Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Санкт-Петербургский государственный горный институт

имени Г.В. Плеханова (технический университет)

Кафедра общей и технической физики

ФИЗИКА

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И

ТЕРМОДИНАМИКА

Методические указания и контрольные задания

САНКТ – ПЕТЕРБУРГ

2011

2

УДК 536 (075.84)

ФИЗИКА. Молекулярная физика и термодинамика. Методические указания и контрольные задания / Санкт-Петербургский государственный горный институт (технический университет); Авторы сост.: Н.Н. Смирнова, А.С. Мустафаев, В.В. Фицак. СПб. 2011. 36 с.

Методические указания и контрольные задания разработаны на основе требований к уровню подготовки выпускников вузов.

Методическое пособие содержит программу к разделу «Молекулярная физика и термодинамика», основные формулы по следующим темам: элементы молекулярно-кинетической теории, законы идеального и реального газа, статистические распределения, законы термодинамики и явления переноса, а также примеры решения и оформления типовых задач. Для выполнения контрольных работ представлены задачи, таблицы вариантов заданий и справочные материалы.

Программа, представленная в пособии, включает материал раздела курса общей физики в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования к его

содержанию. Методическое пособие предназначено для студентов, изучающих

молекулярную физику и термодинамику в рамках учебной дисциплины “Физика”, в соответствии с программами подготовки специалистов инженерно–экономических специальностей и бакалавров инженерно-технических специальностей любой из форм обучения.

Авторы-составители благодарят И.В. Николаеву за техническую помощь.

Табл. 13. Ил. 3. Библиогр. назв. 17

Научный редактор доц. Н.Н.Смирнова

© Санкт-Петербургский горный институт им. Г.В.Плеханова 2011

3

Оглавление

1. Введение ............................................................................................4

2. Методические указания к самостоятельной работе .........................5 3. Методические указания к выполнению ...........................................6

контрольных работ ...............................................................................6

4. Программа раздела «молекулярная физика и термодинамика» .... 10 5. Учебные материалы и задачи для вариантов контрольных работ. 11

5.1. Элементы молекулярно-кинетической теории ........................ 12

5.2. Законы идеального газа. ........................................................... 13 5.3. Статистические распределения................................................ 14

5.4. Законы термодинамики и термодинамические процессы ....... 16

5.5. Циклы ....................................................................................... 18

5.6. Явления переноса ..................................................................... 19 5.7. Реальные газы, жидкости и твёрдые тела ................................ 21

5.8. Задачи для выполнения вариантов контрольных работ. ......... 24

6. Справочные таблицы ...................................................................... 32 7. Рекомендуемая учебно-методическая литература ......................... 35

4

1. ВВЕДЕНИЕ

Дисциплина «Физика» является одной из основных

фундаментальных учебных дисциплин и составляет основу теоретической подготовки инженеров и бакалавров к успешному

освоению дисциплин естественнонаучного и профессионального

циклов. Изучение курса физики способствует: формированию у

студентов подлинно научного физического мировоззрения и

развитию научного стиля мышления; развитию способностей ориентироваться в потоке научной и технической информации,

анализировать и применять в конкретных областях техники будущей

профессиональной деятельности физические принципы и методы.

Контрольные работы и контроль приобретенных навыков (проверка и защита) являются частью фондов оценочных средств и

методов контроля, позволяющие оценить знания, умения и уровень

приобретаемых студентами компетенций. Выполнение студентами контрольных работ,

сопровождающееся самостоятельным чтением учебной, учебно-

методической и справочной литературы это неотъемлемая часть образовательных технологий.

Путём освоения приемов и методов решения конкретных

задач из различных областей физики происходит развитие

познавательных и творческих способностей студентов формирование умения выделить конкретное физическое содержание

в прикладных физических задачах их будущей деятельности

Студент, выполняя контрольные работы, должен изучить и уметь использовать:

основные понятия, законы и модели классической механики,

методы расчета и численной оценки величин, характерных для

данного раздела естествознания, методы теоретических исследований в физике (физико-математический анализ, синтез,

абстрагирование, идеализация, обобщение и ограничение, аналогия

и др.).

5

2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ

РАБОТЕ

Для студентов очной формы обучения самостоятельная

работа является одной из форм образовательной технологии. В свою

очередь для студентов – заочников самостоятельная работа является основной формой обучения.

К выполнению контрольных заданий целесообразно

приступать только после изучения теоретического и методического материала, соответствующего данному разделу программы.

При самостоятельной работе над учебным материалом

необходимо:

изучать курс физики систематически в течение всего

учебного процесса, так как в противном случае материал будет усвоен поверхностно.

внутри определенного раздела курса физики рекомендуется

пользоваться каким-то одним учебником или учебным

пособием (или ограниченным числом), чтобы не утрачивалась логическая связь между отдельными вопросами.

проработать лекционный материал и соответствующие

разделы учебника, учебного пособия и методических

указаний.

ознакомиться и проработать задачи, представленные в

разобранных примерах данных методических указаний и в

рекомендуемой учебной литературе.

составить конспект, в котором записывать законы и

формулы, выражающие эти законы; определения основных

физических понятий и сущность физических явлений.

для самоконтроля правильности усвоения теоретического

материала рекомендуется ответить на контрольные вопросы,

предложенные в рекомендуемой учебно-методической

литературе.

6

3. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Рекомендации к решению и оформлению контрольных задач Выписать отдельно величины данные в условии задачи и

величины, которые необходимо определить.

Числовые значения физических величин должны быть переведены в международную систему единиц измерений (СИ).

Выполнить рисунок или начертить схему (если требуется для

решения задачи), сопровождая их пояснениями. Окончательный результат представить в общем виде, т.е.

преобразовать выражение для определяемой величины так, чтобы в

него входили лишь буквенные обозначения величин, заданных в

условии задачи или введенных самостоятельно, а также необходимые физические константы.

Не производить промежуточных вычислений физических

величин. Выполнить проверку размерности, т.е. убедиться в

правильности размерности искомой величины, подставив

обозначения единиц измерения в окончательную формулу. Подставить числовые значения, выраженные в единицах СИ,

в окончательную формулу и произвести вычисления, используя (где

это необходимо) правила приближенных вычислений.

