Ogólne wiadomości o grafachjanek.ae.krakow.pl/lulap/AiSD_2010_05.pdf2010-12-01 1 Ogólne wiadomości o grafach Algorytmy i struktury danych Wykład 5. Rok akademicki: 2010/2011 2

2010-12-01

1

Ogólne wiadomości o grafach

Algorytmy i struktury danychWykład 5.

Rok akademicki: 2010/2011

2

Pojęcie grafu

• Graf – zbiór wierzchołków połączonych za pomocą krawędzi.

• Podstawowe rodzaje grafów:– grafy nieskierowane,

– grafy skierowane.

Paweł Lula, Katedra Systemów Obliczeniowych, Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

2010-12-01

2

3

Graf nieskierowany

• Graf nieskierowany G = (V, E), gdzie:– V – zbiór wierzchołków,

– E – zbiór krawędzi, czyli zbiór nieuporządkowanych par wierzchołków o postaci (u, v), gdzie u, v V i u ≠ v (w grafie nieskierowanym nie mogą występowad pętle, czyli połączenie łączące wierzchołek z samym sobą).

• Graf nieskierowany nazywany jest grafem prostym.


Pojęcia związane z grafami prostymi (nieskierowanymi)

• ścieżka – ciąg połączonych kolejno ze sobą wierzchołków,

• długośd ścieżki – liczba krawędzi wchodzących w skład ścieżki,

• ścieżka prosta – jeśli wszystkie wchodzące w jej skład wierzchołki są różne (dopuszcza się jedynie, aby pierwszy i ostatni wierzchołek był identyczny)

• graf spójny – jeśli dla każdej pary wierzchołków istnieje łącząca je ścieżka

4Paweł Lula, Katedra Systemów Obliczeniowych, Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

2010-12-01

3

Pojęcia związane z grafami prostymi (nieskierowanymi)

• krawędź (u, v) nazywana jest krawędzią przylegającą do wierzchołków u oraz v lub krawędzią incydentną z tymi wierzchołkami

• stopieo wierzchołka – liczba incydentnych z nim krawędzi

• cykl – ścieżka łącząca wierzchołek z samym sobą

• graf cykliczny – graf zawierający co najmniej jeden cykl


6

Graf skierowany

• Graf skierowany (digraf) G = (V, E) to struktura składająca się ze zbioru wierzchołków V oraz zbioru krawędzie (zwanych także łukami).

• Krawędź jest uporządkowaną parą wierzchołków (u, v) – u jest wierzchołkiem początkowym, a v wierzchołkiem koocowym krawędzi.


2010-12-01

4

7

Graf ważony

• Graf ważony – graf, w którym z każdą krawędzią skojarzony jest parametr numeryczny zwany wagą.

• Grafy ważone mogą byd grafami nieskierowanymi lub skierowanymi.


Reprezentacja grafów – 1/2

• reprezentacja za pomocą macierzy sąsiedztwa (macierzy przyległości)

8

A

C

B A B C

A 0 1 1

B 1 0 0

C 1 0 0


2010-12-01

5

Reprezentacja grafów – 2/2

A

C

B A B C

B A

C A

9

• reprezentacja listowa


10

Metody przeszukiwania grafu

• Wyróżnia się dwie podstawowe metody przeszukiwania grafu (wędrówki po grafie):– DFS – depth-first search – przeszukiwanie „wgłąb” grafu

– BFS – breadth-first search – przeszukiwanie „wszerz” grafu


2010-12-01

6

11

Przeszukiwanie wgłąb grafu

1. Jeśli jest to możliwe, to należy przejśd do przyległego nieodwiedzonego wierzchołka; wierzchołek ten staje się wierzchołkiem bieżącym; wierzchołek ten umieszczany jest na stosie

2. jeśli wykonanie kroku 1. nie jest możliwe usuwamy jeden element ze stosu; element znajdujący się na wierzchołku staje się elementem bieżącym

3. jeśli wykonanie powyższych reguł nie jest możliwe, to oznacza to koniec zadania


