I OMCC, Costa Rica, 1999

Primer da

1. Se supone que 5 personas conocen, cada una, informaciones parciales diferentes sobrecierto asunto. Cada vez que la persona A telefonea a la persona B, A le da a B toda lainformacin que conoce en ese momento sobre el asunto, mientras que B no le dice nada del. Cul es el mnimo nmero de llamadas necesarias para que todos lo sepan todo sobre elasunto? Cuntas llamadas son necesarias si son n personas?

2. Encontrar un entero positivo n de 1000 cifras, todas distintas de cero, con la siguientepropiedad: es posible agrupar las cifras de n en 500 parejas de tal manera que si multiplicamoslas dos cifras de cada pareja y sumamos los 500 productos obtenemos como resultado unnmero m que es divisor de n.

3. Las cifras de una calculadora (a excepcin del 0) estn dispuestas en la forma indicadaen el cuadro adjunto, donde aparece tambin la tecla +.

7 8 94 5 61 2 3

+

Dos jugadores A y B juegan de la manera siguiente: A enciende la calculadora y pulsa unacifra, y a continuacin pulsa la tecla +. Pasa la calculadora a B, que pulsa una cifra en lamisma fila o columna que la pulsada por A que no sea la misma que la ltima pulsada porA; a continuacin pulsa + y le devuelve la calculadora a A, que repite la operacin y assucesivamente. Pierde el juego el primer jugador que alcanza o supera la suma 31. Cul delos dos jugadores tiene una estrategia ganadora y cul es sta?

1

I OMCC, Costa Rica, 1999

Segundo da

4. En el trapecio ABCD de bases AB y CD, seaM el punto medio del lado DA. Si BC = a,MC = b y el ngulo MCB mide 150, hallar el rea del trapecio ABCD en funcin de a yb.

5. Sea a un entero positivo impar mayor que 17, tal que 3a 2 es un cuadrado perfecto.Demostrar que existen enteros positivos distintos b y c, tales que a+ b, a+ c, b+ c y a+ b+ cson cuatro cuadrados perfectos.

6. Sea S un subconjunto de f1; 2; 3; : : : ; 1000g con la propiedad de que ninguna suma dedos elementos diferentes en S est en S. Encuentre el nmero mximo de elementos de S.

2

II OMCC, El Salvador, 2000

Primer da

1. Encontrar todos los nmeros naturales de tres dgitos abc (a 6= 0) tales que a2 + b2 + c2es divisor de 26.

2. Determinar todos los enteros n 1 para los cuales es posible construir un rectngulo delados 15 y n con piezas congruentes a

y .

Notas: a) Las piezas no deben superponerse ni dejar huecos.b) Los cuadritos de las piezas son de lado 1.

3. Sea ABCDE un pentgono convexo (las dagonales quedan dentro del pentgono). SeanP , Q, R y S los baricentros de los tringulos ABE, BCE, CDE y DAE, respectivamen-te. Demostrar que PQRS es un paralelogramo y que su rea es igual a 2/9 del rea delcuadriltero ABCD.

3

II OMCC, El Salvador, 2000

Segundo da

4. En la figura, escribir un entero positivo dentro de cada triangulito,de manera que el nmero escrito en cada triangulito que tenga almenos dos vecinos sea igual a la diferencia de los nmeros escritos enalgn par de vecinos.Nota: Dos triangulitos son vecinos si comparten un lado.

5. Sea ABC un tringulo acutngulo, C1 y C2 dos circunferencias que tienen a los ladosAB y CA como dimetros, respectivamente. C2 corta al lado AB en el punto F (F 6= A) yC1 corta al lado CA en el punto E (E 6= A). Adems, BE corta a C2 en P y CF corta aC1 en Q. Demostrar que las longitudes de los segmentos AP y AQ son iguales.

6. Al escribir un entero n 1 como potencia de 2 o como suma de potencias de 2, dondecada potencia aparece a lo ms dos veces en la suma, se tiene una representacin buena den.a) Escriba las 5 representaciones buenas de 10.Qu enteros positivos admiten un nmero par de representaciones buenas?

4

III OMCC, Colombia, 2001

Primer da

1. Dos jugadores A, B y otras 2001 personas forman un crculo, de modo que A y B noquedan en posiciones consecutivas. A y B juegan por turnos alternadamente empezando porA. Una jugada consiste en tocar a una de las personas que se encuentra a su lado, la cualdebe salir del crculo. Gana el jugador que logre sacar del crculo a su oponente. Demostrarque uno de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y describir dicha estrategia.

