Embed Size (px)
Citation preview
ТЕРНОПІЛЬНАВЧАЛЬНА КНИГА – БОГДАН
МатеМатикатестові завдання
Зовнішнє неЗалежне оцінювання
Контрольні тести•відповіді•Довідник•Приклади розв’язування типових задач•
І.Я. Клочко
ББК 22.1я72 74.266.21 К50
Метоюпропонованогонавчальногопосібникаєорганізаціясамостійноїроботиучнівприпідготовцідозовнішньогонезалежногооцінюваннязачинноюпрограмою.Тестовізавданнямістятьсімваріантівтренувальнихтестів.Довсіхзавданьтестівєвідповіді.Усітестовізавданнявідповідаютьчиннійпрограмізматематикидлязагальноосвітніхнавчальнихзакладівтавимогамнавступнихіспитахдовищихнавчальнихзакладів.Структураробітєаналогічноюструктурітестів,пропонова-нихназовнішньомунезалежномуоцінюванні.Допосібникадодаєтьсядовідникматематичнихформултаприкладирозв’язаннятиповихзадачзалгебриіпочатківаналізу,атакожзгеометрії.
Длявчителівтаучнівзагальноосвітніхшкіліпрофільнихкласівприродничогойфізико-математичногоспрямування.
ББК22.1я72
ISBN 978-966-10-2735-9© Навчальнакнига–Богдан, майновіправа,2012
Охороняється законом про авторське право.Жодна частина цього видання не може бути відтворена в будь-якому вигляді без дозволу автора чи видавництва.
Клочко І.Я.К50 Математика:Тестовізавдання(зовнішнєнезалежнеоцінювання).— Тернопіль:Навчальнакнига–Богдан,2012.—152с.
ISBN 978-966-10-2735-9
Зовнiшнє незалежне оцiнювання з математики
Структура тесту з математикиЗагальнакількістьзавданьтесту—32.Навиконаннятестузматематикивідведено150 хвилин.Кількіснийрозподіл завданьтесту зматематики за змістовимилініямита
формамитестовихзавданьнаведеноутаблиці.
Навчальний предмет Змістові лінії
Кількість завдань
%Завдання
з вибо-ром пра-вильної відповіді
Завдання на вста-
новлення відповід-
ності
Завдання з корот-кою від-повіддю
Алгебра і початки аналізу
Числаівирази 4 1 2 21,9Рівнянняінерівності
2 1 3 15,6
Функції 2 1 1 12,5Елементи комбінато-рики, початки теоріїймовірностей та еле-ментистатистики
2 – 1 9,4
Геометрія Планіметрія 5 – 1 18,8Стереометрія 5 1 1 21,9Усього 20 4 8 100
Оцінювання завдань різних форм тесту з математикиЗавданнякожноїформиоцінюютьсязавідповідноюсистемою.1.Завданнязвиборомоднієїправильноївідповіді:0або1 тестовий бал.2.Завданнянавстановленнявідповідності(логічніпари):0, 1, 2, 3, 4 тестові
бали.3.Завданнязкороткоювідповіддю:0або2 тестові бали.Максимальна кількість тестових балів, яку можна набрати, правильно
розв’язавшивсізавданнятестузматематики,—52.
Програма зовнiшнього незалежного оцiнювання з математики
Мета зовнішнього незалежного оцінювання з математики
Оцінитиступіньпідготовленостіучасниківтестуваннязматематикизметоюконкурс-ноговідборудлянавчанняувищихнавчальнихзакладах.
Завданнязовнішньогонезалежногооцінюваннязматематикиполягаютьутому,щобоцінитизнаннятавмінняучасників:
будуватиматематичнімоделіреальнихоб’єктів,процесівіявищтадосліджуватиці►моделізасобамиматематики;виконуватиматематичнірозрахунки(діїзчислами,поданимиврізнихформах,діїз►відсотками,складаннятарозв’язуванняпропорцій,наближеніобчисленнятощо);виконуватиперетвореннявиразів (розуміти змістове значеннякожного елемента►виразу,знаходитидопустимізначеннязмінних,знаходитичисловізначеннявиразівпризаданихзначенняхзмінних,виражатизрівностідвохвиразіводнузміннучерезіншітощо);будуватийаналізувати графікифункціональних залежностей, досліджувати їхні►властивості;розв’язуватирівняння,нерівностітаїхнісистеми,текстовізадачізадопомогоюрів-►нянь,нерівностейтаїхніхсистем;зображатитазнаходитинарисункахгеометричніфігури,встановлюватиїхнівлас-►тивостійвиконуватигеометричніпобудови;знаходитикількісніхарактеристикигеометричнихфігур(довжини,величиникутів,►площі,об’єми);обчислюватиймовірностівипадковихподійтарозв’язуватинайпростішікомбінаторні►задачі;аналізуватиінформацію,щоподанаврізнихформах(графічній,табличній,текстовій►тощо).