12

Przeszukiwanie wgłąb grafu – przykład

Rezultat przeszukiwania DFS:A, B, D, F, E, C, G.

lubA, E, F, B, D, C, G Paweł Lula, Katedra Systemów Obliczeniowych, Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Graph.traversal.example.png

2010-12-01

7

13

Przeszukiwanie wszerz grafu

1. Jeśli jest to możliwe, to należy odwiedzid kolejny, wcześniej nieodwiedzony wierzchołek, przyległy do wierzchołka bieżącego. Odwiedzony wierzchołek umieszczany jest w kolejce. Nie następuje zmiana wierzchołka bieżącego.

2. Gdy nie ma już kolejnych nieodwiedzonych wierzchołków, to z kolejki pobieramy pierwszy element. Staje się on wierzchołkiem bieżącym.

3. Procedura kooczy swoje działania, gdy nie można zastosowad powyższych reguł – brak nieodwiedzonych wierzchołków i brak elementów w kolejce.


14

Przeszukiwanie wszerz grafu - przykład

kolejność wskazywana przez numery wierzchołków


2010-12-01

8

15

Algorytm Dijkstry

• Cel algorytmu: wyznaczanie najkrótszej drogi prowadzącej z rozpatrywanego wierzchołka do każdego innego

• Autor: Edsger Dijkstra, 1959


16

Podstawowe założenia algorytmu

• działanie algorytmu rozpoczyna się od wskazania wierzchołka początkowego

• w kolejnych krokach przetwarzane są kolejne wierzchołki. Rozpatrywane są dwa zbiory wierzchołków:– S – wierzchołki przetworzone– V – wierzchołki nieprzetworzone

• algorytm korzysta z dwóch wektorów:– d[i] – długośd drogi od wierzchołka początkowego do i-tego

wierzchołka – p[i] – informacja o najkrótszej ścieżce (indeks wierzchołka

bezpośrednio poprzedzającego i-ty wierzchołek – na najkrótszej ścieżce)


2010-12-01

9

17

Algorytm Dijkstry

0

2

4

3

1

8010

10

10

10

40

20

20

20

30 V d(0,v) p(v) S/V

0 0 0 S

1 80 0 V

2 40 0 V

3 0 V

4 0 V

Inicjalizacja obliczeoElement bieżący: 0

Spośród elementów zbioru Vwyszukiwany jest ten, do któregoprzejście związane jest z minimalnymkosztem (dla v = 2). Element tenprzesuwany jest do zbioru S.


18

Algorytm Dijkstry

0

2

4

3

1

8010

10

10

10

40

20

20

20

30

V d(v) p(v) S/V

0 0 0 S

1 80 0 V

2 40 0 S

3 60 2 V

4 50 2 V

Bieżący węzeł: 2Koszt dotarcia do bieżącego węzła: 40jeżelikoszt dotarcia do bieżącego węzła +koszt dotarcia od bież. do v-tego <dotychczas określony koszt dotarciado v-tego węzła

tomodyfikacja d(v)

Wybór kolejnego el. o min. koszcie (4)


2010-12-01

10

19

Algorytm Dijkstry

0

2

4

3

1

8010

10

10

10

40

20

20

20

30

V d(v) p(v) S/V

0 0 0 S

1 80 0 V

2 40 0 S

3 60 2 V

4 50 2 S


tomodyfikacja d(v)



20

Algorytm Dijkstry

0

2

4

3

1

8010

10

10

10

40

20

20

20

30

V d(v) p(v) S/V

0 0 0 S

1 70 3 V

2 40 0 S

3 60 2 S

4 50 2 S


tomodyfikacja d(v)



2010-12-01

11

21

Algorytm Dijkstry

0

2

4

3

1

8010

10

10

10

40

20

20

20

30

V d(v) p(v) S/V

0 0 0 S

1 70 3 S

2 40 0 S

3 60 2 S

4 50 2 S

Wyniki koocowe:

0-1: koszt: 70 (0-2-3-1)0-2: koszt: 40 (0-2)0-3: koszt: 60 (0-2-3)0-4: koszt: 50 (0-2-4)


Zastosowanie algorytmu Dijkstry

• Open Shortest Path First (OSPF) – protokół routinguwewnętrznego wykorzystywany w sieci Internet (obok protokołu RIP). Wyznaczanie optymalnych tras przesyłania pakietów realizowane jest przez routery.


