כפל מטריצות:.B = מס' השורות של A : מס' העמודות של ABתנאי לביצוע

A(aij) – מטריצה מגודל m X n. B(bjk) – מטריצה מגודל n X l.

.m X l תהיה מגודל C=ABאזי המטריצה

תכונות של כפל מטריצות:A(B+C)=AB+AC אזי AC ו ABחוק הפילוג: אם מתקיים A(BC)=(AB)C אזי AC ו ABחוק הכיווץ: אם מתקיים

AB=BAיש לזכור שלא תמיד מתקיים

פעולות שורה אלמנטריות: זו בזו.Aהחלפה של שתי שורות של א) במספר קבוע.Aכפל של אחת השורות של ב)הוספה של שורה מסוימת לשורה אחרת.ג)

הן מטריצות שאחת מהן מתקבלת מהשנייה ע"י סדרה שלשקולות שורהמטריצות .תפעולות שורה אלמנטאריו

: I מטריצת היחידה זוהי מטריצה שעל האלכסון שלה כל האיברים שווים לאחד ושאר האיברים שווים

לאפס.AI=IA=Aמטריצה זו מקיימת את התנאי

I=

( Transposed מטריצה מוחלפת ) יחסית לאלכסון הראשי שלה ומקיימת אתAמטריצה זו מתקבלת משיקוף של

התנאים הבאים:.m X n תהיה מסדר AT אזי n X m מסדר Aאם

ATBT=(BA)T אזי ABאם מוגדר

מטריצה מדורגת:תנאים לקיום:

A במידה וקיימת נמצאת אחרי שורה של Aכל שורת האפסים של א)שלא כולה אפסים.

.I (i<k) תמיד גדול מזה שבשורה kמספר האפסים המובילים בשורה ב)

דוגמא למטריצה מדורגת:

משפט: כל מטריצה היא שקולת שורה למטריצה מדורגת, (כלומר ניתן באמצעות פעולות שורה אלמנטריות לדרג מטריצה- אם כי לא תמיד ניתן לייצר שורת

אפסים).

(: A ( ומטריצה הפיכה ) A -1 מטריצה הופכית ) מאותו סדר כךB נקראת הפיכה אם קיימת מטריצה ריבועית Aמטריצה ריבועית

AB=BA=Iש: מטריצה הפיכה אזי יש לה מטריצה הופכית יחידה.A אם (:1טענה)

הן שתי מטריצות הופכיות שלC ו B על דרך ההיפוך, נניח ש (:1הוכחה לטענה)A:מכך נובע ש ,

AB=BA=IAC=CA=I

:Cנכפיל את הביטוי הראשון בC(AB)=CI

לפי חוק הפילוג:)CA(B=CI :אבל ידוע ש CA=AC=I ולכן נובע ש IB=IC כלומר B=C.

.A-1 יש מטריצה הופכית יחידה והיא מסומנת ב Aכלומר ל

(:2טענה)=AB(-1( גם הפיכה ומתקיים AB שתי מטריצות הפיכות מאותו סדר אזי B ו Aאם

A-1B-1

AB=BA, נזכור ש AB ונראה כי היא הופכית לC= A-1B-1נסמן (: 2הוכחה לטענה)(AB)C=(AB)( A-1B-1)= ABA-1B-1 =BA A-1B-1==BI B-1=I

:Aשיטה למציאת המטריצה ההופכית של מטריצה היא הפיכה אם ניתן באמצעות פעולות שורה אלמנטריות לקבל ממנהAמטריצה

את מטריצת היחידה. היא מטריצה הפיכה נצמידה לה מימין את מטריצתAבמקביל לבחינה של האם

נבצע גם על מטריצת היחידה.Aהיחידה וכל פעולה שנבצע על מטריצה

בצורה זו עד שמתקבלת מטריצה היחידה בצד שמאל ובצד ימין בסופו של תהליך .Aתתקבל המטריצה ההופכית של מטריצה

ע"י דטרמיננטה:– הפיכה Aבדיקה כללית האם מטריצה אם הדטרמיננטה של המטריצה שווה לאפס היא לא הפיכה

רלוונטי לעתיד: ערכים עצמיים של מטריצה לא הפיכה: נזכור שכשמטריצה לא הפיכה זה אומר שיש לה שורת אפסים , לכן הערכים

העצמיים שלה הם אפס!!

נעלמים. n משוואות ב n שימוש לפתרון מערכת של נתונה המערכת הבאה:

a11X1 + a12X2 +… + a1nXn = b1

a21X1 + a22X2 +… + a2nXn = b2

:

an1X1 + an2X2 +… + annXn = bn

ניתן לבנות מטריצה ריבועית של המקדמים ולהכפיל אותה בווקטור ניצב שלהנעלמים כך ש:

ביטוי זה שקול ל:

מטריצה הפיכה אזי ניתן לומר שיש למערכת המשוואות פתרון יחיד, זאתAאם יתקבל:Aמפני שבמידה ונכפול את שני צידי המשוואה ב הפיכה של

נתוןb אחד שמתאים לכל xמטריצת היחידה יוצרת מצב שישנו אך ורק

ולכן זהוxניתן לראות שביטוי זה יוצר מצב שבו מתקבל ערך מספרי יחיד לכל פתרון יחיד,(כמובן שמציאת הפתרון מחייבת את חישוב המטריצה ההופכית).

דטרמיננטות .Aלכל מטריצה ריבועית מותאם סקלר מיוחד שנקרא הדטרמיננטה של

לדטרמיננטה של המטריצה חשיבות רבה בגילוי תכונות המטריצה.

תכונות של דטרמיננטות:

.דטרמיננטה מסדר אחד היא הסקלאר עצמו: .1

1

: היא כפל אלכסון וחיסור האלכסון השני:2דטרמיננטה מסדר .2

ושל המשוחלפת שלה שוות.Aהדטרמיננטה של מטריצה .3

יש שורת/עמודת אפסים, אזי הדטרמיננטה שווהAאם למטריצה .4לאפס.

יש שתי עמודות/שורות זהות אזי הדטרמיננטה שווה לאפס.Aאם ל .5 שווה למכפלת אבריA משולשת אזי הדטרמיננטה של Aאם .6

האלכסון שלה..1 היא Iהדטרמיננטה של מטריצה היחידה .7 ע"י פעולות שורהA מתקבלת ממטריצה Bבמידה ומטריצה .8

אלמנטריות:

. שורות/עמודות אזי 2אם הוחלפו א.

אזי :kאם הוכפלה שורה/עמודה בסקלאר ב.

אם הוספה כפולה של שורה לשורה אחרת אזי:ג.