5Програма зовнішнього незалежного оцінюванняП
рогр
ам
а
Назва розділу, теми Знання Предметні вміння та способи навчальної діяльності
АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУРозділ: ЧИСЛА І ВИРАЗИ
Раціональні та ірраціо-нальні числа, їх порівнян-ня та дії над ними
–правиладійнадцілимиіраціональнимичислами;–правилапорівняннядій-снихчисел;–ознакиподільностіна2,3,5,9,10;– правила округленняці-лих чисел і десятковихдробів; – означення кореняn-гостепенятаарифметичногокореняn-гостепеня;–властивостікоренів;–означеннястепенязна-туральним,цілимтараціо-нальнимпоказниками,їхнівластивості
–розрізнятивидичисел;–порівнюватидійснічисла,зна-ченнячисловихвиразів,зокрематаких,щомістять арифметичніквадратнікорені(безвикористан-няобчислювальнихзасобів);–виконуватиарифметичнідіїнаддійснимичислами;–виконуватидіїнадстепенямизраціональнимпоказником;–виконуватидіїнаднаближени-мизначеннями
Відсотки. Основні задачі на відсотки
–означеннявідсотка;–правилавиконаннявід-сотковихрозрахунків;–формулипростихісклад-нихвідсотків
– знаходити відношення чиселу вигляді відсотка, відсоток відчисла,число за значеннямйоговідсотка;– розв’язувати задачіна відсот-кові розрахунки, зокрема вико-ристовуючиформулу складнихвідсотків
Раціональні, ірраціональ-ні, степеневі, показнико-ві, логарифмічні, триго-нометричні вирази та їх тотожні перетворення
– означення області до-пустимихзначеньзміннихвиразузізмінними;–означеннятотожнорівнихвиразів,тотожногоперетво-реннявиразу,тотожності;– означення одночлена імногочлена;–правиладодавання,від-німанняімноженняодно-членівімногочленів;– формули скороченогомноження;–означенняалгебраїчногодробу;
– виконувати тотожні перетво-реннямногочленів,алгебраїчнихдробів,виразів,щомістятьстепе-неві,показникові,логарифмічнійтригонометричніфункціїтазна-ходитиїхчисловезначення;– спрощувати показникові, ло-гарифмічні та тригонометричнівирази;– виконуватиперетворення ви-разів,щомістятькорені;– доводити показникові, лога-рифмічні та тригонометричнітотожності
Програма зовнішнього незалежного оцінювання6П
рогр
ам
а –правилавиконанняариф-метичнихдійнадалгебра-їчнимидробами;– означення і властивостілогарифма, десятковий інатуральнийлогарифми;– означення синуса, коси-нуса,тангенса,котангенсачисловогоаргументу;–співвідношенняміжтри-гонометричнимифункці-ями одного й того самогоаргументу;–формулизведення;– формули додавання танаслідкизних
Розділ: РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІЛінійні,квадратні,раці-ональні, ірраціональні,показникові, логариф-мічні, тригонометричнірівняння, нерівності таїхні системи. Застосу-ваннярівнянь, нерівно-стей та їхніх систем дорозв’язування текстовихзадач
– означення рівняння зоднією змінною, кореня(розв’язку) рівняння з од-нієюзмінною;–означеннянерівностізод-нієюзмінною,розв’язкуне-рівностізоднієюзмінною;–означеннярозв’язкусис-темирівняньздвомазмін-ними;– означеннярівносильнихрівнянь,нерівностейтаїхніхсистем;–методирозв’язуваннясис-темлінійнихрівнянь;– методи розв’язуванняраціональних,ірраціональ-них і трансцендентнихрівнянь, нерівностей таїхніхсистем
–розв’язуватирівнянняінерівно-стіпершоготадругогостепенів,атакожрівнянняінерівності,щозводятьсядоних;– розв’язувати системирівняньі нерівностейпершого і другогостепенів,атакожті,щозводятьсядоних;– розв’язувати рівняння і не-рівності,щомістять степеневі,показникові, логарифмічні татригонометричніфункції;– розв’язувати ірраціональнірівняння;–застосовуватизагальніметодита прийоми (розкладання намножники,заміназмінної,засто-сування властивостейфункцій)упроцесірозв’язуваннярівнянь,нерівностейтаїхніхсистем;–користуватисяграфічниммето-домрозв’язуваннятадосліджен-нярівнянь,нерівностейтаїхніхсистем;– застосовувати рівняння, не-рівності та їхні системи дорозв’язуваннятекстовихзадач;–доводитинерівності;–розв’язуватирівнянняінерівно-сті,щомістятьзміннупідзнакоммодуля
83
Алгебра
Довід
ник
Приклади розв’язання типових задач з алгебри і початків аналізу
І. Приклади на дії з дробами та пропорції
Приклад 1. Яке із чисел: 34
43
1 5102
; ; , ; — найбільше?
