GEOMETR‹ 7

33

P‹RAM‹T

1. P‹RAM‹TLER‹N TANIMI2. DÜZGÜN P‹RAM‹T

a. Tan›mb. Düzgün Piramidin Özelikleri

3. P‹RAM‹D‹N ALANIa. Düzgün Olmayan Piramidin Alan›b. Düzgün Piramidin Alan›

4. P‹RAM‹D‹N HACM‹5. DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ

a. Tan›mb. Düzgün Dörtyüzlünün Özelikleric. Düzgün Dörtyüzlünün Yan Yüz Yüksekli¤iç. Düzgün Dörtyüzlünün Cisim Yüksekli¤id. Düzgün Dörtyüzlünün Alan›e. Düzgün Dörtyüzlünün Hacmi

6. DÜZGÜN SEK‹ZYÜZLÜa. Tan›mb. Düzgün Sekizyüzlünün Özelikleric. Düzgün Sekizyüzlünün Alan›ç. Düzgün Sekizyüzlünün Hacmi

7. KES‹K P‹RAM‹Ta. Tan›mb. Düzgün Kesik Piramit c. Düzgün Kesik Piramidin Özelikleriç. Düzgün Kesik Piramidin Alan›d. Kesik Piramidin Hacmi

8. ÇEfi‹TL‹ ÖRNEKLERÖZETALIfiTIRMALAR TEST II

ÜN‹TE II

GEOMETR‹ 7

34

* Örnek sorular› dikkatle okuyunuz. Kitaba bakmadan çözmeye çal›fl›n›z. * Bu konular ile ilgili Matematik kitaplar›ndan yararlan›n›z. * Konular› anlamadan bir baflka konuya geçmeyiniz. * Her bölümün sonunda verilen al›flt›rma ve de¤erlendirme sorular›n› çözünüz. * Test sorular› ile kendinizi deneyiniz. Baflar›s›z iseniz, baflar›s›z oldu¤unuz bölümleri

tekrar gözden geçiriniz.

Bu üniteyi çal›flt›¤›n›zda;

* Piramitlerin tan›m›n›, nas›l meydana geldi¤ini ve bunlar aras›ndaki iliflkiyi kavraya bilecek,* Düzgün piramidin tan›m›n› ve özeliklerini ö¤renebilecek,* Düzgün olmayan piramit ile düzgün piramidin alan›na ait teoremleri ve bu teoremlere

ait uygulamalar›n nas›l yap›ld›¤›n› kavrayabilecek,* Piramidin hacmine ait teoremi ve bu teoreme ait uygulamalar›n nas›l yap›ld›¤›n›

kavrayabilecek,* Düzgün dörtyüzlünün tan›m›n›, özeliklerini, bunlara ait uygulamalar›n nas›l

yap›ld›¤›n› kavrayabilecek,* Düzgün sekizyüzlünün tan›m›n›, özeliklerini, alan ve hacminin nas›l hesaplaya

bilece¤ini ve bunlara ait uygulamalar›n nas›l yap›ld›¤›n› kavrayabilecek,* Kesik piramidin tan›m›n›, özeliklerini alan ve hacminin nas›l bulunabilece¤ini ve

bunlara ait uygulamalar›n nas›l yap›ld›¤›n› ö¤renebileceksiniz.

BU ÜN‹TEN‹N AMAÇLARI☞

NASIL ÇALIfiMALIYIZ? ✍

GEOMETR‹ 7

35

ÜN‹TE IIP‹RAM‹T

1. P‹RAM‹TLER‹N TANIMIBir ABCDE düzlemsel çokgen ve bu çokgensel bölgenin içinde bulundu¤u

P düzleminin d›fl›ndaki sabit bir T noktas› ile, ABCDE çokgensel bölgenin kenarlar›üzerindeki noktalardan geçen do¤rular›n oluflturdu¤u yüzeye piramidal yüzey , çokgenselbölgenin s›n›rlad›¤› cisme de, piramit denir.

(fiekil 2.1) de, ABCDE çokgensel böl-geye piramidin taban›, T noktas›na piramidintepe noktas› denir.

[TA], [TB], [TC], [TD], [TE] do¤ru parçalar›na piramidin yan ayr›tlar›, TAB, TBC,TCD, TDE, TEA üçgensel bölgelerine de, piramidin yan yüzleri denir.

T tepe noktas›ndan, P taban düzlemine indirilen [TH] dikmeye piramidin yüksekli¤i,bir yan yüzdeki üçgenin tepe noktas›ndan kendi taban ayr›t›na ait [TF] yüksekli¤ine, buyan yüze ait yüksekli¤i denir.

Düzgün olmayan piramitlerde, yan ayr›tlar›n›n uzunluklar› eflit de¤ildir. Ayn›zamanda da taban› düzgün çokgen de¤ildir.

Piramitler taban›n› oluflturan çokgenin kenar say›s›na göre adland›r›l›r. Üçgen piramit,dörtgen piramit, beflgen piramit gibi. Piramidin tepe noktas› T ve tabandaki çokgenABCDE ise, (T, ABCDE) fleklinde ifade edilir.

fiekil 2.1

❂

❂

❂

❂

GEOMETR‹ 7

36

2. DÜZGÜN P‹RAM‹Ta. Tan›mTaban› düzgün çokgen olan ve yükseklik aya¤› taban merkezinde bulunan

piramide, düzgün piramit denir.

(fiekil 2.2) de, bir düzgün alt›gen piramit görülmektedir.

b. Düzgün Piramidin Özelikleri1. Bir düzgün piramidin yan yüzleri birbirine efl, ikizkenar üçgenlerden oluflur.2. Bir düzgün piramidin yan ayr›t-lar›n›n uzunluklar› eflittir.3. Bir düzgün piramitte, yan yüz yüksekliklerinin uzunluklar› eflittir. Buna düzgün

piramidin apotemi denir.4. Bir düzgün piramidin taban› düzgün çokgen oldu¤undan, taban›n çevrel ve iç te¤et

çemberleri vard›r.

ÖRNEK 2.1

ÇÖZÜM(fiekil 2.3) deki bir düzgün alt›gen piramitin taban› düzgün alt›gen oldu¤undan,

HCD üçgeni eflkenard›r.

Bir düzgün alt›gen piramidin taban ayr›t›n›n uzunlu¤u 2 3 cm ve yan yüz yüksekli¤i

5 cm oldu¤una göre, bu piramidin yüksekli¤ini bulal›m.

fiekil 2.2

❂

❂

GEOMETR‹ 7

37

3. P‹RAM‹D‹N ALANIa. Düzgün Olmayan Piramidin Alan›Bir piramit düzgün piramit de¤ilse, yan yüzleri farkl› üçgenler olaca¤›ndan, yan

yüzlere ait yükseklikler de farkl› olacakt›r. Piramidin tüm alan›n› bulmak için, her yanyüzün alan› ayr› ayr› hesaplan›r. Taban alan› da hesaplanarak piramidin tüm alan›bulunur.

O halde, düzgün olmayan bir piramidin tüm alan›, taban alan› ile yanal alan›n›ntoplam›na eflittir.

