Mat e mt icas 3 ESO

1. Nmeros reales

Clasificacin de los nmeros reales Aproximacin de decimales Intervalos

2. Races y potencias

Notacin cientfica. Operaciones Radicacin.

Propiedades de las potencias de exponente racional Radicales equivalentes Simplificar radicales Extraccin de factores de un radical Introduccin de factores en un radical

3. Operaciones con radicales

Suma y resta de radicales Multiplicacin de radicales Divisin de radicales Potencia de radicales Raz de un radical Racionalizacin

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1. Nmeros reales

Clasificacin de los nmeros reales

Aproximacin de decimales La aproximacin de los nmeros reales se puede obtener mediante dos procedimientos: truncamiento y redondeo. Truncamiento: el nmero se obtiene al suprimir las cifras a partir del orden de aproximacin. Por ejemplo si se aproxima por truncamiento el nmero 3,123432 a la milsima es 3,123 no se tiene en cuenta la cifra siguiente en el orden de aproximacin Redondeo: el nmero se obtiene al suprimir las cifras a partir del orden de aproximacin pero teniendo en cuenta que si el siguiente nmero es inferior a 5, se queda igual; y que si es igual o superior a 5, se suma 1. Por ejemplo, si se aproxima por redondea 3, 123432 a la milsima es 3,123. Pero si aproximamos a la milsima por redondeo el nmero 3, 1236 ser 3,124

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Intervalos

2. Races y potencias

Notacin cientfica

La notacin cientfica es muy til para expresar nmeros muy grandes o muy pequeos.

Tiene tres partes:

Una parte entera de una sola cifra Las otras cifras significativas como la parte decimal Una potencia de base diez que da el orden de magnitud de la cifra

Ejemplo:

Productos

Vemos que tanto el primer caso como el segundo son inmediatos esto pasa

Matemticas 3 ESO siempre con los productos, sin embargo habra que prestar atencin al segundo ejemplo en el que hay que correr la coma hacia la izquierda y aumentar el exponencial para que la notacin siga siendo cientfica.

Cocientes

Sumas y restas

Fijmonos en el mtodo seguido: primero hemos puesto todas los nmero multiplicados por la misma potencia de 10 y luego los hemos sumado pasando despus a notacin cientfica.

Radicacin La radicacin es la operacin inversa a la potenciacin.

abab nn

Raz Potencia b : raz a : radicando n : ndice de la raz

b : base a : potencia n : exponente

Raz de ndice par:

Tiene la solucin positiva y negativa, por ejemplo: 255525 2 No existe si el radicando es negativo. 25 no existe.

Raz de ndice impar:

Existe tanto si el radicando es positivo como negativo.

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La solucin es positiva si el radicando es positivo. 8228 33 La solucin es negativa si el radicando es negativo.

8228 33

Un radical tambin se puede expresar como una potencia de exponente

fraccionario:nm

n m aa Por lo tanto podemos aplicar las propiedades de las potencias a los radicales si expresamos los radicales como potencias de exponente fraccionario, tal como se expresa en la siguiente tabla: Propiedades de las potencias de exponente racional Multiplicacin de potencias de la misma base

qp

nm

qp

nm

aaa

Divisin de potencias de la misma base

qp

nm

qp

nm

aa

a Potencia de potencia

qp

nmq

p

nm

aa

Radicales equivalentes Los radicales equivalentes son diferentes expresiones de un mismo nmero.. Se obtienen multiplicando ndice y exponente por un mismo nmero.

16 88 44 2 2222 Simplificar radicales Vamos a simplificar 10 243 Se descompone el radicando como producto de factores primos. Si descomponemos el nmero 243 como producto de factores primos obtenemos: 243=35 .

Podemos simplificar el radical expresndolo como potencia de exponente fraccionario y simplificando la fraccin

21

105 , volviendo a

escribir la potencia como radical.

