Νόμος των ημιτόνων - eclass.sch.gr -G.pdf · τρέποντας τα σύνθετα κλάσματα σε απλά διαιρούμε διά του συντελεστή

ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 509

2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ

Νόμος των ημιτόνων Με τον νόμο αυτό μπορούμε να υπολογίσουμε τις πλευρές και τις γωνίες ενός τριγώνου όταν δεν είναι ορθογώνιο(μπορεί να είναι οποιοδήποτε τρί-γωνο). Οι πλευρές κάθε τριγώνου είναι ανάλογες προς τα ημίτονα των απέναντι γωνιών του.

Δηλαδή: ημΒβ

ημΑα

=ημΓγ

= .

γ

Α

β

ΓΒα

• Με το νόμο των ημιτόνων, αν γνωρίζουμε μια πλευρά ενός τριγώνου, την απέναντι γωνία της και μια άλλη πλευρά ή γωνία του, τότε μπο-ρούμε να υπολογίσουμε τα υπόλοιπα πρωτεύοντα στοιχεία του ( πλευ-ρές – γωνίες ).

Νόμος των συνημιτόνων Σ’ ένα τρίγωνο ΑΒΓ, αν γνωρίζουμε τις τρεις πλευρές του ή δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία τους, τότε με το νόμο των ημιτόνων δεν μπο-ρούμε να υπολογίσουμε τα υπόλοιπα στοιχεία του τριγώνου, αφού δεν γνω-ρίζουμε μια πλευρά και την απέναντι γωνία της . Σε κάθε τρίγωνο με πλευρές α, β και γ ισχύουν:

α2=β2 + γ2 – 2 β γ συνΑ β2=γ2 + α2 – 2 γ α συνΒ γ2=α2 + β2 – 2 α β συνΓ

• Με το νόμο των συνημιτόνων αν σ’ ένα τρίγωνο γνωρίζουμε τις τρεις πλευρές του ή δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία τους, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε τα υπόλοιπα πρωτεύοντα στοιχεία του.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

1. Να γράψετε το νόμο των ημιτό-νων στο τρίγωνο του διπλανού

σχήματος

ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 510 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Επειδή το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 1800 η άγνωστη γωνία του τριγώνου ισούται με 1800 − (800 + 300 ) = 1800 − 1100 = 700. Επομένως έχουμε:

000 ημ70ω

ημ30y

ημ80x

==

2. Να γράψετε το νόμο των ημιτόνων

α) στο τρίγωνο ΑΒΔ ==

β) στο τρίγωνο ΑΔΓ ==

ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Αρχικά από το τρίγωνο ΑΒΔ θα υπολογίσουμε την γωνία ∧

Β = 1800 − (700 + 300) = = 1800 − 1000 = 800 .Επομένως ο νόμος των η-

μιτόνων για το τρίγωνο αυτό γράφεται : 000 ημ70ημ80ημ30ΑΒ

=ΑΔ

=ΒΔ

β) Θα υπολογίσουμε από το τρίγωνο ΑΔΓ την γωνία ∧

ΑΔΓ η οποία

είναι 1800 − 700) = 1100 , ως παραπληρωματική της ∧

ΑΔΒ καθώς και

την γωνία = 1800 − (1100 + 200) = 1800 − 1300 = 500 . Σχετικά με τον

νόμο των ημιτόνων τώρα έχουμε :

∧

Γ

000 ημ50ημ110ημ20ΑΔ

=ΑΓ

=ΔΓ

3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες.

α) Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει αημΒ = βημΑ .

β) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι , , τότε ισχύει 060Α =∧

0100Γ =∧

00 ημ20γ

ημ100β

=

γ) Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει 222 α-γ+β=2βγσυνΑ

.δ) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι , , τότε ισχύει 070Α =∧

080Γ =∧

β2=γ2+α2–2γασυν80 0.

ε) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι , τότε ισχύει γ 2= α 2 + β2– αβ. 060Γ =∧

ΑΠΑΝΤΗΣΗ


α) Από τον νόμο των ημιτόνων έχουμε ότι:

β.ημΑα.ημΒ ή ==ημΒβ

ημΑα ,άρα η α είναι σωστή (Σ).

β) Από τον νόμο των ημιτόνων έχουμε ότι:

00 100ημ20β ή

ημΓγ

ημΒβ

ημγ

== , άρα η β είναι λάθος (Λ).

γ) Από τον νόμο των συνημιτόνων έχουμε ότι: α2=β2 + γ2 – 2βγ συνΑ ή 2βγσυνΑ= β2 + γ2-α2 , άρα η γ είναι σωστή (Σ). δ) Από τον νόμο των συνημιτόνων έχουμε ότι: β2=γ2 + α2 – 2γασυνΒ ή β2=γ2 + α2 – 2γασυν300 ,γιατί

, άρα η δ είναι λάθος (Λ). 00000 308070180180 =−−=−−=∧∧∧

ΓΑΒε) Από τον νόμο των συνημιτόνων έχουμε ότι:

γ2=α2 + β2 – 2αβσυνΓ ή γ2=α2 + β2 – 2αβσυν600 =21.222 αβ−β+α =

= α 2 + β2– αβ , άρα η ε είναι σωστή (Σ). 4. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες

σύμφωνα με το νόμο των συνημιτόνων x 2 =………. y 2 =……… ω 2= …………

ΑΠΑΝΤΗΣΗ Είναι : x2 = y2 + ω2 −2yω⋅συν750 , Παρόμοια y2 = x2 + ω2 −2xω⋅συν600 . Αρχικά θα υπολογίσουμε την άγνωστη γωνία η οποία είναι απέναντι της πλευράς ω . Η γωνία αυτή ισούται με 1800 − (600 + 750) = =1800 − 1350 = 450. Είναι τώρα ω2 = x2 + y2 − 2xy⋅συν450 .

5. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις α) Η γωνία x υπολογίζεται με το νόμο των ……

από την ισότητα ………..

β) Η πλευρά x υπολογίζεται με το νόμο των …. από την ισότητα ………

ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 512 γ) Η γωνία x υπολογίζεται με το νόμο των … από την ισότητα ……….

δ) Η πλευρά x υπολογίζεται με το νόμο των … από την ισότητα ………….

ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Η γωνία x υπολογίζεται με το νόμο των ημι-

τόνων από την ισότητα ημx10

ημ6012

0 =

β) Η πλευρά x υπολογίζεται με το νόμο των συ-νημιτόνων από την ισότητα x2 = 42 +52 − 2⋅4⋅5⋅συν500

γ) Η γωνία x υπολογίζεται με το νόμο των συνη-μιτόνων από την ισότητα 62 = 42 +52 −2⋅4⋅5⋅συνx ή

συνχ = =542

654 222

⋅⋅−+

δ) Η πλευρά x υπολογίζεται με το νόμο των ημι-

τόνων από την ισότητα 00 ημ7010

ημ50=

x

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ


ΑΣΚΗΣΗ 1

Να υπολογίσετε το x σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις . α)

β)

γ)

α) 00 ημ454

ημ30x

= σχ.(1) ή

22

4

21x= ή 2x =

28

x = ( )22

242

422

8== =

= 222

24=

β) 00 ημ12015

ημ45x

= σχ.(2) ή

23

15

22

x= ή

330

2x2= ή

2 3 ⋅x = 30 2 ή

x = 3215

32230= =

= ( ) 653

615

3

32152 ==⋅

α) Στη σχέση (1) αντικαθιστούμε τις τιμές

του ημ300 με 21

και του ημ450 με 22

κάνουμε τις πράξεις τρέποντας τα σύνθετα κλάσματα σε απλά διαιρούμε διά του συ-ντελεστή του αγνώστου και τρέπουμε το

