Upload
safet-dzajic
View
66
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
ODREĐIVANJE POMAKA NA STATIČKI ODREĐENIM SUSTAVIMA
x
z
y
h
bL
Za svaki presjek treba naći: tri unutrašnje sile - M, T, N tri deformacijske veličine - κ, ε, γ tri pomaka - u, v, ϕ Pomaci: Unutrašnje sile:
L
M
T
Nx
z L
Ax
z
u ϕvA’
Deformacijske veličine:
1
ε
1
h
κ
ds
hhγ
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 136
Jednadžbe ravnoteže - diferencijalne veze između unutrašnjih sila i opterećenja
xx ndx
dN−=
x
z
n = const.x
Nx
xx pdx
dT−=
Tx
Mx
x
p = const.x
z
xx Tdx
dM=
ili
x2x
2p
dxMd
−=
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 137
Veze deformacijskih veličina s unutrašnjim silama i temperaturnim promjenama
Pretpostavka da vrijedi Hookeov zakon:
tE tα+σ=ε ;
Gτ=γ
Ved
M MT
TN
NR
dϕ
-
a)
N
rela
ε − relativno produljenje tj. skraćenje γ − klizanje (posmična deformacija) σ − normalno naprezanje τ − posmično naprezanje E − modul elastičnosti G − modul posmika αt − temperaturni koeficijent
Bernoullieva pretpostavka o ravnim presjecima
rana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 138
Utjecaj uzdužne sile
NR
dϕ
d dϕ+∆ ϕR
ydsdsy
ds1
ds2
∆dsy
2
Promjena duljine osi elementa ( )ds∆ :
Eσ=ε ;
AN=σ →
AEdsNds
EdsdsN =σ=ε=∆
Relativna promjena duljine: EAN
N =ε
Promjena kuta ( : )dϕ∆
dsR
yRd)yR(dsy+=ϕ+=
ϕ∆+=∆ d)yR(dsy
tivno produljenje:
EdsdR
dsds
y
y σ=ϕ∆⋅=∆
=ε ⇒ AN
dsdRE =ϕ∆⋅=σ →
RAEdsNd N =ϕ∆
Relativna promjena kuta: EAN
R1
dsd
N =ϕ∆=κ
b) Utjecaj momenta savijanja
R1
dϕ
d dϕ+∆ ϕ
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 139
R
ydsdsy
e
M M
Izraz za naprezanje:
ϕ+ϕ∆⋅=
∆=ε
d)yR(dy
dsds
1y
y
ϕ+ϕ∆⋅⋅=ε⋅=σd)yR(
dyEE1
Promjena duljine osi određuje se korištenjem dva uvjeta ravnoteže: suma projekcija sila ( ) i suma momenata (
0X =∑0M =∑ ).
0dAyR
yyR
dAyd
dE0dA0X11
=+
→+ϕ
ϕ∆⋅==σ⇒= ∫∫∫∑
dAyR
yd
dEMdAy0M1
2
∫∫∑ +ϕϕ∆⋅==σ⇒=
43421321
01
11
1
1
2dA
yRyRdAydA
yRyRydA
yRy
=
∫∫∫∫ +−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−=
+
osneutralnu naobzirom spovršine
moment staticki
Aed
dEMAedAydAyR
y1
2⋅
ϕϕ∆⋅=⇒==
+→ ∫∫
RAeEdsM
AeEdMd M =ϕ=ϕ∆
ϕ∆=∆ dedsM → RAE
dsMdsM =∆
Relativna promjena duljine: EAM
R1
M =ε
Promjena kuta : )d( ϕ∆
dAyR
yd
dEM1
2
∫ +⋅
ϕϕ∆⋅=
e – mala veličina (uslijed male zakrivljenosti) → RyR1 =+
→ IR1dAy
R1dA
yRy 2
1
2==
+ ∫∫
⇒ IR1
ddEM ⋅ϕϕ∆⋅= →
IEdsMd M =ϕ∆
Relativna promjena kuta: IEM
M =κ
c) Utjecaj poprečne sile
Gτ=γ ;
IbST=τ →
IGbST=γ
T - poprečna sila S - stat. moment s obzirom na težište presjeka površine iznad ili ispod ordinate y=konst. I - moment tromosti poprečnog presjeka b - širina presjeka na mjestu y = konst.
b
τ
γ
..
..
