УТВЕРЖДАЮ

УТВЕРЖДАЮ

Ректор университета

__________ О.Н. Федонин

«___» __________ 2014 г.

ПРОЕКТ

ИНФОРМАТИКА (ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ)

АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ ОДНОЙ

ПЕРЕМЕННОЙ СРЕДСТВАМИ ПРОГРАММ

EXCEL И MATHCAD

Методические указания

к выполнению лабораторной работы № ???

для студентов очной формы обучения

всех технических специальностей

(квалификация «бакалавр»)

Брянск 2014

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Брянский государственный технический университет

УДК 004.2

Информатика (информационные технологии). Анализ

нелинейной функции одной переменной средствами

программ EXCEL и MATHCAD: [Текст]+[Электронный

ресурс]: метод. указания к выполнению лабораторной

работы № ?? для студентов очной формы всех техниче-

ских специальностей (квалификация «бакалавр»). – Брянск: БГТУ,

2014. –44 с.

Разработал: Зернин М.В., канд. техн. наук, доц.

Рекомендовано кафедрой «Информатика и программное

обеспечение»

(протокол № ?? от ??.??.??)

3

1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ РАБОТЫ

При решении некоторых технических задач требуется анализ

«характерных точек» функции одной переменной (уравнения с одним

неизвестным), а именно – корней и точек экстремумов. В настоящей

лабораторной работе рассмотрено решение этой задачи, причем кор-

ни определяются численным методом, а точки экстремума – с приме-

нением процедуры дифференцирования функции и отыскания значе-

ния аргумента, при котором первая производная равна нулю. То есть

сначала требуется выполнить аналитические действия – дифференци-

рование функции. Последующая процедура – отыскание корня урав-

нения первой производной выполнена численным методом.

Цель лабораторной работы заключается в повторении и закреп-

лении знаний, полученных в дисциплине «Высшая математика» и в

приобретении практических навыков в применения возможностей

программ EXCEL и MATHCAD для нахождения корней и экстрему-

мов функции одной переменной (одного аргумента).

Задачи лабораторной работы:

1. Изучить основные положения задачи нахождения корней и

экстремумов функций одной переменной и численных методов реше-

ния этих задач.

2. Освоить процедуру «Подбор параметра» программы EXCEL

и применение ее для отыскания корней и экстремумов функций од-

ной переменной.

3. Освоить процедуру «Поиск решения» программы EXCEL и

применение ее для отыскания корней и экстремумов функций одной

переменной.

4. Освоить процедуру «root» отыскания корней функции одной

переменной в программе MATHCAD и методику применения ее для

отыскания корней и экстремумов функций одной переменной.

5. Освоить процедуры «minimize» и «maximize» отыскания ми-

нимумов и максимумов функции одной переменной в программе

MATHCAD.

Продолжительность лабораторной работы – 8 часов, из них:

а) изучение методических указаний – 4 часа (самостоятельная

работа студентов);

б) выполнение лабораторной работы – 4 часа:

работа в EXCEL – 2 часа,

4

работа в MATHCAD – 2 часа.

2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Теория по указанной теме изложена во многих учебниках по

«Вычислительной математике» и «Численным методам». Данный

раздел составлен на основе учебных пособий [1, 2], изданных в БГТУ,

с использованием интернет - ресурса [3] с дополнениями из других

источников и изменениями.

2.1. Постановка задачи отыскания корней и экстремумов

функции одной переменной

Рассмотрим уравнение с одним неизвестным вида

0)( xf . (1)

Здесь f(x) заданная вещественная нелинейная функция одной

вещественной переменной. Предположим, что это уравнение имеет

корни, и обозначим искомый корень этого уравнения ex . Корнем

(или решением) уравне-

ния (1) называется зна-

чение ex , при котором

0)( xf (рис. 1). Ко-

рень ex уравнения (1)

называется простым,

если 0)( еxf . В про-

тивном случае (при 0)( еxf ) корень ex называется кратным.

Целое число m назовем кратностью корня ex , если 0)()( ek xf

для 1,...2,1 mk и 0)()( em xf . То есть число кратности корня

определяется наименьшим порядком производной функции,

принимающей ненулевое значение при х= ex .

Геометрически корень ex соответствует точке пересечения гра-

фика функции у = f(x) с осью 0х. Корень ex является простым, если

график пересекает ось 0х под ненулевым углом, и кратным, если

пересечение происходит под нулевым углом. Функция f(x), график

5

который изображен на рис. 1, имеет четыре корня. Корни 1x и 4x

простые корни, а корни 2x и 3x кратные, причем 2x корень четной

кратности, а 3x корень нечетной кратности.

Задача отыскания простых корней является более простой (и

чаще встречающейся), чем задача отыскания кратных корней. В дей-

ствительности большинство методов решения уравнения (1) ориенти-

ровано именно на вычисление простых корней. В рамках лаборатор-

ной работы и последующей курсовой работы анализируются только

простые корни функции f(x).

Кроме корней нелинейная функция f(x) может иметь точки экс-

тремумов (минимумы и максимумы). Решением задачи отыскания

точки экстремума называют точку х*, в которой целевая функция f(х)

достигает своего минимального или максимального значения.

Точка х* определяет глобальный минимум функции одной пе-

ременной f(x), заданной на числовой прямой х, если x* х и f(x*)<f(x)

для всех x* х (рис. 2а). То есть среди всех минимумов функции f(x) в

этой точке достигается самое малое значение функции. Точка х*

называется точкой строгого глобального минимума, если это нера-

венство выполняется как строгое. Если же в выражении f(х*)<=f(x)

равенство возможно при х, неравных х*, то реализуется нестрогий

минимум, а под решением в этом случае понимают множество

х*=[x* х:f(x)=f(x*)] (рис. 2б).

a) б)

Рис. 2. Глобальный минимум:

а - строгий, б – нестрогий Рис. 3. Экстремумы функции

Точка х* х определяет локальный минимум функции f(x) на

множестве х, если при некотором достаточно малом δ>0 для всех х,

не равных х*, x х, удовлетворяющих условию ¦х- х*<=δ, выполняется

неравенство f(х*)<f(х). Если неравенство строгое, то х* является

точкой строгого локального минимума. Все определения для

6

максимума функции получаются заменой знаков предыдущих

неравенств на обратные. На рис. 3 показаны экстремумы функции

одной переменной f(х) на отрезке [a, b]. Здесь х1, х3, х5 - точки

локального максимума, а х4 - локального минимума. В точке х6

реализуется глобальный максимум, а в точке х2 – глобальный

минимум.

