\ אינפי 1 חדו"א

מומלץ להשתמש בתצוגת "מפת מסמך" בוורד.

כל הזכויות שמורות לינון ©ברגיל

מבוא

כללי

?WORDאיך כותבים נוסחאות ב Mathtype

2007יש משוואות בוורד

היא הנוכחית והיא בתשלום6גרסה בחינםmathtype 5איך מורידים את

?

מה ההבדל בין חדו"א, שדו"א ואינפי?

האוניברסיטה שבה נלמד?

מה משמעות ה + שישנו ליד חלק מהשאלות בספר של האוניברסיטה

הפתוחה ? תשובה מפורטת נמצאת בחוברת

נפרדת

באיזו חוברת מפורטות התשובותלשאלות המסומנות ב + ?

מי המציא את ציר המספרים ?מתי ? איך זוכרים ?

דה קארט. אבי הגיאומטריההאנליטית.

17תחילת המאה ה 1637

"מערכת צירים רקטזית"

מי המציא את אינפי ? מתי ?אייזיק ניוטון וגוטפריד לייבניץ

1700קצת לפני

איך כותבים במחשב ערך מוחלט ?איך מציירים קו מאונך כמו זה | ?

shift עם המקש הצמוד ל enter משמאל למטה

מהן הטעויות הנפוצות שלי ?לפחד \ להבהל משאלות ללא סיבה.

מה מייצגת בד"כ האות דלתאשנראית כמו למד בכתב כתב ?

ממשי חיובי

באילו אותיות \ שפות משתמשיםלסימוני משתנים במתמטיקה ?

אנגליתיוונית

לאטינית?

שאלה כללית לקובץ שאלותבחדווא :

חקור את הפונקציות והסדרות הבאות מהבטי גבולות, רציפות,

גזירות וגזירות שנייה. בהצלחה !

מה ההבדל בין האלפבית היווני,רומאי, לאטיני ?

איפה ישנה רשימה של אותותהשפות השונות לסימון משתנים ?באינטרנט, ויקיפדיה, ראה למטה

לפתרוןומה ההוכחהמהי הנוסחה משוואה ריבועית ?

b פלוס מינוס שורש של Bמינוס . כל זה חלקי שניac 4בריבוע מינוס

a.?

איפה ניתן לשמוע הרצאותבאינטרנט ?

אוניברסיטאות עם שם משתמש ?אוניברסיטה פתוחה ?

MIT

מהן נוסחאות קיצורי הסוגרייםשעדיף לזכור בע"פ ?

פולינומיםלהכין דף נוסחאות ?

מה מייצרת משפחת הגרפים ax^2 + by^2 = 0?

שני ישרים ?אליפסה ?

מהן האקסיומות העומדות לרשותנוכאשר אנו מנסים להוכיח משפטים ?

מה מותר להביא למבחן בחדוא ?

מהו המשפט האלמותי של הטכניוןבחדוא ?

לכל אפסילון, לא משנה כמה קטן,קיימת דלתא

?[x]מהו הערך השלם.

המספר השלם הגדול ביותר שאינוxעולה על

עיגול כלפי מטה. אצלנו נשתמש בחצי ערך שלם

לעיגול מטה וחצי ערך שלם עליוןלעיגול מעלה

מדוע לא ניתן להגדיר שחלוקהבאפס משמעותה אינסוף ?

כי זה לא נכון. ראה הוכחה בשאלההבאה ?

כיצד נקרא ביטוי שבו חלוקה באפס ? מהי ההוכחה לחוסר

המוגדרות ?לא מוגדר

מכפילים באפס את שני הצדדים ויוצא שמספר כלשהו שלכאורה אינו

אפס, כן שווה לאפס.

מהי דיסקרימיננטה ? מהמשמעותה ?

הביטוי הנמצא בתוך השורש בנוסחתהפיתרון למשוואה ריבועית.

מרמז על אופי פתרון המשוואה פתרון בודד–אם שווה אפס

שני פתרונות ממשיים–אם חיובית פתרונות מרוכבים–אם שלילית

מהן אותיות האלפאבית היווני ?למה משמשת כל אחת ?

זה הקישור למשמעויות

קבוצות המספריםהעיקריות

מהן קבוצות המספרים, לפי סדר איךוכיצד מסומנות ?ההכלה שלהן,

זוכרים ?N, naturalטבעיים , מספרzahlen מהמילה – Zשלמים

בגרמנית. )מסכם את שלמותהאלפבית האנגלי ..(

מהמילה מנה– Qרציונליים quatientבאנגלית R, realממשיים C, complexמרוכבים

מהו מספר אירציונלי ?ממשי שאינו רציונלי

בעל איןסוף ספרות לא מחזוריותאחרי הנקודה ?

כיצד נקרא מספר מרוכב שאינוממשי ?

מספר מדומה

מהי מחרוזת ? קבוצת מספרים החוזרת על עצמה

במספר במסוים, למשל אחרי נקודההעשרונית.

מה ההבדל בין מספרים רציונליים לממשיים, שיש להם אינסוף ספרות

אחרי הנקודה ? במספרים הרציונליים קיימות

מחרוזות. רציונליים הם בעצםמספרים עשרוניים מחזוריים.

איך מספר עשרוני מסתיים ? מספר שממקום מסויים אחרי

הנקודה הוא בנוי משורת אפסים,1.5000כגון ...

מהו מספר שבו יש קו מעל הספרותשאחרי הנקודה ?

הקו מייצג מחרוזת החוזרת עדאינסוף

איזה שבר פשוט נחשב מקורבלפאי ?

22/73.14

מה ההבדל בין קבוצת החיובייםלקבוצת האי שליליים ?

אי שליליים מכילים את אפס.

... הוא0.101001000100001האם מספר רציונלי ?

מה ניתן להגיד על חיבור וכפל שלשני רציונלים \ אי רציונליים ?

התוצאות רציונליות–רציונליים לא ניתן לדעת–לא רציונליים

מדוע אומרים שהמספרים הרציונליים והממשיים הם צפופים ?

מה המשמעות ? כי תמיד יש בינהם עוד מספר

?

מהן תכונות מוזרות של קבוצהאינסופית ?

השלם שווה לחלקו ?

מהי עצמת הרציונליים ?אלף אחד ?

האם ייתכן שסכום של שני מספריםאי רציונליים יהיה רציונלי ?

לא ?

טריגונומטריה

איך יודעים אם זוית נתונה היאבמעלות או ברדיאנים ?במעלות יש עיגול קטן.

אם היא נתונה ברדיאנים כמעט תמיד יש בה פאי ואין את סימן

המעלות

אילו מספרים טריגונומטריים זוכריםבע"פ ?

Sin30 = 1/2Sin60 = ^3/2Tg30 = 1/^3

Tg60 = ^3

אילו קשרים טריגונומטריים נוחלזכור בע"פ ?

Tg)a( = 1/tg)90-a(Tg)a( = -tg)90-a(

מהי הנוסחה לשטח פני כדור ? ?ולנפח כדור

של כדורשטח הפנים← הוא Rבעל רדיוס

← .←

של כדור בעלנפחה←

הוא rרדיוס .

זה הקישור..

קטעים

מה ההבדל בין קטע סגור לבין קטע ? מה ההבדל בסימוןb ל aפתוח מ

בכתיבה ? איך זוכרים את זה ? ואילו פתוח לאb ו aסגור מכיל את

מכיל אותם סוגריים עגולים–פתוח סוגריים מרובעים–סגור

החלק התחתון המאוזן של הסוגריים המרובעים מזכיר את החלק התחתון

המאוזן של אי השוויון עם ה"שווה" !

כיצד מסומנים קטע סגור וקטעפתוח על ציר המספרים ?נקודה מלאה ונקודה ריקה

מהו קטע חצי פתוח או חצי סגור ?צד אחד בלבד שלו סופי

איך כותבים או מסמנים קטע חצי סגור ? או קטע שבצידו האחד סגור

ובצידו השני פתוח ?

מהו קטע אינסופי סגור ? פתוח |? מכיל את נקודת הקצה–חצי סגור

היחידה אינו מכיל את נקודת–חצי פתוח

הקצה היחידה

האם קטע ממינוס אינסוף עד פלוסאינסוף הוא סגור ?

נחשב גם פתוח וגם סגור

מהם כל סימני ההכלה, חיתוך ואיחוד בין איברים וקבוצות ? איך

מסומנת קבוצה ריקה ?עיגול ואלכסון.

Φ

מהו "פסוק אמיתי" ? ביטוי שנאמר עליו שהוא נכון לפי

עקרונות המתמטיקה המוכרים לנו

מהו פתרון ?פסוק אמיתי

מהו העקרון לפתרון אי שוויןמורכב ?