κλάσμα 2

4 σε ισοδύναμο με ρητό παρο-

νομαστή πολλαπλασιάζοντας τους όρους του

επί 2 β) Στη σχέση (2) αντικαθιστούμε τις τιμές

του ημ450 με 22

και του ημ1200 = ημ(1800

− 600) = ημ600 = 23κάνουμε τις πράξεις

τρέποντας τα σύνθετα κλάσματα σε απλά διαιρούμε διά του συντελεστή του αγνώστου

και τρέπουμε το κλάσμα 3215

σε ισοδύ-

ναμο με ρητό παρονομαστή πολλαπλασιάζο-

ντας τους όρους του επί 3

γ) Στη σχέση (3) αντικαθιστούμε τις τιμές

ΛΥΣΗ


γ) ημ45

8ημ120

x0 = σχ.(3) ή

22

8

23

x= ή

216

3x2= ή

316 x 22 =⋅ ή

x = =⋅

==2)2(238

238

22316

= 642

68=

του ημ1200 = ημ(1800 − 600) = ημ600 = 23

και του ημ450 με 22

Κάνουμε τις πράξεις τρέποντας τα σύνθετα κλάσματα σε απλά Διαιρούμε διά του συντελεστή του αγνώ-

στου και τρέπουμε το κλάσμα 238σε

ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή πολλαπλα-

σιάζοντας τους όρους του επί 2

ΑΣΚΗΣΗ 2


β)

γ)

ΛΥΣΗ

α) 0ημ304

ημx8

= σχ. (1) ή

214

ημx8

= ή 18

ημx8

= ή

8⋅ημx = 8 ή ημx = 1 ή x = 900

β) 0ημ12035

ημx5

= σχ.(2) ή

α) Στη σχέση (1) αντικαθιστούμε το ημ300 =

21

Κάνουμε τις πράξεις τρέποντας τα σύνθετα κλάσματα σε απλά Διαιρούμε διά του συντελεστή του αγνώστου. Από τους τριγωνομετρικούς πίνακες βρίσκου-με ότι η γωνία x είναι 900 . β) Στη σχέση (2) αντικαθιστούμε τις τιμές


2335

ημx5

=

3310

ημx5

= ή 1

10ημx

5= ή

10⋅ημx = 5 ή

ημx = 21

105= ή x = 300

γ) 0ημ6033

ημx6

= σχ. (3) ή

2333

ημx6

= ή 336

ημx6

= ή

11

ημx1

= ή ημx = 1ή x = 900

του ημ1200 = ημ(1800 − 600) = ημ600 = 23

Κάνουμε τις πράξεις τρέποντας τα σύνθετα κλάσματα σε απλά και κάνοντας τις σχετι-κές απλοποιήσεις . Επιλύουμε ως προς ημx. Από τους τριγωνομετρικούς πίνακες βρίσκου-με ότι η γωνία x είναι 300 . γ) Αντικαθιστούμε στην σχ.(3) το ημ600 με

23

Κάνουμε τις πράξεις , τρέποντας το σύνθετο κλάσμα σε απλό ,καθώς επίσης και τις σχε-τικές απλοποιήσεις, επιλύοντας ως προς ημx. Από τους τριγωνομετρικούς πίνακες βρίσκου-με ότι η γωνία x είναι 900 .

ΑΣΚΗΣΗ 3

Να υπολογίσετε τις υπόλοιπες γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ, όταν

α) α = 2 , β= 2 και β) β=030Β =∧

2 , γ= 3 και 060Γ =∧

ΛΥΣΗ

α) ημΒβ

ημΑα

= ή

0ημ302

ημΑ2

= σχ.(1) ή

212

ημΑ2

= ή 1

22ημΑ

2=

12

ημΑ1

= ή 2 ⋅ημΑ = 1ή

ημΑ =22

)2(2

21

2== ή

α) Εφαρμόζουμε τον νόμο των ημιτόνων Αντικαθιστούμε τα γνωστά στοιχεία

Αντικαθιστούμε στην σχ.(1) το ημ300 με 2

1

Κάνουμε τις πράξεις , τρέποντας το σύνθετο κλάσμα σε απλό ,καθώς επίσης και τις σχε-τικές απλοποιήσεις Επιλύουμε ως προς ημΑ και τρέπουμε το

κλάσμα 2

1 σε ισοδύναμο με ρητό παρονο-

μαστή πολλαπλασιάζοντας τους όρους του

επί 2 Από τους τριγωνομετρικούς πίνακες βρί-

σκουμε την γωνία ∧

A


∧

A = 450 και ή = 1350

και

0105Γ =∧ ∧

A015Γ =

∧

β) ημΓγ

ημΒβ

= ή

0ημ603

ημΒ2

= σχ.(2) ή

233

ημΒ2

= ή332

ημΒ2

= ή

12

ημΒ2

= ή 2⋅ημΒ = 2 ή

ημΒ = 22 ή = 450 και = 750

∧

B∧

A

β) Εφαρμόζουμε τον νόμο των ημιτόνων Αντικαθιστούμε τα γνωστά στοιχεία Αντικαθιστούμε στην σχ.(2) το ημ600 με

23

Κάνουμε τις πράξεις , τρέποντας το σύνθετο κλάσμα σε απλό ,καθώς επίσης και τις σχε-τικές απλοποιήσεις Επιλύουμε ως προς ημΒ Από τους τριγωνομετρικούς πίνακες βρί-

σκουμε την γωνία ∧

B

ΑΣΚΗΣΗ 4

Αν σ’ τρίγωνο ΑΒΓ είναι , β = 10 , α =030Β =∧

310 , τότε να απο-δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο ή ισοσκελές .

ΛΥΣΗ

ημΒβ

ημΑα

= ή

0ημ3010

ημΑ310= σχ.(1) ή

211

ημΑ3

= ή 12

ημΑ3

=

2⋅ημΑ = 3 ή ημΑ = 23

Τότε : =60∧

A 0 ή = 1200 ∧

A

Εάν =60∧

A 0 τότε είναι = ∧

Γ= 1800− (600 +300) =

Εφαρμόζουμε τον νόμο των ημιτόνων Αντικαθιστούμε τα γνωστά στοιχεία

Αντικαθιστούμε στην σχ.(1) το ημ300 με 21

Κάνουμε τις πράξεις , τρέποντας το σύνθετο κλάσμα σε απλό ,καθώς επίσης και τις σχε-τικές απλοποιήσεις Επιλύουμε ως προς ημΑ Από τους τριγωνομετρικούς πίνακες βρί-

σκου-με την γωνία ∧

A

Παρατηρούμε ότι =600 . Επειδή όμως είναι ∧

Aημ1200 = ημ(1800− 600) = ημ600 η γωνία ∧

A είναι δυνατόν να είναι και 1200


= 1800 − 900 = 900

Άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με ορθή γωνία την . ∧

Γ

Εάν = 1200 τότε =1800− (1200 +300) = 1800 − 1500 = 300 = . Άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές με ΑΒ = ΑΓ.

∧

A∧

Γ∧

Β

ΑΣΚΗΣΗ 5

Να υπολογίσετε το μήκος της διαδρομής x του εναέριου σι-δηρόδρομου στο διπλανό σχήμα .( Να χρησιμοποιήσετε τριγω-νομετρικούς πίνακες).

Θα προσδιορίσουμε την τρίτη γωνία του τριγώνου που είναι 1800−(1300+300)=1800−1600= = 200.