ds ds
γ w = ds γ
Da bi vrijedila hipoteza o ravnim presjecima, raspodjela klizanja zamijeni se s prosječnim klizanjem kod kojega je .konstds =⋅γ
Rad posmičnih naprezanja pri stvarnoj deformaciji:
∫∫∫ =τ=γτ=)A(
2
2
2
2
)A(
2
)A(dA
bS
IA
AGdsTdA
GdsdsdAW
∫=)A(
2
2
2 dAbS
IAk →
AGdsTkW
2= ; k – karakteristika oblika poprečnog presjeka
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 140
Rad posmičnih naprezanja uz pretpostavljenu raspodjelu deformacija:
dsTdAdsdsdAW)A()A(
γ=τγ=γτ= ∫∫
AGdsTkdsTWW
2=γ⇒=
Deformacija uslijed posmika: GATk=γ
d) Utjecaj temperature Jednolika promjena temperature:
dstds st ⋅⋅α=∆
N
P
V
ts
ds ∆ds
Relativna promjena duljine: stt t⋅α=ε
ejednolika promjena temperature:
∆t
∆t/2
h
+
+
dϕ
d dϕ+∆ ϕ
ds1
ds2
+
romjena duljine gornjeg, odnosno donjeg vlakanca:
1t1 ds2tds ⋅∆⋅α=∆ ; 2t2 ds
2tds ⋅∆⋅α−=∆
hdsdsd 21
t∆−∆
=ϕ∆ → h
dstd tt
∆α=ϕ∆
Relativna promjena kuta: h
ttt
∆⋅α=κ
edrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 141
Ako se uzmu u obzir svi utjecaji, izrazi za relativne deformacije na jedinicu duljine su:
tEAM
R1
EAN
t ⋅α++=ε ; h
tEAN
R1
EIM t ∆⋅α
++=κ ; GATk=γ
VEZE DEFORMACIJSKIH VELIČINA I POMAKA Promatra se deformacija grede u ravnini:
o
b’
b
a’
a
x
y
Pomak točke: )v,u(δ=δrr
ili ),( ηξδ=δrr
x
y
O
α
a
b
a’
b’i’
δi
i u
v
ξ
η
δa
δb
Veze između komponenti pomaka:
αη+αξ−=
αη+αξ=
cossinv
sincosu
α+α=η
α−α=ξ
cosvsinu
sinvcosu
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 142
Pomaci i deformacija jednog diferencijalnog elementa osi:
O
u
v
dy
u + du
v + dv
dy + dv
dx + du
dx
(1+ ε) ds
ds
α+ϕ
α
x
y
Projekcije diferencijalnog elementa na koordinatne osi:
α= cosdsdx ; α= sindsdy Promjena duljine elementa: dsds ε=∆ Promjena kuta nagiba: α∆=α∆=ϕϕ=α∆ ddd;
ε − relativna promjena duljine osi štapa
ϕ − kut za koji se zaokrene tangenta na os štapa Projekcije deformiranog elementa osi grede: dudx + i dvdy + Veze pomaka u i v, kuta zaokreta ϕ i relativnog produljenja ε:
)(sinds)1(dvdy
)(cosds)1(dudx
ϕ+αε+=+
ϕ+αε+=+ teorija velikih deformacija →
Veličine ε i ϕ se mogu izraziti pomoću pomaka:
( ) ( ) 2222 ds)1(dvdydudx ε+=+++
1ds
dvdyds
dudx 22−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ++⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +=ε
dudxdvdy)(tg
++=ϕ+α → α−
++=ϕ
dudxdvdytgarc
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 143
Pretpostavka o malim deformacijama (geometrijska linearizacija): 1cos ≈ϕ ; ϕ≈ϕ≈ϕ tgsin
αϕ+α=ϕα+ϕα=ϕ+ααϕ−α=ϕα−ϕα=ϕ+α
cossinsincoscossin)(sinsincossinsincoscos)(cos
Slijedi:
( )
( )αϕ+αε+=+
αϕ−αε+=+
cossinds)1(dvdy
sincosds)1(dudx
⇒ linearna ovisnost pomaka i deformacija:
dxdydvdydxdu
ϕ+ε=ϕ−ε=
α−α=ϕα+α=ε
sinducosdvdssindvcosduds
- geometrijska linearnost
O
u
v
dy
u + du
v + dv
dx
(1+ ε) ds
dsα
x
y
du
dv
ϕ ds
ε ds
α
dvcosdssindsdusindscosds
=αϕ+αε=αϕ−αε
Veze između deformacijskih veličina i komponenti pomaka ξ i η:
η+αξ=ϕαη−ξ=εddds
ddds
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 144
Pomaci uslijed promjene kuta zaokreta Za :0=ε
αϕ=ϕ=
αϕ−=ϕ−=
cosdsdxdv
sindsdydu ili ϕ=ϕ−=
dxdv ;
dydu
Slijede diferencijalne jednadžbe pomaka:
ακ
=α
⋅ϕ
=ϕ
=
ακ
−=α
⋅ϕ
−=ϕ
−=
coscos1
dsd
dxd
dxvd
sinsin1
dsd
dyd
dyud
2
2
2
2
PRIMJER:
x
y
L
s
hM
M
α
.konstIE = Vertikalni pomaci
α⋅=cos
1IE
Mdx
vd2
2 ;
sLcos =α
Ls
IEM
dxvd 2
2⋅=→
Uzastopnom integracijom se dobiva: 21
2CxC
2x
LIEsMv ++⋅=
Rubni uvjeti: 0 vLxZa
0 v0x Za
==
== 0C ;
IE2sMC 21 =−=⇒ ( )xLx
LIE2sMv 2 −=→
Horizontalni pomaci
43
2CyC
2y
hIEsMu ++⋅−=→
hs
IEM
dyud2
2⋅−=
Rubni uvjeti: 0u hZa y
0u 0 yZa
==
==0C ; IE2
sMC 43 ==⇒ ( )yhyhIE2sMu 2 −−=→
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 145
Određivanje progibne linije ravnog nosača - progib v(x); kut zaokreta ϕ(x) Progibna linija – neprekinuta i glatka krivulja Za slučaj čistog savijanja zakrivljenost nosača je:
IEM1 =
ρ (za utjecaj poprečne sile se može zanemariti) Lh <<
Zakrivljenost krivulje određena je izrazom:
23
2
2
2
dxdv1
dxvd
1
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+
±=ρ
Za male progibe: ⇒ ( ) 1v 2 <<′ diferencijalna jednadžba elastične linije ravnog nosača za slučaj čistog savijanja:
IEM
dxvd2
2±=
Analitička metoda određivanja elastične linije nosača v(x)→
→=ϕdxdvtg pretpostavka malih progiba: →ϕ≈ϕtg
dx)x(dv)x( =ϕ
⇒ .konstIE =dxdv=ϕ
2
2
dxvdIEM −=
3
3
dxvdIE
dxdMT −==
4
4
dxvdIE
dxdTq =−=
• Uzastopno neposredno integriranje diferencijalne jednadžbe elastične linije • M(x) izraziti kao funkciju opterećenja q i apscise presjeka x • Konstante inegracije odrediti iz rubnih uvjeta
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 146
PRIMJER: Elastična linija nosača sa zglobom u polju U presjeku u kojemu se nalazi zglob elastična linija nije glatka krivulja.