מציאת נקודות האפס והצבה בינהן

כמה דרכים יש לפתרון בעיהבמתימטיקה ?

יותר..

כיצד ניתן לבטא מספר עשרונימחזורי כשבר ? בחזקת מספר10ניתן להכפיל ב

ואזxהספרות במחרוזת , להחסיר )לדוגמא...( וכך לבודד999לחלק ב

. ובדרך להפטר מהמחרוזת.xאת

?1 = 0.9999מהי ההוכחה לכך ש ..,x, להחסיר 10ניתן להכפיל ב . ובדרך להפטרxואז לבודד את

מהמחרוזת.

איך רושמים בחדווא את קבוצתהטבעיים ? האירציונלים ? בתוך סוגריים מסולסלים :

X כך ש X טבעי {x | x }..

איך ניתן לקבוע בוודאות האם מספרהוא רציונלי או לא ?

מהם העקרונות והטיפים לפתרוןמשוואה ממעלה שלישית ?

ולא פלוס מינוס2 הוא 4מדוע שורש שתיים ?

אי שוויונות

כיצד משפיעות הפעולות הבאות עלכוון אי השווין ?

הוספה או חיסור של מספר בשני כוון נשאר–האגפים

כוון נשאר–כפל בחיובי כוון מתהפך–כפל בשלילי

חיבור שני אי שוויונות בעלי אותו כוון כוון נשאר–

כוון מתהפך–הופכי לשני האגפים

מהן שתי הפעולות שהופכות אתסימון אי השוויון ?

כפל בשליליהופכי לשני האגפים

על מה יש להקפיד בפתרון אישוויונים ?

כוון אי השוויון- בדיקת הגבולות בנפרד-

מהתחומים. כמקריםבודדים.

האם מותר להוסיף או להחסירמשתנה משני צידי אי שוויון ?

כן ?

איך מושפע אי שוויון מהכפלהבמשתנה ?

התשובה הקצרה - לא ניתן לדעת \תלוי.

הארוכה - צריך לבדוק את האפשרויות השונות לסוגים שונים

של המשתנה, כגון אפס, שלילי, חיובי ועוד. בהתאם לאי השוויון

הספציפי.

מה חשוב להגדיר כשבצד אחד שלאי השיוויון קיים שורש ?

שהביטוי בתוך השורש חייב בהגדרהלהיות גדול מאפס

איך פותחים ערך מוחלט בשוויון ? גדול–מחלקים לשני מקרים

מהחיובי וקטן מהשלילי

מהו אי שוויון זהותי ? ביטוי שוני השקול במשמעותו לאי

שוויון נתון כלשהו ?

ערך מוחלט

האם שורש של מספר בריבוע שווהלמספר ? מדוע ? למה זה כן שווה ?

לא הגדרת השורש היא השורש החיובי

בלבדaהביטוי שווה לערך המוחלט של

? למה ?|a||b|=|a b|האם בהחלט !

כי אין משמעות לסימן שלילי חיובי

? מדוע ?a^n|=|a|^n|האם כן. נובע מהשאלה הקודמת ?

האם ישנה מילה לסימן "שליליחיובי" ?

איך ניתן לבטא מרחק על ישר הממשיים, בין שתי נקודות שלא

ידוע סימנן ?D = |a-b|

?a– ל bמהו המרחק בין D = |a+b|

מהו משפט אי השוויון המשולש ?|a+b| < |a|+|b|קטן שווה

מהו העקרון לפתירת אי שווויוניםעם ערך מוחלט ?

לפרק את אי השוויון לשני אי שוויונים, כאשר לכל אי שיויון מוגדר

תחום ערכים מראש.או להעלות בריבוע ?

מהו עקרון ההוכחות של אי השויוניםמחוץ ובתוך סימני אי השוויון ?

להראות את המצבים השונים כאשר המשתנים גדולים ו \ או גקטנים

מאפס.

מהו משפט ארכימדס ? טבעי גדול ממנוn ממשי קיים xלכל

מהו אי שוויון המשולש ? איךמוכיחים אותו ?

סכום שתי צלעות גדול שווהלשלישית

מפרקים כל גורם לטווח האפשרי שלו, ממינוס הערך המוחלט עד

לערך המוחלט, ומחברים אתהמשוואות.

או ע"י חלוקה למקרים

מהו אש"מ ?אי שוויון המשולש

איך מוכיחים ש|x-y| >= |x|-|y|?|x|=|x-y+y| <= |x+y|+|y|

מה השימוש של אי השוויונותלעיל ?

מהם העקרונות לפתיחת ערךמוחלט ? אז בין השלילי לחיובי–אם קטן אז קטן מהשלילי או גדול–אם גדול מהחיובי

מתי הופכים את הסימן ביציאהמערך מוחלט ?

אם הערך שבתוכו שלילי

וגרפים קואורדינטות מישורי

מהי מערכת צירים קרטזית ? מהמקור השם ?

X y הרגילה דה קארט

איך אומרים צירי קואורדינטותבעברית ?

צירי שיעורים..

של נקודה עלxאיך נקרא שיעור ?yגרף ? ושיעור

אבסציסהאורדינטה

מהם ארבעת הרביעים ? הראשון הוא החיובי המלא, ואחריו

נגד כוון השעון

באיזה רביע נמצאים הצירים ?מהי ההגדרה ?

מהי הגדרת הגרף ? x yקבוצת כל הנקודות במישור

הפותרות משוואה נתונה

מהם העקרונות למושג כללי עלצורת פונקציה לפי משוואתה ?

סימטרית, בור,–חזקה שנייה פרבולה

סימטריה סיבובית–חזקה שלישית 3רביע

סימטריות– yמעלה שנייה של xביחס לציר המקביל לציר ה

1/xסימטריה סיבובית של בטן גרף השתפרות קלאסי..– xשורש

מהו לכיד ?חיתוך עם ציר

?xאיך מוצאים את לכיד y=0מציבים

כיצד ניתן לנבא סימטריה מדויקת סביב הראשית או הצירים ? מהו

הביטוי המתמטי המדויק ? לפי המשוואה

? אוx : f)x(=+-tסימטריה על f)y(=f)-y(?

)y : f)x( = f)-xסימטריה על - = )f)xסימטריה סביב הראשית :

f)-x(

מהו הביטוי המילולי של השאלההקודמת ?

הביטויy– ב y : אם בהחלפת xסימ' שקול : להיפךyסימ'

סימ' ראשית : החלפה של שניהם.

האם תתכן פונקציה רציפה אשר סימטרית על יותר מציר או נקודה

אחת ?כן, למשל מעגל סביב הראשית.

קואורדינטות, גרפיםוישרים

מהו אחוז שיפוע ?y / xכפול מאה

כיצד מסומן שיפוע ?M

האם משנה איזו נקודה מסיריםמאיזו למציאת השיפוע בינהן ?

לא רק חשוב לראות שסימן חיובי\שלילי

מתאים לגרף

מהי זוית הנטיה של ישר על גרף ? לישר, נגדxהזוית הקטנה בין ציר

כוון השעון

מהו טווח זויות הנטיה ? )לא כולל(180 )כולל( עד 0

מה היחס בין שיפועי ישרים מאונכים? באילו יחידות ?

מכפלתם שווה מינוס אחד יחידות השתנות, כמו בנוסחה

בשאלה הבאה

מהי הצגה של ישר לפי נקודהושיפוע ?

y-y1 = m)x-x1(

מהי ההצגה של נקודה לפי ישרולכיד ?

Y = mx + b

מהו עקרון ההוכחה למשפט - כל ישר ניתן לייצג ע"י משוואה

, ולהיפךy ו xממעלה ראשונה ב ?

הצגה לפי ישר ולכיד ?

מהי המשוואה הכללית או משוואהלינארית ?

Ax + By + C = 0

? tg30מהו

אחד חלקי שורש שלוש

30מהו שיפועו של ישר שזויתו מע' ?חצי ?

איך ניתן לדעת אם ישרים ניצבים ?למה ?

אם שפועיהם מקיימיםA1 = -1\A2

בגלל תכונות הטנגנס

מהן האקסיומות העומדות לרשותנוכאשר אנו מנסים להוכיח משפטים ?

מרחק, מעגלים, פרבולות

מהן נוסחאות גרף מעגל, אליפסה,צורות שונות ?

מעגל(X-X0^)2 + )Y-Y0(^2 = r^2

אוAx^2+Ay^2+Dx+Ey+F=0

מהן פרבולה, היפרבולה, אסימפטוטה ? אילו עוד שמות

מפחידים קיימים ? אוX משוואה ריבועית ב –פרבולה

Y סימטרית ביחס לישר מקביל ל ,Y . Xאו

מהו הביטוי המתמטי לשיאפרבולה ?