2010-12-01

12

23

Minimalne drzewo rozpinające

• Drzewem rozpinające grafu G nazywamy drzewo, które zawiera wszystkie wierzchołki grafu G, zaś zbiór krawędzi drzewa jest podzbiorem zbioru krawędzi grafu.

• Minimalne drzewo rozpinające – drzewo rozpinające w grafie ważonym, dla którego suma wag jest najmniejsza z możliwych

0

2

4

3

1

8010

10

10

10

40

20

20

20

30

0

2

4

3

1

8010

10

10

10

40

20

20

20

30

koszt: 150

koszt: 80


24

Algorytm Prima

• Algorytm wyznaczania minimalnego drzewa rozpinającego

• R. C. Prim, 1957


2010-12-01

13

25

Podstawowe założenia algorytmu

• działanie algorytmu rozpoczyna się od wskazania wierzchołka początkowego

• w kolejnych krokach przetwarzane są kolejne wierzchołki. Rozpatrywane są dwa zbiory wierzchołków:– S – wierzchołki przetworzone– V – wierzchołki nieprzetworzone

• algorytm korzysta z dwóch wektorów:– d[i] – długośd drogi od wierzchołka bieżącego do i-tego

wierzchołka – p[i] – informacja o kolejnej krawędzi dodawanej do

minimalnego drzewa rozpinającego (indeks wierzchołka bezpośrednio poprzedzającego i-ty wierzchołek)


26

Algorytm Prima

0

2

4

3

1

8010

10

10

10

40

20

20

20

30 V d(0,v) p(v) S/V

0 0 0 S

1 80 0 V

2 40 0 V

3 0 V

4 0 V

Inicjalizacja obliczeo

Spośród elementów zbioru Vwyszukiwany jest ten, do któregoprzejście związane jest z minimalnymkosztem (dla v = 2). Element tenprzesuwany jest do zbioru S.


2010-12-01

14

27

Algorytm Prima

0

2

4

3

1

8010

10

10

10

40

20

20

20

30

V d(v) p(v) S/V

0 0 0 S

1 80 0 V

2 40 0 S

3 20 2 V

4 10 2 V

Bieżący węzeł: 2jeżelikoszt dotarcia od bież. do v-tego <dotychczas określony koszt dotarciado v-tego węzła

tomodyfikacja d(v)



28

Algorytm Prima

0

2

4

3

1

8010

10

10

10

40

20

20

20

30

V d(v) p(v) S/V

0 0 0 S

1 80 0 V

2 40 0 S

3 20 2 V

4 10 2 S

Bieżący węzeł: 4jeżelikoszt dotarcia od bież. do v-tego <dotychczas określony koszt dotarciado v-tego węzła

tomodyfikacja d(v)



2010-12-01

15

29

Algorytm Prima

0

2

4

3

1

8010

10

10

10

40

20

20

20

30

V d(v) p(v) S/V

0 0 0 S

1 10 3 V

2 40 0 S

3 20 2 S

4 10 2 S

Bieżący węzeł: 3Koszt dotarcia do bieżącego węzła: 60jeżelikoszt dotarcia od bież. do v-tego <dotychczas określony koszt dotarciado v-tego węzła

tomodyfikacja d(v)



30

Algorytm Prima

0

2

4

3

1

8010

10

10

10

40

20

20

20

30

V d(v) p(v) S/V

0 0 0 S

1 10 3 S

2 40 0 S

3 20 2 S

4 10 2 S

Wyniki koocowe:

Zbiór krawędzi:3 – 10 – 22 – 32 – 4Koszt drzewa: 80


2010-12-01

16

Implementacja drzew i grafów

Paweł Lula, Katedra Systemów Obliczeniowych, Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 31

Biblioteka JDSL – www.jdsl.org


2010-12-01

17

Przykładowy program

import jdsl.core.api.*;import jdsl.core.ref.*;

public class Tree01 {

//puste drzewostatic Tree pusteDrzewo () {

Tree t = new NodeTree();return t;

}

//drzewo - tylko korzenstatic Tree tylkoKorzen () {

Tree t = new NodeTree();t.replaceElement(t.root(),"Korzeo");return t;

}


...