Ответ задачи в общем виде и числовое значение искомой величины с обязательным указанием размерности записать отдельно

после решения, предваряя словом «Ответ:»

В настоящем разделе даны основные формулы, используемые студентом при изучении вопросов молекулярной

физики и термодинамики, примеры решения и оформления

контрольных задач, контрольные задания.

При решении задач раздела «Молекулярная физика и термодинамика»:

• обратить внимание на то, что в газовых законах

используется только абсолютная (термодинамическая) температура и прежде, чем решать задачу значения температуры по шкале

Цельсия следует пересчитать в значения по шкале Кельвина;

7

• помнить, что молярные массы газов определяют с

помощью таблиц, в которых указаны относительные атомные

массы элементов, и поэтому, прежде всего, нужно установить,

сколько атомов входит в состав его молекулы; • задачи, в которых рассматриваются два или несколько

состояний газа постоянной массы необходимо решать по уравнению

объединенного газового закона; • задачи, в условии которых указана масса газа или речь идет

о процессах, в которых масса газа изменяется, необходимо решать,

используя уравнения состояния идеального или реального газа; • если в процессе взаимодействия тел работа не совершается,

то есть имеет место только явление теплообмена, то необходимо

составить уравнение теплового баланса, учитывая все виды тепла

полученного и отданного системой, включая и фазовые превращения;

• если рассматриваемый процесс протекает с

совершением механической работы, то для составления

расчетного уравнения используют закон сохранения и

превращения энергии (первого закона термодинамики);

• обратить внимание на то, что изменение внутренней

энергии не зависит от термодинамического процесса, а

определяется изменением параметров газа в начальном и

конечном состояниях;

• помнить, что если работа имеет отрицательный знак,

внешние силы совершают над газом работу, и если количество

теплоты имеет отрицательный знак, то газ отдает тепло

внешним телам; • циклические процессы, состоящие из изопроцессов,

целесообразно проводить с использованием графического метода.

Он позволяет производить геометрическое толкование работы и

упрощает вычисление КПД цикла; • задачи на изменение энтропии решать с помощью

соответствующих формул, а для определения параметров состояния

V и T, входящих в эти формулы, использовать уравнение состояния идеального газа.

Требования к оформлению контрольных работ и порядок

8

их представления на рецензию для студентов заочной формы

обучения

Работа выполняется чернилами в обычной тетради. На титульном листе указать фамилию и инициалы студента,

шифр и домашний адрес, наименование дисциплины, номер

контрольной работы. Условия задач своего варианта переписывать полностью.

Каждую задачу начинать на новой странице.

Исходные данные задачи можно выписать отдельно. Для замечаний рецензента оставлять поля.

Указать список учебной литературы, используемой при

выполнении контрольной работы.

Выполненные контрольные работы должны быть высланы студентом - заочником по почте или лично переданы в деканат

заочного отделения в сроки, указанные в учебном плане.

После получения рецензии на контрольную работу студент обязан учесть замечания рецензента и внести исправления в работу.

Если контрольная работа не зачтена, студент должен заново

решить те задачи, по которым были получены ошибочные результаты, и представить контрольную работу на повторное

рецензирование.

Зачтенные контрольные работы предъявляются

преподавателю кафедры физики и до экзамена студент-заочник должен дать пояснения к решению задач.

В контрольные работы включены задачи четырёх разделов:

1. Физические основы механики; 2. Молекулярная физика и термодинамика;

3. Электричество и магнетизм;

4. Элементы физической оптики, квантовой физики

атомов, молекул и твёрдых тел. Для студентов тех специальностей, учебными планами

которых предусмотрены четыре контрольные работы, определение

варианта задания проводится по единой для всех четырех контрольных работ таблице вариантов (табл.1). Номер контрольной

работы соответствует номеру раздела, из которого необходимо

9

решить задачи, указанные в строке соответствующего варианта. В

контрольную работу №2 включены задачи из раздела

«Молекулярная физика и термодинамика». Каждый вариант

содержит восемь задач. Студент-заочник должен решать задачи того варианта, номер которого совпадает с последней цифрой шифра его

зачетной книжки.

Таблица 1.

Вариант Номера задач контрольной работы №2

1 1 11 21 31 41 51 61 71

2 2 12 22 32 42 52 62 72

3 3 13 23 33 43 53 63 73

4 4 14 24 34 44 54 64 74

5 5 15 25 35 45 55 65 75

6 6 16 26 36 46 56 66 76

7 7 17 27 37 47 57 67 77

8 8 18 28 38 48 58 68 78

9 9 19 29 39 49 59 69 79

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Например, студент, у которого последняя цифра шифра

зачетной книжки 8, решает в контрольной работе 2 задачи из

раздела «Молекулярная физика и термодинамика» под номерами 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78.

Для студентов тех специальностей, учебными планами

которых предусмотрены две контрольные работы, номер варианта

определяется так же по последней цифре шифра его зачетной книжки, а номера задач по таблице 2 в соответствии с вариантом. В

таблицу 2 включены номера задач из двух разделов: раздел 1

«Физические основы механики» и раздел 2 «Молекулярная физика и термодинамика».

Таблица 2.

10

Вариант Номера задач контрольной работы 1

Раздел 1 Раздел 2

1 1 21 41 61 11 31 51 71

2 2 22 42 62 12 32 52 72

3 3 23 43 63 13 33 53 73

4 4 24 44 64 14 34 54 74

5 5 25 45 65 15 35 55 75

6 6 26 46 66 16 36 56 76

7 7 27 47 67 17 37 57 77

8 8 28 48 68 18 38 58 78

9 9 29 49 69 19 39 59 79

0 10 30 50 70 20 40 60 80

4. ПРОГРАММА РАЗДЕЛА «МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И

ТЕРМОДИНАМИКА»

Методы исследований. Статистические и

термодинамические методы исследования макроскопических явлений. Термодинамическая система. Параметры состояния.

Идеальный газ. Равновесное и неравновесное состояния и процессы.