Taban alan› G ve yanal alan› Y olan piramidin tüm alan›, S = G+Y dir.

bu üçgenin yüksekli¤i, HG = a 32

= 2 3 . 32

= 3 cm dir.

TH ⊥ HG oldu¤undan, THG üçgeni bir dik üçgendir.

Bu dik üçgende pisagor teoremine göre, TH 2 = TG 2 - HG 2 dir.

Verilen de¤erler yerine uygulan›rsa,

TH 2 = 52- 32 = 25-9 = 16 ise, TH = 4 cm dir.

Piramidin yüksekli¤i: h = TH = 4 cm olur.

Eflkenar üçgenin bir kenar›n›n uzunlu¤u a = 2 3 cm oldu¤undan,

Piramidin yan yüz yüksekli¤i TG = 5 cm dir.

fiekil 2.3

GEOMETR‹ 7

38

ÖRNEK 2.2Taban› kare olan bir piramidin tepesi, karenin bir köflesinden kare düzlemine

ç›k›lan dikme üzerindedir. Karenin bir kenar›n›n uzunlu¤u 12 cm, piramidin yüksekli¤i5 cm oldu¤una göre, bu piramidin tüm alan›n› bulal›m.

ÇÖZÜM( T, ABCD) kare piramidinde taban›n bir kenar›n›n uzunlu¤u a = 12 cm ve yüksekli¤i

|TD| = 5 cm dir. Piramidin her yanal yüzünün dik üçgen oldu¤u, (fiekil 2, 4) degörülmektedir.

Bir dik üçgenlerde, dik kenar uzunluklar› eflit olan üçgenlerin alanlar› da eflitolaca¤›ndan,

TDC dik üçgeninde pisagor teoremine göre,

TC 2 =TD 2 + DC 2 ifadesinde, de¤erler yerlerine yaz›l›rsa,

TC 2 = 52 + 122 = 25+144 = 169 ise, TC = 13 cm dir.

Buna göre, kare piramidin;

Yanal alan: Y = 5 . 122

+ 12 . 132

+ 12 . 132

+ 5 . 122

Y = 30+78+78+30 = 216 cm 2 dir.

Tüm alan› : S = G+Y = 144+216 = 360 cm 2 olur.

Taban alan›: G = a2 = 122 = 144 cm2 dir.

fiekil 2.4

Δ Δ Δ Δ A(TAD) = A (TDC) ve A(TAB) = A(TBC) dir.

GEOMETR‹ 7

39

b. Düzgün Piramidin Alan›Teorem: Düzgün piramidin yanal alan›, taban çevresi ile yan yüz yüksekli¤inin

çarp›m›n›n yar›s›na eflittir.

‹ s p a t : (fiekil 2. 5) de, düzgün bir kare piramit, (fiekil 2. 6) da, düzgün kare piramidinaç›k flekli görülmektedir.

( T, ABCD) piramidinin yanal alan› Y, taban ayr›t›n›n uzunlu¤u a, yan yüz yüksekli¤ih′ ve taban çevresi Ç olsun. Yan yüzler dört tane efl ikizkenar üçgenlerdir.

Ç = 4a oldu¤undan, düzgün kare piramidin yanal alan›,

fiekil 2.5

fiekil 2.6

Y = 4 a.h ′2

= 4a . h′2

= 12

Ç . h′ olur.

GEOMETR‹ 7

40

Bu teoreme göre, afla¤›daki ifadeleri söyleyebiliriz.1. Bir düzgün piramidin tüm alan›, taban alan› ile yanal alan›n toplam›na eflittir.

S = G+Y dir.

2. Bir düzgün piramidin taban çevresi ile yan yüz yüksekli¤inin çarp›m› yanal alan›n iki kat›na eflittir. 2Y = Ç . h′

3. Bir düzgün piramidin taban›ndaki düzgün çokgen n kenarl› ise, yanal alan›, taban çevresi ile, yan yüz yüksekli¤inin çarp›m›n›n yar›s›na eflittir.

ÖRNEK 2. 3Taban›n bir kenar›n›n uzunlu¤u 10 cm ve yüksekli¤i 12 cm olan, düzgün kare

piramidin tüm alan›n› bulal›m.

Y = n ah ′2

= na . h′2

= 12

Ç . h′

fiekil 2.7

ÇÖZÜMVerilen düzgün kare piramidin taban›n bir kenar uzunlu¤u a =10 cm ve yüksekli¤i

h = 12 cm dir.

h′ = [TE] yan yüksekli¤ini bulmak için,

THE dik üçgeninde pisagor teoremine göre,

(fiekil 2. 7) deki düzgün kare piramitte, [TH] ^ [HE] ve |HE| = AB2

dir.

GEOMETR‹ 7

41

TE2 = TH2 + HE 2 ifadesinden,

TE2= 122 + 52 = 144 + 25 = 169 ise, TE = 13 cm dir.

Düzgün kare piramidin; Taban çevresi : Ç = 4 . a = 4 . 10 = 40 cm dir.

Yanal alan : Y = Ç . h′

2 = 40 . 13

2 = 520

2 = 260 cm2 dir.

Taban alan›: G = a2 = 102 = 100 cm2 dir.

Tüm alan›: A = G + Y = 100 + 260 = 360 cm2 olur.

4. P‹RAM‹D‹N HACM‹Teorem: Bir piramidin hacmi, taban alan› ile yüksekli¤inin çarp›m›n›n üçte birine

eflittir.

‹spat: (T, ABC) piramidin taban› ABC üçgeni olsun. Piramidin, Taban alan› G veyüksekil¤i h olsun. Bu piramidi, ayn› taban ve yükseklikte olan prizmaya tamamlayal›m(fiekil 2. 8).

fiekil 2.8

ABC ve ETD tabanlar› efl ve yükseklikleri de ayn› oldu¤undan elde edilen prizma,(A, TDE), (T, ABC), (C, ETD) efl hacimli piramitlerden oluflmaktad›r.

O halde, (T, ABC) piramidin hacmi, üçgen prizman›n hacminin üçte birine eflit olur.

V = 13

G . h d›r.

GEOMETR‹ 7

42

V = 13

G . h d›r.

Piramidin hacmi: V = 13

G . h = 13

36 . 8 = 12 . 8 = 96 cm3 olur.

Bu teoreme göre, afla¤›daki ifadeleri söyleyebiliriz.1. Piramidin taban› herhangi bir çokgen olsun. Bu durumlarda da bütün piramitlerin

hacimleri, taban alan› ile yüksekli¤in çarp›m›n›n üçte birine eflittir.

2. Taban alanlar› ve yükseklikleri eflit olan piramitlerin hacimleri de eflittir.

ÖRNEK 2. 4Taban ayr›t›n›n uzunlu¤u 6 cm ve yüksekli¤i 8 cm olan kare dik piramidin hacmini

bulal›m.

ÇÖZÜMVerilen kare dik piramitte taban ayr›t›n›n uzunlu¤u a = 6 cm ve yüksekli¤i h = 8 cm

oldu¤undan,

Piramidin taban alan›: G = a2 = 62 = 36 cm2 dir.

5. DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜa. Tan›mBütün ayr›t› da ayn› uzunlukta olan üçgen piramide, düzgün dörtyüzlü denir.Bir düzgün dörtyüzlünün istedi¤imiz yüzeyini taban olarak ald›¤›m›zda, yine ayn›

düzgün dörtyüzlü olur (fiekil 2.9).

fiekil 2.9

❂

GEOMETR‹ 7

43

b. Düzgün Döryüzlünün Özelikleri1. Düzgün dörtyüzlünün bütün yüzleri birbirine efl olan, eflkenar üçgenlerdir.2. Düzgün dörtyüzlünün yükseklik aya¤›, tabandaki eflkenar üçgenin a¤›rl›k merkezidir.

c. Düzgün Dörtyüzlünün Yan Yüz Yüksekli¤i

(fiekil 2.10) da, bir düzgün dörtyüzlünün bütün yüzleri eflkenar üçgen oldu¤undan,

Bir kenar›n›n uzunlu¤u a birim olan bir eflkenar üçgenin yüksekli¤i, h = a 32

br dir.

yan yüz yüsekli¤i, AE = h′ = a 32

birim olur.

ç. Düzgün Dörtyüzlünün Cisim Yüksekli¤iDüzgün dörtyüzlünün taban› BCD eflkenar üçgeni olsun. H noktas› hem BCD

eflkenar üçgenin a¤›rl›k merkezi, hem de cisim yüksekli¤linin aya¤›d›r (fiekil 2.10)

fiekil 2.10

Buna göre, EH = 13

DE = 13

a 32

= a 36

br dir.

AEH dik üçgeninde pisagor teoremine göre,

AH 2 = AE 2 - EH 2 oldu¤undan, AH 2 = a 32

2 - a 3

6

2 ;

AH 2 = 3a2

49

- 3a2

36 = 27a2

36 - 3a2

36 = 24a2

36 = 2a2

3 ise,

AH = h = 2 a3

= a 6 3

birim olur.

GEOMETR‹ 7

44

S = 8. a2 3 4

= 2 . a2 3 = 2 3 a2 birimkaredir.

olaca¤›ndan, düzgün dörtyüzlünün hacmi;

V = 13

G. h ifadesinden , V = 13

a2 34

. a 63

= 13

. a3 1812

Bu ifadeyi sadelefltirirsek, V = a3. 3 23 . 12

= a3 212

birimküp olur.

d. Düzgün Dörtyüzlünün Alan› Bir düzgün dörtyüzlünün alan›, dört eflkenar üçgenin alanlar› toplam›na eflit olaca¤›ndan,

e. Düzgün Dörtyüzlünün HacmiBir piramidin hacmi, taban›n›n alan› ile yüksekli¤inin çarp›m›n›n üçte birine eflit

ÖRNEK 2. 5Bir ayr›t›n›n uzunlu¤u 6 cm olan düzgün dörtyüzlünün,a. Yan yüz yüksekli¤ini,b. Cisim yüksekli¤ini,c. Alan›n›,ç. Hacmini bulal›m.

ÇÖZÜM Bir ayr›t›n›n uzunlu¤u, a = 6 cm dir. Verilen düzgün dörtyüzlünün,

6. DÜZGÜN SEK‹ZYÜZLÜ a. Tan›m Bütün ayr›tlar›n›n uzunluklar› a birim olan iki kare piramidin tabanlar›n›n

birleflmesi ile oluflan cisme, düzgün sekizyüzlü denir (fiekil 2.11).

a . Yan yüz yüksekli¤i: h ′ = a 32

ifadesinden, h′ = 6 32

= 3 3 cm dir.

b. Cisim yüksekli¤i: h = a 63

ifadesinden, h = 6 63

= 2 6 cm dir.

c. Alan›: S = a2 3 ifadesinden, S = 62 3 = 36 3 cm2 dir.

ç. Hacmi: V = a3 212

ifadesinden, V = 63 212

= 216 212

= 18 3 cm3 dür.

❂

GEOMETR‹ 7

45

fiekil 2.11

b. Düzgün Sekizyüzlünün Özelikleri1. Düzgün sekizyüzlünün tüm yüzleri, birbirine efl olan eflkenar üçgenlerdir.2. Düzgün sekizyüzlünün sekiz tane yan yüzü vard›r.3. Düzgün sekizyüzlünün birbirine eflit ve ikifler ikifler dik olan üç köflegeni vard›r.4. Köflegenler birbirini orta noktalar›nda keser. Bu H noktas›na, düzgün sekizyüzlünün

merkezi denir.

c. Düzgün Sekizyüzlünün Alan›Tüm ayr›tlar›n›n uzunluklar› a birim olan düzgün sekizyüzlünün alan›, bir

kenar›n›n uzunlu¤u a birim olan sekiz tane eflkenar üçgenden oluflur. Bu alan› bulmak için,

ÖRNEK 2. 6Bir ayr›t›n›n uzunlu¤u 5 cm olan düzgün sekizyüzlünün alan›n› bulal›m.

ÇÖZÜM Bir ayr›t›n›n uzunlu¤u, a = 5 cm dir.Düzgün sekizyüzlünün alan›:

S = 8. a2 3 4

= 2 . a2 3 = 2 3 a2 birimkaredir.

S = 2 3a2 ifadesinden,

S = 2 3. 52 = 50 3 cm2 olur.

❂

GEOMETR‹ 7

46

ç. Düzgün Sekizyüzlünün HacmiDüzgün sekizyüzlünün hacmi, taban› ABCD kare ve tepesi T noktas› olan

piramidin, hacminin iki kat›d›r (fiekil 2.11).

(T, ABCD) piramidin hacmi :

V1 = 13

G . h ifadesinden,

V1 = 13

a2. 2 a2

= 2 a3

6 birimküptür.

Düzgün sekizyüzlünün hacmi: V = 2 V1 = 2 2 a3

6 = 2 a3

3 birimküptür.

V = 2 a3

3 ifadesinden,

V = 2 93

3 = 729 2

3 = 243 2 cm3 olur.

fiekil 2.11

ÖRNEK 2. 7Bir ayr›t›n›n uzunlu¤u 9 cm olan düzgün sekizyüzlünün hacmini bulal›m.

ÇÖZÜM Verilen düzgün sekizyüzlünün bir ayr›t›n›n uzunlu¤u, a = 9 cm d›r.Düzgün sekizyüzlünün hacmi:

GEOMETR‹ 7

47

fiekil 2.12

❂

❂

7. KES‹K P‹RAM‹Ta. Tan›mBir piramit taban›na paralel bir düzlemle kesilirse, kesit düzlemi ile piramidin

taban› aras›nda kalan cisme, kesik piramit denir.

