Numeric o

Autor: Ing. Neptalí Franco Punto Fijo, Mayo de 2008

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA”

AREA DE TECNOLOGIA COMPLEJO ACADEMICO “EL SABINO”

DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMATICA

UUNNEEFFMM

GUIA DE ESTUDIO PARA LA UNIDAD CURRICULAR

MATEMATICA V

PRIMER CORTE pág 1. Sistemas y errores numéricos ……... 2

1.1. Sistemas numéricos ……………. 2 1.2. Errores numéricos ………..…….. 4

2. Solución de ecuaciones no lineales 112.1. Método de bisección ………… 112.2. Método de Newton – Raphson 142.3. Método de la secante ……….. 16

Guía de estudio Matemática V

2

TEMA 1

SISTEMAS Y ERRORES NUMERICOS

Antes de tratar los métodos numéricos y sus aplicaciones, es necesario entender el concepto de error, como una característica presente en la mayor parte de las técnicas numéricas de cálculo. Es tal la importancia del error, que en la práctica profesional, los errores pueden llegar a resultar costosos y, en algunas ocasiones, catastróficos. Si una estructura o un dispositivo falla, esto puede costar vidas. Por ende es un deber de los estudiantes y los practicantes de ingeniería trabajar constantemente en limitar este tipo de errores en sus actividades.

1.1. SISTEMAS NUMERICOS: A lo largo de la historia se han usado multitud de sistemas numéricos. En realidad, cualquier número mayor que 1 puede ser utilizado como base. Algunas civilizaciones usaban sistemas basados en los números 3, 4 o 5. Los babilonios utilizaron el sistema sexagesimal, basado en el número 60, y los romanos (en ciertas aplicaciones) el sistema duodecimal, con el número 12 como base. El sistema binario, o en base 2, fue usado por algunas tribus antiguas.

Sistemas numéricos: Se conocen como tales a varios sistemas de notación que se han usado o se usan para representar cantidades abstractas denominadas números. Un sistema numérico está definido por la base que utiliza. La base es el número de símbolos diferentes (llamados guarismos) necesarios para representar un número cualquiera, de los infinitos posibles, en el sistema. En los sistemas


3

posicionales, la posición de una cifra indica el valor de dicha cifra en función de los valores exponenciales de la base. 1.1.1. Sistema decimal: El sistema decimal, utilizado hoy de forma universal (con la excepción de los ordenadores o computadoras), necesita diez símbolos diferentes o dígitos para representar un número —0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9— y es, por tanto, un sistema numérico en base 10. En el sistema decimal, la cantidad representada por uno de los diez dígitos depende de su posición en el número completo. Por ejemplo, el número 3.098.323 es la representación de (3 × 106) + (0 × 105) + (9 × 104) + (8 × 103) + (3 × 102) + (2 × 101) + (3 × 100). El primer 3 (empezando por la derecha) representa 3 unidades; el segundo, 300 unidades y el tercero, 3 millones de unidades. 1.1.2. Comparación entre el sistema decimal y el binario: Dos dígitos —0 y 1— son suficientes para representar un número en el sistema binario. Los ordenadores o computadoras normalmente procesan los números decimales en forma binaria. Por ejemplo, en el sistema decimal codificado en binario (BCD) cada uno de los dígitos decimales del 0 al 9 se codifica con 4 bits. Los cuadros de esta tabla son similares a los grupos de cuatro bits del BCD.


4

ACTIVIDAD No. 1

1. ¿Cómo se representan los números en los sistemas numéricos sextil, Octal y hexadecimal? Ilustre mediante ejemplos. 2. ¿Porque los ordenadores o computadoras normalmente procesan los números decimales en forma binaria? Ilustre mediante ejemplos las operaciones aritméticas con números en base 2 (Suma, resta, multiplicación) 3 ¿Cuál es el significado de las siglas IEEE, AIEE, IRE, ANSI?. Agregue el significado de otras siglas relacionadas.

1.2. ERRORES NUMERICOS: Los errores numéricos surgen del uso de aproximaciones para representar operaciones y cantidades matemáticas exactas. Estas incluyen los errores de redondeo o corte de cifras significativas y los errores por truncamiento que resultan del empleo de aproximaciones en lugar de un procedimiento matemático exacto. 1.2.1. Error absoluto y relativo: Si p* es una aproximación de p, el error absoluto es:

*ppE −= = Valor verdadero – valor aproximado

el error relativo es:

Er =ppp *− = Valor verdadero – valor aproximado

Valor verdadero Y el error relativo porcentual es:

Er% = Er x 100%

1.2.2. Redondeo: Redondeo es el proceso mediante en el cual se eliminan decimales a un número tomando en cuenta su significancia. Reglas de redondeo

1. Dígito menor que 5: Si el siguiente decimal es menor que 5, el anterior no se modifica. Ejemplo: 2,65412. Redondeando a 4 decimales se debe tener en cuenta que el quinto decimal es 2<5: 2,65412 ≈ 2,6541.


5

Er = 6105355,765412,2

6541,265412,2* −≈−

=− xppp

2. Dígito mayor que 5: Si el siguiente decimal es mayor o igual que 5, el anterior se incrementa en una unidad.

. Dígito mayor que 5: Si el siguiente decimal es mayor o igual que 5, el anterior se incrementa en una unidad. Ejemplo: 2,045615. Redondeando a 5 decimales se debe tener en cuenta el sexto decimal es 5≥5: 2,045615= 2,04562. Ejemplo: 2,045615. Redondeando a 5 decimales se debe tener en cuenta el sexto decimal es 5≥5: 2,045615= 2,04562.

Er =Er = 61044425,2045615,2

04562,2045615,2* −≈−

=− xppp

1.2.3. Corte: Corte es el proceso mediante en el cual se eliminan decimales sin tomar en cuenta su significancia.

Ejemplo: 2,65419. Corte a 4 decimales: 2,65419 ≈ 2,6541.

Er = 5103909,365419,2

6541,265419,2* −≈−

=− xppp

Si el mismo número se redondea a 4 decimales: El quinto decimal es 9>5: 2,65419 ≈ 2,6542.

Er = 6107676,365419,2

6542,265419,2* −≈−

=− xppp

Observe que el error al redondear el número es menor que cuando es cortado.

ACTIVIDAD No. 2

1. Calcule el error absoluto y relativo en las aproximaciones de p=2,65419, si p* se obtuvo mediante redondeo o corte con 1, 2 y 3 decimales.

p* Error absoluto Error relativo Redondeo 1 Corte Redondeo 2 Corte Redondeo 3 Corte

Escriba sus conclusiones al respecto.


6

2. Determine el mayor intervalo en que debe estar p* para aproximar a p con un error relativo a lo sumo de 10-4 para cada valor de p a) π b) e c) 2 d) 3 7 3. Suponga que se tiene que medir la longitud del ala de un avión y la de un remache, y se obtiene 9995 y 9 cm respectivamente. Si los valores de diseño son 10000 y 10 cm. Usted como responsable de seguridad deberá decidir el criterio a utilizar en cada caso para rechazar el elemento que usted considere que no cumple con las condiciones de diseño. 1.2.4. Representación del Punto flotante: Es un método de representación de números reales que se puede adaptar al orden de magnitud del valor a representar, usualmente trasladando el punto decimal —mediante un exponente— hacia la posición de la primera cifra significativa del valor. El estándar de la IEEE (IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic ANSI/IEEE Std 754-1985) es el estándar más extendido para las computaciones en punto flotante.

Forma decimal normalizada: Ejemplo: Dados los siguientes números reales: 3135.07; 0.04576 y 69233704.063. expreselos en notación de punto flotante normalizado, redondeando a 5 dígitos significativos. Solución: En punto flotante normalizado, la mantisa tiene primero cero dígito, asi se obtienen: 0.31351×104 ; 0.45760×10-1 y 0.69234×108. Como se observa en estos ejemplos, el punto decimal se ha desplazado hacia la derecha o hacia la izquierda para obtener la misma estructura en la notación.

Aritmética de números en punto flotante: Ejemplo: Dados los siguientes números reales: x = 5/7 e y =100/3, use la aritmética de números en punto flotante cortando a 5 dígitos significativos para calcular:

a) x + y , b) x – y , c) x x y , d) x / y Solución: Expreselos en notación de punto flotante normalizado, cortando a 5 dígitos significativos. x ≈ 0.71428 x 100, x ≈ 0.33333 x 102


7

a) x + y El número con el exponente menor se modifica de tal forma que los exponentes sean los mismos:

0.0071428 x 102

0.33333 x 102

0.3404728 x 102 El resultado se normaliza y es cortado a 0.34047 x 102

b) x – y Similar a la suma en cuanto a los exponentes:

0.0071428 x 102

-0.33333 x 102

-0,3261872 x 102 El resultado se normaliza y es cortado a -0.33261 x 102

c) x × y Se multiplican las mantisas y se suman los exponentes: 0.71428 x 100 x 0.33333 x 102 = 0.2380909524 x 102

El resultado se normaliza y es cortado a 0.23809 x 102

d) x y Se dividen las mantisas y se restan los exponentes: ÷

0.71428 x 100 / 0.33333 x 102 = 2.142861429 x 10-2

El resultado se normaliza y es cortado a 0.21428 x 10-1

ACTIVIDAD No. 3

1. Sea 2311)(

xxf

−= . ¿Esperaría el estudiante dificultades para evaluar en

x = 0,57735? Inténtelo con aritmética de 3 y 4 dígitos con corte.

)(' xf

2. Evalúe el polinomio en x = 1.37. Utilice aritmética de 3 dígitos con corte. Evalúe el error relativo porcentual. Si el polinomio dado se expresa como

35.087 23 ++−= xxxy

[ ] 35.08)7( ++−= xxxy Evalúe el error relativo porcentual y compárelo con el anterior.

3. Sea senxx

senxxxxf−−

=cos)( Use aritmética de redondeo a cuatro cifras para

evaluar . Si el valor real es =-1.99899998, determine el error relativo para el valor obtenido

)1,0(f )1,0(f


8

1.2.5. Error de Truncamiento: Estos son debidos al empleo de aproximaciones en lugar de un procedimiento matemático exacto. En particular ocurre cuando se utiliza parte de una serie que tiene un número infinito de términos como aproximación.

1.2.6. Serie de Taylor: En cálculo, el Teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico Brook Taylor, quien lo enunció en 1712. Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a, mediante un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a y x, entonces el valor de la función en x esta dado por:

Rnaxn

afaxafaxafafxf nn

+−+⋅⋅⋅+−+−+= )(!

)()(!2

)()(!1

)(')()()(

2)2(

Rnaxk

afxf kn

k

k+−= ∑

=)(

!)()(

1

)(

Donde n! denota el factorial de n, y Rn se llama el termino del residuo (o error de truncamiento). Existen dos expresiones para Rn que se mencionan a continuación:

dttfn

txR nnx

an )(!)( )1( +−

= ∫ forma integral del residuo

1)1(

)(!1

)( ++

−+

= nn

n axn

fR ξ forma de Lagrange del residuo

1.2.7. Serie de Maclaurin: Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.

Rnxn

fxfxfxffxf nn

++++++=!

)0(...!3

)0(!2

)0(!1

)0(')0()()(

3)3(

2)2(

Ejemplo

4. Sea senxx

senxxxxf−−

=cos)( reemplace cada función trigonométrica por su tercer

polinomio de Maclaurin. Si el valor real es =-1.99899998, determine el error relativo para el valor obtenido

)1,0(f

Solución: El polinomio de Maclaurin está dado por:


9

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

3)3(

2)2(

!3)0(

!2)0()0(')0()( xfxfxffxf +++=

Para la función )cos()( xxg =1)0cos()0()cos()( ==⇒= gxxg

0)0()0(')()(' =−=⇒−= sengxsenxg 1)0cos()0('')cos()('' −=−=⇒−= gxxg

0)0()0())(()(''' ==⇒−−= sengxsenxg 2

211)cos( xx −=

Para la función )()( xsenxh =

0)0()0()()( ==⇒= sengxsenxh 1)0cos()0(')cos()(' ==⇒= hxxh

0)0()0(')()('' =−=⇒−= senhxsenxh 1)0cos()0()cos()(''' −=−=⇒−= hxxh

361)( xxxsen −=

sustituyendo:

2

6131

61

61

21

61

61

211

)(3

3

3

33

3

32

−=−

=+−

+−−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=x

x

xxx

xxxx

xxx

xxxxxf

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

2)1.0( −=f

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−4

−3

−2

−1

1

2

3

x

Er = 4100026.599899998.1

)2(99899998.1* −≈−

−−−=

− xppp


10

ACTIVIDAD No. 4

1. Obtenga la serie de Maclaurin para las funciones que a continuación se

indican.

a) b) ( senfxexf =)( )() xx = c) x

xf−

=1

1)(

Grafique la serie y la función, variando n 2. Los primeros términos no nulos de la serie de Maclaurin para la función arco

tangente son 5351

31 xxx +− . Calcule el error absoluto y el error relativo al usar

el polinomio dado en lugar de la función arco tangente en la expresión

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

31arctan

21arctan4

3. El número e se puede definir como ∑∞

=0 !1

n n. Calcule el error absoluto y el error

relativo en las siguientes aproximaciones de . e

a) ∑=

5

0 !1

n n b) ∑ 1

=

10

0 !n n

4. Sea xeexf

xx −−=)( (a) Use aritmética de redondeo a tres cifras para evaluar

. (b) Reemplace cada función exponencial por su tercer polinomio de Maclaurin y repita el inciso (b).Si el valor real es = 2.003335000, determine el error relativo para los valores obtenido en (a) y (b)

)1,0(f)1,0(f

WINPLOT Para la elaboración de las graficas se pone a disposición de todos los estudiantes del programa educativo WINPLOT. Podrá descargar una guía ilustrativa para el uso del programa en la dirección www.neptalifranco.blogspot.com


11

TEMA 2 SOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES

En este capítulo estudiaremos uno de los problemas básicos de la aproximación numérica: el problema de la búsqueda de raíces o solución de una ecuación dada. El problema de encontrar a la raíz de una ecuación se remonta por lo menos al año 1700 a.C. Una tabla cuneiforme que pertenece a la Yale Babylonian Collection, y que data de este periodo da un número sexagesimal (base 60) equivalente a 1.414222 como aproximación a 2 , resultado que tiene una presición de hasta 10-5. Los métodos numéricos que se tratarán se utilizan para obtener tales raíces, cuando no es posible obtener respuestas exactas con métodos algebraicos.