2. Sea AB un dimetro de una circunferencia S con centro O y radio 1. Sean C y D dospuntos sobre S tales que AC y BD se cortan en un punto Q situado en el interior de S y\AQB = 2\COD. Sea P el punto de corte de las tangentes a S que pasan por los puntosC y D. Determinar la longitud del segmento OP .

3. Encontrar todos los nmeros naturales N que cumplan las dos condiciones siguientes:

Slo dos de los dgitos de N son distintos de 0 y uno de ellos es 3.

N es un cuadrado perfecto.

5

III OMCC, Colombia, 2001

Segundo da

4. Determinar el menor entero positivo n para el cual existan enteros positivos a1; a2; : : : ; an,menores o iguales que 15 y no necesariamente distintos, tales que los cuatro ltimos dgitosde la suma a1! + a2! + + an! sean 2001.

5. Sean a, b y c nmeros reales tales que la ecuacin ax2 + bx+ c = 0 tiene dos solucionesreales distintas p1, p2 y la ecuacin cx2 + bx+ a = 0 tiene dos soluciones reales distintas q1,q2. Se sabe que los nmeros p1, q1, p2, q2, en ese orden, forman una progresin aritmtica.Demostrar que a+ c = 0.

6. Se marcan 10000 puntos sobre una circunferencia y se numeran de 1 a 10000 en el sentidode las manecillas del reloj. Se trazan 5000 segmentos de recta de manera que se cumplan lastres condiciones siguientes:

Cada segmento une dos de los puntos marcados.

Cada punto marcado pertenece a uno y slo un segmento.

Cada segmento intersecta exactamente a uno de los segmentos restantes.

A cada segmento se le asocia el producto de los nmeros asignados a sus dos puntos extremos.Sea S la suma de los productos asociados a todos los segmentos. Demostrar que S es mltiplode 4.

6

IV OMCC, Mxico, 2002

Primer da

1. Para qu enteros n 3 es posible acomodar, en algn orden, los nmeros 1; 2; : : : ; nen forma circular de manera que cualquier nmero divida a la suma de los dos nmerossiguientes en el sentido de las manecillas del reloj?

2. Sea ABC un tringulo acutngulo y sean D y E los pies de las alturas desde los vrticesA y B, respectivamente. Muestre que si

rea(BDE) rea(DEA) rea(EAB) rea(ABD),entonces el tringulo es issceles.

3. Para cada entero a > 1 se construye una lista infinita de enteros L(a) como sigue:(i) a es el primer nmero de la lista L(a).(ii) Dado un nmero b en L(a), el siguiente nmero en la lista es b+c, donde c es el mayor

entero que divide a b y es menor que b.

Encuentre todos los enteros a > 1 tales que 2002 est en la lista L(a).

7

IV OMCC, Mxico, 2002

Segundo da

4. Sean ABC un tringulo, D el punto medio de BC, E un punto sobre el segmento ACtal que BE = 2AD y F el punto de interseccin de AD con BE. Si el ngulo DAC mide60, encuentre la medida de los ngulos del tringulo FEA.

5. Encuentre un conjunto infinito de enteros positivos S tal que para cada n 1 y cua-lesquiera n elementos distintos x1; x2; : : : ; xn de S, el nmero x1 + x2 + + xn no es uncuadrado perfecto.

6. En el plano coordenado se tiene la cuadrcula de n n, con n entero mayor o igual que2, cuyos vrtices son los puntos de coordenadas enteras (x; y), con 0 x n y 0 y n.Considere los caminos que van de (0; 0) a (n; n) sobre las lneas de esta cuadrcula y queslo avanzan hacia la derecha o hacia arriba. Uno de tales caminos se llama equilibrado si lasuma de los valores de x de todos los puntos por los que pasa es igual a la suma de todos losvalores de y de esos mismos puntos. Muestre que todo camino equilibrado divide al cuadradode lado n en dos figuras de la misma rea.

8

V OMCC, Costa Rica, 2002

Primer da

1. Dos jugadores A y B, juegan por turnos el siguiente juego: Se tiene un montn de 2003piedras. En su primer turno, A escoge un divisor de 2003, y retira ese nmero de piedras delmontn inicial. Posteriormente, B escoge un divisor del nmero de piedras restantes, y retiraese nmero de piedras del nuevo montn, y siguen as sucesivamente. Pierde el jugador queretire la ltima piedra. Demostrar que uno de los dos jugadores tiene una estrategia ganadoray describir dicha estrategia.

Nota: Se entiende por estrategia ganadora un mtodo de juego que le garantiza la victoriaal que lo aplica sin importar lo que haga su oponente.

