ЗАДАЧАМИ КЛАСИФIКАЦIЙНОГО ХАРАКТЕРУddpu.edu.ua/fmk/publications/methodical articles/meth-art_10.pdf · УДК 37.016:[514.122+514.142] Кадубовський

УДК 37.016:[514.122+514.142]

Кадубовський О.А., Алдошина А.В.

1 кандидат фiзико-математичних наук, доцент кафедри геометрiї та МВМ, ДВНЗ «ДДПУ»2 студентка 5 курсу фiзико-математичного факультету, ДВНЗ «ДДПУ»

e-mail: [email protected], [email protected]

ПРО ЗМIСТОВЕ НАПОВНЕННЯ ТЕМИ «ВЗАЄМНЕРОЗТАШУВАННЯ ПРЯМИХ I ПЛОЩИН У ПРОСТОРI»

ЗАДАЧАМИ КЛАСИФIКАЦIЙНОГО ХАРАКТЕРУ

Висвiтлюється авторський досвiд впровадження дослiдницьких задач на прикладi вив-чення «Теорiї прямих i площин у просторi» шляхом змiстового її наповнення задачамикласифiкацiйного характеру. В якостi таких задач в роботi вперше наведена класифiка-цiя прямих простору за ознакою взаємного розташування вiдносно координатних осей iплощин декартової системи координат.

Ключовi слова: науково-дослiдницька дiяльнiсть, задачi класифiкацiйного харак-теру, класифiкацiя прямих простору.

ВступПостановка проблеми. Загально визнано, що всебiчний розвиток

майбутнiх вчителiв ЗОШ та викладачiв ВНЗ, зокрема формування профе-сiйних компетентностей, є одними з головних завдань, якi сьогоднi стоятьперед вiтчизняними педагогiчними ВНЗ. Тому вiдповiдними програмами пiд-готовки фахiвцiв передбачається формування унiверсальних знань, умiньi навичок, якi будуть необхiдними для адаптацiї випускникiв педагогiчнихВНЗ до нових суспiльних умов та повноцiнної їх самореалiзацiї.

На превеликий жаль, результати дiагностик рiвня залишкових знань (зарезультатами ККР) свiдчать про те, що значна частина студентiв, зокремаматематичних спецiальностей педагогiчних ВНЗ, мають труднощi з виконан-ням саме творчих завдань та розв’язанням нетипових i дослiдницьких задач.

Одна з причин, на думку А.I. Савенкова, полягає у тому, що «... тради-цiйне навчання у вишах будується не так на методах самостiйного, творчогоi дослiдницького пошуку, як на репродуктивнiй дiяльностi, спрямованiй назасвоєння готових, ранiше добутих iстин. I саме тому навчання студентiввтрачає головну рису дослiдницької поведiнки — пошукової активностi. Якрезультат — втрата допитливостi, здiбностi самостiйно мислити, що практич-но унеможливлює процеси самонавчання, самовиховання, а отже, i самороз-витку.» [11]

c⃝Кадубовський О.А., Алдошина А.В.,2014

146

Кадубовський О.А., Алдошина А.В. Про змiстове наповнення теми ...

Незважаючи на тривалий i поширений досвiд викладання аналiтичноїгеометрiї у ВНЗ та «елементiв аналiтичної геометрiї» i «методу координат»в ЗОШ, слiд також визнати, що на сьогоднi ще залишається ряд актуаль-них проблем (зокрема й зазначена «традицiйнiсть у навчаннi»), пов’язанихiз навчанням та викладанням цього роздiлу математики.

Однiєю з таких проблем, яка особливо гостро постала останнiм часом, єзначне зменшення тижневого аудиторного навантаження студентiв. У зв’язкуз цим — зменшення аудиторних годин, що вiдводяться навчальними планамина лекцiйнi та практичнi заняття. I як наслiдок — «аудиторне озброєння»теоретичним «мiнiмумом» та навичками розв’язання переважно типових за-дач. Таким чином, викладач вимушений «передавати» досвiд з розв’язуваннядослiдницьких задач у позааудиторний час. Такий вид роботи, як правило, ре-алiзується пiд час iндивiдуальних консультацiй, пов’язаних iз виконанням (вiдеалi — захистом) iндивiдуальних довгострокових завдань, якi крiм типовихзадач передбачають i задачi дослiдницького характеру. Проте, як свiдчитьдосвiд, наявнiсть розв’язкiв необхiдної кiлькостi задач стає самоцiллю i да-леко не завжди на користь дослiдницьких задач.

Але ж «дослiдницькi задачi кориснi тим, що не мiстять алгоритмiчнихпiдходiв i завжди потребують пошуку нових iдей, якi стимулюють пiзнаваль-нi iнтереси студентiв, формують навички проведення аналiзу, систематизацiї,висунення гiпотез, допомагають оволодiти дедуктивним методом, активiзу-ють самостiйну пошукову дiяльнiсть.» [12]

Таким чином, проблема вибору методiв навчання у контекстi розвиткудослiдницької компетентностi при вивченнi геометрiї є як нiколи актуальною.

Спробi вирiшення (принаймнi частково) зазначеної проблеми й присвя-чена дана стаття, в якiй висвiтлюється досвiд впровадження дослiдницькихзадач на прикладi вивчення теми «Взаємне розташування прямих i площину просторi».

Аналiз актуальних дослiджень, присвячених рiзним аспектам органiзацiїнауково-дослiдної дiяльностi студентiв; проблемам формування дослiдниць-ких умiнь студентiв; спiвробiтництву викладачiв i студентiв у науковихдослiдженнях, достатньо повно висвiтлений в [13].