- progibi spojenih dijelova nosača su jednaki: dvv =l
- kutovi zaokreta presjeka lijevo i desno od zgloba su različiti: dϕ≠ϕl
A C
I II
BM
x
y
ϕlC
ϕdC
ϕB
x
a b
MA
FA FB
vC
MA
M
−+
Mx
∑ =→=bMF0M BC ; ∑ =→=
bMF0F Ay
∑ =++−=→=bAM)ba(FMM0M BAA
Moment savijanja u presjeku x:
)ba(x0baM
bxMMxF)x(M AA +≤≤−=−=
Diferencijalna jednadžba elastične linije za dio I, ax0 ≤≤ :
baM
bxM)x(M
dxvdIE 2
2
z +−=−=
Dvostrukim integriranjem dobiva se:
1
2
z CxbaM
b2xM
dxdvIE ++−=
11
23
z DxCb2xaM
b6xM)x(vIE +++−=
Diferencijalna jednadžba elastične linije za dio II, )ba(xa +≤≤ :
baM
bxM)x(M
dxvdIE 2
2
z +−=−=
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 147
Dvostrukim integriranjem dobiva se:
2
2
z CxbaM
b2xM
dxdvIE ++−=
22
23
z DxCb2xaM
b6xM)x(vIE +++−=
Konstante integracije određuju se iz četiri uvjeta:
Za presjek A, : 0x =
0dx
)0(dv)0(A ==ϕ=ϕ
0)0(vvA ==
⇒ 0C1 = , 0D1 =
Za presjek C, : ax =
)a(v)a(v III =
⇒ 22
3333DaC
b2aM
b6aM
b2aM
b6aM +++−=+− → aCD 22 −=
Slijedi jednadžba elastične linije za dio II:
)ax(Cb2xaM
b6xM)x(vIE 2
23
z −++−=
Za presjek B, : bax +=
0)ba(vII =+
⇒ )aba(Cb2
)ba(aMb6
)ba(M0)ba(vv 2
23
B −+++++−==+=
→ 2
2
2
2
2
3
2 b6)a2b()ba(M
b2)ba(aM
b6)ba(MC −+=+−+=
Jednadžba elastične linije nosača:
( )32
zxxa3
IEb6M)x(v −= , ax0 ≤≤
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−++−= )ax(
b)a2b()ba(xxa3
IEb6M)x(v
232
z , )ba(xa +≤≤
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 148
Opća jednadžba elastične linije za čitav nosač:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−++−=
<4444 34444 21
0a)-(x je ako seispušta
)ax(b
)a2b()ba(xxa3IEb6
M)x(v2
32
z
Npr. progib u točki C:
( )z
332
zC IEb3
aMaaa3IEb6
M)a(vv =−⋅==
Deriviranjem opće jednadžbe elastične linije dobiva se:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −++−==ϕb
)a2b()ba(x3xa6IEb6
Mdxdv)x(
22
z
Kut zaokreta presjeka lijevo od zgloba C:
z
2
IC IEb2aM)a( =ϕ=ϕ l
Kut zaokreta presjeka desno od zgloba C:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −++=ϕ=ϕb
)a2b()ba(a3IEb6
M)a(2
2
zIIC d
Kut zaokreta u osloncu B:
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −++−=+ϕ=ϕb
)a2b()ba(ba3IEb6
M)ba(2
22
zB
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 149
Grafoanalitička metoda određivanja pomaka nosača Zasniva se na matematičkoj analogiji:
qdx
MdMdx
vdIE 2
2
2
2−=↔−=
Fiktivni nosač – jednake duljine i krutosti kao stvarni nosač Fiktivno opterećenje:
Mq = , M - dijagram momenta savijanja konstruiran na stvarnom nosaču
- fiktivni moment savijanja M , fiktivna poprečna sila T Pozitivni dijagram momenata savijanja na stvarnome nosaču – pozitivno fiktivno opterećenje na fiktivnom nosaču usmjereno prema dolje Za fiktivni nosač:
Mdx
Mdqdx
Md2
2
2
2−=→−=
2
2
2
2
dxMd
dxvdIE =⇒ ili MvIE ′′=′′
Integracijom jednadžbe dobiva se:
CdxMd
dxdvIE +=
CTdxdvIET
dxMd +=→=
DxCMvIE ++= Konstante integracije ovise o rubnim uvjetima. Ako je na fiktivnom nosaču 0T = i 0M = u istim presjecima u kojima je i 0=ϕ 0v = na stvarnom nosaču ⇒ i 0C = 0D = Slijedi:
IEMv
IET
dxdv
=
==ϕ
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 150