Είναι τώρα 00 ημ20m200

ημ130x

= ή

0,342m200

0,766x

= ή

Ο,342⋅x = 0,766⋅200m ή

x = =0,342

m2,153 448m

Αφού γνωρίζουμε τις δύο από αυτές, από τις 1800 θα αφαιρέσουμε το άθροισμα των δύο γνωστών γωνιών. Εφαρμόζουμε τον νόμο των ημιτόνων. Για τον υπολογισμό του ημ1300 έχουμε: ημ1300= = ημ(1800−500)= ημ500=0,766 όπως διαπιστώ-νου-με από τους τριγωνομετρικούς πίνακες. Επιλύουμε την εξίσωση

ΛΥΣΗ

Ένας μαθητής απευθυνόμενος στον καθηγητή του των Μαθηματικών είπε - Κύριε, σε ένα βιβλίο βρήκα μια άσκηση στην οποία έδινε ένα τρίγωνο

ΑΒΓ με α =12, β = 6 , και ζητούσε να βρεθούν τα υπόλοιπα στοιχεία του. Πώς λύνεται ;

060Β =∧

Ο καθηγητής αφού είδε την άσκηση τού είπε : - Κάποιο λάθος έχεις κάνει, γιατί δεν υπάρχει τέτοιο τρίγωνο. Πώς το κατάλαβε ο καθηγητής ;

ΑΣΚΗΣΗ 6

Ο καθηγητής εφάρμοσε τον νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο και διαπίστω-σε ότι:

ΛΥΣΗ


ημΒβ

ημΑα

= ή 0ημ606

ημΑ12

= ή 0,866

6ημΑ12

= ή 6⋅ημΑ = 0,866⋅12 ή ημΑ =

6392,10 = =1,732>1 το οποίο δεν είναι δυνατό να συμβαίνει.

Οι δυνάμεις F1 , F2 έχουν συνι-σταμένη F = 10 N που σχηματίζει με την F1 γωνία 280 και με την F2 γωνία 350.Nα υπολογίσετε τις δυ-νάμεις F1 , F2 . ( Να χρησιμοποιήσετε τριγωνομε-τρικούς πίνακες).

ΑΣΚΗΣΗ 7

Αρχικά θα υπολογίσουμε τις γω-νίες του τριγώνου ΟFF1 και έχου-

με: Ο F1 = F F2 = 350. ∧

F∧

OΘα υπολογίσουμε τώρα την γωνία F1 η οποία είναι: F1= 180−(280+350) =1170 Έχουμε :

02

01

0 ημ28F

ημ35F

ημ117F

== ή

02

01

0 ημ28F

ημ35F

ημ63F

== ή

0,469F

0,573F

0,89110N 21 ==

Προκύπτουν τώρα οι εξισώσεις:

0,573F

0,89110N 1= (1) και

0,469F

0,89110N 2= (2)

Οι γωνίες είναι ίσες ως εντός εναλλάξ Αφαιρούμε από τις 1800 το άθροισμα των δύο γνωστών γωνιών. Εφαρμόζοντας κατάλληλα τον νόμο των ημι-τό-νων. Είναι ημ1170 = ημ(1800−630) = ημ630. Βρίσκουμε τα ημίτονα των 630, 350και 280 από τους τριγωνομετρικούς πίνακες. Από την επίλυση των εξισώσεων (1) και (2) βρίσκουμε τις δυνάμεις F1 και F2.

ΛΥΣΗ

Από την επίλυση της εξίσωσης (1) έχουμε:0,891⋅F1=0,573⋅10N ή F1=

0,891N73,5 = 6,43N.


Παρόμοια από την επίλυση της (2) έχουμε: 0,891⋅F2=0,469⋅10N ή

F2= 0,891N69,4 = 5,26N

ΑΣΚΗΣΗ 8

Ένας τοπογράφος για να μετρήσει το ύψος ενός ψηλού κτιρίου το-ποθέτησε το γωνιόμετρό του στο σημείο Α και βρήκε τη γωνία

Ε Ζ = 460. Στη συνέχεια μετακι-νήθηκε κατά 30m, τοποθέτησε το γωνιόμετρο στη θέση Β και βρήκε

τη γωνία Ε Γ= 260. Ποιο ήταν το ύψος του κτιρίου, αν το γωνιόμε-τρο έχει ύψος 1,4 m ;(Να χρησι-μοποιήσετε τριγωνομετρικούς πί-νακες).

∧

Γ

∧

Δ

Δραστηριότητα Η άσκηση 8 αποτελεί ένα υπόδειγμα για να κάνετε και εσείς ανάλογες μετρή-σεις μεταξύ απρόσιτων σημείων. Αν δεν έχετε γωνιόμετρο , τότε μπορείτε να τοποθετήσετε ένα διαβήτη μπροστά στο μάτι σας , ώστε το ένα σκέλος του να είναι οριζόντιο. Αφού ανοίξετε το άλλο σκέλος, να μετρήσετε τη γωνία που σχηματίζεται μ’ ένα μοιρογνωμόνιο. Μπορείτε να χωριστείτε σε ομάδες , να μετρήσετε όλοι την ίδια απόσταση (π.χ. το ύψος του σχολείου σας) , να συγκρίνετε τις μετρήσεις σας και να δι-ορθώσετε πιθανά λάθη. Εάν γνωρίζαμε το μήκος του τμήματος ΓΕ που είναι υποτείνουσα του ορθο-γωνίου τριγώνου ΖΓΕ θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε το μήκος της κά-θετης πλευράς του ΕΖ και από αυτό το ύψος του κτιρίου. Αρχικά θα εργα-σθούμε στο τρίγωνο ΓΔΕ, για να υπολογίσουμε το μήκος της ΓΕ.

ΛΥΣΗ

Θα υπολογίσουμε τις γωνίες του τριγώνου ΓΔΕ

Είναι: Δ Ε = 1800−Ε Ζ = ∧

Γ∧

Γ1800−460=1340. Ακόμα είναι :

Δ Γ = 1800−(Ε Γ + Ε Δ) ή ∧

E∧

Δ∧

Γ

Οι γωνίες ∧

ΔΓΕ και∧

ΕΓΖ είναι παραπληρωμα-τικές. Από τις 1800 αφαιρούμε το άθροισμα των


Δ Γ = 1800−(260+1340) ή ∧

E

Δ Γ = 1800−1600 = 200 ∧

EΈχουμε τώρα :

∧==ΔΓΕημ

ΕΔημΔΓΕ

ημΕΓΔ ή

00 ημ26ΓΕ

ημ2030m

= ή

0,438ΓΕ

0,34230m

= ή

0,342⋅ΓΕ = 0,438⋅30m ή 0,342⋅ΓΕ

= 13,14m ή ΓΕ = m42,380,342

m14,13=

γωνιών ∧

ΕΔΓ και ∧

ΕΓΔ . Εφαρμόζουμε τον νόμο των ημιτόνων στο τρί-γωνο ΓΔΕ . Από τους τριγωνομετρικούς πίνακες βρίσκουμε τα ημ200 , ημ260 και τέλος υπολογίζουμε το μήκος του ΓΕ

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΖΓΕ έχουμε: ημ = ∧

ΖΓΕΕΓΕΖ ή

ημ460 = m42,38

ΕΖ ή ΕΖ = = ημ460⋅38,42m = 0,719⋅38,42m = 27,62m. Για να

βρούμε τέλος το ύψος του κτιρίου αρκεί στο μήκος του ΕΖ να προσθέσουμε το ύψος του γωνιομέτρου. Το ύψος λοιπόν είναι: 27,62m + 1,4m = 29,02m ΑΣΚΗΣΗ 9


β)

γ)

δ)

ΛΥΣΗ

Σε κάθε μία των περιπτώσεων θα εφαρμόσουμε τον νόμο των συνημιτόνων.

α ) Είναι : x2 = 72 + (3 2 )2 −2⋅7⋅(3 2 )συν450 = 49+18−42 222 =

=67−422

)2( 2

= 67−42⋅22 = 67−42 = 25, άρα x = 525 = .