ריבועית, הטענות הבאות שקולות: Aנתונה מטריצה.9 היא הפיכה.Aא. יש רק פתרון האפס.Ax=0ל ב. שונה מאפס.Aהדטרמיננטה של ג.

שווה למכפלה שלA , Bהדטרמיננטה של מכפלה של שתי מטריצות .10

.הדטרמיננטות שלהן.

מטריצות דומות הדטרמיננטה שלהן זהה.B ו Aאם .11

שלבים למציאת מטריצה הופכית באמצעות דטרמיננטות: דטרמיננטה , (זה תנאי ראשוניAראשית יש לבדוק האם יש למטריצה .1

וגם משתמשים בו בהמשך). באופן הבא:A על בסיס המינורים של מטריצה Cבונים מטריצה .2

כךC ומתאימים מיקום זהה במטריצה A במטריצה i,jעוברים על מיקומי :A הוא המינור של הערך במטריצה Cשהערך ע"ג מטריצה

ומחשבים את הערך הבא:C למטריצה transpose. עושים 3

חוק קרימר:כיצד פותרים משוואות לא הומוגניות באמצעות דטרמיננטות:

Ax=Bמתרגמים את המשוואות למצב וקטורי/מטריצות : .1 דטרמיננטה שלא שווה לאפס, במידה וכן, אזי ישAבודקים האם יש ל.2

פתרון יחיד. על מנת למצוא את הנעלמים מחליפים בכל פעם את עמודת הנעלם.3

X(i) בעמודת הפתרונות Bלאחר ההחלפה מחשבים את . הדטרמיננטה והפתרון המתקבל לחלק לדטרמיננטה של המטריצה

המקורית הוא הפתרון של הנעלם.

דוגמא לשימוש בחוק קרימר:נתונה מערכת המשוואות:

Ax=B. נתרגם למצב 1

, התקבל פתרון לכן יש : Aנבדוק את הדטרמיננטה של .2

פתרון יחיד.

עלינו להחליף את העמודה שלו עם עמודתx. כעת על מנת לקבל את 3 הפתרון, לחשב דטרמיננטה של המטריצה החדשה ולחלק את התוצאה

:Aבדטרמיננטה של המטריצה

בצורה דומה ניתן לחשב לשאר הנעלמים, בכל פעם מחליפים את.4עמודת הנעלם עם עמודת הפתרונות.

אין פתרון למשוואה או שיש אינסוף פתרונות,כללים לפתרון : כאשר

לתוךניתן לבדוק זאת ע"י הצבה של הפרמטרים שמצאנו כאשר

מערכת המשוואות, אזי יש אינסוף פתרונות0=0אם מתקבל

מרחבים וקטורים: פעולות. חיבור שיסומן ב +2 שמוגדרות עליה Vהגדרה: מרחב וקטורי הוא קבוצה

.Vוכפל במספר של איברי דרושים שיתקיימו התנאים הבאים:

, כלומרV נמצא ב α + β אז גם V שייכים לβ ו α: אם Vסגירות של א) .V הוא גם וקטור ב Vסכום של שני וקטורים ב

אזי:חילופיות של החיבור : אם ב)

.

α,(וקטור האפס). כך שכל וקטור 0 שיסומן ב-Vקיום איבר ניטרלי ב-ג) α + 0 = α מקיים Vב-

-)+α כך ש: V- בα יחיד יש וקטור V ב αקיום איבר נגדי לכל וקטור ד)α)=0 וקטור זה נקרה הנגדי של , α.

.α+β+(γ = α+(β+γ)( מתקיים: V בα,β,γחוק הקיבוץ: לכל ה)

תכונות הכפל במספר: (כלומר כפל שלV נמצא בαa אזי V וקטור ב α מספר ממשי ו aאם )1

וקטור במספר הוא וקטור). מספר אזי: לפי חוק הפילוג:a וV וקטורים ב α,βאם )2

.

.a(bα) α (ab)= סקלארים אזי: a,b וקטור וαאם )3

. מתקיים V ב αלכל וקטור )4

: לבדיקה של האם מרחב מסוים עונה על הקריטריונים של מרחב וקטורי:דוגמא

צריך לבדוק האם המרחב עונה על התנאים שדרושים לקיום מרחב וקטורי.סגירות: בהכרח הוא סגור.א.חוק החילוף והקיבוץ מתקיימים באופן מיידי.ב..)x,y)+(0,0)=(x,y(). והוא מקיים 0,0וקטור האפס הוא (ג..)x,y-)+(x,-y)=(0,0( והוא מקיים )x,-y(-הוקטור הנגדי הוא ד.גם כפל של איבר במספר יקיים את התכונות הדרושות.ה.

ניתן להרחיב את ההגדרה לפונקציות:V – אוסף כל הפונקציות ב IRפונקציות שתחום ההגדרה שלהן הוא מספרים)

ישמש כמרחב וקטורי כאשר חיבור שלVממשיים והן מקבלות ערכים ממשיים).

הוא:שתי פונקציות

מספר אזי ניתן להגדיר: a וV פונקציה בfאם

מרחב וקטורי ביחס לשתי הפעולות שהגדרנו.Vניתן לבדוק ש

הגדרה של תת מרחב שמהווהX של U הוא קבוצה חלקית V מרחב וקטורי אזי תת מרחב של Vאם

כלומרVבעצמה מרחב וקטורי ביחס לפעולות החיבור והכפל במספר שמוגדרות ב הוא יכול להיות תת מרחבU משרות את אותו הדבר על Vאם הפעולות במרחב

.Xוקטורי ל

2

:V הוא תת מרחב במרחב Uהקריטריון לבחינה האם .V מכילה את וקטור האפס של Uא)

הסכום סגור תחת חיבור וקטורים, כלומר לכל Uב)

.

, הכפולה בסקלאר סגור תחת כפל בסקלאר, כלומר לכל Uג)

a :

מספרים כלשהםa,b ו U וקטורים בα, βאיחוד של ב,ג נותן: אם ד) .U נמצא ב aα+bβשונים מאפס אזי גם

דוגמא לשימוש בקריטריון:

האם היא תת מרחב שלנבדוק את הקבוצה

ע"פ הקריטריון:

U) הכפלה שלו עם המשוואה של 0,0,0 הוא (וקטור האפס של א)

נותנת גם אפס. כאשרU נמצאים שניהם בβ=(x2,y2,z2) ו α=(x1,y1,z2)צריך לבדוק ש ב)

.aα+bβכופלים אותם במספרים ממשיים

הרחבת ההגדרה למטריצות:קריטריונים דרושים:

.U היא גם מטריצת האפס ב Vמטריצת האפס בא) aA+bB מספרים כלשהם אזי גם a,b וU שתי מטריצות מB ו Aאם ב)

.Uנמצא ב

תלות ליניארית של וקטורים

. נאמרV היא קבוצה של וקטורים במרחב וקטורי נניח ש

אם קיימים מספרים ממשייםA הוא צירוף ליניארי של איברי V בαשוקטור

. כך ש

הואV אם כל וקטור בV פורסת את V של וקטורים במרחב וקטורי Aנגדיר קבוצה .Aצירוף ליניארי של איברי

: יוצרת את המרחב הוקטורי Aדוגמא לכך שקבוצה

A כי היא יכולה לתאר כל וקטור מהצורה שהגדרנו פורסת את

מספר ממשי.x כש

אם יש לו קבוצת יוצרים סופית,(כלומרנוצר סופית מרחב וקטורי נקרא הגדרה:הוא נפרס ע"י קבוצה סופית של וקטורים).

