Непрерывность функции

• Непрерывная в точке функция, свойства

• Непрерывная на множестве функция

• Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.

• Обратная функция

• Метод половинного деления.

• Односторонние пределы. Односторонняя непрерывность

• Точки разрыва, классификация

• Асимптоты к графику функции

9.1 Функция непрерывная в точке

Опр. Приращение функции

∆𝑓 = 𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥0)

Опр 1. Функция 𝑓 непрерывна в точке 𝒙𝟎, если функция определена в точке 𝑥0 и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции

(т.е. ∃𝑓 𝑥0 , lim∆𝑥→0

∆𝑓 = 0).

Опр 2. Функция 𝑓 непрерывна в точке 𝒙𝟎, если функция определена в точке 𝑥0 и

lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0).

Утв. Определения 1 и 2 эквивалентны.

Свойства непрерывных в точке функций

Теорема 1. Если 𝑓(𝑥) и 𝑔 𝑥 непрерывны в точке 𝑥0, то 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 , 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 непрерывны в точке 𝑥0.

Теорема 2. Если 𝑓(𝑥) и 𝑔 𝑥 непрерывны в точке

𝑥0 и 𝑔(𝑥0) ≠ 0, то 𝑓 𝑥

𝑔 𝑥 непрерывна в точке 𝑥0.

Теорема 3. Пусть 𝑓(𝑦) непрерывна в точке 𝑦0 и 𝑔 𝑥 непрерывна в точке 𝑥0, при этом 𝑦0 = 𝑔(𝑥0), то 𝑓(𝑔 𝑥 ) непрерывна в точке 𝑥0.

Свойства непрерывных в точке функций

Теорема 4. Если 𝑓(𝑥) непрерывна в точке 𝑥0, то 𝑓 𝑥 ограничена в окрестности точки 𝑥0.

Теорема 5. Если 𝑓(𝑥) непрерывна в точке

𝑥0 и 𝑓 𝑥0 ≠ 0 , то 𝑓(𝑥) >1

2𝑓(𝑥0) в

некоторой окрестности точки 𝑥0.

10. Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке

Опр. Функция 𝑓 непрерывна на множестве D, если она непрерывна в каждой точке этого множества

𝐶(𝐷) – множество непрерывных на D функций

Теорема 1 (об ограниченности). Непрерывная на отрезке функция ограничена на этом отрезке.

Если 𝑓(𝑥) ∈ 𝐶( 𝑎, 𝑏 ), то ∃𝑀 > 0: ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 𝑓 𝑥 ≤ 𝑀

Теорема 2 (о наибольшем и наименьшем значении). Непрерывная на отрезке функция достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения.

Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке

Теорема 3 (о нуле). Непрерывная на отрезке функция, принимающая на концах отрезка значения с разными знаками обращается в ноль в некоторой точке этого отрезка.

Теорема 4 ( о промежуточном значении). Для любого заданного числа, расположенного между наименьшим и наибольшим значениями непрерывной на отрезке функции, существует аргумент, в котором функция принимает заданное значение.

Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке

Опр. Функция называется монотонной, если она строго возрастает или строго убывает на отрезке, т.е ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝑎, 𝑏 : 𝑥1 < 𝑥2⟹ 𝑓(𝑥1) < 𝑓 𝑥2 (возрастает), или 𝑓(𝑥1) > 𝑓 𝑥2 (убывает).

Опр. Функция 𝜑(𝑦) называется обратной к 𝑓 𝑥 , если ∀𝑦 ∈ 𝐸𝑓 ∃! 𝑥 = 𝜑 𝑦 : 𝑦 = 𝑓 𝑥

Теорема 5. Пусть 𝑓 𝑥 непрерывна и строго монотонная на 𝑎, 𝑏 и 𝑓 𝑎 = 𝐴, 𝑓 𝑏 = 𝐵, тогда существует обратная к 𝑓 функция монотонная и непрерывная на [𝐴, 𝐵] ([𝐵, 𝐴]).

10.1 Метод половинного деления

Задача. Найти с заданной точностью ε решение уравнения 𝑓 𝑥 = 0.