β) Είναι : 72 = 32+52 − 2⋅3⋅5⋅συνx ή 49 = 9+25− 30⋅συνx ή 30συνx = =9 + 25−49 ή 30συνx = −15 ή συνx = −0,5 = − συν600 = συν(1800−1200) = =συν1200 Άρα x = 1200

γ) Είναι:x2=42+(2 3 )2−2⋅4⋅2 3 ⋅συν300 =16+12−16233 =

=28−162

)3( 2

=28−1623 =28−8⋅3 = 28−24 = 4, άρα x = 4 = 2 .

δ) Είναι : 132 = 122 + 52 −2⋅12⋅5⋅συνx ή 169 = 144+25−120συνx ή 120συνx = 169−169 =0 ή συνx = 0 ή x = 900. Να υπολογίσετε τις ίσες πλευρές β, γ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ, αν

και α =0120Α =∧

33 .

ΑΣΚΗΣΗ 10

ΛΥΣΗ

Εάν θέσουμε β = γ = x , αφού το τρίγωνο είναι ισοσκελές , με εφαρμογή του νόμου των συνημιτόνων έχουμε: α2 = x2 + x2 −2⋅x⋅x⋅συν1200 ή

ή (3 3 )2 = 2x2 −2x2⋅συν1200 ή 32⋅( 3 )2 = 2x2 −2x2⋅(−21 ) ή

(γιατί συν1200 = συν(180−600) = − συν600 = −21 )

27 = 2x2+x2 ή 27= 3x2 ή x2 = 93

27= ή x = 39 = .

Σε κύκλο με ακτίνα R = 10 c m , η χορδή ΑΒ αντιστοιχεί σε τόξο 1200. Να υπολο-γίσετε το μήκος της χορδής.

ΑΣΚΗΣΗ 11

ΛΥΣΗ

Επειδή η επίκεντρη γωνία = 1200 εφαρμόζοντας τον νόμο των συνη-μιτόνων στο τρίγωνο ΑΟΒ έχουμε :

∧

ΑΟΒ

(ΑΒ)2 = (ΟΑ)2 + (ΟΒ)2−2⋅(ΟΑ)⋅(ΟΒ)⋅συν1200 ή


(ΑΒ)2 =102 + 102 − 2⋅10⋅10⋅συν1200=100+100−200(−21 )=300 ή

ΑΒ = 31031003100300 =⋅=⋅= cm

ΑΣΚΗΣΗ 12Να υπολογίσετε τις διαγωνίους παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ με ΑΒ = 4 ,

ΒΓ = 3 και . 0120Α =∧

Αρχικά παρατηρούμε ότι = 1800− = 1800−1200 = 600 ως παραπληρω-ματικές.

∧

B∧

AΛΥΣΗ

Εφαρμόζουμε τον νόμο των συνημιτόνων. α) Στο τρίγωνο ΑΒΓ και έχουμε:

(ΑΓ)2=(ΑΒ)2+(ΒΓ)2−2⋅(ΑΒ)⋅(ΒΓ)⋅συν600=42+32−2⋅4⋅3⋅21 =16+9−12=13

οπότε συμπεραίνουμε ότι ΑΓ= 13 β) Στο τρίγωνο ΑΒΔ, αφού παρατηρήσουμε ότι ΑΔ = ΒΓ, ως απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου και έχουμε:

(ΒΔ)2=(ΑΒ)2+(ΑΔ)2−2⋅(ΑΒ)⋅(ΑΔ)⋅συν1200 = 42+32−2⋅4⋅3⋅(−21 )=16+9+12=

=37 άρα ΒΔ = 37 ΑΣΚΗΣΗ 13 Μια τεχνική εταιρεία θέλει να καταθέσει μια προσφορά για την κατασκευή μιας σήραγγας ΑΒ. Ένας μηχανικός της εται-ρείας με τους συνεργάτες του έστησε ένα γωνιόμετρο στη θέση Μ που η απόστασή του από το Α ήταν 100 m και από το Β ήταν 154 m . Αφού μέτρησε τη γωνία

, ισχυρίστηκε ότι με αυτά 073ΒΜΑ =∧

τα στοιχεία μπορούσε να υπολογίσει το μήκος της σήραγγας. Είχε δίκιο ή άδικο ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

ΛΥΣΗ


Ο μηχανικός είχε δίκιο, γιατί με στοιχεία που γνωρίζει, μετά τις μετρή-σεις που έκανε, εφαρμόζοντας τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΜΑΒ μπορεί να υπολογίσει το μήκος της σήραγγας ΑΒ. Συγκεκριμένα έχουμε: Στο τρίγωνο ΑΒΜ και έχουμε: (ΑΒ)2=(ΑΜ)2+(ΒΜ)2−2⋅(ΑΜ)⋅(ΒΜ)⋅συν730=1002+1542−2⋅100⋅154⋅0,29= =10000+23716-8932=24784 οπότε συμπεραίνουμε ότι ( ) m 42,15724784ΑΓ == ΑΣΚΗΣΗ 14

Ένας πυροσβεστήρας αυτόματης κατά-σβεσης πρόκειται να στηριχτεί πάνω από τον καυστήρα ενός καλοριφέρ. Ένας τε-χνικός θέλει να κατασκευάσει τη βάση στήριξής του και διαθέτει τρεις μεταλλι-κές βέργες ΑΒ = 0,70 m , ΑΓ = 1,30 m και ΒΓ=1,80 m . Για να κολλήσει όμως κατάλληλα τις βέργες ΑΒ , ΑΓ , όπως φαίνεται στο σχήμα , πρέπει να γνωρίζει τη γωνία ω. Μπορείτε εσείς να την υπο-λογίσετε, ώστε να βοηθήσετε τον τεχνικό ;

Θα εφαρμόσουμε τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ και θα υπο-λογίσουμε την γωνία ω.

ΛΥΣΗ

(ΒΓ)2 = (ΑΒ)2+(ΑΓ)2−2⋅(ΑΒ)⋅(ΑΓ)συνω ή 1,82 = 0,72+1,32 −2⋅(0,7)⋅(1,3)συνω ή 1,82.συνω = 0,49+1,69−3,24 ή 1,82.συνω = −1,06 ή

1,82συνω = −1,06 ή συνω = − 582,082,106,1

−= ή συνω = − συν540 περίπου.

Επειδή − συν540 = συν(1800 −540) = συν1260 προκύπτει ότι ω = 1260.


ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1. Να αποδείξετε ότι:

α) ( ) =2συνxημx1 +− ( )( )συνx1ημx12 +− β) ημx

2συνx1ημx

ημxσυνx1

=+

++

ΛΥΣΗ α) = ( )2συνxημx1 +−=12 + ημ2x + συν2x −2ημx +2συνx −2ημxσυνx = =1+1−2ημx+2συνx−2ημxσυνx= = 2 −2ημx+2συνx−2ημxσυνx = = 2(1 −ημx+συνx−ημxσυνx ) = =2[(1 −ημx) +συνx⋅(1 −ημx)] = =2(1 −ημx)⋅(1 −ημx).