תלויה נקראת V במרחב וקטורי קבוצה וקטורית הגדרה:

שלא כולם אפסים כך ש אם קיימים מספרים ליניארית

תלויים ליניארית אם ורק אם אחד מהם הוא צירוףהוקטורים

ליניארי של כל האחרים.

תלות ליניארית של וקטורים:

אינם תלויים ליניארית אזי נאמר שאם הוקטורים

בלתי תלויים ליניארית.

:Vקבוצה פורשת של

, קיימים סקלרים אם לכל V פורשים את

כך ש:

הוא קומבינציה ליניארית של. כלומר אם

.

קריטריון לבדיקה של אי תלות ליניארית:

a1=a2 נובע כי אינם תלויים ליניארית אם מהוקטורים

=…an=0הערות לגבי תלות ליניארית של וקטורים:

ךאם אחד הוקטורים הוא וקטור אפסים אזי הם בהיכר.1תלויים ליניארית.

כל וקטור שונה מאפס הוא לכשעצמו בלתי תלוי ליניארית..2 אם שני וקטורים שווים או מהווים כפולה סקלרית אחד.3

של השני אז הוקטורים תלויים ליניארית. שני וקטורים תלויים ליניארית אם ורק אם אחד מהם הוא.4

כפולה של האחר בסקלר. אם קבוצת וקטורים איננה תלויה ליניארית אז גם סידור.5

מחדש של הקבוצה הוא בלתי תלוי ליניארית. של וקטורים היא בלתי תלויה ליניארית,אזSאם קבוצה .6

היא בלתי תלויה ליניארית, לחילופין:Sכל תת קבוצה של תלויהS מכילה תת קבוצה תלויה ליניארית אזי גם Sאם

ליניארית. תאור גיאומטרי של תלות ליניארית של וקטורים: על שני.7

וקטורים תלויים ליניארית אם ורק אם הם נמצאים על אותו ישר דרך הראשית. כל שלושה וקטורים תלויים

ליניארית אם ורק אם הם נמצאים על אותו מישור.

. V הגדרת בסיס של מרחב וקטורי הגדרה א:

אם שניV של וקטורים היא בסיס של הקבוצה

התנאים הבאים מתקיימים:

הם בלתי תלויים ליניארית.א.

.V פורשים את ב.

הגדרה ב:

של וקטורים היא בסיס אם כל וקטורקבוצה

ניתן לכתיבה באופן יחיד כקומבינציה ליניארית של וקטורי הבסיס.

יש בסיס כזה עםV אם ל-dimV = n ומסומן ב n נקרא מימד סופי Vמרחב וקטורי n.איברים

משפט: מרחב וקטורי ומימד סופי. אז לכל בסיס יש אותו מספר איברים.Vיהי

V הנוצר סופית נקרא המימד של Vמספר האיברים בכל בסיס של מרחב ווקטורי .dimVוהוא מסומן ב

משפט: הםV של וקטורים במרחב וקטורי נוצר סופית Aהתנאים הבאים על קבוצה סופית

שקולים:1.A מהווה בסיס של V.2.Aהיא קבוצה בלתי תלויה ליניארית מקסימאלית. כלומר אם

הקבוצה המתקבלתA וקטור שאיננו נמצא בAמוסיפים ל תלויה ליניארית.

3.A היא קבוצת יוצרים מינימאלית של Vכלומר אם גורעים מ .Aוקטור מסויים אזי הקבוצה המתקבלת כבר אינה יוצרת את V.

משפט:

3

מימדי היא תלויהn וקטורים במרחב n+1כל קבוצה של .1ליניארית.

אםV וקטורים אינה יוצרת את nכל קבוצה שיש בה פחות מ .2V הוא מרחב n.מימדי

הגדרה: הדרגה של המטריצה: .mXnנתונה מטריצה מדרגה

., כל עמודה זה וקטור בכל שורה זה וקטור ב

שהןA מוגדרת כמספר המקסימאלי של שורות Aדרגת השורות של מטריצה

. (ניתן להגדיר באופן דומה את דרגתוקטורים בלתי תלויים ליניארית ב

).העמודות ביחס ל

תמיד שווה לדרגת העמודותmXn מסדר A דרגת השורות של מטריצה משפט:.r(A)שלה והמספר המשותף נקרא דרגת המטריצה והוא מסומל ה

חישוב הדרגה של המטריצה:הדרגה של מטריצה מדורגת שווה למספר השורות שאינן שורות אפסים.

איננה משנה את דרגת המטריצה.תביצוע פעולות שורה אלמנטאריו על מטריצה נתונה עדתכלומר על מנת לחשב יש לבצע פעולות שורה אלמנטאריו

להבאתה למצב של מטריצה מדורגת. ואז מספר השורות שאינן שורות אפסים הואדרגת המטריצה.

נזכור שמטריצה מדורגת מוגדרת כך: כל שורות האפסים שלה מופיעות לאחר שורה שיש בהא.

איברים שונים מאפס. גדול ממספר האפסיםkמספר האפסים המובילים בשורה ב.