2.1. EL METODO DE BISECCION: El método de bisección (conocido también como de corte binario, de partición de intervalos o de bolzano), es un tipo de búsqueda incremental en el que el intervalo se divide a la mitad. Teorema del valor intermedio de

Bolzano Supongamos que f es una función continua definida en el intervalo [a,b] con f(a) y f(b) de signos diferentes, entonces existe un número c en (a,b) tal que f(c)=0

b a

f(b)

f(a) c

Descripción del método:

Si la función cambia de signo sobre un intervalo [a1 ,b1], se evalúa el valor de la

función en el punto medio. 2

11 ba +1P = , El siguiente subintervalo [a2 ,b2] es aquel

dentro del cual ocurre un cambio de signo. Luego 2

222

baP += .

El proceso se repite, dividiendo los subintervalos en intervalos cada vez mas

pequeños [an ,bn], donde 2

nnn

baP

+= será la aproximación de la raíz.

Criterio de paro:

Si llamamos a ε , la tolerancia, el proceso de iteración termina cuando <− nn ab2

ε


12

O también puede usarse el siguiente criterio <− −nnP

PP 1

nε

b1 a1

f(b)

f(a)

c P1

b2 a2 P2

fx-570ES ó 991 ES Se recomienda a los estudiantes el uso de estos modelos o uno superior, para la aplicación de los métodos numéricos.

Ejemplo:

La función tiene una raíz en [ 1 , 2 ] . Utilice el método de

bisección para aproximar la raíz. Tome

54)( 3 −+= − xexf x

ε = 10-3 y utilice el criterio <− nn ab2

ε .

Solución:

f es una función continua en el intervalo [ 1 , 2 ], donde f(1) = –0.63212056 y f(2) = 27.135335 53, de signos diferentes, entonces existe un número c en (a,b) tal que f(c)=0 Utilizando una hoja de cálculo1, se obtuvo después de 10 iteraciones:

n an bn Pn f(Pn) f(an) (bn–an)/2 1 1 2 1,5 8,72313016 -0,63212056 0,5 2 1 1,5 1,25 3,0990048 -0,63212056 0,25 3 1 1,25 1,125 1,01996497 -0,63212056 0,125 4 1 1,125 1,0625 0,14344232 -0,63212056 0,0625 5 1 1,0625 1,03125 -0,2565982 -0,63212056 0,03125 6 1,03125 1,0625 1,046875 -0,05968781 -0,2565982 0,015625 7 1,046875 1,0625 1,0546875 0,04109415 -0,05968781 0,0078125 8 1,046875 1,0546875 1,05078125 -0,0094919 -0,05968781 0,00390625 9 1,05078125 1,0546875 1,05273438 0,01575227 -0,0094919 0,00195313 10 1,05078125 1,05273438 1,05175781 0,00311798 -0,0094919 0,00097656

1 En el Apendice 1 se indica como se elaboró la hoja de cálculo usada aqui.


13

Observe que en la décima iteración:

<⋅==−

=− −4107656,900097656,005273438,105078125,1nn ab

22ε .

Asi x ≈ Pn = 1,05175781

Veamos ahora en la grafica de los primeros pasos del procedimiento:

54)( 3 −+= − xexf x

ACTIVIDAD No. 5 1. Utilice el método de bisección para aproximar la solución de xx cos= , en el

intervalo [ 0 , 1 ]. Tome ε = 10-3 y utilice el criterio <−2

nn ab ε .

2. Determine las raíces reales de , en el intervalo [ 0 , 1 ]

Tome

023)( 2 =−+−= xxexf x

ε = 0,5% y utilice el criterio <⋅− − %1001nnP

PP

nε .

3. Encuentre una aproximación correcta a 3 25 con una exactitud de 10-4 por

medio del algoritmo de bisección. [Sugerencia: Considere ].

utilice el criterio

25)( 3 −= xxf

<− nn ab2

ε en el intervalo [ 2 , 3 ] ].

fx-570ES ó 991 ES En el apéndice 2 se explica como programar esta calculadora para aplicar el método de bisección al ejemplo planteado en clase.

P1=1,5P2=1,25

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

SCILAB - Alumnos con laboratorio -

Las actividades 5-7 se resolverán aplicando programas en SCILAB. Tendrán a su disposición la guía PROGRAMANDO EN SCILAB 4.1


14

4. La velocidad de un paracaidista que cae esta dada por:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

− tmc

ec

gmv 1

Calcule la masa de un paracaidista si a los t=9s de haberse lanzado su velocidad v era de 35 m/s. Tome g=9,8 m/s2 y el coeficiente de arrastre c=15 kg/s. Utilice el método de bisección para aproximar la solución en el intervalo.

Tome ε = 1% y utilice el criterio <⋅− − %1001

nPnn PP ε .

[Sugerencia: Grafique vec

gmmft

mc

−⎟⎟⎞

⎜⎜⎛−=

−1)(

⎠⎝ y seleccione un intervalo

[a1 ,b1] adecuado que contenga al punto de corte de la función]

2.2. EL METODO DE NEWTON - RAPHSON: El método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada. Descripción del método: La idea de este método es la siguiente: se comienza con un valor razonablemente cercano a la raíz (denominado valor inicial xi), entonces se traza la tangente a la función desde el punto (xi, f(xi)) hasta cortar el eje x en xi+1.

xi xi+1

f(xi)

c

Recta tangente 1+

0)()('

−−

= ii xx

xfxf

ii

Despejando xi+1

)(')(

1i

ii xfxf

xx −=+i

Este xi+1 será, generalmente, una aproximación mejor a la raíz de la función. Luego, se aplican tantas iteraciones como se deseen.

)(')(

1n

nn xfxf

xx −=+n

La cual se conoce como formula de Newton-Raphson


15

Criterio de paro: Si llamamos a ε , la tolerancia, el proceso de iteración termina cuando,

<−+1 nn

xxx

+1n1ε o <)( nxf 2ε

Ejemplo:

Utilice el método de Newton para calcular raíz de la función

tomando como valor inicial 1,5. Tome

54)( 3 −+= − xexf x

ε = 10-3 y utilice el criterio <−+1 nn

xxx

+1nε .

Solución:

La derivada esta dada por: 212)(' xexf x +−= −

Utilizando una hoja de cálculo, se obtuvo después de 4 iteraciones:

i

Xi

f (Xi)

f' (Xi)

Xi+1

1

1

+

+ −

i

iix

xx

1 1,5 8,72313016 26,7768698 1,17422891 0,27743406 2 1,17422891 1,78522799 16,2367051 1,06427877 0,10330953 3 1,06427877 0,16696524 13,247295 1,05167504 0,011984427 4 1,05167504 0,00204828 12,9228927 1,05151654 0,000150735

Observe que en la cuarta iteración <⋅=− −

+

+ 4

1

1 1050735,1n

nx

xx n ε .

Asi x ≈ 1,05167504

Considere ahora lo siguiente: Sustituya y en )( ixf )(' ixf)(')(

1i

ii xfxf

xx −=+i

2

3

112

54x

ix

iixe

xexx

i

i

+−

−+−=

−

−

+i

, ahora la tabla nos queda:

i

Xi

1

1

+

+ −

i

iix

xx

0 1,5 1 1 1,17956917 0,27165073 2 1,06945733 0,10296048 3 1,0526878 0,0159302 4 1,05157771 0,00105564

fx-570ES ó 991 ES En el apéndice 3 se explica como programar esta calculadora para aplicar el método de Newton-Raphson al ejemplo planteado en clase.


16

ACTIVIDAD No. 6

1. Elabore Diagramas de flujo para los métodos de Bisección y Newton-Raphson.

Diseñe su propia hoja de cálculo aplicar el método de Newton-Raphson. 2. Resuelva aplicando el método de Newton los ejercicios de la ACTIVIDAD No.

5. Tome como valores iniciales los puntos medios de los intervalos dados. 3. Utilice el método de Newton para calcular la raíz de la función

tomando como valor inicial -1. Tome xxxf cos)( 3 −−= ε = 10-3. ¿Podríamos utilizar como valor inicial 0? Justifique su respuesta.

4. Con el método de Newton resuelva la ecuación )2cos(111 2 xxsenxx −−+242

, con

valor inicial de π/2. Itere hasta lograr una exactitud de 10-5. Explique porque el resultado parece poco usual para el método de Newton. Intente con valores iniciales de 5π y 10π.

5. Aunque en general el método de Newton-Raphson es muy eficiente, hay

situaciones donde se comporta de manera deficiente. Para comprobarlo intente determinar la raíz positiva de usando un valor inicial de 0,5. ¿Cómo se comportan las aproximaciones durante las iteraciones? ¿Cuántas iteraciones son necesarias para determinar que la raíz es 1?, ¿Cual cree usted que es el problema?. ¿Podríamos utilizar como valor inicial 0? Justifique su respuesta.

1)( 10 −= xxf

2.3. EL METODO DE LA SECANTE:

Es una variación del método de Newton-Raphson, donde en vez de calcular la derivada de la función en el punto de estudio, teniendo en mente la definición de derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la función evaluada en el punto de estudio y en el punto de la iteración anterior. Este método es de especial interés cuando el coste computacional de derivar la función de estudio y evaluarla es demasiado elevado, por lo que el método de Newton no resulta atractivo.

Descripción del método:

Comenzando con dos aproximaciones iniciales y , para poder inducir una

pendiente inicial

0x 1x

01

01 )()(xx

xfxf−− . La aproximación será la intersección de la

recta que une ( y con el eje

2x

))(, xfx 00 11 ))(,( xfx x . Ahora tenemos la recta de


17

pendiente es 12

12 )()(xx

xfxf−− . La aproximación será la intersección de la recta

que une y con el eje

3x

))(,( 11 xfx ))(,( 22 xfx x .

Luego, se aplican tantas iteraciones como se deseen.

1−

−

−1)()(

)('−

≅ii

iixx

xfxff ix

Esta aproximación se sustituye en la ecuación de Newton

)(')(

1i =+i

i xfixf

xx −

1−− ii xx1)()(

)(−−

−ii

ii xfxf

xfxx 1+ =i

)()())(( 1

1−

−

−1+−

−ii

iiii xfxf

xxxfxx =i

x1

x0

f(x1)

c

Recta secante

f(x0)

x2

x3

)()

1

1

−

−−

n

nxx

)()((−

−n

nnxf

xxf1+ = nn f

xx La cual se conoce como formula de la secante.

Criterio de paro:

εSi llamamos a , la tolerancia, el proceso de iteración termina cuando,

<nx1

−

+

+

1

1

n

nx

x ε o <)( nx 2εf

Ejemplo:

Utilice el método de la secante para calcular raíz de la función tomando como valores iniciales 1 y 2. Tome

54)( 3 −+= − xexf x

ε = 10-3

Solución:

Considere ahora lo siguiente: Sustituya y en )( ixf )( 1−ixf

))

1

1

−

−

i

ixx

()(1+ −iii fxf

)(( −−= ii xxf

xx

))54()54(())(54 3 −+ i xx(

31

31

11 −+−−+

−−=

−−−

−−

+−

ix

ix

iix

iixexe

xexx

ii

i


18

La aproximación estaría dada por: x2

))5)1(4()5)2(4(()12)(5)2(4(2

))54()54(())(54(

122

32

3301

31

1201

1

−+−−+

−−+−=

−+−−+

−−+−=

−−

−

−−

−

eee

xexexxxe

xx xx

x

01

0227648,1367879,36321206,01

))1()532(()532(2 12

2

2 =−

−=−−−+

−+−=

−−

−

eeex

Utilizando una hoja de cálculo, se obtuvo después de 4 iteraciones (2 ~ 5):

i

Xi

1

1

+

+ −

i

iix

xx

0 1 1 2 1 2 1,0227648 0,9554838 3 1,03559344 0,01238771 4 1,0519841 0,01558071 5 1,05150907 0,00045176

<⋅=− −

+

+ 4

1

1 105176,4n

nnx

xx ε . Observe que en la cuarta iteración

Asi x ≈ 1,05150907

ACTIVIDAD No. 7 1. Elabore el Diagrama de flujo para el método de la Secante. Diseñe su propia

hoja de cálculo aplicar este método. 2. Resuelva aplicando el método de la Secante los ejercicios de la ACTIVIDAD

No. 5. Tome como valores iniciales los extremos de los intervalos dados. 3. Utilice el método de Secante para calcular la raíz de la función

, tome como valores iniciales 0,3 y 0,5 y 1)(8)( −⋅= −xexsenxf ε = 10-3. 4. Elabore programas amigables para aplicar los tres métodos estudiados para la

solución de ecuaciones no lineales (Laboratorio).

fx-570ES ó 991 ES En el apéndice 4 se explica como programar esta calculadora para aplicar el método de la Secante al ejemplo planteado en clase.