//drzewo reprezentujace dni tygodniastatic Tree dniTygodnia () {

Tree t = new NodeTree();t.replaceElement(t.root(),"Tydzieo");t.insertLastChild(t.root(),"Poniedziałek");t.insertLastChild(t.root(),"Wtorek");t.insertLastChild(t.root(),"Środa");t.insertLastChild(t.root(),"Czwartek");t.insertLastChild(t.root(),"Piątek");t.insertLastChild(t.root(),"Sobota");t.insertLastChild(t.root(),"Niedziela");return t;

}


2010-12-01

18

...

static Tree rok() {Tree t = new NodeTree();Position p;

t.replaceElement(t.root(),"Rok");

p = t.insertLastChild(t.root(),"Zima");t.insertLastChild(p,"Styczeo");t.insertLastChild(p,"Luty");t.insertLastChild(p,"Marzec");

p = t.insertLastChild(t.root(),"Wiosna");t.insertLastChild(p,"Kwiecieo");t.insertLastChild(p,"Maj");t.insertLastChild(p,"Czerwiec");


...

p = t.insertLastChild(t.root(),"Lato");t.insertLastChild(p,"Lipiec");t.insertLastChild(p,"Sierpieo");t.insertLastChild(p,"Wrzesieo");

p = t.insertLastChild(t.root(),"Jesieo");t.insertLastChild(p,"Październik");t.insertLastChild(p,"Listopad");t.insertLastChild(p,"Grudzieo");

return t;}

public static void main(String [] args) {...}} // koniec programu


2010-12-01

19

37

Poruszanie się po drzewie

• sposób poruszania się po drzewie – kolejnośd odwiedzania węzłów

• trzy podstawowe metody poruszania się po drzewie:– preorder,

– postorder,

– inorder.


Tworzenie przykładowego drzewa

static Tree liczby() {Tree t = new NodeTree();Position p, r;

t.replaceElement(t.root(),new Integer(1));

t.insertLastChild(t.root(), new Integer(2));

p = t.insertLastChild(t.root(), new Integer(3));

r = t.insertLastChild(p, new Integer(5));t.insertLastChild(r, new Integer(8));t.insertLastChild(r, new Integer(9));

r = t.insertLastChild(p, new Integer(6));t.insertLastChild(r, new Integer(10));

p = t.insertLastChild(t.root(), new Integer(4));t.insertLastChild(p, new Integer(7));

return t;}

38

1

2 43

5 6 7

1098


2010-12-01

20

39

Metoda preorder 1/2

1

2 43

5 6 7

1098

Metoda preorder - rozpoczyna się od korzenia drzewa, a następnie odwiedzane są wszystkie jego poddrzewa w kolejności od lewej do prawej strony

Przechodzenie preorder: 1 2 3 5 8 9 6 10 4 7


Metoda preorder 2/2

static void preOrder(Tree t, Position p) {

System.out.print(p.element() + " ");

try { p = t.firstChild(p);}catch (Exception e) {p = null;}

while (p != null){

preOrder(t, p);try { p = t.siblingAfter(p);}catch (Exception e) {p = null;}

}}


2010-12-01

21

41

Metoda postorder 1/2

1

2 43

5 6 7

1098

Metoda postorder - w pierwszej kolejności odwiedzane są wszystkie poddrzewa w kolejności od lewej do prawej strony, a następnie odwiedzany jest korzeo drzewa.