2a חלקי bמינוס

סדרות

עולות יורדות סדרות

האם מכפלת שתי סדרות מונוטוניות עולות היא סדרה מונוטונית עולה ?

למה ?לא בהכרח

דוגמא נגדית

מונוטוניתn^2 חלקי n^2האם עולה ? למה ?

מונוטונית יורדת

איך בודקים מה תכונתה של פונקציה לגבי מונוטונית עולה או יורדת ? לאן

שואפת ? רושמים אי שוויון המכיל את הביטוי

ואזn + 1 ובשני nכשבצידו האחד מפתחים אותו

השורש–מה אופייה ששל הסדרה ?n י של nה

בינתיים לא ידוע, ייוודע בהמשךשואפת לאחד..

פתית השלג של קוך. מהו ההיקף של י ? למה שואף ההיקף ?nהצורה ה

ית ?nמהו השטח של הצורה ה למה ?

n-1 שלישים בחזקת 4 כפול 3אין סוף

הוא חסום

האם סדרה אינסופית בהגדרתה ?כן.?

מהי הגדרת סדרה ?פונקציה מהטבעיים לממשיים ?

חסמים, סופרמוםואינפיימום

מהו חסם מלעיל ?חסם עליוןעיל = על..

מלעיל = מעלה...

מהו חסם מלרע ? איך זוכרים ?חסם תחתון

נמוך למטה מינוס זה רע..

מהי קבוצה חסומה ?שיש לה גם חסם מלרע וגם מלעיל

מהי הגדרת הערך המוחלט לקבוצהחסומה ? מדוע זה נכון ?

A שייך ל x כך שלכל Mאם קיים מתקיים

|x| <= |M|

הוא חסם מלעיל של2האם ?y=2הפונקציה

כן ?

אוXהאם חסמים מוגדרים לציר ה ?Yה

צריך להיות כתוב בשאלה ?

מהו סופרמום ?חסם מלעיל הקטן ביותר

Sup)A( הגדרת התמונה המירבית של

הפונקציה, אלא אם הוגדר אחרת.

מהו אינפימום ?חסם מלרע הגדול ביותר

Inf)A( הגדרת התמונה המזערית של

הפונקציה. אלא אם הוגדר אחרת.

שייךsup \ infאם קיים, האם ה לקבוצה ?

או שכן או שלא. ואין עם זה בעיה.

למה צריך סופרמום ואינפימום ? למה בכלל שיהיה יותר מחסם

אחד ?

SUPלאילו קבוצות נכון המשפט : ה חסומה במלעילA קיימים INTוה

ובמלרע ? למה ? Z ו Rנכון ב

Qלא נכון ב

תמיד שייכיםint ו supהאם ה לקבוצה אותה הם חוסמים ?

לא

מדוע אם החזקה המובילה זוגית אזהפונקציה בהכרח חסומה ?

supהאם תתכן פונקציה עם יותר מ אחד ?

מהו אוסף חסמים ?

מהם אינפימום וסופרמום ? חסם תחתון גדול ביותר בתוך

הממשיים

אין סופרמום במדוע לקבוצה הבאה –Q?

כי הוא אי רציונלי ?

מדוע - לכל קבוצה חסומה מלעיל :משפט

של מספרים ממשיים יש סופרמום, לכל קבוצה חסומה מלרע של

?מספרים ממשיים יש אינפימום אקסיומהזועבורנו

מה אפשר לומר על אוסף כלהחסמים מלעיל ?

הוא תמיד איסופי או לא קיים

מדוע צריך בכלל את המשפט : קיים אם קבוצה חסומהsup"ה

קיים אם הקבוצהinfמלעיל וה חסומה מלרע"

? כי זו הגדרה לא טריוויאלית, למשל

במקרה של קטע פתוח שלהממשיים.

וזה גם משפט שימושי בקורס..

האם המשפט הנל נכון למספריםהרציונליים בלבד ? לשלמים ?

לא. כי אז למשל אין–רציונליים סופרמום לקבוצה המסתיימת

למשל.2בשורש כן. אין אפשרות ואין צורך–שלמים

לבחון מקרוב. הולכים רק על השלם.

מהו התחביר לקטע סגור או פתוח ?סוגריים מרובעים או עגולים

מהו עקרון ההוכחה למשפט :S הוא sup של קבוצה K

אפסילון הוא מספר גדול מאפס)וקטן כרצוננו..(

S וגדול מ K שייך ל X כך ש Xקיים פחות אפסילון

?הוכחה בשלילה.

פחותS אז Xאם לא קיים כזה אפסילון הוא חסם מלעיל שקטן מ

sup.וזו סתירה ,

מה במשפט הנל אינו טריוויאלי ?

מהי קבוצות חסומות מלעיל ? קיים מספר ממשי כך שלכל איבר ב

A מתקיים x <= M

הוכח : ממשיq ממשיים קיים a < bלכל

שמקיים a <= q <= b?

הוספת מקום נוסף–אפשרות א' אחרי הנקודה ויצירת מספר חדש

בינהם.אפשרות ב' ונראה שאפשר, עלb-aניקח את

בסיסו, לייצר מספר קטן יותר

איך מוכיחים סופרמום בסדרהששואפת לסופרמום ?

מניחים בשלילה שקיים חסם מלעיל שקטן מהסופרמום, ונראה איבר

שגדול מאיבר זה. וכך נקבל סתירה לכך שקיים חסם

קטן מהסופרמום.

וקבוצות חסומות גבולות

מהו גבול ?הגדרה טריוויאלית

Lהוא גבול אם איברי הסדרה Lהולכים ומתקרבים ל

הגדרה פורמאליתLהוא הגבול אם לכל ממשי גדול מ טבעי כך שמעבר לאיברn קיים 0

מסוים כל האיברים מוכלים בתוךאזור הגבול

מהי הגדרת הגבול ?קיים אפסילון גדול מאפס כך ש :

גדולn אפסילון טבעי, אז אם Nאם אפסילון אז הערך המוחלט שלNמ

מהו המאפיין העיקרי של אזור הגבול?

הוא מכיל אין סוף איברים שאינםחוזרים

ויותר מכך, ממקום מסוים בסדרה כלאיברי הסדרה הם בתוך אזור הגבול

מדוע לא מספיק לומר שלא משנה כמה קטן יהיה אפסילון, יש בו

אינסוף איברים ?כי זה מתיר שני גבולות

?Dמהי הגדרת חסימות בתחום x כך שלכל Mלפונקציה קיים

f)x(| =< M| מתקיים Dבתחום

האם תתכן סדרה עם שני גבולות ?למה ?

לא

כיצד ניתן להוכיח שלא ייתכנו שניגבולות ?

כי אין מספר שממנו איברי הסדרהכולם נמצאים בשני האזורים

האם בחיבור שתי סדרות עם גבול נקבל סדרה עם גבול ? מה ערכו ?

מהעקרון ההוכחה ?כן

סכום שני הגבולות

ה "רדיוס" אפסילון מכל גבול בסדרות המקוריות שווה לחצי מהרדיוס אפסילון בגבול סדרת

הסכום.

הוכח : הוא מספרb ו L שואף ל anאם

b כפול anממשי, האם הגבול של b כפול Lהוא

?

האם סדרה מתבדרת היא לאמתכנסת ?

כן

חלקיn+1מה הגבול למה שואף של n? למה ? 1

n ועוד אחד חלקי 1זה כמו

אם קיים מספר שקטן מאחד, אז שואפת לnסדרת המספר בחזקת

___ ? מה עקרון ההוכחה ?אפס

אפסילון?

מהי "התכנסות במובן הרחב" ?התכנסות שאינה דווקא לקבוע ממשי

מהי "התכנסות לאינסוף" ? (, קייםM>0 שייקבע )yלכל ערך

אפס טבעי (שממנוN )xערך yוהלאה כל האיברים הם מעל ה

)an > M(

מהו "טריק הצמוד" שהמצאיהטריו ?

האם הסדרה הבאה חסומה ?למה ?

לאעקרון ההוכחה :

גדול מחציa2n עד anכל סכום שמ

האם הסדרה הבאה חסומה ? למה ?

כן טריק הצמוד

האם הסדרה הבאה חסומה ? למה ?

כן היא יותר קטנה מקבוצת3מאיבר

הריבועים מהשאלה הקודמת

איך מבטאים בצורה פורמלית, את העקרון שמקדמי החזקה הגבוהה הם

nהקובעים את הגבול בשאיפת לאינסוף ?