APENDICE No 1

Para escribir las formulas sigue esta secuencia: Vamos con la Primera fila: 1. En C8 escribe En D8 escribe

=C3 =C4

2. En E8 escribe =(C8+D8)/2

3. En F8 escribe la función en el lenguaje de la hoja de cálculo, por ejemplo

54)( 3 −+= − xexf x se escribe: =EXP(-E8)+4*E8^3-5

4. En G8 escribe =EXP(-C8)+4*C8^3-5

5. En H8 escribe =(D8-C8)/2

9. En F9 escribe y copia en toda la columna =SI(O(H8<$C$5;H8="");"";EXP(-E9)+4*E9^3-5)

10. En G9 escribe y copia en toda la columna =SI(O(H8<$C$5;H8="");"";EXP(-C9)+4*C9^3-5)

11. En H9 escribe y copia en toda la columna =SI(O(H8<$C$5;H8="");"";(D9-C9)/2)

Autor: Ing. Neptali Franco

Demás filas 6. En C9 escribe y copia en toda la columna

=SI(O(H8<$C$5;H8="");"";SI(G8*F8<0;C8;E8))

7. En D9 escribe y copia en toda la columna =SI(O(H8<$C$5;H8="");"";SI(G8*F8<0;E8;D8))

8. En E9 escribe y copia en toda la columna =SI(O(H8<$C$5;H8="");"";(C9+D9)/2)

APENDICE No 2

Observación: Observe que en la iteración 5 f(Pn)*f(an)>0, por lo cual en la siguiente iteración an=Pn, mientras que bn no cambia. Luego para A?1.03125, presione [ = ] y para B? presione [ = ]

1.046875 -0.05968781016

-0.256598199

Nuevamente f(Pn)*f(an)>0

Usando la calculadora fx-570ES ó 991 ES: Escriba en la pantalla las formulas para Pn, f(Pn), f(an):

(A+B)÷ 2: : 54 3 −+− ANSe ANS 54 3 −+− Ae A

Presione la tecla CAL. Escriba para A?1, Presione [ = ] y para B?2, Presione [ = ] hasta obtener los siguientes resultados:

1.5 8.72313016

-0.632105588

(Regla: Si f(Pn)*f(an)<0 haga bn=Pn, en caso contrario haga an=Pn). Para A? presione [ = ] y para B?1.5, presione [ = ] hasta obtener los siguientes resultados:

1.25 3.099004797

-0.632105588

f(Pn)*f(an)<0. Para A? presione [ = ] y para B?1.25, presione [ = ] hasta obtener los siguientes resultados:

1.125 1.019964967

-0.632105588

Continúe el procedimiento hasta obtener un valor Pn mas aproximado a la raíz verdadera.

APENDICE No 3

Usando la calculadora fx-570ES ó 991 ES Escriba en la pantalla 1.5 y presione [ SHIFT ], [STO] y luego presione [X]: 1.5→X

23

Escriba la formula de Newton y presione [ SHIFT ], [STO] y luego presione [X]:

XxXe

dxd

XeXX

X

=−+

−+−

−

−

)54(

54

3

3→X

1.174228907 Presione [ = ] para obtener la siguiente aproximación:

XxXe

dxd

XeXX

X

=−+

−+−

−

−

)54(

54

3

3→X

1.064278767 Continúe presionando [ = ] hasta obtener la aproximación deseada.


APENDICE No 4

Usando la calculadora fx-570ES ó 991 ES Ingrese los valores iniciales: Escriba 2 y presione [ SHIFT ], [STO] y luego presione [X]. Escriba 1 y presione [ SHIFT ], [STO] y luego presione [Y]: Escriba X y presione [SHIFT ], [STO] y luego presione [A]. Presione [ALPHA], [:]. En la misma línea escriba la formula de la Secante y presione [SHIFT ], [STO] y luego presione [X]. Presione [ALPHA], [:]. Escriba A y presione [SHIFT ], [STO] y luego presione [Y]

YAXYeXeYXXeXAX

YX

X→→

−+−−+

−−+−→

−−

−:

)54(54))(54(:33

3

1.022764799 Presione [ = ] hasta obtener la siguiente aproximación:

YAXYeXeYXXeXAX

YX

X→→

−+−−+

−−+−→

−−

−:

)54(54))(54(:33

3

1.035593435 Continúe presionando [ = ] hasta obtener la aproximación deseada.



19

TEMA 3 POLINOMIOS INTERPOLANTES Y AJUSTE DE CURVAS

3.1. INTERPOLACIÓN

En el subcampo matemático del análisis numérico, se denomina interpolación a la construcción de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos. En ingeniería y algunas ciencias es frecuente disponer de un cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento y pretender construir una función que los ajuste. Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolación es la aproximación de una función complicada por una más simple. Si tenemos una función cuyo cálculo resulta costoso, podemos partir de un cierto número de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una función más simple. En general, por supuesto, no obtendremos los mismos valores evaluando la función obtenida que si evaluásemos la función original, si bien dependiendo de las características del problema y del método de interpolación usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error cometido. En todo caso, se trata de, a partir de n parejas de puntos (xk,yk), obtener una función f que verifique

nkyxf kk ,,1,)( K==

a la que se denomina función interpolante de dichos puntos. A los puntos xk se les llama nodos. Algunas formas de interpolación que se utilizan con frecuencia son la interpolación polinómica, la interpolación lineal (la cual es un caso particular de la anterior), la interpolación por medio de spline o la interpolación polinómica de Hermite. 3.1.1. Interpolación polinómica de Lagrange: En análisis numérico, el polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado en la forma de Lagrange. Fue descubierto por Edward Waring en 1779 y redescubierto más tarde por Leonhard Euler en 1783. Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto de puntos, resulta algo confuso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de Lagrange. Un nombre más conciso es interpolación polinómica en la forma de Lagrange.

Dada un conjunto de n + 1 puntos:


20

))(,(,)),(,( 00 nn xfxxfx L

donde todos los se asumen distintos, el polinomio interpolador en la forma de Lagrange es la combinación lineal:

ix

)()()()(:)( 000

xLyxLyxLxfxP nnj

n

jj ++== ∑

=L

de bases polinómicas de Lagrange:

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

:)(1

1

1

1

1

1

0

0

,0 nj

n

jj

j

jj

j

jj

n

jii ij

ij xx

xxxxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xL−−

−

−⋅

−

−

−−

⋅−−

=−−

=+

+

−

−

≠=∏ LL

Desventajas de su uso Debido a que el polinomio interpolador de Lagrange ajusta a todos los puntos que le son especificados, en situaciones con una gran cantidad de datos se obtiene un polinomio de grado muy alto, lo cual normalmente resulta impráctico. Es por esta razón que en la práctica no es común utilizar este método, sino que se prefiere ajustar los datos lo mejor posible, utilizando un polinomio de menor grado, incluso si este polinomio no pasa por ninguno de los puntos que le son especificados (pero ajusta en forma aproximada siguiendo algún criterio de optimalidad). Otro problema del polinomio interpolador de Lagrange es lo que se conoce como overfitting (término inglés, algunas veces castellanizado a sobre fiteo): a medida que crece el grado del polinomio interpolador, se percibe una creciente variación entre puntos de control consecutivos, lo que produce que la aproximación entre dos puntos continuos sea muy distinta a la que uno esperaría. A pesar de estos problemas, el polinomio interpolador de Lagrange es muy simple de implemetar y tiene interés teórico más que práctico por su sencillez. Ejemplo:

Construya los polinomios interpolantes de Lagrange para la función f(x) = sen(x) en los puntos x0 = -1.5, x1 = − 0.75, x2 = 0, x3 = 0.75, x4 = 1.5 , evalúe en x = 1. Solución:

x0 = -1.5 f(x0) = − 0.99749 x1 = − 0.75 f(x1) = − 0.68164 x2 = 0 f(x2) = 0 x3 = 0.75 f(x3) = 0.68164 x4 = 1.5 f(x4) = 0.99749


21

Con cinco puntos, el polinomio interpolador tendrá, como máximo, grado cuatro (es decir, la máxima potencia será cuatro), al igual que cada componente de la base polinómica. La base polinómica es:

)()(

)()(

)()(

)()()(

40

4

30

3

20

2

10

10 xx

xxxxxx

xxxx

xxxxxL

−−

⋅−−

⋅−−

⋅−−

=

)2/32/3()2/3(

)4/32/3()4/3(

)02/3()0(

)4/32/3()4/3(

−−−

⋅−−

−⋅

−−−

⋅+−

⋅+=

xxxx

xxxx91

272

8116

24332 234 +−−=

)()(

)()(

)()(

)()()(

41

4

31

3

21

2

01

01 xx

xxxxxx

xxxx

xxxxxL

−−

⋅−−

⋅−−

⋅−−

=

)2/34/3()2/3(

)4/34/3()4/3(

)04/3()0(

)2/34/3()2/3(

−−−

⋅−−

−⋅

−−−

⋅+−

⋅+=

xxxx

xxxx98

2732

8132

243128 234 −++−=

)()(

)()(

)()(

)()(

)(42

4

32

3

12

1

02

02 xx

xxxxxx

xxxx

xxxx

xL−−

⋅−−

⋅−−

⋅−−

=

)2/30()2/3(

)4/30()4/3(

)4/30()4/3(

)2/30()2/3(

−−

⋅−−

⋅++

⋅+

⋅+=

xxxx

1920

8164 24 +−= xx

)()(

)()(

)()(

)()(

)(43

4

23

2

13

1

03

03 xx

xxxxxx

xxxx

xxxx

xL−−

⋅−−

⋅−−

⋅−−

=

)2/34/3()2/3(

)04/3()0(

)4/34/3()4/3(

)2/34/3()2/3(

−−

⋅−−

⋅++

⋅+

⋅+=

xxxx

xxxx98

2732

8132

243128 234 ++−−=

)()(

)()(

)()(

)()(

)(34

3

24

2

14

1

04

04 xx

xxxxxx

xxxx

xxxx

xL−−

⋅−−

⋅−−

⋅−−

=


22

)4/32/3()4/3(

)02/3()0(

)4/32/3()4/3(

)2/32/3()2/3(

−−

⋅−−

⋅++

⋅+

⋅+=

xxxx

xxxx91

272

8116

24332 234 −−+=

Así, el polinomio interpolador se obtiene simplemente como la combinación lineal entre los y los valores de las abscisas:

)()()()()()()()()()()( 4433221100 xLxfxLxfxLxfxLxfxLxfxP ++++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−−⋅+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++−⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−⋅−=

xxxxxxxx

xxxxxxxx

91

272

8116

2433299749.0

98

2732

8132

24312868164.0

98

2732

8132

24312868164.0

91

272

8116

2433299749.0

234234

234234

xx 99014.014451.0 3 +−=

P(x)

f(x)

Ahora evaluamos este polinomio en x = 1 para obtener , tenemos que para

, por lo que el error relativo cometido es 84564.0)1(99014.0)1(14451.0)1( 3 ≈+−=P )1()1( senf =

84147.0=

Er = %496.010084147.0

84564.084147.0100*≈⋅

−=⋅

−ppp


23

3.1.2. Diferencias divididas interpolantes de Newton: Éste método es más algorítmico y resulta sumamente cómodo en determinados casos, sobre todo cuando queremos calcular un polinomio interpolador de grado elevado.

Tomemos f una función y escribamos su polinomio interpolador de grado m como sigue:

)())(())(()()( 110102010 −−−−++−−+−+= nnn xxxxxxaxxxxaxxaaxP LL (1)

))(()(1

010 ∏∑

−

==−+=

i

jj

m

iin xxaaxP

Estos coeficientes se calculan mediante diferencias divididas, cuya expresión general esta dada por:

iji

jiijiijii xx

xxfxxfxxf

−

−=

++

++++++

1

111

],,[],,[],,[

KKK

Como se ve en la fórmula, las diferencias divididas se calculan de modo recursivo usando coeficientes anteriores. Una vez hayamos realizado todos los cálculos, notaremos que hay (muchas) más diferencias divididas que coeficientes ai. El cálculo de todos los términos intermedios debe realizarse simplemente porqué son necesarios para poder formar todos los términos finales. Sin embargo, los términos usados en la construcción del polinomio interpolador son todos aquéllos que involucren a x0, así:

][ 00 xfa = , ,],,[ 101 Kxxfa = ],,,[ 10 ii xxxfa K=

Con esta notación, podemos reexpresar la ecuación (1) como:

)())(](,,,,[))(](,,[)](,[][)(

110210

102100100

−−−−++−−+−+=

nn

n

xxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxP

LL

L

A esta ecuación se le conoce con el nombre de fórmula de diferencias divididas interpolantes de Newton Ejemplo:

Queremos hallar el valor de la función para x = 0.75 mediante el método de las Diferencias Divididas de Newton de grado 2.

1)( += xexf

Solución: Una forma sencilla de hacer los cálculos anteriores es determinando sucesivamente las entradas de un arreglo triangular:


24

x )(xf Primeras diferencias divididas

Segundas diferencias divididas

0x )( 0xf 01

0110

)()(],[

xxxfxf

xxf−−

=02

1021210

],[],[],,[

xxxxfxxf

xxxf−−

=

1x )( 1xf 12

1221

)()(],[xx

xfxfxxf−−

=

2x )( 2xf

x

)(xf

Primeras diferencias divididas

Segundas diferencias divididas

0 e 02/1],[

2/3

10 −−

=eexxf

)(2 2/3 ee −= 01

2222],,[2/32/32

210 −+−−

=eeeexxxf

)2(2 2/32 eee +−=

21

2/3e

2/11],[

2/32

21 −−

=eexxf

)(2 2/32 ee −=

1 2e El polinomio de diferencias divididas interpolantes de Newton de grado 2 es:

))(](,,[)](,[][)( 1021001002 xxxxxxxfxxxxfxfxP −−+−+=

)2/1)(0)(2(2)0)((2)( 2/322/32 −−+−+−−+= xxeeexeeexP

)2/1)(0)(2(2)0)((2)( 2/322/32 −−+−+−−+= xxeeexeeexP

exeeexeeexP ++−−+−= )34()2(2)( 2/3222/322

Ahora evaluamos este polinomio en x = 0.75 para obtener

,

tenemos que para

792377.5)75.0)(34()75.0)(2(2)75.0( 2/3222/322 ≈++−−+−= eeeeeeeP

75460.5)75.0( 75.1 == ef 84147.0= , por lo que el error relativo cometido es

Er = %66.010075460.5

79238.575460.5100*≈⋅

−=⋅

−ppp


25

ACTIVIDAD No. 8

1. Usando los siguientes datos, calcúlese f(2) con un polinomio de interpolación

de Lagrange de segundo orden. x 1 4 5 6 f(x) 0.000 0000 1.386 2944 1.609 4379 1.791 7595 Sugerencia: Tome los puntos x0 = 1, x1 = 4, x3 = 6.

