Operačný výskum

TEST č. 1

Teoretické otázky1. Formulujte rovnicu endogenných a exogenných zdrojov v maticovom modeli podniku! x = (I-A) –1 y S= B(I-A) –1 y y = (I-A)x S=Bx2. Napíšte vzťah pre určenie vedúceho stĺpca v simplexovej tabuľke v minimalizačnej úlohe !Ck – Zk = max (Cj – Zj / Cj – Zj > 0) j

3. Ako sa prejaví v simplexovej tabuľke prázdna množina prípustných riešení? Neexistuje taký bod, ktorý by vyhovoval všetkým podmienkam úlohy, teda štrukturálnym ohraničeniam a podmienkam nezápornosti4. Napíšte vzťah pre hodnoty ÚF v maticovom tvare, ktorý platí v slabej vete o dualite, ak je primárna úloha maximalizačná? c T x < u T b5. Ako sa prejaví alternatívne riešenie v dopravnej úlohe? Úloha LP má viacero riešení, pri ktorých nadobúda extrém ÚF rovnakú hodnotu. Z hľadiska rozhodovacieho procesu sú takéto riešenia úplne rovnocenné.6. Definujte princíp agregácie cieľových funkcií!Je založená na princípe určenia dôležitosti jednotlivých priradení váh a agregovaním všetkých ÚF7. Definujte najneskôr prípustný začiatok činnosti! t1j – dij8. Formulujte priraďovací problém! Úloha v optimálnom priradení prvkov množiny A=(a1, a2,..., an) prvkom rovnako počet množiny B=(b1, b2...,bn

pričom predpokladáme, že hodnoty ai, i=1, 2,..., n a bj j= 1,2,..., n, sú rovné 1. Vektor tvoria premenné xij ktorých hodnota je rovná 1. Keď je prvku ai priradený prvok bj, inak xij = 0. min (max) n

i=1 nj=1 aij . xij

9. Vysvetlite graficky model zásob s deficitom!

10. Napíšte všeobecný tvar rovnice obnovy s jednoduchou reprodukciou s rovnorodou začiatočnou vekovou štruktúrou! un = a1 un-1 + a2 un-2 + ....+ aT un-T = T

k=1 ak un-k

1. príkladElektrotechnický podnik vyrába spotrebnú elektroniku. Ročne 9 000 spotrebičov. Sadách po 820,- SK. Náklady dodávky 200 sk, náklady skladovania 30 sk/jednotku/rok a dodacia lehota je 12 týždňov( 52 týždňov za rok). = 9000 ks, cp = 820 Sk, ca = 200 Sk, cs = 30 Sk/jednotku/rok, T = 12/52 = 0,23 roka1. Optimálnu veľkosť dodávky

Q = ½ 2ca / csQ = ½ 2 . 9000 . 200/30 = 346 ksNajmenšie náklady sa dosiahnu, ak veľkosť 1 dodávky bude 346 ks. 2. Hladina objednania a počet dodávok na ceste r = T – m Q* dod.cyklus: T = Q*/ = 346/ 9000 = 0,0384r = 9000.0,23-5.346 m = T /T = 0,23/0,0384= 5,99 = 5 r = 2070 – 1730 5 -počet dodávok na cester = 340 ksNa ceste bude stále 5 objednávok a ak na sklade bude 340 ks spotrebičov, treba objednať novú dodávku.3. Dĺžka dodacieho cyklu a spotrebu počas neho T = Q*/ = 346/ 9000 = 0,0384 = 14 dní spotreba počas dodacej lehoty: = T

=9000.0,23 = 2070ksspotreba počas neho: =T= 9000.0,0384=345ks

4. Celkové nákladyC(Q) = Cv (Q*) + cp = 10 392 + 9000.820 = 7 390 3925. Výška variabilných nákladovCv(Q) = ½ 2ca cs = ½ 2.9000.200.30 = 10 392

2. príkladNovozaložená firma má na začiatku svojej činnosti 10 nových technických zariadení, ktoré majú životnosť 3 roky. (9.kapitola – nemáme)

3. príklad

1

Chemický závod vyrába 4 výrobky V1, V2, V3, a V4. Pri zostavovaní výrobného programu je pracovných hodín H 1200 hodín, a suroviny S 1400 ton. Potreba hodín je 1, 2, 1 a 3 hodiny a potreba suroviny 3t, 2t, 3t a 1t. Výrobok V1 je polotovarom pre V2 (spotreba 0,5t) a V4 (spotreba 1t), ale je aj ako konečný, jeho zisk 450 Sk. V2 – zisk 500 Sk, V3 – zisk 600 Sk, a V4 – zisk 800Sk. V3 vyrobiť max. 150t, V4 vyrobiť min. 100t. Zostaviť výrobný plán, aby bol maximálny výnos.1. Formulujte problém ako úlohu lineárneho programovania