Розв’язання. 34
1< , 43
113
= , 1 5 15
101
12
, = = , 102
5= .
Відповідь. 102
.
Приклад 2. Обчисліть: 4 2
13
2 114
21
12
−
+ ⋅
.
Розв’язання. 4 2
13
2 114
21
12
−
+ ⋅
= 3
33
213
21
54
2512
3 233
13
52
1225
−
+ ⋅
= − + −
+
⋅ =( )
= +
⋅ = + + +
⋅ =1
23
212
1225
1 246
36
1225
( ) 376
1225
256
1225
2⋅ = ⋅ = .
Відповідь. 2.
Приклад 3. Розв’яжіть рівняння 2
811
13
222
12
=x .
Розв’язання. 2
811
13
222
12
=x ⇔ ⋅ = ⇔ ⋅ =2
811
212
13
223011
52
2522
x x ⇔⋅
=15 5
112522
x ⇔ = ⋅ ⇔x7511
2225
⇔ =x 6 .Відповідь. 6.Приклад 4. Один сплав складається із двох металів, які входять в нього у відношенні
1 : 3, а другий сплав містить ці метали у відношенні 3 : 5. Скільки треба взяти частин кож-ного зі сплавів, щоб отримати новий сплав, який містить ці метали у відношенні 12 : 25?
Розв’язання. Нехай х — кількість першого сплаву та у — кількість другого сплаву, які
містяться в новому сплаві. Тоді в новому сплаві міститься x y4
38
+ першого металу та
34
58
x y+ другого металу. За умовою, новий сплав містить ці метали у відношенні 12 : 25,
тому x y
x y4
38
34
58
1225
+
+= ⇔ +
+=
2 36 5
1225
x yx y
⇔ + = +25 2 3 12 6 5( ) ( )x y x y ⇔ + = + ⇔50 75 72 60x y x y
⇔ =15 22y x ⇔ =xy
1522
.Таким чином, у новому сплаві міститься 15 частин першого сплаву і 22 частини другого
сплаву.Відповідь. Потрібно взяти 15 частин першого і 22 частини другого сплавів.
84
Алгебра
Довід
ник
ІІ. Приклади на формули скороченого множення, властивості степенів, властивості арифметичних коренів п-го степеня
Приклад 5. Обчисліть: 97 83180
97 833 3+
− ⋅ .
Розв’язання. 97 83180
97 833 3+
− ⋅ = ( )( )97 83 97 97 83 83180
97 832 2+ − ⋅ +
− ⋅ =
= 180 97 97 83 83180
97 832 2⋅ − ⋅ +
− ⋅( ) = 97 97 83 83 97 832 2− ⋅ + − ⋅ = 97 2 97 83 832 2− ⋅ ⋅ + =
= ( )97 83 2− = 142 = 196.Відповідь. 196.
Приклад 6. Спростіть вираз b
b bb
+
− +−
1
12
3 23
16 .
