УТВЕРЖДАЮ

УТВЕРЖДАЮ

Ректор университета

__________ О.Н. Федонин

«___» __________ 2014 г.

ИНФОРМАТИКА (ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ)

ПОЛУЧЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЗАВИСИМОСТИ

ДЛЯ ТАБЛИЧНО (ТОЧЕЧНО) ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ

МЕТОДАМИ АППРОКСИМАЦИИ И ИНТЕРПОЛЯЦИИ

В MATHCAD

Методические указания

к выполнению лабораторной работы № 18

для студентов очной формы обучения

по всем техническим направлениям подготовки

(квалификация «бакалавр»)

Брянск 2014

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Брянский государственный технический университет

УДК 004.9; 519.6

Информатика (информационные технологии). Получе-

ние математической зависимости для таблично (точеч-

но) заданной функции методами аппроксимации и ин-

терполяции в MATHCAD: [Электронный ресурс]: ме-

тод. указания к выполнению лабораторной работы №

18 для студентов очной формы очной формы обучения по всем тех-

ническим направлениям подготовки (квалификация «бакалавр»). –

Брянск: БГТУ, 2014. –20 с.

Разработал Зернин М.В., канд. техн. наук, доц.

Рекомендовано кафедрой «Информатика и программное

обеспечение» (протокол № 7 от 05.06.14)

3

1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ РАБОТЫ

При решении многих технических задач требуется получить

функциональную зависимость одной величины от другой. В редких

случаях удается такую зависимость получить аналитически. Значи-

тельно чаще выполняются экспериментальные исследования техни-

ческого объекта. При этом задают некоторое значение управляющего

параметра (значение аргумента x) и измеряют соответствующее зна-

чение выходного (исследуемого) параметра (значение функции y). В

таких случаях результатами экспериментов являются значения вели-

чины yi при некоторых значениях аргумента xi, где i=0,1,2,…n. Мож-

но сказать, что функция задана таблично. Если эти значения отобра-

зим на координатной плоскости x-y, то получим систему точек (т.е.

можно сказать, что функция задана точечно). Однако для последую-

щих исследований необходимо получить функциональную зависи-

мость y(x), по которой можно было бы с некоторой точностью опре-

делить значение y при любом значении аргумента x. Плучение такой

зависимости в вычислительной математике называется решением за-

дачи приближения (аппроксимации) таблично (точечно) заданной

функции. Теория решения таких задач изложена во многих учебниках

по вычислительной математике, например в [1].

Один из самых распространенных способов аппроксимации

функций – интерполяция. Он используется, когда основная информа-

ция о приближаемой функции дается в виде таблицы ее значений, а

табличные значения имеют незначительные погрешности (точность

эксперимента достаточно высока). В результате решения задачи ин-

терполяции линия, соответствующая интерполирующей функции бу-

дет обязательно проходить через все точки исходных данных. В этом

случае точки являются узлами интерполяции. Насколько значительны

будут отклонения значений построенной интрполирующей функции

от экспериментальных значений в других точках, не обсуждается. Из

всех возможных вариантов интерполяции рассмотрим только интер-

поляцию многочленом (полиномом).

Цель лабораторной работы заключается в приобретении практи-

ческих навыков в построении аппроксимирующих и интерполирую-

щих функций с применением возможностей программы MATHCAD.

4

Задачи лабораторной работы:

1. Уяснить основные положения методов аппроксимации и ин-

терполяции.

2. Построить два вида интерполирующих зависимостей для

набора данных (десяти точек) – кусочно-линейную и полиномиаль-

ную (9-й степени).

3. Выполнить расчеты значений по этим интерполирующим за-

висимостям для значений аргумента, не совпадающих с узлами ин-

терполяции.

3. Построить аппроксимирующие зависимости (двумя функция-

ми) стандартными средствами MATHCAD.

4. Получить количественные характеристика качества двух по-

лученных аппроксимирующих зависимостей.

5. Выполнить расчеты значений по этим аппроксимирующим

зависимостям для значений аргумента, не совпадающих с исходными

значениями аргумента.

Продолжительность лабораторной работы – 4 часа, из них:

а) изучение методических указаний – 2 часа (самостоятельная

работа студентов);

б) выполнение лабораторной работы – 2 часа;

2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Общие сведения о применении численных методов в задаче

аппроксимации и интерполяции точечно (таблично) заданной

функции

Пусть функция xfy определена на заданном отрезке ];[ ba .