2. Sea S una circunferencia y AB un dimetro de ella. Sea t la recta tangente a S en B yconsidere dos puntos C;D en t tales que B est entre C y D. Sean E y F las interseccionesde S con AC y AD y sean G y H las intersecciones de S con CF y DE. Demostrar queAH = AG.

3. Sean a; b enteros positivos, con a > 1 y b > 2. Demostrar que ab + 1 b(a + 1) ydeterminar cundo se tiene la igualdad.

9

V OMCC, Costa Rica, 2002

Segundo da

4. Sean S1 y S2 dos circunferencias que se intersectan en dos puntos distintos P y Q. Sean`1 y `2 dos rectas paralelas, tales que:

i. `1 pasa por el punto P e intersecta a S1 en un punto A1 distinto de P y a S2 en unpunto A2 distinto de P .

ii. `2 pasa por el punto Q e intersecta a S1 en un punto B1 distinto de Q y a S2 en unpunto B2 distinto de Q.

Demostrar que los tringulos A1QA2 y B1PB2 tienen igual permetro.

5. Un tablero cuadrado de 8cm de lado se divide en 64 casillas cuadradas de 1cm de ladocada una. Cada casilla se puede pintar de blanco o de negro. Encontrar el nmero total demaneras de colorear el tablero de modo tal que cada cuadrado de 2cm de lado formado porcuatro casillas con un vrtice comn, contenga dos casillas blancas y dos negras.

6. Digamos que un entero positivo es tico si la suma de sus dgitos (en base 10) es mltiplode 2003.

i. Demostrar que existe un entero positivo N tal que sus primeros 2003 mltiplos,N; 2N; 3N; ; 2003N , son todos ticos.

ii. Existe algn entero positivo N tal que todos sus mltiplos sean ticos?

10

VI OMCC, Nicaragua, 2004

Primer da

1. En una pizarra se escriben los nmeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Dos jugadores A y Bjuegan por turnos. Cada jugador en su turno escoge uno de los nmeros que quedan en lapizarra y lo borra, junto con todos sus mltiplos (si los hay). El jugador que borra el ltimonmero pierde. A juega primero.

Determinar si alguno de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y explicar cules esa estrategia.

Nota: Un jugador tiene una estrategia ganadora si puede garantizar su victoria, sin importarcomo juegue su rival.

2. Se define una sucesin a0, a1, a2,. . . de la siguiente manera: a0 = a1 = 1 y para k 2,ak = ak1 + ak2 + 1.

Determinar cuntos enteros entre 1 y 2004 se pueden expresar de la forma am + an conm y n enteros positivos y m 6= n.

3. Sea ABC un tringulo. Sean E y F puntos en los segmentos BC y CA respectivamente,tales que CECB +

CFCA = 1 y \CEF = \CAB. Sean M el punto medio del segmento EF y G

el punto de corte de la recta CM con el segmento AB. Demostrar que el tringulo FEG essemejante al tringulo ABC.

11

VI OMCC, Nicaragua, 2004

Segundo da

4. Se tiene un tablero cuadriculado de 10 10 casillas. La mitad de sus casillas se pintande blanco, y la otra mitad de negro. Un lado comn a dos casillas en el tablero se llama ladofrontera si estas dos casillas tienen colores diferentes. Determinar el mnimo y el mximonmero de lados frontera que puede haber en el tablero. Justificar las respuestas.

5. Sea ABCD un trapecio tal que AB k CD y AB +CD = AD. Sea P el punto sobre ADtal que AP = AB y PD = CD.

a) Demostrar que la medida de \BPC = 90.

b) Sea Q el punto medio de BC y R el punto de corte de la recta AD y la circunferenciaque pasa por los puntos A, B y Q. Demostrar que los puntos B, P , R y C estn sobreuna misma circunferencia.

6. Con perlas de diversos colores se forman collares. Se dice que un collar es primo si nopuede descomponerse en cadenas de perlas de la misma longitud, e iguales entre si.

Sean n y q enteros positivos. Demostrar que el nmero de collares primos con n perlas,cada una de las cuales tiene uno de qn colores posibles, es igual a n veces el nmero decollares primos con n2 perlas, cada una de las cuales tiene uno de q colores posibles.

Nota: Dos collares se consideran iguales si tienen el mismo nmero de perlas, y se puedeobtener la misma coloracin en ambos collares, rotando uno de ellos hasta hacerlo coincidircon el otro.

12

VII OMCC, El Salvador, 2005

Primer da

1. De los nmeros positivos que pueden ser expresados como suma de 2005 enteros conse-cutivos, no necesariamente positivos, cul ocupa la posicin 2005?