V1 V2 V3 V4Hodín 1 2 1 3Surovín 3 2 3 1Ceny 450 500 600 800V1 je polotovar – x1 celkové vyprodukované množstvo V1, preto x1=0,5 x2+x4+x5 (spotreba s kladnými znamienkami a výroba so zápornými znamienkami - x1+ 0,5 x2+ x4 + x5 =0)max z(x) = 500x2+600x3+800x4+ 450x5

x1 + 2x2 + 1x3+ 3x4 < 1200 3x1 + 2x2 + 3x3+ x4 < 1400

- x1+0,5 x2+ x4 + x5 = 0 x3 < 150

x4 > 100 x1,x2,x3,x4,x5 > 02. Formulujte k pôvodnej úlohe úlohu duálnu min q(u) = 1200u1+1400u2+ 150u4+ 100u5

u1 + 3u2- u3 > 0 2u1 + 2u2 + 0,5u3 > 500

u1 + 3u2 + u4 > 600 3u1 + u2 + u3+ u5 > 800 u3 > 450

u1, u2, u4 > 0 u3 - voľná

u5 < 03. Je dané nasledujúce optimálne riešenieZ* 280 000 x1=275 x2=0 x3=100 x4=275 x5=0

s1=0 s2=0 w3=0 s4=50 s5=175Interpretujte optimálne riešenie z pohľadu výroby jednotlivých druhov výrobkov. Ekonomicky zdôvodniť, prečo sú hodnoty doplnkových premenných s1 s2 nulové a hodnota s5 = 175.Odpoveď: Chemický závod bude vyrábať 275t výrobkov V1, 100t výrobkov V3 a 275t výrobkov V4. Výrobky V1 sa používajú ako polotovar pre výrobky V2 a V4, premenná x5 pritom reprezentuje množstvo výrobkov V1 určených na odbyt. Pretože x5 = 0, celá produkcia V1 v množstve 275t je určená ako polotovar na výrobu V4 (lebo výrobky V2 sa nevyrábajú, a preto výrobky V1 nie sú potrebné ako polotovar na ich výrobu) a na odbyt nie je určený žiaden výrobok V1. Hodnoty doplnkových premenných informujú o tom, že pracovné hodiny H (zodpovedajúca, doplnková premenná s1) budú úplne využité v počte 1200 a surovina s (jej zodpovedá doplnková premenná s2) je tiež úplne spotrebovaná v množstve 1400 t. Hodnotu doplnkovej premennej s4 =50 možno interpretovať tak, že výrobok V3 sa má vyrábať v maximálnom množstve 150 t, pričom do tejto hornej prípustnej hranice pri vypočítanom výrobnom pláne ostáva ešte 50t (bude vyrábať sa 100t výrobku V3). Hodnota doplnkovej premennej S5 =175 informuje o prekročení dolného ohraničenia množstva výroby V5 o 175 t (výroba 275t výrobku V5 oproti požadovanému minimálnemu množstvu 100 t) pri takomto výrobnom pláne dosiahne závod maximálny výnos z predaja vo výške 280 000 Sk. 4. Preverte, či je riešenie u* = (0,200,-600,0,0) zodpovedajúcim optimálnym riešením duálnej úlohy!min q(u) = 1200u1+1400u2 +0u3 +150u4+ 100u5

1200.0+1400.200+0.-600+150.0+100.0 = 280 000z* = 280 000Dané riešenie je optimálne.5. Vysvetlite na základe vety o komplementárnosti hodnoty doplnkových premenných. Keď skontrolujeme hodnotu doplnkových premenných s1 v optimálnej tabuľke, vidíme, že je rovná 0 a teda žiadne pracovné hodiny už nie sú k dispozícií. Ide o alternatívne riešenie a preto môžeme zaviesť druhý vektor do bázy a neovplyvňuje to hodnoty duálnej premennej. V takomto prípade nie sú vyčerpané možnosti využitia.6. Zistite, či bybolo pre firmu ekonomicky zaujímavé vyrábať nový druh výrobku, potrebné 3 prac.hodiny a spotrebuje sa 2t surovín, zisk bude 500 Sk. 7. Formulujte úlohu ako úlohu viackriteriálnej optimalizácie (neučiť)4. príklad

2

Na pracovisko cez konkurz vybrali pre tri miesta troch uchádzačov. Zistiť schopnosti nových pracovníkov. Pripravené tri skupiny otázok pre tri pracovné miesta. Hodnotenie na základe trestných bodov. Uvedené v tabuľke. Úlohou je priradiť pracovníkov tak aby ich výkonnosť bola maximálna. Pracovník/prac.miesto 1. 2. 3.