).i היא אחרי שורה k ,(כאשר שורה iהמובילים בשורה

משפט: שקולים:nXn מסדר Aהתנאים הבאים על מטריצה ריבועית

1.r(A)=n.2.A.הפיכה שונה מאפס.Aהדטרמיננטה של .3

מערכת משוואות ליניאריות הומוגניות:הגדרה:

נעלמים היא מערכת משוואות מהצורהn משוואות ב mמערכת הומוגנית של הבאה:

הנעלמים במערכת הם

מטריצת המקדמים היא:

: רניתן להסתכל על הפתרונות של המערכת הנ"ל כווקטו

פטרונות אחד אזי ניתן לקבל אוסף פתרונות רחב מצורהרכאשר ישנו יותר מווקטו:כללית, למשל

לכן אוסף הפתרונות של המערכת ההומוגנית שלנו מהווה תת מרחב של

ונקרא לו מרחב הפתרונות של המערכת.Pשנסמנו

משפט:

: n-r(A) של המשוואות ההומוגניות שווה תמיד ל מימד מרחב הפתרונותn –.מספר הנעלמים

r(A) –.דרגת מטריצת המקדמים

מהמשפט הנ"ל נובע שבכדי לפתור מע' משוואות הומוגניות יש לבצע את הפעולותהבאות:להביא את מטריצת המקדמים לצורה המדורגת שלה..1לקבוע את דרגת המטריצה..2 מימד מרחב הפתרונות הוא מס' הנעלמים פחות דרגת המטריצה..3

בעזרת מספר זה מחשבים בסיס למרחב הפתרונות ואז כל פתרון שלהמערכת ההומוגנית הוא צירוף ליניארי של איברי הבסיס הנ"ל.

כלומר לאחר שמוצאים את מימד מרחב הפתרונות צריך לנחש פתרונות שנותניםאת הערכים הרצויים, כל פתרון צריך להיות בלתי תלוי בשני.

מערכת משוואות ליניאריות שאינה בהכרח הומוגנית: משתנים וניתן לתאר אותה בצורהn משוואות ליניאריות ב mזוהי מערכת בעלת

הבאה:

נגדיר שתי מטריצות:

מטריצה זו - מטריצת המקדמים.

כוללת גם את הפתרונות בעמודה האחרונה שלה.

משפט: למערכת המשוואות יש פתרון אם ורק אם דרגת המטריצה המורחבת שלה שווה

.לדרגת המטריצה המצומצמת שלה :

במקרה ויש פתרון הוא יהיה מהצורה הכללית :

- הפתרון הכללי של המערכת ההומוגנית .

- פיתרון פרטי כלשהו (שניתן לנחש).

חקירה של מערכת משוואות ליניאריות לא הומוגניות שבה מספר הנעלמים לאבהכרח שווה למספר המשוואות:

החקירה מתבססת על הדרגה של מטריצת המקדמים והדרגה של המטריצההמורחבת:

למערכת אין פתרון.אם

אזי יש פתרון יחיד. ו אם

פתרונות. אזי יש ו אם

האם להוסיף כאן ארביטראז?

מכפלה סקלרית על מרחב וקטורי ב , לכל זוג וקטורים

על פי הנוסחא הבאה:נתאים מספר ממשי שיסומן ב

.הגדרנו כאן פונקציה המתאימה לכל זוג וקטוריםזוהי מכפלה סקלרית של

.IR סקלר ב ב

תכונות המכפלה הסקלרית:

מספר כלשהו אזי המכפלהa וקטורים והומוגניות: אם )1

הסקלרית תקיים:

, אזי:Vוקטורים בליניאריות: אם )2

4

מכאן גם נובע ש.

חיוביות: )3

. לכל וקטור

.סימטריה: )4

: כיצד בודקים המכפלה הסקלרית מקיימת את התנאיםדוגמא

, , אם נתבונן במרחב

הם שני וקטורים במרחב נגדיר את המכפלה

הסקלרית ונראה שהיא מקיימת את התנאים

.

הומוגניות.א.

ליניאריות, (אדטיביות):ב.

חיוביות:ג.

למעשה ניתן להציג את המכפלה הסקלרית באמצעות מכפלה וקטוריתרגילה כך:

הרחבה של ההגדרה של מכפלה סקלרית למטריצות ולפונקציות: g,f[. אם 0,1 של כל הפונקציות הרציפות בקטע ]Vנתבונן במרחב הווקטורי

אזי המכפלה הסקלרית ביניהן תהיה :Vשתי פונקציות ב

עקבה של מטריצה:

מוגדרת כסכוםA , העקבה של nXnהיא מטריצה מסדר אם

האיברים על האלכסון הראשי שלה:

V הוא מרחב וקטורי של מטריצות מסדר mXnהמכפלה הווקטורית של שתי תוגדר כך:A,Bמטריצות

נורמה של וקטור: הוא מרחב וקטורי שמוגדרת עליו מכפלה סקלארית. אם Vנניח ש

ומוגדרת:מסומנת ב הנורמה של Vוקטור ב

דוגמא להבנת המשמעות של נורמה של וקטור:

תהיה: הנורמה של וקטור במרחב

תהיההנורמה של הוקטור קל להבין שבמרחב

זהו מרחב דו מימדי וזהו למעשה האורך של הוקטורים!!

תכונות הנורמה: מתקייםa ולכל מספר הומוגנית: לכל וקטור א.

, והוא שווה לאפס אם מתקיים חיוביות: לכל וקטור ב.

הוא וקטור האפס.ורק אם

המשולש:ןאי שוויוג.

אי השוויון של שווארץ:

במרחב וקטורי שמוגדרת עליו מכפלה סקלריתלכל שני וקטורים

מתקיים:

והערכים הםכלומר אם

מספרים ממשיים אזי מתקיים:

הוכחה לאי שוויון שוווארץ:

נפתח את הביטוי: מתקיים : לכל

ניתן לכתוב את הביטוי האחרון שהתקבל אחרת לפי הדיסקרימיננטה, ביטוי רק אם הדיסקרימיננטה שלו היא אי חיוביתtזה יהיה אי שלילי לכל ערך של

כלומר:

: לפי אי שוויון שווארץ:הוכחה של משפט אי שוויון המשולש

צריך להוכיח:

נפתח את הביטוי:

5

ולכן ניתן לאומר ש:נזכור שלפי אי שוויון שווארץ :

קוסינוס הזוית בין הווקטורים מוגדרת כמכפלה סקלאריתהגדרה : ב

לחלק לנורמה:של

וקטורים אורטוגונאלים:–וקטורים ניצבים

במרחב וקטורי שמוגדרת עליו מכפלה סקלריתשני וקטורים

נקראים אורטוגונאלים זה לזה כאשר:

לפי הגדרה זו וקטור האפס הוא אורטוגונאלי לכל וקטור!

וקטור אורטוגונאלי ומשלים אורטוגונאלי:.V הוא תת מרחב של W הוא מרחב שמוגדרת עליו מכפלה פנימית וVאם

ב לכל הוקטורים מוגדר כקבוצה Wהמשלים אורטוגונאלית של

V ב לכל כך ש W.