מחלקים את כל השברים בביטוי בחזקת החזקה הגבוההnהסדרה ב

ביותר, ומראים שכל השאר שואפיםלאפס

כיצד מוכיחים שלסדרה אין גבולממשי ?

,an, nעל איזה ציר כל החברים, eps, Neps? 'ושות

אריתמטיקה של גבולות

מהי אריתמטיקה של גבולות ? שימוש במשפטים של יחס של גבולות של שתי סדרות וסדרה

חדשה הנוצרת מיחסי הגומלין בינהן.לדוגמא, חיבור וכפל של סדרות.

אם קיימות שתי סדרות ששואפות לגבול. האם חיבור הקבוצות שואףלחיבור הגבולות ? כפל ? חילוק ?

כן, כן, כן?

מהו השימוש של אריתמטיקהבהוכחות על גבולות ?

פירוק פונקציות שאנו מחפשים אתהגבולות שלהן

מהו משפט הסנדוויץ' ? אם קיימת סדרה שנמצאת בין שתי סדרות, אז גם הגבול שלה הוא בין

הגבולות של שתי הסדרות

באילו הוכחות או בעיות נכון לנסותאת משפט הסנדוויץ ?

כשאין רעיונות אחרים.. ?

יnמהו הגבול של סדרת ה שורש ה כולם בחזקת2008 עד 2 ועוד 1של

n? מה עקרון ההוכחה ? 2008

שיטת הסנדוויץ'

האם ייתכנו שתי סדרות לא מתכנסות שמכפלתן מתכנסת ?

לדוגמא ?כן

עם01010101סדרה 10101010סדרה

בעצמהnאו מינוס אחד ב

n חלקי n בחזקת 2מהו הגבול של עצרת ? מה עקרון ההוכחה

ואז יורדת עד(2,2)עולה עד לאינסוף שואפת לאפס

קבוצה תחתונה–שיטת הסנדוויץ' כפול שני2אפס, קבוצה עליונה

nשליש בחזקת

עד איזו רמה צריך באמת לפרטבמבחן ברמת ההוכחות ?

מהו משפט הפיצה ? מהו עקרוןההוכחה ?

אם ישנה קבוצה קטנה יותר השואפת לאינסוף, אז גם הקבוצה

הגדולה יותר שואפת לאינסוף

מהו משפט הפיצה הנופלת ?שאיפה למינוס אינסוף..

מהו מבחן המנה ? ניתוח של ביטוי המנה של שני

איברים עוקבים בסדרה

מהו מבחן השורש ? י שלn שהוא שורש Lאם קיים גבול

an אז אם L>1 אז an,שואף לאינסוף שואף לאפסan אז L<1ואם

האם - אם קיים הגבול במנה, אז הואגם הגבול בשורש ? למה ?

כן

מהי הטעות הקלאסית בהפעלתמבחן השורש ?

לחשוב שהתוצאה של מבחן השורש היא הגבול, בעוד משמעותה הוא רק

1ביחסה ל

שואף לאחד ?n י של nשורש למה ?

כן

קבוצות

האם לכל קבוצה יש סופרמוםואינפימום ? איך מוכיחים ?

רק אם הקבוצה סופיתanבאינדוקציה על האיבר ה

משפטים וטיפי הוכחות

מהם כל כווני הפתרון ?קושיהיינה

אינדוקציהסנדוויץ'

מבחן המנהמבחן השורשטריק הצמוד

eטריק ה הלמה של קנטור

איך בוחרים באיזו דרך לנסות לפתוראת התרגיל ?

אם נתון גבול וצריך להוכיח - ?

מהו משפט הסנדוויץ' ? אם הסדרה קטנה וגדולה משתי

סדרות שגבולן ידוע, אזי הגבול שלההוא בין שני הגבולות

האם משפט הסנדויץ' נכון גםלגבולות שונים ?

לא, רק לגבולות שווים?

מהו מבחן המנה ?Lהוא מנת איברים עוקבים

הסדרה מתכנסת לאפסL<1אם לא ניתן לדעת אם הגבולL=1אם קיים הסדרה מתבדרתL>1אם

מהו מבחן השורש ?L הוא השורש ה nי של הסדרה

הסדרה שואפת לאפסL<1אם לא ניתן לדעת אם הגבולL=1אם קיים הסדרה מתבדרתL>1אם

?eמהו הטריק של צמצום ע"י של הביטוי

(1+1/n^)n

אם מפעילים את–איפה הטעות מקבליםeמבחן השורש על ביטוי ה

, ולכן הפונקציה1ביטוי גדול מ צריכה לשאוף לאינסוף. הלא כן ?

?

עד כמה יש בחדווא יצירתיות ועדכמה שינון טריקים שוחק ?

אין הוכחות ישירות וארוכות. תמיד יש טריק מקצר. כמו : אי שוויון

ממוצעים.

במקום סדרה ?Lמתי אפשר להציב אחרי שהוכחנו שקיים גבול

מהם המשתנים המקובלים לכל סוגהוכחת גבול ?

לפונקציותxהתכנסות מקבילה לציר :M, X0

n,k , אפסילון, Nepsלסדרות : לנקודה : אפסילון ולמדא

סדרות

מהי הגדרת סדרה ?פונקציה מהטבעיים לממשיים

האם סדרה היא אינסופית מהגדרתה?

כן

מהו משפט קושי ? כך שNלכל אפסילון גדול מאפס יש

m,n > N >> |an-am|<E?

מה ההבדל בין קבוצה לסדרה ?הסדר כן קובע

מהן שלוש ההגדרות לקבוצה ?מילוליתבנוסחא

הגדרה רקורסיבית : אטום ואופרטור

מהן הסדרות הנפוצות ? חשבונית, הנדסית, הרמונית,

הרמונית מתחלפת, מונוטונית

מהי סדרה הרמונית ?1 ,1\2 ,1\3 ,1\4 ,1\5..

מהי הוכחה בעזרת בינום ?

מהי סדרה עולה ממש \ חלש ? האיבר הבא גדול או גדול שווה

לקודמו

מהו אפסילון ?

תתי סדרות

מה הדבר היחיד שנשמר בין סדרהלתת סדרה ?הסדר היחסי

מהן הטעויות הנפוצות בפירושהמושג ?

y ו xבלבול בין

האם יש סדרה שאוסף כל הממשיים שווה לגבולות החלקיים[0,1]בקטע

שלה ? למה ?כן

> חצי > אפס1 > 0הבניה היא אפס > שלושת1> שליש > שני שליש >

רבעי...

האם יש סדרה שאוסף הגבולות)החלקיים שלה שווה בדיוק לקטע

? למה ? מה עקרון ההוכחה ?(0,1לא

גם "גבול נשאף" הוא גבול חלקי אנחנו מתקרבים לדברים–הרעיון

שמתקרבים לאפס

גבול של גבולות חלקיים הוא - ?גם כן גבול חלקי

ויישטראס ?–מהו משפט בולצאנו מה עקרון ההוכחה ?

לכל סדרה חסומה יש לפחות גבולחלקי אחד

?

מיהו בולצאנו ?כומר איטלקי

מהי הלמה של קנטור ?

נתונות שתי סדרות חסומות שלכל אחת שני גבולות חסומים. מה ניתן

לומר על חיבור הסדרות ? גבולות חלקיים ?4 ל 1בין

?

סדרה חסומה היא גם מתכנסת אם יש לה רק גבול חלקי אחד. נכון ?

למה ?כן

כי אם היא מתכנסת אז כל גבולחלקי שווה לגבול ה"רגיל"

הסבר נוסף : נניח שיש רק גבול חלקי אחד. נוכיח התכנסות : נניח בשלילה

שלא מתכנסת. נסמן את הגבול , ונניח שאינה מתכנסת לLהחלקי ב

Lאזי, לפי הגדרת הגבול, קיים . אפסילון גדול מאפס כך שיש אינסוף

איברים של הסדרה שאינם בתוך פלוס מינוס אפסילון Lהקטע

לפי משפט בולצאנו יש להם גבול חלקי. ברור שהוא לא בקטע

, לכןLהמדובר, ולכן הוא אינו שווה יש לפחותצ שני גבולות חלקיים, וזו

סתירה.

אם סדרה חסומה, יש לה גבול חלקי גדול ביותר וגבול חלקי קטן ביותר.

נכון ? למה ?כן?

?lim sup ל supמה ההבדל בין השני הוא גם הראשון, אבל לא

להיפך?

האם תתכן סדרה לא חסומה שיש ?lim sup וגם lim infלה גם

כן0,1,1,0,1,2,0,1,3,0,1,4…

וזה שתי נקודות לברגר !!!