A 10 20 10B 10 5 35C 10 5 10

1. Zapíšte úlohu ako úlohu lineárneho programovania, k nej zostrojte duálnu úlohu! min f(x) = 10x11+20x12+10x13+10x21 +5x22+35x23+10x31+5x32 +10x33

x11+ x12+ x13 = 1 x21 + x22+ x23 = 1

x31+ x32 + x33 = 1x11+ x21+ x31 = 1

x12 + x22+ x32 = 1 x13+ x23+ x33 = 1

xij 0,1duálna úlohamax q(uv) = u1+ u2+ u3+ v1 + v2+ v3

u1+ v1 < 10 u1+ v2 < 20 u1+ v3 < 10 u2+ v1 < 10 u2+ v2 < 5 u2+ v3 < 35 u3+ v1 < 10 u3+ v2 < 5 u3+ v3 < 10

ui, vj = voľné2. Vogelovou aproximačnou metódou nájdite východiskové prípustné riešenie a zodpovedajúcu hodnotu

D1 D2 D3

1 10 20 10 1 10 10 10*10 1 5 35 1 5 510 5 1 10 1 5

1 1 1/ 15 25*

15*Úloha je degenerovaná m+n-1=5. Počet obsadených polí je 3. - metóda

1 10 20 + 10 1+10 1 5 + 35 1+10 5 1+10 1+

1 1 1+3Prípustné riešenie3. Zistite, či Vami vypočítané východiskové prípustné riešenie je optimálne. Ak nie je, vypočítajte ho.

0 30 0

10 1 10 20 10 1+35 10 1 5 35 1+

10 10 10 5 1+10 1+1 1 1+3

Ľavý roh < pravý roh10 5 10

0 1 10 1+0 1 5 1+0 1 10 1

1 1+ 1+4. Zapíšte všeobecný tvar priraďovacieho problému v zložkovom tvare a určte, čím sa líši od dopravnej úlohy! min (max) n

i=1 nj=1 cij . xij

3

Je špeciálny prípad dopravnej úlohy, ak platí m=n. Každé prípustné riešenie priradenia problému má práve n – nenulových zložiek, čo je proti m+n-1 silná degenerácia. Kapacity bodov a požiadavky sa = 1 a sú celočíselné.

TEST č.2

4

Teoretické otázky:1. Napíšte základný tvar maticového modelu II podniku!X = (M)-1y x = (I-A) –1 y S= B(I-A) –1 y2. Napíšte vzťah pre určenie vedúceho riadku v simplexovej tabuľke! Xrk = min XBi / Xik > 0 j Xik

3. Ako sa prejavuje degenerovanosť v simplexovej tabuľke? Počet riešení je menší ako m+n-14. Napíšte vzťah, ktorý musí platiť pre váhové koeficienty charakterrizujúce významnosť jednotlivých kritérií pri princípe agregácie cieľových kritérií! (4. kapitola – neučiť)5. Napíšte vzťah v maticovom tvare, ktorý platí v slabej vete o dualite, ak je primárna úloha maximalizačná? c T x < u T b6. Napíšte dve základné podmienky, ktoré musí spĺňať optimálne riešenie dopravnej úlohy, aby sa dala použiť vlastnosť viacej za menej! Musí byť optimálne a nedegenerované7. Napíšte vzťah, ktorý platí pri aplikácii Dantzigovho algoritmu pre hľadadnie najkratšej cesty v sieti pre všetky hrany vstupujúce do uzla Pr tr = (ti + dij) pre všetky i a j8. Napíšte vzťah pre výpočet spádu pri nákladovej analýze kritickej cesty! aij = cij - Cij pre všetky Dij dij Dij - dij

9. Odvoďte Wilsonov vzorec ! Derivácia nákladovej funkcie podľa množstva Q a potom ju položíme = 0C˝(Q) = - ca + 1 cs = 0 Q2 2Q* = ½ 2ca / cs10. Napíšte všeobecný tvar rovnice obnovy pre modely obnovy s jednoduchou reprodukciou s rovnorodou začiatočnou vekovou štruktúrouun = a1 un-1 + a2 un-2 + ....+ aT un-T = T

k=1 ak un-k

1. príklad Ročná spotreba výrobku je 20 000 ks. Nákupná cena je 500Sk, za skladovanie sa počítajú náklady 2% nákupnej ceny za mesiac, náklady na dodávku sú 8000 sk, dodacia lehota sú 2 mesiace (1/6 roka). = 20 000 ks, cp = 500 Sk, ca = 8000 Sk, cs = 500 * 0,02 Sk/jednotku/mes.=120 Sk/j/rok, T =1/6 = 0,166 roka1. Optimálnu veľkosť dodávky

Q = ½ 2ca / csQ = ½ 2 . 20 000 . 8000/120 = 1632 ksNajmenšie náklady sa dosiahnu, ak veľkosť 1 dodávky bude 1632 ks. 2. Výška variabilných nákladovCv(Q) = ½ 2ca cs = ½ 2.20 000.8000.120 = 195 9593. Hladina objednania a počet dodávok na ceste r = T – m Q* dod.cyklus: T = Q*/ = 1632/ 20 000 = 0,0816r = 20 000.0,166-2.1632 m = T /T = 0,166/0,0816= 2 r = 3333 – 3264 2 -počet dodávok na cester = 69 ksNa ceste bude stále 2 objednávok a ak na sklade bude 69 ks spotrebičov, treba objednať novú dodávku.4. Dĺžka dodacieho cyklu a spotrebu počas neho T = Q*/ = 1632/ 20 000 = 0,0816 = 29 dní spotreba počas dodacej lehoty: = T