Odabir fiktivnog nosača:
FIKTIVNI NOSAČ
0TT0M
dl ≠≠≠
0T0M
≠≠
0T0M
≠=
0T0M
==
STVARNI NOSAČ
00v
dl ≠ϕ≠ϕ≠
00v
≠ϕ= 0
0v≠ϕ≠
00v
=ϕ=
FIKTIVNI NOSAČ
0T0M
≠≠
0T0M
==
00v
≠ϕ≠
00v
=ϕ=
0T0M
≠=
0T0M
≠=
00v
≠ϕ=
00v
≠ϕ=
FIKTIVNI NOSAČ
STVARNI NOSAČ
STVARNI NOSAČ
Postupak određivanja progiba i kutova zaokreta grafoanalitičkom metodom:
• konstruiranje dijagrama momenata savijanja stvarnog nosača M • odabir fiktivnog nosača; kontinuirano fiktivno opterećenje u obliku dijagrama
momenta savijanja stvarnog nosača zamjenjuje se koncentriranim silama u težištu pojedinih dijelova dijagrama M
• određivanje M i T u zadanom presjeku • određivanje traženog progiba i kuta zaokreta na stvarnom nosaču
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 151
Primjeri rastavljanja dijagrama momenata savijanja stvarnog nosača na jednostavnije likove za koje znamo površinu i položaj težišta:
a
h1h2
bl
h2
h2
T
2/3l 1/3l
T
2/3b 1/3b
h1
h2
l
T
2/3l1/3l
T
h1
h2
2/3l 1/3l
h
l
3/4l1/4l
T
kvadratna parabolapovršina A = 1/3 hl
h1 h2
l
T
2/3l1/3l
T
h1
2/3l 1/3l
h2
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 152
h1 h2
T
2/3l1/3l
T
h1
2/3l 1/3l
h2
l/2 l/2
h3
h3T
kvadratna parabolapovršina A = 2/3 h3l
l/2 l/2
h1
h2
1/3l 1/3l 1/3l
TT
l/2 l/2
h3T
l/2 l/2
h1
h3 h2
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 153
PRIMJER: Za nosač prikazan na slici treba odrediti progib i kut zaokreta u presjeku B.
2L/3 L/32L/3L/3CFBF 2Φ
1Φ
+
BdϕBlϕ L L
M
M
M
y
x
B
C
C
B
A
Bv A
2LM
21 =Φ=Φ
Fiktivne ležajne reakcije:
3LM2
34L
322
L1FF 11BC =Φ=⋅⋅Φ=−=
Fiktivne poprečne sile u presjeku B:
2LMT 1lijevoB =Φ=
6LMLM
32
2LMFT B1desnoB −=−=−Φ=
Kutovi zaokreta u presjeku B:
IE6LM
IET
IE2LM
IET
dBdesnoB
lBlijevoB
−==ϕ
==ϕ
Fiktivni moment savijanja u presjeku B:
3LML
32
2LML
32M
2
1 =⋅=⋅Φ=
Progib u presjeku B:
IE3LM
IEMv
2
B ==
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 154
Određivanje pomaka korištenjem energetskih teorema
ENERGETSKI TEOREMI
Rad vanjskih i unutrašnjih sila
W - rad vanjskih sila ; Wu - rad unutrašnjih sila
- stvarni rad vanjskih i unutrašnjih sila - virtualni rad vanjskih i unutrašnjih sila
Stvarni rad vanjskih i unutrašnjih sila
Pri opterećenju vanjske sile vrše pozitivan rad a unutrašnje sile negativan.
U - potencijalna energija deformacije
Zakon o održanju energije pri statičkom opterećenju elastičnog tijela:
uWWU −==
sila F(δ) ↔ pomak δ(F)
F
δ
F
F( )δ
dF
δ
dδ
W* ili U*
F
δ(F)δ
W ili U
F
δ
F
δ
W*
W
Rad sile F na pomaku δ: ∫ δ=δ
0dFW
Komplementarni rad: WFdFWF
0−δ=∫ δ=∗
Za linearno elastično tijelo: ; a – koeficijent proporcionalnosti Fa=δ
2
Fa22
FadFFaW22F
0
δ=δ==∫= →=δ dFad
2FWW δ==⇒ ∗
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 155
Ako djeluje više sila na linearno elastično tijelo:
F1 F2 Fi Fn
δ1 δ2 δiδn
Pomak δk u smjeru djelovanja sile Fk:
∑ δ=δ++δ++δ+δ=δ=
n
1iikinknkkk22k11kk FFFFF . . . . . . . . . .
kjδ - pomak na mjestu i u smjeru sile Fk uzrokovan djelovanjem sile 1Fj =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛δ++δ+δ=δ
k
nkn
k
22k
k
11kkk F
FFF
FF
F . . . . .
