

Supponiamo quindi di detenere un portafoglio dei primi 4 titoli quotati alla Borsa

Italiana, quando ordinati in ordine alfabetico, in quote uguali (sono A2A, ACEA, ACE-

GAS.APS e ACOTEL.GROUP). Il rendimento medio giornaliero del periodo e pari a

0.00016, mentre la varianza del rendimento e pari a 0.00014.

Se utilizziamo la stima dei beta per ognuno dei quattro titoli abbiamo che βP = 0.593,

cosı che il rischio di mercato e pari a β2P σ

2M = 0.00007, mentre il rischio idiosincratico

e pari a σ2εi

= 0.00028, cosı che il rischio totale stimato e pari a 0.00035, che differisce

sostanzialmente da quanto stimato direttamente sui dati.

III.D Indici di performance basati sul CAPM

Sulla base dei dati a nostra disposizione possiamo poi calcolare vari indici di per-

formance sia dei singoli titoli che di portafogli, ossia l’indice di Sharpe, di Treynor e di

Jensen (vedi Sezione V). Nella Tabella 6.3 riportiamo l’indice di Sharpe, Treynor e Jensen

di A2A, ACEA, ACEGAS.APS e ACOTEL.GROUP.

L’indice di Sharpe permette di ordinare i titoli a seconda della loro vicinanza alla

frontiera dei portafogli, in particolare piu e elevato l’indice migliori sono le performance

162

6. L’ANALISI EMPIRICA IV. APT

A2A ACEA ACEGAS.APS ACOTEL.GROUPIndice di Sharpe -0.0065 0.01005 -0.00578 0.01262

Indice di Treynor -0.00015 0.00030 -0.00026 0.00042Indice di Jensen 0.00017 0.00039 0.00004 0.00058

Tabella 6.3: Indici di performance di Sharpe, Treynor e Jensen per A2A, ACEA,CEGAS.APS e ACOTEL.GROUP

del titolo. Tra i 4 titoli il migliore risulta ACOTEL.GROUP, con un indice pari a 0.01262.

L’indice di Treynor e da confrontarsi con il rendimento in eccesso dell’indice FTSE

rispetto al titolo privo di rischio, che nel nostro caso e pari in media a -0.00038. Abbiamo

quindi che tutti e quattro i titoli mostrano un rendimento anormalmente alto e quindi

meriterebbero di essere comprati, partendo da ACOTEL.GROUP che ha l’indice piu alto.

Infine, l’indice di Jensen e da confrontarsi con 0; quindi se positivo, come lo e per tutte

e quattro i titoli, significa che abbiamo un extra-rendimento e quindi i titoli in questione

dovrebbero essere acquistati, sempre partendo da ACOTEL.GROUP che ha l’indice piu

alto. Notiamo che indice di Jensen non e altro che la stima dell’intercetta nel Modello

(6.11).

IV APT

L’Equazione (5.63) che descrive i rendimenti di equilibrio nell’APT include come per

il CAPM il rendimento atteso dei titoli (µi) e il valore atteso dei fattori (µF q) che in

generale non sono osservabili. Tuttavia, dato che λq = θ + µF q per q = 1, ..., Q, la

seguente espressione:

rit = r0t + θ(b1i + b2

i + ...+ bQi

)+ b1

iF1t + b2

iF2t + ...+ bQi F

Qt + εit, (6.15)

corrisponde esattamente all’Equazione (5.63) una volta presa l’aspettativa del tasso di

rendimento del titolo i con l’ipotesi che E [εit] = 0. In sintesi abbiamo che il modello di

stima per l’APT e dato da:

rit − r0t = α + b1iF

1t + b2

iF2t + ...+ bQi F

Qt + εit, (6.16)

dove α = θ(b1i + b2

i + ...+ bQi

)e una costante da stimare, cosı come i parametri b1

i , ..., bQi .

163

IV. APT 6. L’ANALISI EMPIRICA

La stima del modello di Fama e French

La verifica empirica dell’APT e oggetto di continui contributi, in relazione soprattutto

alla scelta dei fattori da includere nell’analisi. Come abbiamo gia discusso nel Capitolo

III una parte della letteratura empirica si basa sull’analisi delle componenti principali,

che tuttavia richiederebbe una trattazione avanzata di statistica. Noi ci limiteremo qui

all’altra parte di letteratura che considera come possibili fattori variabili macroeconomiche

e microeconomiche. In particolare ci focalizzeremo sul contributo di Eugene Fama e

Kenneth French del 1993. Nel loro modello il rendimento di un titolo e spiegato oltre che

dal i) rendimento del portafoglio di mercato in eccesso rispetto al titolo privo di rischio,

ossia rM − r0, come nel CAPM, anche da altri due fattori, ossia dal: ii) rendimento in

eccesso dei titoli di imprese piccole rispetto ad imprese grandi (storicamente nel mercato

NYSE tale rendimento in eccesso e positivo) denominato SMB (small minus big market

capitalization); e iii) rendimento in eccesso di imprese con un alto rapporto valore di libro

(detto anche valore contabile)/valore di mercato (sempre storicamente, tale rendimento

in eccesso e positivo) denominato HML (high minus low book to market ratio). I dati

per il mercato NYSE dei tre fattori sono continuamente aggiornati e messi a disposizione

sul proprio sito da Kenneth French (http://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/

ken.french/data_library.html). In particolare noi considereremo il periodo che va dal

05/01/1993 al 30/01/2009.

rM SMB HMLµ 0.03003 0.00174 0.01847σ2 1.37392 0.35127 0.37951

Tabella 6.4: Statistiche descrittive dei tre fattori (il rendimento medio giornaliero eespresso in %).

La Tabella 6.4 riporta alcune statistiche descrittive relative ai tre fattori considerati

nella stima dell’APT. Osserviamo come il rendimento medio giornaliero del mercato sia

positivo e pari a 0.03%. La media SMB ed HML e positiva come era attesa, con una netta

differenza tuttavia tra le due misure a favore di HML. Le covarianza fra i tre fattori sono

tutte negative e vanno da -0.06 fra SMB e HML a -0.23 fra rM e HML.

La Tabella 6.5 mostra la stima dell’Equazione (6.16) con F 1 identificato con µM − r0,

F 2 con SMB e F 3 con HML per Mattel, Ford e Alcoa.3 Per comparazione abbiamo anche

riportato la corrispondente stima CAPM. Osserviamo che per tutti e tre i titoli l’APT

spiega meglio il rendimento: l’R2 delle stime APT risulta sempre maggiore di quello delle

stime CAPM e i coefficienti b2 e b3 risultano tutti significativi almeno al 10%.

3Le serie possono essere scaricate da http://finance.yahoo.com/.

164

http://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/data_library.html

http://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/data_library.html

http://finance.yahoo.com/


Alcoa Ford MattelCAPM APT CAPM APT CAPM APT

α -0.02606 -0.04177 -0.05415 -0.07392* -0.00670 -0.01116

b1 1.19866*** 1.32171*** 1.12980*** 1.28357*** 0.70849*** 0.75267***

b2 • -0.09407. • -0.15108* • 0.24607***

b3 • 0.75532*** • 0.95467*** • 0.18104**σ2εi

3.939 3.731 5.256 4.917 4.625 4.600R2 0.334 0.369 0.250 0.300 0.130 0.134Gradi di lib.ta 4010 4008 4010 4008 4010 4008

Tabella 6.5: Stima del modello APT di Fama e French per Mattel, Ford e Alcoa. Signi-ficativita statistica dei regressori (probabilita dell’ipotesi di coefficiente pari a zero): 0‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1.

Confrontando le stime dei coefficienti del CAPM e dell’APT osserviamo come il coef-

ficiente stimato relativo all’indice di mercato b1 e sempre maggiore nell’APT anche se la

differenza non e molto significativa. Il coefficiente per SMB appare negativo per Alcoa

e Ford, il che significa che sia il rendimento che il premio per il rischio sono per questi

due titoli inversamente collegati all’andamento del differenziale di rendimento fra imprese

piccole e grandi. Per tutte e tre i titoli invece HML sembra aumentare sia il rendimento

che il rischio dato il valore positivo del b3 stimato.

La stima del premio per il rischio nell’APT

La stima del premio per il rischio nel modello APT presuppone di conoscere λ1, λ2, ..., λQ

come evidenziato dall’Equazione (5.66). La stima di tali parametri si puo ottenere proprio

sfruttando la stessa Equazione (5.66) avendo a disposizione per un adeguato numero di

titoli le stime dei diversi bq e ipotizzando che una buona stima del rendimento atteso (in

eccesso rispetto al rendimento del titolo privo di rischio) di un titolo sia il suo rendimento

(in eccesso) medio storico.

Stimando i diversi bq per 20 aziende quotate al NYSE4 ed utilizzando tali stime insieme

al rendimento (in eccesso) medio di questi titoli otteniamo la stima di λ1, λ2 e λ3 riportato

in Tabella 6.6.

I due coefficienti stimati per il rendimento (in eccesso) del portafoglio di mercato (λ1) e

per HML (λ3) sono significativi al 5%, mentre il coefficiente stimato per SMB (λ2) ha una

significativita statistica molto bassa. Il fatto che HML sia significativo oltre il rendimento

4In particolare: WEIS MARKETS INC, UNISYS CP NEW, ORBITAL SCIENCES CP, Mattel, Inc.,ABAXIS, Inc., AT&T INC., EMERSON ELEC CO, Communications Systems Inc., Audiovox Corp.,ZOOM Technologies Inc., TIDEWATER INC, Rogers Corporation, Graco Inc., Panasonic Corporation,Genesco Inc., ENNIS, INC, FORD MOTOR CO, FANNIE MAE, NATIONWIDE HLTH PROP, ALCOAINC.

165


Stima Dev. stan. Valore di t Pr(> |t|)λ1 -0.04516 0.01820 -2.48206 0.02381

λ2 0.01595 0.01753 0.90938 0.37586

λ3 0.05817 0.02780 2.09229 0.05173

Tabella 6.6: Stima della linea di mercato dell’APT con tre fattori: rendimento diportafoglio di mercato, SMB e HML.

del portafoglio di mercato e un’ulteriore prova che il CAPM trascura alcuni fattori che

invece possono fornire informazioni rilevanti.

Sulla base delle stime dei λ della Tabella 6.6 e delle stima dei bq in Tabella 6.5 possiamo

stimare il premio per il rischio dei tre titoli via Equazione (5.66), ottenendo rispettivamen-

te -0.01726, -0.00484 e -0.01954. La brusca caduta del rendimento dei titoli nel periodo

considerato sembra che abbia reso negativo il premio per il rischio per questi tre titoli

(anche il rendimento medio storico e negativo per i primi due titoli e solo per il terzo,

Mattel, e leggermente positivo)

Il rischio di portafoglio per l’APT

La teoria dell’APT, date le varianze dei singoli fattori, fornisce anche gli strumenti

per stimare il rischio di un portafoglio via Equazione (5.74) una volta calcolati i bqP e la

varianza del rumore di portafoglio. Queste ultime due informazioni ci vengono fornite

dalla stime dell’APT per ogni singolo titolo.

Supponiamo ad esempio di formare un portafoglio con quote eguali dei tre titoli Alcoa,

Ford e Mattel, cosı che a1 = a2 = a3 = 1/3. La Tabella 6.5 ci permette di calcolare

b1P =

∑3i=1 b

1i a1 = 1.1193, b2

P = 0.0003 e b3P = 0.6303, e quindi il rischio di mercato del

portafoglio pari a: (b1P

)2σ2F1

+(b2P

)2σ2F2

+(b3P

)2σ2F3

= 1.8721, (6.17)

dove abbiamo usato i dati della varianza dei tre fattori riportati nella Tabella 6.4. Dalla

Tabella 6.5 possiamo calcolare invece calcolare il rischio idiosincratico pari a:

σ2εP

=3∑

i=1

σ2εiai = 1.4719. (6.18)

Quindi seguendo l’Equazione (5.74) la varianza totale del rendimento di portafoglio sara

data dalla somma dei due rischi pari a 3.3441, non lontano dalla varianza osservata del

rendimento di portafoglio pari a 3.1140.

166




Cap. 5.


and Investment Analysis, John Wiley, 2002.

• Fama, E. e K. French (1993), Common Risk Factors in the Returns on Stocks and

Bonds, Journal of Financial Economics, 33, 3-56.

• Sharpe W.F., Alexander G.J. e Bailey J.V., Investments, Printice-Hall, 1999.

• Wuertz, D., Chalabi, Y., Chen W. e Ellis A., Portfolio Optimization with R/Rmetrics,

Rmetrics eBook, Rmetrics Association and Finance Online, Zurich, 2009.

167


168

Capitolo 7

Teoria del valore attuale netto

(NPV)

Nella letteratura finanziaria e molto comune incontrare l’affermazione che il prezzo

corrente di un’attivita riflette le sue entrate future (attese). In particolare, il prezzo di

un’attivita dovrebbe essere pari al suo valore attuale netto (in inglese Net Present Value,

NPV), che rappresenta la somma scontata al tempo presente di tutte le entrate monetarie

o flussi di cassa (cash flow) a cui ha diritto il detentore di tale attivita. Se pensiamo

ad un’azione, i dividendi e il prezzo futuro atteso di vendita possono rappresentare tali

flussi di cassa. Ma il concetto si applica altrettanto bene ad un immobile, che produce, ad

esempio se affittato, flussi di cassa grazie agli affitti e al ricavo da una possibile vendita

futura. L’aggettivo “netto” sta ad indicare che da tali flussi di cassa dovrebbero essere

tolte tutte le uscite monetarie derivanti dall’attivita in questione (ad esempio nel caso

degli immobili i costi di manutenzione degli immobili stessi).

Questa teoria della determinazione del prezzo corrente delle attivita e possibile vederla

come un’estensione della teoria dell’arbitraggio nel momento in cui consideriamo il prezzo

corrente di un’attivita come un prezzo di equilibrio. Per comprendere l’idea, in primis,

consideriamo il caso di un’attivita i cui flussi di cassa futuri siano certi, per poi estendere

l’analisi al caso in cui esiste incertezza.

I Il NPV di un’attivita senza incertezza

Nel caso in cui non vi sia incertezza relativa ai rendimenti dell’attivita i avremo che il

rendimento di tale attivita e definito come:

ri ≡vi − pipi

,

169

I. Il NPV di un’attivita senza incertezza 7. LA TEORIA DEL NPV

dove pi e il prezzo corrente e vi e la somma del suo prezzo nel periodo futuro e di eventuali

flussi di cassa aggiuntivi (ad esempio dividendi, cedola, affitto, ecc.).

In equilibrio ogni attivita deve avere lo stesso tasso di rendimento altrimenti ci sarebbe-

ro delle possibilita di arbitraggio (infatti, non essendoci rischio, il Principio di Arbitraggio

richiede l’uguaglianza del tasso di rendimento di ogni attivita in equilibrio). Quindi in

equilibrio secondo il Principio di Arbitraggio deve valere che:

ri = rj per ogni i, j = 1, ..., n. (7.1)

Supponiamo di indicare come di consueto con r0 il tasso di interesse dell’attivita priva

di rischio, allora deve valere che:

r0 = ri =vi − pipi

per j = 1, ..., n. (7.2)

Supponiamo ora di considerare un’azione, il cui il cui prezzo al tempo t e pari a pt

(trascuriamo di riportare l’indice i della variabile per comodita di notazione), che paghi

un certo dividendo dt+1 al periodo t+ 1 ed il cui prezzo nel periodo futuro sia indicato da

pt+1, ossia vt+1 = dt+1 + pt+1. Avremo quindi che il rendimento di questa azione e dato

da :dt+1 + pt+1 − pt

pt. (7.3)

Indicato con r0t il rendimento dell’attivita priva di rischio al tempo t, avremo che in

equilibrio il Principio di Arbitraggio richiede che:

r0t =dt+1 + pt+1 − pt

pt. (7.4)

Esempio 34 (Principio di Arbitraggio e prezzo corrente)

Supponiamo di osservare un’obbligazione a scadenza che dia diritto a riceve 100 euro co-

me rimborso e 5 euro come pagamenti (chiamata cedola) fra un anno, ed il cui prezzo

corrente e pari a 96. Nel mercato esistono inoltre obbligazioni con le stesse caratteristiche

(ossia senza rischio) che rendono il 5%. Il rendimento (atteso) dell’obbligazione e quindi

pari a (100+5-96)/96=0.094. L’eguaglianza (7.4) quindi non vale e cio significa che il

Principio di Arbitraggio non e rispettato. In particolare, essendo il rendimento dell’ob-

bligazione troppo elevato cio implica che il suo prezzo corrente e troppo basso e dovremo

aspettarci che aumenti fino al livello (100+5)/(1+0.05)=100 (abbiamo ricavato il prezzo

pt dall’Equazione (7.4), per cui vale Principio di Arbitraggio.

Esempio 35 (Principio di Arbitraggio e prezzo futuro)

Supponiamo di osservare un’obbligazione a scadenza che dia diritto a riceve 5 euro come

170

7. LA TEORIA DEL NPV I. Il NPV di un’attivita senza incertezza

pagamento fra un anno, ed il cui prezzo corrente e pari a 96. Nel mercato esistono inoltre

obbligazioni con le stesse caratteristiche (ossia senza rischio) che rendono il 5%. Se vale il

Principio di Arbitraggio espresso dall’Eguaglianza (7.4) allora il prezzo atteso dal mercato

dell’obbligazione nel periodo successivo e pari a (1+0.05)*96 - 5 = 95.8 (abbiamo ricavato

il prezzo pt+1 dall’Equazione (7.4)).

Similmente che al tempo t, la Condizione di non arbitraggio (7.4) deve valere anche

al tempo t+ j con j = 1, ..., T , ossia:

r0t+j =dt+1+j + pt+1+j − pt+j

pt+jper j = 0, ..., T,

da cui possiamo ricavare il prezzo dell’azione al tempo t+ i:

pt+j =dt+1+j + pt+1+j

1 + r0t+j

per j = 0, ..., T. (7.5)

L’Equazione (7.5) mostra come il prezzo dell’azione al tempo t+ sia una funzione dei

dividendi futuri dt+1+j, del prezzo futuro pt+1+j e del tasso di interesse dell’attivita priva

di rischio r0t+j.

Assumendo che il tasso di interesse dell’attivita priva di rischio sia costante nel tempo,

ossia r0t = r0 ∀t, abbiamo che:

pt+j =dt+1+j + pt+1+j

1 + r0

per j = 0, ..., T,

e quindi sostituendo ricorsivamente per pt+1, pt+2, ...pt+T dall’Equazione (7.5) abbiamo

che:

pt =dt+1

1 + r0

+dt+2

(1 + r0)2 + ...+dt+T

(1 + r0)T+

pt+T

(1 + r0)T,

ossia

pt =T∑

j=1

dt+j

(1 + r0)j+

pt+T

(1 + r0)T.

Indicando per comodita con δt+j il tasso di sconto al periodo t+ j, ossia:1

δt+j =1

(1 + r0)j,

1Se r0t non fosse costante, allora nell’Equazione (7.7) il tasso di sconto sarebbe definito da:

δt+j =1

(1 + r0t) (1 + r0t+1) (...) (1 + r0t+j−1)=

1∏jq=1 (1 + r0t+q−1)

. (7.6)

171


abbiamo che il prezzo al tempo t dell’azione e dato da:

pt =T∑

j=1

δjdt+j + δTpt+T . (7.7)

L’Equazione (7.7) rappresenta la determinazione del prezzo di equilibrio di un’attivita

secondo la teoria del NPV; questo prezzo dovrebbe riflettere tutti i flussi di cassa che

tale attivita genera, includendo anche l’eventuale prezzo finale dell’attivita; tali flussi di

cassa dovrebbero essere scontati tramite un opportuno tasso di sconto che dipende dal

rendimento dell’attivita priva di rischio.

Esempio 36 (Il valore corrente di un’attivita secondo la teoria del NPV)

Supponiamo di voler acquistare un’obbligazione che dia pagamenti di 5 il primo periodo,

10 il secondo, 15 il terzo ed un rimborso finale pari a 100 nel terzo periodo. Nel mercato

esistono obbligazioni simili (ossia senza rischio) che rendono il 5%. Allora il prezzo che

dovremo pagare al massimo secondo l’Equazione (7.7) dovrebbe essere pari a:

5

1 + 0.05+

10

(1 + 0.05)2 +15

(1 + 0.05)3 +100

(1 + 0.05)3 = 113.17.

L’analisi svolta fino ad ora ci suggerisce come in un ambiente incerto con investitori

avversi al rischio, mentre i dividendi e il prezzo futuro saranno sostituiti dai dividendi e i

prezzi attesi, il Principio di Arbitraggio richiedera di comparare il rendimento dell’attivita

in questione (un’azione nel nostro caso) con il rendimento di un’attivita alternativa di

pari rischio, ossia il tasso di sconto dovra riflettere anche il grado di rischio dell’attivita.

Approfondiremo nella Sezione II questa intuizione.

I.A Orizzonte infinito

Vi sono attivita per cui e difficile definire un orizzonte temporale e per cui conviene

considerare che tale orizzonte sia infinito. Ad esempio questo potrebbe essere il caso

di alcune obbligazioni irredimibili o di azioni di societa che difficilmente sono ritenute a

rischio di fallimento (anche in caso di fallimento potremo sempre assumere che a partire

dalla data di fallimento e fino ad infinito i dividendi ed il prezzo vadano entrambi a zero).

Dall’Equazione (7.7) quando T va ad infinito abbiamo che:

pt =∞∑

j=1

δjdt+j, (7.8)

172


sotto l’ipotesi che δTpt+T → 0 per T →∞. Questo risultato e plausibile dato che r0 > 0

e quindi δT → 0 quando T →∞ (per la precisione cio che e richiesto e che il prezzo pt+T

non cresca nel tempo ad un tasso maggiore del decremento del tasso di sconto δT ).

Se per semplicita assumiamo che i dividendi crescano anch’essi ad un tasso costante

g, ossia:

dt+1 = (1 + g) dt, (7.9)

allora avremo che i dividenti al tempo t+ j sono pari a:2

dt+j = (1 + g)j dt. (7.10)

Assumendo anche che il tasso di interesse dell’attivita priva di rischio sia costante nel

tempo, ossia r0t = r ∀t, dall’Equazione (7.8), sostituendo per dt+j dall’Equazione (7.10)

avremo che:

pt =∞∑

j=1

δj (1 + g)j dt =∞∑

j=1

(1 + g)j

(1 + r0)jdt = dt

∞∑

j=1

(1 + g

1 + r0

)j. (7.11)

2Infatti, partendo dall’Equazione (7.9) abbiamo che i dividendi al periodo t+ 2 sono pari:

dt+2 = (1 + g) dt+1 = (1 + g) (1 + g) dt︸︷︷︸dt+1

= (1 + g)2dt;

i dividendi al periodo t+ 3 sono invece pari a:

dt+3 = (1 + g) dt+2 = (1 + g)3dt,

e cosı via, ottenendo alla fine l’Equazione (7.10).

173


Sotto l’ipotesi che g < r il prezzo dell’azione e possibile dimostrare che:3

pt = dt

(1 + g

r0 − g

); (7.12)

diversamente se g > r0 allora pt →∞, ossia il prezzo corrente dell’attivita risulterebbe in-

finito e la teoria NPV ha poco da dirci sul prezzo delle attivita, se non che la combinazione

di g o r0 considerata non e compatibile con una situazione di equilibrio.

Esempio 37 (Convenienza nell’acquistare un’azione)

Si supponga che una certa azione abbia un prezzo corrente pari a 100 e che ci si aspetti

un dividendo costante pari a 8 euro per una lunghezza indefinita di tempo. Inoltre,

supponiamo che esista la possibilita di acquistare un’azione diversa con un rendimento

del 10%. L’Equazione (7.12) ci permette di calcolare se per l’investitore e conveniente

acquistare l’azione al prezzo corrente. Infatti, secondo l’Equazione (7.12) il prezzo di

equilibrio dell’azione dovrebbe essere:

pt = 8

(1

0.1

)= 80,

che risulta essere inferiore al prezzo corrente di 100. Quindi non conviene acquistare

l’azione, ovvero conviene acquistare l’altra azione.

Esempio 38 (Prezzo dell’azione con crescita costante dei dividendi)

Si supponga che una certa azione abbia un prezzo corrente pari a 100, che il dividendo

3Nel derivare l’Equazione (7.12) si parte dal fatto che la somma S di una serie geometrica di ragionea (nel nostro caso a = (1 + g) / (1 + r0)) e di lunghezza T del tipo:

S =

T∑

j=1

aj = a+ a2 + ...+ aT

e pari a:

S =a− aT+1

1− a .

Infatti, si puo osservare che moltiplicando ambo i lati dell’equazione di S per a abbiamo che:

aS = a2 + a3 + ...+ aT+1

e quindi prendendo la differenza fra S e aS,ossia:

S − aS = a− aT+1

e ricavando per S dimostriamo quanto volevamo. Se a < 1 allora per T che va ad infinito aT+1 va a 0 (laserie si dice convergente) e quindi:

S =a

1− a.

Nel nostro caso a = (1 + g) / (1 + r0) e quindi a < 1 solo se g < r.

174


attuale sia pari a 5 e che ci si aspetti una crescita costante del dividendo nel tempo del 4%

per una lunghezza indefinita. Inoltre, supponiamo che esista la possibilita di acquistare

un’azione diversa con un rendimento del 10%. L’Equazione (7.12) ci permette di calcolare

il prezzo di equilibrio dell’azione, ossia:

pt = 5

(1.04

0.1− 0.04

)= 86.67,

che risulta essere inferiore al prezzo corrente di 100. Quindi non conviene acquistare

l’azione, ovvero conviene acquistare l’altra azione.

Esempio 39 (Prezzo dell’azione con flusso di dividendi non costante)

Si supponga che una certa azione abbia un prezzo corrente pari a 100, che il dividendo

del prossimo periodo sia pari a 5, quello del periodo ancora successivo a 8 e che dopo

ci si aspetti una crescita costante del dividendo nel tempo del 4% per una lunghezza

indefinita. Inoltre, supponiamo che esista la possibilita di acquistare un’azione diversa con

un rendimento del 10%. L’Equazione (7.12) ci permette di calcolare il prezzo di equilibrio

dell’azione ma solo dopo 3 periodi, che deve poi essere opportunamente scontato al periodo

presente, quando il flusso dei dividendi diventa a crescita costante; l’impatto sul prezzo

dei dividendi del prossimo periodo e del periodo ancore successivo devono invece essere

aggiunti separatamente, sempre opportunamente scontati. Abbiamo quindi che il prezzo

di equilibrio e dato da:

pt =5

1 + 0.1+

8

(1 + 0.1)2 +8(

1.040.1−0.04

)

(1 + 0.1)2 = 148.72,

che risulta essere superiore al prezzo corrente di 100. Quindi conviene acquistare l’azione.

Esempio 40 (Il prezzo di affitto di un appartamento)

Supponete che vi venga offerto di acquistare un appartamento al prezzo di 150.000 euro.

In alternativa avete la possibilita di acquistare un titolo che rende il 5% all’anno. Tramite

l’Equazione (7.12) e possibile calcolare, una volta che riconosciamo che i flussi di dividendi

nel caso di acquisto di un immobile sono rappresentati dai canoni di affitto annuo al

netto delle spese di mantenimento dell’immobile stesso, il livello minimo di canone che

devo percepire affinche l’acquisto sia conveniente. In particolare, assumendo un canone

di affitto annuo costante nel tempo (ossia g = 0), abbiamo che questo non deve essere

inferiore a:

dt = ptr0 = 150.000 ∗ 0.05 = 7.500.

175


Il price-earnings ratio

L’Equazione (7.12) puo anche essere riespressa come:

ptdt

=1 + g

r0 − g; (7.13)

dove, se la nostra attivita i fosse un’azione, avremo che il rapporto pt/dt e interpretabile

come il Price-Earnings ratio (P/E) comunemente usato nelle valutazioni finanziarie, anche

se in tale caso gli earnings sono i profitti operativi dalla gestione ordinaria e non quelli

distribuiti, ossia i dividendi, come riportato nell’Equazione (7.13). Cio non cambia molto

per la nostra analisi dato che nel lungo periodo, che e esattamente l’orizzonte temporale

che stiamo considerando, i profitti operativi devono essere prima o poi distribuiti sotto

forma di dividendi (si veda al riguardo, ad esempio, l’evidenza empirica in Barsky e De

Long (1993) riportata in Figura II). Un eccellente fonte di informazioni sui prezzi delle

azioni, P/E ed altro e http://finance.yahoo.com.

Esempio 41 (Il price-earnings ratio)

Supponete che un’impresa distribuisca interamente i suoi profitti (earnings), che i divi-

dendi siano 15 euro per azione e che il P/E standard per azioni di imprese similari (ad

esempio appartenenti allo stesso settore e di simili dimensioni) e pari a 15. Il prezzo

corrente dell’azione e pari a 190. Per decidere se acquistare o no l’azione osserviamo che il

P/E dell’azione e pari a 190/15=12.67, che e inferiore a 15 e quindi il prezzo dell’azione ap-

pare conveniente sotto l’ipotesi che l’impresa abbia la stessa crescita attesa degli earnings

(ossia g) e lo stesso tasso di rendimento alternativo (ossia r0) delle imprese similari.

La valutazione implicita della crescita dei dividendi

Dall’Equazione (7.12) possiamo anche ricavare il tasso di crescita implicito dei divi-

dendi se i prezzi correnti sono assunti di equilibrio. In particolare, dall’Equazione (7.12)

abbiamo che:

g =r0pt/dt − 1

1 + pt/dt, (7.14)

da cui si evince che g e una funzione crescente di r0 e di pt/dt.

Esempio 42 (Il tasso di crescita dei dividendi)

Supponiamo di osservare che un’azione ha un P/E pari a 15 e che il tasso di rendimento

delle imprese similari e pari a 12% (questo rendimento essendo relativo ad un’azione

include anche un premio per il rischio). Abbiamo allora dall’Equazione (7.14) che il tasso

176

http://finance.yahoo.com

7. LA TEORIA DEL NPV II. Incertezza nella teoria del NPV

implicito di crescita dei dividendi e pari a :

g =0.12 ∗ 15− 1

1 + 15= 0.05.

Se noi ritenessimo tale livello di crescita troppo elevato, allora cio significherebbe che

l’azione ha un prezzo corrente troppo elevato (ricordiamo che g infatti cresce con il P/E).

E’ immediato osservare che se il P/E fosse pari a 30, allora avremo che il tasso di crescita

atteso dei dividendi implicito e pari a:

g =0.12 ∗ 30− 1

1 + 30= 0.084.

II Incertezza nella teoria del NPV

La presenza di un’alea nei dividendi e prezzi futuri implica che il prezzo al tempo t

rifletta le aspettative degli investitori, ossia in un ambiente stocastico l’Equazione (7.8)

diventa:

pt = Σ∞j=1δjE [dt+j|Ωt] , (7.15)

dove E [·|Ωt] indica che l’aspettativa sui dividendi futuri viene formulata sulla base delle

informazioni disponibili agli investitori al momento in cui si formano le loro aspettative,

ossia al tempo t; tali informazioni sono anche definite insieme informativo dell’investitore

al tempo t ed e indicato con Ωt.

L’Equazione (7.15) pone due ordini di problemi quando vogliamo usarla come spiega-

zione dei prezzi osservati:

1. il tasso di rendimento da considerare come alternativo al rendimento dell’azione non

potra piu essere il tasso di interesse dell’attivita priva di rischio r0, a meno di non

assumere investitori neutrali al rischio. Intuitivamente, tale tasso di rendimento

alternativo deve incorporare un premio per il rischio, ossia la Condizione di non

arbitraggio (7.4) in presenza di alea nei dividendi si presenta come:

r0 + σRP =E [dt+1 + pt+1|Ωt]− pt

pt, (7.16)

in cui σRPi rappresenta il premio per il rischio dell’attivita i. Il prezzo di equilibrio

dell’attivita pt riflettera quindi tale premio per il rischio. Il premio per il rischio

dell’attivita i puo essere determinato in molti modi, ad esempio facendo riferimento

o al CAPM e/o all’APT.

177

II. Incertezza nella teoria del NPV 7. LA TEORIA DEL NPV

2. L’Equazione (7.15) presuppone che gli investitori abbiano aspettative omogenee (e

lo stesso insieme informativo) riguardo ai dividendi attesi, ossia che l’aspettativa

E [dt+i|Ωt] sia la stessa per tutti gli investitori. Diversamente la Condizione di

non arbitraggio (7.4) dovrebbe essere riformulata tenendo conto della distribuzione

congiunta delle aspettative dei diversi investitori;4

Se assumiamo che l’alea nei dividendi futuri riguardi il loro tasso di crescita, assunto

costante ma di valore incerto, ossia:

dt+j = (1 + E [g|Ωt])j dt,

dove E [g|Ωt] rappresenta il tasso di crescita atteso dei dividendi, tramite un analogo

procedimento seguito per ricavare l’Equazione (7.12) possiamo arrivare a:5

pt = dt

(1 + E [g|Ωt]

r0 + σRP − E [g|Ωt]

), (7.18)

che ci fornisce il livello del prezzo in presenza di incertezza nel tasso di crescita dei dividen-

di. E’ da rimarcare che l’incertezza nei prezzi futuri deriva dall’incertezza sui dividendi

futuri, ed e quindi solo l’andamento di questi ultimi che occorre per calcolare il prezzo di

equilibrio corrente.

Esempio 43 (Incertezza nella teoria del NPV)

Supponete di aver stimato la seguente equazione della security market line SML (ricor-

diamo che l’intercetta rappresenta il tasso di rendimento dell’attivita priva di rischio

r0):

µi = 0.02 + 0.06βi;

Supponete poi di essere interessati ad un’azione che paghi un dividendo corrente di 13

euro, che e attesa crescere al tasso costante del 3%, il cui β e pari a 0.9. Possiamo allora

calcolare il prezzo di equilibrio includendo il premio per il rischio dell’azione a cui siamo

4In generale la Condizione di non arbitraggio (7.4) in presenza di alea nei dividendi per l’investitorez al periodo t diventa:

r0t + σRPt =Ez [dt+1 + pt+1|Ωzt ]− pt

pt, (7.17)

da cui risulta evidente che la formulazione delle aspettative dell’investitore z, Ez, che dipende dall’insiemeinformativo di quest’ultimo, Ωzt , determina quale pt soddisfa tale condizione di arbitraggio. Il prezzo diequilibrio pt dovra quindi essere tale da soddisfare le condizioni di arbitraggio di tutti gli investitori equindi riflettera le loro eventuali diversita nella formulazione delle aspettative e nell’insieme informativo.

5Implicita e sempre l’assunzione che limT→∞ pt+T /(1 + r0 + σRP

)T= 0.

178

7. LA TEORIA DEL NPV III. Volatilita nel prezzo delle azioni

interessati via Equazione (7.18), ossia:

pt = 13

1 + 0.03

0.02︸︷︷︸r0

+ 0.06 ∗ 0.9︸︷︷︸σRP

−0.03

= 304.32.

Se quindi il prezzo corrente e inferiore a 304.32 e conveniente comprare tale azione.

La valutazione implicita del rischio di un’azione

L’Equazione (7.18) potrebbe essere utilizzata per calcolare il premio per il rischio

implicito dato dal mercato ad una generica attivita i conoscendo solo il P/E corrente e

l’aspettativa sulla crescita nel tempo dei dividendi E [g|Ωt]; infatti, dall’Equazione (7.18)

possiamo ricavare che:

σRP = E [g|Ωt] +1 + E [g|Ωt]

pt/dt− r0. (7.19)

Esempio 44 (La valutazione implicita del rischio di un’azione)

Supponete che un’azione presenti un P/E pari a 15, che ci si aspetti in futuro una cre-

scita degli earnings del 5% l’anno e che il tasso privo di rischio sia pari al 2%. Tramite

l’Equazione (7.19) abbiamo che il premio per il rischio dell’azione e pari a:

σRP = 0.05 +1 + 0.05

15− 0.02 = 12.0%− 2% = 10%.

III Volatilita nel prezzo delle azioni

Esistono molti contributi in letteratura in cui la teoria del NPV, ed in particolare

l’Equazione (7.15), viene utilizzata per ottenere indicazioni su quale dovrebbe essere la

dinamica dei prezzi del mercato azionario e/o di altri mercati come, ad esempio, il mercato

immobiliare, se nel mercato valesse il Principio di Arbitraggio (piu tecnicamente si parla

di un uso della teoria del NPV a fini normativi). A questo riguardo alcuni contributi

pionieristici sono stati forniti dall’economista Robert Shiller; nel seguito esporremo una

parte dell’analisi delle dinamiche del mercato azionario statunitense che Shiller fa nel suo

libro piu famoso Irrational Exuberance.