2. Demuestre que la ecuacin a2b2+ b2c2+3b2a2 c2 = 2005 no tiene soluciones enteras.

3. En el tringulo ABC sean P , Q y R los puntos de tangencia del incrculo en los ladosAB, BC y AC respectivamente. Sean L, M y N los pies de las alturas del tringulo PQRen PQ, QR y PR, respectivamente.

a) Demuestre que las rectas AN , BL y CM se cortan en el mismo punto.

b) Demuestre que este punto comn est en la recta que pasa por el ortocentro y el circun-centro del tringulo PQR.

13

VII OMCC, El Salvador, 2005

Segundo da

4. Dos jugadores llamados Azul y Rojo juegan por turnos en un tablero de 1010. Azul tieneuna lata de pintura azul y Rojo una de pintura roja. Comenzando por Azul, cada jugadoren su turno elige una fila o columna del tablero que no haya sido escogida anteriormente porninguno de los dos y pinta sus 10 casillas con su propio color. Si alguna(s) de esas casillasya estuviese pintada, el nuevo color cubre al anterior. Luego de 20 turnos, al agotarse lasfilas y columnas disponibles, el juego finaliza. Entonces se cuenta la cantidad de casillas decada color y se determina el ganador de acuerdo a la siguiente regla:

Si la cantidad de casillas rojas supera en diez o ms a la cantidad de casillasazules, entonces gana Rojo. De lo contrario gana Azul.

Determine si alguno de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y explique cules la estrategia.

5. En un tringulo acutngulo ABC, sean H su ortocentro y M el punto medio del ladoAC. Por M se traza una recta L paralela a la bisectriz del ngulo AHC. Demuestre que larecta L divide al tringulo ABC en dos partes que tienen el mismo permetro.

6. Se tienen n cartas numeradas de 1 a n y p cajas para guardarlas, con p primo. Determinelos posibles valores de n para los que se pueden guardar todas las cartas de forma que lasuma de las cartas en cada caja sea la misma.

14

VIII OMCC, Panam 2006

Primer da

1. Se consideran los enteros positivos

Sd = 1 + d+ d2 + + d2006;

con d = 0; 1; 2; : : : ; 9. Halle la ltima cifra del nmero

S0 + S1 + S2 + + S9:

2. Sean y 0 dos circunferencias de igual radio con centros O y O0 respectivamente. y0 se cortan en dos pntos y A es uno de ellos. Se escoge un punto B cualquiera en . SeaC el otro punto de corte de la recta AB con 0 y D un punto en 0 tal que OBDO0 es unparalelogramo. Demuestre que la longitud del segmento CD es constante, es decir que nodepende de la eleccin de B.

3. Para cada nmero natural n, se define f(n) = bn + pn + 1=2c. Pruebe que para cadak 1 la ecuacin

f(f(n)) f(n) = ktiene exactamente 2k 1 soluciones.

Nota: Si x es un nmero real, el smbolo bxc denota al mayor entero menor que o igual a x. Porejemplo b 5

2c = 2, b0;4c = 1, bp2c = 1.

15

VIII OMCC, Panam 2006

Segundo da

4. El producto de varios nmeros enteros mayores que 0 y distintos entre si, es mltiplo de(2006)2. Determine el menor valor que puede tomar la suma de esos nmeros.

5. El pas Olimpia est formado por n islas. La isla ms poblada es Panacentro y todaslas islas tienen diferente nmero de habitantes. Se desea construir puentes entre islas quepuedan transitarse en ambas direcciones de manera que cada pareja no est unida por msde un puente. Es necesario que se cumplan las siguientes condiciones:

Siempre es posible llegar desde Panacentro hasta cualquiera otra isla usando los puen-tes.

Si se hace un recorrido desde Panacentro hasta cualquier otra isla utilizando cadapuente no ms de una vez, el nmero de habitantes de las islas visitadas es cada vezmenor.

Determine el nmero de maneras de construir los puentes.

6. Sea ABCD un cuadriltero convexo. Sea I el punto de interseccin de las dagonales ACy BD. Sean E, H, F y G puntos sobre los segmentos AB, BC, CD y DA respectivamente,tales que EF y GH se cortan en I. Sea M el punto de interseccin de EG y AC y sea N elpunto de interseccin de HF y AC. Demuestre que

AM

IM INCN

=IA

IC:

16

IX OMCC, Venezuela, 2007

Primer da

1. La OMCC es una competencia anual de matemticas. En el 2007 se lleva a cabo lanovena olimpiada. Para cules enteros positivos n se cumple que n divide al ao en que serealiza la n-sima olimpiada?