Задачи отыскания положения корня или экстремума функции

решаются итерационными методами и решение их завершаются при

достижении заданной точности. Т.е. результатом решения этих задач

является не точное, а приближенное (с заданной точностью)

значение. Будем искать приближенное значение корня ax или

экстремума х*. Обе эти задачи выполняются в два этапа: этап

локализации таких характерных точек и этап уточнения их положе-

ния. Далее подробно излагается задача отыскания положения корня.

Задача отыскания положения экстремума отличается только на

втором этапе – применяются несколько отличающиеся схемы и

алгоритмы уточнения положения характерной точки. Но в основе

всех методов решения двух поставленных задач лежит принцип

последовательных приближений.

Итак, необходимо найти приближенное значение корня ax ,

абсолютная погрешность которого не превышает заданного

положительного числа

ae xx . (2)

Приближенное значение ax не единственно, так как неравенству

(2) удовлетворяют все точки отрезка ee xx , и все они годятся

в качестве искомого приближенного решения задачи. Мы будем

искать любое из этих приближенных решений.

Сформулируем принцип последовательных приближений. Пусть

известна числовая последовательность nx , сходящаяся к ex

( enn

xx lim ). Согласно определению предела, для заданного 0

найдется номер N такой, что для всех номеров n, больших или равных

N, будет выполнено неравенство ne xx . Иными словами,

een xxx , для всех номеров n, больших или равных N.

Таким образом, все nx при Nn являются приближенными

решениями задачи с погрешностью, не превышающей . Поэтому

7

члены последовательности nx называются приближениями (или

итерациями). Все методы, в которых используется принцип

последовательных приближений, называются итерационными.

Таким образом, решение исходной задачи сводится к

построению последовательности приближений и отысканию номера

N. Различные итерационные методы решения уравнения (1)

отличаются друг от друга только способом построения

последовательности приближений и выбора значения N. Такие

методы и алгоритмы итерационного уточнения положения точек

корней и экстремумов применяются на втором этапе решения задач.

Охарактеризуем первый этап – локализацию положения

искомых точек, т.е. определение их начальных значений, которые на

втором этапе должны быть уточнены. Уравнение (1) может иметь

множество корней и экстремумов, и прежде чем мы применим метод

последовательных приближений, необходимо определить, какую из

этих точек мы будем искать. Для этой цели используем механизм

отделения искомого корня от остальных корней. Аналогично

необходимо выполнить отделения искомого экстремума от

остальных и кроме того – выявление является ли он максимумом

или минимумом функции. Этот этап заключается в том, что

указывается отрезок ba; , который содержит одну искомую точку

(корень уравнения ex или экстремум х*) и не содержит других

подобных точек этого уравнения. Для отделения искомого корня

используют различные способы.

Можно построить график функции )(xf и по нему определить

примерное положение корней уравнения (1). Если график 0)( xf

построить сложно, то можно заменить уравнение (1) равносильным

уравнением вида xx , а затем на одном поле построить

графики функций x и x . Точки пересечения двух линий

являются точками корней.

Можно получить достаточно подробную таблицу значений

функции (например, с помощью табличного процессора) и по ней

определить примерное расположение корней уравнения и точек

экстремума.

Далее подбирается отрезок ba; , на котором скорее всего долж-

на находиться искомая точка корня или экстремума. Но все описан-

ные способы отделения искомой точки дают лишь примерное пред-

8

Рис. 4. Схема метода деления

отрезка пополам

положительное его расположение. Для того чтобы с уверенностью

можно было утверждать, что на подобранном отрезке ba; действи-

тельно расположена единственная характерная точка уравнения (1),

используют две теоремы, доказываемые в курсе «Вычислительной

математики». Эти теоремы приведены, например в учебном пособии

[1], но здесь не приводятся.

Современные программные средства позволяют качественно

выполнить этап локализации за счет табуляции функции с мелким

шагом изменения аргумента и построения ее графика.

2.2. Простейший алгоритм уточнения значений корней

и экстремумов функции одной переменной

Методов и соответствующих алгоритмов уточнения значений

характерных точек разработано много. Подробное их описание при-

ведено, например в источниках [1-2]. Опишем простейший из мето-

дов – метод деления отрезка пополам (имеющий также другие назва-

ния: метод половинного деления, метод бисекции, метод дихотомии).

Цель всех методов уточнения - построение последовательности

приближений, сходящейся к искомой точке. Подробно рассмотрим

метод для отыскания корня уравнения, а после этого отметим осо-

бенности этого же метода для отыскания точки экстремума.

Будем считать, что функция )(xf непрерывна на отрезке ba; и

уравнение (1) имеет на нем единственный корень ex (рис. 4). То есть

в результате выполнения первого этапа локализован интервал, на

котором находится один корень.

Последовательность приближе-

ний nx будем строить следующим

образом. Разделим отрезок ba;

пополам точкой 20 bax и

выберем из двух половин 0; xa ,

bx ;0 ту половину отрезка, на

концах которой функция )(xf

имеет значения разных знаков.

Обозначим эту половину 11;ba

(см. рис. 4).

9

Разделим отрезок 11;ba пополам точкой 2111 bax и

выберем из двух половин 11; xa , 11;bx ту половину отрезка, на

концах которой функция )(xf имеет значения разных знаков.

Обозначим эту половину 22 ;ba (см. рис. 4). Далее разделим отрезок

22 ;ba пополам точкой 2222 bax и выберем из двух половин

22 ; xa , 22 ;bx ту половину отрезка, на концах которой функция

)(xf имеет значения разных знаков. Обозначим эту половину 33;ba

(см. рис. 4) и т. д. Таким образом, каждый шаг уточнения приводит к

нахождению в половину меньшего участка с корнем. Продолжая этот

процесс, будем получать остальные члены последовательности nx . Из

рисунка видно, что эта последовательность должна сходиться к ex .

Доказательство этого содержится в учебном пособии [1]. Не из-

лагая это доказательство отметим, что метод деления отрезка попо-

лам имеет простейшее условие применимости (условие, при кото-

ром последовательность вычисляемых значений середин отрезков хn

сходится к значению корня xе.). Функция должна быть непрерывной.

Условие, позволяющее получить член последовательности

приближений, погрешность которого не превышает заданного

положительного числа (условие окончания итераций) состоит в

следующем. Если 2nn ab , то в качестве приближенного

значения корня с погрешностью, не превышающей , можно выбрать

2nna bax .