Обозначим 𝑥∗ - решение уравнение.

1. Выберем отрезок

𝛿 0 = 𝑎0, 𝑏0 , такой что

𝑓 𝑎0 𝑓 𝑏0 < 0.

f(x)

𝑎0 𝑏0 𝑥1

Метод половинного деления

2. Найдем середину отрезка 𝑥1 =𝑎0+𝑏0

2,

Вычислим значение 𝑓 𝑥1 , если 𝑓 𝑥1 = 0, то 𝑥∗ = 𝑥1 , иначе выбираем отрезок 𝛿 1 = 𝑎1, 𝑏1 : 𝑓 𝑎1 𝑓 𝑏1 < 0 , где одна из границ совпадает с 𝑥1, а вторая с одним из концов предыдущего отрезка,

при этом 𝛿1 =𝛿0

2.

Аналогично, продолжаем процесс: строим последовательность вложенных отрезков 𝛿𝑛 𝑛∈𝑁: 𝑓 𝑎𝑛 𝑓 𝑏𝑛 < 0, при этом 𝛿𝑛 =

𝛿0

2𝑛. Число

итераций 𝑛: 𝛿𝑛 < 휀 или 𝑓(𝑥𝑛) < 휀.

11. Односторонние пределы

Опр. Число а называется пределом функции слева при 𝑥 → 𝑥0, если ∀휀 > 0 ∃𝛿 휀 > 0: ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝑓:

𝑥0 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑥0 𝑓 𝑥 − 𝑎 < 휀 .

lim𝑥→𝑥0−0

𝑓 𝑥 = 𝑎

Опр. Число b называется пределом функции справа при 𝑥 → 𝑥0, если ∀휀 > 0 ∃𝛿 휀 > 0: ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝑓:

𝑥0 < 𝑥 < 𝑥0 + 𝛿 𝑓 𝑥 − 𝑏 < 휀.

lim𝑥→𝑥0+0

𝑓 𝑥 = 𝑏

Односторонние пределы

Теорема. Предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда односторонние пределы равны.

Замечание. Свойства односторонних пределов аналогичны свойствам пределов.

Односторонняя непрерывность и непрерывность

Опр. Функция f непрерывна в точке 𝑥0 слева, если она определена в этой точке и lim

𝑥→𝑥0−0𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥0) .

Опр. Функция f непрерывна в точке 𝑥0 справа, если она определена в этой точке и lim

𝑥→𝑥0+0𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥0)

Опр. Функция f непрерывна в точке 𝑥0, если она определена в этой точке и

lim𝑥→𝑥0+0

𝑓 𝑥 = lim𝑥→𝑥0−0

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0)

Точки разрыва

Опр. 𝑥0 называется точкой разрыва функции, если в ней нарушено хотя бы одно условие непрерывности.

Опр. 𝑥0 называется точкой разрыва функции первого рода, если односторонние пределы функции существуют и конечны, остальные точки разрыва - точки разрыва второго рода.

Точки разрыва

Точки разрыва первого рода:

• Устранимый - lim

𝑥→𝑥0+0𝑓 𝑥 = lim

𝑥→𝑥0−0𝑓(𝑥)

• «скачок» - lim𝑥→𝑥0+0

𝑓 𝑥 ≠ lim𝑥→𝑥0−0

𝑓(𝑥)

Точка разрыва второго рода – точка бесконечного разрыва, если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности.

12. Асимптоты к графику функции

Прямая 𝑙 называется асимптотой к графику функции, если при бесконечном удалении точек графика, расстояние между прямой и точками графика бесконечно мало.

Асимптоты к графику функции

Прямая 𝑥 = 𝑎 – вертикальная асимптота к графику функции, если точка а – точка бесконечного разрыва.

Прямая 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 - наклонная асимптота , если существуют конечные пределы:

𝑘 = lim𝑥→∞

𝑓(𝑥)

𝑥 , 𝑏 = lim

𝑥→∞(𝑓 𝑥 − 𝑘𝑥) .

Если 𝑘 = 0,

то 𝑦 = 𝑏 горизонтальная асимптота