(fiekil 2.12) deki piramidin taban› olan ABCD çokgenine, kesik piramidin alttaban›, kesit düzlemle ara kesiti olan A′B′C′D′ çokgenine, kesik piramidin üsttaban›d›r. Alt tabanla üst taban, birbirine benzer olan çokgenlerdir. Kesik piramidin ikitaban aras›ndaki |HH′| uzakl›¤›na, kesik piramidin yüksekli¤i denir. [AA′], [BB′],[CC′], [DD′] do¤ru parçalar›na yan ayr›tlar›, yan yüzlerdeki yamuklara, yan yüzler vebu yamuklar›n yüksekli¤ine de, yan yüz yüksekli¤i denir.

b. Düzgün Kesik PiramitDüzgün bir piramidin taban›na paralel bir düzlemle kesilmesinden elde edilen

kesik piramide, düzgün kesik piramit denir.

c. Düzgün Kesik Piramidin Özelikleri1. Düzgün kesik piramitte, alt tabanla üst taban, kenar say›lar› ayn› olan benzer iki

düzgün çokgendir.2. Düzgün kesik piramitte, yan yüzler birbirine efl olan ikizkenar yamuklard›r.3. Düzgün kesik piramitte, yan yüz yüksekliklerinin uzunluklar› birbirine eflittir.4. Düzgün kesik piramitte, tabanlar›n a¤›rl›k merkezlerini birlefltiren do¤ru parças›

tabanlara diktir. Uzunlu¤u kesik piramidin yüksekli¤ine eflittir.

GEOMETR‹ 7

48

‹spat: Düzgün kesik piramitte, tabanlar› düzgün çokgen ve yan yüzler, birbirine eflolan ikizkenar yamuktur. Düzgün kesik piramidin alt taban ayr›t›n›n uzunlu¤u a birim,üst taban ayr›t›n›n uzunlu¤u a′ birim ve yan yüzü olan ikizkenar yamu¤un yüksekli¤i h′birim olsun (fiekil 2. 13).

Bu yamu¤un alt taban çevresi Ç birim, üst taban çevresi Ç′ birim olsun. Taban›nkenar uzunluklar› eflit ve n tane efl olan kesik piramitte, n tane ikizkenar yamukolaca¤›ndan, düzgün kesik piramidin yanal alan›,

Bu teoreme göre, afla¤›daki ifadeleri söyleyebiliriz:1. Bir düzgün kesik piramidin tüm alan›, yanal alan› ile alt ve üst taban alanlar›n›n

toplam›na eflittir.

fiekil 2.13

ç. Düzgün Kesik Piramidin Alan›Teorem: Bir düzgün kesik piramidin yanal alan›, alt ve üst tabanlar›n›n çevreleri

toplam›n›n yar›s› ile, yan yüz yüksekli¤inin çarp›m›na eflittir.

Y = n a + a ′

2 h′ = 1

2 na + na ′ h′ = 1

2 Ç + Ç′ h′ olur.

GEOMETR‹ 7

49

Bir düzgün kesik piramidin alt taban alan› G br2, üst taban alan› G′ br2, yanal alan›Y br2 ve tüm alan› S br2 ise, S = G + G′ + Y dir.

2. Taban alan› G olan bir piramidin herhangi bir taban›na paralel enine kesitininalan› G′ olsun. Piramidin yüksekli¤i h ve enine kesitin tepeden uzakl›¤› h′ ise,

3. ‹ki piramidin tabanlar›n›n alanlar› ve yükseklikleri eflit ise, bu piramitlerin tepe-den eflit uzakl›kta bulunan enine kesitlerinin alanlar› da eflittir.

4. Taban› n gen olan düzgün kesik piramitte, yan yüzleri birbirine efl n tane ikizke-nar yamuk vard›r.

ÖRNEK 2.8 Bir kare düzgün kesik piramidin, alt taban›n›n bir kenar›n›n uzunlu¤u 8 cm, üst

taban›n›n bir kenar›n›n uzunlu¤u 6 cm ve yan yüz yüksekli¤i, 12 cm dir. Bu kesikpiramidin yanal alan›n› ve tüm alan›n› bulal›m.

ÇÖZÜM Verilen kare düzgün kesik piramidin taban kenarlar›n›n uzunluklar›,

a =8 cm, a′ = 6 cm ve yan yüz yüksekli¤i h′ = 12 cm dir. Bu kare düzgün kesikpiramidin yanal alan›n› bulmak için, önce alt ve üst taban çevrelerini bulal›m.

Kare düzgün kesik piramidin;

Alt taban çevresi: Ç = 4. a ifadesinden, Ç = 4. 8 = 32 cm dir.

Üst taban çevresi: Ç′ = 4. a′ ifadesinden, Ç = 4. 6 = 24 cm dir.

Alt taban›n alan›: G = a2 ifadesinden, G = 82 = 64 cm2 dir.

Üst taban›n alan›: G = (a′)2 ifadesinden, G = 62 = 36 cm2 dir.

Tüm alan: S = Y + G + G′ ifadesinden, S = 336 + 64 + 36 = 436 cm2 olur.

d. Kesik Piramidin HacmiTeorem: Taban alanlar› G ve G′ yüksekli¤i h olan bir kesik piramidin hacmi:

hh′

2 = G

G′ dir.

Yanal alan: Y = 12

Ç + Ç′ . h′ ifadesinden,

Y = 12

32 + 24 . 12 = 562

. 12 = 28 . 12 = 336 cm2 olur.

GEOMETR‹ 7

50

‹spat: Kesik piramidin yüksekli¤i h, alt taban› G ve üst taban› G′ dür.

(T, DEF) piramidin yüksekli¤i h′, (T, ABC) piramidin yüksekli¤i h + h′ olsun.,

(fiekil 2.14) deki kesik piramidin hacmi, (T, ABC) ve (T, DEF) piramitlerininhacimleri fark›na eflittir. Buna göre,

Bu teoreme göre, afla¤›daki ifadeleri söyleyebiliriz:1. Verilen bir piramit, tabana paralel bir düzlemle kesilirse, elde edilen küçük

piramit ile kendisinin hacimleri oran›, yüksekliklerinin oran›n›n küpüne eflittir.

V = h3

G + G ′ + G . G ′ dür.

fiekil 2.14

V = G . h + h′

3 -

G′h′3

= Gh + Gh ′ - G ′h′

3 =

Gh + G - G′ h′ 3

dür. (1)

DEF ≈ ABC oldu¤undan, G′G

= h′ 2

h +h′ 2 dir.

Her iki taraf›n karekökünü al›rsak,

GEOMETR‹ 7

51

2. Herhangi bir piramit, taban›na paralel eflit aral›kl› paralel düzlemlerle kesilsin.Üstte kalan küçük piramidin hacmi V ise, kesik piramitlerin hacimleri s›ras›yla, 7V,19V, 37V, 61V, ... dir.

3. Bir kesik piramitin, alt taban›n kenar uzunlu¤u a, alan› G ve üst taban›nkenar uzunlu¤u a′, alan› G′ olsun. Bu taban kenarlar›n›n uzunluklar›n›n oran›

G′G

= h′

h +h′ Buradan, h ′ . G = h G′ + h′ G′,

h′ G - h′ G′ = h G′ ; h′ G - G′ = h G′ ise,

h′ = h G′

G - G′ olur. Bu de¤er (1) eflitli¤inde yerine yaz›l›rsa,

V =

Gh + G - G ′ h G′

G - G′3

= 13

Gh + G - G ′ h G′

G - G′ ;

V = h3

G + G + G′ . G′ = h3

G + G ′ + G.G′ olur.

V1V2

= h1h2

3 dir.

G′G

= k2 oldu¤undan, G ′ = G . k2 dir.