При построении последовательности приближений nx возмож-

ны два случая:

1. В процессе деления отрезков ни одна из точек nx не совпа-

дет с ex . Тогда получится бесконечная последовательность отрезков

nn ba ; и их середин nx .

2. На каком-то этапе процесса деления очередное значение nx

совпадет с ex . На этом процесс можно закончить и получить точное

значение корня ex .

Рассмотрим подробнее алгоритм приближенного решения урав-

нения методом половинного деления. В алгоритме для ЭВМ этап вы-

боры той половины отрезка, которую нужно оставить должна опре-

делить ЭВМ, которая «не видит» рис. 4. То есть критерий отбрасыва-

ния одной из половин должен быть вычисляемым, а не на основе ви-

10

Рис. 5. Схема алгоритма метода

деления отрезка пополам

зуальной информации. Введем три переменных без индексов a, b, x,

которые в цикле деления отрезка будут последовательно принимать

значения: 111 ,, xba ; 222 ,, xba ; и т. д. Начальные значения перемен-

ных a и b представляют собой заданные координаты концов исходно-

го отрезка, на котором локализован искомый корень решаемого урав-

нения. В цикле значения этих трех переменных должны соответству-

ющим образом изменяться. На каждом шаге цикла 2bax , а

для выбора соответствующей половины отрезка ba; используем

условие 0)()( xfaf . Именно это является вычисляемым критери-

ем отбрасывания одной из половин отрезка. Почему здесь выбрано

нестрогое неравенство увидим немного позже. Если это условие вы-

полняется, то выбирать следует левую половину ( xb ), а если – нет,

то правую ( xa ). Цикл выполняется, пока выполняется условие

2/ab . По окончании работы цикла в качестве искомого при-

ближенного значения корня следует выбрать 2bax .

Мы привели этот алгоритм для

первого рассматриваемого случая,

когда в процессе деления отрезков

ни одна из точек nx не совпадет с

ex . Но легко показать, что и во вто-

ром случае, когда на каком-то этапе

процесса деления очередное значе-

ние nx совпадет с ex , наш алгоритм

будет работать правильно без каких-

либо изменений. Это достигается

благодаря тому, что в условии выбора соответствующей половины

отрезка стоит нестрогое неравенство. В самом деле, пусть на оче-

редном шаге деления отрезка очередное значение переменной х сов-

пало с ex . Тогда, поскольку 0 exfxf , будет выбрана левая

половина отрезка ( xb , рис. 5). На следующем шаге 0 xfaf и

будет выбрана правая половина отрезка ( xa ). На последующих ша-

гах повторится та же ситуация и каждый раз будет выбираться правая

половина отрезка, правый конец которой совпадает с ex . Таким обра-

зом, и во втором случае последовательность nx будет бесконечной и

сходящейся к ex . Кроме того, ex также, как и в первом случае, будет

11

принадлежать всем отрезкам nn ba ; . Поэтому будут справедливы

условия окончания итераций и наш алгоритм будет нормально рабо-

тать в первом и во втором случае. Интересно, что если нестрогое не-

равенство в условии выбора половины отрезка заменить строгим не-

равенством, то во втором случае модифицированный таким образом

алгоритм правильно работать не будет [1].

В случае уточнения значения экстремума функции одной пере-

менной алгоритм будет практически тот же, изменится только усло-

вие отбрасывания одной из половин участка. Для пояснения этих от-

личий приведен рис. 6, с имеющимся максимумом функции.

Рис. 6. Схема метода половинного деления при

отыскании точки экстремума

После вычисления положения очередной середины участка

2nnn bax необходимо вычислить два значения функции, на не-

большом удалении от этой точки, например, в точках xn-ε и xn+ε. В

последующей итерации оставляют тот участок, в котором вычислен-

ное значений функции большее из двух. На рис. 6 это левый участок.

Ранее применялись многие методы уточнения значений харак-

терных точек, т.к. разные методы сходятся с разной скоростью. На

скорость сходимости влияло как количество вычислений на одной

итерации, так и требуемое количество итераций для решения задачи.

При современной производительности ЭВМ отыскание характерных

точек нелинейной функции одной переменной выполняется столь

быстро, что необходимость применения более сложных, но быстрее

сходящихся методов, становится сомнительной. Конечно, существу-

ют некоторые вычислительные задачи, при решении которых нахо-

12

дить корни или экстремумы необходимо многократно. Для таких за-

дач имеет смысл использовать более сложные итерационные методы,

обеспечивающие быструю сходимость, но требующие более тща-

тельного обоснования их применимости в том или ином случае. В

большинстве же практических случаев, когда корни или экстремумы

нужно найти несколько раз, рационально применять метод деления

отрезка пополам. Хотя он не обладает самой быстрой сходимостью,

но условие его применимости и условие окончания итерационного

процесса самые простые.

Еще один вариант отыскания точек экстремума требует получе-

ния формулы для производной функции и приравниванию ее нулю

f'(x)=0. Такую формулу можно получить аналитически или с приме-

нением процедуры дифференцирования из раздела символьной мате-

матики, реализованного во многих специализированных программ-

ных математических пакетах. После этого выполняется табулирова-

ние производной и построение соответствующего графика. В точках

экстремума производная равна нулю, поэтому задача отыскания точ-

ки экстремума исходной функции сводится к задаче отыскания корня

производной. Для выявления, максимум или минимум реализуется в

точке f'(x)=0, следует взять вторую производную хf , вычислить ее

значение в точке экстремума и сопоставить с нулем. Если 0 хf , то

найден минимум, если 0<хf , то найден максимум.

3. ПРИМЕРЫ АНАЛИЗА ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

В ПРОГРАММЕ EXCEL

3.1. Процедуры EXCEL, реализующие итерационные методы

уточнения решения нелинейных задач

О процедуре «Подбор параметра». В программе EXCEL для

отыскания значения аргумента, при котором функция принимает не-

которое заданное значение, можно использовать процедуру «Подбор

параметра». Эта процедура будет нами использована для отыскания

корней уравнения, т.е. таких значений аргумента, при которых функ-

ция принимает значение нуль. Задача отыскания точки экстремума

исходной функции сводится к задаче отыскания корня производной.

Т.е. тоже применима процедура «Подбор параметра».