Особливу нашу увагу привернула до себе монографiя [5], в якiй висвiт-лено теоретико-методологiчнi засади узагальнення та систематизацiї знаньстудентiв з аналiтичної геометрiї.

Бiльш детально зупинимося на аналiзi дидактичного забезпечення теми.Традицiйно, вивчення та виклад тем «Пряма у просторi», «Взаємне розта-шування прямих у просторi» та «Взаємне розташування прямих i площин

Випуск №4, 2014 147

Методика викладання математики в ЗОШ та ВНЗ

у просторi» супроводжується розглядом частинних випадкiв розташуванняпрямої вiдносно фiксованої декартової системи координат (ДСК).Якiсний та кiлькiсний аналiз теоретичного i дидактичного матерiалу, якиймiститься в бiльшостi розповсюджених та рекомендованих пiдручниках i збiр-никах задач, дозволяє констатувати наступне:

1) Задачi, якi вiдносяться до суттєво рiзних положень прямої у просторi(за ознакою взаємного розташування вiдносно координатних осей i площинДСК), здебiльшого, вичерпуються розглядом лише тих випадкiв, коли прямає паралельною (спiвпадає) до певної координатної осi або ж є паралельною(належить) до певної координатної площини [1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10].

2) Прямим загального положення майже не придiляється увага. Винят-ком, частково позбавленим зазначеної вади, є наприклад збiрники [2, 7, 8, 14],в яких у загальному виглядi пропонуються й задачi на дослiдження критерiїввзаємного розташування прямих i площин простору.

3) Загалом, в тому чи iншому виглядi, зустрiчаються щонайбiльше 85 iз133 суттєво рiзних (у зазначеному вище контекстi) типiв прямих. Проте самфакт типiзацiї прямих, як правило, затушовується.

Класифiкацiя прямих простору за вказаною ознакою в явному виглядi досьогоднi залишалась не висвiтленим питанням навiть в теоретичному аспектi.

Отже, метою статтi є висвiтлення авторського досвiду щодо впроваджен-ня дослiдницьких задач на прикладi вивчення теми «Пряма i площина упросторi» шляхом змiстовного її наповнення класифiкацiєю прямих за озна-кою взаємного розташування вiдносно координатних осей i площин ДСК.

Основна частинаПерш нiж викласти суть класифiкацiї прямих простору за ознакою вза-

ємного розташування вiдносно координатних осей i площин ДСК наведемозагальнi рекомендацiї стосовно впровадження вiдповiдних типiв прямихпiд час вивчення тем «Взаємне розташування прямих у просторi» та «Вза-ємне розташування прямих i площин у просторi», якi вiдноситься до обов’яз-кового змiстового модуля «Теорiя прямих i площин у просторi»:

1. З основними класами прямих (їх всього 7) пропонованої класифiкацiїстудентiв необхiдно ознайомити вже на перших заняттях теми (можливо на-вiть пiд час лекцiйного заняття). Ознайомлення з певними iз суттєво рiзнихтипiв прямих пропонованої класифiкацiї (надалi – типи прямих) також можевiдбуватись з перших практичних занять, присвячених вивченню зазначенихтем. Рiзноманiття тематичних задач повинно досягатися не за рахунок роз-гляду аналогiчних задач з рiзними числовими даними або ж рiзних способiвзаданя прямих i площин, а за рахунок розгляду вiдповiдних типiв прямих.

148 Збiрник наукових праць фiзико-математичного факультету ДДПУ


2. Безпосереднє ознайомлення з певним типом прямих доцiльно роз-починати iз задач на побудову прямої, заданої канонiчним рiвнянням iзчисловими даними; а вже потiм запропонувати виявити залежностi або зако-номiрностi у розташуваннi однотипових прямих.

3. Далi необхiдно розглянути типовi задачi про особливостi розташуван-ня прямих (заданих канонiчними рiвнянням з числовими даними): з’ясуванняпитань щодо їх спiвпадiння, паралельностi, перетину або ж мимобiжностi.Пiсля чого, в якостi частинних випадкiв, слiд розглянути випадки, коли однi-єю iз таких прямих є координатна вiсь.

Потiм для прямої l : x−x0l1

= y−y0l2

= z−z0l3

(заданої канонiчним рiвнянням взагальному виглядi) встановити вiдповiднi (необхiднi та/або достатнi) умовиїї спiвпадiння, паралельностi, перетину або ж мимобiжностi з координатноювiссю OX (OY,OZ ). Так, наприклад, необхiдними i достатнiми умовамиспiвпадiння прямої l з вiссю OX (яка «є представником» типу прямих a1,1 )є наступнi

l ≡ OX ∼= a1,1 ⇔{x0 ∈ R, y0 = z0 = 0l1 = 0, l2 = l3 = 0.

Здiбним студентам слiд запропонувати отримання вiдповiдних аналiтич-них умов для решти типiв таких прямих у виглядi iндивiдуальних завдань.

4. Деталiзовану класифiкацiю прямих (з усiма 133 суттєво рiзними ти-пами) доцiльно навести на останньому практичному заняттi, присвяченомусистематизацiї, узагальненням та конкретизацiї набутих знань.

5. Коло задач на встановлення критерiїв приналежностi прямої (заданоїканонiчним рiвнянням в загальному виглядi) до певного типу прямих можназначно розширити, за рахунок отримання аналогiчних критерiїв на випадокпрямої, заданої як перетин площин (заданих загальними рiвняннями).