2. Queremos hallar el valor de la función )()( xsenxf = para usando un polinomio interpolador de Lagrange de grado 2.

1=x

(Tome los puntos x0 = 0, x1 = 0.75, x2 = 1.5 y compare con el ejercicio resuelto en clase)

3. .Dados los datos:

x 1.6 2 2.5 3.2 4 4.5 f(x) 2 8 14 15 8 2

a) Calcule f(2.8) con un polinomio de interpolación de Lagrange de orden 2, tomando los puntos x1 = 2, x3 = 3.2, x5 = 4.5. b) Calcule f(2.8) con un polinomio de interpolación de Lagrange de orden 3, tomando los puntos x1 = 2, x2 = 2.5, x4 = 4 , x5 = 4.5.

4. Los datos siguientes muestran la relación entre la temperatura y la presión de un fluido.

T 10 20 30 40 50 ºF P 0.5 1.7 3.4 5.7 8.4 Psia a) Usando un polinomio interpolador de Lagrange de grado 1 encuentre una formula que relacione la presión con la temperatura. Determine la presión a una temperatura de 35 ºF. (Tome los puntos T1 = 20, T3 = 40)

b) Repita la parte (a) usando un polinomio interpolador de Lagrange de grado 2. (Tome los puntos T1 = 20, T2 = 30, T3 = 40) Grafique e Interprete los resultados.

5. En los ejercicios 1-4, ajuste mediante un polinomio interpolador de Newton con diferencias divididas y compare los resultados.


26

3.2. AJUSTE DE CURVAS POR MINIMOS CUADRADOS El día de Año Nuevo de 1801, el astrónomo italiano Giuseppe Piazzi descubrió el asteroide Ceres. Fue capaz de seguir su órbita durante 40 días. Durante el curso de ese año, muchos científicos intentaron estimar su trayectoria con base en las observaciones de Piazzi (resolver las ecuaciones no lineales de Kepler de movimiento es muy difícil). La mayoría de evaluaciones fueron inútiles; el único cálculo suficientemente preciso para permitir a Zach, astrónomo alemán, reencontrar a Ceres al final del año fue el de un Carl Friedrich Gauss de 24 años (los fundamentos de su enfoque ya los había plantado en 1795, cuando aún tenía 18 años). Pero su método de mínimos cuadrados no se publicó hasta 1809, apareciendo en el segundo volumen de su trabajo sobre mecánica celeste, Theoria Motus Corporum Coelestium in sctionibus conicis solem ambientium. Mínimos cuadrados es una técnica de optimización matemática que, dada una serie de mediciones, intenta encontrar una función que se aproxime a los datos minimizando la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función y los correspondientes en los datos. Un requisito implícito para que funcione el método de mínimos cuadrados es que los errores de cada medida estén distribuidos de forma aleatoria. El teorema de Gauss-Markov prueba que los estimadores mínimos cuadráticos carecen de sesgo y que el muestreo de datos no tiene que ajustarse, por ejemplo, a una distribución normal. También es importante que los datos recogidos estén bien escogidos, para que permitan visibilidad en las variables que han de ser resueltas (para dar más peso a un dato en particular, véase mínimos cuadrados ponderados). 3.2.1. Mínimos cuadrados y análisis de regresión lineal: El ejemplo mas simple de una aproximación por mínimos cuadrados es ajustar una línea recta a un conjunto de observaciones definidas por puntos:

. La expresión matemática para la línea recta es ),(,),,(),,( 2211 nn yxyxyx L

ε++= bxay

Donde los coeficientes a y b son que representan la pendiente y la intersección con el eje y respectivamente. ε es el error o diferencia entre el modelo y las observaciones. Así el error o residuo puede expresarse como:

bxay −−=ε

Luego la suma de los cuadrados de dichas desviaciones estaría dada por:

∑∑==

−−==n

iii

n

ir bxayS

1

2

1

2 )(ε


27

La obtención de los valores de los coeficientes, tales que esta suma sea mínima es un problema que se puede resolver recurriendo a la derivación parcial de la función en términos de a y b e igualando a cero:

0)(2)1()(211

=−−−=−⋅−−=∂∂ ∑∑

==

n

iii

n

iii

r bxaybxayaS

∑∑∑ ∑∑=== ==

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⇒=−−

n

ii

n

ii

n

i

n

ii

n

ii ybxnaxbay

111 110 (1)

0)(2)()(211

=⋅−−−=−⋅−−=∂∂ ∑∑

==i

n

iii

n

iiii

r xbxayxbxaybS

∑∑∑∑ ∑∑==== ==

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒=−−

n

iii

n

ii

n

ii

n

i

n

iii

n

iii yxbxaxxbxayx

11

2

11 1

2

10 (2)

De esta forma se obtienen dos ecuaciones llamadas ecuaciones normales del modelo que pueden ser resueltas por cualquier método. Escribiendo el sistema de ecuaciones en forma matricial tenemos:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∑

∑

∑∑

∑

=

=

==

=n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

yx

y

b

a

xx

xn

1

1

1

2

1

1 ; 2

11

2

1

2

1

1)det( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−== ∑∑

∑∑

∑

==

==

=n

ii

n

iin

ii

n

ii

n

ii

xxnxx

xnA

Si usamos la regla de Cramer:

2

11

2

111

2

11

2

1

11

)det(⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

==

∑∑

∑∑∑∑∑∑

∑∑

==

======

==

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

xxn

yxxxy

A

xyx

xy

a

2

11

2

11111

1

)det(⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

==

∑∑

∑∑∑∑∑

∑

==

=====

=

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

n

iii

n

ii

n

ii

xxn

yxyxn

A

yxx

yn

b


28

( )22

2

∑∑∑∑∑∑

−

−=

xxn

xyxxya ;

( )22 ∑∑∑∑∑

−

−=

xxn

yxxynb

Otra forma de calcular los coeficientes es a partir de las medias aritméticas de las observaciones:

nx

x ∑= ; n

yy ∑= , xbya −= ;

22 xnx

yxnxyb

−

−=∑∑

Se debe tener presente la diferencia entre el valor obtenido con la ecuación de regresión y el valor de Y observado. Mientras es una estimación y su bondad en la estimación depende de lo estrecha que sea la relación entre las dos variables que se estudian. Esta diferencia se conoce como error en la estimación, este error se puede medir a partir de la Desviación estándar de la estimación:

2−=

nSrSxy , Donde ∑

=−−=

n

iiir bxayS

1

2)(

Como esta medida trata de resumir la disparidad entre lo observado y lo estimado, es decir, trata de medir la diferencia promedio entre lo observado y lo estimado ó esperado de acuerdo al modelo, puede considerarse como un indicador del grado de precisión con que la ecuación de regresión, describe la relación entre las dos variables. No es posible comparar con las relaciones de variables dadas en distinta unidad de medida. Es necesario entonces calcular una medida que interprete o mida mejor el grado de relación entre las variables: Coeficientes de determinación y de correlación: El coeficiente de determinación es la relación entre la variación explicada y la variación total. Este Coeficiente de correlación mide la fuerza de la relación entre las variables. Su valor siempre estará 0 < r < 1

t

rtS

SSr

−=2 ; donde es el error residual asociado con la variable dependiente

antes de la regresión. Una presentación alternativa es la siguiente:

tS

( )( ) ( )( )∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑

−−

−=

2222 yynxxn

yxxynr

Criterios: 0 a 0.2 Correlación muy débil, despreciable 0.2 a 0.4 Correlación débil. baja 0.4 a 0.7 Correlación moderada


29

0.7 a 0.9 Correlación fuerte, alta, importante 0.9 a 1.0 Correlación muy fuerte, muy alta

La correlación entre los valores de dos variables es un hecho. El que lo consideremos satisfactorio o no, depende de la interpretación. Otro problema que representa la correlación es cuando se pregunta si una variable, de algún modo causa o determina a la otra. La correlación no implica causalidad. Si las variables x e y están correlacionadas, esto puede ser por que x causa a y, o porque y causa a x o porque alguna otra variable afecta tanto a x como y, o por una combinación de todas estas razones; o puede ser que la relación sea una coincidencia. Ejemplo: Se toma una muestra aleatoria de 8 ciudades de una región geográfica de 13 departamentos y se determina por los datos del censo el porcentaje de graduados en educación superior y la mediana del ingreso de cada ciudad, los resultados son los siguientes: % de Graduados (x): 7.2 6.7 17.0 12.5 6.3 23.9 6.0 10.2 Mediana Ingreso (y): 4.2 4.9 7.0 6.2 3.8 7.6 4.4 5.4 x y xy x2 y2 y 2)ˆ( yy −

1 7.2 4.2 30.24 51.84 17.64 4.6133 0.1708 2 6.7 4.9 32.83 44.89 24.01 4.5109 0.1514 3 17.0 7.0 119.00 289.00 49 6.6201 0.1443 4 12.5 6.2 77.50 156.25 38.44 5.6986 0.2514 5 6.3 3.8 23.94 39.69 14.44 4.429 0.3956 6 23.9 7.6 181.64 571.21 57.76 8.033 0.1875 7 6.0 4.4 26.40 36.00 19.36 4.3676 0.001 8 10.2 5.4 55.08 104.04 29.16 5.2276 0.0297

89.8 43.5 546.63 1292.92 249.81 1.3317

∑ = 8.89x , , , ∑ = 5.43y ∑ = 63.546xy ∑ = 92.12922x , ∑ = 81.2492y

3317.1)ˆ( 2∑ =− yy

( )1389.3

)8.89(92.1292863.5468.8992.12925.43

222

2=

−⋅

⋅−⋅=

−

−=

∑∑∑∑∑∑

xxn

xyxxya

( )20477.0

)8.89(92.129285.438.8963.5468

222 =−⋅

⋅−⋅=

−

−=

∑∑∑∑∑xxn

yxxynb


30

Por tanto la ecuación de regresión nos queda: xy 20477.01389.3ˆ +=

Esta ecuación permite estimar el valor de ŷ para cualquier valor de x, por ejemplo: Una ciudad que tiene un porcentaje de graduados a nivel superior del 28% la mediana de ingreso para la ciudad será:

87246.8)28(20477.01389.3ˆ =+=y

La suma de los cuadrados de dichas desviaciones y la Desviación estándar de la estimación esta dada por:

3317.1)(1

2 =−−=∑=

n

iiir bxayS , 4711.0

283317.1

2=

−=

−=

nSrSxy

El coeficiente de correlación:

( )( ) ( )( ) ))5.43(81.2498)()8.89(92.12928(

5.438.8963.5468222222 −⋅−⋅

⋅−⋅=

−−

−=

∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑

yynxxn

yxxynr

9485.0=r

Se observa que la correlación entre los valores de las dos variables es muy fuerte.

0

1

2

3

45

6

7

8

9

0 5 10 15 20 25 30

Observacionesy=a+bx

Grafica de dispersión elaborada en Excel

EXCEL - fx-570ES ó 991 ES

En el apéndice 5 se muestra la hoja de cálculo en EXCEL y se explica como trabajar en la calculadora con el modo de REGRESION LINEAL.


31

ACTIVIDAD No. 9

1. Los datos siguientes muestran la relación entre la temperatura y la presión de

un fluido. Usando regresión lineal encuentre una formula que permita determinar la presión a una temperatura de 35: T 10 20 30 40 50 60 70 P 0.5 2.5 2.0 4.0 3.5 6.0 5.5

Calcule la desviación estándar de la estimación y el coeficiente de correlación. Grafique e Interprete los resultados.

2. Demuestre que los datos que se indican a continuación no se ajustan a una

línea recta. x 1 2 3 4 5 6 7 y 32 11.7 6.8 5 8.3 23 43

Calcule la desviación estándar de la estimación y el coeficiente de correlación. Grafique e Interprete los resultados.

3. Se quiere resolver un problema de hipótesis relacionado con la caída del paracaidista de la actividad No. 5, en la cual se dio el siguiente modelo matemático teórico:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

− tmc

ec

gmtv 1)( donde m=98.1 Kg, g=9,8 m/s2 y el coeficiente de

arrastre c=12.5 kg/s. Un modelo empírico alternativo para la velocidad del paracaidista esta dado por:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

tt

cgmtv

75.3)(

Compruebe la veracidad de esos modelos matemáticos. Esto podría hacerse al medir la velocidad real del paracaidista con valores conocidos del tiempo y comparar estos resultados con las velocidades predichas por cada modelo. Velocidades medidas del paracaidista en m/s

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 y 10 16.3 23 27.5 31 35.6 39 41.5 42.9 45 46 45.5 46 49 50 Calcule la desviación estándar de la estimación y el coeficiente de correlación. Grafique e Interprete los resultados.


32

3.2.2. Regresión Polinomial: En muchos casos una curva es más adecuada para ajustar los datos. El procedimiento de mínimos cuadrados puede extenderse fácilmente para ajustar un polinomio de grado superior un conjunto de observaciones definidas por puntos:

. Por ejemplo, supongamos que ajustamos un polinomio de segundo grado o cuadrático:

),(,),,(),,( 2211 nn yxyxyx L

ε+++= 2cxbxay

Donde los coeficientes a, b y c son lo coeficientes a determinar y ε es el error o diferencia entre el modelo y las observaciones. En este caso el error o residuo puede es:

2cxbxay −−−=ε

Luego la suma de los cuadrados de dichas desviaciones estaría dada por:

∑∑==

−−−==n

iiii

n

ir cxbxayS

1

22

1

2 )(ε

Recurriendo a la derivación parcial de la función en términos de a, b y c e igualando a cero:

0)(21

2 =−−−−=∂∂ ∑

=

n

iiii

r cxbxayaS

0)(21

2 =⋅−−−−=∂∂ ∑

=i

n

iiii

r xcxbxaybS

0)(2 2

1

2 =⋅−−−−=∂∂ ∑

=i

n

iiii

r xcxbxayc

S

De esta forma se obtienen tres ecuaciones normales del modelo.

