تاÌضاËi¹ا - ³¹أت¹ا »بl - Ðºmºl · اك اإ BA CA zz ai zz جح a \* ^1,1` اف BA 1 CA zz a zz z í 2 , 0 arg 2 2 , 0 2 BA CA zz ka zz ka S S S S · ! ¨¸¨¸®

الجمهورية الجزائرية الديمقراطية الشعبية –وزارة التربية الوطنية -

يف الرياضيات - سبل التألل - سلسلة

ملخص صامل فَ رحاب األعداد المرمبّ

- مٌحي إلْ حمٍػ الصغب الغلمٍّ -

إمنــا األعنــال العظّنــٕ يـــْ أعنـال صغّـسٔ نتب

هلــــا االستنساز

محمد حاقّ: األستاذ

- ENS - الحزائر- خرٍخ المدرسّ الغلٍا لألساتذِ الكبّ الكدٍمّ

-الٌادُ - ثاهٌٍّ عبد الغزٍز الصرٍف

2017مارش

II

I

I I

I

IV

Cos Cos 2

22

3

Sin

Sin

2

BAC 2017 دلّل جمنُعٕ األعداد املسنبٕ

ٕ2 - إعداد األستاذ حمند حاقٕ- اجلًد املتُاصل َلّص الرنا٘ أَ الكُٔ يُ مفتاح إطالم قدزاتها الهامه

دلــيـل احلساب يف جمنوعة األعداد املركبة:أوال

كل عددz يكتب بصورة وحيدة عمى الشكل:z x iy 2عددان حقيقيان و yو xحيث 1i

تسمى الكتابة: z x iy لمعدد المركب الشكل الجبرل z يسمىx الجزء الحقيقي لــzونرمز لو بــ :Re( )z x يسمىy الجزء التخيمي لــzونرمز لو بــ :Im( )z y إذا كان / أ :Im( ) 0z فان ،z xونقول أن : z حقيقي

)Re: إذا كان/ ب ) 0z فان ، z yونقول أن : z بحت)تخيليلصبفل) 0z:إذا كان/ ج ىو في آن واحد حقيقي و تخيمي صرف 0، فإن العدد

يُ العدد املسنب الُحّد الرٓ حيكل يرٍ املّز0ٔ: ملخُظٕ لل:مسافل عدد مسنب

z :مرافق العدد المركب x iy العدد المركب ىو: z x iy لّّلْ) ّّس إاّل يف إطازٔ اجلز٘ التد (نغ

خُاص املسافل:

1 /z z 2 /1 2 1 2z z z z 3 /

1 2 1 2z z z z

4 /1 2 1 2. .z z z z 5 /1 1

2 2

z z

z z

،20z 6 /. .k z k z ،k

7 /k kz z

، k 0 وz 8 /

nnz z ،n

ليكن: نتـاٙجzعدد مركب حيث :z x iy 1 /2z z x 2 /2z z yi 3 /2 2.z z x y

4/zحقيقي يكافئ z z 5 /zتخيمي صرف يكافئ z z



طُِلٕ َعندٔ عدد مسنب:

zمن أجل كل عدد مركب غير معدوم x iy لدينا :r طويمةzو arg( )z عمدةzحيث :

2 2r z x y /1 2 /cos

arg( ) .... 2sin

x

rz ky

r

ََاآلسْ لـِعدد مسنب ل :zالظهل الـنجلجْ لالظهل اآلسْلالظهل الـنجلجْلالظهل الـجربٓ

z x iy ل(cos sin )z r i لiz re ل

ما جيب معسفتٌ َعدم نشّانٌ لالنتكال مو الظهل اجلربٓ إىل املجلجْ َاآلسْ

ل:(جدَل الزَاِا الظًرئ+ الداٙسٔ املجلجّٕ )البخح عو عندٔ عدد مسنب

:مّزٔ نل زبع الداٙسٔ املجلجّٕ: أَاًل

ل

لل

لللل

: الهشب املجلجّٕ ألقّاض الزَاِا الظًرئ اليت تشتعنلًا حلشاب العندٔ: ثانًّا

ل

لللللللللللللللللللللللل

لل

III

I II

IV

Cos Cos 2

22

3

Sin

Sin

2

أٔ

2

0

1

02

11 1

0 0

Sin 0

0

Cos 12

3

4

6

2

3

22

3

2

2

2

2

2

1

2

3



الدائــرة املجلجية

لللللللللللللللل

عالقات مجلجية مَنة

sin sin cos cos cos cos

sin sin cos sin2

cos sin2

sin cos2

sin cos

2

ل

للل



ٔخُاص العند:

1 /arg( ) arg( ) 2z z k 2/1arg arg( ) 2z kz

3 /arg( ) arg( )z z 4 /1 2 1 2

arg( . ) arg( ) arg( )z z z z

5/11 2

2

arg arg( ) arg( )z

z zz

6 /arg( ) .arg( ) 2nz n z k حيثn من

ٕخُاص الطُِل:1z َ

2zعدداى مسنباى غري معدَمني

1/z z z 2 /1 1

1 1

z z 3 /11

2 2

zz

z z 4 /

1 1

nnz z

:ملخُظٕ يامٕ جدا1 2 1 2z z z z وأيضا:

1 2 1 2z z z z

:والصواب1 2 1 2z z z z و

1 2 1 2z z z z

دستُز مُافس(MOIVER) :

( ) cos( ) sin( )n i n n n i nz re r e r n i n :لليعني اعدل افبدرليشافئل از ويةل عددلفبدرلل

عددلزولي0:للليعني0 اعددل ازوليليشافئل از ويةل innnn ernrz :للادينا,

nzلحقيقيلnzلحقيقيلمولبلnzلحقيقيلساابلnzلتخيليلصبفل

kn ل kn 2ل 12 knل 212

knلل

ٕالتخُِل مو الظهل اآلسْ إىل الظهل اجلربٓ يف حاالت خاص:

لل

ل َمهٌ

ل

لالظهل اجلربٓلالظهل اآلسْ2 ie ل1لie1لل2ie

لiل3

2 2i i

e e

لiل

لالظهل اجلربٓلالظهل اآلسْ2 ike لkلikeلkل2i

ke

لkiل2i

ke

لkiل



يــــام جــــدًا: * 1n للقيس الزاوية/ 1

n

الربع األول صورتو من

قيس الزاوية من الشكل/ 2 n

n 1 الربع الثانيتقع في صورتو

قيس الزاوية من الشكل/ 3 n

n 1 الربع الثالثتقع في صورتو

قيس الزاوية من الشكل/ 4n

الربع الرابعتقع في صورتو

دلــيـل ٍــــــــــيــــدســــة األعداد املركبة:ثاىيا

الــنفَوو اهليدسيالتفسري اهليدسي باألعداد الـنركبة

(الكتابة املركبة)ABلABل(مســافة) اطــولل ZZAB ل

ABABلABالحقةل الـعـاعل ZZZ ل

لمبلحل الملةلGالحقةل انقطةل ,,,,, CBAل

CBAG

ZZZZل

لABCلمبشزلثقكل امثلثلHالحقةل انقطةل3

CBAH

ZZZZ

لمنتصفل اقطعةل امستقيمةلIالحقةل انقطةل ABل2

BAI

ZZZ

ACBBACلCلباانسبةلإاىلAلنظيبةلBالحقةل انقطةل ZZZZZZ 22

لyixZZyixZلباانسبةلامحوبل افو صكلMلنظيبةلM'الحقةل انقطةل

MMM ل'

yixZyixZلباانسبةلامحوبل اتب تيبلMلنظيبةلM'الحقةل انقطةل MM ل'yixZyixZلباانسبةلامجدأل امعلملMلنظيبةلM'الحقةل انقطةل MM ل'

قيـاسل اـز ويةل اـمولهةلل ACAB ل,

AB

AC

ZZ

ZZACAB arg,

ABC انقاطل لعلىل ستقامةلو حدةل,, AB AC

لAC

AB

ZZ

ZZ

لعدد ًالحقيقياًال=ل

لمتعامد نلACلَولAB الـعـاعينل ACABلAC

AB

ZZ

ZZ

عدد ًالتخيلياًالصبفاًال=ل

طويلةل انسبةلAC

AB

ZZ

ZZ

لAC

AB

ZZ

ZZ

AC

AB

دليل التفسريات اهليدسية املختلفة لألعداد املركبة- 1



مالحظات مَنة

ْٕ يعادنت اندائسة انًحٍطت بانًخهج انقائى، ٌكٌٕ انٕتس قطسا نٓرِ اندائسة ٔيُّ يسكصْا