6. Наведену класифiкацiю прямих доцiльно доповнити (або ж принайм-нi запропонувати на самостiйне опрацювання) аналогiчною класифiкацiєюплощин простору (за такою ж самою ознакою).

7. Найбiльш здiбним студентам можна запропонувати й одержання вiд-повiдних аналiтичних умов для кожного iз суттєво рiзних типiв площин.

Класифiкацiя прямих простору за ознакою взаємного розташуваннявiдносно координатних осей i площин ДСК

Пропонована нижче класифiкацiя представлена за допомогою наочноїсхеми 1 з подальшою деталiзацiєю в термiнах введених позначень.

I. P – множина прямих, паралельних до координатних площин1.1) A – клас прямих, паралельних до координатних осей: A1 , A2 , A3 –

пiдкласи прямих, що є паралельними до координатних осей OX , OY i OZвiдповiдно;

Випуск №4, 2014 149


1.2) B – клас прямих, що перетинають двi пiввiсi рiзних координатнихосей: B1 , B2 , B3 – пiдкласи прямих, що перетинають пiввiсi осей OY i OZ ,пiввiсi осей OZ i OX та пiввiсi осей OX i OY вiдповiдно;

1.3) C – клас прямих, що паралельнi однiй з координатних площин, неє паралельними до вiдповiдних координатних осей та не перетинають третювiсь: C1 , C2 , C3 – пiдкласи прямих, що є паралельними до площин Y OZ ,ZOX та XOY вiдповiдно;

1.4) D – клас прямих, що перетинають координатну пiввiсь (початоккоординат), є паралельними (належать) вiдповiднiй площинi та не є пара-лельними до жодної з двох iнших координатних осей: D1 , D2 , D3 — пiдкласипрямих, що перетинають осi OX , OY i OZ вiдповiдно.

II. Q — множина прямих, що не є паралельними до жодної зкоординатних площин

2.1) E — клас прямих, що проходять через початок координат, не спiвпа-дають з жодною iз координатних осей та не належать жоднiй з координатнихплощин;

2.2) F — клас прямих, що перетинають координатну пiввiсь та є мимо-бiжними до двох iнших координатних осей: F1 , F2 , F3 — пiдкласи прямих,що перетинають пiввiсь осей OX , OY i OZ вiдповiдно;

2.3) G — клас прямих, що не є паралельними до жодної з координатнихплощин та не проходять через початок координат: G1 , G2 , G3 , G4 — пiд-класи прямих, що перетинають чверть площини X+OY+ , Y+OX− , X−OY−i Y−OX+ вiдповiдно.

A B C D

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

↗

1A 2

A 3A 1

B 2B 3

B 1C 2

C 3C 1

D 2D 3

D

P 9 9 9 4 4 4 8 8 8 6 6 6

Q 4 8 8 8 6 6 6 6

1F 2

F 3F 1

G 2G 3

G 4G

↑

↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↘

E F G

Схема 1: до класифiкацiї прямих простору за ознакою взаємногорозташування вiдносно координатних осей i площин АСК

В подальшому без додаткових пояснень для наведених типiв прямих бу-дуть наведенi графiчнi iлюстрацiї iз зображенням вiдповiдних положень їхпредставникiв вiдносно фiксованої ДСК.


ЇЗ


)a )b )c

X

Y

Z

O

3,1a

3,2a

3,3a

3,4a

3,8a

3,5a

3,6a 3,7

a

X

Y

Z

O

2,1a

2,8a

2,9a

2,2a

2,3a

2,4a

2,5a

2,6a

2,7a

X

Y

Z

O

1,1a 1,2

a

1,3a

1,4a 1,5

a

1,6a

1,7a

1,8a

1,9a

3,9a

Рис. 1: прямi з класу A

a1,i — представники 9 можливих типiв прямих пiдкласу A1 (що є паралель-ними до осi OX ) — рис. 1 a) ;a2,i — представники 9 можливих типiв прямих пiдкласу A2 (що є паралель-ними до осi OY ) — рис. 1 b) ;a3,i — представники 9 можливих типiв прямих пiдкласу A3 (що є паралель-ними до осi OZ ) — рис. 1 c) .

)a )b )c

X

Y

Z

O

3,1b

3,2b 3,3

b

3,4b

X

Y

Z

O 2,1b

2,2b

2,3b

2,4b

X

Y

Z

O

1,1b 1,2

b

1,3b

1,4b

Рис. 2: прямi з класу B

b1,i — представники 4 можливих типiв прямих пiдкласу B1 (що перетинаютьпiввiсi осей OY i OZ ) — рис. 2 a) ;b2,i — представники 4 можливих типiв прямих пiдкласу B2 (що перетинаютьпiввiсi осей OZ i OX ) — рис. 2 b) ;b3,i — представники 4 можливих типiв прямих пiдкласу B3 (що перетинаютьпiввiсi осей OX i OY ) — рис. 2 c) .

Випуск №4, 2014 151

______ ____

А_____________

______ ______ __ _______

. І ._ _0 - 0. 1'. '_ _.

_ .__

ІІІ

Н

ІІІІ

_

/..................... .................

І ,І

.

. НІІІІІІІІ

І

.

-› __\

ІІІІІ

`\

_____________________ _____________________

Ё__

І

__

__

о

4ІІ_________,___І

1

\___________о_________

о_..'_

„ІІІІІ`\

____.§_

.__-0

'_

___...-0

.

`§.§

_І

4'_.'. І '_

г' __ -_ І

.