Przechodzenie postorder: 2 8 9 5 10 6 3 7 4 1


42

Metoda postorder 2/2

static void postOrder(Tree t, Position p) {

Position p0 = p;try {p0 = t.firstChild(p0);}catch (Exception e) {p0 = null;}

while (p0 != null){

postOrder(t, p0);try {p0 = t.siblingAfter(p0);}catch (Exception e) {p0 = null;}

}System.out.print(p.element() + " ");

}


2010-12-01

22

43

Metoda inorder 1/3

1

2 43

5 6 7

1098Metoda inorder - odwiedzane jest lewe skrajne poddrzewo, następnie korzeo drzewa, po czym następuje przejście przez pozostałe poddrzewa w kolejności od lewej do prawej strony.

Przechodzenie inorder: 2 1 8 5 9 3 10 6 7 4


44

Metoda inorder 2/3

static void inOrder(Tree t, Position p) {

Position p0 = p;

try {if (t.isExternal(p0))

System.out.print(p0.element() + " ");else {

try {p0 = t.firstChild(p0);inOrder(t, p0);

}catch (Exception e) {}

System.out.print(p.element() + " ");

try {p0 = t.siblingAfter(p0);}catch (Exception e) {p0 = null;}


2010-12-01

23

Metoda inorder 3/3

while (p0 != null) {inOrder(t, p0);try {p0 = t.siblingAfter(p0);}catch (Exception e) {p0 = null;}

}}

}catch (InvalidAccessorException e) {}

}


Implementacja grafów

• Klasa IncidenceListGraph – dla każdego wierzchołka przechowywana jest lista wierzchołków przyległych (reprezentacja listowa)


A

C

B A B C

B A

C A

2010-12-01

24

Zastosowanie algorytmu Dijkstry

import jdsl.graph.api.*;import jdsl.graph.algo.IntegerDijkstraPathfinder;import jdsl.graph.ref.*;

public class Graph01 {

public static void main(String[] args) {

Graph gr = new IncidenceListGraph();

Vertex v[] = new Vertex[5];

//tworzenie i wstawianie wierzcholkow

for (int i = 0; i < v.length; i++) v[i] = gr.insertVertex(Integer.toString(i));


0

2

4

3

1

8010

10

10

10

40

20

20

20

30

...

//wstawianie krawędzi

gr.insertDirectedEdge(v[0],v[1],new Integer(80));gr.insertDirectedEdge(v[0],v[2],new Integer(40));gr.insertDirectedEdge(v[1],v[2],new Integer(10));gr.insertDirectedEdge(v[2],v[3],new Integer(20));gr.insertDirectedEdge(v[2],v[4],new Integer(10));gr.insertDirectedEdge(v[3],v[1],new Integer(10));gr.insertDirectedEdge(v[3],v[2],new Integer(30));gr.insertDirectedEdge(v[4],v[0],new Integer(10));gr.insertDirectedEdge(v[4],v[2],new Integer(20));gr.insertDirectedEdge(v[4],v[3],new Integer(20));


0

2

4

3

1

8010

10

10

10

40

20

20

20

30

2010-12-01

25

...

IntegerDijkstraPathfinder dist = new IntegerDijkstraPathfinder() {

protected int weight(Edge e) {

Integer i = (Integer) e.element();

return i.intValue();

}

};

dist.execute(gr,v[0],v[1]);

EdgeIterator ei = dist.reportPath();


0

2

4

3

1

8010

10

10

10

40

20

20

20

30

...

int sum = 0;

while(ei.hasNext()) {

Edge e = ei.nextEdge();

sum += ((Integer) e.element()).intValue();

System.out.println(gr.origin(e) + " --> " + gr.destination(e));

}

System.out.println(sum);

}

}


0

2

4

3

1

8010

10

10

10

40

20

20

20

30

Documents

Ogólne wiadomości o grafachjanek.ae.krakow.pl/lulap/AiSD_2010_05.pdf2010-12-01 1 Ogólne wiadomości o grafach Algorytmy i struktury danych Wykład 5. Rok akademicki: 2010/2011 2