Известны значения функции ii xfy в отдельных точках ix

( ni ...,,1,0 ) этого отрезка. Вычисление значений этой функции в дру-

гих точках отрезка ];[ ba либо очень трудоемко, либо вообще невоз-

можно. В таких условиях обычно стараются получить приближенную

зависимость вместо функции xf , которой можно было бы восполь-

зоваться для вычисления приближенных значений функции в других

точках отрезка ];[ ba . Под приближением функции xf на отрезке

];[ ba понимается некоторая другая функция x , определенная на

этом отрезке ];[ ba , значения которой достаточно близки к соответ-

ствующим значениям функции xf , xxf . Методы решения

5

такой задачи относятся к категории численных методов, или методов

вычислительной математики.

При интерполяции от приближения требуется, чтобы оно имело

ту же таблицу значений, что и приближаемая функция

ii xfx , ni ...,,1,0 .

Это условие называется условием интерполяции. Функция x ,

удовлетворяющая условиям интерполяции, называется интерполя-

ционной, а точки nxxxx ...,,,, 210 узлами интерполяции.

Чаще всего в качестве интерполяционных функций выбирают

алгебраические многочлены, так как их значения вычисляются проще

всего. Таким образом решается следующая задача определяется ал-

гебраический многочлен n-й степени

)(xPnn

nxaxaxaa ...2210 , (1)

удовлетворяющий условиям интерполяции

nixfxP iin ...,,1,0),()( .

Алгебраический многочлен, удовлетворяющий этим условиям,

называется интерполяционным многочленом (ИМ). Геометрический

смысл интерполяции состоит в том, что графики функции xfy и

интерполяционного многочлена )(xPy n должны проходить через

все табличные точки ),( ii yx , ( ni ...,,1,0 ). На рис. 1а эти точки выделе-

ны. Именно это условие должно обеспечить близость графиков этих

функций на отрезке ];[ ba , чтобы можно было использовать интерпо-

ляционный многочлен )(xPn в качестве приближения для функции

xf .

Заметим, что степень ИМ связана с количеством узлов интерпо-

ляции. Для построения ИМ n-й степени необходим n+1 узел интерпо-

ляции, так как в формуле (1) имеется n+1 коэффициент, подлежащий

определению.

Интуитивно понятно, что если табличных точек ),( ii yx будет

много и они будут расположены густо, то графики функции xfy

и интерполяционного многочлена )(xPy n будут расположены

близко друг к другу. . Учитывая, что интерполяция применяется при

высокой точности получения значений функции, можно полагать, что

6

в целом интерполирующая полиномиальная функция )(xPn будет до-

статочно близка к истинной функции xf .

а) б)

Рис. 1. Графическая интерпретация принципа построения интерполяционного

полинома (а) и аппроксимирующей линии (б) для точечно заданной функции

Существует несколько вариантов записи ИМ: в традиционной

форме (1), в форме Лагранжа и в форме Ньютона. Причем последние

два варианта можно преобразовать к традиционной форме записи (1).

Однако чтобы уменьшить общую трудоемкость вычислений (на этапе

получения коэффициентов ИМ и на этапе вычисления по получен-

ным ИМ значений функции при любом заданном значении аргумен-

та), рациональнее применять ту или иную форму записи ИМ. Если

использовать ИМ в традиционной форме записи (1), то для определе-

ния коэффициентов ia необходимо формировать и решать систему

алгебраических уравнений, т. е. трудоемкость получения коэффици-

ентов большая, но сама формула ИМ (1) очень простая. При построе-

нии ИМ в форме Лагранжа коэффициенты вычисляются очень про-

сто, но формула ИМ громоздкая и расчеты по ней достаточно трудо-

емкие. ИМ в форме Ньютона является формулой более сложной, чем

формула ИМ (1), но проще, чем формула ИМ в форме Лагранжа. Од-

нако при определении коэффициентов ИМ Ньютона требуется вы-

числить так называемые «разделенные разности» по достаточно про-

стым формулам. В зависимости от количества узлов интерполяции и

количества последующих вычислений по формуле ИМ рациональным

может оказаться любой из трех перечисленных вариантов форм запи-

си ИМ. Мы будем использовать вариант применения ИМ в традици-

онной форме (1), реализованный в программе MATHCAD.