_______________І______ ______________________І _-. _. І '_

Ї І Ї _- __ І_ .'_ _ __' Е '-_ 'І І :

І І І __ - _І _ _ __ _ _ І. д _ І __ ._. . __ ._ _ І _. _______ ______ ______ _____________ ______

І. .......-___... ...... ....._ ......

_

-І-І-І-Іс-І-ІІ-Ів-ц-І І І І І

__ 'І І

1 І _'

-І

...... .........

І 0

.

д 9 _ 9_~` .° __' І1' . _- - ,* _

_ .' Ь '__' :,, '__'

-' °І-І- -І- -І-І-І -І-І-І -І-І-І °.ІІІ І

. З 'Ё _'- ›І

ІІ, '_ . . .. 0 __. _ І _

1 І І 0.' о.' І . .'. .ІІ

_

ІІІІ

ІІ

3' 5

___________

_____ _____ _______________

І

______________

___..___..

, І

_-. І _ О ІІ 1

І _-' І _' .. І 0 З

3 І :

' _' І 0' Ї _ __- о . _4, ч. _ Ё:

_' ' _' _ _. , _ . _ .. , _ _ _ ., , _ _. .. _. 'І 1 _

0 О. 0.І 'І 'І' 0.І псопяясоіяя 0 11000110001110011100011

„І__

1оІ д

4

_______,ъ __________:

_______Ѕ'

ЧЯ

___

__ъ________4›:_______

„І__ І

1о

__________

__________І__о.

І' _

9:_________:ь______________

_'І_

;О І

...._________

.........:.

__

....____:_........,. _____...„

._______,

_______,'______,... : .......__ __

_ _

_________„

__________ Н

_

'__'_

_

ІІ....____„

________„_

2;

___,....__ .._._

І'_

Н_

________

Ч'_

_

ІІІІ'_

___'_'_

_

'_

'_'_

___,

______________$'

Н _

4!____'_

_

____________... НН

ЯН

Я

______________ч.

Н

?_

НН

ЯН

Я

_,____________..

_'____'_

_

___________ '_

_'_

___..______________________

____ ______......__

___

_

П

_

Н

_'_ ІІП

________

?_

_

.....,.... .____:_____ .....1.....

\ І §

І _

'_.. _...

'І'о

х..

4'. .

І -І І І

_

_

_____~_...

'_

Ф.`§

ІІ ..____„

'_ І

_

___

_ __,_

__ І '_Н

Я

__________

Н____

ї__ _

__

І

Н ____

_

__

__

_

__

__ Н__ І

ЗІ-дій З_

_ __

Ч _І

__ _

_

Н

_

__________________,

__

\ .

І : "НЧ"_д____..____

_

__

_

І_______

Н_

___ ___

ІІ

_

Ч

Н

__________________

ЯІ

_________________._

І І

_______д____________

Н

НН

Н'_

_

_______'›___________' '_

______

_

__?___`

,___ _ :__

ІІІ `\

Ї..____ ____

_І______

___..

--›

І-І-І-ІЇІ

_' Ї, ІІ» І

_.І 3.

І §`І

Н___:

________

_Я

____ ІІ

____ _ЯН

І _.____ І І

_______

Н

_________

ІІІ

НЯ

__________

__

__

_

_ .:М :. .І........._...

. І _.

..г=:вппвв--------

__________

____

---------_-д--------_

____... `І

а11о1

____9_______

__`-І-І-І-І-І-І-І-І-І-Ь І-І-І-

_'_ І

Ї _- 0П

_ІІ _Ч

_

_________ Н

_”

Н

=_________

Ч

Н

________

------------------_----------' ._ __ .,І

1 І

І

_=,

_Я

____д.

КІІ

' 1д1с11

__

_Я

Н

____

'_ІІ

Ч

„______________

ЧЯ

'_'_

__'

___ _'_

,=___________'_

'_'_

'_

=______ '_'_

_

І

______________________________п_________І____

........._-------__.........._ :

_ °____________Н

ЯЯ

Н'_

__________________ ,=_________.._Я

Н

_______дІІІІ

_„_

'_Н

Ч_'_

д___________ '_

'_'_

'_

'_

г=_______'_

'_

_

_

________

ІІ

'в._

'І

ѕ._'І

І д;-.-

\ччі

ІІІІ........ ; д

.' 0- __

_________

__________

_.. __-__

-ь----- :

Н___

___ Н___

___

____

'І

І ...;,д.......1І........-1........

ІІІІ _'_Н

Ч_'_

_________

________І___________________и_.._

Ів__мпш§ц________ццццццццццпццццццццц

__

__________ д.

__`

_'_

ІІІІ _

Н_

__Й

_ІІ

и_м_п_________І____________________

_.І

-_.____


)a )b )c

X

Y

Z

O

3,1c

3,2c 3,3

c

3,4c

3,5c

3,6c

3,7c

3,8c

X

Y

Z

O

2,1c

2,2c

2,3c

2,4c

2,5c

2,8c

2,6c

2,7c

X

Y

Z

O 1,1c

1,2c

1,3c

1,4c

1,5c

1,8c

1,6c

1,7c

Рис. 3: прямi з класу C

c1,i — представники 8 можливих типiв прямих пiдкласу C1 (що є паралель-ними до площини Y OZ ) — рис. 3 a) ;c2,i — представники 8 можливих типiв прямих пiдкласу C2 (що є паралель-ними до площини ZOX ) — рис. 3 b) ;c3,i — представники 8 можливих типiв прямих пiдкласу C3 (що є паралель-ними до площини XOY ) — рис. 3 c) .

