Opća Teorija Sustava - Josip Kasač

  • View
    43

  • Download
    13

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Opca Teorija Sustava - Josip Kasac

Transcript

  • Sveuciliste u Zagrebu

    Fakultet strojarstva i brodogradnje

    Opca teorija sustava

    Josip Kasac

    Zagreb, 2007.

  • Predgovor

    Ovo su nerecenzirani i nelektorirani materijali za kolegij Opca teorija sustava, koji

    sluze kao nadopuna osnovnoj literaturi.

    Sadrzaj teksta ce se mijenjati i nadopunjavati sve do kraja semestra.

    Josip Kasac

    Komentari, primjedbe, pitanja: josip.kasac@fsb.hr

    Zagreb, 2007.

  • Sadrzaj

    Predgovor ii

    Sadrzaj iii

    1. Pregled literature 1

    2. Linearni multivarijabilni sustavi 3

    2.1. Dinamicki model linearnih sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    2.2. Rjesenje linearnih kontinuiranih sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    2.2.1. Rjesenje linearnih vremenski-invarijantnih sustava . . . . . . . . . 4

    2.2.2. Matrica prijenosnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    2.2.3. Rjesenje linearnih vremenski-varijabilnih sustava . . . . . . . . . . 11

    2.3. Rjesenje linearnih diskretnih sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2.3.1. Diskretizacija kontinuiranih jednadzbi stanja . . . . . . . . . . . . 15

    2.3.2. Rjesenje diskretnih vremenski-invarijantnih sustava . . . . . . . . 16

    2.3.3. Rjesenje diskretnih vremenski-varijabilnih sustava . . . . . . . . . 17

    2.4. Metode odredivanja matrice prijelaza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.4.1. Primjena Cayley-Hamiltonovog teorema . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.4.2. Primjena Sylvesterovog teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.5. Modalna analiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2.5.1. Transformacija varijabli stanja linearnih sustava . . . . . . . . . . 21

    2.5.2. Modalna transformacija linearnih sustava . . . . . . . . . . . . . . 22

    2.5.3. Transformacija u kanonski oblik preko Vandermondove matrice . . 23

    iii

  • iv

    2.5.4. Modalna dekompozicija vektora stanja . . . . . . . . . . . . . . . 26

    2.6. Kontrolabilnost linearnih sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.6.1. Potpuna kontrolabilnost diskretnih sustava . . . . . . . . . . . . . 32

    2.6.2. Potpuna kontrolabilnost kontinuiranih sustava . . . . . . . . . . . 35

    2.6.3. Modalna interpretacija kontrolabilnosti . . . . . . . . . . . . . . . 40

    2.6.4. Kontrolabilnost vremenski-varijabilnih sustava . . . . . . . . . . . 41

    2.7. Observabilnost linearnih sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    2.7.1. Potpuna observabilnost diskretnih sustava . . . . . . . . . . . . . 44

    2.7.2. Potpuna observabilnost kontinuiranih sustava . . . . . . . . . . . 45

    2.7.3. Modalna interpretacija observabilnosti . . . . . . . . . . . . . . . 47

    2.7.4. Observabilnost vremenski-varijabilnih sustava . . . . . . . . . . . 49

    2.8. Regulacija linearnih sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    2.8.1. Regulacijske strukture linearnih sustava . . . . . . . . . . . . . . . 51

    2.8.2. Sinteza regulatora podesavanjem polova sustava . . . . . . . . . . 53

    3. Analiza nelinearnih dinamickih sustava 59

    3.1. Dinamicki model nelinearnih sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    3.2. Linearizacija nelinearnog dinamickog modela . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    3.3. Specificnosti nelinearnih dinamickih sustava . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    3.4. Analiza u faznoj ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    3.5. Perturbacijska analiza nelinearnih sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    3.5.1. Regularna perturbacijska metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    3.5.2. Singularna perturbacijska metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    4. Lyapunovljeva analiza stabilnosti 72

    4.1. Definicije stabilnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    4.2. Definicija Lyapunovljeve funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    4.3. Karakterizacija stabilnosti primjenom Lyapunovljeve funkcije . . . . . . . 74

    4.4. LaSalleov princip invarijantnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    4.5. Lyapunovljeva analiza linearnih sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    4.5.1. Lyapunovljeva matricna jednadzba . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    4.5.2. Ocjena konvergencije Lyapunovljeve funkcije . . . . . . . . . . . . 77