7

Можно построить один ИМ для всего интервала определения

таблично заданной функции. В этом случае степень ИМ на единицу

меньше количества несовпадающих узлов интерполяции. Можно по-

строить также кусочную интерполяционную зависимость, разделив

все количество узлов на группы. В пределах каждого такого участка

интерполяции получают ИМ степенью на единицу меньше количе-

ства узлов интерполяции в этой группе. Если в группу включить 2 уз-

ла, то получится ИМ первой степени (прямая линия). Такая интерпо-

ляция называется кусочно-линейной

Кроме построения интерполяционных зависимостей, можно

строить аппроксимирующие зависимости на основе различных функ-

циональных взаимосвязей между двумя рассматриваемыми величи-

нами. Обычно в этом случае количество неизвестных параметров вы-

бранной функции значительно меньше количества пар значений в ис-

ходной таблице. Очевидно, что в этом случае возможно бесконечно

большое количество сочетаний значений параметров аппроксимиру-

ющей функции. Необходимо выбирать такие значения параметров,

которые в максимальной степени обеспечивали бы близость аппрок-

симирующей функции к исходным табличным значениям. Часто

применяют критерии квадратичного приближения, а именно, подби-

рают такие значения параметров аппроксимирующей функции, чтобы

сумма квадратов отклонений (разницы вычисленных по ней значений

и значений из таблицы) была минимальной

m

iii xyxy1

2min)()( . Этот принцип лежит в основе метода

наименьших квадратов.

Принцип проведения аппроксимирующей линии для точечно за-

данной функции показан на рис. 1б. Обычно задача аппроксимации

решается в три этапа. На первом этапе выбираются возможные типы

аппроксимирующих функций. На втором этапе определяются их па-

раметры (подбираются такими, чтобы сумма квадратов отклонений

m

i

iy1

2

была минимальна). Далее оценивается качество аппрокси-

маций по значению величины

m

i

iy1

2

или определяются другие кри-

терии близости, взаимосвязанные с этим критерием. Из всех возмож-

ных вариантов аппроксимирующих функций в итоге выбирается

8

лучший (для которого величина

m

i

iy1

2

меньшая). Если

m

i

iy1

2

=0, то

получаем частный случай аппроксимации – интерполяцию.

Более подробно общая схема метода наименьших квадратов из-

ложена во многих учебниках по численным методам и вычислитель-

ной математике, например в [3]. Там же приведен вывод формул для

вычисления коэффициентов многих типов аппроксимирующих функ-

ций, например, для вычисления коэффициентов полинома по форму-

ле (1). Если используют частный вариант полиномиальной линей-

ную функцию xx 10)( , то говорят о линейной аппроксимации

функции xabx )( . Приведены также результаты поиска

наилучшего среднеквадратического приближения в некоторых двух-

параметрических семействах нелинейных функций [3]. На практике

нередко приходится подбирать не только линейные, но и нелинейные

зависимости. Чаще всего отыскиваются зависимости видов [1]

bxay

1;

bxa

xy

; b

xay

1; xbeay ; bxay ; bxay ln .

Каждая из этих зависимостей определяет двухпараметрическое

семейство нелинейных функций с параметрами a и b. Использован

метод наименьших квадратов для подбора наилучшего приближения

в каждом из этих семейств и приведены соответствующие формулы

для коэффициентов [1].

3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

И АППРОКСИМАЦИИ В MATHCAD

3.1. Постановка задачи и представление исходных данных

для таблично (точечно) заданной функции в MATHCAD

Рассмотрим решение задач интерполяции и аппроксимации для

набора их десяти точек, приведенного в табл. 1. Таблица 1

Исходные данные для аппроксимации

x 0,1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

y 20,2 7,84 5,94 4,01 3,77 4,23 3,38 3,03 3,04 3,15

Требуется построить кусочно-линейную и полиномиальную (де-

вятой степени) интерполирующие функции.

9

В качестве аппроксимирующих функций необходимо использо-

вать:

полином 3-й степени;

степенную функцию.

Кроме того, необходимо выполнить расчеты значений функции

по интерполирующим и аппроксимирующим формулам при некото-

рых значениях аргумента, не совпадающих с его значениями из таб-

лицы 1. Эти значения аргумента: 1,3; 2,6; 4,4; 5,9; 7,1; 8,75.