Assumiamo che il tasso di interesse (al netto del premio per il rischio) sia costante;

indichiamo tale tasso di interesse con r0 + σRP . Dall’Equazione (7.15) abbiamo che il

179

III. Volatilita nel prezzo delle azioni 7. LA TEORIA DEL NPV

prezzo di equilibrio dell’azione nel periodo t deve soddisfare:

pt =∞∑

j=1

E [dt+j|Ωt]

(1 + r0 + σRP )j(7.20)

Una volta conosciuti i livelli dei dividendi possiamo calcolare il livello del prezzo al periodo

t che sia ex-post razionale , p∗t , pari a:

p∗t =∞∑

j=1

dt+j

(1 + r0 + σRP )j, (7.21)

dove p∗t e calcolato prendendo i dividendi dt+j effettivamente osservati.6

Shiller osserva che se le aspettative sono formulate correttamente, o, per utilizzare

un’espressione cara agli economisti, in modo razionale, dovrebbe valere che:

dt+j = E [dt+j|Ωt] + εt+j per j = 1, ..∞, (7.22)

dove εt+j e l’errore di stima dei dividendi, che deve soddisfare: i) E [εt+j] = 0 (non devono

esserci errori sistematici nella stima del livello dei dividendi); ii) E [εt+jεt+z] = 0 per ogni

j, z = 1, ...,∞ con j 6= z (gli errori di stima non devono contenere alcuna correlazione nel

tempo); e iii) E [εt+jdt+j] = 0 (l’errore di stima nei dividendi non deve essere collegato ai

dividendi). Quindi:

p∗t =∞∑

j=1

dt+j

(1 + r0 + σRP )j=∞∑

j=1

E [dt+j|Ωt] + εt+j

(1 + r0 + σRP )j=∞∑

j=1

E [dt+j|Ωt]

(1 + r0 + σRP )j+∞∑

j=1

εt+j

(1 + r0 + σRP )j

(7.23)

da cui:

p∗t = pt + ut, (7.24)

dove ut =∑∞

j=1 εt+j/(1 + r0 + σRP

)je quindi E [ut] = 0 e E [utpt] = 0 (deriva dall’indi-

pendenza fra εt+j e dt+j).

In sostanza l’Equazione (7.24) afferma che le distanze fra il prezzo effettivo e il prezzo

ex post razionale possono essere dovute esclusivamente ad errori nella formulazione delle

aspettative, errore rappresentato da ut. Tale errori comportano che i due prezzi possono

6Nel calcolo effettivo di p∗t si utilizza la seguente relazione:

p∗t =dt+1 + p∗t+1

1 + r0 + σRP,

che deriva dall’Equazione (7.4). La variabile che rimane indeterminata e il prezzo ex-post razionaledell’ultimo periodo; Shiller stima tale prezzo tramite l’Equazione (7.12) (il tasso di crescita dei dividendig e stimato dai dati sui passati dividendi).

180


differire solo temporaneamente e che, in media, questi due prezzi devono essere uguali.

Ma ancora piu rilevante e il fatto che l’Equazione (7.24) puo essere usata per ricavare

la relazione fra la varianza dei prezzi effettivi e quella dei prezzi ex-post razionali, ossia:

σ2p∗t

= σ2pt + σ2

ut , (7.25)

dove abbiamo usato le proprieta degli errori u, ossia che l’indipendenza fra pt ed ut.

L’Equazione (7.25) afferma che la volatilita dei prezzi effettivi, misurata dalla varianza

dei prezzi effettivi σ2pt , dovrebbe sempre essere minore della volatilita dei prezzi ex post

razionali, misurata dalla varianza dei prezzi ex post razionali σ2p∗t

, dato che la varianza di

ut, ossia σ2ut , e sempre positiva.

La Figura 7.1 riporta l’andamento dell’indice reale di S&P 5007 prendendo il 2007

come anno base, l’indice reale dei prezzi ex-post razionale con tasso di interesse costante

pari alla media del periodo (calcolato tramite l’Equazione (7.21)), e l’indice reale dei prezzi

ex-post razionale con tasso di interesse variabile annualmente (calcolato sempre tramite

l’Equazione (7.21) ma con r + σRP variabile nel tempo) per il periodo 1871-2009; i dati

sono presi dal sito di Shiller (http://www.econ.yale.edu/~shiller/data.htm)

7E’ l’indice per eccellenza dell’andamento del mercato borsistico americano delle 500 piu grandi aziendequotate al NYSE.

181

http://www.econ.yale.edu/~shiller/data.htm

III. Volatilita nel prezzo delle azioni 7. LA TEORIA DEL NPV

1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000

05

00

10

00

15

00

Anno

Ind

ice

de

i p

rezzi

Indice S&P 500 reale (2007 anno base)

Indice reale dei prezzi ex−post razionali (r costante)

Indice reale dei prezzi ex−post razionali (r variabile)

Figura 7.1: Confronto fra l’indice reale di S&P 500 (2007 anno base), l’indice reale dei

prezzi ex-post razionale con tasso di interesse costante, ed indice reale dei prezzi ex-post

razionale con tasso di interesse variabile nel periodo 1871-2009. Fonte dei dati: Shiller

(http://www.econ.yale.edu/~shiller/data.htm).

Dalla Figura 7.1 risulta evidente come il prezzo osservato abbia una volatilita maggiore

dei prezzi ex-post razionali, il che contrasta con quanto afferma l’Equazione (7.25) poiche

la varianza di u deve essere sempre positiva. In particolare, per il periodo di osservazione

abbiamo che σ2pt = 121095.74 e σ2

p∗t= 31478.93 (tasso di interesse costante) o 35334.57

(tasso di interesse variabile). E’ quindi possibile concludere che il mercato azionario

statunitense risulta troppo volatile rispetto a quanto previsto dalla teoria del NPV, ovvero

182



che esiste una componente non razionale nella formazione dei prezzi osservati (in sostanza

il Principio di Arbitraggio viene violato).

III.A Critiche all’analisi di Shiller

Il risultato di Shiller si dimostra robusto rispetto a cambiamenti sia nel tasso di inte-

resse r sia nel periodo considerato. Tuttavia e stato oggetto di molte critiche, che Shiller

ha solo parzialmente confutato nella seconda edizione del libro. Queste possono essere

raggruppate in tre grandi categorie:

1. Critiche tecniche riguardanti le proprieta delle serie storiche dei prezzi

Le critiche principalmente si concentrano su tre aspetti:

(a) le serie dei prezzi azionari sono non stazionarie, quindi il confronto fra le

varianze ha poco senso;

(b) i prezzi delle azioni mostrano una forte correlazione nel tempo; questo dovrebbe

essere tenuto conto nel confronto fra la varianza dei prezzi osservati e quella

dei prezzi ex post razionali ;

(c) la Relazione (7.25) e calcolata sulla base di un’ipotesi che il campione di os-

servazioni sia potenzialmente infinito, mentre, le serie temporali al massimo

riguardano 140 anni.

2. Critiche a come i prezzi ex post razionali sono calcolati

Nella versione originale si criticava l’ipotesi che il tasso di interesse fosse costante

invece che variabile nel tempo; in effetti Shiller ha mostrato che un tasso di interesse

variabile nel tempo non cambia il risultato. Piu rilevante e la critica che il risultato

e costruito sotto l’ipotesi di investitori con aspettative omogenee.

3. Critiche interpretative del risultato di volatilita eccessiva

Shiller usa il modello a fini normativi; tuttavia se fosse usato a fini positivi, ossia allo

scopo di spiegare i prezzi effettivamente osservati nel mercato azionario, il risultato

di Shiller suggerisce che la teoria del NPV ha trascurato alcuni fattori chiave nella

spiegazione della dinamica dei prezzi delle azioni (ad esempio l’eterogeneita delle

aspettative degli investitori sui dividendi attesi).

Quest’ultima critica ci introduce a tutta una branca di letteratura che si concentra

proprio sulle aspettative degli investitori, la finanza comportamentale.

183

IV. Finanza comportamentale 7. LA TEORIA DEL NPV

IV Finanza comportamentale e investitori noise-trader

La letteratura sulla finanza comportamentale (behavioural finance), di cui ci occupere-

mo piu dettagliatamente nel Capitolo 9, si concentra criticamente sull’ipotesi di investitori

completamente razionali e con aspettative omogenee. L’abbandono dell’ipotesi di investi-

tori completamente razionali ha cruciali implicazioni sulla proprieta dinamiche dei mercati

finanziari. Si supponga, ad esempio, di considerare un mercato in cui esistano due tipi

di investitori, gli investitori razionali e i noise trader. Gli investitori razionali prendono

le proprie decisioni di investimento in base ai fondamentali, ossia seguendo la teoria del

NPV. Gli investitori noise trader, invece, decidono basandosi su regole del pollice, ossia

regole semplici e ricavate dall’esperienza; nel caso limite questi investitori prendono le

proprie decisioni a caso.

In questo contesto, anche gli investitori razionali sono indotti a prendere decisioni che a

prima vista sembrano non razionali, ma che si rivelano razionali alla luce della presenza nel

mercato di investitori noise trader. In particolare, anche se gli investitori razionali sono a

conoscenza che l’aumento corrente del prezzo delle azioni non ha un fondamento reale ma e

solo dovuto al caso, possono trovare conveniente, per la presenza di investitori noise trader,

assecondare la tendenza rialzista del mercato, poiche tale comportamento massimizza i

profitti attesi (almeno nel breve periodo). In questo ambito, quindi, aspettative di rialzo

dei prezzi tendono ad avverarsi (e viceversa). Come risultato avremo un mercato in cui la

volatilita dei prezzi sara molto piu elevata rispetto a quella prevista dalla teoria del NPV.

Un modello molto interessante a questo riguardo e quello proposto da Barsky e De

Long nel 1993, in cui il tasso di crescita dei dividendi e soggetto ad incertezza e quindi il

prezzo dell’azione e dato dall’Equazione (7.18), ossia:

pt = dt

(1 + E [g|Ωt]

r0 + σRP − E [g|Ωt]

), (7.26)

Gli autori assumono inoltre che gli investitori nel formulare le aspettative su g si basino

sulle variazioni nel livello dei dividendi del passato; se per semplicita si assume che solo

l’ultima variazione nei dividendi viene presa in considerazione abbiamo che:

E [g|Ωt] = f

(dt − dt−1

dt−1

)= f (gt) , (7.27)

dove f ′ > 0, ossia il tasso di crescita di lungo periodo dei dividendi e una funzione positiva

del tasso di crescita dei dividendi del periodo corrente. Allora, dato il livello dei dividendi

al periodo t − 1, un aumento dei dividendi correnti dt non determina semplicemente un

aumento di dt nell’Equazione (7.26), ma anche un aumento del numeratore ed una dimi-

184

7. LA TEORIA DEL NPV IV. Finanza comportamentale

nuzione del denominatore, poiche il tasso di crescita atteso futuro dei dividendi E [g|Ωt]

aumenta. Nel complesso avremo quindi un aumento piu che proporzionale del prezzo

dell’azione rispetto all’aumento dei dividendi.8 Quindi piccole fluttuazioni nei dividendi

possono trasformarsi in grandi fluttuazioni nel livello dei prezzi delle azioni. Ad esempio,

Barsky e De Long stimano che l’elasticita dell’indice S&P per il mercato azionario ame-

ricano rispetto ai dividendi e pari a 1.5, ossia i prezzi delle azioni incluse nell’indice S&P

variano in piu del 50% rispetto a quanto dovrebbero.

La Figura 7.2 mostra la relazione fra il logaritmo dell’indice (reale) S&P 500 e il

logaritmo dell’indice dei dividendi nel periodo 1871-2010.

1.5 2.0 2.5 3.0

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

7.5

Log dell’indice (reale) dei dividendi

Log d

ell’

indic

e (

reale

) S

&P

500

Figura 7.2: Relazione fra il logaritmo dell’indice (reale) S&P 500 e il logaritmo dell’in-dice dei dividendi nel periodo 1871-2010. La linea rossa rappresenta i valori calcolati dauna regressione lineare. Fonte dei dati: Shiller (http://www.econ.yale.edu/~shiller/data.htm)

La relazione le due variabili appare all’incirca lineare, come evidenziato dalla linea

rossa riportata in figura, che rappresenta i valori calcolati da una regressione lineare;

8Per avere conferma dell’affermazione tramite l’Equazione (7.26) possiamo calcolare l’elasticita delprezzo corrente rispetto ai dividendi correnti, ossia:

∂pt∂dt

dtpt

= 1 + dt

[1 + r0 + σRP

(r0 + σRP − E [g|Ωt]) (1 + E [g|Ωt])

]f ′ > 1.

185



V. Schemi di Ponzi e bolle nei prezzi 7. LA TEORIA DEL NPV

tuttavia l’inclinazione di tale linea e pari a 1.61 e non a 1 come sarebbe dovuto essere se il

prezzo osservato fosse in relazione lineare con il dividendo corrente, come si puo ricavare

dall’Equazione (7.26) quando le aspettative sul tasso di crescita dei dividendi E [g|Ωt]

sono indipendenti dal dividendo corrente dt. In altre parole, ad un aumento dell’1% dei

dividendi corrisponde un aumento dell’1.61% nel prezzo medio delle azioni delle imprese

incluse nello S&P 500, un risultato in linea con quanto ottenuto da Barsky e De Long

(per loro era 1.5%).

Esempio 45 (L’elasticita dei prezzi ai dividendi)

Supponiamo di prendere una versione estremamente semplificata dell’ipotesi di formazione

delle aspettative data dall’Equazione (7.27), ossia che:

E [g|Ωt] =dt − dt−1

dt−1

,

il che significa che l’individuo si aspetta che l’ultimo tasso di crescita di dividendi sia anche

quello di lungo periodo. Allora supponendo di essere al tempo t−1 e che dt−2 = dt−1 = 10,

r = 0.02 e σRP = 0.06 abbiamo che:

pt−1 = 10

(1

0.02 + 0.06

)= 125.

Se i dividendi al periodo t passano a 10.5, registrando quindi un aumento del 5%, avremo

che il nuovo prezzo sara pari a:

pt = 10.5

(1 + 0.05

0.02 + 0.06− 0.05

)= 367.5.

L’aumento dei prezzi e quindi pari al 94% per un aumento dei dividendi del 5%.

Un punto debole della teoria di Barsky e De Long e che la dinamica osservata del

prezzo della singola azione non sembra smentire in maniera rilevante le conclusioni della

teoria del NPV, mentre e il comportamento aggregato dei mercati finanziari che appare

non congruo alla teoria. Ossia, come osservato da Shiller, l’evidenza empirica suggerisce

che le fluttuazioni nei mercati finanziari siano guidate da fenomeni di psicologia di massa.

V Schemi di Ponzi e bolle nei prezzi

La teoria del NPV dovrebbe aiutare a capire come il rendimento delle attivita ed i re-

lativi cash flow sono strettamente legati e quindi che offerte particolarmente allettanti in

termini di rendimento da parte di alcuni investitori finanziari, assolutamente sproporzio-

186

7. LA TEORIA DEL NPV V. Schemi di Ponzi e bolle nei prezzi

nate rispetto ai prevedibili cash flow futuri, nascondano al loro interno una sicura truffa.

A questo riguardo la letteratura ha individuato una fattispecie precisa di truffa, a cui e

stato dato il nome di Schema di Ponzi, in “onore” di Charles Ponzi, un banchiere italo-

americano che all’inizio del 1900 sfruttando tale schema ha truffati molti risparmiatori

(in effetti tale schema e stato piu volte usato anche in epoche precedenti).

Gli investitori che utilizzano tale schema promettono a fronte di una sottoscrizione

iniziale un rendimento molto alto, assolutamente non allineato con quello di mercato.

All’inizio gli investitori ricevono effettivamente i pagamenti promessi. Ma tali pagamenti

non sono il frutto di un reale rendimento degli investimenti, ma vengono finanziati gra-

zie alle nuove sottoscrizioni di altri investitori. L’investitore finanziario, in sostanza, sta

pagando con nuovi debiti gli interessi sul capitale preso a prestito. Il meccanismo fun-

ziona fino a quando l’investitore finanziario truffaldino riesce a convincere sempre nuovi

investitori a sottoscrivere le sue obbligazioni. Il castello finanziario, o, come viene sovente

chiamato, la piramide finanziaria, crolla istantaneamente nel momento in cui il flusso di

nuovi sottoscrittori e insufficiente a far fronte ai pagamenti promessi ai precedenti sotto-

scrittori. La descrizione di questo schema dovrebbe rendere chiaro perche in Italia, ed in

generale nel mondo, la cosiddetta “raccolta del risparmio” e soggetta ad una regolamenta-

zione stringente. Esistono molti esempi dell’utilizzo dello Schema di Ponzi, dalle catene di

Sant’Antonio che coinvolgono un numero limitato di soggetti, ad esempi che coinvolgono

un numero molto ampio di soggetti e dalle conseguenze molto piu gravi, come la crisi

finanziaria albanese degli anni 2000.

In effetti la teoria del NPV fornisce un’altra possibile chiave interpretativa delle flut-

tuazioni estreme che si osservano nei livelli dei prezzi. Il punto cruciale della spiegazione

risiede nell’osservazione che la teoria del NPV non fornisce un livello unico dei prezzi di

equilibrio. Assumendo che non esista incertezza, osserviamo infatti che se il prezzo di

un’attivita pari a:

pt =∞∑

j=1

dt+j

(1 + r0)j+ bt, (7.28)

e bt segue:

bt+1 = (1 + r0) bt (7.29)

allora il prezzo pt soddisfa il Principio di Arbitraggio (vedi l’Equazione (7.5)), ossia:9

pt =pt+1 + dt+1

1 + r0

. (7.31)

9Un modo alternativo per dimostrare che pt soddisfa il Principio di Arbitraggio e considerare che pt+1per l’Equazione (7.28) e pari a:

pt+1 =

∞∑

h=1

dt+1+h

(1 + r0)h

+ bt+1, (7.30)

187


Per dimostrare che pt soddisfa il Principio di Arbitraggio si osservi che

pt = pV Ft + bt, (7.32)

ossia il prezzo in ogni periodo t e esprimibile come la somma del prezzo che si avrebbe

senza bolla (dovuto solo ai suoi cosiddetti valori fondamentali)

pV Ft ≡∞∑

j=1

dt+j

(1 + r0)j(7.33)

piu la bolla bt.

poiche pV Ft soddisfa il Principio di Arbitraggio, ossia:

pV Ft =pV Ft+1 + dt+1

1 + r0

, (7.34)

sostituendo per pV Ft e pV Ft+1 abbiamo che:

pt − bt =pt+1 − bt+1 + dt+1

1 + r0

=pt+1 + dt+1

1 + r0

− bt+1

1 + r0

, (7.35)

da cui, sfruttando l’Equazione (7.29), otteniamo:

pt =pt+1 + dt+1

1 + r0

, (7.36)

che e proprio l’Equazione (7.28) a cui volevamo arrivare.

Il termine bt prende il nome di bolla, e rappresenta la differenza fra il prezzo corrente

dell’azione e il prezzo che avrebbe dovuto avere dati i suoi fondamentali, ossia il flusso di

dividendi attesi e il tasso di rendimento dell’attivita alternativa. La possibile esistenza

di una bolla deriva direttamente dal Principio di Arbitraggio, che e alla base della teoria

del NPV, il quale impone delle condizioni sul tasso di rendimento, ma non sul livello dei

prezzi.

Esempio 46 (L’esistenza di una bolla)

Supponiamo che il tasso di interesse privo di rischio sia pari a 5%; un’azione il cui prezzo

allora:

pt+1 + dt+1

1 + r0=

∑∞h=1

dt+1+h

(1+r0)h + bt+1 + dt+1

1 + r0=

∞∑

h=1

dt+1+h

(1 + r0)h+1

+bt+1

1 + r0+

dt+1

1 + r0=

∞∑

j=1

dt+j

(1 + r0)j

+bt = pt,

dove il cambio dell’indice della sommatoria da h a j e per includere nella sommatoria anche il terminedt+1/ (1 + r0) e abbiamo usato che bt+1/ (1 + r0) = bt (vedi Equazione (7.29)). L’ultima eguaglianzaderiva direttamente dall’Equazione (7.28).

188


al periodo t e pari a 100, il prezzo al periodo t+ 1 pari a 102 e che riceve un dividendo di

3 ed e immediato verificare che soddisfa la Condizione di non arbitraggio (7.5), infatti:

100 =102 + 3

1 + 0.05= 100.

Tuttavia se esistesse una bolla positiva nel prezzo al periodo t, ad esempio bt = 10, tale

che il prezzo osservato fosse pari a 110 e che tale bolla crescesse al 5%, allora la Condizione

di non arbitraggio (7.5) sarebbe sempre soddisfatta, infatti:

pt = 100︸︷︷︸p∗t

+ 10︸︷︷︸bt

=

p∗t+1︷︸︸︷102 +3 +

bt+1︷︸︸︷10 ∗ (1 + 0.05)

1 + 0.05= 110,

dove p∗t rappresenta il prezzo che riflette i fondamentali al periodo t. poiche il prezzo

osservato al tempo t + 1 e pari a 102 + 10.5 = 112.5, risulta evidente come la distanza

fra il prezzo osservato pt+1 e il prezzo che riflette i fondamentali p∗t+1 tende a crescere nel

tempo (da 10 a 10.5).

Il risultato e facilmente estendibile al caso con incertezza, dove il prezzo di equilibrio

e pari a:

pt =∞∑

j=1

E [dt+j|Ωt]

(1 + r0 + σRP )j+ bt, (7.37)

e la bolla deve rispettare:

E [bt+1|Ωt] =(1 + r0 + σRP

)bt; (7.38)

il prezzo pt rispettera quindi la Condizione di non arbitraggio (7.16) quando il tasso di

rendimento maggiorato per il premio per il rischio e costante e pari a r0 + σRP .

Non esiste nessun limite ai valori che bt puo assumere, se non il fatto che i prezzi

osservati devono rimanere non negativi (e quindi bt non deve essere troppo negativa). In

questo senso qualsiasi prezzo osservato sul mercato potrebbe essere di equilibrio, a meno

di una certa componente, ossia la bolla, la quale deve solo variare rispettando l’Equazione

(7.38). Cosı repentine e violente variazioni nel prezzo delle attivita potrebbero essere

interpretate come cambiamenti nel valore di bt.

Bolla e rapporto prezzo/dividendi (o P/E)

Un possibile indicatore della presenza di una bolla e il rapporto prezzo/dividendi o

P/E (prezzo/earnings). Infatti, supponendo che i dividendi crescano a tasso costante g

189


e che il tasso di interesse maggiorato dal rischio r0 + σRP sia costante e superiore a g,

dall’Equazione (7.38) possiamo ricavare, seguendo lo stesso procedimento impiegato per

ricavare l’Equazione (7.12), il prezzo osservato sul mercato, ossia:

pt = dt

(1 + g

r0 + σRP − g

)+ bt,

da cui possiamo ricavare il rapporto prezzo/dividendi (o P/E)

ptdt

=

(1 + g

r0 + σRP − g

)+btdt. (7.39)

Il rapporto pt/dt tende ad aumentare nel tempo anche se g, r0 e σRP rimangono costanti

per effetto dell’aumento del rapporto bt/dt. Infatti, bt cresce al tasso r0 + σRP , che e

maggiore di g per ipotesi; tuttavia g e proprio il tasso di crescita di dt. Quindi un periodo

in cui nulla cambia in g, r0 e σRP , ma il rapporto prezzi/dividendi (o P/E) sale potrebbe

far pensare alla nascita di una bolla.

E’ importante sottolineare che, nata per una qualche ragione una bolla nel prezzo

dell’azione, l’Equazione (7.38) ci dice che mano a mano che passa il tempo la dimensione

della bolla aumenta al tasso r0 + σRP , ossia la distanza fra p e il suo valore fondamentale

cresce esponenzialmente. Questo potrebbe spiegare perche lo scoppio della bolla determina

una caduta tanto piu grande tanto piu tempo passa dalla nascita della presunta bolla.

Nella Figura 7.3 abbiamo riportato il caso in cui i dividendi sono costanti e pari a d (ossia

g = 0) e al tempo t0 si sia formata una bolla pari a bt0 .

pt

tt0 t1

bt0d(

1r0+σPR

)

bt0(1 + r0 + σPR

)t1−t0

Figura 7.3: Nascita e scoppio di una bolla

La bolla incrementa esponenzialmente al tasso r0 + σRP determinando un aumen-

to anche del prezzo fino al periodo t1, dove scoppia riportando il prezzo ai suoi valori

fondamentali.

190


La teoria, tuttavia, nulla ci dice su come una bolla nasca e/o venga meno, ossia esploda.

Nella letteratura sono state ricercate a lungo le condizioni sotto le quali non e possibile

il formarsi di una bolla, ma nessuna conclusione generale e stata raggiunta, se non che

l’orizzonte degli investitori e il loro grado di razionalita giocano un ruolo fondamentale. In

effetti, essendo la bolla un evento collegato alla modalita di formazione delle aspettative,

la domanda di come nasca ed esploda una bolla si presta poco ad avere una risposta

teorica univoca. Alcuni autori ritengono che la formazione e la successiva esplosione di

una bolla siano un fenomeno eminentemente di natura stocastica, ma di difficile previsione

data la particolare distribuzione di probabilita che sembra caratterizzare tali eventi (in

letteratura si parla di teoria degli eventi estremi).

Dal punto di vista empirico la potenziale presenza di bolle e stata piu volte vagliata.

In effetti nella storia economica vi sono stati molti fenomeni che ricordano il crearsi di

una bolla e il suo successivo scoppio. La Figura 7.4 riporta l’andamento del rapporto P/E

per le azioni incluse nell’indice S&P 500, il tasso di interesse reale a 10 anni e il tasso di

crescita degli earnings (media 5 anni).

−10

010

20

30

40

Anno

P/E

, ta

sso a

nnuale

di cre

scita d

egli

earn

ings (

medie

a 5

anni)

1881 1891 1901 1911 1921 1931 1941 1951 1961 1971 1981 1991 2001 2011

03.0

64

6.1

28

9.1

92

12.2

56

15.3

2

P/E

Tasso di interesse reale a 10 anni (scala di destra)

Tasso di crescita degli earnings (medie 5 anni)

Figura 7.4: P/E, tasso di interesse reale a 10 anni e tasso di crescita degli earnings (mediea 5 anni) per le imprese incluse nell’indice S&P 500 nel periodo 1881-2011. Fonte dei dati:Shiller (http://www.econ.yale.edu/~shiller/data.htm)

Nella Figura 7.4 sono sono evidenti le tre grosse crisi borsistiche che segnano una

brusca caduta del P/E: la prima negli anni 1929-1933, a cui segui la cosiddetta “Grande

Depressione“; la seconda negli anni 1999-2000 caratterizzata dal crollo dei corsi azionari

191



delle cosiddette imprese “dot.com” (vedi Shiller (2005)); e la terza del 2007-2008 a causa

della caduta dei prezzi degli immobili e dei mutui sub-prime, che pero non presenta la

stessa drammaticita delle prime due.

Osserviamo come prima di raggiungere l’apice del P/E relativo alle prime due crisi

il rapporto P/E sia cresciuto vertiginosamente senza che ne il tasso di interesse reale

sia caduto (nella seconda crisi cio e solo parzialmente vero), ne il tasso di crescita degli

earnings mostri un sostenuto trend di crescita. Questo potrebbe essere un’indicazione

che una bolla era presente nei corsi azionari in ambedue le crisi. Le serie mostrano anche

l’evidente asimmetria tra la dinamica di crescita sostenuta ma regolare del P/E prima della

crisi e la dinamica di violenta caduta successiva. Anche questa evidenza e compatibile

con la presenza di una bolla, che sappiamo deve crescere ad un tasso costante pari al

tasso di interesse maggiorato del rischio, ma che quando esplode puo indurre una brusca

variazione nei prezzi.

E’ interessante notare, infine, come lo scoppio della bolla viene sempre anticipato da

una caduta del tasso di crescita degli earnings, cosa che potrebbe far pensare che gli

investitori realizzino tramite la caduta degli earnings l’insostenibilita di cosı alti P/E.

Dal punto di vista storico il libro di Kindleberger e Aliber (2011) rappresenta una

lettura consigliata per chi voglia approfondire le crisi finanziarie; tra i molti episodi ana-

lizzati probabilmente il piu sorprendente e la bolla nel prezzo dei Tulipani nell’Olanda del

1636-1637. Altri due libri vivamente consigliati sono Galbraith (2003) sulla grande crisi

del 1929 del mercato azionario statunitense e Galimberti (2003) sulle varie crisi finanziarie

che si sono succedute dal 1700.



2005; Cap. 10.

• Barsky, R. e De Long, B, Why Does the Stock Market Fluctuate?, The Quarterly

Journal of Economics, MIT Press, 108, 291-311, 1993.

• Cuthbertson K. e Nitzsche D., Economia finanziaria quantitativa, il Mulino, 2005.


and Investment Analysis, John Wiley, 2002, Capp. 18 e 19.

• Galbraith J., Il Grande Crollo, BUR Biblioteca Univ. Rizzoli, 2003.

• Galimberti, F., Economia e pazzia. Crisi finanziarie di ieri e di oggi, Laterza, 2003.

192


• Sharpe W.F., Alexander G.J. e Bailey J.V., Investments, Printice-Hall, 1999, Capp.

17 e 18.

• Shiller, R. Irrational Exuberance, University Press Group, 2 ed., 2005.

• Kindleberger, C. e Aliber, R., Manias, Panics and Crashes: A History of Financial

Crises, Palgrave Macmillan, 6 edizione, 2011.

193


194

Capitolo 8

L’efficienza informativa nei mercati

finanziari

L’efficienza dei mercati finanziari e oggetto di un’ampio dibattito in letteratura per le

sue implicazioni sia per i singoli investitori che per l’autorita di politica economica. Nel

Capitolo 1 abbiamo discusso come l’efficienza dei mercati finanziari si presti a una pluralita

di definizioni. Al tempo stesso, il concetto di efficienza a cui viene fatto piu comune

riferimento si riferisce al modo con cui i prezzi delle attivita finanziarie (singoli titoli o

interi portafogli di investimento) reagiscono alle informazioni che si rendono disponibili

sul mercato. Tale concetto di efficienza, noto anche come efficienza informativa, e di

particolare interesse per gli investitori, nella prospettiva di capire come poter sfruttare le

informazioni disponibili sui prezzi dei titoli per ottenere piu elevati tassi di rendimento dal

proprio portafoglio. A questo interesse, si affianca, come vedremo nel seguito, anche un

interesse generale dell’autorita di politica economica che i mercati siano efficienti, poiche

a questa efficienza viene generalmente associata l’idea di pieno sfruttamento delle risorse

disponibili e di equita nelle remunerazioni dei singoli investitori.

I L’ipotesi di mercati finanziari efficienti

L’idea di base dell’ipotesi dei mercati efficienti e che in un mercato efficiente tutte le

informazioni rilevanti disponibili siano utilizzate dagli investitori nella formazione delle

proprie aspettative sui prezzi futuri delle attivita finanziarie. Questo implica che tutte

le informazioni disponibili siano interamente e immediatamente incorporate nei prezzi

correnti di mercato. Il tutto suggerisce la seguente definizione di mercati efficienti.1

1Tale definizione, cosı come larga parte dei concetti presentati e discussi in questo capitolo con riferi-mento all’ipotesi di mercati finanziari efficienti, si devono al lavoro dell’economista Eugene Fama, premioNobel per l’economia nel 2013.

195

I. L’ipotesi di mercati efficienti 8. L’EFFICIENZA INFORMATIVA

Definizione 14 (Definizione di mercato efficiente)

Un mercato finanziario si definisce efficiente quando i prezzi delle attivita riflettono sempre

in modo completo l’informazione disponibile.

In sostanza, quando si diffondono sul mercato nuove informazioni sul valore fonda-

mentale di un titolo, ad esempio relative ai flussi scontati di cassa futuri ottenibili dal

titolo stesso (si veda il Capitolo 7), in mercati efficienti il prezzo del titolo deve rispondere

prontamente con una variazione verso l’alto, se la notizia e positiva, o verso il basso, se e

negativa. Ad esempio, un investitore che riceva l’informazione che i profitti di una societa

(earnings) siano superiori alle attese, aumentera il prezzo a cui e disposto a vendere le

azioni della societa, se nella posizione di venditore, mentre, se e nella posizione di acqui-

rente, sara disposto, invece, a pagare un prezzo piu alto (si veda il Capitolo 7). Come

conseguenza, in un mercato finanziario efficiente, il prezzo del titolo dovrebbe incorporare

tutte le informazioni disponibili (quasi) immediatamente, ed il prezzo fissarsi al nuovo

valore, che riflette in modo corretto il nuovo livello dei profitti attesi. Inoltre, poiche e

verosimile ipotizzare che le nuove informazioni sui titoli si susseguano in modo del tutto

casuale,2 ovvero che la probabilita che si abbia un’informazione “positiva” (good news)

sia sostanzialmente la stessa di un’informazione “negativa” (bed news), anche le variazioni

dei prezzi si susseguiranno casualmente nel tempo. Peraltro, il fatto che le variazioni dei

prezzi siano casuali, non significa che siano irrazionali. Anzi, proprio perche le variazioni

dei prezzi riflettono le risposte (razionali) degli investitori a fronte della diffusione (casua-

le) di nuove informazioni sui titoli finanziari, le variazioni dei prezzi che si osservano in

mercati efficienti sono del tutto sia casuali che razionali.

Un’altra cruciale implicazione che discende dall’ipotesi di mercati efficienti puo essere

sintetizzata nel modo seguente. Dato un certo insieme informativo disponibile, in mercati

efficienti non e possibile (se non casualmente) ottenere tassi di rendimento eccezional-

mente elevati sfruttando le informazioni disponibili nelle proprie decisioni di acquisto e di

vendita di titoli finanziari. In particolare, per un tasso di rendimento “eccezionalmente

elevato”, o extra-rendimento, si intende un tasso di rendimento medio atteso superio-

re a quello di equilibrio ovvero di riferimento per quel titolo specifico. In altri termini,

in mercati efficienti, l’investitore medio non puo sperare di “battere il mercato” (to beat

the market) e tutte le risorse che egli impiega per analizzare, scegliere e scambiare titoli

sono di fatto sprecate. Anzi, si puo affermare che nell’eventualita di dover gestire un

portafoglio titoli, replicare passivamente il portafoglio di mercato e non impegnarsi in

2Per nuove informazioni si intendono informazioni che riguardino fenomeni non previsti precedente-mente (news) e che quindi generano una “sorpresa” tra gli investitori nel momento in cui si diffondono. Secosı non fosse, infatti, tali informazioni sarebbero gia state incorporate dagli investitori nella formazionedei prezzi correnti dei titoli.

196

8. L’EFFICIENZA INFORMATIVA II. Condizioni per l’esistenza di mercati efficienti

una gestione attiva del proprio portafoglio e la miglior strategia. Peraltro, e importante

sottolineare che tale affermazione non esclude in assoluto la possibilita che, in mercati

efficienti, ci siano investitori in grado di ottenere extra-rendimenti. Tale evenienza, in-

fatti, e del tutto plausibile, ma rappresenta un evento del tutto casuale (cioe un evento

dovuto esclusivamente alla “fortuna”) e non sistematico. Nuovamente, cio si puo spiegare

con il fatto che se esistessero degli investitori che attuano una strategia di investimento

in grado di battere il mercato in modo sistematico (cioe di garantire extra-rendimenti),

nel momento in cui l’informazione concernente tale strategia si diffonde nel mercato, essa

verra incorporata nella formazione dei prezzi dei titoli, rendendo tale strategia non piu in

grado di generare tali extra-rendimenti.

II Condizioni per l’esistenza di mercati efficienti

Prima di passare ad approfondire le implicazioni derivanti dall’ipotesi di efficienza

dei mercati finanziari, e importante chiarire le condizioni sotto le quali cio si possa rag-

giungere. Innanzitutto, e facile dedurre come un mercato efficiente richieda che tutti gli

investitori: i) siano razionali (e, quindi, valutino correttamente i titoli in base ai loro valori

fondamentali); ii) abbiano accesso senza costo all’informazione disponibile sul mercato; e

iii) condividano le stesse credenze (beliefs) per quanto concerne le implicazioni che l’in-

formazione disponibile ha sulla formazione dei prezzi correnti e futuri. Tali condizioni,

peraltro, sono sufficienti, ma non necessarie a garantire il rispetto dell’ipotesi di efficien-

za di mercato. In altre parole, quest’ultima puo essere soddisfatta anche sotto condizioni

meno “stringenti”, ovvero in un contesto piu realistico.

Ad esempio, si potrebbe considerare il fatto che esistano anche investitori non del tut-

to razionali che scambiano nel mercato adottando strategie casuali, generalmente indicati

come noise trader : di fronte ad un certo titolo, alcuni potrebbero mostrare aspettative

“eccessivamente ottimistiche” oppure “eccessivamente pessimistiche” rispetto a quello che

e il suo valore fondamentale.3 Una prima questione che si pone e quindi se la presenza

di tali investitori possa di per se inficiare l’ipotesi di mercati efficienti. La risposta e

negativa. In primo luogo, infatti, potremmo considerare il fatto che, se le strategie di

investimento di un vasto numero di noise trader non sono correlate, e possibile che i loro

scambi si cancellino a vicenda (l’operazione di acquisto di un noise trader “ottimista” sara

compensata da una operazione di vendita di un noise trader “pessimista”) per cui, non

determinandosi alcun squilibrio tra domanda e offerta dovuto alla presenza di tale tipo di

investitori, i prezzi dei titoli rimarranno sostanzialmente vicini ai loro valori fondamentali.