13

Процедура «Подбор параметра» реализует итерационный про-

цесс уточнения значения аргумента некоторой функции, запрограм-

мированной в ячейке. Параметры итерационного процесса можно

настраивать. Согласно справочной системе программы EXCEL для

настройки итерационного процесса необходимо выполнить следую-

щие действия: открыть закладку «Файл» и нажав на кнопку «Пара-

метры», выбрать категории «Формулы» (рис. 7). В разделе Пара-

метры вычислений установить флажок в строке «Включить итера-

тивные вычисления». Для установки максимального числа итера-

ций ввести в поле «Предельное число итераций» требуемое число

итераций. При недостаточно большом этом числе решение задачи бу-

дет остановлено несмотря на то, что принципиально оно может быть

получено. Для установки максимально допустимого различия между

результатами двух очередных итераций следует ввести это число в

поле «Относительная погрешность». Чем меньше это число, тем

точнее результат, и тем больше времени требуется на решение зада-

чи. Эти фрагменты панели настройки выделены на рис. 7 красным. А

именно показаны настройки процедуры «Подбор параметра»: пре-

дельное количество итераций 10000; относительная погрешность

0,00001.

Рис. 7. Панель настройки процедуры «Подбор параметра»

О процедуре «Поиск решения». В программе EXCEL среди

надстроек имеется более общая процедура «Поиск решения», реали-

зующая итерационные методы уточнения решения нелинейных задач.

При стандартной установке EXCEL эта процедура обычно недоступ-

на, ее необходимо дополнительно подключить. Для этого необходимо

открыть закладку «Файл» и нажав на кнопку «Параметры», выбрать

категории «Надстройки» (рис. 8). Убедившись, что в нижней части

панели в поле «Управление» выбран элемент «Надстройки

EXCEL», нажать кнопку «Перейти» (на рис. 8 выделено красным).

14

Появится панель «Надстройки» (рис.9), на которой следует по-

ставить флажок у надстройки «Поиск решения». После этих дей-

ствий строка надстройка «Поиск решения» переместится в список

активных надстроек и на панели инструментов закладки «Данные»

справа появится кнопка «Поиск решения» (рис. 9).

Рис. 8. Панель активизации Надстроек EXCEL

Рис. 9. Панель активизации

процедуры «Поиск решения»

15

Принципиально процедура «Поиск решения» функционирует

также, как и процедура «Подбор параметра». Задается некоторое

начальное приближение в ячейке (называемой «ячейка переменной»),

которая используется в ячейке с формулой, называемой оптимизиру-

емой (целевой) ячейкой (выделено красным на рис. 10). Далее запус-

кается итерационный процесс по уточнению значения в ячейке пере-

менных для обеспечения некоторого условия в оптимизируемой

ячейке. Процедуру «Поиск решения» можно считать более общей,

чем процедура «Подбор параметра» потому, что кроме отыскания

конкретного значения в оптимизируемой ячейке, можно назначить

целью достижение там минимального или максимального значения.

Рис. 10. Панель процедуры «Поиск решения»

16

В процедуре «Поиск решения» можно выбирать метод реализа-

ции итерационного процесса. Для анализа нелинейных функций це-

лесообразно выбирать метод обобщенного понижающего градиента

(ОПГ). Кроме того можно задавать ограничения, что бывает необхо-

димо для решения некоторых задач. Кроме того в некоторых задачах

целесообразно переменные без ограничений преобразовывать к неот-

рицательным значениям. В рассматриваемых нами задачах эти пре-

образования необходимо отключать (см. рис. 10). Все эти элементы

на панели процедуры «Поиск решения» отмечены (рис. 10) красным.

В настоящей лабораторной работе процедура «Поиск решения»

также будет использована для отыскания корней и экстремумов

функции. Итерационные процедуры можно настраивать (рис. 11),

нажав на кнопку «Параметры» (см. рис. 10).

Рис. 11. Панель настройки параметров процедуры «Поиск решения»

3.2. Анализ полиномиальной функции (как примера функции, не

имеющей разрыва)

В качестве примера проанализируем [2] на интервале [-4; 2.2]

полином шестой степени

057245226815267 23456 хххххххf (3)

Этап локализации характерных точек. Протабулируем урав-

нение (3) на заданном интервале с шагом 0,2 и построим (рис. 12а)

диаграмму (рис. 12б) типа ТОЧЕЧНАЯ – ГЛАДКИЕ КРИВЫЕ.

Выделим в таблице строки, ближе всего соответствующие кор-

ням уравнения и точкам экстремумов (рис. 13). Имеется корень 1

кратный четной степени, корни 2 и 3 простые (см. рис. 13). Также

имеется один максимум и один минимум (точка кратного корня 1 од-

новременно является локальным минимумом, но анализировать ее не

будем).

17

а) б)

Рис. 12. Фрагмент таблицы и график полиномиальной функции (а) и панель

выбора типа диаграммы (б)

Рис. 13. Результаты локализации характерных точек

(корней и экстремумов)

18

Протабулируем также первую производную полинома (3) и по-

строим на одной диаграмме два графика. Напоминаем, что производ-

ная от константы равна нулю, а производная от степенной функции

определяется по очень простому правилу 1*** вв хвахаf . Чтобы не

подсчитывать значения коэффициентов, так и будем записывать в

формуле для производной произведение двух коэффициентов а*в. То

есть производная от полинома (3) программируется (рис. 14) так

0245*2*22*3*68*4*15*5*26*6*7 2345 ххххххf (4)

Рис. 14. Таблица значений и графики полинома (3) и его производной (4)

19

Взаиморасположение двух кривых соответствует всем критери-

ям. В точках экстремума первая производная равна нулю. Там, где

имеются минимумы функции, вторая производная возрастает, т. е.

0 хf . Там, где имеются максимумы функции, вторая производная

ее убывает, т.е. 0<хf .

Этап уточнения положения характерных точек функции.

Подробно распишем порядок применения процедуры «Подбор пара-

метра» для уточнения положения корня 2 (рис. 15). Выделим ячейку

В23 и вызовем (рис.15) процедуру «Подбор параметра»: на закладке

«Данные» раскрываем список на кнопке «Анализ что - если» и вы-

бираем строку «Подбор параметра».

Рис. 15. Вызов процедуры «Подбор параметра»

Появляется панель «Подбор параметра» (рис. 16), на которой

имеются три фразы и соответствующие три окна для заполнения ин-

формацией. Эти элементы взаимосвязаны следующей логической це-

пью. Нужно установить в ячейке В23 (эта ячейка всегда должна со-

держать формулу анализируемой функции) значение 0 (потому, что

20

мы отыскиваем корень функции), изменяя значение ячейки А23. Если

обратить внимание на строку формул на рис. 15 и рис. 16, то видим,

что содержимое ячейки В23, в которой запрограммирована эта фор-

мула, может быть изменено только за счет изменения содержимого

ячейки А23. Все остальные элементы формулы – константы.

