PRIMJENA KINEMATIČKIH METODA

Princip virtualnih pomaka Virtualni pomak je bilo koji beskonačno mali pomak omogućen vezama u sustavu.

A Bδϕ

x

y

A B

A’

B’

δx

δy δϕ

Disk u ravnini može imati tri virtualna pomaka:

δx − virtualni pomak u smjeru osi x δy − virtualni pomak u smjeru osi y δϕ − virtualni kut zaokreta

P

α

t

δt

Rad sile na virtualnom pomaku:

αδ=δ⋅=δ cosPPW tt

rr

Elementarni virtualni rad izražen u komponentama sile i pomaka:

zyx ZYXW δ+δ+δ=δ

Idealne veze – veze kod kojih je suma elementarnih radova reaktivnih sila na bilo kojem virtualnom pomaku jednaka nuli.

Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Princip virtualnih pomaka 98

Princip virtualnih pomaka glasi: Nužan i dovoljan uvjet ravnoteže krutog sustava s idealnim vezama je da suma radova aktivnih sila na bilo kojem virtualnom pomaku bude jednaka nuli. Dokaz:

Pi – rezultanta aktivnih sila koje djeluju na čvor i; Pix, Piy, PizRi – rezultanta reaktivnih sila koje djeluju na čvor i; Rix, Riy, Riz

Uvjeti ravnoteže čvora:

ziziz

yiyiy

xixix

0RP

0RP

0RP

δ⋅=+

δ⋅=+

δ⋅=+

+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

0RRRPPP zizyiyxixzizyiyxix =δ+δ+δ+δ+δ+δ→

Suma po svim čvorovima: ( ) ( ) 0RRRPPP

0

zizyiyxixzizyiyxix =δ+δ+δ+δ+δ+δ

=

∑∑44444 344444 21

( ) 0PPP zizyiyxix =δ+δ+δ⇒ ∑

Ako je na sustavu s idealnim vezama suma radova aktivnih sila na virtualnim pomacima jednaka nuli, onda je sustav u ravnoteži.

Primjena principa virtualnih pomaka u određivanju sila kod punostjenih i rešetkastih nosača

- Pretvaranje statički određenog sustava u mehanizam

A

A

A

A

A

A

MA

S

S

t

t

Mt Mt

Tt

Tt Nt

Nt

Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Princip virtualnih pomaka 99

Primjeri: Određivanje reakcije u ležaju B za Gerberov nosač

DA B C

a

P1 P2 P3

A B C bl2

l1/2 0.3 l2

1,2

A B C

1 2

I II

l1

D’ B’I’ II’δϕ1 δϕ2δD δB δ2δ1δ3

0PPPB0W 332211B =δ+δ−δ−δ→=δ

( )a

a2

1122211 +

δϕ=δϕ→+⋅δϕ=⋅δϕl

lll

a2

21122B +

⋅δϕ=⋅δϕ=δ

lll

l

B2

2111 2

a2

δ⋅+

=δϕ=δl

ll ; B2 7.0 δ=δ ; B

23

b δ=δl

32

212

2 PbP7.0P2

aB

lll

−+⋅+

=⇒

Inicijalni jedinični pomak: 1B =δ

δϕ≈δϕ=δϕ≈δϕ tgsin ; 1cos

Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Princip virtualnih pomaka 100

Određivanje momenta savijanja u presjeku t-t na gredi s prepustima

A B

P2 P3 P4

A Bba

0.3 l

1,2A B

1 2

I II

l

I’ II’δϕ1 δϕ2

δ3δ2

δ4δ1

x = 0.4t l

t

t

P10.25 l

M

0.4 l0.6 l

Mt Mt

δMtl δMt

dδMt = 1

( ) 0MPPPPM0W 144332211d

tMtMt =δϕ−δ+δ−δ−δ+δ+δ→=δ l

1tMd

tMtM =δ=δ+δl →

M6.0Pb4.0P12.0P15.0Pa6.0M 4321t +−++−= ll

Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Princip virtualnih pomaka 101

Određivanje horizontalne komponente reakcije u ležaju B za složeni nosač

Inicijalni jedinični pomak na mjestu i u smjeru HB

332211B PPPH0W δ+δ−δ=→=δ

Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Princip virtualnih pomaka 102

Određivanje sile u štapu rešetkastog nosača

Inicijalni jedinični pomak na mjestu i u smjeru sile S

332211 PPPS0W δ−δ−δ−=→=δ

Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Princip virtualnih pomaka 103

Koristeći plan mogućih pomaka i princip virtualnog rada, odrediti silu u označenom štapu nosivog sustava opterećenog prema crtežu.

S = ?

F

aaa

a

a

a

a / 2

I

II

III

2

1

3

1,2

1,3

F

SS

S

SS

S

H

H

VV

1', 2' 3'

I'

II'

III'

δ

δϕ 1 δϕ2 δϕ3 = 0

δSVF

a a a

a

a

a

a

3"

1"

2"

I"

II"

III"

δϕ1

δϕ2

δϕ3 = 0

δSH

/2

SV = SH = S √ 2 2

aS 1H ⋅δϕ=δ a2S 2H ⋅δϕ=δ 12 21 δϕ=δϕ⇒

a21aS 12V ⋅δϕ=⋅δϕ=δ a2F 1 ⋅δϕ=δ

0SSSSFF0W HHVV =δ⋅+δ⋅+δ⋅−→=δ

a:0a22Sa2

122Sa2F 111 =⋅δϕ⋅+⋅δϕ⋅+⋅δϕ⋅−

( ){

0F2S243

01

0

=δϕ⋅−⋅≠=

44 344 21 F3

24S ⋅=⇒

Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Princip virtualnih pomaka 104

Konstruiranje apsolutnih i relativnih polova na mehanizmu za određivanje uzdužne sile u odabranom poprečnom presjeku lučnog nosača sa zategom

I

II

III

IV

1

4

3

2

1,4

1,2

3,4

2,3 → ∞

1,3

Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Princip virtualnih pomaka 105