3Un’analisi del comportamento decisionale e delle strategie di investimento dei cosiddetti noise tradere sviluppata nei Capitoli 7 e 9.

197

II. Condizioni per l’esistenza di mercati efficienti 8. L’EFFICIENZA INFORMATIVA

Inoltre, anche considerando la possibilita che le strategie di investimento dei noise trader

siano tra loro correlate perche, ad esempio, tendono a influenzarsi a vicenda creando un

“effetto moda”, l’ipotesi di mercati efficienti sarebbe preservata dalla possibilita di effet-

tuare operazioni di arbitraggio da parte degli investitori razionali presenti sul mercato,

i quali potrebbero cogliere immediatamente le opportunita create dai noise trader per

ottenere un guadagno certo. In particolare, quando, ad esempio, gli investitori irrazionali

abbiano aspettative pessimistiche (ingiustificate) su un dato titolo e, conseguentemente, lo

vendono in massa, produrranno un abbassamento del prezzo, facendolo discostare dal suo

valore fondamentale. A tal punto, gli arbitraggisti (investitori razionali) avranno conve-

nienza ad acquistare il titolo sottovalutato, vendendo un altro titolo con un simile flusso

di dividendi attesi, ma un prezzo piu alto. Inoltre, acquistando il titolo sottovalutato,

contribuiranno a farne risalire il prezzo fino a riportarlo al valore fondamentale. Ecco

quindi che, cosı facendo, gli arbitraggisti garantirebbero che i prezzi dei titoli si attestino

intorno ai loro valori fondamentali, salvaguardando cosı l’ipotesi di mercati efficienti.

La possibilita di realizzare operazioni di arbitraggio potrebbe svolgere un ruolo (del

tutto analogo a quello appena sopra descritto) nel preservare la validita dell’ipotesi di

efficienza anche quando non tutti gli investitori presenti sul mercato hanno accesso all’in-

formazione disponibile. In questo caso, infatti, basterebbe che l’accesso all’informazione

sia assicurato a un numero “sufficientemente elevato” di investitori. In particolare, tali

investitori potrebbero sfruttare il loro vantaggio informativo per ottenere dei guadagni

tramite operazioni di arbitraggio. Al tempo stesso, tali operazioni contribuirebbero a ga-

rantire che il livello dei prezzi riflettesse i valori fondamentali e a preservare l’efficienza di

mercato. Infine, anche la presenza di “disaccordo” tra gli investitori sulle implicazioni di

una certa informazione sui prezzi dei titoli non conduce necessariamente a rigettare l’ipo-

tesi di mercati efficienti. In particolare, tale ipotesi puo essere preservata, a meno che non

ci siano investitori in grado di sfruttare sistematicamente meglio degli altri l’informazione

disponibile.

In conclusione, va sottolineato che l’esistenza di investitori irrazionali, di informazioni

non liberamente conoscibili a tutti e di disaccordo tra gli investitori sulle implicazioni

desumibili dall’informazione non portino necessariamente a mercati inefficienti, e anche

vero che non vale necessariamente l’opposto, ossia che l’efficienza dei mercati sia garanti-

ta in presenza di questi fenomeni. Ad esempio, l’arbitraggio, che come abbiamo appena

discusso gioca un ruolo decisivo nel garantire l’efficienza del mercato, non sempre e realiz-

zabile. Cio in quanto numerose frizioni di mercato (costi di transazione) possono limitare

fortemente la possibilita di ottenere guadagni certi tramite questo genere di operazioni.4

4Ulteriori limiti alle possibilita di arbitraggio, piu di natura “comportamentale”, sono discussi nelCapitolo 9.

198

8. L’EFFICIENZA INFORMATIVA III. Varieta dei concetti di efficienza dei mercati

Alla luce di tali considerazioni, valutare se il funzionamento reale dei mercati finanziari

soddisfa l’ipotesi di mercati efficienti diventa una questione da indagare principalmente

dal punto di vista empirico. L’ultima parte di questo capitolo sara dedicata proprio a

tali indagini. Prima, pero, approfondiremo nel dettaglio i diversi concetti di efficienza

informativa e come sia possibile elaborare un modello teorico di mercati efficienti.

III Varieta dei concetti di efficienza dei mercati

La definizione di mercato efficiente stabilisce che tutta l’informazione disponibile si

debba riflette immediatamente nei prezzi delle attivita finanziarie. Una prima questione

cruciale da specificare e a quale tipo di informazione ci si riferisce. In effetti, una differente

assunzione sull’insieme informativo disponibile agli investitori puo condurre a conclusioni

differenti (e talvolta contraddittorie) riguardo all’efficienza dei mercati. E’ quindi oppor-

tuno individuare differenti concetti di efficienza dei mercati associati a differenti insiemi

informativi disponibili agli investitori.

Efficienza in forma debole (weak form efficiency). Il concetto di efficienza in

forma debole dei mercati assume che l’insieme informativo degli investitori contiene l’in-

formazione su tutti i prezzi (o, alternativamente, sui tassi di rendimento) correnti e passati

dei titoli. Quindi, un mercato si definisce efficiente in forma debole se non e possibile per gli

investitori ottenere in modo sistematico degli extra-rendimenti, sfruttando l’informazione

disponibile sui prezzi passati (e correnti) dei titoli scambiati sul mercato.

Efficienza in forma semi forte (semi-strong form efficiency). Il concetto di ef-

ficienza in forma semi-forte assume che l’insieme informativo degli investitori sia rappre-

sentato da tutta l’informazione pubblicamente disponibile. L’insieme informativo, quindi,

include adesso l’informazione sui prezzi passati dei titoli, ma non solo. Ad esempio, esso

puo includere gli annunci delle imprese sulla realizzazione di profitti nel futuro, sull’au-

mento di capitale o sull’emissione di prestiti obbligazionari. Quindi, un mercato e efficiente

in forma semi-forte quando i prezzi dei titoli si aggiustano istantaneamente ogniqualvolta

si rendono disponibili al pubblico nuove informazioni. Inoltre, nel caso di un mercato

efficiente in forma semi-forte non e possibile per gli investitori ottenere in modo sistema-

tico degli extra-rendimenti, sfruttando tutta l’informazione pubblica disponibile. Si noti

come l’insieme informativo rilevante per l’efficienza debole sia un sottoinsieme di quello

per l’efficienza semi forte. Cio implica che se un mercato e efficiente in forma semi forte

lo e anche in forma debole, mentre non e necessariamente vero il contrario (un mercato

potrebbe essere efficiente in forma debole ma non in quella semi forte).

199

III. Varieta dei concetti di efficienza dei mercati 8. L’EFFICIENZA INFORMATIVA

Efficienza in forma forte (strong form efficiency). Il concetto di efficienza in

forma forte assume che l’insieme informativo includa tutta l’informazione pubblicamente

o privatamente disponibile nei mercati. In altri termini, in questo caso, in un merca-

to efficiente i prezzi delle attivita finanziarie riflettono non solo l’informazione pubblica

disponibile a tutti gli investitori, ma anche quella privata a disposizione esclusiva di sin-

goli investitori o gruppi di investitori. A questo punto, inoltre, dovrebbe essere chiaro

come in un mercato efficiente in forma forte non sia possibile ottenere in modo sistemati-

co dei rendimenti eccezionalmente elevati, sfruttando qualsiasi informazione che si renda

disponibile. Infine, poiche l’insieme informativo rilevante per l’efficienza forte contiene

sia l’insieme per l’efficienza semi forte e debole, se un mercato e efficiente in forma forte

lo e senz’altro anche in forma semi forte e in forma debole (mentre non e ovviamente

necessariamente vero il contrario).

III.A Il paradosso di Grossman-Stiglitz

A conclusione di questa sezione, e interessante discutere un importante “paradosso”

che si ricollega al concetto di efficienza in forma forte e che sembra implicare come esso

sia particolarmente complesso da realizzarsi. In effetti, finora abbiamo (implicitamente)

assunto che l’informazione sia disponibile liberamente e senza costo. Immaginiamo, inve-

ce, ora che sia costoso per gli investitori acquisire nuove informazioni. In tal caso, e logico

considerare che, per orientare le proprie decisioni di investimento, i singoli investitori de-

cidano di acquisire nuove informazioni fintanto che il beneficio connesso alla possibilita di

sfruttare le informazioni per effettuare scelte di investimento piu profittevoli e superiore

al costo. Come al solito, cio porta ad acquisire un “ammontare” di informazione per

cui l’uguaglianza tra beneficio marginale e costo marginale e soddisfatta. Peraltro, se il

mercato e efficiente in forma forte, ogni informazione acquisita privatamente si riflette

istantaneamente nel prezzo dei titoli. In altri termini, quando un investitore acquista

(privatamente) nuove informazioni, gli altri investitori potranno anch’essi prenderne co-

scienza senza bisogno di sostenere alcun costo, ma semplicemente osservando l’andamento

dei prezzi dei titoli. Cio, a sua volta, implica che nessun investitore abbia convenienza

a spendere risorse per acquistare nuove informazioni e, se non ci sono incentivi ad ac-

quistare nuove informazioni, i prezzi delle attivita finanziarie non potranno mai riflettere

l’informazione acquisita privatamente dai singoli investitori.

Questo paradosso e noto come paradosso di Grossman-Stiglitz, dal nome degli eco-

nomisti Sanford Grossman e Joseph Stiglitz che per primi lo hanno individuato. Esso

implica che si potranno creare gli incentivi ad acquisire (privatamente) nuove informazio-

ni solo quando i prezzi dei titoli non riflettano tutta l’informazione disponibile e quindi i

200

8. L’EFFICIENZA INFORMATIVA IV. La dinamica dei prezzi e dei rendimenti

mercati non siano efficienti in forma forte. Da cio ne deriva che il concetto di efficienza

in forma forte ha senso e puo realizzarsi in concreto solo quando tutta l’informazione e

disponibile senza costo per tutti gli investitori. In tal caso, peraltro, esso viene di fatto a

coincidere con quello di efficienza in forma semi-forte.

IV La dinamica dei prezzi e dei rendimenti in mercati efficienti

L’affermazione che in un mercato efficiente i prezzi riflettono pienamente l’informazione

disponibile e cosı generica che risulta difficile caratterizzarla teoricamente e quindi anche

verificarla empiricamente. Riprendendo un ben noto articolo di Eugene Fama del 1970,

l’efficienza nei mercati finanziari puo tuttavia essere espressa nel seguente modo:

E [pt+1|Ωt] = (1 + E [rt+1|Ωt]) pt, (8.1)

dove pt e il prezzo del titolo al periodo t (che e una variabile conosciuta), E[pt+1|Ωt] e il

prezzo atteso del titolo i al periodo t+1, dato l’insieme informativo disponibile al periodo

t, quest’ultimo espresso con il simbolo Ωt. E[rt+1|Ωt] rappresenta, infine, il tasso atteso

di rendimento al periodo t+ 1, anch’esso condizionato all’insieme informativo disponibile

al periodo t.

L’Eq. (??) e cosı generale che puo prestarsi a numerose specificazioni, sia riguardo

alla dinamica del prezzo atteso o del tasso atteso di rendimento, sia riguardo l’insieme

informativo (a quest’ultimo riguardo si rimanda alla discussione nella Sezione III). Peral-

tro, indipendentemente dal modello utilizzato per individuare il rendimento atteso, essa

esprime l’essenza fondamentale dell’ipotesi di mercati efficienti: Ωt si riflette interamente

nella formazione del prezzo pt+1.

IV.A Efficienza dei mercati come gioco equo

E’ possibile esprimere analiticamente anche il fatto che, se i mercati sono efficienti,

gli investitori non possano ottenere un extra-rendimento, se non casualmente, sfruttando

l’insieme informativo disponibile Ωt. In particolare, definendo l’eccesso nel valore del

titolo come:

xt+1 = pt+1 − E [pt+1|Ωt] , (8.2)

ovvero come la differenza tra il prezzo del titolo effettivamente osservato nel periodo t+ 1

e il prezzo atteso dagli investitori sulla base dell’informazione disponibile nel periodo t,

201

IV. La dinamica dei prezzi e dei rendimenti 8. L’EFFICIENZA INFORMATIVA

l’ipotesi di mercati efficienti richiede che:

E [xt+1|Ωt] = 0. (8.3)

La condizione (8.3) puo anche essere espressa in termini di extra-rendimento, ovvero

definito l’extra-rendimento come:

zt+1 = rt+1 − E [rt+1|Ωt] (8.4)

in mercati efficienti deve verificarsi che:

E [zt+1|Ωt] = 0. (8.5)

Le Eqq. (8.3) e (8.5) garantiscono che in mercati efficienti il comprare o vendere titoli

e equivalente a partecipare ad un gioco equo (fair game). In altre parole, se tutti gli

investitori condividono lo stesso insieme informativo Ωt, non e possibile osservare una

sistematica sopravvalutazione/sottovalutazione di un’attivita, ovvero che un investitore

ottenga un extra/sotto-rendimento sistematico nei suoi investimenti.

IV.B L’efficienza dei mercati come martingala nei prezzi

Dall’Eq. (8.1) possiamo osservare come nel caso in cui abbiamo un rendimento atteso

positivo, ovvero

E [rt+1|Ωt] ≥ 0 (8.6)

allora debba valere:

E [pt+1|Ωt] ≥ pt. (8.7)

L’Eq. (8.7) definisce una submartingala per la sequenza dei prezzi p, ovvero il valore

atteso del prezzo al periodo t + 1 sara sempre maggiore od uguale al prezzo al periodo

t; diversamente, nel caso in cui E [pt+1|Ωt] ≤ pt si parla di supermartingala.5 Un caso

particolare e quello in cui:

E [rt+1|Ωt] = 0, (8.8)

da cui

E [pt+1|Ωt] = pt, (8.9)

che viene definita una martingala.

5L’origine del nome martingale e incerto, se non che veniva usato fin dal 1700 in Francia per indicareuna particolare strategia adottata nelle scommesse sul risultato del lancio di una moneta.

202

8. L’EFFICIENZA INFORMATIVA IV. La dinamica dei prezzi e dei rendimenti

Tramite il concetto di (sub)martingala possiamo individuare alcune proprieta carat-

terizzanti la dinamica dei rendimenti dei titoli sotto l’ipotesi di efficienza dei mercati.

Infatti, supponendo che il tasso atteso di rendimento sia costante nel tempo, l’Eq. (8.1)

puo essere riscritta come:

E [pt+1|Ωt] = (1 + µ) pt, (8.10)

dove

µ ≡ E [rt+1|Ωt] (8.11)

e il tasso di rendimento atteso. Osserviamo che anche E [rt+1|Ωt] possa essere considerata

una variabile casuale dipendendo da Ωt, che si modica nel tempo in risposta all’arri-

vo casuale di news. Calcolando, quindi, l’aspettativa del tasso di rendimento rispetto

all’insieme informativo Ωt, abbiamo che:6

EΩ [µ] = EΩ [Ee [rt+1|Ωt]] , (8.12)

da cui, ricordando che µ e assunto costante, applicando la Legge delle Aspettative Iterate:7

µ = Er [rt+1] ; (8.13)

quindi assumendo l’aspettativa condizionata del tasso di rendimento costante nel tempo

e pari a µ, l’aspettativa non condizionata e pure costante e pari a µ.

IV.C Camminata casuale (random walk) nel prezzo dei titoli

L’Eq. (8.13) si rivela cruciale nello studio della dinamica dei rendimenti in mercati

efficienti perche puo essere espressa come:

rt+1 = µ+ εt+1, (8.14)

dove per rispettare l’Eq. (8.11) deve valere che:

E [εt+1|Ωt] = E [εt+1] = 0. (8.15)

6Per evitare possibili confusioni, abbiamo riportato nel pedice dell’aspettativa la variabile rispetto allaquale l’aspettativa viene calcolata.

7In generale la Legge delle Aspettative Iterate stabilisce che Ex [Ey [y|x]] = Ey [y]. Per la dimostrazionesi rimanda ad un testo introduttivo di statistica.

203

IV. La dinamica dei prezzi e dei rendimenti 8. L’EFFICIENZA INFORMATIVA

E’ interessante osservare che poiche εt ∈ Ωt; infatti, al periodo t, essendo rt conosciuto e

µ fissato, possiamo calcolare εt = rt − µ. Quindi, sulla base dell’Eq. (8.15) avremo:

E [εt+1|εt] = 0, (8.16)

da cui

E [εt+1, εt] = 0, (8.17)

ovvero gli ε devono essere non correlati nel tempo, oltre ad avere un valore atteso nullo.

Presa l’Eq. (8.14) e osservando che µ = rt − εt, abbiamo che:

rt+1 = rt + et+1, (8.18)

dove et+1 ≡ εt+1 − εt e quindi:

E [et+1] = 0. (8.19)

L’Eq. (8.18), unitamente all’Eq. (8.19), mostra come, sotto condizioni molto generali,

l’ipotesi di mercati efficienti implichi che i rendimenti dei titoli seguano una camminata

casuale (random walk). Infatti, possiamo osservare come, dato un certo rendimento rt al

periodo t, il rendimento nel periodo t + 1 sia pari a quest’ultimo a meno della variabile

aleatoria et+1, ovvero le fluttuazioni da un periodo all’altro siano del tutto causali.

Osserviamo come tale comportamento sia alla base della teoria del prezzo delle opzioni

discussa nel Capitolo 11, anche se nella sua versione piu restrittiva tale teoria assumeva che

εt+1 fosse distribuita come una variabile casuale normale, ovvero assumeva che i prezzi

seguissero un moto geometrico browniano. Tale ipotesi tuttavia e fortemente rigettata

dall’evidenza empirica, dove i rendimenti mostrano in genere una distribuzione di densita

asimmetrica a sinistra e con code spesse (eccesso di curtosi).

Una importante implicazione del comportamento random walk dei rendimenti e che

la loro covarianza nel tempo dovrebbe essere pari a zero, ovvero:8

cov (rt+1, rt−k) = 0 per k ≥ 0. (8.20)

Come vedremo, l’Eq. (8.20) e la base di una ampia letteratura che mira a verificare

l’efficienza in forma debole dei mercati finanziari.

8Possiamo infatti osservare che cov (rt+1, rt−k) = E [(rt+1 − µ) (rt−k − µ)] = E [εt+1εt−k] = 0 perl’ipotesi di correlazione temporale nulla tra gli ε.

204

8. L’EFFICIENZA INFORMATIVA V. L’evidenza empirica

V L’evidenza empirica sull’efficienza dei mercati finanziari

In questa sezione discuteremo come l’evidenza empirica supporti solo parzialmente

l’ipotesi di mercati efficienti. In primis discuteremo l’evidenza a favore/sfavore della pre-

senza di efficienza in forma debole; successivamente discuteremo dell’efficienza in forma

semi forte, per concludere con la discussione di altre anomalie osservate nei mercati azio-

nari, ossia di comportamenti potenzialmente non compatibili con l’ipotesi di efficienza dei

mercati.

V.A Test sull’efficienza in forma debole

La maggior parte dei test sull’efficienza in forma debole dei mercati finanziari sono

basati sull’Eq. (8.20). Nel seguito ne discuteremo i quattro piu importanti.

Il test della permanenza e cambiamento di segno. Uno dei test piu semplici

discussi in Fama (1970) e quello di contare il numero di eventi in cui per due giorni

(periodi) il rendimento in eccesso a quello medio del periodo oggetto di analisi mostra

una permanenza di segno, ossia ++ o −−, e il numero di eventi in cui per due giorni il

rendimento in eccesso mostra un cambiamento di segno, ossia +− o −+. Se i rendimenti

in eccesso, che rappresentano un misura di rt+1 − µ seguono un random walk, allora il

numero degli eventi con permanenza di segno e con cambiamento di segno dovrebbero

essere eguali. L’evidenza empirica sembra confermare l’ipotesi di random walk.

Regole di trading che permettono di ottenere extra-rendimenti. Un test piu

complesso prevede di adottare una regola di trading, rappresentata nella Figura 8.1, che

prevede l’acquisto dell’azione se il suo rendimento supera una certa soglia rMAX e di

tenere l’azione fino a quando il rendimento rimane sopra tale soglia; ovvero di vendere

allo scoperto l’azione se il suo rendimento scende sotto un’altra soglia rMIN e di tenere

la posizione fino a quanto il rendimento non superi tale soglia. Questa strategia, se di

successo, mostrerebbe come i rendimenti abbiamo una covarianza nel tempo abbastanza

significativa da permettere di ricavare un extra-rendimento sistematico. In altre parole,

il mercato sarebbe battuto sistematicamente da una regola di trading, contraddicendo

l’ipotesi di efficienza informativa in forma debole. Fama (1970) discute come alcune stra-

tegie abbiano potenzialmente la possibilita di generare un extra-rendimento sistematico,

che pero risulta negligibile una volta contabilizzati i costi di transazione per mettere in

pratica tale strategia di trading.9

9Nella realta la parte piu difficile della strategia di trading e fissare le soglie per l’acquisto e la venditaallo scoperto.

205

V. L’evidenza empirica 8. L’EFFICIENZA INFORMATIVA

t

rt

rMIN

rMAX

Compro Vendo

Vendo allo scoperto

Liquido la posizione

Figura 8.1: Strategia di trading che sfrutta una possibile correlazione temporale positivatra i rendimenti per ottenere un extra-rendimento sistematico.

Covarianza nei rendimenti azionari. Fama (1970) discute come i test di correlazione

temporale derivati dall’Eq. (8.20) diano risultati diversi, a seconda se svolti sui singoli

titoli (assenza di correlazione significativa e quindi l’ipotesi di random walk non puo essere

rigettata) oppure sui portafogli (presenza di una correlazione significativa e quindi rigetto

dell’ipotesi di random walk); cosı come differenti risultati si ottengono considerando diversi

ordini di ritardo (ossia diversi k). In particolare, in letteratura si evidenzia il cosiddetto

effetto momentum, ossia le azioni che hanno fatto registrare elevati rendimenti nell’ultimo

anno, tendono a mantenere rendimenti elevati nei 3-6 mesi successivi, il che comporta una

correlazione positiva e significativa almeno nel breve periodo nei rendimenti. Tuttavia, si

osserva anche che le azioni che hanno registrato performance negative nell’arco temporale

compreso tra i tre e i cinque anni precedenti, presentano rendimenti positivi nei tre anni

successivi fino al quinto (effetto reversal o mean-reversion), il che implica una correlazione

negativa di lungo periodo tra i rendimenti. Entrambe i fenomeni, su cui esiste un certo

consenso tra gli economisti, sono tendenzialmente contrari all’ipotesi di mercati efficienti

in forma debole.

Eccessiva volatilita dei prezzi. Come sappiamo dal Capitolo 7 le serie storiche dei

prezzi delle azioni mostrano un eccesso di volatilita, cioe la tendenza a effettuare oscilla-

zioni piu ampie di quelle che potrebbero essere giustificabili dalle notizie che si diffondono

sugli utili e i dividendi delle imprese. Tale fenomeno, sostiene l’economista Robert Shiller,

ha un peso preminente e un ruolo molto piu generale delle altre anomalie nel mettere in

discussione la teoria di mercati efficienti. A cio possiamo aggiungere che questi eccessi di

volatilita tendono a manifestarsi in ben delimitati intervalli temporali, rendendo ancora

piu difficile trovare una spiegazione compatibile con l’ipotesi di efficienza dei mercati. E’

206


tuttavia difficile disegnare un test efficace per verificare che questo eccesso di volatilita

non sia compatibile con mercati efficienti (il piu famoso resta quello di Shiller, ma si veda

le critiche riportate nel Capitolo 7).

V.B Test sull’efficienza in forma semi forte

Una delle implicazioni piu generali della teoria di mercati efficienti e l’implicazione che

non si possano osservare fenomeni di sovrareazione (overreaction) o sottoreazione

(underreaction) dei prezzi dei titoli al sopraggiungere di nuove informazioni (news). In

particolare, si ha “sovrareazione” dei prezzi quando questi reagiscono in modo “sproposi-

tato” alle nuove informazioni, mentre si parla di “sottoreazione” dei prezzi quando questi

reagiscono troppo lentamente. Le Figure 8.2 e 8.3 mostrano graficamente la natura dei

due fenomeni messi a confronto con la situazione che si dovrebbe produrre in un contesto

di mercati efficienti in forma semi forte assumendo che µ = 0 e che al periodo t0 arrivi

una good news.

t

pt

t0

pA

pB

pC

Figura 8.2: Sovrareazione (overreaction) delprezzo di un’azione all’arrivo di una goodnews al periodo t0.

t

pt

t0

pA

pB

Figura 8.3: Sottoreazione (underreaction)del prezzo di un’azione all’arrivo di una goodnews al periodo t0.

In particolare, assumiamo che al tempo t0 si diffonda l’informazione riguardo profitti

piu alti del previsto (considerazioni del tutto simmetriche potrebbero essere sviluppate

nel caso si diffondano bad news, quali mancati utili previsti). In base all’ipotesi di mercati

efficienti cio si dovrebbe tradurre istantaneamente in un aumento del prezzo dell’azione

poiche il valore fondamentale dell’azione e aumentato (si veda il Capitolo 7). Tale si-

tuazione e rappresentata sia in Figura 8.2 che in Figura 8.3 dalla linea in grassetto, che

descrive un aumento al tempo t0 del prezzo dell’azione da pA (corrispondente al valore

fondamentale del titolo prima della good news) a pB (corrispondente al valore fondamen-

tale del titolo dopo la good news). Il caso di overreaction e invece descritto in Figura 8.2

dall’andamento della linea tratteggiata: il prezzo dell’azione sovrareagisce alla good news

207


in quanto, inizialmente, “schizza” da pA molto piu in alto del (nuovo) valore fondamen-

tale, ossia fino a pC , per poi aggiustarsi al valore corretto, ossia pB. In Figura 8.3, invece,

la linea tratteggiata illustra il caso di underreaction; in particolare, il prezzo sottoreagisce

alla good news poiche l’aumento del prezzo dal vecchio al nuovo valore fondamentale, ossia

da pA a pB, avviene solo gradualmente nel corso del tempo e non istantaneamente. Se

considerassimo µ > 0 allora dovremo considerare gli scostamenti del rendimento osservato

da µ; questi scostamenti dovrebbero essere pari a zero sia prima che dopo la news e solo

in questo periodo discostarsi significativamente da µ (in positivo o in negativo a seconda

del tipo di news).

Nel seguito discutiamo tre test sull’efficienza dei mercati in forma semi forte, che

forniscono tuttavia risultati discordanti tra loro.

Divisione (split) delle azioni Fama (1970) contiene una dettagliata analisi empirica

sull’effetto della divisione (split) delle azioni di societa quotate. In teoria tale split non

dovrebbe modificare il rendimento delle azioni, avendo come effetto il semplice aumento

delle azioni in circolazione. Tuttavia, il decidere un split delle azioni dovrebbe segna-

lare al mercato un probabile aumento dei dividendi e quindi un aumento nel livello dei

fondamentali. Questo dovrebbe portare ad un aumento dei corsi azionari. L’evidenza

empirica riportata da Fama riferita al mercato azionario statunitense (NYSE) nel periodo

1927-1959 sembra confermare tale predizione, con il fatto cruciale addizionale che tali

movimenti avvengono tutti nel periodo di annuncio dell’operazione di split, o poco prima,

mentre non si osservano movimenti dopo lo split. In particolare Fama calcola la cumu-

lata dei residui dei rendimenti rispetto ad un benchmark di riferimento (che dovrebbe

rappresentare il µ), ovvero Ut =∑t

s=0 εs e, riportandolo su un grafico contro il tempo,

ottiene una curva simile a quella riportata con una linea continua nella Figura 8.4. Fama

interpreta tale evidenza a supporto dell’ipotesi di efficienza in forma semi forte per il

mercato NYSE. Se cosı non fosse stato, la curva osservata sarebbe stata simile a quella

riportata in Figura 8.4 con una linea tratteggiata.

Effetto annuncio utili e dividendi (earnings/dividends announcement effect).

L’efficienza in forma semi forte non sembra verificata quando si consideri l’annuncio da

parte delle imprese di nuovi utili e/o di una politica dei dividendi piu generosa in futuro.

In particolare, i corsi azionari anziche aggiustarsi immediatamente alla news, continuano

a salire (o a scendere, nel caso di bad news) per circa un anno dal momento dell’annuncio,

il che corrisponderebbe alla linea tratteggiata riportata nella Figura 8.4.

208


t

Ut

t0

Figura 8.4: Effetti di uno split azionario al periodo t0 sul presso di un’azione nel casovalga l’ipotesi di efficienza in forma semi forte (linea continua), oppure non valga (lineatratteggiata).

Rendimenti di breve e lungo periodo di IPO e SEO. Altre dinamiche dei prezzi (e

dei rendimenti) che sembrano violare l’efficienza in forma semi forte sono state riscontrate

nel caso di offerta al pubblico dei titoli di societa che si quotano sul mercato per la prima

volta, le cosiddette IPO (Initial Public Offerings). In particolare, i rendimenti iniziali nelle

settimane immediatamente successive alla quotazione tendono a essere elevati rispetto a

titoli di societa a loro comparabili, mentre negli anni successivi alla prima quotazione,

i tassi di rendimento in media tendono a essere relativamente bassi. Una dinamica non

dissimile si registra nei periodi successive alla raccolta di capitale sul mercato (SEO,

Seasoned Equity Offerings).

V.C Altre anomalie dei mercati finanziari

Le anomalie nei prezzi/rendimenti per certi versi piu suggestive che violano l’ipotesi

di mercati efficienti sono relative alla correlazione osservata tra l’andamento dei prezzi

azionari ed alcuni particolari periodi dell’anno o rispetto alle condizioni meteorologiche.

Nel seguito elenchiamo alcune anomalie riscontrate nel corso del tempo, con l’avvertenza

che alcune di loro sembrano essere sparite:

• effetto gennaio. Nel mese di gennaio, specialmente nella prima meta del mese, il

rendimento e piu alto rispetto agli altri mesi dell’anno;

• effetto Halloween. I rendimenti azionari sono mediamente piu elevati nel periodo

tra novembre e aprile, ovvero i rendimenti inizierebbero a salire dopo il 31 ottobre

di ogni anno, il giorno di Halloween appunto;

209


• effetto cambio del mese. Si riscontra un forte aumento dei rendimenti dei titoli

nell’ultimo giorno lavorativo del mese e nei primi giorni di quello successivo;

• effetto lunedı (monday blues). Generalmente, i prezzi dei titoli appaiono piu

bassi il lunedı;

• effetto ora della contrattazione (hour-of-the-day-effect). I maggiori rendi-

menti si presentano all’inizio e al termine della giornata di borsa;

• effetto vacanza. Nei giorni prefestivi si verifica una maggiore variabilita dei prezzi

e una loro tendenza al rialzo.

• effetto sole. I prezzi salgono nei giorni di sole. Al contrario, tanto piu nuvolosa e

la giornata, tanto piu elevata e la probabilita che i prezzi scendano.

In conclusione ricordiamo quattro anomalie che hanno attirato una particolare atten-

zione in letteratura. Le prime due le abbiamo gia incontrate nei Capitoli 5 e 6, ovvero il

fatto che le azioni delle imprese di piu piccole dimensioni ottengono tassi di rendimento

piu elevati rispetto a quelli delle imprese di piu grandi dimensioni (il fattore SML del

three-factor model di Fama e French); e questo vale anche per le imprese con un elevato

rapporto valore contabile su valore di mercato (il fattore HML del three-factor model di

Fama e French). Al modello di Barsky e De Long del Capitolo 7 invece possiamo attri-

buire il fatto che le imprese con un basso rapporto tra prezzo delle azioni e utili (P/E)

(price/earnings ratio) mostrano rendimenti futuri in eccesso rispetto al loro benchmark.

Infine, ha destato un accesso dibattito il cosiddetto paradosso del fondo comune di

investimento chiuso (closed-end mutual fund paradox ). Spesso, infatti, si osserva che il

prezzo di mercato di un fondo comune di investimento chiuso non sia uguale al valore

netto, o NAV (net asset value), delle partecipazioni incluse nel fondo.10 In particolare, al

momento del collocamento e nelle prime settimane si osserva che i fondi chiusi quotino a

premio, cioe il prezzo di mercato del fondo e maggiore del valore netto delle partecipazioni,

mentre durante la maggior parte della loro vita quotino a sconto (prezzo di mercato del

fondo inferiore al valore netto delle partecipazioni) e, solo alla scadenza, si riavvicinano

al valore netto delle partecipazioni. In un articolo del 1991 Charles Lee, Andrei Shleifer,

e Richard Thaler, spiegano questo paradosso sulla base dei cambiamenti nell’umore degli

10I fondi comuni chiusi sono caratterizzati da un numero di quote predeterminato e invariabile neltempo. Inoltre, e possibile il rimborso delle quote solo in periodi determinati per cui e previsto l’obbligodi quotazione sul mercato, cosı che l’investitore che vuole liquidare il proprio investimento lo possa farevendendo le quote sul mercato. Tali fondi si distinguono dai piu diffusi fondi comuni aperti. Questi ultimisono caratterizzati dalla variabilita del patrimonio, che puo aumentare o diminuire in funzione delle nuovesottoscrizioni o delle domande di rimborso delle quote che possono avvenire in qualsiasi momento.

210


investitori (investor sentiment). Il Capitolo 9 fornira ulteriori spunti di riflessione su

questi comportamenti anomali osservati nei mercati finanziari.



2005; Capp. 18, 19 e 20.


and Investment Analysis, John Wiley, 2002, Cap. 22.

• Fama, E. F., Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Empirical Work,

Journal of Finance, 25(2), 1970.

• Fama, E. F., Market Efficiency, Lon-term Returns, and Behavioral Finance, Journal

of Financial Economics, 49, 1998.

• Lee, C.M.C., A. Shleifer, e R. H. Thaler. “Investor sentiment and the closed-end

fund puzzle.” The Journal of Finance 46, 1991, pp. 75-109.

• Sharpe W.F., Alexander G.J. e Bailey J.V., Investments, Printice-Hall, 1999, Cap.

19.

211


212

Capitolo 9

Finanza comportamentale

I modelli analizzati nei capitoli precedenti, relativi alle scelte di portafoglio e alla de-

terminazione dei prezzi di equilibrio nei mercati finanziari, si fondano sul presupposto

che gli investitori siano agenti razionali e, in funzione delle loro preferenze (attitudine nei

confronti del rischio), attuano comportamenti e prendono decisioni in modo prevedibile

sulla base di processi volti a massimizzare la loro utilita. Inoltre, nel fare questo, essi

utilizzano l’informazione sulla distribuzione dei rendimenti dei titoli finanziari e, nel va-

lutare potenziali scelte di investimento, non commettono errori sistematici nel senso di

sovrastimare o sottostimare i rendimenti attesi delle singole attivita.

Sebbene l’economista John Maynard Keynes sottolineasse gia negli anni trenta come

gli agenti economici, in generale, e quelli che operano nei mercati finanziari, in particolare,

siano mossi da impeti e pulsioni quasi viscerali (quelli che lui definiva animal spirits) e,

quindi, non sia possibile descrivere e analizzare molte delle loro decisioni sulla base di un

modello di scelta razionale, questo ultimo ha rappresentato per lungo tempo il riferimento

indiscusso con cui la teoria economica ha studiato il funzionamento dei mercati finanziari.

A partire dagli anni ottanta, peraltro, anche alla luce delle molte “anomalie” registrate

nell’ambito dei mercati finanziari che non trovano una spiegazione del tutto convincente

sulla base della teoria standard, un nuovo filone di studi ha iniziato ad approcciarsi allo

studio della finanza sulla base del presupposto che gli investitori non si comportino razio-

nalmente di fronte all’incertezza e a scelte che presuppongono un certo grado di rischio.

In particolare, tale filone di ricerca, definito finanza comportamentale (behavioral

finance), unisce allo studio dell’economia il lavoro di psicologi e sociologi, i quali indaga-

no su come nella realta gli individui ragionano, elaborano i dati a disposizione e risolvono

i problemi di valutazione e di decisione, enfatizzando come non sia possibile comprende-

re adeguatamente la finanza tralasciando di considerare il ruolo decisivo che tali aspetti

giocano sul funzionamento dei mercati.