=20 000.0,166 = 3333ksspotreba počas neho: =T= 20 000.0,0816=1632ks

5. Celkové nákladyC(Q) = Cv (Q*) + cp = 195 959 + 20 000.500 = 10 195 959

6. Graficky znázorni vypočítané hodnoty v súradn. systéme s časom na osi x a veľkosťou spotreby na osi y

5

7. Ak je prípustný deficit, náklady z neho vyplývajúce sú 10% nákupnej ceny za kus a mesiac. Vypočítať optimálnu veľkosť dodávkyQ* (s) = ½ 2ca (cs+cd) / cs.cdQ* (s) = ½ 2 . 20 000 . 8000 (120+600) / 120 .600 = 1789 ks8. Vypočítajte optimálnu veľkosť deficitus* = ½ 2ca . cs / (cs+cd) cd s* = ½ 2 . 20 000 . 8000 . 120 / (120+600) . 600 = 299 ks9. Vypočítajte variabilné a celkové náklady Cv(Q,s) = /Q ca + 1/2Q (Q-s)2 . cs + s2 . cdCv(Q,s) = 20 000/ 1632 . 8000 + 1/ 2 . 1632 (1632-299)2 . 120 + 2992 . 600Cv(Q,s) = 98039,22 + 1/ 2 .1632 213226680 + 53640600 = 98039,22 + 81760,8 = 179 800 Sk

C(Q*,s*) = Cv (Q,s) + . cpC(Q*,s*) = 179 800 + 20 000 . 500 = 10 179 800 Sk

2. príkladVýrobca tehál vlastní 3 výrobne A,B,C. Odb. sklady sú v 3 lokalitách D,E,F. Prepravné náklady 1 t betónu z jednotlivých do daných lokalít (v 100 Sk) spolu s kapacitou výrobní a požiadavkami pre jednotlivé sklady sú uvedené v tabuľke. Úlohou je určiť taký spôsob rozvozu, aby náklady na prepravu boli minimálne.

D E F kapacita výrobníA 2 3 4 250B 3 2 5 450C 1 8 2 700

požiadavky skladov 700 200 2501. Formulujte tento problém ako úlohu lineárneho programovania a zostrojiť duálnu úlohu min f(x) = 2x11+3x12+ 4x13+ 3x21 + 2x22+ 5x23+ 1x31+ 8x32 + 2x33

x11+ x12+ x13 = 250 x21 + x22+ x23 = 450

x31+ x32 + x33 = 700x11+ x 21+ x31 = 700

x12 + x22+ x32 = 200 x13+ x23+ x33 = 250

x11, x12, x13, x21, x22, x23, x31, x32 , x33 > 0 xij > 0 i = 1,...m j = 1,....nmax q(uv) = u1+ u2+ u3+ v1 + v2+ v3


ui, vj = voľné2. Vogelovou aproximačnou metódou nájdite východiskové prípustné riešenie a zodpovedajúcu hodnotu ÚF.

D E F D1 D2

A 2 3 4 250 1 1

B 250 3 200 2 5 450 1 1

C 450 1 8 250 2 700 1 7*700 200 250

1 1 2*

3. Overte, či nasledujúci rozvoz je optimálny: B-D: 250, B-E: 200, C-D: 450, C-F: 250. Ak nie je, vypočítajte ho. m + n – 1 = 3+2=5. Úloha je degenerovaná, -metóda

0 -1 1

2 + 2 3 3 4 250+

6

3 250 3 200 2 4 5 450+

1 450 1 8 250 2 700+700 200 250+

3. príkladV súkromnej ordinácii pracuje 1 lekár. Denne (8 hodín) k nemu prichádza na ošetrenie 22 pacientov. Priemerný čas ošetrenia jedného pacienta je 20 minút.To = 20 min = 1/3 hod, 1. Vypočítajte priemerný počet pacientov v ordinácii a ich priemerný čas pobytu v nej. = 22/8 = 2,75 = 3 požiadavky na hodinuwf = df / = / = 3/3 =1 = 1 / t = 1 : 1/3 = 3hodiny- priemerný čas pobytu v nej2. Vypočítajte priemerný čas čakania v rade a priemerný počet pacientov v ňom.Wf = df/ = 2/3 = 0,66 = 40 min priemerný čas čakania v rade3. Vypočítajte koeficienty využitia a prestoja. kz = nz / n = 3/1 = 3nz = / n = 3/1 = 3ko = no / n = -2/1= -2 – nebude žiaden prestojno = n-nz = 1-3= -2

Pretože priemerné zaťaženie zubára je enormne vysoké, uvažuje o pribratí spoločníka, ktorý by prebral časť jeho pacientov, pričom by do ordinácie naďalej prichádzalo celkovo 22 pacientov za deň a aj druhý zubár by venoval ošetreniu pacienta priemerne 20 minút. Náklady na prácu každého zo zubárov by boli pritom 1000.- Sk za hodinu, náklady vyplývajúce z čakania pacienta v ordinácii 120.- Sk.4. Vypočítajte, či by bolo pre zubára efektívne pribrať ešte jedného lekára za spoločníka. Zdôvodnite!