האם סדרה חסומה חייבת להיותחסומה גם מלמעלה וגם למטה ?

אם קבוצה חסומה, אז היא מתכנסת ?lim sup = lim infאמ"מ

כן

)sin)nכמה גבולות חלקיים לסדרה במעלות ? למה ?

181270 ל 90גבול חלקי לכל מעלה בין

משפט קושי

מהו משפט קושי במילים פשוטות ?אם קיים גבול , אז -

תנו לי אפסילון, ואני אמצע "ערך ראש זנב" שממנו תמונות כל

האיברים הם עד מרחק האפסילוןמערך הגבול

מהו משפט קושי ? אם לכל אפסילון גדול מאפס, קיים

N כך ש |am-an| < εn,m>Nכאשר

מה משונה במשפט ?שאין צורך לדעת מהו ערך הגבול

האם מספיק לומר שאם איבריםעוקבים

קושי זה דלתא, היינה היא סדרהבתוך פונקציה. נכון ?

בגדול מאוד.. ?

מדוע בעצם תנאי קושי שקול לקיוםהגבול ?

האם המשפט של קושי

מהו עקרון ההוכחה למשפט ?הוכחה בדרך השלילה

סדרה חסומה מתכנסת אמ"מ יש לה1רק גבול חלקי

נניח שהתנאי של קושי מתקיים אז קיימת סדרה מתכנסת עם שני

גבולות חלקיים שאפשר להתאים לוNאבל אז אין

אפסילון

מה אומר המשפט של קושי אםמסתכלים על גרף של סדרה ?

מלבן שוכב שרוחבו אפסילון ואורכו Nאין סופי ומתחיל ב

מהו זנב אפסילון "טוב" ?

כל שני איברים בתוך זנב האפסילון

במה שונה משפט קושי לסדרותלעומת פונקציות ?

מהו משפט קושי עבור פונקציות ?מה עקרון ההוכחה

Lהוא גבול של פונקציה אמ"מ 0|>x-x0|<delt => |f)x(-L|<eps

מה המסקנה ממשפט קושי עבורפונקציות ? למה ?

במקרה הכללי דלתא תלוי גם אפס.xבאפסילון וגם ב

מהי דלתא ?xעל ציר ה אפסx ל xההפרש בין

במה באמת תלויה דלתא ? אפסxשיפוע הגרף באזור

?xמדוע בערך החסם אסור שיהיה

כיצד מוכיחים שפונקציה שואפת לערך תמונה מסוים עבור ערך מקור

מסוים ? מגדירים תחום שאיפה באזור ערך

המקור דלתא,–מראים שהפרש המקורות

–גורר הפרש תמונות השואף לאפס אפסילון.

למעשה מבטאים את הפרשהתמונות ע"י הפרש המקורות.

פחות aלמה שורש

מהו הגורם הרע ? הערך שמבטא את היחס בין ביטוי

הפרשי המקורות לביטוי הפרשיהתמונות.

מהי בחירת מחדל טובה לדלתא ?מה צריך לשים לב ?

1דלתא קטן שווה ל

למה את דלתא מבטאים ע"ימינימום בין שני ביטויים ?

כדי להגביל או לשלוט בביטויי

1כל עוד השיפוע \ נגזרת קטן מ צריך ביטויי מינימום ? למה ?

מתי נשתמש בקריטריון קושילהתכנסות ?

כאשר באים להוכיח התכנסות אךלא ידוע הגבול

האם את הביטוי עם מגדילים אומקטינים . עד מתי ?

כיצד מוכיחים שמספר מסוים א

הגדרת הגבול לפי היינה

מה אומרת בגדול במילים פשוטותהגדרת הגבול ע"י היינה ?

אם רוצים לבחון גבול של פונקציה בסביבת נקודה. אפשר לבחון אותו

ע"י סדרות ששואפות לתמונת גבול השווה למקור הגבול בפונקציה

הנבדקת. המשפט אומר שאם כל הסדרות

אזf)an(=L1 מקיימות Lהשואפות ל הגבול הוא אמיתי.

מהו עקרון הוכחות מסוג "אי קיום גבול" בעזרת הגדרת הגבול לפי היינה

? מציאת סדרות השואפות לאותו הגבול, אך שבהצבתן בפונקציה מתקבלים גבולות שונים לנקודה

הנבחנת ?

מה ההבדל בין היינה לסדרות לעומתהיינה לפונקציות ?

אין היינה לפונקציות ?

קושי זה דלתא, היינה היא סדרהבתוך פונקציה. נכון ?

בגדול מאוד.. ?

האם ישנן הוכחות שמשתמשות גםבהיינה וגם במשפט הסנדוויץ' ?

הרבה.

מה העקרון הפשטני של היינה ? איךזוכרים את זה ?

סדרה מתכנסת בתוך פונקציה"היינו סדרה בתוך סדרה.."

?Mמהו השימוש המקובל ל איזשהו רף חוסם

למה יש בהיינה את ההגדרה שכלאיברי הסדרה שונים מאפס ?

התכנסות

מהו עקרון ההוכחה להתכנסותסדרת סכום הופכי הריבועים ?

קריטריון קושי להתכנסותטריק הצמוד

מהו עקרון ההוכחה להתכנסותסדרת סכום ההופכיים ?

סכום שברים ומכניהם כפולים

מה משמעות "התכנסות לאינסוף" ?אין גבול

?

האם כל סדרה מתכנסת חסומה ?למה ?

כן

מהי סדרה מתבדרת שאינה מתכנסתלאינסוף ?

n)-1(^nלמשל

אינדוקציה

איך מוכיחים באינדוקציה ?א. מראים נכונות עבור איבר אחד. ב. מראים שאם הנחת האינדוקציה

נכונה עבור איבר כללי, היא נכונה גםעבור האיבר הבא.

הלמה של קנטור

מהי הלמה של קנטור ? <- Yn ו Xn -> C כך ש Cיש נקודה

C ?

מה ניתן להוכיח בעזרתה ?

פונקציות

כיצד נראה גרף טנגנס ?פרופלורים מאונכים מקבילים

מהו התחום הטבעי של פונקציה ?קבוצת התמונות של הפונקציה קבוצת כל המספרים הממשיים

שעבורם לנוסחה יש מובן ולפונקציהיש ערכים.

מהי פונקציה מוטלאת ? פונקציה המוגדרת שונה לתחומים

שונים של מקורות

מהי פונקציה קבועה ?כל התמונות הן מספר אחד

מהו מונום ?Y = cX^n

שלם אי שליליn קבוע ו cכאשר

מהו פולינום ?איבר

פונקציה הניתנת לביטוי ע"י מספרxסופי של מונומים ב

מהי פונקציה רציונלית ?מנה של פולינומים

מהי פונקציה אלגברית מפורשת ?שניתן להציב בה ולמצוא תשובה..

מהי פונקציה סתומה ?לא מפורשת

מהי פונקציה טרנסנדנטית ?כל השאר.

למשל טריגונומטריות, לוגריתמים,מעריכים ועוד.

מהי פונקציה גזירה ?

מהי פונקציה רציפה ?

איך בודקים אם פונקציה גזירה ?רציפה ?

אם היא גזירה אז היא רציפה ?

מדוע "גזירות גוררת רציפות" ?

מהי החזקה המובילה בפונקציה ?מה משמעותה ?החזקה הגדולה.

היא הדומיננטית בקביעת התנהגותהפונקציה ברוב תחום המקורות

מהי פונ' סימטרית ?זוגית

f)x(=f)-x(

מהי פונקציה אי זוגית ?F)x(=-f)-x(

האם ניתן להגדיר לפונקציהסימטריות על כל קו או נקודה ?

למה לא ?

מהי הגדרת פונ' מונוטונית עולה ?x > yאם )f)x( > f)yאז

קושי של פונקציות

איך מוכיחים גבול של פונקציה ע"פקושי ?

- "יהי אפסילון גדול מאפס."- נראה דלתא גדולה מאפס כך ש :

- נבטא את השורה : אי שוויוןהדלתא גורר את אי שוויון האפסילון

- אי שוויון הדלתא : - אי שיוויון האפסילון :

- נבטא את הביטוי לאפסילון בעזרתהביטוי לדלתא

מה בעצם הרעיון ? להקטין את הביטוי ועדיין להישאר

Mמעל Xלבודד לערך מוחלט של

לחסום את הביטוי

מה ההבדל בין קושי להיינה ?קושי מגדיר רף

היינה מגדיר סדרה?

איך מוכיחים גבול לפי היינה ?- תהי סדרה

בתוך הביטויan- מציבים סדרה לסדרה ובודקים למה שואף בסה"כ

כמה שווה סדרה חסומה כפול סדרהששואפת לאינסוף ?