V = h3 G + G ′ + GG ′ ifadesinde G ′ de¤eri yerine yaz›l›rsa,

V = h3

G + G .k2 + G . G . k2 = h3

G + G . k2 + Gk dir.

Bunu da düzenlersek,

V = G . h3

1 + k + k2 olur.

a′a = k ise, a′ 2

a2 = k2 dir. Bunu da taban alanlar› cinsinden yazarsak,

GEOMETR‹ 7

52

ÖRNEK 2. 9 Yüksekli¤i 15 cm olan bir piramit, tepeden 5 cm uzakl›kta, tabana paralel bir

düzlemle kesiliyor. Kesit alan› 30 cm2 oldu¤una göre, bu kesik piramidin hacminibulal›m.

ÇÖZÜMVerilen piramidin yüksekli¤i h = 15 cm ve h′ = 5 cm dir. Kesitin alan› G′ = 30 cm2

oldu¤una göre, önce bu piramidin taban alan›n› bulal›m.

Bir piramitte, tabana paralel kesit alan›n›n, taban alan›na oran›, tepenin bu düzlem-lere olan uzakl›klar›n›n karelerinin oran›na eflittir.

Buna göre,

8. ÇEfi‹TL‹ ÖRNEKLERÖRNEK 2. 10Taban çevresi 48 cm ve yan yüz yüksekli¤i 10 cm olan kare dik piramidin yanal

alan›n›, tüm alan›n› ve hacmini bulal›m.

30G = 5

152 ; 30

G = 25

225 ; 30

G = 1

9 Buradan,

G = 30 . 9 = 270 cm2 olarak bulunur. Kesik piramidin yüksekli¤i: h = 15 - 5 = 10 cm dir.

Kesik piramidin hacmi: V = h3

G + G ′ + G . G′ ifadesinden,

V = 103

270 + 30 + 270 . 30 = 103

270 + 30 + 8100 ,

V = 103

270 + 30 + 90 = 39003 = 1300 cm3 olur.

G′G

= h′h

2 oldu¤undan,

fiekil 2.15

GEOMETR‹ 7

53

ÇÖZÜMVerilen kare dik piramidin taban çevresi Ç = 48 cm ve yan yüz yüksekli¤i l = 10

cm dir. Taban›n bir kenar uzunlu¤u a ise, Ç = 4. a ifadesinden, 48 = 4. a oldu¤undan,a = 12 cm dir.

(fiekil 2.15) de, H. noktas› karenin a¤›rl›k merkezi oldu¤undan,

Kare dik piramidin yan yüz yüksekli¤i l = |TE| = 10 cm olarak veriliyor.THE dik üçgeninde pisagor teoremine göre,

ÖRNEK 2. 11Taban›n bir kenar›n›n uzunlu¤u 24 cm olan kare dik piramidin yan yüz yüksekli¤i

13 cm dir. Bu piramidin tepesinden 3 cm uzakl›kta, taban›na paralel bir düzlemle kesili yor.Elde edilen kesitin alan›n› bulal›m.

ÇÖZÜMVerilen kare dik piramidin taban›n›n bir kenar›n›n uzunlu¤u a = 24 cm yan yüz

yüksekli¤i l = 13 cm ve h′ = 3 cm dir.

HE = a2

= 242

= 12 cm dir.

TH2 = TE2 - HE 2 ifadesinden,

TH2 = 102 - 62 = 100 - 36 = 64 ise, TH = 8 cm dir.

Böylece, kare dik piramidin yüksekli¤i : TH = h = 8 cm dir. Kare dik piramidin;

Yanal alan›: Y= Ç. l2

ifadesinden, Y = 48 . 102

= 240 cm2 dir.

Taban alan›: G = a2 ifadesinden, G = 122 = 144 cm2 dir.

Tüm alan›: S = Y + G ifadesinden, G = 240 + 144 = 384 cm2 dir.

Hacmi: V = G. h3

ifadesinden, V = 144 . 83

= 11523

= 384 cm3 olur.

GEOMETR‹ 7

54

(fiekil 2. 16) da, H noktas› karenin a¤›rl›k merkezidir. Buna göre,

Kare dik piramidin yanal yüksekli¤i, l = |TE| = 13 cm olarak veriliyor.

THE dik üçgeninde pisagor teoremine göre,

Kare dik primadin taban›n›n alan›: G = a2 ifadesinden,

G = 242 = 576 cm2 dir.

fiekil 2.16

HE = a2

= 242

= 12 cm dir.

TH2 = TE2- HE 2 ifadesinden,

TH2 = 132 - 122 = 169 - 144 = 25 ise,

TH = 5cm dir. Böylece kare dik piramidin yüksekli¤i TH = h = 5 cm dir.

Kesitin alan› G ′ ise, G′G

= h′ 2

h2 ifadesinden,

G′576

= 32

52 ;

G′576

= 925

;

G′ = 576 . 925

= 518425

= 207,36 cm2 olur.

GEOMETR‹ 7

55

ÖRNEK 2.12Taban› kare olan bir düzgün piramidin, taban kenar uzunlu¤u 6 cm ve yüksekli¤i 4

cm dir. Bu piramidin tüm alan› ve hacmini bulal›m. Aç›n›m›n› çizelim.

ÇÖZÜM Bir kenar uzunlu¤u a = 6 cm olan ABCD karesinin merkezi H olsun. H noktas›ndan

kare düzlemine ç›k›lan dikme üzerinde |HT| = 4 cm alal›m. Böylece istenilen (T, A B C D )piramidini elde etmifl oluruz (fiekil 2.17).

[BC] nin ortas› E noktas› olsun. TBC ikizkenar üçgen oldu¤undan, [BC] ^ [TE] dir.

fiekil 2.17

HE = AB2

= 62

= 3 cm ve TH = h = 4 cm dir.

THE dik üçgeninde pisagor teoremine göre,

TE 2 = TH 2 + HE 2 ifadesinden,

TE 2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25 ise,

TE= 5 dir.

Böylece yanal yükseklik TE = l = 5 cm dir.

Düzgün kare piramidin;

Taban çevresi : Ç = 4. a ifadesinden, Ç = 4. 6 = 24 cm dir.

Yanal alan›: Y = Ç . l 2

ifadesinden, Y = 24 . 52

= 1202

= 60 cm2 dir.

Taban alan›: G = a2 ifadesinden G = 62 = 36 cm2 dir.

Tüm alan›: S = Y + G ifadesinden, S= 60 + 36 = 96 cm2 dir.

Hacmi: V = G . h3

ifadesinden V = 36 . 43

= 12 . 4 = 48 cm3 olur.

GEOMETR‹ 7

56

fiimdi de düzgün kare piramidin aç›k fleklini çizelim.

(T, ABCD) düzgün kare piramidini çizmek için, önce bir kenar uzunlu¤u 6 cm olanABCD karesi çizilir. Bu karenin kenarlar› üzerine yüksekli¤i 5 cm olan dört tane ikizkenarüçgenler çizilir. Böylece, düzgün kare piramidin aç›k flekli çizilmifl olur (fiekil 2. 18).

