On relationships between canonical genus and

flat Seifert surfaces

結び目の数学VI

三浦 嵩広

(神戸大学大学院理学研究科, D3)

Seifert’s algorithm

→ →

S : canonical Seifert surface.

def⇐⇒ S は link diagram から Seifert’s algorithm に

よって得られる Seifert surface.

canonical genus

L : link.

g(S) : surface S の genus.

g(L) := min{g(S) | S : L の Seifert surface}.: L の genus.

gc(L) := min{g(S) | S : L の canonical Seifert surface}.: L の canonical genus.

Fact. g(L) ≤ gc(L).

Q. g(L) < gc(L) をみたす L は存在するか ?

A. K : trefoil knot の Whitehead double. g(K) < gc(K).

g(K) = 1.

A. K : trefoil knot の Whitehead double. g(K) < gc(K).

→ →

gc(K) ≤ g(S) =1 + #{band} −#{disk}

2=

1 + 14− 9

2= 3.

A. K : trefoil knot の Whitehead double. g(K) < gc(K).

HOMFLY polynomial P (L) = P (L; v, z) ∈ Z[v±1, z±1].

'

&

$

%

Thm. (Morton’s inequality)[1986]

L : r-comp. link,

2gc(L) + r − 1 ≥ z-maxdegP (L).

ここで z-maxdegP (L) は P (L) の z における最高次数.

A. K : trefoil knot の Whitehead double. g(K) < gc(K).

P (K) = (4v−2 − 8 + 6v2 − v4)

+ (−4v−2 − 15 + 10v2 − v4 − v6)z2

+ (v−2 − 7 + 6v2)z4

+ (−1 + v2)z6.

2gc(K) ≥ z-maxdegP (K) = 6.

gc(K) ≤ 3 より，gc(K) = 3.

∴ g(K) < gc(K).

L : r-comp. link.

S : L の canonical Seifert surface.

Cor. z-maxdegP (L) = 2g(S) + r− 1 ⇒ g(L) = g(S).

Proof 2g(S) + r − 1 ≥ 2gc(L) + r − 1.

≥ z-maxdegP (L)

= 2g(S) + r − 1. �

Def.

Cor.’ L ∈ M =⇒ gc(L) = g(S).

研究目的

どんな L が L ∈ M をみたすか？

先行研究 L ∈ M の例.

• homogeneous link (alternating link, positive link). [Cromwell 1989]

• Whitehead double, double of

(i) (2, n)-torus knot. [Tripp 2002]

(ii) 2-bridge knot. [Nakamura 2006]

(iii) pretzel knot P (a1, a2, . . . , an), (ai > 0). [Brittenham, Jensen 2006]

(iv) (i)～(iii)を含む alternating knot family. [Jang, Lee 2012]

予想 any alternating knot.

flat Seifert surface

link diagram D が special diagram.

def⇐⇒ Dの任意のSeifert circle が，S2 \ {Seifert circle}にdisk を張れる．

surface F が flat Seifert surface.

def⇐⇒ F は special diagram から Seifert’s algorithm によって

得られる surface.

Fact. 任意の link は flat Seifert surface をもつ．

flat Seifert surface の例.

→ →

flat Seifert surface の例.

→ →

→ →

�

�

�

�Thm. [Hirasawa 1995]

任意の canonical Seifert surface は，ある flat Seifert surface

と ambient isotopic.

Rem.

flat Seifert surface F を表す signed plane graph G

F を表す signed plane graph G を次のように定義する:

G = (V,E, f), f : E −→ {±1}

Fを表すGの例

Fact. F : flat Seifert surface. ⇐⇒ G : connected, bipartite.

G から得られる graph G を次のように定義する．

G = (V , E, f), f : E −→ Z

(1) a ∈ V s.t. deg a = 2 に接続している edge をつなぐ.

(2) (1)で得られた edge e ∈ E に対し，元の edge の符号の和

を f(e) とする．

Prop.

G : connected, bipartite, signed, plane graph.

F : G が表す flat Seifert surface.

G = (V , E, f) が次をみたすとき，∂F ∈ M.

(1) G の subgraph (V , E+) において，∀a ∈ V , deg a = 1.

ここで E+ := {e ∈ E | f(e) ≥ 0}.

(2) e ∈ E+ ⇒ f(e) : even, ≥ 2.

… ……

(1) G の subgraph (V , E+) において，∀a ∈ V , deg a = 1.

ここで E+ := {e ∈ E | f(e) ≥ 0}.

(2) e ∈ E+ ⇒ f(e) : even, ≥ 2.

… ……

… …

G = (V,E, f) : connected, bipartite, signed, plane graph.

F : G が表わす flat Seifert surface.

Prop. の証明には次をみたす多項式

Q(E1) ∈ Z[v±1] (E1 ⊂ E) を用いた．

•∑E1⊂E

Q(E1) = 0 ⇒ ∂F ∈ M.

• G が Prop. の条件(1), (2)をみたすとき，

(i) maxdegQ(E+) = |E+|.

(ii) E1 = E+ ⇒ maxdegQ(E1) < |E+|.

ここで，E+ := {e ∈ E | f(e) = +1}.

今後の研究

•∑E1⊂E

Q(E1) = 0 を用いて得られる

その他の link L ∈ M の構成. 特にknot K ∈ M.

• Tripp’s conjecture の（部分的）解決.

任意の alternating knot の Whitehead double, double ∈ M.