מה השיטה החד משמעית לפתרוןבעיות בחדווא ?

אין. זה היופי של חדו"א.

מהו הביטוי הסופי לפתרון בעייתהגבול ?

דלתא שווה למינ' בין הדלתא שנבחר לצורך הפתרון לבין דלתא שביטאנו

|x|ע"י

האם תמיד אי שוויון הדלתא גורראת אי שוויון הדלתא ולא להיפך ?

כן ?

האם תמיד למדא מייצגת את ציר הx ואפסילון את ציר ה y?

כן ?

אריתמטיקה של גבולותבפונקציות

מה ההבדל מאריתמטיקה של סדרות?

דומה מאוד

האם כל ביטוי באריתמטיקה שלגבולות נובע מהיינה ?

האם : אם סדרה מתכנסת לאפס, אז

הסדרה הבנויה ממכפלת הסדרה המקורית בסקלר, גם היא מתכנסת

לאפס ?

מה אפשר לומר על מכפלת פונקציה חסומה בפונקציה השווה לאפס

בנקודה מסוימת ?המכפלה בנקודה שווה אפס

פונקציות אלגוריתמיות

האם ניתן לפשט את הביטוי Lan lan x?

הוכחות

מהו אי שוויון המשולש ?|a-+b| <= |a| + |b|

מהי צורת הוכחות הגבול ?חסימה מלמעלה וחסימה מלמטה

איך נפתרים מהאפסילון ?

מהו חסם דק \ הדוק ומהו חסם גס ? חסם הדוק הוא חסם טוב,

כשההפרשים בינו לבין הגבול

האם הסדרה חסומה :1 – 1\2 + 1\3 – 1\4…

? למה ?כן

חלוקה לשתי תת סדרות–הוכחה א' משלימות, אחת עולה ואחת יורדת

n^2/1 השוואה ל –הוכחה ב'

מתי בד"כ משתמשים במבחןהשורש ומתי במבחן המנה ?

n כשיש חזקות –שורש an כאשר האיבר הכללי –מנה

מורכב ממכפלות שונות

מהו עקרון ההוכחה לבטוי שגבולוe^x

? קטן,xחלוקה לשלושה מקרים,

שווה או גדול מאפס

מהו עקרון ההוכחה לנגזרת שלx^x?

e^xlnxניסוח חדש

מתי כדאי קודם למצוא גבול וא"כלהוכיחו ?כשאפשר

כיצד מוכיחים שמספר מסוים אינוגבול של סדרה ?

מה זה "ללא הגבלת הכלליות" ? אפשר להחליף בין המשתנים

והמשמעות לא תשתנה

בהוכחות הגבול, איזה ציר הואהתנאי ואיזה המ.ש.ל. ?

המ.ש.ל. y הוא התנאי ו xתמיד ציר ?

באיזה ציר דלתא ?xתמיד בציר ה

מהו משפט המפתח לכל התכנסות ?X0 : לכל אפסילון קיים Lרגילה ל

קיימתMלאינסוף בנקודה : לכל למדא

לנקודה בנקודה : לכל אפס' קיימתלמדא

להתכנסות )התבדרות( לאינסוף :Xo קיים Mלכל

מהו עקרון הוכחת משפט פרמה ?נגזרת אי שלילית וגם אי חיובית

האם מבחן השורש נובע ממבחןהמנה ? ולהיפך ? למה ?

כןלא

האם בהוכחות לפונקציות ?Nepsמשתמשים

לא, רק בסדרות

גבולות של פונקציות

מהי פונקציה ? אחד ויחיד)f)x מוגדר xלכל

מהי פונקציה לא חוקית ?יותר מתמונה אחת למקור

האם תתכן פונקציה שאינה מוגדרתלכל התחום ?

כן

/1האם סדרת הסכומים n^2מתכנסת ? למה? מהו עקרון

ההוכחה ?כן

שישית כפול פאי בריבוע

מה קובע אם סדרה מתכנסת אולא ?

עד כמה מהר הזנב שואף לאפס

מהם תחום וטווח ? קבוצת איברי המקור עליהם מופעלת

פונקציה, וקבוצת איברי התוצאההיכולים להתקבל.

מהי התאמה חד חד ערכית ? לכל איבר בתחום מתאים איבר אחד בטווח, וגם לכל איבר בטווח מתאים

איבר אחד בתחום. ?

מהי התאמה "על" ?

מי נמצא על איזה–אפסילון ודלתא ציר ? איך זוכרים את זה ?

Xדלתא על ציר Yאפסילון על ציר

אפסילון כמו בסדרות..

מה הניסוח המדויק לשאיפהלאינסוף בנקודה ?

ממשי קיימת דלתא גדולה מ Mלכל |x-x0| כך ש F)x( > M

מהו הניסוח המדויק להגדרת הגבולבנקודה ?

לכל אפסילון חיובי ממשי קיימתדלתא חיובית

מהו "גבול במובן הרחב" ?כולל גם את אינסוף ?

איך מוצאים גבול ? יש מספר דרכים, ולפעמים צריך

קודם לנחש.

lnשל של גבול הוא גבולlnהאם ?

רציפות

מהי רציפות ?

כיצד מוכיחים רציפות ? צריך לבטא את למדא בעזרת

אפסילון. להראות שלכל אפסילון, חיובי קטן

ככל שיהיה, קיימת למדא תלויהyאפסילון הוא הפרש ציר

xלמדא הפרש ציר

מהם היחסים ה "מותרים" בין אפסילון ללמדא לצורך הוכחת

רציפות ? לא משנה כל עוד קיימת תלות

בינהם ?

מהם שלושת התנאים לרציפותבנקודה ?

. קיום גבול בנקודה1. פונקציה מוגדרת בנקודה2)f)x. הגבול שווה ל 3

מהו התנאי המקוצר לרציפות ?L = f)x(

באזורLכאשר הפונקציה שואפת ל )f)xהנקודה וערכה בנקודה הוא

מהם שלושת התנאים וסוגי איהרציפות ? איך זוכרים את זה ?

א. אי רציפות סליקה, ניתנת לסילוקבקלות ע"י שינוי ההגדרה בנקודה

f)x( != L ב. אי רציפות מסדר ראשון : יש

גבולות משני הצדדים אך הם שונים. ג. אי רציפות מסדר שני : לפחות

באחד הצדדים לא קיים גבול. גבולות שווים > גבולות שונים > ללא

גבול אחד או יותר

רציפה ב)xSin)1/xהאם הפונקציה ? למה ?f)0(=0 אם מוגדר ש 0כן

כי שואפת לאפס משני צידי הנקודהושווה לאפס בנקודה

למה יש בהיינה את ההגדרה שכלאיברי הסדרה שונים מאפס ?

האם ישנן הוכחות שמשתמשות גםבהיינה וגם במשפט הסנדוויץ' ?

הרבה.

מהי פונקציית דיריכלה ? האםרציפה ? למה ?

ולאי1 רציונלי ערך הפונקציה xל 0רציונליים ערך הפונקציה לא. אין גבול באף נקודה.

מהן הפונקציות המפריכות את קיוםהגבול בנקודה בדיריכלט ?

סדרת הפיתוח העשרוני וסדרת הפיתוח העשרוני ועוד שורש

n חלקי 2

מהו המפשט המוכיח שגבול אינומתקיים ?

קיים אפסילון גדול מאפס שלא קיים- |n > Neps| אפסילון כל ש Nעבורו

> |an-L| < eps

n/1האם קיים מספר אירציונאלי בין n->nolimitלבין אפס כש

לא ?

מהו התנאי לגזירות בסביבת נקודה ?השיפוע משני הכוונים שווה

התנאים השקולים לרציפות2מהם ?xבנקודה

א. f)x( = f)x + h(

h -> 0כאשר ב.

תנאי ציורי : רציפה בכל נקודה ניתן לשרטטfאם

את הגרף שלה מבלי להרים אתהעט מהנייר

זו לא הגדרה מתמטית פורמלית והיאבעייתית במקרים מסוימים

איך מוכיחים שפונקציה היא רציפהבמידה שווה על כל הישר ?

x0 ו xצריך להראות שלכל שההפרש בינהם קטן מאפסילון, גם

הפרש התמונות שלהם קטןמאפסילון

?

,)X, Xn, f)Xמהם יחסי הגומלין בין f)Xn(?

מהו הפורמט להוכחת רציפות ? . נראה שלכל0יהי אפסילון >

אפסילון קיימת למדא כך שאם ההפרש בין המקורות קטן מאפסילון

אז הפרש התמונות קטן מלמדא?