)a )b )c

O

X

Z

Y

3,1d

3,2d

3,3d

3,4d

3,5d

3,6d

O

X

Z

Y

1,1d

1,2d

1,3d

1,5d

1,6d

1,4d

O

X

Y

Z

2,1d

2,2d

2,3d

2,4d

2,5d

2,6d

Рис. 4: прямi з класу D

d1,i — представники 6 можливих типiв прямих пiдкласу D1 (що перетинаютьвiсь OX ) — рис. 4 a) ;d2,i — представники 6 можливих типiв прямих пiдкласу D2 (що перетинаютьвiсь OY ) — рис. 4 b) ;d3,i — представники 6 можливих типiв прямих пiдкласу D3 (що перетинаютьвiсь OZ ) — рис. 4 c) .


дддддддддддддддддддддддддддддддд

ддддддддддддддддддддддддддддд

ддддддддддддддддддддІдддддддддІ

51дддддд

Н

Н

Н

ддддддддддддїІйлввддддддддддЂ

ддддддддддддддддддд.-Ч

да

ддддддддддддд'дІІІІІ

ддд... ддддлд ..дддддддІдддддд..д дддддддддд..дддддддд

Х

Х

Чдд д

дддддо

дддддд ддддддддддддддддддддддд1дддддддддддддддд

дддддддддддд

д

дддддддддддддддддддд

ддддддддддн

ЧІІІ

дддддддддддддддд

ддд

ддддддддддддддддддддддддд

мммм мммммм'

ддддддд

ІІІІдЯ

дд

„ддд ддд дддддд... ддддддд д

оо\

............ і............. ............

ддддддддддд

д ддддІдддддддс

ддддддддд„дд.дддд

І

............................

..

ддддддддддддддддддддддддддддддґд

. .

..........................

.

..........=;ІІІ

дд

ѕ

дддд 1'

ддд`ддддддддддддд ддддддддддддддддд

І

ддддддддддддддддІ

І І

дддддддддддддд

ддд

ддддддддддддддддддддддд

и

дддддддддддддддддддддд

д

ддд

ЯЯ

ддд дддддд дддддддІдддддддддд

І .Ё..... ЁІ.чі....І

ІІІ.І...

............І..

І І ! Ід

ддддддддддддддддд

д

дд

дддддд ддддддд

дддддЁддддд

ддддд

І

дддд


.....-..........,Ё О: І

дд..

д

дддддддддддддддд.

'о

'д О

ІІІІІ`§дд §

дд \д§

\

ъ.........„..........'........д § 0

І г

~ьь~~~~~~~~_;~~~~ььь~~ м -м--ммммммммммммμдд

НН

Ч

да

Н

ІІІІ ддддддддддд

_з.....

\................І

;ІІ"›› .

.......

-0.

......

'І

І-

'І

4Ї'..

„_

................... ._-...

.

ІІІІІІІІІ

'І...

-І...

-І.

...........................

..... ....-і........,' ддддддддддддддд .

Ґ І

д


ІІІІд

,:д-ддддддддддддд

д

д

ІІ

ддддддддд

:д-ддд..д

ІІІІІμ

м мм.,

дддддддддддддддддддддддддддддддддд ддд дддддддддддН д

ддд

.__

.......д........................

.

......................

........

ІІІІІІ:ІІ

............................

ддддддддддддддддддддддддддд

ддддддддґдддддд

дд.-ддддддддддд

ддд...ІІІ

`§ І

..................

дддддддмддддддддддддддддд дд...

....

І

......;.

І

ддд...дддддддѕддддддддд ддддддддд -ддд

дд

дддд

ддд... дддддддд

дд

д

ддт..-

д д

...... ;і,'. 'І.І

_. . . ...д....

. . .

... .............;

д:'д~д.ддд

д

ддддддд

І ддддд І

дЂ д дЪ-

дд

. дддддддддддддддддддддддддддрдд

........ §д дд д

дд дддд

дддд

дд

.........:::\,...

ІІІІІ

а\1 і.....Ѕ”..........І ІІ

\\ .

иІ-І-І- І-І-І-І-ІіІ-І-

Н

{д

...„;..........

.....;.............

..............І...

дд

дд

Ф90990999д

дддддддд\

дддддддІІІІ

дддддддд

д

ІРІРІЬІРІРІІІІІЬІІІІІІІІ

ддддд

ІІІ

пдддддддддд

дддд

\ІІІ/

І

ддддддддддд§Осііізсс..

ддддддддддд

дддддд

ддд;

- хддд дддддддддддддддддд д

дд

идддддддддддддддддІ д д

-..°?.ддддддддддддддд

„ы

ІІІІ.І

---------Іцццццц

І .......Ь............ ,...дддддддддд дддддддд ІІІІ

цддддд „д

дд І

ддддддддддддддддддд д

І „'..'. `

ь ммммммммммммм '