213

I. Errori comportamentali ed euristiche 9. FINANZA COMPORTAMENTALE

I Errori comportamentali ed euristica delle decisioni d’investi-

mento

L’approccio comportamentale mira a individuare i limiti alla razionalita degli investi-

tori e a descriverne l’impatto sulle loro scelte di investimento. In particolare, la sfida piu

grande della finanza comportamentale e quella di dimostrare che questi errori possono

essere tipizzati in quanto comuni alla maggioranza degli investitori. In gergo tecnico,

questi errori sono chiamati bias comportamentali. Rappresentano in realta una pre-

disposizione a commettere un errore. Si tratta dunque di “pregiudizi” nel senso proprio

del termine, ossia di qualcosa che viene prima del giudizio e puo condurre all’errore. A

secondo della loro natura, un primo modo per suddividere gli errori comportamentali degli

investitori e quello in errori cognitivi ed errori emozionali.1

Errori cognitivi. Nella categoria degli errori cognitivi, due bias sono ritenuti partico-

larmente importanti in ambito comportamentale: l’iper-ottimismo e l’overconfidence. Il

primo e legato alla sovrastima delle probabilita di esiti favorevoli e alla sottostima del-

le probabilita di quelli sfavorevoli, che portano a commettere errori di valutazione nella

formulazione delle stime. Invece, l’overconfidence (ossia l’eccesso di sicurezza) porta a

sovrastimare le proprie capacita previsionali, le proprie abilita e le proprie conoscenze,

quindi ad avere un’eccessiva sicurezza nei propri mezzi. Questi tipi di errore sono stati

confermati da molti esperimenti di psicologia cognitiva e hanno una grande importanza

in campo finanziario perche possono contribuire a determinare fenomeni importanti come

l’eccessivo volume di scambi o la propagazione di bolle speculative. L’overconfidence ha

poi una serie di altre manifestazioni, quali l’“effetto meglio della media” e quello relativo

all’“illusione del controllo”. Nel primo caso ci si riferisce al fatto che le persone ritengono

di avere capacita superiori alla media, mentre il tema dell’illusione del controllo si mani-

festa invece nella convinzione di poter controllare eventi che oggettivamente sfuggono al

controllo diretto come, ad esempio, l’andamento del mercato azionario.

Se l’iper-ottimismo e l’overconfidence possono condurre a commettere errori prima o

durante il processo di elaborazione e gestione delle informazioni, esistono errori cognitivi

anche successivamente alla decisione di investimento. A tale riguardo, due sono gli errori

tipici: l’errore di attribuzione e l’errore del “senno di poi” o del giudizio retrospettivo.

Il primo si riferisce al fatto che gli individui tendono ad incolpare altri per gli errori di

scelta commessi e, al contrario, lodare se stessi per le decisioni andate a buon fine. Il

1Si noti come spesso errori cognitivi ed errori emozionali siano psicologicamente collegati. Nelle scienzemediche, ad esempio, esiste un’ampia letteratura che sottolinea come le emozioni giocano un ruolo centralenel processo con cui si formano i ricordi degli esseri umani.

214

9. FINANZA COMPORTAMENTALE I. Errori comportamentali ed euristiche

secondo, invece, consiste nel pensare che l’esito di un determinato evento fosse ovvio e

prevedibile gia al momento in cui viene presa la decisione, mentre in realta era giustificabile

e comprensibile solo a posteriori.

Errori emozionali. Accanto agli errori cognitivi, nel processo decisionale compaiono

altri fattori appartenenti alla sfera emotiva dell’investitore, anch’essi di assoluta rilevan-

za. Una delle emozioni piu importanti e costituita dalla paura del rimpianto che deriva

dalla sofferenza che provoca rendersi conto di aver fatto una scelta sbagliata. Sebbene il

rimpianto, per sua natura, si verifica ex-post, puo condizionare la scelta anche ex-ante.

La paura di prendere una decisione sbagliata, e poi di rimpiangerla, puo infatti bloccare

gli investitori e impedire loro di scegliere. Inoltre, poiche il rimpianto ha un impatto psi-

cologico piu forte del rammarico, che si prova per non aver preso una decisione che invece

si sarebbe rivelata corretta, il primo puo condurre del tutto all’inazione. Un meccanismo

mentale di difesa dal rimpianto che puo acquisire un ruolo determinante sul funzionamento

dei mercati finanziari (ad esempio nel caso di formazione di bolle speculative) e costituito

dai comportamenti mimetici o gregari (herd behaviour), che consistono nell’omologazione

a determinati comportamenti di massa. Seguire cio che fanno gli altri ci offre infatti la

possibilita di condividere gli sbagli, riducendo cosı il rimpianto e i suoi effetti negativi.

Altro importante fattore che condiziona la scelte degli investitori appartenente alla

sfera emotiva e l’avversione all’ambiguita, atteggiamento tipico degli individui a rifiutare

situazioni ambigue, nonche l’attitudine a preferire rischi conosciuti a rischi sconosciuti.

Parzialmente connesso con questo aspetto e in campo finanziario il fenomeno dell’home

bias, consistente nel preferire gli investimenti geograficamente vicini (nazionali) che si

crede di conoscere meglio o a cui ci sentiamo affettivamente piu legati, rinunciando pero

in questo modo a sfruttare appieno i benefici connessi alla diversificazione internazionale

del portafoglio di investimento.

Il punto centrale della finanza comportamentale e quello di sottolineare come, data

la complessita delle decisioni che gli investitori si trovano ad affrontare, essi ricorrono a

“scorciatoie” mentali note come euristiche, che sono guidate dai pregiudizi/errori (bias)

discussi precedentemente. Queste “euristiche” derivano dal fatto che spesso gli individui

prendono decisioni su base intuitiva. La valutazione di un particolare evento (investi-

mento) non segue regole matematico-statistiche come vorrebbe la teoria tradizionale, ma

avviene a livello psicologico tramite l’assegnazione di valori affettivi che possono essere

positivi o negativi. Tre euristiche che intervengono nelle fasi di raccolta ed elaborazioni

delle informazioni giocano un ruolo particolarmente rilevante nelle scelte di investimento:

la disponibilita, la rappresentativita e l’ancoraggio.

215

I. Errori comportamentali ed euristiche 9. FINANZA COMPORTAMENTALE

L’euristica della disponibilita interviene nel processo di raccolta delle informazioni e

implica che le persone tendano a fare maggiore affidamento sulle informazioni che sono

piu facilmente reperibili, anche se non sono necessariamente quelle piu rilevanti per la

decisione da prendere. In altre parole, un individuo stima la frequenza, la probabilita o

semplicemente le cause di un evento attraverso l’intensita con cui tali fatti o avvenimenti

sono disponibili nella sua memoria. Se da un lato questa euristica puo consentire di

giungere a conclusioni corrette, in quanto gli eventi che si verificano con maggior frequenza

sono spesso i piu facili da ricordare, dall’altro, poiche la disponibilita di informazioni e

influenzata anche da fattori che non sono legati all’effettiva frequenza di un evento, puo

anche condurre a decisioni sbagliate.

La disponibilita e particolarmente importante per valutare l’effetto dei mass media

nelle comunicazioni finanziarie. La diffusione di notizie su eventi accaduti ad altri sog-

getti vengono amplificate dalla stampa e la loro forza persuasiva finisce per condizionare

i comportamenti e le scelte degli individui portandoli spesso a concentrare i propri ac-

quisti su titoli con maggiore copertura mediatica o che hanno, nei giorni precedenti al-

l’acquisto, sperimentato significative variazioni di prezzo e, che per questi motivi, hanno

maggiormente attratto la loro attenzione.

Se la disponibilita interviene nel processo di raccolta di informazioni, le euristiche

della rappresentativita e dell’ancoraggio riguardano la fase di gestione ed elaborazione

delle informazioni. In particolare, la prima fa riferimento al fatto che le persone spesso

ragionano su base intuitiva. Osservando un evento, gli individui tendono ad associarlo a

uno stereotipo, ossia vedono quell’evento come rappresentativo di una classe piu generale

di eventi. Di conseguenza, la probabilita attribuita a un evento viene a dipendere da

quanto, nella mente dell’individuo, esso risulta appunto “rappresentativo” di una certa

classe di eventi. Cio, chiaramente, genera distorsione perche la percezione pubblica di

quanto un evento sia rappresentativo di un certo stato del mondo puo essere scarsamente

correlata con la probabilita effettiva che tale stato del mondo si realizzi.

Nei mercati finanziari, la distorsione nel valutare le probabilita oggettive degli eventi si

puo evidenziare particolarmente nei momenti di forti emozioni, sia in periodi di espansione

del mercato, sia in situazioni di crisi e instabilita, che portano gli individui a comporta-

menti di ansia e panico. In particolare, la rappresentativita puo condurre all’overreaction

dei prezzi azionari, ossia al fatto che i prezzi delle attivita risultano reagire eccessivamente

al sopraggiungere di nuove informazioni (si veda il Capitolo 8). All’iniziale sovrareazione,

che porta i prezzi a “schizzare” molto piu in alto del valore fondamentale, segue poi una

graduale correzione al ribasso, in quanto performance positive di medio termine porte-

rebbero gli investitori a fare considerazioni di lungo termine eccessivamente ottimistiche

riguardo al rendimento del titolo. Cio da luogo a una reazione spropositata rispetto

216

9. FINANZA COMPORTAMENTALE II. Evidenza sperimentale e teoria del prospetto

a quella opportunamente connessa al fondamentale, con la correzione (reversal) che ne

consegue in seguito.

L’ancoraggio, infine, e un modello di distorsione cognitiva che si esplica attraverso la

consuetudine degli agenti economici impegnati nel risolvere un problema o nel prendere

una decisione ad ancorarsi a un’informazione ritenuta saliente o a un’ipotesi iniziale. Tale

“ancora” puo derivare dal valore assunto precedentemente da un certo fenomeno, dal

modo in cui il problema e presentato o da un’informazione casuale. Sebbene poi l’ancora

iniziale possa essere rivista e riconsiderata per giungere alla decisione finale, tuttavia,

in genere, le revisioni sono insufficienti e la decisione finale risultera cosı “sbilanciata”

rispetto all’ipotesi di partenza.

Anche l’ancoraggio puo contribuire a spiegare importanti fenomeni spesso riscontrati

nell’ambito dei mercati finanziari quali, ad esempio, quelli di overreaction e di under-

reaction, legati entrambi a loro volta a un altro fenomeno noto come conservatorismo,

facilmente riscontrabile nel comportamento degli analisti finanziari. Questi ultimi, infat-

ti, spesso partono con stime iniziali sulle caratteristiche di un’impresa e, in particolare,

sulla possibilita che questa possa ottenere profitti positivi. Quando poi si diffondono nuove

informazioni a tale riguardo, l’analista tende a leggerle sulla base delle probabilita stimate

inizialmente; se le nuove informazioni sono positive e confermano le stime iniziali, la rea-

zione dell’analista tendera all’ottimismo esagerato, generando fenomeni di overreaction.

Al contrario, se le stime iniziali erano negative, una nuova informazione, benche positiva,

portera l’analista a rivedere la sua valutazione in modo conservativo, sottostimando la

possibilita che l’impresa possa generare in futuro profitti significativi, con il conseguente

fenomeno di underreaction.

II Evidenza sperimentale e approcci comportamentali alle scelte

in condizioni di incertezza: la teoria del prospetto

La teoria dell’utilita attesa, analizzata nel Capitolo 2, descrive e analizza il comporta-

mento razionale di soggetti chiamati a scegliere in condizioni di incertezza (o di rischio)

e costituisce il fondamento teorico dei modelli della finanza tradizionale. Come discusso

nel paragrafo precedente, numerosi esperimenti di psicologia cognitiva hanno dimostrato

pero che le scelte degli esseri umani, comprese quelle in campo finanziario, violano spes-

so i principi della razionalita economica. Alla luce di cio, gli psicologi israeliani Daniel

Kahneman e Amos Tversky hanno esplicitamente contestato la teoria dell’utilita attesa di

Von Neumann e Morgenstern intesa come teoria “descrittiva”, cioe mirante a fornire una

217

II. Evidenza sperimentale e teoria del prospetto 9. FINANZA COMPORTAMENTALE

descrizione di come gli individui effettivamente si comportano di fronte a una decisione.2

I loro lavori si sono concentrati, da un lato, sullo studio dell’effettivo giudizio umano in

condizioni di incertezza, con la tipica adozione di procedimenti euristici semplificati e il

conseguente emergere di errori e distorsioni (bias), e, dall’altro lato, sullo sviluppo di una

teoria della scelta vera e propria basata sull’evidenza empirica e alternativa a quella del-

l’utilita attesa. Tale teoria prende il nome di teoria del prospetto (prospect theory).

Quest’ultima rappresenta il fondamento della finanza comportamentale, cosı come di mol-

te altre branchie dell’approccio comportamentale alla teoria economica.3 In particolare,

la teoria del prospetto enfatizza alcune violazioni principali di quella dell’utilita attesa

che possono essere ricondotte ai seguenti fenomeni, in parte collegati tra loro: i) l’effetto

contesto; ii) l’effetto certezza; iii) l’effetto riflesso e l’avversione alle perdite; e iv) l’effetto

isolamento.

L’effetto contesto (framing) esprime il fatto che il contesto in cui gli individui

si trovano a effettuare le proprie scelte gioca un ruolo determinante sulla scelta stessa.

In particolare, il modo in cui il problema viene presentato influisce su come l’individuo

percepisce il punto di partenza (o “status quo”), rispetto a cui valutare i possibili esiti

delle proprie azioni, il che puo condurre a scelte diverse per situazioni identiche, sebbene

presentate in modo differente. Cio contrasta chiaramente con la teoria dell’utilita attesa,

in base alla quale gli individui, indipendentemente da come gli oggetti di scelta in condi-

zioni di incertezza (lotterie) sono presentati, scelgono sempre la lotteria con la piu elevata

utilita attesa. Il seguente celebre esperimento realizzato da Kahneman e Tversky su due

campioni di soggetti chiarisce meglio la questione.4

Esempio 47 (Effetto contesto)

A due distinti gruppi di individui veniva posto separatamente il seguente problema chie-

dendo ai partecipanti cosa avrebbero fatto se la scelta fosse dipesa da loro: negli Stati

Uniti sta per giungere una nuova malattia proveniente dall’Asia, sono a rischio le vite di

600 persone.

Al primo gruppo veniva chiesto di scegliere uno tra due programmi sanitari (Program-

ma A e Programma B) che avrebbero garantito rispettivamente i seguenti risultati:

Programma A: 200 persone si salvano;

2Ovviamente, diversa e la questione relativa al valutare la teoria nella prospettiva di stabilire lecondizioni ideali (“normative”) secondo cui una decisione puo essere definita “razionale”. Su questoaspetto, si rimanda alla discussione nel paragrafo conclusivo di questo capitolo.

3Kahneman e stato insignito del premio Nobel per l’economia nel 2002. E’ solo la tradizione dell’Ac-cademia svedese di non attribuire il premio alla memoria a individuare il solo Khaneman, e non ancheTversky scomparso nel 1996, come destinatario del premio.

4Tale esperimento e noto come Problema della malattia asiatica (Asian Disease Problem).

218


Programma B: 1/3 di probabilita di salvare tutti, 2/3 di probabilita di non salvare

nessuno.

Al secondo gruppo veniva invece chiesto di scegliere tra i programmi sanitari C e D,

con i rispettivi risultati:

Programma C: 400 persone muoiono;

Programma D: 1/3 di probabilita che nessuno muoia, 2/3 di probabilita che muoiano

tutti.

Sebbene dal punto di vista di contenuto i programmi A e B sono del tutto equivalenti

rispettivamente ai programmi C e D, nell’esperimento di Kahneman e Tversky le risposte

dei due gruppi sono state profondamente diverse. Nel primo gruppo la maggioranza dei

soggetti ha scelto il programma A (72% dei soggetti), mentre nel secondo gruppo la scelta

prioritaria (78% dei soggetti) e caduta sul programma D.

Nell’esempio appena considerato, il modo (contesto) con cui i programmi sono pre-

sentati ha giocato quindi un ruolo rilevante nella scelta dei soggetti. E evidente, infatti,

che al primo gruppo e stato sottoposto un messaggio che focalizzava su elementi positivi,

mentre al secondo gruppo e stato esposto a contenuti negativi. Si puo notare, inoltre,

che nel primo caso i soggetti si sono orientati verso un risultato di tipo certo, mentre nel

secondo caso la polarizzazione delle risposte e invece avvenuta intorno alla soluzione di

tipo probabilistico.

L’effetto certezza (certainty effect) consiste invece nel fatto che gli individui at-

tribuiscono un peso eccessivo, rispetto a quanto postulato dalla teoria dell’utilita attesa,

ai risultati (favorevoli) che sono considerati certi rispetto a quelli che sono soltanto pro-

babili. L’esempio forse piu noto di tale constatazione e dovuto al fisico ed economista

francese Maurice Allais, replicato successivamente in molti altri esperimenti condotti da

Kahneman e Tversky.

Esempio 48 (Paradosso di Allais)

Ad alcuni soggetti veniva proposta la scelta tra le seguenti due lotterie:

LA = (0, 1000, 5000;1

100,

89

100,

10

100) e LB = (1000; 1)

e la maggioranza dei soggetti sceglieva la somma certa 1000, cioe preferiva LB a LA.

Successivamente, agli stessi soggetti veniva presentata la scelta tra le due seguenti

lotterie:

LC = (0, 5000;90

100,

10

100) e LD = (0, 1000;

89

100,

11

100)

219


e la scelta modale era per la lotteria C, cioe la maggioranza dei soggetti preferiva LC a

LD.

E’ facile verificare che la scelta di LB nel primo caso e quella di LC nel secondo caso

non sono tra loro coerenti in base alla teoria dell’utilita attesa. Infatti, si noti che nella

prima scelta la maggiore probabilita di vincere 1000 con LB rispetto a LA e pari a 0,11;

quindi, preferire LB a LA implica che:

0, 11 · u(1000) > 0, 10 · u(5000).

Al contrario, nella seconda scelta, preferire LC a LD implica che:

0, 11 · u(1000) < 0, 10 · u(5000)

il che e in contraddizione con la scelta precedente.

Il paradosso di Allais puo essere spiegato appunto con il fatto che gli individui

tendono a non valutare in modo corretto le probabilita oggettive, apprezzando in modo

sproporzionato eventi certi e trascurando del tutto invece le differenze di realizzazione di

eventi molto poco probabili. Cio puo anche portare a decisioni piu rischiose quando le

probabilita delle scelte rilevanti sono tutte molto basse.5

L’effetto certezza risulta spesso evidente in campo finanziario, ad esempio, nelle scel-

te del portafoglio di investimento: gran parte della ricchezza di molti investitori viene

concentrata in attivita con rendimento certo o con bassa volatilita a scapito invece di

rendimenti di piu lungo termine. Inoltre, quando le probabilita di successo sono molto

basse, l’attenzione degli investitori si concentra principalmente sul guadagno potenziale

trascurando di considerare le probabilita oggettive con cui questo puo realizzarsi, potendo

cosı contribuire alla formazione di bolle finanziarie.

Un altro tipo di violazione sistematica della teoria standard dell’utilita attesa a costi-

tuito dall’effetto riflesso (reflection effect). Nella teoria standard, le preferenze degli

individui sono relative alla ricchezza finale in termini assoluti e ne determinano l’atteg-

giamento nei confronti del rischio in maniera stabile. Un individuo puo essere avverso,

neutrale o propenso al rischio, ma non avverso al rischio in determinati casi e propenso in

altri. Al contrario, l’effetto riflesso (anch’esso derivato sulla base di numerosi esperimenti

empirici) afferma che gli individui valutano i guadagni e le perdite rispetto a un determi-

nato punto di riferimento (tipicamente lo status quo, la situazione nella quale ci si trova

in quel momento) e tendono dunque a prendere decisioni in base a variazioni di ricchezza

5Tecnicamente, questo implica che venga meno la proprieta di linearita nelle probabilita checaratterizza la teoria dell’utilita attesa.

220


e non tanto in base ai livelli assoluti; cio porta ad avere un atteggiamento nei confronti

del rischio che varia a seconda che si stiano valutando guadagni o perdite potenziali.

In particolare, Khaneman e Tversky conducono numerosi esperimenti che dimostrano

come di fronte a problemi di scelta “simmetrici”, in cui alla probabilita di conseguire

guadagni si sostituisce quella di subire una perdita di pari ammontare, le preferenze degli

individui cambino radicalmente: nelle loro scelte, gli stessi individui mostrano un atteg-

giamento di avversione al rischio nei guadagni e di propensione al rischio nelle perdite.

Ad esempio, se tra la lotteria (3000, 100%) e quella (0, 4000; 20%, 80%) preferiscono la

prima alla seconda, tra (−3000, 100%) e (0,−4000; 20%, 80%) preferiscono la seconda alla

prima. Si noti anche come l’effetto riflesso contribuisce a qualificare meglio l’atteggia-

mento degli individui verso la (in)certezza. In particolare, non e sempre vero cio che

potrebbe desumersi da un’interpretazione poco attenta dell’effetto certezza, cioe che la

certezza sia generalmente desiderabile. Piuttosto, cio che emerge e che la certezza aumenti

l’indesiderabilita delle perdite cosı come l’attrattivita dei guadagni.6

Oltre a mutare il proprio atteggiamento nei confronti del rischio di fronte a (potenziali)

perdite e guadagni, gli individui, come largamente confermato dall’evidenza sperimenta-

le, di fronte a una perdita subiscono un dispiacere superiore del piacere che ottengono in

virtu di una vincita dello stesso ammontare. In altri termini, le perdite hanno propor-

zionalmente un impatto maggiore dei guadagni nel guidare le loro scelte. Tale fenomeno

prende il nome di avversione alle perdite (loss aversion). In particolare, Khaneman

e Tversky deducono questa proprieta dei comportamenti degli individui dal fatto che, ti-

picamente, le persone non accettano di “giocare” lotterie del tipo (−100, 110; 50%, 50%).

Come vedremo piu dettagliatamente nel paragrafo successivo, anche l’avversione alle per-

dite, cosı come l’effetto riflesso, giocano un ruolo particolarmente rilevante nell’ambito dei

mercati finanziari, contribuendo a spiegare importanti fenomeni che si osservano in tali

mercati.

Infine, l’effetto isolamento (isolation effect), riguarda la tendenza che hanno gli

individui di scomporre ogni alternativa nelle sue componenti piu importanti, trascurando

gli elementi comuni tra piu opzioni e concentrando l’attenzione e la successiva decisio-

ne unicamente sugli aspetti differenziali. Anche in questo caso, un esempio puo con-

tribuire a chiarire la natura dell’effetto isolamento e, soprattutto, a evidenziarne la sua

incompatibilita con la teoria dell’utilita attesa.

6Cio emergeva chiaramente anche dal Problema della malattia asiatica, che abbiamo analizzato nell’E-sempio 47 nel descrivere l’effetto contesto. Quando il problema veniva presentato enfatizzando gli aspettipositivi (guadagno), la maggioranza dei soggetti preferiva la certezza. Se, viceversa, era presentatoevidenziando gli aspetti negativi (perdita), la maggioranza preferiva il risultato incerto.

221


Esempio 49 (Effetto isolamento)

Ad alcuni soggetti era posta la seguente offerta: ti sara donata una somma pari a 1000 e

poi dovrai scegliere tra le seguenti due lotterie:

LA = (0, 1000; 50%, 50%) e LB = (500; 100%)

e la maggioranza dei soggetti sceglieva LB.

Agli stessi soggetti veniva poi posta quest’altra offerta: ti sara donata una somma pari

a 2000 e poi dovrai scegliere tra le seguenti due lotterie:

LC = (−1000, 0; 50%, 50%) e LD = (−500; 100%)

e la maggioranza dei soggetti sceglieva LC .

Dal risultato dell’esperimento emergono due aspetti. In primo luogo, e confermata la

presenza di un effetto riflesso: nelle loro scelte la maggioranza dei soggetti si e dimostrata

avversa al rischio nei guadagni e propensa al rischio nelle perdite. In secondo luogo, si noti

come considerati in termini di risultati finali (cioe considerando anche il bonus iniziale),

i due problemi di scelta sono identici. Infatti (sommando i bonus iniziali alle lotterie):

LA = (1000, 2000; 50%, 50%) = LC e LB = (1500; 100%) = LD

questo perche il secondo problema e semplicemente ottenuto dal primo aggiungendo una

somma pari a 1000 come bonus iniziale e sottraendo una stessa somma (1000) da tutti

i risultati delle due lotterie. Chiaramente, le risposte modali ottenute nei due problemi

sono incompatibili con la teoria dell’utilita attesa, la quale implica che a uno stesso livello

di ricchezza finale debba essere assegnata la stessa utilita, indipendentemente dal livello di

ricchezza iniziale dal quale e conseguita. In altri termini, per la teoria dell’utilita attesa,

se i soggetti dimostrano di preferire LB a LA, poiche LA = LC e LB = LD, avrebbero

anche dovuto preferire LD a LC .

L’apparente incongruenza nelle scelte dei soggetti che emerge nell’Esempio 49 si spiega

proprio con il fatto che, evidentemente, essi non hanno integrato il bonus con le lotterie

e questo in quanto il bonus era comune a entrambe le opzioni di ciascun problema. Non

tener conto del bonus conferma anche come cio che davvero rileva nell’effettuare la scelta

e la variazione della ricchezza (il guadagno o la perdita rispetto allo status quo) piuttosto

che il suo livello finale in termini assoluti (che include anche la ricchezza corrente).

Sulla base delle violazioni sistematiche della teoria dell’utilita attesa registrate nei

loro esperimenti, Khaneman e Tversky propongono una teoria alternativa delle scelte in

condizioni di incertezza che risulti coerente con tali violazioni, la prospect theory. In

222


particolare, nell’ambito della teoria del prospetto, la fase di valutazione (in cui a ciascuna

lotteria viene assegnato un valore) e scelta vera e propria, viene preceduta da una fase di

editing, in cui le varie lotterie vengono codificate, elaborate e rappresentate mentalmente,

dove quindi l’euristica individuale gioca un ruolo centrale. In effetti, per effetto della fase

di editing i veri oggetti di scelta non sono oggetti del mondo reale bensı diventano delle

vere e proprie rappresentazioni mentali e, alla fine, l’insieme delle lotterie effettivamente

valutate dall’individuo puo essere anche molto diverso da quello originario.7

Dopo la fase di editing, i soggetti valutano ognuna delle lotterie “elaborate mental-

mente” sulla base del seguente funzionale, che sostituisce la funzione di utilita attesa della

teoria standard:

Γ(L) = υ(W1−W )ω(π1)+υ(W2−W )ω(π2)+...+υ(Wm−W )ω(πm) =m∑

k=1

υ(Wk−W )ω(πk)

(9.1)

per cui una lotteria L1 e preferita a un’altra lotteria L2, e dunque L1 e scelta rispetto a

L2, se e solo se risulta Γ(L1) > Γ(L2).

Nell’Espressione (9.1), un ruolo centrale (che la differenzia in modo sostanziale dal-

l’utilita attesa Von Neumann-Morgenstern) e svolto dalle funzioni υ e ω che catturano

i risultati dei numerosi esperimenti empirici. In particolare, υ rappresenta una funzione

del valore che, coerentemente con l’effetto isolamento, e definita non sulla ricchezza finale

ottenuta nello stato k, Wk, ma su deviazioni da un certo punto di riferimento (referen-

ce point) che, in generale, puo essere rappresentato dalla ricchezza iniziale W , per cui

(Wk −W ) > 0 rappresenta un guadagno, mentre (Wk −W ) < 0 una perdita rispetto alla

ricchezza iniziale.8

Inoltre, in linea con l’effetto riflesso, υ e generalmente concava per (Wk −W ) > 0 e

convessa per (Wk −W ) < 0, esprimendo un atteggiamento di avversione al rischio nei

guadagni e propensione al rischio nelle perdite. Infine, si assume anche che tale funzione sia

piu inclinata nelle perdite che nei guadagni, cosı da catturare l’avversione alle perdite che

caratterizza le decisioni degli individui. In Figura 9.1 viene fornita una rappresentazione

7Tutto cio rappresentava una vera e propria novita nel contesto della teoria economica delle decisionima e del tutto naturale nel campo della psicologia cognitiva.

8In effetti, l’individuazione del reference point rispetto al quale valutare i guadagni (o le perdite)rappresenta un punto delicato della teoria, in quanto non chiarito perfettamente da Kahneman e Tversky.Ad esempio, in campo finanziario, i guadagni potrebbero essere valutati relativamente alla ricchezzacomplessiva dell’investitore oppure in termini di valore delle attivite finanziarie da esso possedute, ossiain termini di rendimento ottenuto su tali attivite. In questo secondo caso, inoltre, il guadagno derivante daun investimento potrebbe essere considerato semplicemente il conseguimento di un rendimento positivo,oppure di un rendimento in eccesso rispetto al tasso risk-free, oppure ancora di un rendimento in eccessorispetto a quello atteso.

223


grafica della funzione del valore, che ingloba tutte queste caratteristiche.9

guadagni perdite

valore, 𝜐

𝜐(∙)

reference point

Figura 9.1: Funzione del valore

La funzione ω, che rappresenta un distacco ancor piu marcato rispetto alla teoria stan-

dard, e invece detta funzione di ponderazione, in quanto trasforma (in modo non lineare)

le probabilita di ciascun evento in “pesi decisionali”; in funzione della probabilita che si

realizzi, a ciascun evento viene dato un peso piu o meno grande nella valutazione della

lotteria che lo comprende. In primo luogo, si assume piuttosto naturalmente (e tradizio-

nalmente) che valga ω(0) = 0 e ω(1) = 1: a un evento che non puo verificarsi viene dato

peso zero, mentre a quello che si verifichera certamente peso uno. Peraltro, in generale,

si considera che la somma dei pesi sia inferiore a uno (tale proprieta viene definita sub-

certainty) e che: i) per eventi con probabilita molto basse vale che ω(πk) > πk, ossia gli

9Una possibile forma funzionale che consente di ottenere una funzione del valore analoga a quella dellafigura e υ(x) = xα per x ≥ 0 e υ(x) = −λ(−x)α per x < 0, dove x rappresenta il guadagno o la perditadell’individuo ((W−W ), per usare la simbologia utilizzata nella formula 9.1), mentre λ e α rappresentanodue parametri relativi alle sue preferenze (in particolare, il primo cattura il suo grado di avversione alleperdite).

224

9. FINANZA COMPORTAMENTALE III. Fenomeni osservati nei mercati finanziari

individui tendono a sovrapesare (rispetto alle probabilita effettive) gli eventi estremi;10

e ii) nell’intorno degli estremi ω(0) = 0 e ω(1) = 1, la funzione di ponderazione non e

definita (non e continua), per cui possono succedere cose “strane” nel senso che, per eventi

certi, il peso aumenta sproporzionatamente o, piu correttamente, in modo discontinuo e,

per eventi che non possono realizzarsi, diminuisce allo stesso modo. Una possibile rappre-

sentazione della funzione di ponderazione proposta da Kahneman e Tversky e presentata

in Figura 9.2.

probabilità, 𝜋

funzione di ponderazione 𝜔(𝜋)

0 1

peso 𝜔

0

1

Figura 9.2: Funzione di ponderazione

III Alcuni fenomeni osservati nei mercati finanziari spiegabili

dalla finanza comportamentale

Gia nelle sezioni precedenti di questo capitolo e stato sottolineato come i fondamenti

alla base dell’economia comportamentale contribuiscono a spiegare svariati eventi facil-

mente rintracciabili nell’ambito dei mercati finanziari. In questa sezione ci soffermeremo

piu dettagliatamente su come l’approccio comportamentale possa fornire utili indicazioni

per comprendere alcuni specifici fenomeni che hanno attratto particolare attenzione da

parte degli analisti finanziari, al punto da essere stati definiti dei veri e propri puzzle, in

quanto difficili da spiegare in base alla teoria standard.

10Kahneman e Tversky derivano questa ipotesi dalla constatazione che tipicamente molti individuiscelgono, da un lato, di stipulare contratti assicurativi e, dall’altro, di acquistare biglietti di lotterie,scelte difficilmente conciliabili sulla base della teoria dell’utilita attesa.

225

III. Fenomeni osservati nei mercati finanziari 9. FINANZA COMPORTAMENTALE

“Asset allocation puzzle” e behavioural portfolio theory

Il modello media-varianza delle scelte di portafoglio, analizzato dettagliatamente nel

Capitolo ??, prevede che gli investitori siano in grado di classificare e determinare la

combinazione ottima di attivita rischiose sulla base di due soli parametri: la media e

la varianza (o la deviazione standard) dei rendimenti. L’investitore razionale e quindi

in grado di selezionare l’insieme dei portafogli che si collocano sulla frontiera efficiente,

che a parita di rischio massimizzano il rendimento atteso e a parita di rendimento atteso

minimizzano il rischio. Il portafoglio scelto da un certo investitore dipendera poi dalle sue

preferenze, ossia dal suo atteggiamento nei confronti del rischio. Nell’ambito del modello,

tutto cio si “condensa” nel noto Teorema di separazione o del fondo comune (mutual fund

separation theorem), secondo cui tutti gli investitori con le stesse aspettative sulle medie,

le varianze e le covarianze dei rendimenti dei titoli allocano parte della loro ricchezza

in un’attivita rischiosa uguale per tutti e la restante parte nell’attivita priva di rischio,

mentre il grado di avversione al rischio determina il rapporto fra quanto viene investito

nell’attivita priva di rischio e quanto nella componente rischiosa. Inoltre, nel CAPM,

poiche si assume che tutti gli investitori condividano le stesse aspettative, la componente

rischiosa dell’investimento di ciascun investitore coincide con il portafoglio di mercato.

In un noto studio, Niko Canner, Gregory Mankiw e David Weil11 presentavano i dati

riportati nella seguente Tabella 9.1, corrispondenti ai suggerimenti di quattro ben noti

consulenti finanziari su come comporre un portafoglio di investimento, allocando la ric-

chezza da investire tra tre differenti classi di attivita (azioni, obbligazioni e liquidita), in

funzione del differente grado di rischio che l’investitore e disposto a tollerare. La questio-

ne che emerge dai dati della tabella e che le indicazioni dei consulenti finanziari violano

sistematicamente cio che ci si dovrebbe attendere in base al Teorema di separazione, de-

terminando quindi quello che e divenuto noto in letteratura come un vero e proprio asset

allocation puzzle .

11N. Canner, G. Mankiw e D. Weil, “An Asset Allocation Puzzle”, American Economic Review 87(1),1997.

226


Advisor % Rapporto

Rischio investimento Liquidita Obbligazioni Azioni Obbligazioni/Azioni

Fidelity

Basso 50 30 20 1, 50

Medio 20 40 40 1, 00

Alto 5 30 65 0, 46

Merrill Lynch

Basso 20 35 45 0, 78

Medio 5 40 55 0, 73

Alto 5 20 75 0, 27

Jane Bryant Quinn

Basso 50 30 20 1, 50

Medio 10 40 50 0, 80

Alto 0 0 100 0, 00

The New York Times

Basso 20 40 40 1, 00

Medio 10 30 60 0, 50

Alto 0 20 80 0, 25

Fonte: Canner, Mankiw e Weil (1997).

Tabella 9.1: Asset allocation puzzle

In particolare, il Teorema di separazione stabilisce che la proporzione fra azioni e ob-

bligazioni, che rappresentano le attivita rischiose considerate nella tabella, e che quindi

(secondo il CAPM) formano il portafoglio di mercato, debba rimanere costante, mentre

debba variare esclusivamente la proporzione fra la quota allocata al portafoglio di mercato

e quella alla liquidita, che rappresenta tra le tre attivita considerate nella tabella quella

priva di rischio.12 In particolare, all’aumentare del rischio tollerato dall’investitore (ossia

al diminuire del grado di avversione al rischio) dovrebbe aumentare la quota investita nel

portafoglio di mercato (senza pero modificarne la composizione tra azioni e obbligazioni)

e viceversa per portafogli piu conservativi, destinati a investitori piu avversi al rischio.

Invece, come emerge dai dati, la percentuale fra azioni e obbligazioni varia sia fra i porta-

fogli suggeriti dai diversi consulenti, sia fra i portafogli dedicati a investitori con diverse

preferenze (avversione al rischio) e, in particolare, all’aumentare della tolleranza al rischio,

aumenta la percentuale di azioni, mentre portafogli piu conservativi hanno una maggiore

12La liquidita e qui da intendere piu specificatamente come attivita scambiate nel mercato monetario,ossia titoli obbligazionari a breve termine emessi dallo Stato americano, quindi privi di rischio.

227


percentuale di obbligazioni. Sebbene Canner, Mankiw e Weil analizzino dettagliatamente

la possibilita che tale apparente anomalia possa essere risolta rimuovendo semplicemente

le ipotesi semplificatrici alla base del CAPM (assenza di un’attivita priva di rischio, limiti

alle vendite allo scoperto e/o alla possibilita di indebitarsi senza limiti al tasso risk-free,

e altre ancora), tutto cio non riesce a risolvere il puzzle in modo convincente e porta gli

autori a concludere che e difficile offrirne una spiegazione utilizzando esclusivamente la

teoria standard con investitori perfettamente razionali.

Una spiegazione piu convincente dell’asset allocation puzzle puo essere fornita dalla

teoria comportamentale delle scelte di portafoglio (behavioral portfolio theo-

ry), proposta per primi da Hers Shefrin e Meir Statman, che si basa sui fondamenti della

finanza comportamentale discussi precedentemente e, in particolare, sulla teoria del pro-

spetto e sul concetto (euristica) del mental accounting. Quest’ultimo concetto, elaborato

dall’economista Richard Thaler13, si fonda a sua volta sulla funzione del valore della pro-

spect theory (in particolare sulle sue proprieta di avversione alle perdite e “inversione”

dell’atteggiamento nei confronti del rischio rispetto a un reference point) e prevede che le

scelte economiche siano mediate da un vero e proprio sistema di conti mentali nei quali gli

individui tendono a suddividere il denaro, creando differenti “budget” per il suo utilizzo e

suddividendo in categorie la ricchezza e il reddito.14 Nell’ambito di ciascun conto menta-

le, poi, gli individui tendono a identificare specifici reference points, rispetto ai quali (con

un atteggiamento che ricalca la funzione del valore della teoria del prospetto) valutano

separatamente i risultati ottenuti con le proprie scelte. La teoria del mental accounting

si presta a essere applicata a molti ambiti delle scelte economiche, dalle decisioni di spesa

a quelle di risparmio. In particolare, nell’ambito specifico delle scelte di portafoglio, gli

investitori detengono portafogli “segmentati” e ciascun segmento del portafoglio, a cui

tipicamente sono allocati titoli finanziari aventi natura diversa, rispecchia uno specifico

“conto mentale”.