Элементы молекулярно-кинетической теории. Идеальный газ как молекулярно-кинетическая модель реальных газов. Основное

уравнение молекулярно-кинетической теории газов. Средняя

кинетическая энергия поступательного движения одноатомной

молекулы и ее связь с температурой. Число степеней свободы и средняя энергия многоатомной молекулы.

Законы идеального газа. Закон Дальтона. Уравнение

состояния идеального газа. Статистические распределения. Распределение молекул

газа по скоростям. Функция распределения. Распределение

Максвелла. Вероятностный характер закона распределения. Наиболее вероятная, средняя арифметическая и средняя

квадратичная скорости молекул. Распределение молекул по

значениям кинетической энергии поступательного движения.

Изменения концентрации частиц с высотой. Распределение Больцмана. Распределение Максвелла-Больцмана. Барометрическая

формула.

11

Законы термодинамики. Работа, совершаемая газом при

изменении объема. Внутренняя энергия. Первый закон

термодинамики. Внутренняя энергия и теплоемкость идеального

газа. Второе начало термодинамики. Энтропия. Необратимые процессы. Изменение энтропии при необратимых процессах.

Статистический смысл второго начала термодинамики. Связь

энтропии и вероятности стояния. Термодинамические функции. Третье начало термодинамики. Теорема Нернста.

Циклы. Термодинамический цикл. Круговые процессы.

Коэффициент полезного действия тепловой машины. Цикл Карно. Явления переноса. Элементы неравновесной термодинамики.

Неравновесные состояния и процессы. Столкновения между

молекулами. Эффективный диаметр молекулы. Средняя длина

свободного пробега. Тепловое движение и связанный с ним перенос массы, импульса и энергии. Диффузия, вязкость и теплопроводность

в газах. Экспериментальные законы диффузии, вязкости и

теплопроводности; элементы молекулярно-кинетической теории явлений переноса.

Реальные газы, жидкости и твёрдые тела. Размеры

молекул. Взаимодействие молекул. Реальные газы. Уравнение Ван-дер-Ваальса. Изотермы Ван-дер-Ваальса. Внутренняя энергия

реального газа. Свойства жидкостей. Твёрдые тела.

Основные закономерности агрегатных состояний и фазовых

переходов. Критическое состояние. Критические параметры. Агрегатные состояния вещества. Понятие фазы. Область

однофазных и двухфазных состояний. Условие равновесия фаз.

Тройная точка.

5. УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ И ЗАДАЧИ ДЛЯ ВАРИАНТОВ

КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

В настоящем разделе даны основные формулы,

используемые студентом при изучении молекулярной физики и

термодинамики, примеры решения и оформления контрольных задач, задачи для выполнения вариантов контрольных работ.

12

5.1. Элементы молекулярно-кинетической теории

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов

nР3

2 п

где п средняя кинетическая энергия поступательного движения

молекулы, P, n – давление и концентрация газа.

п = kT2

3

k – постоянная Больцмана.

Средняя полная кинетическая энергия молекулы

к = kTi

2

где i – число степеней свободы молекулы.

Скорости молекул газа: средняя квадратичная, средняя

арифметическая и наиболее вероятная соответственно

кв = M

RT

m

kT 33

0

;

= M

RT

m

kT

88

0

;

в = M

RT

m

kT 22

0

где т0 – масса одной молекулы, Т – термодинамическая

температура,

Относительная молекулярная масса вещества

irir AnM ,

где ni – число атомов i-го химического элемента, входящих в состав молекулы данного вещества; Аr,i – относительная атомная масса

этого элемента.

Молярная масса вещества

/mM

где m – масса однородного тела (системы), – количество вещества

13

этого тела.

Количество вещества тела (системы)

А/ NN

где N – число структурных элементов (молекул, атомов, ионов и

т.п.), составляющих тело (систему); NА – постоянная Авогадро,

NА = 6,02 1023

моль1

. Молярная масса М связана с относительной молекулярной

массой вещества соотношением

kMM r

где k = 103

кг/моль. Количество вещества смеси газов

AA2A121 NNNNNN nn

или n

n

M

m

M

m

M

m ...

2

2

1

1 ,

где i, Ni и Mi – соответственно количество вещества, число молекул и молярная масса i-го компонента смеси.

Молярная масса смеси газов

n

nmmmM

...

...

21

21

где mi масса i-го компонента смеси; iii Mm / – количество

вещества i-го компонента смеси; i число компонентов смеси. Массовая доля i-го компонента смеси газа (в долях единицы

или процентах)

mmii /

где m масса смеси. Концентрация молекул

M

N

V

Nn

A

где N число молекул, содержащихся в данной системе; плотность вещества.

5.2. Законы идеального газа.

Давление смеси газов (закон Дальтона).

14

Р = Р1 + Р2 + … + Рn,

где Рi парциальные давления компонентов смеси; n число компонентов смеси.

Парциальным давлением называется давление газа, которое

производил бы этот газ, если бы только он один находился в сосуде, занятом смесью.

Объединенный газовый закон (m = const)

T

РV const или

2

22

1

11

T

VР

T

VР

где Р1, V1, T1 – соответственно давление, объем и температура газа в

начальном состоянии; Р2, V2, T2 – те же параметры в конечном

состоянии.

Уравнение Менделеева – Клапейрона (уравнение состояния

идеального газа)

RTRTM

mРV

Уравнения состояния идеального газа в другой математической форме записи

Р = nkT

Здесь – количество вещества, V – объём, m –масса газа, R – универсальная газовая постоянная – физическая величина,

характеризующая работу одного моля газа при его изобарном

нагревании на один Кельвин. R = 8,31 Дж /(мольК).

5.3. Статистические распределения

Скорости молекул газа имеют различные значения и

направления. Число молекул dN, скорости которых лежат в узких

интервалах между и + d , пропорционально общему числу

молекул N, ширине интервала d и зависит от скорости .

Функция распределения Максвелла по скоростям

15

22

02

3

0

2

42

expπ2

4)(

kT

m

kT

m

fF

;

kT

m

kT

mf

2exp

π2)(

2

02

3

0 ,

где 0m – масса молекулы газа; k постоянная Больцмана; Т –

термодинамическая температура; – скорость молекул.