ддддддд

~~~~~~~~~~цμ~ паль

*\ ІІІІ

д

ѕ


O

X

Z

Y

1e

2e

3e

4e

Рис. 5: прямi з класу E

ei — представники 4 можливих типiв прямих, що проходять через початоккоординат, не спiвпадають з жодною iз координатних осей та не належатьжоднiй з координатних площин (цiлком розташованi у двох протилежнихоктантах)

)a )b )c

O

X

Z

Y3,1f

3,2f

3,3f

3,4f

3,5f

3,6f

3,7f

3,8f

O

X

Z

Y

1,1f 1,2

f

1,3f

1,4f

1,5f

1,6f

1,7f

1,8f

O

X

Z

Y2,1f

2,4f

2,2f

2,3f 2,5

f

2,6f

2,7f

2,8f

Рис. 6: прямi з класу F

f1,i — представники 8 можливих типiв прямих пiдкласу F1 (що перетинаютьпiввiсь осi OX ) — рис. 6 a) ;f2,i — представники 8 можливих типiв прямих пiдкласу F2 (що перетинаютьпiввiсь осi OY ) — рис. 6 b) ;f3,i — представники 8 можливих типiв прямих пiдкласу F3 (що перетинаютьпiввiсь осi OZ ) — рис. 6 c) .

Випуск №4, 2014 153

дддддд

дддддд

д0

ддддддддддддд -ддд

дді дддддддіддддддд

дге,д

ІІІ

д

ддддддддд

ддддддддддддд

ддддддддддм

д

дддддддддд

ддддд

дд

дддддддддддд

ддд'д

ддд

дд дддддд дддддд дддд

ддддддддддддддддддд

ддд

ддддддддддІІІІ_ ІІІІІІ

дд

ддд ддд

дд .\,...дддддд..

?д ддддд дддоддд дддддд ддд

дддд\,ддд

д

ддддддд д

ддд дд


0

ІІдддд

дд

<дддд дд дд

дддддЯ дд\ д

ддддддддд

ІІІІФ

дддд

Фдддддд

?_

ддддд

ддд

3: ддд

д

дд `§

І


дд

ддддддддддйсдддддддддддддддддддддддддд

д"д

д

ІІІІІІ ддддд

дддддддддддддд д.. ддчдддддд

дддддддд

І


І І І ІддідддддІ І І

_І дд'аІ:дддІ І І І


ддддддд


:'§

ддддддд

.\

дддддддддддддддддддд.д

Я

ддддддддд ІІдддддддд

оамиамо

даддддд дд ддд

дїгдддддддддддддд-ддддддддд дддддддддддддддддддддддддддддддддддддддддддддддддд дддддддддддд

д

ддд дддддддґддддддд

д

ддддд

ддддддддддддддддддддд ддддддддддддд

ІІІІ

ддддд ддддддддддддд, дддддддыъдддддддддддддддмааиамомма дддддддд

дддддддддд дд

дддддд

ддд

д

дддддд дддддддд`дддддддддддд

дд

дддд

ддєдд

1

/ 'ії' д:,ддд

дддд

дд

д.дд

д

І І

ддд

ІІІІІІ ІІІІІ

ддддд

дддддддддддддддддддгдддд

дддддддддддддддІІІІІ

дддддддд

О д

мммммммьмммммммм

ддд

ддддддддд

доддддддддддддддддддддддддддддддддддддддддд ддддддддддддддддддд

З О

мммыыцммм --мм

__:ІІЧ!С

ддддддд

'д І І І І

дддд.дддд

І Ід

І д

ддд'

д І д

ддддддіддд

д І

ІІІІІІ

ддддддд

дддд

ддд

дддддддддддд ддд

.л§`ІІ

Ідддд .;,ддд

ддд

дд

ддд,дддд

дддддддддд ддддддд тд.

дддд

дддддддддд І

д

ІІІдддддддддд Я

ддддддддд дд д

ддддд

ддд

ддддддддддддд дд_

ІІІІІ

дддд

м,

ддддд

ІІІІ

,дддддддддд Н дддддддддддддддддддд дддддд дддддддддддддддд


1,1g

1,2g

1,3g

1,4g

1,5g

1,6g

X

Y

Z

X

Y

Z

X

Y

Z

X

Y

Z

X

Y

Z

X

Y

Z

Рис. 7: g1,i — представники 6 можливих типiв прямих пiдкласу G1 (що пере-тинають чверть площину X+OY+ )

2,1g

2,2g

2,3g

2,4g

2,5g

2,6g

X

Y

Z

X

Y

Z

X

Y

Z

X

Y

Z

X

Y

Z

X

Y

Z

Рис. 8: g2,i — представники 6 можливих типiв прямих пiдкласу G2 (що пере-тинають чверть площину Y+OX− )


››››

ІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІ_ІІ_О

А

________________І______________

____________________________ЕТНР____________________________ІІІІ_____ІІІІЁІІІІІІІІІІІІІ"Н__ІІІІІІІІІ_____ІІІІІІІІ____І_____ІІІІІІІІ"НІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІС__

_І __

_І

ШІ_

_НТ__пН '_пП

_________________'_'

ІІ_\ _____І_ІІ/__І___/_

______________ъ

__П_0П_І____ї_ПНШШ_ППН__ ПН_НІН__ШН"_ПШШШШШШ

ІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІ _П_И

І_____ІІІІІІІІ_____ІІІІІІІІІ__І_ІІІІІІІІІ____ІІІІІІІІ____ІІІІІІІІІІІ_____І{ІІІІІ_____ІІІІ____ІІІІІІІІ_____ІІІІІІІІ_____ІІНІІІІІ___І_ІІІІ{ІІІ_І__ІІІІІІ

І"І_____ІІІІІІІІІ_____ІІІІІІІІ__ІІ_____ІІІІІІІІ:____ІІІІІІІІ____ІІІІІІІІІ__І_ІІІІІІІІІ_І___ІІІІІІІІІІІІ____ІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІ_____ІІІІІІІІ_____ІІІІІІІІІ__Ч

ШІ_______________ІІІІІІІІІІІІІІЧ_______________________

НІІ\\Ш_\ІІа_Н0\ПН___\Нц_`_`/Ф\ІШНН\__ __

Е_`_ІІІІІІІІІІІІІІШ\_`__,Ш_______________ _`_____________ Н__________________________________________________________Л\#7:т_______Л_________;_____________________________"т:_:_>,_____ЛІ"__\________Л:Л&І_'Л_'_'_'І/І_:__ЧЬЛ