Una sintesi del modo in cui gli investitori formano i loro portafogli di investimento in

base a tale approccio e rappresentata dallo schema noto come piramide stratificata degli

investimenti, in cui i “conti mentali” giocano un ruolo estremamente rilevante. Secondo

tale schema, di cui e fornita una possibile rappresentazione in Figura 9.3, gli investitori

formano i portafogli suddividendoli in differenti strati, in modo da formare una piramide.

A ciascuno strato sono allocate determinate attivita finanziarie con lo scopo di conseguire

specifici obiettivi, che riflettono i diversi bisogni emozionali dell’investitore. Alla base

13Thaler ha ottenuto il premio Nobel per l’Economia nel 2017 per i suoi contributi all’economiacomportamentale.

14Cio contrasta con il principio di fungibilita del denaro, adottato dalla teoria economica classica, in baseal quale le risorse monetarie sono sostituibili perfettamente a prescindere dalla fonte da cui provengonoo dall’impiego a cui sono destinate.

228


della piramide, che riflette tipicamente il bisogno di sicurezza, sono destinate maggiori

risorse finanziarie ai fini di protezione, mentre man mano che si sale verso il vertice si

riservano importi sempre minori per investimenti caratterizzati da un livello di rischio

maggiore con lo scopo di ricercare potenziali guadagni.

certificati di deposito, conti di risparmio,titoli di Stato a breve termine

titoli a medio-lungo termine del debito pubblico,obbligazioni società solide finanziariamente

azioni,obbligazioni ad alto rendimento

strumenti di finanza derivata

Strato 1

Strato 2

Strato 3

Strato 4

LIQUIDITA’

SICUREZZA

CRESCITA

SPECULATIVO Obiettivo

Obiettivo

Obiettivo

Obiettivo

Figura 9.3: Piramide stratificata degli investimenti

Piu specificatamente, come rappresentato in figura, gli investimenti alla base della

piramide hanno essenzialmente lo scopo di garantire la liquidita necessaria per soddisfa-

re bisogni primari e fondamentali, come ad esempio pagare l’affitto o la rata del mutuo

della casa, le spese correnti, ecc., e possono consistere in certificati di deposito, conti

di risparmio o titoli di Stato a breve termine, ossia in titoli sostanzialmente privi di ri-

schio. Successivamente, negli strati immediatamente pu alti della piramide, si inseriscono

obbligazioni statali a piu lungo termine e obbligazioni societarie in grado di fornire mag-

giori rendimenti, ma con rischio sempre contenuto. Agli strati ancora piu alti, invece, gli

investitori allocano gli investimenti maggiormente rischiosi, consistenti in azioni e obbli-

gazioni ad alto rendimento (high-yield bonds), che hanno lo scopo di generare una crescita

del valore del portafoglio. In ultimo, al vertice della piramide si collocano investimenti

estremamente rischiosi, come ad esempio i derivati utilizzati a fini speculativi (e non di

229


copertura). Chiaramente, le quote destinate a ciascun investimento nei diversi strati della

piramide variano in base al grado di avversione al rischio di ciascun individuo, ma la

struttura a strati via via decrescenti in base alla rischiosita degli strumenti utilizzati e che

distingue tra i bisogni emozionali (esigenza di liquidita, sicurezza dell’investimento, ricer-

ca di opportunita di crescita di valore del proprio portafoglio, ecc.) tipici degli investitori

sembra adattarsi bene alla realta vissuta da molti individui.

L’elemento essenziale che contraddistingue il modo con cui si realizzano le scelte di

investimento descritto in precedenza e dunque rappresentato dal fatto che tramite la seg-

mentazione del portafoglio ciascun investitore tende a suddividere l’intero investimento

in conti mentali diversi. La scelta tra azioni e obbligazioni, ad esempio, proprio perche

titoli tipicamente destinati a conti mentali (segmenti del portafoglio) diversi, viene fatta

in modo indipendente, il che conduce l’investitore a trascurare la covarianza tra i rendi-

menti delle prime rispetto a quelli delle seconde. Analogamente, un individuo potrebbe

decidere di investire sia in titoli stranieri che domestici, destinando i primi in un con-

to mentale e i secondi in un altro. A causa della separazione in conti mentali distinti,

potrebbe quindi percepire i titoli esteri come altamente rischiosi, non tenendo conto del-

l’effetto della covarianza tra le due tipologie di titoli sul rischio totale di portafoglio (il

che contribuisce a spiegare anche il fenomeno dell’home bias effect). Tutto cio, da un

lato, contraddice uno dei precetti fondamentali del modello media-varianza e del Teorema

di separazione, in base al quale la componente rischiosa dell’investimento (che include

la scelta di azioni e obbligazioni, domestiche e straniere) dovrebbe essere fatta nel suo

complesso tramite un’attenta valutazione, volta a garantire la migliore diversificazione

del portafoglio complessivo, di come i rendimenti di tutte le attivita rischiose (siano esse

azioni o obbligazioni) sono tra loro correlati. D’altro lato, pero, puo fornire una spiega-

zione convincente dell’asset allocation puzzle, che emerge dallo studio di Canner, Mankiw

e Weil. Trascurando il ruolo della diversificazione tra titoli destinati a strati diversi del

portafoglio nel ridurre il rischio complessivo di investimento, puntare a rendimenti piu

elevati comporta necessariamente scegliere attivita che si collocano negli strati piu alti

(considerati piu rischiosi) della piramide, ossia aumentare la quota investita in azioni ri-

spetto a quella in obbligazioni. All’aumentare del grado di rischiosita dell’investimento

che si intende realizzare, quindi, il rapporto tra obbligazioni e azioni diminuisce.

Il “disposition effect”, ossia vendere i titoli “vincenti” e continuare a detenere quelli

“perdenti”

Un altro fenomeno che ha attratto particolare attenzione in finanza e quello noto

come effetto disposizione (disposition effect) che consiste nella tendenza a vendere

230


“troppo presto” gli investimenti in guadagno e a tenere “troppo a lungo” quelli in perdita.

Tale tendenza ha dato prova di essere un fenomeno particolarmente robusto nell’ambito

dei mercati finanziari, che riguarda le scelte di portafoglio sia di investitori individuali,

sia di investitori istituzionali, quali i fondi comuni di investimento.

Per capire la natura del fenomeno, consideriamo l’esempio seguente.15 Supponiamo

che un investitore detenga in portafoglio cinque titoli azionari: A, B, C, D e E. Sui titoli

A e B sta ottenendo un potenziale (ossia “sulla carta”) guadagno, in quanto il prezzo di

mercato dei titoli e maggiore di quello a cui l’investitore li ha acquistati, mentre sui titoli

C, D e E sta ottenendo una potenziale perdita (il loro prezzo di mercato e inferiore a

quello a cui li ha acquistati). Nello stesso momento, un altro investitore ha in portafoglio

tre titoli azionari: F , G e H. Sui titoli F e G sta ottenendo un (potenziale) guadagno,

mentre sul titolo H una (potenziale) perdita. Supponiamo che il primo investitore decida

di vendere i titoli A e C, realizzando un guadagno sul primo e una perdita sul secondo.

Lo stesso giorno (o il giorno successivo) il secondo investitore decide di liquidare la sua

posizione rispetto al titolo F , realizzando un guadagno.

Al termine di queste operazioni, due potenziali guadagni sono stati effettivamente

realizzati dagli investitori e altri due sono rimasti sulla carta, mentre una sola perdita po-

tenziale e stata effettivamente realizzata e le altre tre sono rimaste sulla carta. Definendo

con RG e RP , rispettivamente, il numero di guadagni e di perdite effettivamente realiz-

zati e con PG e PP il numero dei guadagni e delle perdite potenziali che rimangono solo

sulla carta, avremo che la proporzione di guadagni realizzati (PGR) e quella di perdite

realizzate (PPR) risulteranno rispettivamente:

PGR =RG

RG+ PG

PPR =RP

RP + PP.

Il disposition effect puo essere quindi quantificato come DE = PGR−PPR e saremo

in presenza di tale fenomeno se vale DE > 0, ossia PGR > PPR (e questo il caso del

nostro esempio dove PGR = 1/2 e PPR = 1/4, per cui DE = 1/4).

Ma perche il disposition effect rappresenta un’anomalia difficile da spiegare in base

ai modelli di scelta razionale degli investitori? La teoria tradizionale (quale il CAPM)

insegna che la scelta di acquistare o vendere un titolo debba dipendere non da quella che

e stata la performance passata del titolo ma da quella che ci si aspetta sara la sua perfor-

mance futura. Piu specificatamente, titoli ritenuti “sottoprezzati”, per cui ci si aspetta

che in futuro il prezzo salga, dovrebbero essere mantenuti in portafoglio (possibilmente,

15Esso e tratto da un noto studio sul disposition effect : T. Odean, “Are Investors Reluctant to RealizeTheir Losses?”, Journal of Finance 53(5), 1998.

231


incrementandone la quota detenuta), mentre titoli “sovraprezzati” dovrebbero essere ven-

duti. In tal senso, consideriamo un titolo che abbia fatto registrare un aumento del prezzo

rispetto al momento in cui un investitore l’ha acquistato, ma al contempo immaginiamo

che l’investitore continui a ritenere che il titolo sia comunque sottoprezzato rispetto al suo

prezzo di equilibrio. In questo caso, la scelta razionale consisterebbe non nel vendere il

titolo (in modo da realizzare il guadagno), bensı nel continuare a detenerlo in portafoglio

nella prospettiva di ottenere un maggior guadagno futuro. Viceversa, se un titolo ha fatto

registrare un calo di prezzo ma si ritiene che sia ancora sovraprezzato, la scelta razionale

sarebbe di vendere il titolo, sebbene cio comporti realizzare una perdita (comunque piu

bassa rispetto a quella che si avrebbe detenendo il titolo fino a che il mercato non e tornato

in equilibrio).

Altri fattori poi possono giocare un ruolo nell’etichettare l’effetto disposizione (se

osservato dalla prospettiva di un agente perfettamente razionale) come un’anomalia di

mercato. Come e stato evidenziato nel capitolo precedente, i mercati azionari mostrano

spesso un andamento caratterizzato dalla presenza di un effetto momentum: le azioni

che hanno avuto nel recente passato migliori (peggiori) performance continuano, per un

certo periodo di tempo, ad avere una performance migliore (peggiore) rispetto alla me-

dia. In virtu di cio, gli investitori dovrebbero concentrare le vendite tra quei titoli che

hanno avuto performance peggiori, mentre l’effetto disposizione indica che gli investitori

fanno esattamente il contrario. Infine, anche considerando il ruolo delle imposte, la scelta

di vendere i titoli “vincenti” e continuare a tenere quelli “perdenti” risulta difficile da

spiegare. Infatti, i guadagni in conto capitale sulle attivita finanziarie sono tassati solo

quando il guadagno viene effettivamente realizzato, il che dovrebbe spingere gli investitori

a ritardare la vendita di un titolo “vincente”. Al contrario, la realizzazione di una perdita

in conto capitale puo consentire di ottenere un vantaggio fiscale, il che dovrebbe spingere

gli investitori a vendere i titoli “perdenti”.

Ecco quindi che per spiegare l’effetto disposizione che si osserva nella realta puo es-

sere necessario ricorrere ai fondamenti alla base della finanza comportamentale tra cui,

in particolare, la teoria del prospetto, nonche considerare il ruolo che giocano le emo-

zioni, in particolare il rimpianto e l’orgoglio, nelle decisioni finanziarie. In particolare,

una spiegazione del disposition effect emerge chiaramente se consideriamo la forma della

funzione del valore nella teoria del prospetto. Poiche gli individui sono propensi al rischio

nella regione delle perdite (ossia, la funzione del valore e convessa in tale regione) e la

perdita si realizza nel momento in cui il titolo viene venduto, essi tenderanno a rimandare

la vendita di un titolo in perdita (“sulla carta”) nella speranza di poterla annullare nel

corso del tempo, anche se questo espone al rischio che la perdita aumenti ulteriormente.

Inoltre, non vendere subito il titolo puo anche consentire di procrastinare il momento in

232


cui il rimpianto (con il dispiacere ad esso collegato) di aver fatto un investimento sbagliato

si manifesta definitivamente. Chiaramente, considerando che la funzione del valore cam-

bia concavita nella regione dei guadagni e le persone dimostrano di diventare avverse al

rischio in tale regione, gli investitori tendono invece a vendere rapidamente (troppo pre-

sto) i titoli “vincenti”, cosı da godere immediatamente del piacere e l’orgoglio derivante

dalla realizzazione dei guadagni e non rischiando invece di perderli nel corso del tempo

(anche quando la situazione e tale per cui e verosimile che i guadagni possano aumentare

ulteriormente).

Si noti, inoltre, che in questa prospettiva anche la teoria del mental accounting gioca

un ruolo importante. Infatti, se gli individui considerassero gli investimenti nel loro com-

plesso (come la finanza classica suggerisce), le perdite subite su alcuni titoli potrebbero

non produrre particolare dispiacere se compensate (meglio, se piu che compensate) da

guadagni ottenuti su altri titoli (questa e di fatto la funzione della diversificazione di por-

tafoglio!). Ma se invece gli investitori tendono ad “aprire” singoli conti mentali distinti

per ciascuna attivita (o per gruppi di attivita considerate omogenee) in cui investono la

propria ricchezza, una perdita su un titolo, una volta realizzata, non verra compensata

dai guadagni ottenuti su altri titoli e, tenuto conto anche della particolare avversione degli

individui alle perdite, spingera l’investitore a far di tutto per procrastinarla.

Distribuzione asimmetrica dei rendimenti, prezzi ed “equity premium puzzle”

Nel modello CAPM, analizzato nel Capitolo 4, gli investitori si comportano in ba-

se al modello media-varianza delle scelte di portafoglio che, a sua volta, si fonda sulla

teoria dell’utilita attesa. In equilibrio, le diverse attivita finanziarie presentano prezzi e

rendimenti attesi diversi semplicemente perche sono caratterizzate da beta differenti, cioe

in quanto i rispettivi rendimenti sono correlati diversamente con quello del mercato nel

suo complesso. Il rischio idiosincratico (o non di mercato), invece, non gioca alcun ruo-

lo nel determinare il prezzo (e il rendimento atteso) di ciascun titolo, in quanto tramite

un’adeguata diversificazione di portafoglio puo essere completamente eliminato. La teoria

del prospetto, invece, sembra suggerire dei risultati diversi e, in particolare, che non solo

la media ma anche il grado di asimmetria (skewness) della distribuzione dei rendimenti,

persino la parte di tale asimmetria “idiosincratica” cioe non correlata al rendimento del

mercato, sia rilevante nel determinare i prezzi delle attivite finanziarie. In particolare,

dalla teoria del prospetto e possibile dedurre che titoli i cui rendimenti sono caratterizzati

da distribuzioni asimmetriche a destra (coda destra della distribuzione piu “spessa” di

quella sinistra), ossia da un indice skew > 0, presenteranno prezzi piu elevati, e quin-

di rendimenti attesi piu bassi, rispetto a quelli previsti dal CAPM (o da qualsiasi altro

233


modello che si fondi sulla teoria dell’utilita attesa). Viceversa per titoli caratterizzati da

distribuzioni dei rendimenti asimmetriche a sinistra.

L’intuizione che sta dietro a tale conclusione e semplice. In particolare, in base alla

teoria del prospetto, gli agenti economici, inclusi gli investitori, tendono a sovrappesare

i risultati (guadagni e perdite) che si realizzano negli stati del mondo meno probabili,

cioe in corrispondenza delle code delle distribuzioni. Di conseguenza, saranno disposti a

pagare un prezzo piu elevato (relativamente a quello in cui i risultati estremi non sono

sovrappesati) per quei titoli la cui probabilita (comunque bassa) di avere guadagni straor-

dinari eccede quella di ottenere perdite eccezionali. Chiaramente, gli investitori, in quanto

propensi a pagare prezzi (relativamente) piu elevati per questi titoli, dovranno accettare

rendimenti attesi piu bassi sugli stessi titoli. Diversi studi empirici confermano che il

grado di asimmetria delle distribuzioni dei rendimenti giochi un ruolo nel determinare i

prezzi delle attivita finanziarie e, piu specificatamente, che, a parita di altri fattori, titoli

con distribuzioni dei rendimenti asimmetriche a destra sono caratterizzati da rendimenti

attesi inferiori.

La stessa logica (sia pur al contrario) che riguarda i rendimenti delle singole attivita

puo prestarsi per spiegare un altro importante fenomeno in campo finanziario che riguar-

da il rendimento del mercato azionario nel suo complesso, divenuto noto con il nome di

equity premium puzzle . Esso consiste nel fatto che storicamente il rendimento medio

del mercato azionario (in particolare quello americano, ma risultati analoghi sono stati

riscontrati anche in molti altri Paesi) e risultato di gran lunga piu elevato di quello del

titolo risk-free (ad esempio, per gli Stati Uniti, quello dei Treasury bills), rispetto a quan-

to previsto dai modelli basati sulla teoria standard.16 In questo caso, la spiegazione del

puzzle puo legarsi al fatto che il mercato azionario e soggetto alla possibilita di speri-

mentare crisi improvvise e catastrofiche, il che ne rende la distribuzione del rendimento

aggregato asimmetrica a sinistra. Se gli investitori sovrappesano questi rari eventi, essi

richiederanno un premio per il rischio per detenere un portafoglio di mercato (aziona-

rio) particolarmente elevato, certamente maggiore rispetto a quello previsto considerando

esclusivamente il ruolo svolto dalla semplice avversione al rischio, come previsto dalla

teoria standard dell’utilita attesa.

16Ovviamente, come abbiamo visto ad esempio nel CAPM, anche la teoria standard prevede un premioper il rischio positivo per le attivita rischiose, quali le azioni, che remuneri gli investitori (avversi alrischio) per la scelta di detenere tali attivita anziche investire il proprio denaro in un titolo sicuro (risk-free). Il problema sta nel fatto che per giustificare il premio per il rischio fatto registrare storicamente dalmercato azionario nel suo complesso (che a seconda dello studio e del periodo considerato oscilla tra il 5e il 9%) utilizzando modelli teorici standard (consistenti, in particolare, in estensioni del modello CAPMa un contesto intertemporale, il cosiddetto ConsumptionCAPM ), gli investitori avrebbero dovuto avereun coefficiente relativo di avversione al rischio (si veda l’Appendice del Cap. 2) molto elevato, superiorea 30, mentre dalle stime empiriche emerge che tipicamente nella realta questo indice e vicino a 1.

234

9. FINANZA COMPORTAMENTALE IV. Limiti all’arbitraggio

Oltre al ruolo svolto dal modo particolare con cui gli investitori pesano le probabilita

associate ai differenti stati del mondo, altri approcci comportamentali discussi precedente-

mente possono contribuire a spiegare il fenomeno dell’equity premium puzzle: l’avversione

alle perdite e il mental accounting. In particolare, quando gli investitori sono avversi

alle perdite (cioe soffrono dalle perdite un dispiacere piu che proporzionale del piace-

re che ottengono dai guadagni) assume estrema rilevanza la frequenza con cui valutano

l’andamento dell’investimento. Le azioni, sebbene rappresentino tipicamente la forma di

investimento piu redditizia nel lungo periodo, sono contraddistinte da una forte volatilita

di breve periodo, anche giornaliera, dei prezzi e dei rendimenti. Cio rende questa for-

ma di investimento particolarmente sgradita a investitori avversi alle perdite e che, come

suggerisce la teoria del mental accounting, considerano i singoli titoli (o gruppi di titoli)

come singoli “conti mentali”, valutandone quindi il rischio individualmente (tralasciando,

cioe, di considerare il ruolo della correlazione tra rischi “concorrenti”) e, soprattutto, su

orizzonti temporali brevi (tipicamente un anno). In virtu di cio, tanto piu l’avversione

alle perdite e la tendenza a valutare l’investimento molto frequentemente sono diffuse tra

gli investitori, combinazione anche definita “avversione miope alle perdite” (myopic loss

aversion), tanto maggiore sara il rendimento atteso richiesto dal mercato (in aggregato)

per detenere titoli azionari, determinando quindi un premio per il rischio per questi titoli

anche molto piu elevato rispetto a quello giustificabile sulla base della sola (e semplice)

avversione al rischio.17

IV Limiti comportamentali alla possibilita di arbitraggio

Come e stato discusso nel Capitolo 8, il ruolo degli arbitraggisti (detti anche smart

money traders o speculatori razionali) e essenziale nel garantire che l’ipotesi di mercati

efficienti sia soddisfatta. In altri termini, pur riconoscendo la presenza nel mercato di

numerosi investitori che non si comportano razionalmente, ma lo fanno secondo i principi

tipici della finanza comportamentale (tali investitori vengono anche generalmente indi-

cati come noise traders), la possibilita di realizzare operazioni di arbitraggio da parte

degli speculatori razionali consentirebbe di eliminare rapidamente le differenze tra prezzi

effettivamente osservati dei titoli e i valori fondamentali che sottostanno gli stessi titoli

17Altre approcci teorici sono stati proposti in letteratura per spiegare (non sempre con successo) l’equitypremium puzzle che non fanno riferimento alla finanza comportamentale ma si fondano su estensioni piuo meno marcate del modello di scelta razionale, ad esempio, introducendo la presenza di preferenzeeterogenee tra gli investitori oppure considerando che l’utilita dipenda, oltre che dal consumo individualepresente, anche da un confronto con un livello benchmark consistente nel consumo passato (habit formationtheory) oppure in quello di altri individui.

235

IV. Limiti all’arbitraggio 9. FINANZA COMPORTAMENTALE

(differenze dovute alle decisioni di investimento dei noise traders), eliminando qualsiasi

possibilita di extra-rendimento e garantendo il rispetto dell’ipotesi di mercati efficienti.

Una teoria (comportamentale) che intenda negare l’ipotesi di mercati efficienti deve

spiegare, innanzitutto, i fattori che determinano il comportamento “irrazionale” degli in-

vestitori nelle loro scelte di investimento (cio e stato analizzato nei paragrafi precedenti

di questo capitolo). Infatti, in assenza di comportamenti irrazionali nelle scelte di in-

vestimento, i prezzi dei titoli non devierebbe naturalmente dai loro valori fondamentali.

Peraltro, cio non e sufficiente; in secondo luogo, infatti, tale teoria deve spiegare anche

i limiti alle possibilita di arbitraggio che garantirebbero, pur in presenza di investitori

irrazionali, il rapido ripristino dell’efficienza dei prezzi che si osservano nel mercato.

I limiti alle possibilita di arbitraggio che si riscontrano nella realta possono essere di

diversa natura. Spesso le operazioni di arbitraggio richiedono la realizzazione di vendite

allo scoperto da parte degli speculatori razionali. Se, ad esempio, un titolo x viene ven-

duto in massa dai noise traders, in quanto si sono formati delle aspettative pessimistiche

su tale titolo non giustificate dall’informazione disponibile sul valore fondamentale di x, il

prezzo di x scendera al di sotto del suo valore fondamentale. A quel punto, agli speculatori

razionali pienamente informati converra comprare il titolo x e, simultaneamente, coprire

la loro posizione vendendo allo scoperto un titolo y che sia stretto sostituto (con prezzo

corretto) con flussi di cassa simili a quelli del titolo x in tutti i futuri stati del mondo.

Un primo ostacolo alla possibilita di realizzare questa operazione e rappresentato dalla

presenza di vincoli istituzionali alle operazioni di vendita allo scoperto; la disciplina nor-

mativa, infatti, generalmente non consente a tutti gli investitori la possibilita di realizzare

questo tipo di operazioni. Ad esempio, tali operazioni sono generalmente vietate ai fondi

pensione e fortemente regolamentate per i fondi comuni di investimento. In secondo luogo,

anche quando ammesse, esse comportano dei costi di intermediazione rappresentati dalle

commissioni richieste dal prestatore dei titoli. Ulteriori rischi con le vendite allo scoperto,

inoltre, sono legati all’impossibilita di individuare titoli perfetti sostituti. Nell’esempio

precedente, quando il titolo x e il titolo y sono perfetti sostituti, l’arbitraggista e immune

dal cosiddetto rischio fondamentale, cioe dal rischio generale di mercato (o dell’intero

settore a cui appartengono entrambi i titoli). Ad esempio, se il mercato generale (o del

settore) crolla, l’investitore otterra una perdita sul titolo x, ma al tempo stesso anche

un guadagno di (circa) pari ammontare sul titolo y (rispetto al quale ha acquisito una

posizione corta e quindi dovra poi riacquistare per restituirlo al prestatore). Quando pero

il titolo x e il titolo y non sono perfetti sostituti, l’arbitraggista e necessariamente esposto,

oltre che ovviamente al rischio specifico di ciascun titolo, anche al rischio fondamentale.

Pur tralasciando la presenza di vincoli istituzionali e di costi di intermediazione, e pur

ammettendo la presenza di titoli perfetti sostituti, le operazioni di vendita allo scoperto

236

9. FINANZA COMPORTAMENTALE IV. Limiti all’arbitraggio

(arbitraggio) potrebbero essere impedite (o limitate) da ulteriori vincoli di natura mag-

giormente psicologica o comportamentale. Innanzitutto, l’avversione alle perdite degli

individui puo operare in tal senso. Quando un investitore acquista un’azione, la perdita

potenziale che puo subire e limitata e pari all’ammontare di risorse investite nel titolo.

Al contrario, quando un investitore realizza una vendita allo scoperto, acquisendo una

posizione corta, la perdita potenziale a cui puo andare incontro e teoricamente illimitata,

in quanto il prezzo delle azioni da riacquistare per la restituzione potrebbe nel frattempo

salire a livelli astronomici. In realta, questo rischio potrebbe essere affrontato coprendo

la posizione coperta, cioe prendendo in prestito un certo numero di titoli corrispondenti a

quelli che si intende vendere allo scoperto in modo da garantire la riconsegna degli stessi

nei termini previsti dal contratto. Peraltro, anche questo tipo di operazione potrebbe

essere resa complicata da fattori psicologici legati alla paura del rimpianto. Coprire im-

mediatamente la posizione corta, infatti, comporta necessariamente rinunciare ai possibili

guadagni derivanti da una riduzione del prezzo del titolo. D’altro canto, coprire la posi-

zione solo dopo che il prezzo del titolo venduto allo scoperto e aumentato (in modo da

evitare maggiori perdite legate a ulteriori rialzi) implica “monetizzare” la perdita. Gli

investitori, quindi, potrebbero essere portati ad attendere nella speranza che il prezzo cali

e la perdita venga annullata anche se, ovviamente, questo li espone al rischio di subirne

alla fine una anche maggiore (cio e in linea con quanto suggerito dall’effetto riflesso della

prospect theory, in base al quale gli individui mostrano un atteggiamento di propensione

al rischio nelle perdite). Alla luce di tali considerazioni, ha senso ipotizzare che molti

individui preferiscano evitare a priori certe situazioni, quali quelle connesse alla realizza-

zione di vendite allo scoperto, che possono poi implicare la necessita di prendere decisioni

senz’altro complesse e complicate dal punto di vista psicologico.

Un altro importante fattore che gioca un ruolo nelle decisioni e nei comportamenti de-

gli arbitraggisti e rappresentato dall’orizzonte temporale a cui essi fanno riferimento.

Se gli arbitraggisti hanno orizzonti temporali lunghi e ritengono che nel lungo periodo i

prezzi dei titoli convergeranno senz’altro ai loro valori fondamentali, dovranno aspettare

tutt’al piu del tempo, ma prima o poi conseguiranno profitti di arbitraggio. In altri termi-

ni, in presenza di noise traders e conseguente mispricing (cioe prezzi dei titoli diversi dai

valori fondamentali), l’arbitraggio garantira nel lungo periodo profitti positivi e, tramite

l’arbitraggio, il mispricing verra corretto nel tempo. Spesso pero gli speculatori razionali,

quali ad esempio i gestori professionali di portafogli di investimento, operano su orizzonti

temporali relativamente brevi. Questo in quanto si trovano a gestire fondi altrui (pensia-

mo, in particolare, ai fondi comuni di investimento); il loro operato, quindi, sara valutato

da coloro che gli hanno affidato i propri risparmi, i quali, generalmente, si aspettano di

ottenere dei rendimenti positivi gia dopo poco tempo.

237

V. Finanza classica e finanza comportamentale 9. FINANZA COMPORTAMENTALE

Quando gli arbitraggisti operano in una prospettiva di breve termine sono soggetti al

cosiddetto rischio di noise trader . Esso consiste nel fatto che a fronte di un’errata

determinazione del prezzo (mispricing), il gap tra prezzo e fondamentale, che l’arbitraggio

dovrebbe ridurre, puo tendere, almeno nel breve termine, ad ampliarsi ulteriormente per

effetto di nuove ondate di entusiasmo e iperottimismo (nel caso di mispricing positivo) o

di pessimismo e ulteriori aspettative ribassiste (nel caso di mispricing negativo) da parte

dei noise traders. In tali circostanze, ovviamente, la consueta strategia di arbitraggio

di acquistare titoli sottoprezzati e vendere titoli sovraprezzati potrebbe comportare del-

le perdite di breve periodo, anziche dei guadagni. In particolare, se gli arbitraggisti si

attendono (anche per effetto del diffondersi di mode diffuse e di comportamenti gregari)

ulteriori ondate di ottimismo o di pessimismo, nel breve periodo, avranno convenienza ad

“assecondare” tali ondate acquistando titoli sovraprezzati e vendendo quelli sottoprezzati,

comportandosi quindi loro stessi come noise trader. In altri termini, anche se ritengono

che nel lungo periodo i prezzi ritornino ai loro valori fondamentali, per ottenere profitti

di breve periodo gli arbitraggisti avranno convenienza a “seguire il trend”. Cosı facen-

do, peraltro, anziche eliminare il mispricing di breve periodo contribuiranno loro stessi ad

aumentarlo ulteriormente. Cio e anche coerente con l’evidenza empirica che suggerisce l’e-

sistenza di autocorrelazione positiva dei rendimenti su periodi brevi (effetto momentum),

quando sia gli arbitraggisti che i noise traders seguono l’andamento di breve periodo,

e di autocorrelazione negativa su orizzonti piu lunghi (effetto reversal), allorche alcuni

arbitraggisti assumono una visione a piu lungo termine, acquistando i titoli sottovalutati

e vendendo quelli sovravalutati.18

V Finanza classica e finanza comportamentale: sostituti o com-

plementi?

Dalla lettura di questo capitolo, combinata con quelle dei capitoli precedenti, il let-

tore potrebbe provare un certo senso di disorientamento. I capitoli precedenti, dedicati

alla finanza classica, hanno descritto il comportamento di agenti e, nello specifico, di in-

vestitori perfettamente razionali che prendono le loro decisioni di investimento in modo

da massimizzare ben definite funzioni di utilita (attesa), sfruttando adeguatamente tutte

le informazioni che hanno a disposizione. Nel presente capitolo, invece, l’attenzione si e

spostata su investitori che si comportano in modo del tutto differente, sostenendo inoltre

che tale modo di comportarsi e cio che si riscontra comunemente nella realta.

18Per una definizione piu dettagliata di effetto momentum e di effetto reversal si rimanda al Capitolo8.

238

9. FINANZA COMPORTAMENTALE V. Finanza classica e finanza comportamentale

Da tutto cio, quindi, ci si potrebbe chiedere quale dei due approcci meriti di essere

considerato o, forse piu schiettamente, che senso abbia studiare un cosı complesso (e com-

plicato) modello teorico, come quello con agenti razionali, se poi nella realta gli individui

si comportano in modo completamente diverso. In altri termini, una questione importan-

te che merita di essere discussa prima di concludere questo capitolo e se i due approcci

siano, come potrebbe apparire, del tutto incompatibili tra loro o se invece vi possa essere

un modo per riconciliare lo studio dell’uno con quello dell’altro, cosı da renderli entrambi

importanti e meritevoli di essere realizzati.

La risposta a tale questione chiama in causa l’importante distinzione tra teorie po-

sitive (o descrittive) e teorie normative (o prescrittive). Discutendo di questioni econo-

miche, infatti, occorre sempre distinguere la descrizione o spiegazione dei fatti (compito

che assolvono le teorie positive) dalla definizione di principi o criteri ottimali da seguire

per conseguire determinati obiettivi, sulla base di determinate ipotesi di comportamen-

to (compito svolto dalle teorie normative). Non vi e dubbio che, in campo finanziario,

la finanza comportamentale svolga essenzialmente la prima funzione. La finanza classi-

ca, invece, se presenta numerose incongruenze qualora la si voglia utilizzare come teoria

positiva, mantiene appieno il suo valore come teoria normativa, definendo in modo rigo-

roso i criteri da seguire per definire quelle che debbano essere le scelte ottimali in campo

finanziario.

La teoria finanziaria necessita di entrambi gli approcci per adempiere appieno al suo

compito: descrivere come gli investitori si comportano effettivamente nella realta e, al

tempo stesso, definire come si dovrebbero comportare per conseguire, in modo razionale,

determinati obiettivi e risultati. La finanza classica e quella comportamentale, quindi,

tendono a configurarsi a tutti gli effetti come complementari (meritando quindi di essere

studiati congiuntamente), anziche tra loro sostituti. Per una conferma ulteriore di questa

affermazione, e interessante riportare di seguito due passaggi a opera di tre tra i maggiori

esponenti dell’approccio comportamentale alla teoria economica, in generale, e alla finan-

za, in particolare, Richard Thaler (a cui si deve il primo passaggio che segue) e Hersh

Shefrin e Meir Statman (a cui si deve il secondo passaggio), dove l’importanza di associare

lo studio della teoria economica tradizionale, o (neo)classica, a quella comportamentale

emerge in modo del tutto evidente:

[Una teoria normativa] e cio che e riferito come la scelta razionale (indipen-

dentemente da qualsiasi giudizio di moralita). Invece, una teoria descrittiva

predice semplicemente quello che faranno le persone nelle varie circostanze. Il

difetto fondamentale nella teoria economica neoclassica e che utilizza lo stesso

modello, quello ottimizzante, per entrambi i compiti.

239

V. Finanza classica e finanza comportamentale 9. FINANZA COMPORTAMENTALE

La teoria dell’utilita attesa Von Neumann e Morgenstern ne e un tipico esem-

pio. Essi dimostrano in modo rigoroso che per soddisfare alcuni assiomi di

razionalita occorre massimizzare l’utilita attesa. E quando insegno il corso di

Decisioni Manageriali ai miei studenti MBA [Master in Business Administra-

tion], io li esorto a comportarsi in quel modo. [...] Peraltro, come Kahneman e

Tversky hanno dimostrato (e centinaia di articoli successivi hanno confermato)

le persone non fanno le loro scelte massimizzando l’utilita attesa.19

E ancora:

Il modello media-varianza e stato sviluppato da Markowitz come una teo-

ria normativa, non come una teoria descrittiva. La teoria comportamentale

delle scelte di portafoglio e invece una teoria descrittiva. Noi evidenziamo

che tipicamente gli investitori trascurano di considerare le covarianze, ma non

consigliamo di comportarsi in questo modo.20


• Shiller R.J., Euforia irrazionale. il Mulino, 2009.

• Cervellati E.M., Finanza comportamentale e investimenti, McGraw-Hill, 2012.

• Alemanni B., Finanza comportamentale, Egea, 2015.

19Passaggio tradotto da R. Thaler, “From Cashews to Nudges: The Evolution of BehavioralEconomics”, American Economic Review 108(6), 2018, p. 1267.

20Passaggio tradotto da H. Shefrin e M. Statman, “Behavioral Portfolio Theory”, 1997, poi pubblicatosu Journal of Financial and Quantitative Analysis 35(2), 2000.

240

Capitolo 10

Le obbligazioni

Le obbligazioni (bond) sono strumenti finanziari che trovano ampio spazio nei moder-

ni mercati finanziari. In genere si considerano come attivita finanziarie a minor rischio

rispetto alle azioni perche prevedono generalmente un rimborso fisso alla scadenza prede-

terminato al momento dell’acquisto, ed alcune anche dei pagamenti periodici di importo

prefissato (cedole o coupon). Il rischio sopportato da chi acquista un’obbligazione risiede

quindi nella possibilita che l’emettitore non possa far fronte ai suoi impegni e nell’eventua-

le necessita di dover vendere prima della scadenza l’obbligazione e sopportare per questo

un’eventuale perdita in conto capitale, ad esempio perche il mercato secondario per tale

tipo di obbligazione risulta poco liquido. Nel capitolo forniremo prima un insieme di

definizioni specifiche al mercato obbligazionario; passeremo poi a trattare le obbligazioni

senza cedole (zero-coupon), incluse quelle reali, poi le obbligazioni con cedole, i diversi

tipi di rischio connessi al possesso di un’obbligazione ed, infine, la struttura a termine dei

tassi di interesse.