∑∑∑===

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

n

ii

n

ii

n

ii ycxbxna

11

2

1 (1)

∑∑∑∑====

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ n

iii

n

ii

n

ii

n

ii yxcxbxax

11

3

1

2

1 (2)

∑∑∑∑====

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ n

iii

n

ii

n

ii

n

ii yxcxbxax

1

2

1

4

1

3

1

2 (3)


33

Escribiendo el sistema de ecuaciones en forma matricial tenemos:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∑

∑

∑

∑∑∑

∑∑∑

∑∑

=

=

=

===

===

==

n

iii

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

yx

yx

y

c

b

a

xxx

xxx

xxn

1

2

1

1

1

4

1

3

1

2

1

3

1

2

1

1

2

1

Resolviendo se obtienen los coeficientes a, b y c.

Desviación estándar de la estimación:

3−=

nSrSxy , Donde ∑∑

==−=−−−=

n

ii

n

iiiir yycxbxayS

1

2

1

22 )ˆ()(

Coeficientes de determinación y de correlación: El coeficiente de determinación es la relación entre la variación explicada y la variación total. Su valor siempre estará 0 < r < 1

t

rtS

SSr

−=2 ; donde es el error residual asociado con la variable dependiente

antes de la regresión

tS

∑=

−=n

It yyS

1

2)( .

Este Coeficiente de correlación mide la fuerza de la relación entre las variables.

t

rtS

SSr

−=

Ejemplo: Los datos siguientes muestran la relación entre la distancia recorrida (m) y la velocidad alcanzada por un cuerpo (m/s2). Usando regresión polinomial encuentre una formula que permita determinar la velocidad a una distancia de 4.5 m:

x 0 1 2 3 4 5 v 2.1 7.7 13.6 27.2 40.9 61.1

Calcule la desviación estándar de la estimación y el coeficiente de correlación. Grafique e Interprete los resultados. Solución:


34

x y xy x2 x2y x3 x4 0 0 2,1 0 0 0 0 0 1 1 7,7 7,7 1 7,7 1 1 2 2 13,6 27,2 4 54,4 8 16 3 3 27,2 81,6 9 244,8 27 81 4 4 40,9 163,6 16 654,4 64 256 5 5 61,1 305,5 25 1527,5 125 625 15 152,6 585,6 55 2488,8 225 979

∑ =15x , ∑ , = 6.152y ∑ = 6.585xy , ∑ = 552x , ,

,

∑ = 8.24882 yx

∑ = 2253x ∑ = 9794x

Escribiendo el sistema de ecuaciones en forma matricial tenemos:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∑

∑

∑

∑∑∑

∑∑∑

∑∑

=

=

=

===

===

==

n

iii

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

yx

yx

y

c

b

a

xxx

xxx

xxn

1

2

1

1

1

4

1

3

1

2

1

3

1

2

1

1

2

1

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

8.24886.5856.152

97922555225551555156

cba

Resolviendo este sistema de ecuaciones se tiene a = 2.47857 , b = 2.35929 , c = 1.86071

Por tanto la ecuación de regresión es: 286071.135929.247857.2ˆ xxy ++=

El valor de la velocidad ŷ estimado para x = 4.5 m es:

775.50)5.4(86071.1)5.4(35929.247857.2ˆ 2 =++=y m/s

Calculando el error residual asociado con la variable dependiente antes de la regresión y la suma de los cuadrados de las desviaciones:

∑=

−=n

It yyS

1

2)( ; ∑=

−=n

iir yyS

1

2)ˆ(


35

ŷ 2)ˆ( yy − 2)( yy − 0 2,4786 0,14334 544,4444 1 6,6986 1,0028 314,4711 2 14,64 1,0816 140,0278 3 26,3029 0,80479 3,1211 4 41,6871 0,61953 239,2178 5 60,7929 1272,1111 0,09431

3,74637 2513,3933

833.2513=tS 74637,3= ; rS

Desviación estándar de la estimación:

1175.136

74637.33

=−

=−

=nSrSxy

Coeficientes de determinación y de correlación:

99851.0933.2513

74637.3933.25132 =−

=−

=t

rtS

SSr

99925.0=r

Se observa la correlación entre los valores de dos variables es muy fuerte.

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6

Observaciones

y=a+bx+cx2

Grafica de dispersión elaborada en Excel

EXCEL - fx-570ES ó 991 ES

En el apéndice 6 se muestra la hoja de cálculo en EXCEL y se explica como trabajar en la calculadora con el modo de REGRESION POLINOMIAL.



36

ACTIVIDAD No. 10

1. Emplee la regresión por mínimos cuadrados para ajustar a una línea recta:

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 1 1.5 2 3 4 5 8 10 13 a) Además de la pendiente y la intersección, calcule el error estándar de la estimación y el coeficiente de correlación. Grafique los datos y la línea recta. Evalúe el ajuste. b) Vuelva a hacer el cálculo del inciso (a), pero usando regresión polinomial para ajustar los datos a una parábola. Compare los resultados con los obtenidos en (a)

2. Los datos siguientes representan el crecimiento bacterial en un cultivo líquido

durante cierto número de días. dia 0 4 8 12 16 20 cantidad x10-6 67 84 98 125 149 185

Encuentre la ecuación de mejor ajuste (recta o parábola) a la tendencia de datos. Grafique en cada caso e interprete los resultados. Pronostique la cantidad de bacterias después de 40 días.

3. Un objeto se suspende en un túnel de viento y se mide la fuerza para varios niveles de velocidad del viento. A continuación están tabulados los resultados v (m/s) 10 20 30 40 50 60 70 80 F (N) 25 70 380 550 610 1220 830 1450

Encuentre la ecuación de mejor ajuste (recta o parábola) a la tendencia de datos. Grafique en cada caso e interprete los resultados.

4. Usando regresión polinomial para ajustar a una parábola los datos del ejercicio

No 2 de la actividad No 9. Compare los resultados con los obtenidos anteriormente.

5. Diseñe hojas de cálculo para aplicar la regresión lineal y la polinomial. Tome

algunos de los ejercicios propuestos y varíe algún o varios de los valores de y. Anote sus observaciones con respecto al cambio de la desviación estándar y el coeficiente de correlación. ¿Ofrecerá en estos casos la ecuación de regresión un ajuste adecuado?

APENDICE No 5

Presione [1] para seleccionar A, presione [=] A

3.138938806

Presione [shift] , [STAT] , [7] , [2] para seleccionar B, presione [=] B

0.2047715985

Presione [shift] , [STAT] , [7] , [3] para seleccionar r, presione [=] r

0.9485249968

Usando la calculadora fx-570ES ó 991 ES Presiona las teclas [ Mode ], [ 3 ] para trabajar en STAT. Seleccione 2 para trabajar con REGRESION LINEAL. Ingrese los datos: X Y 1 7.2 4.2 2 6.7 4.9 3 17 7 4 12.5 6.2 5 6.3 3.8 6 23.9 7.6 7 6 4.4 8 10.2 5.4 Presione [AC] , [shift] , [STAT] , [7] para buscar los coeficientes de la ecuación de regresión y=A + Bx


APENDICE No 5a

APENDICE No 6


Presione [AC] , [shift] , [STAT] , [7] para buscar los coeficientes de la ecuación de regresión y=A + Bx Cx2 Presione [1] para seleccionar A, presione [=] A

2.478571429

Presione [shift] , [STAT] , [7] , [2] para seleccionar B, presione [=] B

2.359285714

Presione [shift] , [STAT] , [7] , [3] para seleccionar C, presione [=] C

1.860714286

Usando la calculadora fx-570ES ó 991 ES Presiona las teclas [ Mode ], [ 3 ] para trabajar en STAT. Seleccione 3 para trabajar con REGRESION POLINOMIAL-2do orden. Ingrese los datos: X Y 0 0 2.1 1 1 7.7 2 2 13.6 3 3 27.2 4 4 40.9 5 5 61.1


37

TEMA 4 INTEGRACION NUMERICA

En ingeniería se presenta con frecuencia la necesidad de integrar una función con alguna de las siguientes características: (a) Una función complicada y continua que es difícil o imposible de integrar directamente.

(b) Una función tabulada en donde los valores de x y f(x) se dan en un conjunto de puntos discretos, como es el caso a menudo, de datos experimentales. En estos dos casos, se deben emplear métodos aproximados. Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas más comunes dentro de la integración numérica. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más fácil de integrar. La integral se puede aproximar usando una serie de polinomios aplicados por partes a la función o a los datos sobre intervalos de longitud constante. Se dispone de las formas abierta y cerrada de las fórmulas de Newton-Cotes. Las formas cerradas son aquellas en donde los puntos al principio y al final de los límites de integración se conocen. Las fórmulas abiertas tienen los límites de integración extendidos más allá del rango de los datos. Las fórmulas abiertas de Newton-Cotes, en general, no se usan en la integración definida. Sin embargo, se usan extensamente para evaluar integrales impropias y en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.

4.1. REGLA DEL TRAPECIO (SIMPLE Y COMPUESTA) La regla del trapecio o regla trapezoidal es la primera de las fórmulas cerradas de Newton-Cotes. 4.1.1. Regla del trapecio simple:

Considérese la función f(x), cuya gráfica esta entre los extremos x=a y x=b como se muestra en la figura. Si utilizamos un polinomio P(x) de primer grado como una aproximación de f(x) tenemos:

abaxbf

babxafxP

−−

+−−

= )()()( , el cual es equivalente a:

)()()()()( axab

afbfafxP −−−

+=

El área bajo esta línea recta será una aproximación del área bajo la curva entre los límites a y b


38

Integrando este polinomio:

⎟⎞− dxax )()

∫∫ ⎜⎝⎛

−−

+≅b

a

b

a abafbfafdxxf ()()()(f(x)

⎠

f(a) b

a

axab

afbfxaf2

2)()()()( −

−−

+≅ f(b)

2)()()())(( abafbfabaf −−+−≅

2ab −

2)())()(())(( abafbfabaf −

−+−≅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−≅2

)()()()( afbfafab

2)()()( bfafab +

−≅

Que es la conocida Regla del Trapecio Simple. Geométricamente, la Regla del trapecio aproxima el área bajo una curva mediante el área del trapecio bajo la línea recta que une f(a) y f(b)

hbBA2+

=

)()()( abbfafA −2+

=

Ejemplo:

Utilizar la regla del trapecio simple para aproximar la integral ∫1

2/1)( dxxarcsen

Solución:

∫1

2/1)( dxxarcsen

2)2/1()1()2/11( ff +

−≅

5235988.064==

6/2/ +≅

πππ

La solución exacta de esta integral es:

4429715.0365≈

−π12

a b

b-a

f(b)

f(a)

B

b

h

−1 1

−1

1


39

El error relativo porcentual que se cometió al aplicar la regla del trapecio simple esta dado por:

%2.181004429715.0

5235988.04429715.0100*≈⋅

−=⋅

−ppp Er =

El error de la estimación es muy alto. 4.1.2. Regla del trapecio compuesta: Una aproximación suficiente al área bajo la curva se obtiene dividiéndola en n segmentos de ancho y aproximando el área de cada segmento mediante un trapecio, como se indica en la figura:

nabh /)( −=

},,{ 10 nxxxP LSea = la partición que se forma al hacer dicha subdivisión. Usando propiedades de la integral tenemos que: f(a)

f(x)

L++= ∫∫∫10

)()()(xxa

dxxfdxxfdxxf

∫+ nxdxxf )(

21 xxb

−nx 1

Aplicando la regla del trapecio en cada una de las integrales, obtenemos:

L++++

≅22

hha b

f(b)

)()()()( 2110 xfxfxfxf

2)()( 1 nn xfxf

h+

+ −

Agrupando términos:

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

++=++++≅ ∑∫−

)()(2)(2

))()(2)(2)((2

)(1

0210 n

n

inb

axfxfxfhxfxfxfxfhdxxf L

⎠⎝ =1i

xfxfxf n

n

ib

)()(2)(1

0 ++ ∑−

nabdxxf i

a 2)()( 1−≅∫ =

∫1

2/1)( dxxarcsen

Que es la conocida como la Regla del Trapecio múltiple o compuesta. Ejemplo:

Utilizar la regla del trapecio compuesta con n=5 subintervalos para aproximar la

integral


40

Solución:

1.05

2/11=

−=

−=

nabh

P= {0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1}

∫1

2/1)( dxxarcsen +++≅ )7.0(2)6.0(2)5.0((

21.0 fff

))1()9.0(2)8.0(2 fff +++ =0.4513161


4429715.012

≈365 −π

El error relativo porcentual que se cometió al aplicar la regla del trapecio compuesta esta dado por:

Er = %884.11004513161.04429715.0100*≈⋅

−=⋅

− pp4429715.0p

Vemos que efectivamente se ha obtenido una mejor aproximación con este método, reduciendo el error relativo verdadero de un 18.2% hasta un 1.884%.

−1 1

−1

1

Si aumentamos el valor de n obtendremos los siguientes resultados:

n Snumérica Er% 10 0.4460196420 0.688% 50 0.4432559383 0.0642% 100 0.4430730772 0.0229% 200 0.4430076838 0.00816$ 250 0.4429974465 0.00585% 1000 0.4429747968 0.000736%

Se ha obtenido una mejor aproximación al aumentar el número de subdivisiones.

ACTIVIDAD No. 11 1. Aplique la regla del trapecio compuesta con los valores indicados de n para

aproximar las siguientes integrales:

a) , n=5 b) , n=4 dxe x22

2

−

−∫ xdxx ln

2

1∫


41

c) , n=4 d) , n=6 dxex x32

∫ dxxx )cos(2π

∫2− 0

e) dxx 4

12

5

3 −∫dx

x 42

2

2

0 +∫ , n=8 f) , n=8

2. Utilizar la regla del trapecio compuesta para aproximar el trabajo W realizado

por una fuerza , en el intervalo13)( 2 ++−= − xxexf x 30 ≤≤ x . Utilice n=1, 2, 3 y 5 subintervalos. Resuelva analíticamente y determine el error relativo porcentual de la aproximación en cada caso.

3 La velocidad de un paracaidista que cae esta dada por:

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛−=

− tmc

ec

gmv 1⎠⎝

a) Aplicando la regla del trapecio simple, aproxime la distancia recorrida al cabo de 9s del lanzamiento si la masa m es de 68,1 kg y su velocidad v es de 35 m/s. Tome g=9,8 m/s2 y el coeficiente de arrastre c=15 kg/s. [Sugerencia:

dtdxv = ]

b) Utilice la regla del trapecio compuesta con n=2, 3 y 5 subintervalos.