П\_ПІПІН_#_І___І\І_____|__“Ц#________###:

АІ'_

››››

______________

ІІІ

ІЇ\ЁІІїІІІ

П#І_'О'_К',І%:"`__І__:_:_А_$А'_4"`П_ж___І"`μІ,_ __§§__А.%“ыЧ___|ЇЕІІ^ГЛ..ф".І"Щ__#§__АІ_:^_І`т_+""`_и_

І

ІІ_І_І

___Ї__\_ \____ _'_'__АА_,АА __г_т_ї__'щ_'__'д_|_М_ш_Ґ“__м_

п_____І_μІμ_μμ

ІІІІІІІІІІІІІІ

ІЂ __

ІпІ _ІШ___І С"

иШ_ _Н\ІЦЩШ_ШШ________________"__________________________Ш________________"__"___________тШ__________________________________________________________Ё_Ш

`І

І[_ІП__ППІ,ІІІ_

,,,,,,,,_, #__,#_"„НЦМ,Ш_ШМ,ШМ,_____________________________________________________________________________________________________________НН_ц____________________________________________________Нн___~_______________________________

____'_________'_______________________'_______


3,1g

3,2g

3,3g

3,4g

3,5g

3,6g

X

Y

Z

X

Y

Z

X

Y

Z

X

Y

Z

X

Y

Z

X

Y

Z

Рис. 9: g3,i — представники 6 можливих типiв прямих пiдкласу G3 (що пере-тинають чверть площину X−OY− )

4,1g

4,2g

4,3g

4,4g

4,5g

4,6g

X

Y

Z

X

Y

Z

X

Y

Z

X

Y

Z

X

Y

Z

X

Y

Z

Рис. 10: g4,i — представники 6 можливих типiв прямих пiдкласу G4 (що пе-ретинають чверть площину Y−OX+ )

Випуск №4, 2014 155

ІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІ

______________________________________ІА_-ііі____АІШ'_'_п'__|мг_1μ'А_$_„'__|_ї__¬ТІ __'_ШШН1.ШпШНШШ__._`_ш

______________________________4______________~_Н________________________”_________________ШІМ____________________________________4________________ШЧ__________Ї*ІІІІІІІІІІІІІІІІЁ_______` __Ш,ШНО_,_ШμШП_[_ЩμШІ_,“__,П

__Ш__,ІШШШШ,Ш“І_ПШ\ІШШ_І_[ШШ"___ __ЩШ“___\І_І_І__,_І___\,1

_,ІР ІОС.____'_ЛІІ:ЦН_____І _____І0І_ІІІІІІІІІ_І__ІІІІІІІІІ_____ІІІІІІІІІ_____І{ІІІІІІ_____ІІІ____ІІІІІІІІ_____ІІІІІІІІІ_____І_ІІІІІ___І_ІІІ

І _С

ШІШ

ІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІ

________ПНП__Н_____Н___Н____Н_____Н___П__Пц_____

А_______________ААА_"_тН________'__гμ___'____`___г/м_|___+___1μ__м

П_І"__"\ППІ_І_ІН____ "_П_/І_ Л`_„_'_'ОІ_,\_ ________________щ_____________________________________ІІІІІІІІІІІІ______________________"________________________ІІІІІІІІІІІІ_____________“_”_________________________________Ш_\_ШИп.μ_"НШШ_ ІШцСШНП_`μПШг`\__`ШШЛП'_ШНЩпШІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІ

І;

И_____________________________Н"Н______________________________________________________________________________________”ІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІ_'Ђ____________________________________________________________Ї__Н_________________________П_Ш,_"\\Ш____,___н__

________І_§ _І__Н_«ІІ_ _Ш\ ПНП_ПНННПпμПАДІС__'__μ__'Е_Ч_Ііммμ__І__ІШ_'__Іш_μГ___Ь__Л_____ОО_ЁЧЛ_:__:____ЛЛ____:_<І__Л::__Н__:_:д/"_Ч

_ШШН_І_п_Ш І,_І_І/ІшШШЩҐШІІІІІІІІІ______________________________________________________________________________________________щІІІІІ_Іμ_„“_М1___________________________“_____________________ОООООи ___т_Ш,М;_Ш,_шт,_М

_

_

ІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІї%“_І_їдІІІІІІІ_____:\І::І_____:І____ІІІІІІІІ_____ІІІІІІІІІ_їт_“„ї""ІІІІ_____::І::_____:::_І__ІІІ:___ІІІІІ___'ІІІІ__їтґ_`Й__.,І__'ІІІІІ__'ІІ__ІІІ___ІІІ:___::І___:::_:_1___ІІІІІ___І

_Р


ВисновкиАпробацiя запропонованого змiстового наповнення теми «Пряма i пло-

щина у просторi» вiдбувалась пiд час викладання протягом першого семе-стру 2013–2014 н.р. спецкурсу (варiативної дисциплiни за вибором студентiв)«Вибранi питання математики» для студентiв 5 курсу фiзико-математичногофакультету ДВНЗ «Донбаський державний педагогiчний унiверситет», щонавчаються за освiтньо-професiйною програмою пiдготовки магiстра, спецi-альнiсть 8.04020101 Математика*.

Результати апробацiї дозволяють стверджувати, що залучення студен-тiв до розв’язування класифiкацiйних задач є саме тим видом навчально-наукової дiяльностi, який сприяє:

— розвитку вiдповiдних практичних навичок;— бiльш свiдомому засвоєнню базових понять та геометричних властивос-

тей i ознак, а не перетворюється у формальну їх перевiрку шляхом пiдста-новки вихiдних даних у необхiднi аналiтичнi рiвностi.

Проте слiд констатувати, що отримання критерiїв (необхiдних i достатнiхумов у виглядi вiдповiдної системи аналiтичних рiвностей та/або нерiвнос-тей) на початковому етапi викликали неабиякi труднощi навiть у сильнихстудентiв.

На нашу думку подальша розробка теми може бути пов’язана з виявлен-ням i систематизацiєю задач класифiкацiйного характеру в курсi аналiтичноїгеометрiї, зокрема що вiдносяться до «Теорiї прямих i площин у просторi».Однак слiд розумiти, що задачi класифiкацiйного характеру не повиннi статисамоцiллю. Для викладача будь-яка класифiкацiя повинна мати практичнийсенс, причому у тiй мiрi, в якiй вона допоможе йому здiйснювати цiлеспря-мований вибiр вiдповiдного методу навчання для розв’язання конкретнихдидактичних задач.

Крiм того, цiкавим, навiть з математичної точки зору, здається з’ясуванняпитання про задання в явному виглядi вiдношення еквiвалентностi, яке роз-шаровує множину прямих тривимiрного простору з фiксованою ДСК на шари(класи еквiвалентностi), кожен з яких мiстить лише тi прямi, що вiдносятьсядо одного зi 133 суттєво рiзних типiв прямих за наведеною класифiкацiєю.

Автори переконанi у тому, що дослiдницька дiяльнiсть, пов’язана iзрозв’язанням класифiкацiйних задач, має стати одним з основних видiв ро-боти не лише пiд час викладання спецкурсiв (з фундаментальних та фаховихдисциплiн за вибором студентiв), але й пiд час проведення курсiв пiдвищенняквалiфiкацiї вчителiв математики.



Лiтература1. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные не-

обходимыми сведениями из алгебры / П.С. Александров. — М.: Наука,1968. — 912 с.

2. Атанасян Л.С. Геометрiя. Частина 1: Навчальний посiбник для сту-дентiв фiзмат факультетiв педiнститутiв / Л.С. Атанасян. — К.: Вищашкола, 1976. — 456 с.

3. Бахвалов С.В. Аналитическая геометрия: Учебник для педагогическихинститутов / С.В. Бахвалов, Л.И. Бабушкин, В.П. Иваницкая. — М.:Просвещение, 1970. — 376 с.

4. Збiрник задач з аналiтичної геометрiї: Навч. посiбник / [уклад.: В.М. Ба-бич, С.В. Бiлун, В.М. Журавльов та iн.]; за ред. В.В. Кириченка. —[3-є вид.], пер. та випр. — Кам’янець-Подiльський: Аксiома, 2013. — 200 с.

5. Клочко В.I. Комп’ютерно-орiєнтована методика узагальнення i система-тизацiї знань та вмiнь в процесi навчання студентiв аналiтичної геометрiї:Монографiя / В.I. Клочко, М.Б. Ковальчук. — Вiнниця : ВНТУ, 2009. —116 с.

6. Моденов П.С. Аналитическая геометрия / П.С. Моденов. — М.: МГУ,1969. — 699 с.

7. Моденов П.С. Сборник задач по аналитической геометрии / П.С. Моде-нов, А.С. Пархоменко. — М.: Наука, 1976. — 384 с.

8. Мусхелишвили Н.И. Курс аналитической геометрии / Н.И. Мусхелишви-ли. — [4-е изд.] — М.: Высшая школа, 1967. — 655 с.

9. Погорелов А.В. Аналитическая геометрия / А.В. Погорелов. — [3 изд.] —М., Наука, 1968. — 176 с.

10. Резниченко С.В. Аналитическая геометрия в примерах и задачах (Алге-браические главы) / С.В. Резниченко. — М.: МФТИ, 2001. — 576 с.

11. Савенков А.I. Психологiчнi основи дослiдницького пiдходу до навчання /А.I. Савенков. — [2 изд.] — М., 2006. — 512 с.

12. Сгiбнєв А. Як на уроцi математики розвивати дослiдницькi умiння /А.Сгiбнєв // Математика. — 2009. — №6. — С. 18–21.

13. Фролова I.В. Науково-дослiдницька дiяльнiсть студентiв — передумо-ва випереджувального саморозвитку фахiвця [Електронний ресурс] /I.В. Фролова. // Науковi записки [Нiжинського державного унiверситетуiм. Миколи Гоголя]. Сер. : Психолого-педагогiчнi науки. — 2012. — № 7. —Режим доступу: http://nbuv.gov.ua/j-pdf/Nzspp_2012_7_46.pdf

14. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии /О.Н. Цубербиллер. — М.: Наука, 1964. — 336 с.

Випуск №4, 2014 157

Documents

ЗАДАЧАМИ КЛАСИФIКАЦIЙНОГО ХАРАКТЕРУddpu.edu.ua/fmk/publications/methodical articles/meth-art_10.pdf · УДК 37.016:[514.122+514.142] Кадубовський