2. Sea ABC un tringulo, D y E puntos en los lados AC y AB, respectivamente, talesque las rectas BD, CE y la bisectriz que parte de A concurren en un punto P interior altringulo. Demuestre que hay una circunferencia tangente a los cuatro lados del cuadrilteroADPE si y slo si AB = AC.

3. Sea S un conjunto finito de nmeros enteros. Suponga que para cualquier par de elementosp, q de S, con p 6= q, hay elementos a, b, c de S, no necesariamente diferentes entre s, cona 6= 0, de manera que el polinomio F (x) = ax2 + bx + c cumple que F (p) = F (q) = 0.Determine el mximo nmero de elementos que puede tener el conjunto S.

17

IX OMCC, Venezuela, 2007

Segundo da

4. Los habitantes de cierta isla hablan un idioma en el cual todas las palabras se puedenescribir con las siguientes letras: a, b, c, d, e, f y g. Se dice que una palabra produce a otrasi se puede llegar de la primera a la segunda aplicando una o ms veces cualquiera de lassiguientes reglas:

1. Cambiar una letra por dos letras de acuerdo a las siguientes regla:

a! bc, b! cd, c! de, d! ef , e! fg, f ! ga, g ! ab.

2. Si se encuentran dos letras iguales rodeando a otra, ellas se pueden quitar. Ejemplo:dfd! f .

Por ejemplo, cafcd produce a bfcd, porque

cafcd! cbcfcd! bfcd.Demuestre que en esta isla toda palabra produce a cualquier otra palabra.

5. Dados dos nmeros enteros no negativos m, n, con m > n, se dir que m termina en n sies posible borrar algunos dgitos de izquierda a derecha de m para obtener n. Por ejemplo,329 termina en 9 y en 29, nicamente. Determine cuntos nmeros de tres dgitos terminanen el producto de sus dgitos.

6. Desde un punto P exterior a una circunferencia S se trazan tangentes que la tocan en Ay B. SeaM el punto medio de AB. La medatriz de AM corta a S en C (interior al ABP ),la recta AC corta a la recta PM en G, y la recta PM corta a S en el punto D exterior altringulo ABP . Si BD k AC, demuestre que G es el punto donde concurren las medanasdel ABP .

18

X OMCC, Honduras, 2008

Primer da

1. Halle el menor entero positivo N tal que la suma de sus cifras sea 100, y la suma de lascifras de 2N sea 110.

2. Sea ABCD un cuadriltero convexo inscrito en una circunferencia de centro O tal queAC es un dimetro. Se construyen los paralelogramos DAOE y BCOF . Demuestre que silos puntos E y F pertenecen a la circunferencia entonces ABCD es un rectngulo.

3. Se tienen 2008 bolsas rotuladas del 1 al 2008, con 2008 ranas en cada una. Dos personasjuegan alternadamente. Una jugada consiste en seleccionar una bolsa y sacar de ella lacantidad de ranas que se deseen (al menos una), quedando en sta x ranas (x 0). Despusde cada jugada, de cada bolsa con nmero de rtulo mayor al de la bolsa seleccionada yque contenga ms de x ranas, se escapan algunas hasta que queden x en la bolsa. Pierdeel jugador que saque la ltima rana de la bolsa 1. Encuentre y justifique una estrategiaganadora.

19

X OMCC, Honduras, 2008

Segundo da

4. Cinco amigas tienen una pequea tienda que abre de lunes a viernes. Como cada da sonsuficientes dos personas para atenderla, deciden hacer un plan de trabajo para la semana,que especifique quienes trabajarn cada da, y que cumpla las dos condiciones siguientes:

a) Cada persona trabajar exactamente dos das de la semana.b) Las 5 parejas asignadas para la semana deben ser todas diferentes.De cuntas maneras se puede hacer el plan de trabajo?

Ejemplo: Si las amigas son A, B, C, D y E, un posible plan de trabajo sera: lunes A y B,martes A y D, mircoles B y E, jueves C y E y viernes C y D.

5. Halla un polinomio P (x) con coeficientes reales tal que (x+10)P (2x) = (8x32)P (x+6)para todo x real y P (1) = 210. Verifique que el polinomio encontrado cumple las condiciones.

6. Sea ABC un tringulo acutngulo. Se toman P y Q en el interior de los lados AB y AC,respectivamente, tales que B, P , Q y C estn en una misma circunferencia. La circunferenciacircunscrita al 4ABQ corta a BC de nuevo en S y la circunferencia circunscrita al APCcorta a BC de nuevo en R, PR y QS se intersecan en L. Demuestre que la interseccin deAL y BC no depende de la eleccin de P y Q.