Voliteľné príklady1.príklad Chemický závod vyrába 4 výrobky V1, V2, V3, a V4. Pri zostavovaní výrobného programu je pracovných hodín H 1200 hodín, a suroviny S 1400 ton. Potreba hodín je 1, 2, 1 a 3 hodiny a potreba suroviny 3t, 2t, 3t a 1t. Výrobok V1 je polotovarom pre V2 (spotreba 0,5t) a V4 (spotreba 1t), ale je aj ako konečný, jeho zisk 450 Sk. V2 – zisk 500 Sk, V3 – zisk 600 Sk, a V4 – zisk 800Sk. V3 vyrobiť max. 150t, V4 vyrobiť min. 100t. Zostaviť výrobný plán, aby bol maximálny výnos.1. Formulujte problém ako úlohu lineárneho programovania


x1 + 2x2 + 1x3+ 3x4 < 1200 3x1 + 2x2 + 3x3+ x4 < 1400

- x1+0,5 x2+ x4 + x5 = 0 x3 < 150


u1 + 3u2- u3 > 0 2u1 + 2u2 + 0,5u3 > 500

7

u1 + 3u2 + u4 > 600 3u1 + u2 + u3+ u5 > 800 u3 > 450

u1, u2, u4 > 0 u3 - voľná

u5 < 03. Je dané nasledujúce optimálne riešenieZ* 280 000 x1=275 x2=0 x3=100 x4=275 x5=0

s1=0 s2=0 w3=0 s4=50 s5=175Interpretujte optimálne riešenie z pohľadu výroby jednotlivých druhov výrobkov. Ekonomicky zdôvodniť, prečo sú hodnoty doplnkových premenných s1 s2 nulové a hodnota s5 = 175.Odpoveď: Chemický závod bude vyrábať 275t výrobkov V1, 100t výrobkov V3 a 275t výrobkov V4. Výrobky V1 sa používajú ako polotovar pre výrobky V2 a V4, premenná x5 pritom reprezentuje množstvo výrobkov V1 určených na odbyt. Pretože x5 = 0, celá produkcia V1 v množstve 275t je určená ako polotovar na výrobu V4 (lebo výrobky V2 sa nevyrábajú, a preto výrobky V1 nie sú potrebné ako polotovar na ich výrobu) a na odbyt nie je určený žiaden výrobok V1. Hodnoty doplnkových premenných informujú o tom, že pracovné hodiny H (zodpovedajúca, doplnková premenná s1) budú úplne využité v počte 1200 a surovina s (jej zodpovedá doplnková premenná s2) je tiež úplne spotrebovaná v množstve 1400 t. Hodnotu doplnkovej premennej s4 =50 možno interpretovať tak, že výrobok V3 sa má vyrábať v maximálnom množstve 150 t, pričom do tejto hornej prípustnej hranice pri vypočítanom výrobnom pláne ostáva ešte 50t (bude vyrábať sa 100t výrobku V3). Hodnota doplnkovej premennej S5 =175 informuje o prekročení dolného ohraničenia množstva výroby V5 o 175 t (výroba 275t výrobku V5 oproti požadovanému minimálnemu množstvu 100 t) pri takomto výrobnom pláne dosiahne závod maximálny výnos z predaja vo výške 280 000 Sk. 4. Preverte, či je riešenie u* = (0,200,-600,0,0) zodpovedajúcim optimálnym riešením duálnej úlohy!min q(u) = 1200u1+1400u2 +0u3 +150u4+ 100u5

1200.0+1400.200+0.-600+150.0+100.0 = 280 000z* = 280 000Dané riešenie je optimálne.5. Vysvetlite na základe vety o komplementárnosti hodnoty doplnkových premenných. Keď skontrolujeme hodnotu doplnkových premenných s1 v optimálnej tabuľke, vidíme, že je rovná 0 a teda žiadne pracovné hodiny už nie sú k dispozícií. Ide o alternatívne riešenie a preto môžeme zaviesť druhý vektor do bázy a neovplyvňuje to hodnoty duálnej premennej. V takomto prípade nie sú vyčerpané možnosti využitia.6. Zistite, či bybolo pre firmu ekonomicky zaujímavé vyrábať nový druh výrobku, potrebné 3 prac.hodiny a spotrebuje sa 2t surovín, zisk bude 500 Sk. 7. Formulujte úlohu ako úlohu viackriteriálnej optimalizácie (neučiť)

Test č. 3

Teoretické otázky:1.Formulujte maticový model II podniku!