Исходные данные, содержащиеся в табл. 1 отобразим в

MATHCAD в виде таблицы значений x и y, отдельных векторов зна-

чений x и y и соответствующего набора точек на плоскости x-y. Для

этого зададим таблицу с именем «Точки» как матрицу размерами

10˟2 (рис. 2а) и заполним ее данными из табл 1 (рис. 2б).

а) б)

Рис. 2. Задание таблицы значений: назначение размеров массива (а)

и заполненный массив значений (б)

Далее из массива «Точки» выделяются отдельно вектора значе-

ний x и y (рис. 3) с применением процедуры выделения столбцов из

матрицы (рис. 3а). Напоминаем, что в MATHCAD по умолчанию ну-

мерация индексов массива начинается с нуля, если это не переопре-

делено с использованием параметра ORIGIN. Оба этих вектора рас-

крыты для проверки правильности операции выделения столбцов и

фрагменты их показаны на рис. 3б.

Далее (рис. 4) строится диаграмма, в которой по оси аргументов

отложены значения из вектора x, а по вертикальной оси – значения

функции из вектора y. Причем первоначально (рис. 4) эта диаграмма

представляется как непрерывная линия. Для преобразования диа-

граммы к системе точек (именно таким образом задана исходная ин-

10

формация) следует навести курсор на любую часть линии и на по-

явившейся панели кликнуть на строке «Формат» – рис. 4.

а) б)

Рис. 3. Выделение из таблицы значений векторов x и y (а) и проверка

правильности этого действия (б)

11

Рис. 4. Построение диаграммы на основе значений векторов x и y

На появившейся панели «Форматирование выбранного графика»

необходимо выделить закладку «Трассировка» (рис. 5) и на ней

назначить для кривой 1 параметры «Символ», «Ширина символа» и

отсутствие линии в столбце «Линия». Тогда на диаграмме будет вид-

на только система точек (рис. 5). (В более ранних версиях MATHCAD

в столбце «Линия» необходимо выбрать вариант «Точки»). Таким об-

разом получили табличное и точечное представление исходных дан-

ных (рис. 6).

12

Рис. 5. Преобразование диаграммы в виду «система точек x и y»

Рис. 6. Табличное и точечное представление исходных данных

13

3.2. Реализация в MATHCAD кусочно-линейной

и полиномиальной интерполяции

Следующие действия требуют нанесения на диаграмму (рис. 6)

еще нескольких линий, интерполирующих и аппроксимирующих си-

стему точек. Для этого задается дискретная переменная xx (рис. 7),

изменяющаяся от первого значения x0 до последнего значения x9 с

шагом 0,1. Для этого используется (рис 7) кнопка выбора элемента

вектора x по индексу и кнопка задания диапазона значений перемен-

ной.

Рис. 7. Назначение дискретной переменной xx с шагом 0,1

Для реализации кусочно-линейной интерпорляции в MATHCAD

имеется процедура «linterp(x,y,xx)», аргументами которой являются

система точек (xi,yi) и дискретные переменные xx. Результаты такой

интерполяции приведены на рис. 8. Видно, что исходные точки

соединяются участками прямых линий.

Рис. 8. Кусочно-линейная интерполяция точечных исходных данных

14

Для реализации представления точечных данных полино-

миальной функцией в MATHCAD имеется процедура

«regress(x,y,n)». Причем если в общем случае строится аппрокси-

мирующая зависимость, то при выполнении одного из условий

интерполяции полином становитсмя интерполирующим. Напомним,

что степень ИМ связана с количеством узлов интерполяции. Для по-

строения ИМ n-й степени необходим n+1 узел интерполяции, т. к. в

формуле (1) имеется n+1 коэффициент, подлежащий определению.

Учитывая, что задано 10 точек, то интерполирующий должен быть 9-

й степени. Результаты применения процедуры «regress» содержатся в

векторе z, причем начиная с 3-го компонента (напоминаем, что

индексация компонентов массивов в MATHCAD начинается с 0) в

этом векторе содержатся значения коэффициентов полинома (1).

Напомним, что задача определения коэффициентов полинома

сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений с

плохо обусловленной матрицей. Для обеспечения требуемой

точности желательно при программировании формулы (1)

удерживать как можно больше значащих цифр. Поэтому на рис. 9

коэффициенты полинома выбираем как компоненты вектора z, а не

как численные значения из показанной на рис 9 таблицы.