20

XI OMCC, Colombia, 2009

Primer da

1. Sea P (n) el producto de los dgitos no nulos del entero positivo n. Por ejemplo P (4) = 4,P (50) = 5, P (123) = 6, P (2009) = 18. Halla el valor de la suma P (1)+P (2)+ +P (2008)+P (2009).

2. Dos circunferencias 1 y 2 se intersectan en los puntos A y B. Considere una circun-ferencia contenida en 1 y 2, tangente a ellas respectivamente en D y E. Sean C unode los puntos de interseccin de la recta AB con , F la interseccin de la recta EC con2 y G la interseccin de la recta DC con 1. Sean H e I los puntos de interseccin de larecta ED con 1 y 2, respectivamente. Demuestre que F , G, H e I estn sobre una mismacircunferencia.

3. Se tienen 2009 cajas numeradas del 1 al 2009, algunas de las cuales contienen piedras.Dos jugadores A y B juegan alternadamente, comenzando por A. Una jugada consiste enseleccionar una caja i que no est vaca, tomar una o ms piedras de esa caja y ponerlasen la caja i+ 1. Si i = 2009, las piedras que se tomen se desechan. El jugador que retire laltima piedra (dejando todas las cajas vacas) gana.

(a) Suponiendo que inicialmente en la caja 2 hay 2009 piedras y todas las dems cajas(1,3,4,5,. . . , 2009) estn vacas, halle una estrategia ganadora para uno de los dos jugadoresy justifquela.

(b) Suponiendo que inicialmente cada caja contiene exactamente una piedra, halle una es-trategia ganadora para uno de los dos jugadores y justifquela.

21

XI OMCC, Colombia, 2009

Segundo da

4. Se desea colocar nmeros naturales alrededor de una circunferencia cumpliendo la si-guiente propiedad: las diferencias entre cada par de nmeros vecinos, en valor absoluto, sontodas diferentes.

(a) Ser posible colocar los nmeros del 1 al 2009 satisfaciendo la propiedad?(b) Ser posible suprimir alguno de los nmeros del 1 al 2009, de tal manera que los

2008 nmeros restantes se puedan colocar satisfaciendo la propiedad?

5. Dado un tringulo acutngulo y escaleno ABC, sean H su ortocentro, O su circuncentro,E y F los pies de las alturas trazadas desde B y C, respectivamente. La recta AO cortanuevamente al circuncrculo del tringulo en un punto G y a los segmentos FE y BC en lospuntos X e Y , respectivamente. La recta AH corta a la tangente al circuncrculo trazadapor G en un punto Z. Demuestre que HX es paralelo a Y Z.

6. Encuentre todos los nmeros primos p y q tales que p3 q5 = (p+ q)2.

22

XII OMCC, Puerto Rico, 2010

Primer da

1. Si S(n) denota la suma de los dgitos de un nmero natural n, encuentre todas lassoluciones de

n (S(n) 1) = 2010mostrando que son las nicas.

2. Dado el 4ABC, sean L, M y N los puntos medios de BC, CA y AB, respectivamente.Se traza una tangente al circuncrculo del 4ABC en A, siendo P y Q las interseccionesrespectivas de las rectas LM y LN con dicha tangente. Demuestre que CP es paralela aBQ.

3. Un jugador coloca una ficha en una casilla de un tablero m n dividido en casillas detamao 1 1. El jugador mueve la ficha de acuerdo a las siguientes reglas:

En cada movimiento, el jugador cambia la ficha de la casilla en que sta se encuentraa una de las casillas que tienen un lado en comn con ella.

El jugador no puede ubicar la ficha en una casilla que sta ha ocupado previamente.

Dos movimientos consecutivos no pueden tener la misma direccin.

El juego termina cuando el jugador no puede mover la ficha. Determine todos los valores dem y n para los cuales el jugador puede colocar la ficha en alguna casilla tal que sta hayaocupado todas las casillas al terminar el juego.

23

XII OMCC, Puerto Rico, 2010

Segundo da

4. Se desea embaldosar un patio cuadrado de lado N entero positivo. Se dispone de dostipos de baldosas: cuadradas de 5 5 y rectangulares de 1 3. Determine los valores de Npara los cuales es posible hacerlo.Nota: El patio debe quedar completamente cubierto, sin que las baldosas se sobrepongan.

5. Sean p, q y r nmeros racionales distintos de cero tales que

3ppq2 + 3

pqr2 + 3

prp2

es un nmero racional distinto de cero. Pruebe que

13ppq2

+1

3pqr2

+1

3prp2

tambin es un nmero racional.