מהי תכונתה האינטואיטיבית של פונקציה המקיימת רציפות על כל

הישר ?רציפה בכל הנקודות

אינה שואפת לאינסוף בשום מקום ?

רציפה עלf)x(=xהאם הפונקציה כל הישר ? למה ?

לאשואפת לאינסוף

?

מהן שתי הדרכים להוכיח רציפות ?קושי אפסילון ודלתא

F)x + h( = f)x(

נקודת השבת ומשפט דרך הביניים, משפט

ויירשטראס

מהו המשפט ?. אזי :[a,b] רציפה בקטע fתהי

-f חסומה בקטע -fמקבלת מינימום ומקסימום בקטע

מהו עקרון ההוכחה : רציפה בקטע סגור שסימניfאם

תחילתו וסופו הפוכים, אזי יש נקודה בקטע הפתוח שערך הפונקציה בה

אפס?

רקורסיה של חציית הקטע באמצעו, ובחירת הקטע ה " נורמלי" )שונה

הסימן( הבא. נקבל סדרה של קטעים נורמליים

במוכלים אחד בשני ושאורכם שואףלאפס.

לפי הלמה של קנטור, היינהואריתמטיקה של גבולות נראה :

מכפלת הקצוות השלילית שואפתלביטוי גדול שווה אפס

מהו משפט דרך הביניים ?

מהי הוכחת המשפט : וגם[0,1] רציפה בקטע fנתון שיש

, אזי1(>=1(f וגם ש 0=>)f)0ש ישנה נקודה הנקראת "נקודת שבת"

f)x(=xהמקיימת ?

–תיאורית משפט קווצ'וץ' הדף

–פורמלית הגדרת פונקציה חדשה :

g)x( = f)x(-xg)0( = f)0(-0 >= 0g)1( = f)1(-1 <= 1g)c( = 0 = f)c( – c

מ.ש.ל.

מהו אריה במדבר ? מהו עקרוןהוכחת ההרחבה ?

ערך הביניים של קושי

ומתקיים[a,b] רציפה בקטע fאם f)a(f)b(<0 אז יש ל fשורש בקטע

[a,b] רציפה בקטע fהרחבה : אז לכל)f)a(<f)bומתקיים

f)a(<d<f)b( קיימת a<c<bכך ש f)c(=d

הוכחת ההרחבה :G)x(=f)x(-d

איך אפשר לפתור שאלה מסוג : הראה שלפונקציה מסוימת יש

לפחות שני שורשים ? מציבים ערכים כך שיתקבלו שתי תמונות שוות סימן ובינהן תמונה

שונת סימן

מהי פונקציה אלמנטרית ?רציפה בכל אורכה

?

חקירת פולינומים ועוד

מדוע : לכל פולינום ממעלה אי זוגיתיש לפחות שורש אחד ?

למשל לפי שיטת החציה

מהו מספר השורשים המירבי של ? למה ?nפולינום ממעלה

מה עקרון ההוכחה - [a,b] רציפה בקטע הסגור )f)xאם

אזי היא חסומה שם.?

לא חסומהfבדרך השלילה. נניח ש טבעי, יש כך שnבקטע, אזי לכל

תת סידרה מתכנסת, ,Xn- . יש ל. אזי

טור טיילור

מהו הטור ?

מהו טור מקלורן ?

מהם התנאים להפעלתו ?

ואינטרגרלים נגזרות

מהי נגזרת ? X0שיפועה של פונקציה בנקודה

מה חשיבות הנגזרת ? דני קרן : נחשב לנושא החשוב ביותר

במדע

הרעיון שמאחורי הנגזרת הוא מושג המהירות. וליתר דיוק, המהירות

.(instantaneous)הרגעית או ברגע למה ?

כי נגזרת ההתקדמות היאהמהירות ?

כיצד הגדיר ניוטון את הנגזרת ? המיקום של גוף נע הואxאם בזמן

f)x( אזי המהירות הרגעית בזמן ,X0 היא

f)X0 + h( – f)X0( / h שואף לאפס.hכאשר

מה סימון הנגזרת ? )f’)xמסומנת

מה היתה הבעיה בהגדרות ניוטוןלנגזרות ?

פורמלית מתמטית הן לא היו 150מדויקות. הצרפתים תיקנו אותו

שנה אחרי.

איך מחשבים נגזרת על פונקציה ?פשוט מציבים בנוסחה של ניוטון

יש נגזרת|f)x(=|xהאם לפונקציה ? למה ?x=0בנקודה

לא ע"פ)f’)0הוכחה פורמלית : חישוב

ההגדרה של ניוטון :h| / h|אחרי פישוט מקבלים

קיבלנו פונקציית מדרגה שאינה !h=0רציפה ואין לה גבול ב

ולכן לא ניתן להגדיר מהירות בנקודהזו

מהי הטעות הנפוצה בבדיקה האםפונקציה גזירה בנקודה ?

קודם לגזור ואז להציב את הנקודה בביטוי הנגזרת, במקום לרשום אתהנקודה בהגדרת הנגזרת לפי ניוטון

מהי נגזרת של סכום ?

מהי נגזרת של מכפלה ? מה עקרוןההוכחה ?

(fg = ’)f’g + fg’

איפה יש דף נגזרות ?ויקיפדיה

xאיך אפשר לחשב את נגזרת שורש בטריק פשוט ולטעות בקלות ? מה

הבעיה ? קיימת’fלא בטוח ש

מה צריך להזכיר לנו שורש פחותשורש ?

נוסחת פיתוחטריק מחסור השורשים

f/1מהו עקרון ההוכחה לנגזרת של למה המינוס–? אינטואיטיבית

מהו טריק המתווך ?

מתי מותר ומתי אסור להזניחאלמנטים בביטויים

?)arc sin)sin 30למה שווה 30

איזו פונקציה היא רציפה בכל הישר, ?1- ו 1וגזירה בכולו פרט ל

|x+1| + |x-1|

באילו מקרים פונקציה רציפה אך לאגזירה ?

כשיש שפיץ בנקודה הלא גזירה

?lanמהו תחום ההגדרה של Xגדול מאפס

אם מכניסים קו ישר בחלקה התחתון של פרבולה, האם מבטלים את

תכונת גזירותה בכל התחום ?והנגזרת השנייה ? למה ?

לאכי הנגזרת נשארת רציפה

כן, כי לא ?

מהם כל משפטי קושי ?קריטריון קושי להתכנסות סדרות

משפט קושי

מהי נקודה סטציונרית ?שהנגזרת בה שווה אפס

מהי נקודת שבט ?

מתי צריך לחשב נגזרת ע"פהנוסחה ?

כשלא ידוע אם היא קיימת

לפי כלליx^1/nהאם מותר לגזור את הגזירה ? למה ?

לאכי לא ידוע אם הנגזרת קיימת

כלל השרשרת

מהו משמעות כלל השרשרת ? מראה כיצד נגזור הרכבה של

פונקציות(f g()x = )f]g)x([

מהי הנגזרת של הרכבה ?f]g)x([ * g’)x(

מהו עקרון ההוכחה ?מאוד ארוך ומסורבל

s)h(

מה יקרה אם מנסים להראות אתההרכבה מהכוון ההפוך

?

חוקי הנגזרת

מהי נגזרת של פונקציה קבועה ?0

מהי נגזרת של סכום או חיסורפונקציות ?

סכום או חיסור הנגזרות

מהי נגזרת של מנת פונקציות ?

מהי הנגזרת של מכפלת פונקציות ?(f)x(g)x( = )f’)x(g)x( + f)x(g’)x(

?(X^a)מהי הנגזרת של aX^a-1היא

?sinמהי הנגזרת של Cos

מהו אקסטרמום ?מינ' \ מקס לוקאלי

האם גזירות גוררת רציפות ?ולהיפך ? למה ?

כןלא

איך מחשבים ?x^xמהי הנגזרת של ?

X^x )lnx + 1(e^ x lnx

כללי גזירה

במקרים רבים, ניתן להימנע מחישוב מסורבל של הגבול המתואר לעיל על :ידי כללי הגזירה המתוארים להלן

 f אם פונקציה  היאאזי, קבועה

הנובע ) כלל הסכוםהגזי אופרטור של לינאריותמה

(רה :

 עבור כלשהן  g-ו f פונקציותומספרים .כלשהם b-ו a ממשיים

כלל ) כלל המכפלה(לייבניץ :

 עבור .כלשהן g-ו f פונקציות

:כלל המנה

 עבור כלשהן,  g-ו f פונקציות.g ≠ 0 כאשר

: כלל השרשרת,  אם

אז

.