Рис. 9. Кусочно-линейная и полиномиальная (9-й степени) интерполяция

точечных исходных данных

15

В результате получили полином, график которого проходит

через все узлы интерполяции (рис. 9). Там же приведены значения

функции для заданных значений аргумента, не совпадающих с

исходными табличными. Расчеты выполнены по кусочно-линейной

интерполирующей функции «linterp» и по интерполирующей

формуле для полинома 9-й степени. Видно, что различия начинают

проявляться на последних участках. Причина этого – плохая

обусловленность решения задачи полиномиальной интерполяции. По

этой причине в других программах допускается полиномиальная

интерполяция при меньших значениях степени полинома. Например,

при решении этой же задачи в EXCEL мы видели, что предельно до-

пустима 6-я степень полиномиальной интерполяции.

Также на рис. 9 в правом нижнем углу приведен другой (более

компактный) вариант записи полинома 9-й степени через знак суммы

по переменной i. Подсчитаны значения функции по этой полиноми-

альной формуле для нескольких значений аргумента из ряда задан-

ных. Этот фрагмент вычислений очерчен красным прямоугольником.

Видно, что оба варианта запрограммированной формулы полинома

дают одинаковые результаты.

3.2. Реализация в MATHCAD аппроксимации полиномиальной

и другими функциями

Для аппроксимации точечных данных полиномиальной

функцией в MATHCAD используется процедура «regress(x,y,n)».

Выполнение этих действий мало отличается от построения

интерполирующего полинома (рис. 9). Только при обращении к

процедуры «regress(x,y,3)» назначаем степень полинома 3 и

соответственно формула для полинома третьей степени короче (рис.

10). Далее оценивается качество этой аппроксимации по значению

величины

m

i

iy1

2

. Эта величина на рис. 10 обозначена идентифика-

тором SKOpol3 и принимает значение 21.096. Для ее вычисления ис-

пользуется кнопка суммирования по индексу i=0,1,2…9 c палитры

математических операций.

16

Рис. 10. Аппроксимация исходных точек полиномом третьей степени

Для аппроксимации в MATHCAD могут быть использованы

многие функции и соответствующие процедуры. Полный список их

содержится в справочной системе MATHCAD. Приведем некоторые

варианты:

процедура «line(x,y)» для определения коэффициентов A и B

линейной функции вида BxAxf ;

процедура «lnfit(x,y)» для определения коэффициентов A и B

логарифмической функции вида BxAxf ln ;

процедура «expfit(x,y,g)» для определения коэффициентов A,

B и C экспоненциальной функции вида CAexf Bx ;

процедура «pwrfit(x,y,g)» для определения коэффициентов A,

B и C степенной функции вида CAxxf B .

Данные процедуры (кроме процедуры линейной аппроксима-

ции) выполняют итерационный алгоритм получения коэффициентов

A, B и C, а именно в списке параметров этих процедур кроме исход-

ных векторов x и y требуется задать начальное приближение коэффи-

циентов, содержащихся в векторе. Значения вектора начальных при-

ближений коэффициентов задается произвольно, но не для всех

начальных приближений решение будет найдено. В таком случае

следует попытаться повторно решить задачу с другими значениями

начальных приближений.

17

Применение процедуры «pwrfit» для определения коэффициен-

тов A, B и C степенной функции вида CAxxf B показано на рис.

11. Задается вектор g начальных приближений. Далее определяется

Koef=pwrfit(x,y,g) и в результате в массиве Koef содержатся уточнен-

ные значения коэффициентов A, B и C. Далее программируется непо-

средственно формула CAxxf B и график этой функции отоб-

ражается на диаграмме (рис. 11).

Рис. 11. Результаты аппроксимации исходных точек двумя

функциями (полиномом 2-й степени и степенной функцией)

18

Далее оценивается качество степенной аппроксимации по зна-

чению величины

m

i

iy1

2

. Эта величина на рис. 11 обозначена иден-

тификатором SKOf и принимает значение 1.129. То есть точность

степенной аппроксимирующей зависимости примерно в 18 раз выше

точности аппроксимации полиномом 2-й степени.

Ниже диаграммы на рис. 11 приведены результаты расчетов по

этим двум аппроксимирующим зависимостям при значениях аргу-

мента, не совпадающих с исходными табличными значениями.

Аналогично (рис. 12) применяется процедура «expfit(x,y,g)» для

определения коэффициентов A, B и C экспоненциальной функции ви-

да CAexf Bx . Применение процедуры «lnfit(x,y)» для опреде-

ления коэффициентов A и B логарифмической функции вида

BxAxf ln не требует задания вектора начальных приближений

значений этих двух коэффициентов.