6. Sean y 1 dos circunferencias tangentes internamente en A, de centros O y O1 yradios r y r1 (r > r1), respectivamente. Sea B el punto dametralmente opuesto a A en lacircunferencia , y C un punto en tal que BC es tangente a 1 en P . Sea A0 el puntomedio de BC. Si se cumple que O1A0 es paralela a AP , determine la razn rr1 .

24

XIII OMCC, Mxico, 2011

Primer da

1. En cada uno de los vrtices de un cubo hay una mosca. Al sonar un silbato, cada unade las moscas vuela a alguno de los vrtices del cubo situado en una misma cara que elvrtice de donde parti, pero dagonalmente opuesto a ste. Al sonar el silbato, de cuntasmaneras pueden volar las moscas de modo que en ningn vrtice queden dos o ms moscas?

2. Sean ABC un tringulo escaleno, D el pie de la altura desde A, E la interseccin dellado AC con la bisectriz del \ABC, y F un punto sobre el lado AB. Sea O el circuncentrodel tringulo ABC y sean X, Y , Z los puntos donde se cortan las rectas AD con BE, BEcon CF , CF con AD, respectivamente. Si XY Z es un tringulo equiltero, demuestra queuno de los tringulos OXY , OY Z, OZX es un tringulo equiltero.

3. Aplicar un desliz a un entero n 2 significa tomar cualquier primo p que divida a ny reemplazar n por n+p

2

p . Se comienza con un entero cualquiera mayor o igual a 5 y se leaplica un desliz. Al nmero as obtenido se le aplica un desliz, y as sucesivamente se siguenaplicando deslices. Demuestra que, sin importar los deslices aplicados, en algn momento seobtiene el nmero 5.

25

XIII OMCC, Mxico, 2011

Segundo da

4. Encuentra todos los enteros positivos p, q y r, con p y q nmeros primos, que satisfacenla igualdad

1

p+ 1+

1

q + 1 1

(p+ 1)(q + 1)=

1

r:

5. Los nmeros reales positivos x, y, z son tales que

x+y

z= y +

z

x= z +

x

y= 2:

Determine todos los valores posibles de x+ y + z.

6. Sea ABC un tringulo acutngulo y sean D, E y F los pies de las alturas desde A, By C, respectivamente. Sean Y y Z los pies de las perpendiculares desde B y C sobre FD yDE, respectivamente. Sea F1 la reflexin de F con respecto a E y sea E1 la reflexin de Econ respecto a F . Si 3EF = FD +DE, demuestre que \BZF1 = \CY E1.Nota: La reflexin de un punto P respecto a un punto Q es el punto P1 ubicado sobre larecta PQ tal que Q queda entre P y P1, y PQ = QP1.

26

XIV OMCC, El Salvador, 2012

Primer da

1. Hallar todos los enteros positivos que sean iguales a 700 veces la suma de sus dgitos.

2. Sea la circunferencia circunscrita al tringulo acutngulo ABC. Sea P el punto mediodel menor arco BC. La paralela por P a la recta AB intercepta BC, AC y en los puntosR, S y T , respectivamente. Se definen los puntos K y L como las intersecciones de AP conBT y BS con AR. Demostrar que la recta KL pasa por el punto medio de AB si y slo siCS = PR.

3. Sean a, b, c nmeros reales que satisfacen1

a+ b+

1

b+ c+

1

c+ a= 1 y ab+ bc+ ca > 0.

Demostrar que

a+ b+ c abcab+ bc+ ca

4:

27

XIV OMCC, El Salvador, 2012

Segundo da

4. Trilanda es una ciudad muy peculiar. La ciudad tiene forma de tringulo equilterode lado 2 012. Las calles dividen la ciudad en varios bloques que tienen forma de tringuloequiltero de lado 1. Tambin hay calles en el borde de Trilanda. En total hay 6 036 calles.El alcalde quiere ubicar puestos de vigilancia en algunas esquinas de la ciudad, para vigilarlas calles. Un puesto de vigilancia puede vigilar todas las calles en las que est ubicado.Cul es la menor cantidad de puestos que se requieren para poder vigilar todas las callesde Trilanda?

Esta es una de las 12 callesen este modelo reducido

;

5. Alejandro y Luisa son una pareja de ladrones. Cada da por la maana, Luisa le roba aAlejandro un tercio de su dinero, pero por la tarde sufre de un inusual ataque de concienciay le da la mitad de todo el dinero que ella tiene. Si Luisa roba por primera vez en el da1, y antes de eso no tena dinero, cul es la menor cantidad entera positiva de dinero queAlejandro debe tener para que al final del da 2012 ambos tengan una cantidad entera dedinero?