Рис. 16. Панель процедуры «Подбор параметра» при уточнении корня 2

Нажав на кнопку «ОК», увидим панель результата выполнения

процедуры «Подбора параметра» (рис. 17). Решение найдено – в

ячейке В23 вместо 6,56 (см. рис. 15 и 16) появилось число 3,31Е-06

(это экспоненциальная форма представления числа 3,31*10-6

). Т. е.

найденное число меньше по модулю заданной допустимой погрешно-

сти решения 0,00001 (см. рис. 7), его можно считать нулем. При этом

в ячейке А23 вместо исходного числа 0,2 (см. рис.15 и 16) появилось

21

число 0,224865 (см. рис. 17). Таким образом, за счет реализации ите-

рационной процедуры уточнения содержимого ячейки А23 процедура

«Подбора параметра» обеспечила с заданной точностью нулевое зна-

чение в ячейке В23. Еще один признак отсутствия ошибок при реше-

нии этой задачи – график на рис. 17 изменился в минимальной степе-

ни. Если после реализации процедуры «Подбор параметра» график

существенно изменяется, значит действия выполнены с ошибками.

Рис. 17. Результаты выполнения процедуры «Подбор параметра»

для уточнения положения корня 2

Подробно распишем порядок действий применения процедуры

«Подбор параметра» для уточнения максимума функции (рис. 18).

Напомним, что задача отыскания точки экстремума исходной функ-

ции тождественна задаче отыскания корня производной. Выделим

22

ячейку С14 и вызовем (рис.18) процедуру «Подбор параметра». Три

фразы на панели процедуры связаны следующей логикой. Нужно

установить в ячейке С14 (эта ячейка содержит формулу первой про-

изводной функции) значение 0 (потому, что мы отыскиваем корень

первой производной функции), изменяя значение ячейки А14. Если

обратить внимание на строку формул на рис. 18, то видим, что со-

держимое ячейки В14, в которой запрограммирована эта формула,

может быть изменено только за счет изменения содержимого ячейки

А14. Все остальные элементы формулы – константы.

Рис. 18. Панель процедуры «Подбор параметра» при уточнении максимума

Нажав на кнопку «ОК», увидим панель результата выполнения

процедуры «Подбора параметра» (рис. 19). Решение найдено – в

ячейке С14 вместо -39,5 (см. рис. 18) появилось число 4,427Е-10 (это

экспоненциальная форма представления числа 4,427*10-10

). Т. е.

найденное число меньше по модулю заданной допустимой погрешно-

сти решения 0,00001 (см. рис. 7), его можно считать нулем. При этом

в ячейке А14 вместо исходного числа -1,6 (см. рис. 18) появилось

число -1,66296, а в ячейке В14 вместо числа 417,7 (см. рис. 18) появи-

23

лось уточненное значение максимума функции 418,9729. Таким обра-

зом, за счет реализации итерационной процедуры уточнения содер-

жимого ячейки А14 процедура «Подбора параметра» обеспечила с

заданной точностью нулевое значение производной функции в ячейке

С14 и максимальное значение самой функции в ячейке В14. Еще один

признак отсутствия ошибок при решении этой задачи – графики на

рис. 19 изменились в минимальной степени.

Рис. 19. Результаты выполнения процедуры «Подбор параметра»

для уточнения положения максимума

Аналогичным образом уточнены положения корня 3 и точки

минимума функции (рис. 20). Итак, получили: корень 1 при x1=3 (это

значение получено при табулировании функции и не уточнялось); ко-

рень 2 при x2=0,224865, корень 3 при x3=2,013616; функция принима-

ет максимальное значение 418,9729 при x*=-1,66296; функция при-

нимает минимальное значение -388,272 при x*=1,497393.

24

Рис. 20. Результаты выполнения процедуры «Подбор параметра»

для уточнения положения корней и экстремумов функции

Корни и экстремумы функции можно определить также с при-

менением процедуры «Поиск решения». Алгоритм действий по уточ-

нению положения корней практически совпадает с тем, который опи-

сан выше для процедуры «Подбор параметра». А для уточнения по-

ложения точек экстремумов первую производную функции нет необ-

ходимости вычислять, можно анализировать саму функцию. Для

примера на рис. 21 показана панель процедуры «Поиск решения»,

настроенная на определение минимума в ячейке В29. Три фразы, от-

меченные на рис. 21 красным связаны следующей логикой. Оптими-

зировать целевую ячейку В29 (а именно установить в ней минимум),

25

изменяя ячейку переменных А29. Если обратить внимание на строку

формул на рис. 21, то видим, что содержимое ячейки В29, в которой

запрограммирована эта формула, может быть изменено только за счет

изменения содержимого ячейки А29. Все остальные элементы фор-

мулы – константы. Кроме того обращаем внимание на содержимое

еще двух полей, отмеченных красным. Выше сказано, что для решае-

мой задачи следует именно так заполнять эти поля.

Рис. 21. Панель процедуры «Поиск решения» при уточнении минимума

Нажав на кнопку «Найти решение», увидим панель результата

выполнения процедуры «Поиск решения» (рис. 22). Решение найдено

– в ячейке В29 вместо -380,795 (см. рис. 21) появилось число -

388,272. Т. е. найден минимум функции. При этом в ячейке А29 вме-

сто исходного числа 1,4 (см. рис. 21) появилось число 1,497393 (см.

рис. 22), т.е. появилось уточненное значение положения точки мини-

мума. Таким образом, за счет реализации итерационной процедуры

уточнения содержимого ячейки А29 процедура «Поиск решения»

уточнила положение минимума функции. Отметим, что на рис. 20

26

показаны точно такие же значения в ячейках А29 и В29, полученные

в результате выполнения процедуры «Подбор параметра». Еще один

признак отсутствия ошибок при решении этой задачи – график на

рис. 22 изменился в минимальной степени.

Рис. 22. Результаты уточнения положения минимума функции (3)

с применением процедуры «Поиск решения»

Можно вывести отчет о результатах применения процедуры

«Поиск решения». Для этого на панели «Результаты решения» сле-

дует активизировать строку «Результаты» в разделе «Отчеты» (отме-

чено красным на рис. 22). Скриншот с фрагментом отчета показан на

рис. 23.