8

X = (M)-1y x = (I-A) –1 y S= B(I-A) –1 y2. Napíšte vzťah pre určenie vedúceho riadku v simplexovej tabuľke! Xrk = min XBi / Xik > 0 j Xik

3. Ako sa prejaví v simplexovej tabuľke alternatívne riešenie? Úloha LP má viacero riešení, pri ktorých nadobúda extrém ÚF rovnakú hodnotu. Z hľadiska rozhodovacieho procesu sú takéto riešenia úplne rovnocenné.4. Čo hovorí veta o komplementárnosti?Nech x* je optimálne riešenie priradení prvkov a u* je optimálne riešenie duálnej úlohy. Ak po dosadení vektora x* do sústavy aij . xj < bi sa i-tá nerovnica spĺňa ako ostrá t.j. aij . xj* < bi, potom i-tá zložka vektora u* sa rovná nule, teda ui* = 0 5. Ako sa prejaví degenerované riešenie v dopravnej úlohe? Počet vyplnených polí v tabuľke xij < m+n-16. Definujte princíp agregácie cieľových funkcií! Je založená na princípe určenia dôležitosti jednotliv.cieľ. kritérií priradením váh a agregov ÚF pomocou kladných váh koeficientov7. Definujte najskôr možný koniec činnosti! Ti

o + dij

8. Formulujte priraďovací problém! Úloha v optimálnom priradení prvkov množiny A=(a1, a2,..., an) prvkom rovnako počet množiny B=(b1, b2...,bn


i=1 nj=1 aij . xij

9. Vysvetlite graficky model zásob bez deficitu!

10. Definujte pravdepodobnosť dožitia pre modely obnovy!Z (t) = pravdepodobnosť a>t

1. príkladPekárne spotrebujú pri príprave sladkého plneného pečiva 3000 kg masla za týždeň. Veľkoobchodná cena masla za 1 kg je 60.- Sk, náklady na jednu dodávku sú 250 .-Sk a náklady skladovania v dôsledku vysokých nákladov na elektrinu sú 16.- Sk za 1 kg za 1 týždeň. Dodacia lehota sú 4 dni. Určte a vypočítajte: = 3000 kg, cp = 60 Sk, ca = 250 Sk, cs = 16Sk/jednotku/týždeň, T = 4/7 = 0,57 týždňa1. Optimálnu veľkosť dodávky

Q = ½ 2ca / csQ = ½ 2 . 3000 . 250/16 = 306 ksNajmenšie náklady sa dosiahnu, ak veľkosť 1 dodávky bude 306 ks. 2. Hladina objednania a počet dodávok na ceste r = T – m Q* dod.cyklus: T = Q*/ = 306/ 3000 = 0,102r = 3000.0,57-5.306 m = T /T = 0,57/0,102= 5,58 = 5 r = 1710 – 1530 5 -počet dodávok na cester = 180 ksNa ceste bude stále 5 objednávok a ak na sklade bude 180ks spotrebičov, treba objednať novú dodávku.3. Dĺžka dodacieho cyklu a spotrebu počas neho T = Q*/ = 306/ 3000 = 0,102 . 7= 0,7 dňa spotreba počas dodacej lehoty: = T


4. Celkové nákladyC(Q) = Cv (Q*) + cp = 4 899 + 3000.60 = 184 899 Sk/týždenne5. Výška variabilných nákladovCv(Q) = ½ 2ca cs = ½ 2.3000.250.16 = 4 899 Sk/týždenne

2. príkladNovozaložená firma má na začiatku svojej činnosti 10 nových technických zariadení, ktoré majú životnosť 3 roky. (9. kapitola nemáme)3. príklad

9

Chemický závod vyrába 4 výrobky V1, V2, V3 a V4. Pri zostavovaní výrobného programu je pracovných hodín H (2400 hodín) a suroviny S (2800 ton). Potreba hodín je 1, 2, 1 a 3 hodiny a potreba suroviny 3 t, 2 t, 3 t a 1 t. Výrobok V1 je polotovarom V2 (spotreba je 0,5 t) a V4 (spotreba 1 t), ale je aj ako konečný výrobok, jeho zisk je 450 Sk. Zisk z predaja V2 je 500 Sk, V3 600 Sk a V4 800 Sk. Výrobok V3 vyrobiť max. množstve 300 t a výroba výrobku V4 musí byť min. 200 t. Zostaviť výrobný plán, aby mala firma z výroby maximálny výnos.1. Formulujte problém ako úlohu lineárneho programovania


x1 + 2x2 + 1x3+ 3x4 < 2400 3x1 + 2x2 + 3x3+ x4 < 2800

- x1+0,5 x2+ x4 + x5 = 0 x3 < 300


u1 + 3u2- u3 > 0 2u1 + 2u2 + 0,5u3 > 500

u1 + 3u2 + u4 > 600 3u1 + u2 + u3+ u5 > 800 u3 > 450

u1, u2, u4 > 0 u3 - voľná

u5 < 03. Je dané nasledujúce optimálne riešenie: z* = 560000 x1=550 x2=0 x3=200 x4=550 x5=0