6. Sea ABC un tringulo con AB < BC, y sean E y F puntos en AC y AB, respectivamente,tales que BF = BC = CE, ambos ubicados en el mismo lado que A respecto de BC. Sea Gla interseccin de BE con CF . Se toma un punto H sobre la paralela a AC por G tal que

HG = AF (conH en distinto lado que C respecto deBG). Demostrar que \EHG = \BAC2

.

28

XV OMCC, Nicaragua, 2013

Primer da

1. Juan escribe la lista de parejas (n; 3n), con n = 1; 2; 3; : : : en un pizarrn. A medida queva escribiendo la lista, subraya las parejas (n; 3n) cuando n y 3n tienen la misma cifra delas unidades. De las parejas subrayadas, cul ocupa la posicin 2013?

2. Alrededor de una mesa redonda estn sentadas en sentido horario las personas P1, P2,...,P2013. Cada una tiene cierta cantidad de monedas (posiblemente ninguna); entre todas tienen10000 monedas. Comenzando por P1 y prosiguiendo en sentido horario, cada persona en suturno hace lo siguiente:

Si tiene un nmero par de monedas, se las entrega todas a su vecino de la izquierda.

Si en cambio tiene un nmero impar de monedas, le entrega a su vecino de la izquierdaun nmero impar de monedas (al menos una y como mximo todas las que tiene), yconserva el resto.

Pruebe que, repitiendo este procedimiento, necesariamente llegar un momento en que todaslas monedas estn en poder de una misma persona.

3. Sea ABCD un cuadriltero convexo y M el punto medio del lado AB. La circunferenciaque pasa por D y es tangente a AB en A corta al segmento DM en E. La circunferencia quepasa por C y es tangente a AB en B corta al segmento CM en F . Suponga que las rectasAF y BE se cortan en un punto que pertenece a la medatriz del lado AB. Demuestre queA, E y C son colineales si y slo si B, F y D son colineales.

29

XV OMCC, Nicaragua, 2013

Segundo da

4. Ana y Beatriz alternan turnos en un juego que se inicia con un cuadrado de lado1 dibujado en un tablero infinito. Cada jugada consiste en dibujar un cuadrado que no sesuperponga con la figura ya dibujada, de manera que uno de sus lados sea un lado (completo)del rectngulo que est dibujado. Gana el juego aquella persona que logre completar unafigura cuya rea sea mltiplo de 5. Si Ana realiza la primera jugada, existe estrategiaganadora para alguna jugadora?

5. Sea ABC un tringulo acutngulo y sea su circuncrculo. La bisectriz del ngulo Ainterseca a BC en D, a en K (distinto de A), y a la tangente a por B en X. Demuestreque K es el punto medio de AX si y slo si ADDC =

p2.

6. Determine todas las parejas de polinomios no constantes p(x) y q(x), cada uno concoeficiente principal 1, grado n y n races enteras no negativas, tales que p(x) q(x) = 1.

30

XVI OMCC, Costa Rica, 2014

Primer da

1. Un entero positivo se denomina tico si es el producto de tres nmeros primos diferentesque suman 74. Verifique que 2014 es tico. Cul ser el prximo ao tico? Cul ser el ltimoao tico de la historia?

2. Sea ABCD un trapecio de bases AB y CD, inscrito en una circunferencia de centroO. Sea P la interseccin de las rectas BC y AD. Una circunferencia por O y P corta a lossegmentos BC y AD en puntos interiores F y G, respectivamente. Muestre que BF = DG.

3. Sean a, b, c y d nmeros reales todos distintos entre s, tales que

a

b+b

c+c

d+d

a= 4; y ac = bd:

Determine elo mximo valor posible de

a

c+b

d+c

a+d

b:

31

XVI OMCC, Costa Rica, 2014

Segundo da

4. Con cuadrados de lado 1 se forma en cada etapa una figura en forma de escalera, siguiendoel patrn del dibujo.

Por ejemplo, la primera etapa utiliza 1 cuadrado, la segunda utiliza 5, etc. Determine laltima etapa para la cual la figura correspondiente utiliza menos de 2014 cuadrados.

5. Se marcan los puntos A, B, C y D sobre una recta, en esae orden, con AB y CDmayores que BC. Se construyen tringulos equilteros APB, BCQ y CDR, con P , Q y Ren el mismo lado respecto a AD. Si \PQR = 120, pruebe que

1

AB+

1

CD=

1

BC:

6. Un entero positivo n es divertido si para todo d divisor positivo de n, d+2 es un nmeroprimo. Encuentre todos los nmeros divertidos que tengan la mayor cantidad posible dedivisores.

32