4 En estadística, la probabilidad de que un valor aleatoriamente seleccionado descrito por la Distribución Normal se encuentre en [a, b] está dada por:

2

21

21 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

∫ σ

πσ

xbe

a

con media 0=μ y desviación estándar σ .

Utilice la regla del trapecio compuesta con n=2, 3 y 5 subintervalos para aproximar la probabilidad de que un valor aleatoriamente seleccionado descrito por la Distribución Normal se encuentre en:

a) [ ]σσ ,− b) [ ]σσ 2,2− c) [ ]σσ 3,3−

5. Utilice la regla del trapecio para aproximar el desplazamiento de un móvil si la velocidad en cada intervalo de 6 seg se muestra en la siguiente tabla:

t (s) 0 6 12 18 24 30 v (m/s) 124 134 148 156 147 133


42

4.2. REGLAS DE SIMPSON A través de la Regla de Simpson (nombrada así en honor de Thomas Simpson) se puede obtener una estimación más exacta de la integral. El método consiste en usar polinomios de grado superior para aproximar la curva de la función y tomar las integrales bajo tales polinomios. 4.2.1. Regla de Simpson 1/3 simple:

Considérese la función integrando f(x), cuya gráfica está entre los extremos x0 = a y x2 = b, si hay otro punto a la mitad x1 = (x0+ x2)/2 como se muestra en la figura. Si utilizamos un polinomio de lagrange P2(x) de segundo grado como una aproximación de f(x):

)()()(

)()()(

)()()()(

12022

21011

201002 xxxx

xfxxxx

xfxxxx

xfxP−

⋅−

+−

⋅−

)()()()()()( 102021 xxxxxxxxxxxx −−−−+

−⋅

−=

−−

El área bajo este polinomio será una aproximación del área bajo la curva entre los límites a y b

Integrando este polinomio: f(x)

dxxxxx

xfxxxxxxb

⎥⎦

⎤−−

⋅

+−−⎡

)()(

)()

)()(

12

1

12

22

xxxx

xfxxxx

xxxx

xxxxfdxxf

xa

−−

+−−

⋅−−

−⋅

−⎢⎣

≅ ∫∫

)()(

)()()(

)()(

()()()(

02

02

21

2

01

0

010

10

0

Después de la integración y manipulación algebraicas, se obtiene la siguiente formula:

612a

)()(4)()()( 210 xfxfxf

xxdxxfb ++

−≅∫

))()(4)(()( 210 xfxfxfhdxxfb

++≅∫

x0 x2

f(x2)

3a

∫1

2/1)( dxxarcsen

Que es la conocida Regla de Simpson 1/3 Simple donde h = (b − a)/2. Geométricamente, la Regla de Simpson 1/3 simple aproxima el área bajo una curva mediante el área bajo una parábola que une tres puntos. Ejemplo: Utilizar la regla de Simpson 1/3 simple para aproximar la integral

P(x)

x1

f(x0)


43

Solución:

4429715.012

365≈

−πLa solución exacta de esta integral es:

∫1

/1 2)( dxxarcsen ))2/1()4/3(4)1((

6)2/11( fff ++

−≅

4572203.0)5235988.08480621.05707963.1(121

=++≅

El error relativo porcentual que se cometió al aplicar la regla del trapecio simple esta dado por:

Er = 100*⋅

−ppp

%22.31004429715.0

4572203.04429715.0≈⋅

−

El error de la estimación es menor que el obtenido con la Regla del Trapecio simple.

4.2.2. Regla de Simpson 1/3 compuesta:

En el caso de que el intervalo [a, b] no sea lo suficientemente pequeño, el error al calcular la integral puede ser muy grande. Para ello, se recurre a la fórmula compuesta de Simpson 1/3. Dividiremos el intervalo [a, b] en n subintervalos iguales, de manera que xi = a + ih, donde h = (b − a) / n para i = 0,1,...,n.

−1 1

−1

1

L++= ∫∫∫ 4

2

2

0)()()(

x

x

x

x

b

adxxfdxxfdxxf f(x)

∫−

+ n

n

x

xdxxf

2)(

Aplicando la regla de Simpson 1/3 en cada una de las integrales, obtenemos:

)(4)((3

))()(4)((3 32210 xfxfhhxfxfxfh

++++≅

))()(4)((3

))( 124 nnn xfxfxfhxf +++++ −−L a b

f(b) f(a)

Agrupando términos:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++≅ ∑∑∫

=−

−

=)()(4)(2)(

3)(

2/

112

12/

120 n

n

ii

n

ii

b

axfxfxfxfhdxxf


44

na 3

∫1

2/1)( dxxarcsen

xfxfxfxfabdxxf

n

n

ii

n

ii

b)()(4)(2)(

)()(

2/

112

12/

120 +++

−≅∑∑

∫ =−

−

=

Que es la conocida como la Regla del Trapecio múltiple o compuesta. Se debe utilizar un número par de divisiones para implementar el método. Ejemplo:

Utilizar la regla de Simpson 1/3 compuesta con n=4 subintervalos para aproximar

la integral

Solución:

125.04

=2/11−

=n

h −=

ab

∫1

)( dxxarcsen

P= {0.5, 0.625, 0.75, 0.875, 1}

2/1

++ )75.0(2)625.0( f+≅ 4)5.0((3125.0 ff

))1()875.0(4 ff ++ =0.4480329


4429715.012

365≈

−π

El error relativo porcentual que se cometió al aplicar la regla de Simpson 1/3 compuesta esta dado por:

%14.11004429715.0

4480329.04429715.0100*≈⋅

−=⋅

−pppEr =

−1 1

−1

1

Vemos que efectivamente se ha obtenido una mejor aproximación con este método, reduciendo el error relativo verdadero de un 3.22% hasta un 1.14%. Si aumentamos el valor de n obtendremos los siguientes resultados:

n Snumérica Er% 10 0.4442541593 0.2895500498 50 0.4430863307 0.02591491573


45

100 0.4430121240 0.009162891245 200 0.4429858860 0.003239711554 250 0.4429818040 0.002318207647 1000 .4429728180 0.0002896348633

Se ha obtenido una mejor aproximación al aumentar el número de subdivisiones.

ACTIVIDAD No. 12 1. Resuelva aplicando la regla de Simpson los ejercicios de la ACTIVIDAD No.

11. 2. El trabajo producido por un proceso termodinámico a temperatura constante

esta dado por dW = P(v)dv. A continuación están tabulados los resultados obtenidos experimentalmente: v (m3) 2 3 4 5 6 7 P (kPa) 294.4 266.4 260.8 249.6 193.6 165.6

Utilice la regla de Simpson para estimar el trabajo en kJ.

3. El estudio de la difracción de la luz en una apertura rectangular implica el uso de las integrales de Fresnel

dwwtct

2

0 2cos)( π

∫= y dwwsent

2

0 2π

∫ts )( =

Aplique la regla de Simpson compuesta para aproximar c(1) y s(1).

4. La fuerza total del viento ejercida sobre un mástil de un bote de vela de carreras se expresa como la integral de una función contínua:

dwez

zFz

LL 2

0 5200

−

+= ∫

Si la longitud del mástil es de 30 pies Aplique la regla de Simpson compuesta para aproximar F, utilizando n=1 y 5.

5. La raíz media cuadrática de la intensidad de una corriente alterna esta dada

por:

dttiT

IT

RMC )(1 2

0∫= , donde

Ttsenti π2)( = , T=1 s

Aplique la regla de Simpson compuesta para aproximar IRMC, utilizando n=1 y 5.

APENDICE No 7

Calculadora fx-570ES ó 991 ES Utilizando la regla del trapecio compuesta, aproxime la integral

1∫ 2/1

)( dxxarcsen , con n=5 subintervalos

1.05

5.01=

−=h

Presiona las teclas [ Mode ], [ 7 ] para trabajar con TABLE. Presione [shift] , [sin] , [alpha] , [X] , [ ) ]. Presione [=] y escriba en Start?0.5 End?1 Step?0.1

X F(X) 1 0.5 0.5235 2 0.6 0.6435 3 0.7 0.7753 4 0.8 0.9272 5 0.9 1.1197 6 1 1.5707 Presione [Mode] , [1] , y escriba: (0.5235+2(0.6435+ 0.7753+0.9272 +1.11 97)+1.5707)x0.1÷2

presione [=]

0.45128

APENDICE No 8

Calculadora fx-570ES ó 991 ES Utilizando la regla de Simpson compuesta, aproxime la integral

1∫ 2/

)( dxxarcsen , con n=4 subintervalos

125.04

5.01=

−=h

1

Presiona las teclas [ Mode ], [ 7 ] para trabajar con TABLE. Presione [shift] , [sin] , [alpha] , [X] , [ ) ]. Presione [=] y escriba en Start?0.5 End?1 Step?0.125

X F(X) 1 0.5 0.5235 2 0.625 0.6751 3 0.75 0.848 4 0.875 1.0654 5 1 1.5707 Presione [Mode] , [1] , y escriba: (0.5235+4(0.6751+ 1.0654)+2(0.848) + 1.5 707)x0.125÷3

presione [=]

0.4480


46

TEMA 5 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

5.1. METODO DE EULER

Una de las técnicas más simples para aproximar soluciones de una ecuación diferencial es el método de Euler, o de las rectas tangentes. La idea del método de Euler es muy sencilla y está basada en el significado geométrico de la derivada de una función en un punto dado. Supongamos que tuviéramos la curva solución de la ecuación diferencial y trazamos la recta tangente a la curva en el punto dado por la condición inicial.

),( yxfdxdy

= , 0)0( xy =

Observe en la figura que la pendiente de la recta a secante la curva está dada por

nn

nnxxyy

−−

+

+

1

1 , pero , entonces: hxx nn +=+1

hyy

xhxyy nn

nn

nn −=

−+− ++ 11 es aproximadamente igual a la pendiente de la recta

tangente siempre y cuando h sea pequeño.:

De aquí obtenemos que

hyxfyyh

yyyxf nnnn

nnnn ⋅+=⇒

−= +

+ ),(),( 11 , obtenemos así la conocida

fórmula de Euler. hyxfyy nnnn ⋅+=+ ),(1


47

Con lo cual podemos usar el punto para construir el siguiente punto y así sucesivamente. De esta forma generamos la sucesión de puntos:

),( 00 yx),( 11 yx

),(,),,(),,( 1100 nn yxyxyx L

los cuales es de esperar que se encuentren cercanos a los puntos

))(,(,)),(,()),(,( 1100 nn xyxxyxxyx L

Ejemplo:

Dada la siguiente ecuación diferencial xydxdy 2= con la condición inicial: 1)0( =y ,

(a) Resuélvala analíticamente.

(b) Utilice el método de Euler en el intervalo de x = 0 a 1 con tamaño de paso 0.1

(c) Aproxime )5.0(y

(d) Grafique y compare los resultados (a) Solución analítica:

Primero observamos que esta ecuación sí puede resolverse analíticamente (por métodos tradicionales de ecuaciones diferenciales). Podemos aplicar el método de separación de variables:

CxyLnxdxy

dyxdxy

dy+=⇒=⇒= ∫ ∫ 222

Sustituyendo la condición inicial 10 =→= yx

001 =⇒+= CCLn

Por lo tanto, tenemos que la solución está dada: 22 xeyxyLn =⇒=

(b) Solución Numérica

Aplicamos el método de Euler entre 0 y 1 con tamaño de paso 0.1

Condición inicial: , 10 =→= yx )1,0(),( 00 =yx

1.01.0001 =+=+= hxx

11.0)1)(0(21),( 0001 =⋅+=⋅+= hyxfyy , )1,1.0(),( 11 =yx

Aplicando nuevamente la formula de Euler, tenemos, en un segundo paso:

2.01.01.012 =+=+= hxx


48

02.11.0)1)(1.0(21),( 1112 =⋅+=⋅+= hyxfyy , )02.1,2.0(),( 22 =yx

Resumimos todos los resultados en la siguiente tabla:

iteración xi yi 0 0 1 1 0,1 1 2 0,2 1,02 3 0,3 1,0608 4 0,4 1,124448 5 0,5 1,214403846 0,6 1,335844227 0,7 1,496145538 0,8 1,705605919 0,9 1,97850285

10 1 2,33463336

(c) Aproxime )5.0(y

De la solución analítica 28403.1)5.0(2)5.0( == ey

De la solución numérica 2144.1)5.0( =y

El error relativo porcentual que se cometió al aplicar la formula de Euler esta dado por:

Er = %423.510028403.1

21440.128403.1100*≈⋅

−=⋅

−ppp

(d) Grafique y compare los resultados

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 xi

y

Solución numéricaSolución analítica


49

Aunque la solución numérica aproxima la tendencia de la solución verdadera, el error aumenta a medida que x aumenta. Es posible reducir el error usando un tamaño de paso menor.