I Alcune definizioni utili per il mercato delle obbligazioni

La data di scadenza (maturity date) indica la data in cui l’obbligazione verra rimbor-

sata. L’importo di tale rimborso prende il nome di valore facciale (face value) ed eventuali

pagamenti prima della scadenza sono chiamate cedole (coupons). Un’altra importante ca-

ratteristica dell’obbligazione sono i diritti che ha il detentore dell’obbligazione nel caso di

fallimento (default) dell’emettitore. Generalmente tali diritti trovano una specificazione

nel contratto ovvero nelle norme del codice civile. Vediamo adesso nello specifico alcune

di queste caratteristiche.

Le possibili differenti specificazioni della data di scadenza di un’obbligazione

Definito un periodo T in cui scade l’obbligazione ed indicato il periodo corrente con t,

241

I. Alcune definizioni 10. LE OBBLIGAZIONI

abbiamo che la vita dell’obbligazione o il tempo alla scadenza (time to maturity) dell’ob-

bligazione e definito da τ = T − t. Il periodo T potrebbe essere finito, infinito o a scelta

degli investitori. Esaminiamo adesso alcune modalita di fissazione di T nelle obbligazioni:

• i callable bond sono obbligazioni in cui l’emettitore (issuer) puo terminare il con-

tratto di obbligazione prima di T . In termini piu tecnici si dice che tale obbligazione

e l’insieme di un’obbligazione piu un’opzione call da parte dell’emettitore.

• Le obbligazioni convertibili (convertible bonds) sono invece obbligazioni che danno

il diritto a chi le ha sottoscritte di scegliere alla scadenza o il pagamento del valore

facciale o lo scambio con un’altra attivita, ad esempio con un dato numero di azioni.

In tal caso l’obbligazione e l’insieme di un’obbligazione che prevede un pagamento

in contanti pari al valore facciale o di un’acquisto di un certo numero di azioni ad

un prezzo prefissato a discrezione del detentore dell’obbligazione.

• Le obbligazioni perpetue (perpetuities) sono obbligazioni in cui non esiste una data

finale. Tali obbligazioni sono un caso particolare di annuity, ossia obbligazioni il

cui valore facciale e zero ma che danno diritto a pagamenti periodi per un certo

periodo di tempo o fino alla realizzazione di un dato evento (ad esempio finche il

sottoscrittore e in vita o lo Stato non fallisce). Esistono poi obbligazioni perpetue

che possono pero essere rimborsate o, piu facilmente, convertite in un altro titolo

di debito, come avviene generalmente quando si attraversano periodo di tassi di

interesse eccezionalmente bassi.

• I sinking funds sono poi obbligazioni che obbligano l’emettitore a rimborsare le pro-

prie obbligazioni in un certo periodo di tempo tramite l’acquisto di altre obbligazioni

al prezzo corrente di mercato.

Cedole E’ possibile avere obbligazioni che pagano cedole annuali, semestrali o, nessuna

cedola. La cedola puo essere predeterminata oppure variabile, per esempio dipendente

dal tasso di inflazione. Le obbligazioni zero-coupon sono quelle che non pagano alcuna

cedola e prevedono il rimborso del valore facciale alla scadenza.

Fallimento In caso di fallimento (default) dell’emettitore il contratto di debito puo

prevedere varie possibilita. Ad esempio esistono tipi di obbligazioni che hanno dei privilegi

rispetto ad altre obbligazioni in caso di fallimento (senior debt) o che sono collegate

a garanzie accessorie, i cosiddetti collaterali (collateral), che permettono al possessore

dell’obbligazione di essere maggiormente tutelato. Esistono un certo numero di agenzie di

242

10. LE OBBLIGAZIONI II. Le obbligazioni zero-coupon

rating (ad esempio Moody’s o Standard & Poor) che stimano le probabilita di fallimento

dell’emettitore di obbligazioni.

II Le obbligazioni zero-coupon

Questo tipo di obbligazioni sono molto comuni nei mercati finanziari e molto studiate

dalla letteratura perche le loro caratteristiche possono essere espresse per mezzo di due

soli valori, il valore facciale m e la data di rimborso T . In effetti, la variabile rilevante

non e tanto la data del rimborso ma la time to maturity, ossia n = T − t, dove t indica il

periodo corrente.

Definito il prezzo di mercato corrente con pn, allora il rendimento spot (spot yield) yn e

definito come il rendimento medio che si riceve ogni periodo se detenessimo l’obbligazione

fino alla sua scadenza, ossia:

yn ≡(m

pn

)1/n

− 1. (10.1)

Esempio 50 (Lo spot yield di un’obbligazione zero-coupon)

Supponete di possedere un’obbligazione zero.coupon del valore facciale di 100, il cui prez-

zo corrente di mercato sia 90 e la cui time to maturity sia 5. Allora lo spot yield

dell’obbligazione e pari a:

yn =

(100

90

)1/5

− 1 = 0.021.

Dall’Equazione (10.1) possiamo ricavare che:

pn =m

(1 + yn)n, (10.2)

che mostra come il prezzo di mercato non e altro che il valore attuale del valore di rimborso

attualizzato allo spot yield.

Esempio 51 (Prezzo obbligazione zero-coupon)

Considerate un’obbligazione zero-coupon del valore facciale di 100, la cui time to maturity

sia 5. Supponete di voler ottenere dal vostro eventuale investimento un rendimento che

sia almeno pari al 2.5%. Allora il prezzo massimo a cui siete disposti ad acquistare

l’obbligazione sara pari a:

pn =100

(1 + 0.025)5 = 88.39.

Per ogni data e possibile calcolare lo spot yield, ossia e possibile calcolare y1, y2, ..., yn.

Nulla ci dice che tali valori siano tra loro uguali, anzi di norma nella realta sono diversi

e danno origine a quella che si chiama la struttura a termine dei tassi di interesse (term

243

II. Le obbligazioni zero-coupon 10. LE OBBLIGAZIONI

p

y

m

y0

p0

y1

p1

Figura 10.1: La relazione fra il prezzo di un’obbligazione zero coupon e il suo spot yield,per una data time to maturity n.

structure of interest rates), che tratteremo nella Sezione VII. Tuttavia, lo spot yield rap-

presenta il rendimento dell’obbligazione solo se questa e detenuta fino alla scadenza. Se

invece il l’orizzonte di investimento fosse diverso da n, il rendimento dell’investimento

sarebbe diverso. In particolare, se fosse piu corto di n, questo dipenderebbe dal prezzo

di vendita dell’obbligazione al momento della vendita; se, invece, l’orizzonte fosse piu

lungo di n, l’investitore dovrebbe formulare un’aspettativa sul rendimento dell’investi-

mento m dal momento della scadenza n fino alla lunghezza dell’orizzonte temporale. In

entrambi i casi, l’investitore sopporta un rischio, che dipende dalla dinamica dei tassi di

interesse nel tempo. Infatti, escludendo il caso in cui siamo in prossimita della scadenza

dell’obbligazione, allora il rendimento nel detenere l’obbligazione un periodo e definito da:

pn−1,t+1

pn,t− 1, (10.3)

dove pn,t e il prezzo dell’obbligazione al periodo t con una time to maturity n. Il ren-

dimento annuale dell’obbligazione e quindi incerto, come potrebbe esserlo l’investimen-

to in azioni, dato che non conosciamo il prezzo di mercato dell’obbligazione al periodo

successivo, ossia pn−1,t+1.

La Figura 10.1 riporta la relazione fra il prezzo di un’obbligazione zero coupon e il

rendimento di tale obbligazione derivante dall’Equazione (10.2). Se avessimo una teoria

di determinazione dello spot yield y, tale relazione, negativa e convessa, ci fornirebbe una

teoria di determinazione del prezzo di mercato di un’obbligazione. Intuitivamente tale

244


teoria potrebbe essere ricavata dalla considerazione che per il Principio di Arbitraggio i

rendimenti delle obbligazioni dovrebbero essere collegati al rendimento dell’attivita priva

di rischio. Questo, in generale, puo essere visto come il rendimento di un’obbligazione zero

coupon nel momento in cui si esclude il rischio di default dell’emittente delle obbligazioni.

Seguendo questa linea di ragionamento, se le autorita di politica economica potessero

controllare il rendimento dell’attivita priva di rischio a diverse scadenze, ad esempio in-

tervenendo nel mercato dei titoli di stato, queste potrebbero anche controllare il prezzo di

mercato delle obbligazioni. Ad esempio, un aumento del tasso di rendimento dell’attivita

priva di rischio, ad esempio tramite un aumento del rendimento dei titoli di stato, che

sposti lo spot yield da y0 a y1 determinera una diminuzione nel prezzo delle obbligazioni

da p0 a p1, come mostrato in Figura 10.1.

E’ anche possibile capire da questi semplici ragionamenti che tali cambiamenti nel

livello dei tassi di interesse a diverse scadenze, portando a modifiche sostanziali nei prezzi

delle obbligazioni, possono produrre ingenti guadagni o perdite in conto capitale negli

attivi e nei passivi degli intermediari finanziari. Tali cambiamenti nei prezzi sono, a

parita di cambiamento nel livello dei tassi di interesse, tanto piu elevati quanto piu bassi

sono gli spot yield (vedi Figura 10.1) e quanto piu lunga e la time to maturity delle

obbligazioni.

II.A Le obbligazioni zero coupon reali

Una dei principi generali della teoria economica afferma che e il rendimento reale, e

non il rendimento monetario, la variabile cruciale per le scelte degli investitori. A questo

riguardo osserviamo che nei mercati obbligazionari esistono obbligazioni il cui rimborso

alla scadenza e legato ad una qualche indice dei prezzi. A questo proposito si parla di

obbligazioni linked-index od obbligazioni reali.

Indicando con pn il prezzo di un’obbligazione reale zero coupon con time to maturity

n, abbiamo che lo spot yield nominale yn di tale obbligazione e definito come:

pn =mP g

T/Pgt

(1 + yn)n, (10.4)

dove P gt rappresenta l’indice generale dei prezzi al tempo t e P g

T/Pgt l’aumento/diminuzione

del rimborso dovuto alla variazione nell’indice generale dei prezzi. Indichiamo con πn il

245

II. Le obbligazioni zero-coupon 10. LE OBBLIGAZIONI

tasso medio di inflazione fra t e T ,1 avremo che:

pn =m (1 + πn)n

(1 + yn)n, (10.5)

da cui possiamo calcolare lo spot yield reale di questa obbligazione reale yRn come:

pn =m

(1 + yRn )n, (10.6)

che puo essere calcolato con certezza dati i valori del prezzo corrente di mercato dell’ob-

bligazione reale pn e il suo valore facciale m. Abbiamo inoltre che:

1 + yn =(1 + yRn

)(1 + πn) , (10.7)

che in via approssimata (ossia assumendo che yRn πn ≈ 0) si puo scrivere come:

yn ≈ yRn + πn; (10.8)

l’Equazione (10.8) riporta l’usuale relazione fra tassi di interesse reale, nominale e tasso

di inflazione (la cosiddetta equazione di Fisher). Osserviamo che nelle obbligazioni reali

non e possibile calcolare con certezza lo spot yield nominale yn, perche il tasso di infla-

zione e incerto, mentre e possibile calcolare con certezza lo spot yield reale yRn , dato che

conosciamo sia pn che m.

Esempio 52 (Il rendimento di un’obbligazione zero-coupon reale)

Supponete di possedere un’obbligazione zero-coupon reale del valore facciale di 100, il cui

prezzo corrente di mercato sia 90 e la cui time to maturity sia 5. Tale obbligazione e

collegata al costo della vita e tale indice e atteso aumentare del 10% nei prossimi 5 anni.

Per calcolare il rendimento nominale yn dall’Equazione (10.5) abbiamo che:

yn =

(m (1 + πn)n

pRn

)(1/n)

− 1,

da cui

yn =

(100 (1 + 0.1)5

90

)(1/5)

− 1 = 0.123,

1Ricordiamo che per definizione il tasso medio di inflazione fra il periodo t e T e dato da P gT =(1 + πn)

nP gt .

246


Il rendimento reale si puo ricavare dall’Equazione (10.7):

yRn =1 + yn1 + πn

− 1 =1 + 0.123

1 + 0.1− 1 = 0.021

o in via approssimata dall’Equazione (10.8):

yRn ≈ yn − πn = 0.123− 0.1 = 0.023.

Supponiamo adesso di considerare un’obbligazione zero coupon. Allora il suo spot

yield reale yRn e definito da:

pn/Pgt ≡

m/P gT

(1 + yRn )n, (10.9)

da cui:

1 + yn =(1 + yRn

)(1 + πn) , (10.10)

ossia in via approssimata:

yn ≈ yRn + πn. (10.11)

Per le obbligazioni, quindi, non e possibile calcolare con certezza lo spot yield reale yRn

perche il tasso di inflazione πn e incerto, mentre e possibile calcolare con certezza lo spot

yield nominale yn.

Se riteniamo che il mercato tenda ad equalizzare il rendimento reale di tutte le

obbligazioni, allora avremo che:

yRn = yRn , (10.12)

e quindi potremo avere una stima del tasso di inflazione medio atteso dagli investitori nei

prossimi n periodi, indicato con πan, combinando le Equazioni (10.11) e (10.12):

πan = yn − yRn . (10.13)

La stima dell’inflazione futura via Equazione (10.13) dovrebbe essere considerata con

cautela perche basata sull’Equazione (10.12), che puo essere considerata una ragionevole

approssimazione solo nel caso di investitori neutrali al rischio. Infatti, nel caso di investi-

tori avversi al rischio avremo che, per remunerare gli investitori dalla possibili fluttuazioni

nel tasso di inflazione futuro, yRn > yRn (ricordiamo che yRn e incerto mentre yRn e certo).

247

III. Le obbligazioni con cedole 10. LE OBBLIGAZIONI

III Le obbligazioni con cedole

Un’obbligazione che promette di pagare una cedola costante c fino a scadenza avra un

rendimento fino alla scadenza (yield di maturity) y implicitamente definito da:

p =c

1 + y+

c

(1 + y)2 + ...+c+m

(1 + y)n, (10.14)

dove p e il prezzo corrente dell’obbligazione. Lo yield di maturity y non e altro che il

tasso interno di rendimento (TIR, internal rate of return) di un investimento con flussi

di cassa multiperiodali. L’Equazione (10.14) puo essere riscritta come:

p =c

y

[1− 1

(1 + y)n

]+

m

(1 + y)n(10.15)

sfruttando le proprieta della somma di progressioni geometrica in questo caso di ragione

1/ (1 + y).

Esempio 53 (Il prezzo delle obbligazioni con cedole)

Considerate un’obbligazione con cedole con maturity di 2 periodi, del valore facciale di

100, che paghi una cedola annua di 10. Per obbligazioni similari la yield to maturity e

pari al 2%. Allora il suo prezzo di mercato si puo calcolare tramite l’Equazione (10.15):

p =10

0.02

[1− 1

(1 + 0.02)2

]+

100

(1 + 0.02)2 = 115.53.

E’ importante sottolineare come il tasso di rendimento derivante dal detenere un’ob-

bligazione fino alla scadenza T , che stacca una cedola pari a c, con un prezzo p, e il

cui valore facciale sia pari a m non e pari al rendimento y calcolato tramite l’Equazione

(10.15). Infatti, questo richiederebbe che l’ammontare di denaro che riceviamo come ce-

dole sia reinvestito ad un tasso di rendimento esattamente pari a y. Vi e la possibilita

che questo accada solo se fossero disponibili nel mercato dei contratti forward che ga-

rantiscono tale tasso; ma in generale non e cosı. Si parla a questo riguardo di rischio di

reinvestimento (reinvestiment risk).

L’obbligazione per cui p = m si dice abbia un par yield, ed e immediato calcolare

dall’Equazione (10.15) che y = c/m. In letteratura si puo trovare l’espressione flat yield

ad indicare il rapporto c/p. Tale rapporto non misura in maniera precisa lo yield to

maturity di un’obbligazione, a meno che questa non abbia un time to maturity infinita,

ossia sia un’obbligazione irredimibile (vedi l’Equazione (10.15) per n→∞). In ogni caso

per obbligazioni con una time to maturity molto lunga il flat yield puo fornire un’utile

approssimazione del rendimento effettivo.

248

10. LE OBBLIGAZIONI III. Le obbligazioni con cedole

Esempio 54 (Flat yield)

Si consideri un’obbligazione con valore facciale di 100, time to maturity 30 anni, cedola

pari a 3 e rendimento pari al 2%. Dall’Equazione (10.14) ricaviamo il prezzo di equilibrio

di tale obbligazione:

p =3

0.02

[1− 1

(1 + 0.02)30

]+

100

(1 + 0.02)30 = 122.40.

Se invece di conoscere il rendimento avessimo osservato il prezzo di equilibrio, allora il

flat yield, pari a:c

p=

3

122.40= 0.025,

ci avrebbe fornito un’ottima approssimazione del rendimento dell’obbligazione pari al 2%.

III.A La Macaulay duration

Un aspetto che merita particolare attenzione delle obbligazioni con cedola e la relazione

fra il loro prezzo di mercato p e la yield to maturity y. Dall’Equazione (10.14) osserviamo

che tale relazione dipendera in maniera cruciale da m, n e c (ad esempio moltiplicando

per 2 m e c ∂p/∂y raddoppia). The Macaulay Duration, D, definita come:

D ≡ 1

p

[c

1 + y+

2c

(1 + y)2 + ...+n (c+m)

(1 + y)n

], (10.16)

rappresenta una misura di elasticita di p rispetto a y, ossia una misura della relazione

fra p e y indipendente dalla metrica utilizzata per esprimere c ed m. In particolare, e

immediato dimostrare che:

D = −∂p∂y

1 + y

p. (10.17)

Osserviamo come D ≤ n; tale relazione riflette il fatto che il possessore di un’ob-

bligazione con cedole riceve una parte di rendimento dell’obbligazione prima della sua

scadenza, che avviene in n periodi, sotto forma di cedole. Infatti per un’obbligazione

zero-coupon abbiamo che D = n (provate a porre c = 0 nell’Equazione (10.17) ricordando

la determinazione del prezzo pn per un’obbligazione zero-coupon). Inoltre, abbiamo che

∂D/∂c < 0, il che conferma che D misura quanto del rendimento di un’obbligazione viene

pagato prima della scadenza (nel verificare questa proprieta ricordate che p dipende da c).

E’ infine intuitivo che ∂D/∂n ≥ 0, poiche ceteris paribus il rendimento dell’obbligazione

e posticipato nel tempo.

Esempio 55 (La Macaulay duration)

Considerate un’obbligazione con cedole con maturity di 2 periodi, del valore facciale di

249

IV. La valutazione di obbligazioni non quotate 10. LE OBBLIGAZIONI

100, che paghi una cedola annua di 10, con yield to maturity pari al 2% e prezzo di mercato

pari a 115.53 (questo lo abbiamo calcolato nell’Esercizio 53). Tramite l’Equazione (10.16)

possiamo calcolare la sua duration:

D =1

115.53

[10

1 + 0.02+

2 (10 + 100)

(1 + 0.002)2

]= 1.92.

Tale duration risulta inferiore a 2 come ci si attendeva.

Supponiamo adesso che la cedola diventi pari a 5. Allora il nuovo prezzo di equilibrio

sara pari a 105.82 (vedi Esercizio 53), da cui la duration diventa:

D =1

105.82

[5

1 + 0.02+

2 (5 + 100)

(1 + 0.002)2

]= 1.95,

ossia aumenta come ci si aspettava dal diminuire della cedola.

Infine osserviamo che se la time to maturity diventa pari a 3 sempre con cedola pari a

5, il prezzo dell’obbligazione e pari a 108.65 (vedi Esercizio 53), da cui la duration diventa:

D =1

108.65

[5

1 + 0.02+

2 ∗ 5

(1 + 0.02)2

3 (5 + 100)

(1 + 0.002)3

]= 2.87,

che e aumentata come ci si attendeva dall’aumentare di n.

IV La valutazione di obbligazioni non quotate

In molte circostanze e necessario valutare il valore di un’obbligazione che non e quotata

sul mercato. La teoria delle obbligazioni zero coupon, insieme al Principio di Arbitraggio

possono fornire un metodo per ottenere tale valutazione. Per fissare le idee si consideri

il caso di un’obbligazione zero coupon con n = 1, il cui valore facciale sia pari a m. Gli

investitori hanno anche a disposizione come possibile investimento un’attivita priva di

rischio che rende r0. Possiamo allora dire che se gli investitori sono neutrali al rischio

(oppure hanno intenzione di detenere l’obbligazione fino alla scadenza e non esiste rischio

di default), il prezzo di tale obbligazione p1 deve soddisfare il Principio di Arbitraggio,

ossia:

p1 =m

1 + r0

, (10.18)

il che significa che il rendimento dell’obbligazione y1 deve essere pari al rendimento del-

l’attivita priva di rischio r0, altrimenti esisterebbero nel mercato possibilita di arbitraggio.

Supponiamo adesso che ci venga offerto un’obbligazioneB che offra una cedola costante

per n anni pari a c e che, alla scadenza, abbia un rimborso pari a m. Applicando il

250

10. LE OBBLIGAZIONI IV. La valutazione di obbligazioni non quotate

medesimo ragionamento abbiamo che il valore di questa obbligazione V B puo essere visto

come la somma del valore di n obbligazioni zero coupon, in cui la prima da diritto ad un

pagamento dopo un periodo pari a c, la seconda a un pagamento dopo due periodi pari a

c, e cosı via fino all’ennesima obbligazione che da diritto ad un pagamento dopo n periodi

pari a c+m. Avremo quindi che:

V B =c

1 + y1

+c

(1 + y2)2 + · · ·+ c+m

(1 + yn)n. (10.19)

In sostanza abbiamo usato il Principio di Arbitraggio per ottenere il “giusto” tasso di

rendimento per ogni pagamento. Se il prezzo dell’obbligazione fosse diverso da V B allora

esisterebbero delle possibilita di arbitraggio non sfruttate, il che significherebbe che il

mercato non e in equilibrio. Vista in un’altra prospettiva, se V B > pB, dove pB e il prezzo

a cui ci viene offerta l’obbligazione B, allora ci conviene comprare tale obbligazione.

Questo spiega perche V B viene anche chiamato il valore fair (equo) dell’obbligazione B.

L’Equazione (10.19) differisce in maniera cruciale dall’Equazione (10.14), anche se

in equilibrio il Principio di Arbitraggio porta a V B = p. Infatti nell’Equazione (10.14)

il prezzo p era assunto conosciuto e y era da calcolare, mentre nell’Equazione (10.19)

l’investitore conosce i rendimenti dei titoli zero coupon a tutte le scadenze, ma non il

prezzo dell’obbligazione, essendo quest’ultima non quotata.

Nella pratica sembra quindi importante avere a disposizione obbligazioni zero coupon

con le piu differenti time to maturity, e questo e quello che si ottiene tramite la creazione

di stripped bond, ossia la trasformazione di un’obbligazione con cedola in un portafoglio

di obbligazioni zero coupon.

In ultimo e da osservare che il fatto di non osservare il prezzo di un’obbligazione viene

imputato alla presenza di frizioni nel mercato (ad esempio le quantita trattate del titolo

sono troppo basse per avere un prezzo di mercato significativo). Tuttavia, nel metodo

proposto per valutare tali obbligazioni si fa riferimento al Principio di Arbitraggio, che

per operare richiede l’assenza di frizioni. Questo dovrebbe indurre cautela nell’applicare

pedissequamente l’Equazione (10.19) per la valutazione di obbligazioni non trattate sui

mercati ufficiali.

Esempio 56 (La valutazione di un’obbligazione non quotata)

Considerate un’obbligazione non quotata con maturity pari a 2 anni, i cui flussi di cassa

sono pari a 10 il primo anno e 110 nel secondo (10 di cedola piu 100 di rimborso del-

l’obbligazione). Supponiamo che lo spot yield di obbligazioni con maturity di un anno

sia pari al 3%, e quello con maturity pari a 2 anni al 5%. Allora il valore fair di questa

251

V. Il rischio per portafogli obbligazionari 10. LE OBBLIGAZIONI

obbligazione si puo calcolare dall’Equazione (10.19):

V B =10

1 + 0.02+

110

(1 + 0.05)2 = 109.58,

ossia saro al massimo disposto a pagare 109.58 euro per questa obbligazione.

V Il rischio per portafogli obbligazionari

Un portafoglio contenente solo obbligazioni e sottoposto a due tipi di rischio: a) il

rischio del tasso di interesse (interest rate risk); e b) il rischio di base (basis risk).

Il rischio di tasso di interesse risiede esattamente nella relazione inversa che il

prezzo di ogni obbligazione ha con il suo rendimento (vedi Equazione (10.2)). Se, come

accade nella realta, i rendimenti delle obbligazioni tendono a muoversi tutti insieme (ossia

esiste una covarianza positiva fra i rendimenti), allora cambiamenti nei tassi di interesse,

ad esempio verso l’alto per una politica monetaria restrittiva della Banca Centrale, provo-

cheranno una variazione verso il basso dei prezzi delle obbligazioni. Quanto verso il basso

e misurato dalla Macaulay Duration D. Quindi D puo essere visto come una misura di

rischio collegato al tasso di interesse (vedi Sezione VI piu avanti).

Il rischio di base ricomprende tutte le fonti di rischio non incluse nel rischio di tasso

di interesse, ossia:

• rischio di credito (credit risk): riflette la possibilita che il debitore vada in fallimento

(default);

• rischio di reinvestimento (reinvestment risk): riflette i possibili cambiamenti negli

spot yield futuri a cui e possibile reinvestire le eventuali cedole;

• timing risk : riflette la possibilita che non siano rispettata la cronologia temporale dei

pagamenti previsti dall’obbligazione, ad esempio perche vi e un rimborso anticipato;

• rischio di tasso di cambio: riflette il rischio che modifiche nel tasso di cambio pos-

sano cambiare il valore in moneta nazionale di obbligazioni i cui pagamenti sono

denominati in valuta estera e

• rischio d’inflazione: riflette cambiamenti non attesi nel tasso di inflazione che

modificano il rendimento reale delle obbligazioni.

252

10. LE OBBLIGAZIONI VI. L’immunizzazione di portafogli obbligazionari

VI L’immunizzazione di portafogli obbligazionari

Tramite un’opportuna scelta di portafoglio e possibile ridurre il rischio di tasso di

interesse di un portafoglio obbligazionario. In particolare si parla di strategie di immuniz-

zazione quando l’obiettivo del gestore di portafoglio consiste nel minimizzare la variazione

complessiva del valore del portafoglio al variare dei rendimenti (si parla anche di strategie

neutral hedge).

Ad esempio molte istituzioni finanziarie hanno delle uscite collegate all’andamento dei

rendimenti di mercato e allo stesso tempo detengono obbligazioni nel loro portafoglio, il

cui rendimento fornisce le risorse finanziarie per le uscite. Queste istituzioni quindi sono

interessate ad una composizione del proprio portafoglio che le immunizzi da eventuali

modifiche nei rendimenti, ossia che le immunizzi dal rischio di tasso di interesse.

Supponiamo che ogni obbligazione sul mercato abbia la stessa yield to maturity y,

che nel portafoglio del nostro investitore ci siano solo due tipi di obbligazioni, 1 e 2, il

cui prezzo sia rispettivamente p1 e p2 e le cui quantita siano x1 e x2, e che abbia una

posizione debitoria (ossia abbia emesso obbligazioni) per un importo pari a d. Per il

nostro investitore vale che il totale delle attivita e delle passivita siano uguali, ossia:

x1p1 (y) + x2p2 (y) = d (y) . (10.20)

L’immunizzazione completa si avrebbe quando una variazione in y modifica in egual

misura sia il lato destro (passivita) che sinistro (attivita) dell’Equazione (10.20); la

condizione perche cio accada quando considero piccole variazioni di y e che:

x1∂p1

∂y+ x2

∂p2

∂y=∂d

∂y. (10.21)

Moltiplicando entrambi i lati per − (1 + y) /d ottengo che:

x1p1

d

[−(1 + y)

p1

∂p1

∂y

]+x2p2

d

[−(1 + y)

p2

∂p2

∂y

]= −(1 + y)

d

∂d

∂y, (10.22)

da cui, sfruttando la definizione di Macaulay Duration D per un’obbligazione abbiamo:

a1D1 + a2D2 = Dd, (10.23)

dove a1 = x1p1/d e a2 = x2p2/d sono le quote di portafoglio investite nell’obbligazione 1 e

2 rispettivamente. La Condizione (10.23) ha una spiegazione intuitiva molto immediata:

per immunizzare il mio portafoglio deve far si che la media ponderata, con pesi le quote

di portafoglio, delle duration relative alle singole obbligazioni da me detenute (D1 e D2)

253

VI. L’immunizzazione di portafogli obbligazionari 10. LE OBBLIGAZIONI

sia esattamente pari alla duration delle obbligazioni a cui io devo far fronte (Dd).

Usando l’Equazione (10.20) in questo particolare caso di sole 2 obbligazioni, ossia

imponendo che a1 + a2 = 1, posso determinare in maniera univoca le quote a1 e a2 che

immunizzano il mio portafoglio, ossia:

a1 =Dd −D2

D1 −D2

e (10.24)

a2 =D1 −Dd

D1 −D2

. (10.25)

Esempio 57 (Un esempio di immunizzazione finanziaria)

Supponete di avere a disposizione due possibili obbligazioni con eguale rendimento in cui

investire il vostro attivo, le cui duration sono rispettivamente 5 e 2. Nel fare cio vorreste

immunizzarvi completamente dal rischio di tasso di interesse, avendo un debito con eguale

rendimento delle due obbligazioni, ma la cui duration e 3. Le Equazioni (10.24) e (10.25)

ci indicano le quote di portafoglio delle due obbligazioni, ossia:

a1 =3− 2

5− 2= 1/3 e

a2 =5− 3

5− 2= 2/3.

Notiamo che nulla cambierebbe nelle scelte dell’investitore se fosse disponili altre obbli-

gazioni con pari rendimento ma diversa duration, dato che solo due obbligazioni sono

necessarie per avere immunizzazione completa.

VI.A Alcune osservazioni sulle strategie di immunizzazione

Nel seguito puntualizziamo alcuni aspetti delicati della strategia di immunizzazione.

Rendimenti non uguali La procedura di immunizzazione proposta ha il grande svan-

taggio di richiedere rendimenti uguali, che si tratti sia di obbligazioni a debito che a

credito, anche se questo in effetti non e il vero vincolo richiesto per poter applicare la

procedura. Quello che richiede effettivamente la strategia di immunizzazione e di sapere

come si muovono i prezzi delle obbligazioni rispetto a variazioni di y, ossia ∂p/∂y e ∂d/∂y.

Se tali variazioni sono piu o meno simili allora il tutto funziona. Ma se, come sappiamo

dalla teoria delle obbligazioni zero coupon, la variazione nel rendimento di un’obbligazione

dipende anche dalla sua time to maturity le cose si fanno molto piu complicate. Inoltre,

sappiamo che i rendimenti sono anche una funzione della cedola e del valore facciale, e

254

10. LE OBBLIGAZIONI VII. La struttura a termine dei tassi di interesse

anche di questo bisognerebbe tenere conto nel momento della formulazione delle strategie

di immunizzazione.

Soluzioni multiple per la strategia di immunizzazione Nel caso di solo due obbli-

gazioni abbiamo visto che esiste una soluzione precisa per la determinazione delle quote

di portafoglio. Tuttavia quando il tipo di obbligazioni detenute sono piu di due questo

non e piu possibile. Estendendo, infatti, l’analisi al caso con J tipi di obbligazioni, la

strategia di immunizzazione richiede che:

a1D1 + a2D2 + ...+ aJDJ = Dd. (10.26)

A questo punto l’investitore potrebbe scegliere di focalizzare il proprio portafoglio verso

le obbligazioni la cui duration e piu vicino a Dd.

I costi di un continuo adeguamento del portafoglio La strategia di immunizzazio-

ne appena discussa ignora la possibilita che si abbiano scostamenti molto forti nei livelli

di rendimento e quindi anche nelle quote di portafoglio delle varie obbligazioni. Cio, in un

mercato con frizioni, significa incorrere in costi di aggiustamento che dovrebbero essere

tenuti in debito conto da chi elabora la strategia di immunizzazione per evitare che i costi

di aggiustamento del portafoglio siano superiori ai benefici dell’immunizzazione.

Rischio di base E’ bene sempre tenere a mente che le strategie di immunizzazione non

influenzano il basis risk e quindi, ad esempio, rimaniamo sempre sottoposti al credit risk.

VII La struttura a termine dei tassi di interesse

La presenza di mercati obbligazionari per molteplici time to maturity permette di

calcolare quella che viene chiamata la struttura a termine dei tassi di interesse, che non

e altro che la relazione fra lo spot yield di un’obbligazione zero coupon e la sua time to

maturity.

Gli economisti sono molto interessati a tale struttura a termine perche fornisce preziose

indicazioni sull’andamento dei rendimenti futuri, in particolare sulle aspettative che gli

investitori hanno sui rendimenti futuri (forward interest rate). Inoltre, fornisce indicazioni

sul tasso di inflazione atteso dagli investitori di mercato, nel momento in cui confronto la

struttura a termine dei tassi di interesse relativa ad obbligazioni nominali con obbligazioni

reali (index-linked bond).

255

VII. La struttura a termine dei tassi di interesse 10. LE OBBLIGAZIONI

Nella Figura 10.2 abbiamo riportato la struttura a termine dei tassi di interesse per le

obbligazioni europee con rating AAA (ossia quelle che dovrebbero presentare un rischio

di fallimento quasi nullo) per due giorni, il 6/9/2004 e il 21/12/2011.

0 5 10 15 20 25 30

01

23

45

Scadenza

Tassi spot

06−SEP−2004

21−DEC−2011

Figura 10.2: Struttura a termine dei tassi di interesse per le obbligazioni europee con

rating AAA (ossia quelle che dovrebbero presentare un rischio di fallimento quasi nullo)

per due giorni, il 6/9/2004 e il 21/12/2011. Fonte: Bance Centrale Europea (http:

//www.ecb.europa.eu/stats/money/yc/html/index.en.html).

La relazione fra yn ed n appare crescente e concava (per scadenze elevate quasi piatta),

che e quello usualmente osservato nei mercati. In generale, poi, cambiamenti nei tassi di

interesse si riverberano sugli spot yield a tutte le scadenze (si parla di sincronicita nei

movimenti della curva a tutte le scadenze); nella Figura 10.2 abbiamo proprio questo

comportamento, in cui la diminuzione dei tassi fra le due date ha riguardato tutte le

scadenze.

Tuttavia e possibile osservare, specialmente quando gli spot yield a breve sono molto

elevati, che la curva diventa decrescente e convessa (almeno in un suo tratto), come

riportato in Figura 10.3.

256

http://www.ecb.europa.eu/stats/money/yc/html/index.en.html



0 5 10 15 20 25 30

01

23

45

Scadenza

Tassi spot

25−JUL−2008

05−SEP−2008

31−OCT−2008

21−DEC−2011

Figura 10.3: Struttura a termine dei tassi di interesse per le obbligazioni europee con

rating AAA (ossia che dovrebbero presentare un rischio di fallimento quasi nullo) per

quattro giorni: 25/7/2008, 5/9/2008, 31/10/2008 e 21/12/2011. Fonte: Bance Centrale

Europea (http://www.ecb.europa.eu/stats/money/yc/html/index.en.html).

La Figura 10.3 fa riferimento ad un periodo molto turbolento dei mercati finanziari,

la crisi dell’autunno 2008, i cui detonatori furono il mercato dei sub-prime negli Stati

Uniti e il fallimento di Lehman Brothers nel settembre 2008. Anche le piazze europee

ne rimasero profondamente coinvolte e la struttura a termine dei tassi subı profonde

modificazioni, che ancora adesso persistono. Nel momento di maggior crisi (5 Settembre

2008) la curva dei tassi appare decrescente, per l’aspettativa di una diminuzione dei tassi

dovuta all’intervento delle Banche Centrali. Questo in effetti puntualmente avvenne, come

mostrato dalla curva dei tassi del 31 Ottobre 2008. La discesa fu cosı repentina (quasi

il 2% in poco piu di un mese), che la curva presenta per le scadenze a breve un insolito

picco, che con il tempo scomparira appena i tassi a tutte le scadenze assorbiranno la

discesa dei tassi. Discesa di cui beneficiamo ancora ora, come evidenziato dalla curva del

21 Dicembre 2011.

Riassumendo sono tre i fatti che meritano di essere spiegati: i) la sincronicita dei movi-

menti della curva dei rendimenti; ii) la relazione fra livello dei tassi a breve ed inclinazione

della curva dei rendimenti; e iii) la bassa probabilita di osservare curve dei rendimenti

decrescenti.