W מאונך לכל וקטור ב כלומר כל וקטור ב

כיצד מוצאים את המשלים האורטוגונאלי:דוגמא:

כך ש:)a,b( אנו צריכים למצוא וקטור על מנת למצוא את

ax+by=0 לכל )x,y( אשר מקיים y=2x. ונקבל:2x את הביטוי yנציב במקום

ax+2bx=0 נוציא אתx:מחוץ לסוגרים x(a+2b)=0 מכאן ש הביטוי בסוגרים צריך לאפס את

המשוואה, וזה מתרחש בתנאים:a=-2b b=-0.5a:משוואת ישר זה תהיה

y=-0.5x. כלומר:

(המוגדר למכפלהV הוא תת מרחב של מרחב וקטורי Wניתן לבדוק שאם

.V הוא תת מרחב של סקלרית) אזי גם

ההוכחה היא הוכחה רגילה של תת מרחב, צריך להראות ש :

להראות שווקטור האפס נמצא ב .1

שני מספרים אזי גםa,b וקטורים בלהראות שאם .2

.נמצא בהוקטור

פתרון ההוכחה:

.V כי הוא מאונך לכל וקטור בברור שוקטור האפס נמצא ב.1

שנמצא ב אזי כפולה שלו בוקטור נמצא באם .2

W:תתן אפס, כלומר

זה מתקבל מפני שהוקטור החדש מתאפס.

:משפט

תמיד

אזי המכפלה שלו כפול עצמו (מפני שאם ישנו וקטור

) תהיה אפס! וזהו רק וקטור האפס שמקיים תנאי זה.

משפט: V תת מרחב של W מרחב וקטורי שמוגדרת עליו מכפלה סקלארית וVאם

כאשר בצורה יחידה: Vבאזי ניתן להציג כל וקטור

. ו

וקטורים ניצבים אחד לשני2כלומר כל וקטור במרחב ניתן לפרק לסכום של

.וההצגה היא יחידה!! בגלל ש

מערכות אורתונורמאליות של וקטורים:קבוצה אורתוגונאלית:

של וקטורים במרחב וקטוריהגדרה: קבוצה

שמוגדרת עליו מכפלה סקלארית נקראת אורתוגונאלית אם לכל

,(כלומר כל מתקיים כך ש

מאונכים זה לזה).Aשני וקטורים ב

קבוצה אורתונורמאלית:

אם בנוסף לתנאים של הקבוצה האורתוגונאלית גם לכל

היא מערכת אורתונורמאלית של וקטורים.A נאמר שמתקיים

כלומר מערכת אורטונורמאלית של וקטורים היא קבוצה של וקטורים.1מאונכים אחד לשני ואורך כל וקטור הוא

טענה:

הם וקטורים שונים מאפס ומהווים מערכת אורטוגונאליתאם

של וקטורים אזי הם בלתי תלויים ליניארית.

הוכחה:

צריך להראות, בכדי להראות שנניח ש

הוא אפס.שכל אחד מהמקדמים

: כלשהו ונכפיל אותו בנבחר

במצב זה כל האיברים מתאפסים מפני שהוקטורים הם :i=jשלו עם עצמו, כאשר

אנו יודעים שמכפלת הוקטור בעצמו איננה אפס ולכן בהכרח.

משפט: לכל מרחב וקטורי ממימד סופי שמוגדרת עליו מכפלה סקלרית יש בסיס.1

שמורכב ממערכת אורטונורמאלית של וקטורים.

אזי לכלV הוא בסיס אורטונורמאלי של מרחב וקטורי אם .2

מתקיים:V בוקטור

א.

ב.

6

.א.:2נוכיח את

ניתן לבטאV הוא בסיס של , מיקח ש V ב נבחר וקטור

ע"י:את וקטור

נקבל ש :לכל

.ב.:2נוכיח את ונציב לפי מה שהתקבל בא את הערך של j כלשהו בנבחר ב בריבוע:

כאשר פותחים ביטוי זה לפי החוקים של מכפלה סקלרית כל הוקטורים ששונים אחד מהשני מתאפסים בגלל המכפלה הסקלארית ונותרות רק

בעצמם:eהמכפלות של הוקטורים

שלוקטור עצמי נקרא . וקטור nXn מטריצה ריבועית Aנניח ש

כך ש : אם קיים מספר Aהמטריצה

נקרא וקטור עצמיX ואילו A נקרא ערך עצמי של המטריצה במקרה זה

. ששייך לערך העצמי Aשל

אזי התנאים הבאים שקולים:nXn מטריצה מסדר Aנניח ש משפט:

.A הוא ערך עצמי של א.

נעלמים :n משוואות ב nב. למערכת המשוואות (ההומוגנית) מטריצתI יש פתרון שלא כולו אפסים. (

היחידה). ג. למע' הומוגנית יש פתרון אידיאלי כשהדטרמיננטה של הביטוי שווה

לאפס:

יביטוי זה נקרא הפולינום האופיינ

.Aשל מטריצה הם בדיוק השורשים של הפולינום האופייני.Aלפי ג' הערכים העצמיים של

דוגמא ליישום השיטה: רוצים למצוא את הערכים העצמיים והוקטורים העצמיים של המטריצה:

פתרון : מציאת הערכים העצמיים: כותבים את הפולינום האופייני של המטריצה

ופותרים:

כעת על מנת למצוא את הוקטורים העצמיים של המטריצה נפתור לפי סעיףב במשפט, נזכור שעלינו לפתור לכל אחד מהערכים העצמיים:

ולכן יש פתרון אחד כללי:1בשלב זה אנו רואים שדרגת המטריצה היא

מספר כלשהו.a כאשר )a,-a( יהיה כלומר הוקטור האופייני ל

כעת נפתור בעבור הערך העצמי השני:

שהתקבלגם כאן מימד הפתרונות היה אחד והוקטור האופייני ל

.)a,a(הוא

משפט: וקטורים עצמיים ששייכים לערכים עצמיים שונים של מטריצה ריבועית

חייבים להיות בלתי תלויים ליניארית.

הוכחה: וקטורים עצמיים:2נוכיח את המשפט למקרה הפשוט של

ששיכים לערכיםA הם שני וקטורים עצמיים של מטריצה X,Yנניח ש

.עצמיים

בלתי תלויים ליניארית, כלומר:Y ו Xאז צריך להראות שכש

.a=b=0 אזי זה יתכן אך ורק אם aX+bY=0שאם

.aX+bY=0נניח ש ונציג אותה בצורה הבאה:A צידי המשוואה ב2נכפיל את

, נחליף את הביטוי בסוגריים:אנו יודעים ש :

, נחליף בתוך הסוגריים:aX=-bY ולכן aX+bY=0אנו הנחנו ש

הערכים העצמיים אינם שווים אחד לשני,אנו יודעים ש

.a=0ושווקטור עצמי איננו יכול להיות שווה לאפס ולכן .b=0ניתן להוכיח אותו דבר לגבי

מטריצות דומות

הגדרה: מטריצות ריבועיות מאותו סדר.A,B,Cנניח ש

מאותו סדר כך ש:C דומות אם קיימת מטריצה הפיכה B ו Aנאמר ש

משפט: וקטורים עצמיים בלתיn ניתנת ללכסון אם ורק אם יש לה nXn מסדר Aמטריצה

.A יש בסיס מורכב מוקטורים עצמיים של תלויים ליניארית, כלומר ל

ערכים עצמיים שונים זהn עם nXnהמסקנה המיידית היא שלכל מטריצה מסדר מזה ניתנת ללכסון.