5.2. METODO DE EULER MODIFICADO Un motivo fundamental de error en el método de Euler es suponer que la derivada al inicio del intervalo es la misma durante todo el intervalo. Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes. Esto permite obtener una mejor aproximación de la pendiente en todo el intervalo. Las fórmulas son las siguientes:

hyxfyy nnnn ⋅+=+ ),(*1

hyxfyxf

yy nnnnnn ⋅

++= ++

+ 2),(),( *

111

Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica:

En la gráfica, vemos que la pendiente promedio m corresponde a la pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la “recta tangente” a la curva en el punto , donde es la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en el punto

11, yx 1y

1xx = como la aproximación de Euler modificada. Ejemplo:




50

(b) Utilice el método de Euler modificado en el intervalo de x = 0 a 1 con tamaño de paso 0.1 (c) Aproxime )5.0(y


Primero observamos que esta ecuación sí puede resolverse analíticamente (por métodos tradicionales de ecuaciones diferenciales). Podemos aplicar el método de separación de variables:

CxyLnxdxy

dyxdxy

dy+=⇒=⇒= ∫ ∫ 222

Sustituyendo la condición inicial 10 =→= yx

001 =⇒+= CCLn

Por lo tanto, tenemos que la solución está dada: 22 xeyxyLn =⇒=

(b) Solución Numérica

Aplicamos el método de Euler modificado entre 0 y 1 con tamaño de paso 0.1

Condición inicial: , 10 =→= yx )1,0(),( 00 =yx

1.01.0001 =+=+= hxx

11.0)1)(0(21),( 000*1 =⋅+=⋅+= hyxfyy

01.11.02

)1)(1.0(2012

),(),( *1100

01 =⋅+

+=⋅+

+= hyxfyxf

yy

)01.1,1.0(),( 11 =yx

Aplicando nuevamente la formula de Euler modificado, tenemos, en un segundo paso:

2.01.01.012 =+=+= hxx

0302.11.0)01.1)(1.0(201.1),( 111*2 =⋅+=⋅+= hyxfyy

040704.11.02

)0302.1)(2.0(2)01.1)(1.0(2001.12

),(),( *2211

12 =⋅++

+=⋅+

+= hyxfyxfyy

)040704.1,2.0(),( 22 =yx



51

iteración xi yi 0 0 1 1 0,1 1,01 2 0,2 1,040704 3 0,3 1,093988045 4 0,4 1,173192779 5 0,5 1,2834729 6 0,6 1,432355757 7 0,7 1,630593794 8 0,8 1,893445513 9 0,9 2,242596866

10 1 2,709057014

(c) Aproxime )5.0(y



El error relativo porcentual que se cometió al aplicar la formula de Euler modificado esta dado por:

Er = %044.010028403.1

28347.128403.1100*≈⋅

−=⋅

−ppp


0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 xi

y



52

Vemos que efectivamente se ha obtenido una mejor aproximación con este método, reduciendo el error relativo verdadero de un 5.423% hasta un 0.044%.

5.3. METODO DE RUNGE - KUTTA Los Runge-Kutta no es solo un método sino una importante familia de métodos iterativos tanto implícitos como explícitios para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O´s), estas técnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los matematicos alemanes Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta. El clásico método Runge-Kutta de cuarto orden: Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta es usado tan comúnmente que a menudo es referenciado como “RK4” o como “el método Runge-Kutta”. Definamos un problema de valor inicial como:

00 )(),,( yxyyxfdydx

==

Entonces el método RK4 para este problema esta dado por la siguiente ecuación:

)22(6 43211 kkkkhyy nn ++++=+ , donde:

),(1 nn yxfk =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++= 12 2

,2

khyhxfk nn

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++= 23 2

,2

khyhxfk nn

),( 34 hkyhxfk nn ++=

Así, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor (yn) mas el producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes:

k1 es la pendiente al principio del intervalo;

k2 es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando k1 para determinar el valor de y en el punto xn + h/2 usando el método de Euler

k3 es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando k2 para determinar el valor de y

k4 es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por k3


53

Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:

622 4321 kkkk

Pendiente+++

=

El método RK4 es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de h5 , mientras que el error total acumulado tiene el orden h4

Ejemplo:



(b) Utilice el método de Runge-Kutta de cuarto orden en el intervalo de x = 0 a 1 con tamaño de paso 0.1 (c) Aproxime )5.0(y


La solución se obtuvo en el ejemplo anterior fue:

xydxdy 2=

2xey =⇒

(b) Solución Numérica Aplicamos el método de Runge-Kutta de cuarto orden entre 0 y 1 con tamaño de paso 0.1 Condición inicial:

10 =→= yx , )1,0(),( 00 =yx

1.01.0001 =+=+= hxx

Aplicamos las ecuaciones del método: Para xyyxf 2),( =

0)1)(0(2)1,0(),( 001 ==== fyxfk

1.0)1)(05.0(2

)1,05.0(021.01,

21.00

2,

2 1002

==

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++= ffkhyhxfk


54

1005.0)005.1)(05.0(2

)005.1,05.0(1.021.01,

21.00

2,

2 2003

==

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++= ffkhyhxfk

20201.0)01005.1)(1.0(2)01005.1,1.0()1005.01.01,1.00(),( 3004

===⋅++=++= ffhkyhxfk

0100502.1)20201.0)1005.0(2)1.0(20(6

1)22(6 1432101 =++++=++++=

hkkkkhyy


i xi k1 k2 k3 k4 yi yanalitica

0 0 1 1 1 0,1 0 0,1 0,1005 0,20201 1,0100502 1,0100502 2 0,2 0,202010033 0,3060452 0,3076057 0,416324296 1,0408108 1,0408108 3 0,3 0,416324308 0,5308135 0,5336757 0,656507005 1,0941743 1,0941743 4 0,4 0,656504559 0,7888996 0,7935335 0,93882209 1,1735108 1,1735109 5 0,5 0,938808651 1,0984061 1,105588 1,284069614 1,2840253 1,2840254 6 0,6 1,284025256 1,4830492 1,4939955 1,720109765 1,433329 1,4333294 7 0,7 1,719994793 1,9751274 1,991711 2,285500128 1,6323152 1,6323162 8 0,8 2,285241262 2,6198659 2,6449627 3,034898335 1,8964785 1,8964809 9 0,9 3,034365548 3,4819345 3,5199778 4,047257249 2,2479026 2,247908 10 1 4,046224662 4,6554063 4,7132785 5,438460884 2,7182702 2,7182818

(c) Aproxime )5.0(y



El error relativo porcentual que se cometió al aplicar la formula de Euler esta dado por:

Er = %000779.010028403.1

28402.128403.1100*≈⋅

−=⋅

−ppp



55

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 xi

y


Vemos que se ha obtenido una aproximación casi perfecta con este método, reduciendo el error relativo verdadero de un 0.044% hasta un 0.000779%.

5.4. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. Este tema está dedicado a la discusión de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas. Dichos sistemas aparecen en problemas que tienen relación con varias variables dependientes que son función de la misma variable independiente.

),,,,( 2111

nxxxtfdtdx

L=

),,,,(

),,,,(

21

2122

nnn

n

xxxtfdt

dx

xxxtfdt

dx

L

M

L

=

=

Donde el problema consiste en averiguar quienes son que satisfacen las ecuaciones diferenciales dadas. La solución de este sistema requiere que se conozcan n condiciones iniciales en el valor de t.

)(,,)(),( 21 txtxtx nL


56

Método de Runge – Kutta para sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias: Las ecuaciones obtenidas para el método Runge-Kutta de cuarto orden aplicado a la solución de una ecuación diferenciales se pueden ampliar y utilizar para solucionar sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden. Por ejemplo:

),,(1 yxtfdtdx

= 00 )( xtx =

),,(1 yxtfdtdy

= 00 )( yty =

Entonces el método RK4 para este problema esta dado por la siguiente ecuación:

)22(6 43211 mmmmhxx nn ++++=+

)22(6 43211 kkkkhyy nn ++++=+

donde:

),,(11 nnn yxtfm = ),,(21 nnn yxtfk =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++= 1112 2

,2

,2

khymhxhtfm nnn ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++= 1122 2

,2

,2

khymhxhtfk nnn

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++= 2213 2

,2

,2

khymhxhtfm nnn ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++= 2223 2

,2

,2

khymhxhtfk nnn

),,( 3314 hkyhmxhtfm nnn +++= ),,( 3324 hkyhmxhtfk nnn +++=

Ejemplo: Dado el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales con las condiciones iniciales dadas:

xdtdx 5.0−= , 4)0( =x

yxdtdy 3.01.04 −−= , 6)0( =y

(a) Si analíticamente se encontró que y teCtx 5.012)( −=

340)( 3.0

25.0

1 ++= −− tt eCeCty es la solución general del sistema, encuentre una

solución particular con las condiciones iniciales dadas.


57

(b) Resuelva numéricamente utilizando el método de Runge-Kutta de cuarto orden en el intervalo de x = 0 a 5 y tamaño de paso 0.5

(c) Grafique y compare los resultados numéricos con los analíticos. (a) Solución particular:

teCtx 5.012)( −= 242 1

01 =⇒=⇒ CeC

340)( 3.0

25.0

1 ++= −− tt eCeCty

328

340266

3402)( 2

02

0 −=−−=⇒=++=⇒ CeCety

tetx 5.04)( −= ; 3

403282)( 3.05.0 +−= −− tt eety

(b) Solución Numérica Aplicamos el método de Runge-Kutta de cuarto orden, de 0 a 5 con tamaño de paso 0.5 Condiciones iniciales:

40 =→= xt , , 60 =→= yt )6,4,0(

Aplicamos las ecuaciones del método:

2)4(5.0)4()( 1011 −=−=== fxfm

8.1)6(3.0)4(1.04)6,4(),( 20021 =−−=== fyxfk

75.1)5.3(5.0)5.3()2(25.04

2 111012 −=−==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += ffmhxfm

)45.6,5.3(8.125.06),2(

25.00

2,

2 22101022 ffkhymhxfk =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

715.1)45.6(3.0)5.3(1.04 =−−=

78125.1)5625.3(5.0)5625.3()75.1(25.04

2 112013 −=−==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += ffmhxfm

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++= 715.1

25.06),75.1(

25.00

2,

2 2202023 fkhymhxfk

715125.1)42875.6(3.0)5625.3(1.04)42875.6,5625.3(2 =−=−== f

554688.1)109375.3(5.0))78125.1(5.04()( 13014 −=−=−+=⋅+= fmhxfm

)715125.15.06),78125.1(5.04(),( 2303024 ⋅+−+=⋅+⋅+= fkhymhxfk


58

631794.1)857563.6(3.0)109375.3(1.04)857563.6,109375.3(24 =−−== fk

)554688.1)78125.1(2)75.1(22(65.04)22(

6 432101 −−+−+−+=++++= mmmmhxx

115234.31 =x

)631794.1)71525.1(2)715.1(28.1(65.06)22(

6 432101 ++++=++++= kkkkhyy

857670.61 =y Resumimos todos los resultados en las siguientes tablas:

Tabla: Valores de las pendientes:

t m1 k1 m2 k2 m3 k3 m4 k4 0 0,5 -2 1,8 -1,75 1,715 -1,78125 1,715125 -1,5546875 1,6317938 1 -1,55761719 1,631175469 -1,36291504 1,547777738 -1,38725281 1,549165 -1,210804 1,4681634 1,5 -1,21308565 1,467751168 -1,06144994 1,387996971 -1,08040441 1,3901876 -0,9429845 1,3132432 2 -0,94476153 1,312981901 -0,82666634 1,238127297 -0,84142824 1,240789 -0,7344045 1,168935 2,5 -0,7357884 1,16878279 -0,64381485 1,099518791 -0,65531154 1,1024143 -0,5719605 1,0361862 3 -0,57303833 1,036111927 -0,50140854 0,97272949 -0,51036226 0,9756924 -0,4454478 0,9152762 3,5 -0,44628717 0,915256359 -0,39050128 0,857769311 -0,39747451 0,8606862 -0,3469185 0,8060272 4 -0,34757229 0,806044473 -0,30412575 0,754280445 -0,30955657 0,7570766 -0,2701831 0,7079608 4,5 -0,27069228 0,70800249 -0,23685575 0,661669611 -0,24108532 0,6642987 -0,210421 0,620412 5 -0,21081748 0,620468677 -0,18446529 0,579203963 -0,18775932 0,58164 -0,1638776 0,5426106

Tabla: Soluciones numérica y analítica:

t xi yi xanalitica (*) yanalitica (**) 0 4 6 4 6 0,5 3,1152344 6,8576703 3,1152031 6,8576605 1 2,4261713 7,6321057 2,4261226 7,6320913 1,5 1,8895231 8,326886 1,8894662 8,3268704 2 1,4715768 8,9468651 1,4715178 8,9468503 2,5 1,1460767 9,4976014 1,1460192 9,4975884 3 0,8925743 9,984954 0,8925206 9,9849435 3,5 0,6951446 10,414804 0,6950958 10,414796 4 0,5413846 10,792864 0,5413411 10,792858 4,5 0,421635 11,124559 0,4215969 11,124556 5 0,3283729 11,414957 0,32834 11,414955

(*) ; (**) tetx 5.04)( −=3

403282)( 3.05.0 +−= −− tt eety

(c) Grafique y compare los resultados


59

0

2

4

6

8

10

12

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5t

x,y

X numérica X analíticaY numérica Y analitica

Vemos que la solución numérica del método de Runge-Kutta de cuarto orden es muy buena.

ACTIVIDAD No. 13

1. Dada la siguiente ecuación diferencial yyxdxdy 1.12 −= con la condición inicial:

, 1)0( =y

(a) Resuélvala analíticamente. (b) Resuelva numéricamente aplicando los tres métodos estudiados en el intervalo de x = 0 a 2 con tamaño de paso 0.1

(c) Aproxime )5.1(y


2. Dada la siguiente ecuación diferencial yedxdy x 5.04 8.0 −= con la condición

inicial: , 2)0( =y


60

xx Ceex(a) Si analíticamente se encontró que y 5.08.01340)( −+= es la solución

general del sistema, encuentre una solución particular con las condiciones iniciales dadas. (b) Resuelva numéricamente aplicando los tres métodos estudiados en el intervalo de x = 0 a 4 con tamaño de paso 0.5

(c) Aproxime )5.2(y

(d) Grafique y compare los resultados numéricos con los analíticos.

3. Dada la siguiente ecuación diferencial tsenydtdy 3= con la condición inicial:

, 1)0( =y

(a) Resuélvala analíticamente. (b) Resuelva numéricamente aplicando los tres métodos estudiados en el intervalo de t = 0 a 1 con tamaño de paso 0.1

(c) Aproxime )5.1(y

(d) Grafique y compare los resultados 4. Un modelo lineal para un péndulo oscilante esta dado el siguiente sistema de

ecuaciones diferenciales con las condiciones iniciales dadas:

ydtdx

= , 0)0( =x

xdtdy 16−= , 0)0( =y

(a) Si analíticamente se encontró que )4(41)4cos(

41)( 21 tsenCtCtx +−= y

es la solución general del sistema, encuentre una solución particular con las condiciones iniciales dadas.