257



La teoria economica ha elaborato tre spiegazioni dell’andamento della curva dei rendi-

menti e quindi della struttura a termine dei tassi di interesse. La prima, chiamata teoria

delle aspettative (expectation theory), riesce a spiegare sia il fatto i) che ii), ma non il

fatto iii). La seconda, chiamata teoria dei mercati segmentati (segmented markets theo-

ry), riesce a spiegare il fatto iii), ma non i fatti i) e ii). Infine, la teoria del premio alla

liquidita e dell’ambiente preferito (liquidity premium and preferred habitat theory) appare

molto efficace nello spiegare tutte e tre i fatti, lasciando tuttavia dei gradi di liberta nella

spiegazione del livello degli spot yield. Rimandiamo alla Sezione VII.C la presentazione

nel dettaglio delle tre teorie; nel seguito, invece, discuteremo come la struttura a termine

dei tassi di interesse osservata fornisca di per se informazioni molto utili sulla dinamica

macroeconomica futura.

In conclusione, osserviamo come, nell’analisi quantitativa dei mercati finanziari, la

stima della struttura a termine dei tassi di interesse comporta dei problemi non banali,

dato che non sono generalmente disponibili obbligazioni zero coupon per tutte le scadenze;

esistono dei metodi per ovviare a tale difficolta, ma che esulano dal nostro interesse. Chi

fosse interessato ai dati sugli spot yield delle obbligazioni nell’area euro puo trovare presso

il sito della Banca Centrale Europea molte informazioni in merito (http://www.ecb.int/

stats/money/yc/html/index.en.html).

VII.A La stima del tasso di inflazione atteso

Per alcuni investitori e molto interessante avere una stima del tasso di inflazione futuro.

La comparazione tra la struttura a termine per obbligazioni nominali e per obbligazioni

reali fornisce una tale stima. Il ragionamento che si segue e esattamente quello svolto nella

Sezione II.A, dove, sotto l’assunzione che yRn = yRn , avevamo ottenuto che (vedi Equazione

(10.13)):

πan = yn − yRn . (10.27)

Nella Figura 10.4 riportiamo due curve rappresentanti la struttura a termine dei tassi di

interesse relativa a obbligazioni nominali (linea nera) ed ad obbligazioni reali (linea rossa).

Per ogni scadenza, la differenza tra le due curve rappresenta il tasso di inflazione medio

atteso dagli investitori nel periodo che va da oggi alla scadenza. Se, come in Figura 10.4, il

tasso medio atteso di inflazione cresce dalla scadenza n0 alla scadenza n1, ossia πan1> πan0

,

cio significa che gli investitori prevedono un’inflazione in crescita da n0 a n1. Ricordiamo

come l’Equazione ( 10.27) si basi sull’ipotesi yRn = yRn , che non e mai verificata nel caso di

investitori avversi al rischio; in quest’ultimo caso yRn ≥ yRn , da cui possiamo dedurre che

πan e una sovrastima dell’inflazione attesa.

258

http://www.ecb.int/stats/money/yc/html/index.en.html

http://www.ecb.int/stats/money/yc/html/index.en.html


nn0 n1

yn, yRn

yRn0

yn0

πn0

πn1

Figura 10.4: Stima del tasso di inflazione medio atteso dagli investitori tramite le curvedella struttura a termine dei tassi di interesse nominali (in nero) e reali (in rosso).

Esempio 58 (Il tasso di inflazione atteso dagli investitori)

Supponete di che la stima della struttura a termine delle obbligazioni abbia dato il

seguente risultato:

yn = 0.03n0.25,

mentre la stima della struttura a termine delle obbligazioni reali abbia dato il seguente

risultato:

yRn = 0.02n0.20.

Il tasso di inflazione medio atteso e quindi dato dall’Equazione (10.27), ossia:

πn = 0.03n0.25 − 0.02n0.20.

Se ad esempio volessimo calcolare il tasso di inflazione medio atteso nei prossimi 5 anni

avremo che:

π5 = 0.03 ∗ 50.25 − 0.02 ∗ 50.20 = 0.017.

VII.B I tassi forward impliciti

La struttura a termine dei tassi di interesse fornisce anche informazioni su quelli che

sono chiamati i tassi forward impliciti, ossia sui tassi di interesse che gli investitori si

aspettano nel futuro ad una certa scadenza. Tali tassi sono diversi dai tassi forward espli-

citi, che si possono ricavare da contratti riguardanti acquisto e vendita di obbligazioni nel

259


futuro, ad esempio da un contratto che stabilisca il prezzo di acquisto di un’obbligazione

zero coupon tra un anno con scadenza un anno, il quale definisce esplicitamente un tasso

di interesse forward tra un anno.

Per capire il punto si consideri il caso in cui l’investitore stia valutando se acquistare

i) un’obbligazione zero coupon a scadenza fra n anni o ii) un’obbligazione zero coupon di

durata n−1 anni e alla scadenza acquistare un’altra obbligazione zero coupon con scadenza

un anno. Per il Principio di Arbitraggio, il rendimento di quest’ultima obbligazione,

fn−1,n, deve essere tale che:

(1 + yn)n = (1 + yn−1)n−1 (1 + fn−1,n) , (10.28)

altrimenti vi sarebbero delle possibilita di arbitraggio nel mercato. La Figura 10.5 fornisce

un’intuizione di come viene determinato il tasso forward tra n− 1 ed n.

n0 n− 1

yn

yn−1 fn−1,n

Figura 10.5: Determinazione dei tassi forward dalla struttura a termine dei tassi diinteresse

Esempio 59 (Calcolo del tasso forward via rendimenti di obbligazioni a scadenza diversa)

Supponete che lo spot yield di un’obbligazione zero coupon con scadenza 2 anni sia pari al

6%, mentre lo spot yield di un’obbligazione a scadenza fra un anno sia pari al 4%. Allora

tramite l’Equazione (10.28) possiamo calcolare il tasso forward implicito del periodo (1,2),

ossia:

f1,2 =(1 + 0.06)2

(1 + 0.04)− 1 = 0.080.

Dall’Equazione (10.28), ricordando che pm = 1/ (1 + yn)n si puo direttamente ricavare

che:

fn−1,n =pn−1

pn− 1. (10.29)

Esempio 60 (Calcolo del tasso forward via prezzi delle obbligazioni a scadenza diversa)

Supponiamo che p4 = 106 e p5 = 100. Allora via Equazione (10.29) avremo che il tasso

implicito forward del periodo ()4,5) sara pari a:

f4,5 =106

100− 1 = 0.06.

260


E’ possibile calcolare tassi forward per periodi piu lunghi di un anno. Ripercorrendo

il ragionamento fatto in precedenza, consideriamo un’obbligazione che scade tra n − j

periodi e l’acquisto di un’obbligazione al periodo n − j con scadenza n, abbiamo che il

tasso forward implicito nel periodo [n− j, n], fn−j,n, e definito come:

fn−j,n =

(pn−jpn

)1/j

− 1. (10.30)

E’ inoltre possibile esprimere il rendimento di un titolo zero-coupon a scadenza n come:

(1 + yn)n = (1 + y1) (1 + f1,2) ... (1 + fn−1,n) . (10.31)

Infatti, sapendo che:

(1 + yn)n = (1 + yn−1)n−1 (1 + fn−1,n) , (10.32)

possiamo

(1 + yn−1)n−1 = (1 + yn−2)n−2 (1 + fn−2,n−1) , (10.33)

che sostituito nell’Equazione (10.32) porta a:

(1 + yn)n = (1 + yn−2)n−2 (1 + fn−2,n−1) (1 + fn−1,n) , (10.34)

Procedendo a ritroso fino a n = 1 otteniamo l’Equazione (10.31).

L’Equazione (10.31) mostra come sia possibile calcolare il rendimento di un’obbliga-

zione zero coupon a qualunque scadenza partendo da tassi impliciti forward (il solo y1

non e un tasso forward). In particolare, i tassi delle obbligazioni con scadenza n possono

essere visti come il prodotto di tutta la serie dei tassi attesi per ogni periodo fino ad n

(ossia f1,2, f2,3, ..., fn−1,n).

Infine, osserviamo che se esiste un mercato di vendita a termine per le obbligazioni,

allora il tasso di interesse esplicito deve essere pari in equilibrio a quello implicito altrimenti

sarebbe violato il Principio di Arbitraggio.

VII.C La teoria della struttura a termine dei tassi di interesse

Come abbiamo gia discusso precedentemente la teoria economica ha elaborato tre

spiegazioni della struttura a termine dei tassi di interesse. Affronteremo nell’ordine la

teoria delle aspettative, successivamente la teoria dei mercati segmentati e, infine, la teoria

del premio di liquidita e dell’ambiente preferito. Tutte e tre le teorie contengono elementi

importanti e di qui la ragione di discuterle singolarmente.

261


La teoria delle aspettative

La teoria delle aspettative si propone di spiegare la forma della struttura a termine

sulle base delle aspettative sui tassi futuri. L’Equazione (10.31), che esprime lo spot yield

di un’obbligazione zero coupon con scadenza n come il risultato dei tassi forward di tutte

le scadenze minori di n, fornisce l’intuizione alla base di questa teoria con la cruciale

differenza che nella teoria dei tassi forward l’investitore prende come un dato la struttura

a termine dei tassi di interesse, mentre invece l’obiettivo ora e di spiegarla. A questo

riguardo, si considerino tre obbligazioni zero coupon con lo stesso valore facciale m. La

prima obbligazione puo essere acquistata oggi, ossia al periodo t e scade al periodo t+ 1;

indichiamo con y1,t il suo rendimento (abbiamo inserito un indice temporale per indicare

il periodo in cui l’obbligazione e acquistabile dall’investitore). La seconda obbligazione

puo essere acquistata il periodo t+1 e scade nel periodo t+2; indichiamo con ya1,t+1 il suo

spot yield atteso. Infine, la terza obbligazione puo essere acquistata al periodo corrente

t e scade nel periodo t + 2; indichiamo con y2,t il suo spot yield. In equilibrio, se vale il

Principio di Arbitraggio e gli individui sono neutrali al rischio, deve valere che:

(1 + y2,t)2 = (1 + y1,t)

(1 + ya1,t+1

), (10.35)

altrimenti un investitore avrebbe interesse a modificare la proprie scelte o a favore di

un portafoglio con le due obbligazioni uniperiodali o a favore dell’acquisto della sola

obbligazione biperiodale.

La Figura 10.6 riporta un’esposizione grafica del ragionamento. Sottolineiamo che

t+ 2t t+ 1

y2,t

y1,t ya1,t+1

Figura 10.6: L’eguaglianza in equilibrio fra lo spot yield di un’obbligazione con scadenzaa due periodi e di un portafoglio con due obbligazioni uniperiodali, una acquistabileimmediatamente e l’altra nel periodo successivo.

un’ipotesi cruciale sottostante all’Equazione (10.35) e che gli investitori non abbiano al-

cuna preferenza per obbligazioni con scadenze diverse e che non richiedano nessun premio

per l’incertezza sullo spot yield atteso dell’obbligazione acquistabile nel periodo successi-

vo. Tecnicamente si dice che le obbligazioni con diverse scadenze siano perfetti sostituti.

In conclusione cio significa che gli investitori sono neutrali al rischio.

262


Generalizzando al caso in cui considero un’obbligazione con scadenza nel periodo n e

due obbligazioni, una uniperiodale acquistabile immediatamente e l’altra dopo un periodo

e con una time to maturity n− 1, abbiamo che:

y1,t =(1 + yn,t)

n

(1 + yan−1,t+1

)n−1 − 1, (10.36)

dove yan−1,t+1 e il tasso atteso di un’obbligazione acquistata al periodo t+ 1 con scadenza

al periodo n (e che quindi ha una time to maturity di n− 1).

Se supponiamo di considerare, come alternativa all’investimento nell’obbligazione con

maturity n, un portafoglio con n obbligazioni uniperiodali, una per ogni periodo da t a

t+ n, abbiamo che in equilibrio per il Principio di Arbitraggio deve valere che:

(1 + yn,t)n = (1 + y1,t)

(1 + ya1,t+1

) (1 + ya1,t+2

)...(1 + ya1,t+n−1

), (10.37)

dove ya1,t+j, per j = 1, ..., n − 1 rappresenta lo spot yield di un’obbligazione uniperiodale

acquistata al periodo t + j. La Figura 10.7 fornisce un’intuizione grafica del ragiona-

mento alla base dell’Equazione (10.37) L’Equazione (10.37) e alla base della teoria delle

t+ nt t+ 1

yn,t

y1,t

t+ 2

ya1,t+1

t+ 3 t+ 4 t+ n− 1

ya1,t+2 ya1,t+3ya1,t+n−1

Figura 10.7: L’eguaglianza in equilibrio fra lo spot yield di un’obbligazione con scadenzaa n periodi e di un portafoglio con n obbligazioni uniperiodali acquistabili una in ogniperiodo che va dal periodo t al periodo t+ n.

aspettative e prende il nome di return to maturity. Essa afferma che il spot yield di

un’obbligazione con maturity n osservato nel mercato e il risultato di n spot yield attesi

di obbligazioni uniperiodali acquistabili negli n periodi futuri.

L’Equazione (10.37) puo anche essere riscritta nel seguente modo:

yn,t =[(1 + y1,t)

(1 + ya1,t+1

) (1 + ya1,t+2

)...(1 + ya1,t+n−1

)]1/n − 1, (10.38)

ossia lo spot yield di un’obbligazione con scadenza n non e altro che la media geometrica

degli n spot yield attesi di un’obbligazione uniperiodale che si avranno nei futuri n periodi.

L’Equazione (10.38) prende il nome di yield to maturity.

263


Un’analisi dell’Equazione (10.38) mostra come la teoria delle aspettative spiega sia la

sincronicita dei movimenti della curva della struttura a termine dei tassi, che la relazione

fra il livello degli spot yield a breve ed l’inclinazione della curva della struttura a termine

dei tassi. Infatti, un aumento nelle aspettative di un certo spot yield futuro, ad esempio

relativo al periodo n0, avra l’effetto di traslare la curva dei rendimenti per tutte le scadenze

superiori a n0. Nello stesso tempo alti livelli di spot yield a breve generalmente implicano

piu bassi livelli attesi di spot yield futuri e quindi lo spot yield tende a decrescere con

la maturity n. Tuttavia la teoria delle aspettative non e in grado di spiegare come mai

si osservi con una alta frequenza una curva della struttura a termine dei tassi crescente,

ovvero come mai gli spot yield per maturity piu lunghe sono per la maggior parte del

tempo superiori agli spot yield per maturity piu brevi.

Esempio 61 (La Struttura a termine dei tassi di interesse)

Supponete che lo spot yield di un’obbligazione con scadenza un anno sia pari al 3%

(ossia ya1,t = 0.03) e che vi aspettiate per il periodo 2 un tasso di interesse del 4% (ossia

ya1,t+1 = 0.04) e per il periodo 3 del 5% (ossia ya1,t+2 = 0.05). Allora per l’Equazione

(10.38) un’obbligazioni con scadenza a 3 anni in equilibrio deve presentare uno spot yield

pari a:

y3,t = [(1 + 0.03) (1 + 0.04) (1 + 0.05)]1/3 − 1 = 0.040,

mentre un’obbligazione a scadenza fra 2 anni:

y2,t = [(1 + 0.03) (1 + 0.04)]1/2 − 1 = 0.035;

avremo quindi che la struttura a termine dei tassi di interesse per n = 1, 2, 3 e data da

(0.03, 0.035, 0.040) Se il tasso atteso per il periodo 2 diminuisce al 2%, allora avremo che:

y3,t = [(1 + 0.03) (1 + 0.02) (1 + 0.05)]1/3 − 1 = 0.033,

e

y2,t = [(1 + 0.03) (1 + 0.02)]1/2 − 1 = 0.025.

Quindi la struttura a termine dei tassi di interesse per n = 1, 2, 3 e data da (0.03, 0.025, 0.033).

Il cambiare di un tasso atteso ha fatto traslare tutta la curva della struttura a termine

dei tassi (e traslata verso il basso per precisione); inoltre, con tassi attesi futuri inferiori a

quelli correnti la struttura a termine dei tassi di interesse presenta adesso un’inclinazione

negativa tra i periodi 1 e 2 (infatti lo spot yield per scadenza ad un anno e superiore a

quello a scadenza a due anni).

264


Local expectation hypothesis In effetti la teoria delle aspettative fornisce indicazioni

ancora piu precise sul rapporto fra gli spot yield attesi delle obbligazioni. Ricordando che

pn = 1/ (1 + yn)n, possiamo scrivere che:

y1,t =(1 + yn,t)

n

(1 + yan−1,t+1

)n−1 =pan−1,t+1

pn,t− 1, (10.39)

dove pn,t e il prezzo al periodo t dell’obbligazione con maturity n, mentre pan−1,t+1 e il

prezzo al periodo t + 1 dell’obbligazione con scadenza n − 1. Possiamo allora definire il

lato destro dell’Equazione (10.39) come il rendimento atteso del detenere un’obbligazione

con maturity n per un periodo da t a t+ 1, ossia:

y1,t = ran,t+1 =≡ pan−1,t+1

pn,t− 1. (10.40)

Per avere un’intuizione del significato di ran,t+1 supponete di comprare adesso al periodo t

un’obbligazione con maturity n e di rivenderla nel periodo successivo t + 1; allora ran,t+1

rappresentera il rendimento atteso di tale operazione, essendo il prezzo di vendita atteso

proprio dato da pan−1,t+1. Chiarito il punto osserviamo che tale proprieta deve valere per

tutte le obbligazioni con scadenza diversa da n, ossia:

y1,t = ran,t+1 = ran−1,t+1 = ... = ra2,t+1. (10.41)

L’Equazione (10.41) definisce quella che prende il nome di Local Expectation Hypothesis,

ossia che la struttura a termine dei tassi di interesse deve essere tale da mantenere tutti i

rendimenti attesi annuali delle obbligazioni eguali, indipendentemente dalla loro scaden-

za. Questa conclusione, che deriva direttamente dall’ipotesi di perfetta sostituibilita di

obbligazioni con differente tempo alla scadenza, e stata variamente criticata in letteratu-

ra proprio in considerazione del fatto che gli investitori nelle loro decisioni sembrano non

mostrare questo tipo di preferenze. Vedremo come le altre due teorie vengano incontro

proprio a questa critica.

La teoria dei mercati segmentati

La teoria dei mercati segmentati nega che le obbligazioni con scadenze diverse siano

perfetti sostituti, affermando che esistono diverse categorie di obbligazioni definite sulla

base della loro maturity (ad esempio obbligazioni di breve periodo, obbligazioni di medio

periodo ed obbligazioni di lungo periodo) e obbligazioni di categorie diverse non sono

soggette alle stesse dinamiche, ovvero i loro prezzi possono avere comportamenti differenti.

In questa impostazione, i tassi sulle obbligazioni con una scadenza a lunga sono maggiori

265


per la preferenza degli investitori per le obbligazioni con scadenze brevi (ricordiamo che

esiste una relazione negativa tra pn ed yn). Da questo assunto deriva anche un’importante

implicazione per la politica monetaria, ossia che le operazioni della Banca Centrale su

obbligazioni a scadenza breve non riescono ad influenzare gli spot yield delle obbligazioni

a scadenza lunga. Questa teoria riuscirebbe quindi a spiegare la notevole frequenza con cui

si osserva un’inclinazione positiva della curva della struttura a termine dei tassi. Tuttavia

non riesce a spiegare ne la sincronicita degli spostamenti della curva, ne perche a spot

yield a breve molto elevati corrisponda di norma una curva dei rendimenti decrescente.

La teoria della preferenza per la liquidita e dell’ambiente preferito

La teoria della preferenza per la liquidita e dell’ambiente preferito sostiene che nello

spiegare gli spot yield di obbligazioni con diversa maturity bisogna tenere in considerazione

la preferenza di liquidita degli investitori e delle diverse condizioni di domanda ed offerta

per le obbligazioni con maturity diverse. In particolare, la teoria della preferenza per

la liquidita afferma che gli spot yield delle obbligazioni mano a mano che aumenta la

loro maturity devono riflettere un premio di liquidita (liquidity premium) o un premio a

termine (term premium) a seguito del maggior rischio di tasso di interesse (vedi Sezione V)

In altre parole, si sostiene che in equilibrio lo spot yield di un’obbligazione con maturity

n debba incorporare un premio di liquidita o a termine, ln,t, che e crescente in n, come

riflesso del maggior rischio di tasso di interesse sopportato dagli investitori all’aumentare

di n. Quindi, riprendendo l’Equazione (10.38), potremo scrivere che:

yn,t =[(1 + y1,t)

(1 + ya1,t+1

) (1 + ya1,t+2

)...(1 + ya1,t+n−1

)]1/n − 1 + ln,t. (10.42)

Se gli spot yield seguono l’Equazione (10.42) allora dovremo osservare, come infatti accade,

che gli spot yield delle obbligazioni, ceteris paribus, crescano all’allungarsi della maturity.

Un punto debole della teoria della preferenza per la liquidita e che lascia indeterminati

l’andamento dei premi della liquidita, se non la restrizione che siano crescenti rispetto alla

maturity. Quindi la teoria puo facilmente accomodarsi ai dati, ma e difficilmente sotto-

porla a verifica empirica. La teoria dell’ambiente preferito arriva alle stesse conclusioni

riportate nell’Equazione (10.42) solo che parte da premesse diverse ed in qualche modo

rappresenta un completamento della teoria della preferenza per la liquidita. Essa infat-

ti assume che gli investitori abbiano preferenze diverse sulla maturity delle obbligazioni

(un diverso ambiente preferito); in particolare chi acquista obbligazioni ha preferenze per

maturity brevi, mentre chi le vende per maturity lunghe. In questa situazione allora

per convincere gli investitori a detenere obbligazioni a scadenza lunga il rendimento di

queste deve essere superiore al rendimento delle obbligazioni a scadenza breve. E tale

266


differenza deve crescere al crescere della maturity, come stabilito dall’Equazione (10.42).

In questo ambito il premio di liquidita e quindi spiegato in termini di eterogeneita nelle

preferenze degli investitori sulla maturity delle obbligazioni. Nella Figura 10.8 abbia-

mo riportato un’illustrazione della teoria della preferenza per la liquidita e dell’ambiente

preferito nel caso in cui si prevedano spot yield uniperiodali costanti nel tempo (ossia

y1,t = ya1,t+1 = ... = ya1,t+n−1).

yn

nn0 n1

ln0

ln1

yn1

yn0

y1;t

Figura 10.8: La teoria della preferenza per la liquidita e dell’ambiente preferito comespiegazione della curva della struttura a termini dei tassi nel caso sia si prevedano spotyield uniperiodali costanti nel tempo pari a y1,t.

Confrontando queste conclusioni con quelle della teoria delle aspettative abbiamo che

una curva della struttura a termini dei tassi decrescente trova la sua spiegazione in un’a-

spettativa di diminuzione degli spot yield futuri, ma una curva dei rendimenti solo mode-

ratamente crescente puo significare invarianza degli spot yield futuri e non, come la teoria

delle aspettative suggeriva, una crescita nel tempo delle stessi.

In conclusione, osserviamo come le tre teorie della struttura a termine dei tassi for-

niscono una spiegazione sulla relazione fra gli spot yield a diverse scadenze, ma nulla e

detto sul loro livello, ossia sappiamo come si devono muovere tra loro gli spot yield, ma

non sappiamo il livello a cui si posizioneranno. Ad esempio nulla e detto del perche gli

spot yield a breve possono risultare piu elevati di quelli a lunga e viceversa. In effetti, la

letteratura economica ha proposto vari modelli per la determinazione dei livelli degli spot

yield, tra cui un’applicazione della APT alle obbligazioni, ma non e questa la sede per la

loro discussione.

267




2005; Capp. 12 e 13.

• de La Grandville, Bond Price and Portfolio Analysis, MIT press, 2001.


and Investment Analysis, John Wiley, 2002, Capp. 20 e 21.

• Sharpe W.F., Alexander G.J. e Bailey J.V., Investments, Printice-Hall, 1999, Capp.

14 e 15.

268

Capitolo 11

Le opzioni

Nei mercati finanziari esistono una varieta di strumenti finanziari, denominati con-

tingent claims contract, il cui ritorno dipende dall’andamento nel tempo del valore di

qualche attivita finanziaria. Tra questi uno dei piu famosi e il contratto di opzione (op-

tion). Questo contratto prevede la possibilita di vendere od acquistare una determinata

attivita finanziaria ad un determinato prezzo entro un certo periodo di tempo od ad una

data stabilita.1

Il mercato delle opzioni si e enormemente sviluppato dagli anni 70 del secolo scorso

negli Stati Uniti, tanto da diventare uno dei mercati finanziari di piu ampie dimensioni.

Una ragione alla base di tale successo e che il contratto di opzione permette agli inve-

stitori di ottenere una protezione dal rischio aggiuntiva rispetto a detenere un semplice

portafoglio di attivita composto da azioni ed obbligazioni. Dal punto di vista teorico i

contratti di opzione forniscono una prospettiva diversa di fenomeni di grande interesse,

come la relazione fra il valore delle imprese e la struttura finanziaria delle loro passivita (il

teorema di Modigliani-Miller) o come il fatto che l’irreversibilita dei costi di investimento

(i cosiddetti costi non recuperabili) sia un aspetto chiave nelle decisioni di investimento.

Nel seguito forniremo prima una descrizione del mercato delle opzioni e dei vari tipi

di opzioni scambiate, per poi passare ad analizzare le principali teorie di determinazione

del loro prezzo. Anche se esiste una teoria ampiamente usata nella pratica (la teoria di

Black e Scholes, che discuteremo nella Sezione V), e nonostante il notevole interesse per

le opzioni da parte degli economisti ed investitori, siamo ben lontani da avere una teoria

consolidata.

1La possibilita e non l’obbligo di acquisto e la principale differenza con i contratti future ed i contrattidi opzione.

269

I. Introduzione 11. LE OPZIONI

I Introduzione

Nel mercato esistono due fondamentali tipi di opzioni: l’opzione call e l’opzione put.

L’opzione call permette al possessore (holder) di acquistare una certa attivita finan-

ziaria ad un dato prezzo, chiamato prezzo di esercizio (exercise price), dal sottoscrittore

(writer) dell’opzione. Il sottoscrittore e obbligato dal contratto a vendere tale attivita al

prezzo di esercizio se il possessore esercita l’opzione di acquisto.

L’opzione put permette al possessore (holder) di vendere una certa attivita finanziaria

ad un dato prezzo, chiamato prezzo di esercizio (exercise price), al sottoscrittore (writer)

dell’opzione. Il sottoscrittore e obbligato dal contratto ad acquistare tale attivita al prezzo

di esercizio se il possessore esercita l’opzione di vendita.

Un aspetto importante del contratto di opzione e il momento il cui il possessore puo

esercitare i suoi diritti. A questo riguardo esistono due tipi di opzioni. L’opzione ame-

ricana permette che tale diritto sia esercitabile per tutto il periodo fino alla scadenza

dell’opzione (expiry date). L’opzione europea, invece, permette di esercitare tale diritto

solo alla scadenza. Le opzioni che non sono esercitate entro la scadenza si dicono morte e

sono senza valore. Le opzioni americane sono le piu comuni, ma sono anche le piu difficili

da analizzare, cosı che nel seguito ci concentreremo principalmente su quelle europee e

discuteremo cosa cambia nel caso le opzioni fossero di tipo americano.

Le opzioni sono scambiate sia in mercati regolamentati, come il Philadelphia Stock

Exchange, il Chicago Board Options Exchange (CBOE) o il LIFFE, ma anche in mercati

non regolamentati (over-the-counter, OTC) dove i singoli investitori contrattano diretta-

mente fra loro. In questo caso i contratti di opzione possono essere molto complicati e

collegati a prezzi di attivita finanziarie non quotate.

Infine, e da ricordare che esiste la necessita di avere delle garanzie per il buon anda-

mento del contratto di opzione. Una garanzia possibile consiste nel depositare le attivita

finanziarie oggetto del contratto (ad esempio azioni) presso terze parti, assumendo cosı

una posizione cosiddetta coperta (covered position); se invece la posizione e scoperta (na-

ked position), allora e necessario depositare una somma a garanzia (margin deposits), che

puo variare in funzione della differenza fra il prezzo di esercizio e il prezzo di mercato

dell’attivita finanziaria.

Infine, e importante tenere a mente che il contratto di opzione puo terminare in tre

modi per chi possiede l’opzione:

• non esercitare l’opzione entro la scadenza, cosı che l’opzione muore;

• esercitare l’opzione; e

270

11. LE OPZIONI II. Ritorno, guadagno e valore di un’opzione

• sottoscrivere un’opzione identica a quella che si possiede (questa e un’attivita stan-

dard in molti mercati di opzioni).

II Ritorno, guadagno e valore di un’opzione

La Figura 11.1 riporta il profilo del ritorno ed del guadagno, ovvero il ritorno al netto

del costo dell’acquisto o del ricavo della sottoscrizione dell’opzione, per un possessore

di un’opzione europea call o put in funzione del prezzo dell’opzione call europea c, del

prezzo dell’opzione put europea p, del prezzo di esercizio X e del prezzo dell’attivita

oggetto del contratto al momento del diritto di esercizio dell’opzione ST , ignorando che

l’uscita/entrata per l’acquisto/sottoscrizione dell’opzione e il ritorno avvengano a date

diverse nel tempo (cio equivale ad assumere che r0 sia pari a zero).

Esempio 62 (Ritorno e guadagno ad acquistare un’opzione europea call)

Supponiamo che il prezzo di un’opzione call europea c sia pari a 10, che il prezzo di

esercizio sia X = 100. Abbiamo allora che il possessore di una call esercitera l’opzione se

il prezzo dell’attivita a scadenza ST sara superiore (o pari) a 100 e conseguira un guadagno

se ST sara superiore a 110.

La Figura 11.2 riporta invece il profilo del ritorno ed del guadagno per un sottoscrittore

di un’opzione europea call o put.

Esempio 63 (Ritorno e guadagno ad acquistare un’opzione europea put)

Supponiamo che il prezzo di un’opzione put europea p sia pari a 10, che il prezzo di

esercizio sia X = 100. Abbiamo allora che il possessore di una put esercitera l’opzione se

il prezzo dell’attivita a scadenza ST sara inferiore (o pari) a 100 e conseguira un guadagno

se ST sara inferiore a 90.

Dal confronto tra le Figure 11.1 e 11.2 e evidente come il possessore di un’opzione call

sia coperto dal rischio di una discesa del prezzo dell’attivita finanziaria S (la sua perdita

massima e pari a c), ed abbia tutto da guadagnare da un aumento di S oltre X + c; il

sottoscrittore e invece soggetto ad un notevole rischio, essendo la sua perdita nel caso di

un aumento di S oltre X + c potenzialmente infinita e guadagna solo se S non aumenta

oltre X + c. Questo rende chiaro la funzione del contratto di opzione call, che sposta il

rischio dal possessore al sottoscrittore in maniera asimmetrica e sostanziale. L’opzione

put invece non presenta evidenti asimmetrie fra i guadagni e le perdite possibili di un

possessore o di un sottoscrittore essendo la massima perdita per un possessore limitata a

−p mentre per un sottoscrittore a p − X e il massimo guadagno a X − p e p. Il rischio

viene quindi spostato, ma non in termini estremi; ’utilita del suo uso in un portafoglio

sara evidente dagli esempi discussi nel seguito.

271

II. Ritorno, guadagno e valore di un’opzione 11. LE OPZIONI

Ritorno

ST

Ritorno

Guadagno Guadagno

ST

ST ST

X X

XX

X

−c−p

Opzione call Opzione put

X − p

X + c X − p

1

1

−1

−1

ST < XOpzione muore

ST ≥ XOpzione esercitata

ST ≤ X

Opzione muoreOpzione esercitata

ST > X

Figura 11.1: Il profilo del ritorno e del guadagno per un possessore di un’opzione call oput europea (ignorando la diversa tempistica delle uscite ed entrate monetarie, ovveroassumendo r0 = 0).

272


Ritorno

ST

Ritorno

Guadagno Guadagno

ST

ST ST

X X

XX

−X

−c

p−X

Opzione call Opzione put

p

X + c X − p

Figura 11.2: Il profilo del ritorno e del guadagno per un sottoscrittore di un’opzione callo put europea (ignorando la diversa tempistica delle uscite ed entrate monetarie, ovveroassumendo r0 = 0).

273


Infine, quando S = X si dice che l’opzione abbia un valore intrinseco zero, ma

ha comunque un prezzo di mercato positivo: questo perche l’opzione fornisce sempre

l’opportunita di sfruttare una dinamica favorevole del prezzo dell’attivita finanziaria (che

e in salita se ho un’opzione call o in discesa se ho un’opzione put) senza invece subi-

re le conseguenze di una dinamica sfavorevole. In realta, non potendosi esercitare pri-

ma della scadenza un’opzione europea avrebbe come condizione di valore intrinseco zero

S = X/ (1 + r0)τ , dove r0 e il tasso dell’attivita priva di rischio e τ e il tempo alla scadenza.

In conclusione, notiamo come il prezzo di mercato per un’opzione americana call (o

put) deve sempre essere maggiore del prezzo della corrispondente opzione europea (cor-

rispondente significa con le stesse caratteristiche), dato che la prima ha l’opportunita di

essere fatta valere prima della scadenza.

II.A Portafogli con opzioni call e put

In questa sezione discutiamo diversi tipi di portafoglio che includono call e put. L’ope-

razione di acquisto (o la sottoscrizione) di un’opzione call e put con le stesse caratteristiche

(stesso prezzo di esercizio X e stessa scadenza T ) e chiamata straddle.2 Come si evince

Guadagno

ST ST

X

X

Possessore SottoscrittoreGuadagno

−p− c

X − p− c

p+ c

p+ c−X

X − p− c

X + p+ c X − p− c

X + p+ c

Figura 11.3: Il profilo di guadagno per l’acquisto o la sottoscrizione congiunta di un’op-zione call ed un’opzione put europee con stesso prezzo di esercizio X e stessa scadenza(assumendo r0 = 0).

2Esistono poi altre tipiche combinazioni di opzioni come la strip, due opzioni put ed un’opzione call,e la strap, due opzione call ed un’opzione put, che non sono rilevanti ai nostri fini didattici.

274


dalla Figura 11.3 il possessore guadagna nel caso ST si discosti significativamente da X

(in particolare piu di c+ p), mentre per il sottoscrittore vale esattamente l’opposto.

Esempio 64 (Acquisto congiunto di un’opzione call e di un’opzione put)

Supponiamo che i prezzi di un’opzione europea call c e di un’opzione europea put p siano

entrambi pari a 10. Inoltre, il prezzo di esercizio di entrambe le opzioni X sia pari a

100. Il possessore di queste due opzioni, se il prezzo a scadenza ST sara superiore a 100

esercitera l’opzione call e lascera morire l’opzione put; al contrario, se ST sara inferiore a

100 esercitera l’opzione put e lascera morire l’opzione call. Infine guadagnera se il prezzo

a scadenza sara od inferiore a 80 o superiore a 120. In termini di guadagno l’opposto

varra per il sottoscrittore delle due opzioni.

La possibilita poi di acquistare o sottoscrivere opzioni su un’attivita finanziaria che gia

si possiede (ad esempio un’azione) permette di sfruttare la covarianza nei ritorni dell’atti-

vita finanziaria e dell’opzione per diminuire il rischio complessivo del portafoglio detenuto.

Per verificare questa intuizione consideriamo ad esempio il profilo di guadagno di un por-

tafoglio contenente un’azione, acquistata al prezzo al prezzo X, e la sottoscrizione di una

call, con prezzo di esercizio X, sulla stessa azione riportato in Figura 11.4.3 Osserviamo

che una tale operazione annulla i possibili guadagni in conto capitale per ST > X, ma

allo stesso tempo riduce le perdite per ST < X: e quindi una strategia che mi ripara da

perdite in conto capitale a costo di non beneficiare di eventuali rialzi nel prezzo del titolo.

Queste sono, ad esempio, le esigenze di molti fondi di investimento, che hanno dei prezzi

obiettivo oltre i quali liquidano l’attivita finanziaria. Per loro la sottoscrizione di un’op-

zione fornisce dei ricavi aggiuntivi oltre alla maggior protezione nel caso di diminuzione

dei prezzi delle attivita.

Specularmente la Figura 11.5 riporta il caso dell’acquisto congiunto di un’azione e di

un’opzione put sulla stessa. Anche in questo caso si limitano le perdite in conto capitale

a −p nel caso di ST < X, ma si riesce a beneficiare di eventuali dinamiche favorevoli di S

per ST > X + p.

Esempio 65 (Acquisto congiunto di un’azione ed un’opzione put sulla stessa azione)

Si consideri il caso in cui si compri un’azione al prezzo di 100 e allo stesso momento si

stipuli un contratto di acquisto di un’opzione put sulla stessa azione del costo p = 10 e

prezzo di esercizio pari X = 100. Avremo quindi che per un prezzo dell’azione nel periodo

di scadenza inferiore a 100 avro una perdita pari a −10, mentre per un prezzo superiore

a 100 avro un guadagno pari al prezzo meno 100 + 10 = 110. Ad esempio se ST fosse pari

a 150, avro un guadagno pari a 150− 100− 10 = 40.

3Tale operazione, ovvero la sottoscrizione di un’opzione call quando gia si possiede l’attivitasottostante, e chiamata covered call.

