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Operaciones aritméticas
Suma o adición
La suma es una operación que se deriva de la operación de contar.
Si tenemos 6 ovejas y compramos 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 + 2 = 8.
Los términos de la suma se llaman sumandos.
Propiedades de la suma
a + b = b + a Esta propiedad se llama conmutativa.
Si tenemos que sumar varios números podemos hacerlo en cualquier orden (esto se llama propiedad asociativa). Si tenemos que sumar a, b, c y d, podemos sumar primero a + b, después c + d y después sumar los dos resultados anteriores, o podemos sumar a + c, después b + d y después sumar los dos resultados anteriores o podemos sumar a + b y al resultado sumarle c y al resultado sumarle d. En fin podemos sumar los números en cualquier orden.
La suma tiene elemento neutro. El cero es el elemento neutro de la suma porque siempre se cumple que a + 0 = a.
La suma tiene elemento simétrico. El elemento simétrico de un número es otro que sumado al anterior da el elemento neutro. El elemento simétrico de a es -a, porque a + (-a) = 0
Resta o substracción
Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar.
Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4.
Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).
Propiedades de la resta:
La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)
Producto o multiplicación
Muchas veces tenemos que sumar un número consigo mismo varias veces.
Por ejemplo, si tenemos que sumar 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5, sería más breve representarlo así, 57 (esto significaría sumar 5 consigo mismo 7 veces).
La multiplicación es una forma abreviada de hacer un tipo especial de sumas.
Los términos de la multiplicación se llaman multiplicando (el número que se suma) y multiplicador (el número de veces que se suma).
Propiedades de la multiplicación
propiedad conmutativa
a b = b a
propiedad asociativa
Si tenemos que multiplicar varios números podemos hacerlo en cualquier orden
Si tenemos que multiplicar a, b, c y d, podemos multiplicar primero ab, después cd y después multiplicar los dos resultados anteriores, ó podemos multiplicar ac, después bd y después multiplicar los dos resultados anteriores o podemos multiplicar ab y multiplicar el resultado por c y después multiplicarlo por d. En fin podemos multiplicar los números en cualquier orden.
Propiedad distributiva respecto a la suma
a(b + c) = ab + ac
La multiplicación tiene elemento neutro. El uno es el elemento neutro de la multiplicación porque siempre se cumple que a 1 = a.
La multiplicación tiene elemento
simétrico. El elemento simétrico de un
número es otro que multiplicado por el
anterior da el elemento neutro. El
elemento simétrico de a es , porque
1
a
11
aa
a a
División
La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un número de cosas entre un número
de personas.
Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).
Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.
Propiedades de la división
La división no tiene la propiedad
conmutativa. No es lo mismo que
.
b
a
a
b
Potenciación
En bastantes ocasiones tenemos que multiplicar un número por si mismo un número dado de
veces.
Por ejemplo: 5 5 5 5 5 5 5
Una forma de representar esta operación es 57 (esto quiere decir que hay que multiplicar 5 por si mismo 7 veces).
El numero inferior se llama base y el superior exponente.
Propiedades de la potenciación:
am.an = am+n
= am-n
a0 = 1 (se deriva de la propiedad anterior am/am = 1
= am-m = a0)
(am)n = am.n
(ab c)m = am bm cm
a-n = 1/an (se deriva de la segunda propiedad).
m
n
a
a
OPERACIONES CON RACIONALES DECIMALES
Cuando se efectúa la división (a : b) se obtiene un Número Decimal.
Ejemplo
Número Decimal
Decimal Finito (exacto) y Periódico.
Fracción Decimal
Son fracciones cuyo denominador es una potencia de 10.
Ejemplo :
Ejemplo : Expresar la fracción común en fracción decimal.
2.- VALOR POSICIONAL
En el sistema numérico se utilizan diez símbolos llamados dígitos iguales a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
que ocupan un valor de posición.
Ejemplo : 3 985 426.17035
Ejemplo: 52.3
Este número puede separarse en
52 + 0.3 = 52 + .
Aquí, el 52 es el número entero , donde
la posición del 2 es la unidad y 5 la
decena. La cantidad siguiente es la
fracción decimal 0,3 =
NÚMEROS DECIMALES
Estos números son racionales ya que pueden escribirse como fracción.
NÚMEROS PERIODICOS
Es el (los) número(s) que se repite(n) indefinidamente.
a)
b)
c) d) e)
NÚMEROS ANTEPERÍODOS
TRANSFORMACIÓN DE NÚMERO DECIMAL A FRACCIÓN
Se lleva a número entero y se divide por una potencia de diez, esta depende de la cantidad de números que hay después de la coma.
Ejemplo :
TRANSFORMACIÓN DE NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO A FRACCIÓN.
Se lleva a número entero el numerador y se divide por una cantidad de acuerdo a la cantidad de
números periódicos existentes y si existen antiperíodico se deben agregar ceros de acuerdo al número de estos.
Ejemplo :
Nota : Se debe memorizar la transformación de números decimales conocidos a fracción.
Ejemplo :
Ejemplo: Expresar en fracción común :
• Reducción de fracciones
• Multiplicación de fracciones
• División de fracciones
• El Mínimo Común Múltiplo MCM
• Suma de fracciones
• Fracciones complejas
b
a Numerador
Denominador
Genéricamente se les llama miembros
Si cada miembro de una fracción
se multiplica o se divide por una
misma cantidad diferente de cero,
el valor de la fracción no se altera
En una fracción se pueden cambiar
simultaneamente los signos del numerador
y del denominador sin alterar el valor
de la fracción.
Si se cambia el signo del numerador ó
el signo del denominador, se debe c
ambiar
entonces el signo que precede a la fracción.
La suma de dos o más fracciones que
tienen el mismo denominador es una
fracción que tiene como numerador
la suma de los numeradores y como
denominador el mismo de las fracciones.
2 6 4 5a b a b
a b a b a b
2 6 4 5 2 6 4 5
6
a b a b a b a b
a b a b a b a ba b
a b
2 6 4 5 2 6 4 5a b a b a b a b
a b a b a b a b
1. Se factoriza cada denominador.
2. Se encuentra el MCM de los denominadores.
3. Se multiplican los dos miembros de cada fracción por el
cociente que se obtiene al dividir el MCM de los
denominadores entre el denominador de la fracción considerada.
4. Se combinan los numeradores obtenidos en el paso anterior
empleando para cada uno el signo colocado antes de la fracción
a que pertenecía. Se escribe entonces el resultado sobre el
común denominador.
La mínima expresión de una fracción
es aquella en la cual el numerador y
el denominador no tienen factores
comunes.
La mínima expresión de una fracción es aquella en la cual el
numerador y el denominador no tienen factores comunes.
Para reducir una fracción a su mínima
expresión se factorizan primero el
numerador y el denominador y luego
se divide cada uno de ellos entre cada
factor. que les sea común.
a c a c ac
b d b d bd
a c a d a d ad
b d b c b c bc
aa d a d adb
c b c b c bcd