ÖRNEK 2. 13 Bir eflkenar üçgen dik piramidin taban›n›n bir kenar›n›n uzunlu¤u 12 cm ve yan

yüz yüksekli¤inin, piramidin yüksekli¤i ile yapt›¤› aç›n›n ölçüsü , 45° dir. Bu piramidintüm alan› ve hacmini bulal›m.

ÇÖZÜM Taban›n›n bir kenar›n›n uzunlu¤u a = 12 cm olan üçgen dik piramit (T, ABC)

olsun. (fiekil 2.19).

fiekil 2.18

fiekil 2.19

GEOMETR‹ 7

57

Burada |TH| = h piramidin yüksekli¤i, |TD| = l yan yüz yüksekliktir. H noktas›

ABC üçgenin a¤›rl›k merkezidir.

ABC üçgeninde, [AD] kenarortay ayn› zamanda üçgenin yüksekli¤i oldu¤undan,

ÖRNEK 2. 14 Bir düzgün dörtyüzlünün tüm alan›

Bu düzgün dörtyüzlünün hacmini bulal›m.

ÇÖZÜMVerilen düzgün dörtyüzlünün tüm alan›

Hacmini bulmak için, önce düzgün dörtyüzlünün bir ayr›t›n›n uzunlu¤unu bulal›m.

Bir düzgün dörtyüzlünün tüm alan›,

AD = a 32

ifadesinden, AD = 12 32

= 6 3 cm dir.

HD = 13

AD oldu¤undan, HD = 13

6 3 = 2 3 cm dir.

THD diküçgeninde, s HTD = 45° oldu¤undan, THD üçgeni ikizkenar dik üçgendir.

TH = HD = 2 3 cm dir.

THD dik üçgeninde pisagor teoremine göre,

TD 2 = TH2 + HD 2 ifadesinden, TD2 = 2 3 2 + 2 3 2 ;

TD2 = 12 + 12 = 24 ise, TD = 24 = 2 6 cm dir.

Eflkenar üçgen dik piramidin;

Taban çevresi : Ç = 3. a ifadesinden, Ç = 3. 12 = 36 cm dir.

Taban›n alan› : G = a2 34

ifadesinden, G = 122 34

= 144 34

= 36 3 cm2 dir.

Yanal alan : Y = Ç. l 2

ifadesinden, Y = 36 . 2 62

= 72 62

= 36 6 cm2 dir.

Tüm alan : S = Y + G ifadesinden, S = 36 6 + 36 3 = 36 6 + 3 cm2 dir.

Hacmi : V = G . h3

ifadesinden,

V = 36 3 . 2 63

= 72 3 . 63

= 24 18 = 72 2 cm3 olur.

18 3 cm2 dir.

S = a2 3 ifadesinden,

18 3 cm2 dir.

GEOMETR‹ 7

58

ÖRNEK 2. 15

ÇÖZÜM

ÖRNEK 2. 16Bir ayr›t›n›n uzunlu¤u 12 cm olan düzgün sekizyüzlünün alan›n› ve hacmini

bulal›m.

ÇÖZÜMVerilen düzgün sekizyüzlünün bir ayr›t›n›n uzunlu¤u a = 12 cm dir.

18 3 = a2 3 ; a2 = 18 ise, a= 3 2 cm dir.

Düzgün dörtyüzlünün hacmi: V = a3 212

ifadesinden,

V = 3 2 3 212

= 27 . 2 . 2 . 212

= 10812

= 9 cm3 olur.

Taban alan› 6 3cm2 olan düzgün dörtyüzlünün tüm alan›n› ve hacmini bulal›m.

Verilen düzgün dörtyüzlünün taban alan› G = 6 3 cm2 dir.

Düzgün dörtyüzlünün, taban› eflkenar üçgen oldu¤undan,

Taban alan›, G = a2 34

ifadesinden,

6 3 = a2 34

; a2 = 24 ise, a= 2 6 cm dir.

Böylece, düzgün dörtyüzlünün bir kenar›n›n uzunlu¤u, a = 2 6 cm dir.

Düzgün dörtyüzlünün dört yüzü de birbirine eflit oldu¤undan,

Tüm alan› : S = 4 . 6 3 = 24 3 cm2 dir.

Hacmi : V = a3 212

ifadesinden, V = 2 6 3 . 212

= 48 6 212

V = 48 1212

= 96 312

= 8 3 cm3 olur.

Düzgün sekizyüzlünün;

Alan› : S = 2 3 a2 ifadesinden, S = 2 3 12 2 = 2 3 . 144 = 288 3cm2 dir.

Hacmi: V = 23

a3 ifadesinden, V = 23

12 3 = 23

. 1728 = 576 2cm3 olur.

GEOMETR‹ 7

59

ÖRNEK 2. 17

Bir piramidin taban alan› 27 cm2, yanal alan› 90 cm2 ve yüksekli¤i 12 cm dir.Yüksekli¤i tepeden 4 cm uzakl›kta tabana paralel bir düzlemle kesildi¤inde, elde edilenkesik piramidin tüm alan›n› bulal›m.

ÇÖZÜMVerilen bir piramidin taban alan› G = 27 cm2, yanal alan› Y = 90 cm2, yüksekli¤i

h = 12 cm ve h′ = 4 cm dir.

(fiekil 2.20) de, ABC üçgeni DEF üçgenine bezerdir.

Benzerlik oran›, h′h

= 412

= 13

= k dır.

A DEF

A ABC = k2 oldu¤undan, A DEF

27 = 1

9 ,

G′ = A DEF = 279

= 3 cm2 dir.

Üsteki küçük piramidin yanal alan› Y ′ olsun

Y′Y

= k2 oldu¤undan, Y′90

= 19

; Y′ = 909

= 10 cm2 dir.

Kesik piramidin yanal alan›: Y - Y ′ = 90 - 10 = 80 cm2 dir.

Kesik piramidin tüm alan›: S = G + G ′ + Y - Y ′ ifadesinden,

S = 27 + 3 + 80 = 110 cm2 olur.

fiekil 2.20

GEOMETR‹ 7

60

ÖRNEK 2. 18Alt taban ayr›t›n›n uzunlu¤u 8 cm, üst taban ayr›t›n›n uzunlu¤u 5 cm olan düzgün

kesik kare piramidin yüksekli¤i 12 cm dir. Bu düzgün kesik kare piramidin hacminibulal›m.

ÇÖZÜM

ÖRNEK 2. 19Bir piramit, yanal ayr›tlar›n›n orta noktalar›ndan geçen bir düzlemle kesiliyor. Elde

edilen kesik piramit, küçük piramidin 7 kat› oldu¤unu bulal›m.

ÇÖZÜM (fiekil 2.21) deki (T, ABCD) piramidini, yan ayr›tlar›n orta noktalar›ndan geçen

(A′B′C′D′) düzlemiyle keselim. (T, ABCD) piramidinin (T, A′B′C′D′) piramidinin 8kat›na denk oldu¤unu gösterirsek, kesik piramit, küçük piramidin 7 kat›na denk olur.

fiekil 2.21

Verilen düzgün kesik kare piramidin, alt taban ayr›t›n›n uzunlu¤u a = 8 cm,

üst taban ayr›t›n›n uzunlu¤u, a = 5 cm ve yüksekli¤i h = 12 cm dir. Buna göre, düzgün kesik kare piramidin; Alt taban alan›: G = a2 ifadesinden, G = 82 = 64 cm2 d›r.