מסקנה זו נובעת מהמשפט שוקטורים עצמיים שייכים לערכים עצמיים שונים זהמזה הם בלתי תלויים ליניארית.

וקטורים עצמייםn יש A שניתנת ללכסון. אזי ל nXn מטריצה מסדר Aנניח ש

ערכים עצמיים , וישנם בלתי תלויים ליניארית שנסמנם :

שמתאימים לכל אחד מהוקטורים . אולם ערכים אלו לא בהכרח שונים אחדמהשני, לעיתים מתאימים יותר מוקטור אחד לכל ערך עצמי, לכן מסמן ב

7

את הריבויים של כל אחד מהערכים העצמיים ,( במידה וכולם שונים

K). מימד הפתרונות של הפולינים האופיני של המטריצה יהיה n יגיע לKאזי (מספר הריבויים).

ניתן לבטא את מה שניסחנו בצורה כזאת: היא מטריצהF היא המטריצה שהטורים שלה הם הוקטורים העצמיים וBכאשר

שעל האלכסון שלה מופיעים הערכים העצמיים, (כל אחד מופיע כמספר הריבויים ).Kשלו

משפט:למטריצות דומות יש אותם ערכים עצמיים כי יש להן את אותו פולינום אופייני.

הוכחה:

ישB ולA , כעת צריך להראות של דומות, כלומר : B ו Aנניח ש

את אותו פולינום אופייני:

כלומר: נכתוב את הפולינום האופייני של הביטוי שרשמנו למעלה ונפתח את צד ימין של

המשוואה:

כעת נטפל בצד ימין של המשוואה, נשתמש ראשית בחוק הפילוג:

כעת לפי משפט המכפלה:

כלומר התקבל ש:

לשתי המטריצות אותו הפולינום האופייני!! ולכן יש להן גם אותם ערכים עצמיים.

מטריצה ניתנת ללכסון:

הגדרה: ניתנת ללכסון אם היא דומה למטריצה אלכסונית (כלAנאמר שמטריצה ריבועית

האיברים מחוץ לאלכסון הראשי שלה הם אפס). כלומר מטריצה ניתנת ללכסון מאותוD מאותו סדר ומטריצה אלכסונית Bאם קיימת מטריצה ריבועית הפיכה

סדר כך ש :

D – מטריצה שעל האלכסון הראשי שלה מופיעים הערכים העצמיים של Aכאשר מס' הפעמים שכל ערך עצמי מופיע שווה לריבוי שלו.

B – מטריצה שהעמודות שלה הן הוקטורים העצמיים של Aשמתאימים לערכים העצמיים שעל האלכסון.

מכילה בשורות שלה את הוקטורים העצמייםB אז אם נכתוב :

.Aשל

ניתן לראות שעל מנת שמטריצה תהיה ניתנת ללכסון יש צורך שיהיו בלבד, שכן כשיש ערך עצמי עם יותר1לה ערכים עצמיים בריבוי

מריבוי אחד נוצר מצב שבו ישנו וקטור עצמי עם יותר מריבוי אחד ואז כוללת וקטורים תלויים ליניארית! מה שאומר שהיא לאBמטריצה

הפיכה!

דוגמא:

מהדוגמא הקודמת:

וכל אחד בריבוי יחיד. והוקטורים1,3-אנו יודעים ש הערכים העצמיים הם ) בהתאמה.1,1 , ()1,-1(העצמיים הם

כך:Aלכן ניתן לכתוב את

(הוקטור הראשון מתאים לערך העצמי ,

).Dהראשון ב

כך:Aכלומר ניתן לכתוב את

יש למצוא את ההפיכה שלB.כמובן

ערך עצמי של מטריצה בלתי הפיכה:נניח שישנה מטריצה לא הפיכה , נמקם את שורת האפסים שלה בחלקה העליון :

במצבים כאלו תמיד אחד הערכים העצמיים שווה לאפס!! כלומר אם מתקבלת מטריצה עם ערך עצמי אחד ששווה לאפס אזי היא לא

הפיכה.

הגדרה של מטריצה סימטרית: שווהA , כלומר אם נקראת סימטרית אם Aמטריצה ריבועית

למוחלפת שלה.

משפט: וקטורים עצמיים ששייכים לערכים עצמיים שונים של מטריצה סימטרית הם

אורטוגונלים.

הוכחה:

הםY ו X ו כך ש A ערכים עצמיים של 2 הם נניח ש

.. צריך להוכיח שהוקטורים העצמיים השייכים ל

לפי ההגדרה:

בביטוי השני):X בביטוי הראשון ובYנבצע פעולות על הביטוי הראשון , (נכפול ב

לפי החוקים שלXאנו יכולים להזיז את המיקום של

מכפלה סקלארית. נזכור שניתן לבטא: מכפלה סקלארית גם כמכפלה וקטורית לפי:

ונזכור גם שבמקרה שלנו נזכור גם ש

A:היא סימטרית ולכן

זהו הביטוי הראשון ומכאן שאנו יכולים לכתוב ש :

אנו יודעים שערכים עצמיים אינם שווים

שווה לאפס!XYלאפס ולכן מכפלה כלומר הוקטורים אורטוגונאלים.

מטריצות אורטוגונאליות:

הגדרה: נקראת אורטוגונאלית אם Pמטריצה

). הפיכה והמטריצה ההופכית שלה שווה למוחלפת שלה ( Pכלומר

טענה: יתקיים: בX אזי לכל nXn מטריצה אורטוגונאלית מסדר Pאם

: הוכחה

כעת נזכור ש :

8

נזכור שוב ש:

משפט: שקולים:nXn מסדר Pהתנאים הבאים על מטריצה ריבועית

אורטוגונאלית.Pא)

. ב X לכל ב)

. מהוות בסיס אורטונורמאלי ב Pהשורות של ג)

מאונכות אחת לשנייה והנורמה שלPכלומר שורות של .1כל אחת מהשורות היא

בדומה לג' בעבור העמודות.ד)

משפט: מטריצה סימטריתAכל מטריצה סימטרית ניתנת ללכסון אורטוגונאלי. כלומר אם

אזי קיימת nXnמסדר כך ש :D ומטריצה אלכסונית Pמטריצה אורטוגונאלית

את מטריצהDניתן לקחת כמטריצה שעל האלכסון הראשי שלה כאשר מס' הפעמים שכל אחדAמופיעים הערכים העצמיים של

מופיע שווה לריבוי שלו. את המטריצהPניתן לקחת כמטריצה שהעמודות שלה הם וקטורים

.1 שמאונכים זה לזה והנורמה של כל אחד מהם היא Aעצמיים של

יש1על מנת להפוך את הוקטורים העצמיים לוקטורים שהנורמה שלהם היא לנרמל אותם, לחלק כל ערך בווקטור בשורש הסכום הריבועי של הערכים שלו.