2يُتصف انٕتس َٔصف قطسْا ْٕ طٕل انٕتس عهى

يعادنت اندائسة انًحٍطت بانًخهج انًتقاٌط األضالع، يسكص حقم انًخهج ْٕ يسكص اندائسة

َٔصف قطسْا ْٕ بعد انًسكص عٍ أحد زؤٔض انًخهج

ٌإذا كاA B C Dz z z z r فاٌ انُقطA ،B ،C ٔD تُتًً إنى َفط اندائسة

rَٔصف قطسْا Oانتً يسكصْا انًبدأ

ٌإذا كاA B C DZ Z Z Z Z Z Z Z r

فاٌ انُقط A ،B ،C ٔD

rَٔصف قطسْا تُتًً إنى َفط اندائسة انتً يسكصْا انًبدأ



دليل التعرف على طبيعة رباعي األضالع - 2

طسق اإلحباث

َٕع انسباعً لإلثبات (2)الطريقة لإلثبات (1)الطريقة

ABCD يتٕاشي أضالع

شعاعاٌ يتقابالٌ فً َفط

االتجاِ يتسأٌاٌ

AB DC

أي AB DCZ Z

:يعُاِB A C DZ Z Z Z

انقطساٌ يتُاصفاٌ

2 2A C B DZ Z Z Z

ABCD يستطٍم



ضهعاٌ يتتابعاٌ يتعايداٌ

: أي

AB DC

ٔ AB AD

انقطساٌ يتُاصفاٌ ٔيتسأٌاٌ

: أي

2 2A C B DZ Z Z Z

AC BD ِيعُا

C A D BZ Z Z Z

ABCD ٍٍيع



ضهعاٌ يتتابعاٌ يتسأٌاٌ

: أي

AB DC

ٔ AB AD

انقطساٌ يتُاصفاٌ ٔيتعايداٌ

: أي

2 2A C B DZ Z Z Z

AC BD

. يعُاِ 0AC BD

ABCD يسبع



ضهعاٌ يتتابعاٌ يتسأٌاٌ

: ٔيتعايداٌ أي

AB DC

ٔ AB AD

ٔAB AD

انقطساٌ يتُاصفاٌ ٔيتعايداٌ

ٔيتسأٌاٌ أي

2 2A C B DZ Z Z Z

ٔ

AC BD

. يعُاِ 0AC BD

ٔAC BD ِيعُا

C A D BZ Z Z Z



Bالتفسري اهليدسي لطويلة وعندة اليسبة - 3 A

C A

z z

z z

ABCواستيتاج طبيعة املجلح

ٌإذا كاB A

C A

z zi

z z

1B فاٌ A

C A

z z

z z

ٔ

22arg

22

B A

C A

kz z

z zk

1 :التفسري اهليدسي للطويلة (1)B AB A

C A C A

z zz z ABAB AC

z z ACz z

:التفسري اهليدسي للعندة

arg ;B AC A

z zAC AB

z z

ٔيُّ

22; (2)

22

kAC AB

k

ٌمتساٌُ الساقٍن A قائن فABCَأن المثلج (2)ٌ (1)هستهتخ من

ٌإذا كاB A

C A

z zai

z z

حٍج * 1,1a ٌ1فاB A

C A

z za

z z

ٔ2 , 0

2arg2 , 0

2

B A

C A

k az z

z zk a


C A C A

z zz z ABa AB AC

z z ACz z


arg ;B AC A

z zAC AB

z z

ٔيُّ

2 , 02; (2)

2 , 02

k aAC AB

k a

A قائن فABCَأن المثلج (2)ٌ (1)هستهتخ من

ٌإذا كا1 3

2 2B A

C A

z zi

z z

1Bفاٌ A

C A

z z

z z

ٔ

23arg

23

B A

C A

kz z

z zk


C A C A

z zz z ABAB AC

z z ACz z




arg ;B AC A

z zAC AB

z z

ٔيُّ

23; (2)