s1= 0 s2= 0 w3=0 s4=100 s5=350 Interpretujte optimálne riešenie z pohľadu výroby jednotlivých druhov výrobkov, surovinových zdrojov ako aj disponibilného počtu pracovných hodín. Ekonomicky zdôvodnite, prečo sú hodnoty doplnkových premenných s1

a s2 nulové a hodnota s5 =350. Odpoveď: Chemický závod bude vyrábať 550t výrobkov V1, 200t výrobkov V3 a 550t výrobkov V4. Výrobky V1 sa používajú ako polotovar pre výrobky V2 a V4, premenná x5 pritom reprezentuje množstvo výrobkov V1 určených na odbyt. Pretože x5 = 0, celá produkcia V1 v množstve 550t je určená ako polotovar na výrobu V4 (lebo výrobky V2 sa nevyrábajú, a preto výrobky V1 nie sú potrebné ako polotovar na ich výrobu) a na odbyt nie je určený žiaden výrobok V1. Hodnoty doplnkových premenných informujú o tom, že pracovné hodiny H (zodpovedajúca, doplnková premenná s1) budú úplne využité v počte 2400 a surovina s (jej zodpovedá doplnková premenná s2) je tiež úplne spotrebovaná v množstve 2800 t. Hodnotu doplnkovej premennej s4 =100 možno interpretovať tak, že výrobok V3 sa má vyrábať v maximálnom množstve 300 t, pričom do tejto hornej prípustnej hranice pri vypočítanom výrobnom pláne ostáva ešte 100t (bude sa vyrábať 200t V3). Hodnota doplnkovej premennej S5 =350 informuje o prekročení dolného ohraničenia množstva výroby V5 o 350 t (výroba 550t výrobku V5 oproti požadovanému minimálnemu množstvu 200 t) pri takomto výrobnom pláne dosiahne závod maximálny výnos z predaja vo výške 560 000 Sk. 4. Preverte, či je riešenie u * = (0, 200, -600, 0, 0) zodpovedajúcim optimálnym riešením duálnej úlohy! min q(u) = 2400u1+2800u2 +0u3 +300u4+ 200u5

2400.0+2800.200+0.-600+300.0+200.0 = 560 000z* = 560 000Dané riešenie je optimálne.

5. Vysvetlite na základe vety o komplementárnosti hodnoty doplnkových premenných.

10

Keď skontrolujeme hodnotu doplnkových premenných s1 v optimálnej tabuľke, vidíme, že je rovná 0 a teda žiadne pracovné hodiny už nie sú k dispozícií. Ide o alternatívne riešenie a preto môžeme zaviesť druhý vektor do bázy a neovplyvňuje to hodnoty duálnej premennej. V takomto prípade nie sú vyčerpané možnosti využitia.6. Zistite, či bybolo pre firmu ekonomicky zaujímavé vyrábať nový druh výrobku, potrebné 3 prac.hodiny a spotrebuje sa 2t surovín, zisk bude 500 Sk. 7. Formulujte úlohu ako úlohu viackriteriálnej optimalizácie (neučiť)

4. príkladNa pracovisko cez konkurz vybrali pre tri miesta troch uchádzačov. Zistiť schopnosti nových pracovníkov. Pripravené tri skupiny otázok pre tri pracovné miesta. Hodnotenie na základe trestných bodov. Uvedené v tabuľke. Úlohou je priradiť pracovníkov tak aby ich výkonnosť bola maximálna. Pracovník/prac.miesto 1. 2. 3.

A 10 20 10B 10 5 35C 10 5 10

1. Zapíšte úlohu ako úlohu lineárneho programovania, k nej zostrojte duálnu úlohu! min f(x) = 10x11+20x12+10x13+10x21 +5x22+35x23+10x31+5x32 +10x33

x11+ x12+ x13 = 1 x21 + x22+ x23 = 1

x31+ x32 + x33 = 1x11+ x21+ x31 = 1

x12 + x22+ x32 = 1 x13+ x23+ x33 = 1

xij 0,1duálna úlohamax q(uv) = u1+ u2+ u3+ v1 + v2+ v3


ui, vj = voľné2. Vogelovou aproximačnou metódou nájdite východiskové prípustné riešenie a zodpovedajúcu hodnotu