Rad svih sila koje djeluju na tijelo:
→δ=δ++δ+δ= ∑=
n
1kkknn2211 F
21F
21F
21F
21W K Clapeyronov teorem
Potencijalna energija deformacije izražena kao rad unutrašnjih sila Rad uzdužne sile:
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 156
2dsN
2dsNdWdU uNN
ε=∆==
N
N
ds ds+∆ds
Rad momenta:
2dsM
2dMdWdU uMM
κ=ϕ∆==
dϕ
d dϕ+∆ ϕ
ds
M M
Rad poprečne sile:
2dsTdWdU uTT
γ== T
T
γ
ds
M MT
TN
N
dϕ
ds
Ukupan deformacijski rad u elementu grede duljine ds:
( )dsTNM21dU γ+ε+κ=
Ukupan deformacijski rad sistema:
( )∫∫ γ+ε+κ==s
dsTNM21dUU
Ako se deformacijske veličine izraze kao funkcije sila:
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
s
222ds
AGTk
AEN
IEM
21)T,N,M(U
Ako se sile izraze kao funkcije deformacijskih veličina:
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ γ+ε+κ=γεκ
s
222 dskAGAEIE
21),,(U
Stvarni rad vanjskih sila i potencijalna energija deformacije sistema uvijek su pozitivni.
Potencijalna energija deformacije (deformacijski rad) može se izraziti i kao funkcija vanjskih sila – aktivnih (Fi) i reaktivnih (Ri):
∑∑ +=i
ii
i
ii
2rR
2sF
U
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 157
Virtualni rad vanjskih i unutrašnjih sila Virtualni rad vanjskih sila:
∑ δ= ikiik FW - rad sila stanja i na pomacima stanja k
Virtualni rad unutrašnjih sila na elementu grede duljine ds: dsTdsNdMdW kikiki)ik(u γ−∆−ϕ∆−=
Virtualni rad unutrašnjih sila na čitavom sistemu: ( ) dsTNMW
skikiki)ik(u ∫ γ+ε+κ−=
Deformacijske veličine:
IEMk
k =κ ; AE
Nkk =ε ; k
AGTk
k =γ
∫∫∫ −−−=s
ki
s
ki
s
ki)ik(u ds
AGTT
kdsAENN
dsIEMM
W
Rad svih sila na virtualnim pomacima je jednak nuli:
)ik(uik)ik(uik WW0WW −=⇒=+ Dva međusobno neovisna stanja sistema:
1. moguće stanje ravnoteže (Fi, Ri, M, N, T) 2. moguće stanje deformacije (si, ri, κ, ε, γ)
Veza između mogućih stanja ravnoteže i mogućih stanja deformacije sistema:
( )∫∑∑ γ+ε+κ=+s
iiii dsTNMrRsF
Princip virtualnih pomaka:
( )∫∑∑ γ+ε+κ=+s
iiii dsTNMrRsF
Princip virtualnih sila:
( )∫∑∑ γ+ε+κ=+s
iiii dsTNMrRsF
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 158
POMACI REŠETKASTIH KONSTRUKCIJA a) Grafička konstrukcija - Williotov plan pomaka Pomaci se određuju postupkom čvor po čvor.
Produljenje (skraćenje) svakog štapa: i
ii EAS ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=∆
ll
1
2
3
4
1
2
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 159
2’
1’
F
O
1’
2’
p1p2
∆l 2 ∆l1∆l3
∆l4
b) Analitički postupak - diskretni pomaci prema načelu virtualnog rada − u odabranom čvoru i na odabranom pravcu na rešetki postavi se jedinična sila 1F =
− u svim štapovima se odrede sile usljed jediničnog opterećenja 1is
− nepoznati pomak promatranog čvora na odabranom pravcu usljed zadanog opterećenja: pj
− za virtualne pomake se odaberu pomaci koje daje jedinična sila
F = 1
virtualni pomaci
Rad vanjske sile nad nepoznatim pomakom p1F = j: jp1W ⋅=
Rad unutrašnjih sila Si nad virtualnim pomacima: ( )∑=
=š
1iiiiu sEASW l
Uvjet ravnoteže prema načelu virtualnog rada:
uWW = ( )∑=
=⇒š
1iiiij sEASp l
Primjer: Traži se vertikalni pomak čvora 4 koji nastaje usljed opterećenja silama V1 i V2.