Розв’язання. b
b bb
+
− +−
1
12
3 23
16 =
b
b bb
13
3
3
3 23
16
1
12
+
− +− =
b b b
b bb
13
23
13
3 23
16
1 1 1
12
+
− ⋅ +
− +− =
=
+
− +( )− +
− =
b b b
b bb
13 23 3
3 23
16
1 1
12 b b
13
161 2+ − = b b b
16
2 16
16
2
2 1 1
− + = −
.
Відповідь. b16
2
1−
.
Примітка. Задачі подібного типу потребують використання формули a amn mn= , де m —
ціле число, n — натуральне, n ≥ 2, a > 0, та очевидних рівностей: a a a12
2 13
3 14
4
=
=
.
Приклад 7. Спростіть вираз a a
a
a
a
−
−
⋅⋅
34
12
512
56
16
2
.
Розв’язання. a a
a
a
a
−
−
⋅⋅
34
12
512
56
16
2
= ⋅
− − −
a a
a
12
34
56
16
512
2
= ⋅
−
a a
a
2 34
66
512
2
= ⋅
−a a
a
14
512
2
=
=
a
a
34
512
2
=
=
−a
912
512
2
a a a4
12
2 13
21
23
= =
⋅.
Відповідь. a23 .
Приклад 8. Якщо x y+ = 4 , xy = 7 , то чому дорівнює значення виразу 1 12 2x y+ ?
Розв’язання. 1 12 2
2 2
2x yy x
xy+ =
+( )
=+ + −
=+ −y x xy xy
xyx y xy
xy
2 2
2
2
2
2 2 2( )
( )( )
; при x y+ = 4 , xy = 7 ,
отримаємо: 4 2 77
249
2
2
− ⋅= .
Відповідь. 249
.
146
Геом
етрія
Довід
ник
Якщо бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під рівними кутами, то основа висоти піраміди збігається з центром кола, яке описане навколо основи піраміди. Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, лежить на середині гіпотенузи. Отже, точка Н — середина гіпотенузи, тобто АН = НВ = 6 см.
Розглянемо прямокутний трикутник АНМ: ∠ = °MAH 30 , АН = 6 см; MHAH
= °tg 30 ,
MH AH= ⋅ °tg 30 = 63
(см).
Відношення висоти піраміди до 3 дорівнює 2 см. Відповідь. 2 см.
Твірна конуса, яка дорівнює 12 см, нахилена до площини основи під Приклад 52. кутом 30°. Знайдіть площу основи конуса.
Розв’язання. Виконаємо побудову (рис. 110):
A B
C
O
Рис. 110
Нехай АС — твірна конуса, СО — висота конуса. За умовою, АС = 12 см, ∠ = °CAO 30 . Оскільки ∆AOC — прямокутний, то СО = 6 см (як катет, що лежить навпроти кута 30° ).
Знайдемо АО: AO AC CO= − = − =2 2 2 212 6 108 (см).Площу основи конуса обчислимо за формулою: S R= π 2 , де R = AO.Тоді S = 108π (см2).Відповідь. 108π см2.
Радіус кулі дорівнює 5 см. Площина проходить на відстані 3 см від цен-Приклад 53. тра кулі. Знайдіть площу перерізу кулі цією площиною.
Розв’язання. Виконаємо схематичну побудову, тобто спроектуємо кулю на площину (рис. 111):
C
N M K
AO
B
DРис. 111
147
Геом
етрія
Довід
ник
Тоді відрізок NK відповідає проекції площини перерізу; АВ, CD — проекції діамет-ральних площин кулі. За умовою, ОМ = 3 см, ON = OK = 5 см.
Площиною перерізу кулі є круг. Знайдемо радіус площини перерізу із прямокутного трикутника OMN: NM ON OM= − = −2 2 25 9 = 4 (см).
Отже, площа перерізу S r= =π π2 16 (см2).Відповідь. 16π см2.
Знайдіть об’єм правильної трикутної піраміди, висота якої дорівнює Приклад 54. 3 см, а всі плоскі кути при вершині — прямі.
Розв’язання. Виконаємо побудову (рис. 112):
A
C
B
O
M
Рис. 112
N
M
Оскільки піраміда є правильною, то ∆ABC — рівносторонній, точка О (основа висоти піраміди) є точкою перетину висот, медіан та бісектрис трикутника АВС. Бічні ребра пі-раміди — рівні: АМ = МС = МВ. Трикутники АМС, СМВ, АМВ – прямокутні рівнобедрені ( ∠ = ∠ = ∠ = °AMC CMB AMB 90 , як плоскі кути при вершині піраміди).