Число молекул, величина скоростей которых лежит в

интервале от до + d ,

dNfdN 24)( ,

где N – число молекул газа.

Функция распределения молекул идеального газа по относительным скоростям

22 )exp(4

)( uuuf

,

где в/ vvu .

Число молекул, относительные скорости которых заключены

в пределах от u до u + du,

duuuN

duuNfudN 22 )exp(4

)()(

.

Распределение Больцмана молекул во внешнем

потенциальном поле

kT

Еnn

pexp0 ,

где n – концентрация молекул, обладающих потенциальной энергией

Еp; n0 – концентрация молекул с нулевой потенциальной энергией.

Количество молекул, попадающих в объем dxdydzdV с

координатами x, y, z

16

dxdydz

kT

zyxEndN

p

,,exp0 . (27)

Распределение Максвелла – Больцмана записывается в виде

dxdydzdddkT

mE

kT

mndN zyx

p

vvv

v

2exp

2

2

0

2

3

00

,

где zyx ddd vvv интервалы изменения компонентов скоростей.

Распределение давления в однородном поле силы тяжести

(барометрическая формула) имеет вид

)](exp[ 00 kTgz/mPР

или

Р = Р0ехрМgz/(RT),

где z – координата (высота) точки по отношению к уровню принятому

за нулевой; Р0 – давление на этом уровне; g – ускорение свободного

падения; R – газовая постоянная; М молярная масса газа.

5.4. Законы термодинамики и термодинамические процессы

Первое начало термодинамики. Интегральная форма

Q = U + A

где Q – количество теплоты, подводимое к системе; U изменение внутренней энергии; A – работа системы против внешних сил.

Дифференциальная форма

Q = dU + A

или

dU = Q + A '

где dU - изменение внутренней энергии, A – элементарная

работа, совершаемая системой, A ' - элементарная работа,

совершаемая внешними силами, Q – элементарное количество

теплоты, переданное системе.

17

Работа системы против внешних сил

А = 2

1

V

V

PdV ,

Внутренняя энергия идеального газа

NU ,

где - средняя кинетическая энергия молекулы, N – количество

молекул газа; - количество вещества.

Изменение внутренней энергии

M

TmiRU

2

TCV ,

где V1 и V2 – начальный и конечный объемы газа; m – масса газа M – молярная масса; i – число степеней свободы; R – универсальная

газовая постоянная; T изменение температуры. Уравнение адиабаты (уравнение Пуассона)

constpV .

Показатель адиабаты

i

i

C

C

c

с

V

p

V

р 2 .

Молярная теплоемкость

C = Q /dT,

где CP и CV изобарная и изохорная молярные теплоемкости При С = const. процесс называется политропическим. Уравнение политропы

сonstnPV ,

где n – показатель процесса, (–) n < ().

Для изохорного процесса n = , изобарного n = 0,

изотермического n = 1, адиабатного VP CCn / .

Молярная и удельная теплоемкости связаны соотношением

cMC .

где с – удельная теплоемкость.

18

Молярные теплоемкости при постоянном объеме и

постоянном давлении соответственно равны

СV = iR/2; Cр = (i + 2)R/2.

Уравнение Майера Ср – СV = R.

Внутренняя энергия реального газа

mV

V

aTCU

. Формулировки второго закона термодинамики в виде

неравенства ( Р. Клаузиус)

TdS

Q .

Здесь знак равенства справедлив для равновесных (обратимых)

процессов. Изменение энтропии тела в любом обратимом процессе,

переводящем его из состояния 1 в состояние 2

2

1

S Q /T,

где Q – элементарное количество теплоты, полученное телом при

температуре Т.

5.5. Циклы

Термический КПД тепловой машины

,11

21

Q

A

Q

QQ

КПД цикла Карно (обратимый цикл, состоящего из двух изотерм и двух адиабат).

,1

21

T

TT

где А – работа, совершаемая рабочим веществом в течение цикла;

Q1 – количество теплоты, полученное за это время от нагревателя

рабочим телом; Q2 – количество теплоты, переданное рабочим телом

19

охладителю (холодильнику).Т1 и Т2 – температура нагревателя и

охладителя соответственно.

В реальных тепловых машинах КПД ограничен

неравенством Карно

1

21T

T

5.6. Явления переноса

К явлениям переноса относятся теплопроводность, внутреннее трение (или вязкость) и диффузия.

Явления переноса с точки зрения молекулярно-кинетической

теории характеризуются уравнениями переноса.

Таблица 3

Эмпирические уравнения явлений одномерного переноса.

Явление Переносимая физическая

величина Основной закон

явления переноса

Формула коэффициента

переноса

Диффузия Масса Закон Фика

dx

dDmу

uD

3

1

Внутреннее трение

Импульс направленного движения

Закон Ньютона

dх

dητ

u3

1η

Теплопроводность

Внутренняя энергия Закон Фурье

dx

dTКq

ucK vρ3

1

20

где уm удельный поток массы; – напряжение сдвига; q

плотность теплового потока; – плотность газа, = m0n; m0 масса

молекулы; n концентрация молекул; D – коэффициент

диффузии; – динамическая вязкость или коэффициент

внутреннего трения; К – коэффициент теплопроводности.

Напряжение сдвига

dS

dF| | ,

где dF|| – сила трения, направленная по касательной к поверхности

слоя площадью dS; d – изменение скорости течения газа

(жидкости) на расстоянии dх в направлении по нормали n

к

поверхности слоя.

Среднее число соударений, испытываемых одной молекулой

газа в единицу времени,

ndZ 22 ,

где.

Средняя длина свободного пробега молекул газа

ndZ 22

1

.

Средняя продолжительность свободного пробега

Zt /1 .

Эффективное сечение молекулы d

2.

где d – эффективный диаметр молекул; u средняя скорость

молекул; Vc – удельная теплоемкость.

Коэффициенты вязкости, диффузии и теплопроводности

связаны соотношениями D ; VcK / .

Эффективный диаметр молекул

)2/(1 0 nd .

Так как MNmn // A00 , то

)2/( A NMd .