19

Рис. 12. Результаты аппроксимации исходных точек двумя

функциями (экспоненциальной и логарифмической)

20

4. ЗАДАНИЕ К РАБОТЕ

В соответствии с приведенными теоретическими сведениями

усвоить основы решения задач интерполирования и аппроксимирова-

ния таблично (точечно) заданной функции построить аппроксимиру-

ющие и интерполирующие функции с применением программы

MATHCAD.

5. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Уяснить основные положения методов аппроксимации и ин-

терполяции.

2. Построить два вида интерполирующих зависимостей для

набора данных (десяти точек) – кусочно-линейную и полиномиаль-

ную (9-й степени) по примеру, приведенному в разделе 3.1. Исход-

ную таблицу значений x и y преподаватель выдает непосредственно

перед выполнением работы.

3. Выполнить расчеты значений по этим интерполирующим за-

висимостям для значений аргумента, не совпадающих с узлами ин-

терполяции. Вектор значений x преподаватель выдает непосредствен-

но перед выполнением работы.

3. Построить аппроксимирующие зависимости (двумя функция-

ми) стандартными средствами MATHCAD. Вид функций преподава-

тель выдает непосредственно перед выполнением работы.

4. Получить количественные характеристика качества двух по-

лученных аппроксимирующих зависимостей и сформулировать за-

ключений – какая из двух аппроксимация лучше.

5. Выполнить расчеты значений по этим аппроксимирующим

зависимостям для значений аргумента, не совпадающих с исходными

значениями аргумента.

6. ФОРМА ОТЧЕТНОСТИ

Отчёт о лабораторной работе не оформляется. Преподавателю

предъявляются результаты работы на мониторе компьютера. Устно

формулируются выводы по результатам работы.

21

7. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Что такое интерполяция таблично (точечно) заданной функ-

ции?

2. Как соответствуют степень интерполирующего полинома

(многочлена) и количество точек исходных данных?

3. Что такое аппроксимация таблично (точечно) заданной функ-

ции?

4. Что является количественной характеристикой качества ап-

проксимирующей функции?

5. Какие этапы можно выделить при построении качественной

аппроксимирующей функции?

6. Чем различаются графики интерполирующей и аппроксими-

рующей функции для одних и тех же исходных данных?

7. Объяснить процедуру получения аппроксимирующих зави-

симостей с применением программы MATHCAD.

8. Объяснить процедуру получения интерполирующих зависи-

мостей с применением программы MATHCAD.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Трубников, С.В. Вычислительная математика: учеб. пособие /

С.В.Трубников, Б.В. Порошин. – Брянск: БГТУ, 2005. – 396 с.

2. Воскобойников, Ю.Е.Основы вычислений и программирова-

ния в пакете MATHCAD/ Ю.Е.Воскобойников, А.Ф.Задорожный,

Л.А.Литвинов, Ю.Г.Черный. – Новосибирск, Новосибирский архи-

тектурно-строительный университет, 2012 – 212 с.

3. Программирование в среде MathCAD: учеб.-метод. пособие

для бакалавров инженерных и физических специальностей / сост. В.

К. Толстых. – Донецк: ДонНУ, 2010. – 128 с.

Информатика (информационные технологии). Получение мате-

матической зависимости для таблично (точечно) заданной функции

методами аппроксимации и интерполяции в MATHCAD: [Электрон-

ный ресурс]: метод. указания к выполнению лабораторной работы №

18 для студентов очной формы очной формы обучения по всем тех-

ническим направлениям подготовки (квалификация «бакалавр»)

МИХАИЛ ВИКТОРОВИЧ ЗЕРНИН

Научный редактор А.А.Азарченков

Редактор издательства Л.Н. Мажугина

Компьютерный набор М.В.Зернин

Темплан 2014 г., п. 357.

Подписано в печать Формат 6084 116 Бумага офсетная. Офсетная

печать. Усл. печ. л. 1,16. Уч.-изд. л. 1,16. Тираж 1 экз. Заказ Бесплатно

Издательство Брянского государственного технического университета.

241035, Брянск, бульвар им. 50 лет Октября, 7, тел. 58-82-49

Лаборатория оперативной полиграфии БГТУ, ул. Институтская, 16