27

Рис. 23. Отчет о выполнении уточнения положения минимума

функции (3) с применением процедуры «Поиск решения»

3.3. Анализ функции с разрывом

Пусть на интервале [-3;3] задана функция

051

12

x

x (4)

Специально в качестве примера выбрана функция, имеющая

разрыв в точке х=1. Выполним табулирование функции (4) в EXCEL

на интервале [-3;3] с шагом 0,2 (рис. 24).

Рис. 24. Фрагмент таблицы и график функции с разрывом по формуле (4)

28

Этот график искажен – в точке разрыва (при х=1 в ячейке В22)

выполняется деление на нуль. Значения функции становится беско-

нечным. На графике этот факт должен приводить к появлению двух

ветвей (возрастающей и убывающей), асимптотически уходящих в

бесконечность. Но на рис. 24 возрастающая и убывающая ветви со-

единены линией, которой на самом деле не существует (эта соедини-

тельная линия на рис 24 зачеркнута). Две ветви функции вблизи точ-

ки разрыва должны асимптотически уходить в бесконечность, как это

показано красными линиями, нанесенными на скриншот в графиче-

ском редакторе. Если оставлять график в исходном виде, то создается

ложное впечатление, что имеется еще один минимум и еще один мак-

симум. Для корректировки графика функции следует удалить из

ячейки В22 содержимое. Асимптоты (см. рис. 25) не появляются, но

линия, соединяющая две ветви исчезает.

Рис. 25. Фрагмент таблицы и график функции с разрывом по формуле (4)

Дальнейшие действия аналогичны, изложенным в разделе 3.2.

Этап локализации характерных точек функции. На получен-

ном графике (одновременно заглядывая на значения в таблице) опре-

деляем приближенные значения корней уравнения. Данные корни бу-

дут находиться в точках пересечения графика функции с осью абс-

цисс. Приближенные значения корней можно определить по таблице

табуляции в строках, где значения в столбце минимальны. Получаем

29

(рис. 26) следующие приближенные значения корней уравнения: -2.2,

0,8 и 2,4. Также выполняем локализацию точек экстремума – имеется

только минимум в точке вблизи х=-0,2.

Рис. 26. Результаты локализации характерных точек функции (4)

Этап уточнения значений корней. С помощью процедуры

«Подбор параметра» определяем точное значение корня для каждого

из найденных приближенных значений. Пример уточнения значения

корня 2 приведен на рис. 27. На панели процедуры «Подбор парамет-

ра» (рис. 27а), отмеченные красным фрагменты взаимосвязаны сле-

дующей логической цепью. Нужно установить в ячейке В21 (эта

ячейка содержит формулу) значение 0 (мы отыскиваем корень функ-

ции), изменяя значение ячейки А21. Если обратить внимание на стро-

ку формул, то видим, что содержимое ячейки В21, в которой запро-

граммирована эта формула, может быть изменено только за счет из-

30

менения содержимого ячейки А21. Результат выполнения показан на

рис. 27б.

а)

б)

Рис. 27. Задание (а) на уточнение положения корня 2 с применением

Процедуры «Подбор параметра» и результаты (б)

В качестве примера на рис. 28 – 29 показано решение задачи

уточнения корня 1 с применением процедуры «Поиск решения». На

рис. 28 показана панель процедуры «Поиск решения», настроенная на

достижение нулевого значения минимума в ячейке В6. Три фразы,

отмеченные на рис. 28 красным связаны следующей логикой. Опти-

мизировать целевую ячейку В6, а именно установить в ней нулевое

значение, изменяя ячейку переменных А6. Если обратить внимание

на строку формул на рис. 28, то видим, что содержимое ячейки В6, в

которой запрограммирована эта формула, может быть изменено толь-

ко за счет изменения содержимого ячейки А6. Все остальные элемен-

ты формулы – константы. Кроме того обращаем внимание на содер-

жимое еще двух полей, отмеченных ниже красным. Выше сказано,

что для решаемой задачи следует именно так заполнять эти поля.

31

Рис. 28. Задание на уточнение положения корня 2 с применением процедуры

«Поиск решения»

Нажав на кнопку «Найти решение», увидим панель результата

выполнения процедуры «Поиск решения» (рис. 29). Решение найдено

– в ячейке В6 вместо 1,054 (см. рис. 28) появилось число 5,4Е-07 (это

экспоненциальная форма представления числа 5,4*10-7

). Т. е.

найденное число меньше по модулю заданной допустимой погрешно-

сти решения 0,00001, его можно считать нулем. При этом в ячейке А6

вместо исходного числа -2,4 (см. рис. 28) появилось число 2,16425

(см. рис. 29) Таким образом, за счет реализации итерационного уточ-

нения содержимого ячейки А6 процедура «Поиск решения» уточнила

положение корня 1.

32

Рис. 29. Результаты уточнения положения корня 2 с применением процедуры

«Поиск решения»

Этап уточнения точек экстремума. Уточним положения ми-

нимума функции f(x). Производную функции (4) взять сложнее, чем

производную полиномиальной функции (3). Поэтому воспользуемся

надстройкой «Поиск решения» для отыскания минимума функции (4)

и настроим её согласно рис. 30. Для этого сначала выделяется целевая

ячейка В16, в которое требуется достигнуть минимального значения

функции, изменяя содержимое ячейки А16. Именно этот адрес ячейки

А16 содержится в формуле для вычисления значения функции в це-

левой ячейке. Кроме того обращаем внимание на содержимое еще

двух полей, отмеченных ниже на рис. 30 красным.

Нажав на кнопку «Найти решение», увидим панель результата

выполнения процедуры «Поиск решения» (рис. 31). Решение найдено

– в ячейке В16 вместо -4,12667 (см. рис. 31) появилось число -

4,14078. Т. е. найден минимум функции. При этом в ячейке А16 вме-

сто исходного числа -0,2 (см. рис. 30) появилось число -0,29716 (см.

рис. 31), т.е. появилось уточненное значение положения точки мини-

мума. Таким образом, за счет реализации итерационной процедуры

уточнения содержимого ячейки А16 процедура «Поиск решения»

нашла с заданной точностью положение минимума функции.

33

Рис. 30. Задание на уточнение положения минимума функции с применением

процедуры «Поиск решения»

Рис. 31. Результаты уточнения положения минимума функции (4)

с применением процедуры «Поиск решения»

34

Иногда при реализации итерационной процедуры для разрывной

функции возможно попадание очередного приближения в область

разрыва. Для недопущения такого нежелательного «аварийного» за-

вершения итерационного процесса, следует назначать ограничения. В

рассматриваемом примере такого «срыва в пропасть» не произошло.

