308 М. А . СКВОРЦОВА

нулевого решения и установление оценок решений, характери­

зующих скорость убывания на бесконечности.

Для систем дифференциальных уравнений вида ( 1) в лите­

ратуре хорошо известны теоремы об асимптотической устойчи­

вости (1 - З]. Однако оценки, характеризующие скорость убы­

вания решений на бесконечности, начали появляться только

в последние 10 лет (4 - 11].

Для квазИJШнейных систем вида (1) при D =О оценки ре­

шений, характеризующие скорость убьшания на бесконечности,

а также области притяжения нулевого решения впервые были

получены в работе (7). В этой работе авторами был построен модифицированный функционал Ляпунова - Красовского

t

v(t, у)= (Hy(t), y(t)) + / (K(t - s)y(s), y(s))ds, t-т

где Н = Н* > О, K(s) = K*(s) > О, s Е [О, т] . В настоящей

работе используется обобщение данного функционала:

v(t, у)= ( н(у(t) + Dy(t - т) ), (y(t) + Dy(t - т))) + t

+ j (K(t - s)y(s), y(s))ds . t-т

Сформулируем основные результаты. Рассмотрим началь­

ную задачу для системы (1):

{

~ (y(t) + Dy(t - т)) = Ay(t) + By(t - т)+ +F(t, y(t), y(t - т)), t > т,

y(t) = ip(t), t Е [О, т],

(2)

где ip(t) Е С1 [0,т] - заданная вектор-функция. Будем пола­

гать, что у(т+О) = ~р(т) .

М. А. СКВОРЦОВА 309

Предположим, что выполнены следующие условия:

(1) существуют матрицы Н = II* > О и K{s} = K*(s) Е

Е С1 [0, т), такие, что K(s) > О, :s K(s) + kK(s) ~О, k > О, s Е [О, т], и составная матрица

С= -(НА+А*Н +К{О} В*Н +D*HA

HB+A*HD ) D*HB+B*HD-K(т)

положительно определена;

(П) Cl = С1 - llHll ( q1(l + //D//)w1 //Dj/ + q2) (llDll + + J1 + /ID/1 2 ) > О, где с1 > О - минимальное собственное значение матрицы С.

Теорема. Пусть выполнены условия (I) и (II) и l/D/I <

< р-1 , где р = ехр( 21~~ 11 ), Е: = min{ 1 +~Dll 2 , kl/Hll}·

Тогда множество вещественнозначных функчий

П1 = cp(t): 2q11/Hllµ(H}(l + l/D/l)w1 11н- 1 11v(т,ср) < Е:, { ( ) ~~

( МУ(1 - p/IDll)-1 + llDI/) l/cp/loo ~ 1} являете.я множеством притяжения нулевого решения, где

µ(Н) = llHl/l/H-1//, М = llH-111(1/Hll{l + llDll)2 + т!!Klloo),

llK/loo = 6~~1 /!K(s}I/, ll<f'lloo = 8~~]llcp(s)ll, 1

у= (i - 2qi~Hll µ(H}(l + llDll)Wl (11н- 1 11v(т,ср)) ~")-"'l >о.

При этом для решения y(t) задачи {2) справедлива оченка

310 М. А. СКВОРЦОВА

Для случаев llDll = р-1 и р- 1 < llDll < 1 имеют место

аналогичные теоремы.

Следствие. Пусть вwполненw условия. (I) и (П) и llDll < 1.

Тогда нулевое решение системw (1) асимптотически устой­

чиво.

Автор выражает благодарность профессору Г. В . Демиденко

за постановку задачи и помощь в работе.

Работа выполнена при финансовой подцержке ФЦП "Науч­

ные и научно-педагогические кадры инновационной России" на

2009 - 2013 годы (госконтракт 16.740.11.0127) .

ЛИТЕРАТУРА

1. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчиво­

сти движения. - М.: Физматгиз , 1959.

2. ЭльсгольцЛ.Э . , НоркинС.Б . Введение в теорию диффе­

ренциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. - М. :

Наука, 1971.

3. КореневскийД. Г. Устойчивость динамических систем

при случайных возмущениях параметров. Алгебраические кри­

терии. - Киев: Наукова думка, 1989.

4. Kharitonov V. L., Нinrichsen D. Exponeпtial estimates for

time-delay systems // Systems Control Lett. - 2004. - V. 53. -

No 5. - Р. 395-405.

5. Kharitonov V. L., Mondie S., Collado J. Exponential estima­

tes for neutral tiтe-delay systems: an LMI approach / / IEEE

'Itans. Automat. Control. - 2005. - V. 50. - No 5. - Р. 666-670.

М. А. СКВОРЦОВА 311

6. ХусаиновД. Я., Иванов А. Ф., КожаметовА. Т. Оцен­

ки сходимости решений линейных стационарных систем

дифференциально-разносmнЪLх уравнений с nостояннь~м запаз­

дыванием// Дифференц. уравнения. - 2005. - Т. 41. - № 8. -

с. 1137-1140.

7. ДемиденкоГ. В., Матвеева И. И. Асимптотические свой­

ства решений дифференциальных уравнений с запаздывающим

аргументом / / Вестник НГУ. Серия: математика, механика,

информатика. - 2005. - Т. 5. - Вып. 3. - С. 20-28.

8. ДемиденкоГ. В., Матвеева И. И. Устой'Чивость решений

дифференциальнЪLх уравнений с заnаздь~вающим аргументом

и периодическими коэффициентами в линейных "Ч.llенах / / Сиб.

мат. журн. - 2007. - Т. 48. - № 5. - С. 1025-1040.

9. Melchor-Aguilar D., Niculescu S. I. Estimates of the attracti­

on region for а class of пoпlinear time-delay systems // IMA J.

Math. Control Inform. - 2007. - V. 24. - No 4. - Р. 523-550.

10. Demidenko G. V. Stability о/ solutions to liпear differential

equ.ations о/ neutral type / / J. Anal. Appl. - 2009. - V. 7. - No 3. -

Р. 119-130.

11. Демиденко Г. В . , Котова Т. В., Скворцова М. А. Устой­

чивость решений дифференциальн'Ьl.х уравнений нейтрального

типа / / Вестник ИГУ. Серия: математика, механика, инфор­

матика. - 2010. - Т. 10. - Вып . 3. - С. 17-29.