21

5.7. Реальные газы, жидкости и твёрдые тела

Уравнение состояния реального газа (уравнение Ван-дер-

Ваальса): для одного моля газа

RTbVV

aР

02

0

,

для произвольной массы реального газа

RTM

mb

M

mV

V

a

M

mР

22

2

,

где V0 – объем одного моля газа, 2

0V

a – внутреннее давление,

обусловленное силами взаимного притяжения между молекулами, b

– поправка на собственный объем молекул, учитывающая действие сил отталкивания между молекулами и равная учетверенному

объему молекул, содержащихся в одном моле газа.

Величины а и b связаны с параметрами критического состояния газа Рк, Vок и Тк:

.27

8,

27,3

,8

9,

3

1

2 Rb

aT

b

aPbV

VRTaVb

ккок

оккок

(9)

Если молярный объем bVM и PV

a

2

2

, то уравнение

Ван-дер-Ваальса переходит в уравнение состояния идеального газа.

Пример 1. В закрытом баллоне находится смесь из водорода

(m1 = 8 г) и кислорода (m2 = 0,5 г) при давлении Р1 = 2,35 105 Па.

Между газами происходит реакция с образованием водяного пара. Какое давление Р установится в баллоне после охлаждения до

первоначальной температуры? Конденсации пара не происходит.

22

Решение. Определим количество вещества водорода и

кислорода, которые находились в смеси:

22 О

22

H

11 ;

M

m

M

m .

В соответствии с уравнением реакции О2НОН2 222 , в

реакцию вступает весь водород и половина кислорода. В результате

реакции образуется количество вещества водяного пара

2H

113

M

m

и останется количество вещества кислорода

2O

224

5,05,0

M

m .

В соответствии с уравнением Менделеева - Клапейрона:

в состоянии до реакции RTVР 211 ,

в состоянии после реакции RTРV 43 νν .

Отсюда давление газа после охлаждения

22

22

H2O1

H2O11

21

431

5,0

MmMm

MmMmРРР

.

Проверка размерности:

Па

кг

молькг

кг

молькг

Па

Р .

Подставив числовые значения, получим

17610

10

28325,0

285,0325,01035,2

6

65

Р ·103 Па.

Ответ: после охлаждения в баллоне установится давление, равное 176·10

3 Па.

Пример 2. Используя функцию распределения молекул идеального газа по относительным скоростям, определить число

23

молекул, скорости которых меньше 0,002 â , если в объеме газа

содержится 1,67 1024

молекул. Решение. Число молекул, относительные скорости которых

заключены в пределах от u до u + du,

duuuN

duuNfudN 22 )exp(4

)()(

.

По условию задачи â002,0 , соответственно

u = â/ = 0,002.. Так как 1u , то .1)exp( 22 uu Пренебрегая

u2<< 1, можно записать

.4

)( 2duuN

udN

Проинтегрировав это выражение по u в пределах от 0 до u, найдем

молекул.1014,33

002,01067,14

3

44

16324

3

0

2

uN

duuN

NU

Ответ: искомое число молекул 1016

.

Пример 3. Определить изменение энтропии 1 моль идеального газа в изобарном, изохорном и изотермическом

процессах.

Решение. Так как эти процессы – квазистатические и

обратимые, изменение энтропии можно получить непосредственно по формуле

2

1

ì

T

QS

,

где мdQ - элементарное количество теплоты, подведенное к

1 моль газа.

Для изобарного, изохорного и изотермического процессов соответственно

24

1

2

1

2ì lnln2

1

2

1V

VC

T

TC

T

dTC

T

QS PP

T

T

P

T

T

P

;

1

2

1

2ì lnln2

1

2

1P

PC

T

TC

T

dTC

T

QS VV

T

T

V

T

T

V

;

1

2

2

1

2

1

2

1

ln2

1V

VR

TV

RTdV

T

PdV

T

dA

T

QS

V

V

T

.

Проверка размерности:

Кмоль

Дж

M

Mln

Кмоль

Дж3

3

PS ;

Кмоль

Дж

Па

Паln

Кмоль

Дж

VS ;

Кмоль

Дж

М

Мln

Кмоль

Дж3

3

ТS .

Ответ: изменение энтропии одного моля газа при изобарном, изохорном и изотермическом процессах соответственно

1

2

1

2

1

2 lnиln,lnV

VR

P

PС

V

VС VP .

5.8. Задачи для выполнения вариантов контрольных работ.

1. Среднеквадратическая скорость частиц пыли при

нормальных условиях равна 480 м/с. Сколько молекул содержит 1 г

этой пыли? 2. При какой температуре средняя квадратическая скорость

молекул кислорода больше их наиболее вероятной скорости на

100 м/с. 3. Найти наиболее вероятную, среднюю арифметическую и

среднеквадратическую скорость молекул азота при 27 С. 4. Определить наиболее вероятную скорость молекул газа,

плотность которого при давлении 40 кПа составляет 0,35 кг/м3.

25

5. Найти отношение среднеквадратических скоростей молекул

гелия и азота при одинаковых температурах.

6. Каково число молекул водорода в 1 см3, если давление равно

200 мм рт. ст., а среднеквадратическая скорость его молекул при данных условиях 24 м/с?

7. Какое давление оказывает газ на стенки сосуда, если его

плотность 0,01 кг/м3, а среднеквадратическая скорость молекул

480 м/с?

8. Алюминиевый цилиндр подвесили на крючок динамометра.

Динамометр показал 2,7 Н. Какое количество вещества алюминия содержится в цилиндре? Молярная масса алюминия равна

0,027 кг/моль.

9. Найти полную кинетическую энергию, а также

кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы

аммиака NH3 при температуре 27 С. 10. Кристалл алмаза содержит 1,76*10

23

атомов углерода. Плотность алмаза р=3,5

г/см3. Найдите объем кристалла.

11. Как изменится температура газа при изобарном нагревании, если его объем

увеличился в 2 раза по сравнению с объемом

при 0 С? 12. Как меняется давление идеального газа в ходе процесса,

график которого изображен на рис.1? Указать точки на графике,

соответствующие минимальному и максимальному давлению.

13. В сосуде объемом 1,0 л находится азот массой 0,28 г. Азот

нагрет до температуры 1500 С, при которой 30 % всех молекул азота диссоциируют на атомы. Определить давление в сосуде.