V2V1
F = 1
1
2 4 6
3 57
1
2 6 10
3 7
115 9
4 8
x
yl
2
2
1
m001.0A
MPa210000E
m5
kN10V
kN10V
=
=
=
=
=
l
štap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Si −11.55 5.78 −11.55 11.55 0 11.55 −11.55 0 11.55 5.78 −11.55
si −0.577 0.289 −0.577 0.577 −0.577 0.866 −0.577 −0.577 0.577 0.289 −0.577
Vertikalni pomak čvora 4:
mm 2698.1p
32924.5302381.0sS02381.0sEA
Sp
V
11
1iii
š
1ii
iiV
−=
⋅=⋅⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= ∑∑
==
l
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 160
TEOREM O UZAJAMNOSTI RADOVA
Dva stanja ravnoteže: , , M, T, N , , κ, ε, γ - stvarno stanje iF iR is ir
iF , iR , M , T , N is , ir , κ , ε , γ - virtualno stanje 44 344 21
4434421
moguće stanje ravnoteže moguće stanje deformacije Princip virtualnih pomaka i princip virtualnih sila za ova dva stanja:
( )∫∑∑ γ+ε+κ=+s
iiii dsTNMrRsF
( )∫∑∑ γ+ε+κ=+s
iiii dsTNMrRsF
Izrazi za deformacijske veličine:
EIM=κ ,
EAN=ε ,
GATk=γ ;
EIM=κ ,
EAN=ε ,
GATk=γ
Dobiva se:
∫∑∑ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++=+s
iiii dsGA
TTkAENN
IEMMrRsF
∫∑∑ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++=+s
iiii dsGA
TTkAENN
IEMMrRsF
⇒ ( ) ( )∑∑ +=+ iiiiiiii rRsFrRsF Teorem o uzajamnosti radova za dva stanja opterećenja:
opterećenje silama - prvo stanje opterećenja iFopterećenje silama - drugo stanje opterećenja kF
Pomaci: i ikδ kiδ
∑∑ δ=δ→ kikiki FF − Bettijev teorem o uzajamnosti radova
Rad vanjskih sila jednog stanja opterećenja na pomacima izazvanim drugim stanjem opterećenja jednak je radu vanjskih sila drugog stanja opterećenja na pomacima izazvanim prvim stanjem opterećenja.
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 161
PRIMJER: Za nosač opterećen momentom M primjenom teorema o uzajamnosti radova treba odrediti progib u sredini raspona.
M
F
δFM = f
l/2 l/2
δMF
F /4l
M
Sistem I
Sistem II
+
prvo stanje opterećenja - opterećenje zadanim momentom M (sistem I) drugo stanje opterećenja - opterećenje silom F u sredini raspona (sistem II)
Teorem o uzajamnosti radova:
FMMF FM δ⋅=δ⋅ → F
M MFFM
δ⋅=δ
(IE
T=ϕ ) ⇒
IE16F
24F
21
IE1 2
MFlll =⋅⋅⋅=δ
IE16Mf
2
FMl=δ=⇒
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 162
TEOREM O UZAJAMNOSTI POMAKA
Dva stanja opterećenja:
Fi
i kA Bδki
A Bi kFk
δik
Prema teoremu o uzajamnosti radova:
kikiki FF δ=δ Korištenjem principa superpozicije:
kiiki
ikkik
'F
'F
δ=δ
δ=δ
ik'δ - pomak na mjestu i u smjeru sile Fi izazvan silom 1Fk =
ki'δ - pomak na mjestu i u smjeru sile Fk izazvan silom 1Fi =
kiikikki 'FF'FF δ⋅⋅=δ⋅⋅
⇒ kiik '' δ=δ - Maxwellov teorem o uzajamnosti pomaka
“Pomak generalizirane sile Fi izazvan jediničnom generaliziranom silom Fk jednak je pomaku generalizirane sile Fk izazvanom jediničnom silom Fi.”
Fi = 1
δ’ki
δ’ii
Fk = 1
δ’ik
δ’kk
δ’ki = δ’ik
F = 1
M = 1
δ’11
δ’21
stanje 1
stanje 2δ’12
δ’22
δ’12 = δ’21
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 163
CASTIGLIANOVI TEOREMI - sistem sila F1, F2, ..., Fn - generalizirane sile koje djeluju na elastično tijelo - odgovarajući pomaci δ1, δ2, ..., δn - generalizirani pomaci a) b)
F1
F2
Fk
Fn
δ1
δ2
δk
δn
dδk
dFk
dδk
dδn
dδ1
dδ2
F1
F2
Fk
Fn
δ1
δ2
δk
δn
a) Potencijalna energija deformacije izražena kao funkcija pomaka: ),,,(UU n21 δδδ= K
Totalni diferencijal funkcije U:
nn
22
11
dUdUdUdU δδ∂
∂++δδ∂
∂+δδ∂
∂= . . . . .
kk dδ→δ :
kk
dUdU δδ∂
∂=
Na prirastu pomaka rad obavlja samo odgovarajuća sila Fkdδ k : kk dF δ
kkkk
dFdUdU δ=δδ∂
∂=
kk
UFδ∂
∂=⇒ - prvi Castiglianov teorem
b) Potencijalna energija deformacije izražena kao funkcija sila: )F,,F,F(UU n21 K=
Totalni diferencijal funkcije U:
nn
22
11
dFFUdF
FUdF
FUdU
∂∂++
∂∂+
∂∂= . . . . .
kk dFF → :
kk
dFFUdU
∂∂=
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 164
n21 F,,F,F K − sistem sila I, − sistem sila II kdF kkn
1iii
Bettijev dFdF δ=δ⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯ ∑=
teorem
Prirast potencijalne energije deformacije nastao zbog djelovanja sile dFk :
kkkkn
1iiikk dFddF
21dFddF
21dU δ+δ=δ+δ= ∑
=
kkkkkk
dFddF21dF
FU δ+δ=
∂∂
kk F
U∂∂=δ⇒ - drugi Castiglianov teorem
PRIMJER: Treba odrediti vertikalni pomak čvora D čelične rešetke zadane i opterećene prema slici ako su površine poprečnih presjeka štapova jednake.