275


Guadagno

X

c

ST

Opzione call

Azione

−X

Combinazione

c−X

X − c

Figura 11.4: Il profilo di guadagno derivante dall’acquisto di un’azione al prezzo X ealla contemporanea sottoscrizione di un’opzione call su di essa, con prezzo di esercizio X(covered call), assumendo r0 = 0.

Guadagno

X ST

Opzione put

Azione

−X

CombinazioneX − p

−p

X + p

Figura 11.5: Il profilo di guadagno dall’acquisto congiunto di un’azione e di un’opzioneput sulla stessa azione, assumendo r0 = 0.

276


Da questi esempi appare chiaro che l’uso delle opzioni si presta a modificare in maniera

cruciale le combinazioni rischio-rendimento che si ottengono da una normale diversifica-

zione di portafoglio. Ad esempio, se fossi interessato a limitare al massimo la presenza di

rendimenti negativi, potrei comprare opzioni put sui titoli che detengo in portafoglio in

modo da minimizzare il rischio di perdite in conto capitale. In questo modo diminuirei il

rendimento atteso di portafoglio, poiche devo sopportare il costo di acquisto delle opzioni

put, ma allo stesso tempo, come mostra la Figura 11.5, eliminerei la possibilita che il mio

portafoglio abbia dei rendimenti estremamente negativi.

Esempio 66 (Acquisto congiunto di un’azione ed un’opzione put (cont.))

Si consideri il caso in cui si possegga un’attivita finanziaria collegata all’andamento del

mercato IM , il cui prezzo corrente sia pari a 100 e con un rendimento atteso µIM pari

al 10% (ossia IM ha un prezzo atteso di mercato pari a 110 il prossimo periodo) ed

una deviazione standard del rendimento del 15%. Comprando un’opzione put su questa

attivita finanziaria con prezzo di esercizio X pari a 105 al costo p di 6 ottengo che: i)

quando il prezzo e superiore a 105 il rendimento atteso della mia attivita diventi pari a

(110 − 6 − 100)/106 = 3.77%; e ii) quando il prezzo e inferiore a 105 il rendimento non

scenda mai sotto (105− 6− 100)/106 = −0.94%, modificando cosı in maniera cruciale la

distribuzione dei rendimenti del portafoglio come mostrato in Figura 11.6.

10% IM-0.94% 3.77%

pdf (IM )

Figura 11.6: Distribuzione dei rendimenti di portafoglio composto da un’attivita finan-ziaria collegata al rendimento di mercato ed un’opzione put sull’attivita stessa (linea blu)e distribuzione dei rendimenti della sola attivita.

Per approfondire ulteriormente l’utilita dell’utilizzo delle opzioni, si consideri di ac-

quistare allo scoperto un’azione e allo stesso tempo si acquisti una call su quest’ultima, il

cui prezzo di esercizio X rappresenta anche il prezzo di acquisto dell’azione. La Figura

11.7 mostra come tale strategia di investimento permette sempre di scommettere su una

277


discesa nel prezzo dell’azione, ma coprendosi dai rischi di un suo aumento, limitando in

particolare le perdite massime a −c.

Guadagno

X ST

Opzione call

Azione venduta allo scoperto

X

Combinazione

X − c

−c

X + c

Figura 11.7: Il profilo di guadagno dalla vendita allo scoperto di un’azione e l’acquisto diun’opzione call sulla stessa azione, assumendo r0 = 0.

In conclusione, potremo chiederci come un investitore sceglie tra i diversi possibili

portafogli che puo formare sul mercato.

Esempio 67 (La scelta tra diversi portafogli con opzioni call e put)

Si consideri di comprare un’azione il cui prezzo corrente e pari a 100 e il cui prezzo nel

prossimo periodo e estratto secondo la distribuzione di probabilita riportata nella Tabella

11.1.

Stato del mondo 1 2 3Probabilita 1/2 1/4 1/4Prezzo 100 110 120

Tabella 11.1: Distribuzione di probabilita per il prezzo dell’azione nel prossimo periodo.

E’ immediato calcolare il rendimento atteso in ogni stato del mondo, ovvero 0, 0.1 e

0.2 per i tre stati del mondo rispettivamente, il che permette di calcolare il rendimento

atteso dall’acquisto dell’azione come segue:

µ = (1/2) ∗ 0 + (1/4) ∗ 0.1 + (1/4) ∗ 0.2 = 0.075

278


e la varianza di tale rendimento:

σ2 = (1/2) (0− 0.075)2 + (1/4) (0.1− 0.075)2 + (1/4) (0.2− 0.075)2 = 0.006875.

Supponiamo ora che esista la possibilita di acquistare una put europea che ha come

sottostante l’azione, la cui scadenza e il prossimo periodo, il cui prezzo di esercizio X e

pari a 105 e il cui prezzo p pari a 5. Nella Tabella 11.2 riportiamo il costo del portafoglio

che include l’azione e l’acquisto della put, il valore del portafoglio nel prossimo periodo

e il rendimento per ogni stato del mondo possibile. La put verra esercitata solo nello

Stato del mondo 1 2 3Probabilita 1/2 1/4 1/4Costo del portafoglio 100+5=105 100+5=105 100+5=105Esercizio della put SI NO NOValore del portafoglio 100+(105-100)=105 110 120Rendimento 105−105

105= 0 110−105

105= 0.04761 120−105

105= 0.1428

Tabella 11.2: Costo del portafoglio al periodo corrente, valore del portafoglio nel prossi-mo periodo e suo rendimento per ogni stato del mondo per un portafoglio composto daun’azione ed una put sulla stessa.

stato del mondo 1, e il suo esercizio permette di conseguire un guadagno di 5 (infatti

X − ST = 105 − 100), che deve essere assunto nello stato 1 al valore dell’azione pari a

100. E’ immediato calcolare il rendimento atteso del portafoglio:

µPUT = (1/2) ∗ 0 + (1/4) ∗ 0.0476 + (1/4) ∗ 0.1428 = 0.0474

e la sua varianza:

σ2PUT = (1/2)∗(0− 0.0474)2+(1/4)∗(0.0476− 0.0474)2+(1/4)∗(0.1428− 0.0474)2 = 0.00337.

Un’ulteriore possibilita e di diventare un sottoscrittore di una call, il cui prezzo di esercizio

e pari a 115 e il cui costo e pari a 10. Nella Tabella 11.3 riportiamo il costo del portafoglio

che include l’azione e la sottoscrizione della call, il valore del portafoglio nel prossimo

periodo e il rendimento per ogni stato del mondo possibile. E’ immediato calcolare il

rendimento atteso del portafoglio:

µCALL = (1/2) ∗ 0.1111 + (1/4) ∗ 0.2222 + (1/4) ∗ 0.2778 = 0.1805

279


Stato del mondo 1 2 3Probabilita 1/2 1/4 1/4Costo del portafoglio 100-10=90 100-10=90 100-10=90Esercizio della call NO NO SIValore del portafoglio 100 110 120-(120-115)=115Rendimento 100−90

90= 0.1111 110−90

90= 0.2222 115−90

90= 0.2778

Tabella 11.3: Costo del portafoglio al periodo corrente, valore del portafoglio nel prossi-mo periodo e suo rendimento per ogni stato del mondo per un portafoglio composto daun’azione ed una sottoscrizione di call sulla stessa.

e la sua varianza:

σ2CALL = (1/2)∗(0.1111− 0.1805)2+(1/4)∗(0.2222− 0.1805)2+(1/4)∗(0.2778− 0.1805)2 = 0.0052.

L’ultima possibilita e di formare un portafoglio con l’azione, una put ed una sottoscrizione

di call. Nella Tabella 11.4 riportiamo il costo del portafoglio che include l’azione, una put

e la sottoscrizione della call, il valore del portafoglio nel prossimo periodo e il rendimento

per ogni stato del mondo possibile. E’ immediato calcolare il rendimento atteso del

Stato del mondo 1 2 3Probabilita 1/2 1/4 1/4Costo del portafoglio 100-10+5=95 100-10+5=95 100-10+5=95Esercizio della put SI NO NOEsercizio della call NO NO SIValore del portafoglio 100+(105-100)=105 110 120-(120-115)=115Rendimento 105−95

95= 0.1053 110−95

95= 0.1579 115−95

95= 0.2105

Tabella 11.4: Costo del portafoglio al periodo corrente, valore del portafoglio nel prossi-mo periodo e suo rendimento per ogni stato del mondo per un portafoglio composto daun’azione, una put ed una sottoscrizione di call sulla stessa.

portafoglio:

µPUTCALL = (1/2) ∗ 0.1053 + (1/4) ∗ 0.1579 + (1/4) ∗ 0.2105 = 0.1448

e la sua varianza:

σ2PUTCALL = (1/2)∗(0.1053− 0.1448)2+(1/4)∗(0.1579− 0.1448)2+(1/4)∗(0.2105− 0.1448)2 = 0.0019.

Nel caso in cui le preferenze dell’investitore siano rappresentate dalla funzione di utilita

media-varianza (si veda il Capitolo 3) la Figura 11.8 fornisce utili indicazioni sulla scelta

dell’investitore, ovvero che il portafoglio con la sola call o con la call e la put possono

280

11. LE OPZIONI III. La varieta dei contratti di opzione

essere considerati nella scelta, mentre il portafoglio con la put, ovvero il comprare la sola

azione risultano due scelte dominate.

µ

σ20:00686

0:075

0:1805

0:0052

0:1448

0:0017

0:0437

0:00337

Solo azione

Azione + put

Azione + put + call

Azione + call

Figura 11.8: La scelta del portafoglio con put e call per un investitore con una funzionedi utilita media-varianza.

III La varieta dei contratti di opzione

I contratti di opzione possono differire fra loro per l’attivita sottostante al contratto,

la data(e) a cui e possibile esercitare l’opzione, e le regole da utilizzare per calcolare il

ritorno quando l’opzione e esercitata. Alcuni contratti permettono anche ad una data

prestabilita di decidere se il contratto di opzione sia di tipo call o put; queste opzioni sono

chiamate opzioni as-you-like-it.

Differenza nell’attivita sottostante Nel mercato si possono osservare varie attivita

finanziarie su cui basare un contratto di opzione, tra cui ricordiamo:

• opzioni su azioni;

• opzioni su tassi di interesse;

• opzioni sull’indice del mercato azionario;

• opzioni su valute;

• opzioni su contratti future;

• opzioni basket (riferite ad un portafoglio di attivita finanziarie e non ad una singola

attivita); e

• opzioni compound (riferite ad altre opzioni).

281

IV. Limiti superiori e inferiori al prezzo delle opzioni 11. LE OPZIONI

Differenza nella data(e) di esecuzione Oltre alla differenza tra opzioni americane ed

europee esistono alcune opzioni intermedie dove e possibile solo a date stabilite esercitare

l’opzione: queste vengono chiamate opzioni Bermuda.

Differenze nel calcolo del rendimento Invece di essere la semplice differenza tra il

prezzo di esercizio ed il prezzo di mercato alcune opzioni prevedono che i rendimenti siano

determinati in maniera piu complicata, prevedendo un prezzo di esercizio non fissato (ad

esempio, questo puo essere fissato al valore massimo dei prezzi osservati nel periodo od

una loro media), oppure un rendimento fisso indipendente dalla differenza fra prezzo di

mercato e prezzo di esercizio (si parla a questo proposito di opzioni binary).

IV Limiti superiori e inferiori al prezzo delle opzioni

In questa sezione studieremo come il Principio di Non Arbitraggio permetta di iden-

tificare dei limiti superiori ed inferiori ai prezzi delle opzioni. E’ importante ribadire che

il Principio di Arbitraggio vale in mercati che soddisfano alcuni requisiti, tra cui quelli

piu importanti sono (a) l’assenza di costi di transazione, (b) nessun vincolo al credito per

gli investitori, (c) nessun vincolo di natura istituzionale a trattare e (d) dove le attivita

finanziarie siano sempre perfettamente divisibili. Per i mercati delle opzioni non sempre

tali requisiti sono soddisfatti. Iniziamo quindi dal prezzo delle opzioni call.

IV.A I limiti nel prezzo dell’opzione call

Nel seguito procederemo per approssimazioni successive discutendo i vincoli piu im-

mediati del prezzo delle call per poi passare a quelli piu complessi. Quindi, un vincolo

banale, considerato che l’opzione assegna un diritto a chi la possiede, e che il prezzo di

una call deve essere sempre maggiore di zero, ossia:

c, C ≥ 0. (11.1)

Seguendo questa linea di ragionamento, poiche le opzioni americane attribuiscono piu

diritti di quelle europee, deve anche valere:

C ≥ c. (11.2)

Focalizzandoci ora solo sulle opzioni europee, un vincolo che necessita di un maggior

ragionamento e che un’opzione call non puo valere piu di quanto valga l’attivita finanziaria

282

11. LE OPZIONI IV. Limiti superiori e inferiori al prezzo delle opzioni

a cui si riferisce, ossia:

c ≤ S, (11.3)

altrimenti il Principio di Arbitraggio sarebbe violato. Per capire la ragione si consideri la

possibilita che c > S e si formi un portafoglio dove ad una sottoscrizione di una call con

scadenza tra τ periodi, che fa incassare c all’investitore, si affianca l’acquisto dell’attivita

sottostante al prezzo S, e che la differenza (positiva) c − S venga investita al tasso free-

risk r0. La Tabella 11.5, che riporta gli effetti di tale scelte di portafoglio, dove abbiamo

Portafoglio Esborso iniziale Stato ST < X (muore) Stato ST ≥ X (esercitata)Call c 0 X − STAttivita sottostante −S ST STAttivita senza rischio S − c (1 + r0)τ (c− S) (1 + r0)τ (c− S)

0 ST + (1 + r0)τ (c− S) X + (1 + r0)τ (c− S)

Tabella 11.5: Il limite superiore al prezzo di un’opzione call derivato dall’applicazione delPrincipio di Arbitraggio.

indicato con ST il valore a scadenza dell’attivita sottostante, mostra come ad un esborso

iniziale pari a zero, corrispondano guadagni positivi in entrambi gli stati del mondo nel

caso c > S. Cio significa che il Principio di Arbitraggio sarebbe violato e quindi la

Condizione (11.3) deve sempre valere in equilibrio.

Se per stabilire il limite superiore di prezzo di una call abbiamo considerato un por-

tafoglio dove si era sottoscrittori di call, e naturale pensare che il limite inferiore sia de-

terminabile considerando un portafoglio dove si e possessori di call. Consideriamo quindi

un portafoglio dove acquistiamo una call, finanziamo tale acquisto vendendo a scadenza

il sottostante, ed investiamo il rimanente ammontare S − c nell’attivita free-risk.

Portafoglio Esborso iniziale Stato ST < X (muore) Stato ST ≥ X (esercitata)Call −c 0 ST −XAttivita sottostante S −ST −STAttivita senza rischio −(S − c) (1 + r0)τ (S − c) (1 + r0)τ (S − c)Totale 0 (1 + r0)τ (S − c)− ST (1 + r0)τ (S − c)−X

Tabella 11.6: Il limite inferiore al prezzo di un’opzione call derivato dall’applicazione delPrincipio di Arbitraggio.

La Tabella 11.6 chiarisce che l’esborso iniziale e zero e quindi per rispettare il Principio

di Arbitraggio nei due possibili stati del mondo non devono esistere profitti positivi, ossia

dobbiamo escludere che, indipendentemente dallo stato del mondo, l’investitore consegua

un guadagno. In particolare, per guadagnarci nello stato caratterizzato da ST > X deve

283


valere che:

c < S − X

(1 + r0)τ,

mentre per guadagnarci nello stato caratterizzato da ST ≤ X deve valere che:

c < S − ST(1 + r0)τ

,

il che significa che se

c < S − X

(1 + r0)τ,

l’investitore guadagnerebbe in entrambi gli stati violando il Principio di Arbitraggio (si

osservi che S − ST/(1 + r0)τ ≥ S − X/(1 + r0)τ nello stato caratterizzato da ST ≤ X).

Quindi il rispetto del Principio di Arbitraggio richiede che:

c ≥ S − X

(1 + r0)τ. (11.4)

La Figura 11.9 fornisce una rappresentazione grafica delle combinazioni di c ed S,

derivanti dalle Condizioni (11.1), (11.3) e (11.4) che soddisfano il Principio di Arbitraggio

per dati X, r0 e τ . L’utilita della Figura 11.9 e di rendere immediatamente evidenti le

c

SX(1+r0)

τ

AreadovevigeilPrincipiodiArbitraggio

Q

Figura 11.9: I limiti del prezzo di un’opzione call per soddisfare il Principio di Arbitraggio.

situazioni in cui il Principio di Arbitraggio non e soddisfatto e perche, fornendo quindi

utili indicazioni sul portafoglio di arbitraggio (ossia che non soddisfa il principio di Arbi-

284


traggio). Ad esempio, il punto Q rappresenta una combinazione di c, S (dati X, r0 e τ)

che viola il Principio di Arbitraggio dato che l’opzione call costa troppo poco e permette

di conseguire al possessore di ottenere profitti positivi indipendentemente da che stato del

mondo si realizzera.

Esempio 68 (Limiti nel prezzo di un’opzione europea call)

Un’opzione call europea che scade fra un anno (τ = 1), con prezzo di esercizio X pari a

100 e prezzo corrente dell’attivita sottostante S pari a 80, dato un tasso di interesse privo

di rischio r0 pari a 1% avra come valore minimo 0. Infatti, la Condizione (11.4) e sempre

soddisfatta e quindi vale la Condizione (11.1)), mentre il valore massimo sara pari ad 80

(vedi Condizione (11.5)). Se invece S = 100 allora il limite minimo sarebbe maggiore di

0 e pari a 100− 100/1.01 = 0.99 (vedi sempre l’Eq. (11.4)). Sotto l’ipotesi di S = 100, se

il prezzo di mercato dell’opzione fosse pari a 0.5 allora il Principio di Arbitraggio sarebbe

violato, ovvero dovrei comprare queste opzioni call cosı realizzando profitti sicuri.

La relazione tra il prezzo di una call americana ed una europea

I limiti di prezzo di un’opzione call americana sono perfettamente riconducibili ai limiti

del prezzo di un’opzione call europea, ovvero possiamo dimostrare che C = c in equilibrio

se l’attivita sottostante non presenza dei flussi di cassa a favore del possessore prima della

scadenza dell’opzione (ad esempio stacca dividendi). Infatti, osserviamo che un’opzione

call americana ha sempre piu valore da viva che da morta, ossia C ≥ S − X in ogni

periodo: il valore dell’opzione da viva e C, il valore nel momento in cui la esercito, e

quindi muore, S − X. Per dimostrare che la condizione C ≥ S − X deve sempre valere

supponiamo che invece valga che C < S −X, ovvero S − C −X > 0. In tal caso potrei

comprare la call al prezzo C, esercitare immediatamente la call al costo X, ottenendo cosı

l’attivita finanziaria sottostante, che vendo immediatamente al prezzo S. Il guadagno

totale da questa operazione e S −C −X, che e positivo per l’ipotesi che S −C −X > 0.

Ma allora conseguirei profitti di arbitraggio e quindi possiamo concludere che C ≥ S−X.

Tuttavia, osserviamo che se C ≥ S − X allora non ho convenienza ad esercitare la call,

perche C rappresenta il valore di mercato della call in vita, mentre S −X rappresenta il

guadagno che potrei ottenere esercitandola.

Preso atto di questo risultato di non esercizio della call americana fino alla scadenza,

allora possiamo concludere che in equilibrio c = C. Se infatti C > c si potrebbe sot-

toscrivere una call americana, ed usare il ricavato C per acquistare una call europea al

costo di c e la differenza C − c investirla in un’attivita priva di rischio. Il fatto che la call

americana non verra mai esercitata prima della scadenza fara si che alla scadenza potro

onorare la call americana via la call europea e a me rimarra un profitto positivo pari a

285


(C−c)(1+r0)τ , violando cosı il Principio di Arbitraggio. Poiche avevamo gia stabilito che

C ≥ c (vedi Condizione 11.2), altro non rimane che c = C, come volevamo dimostrare.

Possiamo quindi concludere che non serve una specifica teoria per le opzioni americane, a

meno che il possessore del sottostante riceva dei pagamenti prima della scadenza dell’op-

zione (ad esempio dividendi), nel qual caso potrebbe essere possibile che la call americana

sia esercitata prima della scadenza.

IV.B I limiti nel prezzo dell’opzione put

Usando lo stesso tipo di ragionamento seguito per le opzioni call, abbiamo che un

vincolo banale, considerato che l’opzione assegna un diritto a chi la possiede, e che il

prezzo di una put deve essere sempre maggiore di zero, ossia:

p, P ≥ 0. (11.5)

Seguendo questa linea di ragionamento, poiche le opzioni americane attribuiscono piu

diritti di quelle europee, deve anche valere:

P ≥ p. (11.6)

Focalizzandoci ora solo sulle opzioni europee, possiamo osservare che un’opzione put,

la cui scadenza e tra τ periodi, non potra valere piu di quanto sia il valore scontato del

suo prezzo di esercizio, ossia:

p ≤ X

(1 + r0)τ, (11.7)

altrimenti il Principio di Arbitraggio sarebbe violato. Per capire la ragione si consideri

la possibilita che p > X/(1 + r0) e si formi un portafoglio dove, ad una sottoscrizione di

una put europea con scadenza tra τ periodi, che fa incassare p all’investitore, si affianchi

l’investimento del ricavato al tasso free-risk r0. Dalla Tabella 11.7, che riporta gli effetti

Portafoglio Esborso iniziale Stato ST < X (esercitata) Stato ST ≥ X (muore)Call p ST −X 0Attivita senza rischio −p (1 + r0)τ p (1 + r0)τ p

0 ST −X + (1 + r0)τ p (1 + r0)τ p

Tabella 11.7: Il limite superiore al prezzo di un’opzione put derivato dall’applicazione delPrincipio di Arbitraggio.

di tale scelte di portafoglio, osserviamo che il Principio di Arbitraggio e soddisfatto solo

se ST − X + (1 + r0)τ p < 0 (i profitti nell’altro stato del mondo possibili sono sempre

positivi), ovvero condizione sufficiente e che p < X/ (1 + r0)τ (ST e al limite pari a 0).

286


Analogamente all’analisi svolta per l’opzione call, e naturale pensare che il limite in-

feriore del prezzo di una put sia determinabile considerando un portafoglio dove si e

possessori di put. Consideriamo quindi un portafoglio dove acquistiamo una put, com-

priamo l’attivita sottostante e finanziamo entrambi gli acquisti tramite l’attivita free-risk.

Notiamo che, rispetto al caso del possessore di call, il possessore di put generalmente

detiene il sottostante per compensare gli effetti sul valore del portafoglio di un’eventuale

caduta sotto X del prezzo del sottostante.

Esborso iniziale Stato ST ≤ X (esercitata) Stato ST > X (muore)Put −p X − ST 0Attivita sottostante −S ST STAttivita senza rischio S + p − (1 + r0)τ (S + p) −(1 + r0)τ (S + p)Totale 0 X − (1 + r0)τ (S + p) ST − (1 + r0)τ (S + p)

Tabella 11.8: Il limite inferiore al prezzo di un’opzione put derivato dall’applicazione delPrincipio di Arbitraggio.

Dalla Tabella 11.8 possiamo osservare che l’investitore non ha nessun esborso iniziale;

quindi per non violare il Principio di Arbitraggio non deve conseguire alcun guadagno

positivo indipendentemente dallo stato del mondo che si manifesta. In particolare, nello

stato del mondo caratterizzato da ST > X abbiamo che i guadagni sono positivi per:

p <ST

(1 + r0)τ− S,

mentre nello stato del mondo caratterizzato da ST ≤ X per:

p <X

(1 + r0)τ− S,

il che significa che se

p <X

(1 + r0)τ− S,

l’investitore guadagnerebbe in entrambi gli stati violando il Principio di Arbitraggio (si

osservi che ST/(1 + r0)τ − S ≥ X/(1 + r0)τ − S nello stato caratterizzato da ST > X).

Avremo quindi che il Principio di Arbitraggio e soddisfatto se:

p ≥ X

(1 + r0)τ− S. (11.8)

La Figura 11.10 fornisce una rappresentazione grafica delle combinazioni di p ed S che

soddisfano il Principio di Arbitraggio, ovvero che rispettano congiuntamente le Condizioni

(11.5), (11.7) e (11.8), dati X, r0 e τ Il punto Q in Figura 11.10 viola il Principio di

287


p

SX(1+r0)

τ

X(1+r0)

τ Area dove vige il Principio di ArbitraggioQ

Figura 11.10: Limiti nel prezzo di un’opzione put

Arbitraggio perche il prezzo dell’opzione put p e troppo basso permettendo di fare profitti

indipendentemente dallo stato del mondo che si manifestera a chi comprera tale opzione

put.

Esempio 69 (I limiti nel prezzo di un’opzione put)

Un’opzione put europea che scade fra un anno (τ = 1), con prezzo di esercizio X pari a

100 e prezzo corrente dell’attivita sottostante S pari a 80, dato un tasso di interesse privo

di rischio r0 pari all’1% avra come limite inferiore secondo l’Eq. (11.8) il valore di 19.0099

. Se invece S = 100 allora il limite minimo sarebbe pari a 0. Nel caso di S = 80 un

prezzo della put pari a 15 non sarebbe compatibile con il Principio di Arbitraggio, ovvero

guadagnerei con certezza ad essere un possessore di put.

Anche per le opzioni put possiamo trovare delle relazioni tra il prezzo della put europea

e quella americana. Infatti, il prezzo P di un’opzione put americana deve soddisfare

P > X − S. Se cosı non fosse avremo che X − P − S > 0; ma, allora, comprando

una put americana al prezzo P ed un’attivita finanziaria S, esercitando immediatamente

l’opzione put posso vendere tale attivita a X. Il guadagno totale di tale operazione sarebbe

X−P−S, che e maggiore di zero. Questo implica che esisterebbero profitti di arbitraggio.

IV.C La parita tra opzioni call e put europee

Se consideriamo una opzione europea call ad una opzione europea put con la stessa

attivita finanziaria come sottostante, lo stesso prezzo di esercizio X e la stessa scadenza

T e possibile ricavare via Principio di Arbitraggio una relazione (lineare), chiamata anche

288


relazione di conversione delle opzioni tra i prezzi di queste due opzioni. Questa relazione

e molto importante perche ci permette, tramite il prezzo di un’opzione callm di calcolare

immediatamente il prezzo di un’opzione put e viceversa.

In particolare, la relazione si ricava con una procedura a due passi, in cui si assume

che l’investitore sia o un possessore di put e sottoscrittore di call ovvero l’inverso. Quindi,

in primis, si consideri un portafoglio, in cui si sottoscrive un’opzione call, si acquista sia

un’opzione put che l’attivita sottostante e si finanzia il tutto al tasso free-risk r0.

Portafoglio Esborso iniziale Stato ST ≤ X Stato ST > XPut −p X − ST 0Call c 0 X − STAttivita sottostante −S ST STAttivita senza rischio p− c+ S − (1 + r0)τ (p− c+ S) − (1 + r0)τ (p− c+ S)Totale 0 X − (1 + r0)τ (S + p− c) X − (1 + r0)τ (S + p− c)

Tabella 11.9: La parita fra opzioni call e put: prima parte della dimostrazione

Dalla Tabella 11.9 possiamo immediatamente ricavare che il Principio di Arbitraggio

vale se

X − (1 + r0)τ (S + p− c) ≤ 0,

ossia:X

(1 + r0)τ+ c− S ≤ p. (11.9)

Si consideri poi un portafoglio in cui siano si acquista un’opzione call, si sottoscrive

un’opzione put, si vende allo scoperto l’attivita sottostante, e il risultante flusso di cas-

sa e investitito/finanziato al tasso r0. Dalla Tabella 11.10 emerge come il Principio di

Portafoglio Esborso iniziale Stato ST ≤ X Stato ST > XPut p ST −X 0Call −c 0 ST −XAttivita sottostante S −ST −STAttivita senza rischio c− p− S − (1 + r0)τ (c− p− S) − (1 + r0)τ (c− p− S)

0 −X − (1 + r0)τ (c− p− S) −X − (1 + r0)τ (c− p− S)

Tabella 11.10: Parita delle opzioni call e put: seconda parte.

Arbitraggio vale se −X − (1 + r0)τ (c− p− S) ≤ 0, ossia:

X

(1 + r0)τ+ c− S ≥ p (11.10)

289


Quindi, considerando insieme le Condizioni (11.9) e (11.10) otteniamo:

p = c+X

(1 + r)τ− S (11.11)

che rappresenta la relazione che unisce il prezzo delle put a quello delle call. La Figura

p

SX

(1+r0)τ

X

(1+r0)τ

Q

c+ X

(1+r0)τ

Area dove vige il Principio di Arbitraggio

c+ X

(1+r0)τ

Parity tra prezzo di una call e di una put

Figura 11.11: I limiti di prezzo di un’opzione put quando sono si consideri anche larelazione di conversione tra il prezzo di una put e di una call.

11.11 mostra come l’Equazione (11.11) puo essere usata per restringere ulteriormente

l’insieme dei prezzi della put che possono essere considerati di equilibrio.

Esempio 70 (La parita fra opzioni call e put)

Si supponga di possedere un’opzione call europea con un valore di mercato c pari a 5,

che scade fra un anno (τ = 1), con prezzo di esercizio X pari a 100 e prezzo corrente di

mercato dell’attivita sottostante S pari a 80. Supponendo che il tasso di interesse privo

di rischio r0 sia pari all’1%, tramite l’Eq. (11.11) possiamo calcolare il valore dell’opzione

put con le stesse caratteristiche, ossia p = 5 + 100/1.01− 80 = 24. Se il prezzo di mercato

dell’opzione put fosse pari a 20, allora intuitivamente questa sarebbe da acquistare, dato

i profitti certi che possono essere conseguiti essendo il Principio di Arbitraggio violato (si

provi a dimostrare rigorosamente questa affermazione seguendo lo stesso ragionamento

utilizzato nella Tabella 11.10) e questo nonostante p = 20 soddisfi le tre Condizioni (11.5),

(11.7) e (11.8) relative al solo prezzo della put (il limite minimo del prezzo p sarebbe pari

a 19 e massimo pari a 99). Il punto Q in Figura 11.11 potrebbe rappresentare questa

situazione.

290

11. LE OPZIONI V. La teoria del prezzo delle opzioni

V La teoria del prezzo delle opzioni

La sezione precedente ha individuato una serie di variabili che entrano nella determi-

nazione del prezzo delle opzioni, ossia S, X, τ e r0. Tuttavia non abbiamo un’indicazione

univoca sul valore del prezzo; per ottenere questa indicazione dobbiamo formulare ipotesi

piu stringenti sulla dinamica temporale di S. Infatti, dato X, e proprio la dinamica di

S che determina lo stato del mondo al tempo di scadenza dell’opzione T e quindi i) sia

la convenienza ad esercitare l’opzione; sia ii) il valore che ha quest’ultima in relazione ai

guadagni attesi. In particolare, l’ambizione di una certa letteratura e quella di individua-

re i fair value delle opzioni di modo da avere un termine di paragone rispetto ai prezzi

delle opzioni osservati sul mercato, mentre un’altra parte ha come obiettivo primario

l’individuazione del prezzo di opzioni non quotate.

L’idea di partenza e quella di individuare il prezzo dell’opzione come funzione di S, X,

τ e r0 e di un insieme di parametri che mi possano descrivere l’andamento di S nel tempo.

Ipotesi implicita e che la dinamica di S sia esogena, ossia non venga influenzata a sua

volta dal valore dell’opzione. Nella Figura 11.12 riportiamo con la linea blu un esempio

della possibile relazione fra il prezzo di un’opzione e S (naturalmente il prezzo della call

deve essere contenuto nella regione dove e soddisfatto il Principio di Arbitraggio).

c

SX(1+r0)

τ

Figura 11.12: Esempio di determinazione del prezzo di un’opzione call in funzione di S,dati X, τ e r0.

L’approccio per l’individuazione del prezzo dell’opzione si richiama a quello usato

nelle sezioni precedenti del presente capitolo, ossia la costruzione di portafogli senza al-

291

V. La teoria del prezzo delle opzioni 11. LE OPZIONI

cun esborso iniziale che devono sottostare al Principio di Arbitraggio, con in aggiunta

specifiche ipotesi sull’andamento di S. Esiste una classe di modelli, denominati modelli

binomiali di determinazione del prezzo (dove l’aggettivo binomiale deriva dal fatto che cio

che rileva e la probabilita di trovarsi o meno nello stato del mondo dove esercito l’opzione)

nei quali si assume che S si muova in tempo discreto. Un’altra classe di modelli, invece,

assume che S si muova in tempo continuo; tra questi il piu famoso e il modello di Black e

Scholes, che prende il nome dei due autori che per primi, insieme a Robert Merton, hanno

studiato tale classe di modelli nel 1973.

In particolare, il modello di Black-Scholes assume che:

• le transazioni avvengano in continuazione nel mercato di modo da eliminare qualsiasi

possibilita di arbitraggio; e

• il prezzo dell’attivita sottostante S segue un moto geometrico Browniano, il che

significa che logSt+δ − logSt (ossia i rendimenti dell’attivita finanziaria nel periodo

[t, t + δ]) siano per ogni t indipendenti e distribuiti normalmente con media µS e

deviazione standard σS per δ tendente a 0 (il limite di δ che va a zero determina

il passaggio al tempo continuo.) Quindi la dinamica nel tempo di S puo essere

descritta tramite i soli due parametri µS e σS;

da cui e possibile ricavare il prezzo di un’opzione call pari a:

c = SΦ (x1)− er0τXΦ (x2) , (11.12)

dove:

x1 ≡log (S/X) + (r0 + 1/2σ2

S) τ

σS√τ

; (11.13)

x2 ≡log (S/X) + (r0 − 1/2σ2

S) τ

σS√τ

= x1 − σS√τ ; e (11.14)

Φ (z) ≡∫ z

−∞

e−v2/2

√2π

dv. (11.15)

Alla base dell’Equazione (11.12) vi e l’idea che l’investitore possa formare un portafoglio

con un’opzione call, l’attivita sottostante e un prestito/investimento nell’attivita priva di

rischio che non risenta dell’andamento di S (questo e possibile sotto le ipotesi sull’anda-

mento di S). Tale portafoglio quindi per il Principio di Arbitraggio deve rendere quanto

l’attivita priva di rischio. Da questa eguaglianza si ricava il valore dell’opzione call.

Una prima osservazione importante e che c non dipende da µS; tuttavia c dipende

in maniera cruciale da σS la cui stima non e facile dal punto di vista empirico. Infatti

l’applicazione della formula dell’Equazione (11.12) appare immediata a meno proprio del

292

11. LE OPZIONI V. La teoria del prezzo delle opzioni

valore della volatilita dei prezzi S. Questa potrebbe essere stimata dai dati passati sotto

l’ipotesi che sia costante nel tempo, ma una rigorosa interpretazione del modello individua

in σS la volatilita futura (attesa) di S, la quale potrebbe non essere uguale a quella passata

e, soprattutto, potrebbe essere diversa da investitore ad investitore. In quest’ultima caso

la formula dell’Eq. (11.12) perde la sua validita.

Altre cause che fanno perdere validita all’Equazione (11.12) sono:

• esistono costi di transazione relativamente elevati e quindi non e possibile modificare

in maniera adeguata il portafoglio in ogni momento;

• il prezzo S non segue un moto geometrico Browniano (e questo sappiamo che po-

trebbe essere vero dall’analisi empirica del Capitolo 6 essendo i rendimenti delle

azioni non distribuiti normalmente);

• il tasso di interesse usato nel calcolo non e quello senza rischio r0;

• la stima di σS non e corretta; e

• il mercato non e in equilibrio e non vale il Principio di Arbitraggio.

Esiste infine un fiorente letteratura che prende la formula dell’Equazione (11.12) co-

me vera e, osservato il prezzo di mercato di una opzione call c, risolve per σS (tutti le

altre variabili sono conosciute). Tale metodologia prende il nome di stima della volatilita

implicita; se crediamo al modello di Black e Scholes questa fornisce notizie cruciali sulla

dinamica del prezzo delle attivita, in particolare sulla volatilita attesa dagli investitori

sul prezzo dell’attivita S. E’ possibile in qualche modo verificare tale stima considerando

opzioni sulle stesse attivita finanziarie ma che differiscono per il tempo rimanente prima

della scadenza τ o per il prezzo di esercizio X. In generale tali test tendono a rifiu-

tare il modello di Black and Scholes evidenziando, ad esempio, un legame tra σS e τ .

Attualmente la teoria delle opzioni e un campo di ricerca molto attivo ed in evoluzione.



2005; Capp. 18, 19 e 20.

• Black, F. e Scholes, M., The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal

of Political Economy 81, 637-654, 1973.


and Investment Analysis, John Wiley, 2002, Cap. 22.

293

V. La teoria del prezzo delle opzioni 11. LE OPZIONI

• Merton, R., Theory of Rational Option Pricing, Bell Journal of Economics and

Management Science 4(1), 141-183, 1973.

• Sharpe W.F., Alexander G.J. e Bailey J.V., Investments, Printice-Hall, 1999, Cap.

19.

294

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Note di studio su Economia dei Mercati Finanziari · Economia dei Mercati Finanziari Dipartimento di Economia e Management Universita di Pisa Note di studio su Economia dei Mercati