Тем не менее, для этой функции покажем (рис. 32), как настраивается

панель процедуры «Поиск решения» при необходимости назначить

ограничение, а именно – обеспечить значение содержимого ячейки

А16 меньшим или равным нулю (не допустить равенства единице).

Для этого на панели настройки процедуры «Поиск решения» на

отыскание минимума (рис. 30) следует нажать кнопку «Добавить» в

разделе «Ограничения». На появившейся панели задания ограниче-

ний (рис. 32) заполнить соответствующие поля.

Рис. 32. Задание ограничение на значение аргумента при уточнении положения

минимума разрывной функции (4)

В результате (рис. 33) на панели процедуры «Поиск решения»

появится ограничение (выделено красным). Подробный отчет о вы-

полнении этого задания приведен на рис. 34.

Итак, в результате получили следующие значения корней урав-

нения: x1= -2.16425, x2=0.772866 и x3=2.39132. Функция достигает

минимального значения f(x)=-4,14078 при значении аргумента х*=-

0,29716. Задача решена.

35

Рис. 33. Задание на уточнение положения минимума функции с применением

процедуры «Поиск решения» при наличии ограничения значений аргумента

36

Рис. 34. Отчет процедура «Поиск решения» о выполнении задания на уточнение

положения минимума разрывной функции при наличии ограничения значений

аргумента

3.4. Анализ функции с разрывом в программе MATHCAD

Проанализируем функцию с разрывом (4) с помощью програм-

мы MATHCAD.

Этап локализации корней и минимума. Для этого запрограм-

мируем функцию (4) и построим ее график (рис. 35), выбрав тип диа-

граммы (График X-Y). Так как функция имеет точку разрыва, то в

этой точке значения функции очень большие. Для получения инфор-

мативного графика назначим минимальные и максимальные значения

аргумента и функции (отмечено на рис. 35 красными овалами). По

графику определяем приближенные значения корней уравнения: -2.1,

37

0.8 и 2.4. Напоминаем, что в программе MATHCAD разделителем

между целой и дробной частью числа является точка. Точка миниму-

ма расположена вблизи значения аргумента х=-0.4.

Рис. 35. Задание функции и построение ее графика

Этап уточнения положения корней. Для отыскания корней

уравнения в программе MATHCAD имеется процедура «root(f(x),x)»,

параметрами которой является запрограммированная функция и

начальное приближение корня. Процедура реализует итерационное

уточнение значения корня. Точность решения этой задачи определя-

ется параметром «TOL». По умолчанию этот параметр в программе

MATHCAD равен 10-3

. Его можно переопределить (рис.36). Три раза

задаем начальные приближения, применяем процедуру«root(f(x),x)»

и получаем три уточненных значения корня. При этом указанная

процедура использует в качестве начального приближения последнее

определенное перед ее записью значение аргумента. Получаем сле-

дующие значения корней уравнения: x1= -2.164, x2=0.773 и x3=2.391

(рис.2). То есть результаты совпали с результатами, полученными в

программе EXCEL.

38

Рис. 37. Операция

дифференцирования

Рис. 36. Уточнение положения корней и точки минимума

Этап уточнения положения точек экстремума. В программе

MATHCAD имеются две отдельные процедуры для нахождения точек

экстремумов. Процедура «minimize(f,x)» уточняет положение мини-

мума, а процедура «maximize(f,x)» уточняет положение максимума.

Аргументами этих процедур являются: имя функции и начальное

приближение аргумента. В результате итерационного процесса будет

найден тот минимум или максимум, который находится ближе всего

к выбранному начальному приближению. Так, на рис. 36 показано

применение процедуры «minimize(f,x)» для уточнения положения

точки минимума функции.

Экстремумы функции в программе MATHCAD можно также

определять, анализируя график первой производной функции. При

этом аналитическое выражение для произ-

водной можно в программе MATHCAD по-

лучать, используя символьные (аналитиче-

ские) преобразования. Пример таких преоб-

разований показан на рис. 37 - 38. Опреде-

лим производную fs(x), нажав соответству-

ющую кнопку на палитре «Математиче-

ские преобразования» (рис. 37) и, запол-

нив соответствующие пустые позиции

(внизу x, справа - f(x) см. рис. 38). Далее необходимо нажать кнопу со

стрелкой, имеющуюся на двух палитрах (рис. 38). После нажатия

39

клавиши «Enter» появляется формула первой производной функции

(рис. 38).

Рис. 38. Результат дифференцирования функции

После того, как аналитическое выражение для производной по-

лучено, на диаграмме с графиком функции (см. рис. 36) строим до-

полнительно график ее первой производной (рис. 39). Для этого по-

сле закрывающей скобки в поле назначения параметра, отсчитывае-

мого по вертикальной оси (на рис. 36 и 39 это - обозначение функции

f(x)) и нажимаем на клавиатуре клавишу «,». Эта запятая не появляет-

ся, но становится активной пустая позиция в сроке, расположенной

ниже. В эту строку вводим обозначение первой производной fs(x).

После нажатия на «Enter» появляется второй график.

Рис. 39. Выражение для производной , построение двух графиков

и уточнение точки минимума

40

По графику определяем приближенное значение точки миниму-

ма x*=-0,4. С применением процедуры «root(fs(x),x)» уточняем по-

ложение точки минимума, обозначив ее идентификатором Xmin

=0.297. После этого определяем значение экстремума функции

f(Xmin)=-4.141. Результаты двух вариантов действий в MATHCAD и

в EXCEL совпали. Значит задача решена правильно.

4. ЗАДАНИЕ К РАБОТЕ

В соответствии с приведенными теоретическими сведениями и

приведенными примерами определить корни и экстремумы нелиней-

ной функции одной переменной.

5. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Уяснить основные положения теории, изложенной в разделе

2: формулировку задачи нахождения корней и экстремумов функций

одного аргументов и основы численных методов решения этих задач.

2. В программе EXCEL проанализировать функцию одной пе-

ременной. (Уравнение выдает преподаватель непосредственно перед

началом занятия):

Провести табулирование функции f(x) на заданном интер-

вале. Шаг табуляции h выбирать таким, чтобы было от 20 до

30 точек. Основная задача этого и следующего этапа - гра-

фик должен получиться информативным и наглядным.