    4.5.3. Analiza stabilnosti perturbiranog sustava . . . . . . . . . . . . . . 79

    4.6. Analiza stabilnosti slozenih sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

  • v4.6.1. Stabilnost nelinearnih perturbiranih sustava . . . . . . . . . . . . 80

    4.6.2. Stabilnost slozenih sustava primjenom M-matrice . . . . . . . . . 82

    4.6.3. Stabilnost slozenih sustava - direktan pristup . . . . . . . . . . . . 84

    4.7. Barbalat lema. Lyapunov-like analiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    4.7.1. Asimptotska svojstva funkcija i njihovih derivacija . . . . . . . . . 85

    4.7.2. Barbalat lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    5. Lp stabilnost i pasivnost dinamickih sustava 925.1. Lp stabilnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

    5.1.1. Definicija Lp stabilnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.1.2. Primjeri izracunavanja Lp pojacanja . . . . . . . . . . . . . . . . 935.1.3. Small-Gain teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    5.2. Disipativnost i pasivnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    5.2.1. Primjeri i definicije disipativnih sustava . . . . . . . . . . . . . . . 99

    5.2.2. Pasivnost dinamickih sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    5.2.3. Uvjeti pasivnosti afinih i linearnih sustava . . . . . . . . . . . . . 106

    5.2.4. H upravljanje linearnim sustavima . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    5.2.5. Pasivnost spregnutih sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

    5.2.6. Stabilnost pasivnih sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

    5.2.7. Passivity-based control (PBC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

    5.3. Hamiltonski sustavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

    5.3.1. Euler-Lagrangeove i Hamiltonove jednadzbe . . . . . . . . . . . . 111

    5.3.2. Port-controlled Hamiltonian systems . . . . . . . . . . . . . . . . 113

    5.3.3. Povratna sprega PCH sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

    5.3.4. Interconnection and Damping Assignment

    Passivity-Based Control (IDA-PBC) . . . . . . . . . . . . . . . . 117

    6. Dodatak A: Osnove linearne algebre 119

    6.1. Neke definicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

    6.2. Svojstva matricnih polinoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

    6.2.1. Cayley-Hamiltonov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

    6.2.2. Cayley-Hamiltonova metoda redukcije polinoma . . . . . . . . . . 122

    6.2.3. Sylvesterov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

    6.3. Vektorski prostori. Rang matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

  • vi

    6.3.1. Linearna nezavisnost vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

    6.4. Definicije i svojstva vektorskih normi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

    6.5. Svojstva kvadratnih formi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

    6.5.1. Definicije kvadratnih formi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

    6.5.2. Svojstva realnih simetricnih matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

    6.5.3. Dijagonalizacija kvadratne forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

    6.5.4. Schurova lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

    6.6. Inducirana norma matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

    6.7. Lp vektorski prostori funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.7.1. Normirani vektorski prostori funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . 137

    6.7.2. Prosireni Lpe prostori funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

    7. Dodatak B: Linearne matricne jednadzbe 142

    7.1. Kroneckerov produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

    7.1.1. Kroneckerov produkt matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

    7.1.2. Kroneckerova suma matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

    7.1.3. Vektorizacija matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

    7.2. Rjesavanje linearnih matricnih jednadzbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

    7.2.1. Silvesterova matricna jednadzba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

    7.2.2. Lyapunovljeva matricna jednadzba . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

    7.2.3. Opca linearna matricna jednadzba . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

    7.2.4. Matlab kod za rjesavanje Lyapunovljeve jednadzbe . . . . . . . . 147

    Literatura 148

  • 1 Pregled literature

    Navodimo pregled literature po pojedinim nastavnim cijelinama. Veci dio navedene

    literature dostupan je u elektronickom formatu (pdf, djvu).

    Nastavne cjeline kolegija Opca teorija sustava:

    1. Rjesenje linearnih multivarijabilnih sustava.

    Literatura: [1], Ch. 10; [2], Ch. 4, 5; [3], Ch. 9; [4], Ch. 11; [5], Ch. 11; [6], Ch. 5,

    10; [7];

    2. Kontrolabilnost, observabilnost, senzitivnost.

    Literatura: [1], Ch. 10; [8], Ch. 2; [2], Ch. 8; [9], Ch. 9; [10], Ch. 4; [7];

    3. Signali i sustavi; L2 norma signala. Barbalat lema.Literatura: [1], Ch. 10; [11], Ch. 3; [12], Ch. 2; [13], Ch. 4, 5; [14], Ch. 4; [15], Ch.