ואז מתקבל וקטור יש לחלק כל איבר ב)1,1(למשל לווקטור

מנורמאל :

מומלץ לבדוק שמתקיים לאחרי שמחשבים הכו

הגדרה של תבניות ריבועיות:

שיש לה את הצורה הכללית הבאה:Q היא פונקציה תבנית ריבועית על

יש כאן צורה כללית

ודוגמא.

לפי הצורה הבאה:Qניתן גם לכתוב את

דוגמא ליישום ושיטה לפתרון בעיות:נתונה תבנית ריבועית :

כך ש :Aצריך למצוא מטריצה סימטרית

פתרון:

המטריצה הסימטרית צריכה להיראות באופן כללי כך :

לתוך התבנית הריבועית ונחלץ את הפרמטרים:x,yנציב ערכי

!!a=1מצאנו ש

.)0,1(כעת ניתן להציב ערכים נוספים לתוך התבנית הריבועית למשל

9

.bכעת ניתן להציב ערכים נוספים לתוך התבנית הריבועית ולחלץ את

10

11

זהו כעת ניתן להציג את התבנית הריבועית שהיינו צריכים למצוא :

על מנת להציג תבנית ריבועיתAשימוש בערכים עצמיים של נניח שנתונה לנו תבנית ריבועית בצורה כללית:

מטריצהA , (כאשר

סימטרית).

ומטריצהD סימטרית ניתן להציג אותה ע"י מטריצה אלכסונית Aנזכור שכש כך ש :Pאורטוגונאלית

היא מטריצה ריבועית שעל האלכסון שלה ישנם הערכיםDכאשר מטריצה היא מטריצה שהעמודות שלה מכילותP ומטריצה Aהעצמיים של מטריצה

והם1 שהנורמה של כל אחד מהם היא Aאת הוקטורים העצמיים של מאונכים זה לזה.

אם כך נוכל להציג את התבנית הריבועית כך:

נסמן את הביטוי הבא :

כעת נחליף את הביטויים בתוך תבנית הריבועית:

בצורה הרשומה כאשר הערכים העצמיים הם שלQכלומר ניתן להציג את .Aהמטריצה הסימטרית

דוגמא ויישום של השיטה:):Aנתונה תבנית ריבועית (מהדוגמא הקודמת כבר מצאנו את

צריך לבטא אותה כסכום של ריבועים בעזרת שינוי אורטוגונאלי:

פתרון הדוגמא: :Aראשית נמצא את הערכים העצמיים והוקטורים העצמיים של

כעת נמצא את הוקטורים העצמיים של כל ערך עצמי:

ניתן

לאפס שורה ע"י הכפלה .

. 1 הוקטורים ומנרמלים אותם לאורך 2לבסוף מוצאים את .transpose עושים לה Pאח"כ מתקבלת

מוצאים כך:y . את yכעת נותר למצוא את

עםyוזהו , כעת ניתן לבטא את התבנית הריבועית כסכום של הריבועים של .Aהמקדמים של הערכים העצמיים של

הגדרה של מטריצה מוגדרת חיובי:

ב מוגדרת חיוביות אם לכל nXn מסדר Aמטריצה

מתקיים:

היא מוגדרת שלילית אם הביטוי קטן מאפס.

A מתקיים ב מוגדרת אי שלילית אם לכל

A מתקיים ב מוגדרת אי חיובית אם לכל

כאשרAמטריצה סימטרית אז ניתן להציג את הביטוי כתבנית

ריבועית :

משפט: מוגדרת חיובית אם ורק אם כלA אזי nXn מטריצה סימטרית מסדר Aנניח ש

חיוביים.Aהערכים העצמיים של

הוכחה:

.A - ערכים עצמיים של נסמן

הוא תבנית ריבועית שניתנת להצגה בצורה :ידוע ש

yניתן לראות שהביטוי תמיד חיובי כאשר הערכים העצמיים הם חיוביים כי ההוא בריבוע.

Y על מנת להוכיח שלא יתכן ש x ל yניתן גם להראות את הקשר בין וקטור מאפס את הביטוי :

כלשהי , נכפול את כלP בעבור מטריצה אורטוגונאלית

:Pהביטוי ב

.y=0 גם x=0ניתן לראות שכש

ניתן להוכיח גם באופן הפוך את המשפט:

12

זה גורר שכל הערכים העצמיים חיוביים!– חיוביות Aנניח שמטריצה ערך עצמי קטן מאפס תתקבלAכעת נוכיח על דרך השלילה שכאשר יש ל

סתירה:

ספציפי שנותן את התוצאה הבאה:xנגדיר וקטור

שלא מאפס אתכלומר ישנו ערך

, נניח שזהוx המתאים לyהביטוי ואז הערך היחיד שנותר ולא מתאפס הוא ההערך שבו הערך העצמי הוא שלילי!! אז הביטוי :

ומתקבלת סתירה לטיעון.

באותו אופן אפשר להוכיח שמטריצה סימטריתA.אי שלילית

סימון:

ע"יAאת המטריצה המתקבלת מ נסמן ב nXn מטריצה מסדר Aאם

j והעמודה ה iמחיקת השורה ה

כך ש : נסמן מטריצה לכל מספר

משפט: היא מוגדרת חיוביות אם לכל nXn מסדר Aמטריצה סימטרית

.מתקיים

יישום של שתי השיטות על מטריצה לדוגמא: :2X2 מסדר Aנתונה מטריצה

לפי השיטה של הערכים העצמיים:

ניתן לראות שהיא מוגדרת אי

חיובית

גם כאן לפי הקריטריון היא מוגדרת אי חיובית.

אם מתקבלות דטרמיננטות שהן גם חיוביות וגם שליליות לא ניתן להגדיר את המטריצה כאי שלילית/אי חיובית.

