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講義時間：火曜４限/木曜2限場所 ：Ｃ-２Ａ/C-3C

担当 ：山村

化学工学III

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6/18（火）４限 休講

補講は7/25（木）を予定

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ミッション：

□ 質量平均速度とモル平均速度を質量分率とモル分率の関数として記述することができる□ 質量流束とモル流束を固定座標系および質量（モル）平均速度基準で記述することができる□ 濃度場のシェルバランスを取ることができる□ フィルム中への等モル相互拡散の濃度分布を求めることができる□ フィルム中への一方拡散の濃度分布を求めることができる□ 均一反応を伴う拡散の濃度分布を求めることができる□ 表面反応を伴う拡散の濃度分布を求めることができる□ 円柱面上における拡散の濃度分布を求めることができる□ 球面上における拡散の濃度分布を求めることができる□ 物質移動係数の物理的意味を述べることができる□ 等モル相互拡散および一方拡散の物質移動係数を記述することができる□ 異相界面を横切る質量流束を記述することができる□ 総括物質移動係数を用いて質量流束を記述することができる□ ガス吸収装置内の物質収支を取ることができる□ 設計条件を満たすガス吸収装置の高さを求めることができる□ 吸着装置内の物質収支を取ることができる□ 設計条件を満たす吸着装置の高さを求めることができる□ 膜分離装置内の物質収支を取ることができる□ 設計条件を満たす膜分離装置の長さを求めることができる□ 乾燥装置内の物質収支を取ることができる

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単位認定基準：

[試験]

中間試験と期末試験の結果から理解度を判断し評価

試験は筆記式で、式の導出・設計計算が主体

単位に誤りのある回答には部分点を与えない

特別な理由がない限り追試は行わない（再試の可能性はあり）

[講義]

講義中にクイズを与えることがある。回答の正否は単位認定基準に含まない

[レポート]

レポート課題の結果は最大20%を限度に成績に反映される

納期に遅れたレポートは採点対象から外される

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教科書 橋本健治・荻野文丸編：現代化学工学（産業図書）

•水科篤郎・桐栄良三：化学工学概論（産業図書）

•大矢晴彦・諸岡成治：移動速度論

•Bird R.B., Stewart, W. E., Lightfoot, E.N.:

TRANSPORT PHENOMENA (Wiley)

•水科篤郎・荻野文丸：輸送現象（産業図書）

•平岡正勝：移動現象論（朝倉書店）

•甲藤好郎、佐藤俊、西川兼康、水科篤郎、森康夫：

伝熱学特論（養賢堂）

•日本機械学会：伝熱工学資料

•Cussler, E. L.:Diffusion (Cambridge)

参考書

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固定座標系のモル流束（1）：定義

成分A成分B

速度(vAx, vAy)速度(vBx, vBy)

平均速度v モル流束(molar flux)の定義

NA＝CA vA

x方向では NAｘ＝CA vAｘ

y方向では NAy＝CA vAy

固定座標系における成分Aの

最も単純な２成分系を考える。

x

y

単位チェック

（教科書p. 118)

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モル流束（2）：気体分子Quiz

Q1. 分子速度vAはいくらか

A. ~20m/s B.~200m/s C.~2000m/s

Q２. モル濃度CAはいくらか

A. 4mol/m3 B. 40mol/m3 C. 400mol/m2

Q３.固定座標系でのモル流束はいくらか。ただし理想気体を仮定する。

A. ~0.01mol/(cm2·s) B.~ 1mol/(cm2·s) C.~ 100mol/(cm2·s)

大気圧・温度T=300 Kの窒素を考える

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気体分子運動論より（詳細は他の成書を見よ）

分子平均速度m

kTvAx

2

温度T=300 Kの窒素の場合

１分子の質量m=28g/mol

6.02×1023/mol=4.65×10-26 kg

Boltzmann定数k=1.38×10-23 J/K なので

smvAx /238)1065.4)(14.3(

)300)(1038.1(226

23

238 m/s

モル流束（3）：気体分子Quiz

9

35

mol/m6.40)300)(314.8(

10013.1

)/(

C

RT

PVnC

nRTPV

モル濃度

より理想気体なら

モル流束（4）：気体分子Quiz

10

)/(966.0

)/(1066.9

)238)(6.40(

2

23

scmmol

smmol

vCN

N

AxAA

A

は定義から束固定座標基準のモル流

1cm

1cm1mol

モル流束（5）：気体分子Quiz

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モル流束（6）：モル平均速度

多成分系に含まれる成分は一般に異なる速度を持つ簡単のため２次元平面上での２成分系を考えよう

固定座標系

成分A成分B

速度(vAx, vAy)

x

y

速度(vBx, vBy)

モル平均速度vの定義

CA vAx+ CBvBxvx=

CA + CB

CA vAｙ+ CBvBｙvｙ=

CA + CB

CA vA+ CBvBv=

CA + CB

x方向では

y方向では

平均速度v

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モル平均速度は

一方モル分率x i は定義から

x i ＝ C i / Ct ただしCtは全濃度CA+CB

従ってモル平均速度はx i を用いて次のように書ける

xA vAx+ xBvBxvx=

xA vAy+ xBvByvｙ=

CA vAx+ CBvBxvx=

CA + CB

モル流束（7）：モル平均速度

2成分系ではxA + xB =1が成り立つからvAx=vBxの場合のモル平均速度はvx= vAx=vBx

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モル流束(molar flux)の定義

JA＝CA (vA – v)

x方向では JAｘ＝CA (vAx – vx)

y方向では JAy＝CA (vAy – vy)