β) συνx1ημx

ημxσυνx1

++

+ =

= =⋅+

⋅+

+⋅+⋅+

ημxσυνx)(1ημxημx

συνx)(1ημxσυνx)(1συνx)(1

= =⋅+

++⋅

+ημxσυνx)(1

xημσυνx)(1ημx

συνx)(1 22

= =+⋅++συνx)(1ημx

συνx)(1 2 xημ 2

=+⋅

+++συνx)(1ημx

συν1 2 xημxσυνx2 2

= =+⋅

+=

+⋅++

συνx)(1ημx2

συνx)(1ημx11 συνx2συνx2

=ημx

2συνx)(1ημx

2(1=

+⋅+ συνx)

α) Θεωρούμε το 1ο μέλος της σχέ-σης που θέλουμε να αποδείξουμε και κάνουμε τις πράξεις. Βρίσκουμε το ανάπτυγμα του τε-τραγώνου Θέτουμε ημ2x + συν2x = 1 Παραγοντοποιούμε εξάγοντας κοινό παράγοντα το 2 και στη συνέχεια με ομαδοποίηση. β) Θεωρούμε το 1ο μέλος της σχέ-σης που θέλουμε να αποδείξουμε και κάνουμε τις πράξεις. Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα παρατηρώντας ότι το ΕΚΠ των πα-ρονομαστών είναι το γινόμενο

συνx)(1ημx ⋅ + . Κάνουμε τις σχετικές πράξεις Βρίσκουμε το ανάπτυγμα του τετρα-γώνου. Θέτουμε ημ2x + συν2x = 1 Παραγοντοποιούμε εξάγοντας κοινό παράγοντα το 2 και κάνουμε τις σχετικές απλοποιήσεις

2. Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οxy δίνεται το σημείο Α ( 4 , 0) και το σημείο Μ που έχει τετμημένη – 5 και η απόστασή του από το Ο εί-

ναι 13. Αν ω είναι η γωνία ,ΜΟΑ∧

να υπολογίσετε το συνω και την απόσταση ΑΜ .

ΛΥΣΗ


Αφού γνωρίζουμε την τετμημένη του σημείου Μ η οποία είναι x = − 5 και

την απόσταση του από το Ο η οποία είναι ρ =13 το συνω =13

5ρx −=

Θα υπολογίσουμε την τεταγμένη y του σημείου M . Είναι ρ2 = x2+y2 ή 132 = (−5)2+y2 ή 169 = 25+y2 ή y2 = 169−25 =144 ή y = 12144 ±=± Οπότε Μ(−5,12) ή Μ((−5,−12) και επομένως :

( ) ( ) ( ) 152251448101245AM 22 ==+=−+−−= ή

( ) ( ) ( ) 152251448101245AM 22 ==+=−−+−−=

3. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΒΓ=30cm , 045Β =∧

και 075=∧

Γ . Να χαράξετε τη διχοτόμο ΑΔ του τριγώνου ΑΒΓ , να εξηγήσετε γιατί το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές και να υπολογίσετε το μήκος της διχοτόμου ΑΔ .

ΛΥΣΗ Αρχικά θα υπολογίσουμε την

γωνία του τριγώνου ΑΒΓ .

Είναι = 1800−( + )= =1800−(450+750) = 1800−1200 = =600.

∧

Α∧

Α∧

B∧

Γ

Άρα η = 300 αφού η ΑΔ

είναι η διχοτόμος της γωνίας .

∧

ΓΑΔ∧

Α

ΔΒ Γ

Α

Θα υπολογίσουμε τώρα την γωνία του τριγώνου ΑΔΓ. ∧

ΑΔΓ

Είναι = 1800−( + ) = 1800−(300+750) = 1800−1050 = 750 = . ∧

ΑΔΓ∧

ΓΑΔ∧

Γ∧

Γ

Επομένως το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές αφού , οπότε ΑΔ = ΑΓ.

075==∧∧

ΓΑΔΓ

Για να υπολογίσουμε τώρα το μήκος της διχοτόμου ΑΔ αρκεί να υπολογί-σουμε το μήκος της ΑΓ .Αυτή θα υπολογισθεί με εφαρμογή του νόμου των ημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ. Έχουμε:

ημΑημΒΑΓ ΒΓ

= ή 00 ημ60cm30

ημ45ΑΓ

= ή 0,866

cm300,707ΑΓ

= ή

0,866⋅ΑΓ = 0,707⋅30cm ή ΑΓ = cm 49,240,866

21,21= . Άρα και ΑΔ = 24,49cm.


4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόμος του ΑΔ . Να αποδείξετε ότι:

α)1ημΑ

ημφΒΔγ

= β) 2ημΑ

ημωΓΔβ

= γ)

ΓΔΒΔ

βγ=

ΛΥΣΗ

α) 1ημΑημφ

ΑΒ ΒΔ= ή

1ημΑημφγ ΒΔ

= ή

1ημΑ

ημφγ=

ΒΔσχ(1).

β) 2ημΑημω

ΑΓ ΔΓ= ή

2ημΑημωβ ΔΓ

= ή

2ημΑημωβ

=ΔΓ

σχ(2)

γ) Είναι ημφ = ημ(1800−ω) = ημω σχ(3) παρόμοια είναι ημΑ1= ημΑ2, σχ(4) Από τις σχέσεις (3) και (4) συμπεραίνουμε ότι τα δεύτερα μέλη των σχέσεων (1) και (2) είναι ίσα, αφού έχουμε κλάσματα με ί-

σους όρους. Επομένως ΒΔγ =

ΔΓβ ή

ΓΔΒΔ

=βγ

α) Εφαρμόζουμε τον νόμο των ημιτόνων στα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ Αλλάζουμε τους μέσους όρους των αναλογιών εφαρμόζοντας γνωστή ιδιότητα β) Εφαρμόζουμε τον νόμο των ημιτόνων στα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ Αλλάζουμε τους μέσους όρους των αναλογιών εφαρμόζοντας γνωστή ιδιότητα γ) Οι γωνίες ω και φ είναι πα-ραπληρωματικές Οι γωνίες Α1 και Α2 είναι ίσες γιατί η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Α Αλλάζουμε τους μέσους όρους των αναλογιών εφαρμόζοντας γνωστή ιδιότητα

5. α) Να αποδείξετε ότι το εμβα-δόν του τριγώνου ΑΒΓ του δι-πλανού σχήματος είναι

Ε = ημΑγβ21

β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του κήπου ΑΒΓ του διπλανού σχήμα-τος .


ΛΥΣΗ α) Παρατηρούμε ότι το ΓΔ είναι το ύψος του τριγώνου που αντιστοιχεί στην πλευρά ΑΒ = γ. Επομένως το εμβαδόν του τριγώνου είναι

Ε = 21 (ΑΒ)⋅(ΓΔ). (1)

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΓΑΔ προκύπτει ότι ημ =∧

ΓΑΔΑΓΓΔ ή

ΓΔ = (ΑΓ)⋅ ημ . Οι γωνίες όμως και είναι παραπληρωμα-

τικές, επομένως είναι ημ = ημ(1800− ) = ημ = ημ .

∧

ΓΑΔ∧

ΒΑΓ∧

ΓΑΔ∧

ΓΑΔ∧

ΒΑΓ∧

ΒΑΓ∧

Α

Άρα τελικά ΓΔ = β⋅ημ , (2). Η σχέση τώρα (1) αν λάβουμε υπό όψη μας

την σχέση (2) γίνεται Ε =

∧

Α

21 γβημΑ =

21 βγημΑ.

β) Θα εφαρμόσουμε τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ και θα υπολογίσουμε το συνΑ και στη συνέχεια την γωνία Α. Είναι (ΒΓ)2 = (ΑΒ)2 + (ΑΓ)2 − 2(ΑΒ)(ΑΓ)συνΑ ή α2 = β2 +γ2 − 2βγσυνΑ ή (28m)2 = (12m)2 + (20m)2 − 2(12m)(20m)συνΑ ή 784m2 = 144m2 +400m2 − 480m2συνΑ ή 480m2συνΑ=144m2+400m2−784m2 ή

480m2συνΑ = −240m2 ή συνΑ = 21

480mm240

2

2

−=− .

Έχουμε λοιπόν συνΑ = 21

− = −συν600 = −συν(1800−1200) = συν1200. Άρα

= 1200. Σύμφωνα τώρα με τον τύπο του εμβαδού του τριγώνου που είδα-

με στο ερώτημα (α) είναι: Ε =

∧

A

21 (ΑΒ)(ΑΓ)ημΑ =

21 (20m)(12m)⋅ημ120 =

21 240m2 ⋅ημ(1800−600) = =120m2⋅ημ600 = 120m2⋅0,866 = 103,92m2.