FF/2 F/2
2
5
3
4
1
A B
C
D
3 m 3 m
4 m
Iz uvjeta ravnoteže čvorova → sile u štapovima:
F85NN 21 −== , F
83NN 54 == , FN3 =
LFNN
AE1
FU ;
AE2LNds
AEN
21U
2L
0
2
∂∂=
∂∂== ∫
Prema drugom Castiglianovu teoremu:
∑= ∂
∂=
∂∂=δ
5
1ii
iiD L
FNN
AE1
FU
AE4F353
83F
83241F5
85F
852
AE1
D =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−⋅⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−⋅=δ
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 165
Ako u točki konstrukcije u kojoj treba odrediti pomak ne djeluje generalizirana sila, u toj točki se nanosi zamišljena sila F0 ili moment M0 u smjeru traženog pomaka. Potencijalna energija deformacije U izražava se kao funkcija zadanog opterećenja i zamišljenih generaliziranih sila (F0 ili M0).
0F0k
0FU
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂=δ ;
0M0k
0MU
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂=ϕ
PRIMJER: Treba odrediti kut zaokreta na ležaju B nosača prikazanog na slici. Utjecaj poprečne sile zanemariti!
A B
M0
x
y
x
q
ϕB
A Bl
Ležajne reakcije od stvarnog i fiktivnog opterećenja:
ll 0M
2qA += ,
ll 0M
2qB −=
Moment savijanja u presjeku x:
2qxxM
2qM
20 −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
ll ,
lx
MM
0=
∂∂
Kut zaokreta na ležaju B:
IE24qdxx
2qxx
2q
IE1dx
MMM
IE1
MU 3
0
2
0 00M0B
0
ll
lll=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
∂∂=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂=ϕ ∫∫
=
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 166
METODA JEDINIČNOG OPTEREĆENJA Princip virtualnih sila: ( )∫∑∑ γ+ε+κ=+
siiii dsTNMrRsF
Za virtualno stanje usvoji se opterećenje jednom jediničnom silom na mjestu i u smjeru pomaka koji se želi odrediti (δ):
( ) ∑∫ −γ+ε+κ=δ→ iis
rRdsTNM
∑∫∫∫ −+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ α+++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆α++=δ ii
sst
st rRds
AGTTkdst
RAEM
AENNds
ht
RAEN
IEMM
∑∫∫∫∫∫∫∫ −⋅α+∆⋅α
+++++=δ iis
ts
t
sssssrRdstNds
htMds
RAEMNds
RAENMds
AGTTkds
AENNds
IEMM
Reducirani izraz za pomak kod punostjenih nosača:
dstNdsh
tMdsAGTTkds
AENNds
IEMM
st
s
t
sss∫∫∫∫∫ ⋅α+
∆⋅α+++=δ
Pomaci kod rešetkastih nosača:
∑∑ ⋅⋅α+=δi
itii
ii
ii tSAESS ll
Postupak: • određivanje unutrašnjih sila M, T, N od zadanog opterećenja • zadavanje jedinične generalizirane sile na mjestu i u smjeru traženog pomaka
• određivanje unutrašnjih sila M , T , N od jediničnog opterećenja • integracija po čitavoj konstrukciji
Generalizirana jedinična sila - virtualno opterećenje:
traženi pomak virtualno opterećenje
linijski pomak jedinična sila u smjeru traženog pomaka
kut zaokreta jedinični moment
relativni pomak dviju točaka uzduž pravca koji prolazi kroz te točke
dvije kolinearne jedinične sile suprotnog smjera nanesene u promatranim točkama
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 167
Kod proračuna punostjenih nosača -
dstNIEdsh
tMIEdsAGIETTkds
AINNds
IIMMIE
st0
s
t0
s
0
s
0
s
0*0 ∫∫∫∫∫ ⋅α+
∆⋅α+++=δ=δ
Kod proračuna rešetkastih nosača:
∑∑ ⋅⋅α+=δ=δi
iti0i
ii
0ii
*0 tSAE
AASSAE ll
Promjene unutrašnjih sila najčešće se prikazuju dijagramima koji se crtaju po pojedinim segmentima sistema. Npr. utjecaj momenta savijanja na pomak:
∑ ∫∫ =s
j
isds
IEMMds
IEMM - proračun se svodi na proračun integrala po
pojedinim gredama sistema Izračunavanje vrijednosti integrala u izrazu za pomake: npr. ∫
sds
IEMM
T
x dxi j
dA
AM M
M
xT
O
O
xj
M
M
Mi
MT
Mj
→=j
j xxMM
∫∫ =j
i dAj
jj
idxMx
xM
IE1dxMM
IE1
321
Statički moment površine dijagrama momenata s obzirom na os O-O:
MT
j
iAxdAx ⋅=∫
- apscisa težišta dijagrama M Tx - površina dijagrama M MA
MTj
jj
iAx
xM
IE1dxMM
IE1 ⋅⋅=∫
MT
j
iAMdxMM ⋅=∫
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 168
Ako dijagram momenata M ima složeni oblik:
i j
T1
T2
T3
M
MT1MT2 MT3
M
∑∫=
⋅=n
1kMT
j
ikk
AMdxMM
M
a
b
x
b
x a x
= +
cd
x
=e cx
d
x xe
+ +
M M1 M2
M1 M2 M3
L
L
( ) ( )[ ]∫∫ ++⋅+=⋅ dxMMMMMdx)x(M)x(M 32121
( )2b
2a
3Le2
3a
3b2
2Ld
3a2
3b
2Lcdx)x(M)x(M
L
0−⋅+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −⋅+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −⋅=⋅∫
Utjecaj temperature na pomake (ako su veličine t i ∆t konstantne za pojedine elemente nosača):
∫∫ ⋅α=⋅αj
it
j
it dsNtdstN
∫∫ ∆⋅α=∆⋅α j
it
j
i
t dshMtds
htM
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 169
PRIMJER 1: Treba odrediti ukupan pomak čvora B rešetkastog nosača ako svi štapovi imaju jednaku aksijalnu krutost EA.