モル平均速度基準座標系での

モル平均速度基準のモル流束（１）：定義

JA＝ NA＝CA vA

v=0なら固定座標系でのモル流束に一致

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モル流束の和

簡単のため２成分系を考える。モル流束の定義から

JA＝CA (vA – v), JB＝CB (vB – v)

流束の和をとるとJA＋ JB ＝CA (vA – v)＋CB (vB – v)

= CA vA ＋CB vB - (CA + CB) v

=CA vA ＋CB vB - (CA + CB)

=0

(CA vA+ CBvB)

(CA + CB)

（モル平均速度の定義から）

従って、平均速度基準のモル流束の和は０に等しい同様に質量流束の和＝０である（さらに３成分以上の系についても同様）

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Fickの法則（1） -モル平均速度基準座標-

モル平均速度基準座標における２成分系を考える。成分Aのｚ方向のモル流束JAは一般に

dz

dpD

dz

TdD

dz

dCDJ pT

AABA

ln

濃度勾配 温度勾配Soret（ソレー）効果

圧力勾配

（Fickの法則,教科書p.119）

単位チェック

JA [mol/(m2s)]、DAB [m2/s]、 CA [mol/m3]、z[m]だから

[m2/s] [mol/m3]

[m]=[mol/(m2s)] でありモル流束の

単位と一致

相互拡散係数

（詳しくは非平衡熱力学の成書を参照）

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Fickの法則（2）Quiz

透過膜

減圧膜蒸留法：微量な有機成分Ａが溶解した水溶液を、高分子膜の片側に流し、もう一方を減圧すると、有機成分のみが膜を透過し、純水が得られる

1.透過膜厚みを3倍へ2.透過膜厚みを1/3倍へ3.膜両側の圧力差を3倍へ

出典：http://www.petrosepmembrane.com/mtech/w_is_vmd.htm

有機成分水

モル流束JA

Q. 透過モル流束を３倍に増加させる方法を示せ

dz

dCDJ A

ABA

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（常温）系 拡散係数[m2/s]

H2O-air 2.6×10-5

N2-CH3OH （３年実験）

水-CH3OH 1.3×10-9

高分子-溶剤 ～10-9 （希薄高分子溶液）

～10-14 （濃厚高分子溶液）

アルミニウム-銅 ～10-34

気相

液相

糸まり領域

絡み合い領域

Fickの法則（3)様々な物質の相互拡散係数

固相

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Fickの法則（３）-運動量輸送・熱伝導とのアナロジー-

運動量輸送

dz

dCDJ A

ABA

dz

dTkq

dz

dvxzx

粘度×速度勾配

熱伝導

熱伝導度×温度勾配

拡散

拡散係数×濃度勾配

３つの輸送操作が同じ数学的構造をもつことがわかる

Fick’s Law

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ミッション：

□ 質量平均速度とモル平均速度を質量分率とモル分率の関数として記述することができる□ 質量流束とモル流束を固定座標系および質量（モル）平均速度基準で記述することができる□ 濃度場のシェルバランスを取ることができる□ フィルム中への等モル相互拡散の濃度分布を求めることができる□ フィルム中への一方拡散の濃度分布を求めることができる□ 均一反応を伴う拡散の濃度分布を求めることができる□ 表面反応を伴う拡散の濃度分布を求めることができる□ 円柱面上における拡散の濃度分布を求めることができる□ 球面上における拡散の濃度分布を求めることができる□ 物質移動係数の物理的意味を述べることができる□ 等モル相互拡散および一方拡散の物質移動係数を記述することができる□ 異相界面を横切る質量流束を記述することができる□ 総括物質移動係数を用いて質量流束を記述することができる□ ガス吸収装置内の物質収支を取ることができる□ 設計条件を満たすガス吸収装置の高さを求めることができる□ 吸着装置内の物質収支を取ることができる□ 設計条件を満たす吸着装置の高さを求めることができる□ 膜分離装置内の物質収支を取ることができる□ 設計条件を満たす膜分離装置の長さを求めることができる□ 乾燥装置内の物質収支を取ることができる

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モル流束とFickの法則 -report１-

成分A,Bからなる２成分系を考える。 各成分のモル濃度をCA, CB、速度をvA,

vB 、モル分率をxA(=CA/(CA+CB))および xBとすれば、固定座標系における成分Aのモル流束はNA（＝CA vA）、モル平均速度はv=(CAvA+CBvB)/(CA+CB)、モル平均速度基準の成分Aと成分Bのモル流束はそれぞれJA＝CA (vA – v)、JB＝CB (vB – v)で定義される。ただし全モル濃度(CA+CB)は一定とする。[問１] モル流束JAおよびモル平均速度vの定義から、モル流束NA、JAの間に次式が成り立つことを示せ。

[問２]成分Ｂについても同様に が成り立つ。この式と問1の結果からモル流束の間に次式が成り立つことを示せ。

[問３]成分AについてFickの法則が成り立つと仮定すると式(3)が成り立つ。ただしDABは成分Bを含む混合物中の成分Aの相互拡散係数，zは拡散方向の座標である。

モル分率の定義から次式が成り立つことを示せ。

[問4]成分BについてもFickの法則が成り立つと仮定すると、JBについて式(4)

と同様の式が導かれる。これらと式(2)を用いると式(5)が成り立つこと、すなわち成分Bを含む混合物中の成分Aの拡散係数DABと、成分Aを含む混合物中の成分Bの拡散係数DBAは互いに等しいことを示せ。

氏名

)1()( BAAAA NNxNJ

)2(0 BA JJ

)( ABBBB NNxNJ

(3)AA AB

dCJ D

dz

)5(BAAB DD

2019

( ) (4)AA A B AB

dxJ C C D

dz