Üst taban alan›: G ′ = a′ 2 ifadesinden, G ′ = 52 = 25 cm2 dir.

Hacmi : V = h3

G + G + G . G′ ifadesinden,

V = 123

64 + 25 + 64.25 = 4 89 + 8. 5

V = 4 89 + 40 = 4 . 129 = 516 cm3 olur.

GEOMETR‹ 7

61

Böylece, büyük piramit, küçük piramidin 8 kat› oluyor.

O halde, kesik piramit, küçük piramidin 7 kat› olur.

T, ABCD piramidin hacmi: V = 1 3

G . h d›r.

T, A′B′C′D′ piramidin hacmi: V′ = 13

G ′ h2

dir.

V V′

= 13

G. h

13

G ′ h2

= 2 GG′

dir.

G G′

= h2

h2

2 = 4 tür. Bu de¤er yerine yaz›l›rsa, V

V′ = 8 veya V = 8 V′ olur .

GEOMETR‹ 7

62

ÖZETBir düzlemsel çokgen ve bu çokgensel bölgenin d›fl›ndaki sabit bir nokta alal›m.

Sabit nokta ile çokgensel bölgenin kenarlar› üzerindeki noktalardan geçen do¤rular›noluflturdu¤u yüzeye piramidal yüzey, çokgensel bölgenin s›n›rlad›¤› cisme de piramitdenir. Çokgensel bölgeye piramidin taban›, sabit noktaya piramidin tepe noktas›,tepe noktas›ndan taban düzlemine indirilen dikmeye, piramidin yüksekli¤i denir.Piramitler, taban›n› oluflturan çokgenin kenar say›s›na göre adland›r›l›r.

Taban› düzgün çokgen olan ve yükseklik aya¤› taban merkezinde bulunanpiramide düzgün piramit denir. Bir düzgün piramidin yan yüzleri birbirine efl, yanayr›tlar›n›n uzunluklar› ve yan yüz yüksekliklerinin uzunluklar› eflittir.

Düzgün olmayan bir piramidin tüm alan›, taban alan› ile yanal alanlar›n›ntoplam›na eflittir.

S = G + Y dir.

Düzgün piramidin yanal alan›, tabana çevresi ile, yan yüz yüksekli¤inin çarp›m›n›nyar›s›na eflittir. Tüm alan› ise, taban alan› ile yanal alan›n toplam›na eflittir.

Bir piramidin hacmi, taban alan› ile yüksekli¤inin çarp›m›n›n üçte birine eflittir.

Bütün ayr›t›da ayn› uzunlukta olan üçgen piramide, düzgün dörtyüzlü denir.Düzgün dörtyüzlünün, bütün yüzleri birbirine efl olan eflkenar üçgenlerdir. Yükseklikaya¤› da, tabandaki eflkanar üçgenin a¤›rl›k merkezidir.

Bir ayr›t›n›n uzunlu¤u a birim olan düzgün dörtyüzlünün,

Bütün ayr›tlar›n›n uzunluklar› a birim olan iki kare piramidin, tabanlar›n›nbirleflmesi ile oluflan cisme düzgün sekizyüzlü denir. Düzgün sekizyüzlünün bütünyüzleri birbirine efl olan eflkenar üçgenlerdir. Sekiz tane yan yüzü vard›r.

Y = 12

Ç. h′ ve S = G + Y dir .

V = 13

G. h dir.

1. Yan yüz yüksekli¤i : h ′ = a 32

birimdir.

2. Cisim yüksekli¤i : h = a 63

birimdir.

3. Alan› : S = a2 3 birimkaredir.

4. Hacmi : V = a3 212

birimküptür.

GEOMETR‹ 7

63

Bir ayr›t›n›n uzunlu¤u a birim alan düzgün sekizyüzlünün,

Bir piramit taban›na paralel bir düzlemle kesilirse, kesit düzlemi ve piramidintaban› aras›nda kalan cisme, kesik piramit denir. Kesik piramidin alt taban ve üst tabanolmak üzere iki taban› vard›r. Bu tabanlar birbirine benzer olan çokgenlerdir. Kesikpiramidin iki taban aras›ndaki uzakl›¤a kesik piramadin yüksekli¤i denir.

Düzgün bir piramidin taban›na paralel bir düzlemle kesilmesinden elde edilenkesik piramide, düzgün kesik piramit denir. Düzgün kesik piramitte alt tabanla üsttaban kenar say›lar› ayn› olan benzer iki düzgün çokgendir. Yan yüzleri de birbirine eflolan ikizkenar yamuklard›r. Yan yüz yüksekliklerinin uzunluklar› birbirine eflittir.

Bir düzgün kesik piramadin yanal alan›, alt ve üst tabanlar›n›n çevreleri toplam›n›nyar›s› ile, yan yüz yüksekli¤inin çarp›m›na eflittir.

Bir kesik piramidin tüm alan›, alt taban alan› ve üst taban alan› ile yanal alan›toplam›na eflittir.

S = G + G′ + Y dir.

Taban alanlar› G ve G′, yüksekli¤i h olan bir kesik primadin hacmi:

Verilen bir piramit tabana paralel bir düzlemle kesilirse, elde edilen küçük piramitile kendisinin hacimleri oran›, yüksekliklerinin oran›n›n küpüne eflittir.

1. Alan› : S =2 3 a2 birimkaredir.

2. Hacmi : V = 23

a3 birimküptür.

Y = 12

Ç + Ç′ . h′ d›r.

V = h3

G + G ′ + G . G ′ dür.

V1V2

= h1h2

3 dür.

GEOMETR‹ 7

64

ALIfiTIRMALAR

1. Taban›n›n bir kenar›n›n uzunlu¤u 20 cm ve yan yüz yüksekli¤i 25 cm olan, kare dik piramidin yanal alan›n› ve tüm alan›n› bulunuz.

2. Yüksekli¤i 12 cm ve yan yüz yüksekli¤i 15 cm olan kare dik piramidin tümalan›n› ve hacmini bulunuz.

3. Bir taban kenar›n›n uzunlu¤u 6 cm ve yüksekli¤i 12 cm olan, düzgün alt›gen piramidin hacmini bulunuz.

4. Dikdörtgen tabanl› dik piramidin taban kenarlar›n›n uzunluklar› 18 cm, 10 cm ve yük sekli¤i 13 cm dir. Bu piramidin hacmini bulunuz.

5. Taban›n›n bir kenar›n›n uzunlu¤u olan bir düzgün alt›gen dik piramidin yük sekli¤i 4 cm dir. Bu piramadin hacmini bulunuz.

6. Bütün alan› olan düzgün dörtyüzlünün bir ayr›t›n›n uzunlu¤unu vehacmini bulunuz.

7 . Bir ayr›t›n›n uzunlu¤u olan bir düzgün sekizyüzlünün alan›n› ve hacminibulunuz.

8 . Hacmi 48 cm3 olan bir eflkenar dörtgen piramidin taban köflegenlerinin uzunluklar›s›rayla 4 cm ve 6 cm dir. Bu piramidin yüksekli¤ini bulunuz.