6. α) Αν σ’ ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ημ2Α = ημ2Β + ημ2Γ, τότε να απο-

δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. β) Αν σ’ ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ημ(Β+Γ) + συν (Β – Γ ) = 2, τότε να

αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. ΛΥΣΗ

ημΓγ

ημΒβ

ημΑα

== ή α) Από τον νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε Υψώνουμε τα μέλη της ισότητας αυτής στο τετράγωνο και έχουμε.


2

2

2

2

2

2

(ημΓ)γ

(ημΒ)β

(ημΑ)α

== ή

Γημγ

Βημβ

Αημα

2

2

2

2

2

2

== ή

ΓημΒημγβ

Αημα

22

22

2

2

++

= (1) ή

Aημγβ

Αημα

2

22

2

2 += σχ(2).ή

α2 = β2 + γ2

Γνωρίζουμε ότι ένα έχουμε ίσα μεταξύ τους κλάσματα τότε αυτά είναι ίσα και με ένα κλά-σμα που έχει αριθμητή το άθροισμα των αριθμητών και παρονομαστή το άθροισμα των παρονομαστών. Επειδή ημ2Α = ημ2Β + ημ2Γ αντικαθιστούμε στην (1) το ημ2Β + ημ2Γ με ημ2Α Αφού στη σχέση (2) έχουμε ίσα κλάσμα-τα με ίσους παρονομαστές αυτά θα έχουν και ίσους αριθμητές. δηλ. ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά α.

β) Η δοσμένη σχέση ημ(Β+Γ) + συν (Β – Γ ) = 2 ισχύει μόνο στην περί-πτωση που καθένας από τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημ(Β+Γ) και συν(Β−Γ) πάρει την μεγαλύτερη δυνατή τιμή, δηλ. εάν ημ(Β+Γ) =1 και συν(Β−Γ) = 1. Επειδή όμως Α+Β+Γ = 1800 συμπεραίνουμε ότι Β+Γ = 1800 −Α άρα και ημ(Β+Γ) = = ημ(1800 −Α) = ημΑ. Επομένως είναι ημΑ = ημ(Β+Γ) =1,ή ημΑ= ημ900. Άρα Α= 900, δηλ. το τρίγωνο είναι ορθογώνιο . Από την σχέση τώρα συν(Β−Γ) = 1 επειδή συν00 = 1 συμπεραίνουμε ότι συν(Β−Γ) = = συν00. Επομένως πρέπει Β−Γ = 0 ή Β = Γ . Άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι και ισοσκελές.

7. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι α) α(ημΒ–ημΓ) + β ( ημΓ – ημΑ)+γ ( ημΑ– ημΒ) = 0. β) α = β συν Γ + γ συν Β γ) β2 – γ2 = α( β συνΓ– γ συν Β)

δ) +α

συνΑ+

βσυνΒ

γβα2γβα

γσυνΓ 222 ++

=

ΛΥΣΗ α) Εάν συμβολίσουμε με λ την τιμή καθενός από τα ίσα κλάσματα του νό-μου των ημιτόνων για το τρίγωνο ΑΒΓ δηλαδή θέσουμε :

ημΓγ

ημΒβ

ημΑα

== =λ τότε έχουμε:

ημΑα = λ ή α = λ⋅ημΑ, (1)

ημΒβ

= λ ή β = λ⋅ημΒ, (2)

α) Εξισώνοντας καθένα από τα κλάσματα με την τιμή λ και επιλύοντας την σχέση που προ-κύπτει ως προς την πλευρά του τριγώνου κατα-λήγουμε στις σχέσεις (1), (2),(3) από τις οποίες αποδίδεται κάθε πλευρά του τριγώνου ως συ-νάρτηση του ημιτόνου της απέναντι γωνίας.


ημΓγ = λ ή γ = λ⋅ημΓ , (3)

Θεωρούμε τώρα το 1ο μέλος της σχέσης που μας δίνεται και αντικαθιστούμε κάθε μία από τις πλευρές όπως τις έχουμε στις παραπάνω σχέσεις .Τότε: α ⋅( ημΒ – ημΓ) + β⋅( ημΓ – ημΑ ) + γ ⋅( ημΑ – ημΒ ) = = λ⋅ημΑ⋅( ημΒ – ημΓ ) + λ⋅ημΒ⋅( ημΓ – ημΑ ) + λ⋅ημΓ ⋅( ημΑ – ημΒ ) = = λ⋅[ ημΑ⋅( ημΒ – ημΓ ) + ημΒ⋅( ημΓ – ημΑ ) + ημΓ ⋅( ημΑ – ημΒ )] = =λ⋅( ημΑ⋅ ημΒ – ημΑ⋅ ημΓ + ημΒ⋅ ημΓ –ημΒ⋅ ημΑ + ημΓ ⋅ημΑ –ημΓ⋅ ημΒ ) =λ⋅0 = 0. β)Εφαρμόζουμε τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ για τις πλευ-ρές γ και β.

γ2 = α2 + β2 − 2αβσυν ή ∧

Γ

2αβσυν = α2 + β2 − γ2 ή ∧

Γ

βσυν =∧

Γ2α

γβα 222 −+ . (1)

Παρόμοια

β2 = γ2 + α2 − 2γασυν ή ∧

B

2γασυν = γ2 + α2 − β2 ∧

B

γσυν = ∧

B2α

βαγ 222 −+ (2)

β) Επιλύουμε την σχέση αυτή ως προς το βσυνΓ. Παρόμοια υπολογίζουμε το γσυνΒ Προσθέτουμε κατά μέλη τις σχέσεις (1), (2) και κάνουμε πράξεις.

βσυν + γσυν = ∧

Γ∧

B

2αγβα 222 −+ +

2αβαγ 222 −+ =

2αα2

2αβαγγβα 2222222

=−++−+ ή

βσυν + γσυν =α ∧

Γ∧

Bγ)Εφαρμόζουμε τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ για τις πλευ-ρές β και γ. Έχουμε λοιπόν:

β2 = γ2 + α2 − 2γασυν (1) ∧

B

γ2 = α2 + β2 − 2αβσυν (2) ∧

Γ

β2 − γ2 = (γ2 + α2 − 2γασυν )− ∧

B

-(α2 + β2 − 2αβσυν ) ή ∧

Γ

β2 − γ2 = γ2 + α2 − 2γασυν −α2 − β2 ∧

B

γ) Επιλύουμε την σχέση αυτή ως προς το βσυνΓ. Παρόμοια υπολογίζουμε το γσυνΒ Προσθέτουμε κατά μέλη τις σχέσεις (1), (2) και κάνουμε πράξεις. Αφαιρούμε τις σχέσεις (1) και (2) κατά μέλη και κάνουμε τις σχετικές πράξεις.


+ 2αβσυν ή ∧

Γβ2 − γ2 +β2− γ2=

= − 2γασυν + 2αβσυν ή ∧

B∧

Γ

2β2 − 2γ2 = 2αβσυν − 2γασυν (3) ή

∧

Γ∧

B

2(β2 − γ2)= 2α(βσυν − γσυν ) ή ∧

Γ∧

B

β2 − γ2 = α(βσυν − γσυν ) ∧

Γ∧

B

Παραγοντοποιούμε τη σχέση (3).Εξάγουμε στο 1ο μέλος κοινό παράγοντα το 2 και στο 2ο το 2α , και στη συνέχεια διαγράφουμε το 2.