Нехай АМ = МВ = МС = а (см), тоді АС = АВ = ВС = 2a (см). У правильного трикутника АВС знайдемо радіус описаного кола:
OA R h AC a= = = = ⋅23
33
33
2 = 63
a (см).
Розглянемо прямокутний трикутник АОМ:
AM AO MO2 2 2= + , a a a2 22
23 63
3 23
= +
= +( ) , a2 9= , а = 3 (см).
Таким чином, бічні ребра піраміди дорівнюють по 3 см.
Тоді АС = АВ = ВС = 2 3⋅ (см), BM AC a a= = ⋅ =3
23
22 3
2 = 3 3
2⋅ (см).
Обчислимо площу трикутника АВС:
S AC BMABC∆ = ⋅12
= 12
2 3 32
3⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 4 5 3, (см2).
Об’єм піраміди: V =13
Sосн · H, де Sосн = S ABC∆ = 4 5 3, (см2), Н = 3 (см).
Отже, V = ⋅ ⋅13
4 5 3 3, = 4,5 (см3).
Відповідь. 4,5 см3.
148
Геом
етрія
Довід
ник
Дах башти має форму правильної чотирикутної піраміди. Сторона осно-Приклад 55. ви піраміди дорівнює 1,8 м, а висота – 1,2 м. Скільки листового заліза потрібно для по-криття даху, якщо на стикування листів припадає 8% від площі поверхні покрівлі?
Розв’язання. Виконаємо схематичну побудову (рис. 113):
За умовою задачі, потрібно обчислити площу бічної поверхні правильної чотирикутної піраміди, яка дорівнює: Sбіч = 4 · Sгр, де Sгр – площа однієї бічної грані піраміди.
Оскільки АВСD — квадрат, то ОЕ = 0,9 м. Для прямокутного трикутника МОЕ: ME OM OE= + =2 2 1 44 0 81 2 25, , ,+ = = 1,5 (м).
Обчислимо площу бічної грані піраміди: S ME CD= ⋅12
= 0 5 1 5 1 8, , ,⋅ ⋅ = 1,35 (м2).
Тоді площа бічної поверхні піраміди: Sбіч = 4 · 1,35 = 5,4 (м2).Знайдемо 8% від 5,4 м2: 0,08 · 5,4 = 0,432 (м2). Отже, для покриття даху потрібно 5,4 + 0,432 = 5,832 (м2) листового заліза.Відповідь. 5,832 м2.
149
150
151
Зм
іст
Зміст
Зовнішнє незалежне оцінювання з математики ................................................3
Програма зовнішнього незалежного оцінювання з математики ......................4
Варіант 1 ......................................................................................................... 10
Варіант 2 ..........................................................................................................16
Варіант 3 ......................................................................................................... 23
Варіант 4 ......................................................................................................... 30
Варіант 5 ......................................................................................................... 38
Варіант 6 ......................................................................................................... 45
Варіант 7 ......................................................................................................... 52
Відповіді .......................................................................................................... 59
Довідник .......................................................................................................... 66
Алгебра ................................................................................................................. 66 Геометрія ............................................................................................................ 103
Навчальне видання
КЛОЧКО Ігор Якович
МаТеМаТикаТестові завдання
Зовнішнє незалежне оцінювання
Головний редактор Богдан БуднийРедактор Володимир Дячун
Художник обкладинки Володимир БасалигаДизайн та комп’ютерна верстка Андрія Кравчука
Підписано до друку 12.02.2012. Формат 70×100/16. Папір офсетний. Гарнітура Century Schoolbook. Друк офсетний.
Умовн. друк. арк. 12,26. Умовн. фарбо-відб. 12,26. [В. 1].
Видавництво «Навчальна книга – Богдан»Свідоцтво про внесення до Державного реєстру видавців
ДК №370 від 21.03.2001 р.
Навчальна книга – Богдан, а/с 529, просп. С. Бандери, 34а, м. Тернопіль, 46008тел./факс (0352) 52-19-66; 52-06-07; 52-05-48
Е-mail: [email protected], [email protected]