קיימתxהאם לשורש שלישי של ? למה ?0נגזרת ב

לא כי שווה לאינסוף, מקבילה לצירy

sinx / x = 1 מתקיים xעבור אילו ?

?0שואף ל

יש נגזרת)xsin)1/xהאם לפונקציה ? למה ?0ב

לא כי אפשר להראות שתי סדרות

ששואפות לאפס ולהן גבול שונה

האם גזירות גוררת רציפות ? למה ?כן

עקרון ההוכחה : הצבת הביטוי = )f’)x( * lim h )h->0לנגזרת עד ל

0?

?0האם לפונקציות נגזרת ב x sin )1/x(?

x^2 sin )1/x(?

מה עוזר כשבאים לגזור פונקציה לפיההגדרה ?

לרשום בצד את התוצאה שצריכהלהתקבל

כלל לופיטל

מהו הכלל ?

מה התנאים להפעלתו ?

מתי בעייתי ? מה עושים ?x^xב a^xב

בטריגונומטריהLnעל הביטוי

האם קיים לופיטל לחזקה ?לא

מה עושים אם לופיטל אחד לאעזר ?

הרבה לופיטלים

כמה לופיטלים לעשות ? להמשיך עד שמבינים שזה לא הולך

לשום מקום

אם ביצענו לופיטל וגילינו שהגבול לא קיים, מה זה מעיד על הגבול

המקורי ?שום דבר

? ln/1למה לא מומלץ לגזור את

איך יודעים מוקדם שלופיטל לאיעזור ?

לא תמיד אפשר לדעת אבל יש פונקציות שהנגזרות שלהן מחזוריות,

כגוןLn

טריגונומטריות

של היסודיים המשפטיםהדיפרנציאלי החשבון

? מה עקרוןfermatמהו משפט ההוכחה ?

מקבלת fאם

משחק סימני פלוס מינוס מונה מכנה,וסנדוויץ בינהם

מהו מסלול המשפטים וההוכחות ? >2 > ויירשטראס 1ויירשטראס

פרמה > רול > לה גראנג' > הערךהממוצע של קושי

מהי הדרך המחשבתית שעוברת דרךהמשפטים ?

ומשפטים טריקים

חוקים שאינם טריוויאלים ב :נגזרות ואינטגרלים

לוגיםחזקות ושורשים

סכומי סדרות

שרשראות משפטים :משפט הסנדוויץ והפיצהפרמה > רול > לה גראנג'

היינה \ קושי

אריתמטיקה של גבולות : סכום,מכפלה,

הוכחות בסיסיות למשפטים

טריקים :טריק הצמוד ובשלישית

(a^2 – b^2( = )a-b()a+b)אי שוויון ממוצעיםאי שוויון המשולש

משפט הסנדויץ'סדרת סכום גדול מחצי

טריק השבר העוקב וריבוע השברביטוי מפורש לסדרת נסיגה

eביטוי ה 0 שואף ל x כאשר sinx/x = 1גבול : שואףx עבור ln)x+1( / x = 1גבול : לאפס

x/1טריק ה טריק החלוקה בחזקה הגבוהה

הצבה מקשרת לחזקותהוצאת גורם חזקה משותף

Sina <= a : חזקות, כפולות וחילוקיםlnמשחקי

ln: יוצאים ונכנסים ל צירופי טריקים !

נגזרת של פונקציה היא אחד חלקיהנגזרת של הפונקציה ההפוכה

(f-1)f)x((’ = 1 / )f)x((’)f)x( ln = f’)x( / f)xטריק ה

הטריק של "המגשר" : הבאת ביטוי לצורת ביטוי ידוע, למשל ע"י הוספת

והחסרת איבר עבור סדרה שידועLטריק הצבת ה

שיש לה כזה

איך מזהים את לה גראנז' ? b-a

הגדרות :מונוטונית עולה \ יורדת

חסימותרציפות

נגזרת ע"פ ניוטוןגבול

לכמה משפטים חובה לזכורהוכחה ?

18

איך בוחרים טריקים ? מבחן–אם מתכנס לאפס או אינסוף

השורש או המנה מבחן המנה–אם יש עצרת

משפט הסנדויץ'–ערך שלם

שונות או לא ממוין

מהם הביטויים לשקילות לוגית ?

אם ורק אם

למה גבול הוא מושג כ"כ גרוע ? איזה ?מושג הוא מוצלח יותר

כי בעברית תקנית גבול הוא חסם,.ולא מקום שמתכנסים אליו

.משפך

המתמטיקה מסבכת את עצמה בגלל.סמנטיות

".גבול צריך להפוך ל "משפך אינפימום להשתנות והפוך ל

""מינימום לא מוכל סופרמום להשתנות ולהפוך ל

""מקסימום לא מוכל יש להחזיר

מהם "כמתים לוגיים" ? הפוכה למעלהAלכל =

הפוכה שמאלהEקיים =

מה זאת אומרת שורש של משוואהריבועית ?

הפתרון שלה ?

כיצד מתוארים במילים גדול \ קטןמ ?

קטע \ חצי \ פתוח \ סגורחצי \ ישר \ פתוח \ סגור

רצוף גדול שחור ומפחיד ?Eמהו סיגמא, סכום

מהם חוקי הפיתוח למשוואת אישווין ?

סימן נשאר ?–כפל בחיובי

האם נכון \ מותר לפתור אי שוויון ע"י פתרון משוואה רגילה ומציאת

תחומים בין נקודות השוויון ?

מהם ממוצע הנדסי, חשבוניוהרמוני ?

של כפל הסדרהnשורש nסכום הסדרה חלקי

nמונה ובמכנה סכום הפכי הסדרה

מהו פולינום ?משוואת מעריכים מהצורה..

כיצד משפיע סימן אי שוויון על חסמימלרע \ מלעיל ?

האם קבוצה ריקה היא חסומה ?לא

מהי קבוצה חסומה ?לא ריקה ושמספר אבריה מוגדר ?

מהי אכסיומת השלמות ?

מהו אפסילון ?מספר קטן כרצוננו

?לא ?

האם אינסוף שווה חצי אינסוף ?יש להם את אותה עוצמה

איך קוראים לתוכנה מציירתהפונקציות של עופר ?

מהי אינדוקציה ? שיטה להוכחה המניחה טענה לגבי

סדרה. העקרון הוא הוכחת נכונות לגבי

כלשהו ואז הוכחתAnאיבר אחד An+1נכונות לאיבר

מתי גילו שיש מספרים ממשיים ?

מהי טענה טריוויאלית ?כזו שמחייבת הוכחה

האם טריליון שווה מיליארד ? טריליון זה באמריקה, מיליארד זה

בישראל, באירופה זה ?

מהו משפט קיום ? איפה זה בא לידיביטוי בקורס ?

משפט הטוען שמשהו קיים, אך לאבהכרח יודע את ערכו המדויק.

למשל לגבי פונקציות חסומות או לא חסומות, שלא ידוע מהם ערכי

החסימה.

למה ה מסטייפ לא עובד לי ?

שונות

מהו מקור הסימן לאינטגרל ?S – sum

כמה זמן צריך לנסות לפתור שאלהלפני שמסתכלים על הפתרון ?

בעקרון כמה שיותר, אבל תלוי במספר משתנים : זמן עד

המבחן,

גיחות תחקירי

צריך לחזור על פיתוח אי שוויונים..Just ask

?

מתבלבל בניסוח הנחת האינדוקציה ומה שצריך להוכיח בצעד

האינדוקטיבי

חלוקה למקרים יכולה להוביל בצורה מיידית לפתרון. לא לחשוש

לעשותה.

לא מוצא מלא דרכי תקיפה

מתבלבל בין אינסוף למינוס אינסוףבפיתוחים

פתיחת שורש של ריבוע ללא ערךמוחלט

בלבול בין פאי לשני פאי רדיאנים

לא הפרדתי בין גבול מימין לגבולמשמאל כשאלו היו שונים

שואףx כש cos xבלבול במשמעות 0ל

פיתוח לא נכון של טריק הצמודבשלישית

לא מספיק פורמלי. להצמד למשפטים בשיניים. לא לחשוש

מבניית פונקציות עזר.

עם לה גראנג' חייבים לראות גם אתהפונקציות וגם את הנגזרות !!

צריך ללמוד ולהשלים עם השפה החדשה. אין מובן, אין ציורים. יש

משפטים והתחכמויות וטריקים.

ממה שרושם בכל4צריך לכתוב פי הוכחה.

צריך לרשום את כל המובניםמאליהם ולהסביר אותם.

הוכח \ הפרך : לא בודק פונקציות לא רציפות

וחיובי שליליורציונלי \ אי רציונלי

מפספס בנגזרות פשוטות