2FA B
C D
l
F
l
A B
C D
l
l
A B
C D
l
δBH
F = 1BH
F = 1BV
B’’
B’
B1
δBV
Štap Duljina FN FHN l⋅⋅ FHF NN FVN l⋅⋅ FVF NN
AB l F 0 0 0 0
AC l F2− 0 0 0 0
BD l F 1− lF− 1 lF
CD l 0 0 0 0 0
CB l2 F2− 2 lF828.2− 0 0
Σ lF828.3− lF
∑∑==
==δn
1iikii
n
1ii
i
kiik NN
AE1
AENN ll
AEF828.3BHl−=δ ,
AEF
BVl=δ ,
AEF956.32
BV2BHB
l=δ+δ=δ
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 170
PRIMJER 2: Treba odrediti promjenu razmaka između točaka AB okvirnog nosača.
A B
l/2
a
F
l/2
A B
T
F /4l
M
A BF = 1A F = 1B
MAB
a
aa
IE8aFa
4F
21
IE1dx
IEMM 2
0
ABAB
llll=⋅⋅⋅⋅==δ ∫
PRIMJER 3: Treba odrediti vertikalni pomak točke D okvirne konstrukcije koja se na vanjskoj površini ohladi za , a na unutrašnjoj površini zagrije za . Poprečni presjek je konstantan pravokutnog oblika visine h.
C20T 01 = C10T 0
2 =
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 171
A
B
l
C
Dl
l/2
T 20 C1 = − 0
T 10 C2 = 0
T1
T1
l
F = 1D
ND
1 1
+
l
MD
l
F = 1D
M12
tN21
t
L
0
12tD
L
0
21tDD A
hTTA
2TTdx
hTTMdx
2TTN ⋅
−⋅α+⋅
+⋅α=
−⋅α+
+⋅α=δ ∫∫
lll 5.05.011AN −=⋅+⋅−= ; 2M 5.1
21A lllll =⋅+⋅⋅=
⇒ h
455.22
ttD
ll α−⋅α=δ
PRIMJER 4: Treba odrediti horizontalni pomak točke A nosača konstantne krutosti EI prikazanog na slici.
ABC
D
R R R
ϕ
F
xABC
D
R 2R
ϕF = 1AH
Virtualno jedinično opterećenje je horizontalna jedinična sila 1FAH = . Izraz za pomak : Aδ
∫∫∫⋅+⋅+
⋅=δ
s
0
As
0
As
0
AA ds
AGTTkds
AENNds
IEMM
Utjecaj uzdužne i poprečne sile na pomak Aδ je zanemariv u odnosu na utjecaj momenta savijanja →
∫⋅
=δs
0
AA ds
IEMM
Moment savijanja:
Područje BA: , 0M = 0MA =
Područje BC: , xFM = 0MA = ; Rx0 ≤≤
Područje CD: )sin1(RFM ϕ+= , )cos1(R1MA ϕ−⋅−= ; 2
0 π≤ϕ≤
ϕ= dRds →
IERF
21d)cos1()sin1(
IERF 32
0
3
A ⋅−π−=ϕϕ−ϕ+−=δ ∫
π
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 172
PRIMJER 5: Treba odrediti progib i kut zaokreta presjeka C konzolnog nosača opterećenog prema slici.
A B
q
l
l/2 l/2
CϕC
δC
ϕC
l/4 l/4
ql 2/2 M
l/6 l/6
T
T
T
F = 1Cl/2 l/4
l/6l/3
MFC
1MMC
ql 2/32
ql 2/81
2
3
M = 1C
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=
⋅=δ ∫ 628
q21
4232q
32
322q
21
IE1dx
IEMM 222
0
CC
llllllllll
IEq
38417 4
Cl⋅=δ
IEq
4871
28q
211
232q
321
22q
21
IE1 3222
Clllllll ⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=ϕ
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 173