δ) Από τον νόμο των συνημιτόνων για την πλευρά α έχουμε : α2 = β2 + γ2 − 2βγσυνΑ (1) ή 2βγσυνΑ = β2 + γ2 − α2 ή

συνΑ = 2βγ

αγβ 222 −+ (2) ή

=α

συνΑ2αβγ

αγβ 222 −+ (3) .

=β

συνB2αβγ

βγα 222 −+ (4)

=γΓ συν

2αβγγαβ 222 −+ (5)

ασυνΑ+

βσυνB+ =

γΓ συν

=2αβγ

αγβ 222 −+ +2αβγ

βγα 222 −+ +2αβγ

γαβ 222 −+ =

= =−++−++−+

2αβγγαββγααγβ 222222222

=2αβγ

γβα 222 ++

δ) Επιλύουμε την σχέση (1) ως προς συνΑ Διαιρούμε τα μέλη της σχέσης (2) διά του α οπότε προκύπτει η σχέση (3). Εργαζόμενοι αντίστοιχα έχουμε τις σχέσεις (4) και (5). Προσθέτουμε κατά μέλη τις σχέ-σεις (3), (4) και (5) και στη συνέ-χεια κάνουμε τις πράξεις στο 2ο μέλος προσθέτοντας τα ομώνυμα κλάσματα που προκύπτουν.

8. Να βρείτε τις πλευρές τριγώνου ΑΒΓ, αν τα μήκη τους είναι διαδοχι-

κοί φυσικοί αριθμοί , η γ είναι η μικρότερη πλευρά και συν Γ = .43

ΛΥΣΗ Αφού οι πλευρές του τριγώνου είναι φυσικοί αριθμοί με μικρότερη από αυ-τές είναι η γ οι άλλες πλευρές θα είναι γ+1 και γ+2. Έστω λοιπόν ότι


α = γ+2 και β = γ+1.Από τον νόμο των συνημιτόνων έχουμε: γ2 = β2 + α2 −2βασυνΓ ή

γ2 = (γ+1)2 + (γ+2)2 −2(γ+1)(γ+2)⋅43 ή γ2 = (γ+1)2 + (γ+2)2 −

23 (γ+1)(γ+2) ή

2γ2 = 2(γ+1)2 + 2(γ+2)2 −223 (γ+1)(γ+2) ή

2γ2 = 2(γ+1)2 + 2(γ+2)2 −3 (γ+1)(γ+2) ή 2γ2 = 2(γ2 +2γ+1) + 2(γ2 +4γ+4) −3 (γ+1)(γ+2) ή 2γ2 = 2γ2 +4γ+2 + 2γ2 +8γ+8 −3 (γ2+3γ+2) ή 2γ2 = 2γ2 +4γ+2 + 2γ2 +8γ+8 −3γ2−9γ−6 ή 2γ2 = γ2 +3γ+4 ή 2γ2 − γ2 −3γ−4 =0 ή γ2 −3γ−4 =0 Επιλύουμε την δευτεροβάθμια εξίσωση στην οποία η διακρίνουσα Δ = (−3)2−4⋅1⋅(−4) = 9 + 16 = 25.

Είναι τώρα γ = 2

5312

25)3( ±=

⋅±−− . Άρα ή γ = 4

28

253

==+ ή

γ = 122

253

−=−=− Επειδή το γ εκφράζει μήκος πλευράς τριγώνου είναι

γ>0 άρα γ = 4 , η τιμή γ = −1 απορρίπτεται. Τα μήκη των πλευρών του τρι-γώνου είναι α = 4+2 =6 , β = 4+1 = 5 και γ = 4 ή α=5, β=6 και γ=4.

9. Δύο φίλοι τοποθέτησαν τα γωνιόμετρά τους στις θέσεις Α , Β μιας ακτής και παρατήρησαν δύο βράχους που προε-ξείχαν από την επιφάνεια της θάλασ-σας . Αν η απόσταση ΑΒ ήταν 30 m και τα αποτελέσματα των μετρήσεών τους φαίνονται στο διπλανό σχήμα , τότε να υπολογίσετε την απόσταση των δύο βράχων. ( Να χρησιμοποιήσετε τριγωνομετρι-κούς πίνακες).

ΛΥΣΗ

Επειδή στο τρίγωνο ΑΒΓ η γωνίαΒ =520 + 540 =1060 η γωνία του τριγώ-

νου ΑΒΓ είναι =1800 −(490 + 1060) = = 1800 − 1550 = 250.

∧ ∧

Γ∧

ΓΜε την βοήθεια του νόμου των ημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ θα υπολογί-σουμε το μήκος της πλευράς του ΑΓ = β.


ΈχουμεημΓγ

ημΒβ

= ή 00 ημ2530m

ημ106β

= ή

00 ημ2530m

ημ74β

= ή 0,42330m

0,961β

= ή

0,423⋅β = 0,961⋅30m ή 0,423⋅β = 28,83m ή β = 423,083,28 m = 68,15m.

Είναι λοιπόν ΑΓ= 68,15m. Θα εργασθούμε τώρα στο τρίγωνο ΑΒΔ

Επειδή όμως στο τρίγωνο ΑΒΔ η γωνία = 580 + 490 = 1070 η γωνία

του τριγώνου ΑΒΔ είναι = 1800 − (1070 + 520) = 1800 − 1590 = 210

∧

Α∧

Δ∧

ΔΜε την βοήθεια του νόμου των ημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΔ θα υπολογί-σουμε το μήκος της πλευράς του ΑΔ .

Έχουμε 00 ημ21ΑΒ

ημ52=

ΑΔ ή 0,35830m

0,788=

ΑΔ ή 0,358⋅ΑΔ = 0,788⋅30m

ή 0,358⋅(ΑΔ) = 23,64m ή ΑΔ = =0,358

m64,23 66,03m

Από το τρίγωνο ΑΓΔ στο οποίο γνωρίζουμε τις πλευρές ΑΓ, ΑΔ και

την γωνία Δ Γ = 580 θα υπολογίσουμε την ΓΔ με την βοήθεια του νόμου

των συνημιτόνων. Είναι(ΓΔ)2 = (ΑΓ)2 +(ΑΔ)2 −2(ΑΓ)(ΑΔ)συν Δ Γ ή

∧

A∧

A(ΓΔ)2 = (68,37)2 + (66,03)2 −2(68,15)(66,03)συν 580 ή (ΓΔ)2 = 4674,46 + 4359,96−8999,89⋅0,530 ή (ΓΔ)2 = 4264,48 ή ΓΔ = 65,30 m


ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Να συμπληρώσετε το σταυρόλεξο: Οριζόντια 1. Είναι οι αριθμοί ημω, συνω και εφω.

2. Είναι το συνημίτονο της ορθής γω-νίας.

3. Μιας οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος της απέναντι κάθετης πλευράς προς την υποτείνου-σα.

4. Είναι το ημίτονο της ορθής γωνίας.

5. Υπάρχει και τριγωνομετρική…….

6. Η …. Του σημείου Μ είναι το συ-

νημίτονο της γωνίας , όταν ΟΜ=ρ=1 .

∧

ΟΜx

7. Είναι οι τιμές του συνημιτόνου των αμβλειών γωνιών.

8. Είναι τα ημ300 και ημ1500.

Κάθετα 1. Μιας οξείας γωνίας ορθογωνίου τρι-γώνου είναι ο λόγος της προσκείμενης κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα.

2. Καθεμιά έχει και το …ημίτονο της.

3. Η ισότητα ημ2ω+συν2ω=1 είναι τριγω-νομετρική……..

4. Είναι το ημίτονο οποιασδήποτε γωνί-ας τριγώνου.

5. Είναι οι αριθμοί του συνημιτόνου και της εφαπτομένης οποιασδήποτε οξείας ή αμβλείας γωνίας.