)4cos()4()( 21 tCtsenCty +=

(b) Resuelva numéricamente utilizando el método de Runge-Kutta de cuarto orden en el intervalo de x = 0 a 4 y tamaño de paso 0.5 (c) Grafique y compare los resultados numéricos con los analíticos. 5. Diseñe hojas de cálculo para aplicar los tres métodos estudiados. Elabore un

diagrama de flujo y escriba programas que apliquen los tres métodos estudiados.

APENDICE No 9


Usando la calculadora fx-570ES ó 991 ES Ingrese los valores iniciales y el paso: Escriba 0 y presione [ SHIFT ], [STO], [X]. Escriba 1 y presione [ SHIFT ], [STO], [Y]. Escriba 0.1 y presione [ SHIFT ], [STO], [A]. Escriba la formula de Euler y presione [SHIFT ], [STO], [Y]. En la misma línea presione [ALPHA], [:]. Escriba X+A y presione [SHIFT ], [STO], [X]

XAXYAXYY →+→+ :)2(

1

Presione [ = ] para obtener la siguiente aproximación.

XAXYAXYY →+→+ :)2(

5051

Presione [ S⇔ D ]. Continúe presionando [ = ] hasta obtener el resto de los puntos.

APENDICE No 10


APENDICE No 11


APENDICE No 12



61

TEMA 6 SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

6.1. METODO DE GAUSS - SEIDEL

El método de Gauss-Seidel es un método iterativo y por lo mismo resulta ser bastante eficiente. Se comienza planteando el sistema de ecuaciones con el que se va a trabajar:

De la ecuación 1 despejar x1, de la ecuación 2 despejar x2, …, de la ecuación n despejar xn. Esto da el siguiente conjunto de ecuaciones:

nn

nnnnnn

nn

nn

axaxab

x

axaxab

x

axaxab

x

1111

22

212122

11

121211

−−−−−=

−−−=

−−−=

L

M

L

L

Este último conjunto de ecuaciones son las que forman las fórmulas iterativas con las que se va a estar trabajando. Para comenzar el proceso iterativo, se le da el valor de cero a las variables x2,…, xn; esto dará un primer valor para x1. Más precisamente, se tiene que:

Enseguida, se sustituye este valor de x1 en la ecuación 2, y las variables x3,…, xn siguen teniendo el valor de cero. Esto da el siguiente valor para x2:

Estos últimos valores de x1 y x2, se sustituyen en la ecuación 3, mientras que x4,…, xn siguen teniendo el valor de cero; y así sucesivamente hasta llegar a la última ecuación. Todo este paso arrojará una lista de primeros valores para las incógnitas, la cual conforma el primer paso en el proceso iterativo. Para una mejor comprensión esto se simbolizará de esta forma:


62

Se vuelve a repetir el proceso, pero ahora sustituyendo estos últimos datos en vez de ceros como al inicio. Se obtendrá una segunda lista de valores para cada una de las incógnitas, lo cual se simbolizará así:

En este momento se pueden calcular los errores aproximados relativos, respecto a cada una de las incógnitas. La lista de errores se presenta a continuación:

El proceso se vuelve a repetir hasta que:

donde se ∈ debe prefijar convenientemente. s Criterio de convergencia para el método de Gauss-Seidel: Es lógico preguntarse si siempre el método de Gauss-Seidel converge a la solución del sistema de ecuaciones y también es lógico esperar que la respuesta es NO. Un resultado de Análisis numérico da una condición suficiente para la convergencia del método. Teorema: El método de Gauss-Seidel converge a la solución del sistema si se cumple la condición de que la matriz de coeficientes del sistema sea una matriz diagonalmente dominante, es decir, si se cumple la siguiente condición:

La condición de ser una matriz diagonalmente dominante simplemente significa que los elementos de la diagonal son mayores (en valor absoluto) que la suma de los valores absolutos de los demás elementos del mismo renglón. Sin embargo, la condición de la matriz diagonalmente dominante, solamente es una condición


63

suficiente pero no necesaria, es decir, existen sistemas de ecuaciones que no cumplen con la condición y que sí convergen a la solución y también existen sistemas de ecuaciones que no cumplen con la condición y que no convergen a la solución. Ejemplo: Usar el método de Gauss-Seidel para aproximar la solución del sistema, para

. %1=∈s

Solución: Verificando el criterio de convergencia: Primera fila: |a11| > (|a12| + |a13|) 3 > (0.2 + 0.5) 3 > 0.7; es cierto. La condición se cumple para la primera fila. Segunda fila: |a22| > (|a21| + |a23|) 7 > (0.1 + 0.4) 7 > 0.5; es cierto. La condición se cumple para la segunda fila. Tercera fila: |a33| > (|a31| + |a32|) 10 > (0.4 + 0.1) 10 > 0.5; es cierto. La condición se cumple para la tercera fila. Se puede observar que la matriz sí es diagonalmente dominante y por lo tanto, el método de Gauss-Seidel sí converge a la solución del sistema. Primera iteración: Primero se despejan las incógnitas x1, x2 y x3 de las ecuaciones 1, 2 y 3 respectivamente. Se tiene:

Estas últimas son el juego de fórmulas iterativas que se estará utilizando. Se comienza el proceso iterativo sustituyendo los valores de x2 = x3 = 0 en la primera ecuación, para calcular el valor de x1:

66667.21 =x Ahora se sustituye y x3 = 0 en la segunda ecuación para obtener x2: 66667.21 =x

82381.22 −=x Ahora se sustituye y 66667.21 =x 82381.22 −=x en la tercera ecuación para obtener x3:

1051.73 =x


64

Así se tiene la primera aproximación a la solución del sistema:

Segunda iteración:

Sustituyendo y 82381.22 −=x 1051.73 =x en la ecuación 1 se obtiene . Sustituyendo y

6626.31 =x6626.31 =x 1051.73 =x en la ecuación 2 se obtiene ;

finalmente, sustituyendo y 24404.32 −=x

6626.31 =x 24404.32 −=x en la ecuación 3 se obtiene . Es así como se tiene la segunda lista de valores de aproximación a

la solución del sistema: 06106.73 =x

Ahora se pueden calcular los errores absolutos para cada una de las incógnitas:

Nótese que aunque el error aproximado %13, <∈a , esto se debe cumplir para los tres errores aproximados. Por lo tanto se repite el mismo proceso. Tercera iteración: Omitiendo los pasos intermedios, se obtiene:

En este caso se tienen los siguientes errores aproximados:

%02.0%10006250.7

06106.706250.7

%093.0%10024102.3

24404.324102.3

%97.0%10062724.3

6626.362724.3

3,

2,

1,

=×−

=∈

=×−

+−=∈

=×−

=∈

a

a

a


65

Se puede observar que ahora se ha cumplido el objetivo para cada uno de los errores aproximados. Por lo tanto, se concluye que la solución aproximada es:

ACTIVIDAD No. 14 1. Usar el método de Gauss-Seidel para aproximar la solución del sistema, para

. %1=∈s

5.2155.61263

27210

321

321

321

−=++−=+−−

=−+

xxxxxx

xxx

2. Usar el método de Gauss-Seidel para aproximar la solución del sistema, para . Si es necesario, reacomode las ecuaciones para lograr convergencia. %1=∈s

409636

50123

321

321

321

=++=−−

=−+−

xxxxxx

xxx


5.274.4113.36155.27.0

2.947.24.15

321

321

321

−=+−−=+−

=−+−

xxxxxxxxx

4. El sistema de ecuaciones siguiente está diseñado para determinar concentraciones (c) en g/m3 en una serie de reactores acoplados como función de la cantidad de masa de entrada en cada uno de ellos (lados derechos) en g/d. Usar el método de Gauss-Seidel para aproximar la solución del sistema, para ∈ . %1<s

235012412006183

3800315

321

321

321

=+−−=−+−

=−−

cccccc

ccc


61

TEMA 6 SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

6.1. METODO DE GAUSS - SEIDEL

El método de Gauss-Seidel es un método iterativo y por lo mismo resulta ser bastante eficiente. Se comienza planteando el sistema de ecuaciones con el que se va a trabajar:

De la ecuación 1 despejar x1, de la ecuación 2 despejar x2, …, de la ecuación n despejar xn. Esto da el siguiente conjunto de ecuaciones:

nn

nnnnnn

nn

nn

axaxab

x

axaxab

x

axaxab

x

1111

22

212122

11

121211

−−−−−=

−−−=

−−−=

L

M

L

L

Este último conjunto de ecuaciones son las que forman las fórmulas iterativas con las que se va a estar trabajando. Para comenzar el proceso iterativo, se le da el valor de cero a las variables x2,…, xn; esto dará un primer valor para x1. Más precisamente, se tiene que:

Enseguida, se sustituye este valor de x1 en la ecuación 2, y las variables x3,…, xn siguen teniendo el valor de cero. Esto da el siguiente valor para x2:

Estos últimos valores de x1 y x2, se sustituyen en la ecuación 3, mientras que x4,…, xn siguen teniendo el valor de cero; y así sucesivamente hasta llegar a la última ecuación. Todo este paso arrojará una lista de primeros valores para las incógnitas, la cual conforma el primer paso en el proceso iterativo. Para una mejor comprensión esto se simbolizará de esta forma:


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Se vuelve a repetir el proceso, pero ahora sustituyendo estos últimos datos en vez de ceros como al inicio. Se obtendrá una segunda lista de valores para cada una de las incógnitas, lo cual se simbolizará así:

En este momento se pueden calcular los errores aproximados relativos, respecto a cada una de las incógnitas. La lista de errores se presenta a continuación:

El proceso se vuelve a repetir hasta que:

donde se ∈ debe prefijar convenientemente. s Criterio de convergencia para el método de Gauss-Seidel: Es lógico preguntarse si siempre el método de Gauss-Seidel converge a la solución del sistema de ecuaciones y también es lógico esperar que la respuesta es NO. Un resultado de Análisis numérico da una condición suficiente para la convergencia del método. Teorema: El método de Gauss-Seidel converge a la solución del sistema si se cumple la condición de que la matriz de coeficientes del sistema sea una matriz diagonalmente dominante, es decir, si se cumple la siguiente condición:

La condición de ser una matriz diagonalmente dominante simplemente significa que los elementos de la diagonal son mayores (en valor absoluto) que la suma de los valores absolutos de los demás elementos del mismo renglón. Sin embargo, la condición de la matriz diagonalmente dominante, solamente es una condición


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suficiente pero no necesaria, es decir, existen sistemas de ecuaciones que no cumplen con la condición y que sí convergen a la solución y también existen sistemas de ecuaciones que no cumplen con la condición y que no convergen a la solución. Ejemplo: Usar el método de Gauss-Seidel para aproximar la solución del sistema, para

. %1=∈s

Solución: Verificando el criterio de convergencia: Primera fila: |a11| > (|a12| + |a13|) 3 > (0.2 + 0.5) 3 > 0.7; es cierto. La condición se cumple para la primera fila. Segunda fila: |a22| > (|a21| + |a23|) 7 > (0.1 + 0.4) 7 > 0.5; es cierto. La condición se cumple para la segunda fila. Tercera fila: |a33| > (|a31| + |a32|) 10 > (0.4 + 0.1) 10 > 0.5; es cierto. La condición se cumple para la tercera fila. Se puede observar que la matriz sí es diagonalmente dominante y por lo tanto, el método de Gauss-Seidel sí converge a la solución del sistema. Primera iteración: Primero se despejan las incógnitas x1, x2 y x3 de las ecuaciones 1, 2 y 3 respectivamente. Se tiene:

Estas últimas son el juego de fórmulas iterativas que se estará utilizando. Se comienza el proceso iterativo sustituyendo los valores de x2 = x3 = 0 en la primera ecuación, para calcular el valor de x1:

66667.21 =x Ahora se sustituye y x3 = 0 en la segunda ecuación para obtener x2: 66667.21 =x

82381.22 −=x Ahora se sustituye y 66667.21 =x 82381.22 −=x en la tercera ecuación para obtener x3:

1051.73 =x


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Así se tiene la primera aproximación a la solución del sistema:

Segunda iteración:

Sustituyendo y 82381.22 −=x 1051.73 =x en la ecuación 1 se obtiene . Sustituyendo y

6626.31 =x6626.31 =x 1051.73 =x en la ecuación 2 se obtiene ;

finalmente, sustituyendo y 24404.32 −=x

6626.31 =x 24404.32 −=x en la ecuación 3 se obtiene . Es así como se tiene la segunda lista de valores de aproximación a

la solución del sistema: 06106.73 =x

Ahora se pueden calcular los errores absolutos para cada una de las incógnitas:

Nótese que aunque el error aproximado %13, <∈a , esto se debe cumplir para los tres errores aproximados. Por lo tanto se repite el mismo proceso. Tercera iteración: Omitiendo los pasos intermedios, se obtiene:

En este caso se tienen los siguientes errores aproximados:

%02.0%10006250.7

06106.706250.7

%093.0%10024102.3

24404.324102.3

%97.0%10062724.3

6626.362724.3

3,

2,

1,

=×−

=∈

=×−

+−=∈

=×−

=∈

a

a

a


65

Se puede observar que ahora se ha cumplido el objetivo para cada uno de los errores aproximados. Por lo tanto, se concluye que la solución aproximada es:

ACTIVIDAD No. 14 1. Usar el método de Gauss-Seidel para aproximar la solución del sistema, para

. %1=∈s

5.2155.61263

27210

321

321

321

−=++−=+−−

=−+

xxxxxx

xxx


409636

50123

321

321

321

=++=−−

=−+−

xxxxxx

xxx


5.274.4113.36155.27.0

2.947.24.15

321

321

321

−=+−−=+−

=−+−

xxxxxxxxx

4. El sistema de ecuaciones siguiente está diseñado para determinar concentraciones (c) en g/m3 en una serie de reactores acoplados como función de la cantidad de masa de entrada en cada uno de ellos (lados derechos) en g/d. Usar el método de Gauss-Seidel para aproximar la solución del sistema, para ∈ . %1<s

235012412006183

3800315

321

321

321

=+−−=−+−

=−−

cccccc

ccc

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