14. При температуре 7 С 12 г газа занимают

объем 4 103

м3. После нагревания газа при

постоянном давлении его плотность стала равной

6 104

г/см3. До какой температуры нагрели газ?

15. Построить графики процесса, происходящего с идеальным газом (рис.2) в

координатах Р Т и Р V. Масса газа постоянна.

1 3

2

Т

V

Рис.2

Рис.1

V

Т 0

26

16. В баллоне вместимостью 15 л находится азот под давлением

100 кПа при температуре 27 C. После того как из баллона

выпустили азот массой 14 г, температура газа понизилась до 17 C. Найти давление азота, оставшегося в баллоне.

17. В закрытом сосуде происходит полное сгорание кусочка угля

с образованием углекислого газа. Затем сосуд охлаждают до

первоначальной температуры. Сравнить конечное давление в сосуде с начальным давлением. Объем кусочка угля мал по сравнению с

объемом сосуда.

18. Одноатомный газ при нормальных условиях занимает объем V = 5 л. Вычислить молярную теплоемкость этого газа при

постоянном объеме.

19. Нагревается или охлаждается газ, расширяющийся по закону: а) РV

2 = const; б) Р = const; в) Р / V = const?

20. Точки А и В (рис.3) лежат на одной

адиабате. В каком из состояний, А или В,

выше температура? Ответ обосновать. 21. В процессе изохорного нагревания

кислорода объемом V=20 л его давление

изменилось на Р=100 кПа. Определите количество теплоты, сообщенное газу.

22. Некоторый газ при нормальных условиях имеет удельный объем Vyд = 0,7 м

3/кг. Определите

удельные теплоемкости СV и Ср. Какой это газ?

23. Идеальный двухатомный газ (=2 моль) нагревают при постоянном объёме до температуры 289 К. Определите

количество теплоты, которое необходимо сообщить газу, чтобы увеличить его давление в п = 3 раза.

24. Идеальный двухатомный газ (=2 моль) нагревают при постоянном объёме до температуры 289 К. Определите

количество теплоты, которое необходимо сообщить газу, чтобы увеличить его давление в п = 3 раза.

25. Для нагревания т=2,0 кг неизвестного газа на T = 5,0 К при постоянном давлении требуется количество теплоты

Qp=9,1 кДж, а для нагревания при постоянном объеме требуется

QV =6,5 кДж. Какой это может быть газ?

В

А

V

Р

Рис.3

27

26. При адиабатном сжатии газа его объём уменьшился в

п=10 раз, а давление увеличилось в k=21,4 раза. Определите

отношение CP/CV теплоёмкостей газов.

27. Найти изменение внутренней энергии, совершаемую работу и количество теплоты, поглощаемой водородом массой m=0,2 кг при

нагревании его от температуры t1 = 0°С до t2 = 100°С при

постоянном давлении. 28. Газ расширяется адиабатически, причём объём его

увеличивается вдвое, а термодинамическая температура падает

в 1,32 раза. Какое число степеней свободы i имеют молекулы этого газа?

29. При адиабатном сжатии кислорода массой 1 кг совершена

работа А = 100 кДж. Определить конечную температуру T2 газа,

если до сжатия кислород находится при температуре Т1 = 300 К. 30. В цилиндрическом сосуде диаметром 28 см находится 20 г

азота, сжатого поршнем, на котором лежит груз массой 75 кг.

Температура газа 17°С. Какую работу совершит газ, если его нагреть до 250°С? На сколько поднимется груз? Процесс считать

изобарным, нагреванием сосуда и внешним давлением пренебречь.

31. Какова должна быть степень сжатия воздуха, чтобы его температура возросла с 15°С до 700°С? Сжатие считать

адиабатным.

32. Двухатомный идеальный газ совершает процесс, в ходе

которого молярная теплоёмкость С газа остаётся постоянной и равной (7/2)R. Определите показатель политропы этого

процесса.

33. При адиабатном расширении кислорода с начальной

температурой Т1= 320 К внутренняя энергия уменьшилась на U =

8,4 кДж, а его объём увеличился в п = 5 раз. Определить массу m кислорода.

34. Идеальный газ расширяется по закону Р=V, где – постоянный коэффициент. Найдите работу, произведённую

газом и изменение его внутренней энергии при увеличении

объёма газа от V1 до V2. 35. Какое количество тепла надо сообщить азоту при

изобарическом нагревании, чтобы газ совершил работу А = 2,0 Дж?

28

36. Один моль идеального газа с показателем адиабаты

совершает политропический процесс, в результате которого

абсолютная температура газа увеличилась в раз. Показатель политропы п. Найти приращение энтропии в данном

процессе. 37. Определить показатель адиабаты для смеси газов,

содержащей 8 г гелия и 2 г водорода.

38. Определите во сколько раз возрастёт длина свободного пробега молекул двухатомного газа, если в результате адиабатного

расширения давление падает вдвое.

39. Некоторый газ массой 5 г изотермически расширяется от

объема V1 до объема V2 = 2V1. Работа расширения 1 кДж. Определить среднюю квадратическую скорость молекул газа.

40. В результате политропного сжатия от давления 0,2 МПа до

давления 1,4 МПа объём газа уменьшился в пять раз. Определите показатель политропы.

41. Лед массой 0,2 кг, находящийся при температуре –30°С,

превращается в пар. Определить изменение энтропии.

42. Определить изменение энтропии, происходящее при смешивании 2 кг воды при температуре 250 К и 4 кг воды при

температуре 300 К.

43. Найти изменение энтропии 1 кг воздуха, если его давление увеличилось от 0,2 до 1,0 МПа, а температура понизилась от 327°С

до 127°С.

44. При изобарном расширении водорода массой 20 г его объем увеличивается в три раза. Определить изменение энтропии водорода

при этом процессе.

45. Определить изменение энтропии при изотермическом

сжатии 1 моля кислорода от объема V до объема V/3. 46. Определить изменение энтропии 2 кг расплавленного свинца

при охлаждении его от 327°С до 10°С. Температура плавления

свинца 327°С. 47. Определить изменение энтропии при изобарном нагревании

0,l кг азота от 17°С.до 97°С.