6. Έχει και αυτό τους τριγωνομετρικούς του αριθμούς. 7. Χρησιμοποιούνται για να ορίσουμε τριγωνομετρικούς αριθμούς αμβλείας γωνίας. 8. Δεν ……. Η εφαπτομένη ορθής γωνί-ας.

2 5 6 8 1 1 3 2 3 4 7 4 5 6 7 8

ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 534 ΛΥΣΗ 2 5 6 8 1 Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Ο Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ο Ι 1 Ω Μ Ο Ρ Σ Ν Ο Ξ Ι Υ Ι Σ Ο Ζ Ν Α Η Ε Η 3 2 Μ Η Δ Ε Ν Τ 3 Η Μ Ι Τ Ο Ν Ο 4 Ε Ν Α Ι Α Ι 7 Ι Τ Υ 4 Α Ο Τ Θ 5 Ε Ξ Ι Σ Ω Σ Η Ν Ο Ε Ο Ο 6 Τ Ε Τ Μ Η Μ Ε Ν Η Η Ι Ε 7 Α Ρ Ν Η Τ Ι Κ Ε Σ 8 Ι Σ Α Α Ο


ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΙΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 2.1-2.2 ΘΕΜΑ 10 : α) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με (Σ) αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες.

i. Αημγ

ημΓα

=

ii. Βημβ

Γημγ

=

iii. Αβγσυν 2γβα 222 ++=iv. Βαγσυν (4 μονάδες) 2γαβ 222 −+=

β) Να αποδείξετε ότι σε κάθε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει Βημβ

ημΑα

=

(4 μονάδες) ΘΕΜΑ 20 :

Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία και η γωνία Γ . Να υπολογί-σετε την πλευρά β του τριγώνου αν γνωρίζετε ότι γ= 6cm.

045B =∧

030=∧

(6 μονάδες) ΘΕΜΑ 30 : Η απόσταση ενός ιστιοφόρου Ι από τον ύφαλο Υ είναι 5 ναυτικά μίλια ενώ

από τον φάρο Φ είναι 3 ναυτικά μίλια. Αν η γωνία να υπολογί-σετε την απόσταση του φάρου από τον ύφαλο.

0120ΦΙΥ =∧

3 5120°

Φ Υ

Ι

(6 μονάδες)


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΜΕΡΟΥΣ Β (ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ)

ΠΡΟΧΕΙΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ 2ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΜΑ 10 :

Α. Να δείξετε ότι: 1=ωσυν+ωημ και συνωημω=εφω 22 .

Β. Να αποδείξετε ότι: 1ημωημω

1.συνωσυνω

1.ημωσυνω+εφω =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛.

ΘΕΜΑ 20 : Α. Να αποδείξετε τον νόμο των ημιτόνων. Β. Να υπολογίσετε τα υπόλοιπα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν δίνονται:

cm.2=α , 20Β , 40Α oo =∧

=∧

( )866,0ημ120, 342,0ημ20 , 643,0ημ40 === ooo


ΠΡΟΧΕΙΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ 2ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΘΕΜΑ 10 : Α. Να συμπληρωθούν οι παρακάτω ισότητες-ανισότητες:

( ) ( )

( ) ( )( ) ................ω180εφ )vii

................ω180συν vi)................ω180ημ v) .........ημω.......... iv) .........συνω.......... )iii................ω90συν ii) ................ω90ημ )i

=−

=−=−

≤≤≤≤=−=−

o

oo

oo

Β. Αν ,να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: o20Α =∧

συν3Α.62

3Α10.ημ=Κ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ΘΕΜΑ 20 : Α. Να αποδείξετε το νόμο των συνημιτόνων. Β. Να υπολογίσετε τα υπόλοιπα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν

δίνονται ( )0,707συν45 cm. 4=γ, cm 2=α, 45Β ==∧

oo

ΜΕΡΟΣ Β΄ 2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ-ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 538 ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ: 2Ο Κεφάλαιο Β΄ Μέρους

ΤΕΣΤ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ 1. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές του είναι ................. με τα ημίτονα των

.............. γωνιών του. 2. Ο νόμος των ημιτόνων χρησιμοποιείται για την επίλυση ενός τριγώνου

όταν δίνονται: ...... πλευρά και ....... οποιεσδήποτε γωνίες. 3. Σε κάθε τρίγωνο το τετράγωνο μιας πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα

των .............. των δύο άλλων πλευρών, μειωμένο κατά το .............. γινό-μενο των πλευρών αυτών επί το ..................... της περιεχόμενης σε αυτές γωνίας.

4. Ο νόμος των συνημιτόνων χρησιμοποιείται για την επίλυση ενός τριγώ-νου όταν δίνονται ...... πλευρές του και η ......... μεταξύ αυτών γωνία.

5. Το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας ω εξαρτάται από το ................. στο οποίο βρίσκεται κάθε φορά ένα σημείο της ........... πλευράς της γωνίας.

ΤΕΣΤ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΛΟΓΩΝ 1. Ποια από τις παρακάτω ισότητες είναι λανθασμένη; 2,0ωημ −= 7,0ωσυν = 2,3ωεφ = 4,1ωημ =2. Ποια από τις παρακάτω ισότητες είναι λανθασμένη; Αβγσυν2γβα 222 −+= Ββγσυν2γαβ 222 −+= Βαγσυν2γαβ 222 −+= Γαβσυν2βαγ 222 −+=3. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι το συν300;

21

33

23 1

4. Σε ποιο από τα παρακάτω τεταρτημόρια όλοι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι θετικοί; o1 o2 o3 o4 5. Με ποιόν από τους παρακάτω αριθμούς είναι ίση η παράσταση ημ450+συν450; 33 3 2 22

6. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ( o90Α =∧

) ΑΒΓ η παράσταση ημ2Β+ημ2Γ με ποιόν από τους παρακάτω αριθμούς είναι ίση;

0 1 2 1−


ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ: 2Ο Κεφάλαιο Β΄ Μέρους

ΤΕΣΤ ΔΙΑΖΕΥΚΤΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ Η ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ»

Από τις παρακάτω προτάσεις μερικές είναι σωστές και μερικές λάθος. Βάλ-τε σε κύκλο το Σ για τις σωστές και το Λ για τις λανθασμένες. 1. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο το ημίτονο μίας οξείας γωνίας είναι ίσο με το

λόγο της απέναντι κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα. Σ Λ 2. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο το συνημίτονο μίας οξείας γωνίας είναι ίσο

με το λόγο της προσκείμενης κάθετης πλευράς προς την απέναντι κάθετη πλευρά. Σ Λ 3. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο η εφαπτομένη μίας οξείας γωνίας είναι ίση

με το λόγο της απέναντι κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα. Σ Λ 4. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ το εμβαδόν του δίνεται από την ισότητα

Βαγημ21ΕΑΒΓ = Σ Λ

5. Σε κάθε τρίγωνο ισχύουν οι ισότητες

βγ

αγβΑσυν2

222 −+=

αγ2βγαΒσυν

222 −+=

αβ2γβαΓσυν

222 −+=

Σ Λ


ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ: 2Ο Κεφάλαιο Β΄ Μέρους

ΤΕΣΤ ΣΥΖΕΥΞΗΣ Να ενώσετε κάθε μία από τις παραστάσεις που βρίσκονται αριστερά με τις αντίστοιχες παραστάσεις που βρίσκονται δεξιά. 1. ημ(1800-ω) -εφω 2. συν(1800-ω) συνω

xρ

3. εφ(1800-ω) ημω

4. ημ(900-ω) ρx

5. ημω -συνω

6. συνω xy

7. εφω ρy

8. ημ2ω+συν2ω εφω

9. συνω

ωημ

γβ

10. εφΒ 1

Documents

Νόμος των ημιτόνων - eclass.sch.gr -G.pdf · τρέποντας τα σύνθετα κλάσματα σε απλά διαιρούμε διά του συντελεστή