9. Taban alan› 60 cm2 ve yüksekli¤i 6 cm olan bir piramit, tepeden itibaren 3 cmuzakl›ktan tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Kesitin alan›n› ve kesik piramidinhacmini bulunuz.

10. Tabanlar› kare olan düzgün kesik piramidin alt taban ayr›t›n›n uzunlu¤u 24 cm, üsttaban ayr›t›n›n uzunlu¤u 8 cm ve yan ayr›t›n›n uzunlu¤u 15 cm dir. Bu düzgün kesik piramidin tüm alan›n› ve hacmini bulunuz.

11. Yanal yüzleri eflkenar üçgen olan bir kare düzgün piramidin taban alan› 64 cm2 dir.Buna göre, bu dik piramidin tüm alan›n› bulunuz.

12. Tabanlar› eflkanar üçgen olan kesik piramidin alt taban ayr›t›n›n uzunlu¤u 6 cm, üsttaban ayr›t›n uzunlu¤u 4 cm dir. Yüksekli¤i 3 cm oldu¤una göre, bu kesik piramidin hacmini bulunuz.

13. Taban ayr›t›n›n uzunlu¤u 16 cm ve hacmi 512 cm3 olan düzgün kare piramidin yanal alan›n› bulunuz.

2 3 cm

100 3 cm2

6 2 cm

GEOMETR‹ 7

65

14. Bir piramidin taban alan› 36 cm2 dir. Taban›na paralel bir düzlemle kesiliyor.

Kesitin alan› 9 cm2 oldu¤una göre, büyük piramidin hacmi, küçük piramidin hacminin kaç kat› oldu¤unu bulunuz.

1 5 . Yanal yüzleri taban düzlemiyle 30° lik aç› yapan düzgün kare piramidin yüksekli¤i4 cm dir. Buna göre, bu düzgün kare piramidin tüm alan›n› ve hacmini bulunuz.

GEOMETR‹ 7

66

TEST II

1. Bir kare dik piramidin taban›n bir kenar›n›n uzunlu¤u 12 cm ve yüksekli¤i 8 cmoldu¤una göre, yanal alan› kaç cm2 dir?

A) 240B) 320C) 360D) 480

2 . Bir kare dik piramidin taban›n bir kenar›n›n uzunlu¤u 16 cm ve yan yüz yüksekli¤i17 cm dir. Bu piramidin hacmi kaç cm3 tür?

A) 1156B) 1280C) 1360D) 1420

3 . Taban›n›n bir kenar›n›n uzunlu¤u 6 cm olan kare dik piramidin yüksekli¤i 4 cm dir.Bu piramidin tüm alan› kaç cm2 dir?

A) 78B) 84C) 96D) 102

4 . Bir kare dik piramidin taban›n›n bir kenar›n›n uzunlu¤u 12 cm, yüksekli¤i 15 cm dir.

Bu piramidin hacmi kaç cm3 tür?

A) 360B) 720C) 1440D) 2160

5 . Taban›n›n bir kenar›n›n uzunlu¤u 24 cm olan kare dik piramidin yan yüz yüksekli¤i20 cm dir. Bu piramidin hacmi kaç cm3 tür?

A) 2885B) 2960C) 3024D) 3072

✎

GEOMETR‹ 7

67

6. Bir düzgün dörtyüzlünün kaç ayr›t› vard›r?

A) 4B) 6C) 8D) 12

7 . Bir düzgün dörtyüzlünün yüksekli¤i oldu¤una göre, hacmi kaç cm3 t ü r ?

8. Bir düzgün sekizyüzlünün alan›n›n say›sal de¤eri ile hacminin say›sal de¤erine eflittir. Bu sekizyüzlünün bir ayr›t›n›n uzunlu¤u kaç birimdir?

9. Taban› eflkenar üçgen olan bir dik piramidin taban alan›n›n say›sal de¤eri ile hacminin say›sal de¤eri birbirine eflit ise, yüksekli¤i kaç birimdir?

A) 1B) 2C) 3D) 6

10. Bir kare dik piramidin taban alan› 100 cm2 ve yüksekli¤i 12 cm dir. Bu kare dik

piramidin tüm alan› kaç cm2 dir?

A) 340B) 360C) 420D) 480

2 3 cm

A) 9 2 B) 12 2 C) 18 2 D) 36 2

A) 3 2 B) 3 3 C) 3 5 D) 3 6

GEOMETR‹ 7

68

11. Taban çevre uzunluklar› eflit, yan yüz yüksekliklerinin oran› olan, ayn› tür

iki dik piramidin yanal alanlar›n›n oran› kaçt›r?

12. Taban alanlar› eflit olan iki dik piramidin hacimleri oran›n›n olmas› için, yüksek liklerinin oran› kaçt›r?

1 3 . Alt taban kenar›n›n uzunlu¤u 10 cm, üst taban kenar›n›n uzunlu¤u 5 cm ve yüksekli¤i

6 cm olan kare dik kesik piramidin hacmi kaç cm3 tür?

A) 250B) 300C) 350D) 400

14. Kare dik piramidin taban›n›n bir ayr›t›n›n uzunlu¤u 12 cm tüm alan› 384 cm2 ise, bu piramidin hacmi kaç cm3 tür?

A) 384B) 480C) 576D) 672

13

13

A) 112

B) 19

C) 16

D) 13

A) 127

B) 118

C) 19

D) 13

GEOMETR‹ 7

69

1 5 . Bir taban ayr›t›n›n uzunlu¤u 8 cm ve yüksekli¤i 12 cm olan kare dik piramit, tepeden3 cm uzakl›kta tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Bu kesitin alan› kaç cm2 dir?

A) 4B) 6C) 8D) 12

16. (fiekil 2 .22 ) deki kesik piramitte,

T ( A′B′C′) piramidinin hacmi 8 cm3 i s e , ( T, ABC) piramidinin hacmi kaç cm3 t ü r ?

A) 64B) 125 C) 128D) 175

17. Bir kare dik piramit, tepeden itibaren oran›nda taban, düzlemine paralel bir

düzlemle kesiliyor. Kesitin taban alan› 8 cm2 ise, ilk piramidin taban alan› kaç cm2 dir?

A) 24B) 72C) 96D) 192

A ABC

A A′B′C′ = 25

4 dür.

13

fiekil 2 .22

GEOMETR‹ 7

70

18. Taban alan› 16 cm2 olan bir kare dik piramit (fiekil 3.23) deki gibi tabana paralel yüzey oluflturacak flekilde kesiliyor. Elde edilen yüzeyin alan› 4 cm2 ve kesik piramidin yüksekli¤i 6 cm oldu¤una göre, bu kesik piramidin hacmi kaç cm3 tür?

A) 28B) 56C) 84D) 112

19. Bütün ayr›tlar›n›n uzunluklar› toplam› 54 cm olan düzgün dörtyüzlünün alan›, kaçcm2 dir?

20. Tüm ayr›t uzunluklar›n›n herbiri 6 cm olan kare dik piramidin hacmi kaç cm3 tür?

fiekil 2 .23

A) 27 3B) 81 3

C) 162 3 D) 243 3

A) 36 2 B) 72

C) 72 2 D) 108