48. Найти изменение энтропии при нагревании и плавлении 1 кг олова. Первоначальная температура олова 25°С.

29

49. Определить изменение энтропии 1 моля идеального газа при

изохорном, изобарном и изотермическом процессах.

50. Найти приращение энтропии воды массой т = 0,1 кг при

нагревании ее от температуры t1 = 0°С до температуры t2 = 100°С и последующем превращении воды в пар.

51. Найти коэффициент полезного действия цикла, состоящего

из двух изобар и двух адиабат, если температуры характерных точек равны 370 К, 600 К, 500 К и 350 К.

52. Совершая прямой цикл Карно, газ отдал холодильнику 25%

теплоты, полученной от нагревателя. Определить температуру холодильника, если температура нагревателя 500 К.

53. Тепловая машина работает по циклу Карно, КПД которого

0,2. Каким будет холодильный коэффициент этой машины, если она

совершит тот же цикл в обратном направлении? 54. Холодильная машина работает по обратному циклу Карно,

холодильный коэффициент которого 300 %. Каков будет

термический КПД тепловой машины, работающей по прямому циклу Карно?

55. Температура нагревателя тепловой машины, работающей по

циклу Карно, 480 К, температура холодильника 390 К. Какой должна быть температура нагревателя при неизменной температуре

холодильника, чтобы увеличить КПД машины в два раза?

56. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество

вещества =1 моль, совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. Наименьший объем Vmin=10 л, наибольший Vmax=20 л, наименьшее давление Рmin=246 кПа,

наибольшее Рmax=410 кПа. Построить график цикла.

Определить температуру Т газа для характерных точек цикла

и его термический КПД 57. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура Т2

холодильника равна 290 К. Во сколько раз увеличится КПД

цикла, если температура нагревателя повысится от Т1=400 К до Т1=600 К?

58. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура T1

нагревателя в три раза выше температуры Т2 холодильника. Нагреватель передал газу количество теплоты 42 кДж. Какую

30

работу совершил газ?

59. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура T1

нагревателя в четыре раза выше температуры Т2

холодильника. Какую долю количества теплоты, получаемого за один цикл от нагревателя, газ отдает

холодильнику?

60. Идеальный двухатомный газ совершает цикл Карно. Объемы газа в конце изотермического расширения и

адиабатного расширения равны соответственно V1 = 12 л и

V2 = 16 л. Найти термический КПД цикла. 61. Определить, во сколько раз отличаются коэффициенты

диффузии азота и углекислого газа, если оба газа находятся при

одинаковых температуре и давлении. Эффективные диаметры

молекул этих газов считать одинаковыми. 62. Водород находится при нормальных условиях. Найти число

столкновений, испытываемых в среднем каждой молекулой за 1 с.

63. Водород находится при нормальных условиях. Найти число столкновений, испытываемых в среднем каждой молекулой за 1 с.

64. Найти коэффициент диффузии водорода при нормальных

условиях, если средняя длина свободного пробега = 0,16 мкм.

65. Каков коэффициент диффузии водорода в некоторых условиях, если коэффициент диффузии гелия в этих условиях

92 мм2/с?

66. При каком давлении отношение коэффициента вязкости

некоторого газа к коэффициенту его диффузии /D = 0,3 кг/м3, а

среднеквадратическая скорость его молекул квv = 632 м/с?

67. При каком давлении отношение коэффициента вязкости

некоторого газа к коэффициенту его диффузии /D = 0,3 кг/м3, а

средняя квадратическая скорость его молекул квv = 632 м/с?

68. Определить коэффициент теплопроводности азота, если его коэффициент динамической вязкости при тех же условиях равен

11 мкПас. 69. Как изменится коэффициенты диффузии и теплопроводности

газа при изохорическом процессе, идущем с увеличением давления?

70. Углекислый газ и азот находятся при одинаковых

31

температурах и давлениях. Найти отношения коэффициентов

вязкости этих газов, коэффициентов диффузии и коэффициентов

теплопроводности. Диаметры молекул газов считать одинаковым.

71. Углекислый газ массой 2,2 кг находится при температуре 290 К в сосуде вместимостью 30 л. Определите давление газа, если:

1) газ реальный; 2) газ идеальный.

72. Плотность азота =140 кг/м3, его давление Р=10 МПа.

Определите температуру газа, если: 1) газ реальный; 2) газ

идеальный.

73. Для некоторого газа поправка в уравнении Ван-дер-Ваальса

а = 0,453 Нм4/моль

2, а критическая температура Ткр = 282,7 К.

Вычислить эффективный диаметр молекулы газа. 74. Какую массу углекислого газа надо поместить в объем 2 см

3,

чтобы при критической температуре 304 К газ имел критическое

давление 73 атм? 75. Какова плотность водяных паров в критическом состоянии?

76. Какое давление будет иметь хлор при критической

температуре 144 C, если критическое давление хлора 76 атм, объем сосуда 50 см

3 и масса газа 3,5 г?

77. В баллоне вместимостью 10 л находится азот массой 0,25 кг. Найти внутреннее давление газа и собственный объем молекул.

78. Кислород ( =10 моль) находится в сосуде объёмом V = 5 л.

Определите внутреннее давление газа и собственный объём

молекул.

79. При какой температуре 1 кмоль аргона будет при давлении 30 атм занимать объем 1 м

3?

80. Для определения констант Ван-дер-Ваальса а и b было

измерено давление 100 г кислорода при двух температурах.

Результаты измерений: при 300 К Р1 = 7,27 106 Па, при 350 K

Р2 = 8,72 106 Па. Объем газа 1000 см

3. Вычислить а и b.