23

kAC AB

k

متكاٍش األضالؼ ABCأن المثلج (2)ٌ (1)هستهتخ من

ٌ1إذا كا;B A

C A

z z

z z

;:حٍج 2 3

1Bفاٌ A

C A

z z

z z

ٔarg 2B A

C A

z zk

z z


C A C A

z zz z ABAB AC

z z ACz z

:التفسري اهليدسي للعندة arg ;B AC A

z zAC AB

z z

ٔيُّ ; 2 (2)AC AB k

متساٌُ الساقٍن ABCأن المثلج (2)ٌ (1)هستهتخ من

يف املستوي املركب Mدليل جمنوعات اليكط- 4

A ،B ٔM حالث َقط يٍ انًستٕي انًسكب نٕاحقٓا عهى انتستٍبAz ،

Bz ٔz

Mحٍج AٔM B ( ) : 0E MA k محمٌعّ الهكطM وَ دائرِ مرمزوا Aٌهصف قطروا r k

( ) :A B

E z z z z محمٌعّ الهكطM ّوَ المستكٍن المحٌرُ للكطغ

ABالمستكٍمّ ّملحٌظ:A Bz z z z MA MB

( ) : . 0E MAMB

AB وَ دائرِ قطروا Mمحمٌعّ الهكط

( ) : arg( ) 2A

E z z k محمٌعّ الهكطM ًوَ هصف مستكٍن مبدؤ

: بالترمٍز A باستثهاءAالهكطّ ( ) :E AB A ( ) : arg( )

AE z z k محمٌعّ الهكطM وَ مستكٍن باستثهاء A

:بالترمٍز ( ) :E AB A

B

A

z z

z z

مغهاً: عددا حكٍكٍا arg ;B

A

z zMA MB k

z z



وَ المستكٍن Mمحمٌعّ الهكط AB ّباستثهاء الهكطA

بالترمٍز ( ) :E AB A

B

A

z z

z z

مغهاً: عددا حكٍكٍا مٌحبا arg ; 2B

A

z zMA MB k

z z

وَ المستكٍنMمحمٌعّ الهكط AB ّباستثهاء الكطغّ المستكٍمAB

بالترمٍز ( ) :E AB AB

B

A

z z

z z

مغهاً: عددا حكٍكٍا مٌحبا arg ; 2B

A

z zMA MB k

z z

AB وَ الكطغّ المستكٍمMّمحمٌعّ الهكط ّباستثهاء الهكطA

بانتسيٍص ( ) :E AB A

B

A

z z

z z

:عددا تخٍلٍا صرف مغهاً

22arg ;

22

B

A

kz zMA MB

z zk

AB وَ دائرِ قطروا Mمحمٌعّ الهكط ّباستثهاء الهكط A

B

A

z z

z z

:مغهاً (حزؤً التخٍلَ مٌحب )عددا تخٍلٍا صرف

arg ; 22B

A

z zMA MB k

z z

AB وَ هصف دائرِ قطروا Mمحمٌعّ الهكط ّباستثهاء الهكط A بحٍج

فَ االتحاً المباصر MABٍمٌن

B

A

z z

z z

:مغهاً (حزؤً التخٍلَ سالب ) عددا تخٍلٍا صرف

arg ; 22B

A

z zMA MB k

z z

AB وَ هصف دائرِ قطروا Mمحمٌعّ الهكط ّباستثهاء الهكط A بحٍج

فَ االتحاً ؽٍر المباصر MABٍمٌن

iA

z z ke حٍجk يعهٕو )عدد حقٍقً يٕجب تًاو) ٔ فً (ًٌسح ) ٌتغٍس

iندٌُا iA A

z z ke z z ke ُّٔي AM k

وَ دائرِ الحكّ مرمزوا Mمحمٌعّ الهكطAz ٌهصف قطرواk

iA

z z ke حٍجk فً (ًٌسح )ٌتغٍس ٔ عدد حقٍقً يعهٕو



i: ندٌُا iA A

z z ke z z ke ُّٔي iAMz ke أي ;u AM

وَ المستكٍن الذُ ٍصمل الهكطّ ذات الالحكّ Mمحمٌعّ الهكطAz ٌصغاؼ

vتٌحٍىي

ٍحكل ;u v

iA

z z ke حٍجk فً (ًٌسح )ٌتغٍس

ٔ عدد حقٍقً يعهٕو

i: ندٌُا iA A

z z ke z z ke ُّٔي iAMz ke أي ;u AM

وَ هصف المستكٍن الذُ مبدؤً الهكطّ ذات الالحكّ Mمحمٌعّ الهكطAz

vٌصغاؼ تٌحٍىي

ٍحكل ;u v

دليل املرجح يف املستوي املركب - 5

A ،B ٔC حالث َقط يٍ انًستٕي انًسكب نٕاحقٓا عهى انتستٍبAz ،

Bz ٔ

Cz

الحقت انُقطتH يسكص حقم انًخهجABC ًْ:3

A B CH

z z zz

الحقت انُقطتG يسجح انجًهت ( , );( , );( , )A B C

ًْA B CG

z z zz

AM: مً الشكلةكيفية حتويل العالقة الشعاعيـ°(ل2 BM CM

0:علًنا أٌ

): نجد Gبإدخال نقطة المّرجح )AM BM CM MG

المّرجح التعنيه M×( مجموع المعامالت)