3333243 21

105

10 510

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Pero tambin lo podemos hacer dividiendo ndice y exponente entre el mismo nmero, en el ejemplo dividimos entre 5:

333 510

5510 5 Extraccin de factores de un radical Solamente se pueden extraer factores de un radical cuando el exponente es mayor que el ndice, es decir:

nman m Dividimos el exponente entre el ndice (sin calculadora), fuera del radical se escribe la base elevada al cociente y dentro del radical la base elevada al resto:

3 223 8 444 Introduccin de factores en un radical Para introducir un factor dentro de un radical, basta con elevarlo al ndice de la raz:

3 233 2 abab

Ejemplo: 5 355 3 3434

3. Operaciones con radicales

Suma y resta de radicales Esta operacin slo se puede realizar entre radicales semejantes (los que tienen el mismo ndice y el mismo radicando). Se pone el radical (como factor comn) y se suman los coeficientes. Ejemplo: 282)635(262325 En algunos casos los radicales semejantes no se ven tan fcilmente, lo que tenemos que hacer es descomponer el radicando como producto de factores primos y extraer factores del radical, obteniendo as radicales semejantes, veamos un ejemplo:

3333333 336 23 4

3363

59532155352555

535255

1355225625

sumar

extraer

rdescompone

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Multiplicacin de radicales

Con el mismo ndice: es un radical con el mismo ndice y como radicando el producto de radicandos. nnn baba

Ejemplo: 3333 204545 Con distinto ndice: mn ba

1) El m.c.m de los ndices: m.c.m(n,m)= p, es el ndice del nuevo

radical.

2) Elevar cada radicando al cociente de p entre cada ndice

3) Multiplicar los radicandos

p

mp

np

ba

Ejemplo: 12 63412

212

412

312

43 532532532

Divisin de radicales

Con el mismo ndice: es un radical con el mismo ndice y como

radicando el cociente de radicandos. nnnbaba :

Ejemplo: 3333 204545

Con distinto ndice: mn ba 4) El m.c.m de los ndices: m.c.m(n,m)= p, es el ndice del nuevo

radical.

5) Elevar cada radicando al cociente de p entre cada ndice

6) Dividir los radicandos

p

mp

np

ba :

Ejemplo: 12 34

12

412

312

4

3

52

5

252

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Potencia de radicales Se eleva el radicando al exponente

n mmn aa Ejemplo: 3 223 55 Raz de un radical

Se multiplican los ndices mnn m aa Ejemplo: 6323 555

Racionalizacin

Est operacin consiste en transformar una fraccin que tenga uno o ms

radicales en el denominador en otra fraccin sin radicales en el denominador.

Podemos tener tres casos diferentes:

a) En el denominador tenemos un radical de ndice 2: multiplicamos

numerador y denominador por el radical de ndice 2 del denominador

b bab babbbaba 2 Ejemplo: 3 343 34333434 2 b) En el denominador tenemos un radical de ndice n > 2: multiplicamos

numerador y denominador por el radical de ndice n del denominador,

cuya base del radicando este elevada al ndice menos el exponente.

bba

bba

bba

bbba

bb

ba

ba n nm

n n

n nm

n mnm

n nm

n mnm

n nm

n mn

n mn

n mn m

Ejemplo: 4

434

4344

43

43 5 2

5 23

5 2

5 35

5 35

5 35 3

c) En el denominador tenemos una suma o diferencia de dos o ms

radicales de ndice 2: multiplicamos numerador y denominador por el

conjugado del denominador, y realizamos el producto de fracciones.

cb cbacb cbacb cbcb acb a 22 Ejemplo: 34 263236 26326 26326 2626 326 3 22

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1. Suma los siguientes radicales:

2. Realiza las siguientes operaciones y simplifica:

3. Opera y expresa como una sola raz:

4. Opera y simplifica:

Matemticas 3 ESO 5. Simplifica los siguientes radicales:

6. Calcula y simplifica:

7. Simplifica los siguientes radicales:

8. Racionaliza el denominador y simplifica

9. Racionaliza, opera y simplifica