32

6. СПРАВОЧНЫЕ ТАБЛИЦЫ

Таблица 4

Основные физические постоянные Физическая величина Численное значение

Авогадро постоянная NА = 6,022169(40)1023 моль-1

Атмосфера стандартная (давление атмосферное нормальное)

1 атм = 1,01325105 Па (точно)

Атомная единица массы 1 а.е.м. = 1,660531(11)10-27 кг

Больцмана постоянная k = 1,380658(12) 10-23 ДжК-1

Объем моля идеального газа при нормальных условиях (P = 1 атм, Т = 273,15 К)

Vо = 22,41410(19)10-3 м3

Универсальная газовая постоянная R = k NА =8,31441(26) ДжК-1моль-1

Таблица 5

Множители, приставки для образования десятичных,

кратных единиц

Множитель Приставка

Наименование Обозначение

1012 Тера Т

109 Гига Г

106 Мега М

103 Кило к

10-1 Деци д

10-2 Санти с

10-3 Милли м

10-6 Микро мк

10-9 Нано н

10-12 Пико п

Таблица 6

Число степеней свободы

Вещество Поступательное

движение Вращательное

движение Колебательное

движение Всего

Одноатомный газ 3 - - 3

Двухатомный газ* 3 2 - 5 Трехатомный газ* 3 3 - 6 Твердое тело** 3 3 - 6

Жидкость не определено

* для молекул с жесткой связью между атомами

** для твердого тела с жесткой связью между атомами

33

Таблица 7

Поправки Ван-дер-Ваальса Газ а, Нм4/моль2 b, 10-5м3/моль

Азот 0,135 3,86 Аргон 0,134 3,22 Водяной пар 0,545 3,04 Кислород 0,136 3,17 Неон 0,209 1,70

Углекислый газ 0,361 4,28 Хлор 0,250 5,62

Таблица 8 Критические параметры некоторых веществ

Вещество Критическая температура,

оС

Критическая плотность,

кг/мЗ

Критическое давление

МПа ат

Азот -147,1 311 3,39 34,6

Аммиак 132,4 235 11,5 117

Ацетилен 35,7 231 6,24 63,7

Вода 374,2 307 22,13 225,65

Водород -239,9 31,0 1,30 13,5

Воздух -140,7 350 3,77 38,5

Гелий -267,9 69,3 0,23 2,3

Кислород -118,8 430 5,04 51,4

Нафталин 469 314 3,98 40,6

Оксид углерода (II) -139 301 3,5 36

Оксид углерода (IV) 31,0 460 7,35 75,0

Спирт 243,5 276 6,38 65,2

Хлор 144,0 573 7,70 78,5

Эфир 193,8 260 3,60 37,0

Таблица 10

Относительные молекулярные массы некоторых газов

Газ Формула Относительная

молекулярная масса, а.е.м.

Азот N2 28,134

Аргон Ar 39,948

Вода (пары) H20 18,0152

Водород H2 2,0158

Гелий He 4,0026

34

Кислород O2 31,9988

Метан CH4 16,0416

Углекислый газ CO2 44,0088

Хлор Cl 35,452

Алюминий Al 26,98154

Алмаз С 12,0108

Таблица 11

Удельная теплоемкость (с, Дж/(кг·К)) Твердые тела

Алюминий 880 Медь 390

Вольфрам 142 Никель 460

Железо 460 Олово 230

Золото 130 Свинец 130

Калий 795 Серебро 230

Латунь 384 Сталь 460

Лед 210 Цинк 400

Магний 1300 Чугун 540

Жидкости

Ацетон 2180 Керосин 2100

Бензол 1700 Ртуть 138

Вода 4190 Спирт 2400

Глицерин 2420 Эфир 2350

Газы

Водород 14300 Гелий 5290

Воздух 1010 Кислород 913

Таблица 12 .

Производные единицы СИ, имеющие наименование

Величина

Единица

наименование Обозначение Выражение че-рез основные единицы СИ

Сила Ньютон Н м∙кг∙с-2

Давление Паскаль Па м-1кг∙с-2

Энергия, работа, количество теплоты

Джоуль Дж м2кг∙с-2

Мощность, поток энергии Ватт Вт м2кг∙с-3

35

Таблица 13.

Основные величины, их обозначение и единицы величин в СИ Величина Единица

Наимено-вание

Размер-ность

Наименование Обозначение

международное русское

Длина L метр m м

Время Т секунда s с

Масса м килограмм kg кг

Сила элек-трического тока

I Ампер А А

Термоди-намическая температура

Θ Кельвин К К

Количество вещества

N моль mol моль

Сила света J канделла cd кд

7. РЕКОМЕНДУЕМАЯ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ

ЛИТЕРАТУРА

Основная литература

Учебники и учебные пособия

1. Савельев И.В. Курс физики. Т. 1-3. СПб., М.: Издательство «Лань», 2008

2. Трофимова Т.И. Курс физики. М.: Высшая школа, 2009.

3. Детлаф А.А., Яворский Б .М. Курс физики. М.: Высшая школа,

2009. 4. Яворский Б.М., Пинский А.А. Основы физики. т.1,2, М.: Наука,

2009

Сборники задач 5. Трофимова Т.И. Курс физики. Задачи и решения. М.:

Издательский центр «Академия», 2009.

6. Иродов И.Е. Сборник задач. СПб., М.: Изд. « Лань», 2010 4. Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике. СПб.,

М.: Изд. « Лань», 2007.

7. Рогачев Н.М. Решение задач по курсу общей физики. СПб., М.:

Изд. « Лань», 2008.

36

8. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики.

СПб., М.: Изд. « Лань», 2009.

9. Фирганг Е.В. Руководство к решению задач по курсу общей

физики. СПб., М.: Изд. « Лань», 2009. 10. Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики с решениями.

М.: Высш. школа, 2009.

11. Чертов А. Г. Воробьёв А.А Задачник по физике. М.: Физматлит, 2009.

Дополнительная литература 12. Трофимова Т.И. Краткий курс физики. М.: Высшая школа, 2010. 13. Сивухин Д.В. «Общий курс физики», т. 1-5, М., Наука, 2009.

14. Фриш С.Э., Тиморева А.В. Курс общей физики. СПб., М.: Изд. «

Лань», 2008

15. Матвеев А. Н. Молекулярная физика. - СПб, М., Краснодар. Лань, 2009.

16. Калашников Н.П., Кожевников Н.М. Физика. Интернет -

тестирование базовых знаний. СПб., М.: Изд. « Лань», 2009. Сайт Росаккредагенства www.fepo.ru

17. Сена Л.А. Единицы физических величин и их размерности.

-М.: Наука, 1977.