Оформить таблицу (рамки, названия столбцов и т.п.).

Построить график функции f(x). Нежелательно использо-

вать линии с маркерами, так как иногда наличие маркеров

затрудняет определение характерных точек на кривой,

например точек пересечения с горизонтальной осью.

По графику определить приближенные значения корней

уравнения f(x)=0 и точек экстремума функции. Выделить в

таблице цветом строки (оттенки цвета должны быть очень

светлые) и привести в соответствующих строках надписи ря-

дом с таблицей («Корень 1», «Корень 2», «Максимум 1»,

«Минимум 2» и т.п.)

41

С помощью процедуры «Подбор параметра» определить

уточненные значения корней уравнения f(x)=0. Точность ре-

ализации этого этапа можно настроить, используя меню

«Параметры». Результат записать с точностью не менее 5

знаков после запятой.

Эту же задачу (уточнение значения корня) выполнить с

помощью надстройки «Поиск решения» в EXCEL для одного

из корней. Результат записать с точностью 5 знаков после

запятой.

С помощью надстройки «Поиск решения» EXCEL найти

экстремумы функции f(x). Результат записать с точностью 5

знаков после запятой.

По указанию преподавателя получить и запрограммиро-

вать формулу для первой производной функции. Для этого

случая задачу уточнения значения одного из экстремумов

выполнить с помощью процедуры «Подбор параметра». (За-

дача решается как подбор параметра, обеспечивающего ну-

левое значение производной). Результат записать с точно-

стью 5 знаков после запятой.

3. В программе MATHCAD проанализировать эту же функцию

одной переменной.:

Построить график функции f(x).

По графику определить начальные приближения корней и

экстремумов уравнения f(x).

Определить уточненные значения корней уравнения. Для

этих целей могут использовать процедуру «root». Результат

записать с точностью 5 знаков после запятой.

Использовать процедуры «minimize» и «maximize» для

отыскания минимумов и максимумов функции.

С помощью символьных преобразований в MATHCAD по-

лучить выражение для первой производной функции f'(x).

Найти экстремумы функции f(x) путем решения уравнения

f'(x)=0 с использованием процедуры «root». Определить зна-

чение функции в точках экстремума. Результат записать с

точностью 5 знаков после запятой.

4. Сравнить результаты, полученные в EXCEL и MATHCAD, и

сформулировать выводы об эффективности EXCEL и MATHCAD при

решении задач нахождения корней и экстремумов функции.

42

6. ФОРМА ОТЧЕТНОСТИ

Отчёт о лабораторной работе не оформляется. Преподавателю

предъявляются результаты работы на мониторе компьютера. Устно

формулируются выводы по результатам работы.

7. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Что такое корень нелинейной функции одной переменной?

2. Что такое экстремум функции одной переменной?

3. Какие экстремумы бывают?

4. Какие этапы решения задачи отыскания характерных точек

(корней и экстремумов) можно выделить?

5. Какова цель этапа локализации (отделения) характерных то-

чек и какими методами эта цель может быть достигнута?

6. На каком принципе основаны итерационные методы уточне-

ния положения характерных точек?

7. Объяснить основы простейшего итерационного метода уточ-

нения положения характерных точек – метода половинного деления.

8. Как взаимосвязаны значения функции, ее первой и второй

производных в точках экстремума?

9. Объяснить действия, выполняемые процедурой «Подбор па-

раметра», имеющейся в программе EXCEL.

10. Объяснить действия, выполняемые процедурой «Поиск

решения», имеющейся в программе EXCEL.

11. Какие варианты процедур можно использовать в програм-

ме EXCEL для отыскания корней функции?

12. Какие варианты процедур можно использовать в програм-

ме EXCEL для отыскания экстремумов функции?

13. Объяснить действия, выполняемые процедурой «root»,

имеющейся в программе MATHCAD.

14. Объяснить действия, выполняемые процедурами

«minimize» и «maximize», имеющимися в программе MATHCAD.

15. Какие варианты процедур можно использовать в програм-

ме MATHCAD для отыскания экстремумов функции?

43

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Трубников, С.В. Вычислительная математика: учеб. пособие /

С.В.Трубников, Б.В. Порошин. – Брянск: БГТУ, 2005. – 396 с.

2. Порошин, Б.В. Вычислительная математика: Сборник зада-

ний /Б.В.Порошин. – Брянск: БГТУ, 2007. – 104 с.

3. Трифонов, А.Г. Постановка задачи оптимизации и численные

методы ее решения"/А.Г.Трифонов, А.Г. [ЭР] Математи-

ка\Optimization Toolbox

4. Понятный самоучитель Excel 2010. / В.. Волков – С. П.: Пи-

тер, - 2010. – 252 с. – гежим доступа:

rsload.net›knigi/8325…samouchitel-excel-2010.html

5. Самоучитель Microsoft Office Excel 2010 - М.: ID COMPANY,

2010 - режим доступа: aleka.org.ua›soft…samouchitel…excel-

2010.html

6. Воскобойников, Ю.Е.Основы вычислений и программирова-

ния в пакете MATHCAD/ Ю.Е.Воскобойников, А.Ф.Задорожный,

Л.А.Литвинов, Ю.Г.Черный. – Новосибирск, Новосибирский архи-

тектурно-строительный университет, 2012 – 212 с.

7. Программирование в среде MathCAD: учеб.-метод. пособие

для бакалавров инженерных и физических специальностей / сост. В.

К. Толстых. – Донецк: ДонНУ, 2010. – 128 с.

44

Информатика (информационные технологии). Анализ нелиней-

ной функции одной переменной средствами программ EXCEL и

MATHCAD: [Текст]+[Электронный ресурс]: метод. указания к вы-

полнению лабораторной работы № ?? для студентов очной формы

всех технических специальностей (квалификация «бакалавр»).

МИХАИЛ ВИКТОРОВИЧ ЗЕРНИН

Научный редактор А.А.Азарченков

Редактор издательства Л.Н. Мажугина

Компьютерный набор М.В.Зернин

Темплан 2014 г., п. .

Подписано в печать Формат 6084 116 Бумага офсетная. Офсетная

печать Усл. печ. л. 1,1 Уч.-изд. л. 1,1 . Тираж экз. Заказ Бесплатно

Издательство Брянского государственного технического университета.

241035, Брянск, бульвар им. 50-летия Октября, 7, тел. 58-82-49

Лаборатория оперативной полиграфии БГТУ, ул. Институтская, 16