תנאים מספיקים למכסימום ומינימום של פונקציות רבות משתנים

משתנים שיש לה נגזרותn היא פונקציה של נניח ש

.חלקיות רציפות עד לסדר שני בנקודה

מוגדר כמטריצה הבאה:a בנקודה f של hessianה

משפט:

היא פונקציה שיש לה נגזרות חלקיות רציפותנניח ש

.מסדר שני בנק'

אם:א.

מוגדרת חיובית .ב. המטריצה

.f היא נקודת מינימום של aאזי

דוגמא למציאת נק' מינ'/מקס':נתונה הפונקציה :

יש למצוא את נק' המינימום/מקסימום שלהפתרון:

ראשית נבצע את כל הנגזרות:נגזרת ראשונה:

זו הנקודה שתאפס את– aמהנגזרת הראשונה אנו יכולים למצוא את נק' הנגזרות לפי סעיף א' של המשפט.

נגזרת שנייה:

ולקבל:hessianכעת ניתן להציב ערכים אלו לתוך מטריצת ה

כעת יש לבדוק באמצעות הכלים שיש לנו האם זו מטריצה שמוגדרת חיוביתאו שלילית וכך להחליט האם זו נק' מינימום או מקסימום

הגדרה : משוואות הפרשיםנניח שנתונה משוואה מהצורה:

היא סידרה אינסופית.כאשר

.t כפונקציה של רוצים למצוא נוסחא כללית ל

נסמן את הוקטורים הבאים:

13

, השורה העליונה כוללת את המקדמיםאם נסמן את מטריצה

1,0של המשוואה והשנייה

בצורה הבאה:Aו ע"י כעת ניתן לבטא את

באופן הבא:y ווקטור A ע"י מטריצה ניתן אם כך לתאר את

אנו יודעים כי

:Aנמצא את הערכים העצמיים של

A :ניתנת ללכסון ולכן ניתן לבטא אותה כך

בעצמה:Aנתבונן מה קורה כאשר כופלים את מטריצה

באופן דומה ניתן לתאר בכלליות:

כעת נמשיך :

נציב את

כעת ניתן לכתוב את הביטוי :

וקטורz הוא צורה כללית של מכפלה

היא משוואה מהצורה הבאה:Kהגדרה : משוואת הפרשים הומוגנית מסדר

וניתן להציגו כך:Kהפולינום האופייני של המשוואה הוא ממעלה

אם של הפולינום m נקרא שורש מריבוי

: כך ש יהיה ניתן להגדיר את k-m ממעלה קיים פולינום

כך ש:mממעלה קטנה יותר מ אבל לא קיים פולינום

דוגמא כדי להבין למה הכוונה במשפט:נתון פולינום :

מצאנו את השורשים וכתבנו אותו כמכפלה

נוכל של הפולינום. אם נגדיר 1 הוא שורש מריבוי 2

להגדיר את הפולינום כ:

אולם לא ניתן להציג פולינום זה בצורה :

מתקבלת חזקה0 היא מעל ל Qמפני שאם החזקה של התבנית הריבועית שלישית!

משפט: מהצורה הבאה:Kנניח שנתונה משוואת הפרשים הומוגנית מסדר

הפולינוםיהיה

האופייני של המשווה.

שורשים שונים שנסמנם בKיש אם ל א.

אזי הפתרון הכללי של משוואת ההפרשים הוא

ערכיםc כאשר :

קבועים.

,1 שורשים מריבוי גדול מrאם חלק מהשורשים שווים כלומר יש ב.

ואת הריבויים שלהם בנסמן שורשים אלו

את השורשים, נסמן ב

. אזי הפתרון הכולל של המשוואה יהיה :Q<k, כאשר 1מריבוי

דוגמא של שימוש במשפט:נניח שנתונה משוואת ההפרשים הבאה:

ננסה להגיע לפתרון מהצורה :

נציב את המשוואה המבוססת על ערכים עצמיים לתוך הפורמט של הנוסחאשלנו ונקבל:

14

כלומר ניתן לתאר את המשוואה ע"י : פתרון כללי :

ניתן גם לפתור בדרך נוספת:

נגדיר:

ואז נרצה לבטא את הביטוי כך :

אנו מגדירים כך שהיא תוביל לביטוי זה, ניתן לעשות זאת ע"י מיקוםAאת :1,0המקדמים של המשוואה בשורה העליונה ובשורה התחתונה כותבים רק

:Aנמצא את הערכים העצמיים של

שמכילה את הערכים העצמייםD ע"י מטריצה אלכסונית Aניתן לבטא את כך ש :Bשלה ע"ג האלכסון הראשי ומטריצה

מתבטלת עםB כי D בחזקה ולעדכן רק את Aכבר ראינו שניתן להעלות את עצמה כל הזמן:

דוגמא ליישום השיטה:נתונה משוואת הפרשים הומוגנית:

, כמו כן נתון

:פתרוןנתרגם את המשוואה לפולינום ונמצא את הערכים שלו :

כלומר ניתן לכתוב את המשוואה לפי הפתרון הכללי :

ריבויים ולכן :2במקרה שלנו יש שורש יחיד עם

, אנו יכולים להציב את זה לביטוי הכלליt=1 x=3 כלומר בניתן לנו ש

:cולקבל את הערך של

והביטוי הכללי יהיה:

משוואות הפרשים לא הומוגניות

שאיננה בהכרח הומוגנית היא משוואה מהצורהKמשוואות הפרשים מסדר הבאה:

אזי זו משוואה הומוגנית אם

אזי זו איננה משוואה הומוגנית והפתרון שלה הוא :אם

כאשר:

הוא הפתרון של משוואת ההפרשים ההומוגנית , כלומר מניחים

ופותרים.

הוא הפתרון פרטי של המשוואה שלנו, זהו פתרון ש"מנחשים".

דוגמא ליישום פתרון משוואת הפרשים לא הומוגנית:נתונה משוואת הפרשים לא הומוגנית:

:פתרון : ראשית נפתור את המשוואה ההומוגנית ונמצא את

נציב לתוך פולינום אופייני:

שורשים עם ריבוי בודד , ניתן לבטא את הפתרון הכללי של2התקבלו המשוואה לפי:

במקרה שלנו :

:כעת ננסה למצוא את הפתרון הפרטי :

אנו רוצים לקבל ביטוי שייתן את התשובה הכללית :אנו מחפשים פתרון שיספק את התנאי הבא:

אנו יכולים להציב את זה לתוך משוואת ההפרשים שלנו

ולקבל :

כעת נותר רק להשוות מקדמים:

15

אם כך הפתרון הפרטי הוא :מתקבל ש :

והפתרון הכללי של המשוואה הוא :

על מנת לחלץ את הקבועים כעת ניתן להציב את :

לכן הפתרון של משוואת ההפרשים הלא הומוגנית יהיה :

סוף!

16