0 إذا كان :مالحظة فال يوجد مّرجح لمنقط A،BوCويكون الشعاع:

AM BM CM

ويتم تحويل العبارة بإدخال إحدى M شعاعا ثابًتا مستقال عن النقطة Chaslesالنقط المعمومة واستعمال عالقة شال

2كيفية حتويل العالقة العددية مً الشكل °(ل3 2 2MA MB MC



نجد Gبإدخال نقطة المّرجح 2 2 2 2 2 2 2( )MA MB MC MG GA GB GC

اجعل مكان :التعنيه M المّرجح ]2+ نقطة المّرجحM ] ×( مجموع المعامالت)

دليـل التخويـالت اليكطيـة - 6

Fتحويل نقطي من المستوي يرفق بكل نقطة :ل( )M z النقطة ( )M z :

( ) ( )

F

M z M z

z مع az b ، a و b 0 عددان مركبان وa نّفّٕ التعسف علٖ التخُِل الهكطْ َاستدساج عهاصسٍ املنّزٔ ( 1

1إذا كانa فان F انسحاب الحقة شعاعو uz b

1إذا كانa و a فان F تحاكي نسبتو a والحقة مركزه 1

bz

a

إذا كانa 1 وa فان F دوران زاويتو arg( )a والحقة مركزه

1

bz

a

إذا كانa 1 وa فان F تشابو مباشر زاويتو arg( )a

والحقة مركزه 1

bz

a

a ونسبتو

) : ( الصّغٕ املبشطٕ ) يف حالٕ الظهل املسنب( 2 ) ( )z z a z z

( ) ( )z z k z z

تحاكي نسبتو k والحقة مركزه z

( ) ( )iz z e z z

دوران زاويتو والحقة مركزه z

( ) ( )iz z ke z z

تشابو مباشر زاويتو والحقة مركزه z

k ونسبتو



Dإىل Cَحيُل B إىل Aالرٓ حيُلF أَجد التخُِل(3

(1):نحل الجممة (2)

B A

D C

z az b

z az b

) بضرب الثانية في 1)والجمع نجد B DA C

z zaz z

bنجد (2)أو (1) في aنعوض بعد ذلك قيمة Cَمسنزٍ B إىل Aالرٓ حيُلFأَجد التخُِل (4

(1):نحل الجممة (2)

B A

C C

z az b

z az b

) بضرب الثانية في 1)والجمع نجد B CA C

z zaz z

bنجد (2)أو (1) في aنعوض بعد ذلك قيمة استهتاج مو عالقٕ أى نكطٕ يْ صُزٔ نكطٕ أخسٗ بتخُِل (5

B :إذا كان AC A

z zaz z

فان B A C Az z a z z وىذا يعني أن B صورة C بالتحويل

a، نعرف طبيعة التحويل من خالل Aالذي مركزه

ختاما أقٌل

المالن ما قل ٌدل ٌومذا لمل بداٍّ هىاٍّ ، ٌخٍر الغمل ما حسن آخرً ٌخٍر

مٌفكا فَ سردُ للغهاصر ٌبغد وذا الحىد المتٌاضػ أتمهْ أن أمٌن

ما مان ٍصمل عائكا أمان طلبتَ تكصٍر مٌضحا السابكّ سردا ال ملل فٍي ٌال

، ٌفكهَ اللي ٌإٍامن أمٍد ِ الممتػٌ حدٍدِ علٍمن الٌحدِالذً لي األعزاء

لما فٍي صالحها حمٍغا

حكنة أعجبتين

تعله مً األمس ، ٍعش مً أجل اليوو وتطلع إىل الغد األمر املَه ٍو أال تتوقف عً الّتساؤل

مـــــا أروع عكـال يستَــدي ، يســأل ، يتأمــل ، يتفكـر

Documents

تاÌضاËi¹ا - ³¹أت¹ا »بl - Ðºmºl · اك اإ BA CA zz ai zz جح a \* ^1,1` اف BA 1 CA zz a zz z í 2 , 0 arg 2 2 , 0 2 BA CA zz ka zz ka S S S S · ! ¨¸¨¸®