D1 D2 D3

1 10 20 10 1 10 10 10*10 1 5 35 1 5 510 5 1 10 1 5

1 1 1/ 15 25*

15*Úloha je degenerovaná m+n-1=5. Počet obsadených polí je 3. - metóda

1 10 20 + 10 1+10 1 5 + 35 1+10 5 1+10 1+

1 1 1+3Prípustné riešenie

3. Zistite, či Vami vypočítané východiskové prípustné riešenie je optimálne. Ak nie je, vypočítajte ho.

11

0 30 0

10 1 10 20 10 1+35 10 1 5 35 1+

10 10 10 5 1+10 1+1 1 1+3

Ľavý roh < pravý roh10 5 10

0 1 10 1+0 1 5 1+0 1 10 1

1 1+ 1+4. Zapíšte všeobecný tvar priraďovacieho problému v zložkovom tvare a určte, čím sa líši od dopravnej úlohy! min (max) n

i=1 nj=1 cij . xij

Je špeciálny prípad dopravnej úlohy, ak platí m=n. Každé prípustné riešenie priradenia problému má práve n – nenulových zložiek, čo je proti m+n-1 silná degenerácia. Kapacity bodov a požiadavky sa = 1 a sú celočíselné.

4. Test

12

Teoretické otázky1.Formulujte maticový model II podniku! X = (M)-1y x = (I-A) –1 y S= B(I-A) –1 y2. Napíšte vzťah pre určenie vedúceho riadku v simplexovej tabuľke! Xrk = min XBi / Xik > 0 j Xik

3. Ako sa prejaví v simplexovej tabuľke alternatívne riešenie? Úloha LP má viacero riešení, pri ktorých nadobúda extrém ÚF rovnakú hodnotu. Z hľadiska rozhodovacieho procesu sú takéto riešenia úplne rovnocenné.4. Čo hovorí veta o komplementárnosti?Nech x* je optimálne riešenie priradení prvkov a u* je optimálne riešenie duálnej úlohy. Ak po dosadení vektora x* do sústavy aij . xj < bi sa i-tá nerovnica spĺňa ako ostrá t.j. aij . xj* < bi, potom i-tá zložka vektora u* sa rovná nule, teda ui* = 0 5. Ako sa prejaví degenerované riešenie v dopravnej úlohe? Počet vyplnených polí v tabuľke xij < m+n-16. Definujte princíp agregácie cieľových funkcií! Je založená na princípe určenia dôležitosti jednotliv.cieľ. kritérií priradením váh a agregov ÚF pomocou kladných váh koeficientov7. Definujte najskôr možný koniec činnosti! Ti

o + dij

8. Formulujte priraďovací problém! Úloha v optimálnom priradení prvkov množiny A=(a1, a2,..., an) prvkom rovnako počet množiny B=(b1, b2...,bn


i=1 nj=1 aij . xij

9. Vysvetlite graficky model zásob bez deficitu!

10. Definujte pravdepodobnosť dožitia pre modely obnovy!Z (t) = pravdepodobnosť a>t

1. príkladV súkromnej firme BLAMON pracujú dve kozmetičky 8 hodín denne. Za hodinu prídu do kozmetiky 3 zákazníčky. Priemerný čas ošetrenia zákazníčky je 25 minút. Ak sú obidve kozmetičky obsadené, nová zákazníčka zostane čakať v čakárni. Určte a vypočítajte:1. Pravdepodobnosť že nepracuje ani jedna kozmetička2. Pravdepodobnosť že zákazníčka musí na ošetrenie čakať 3. Priemerný počet zákazníčiek čakajúcich na ošetrenie a priemerný počet zákazníčiek vo firme 4. Priemerný čas čakania zákazníčiek v čakárni a priemerný čas pobytu zákazníčiek vo firme 5. V percentách využitie jednej kozmetičky za pracovný čas a koľko minút môže kozmetička počas svojho pracovného dňa oddychovať

2. príkladNovozaložená firma má na začiatku svojej činnosti 100 nových technických zariadení, ktoré majú životnosť 3 roky. (9. kapitola- nemáme)3. príkladV kvetinárstve sa aranžujú 2 druhy kytíc. 1. druh je zostavený z 3 ruží, 5 margarét a 3 nezábudiek, jeho cena je 200 Sk. 2. druh sa aranžuje z 1 ruže, 5 margarét a 5 nezábudiek, jeho cena je 180 Sk. Kvetinárstvo má k dispozícii 200 ruží, 400 margarét a 400 nezábudiek. Kvetinárstvo už pritom obdržalo 40 objednávok na kyticu 1. druhu, ktoré musí minimálne splniť. Cieľom také počty jednotlivých druhov kytíc, aby bol zisk maximálny. 1. Formulujte problém ako úlohu lineárneho programovania (dodržte poradie ohraničení). max z(x) = 200x1+180x2

3x1 + x2 < 200 5x1 + 5x2 < 400

3x1+ 5 x2 < 400 x1 > 40 x1, x2 > 02. Riešte úlohu graficky.

13

3x1 + x2 < 200 5x1 + 5x2 < 400 3x1+ 5 x2 < 400x1 =66,67 x1 =80 x1 =133,33x2 =200 x2 =80 x2 =80

3. Zostavte úvodnú tabuľku pre riešenie danej ÚLP primárnym simplexovým algoritmom a určte vedúci prvokBáza cj 200 180 0 0 0 0 1

cb x1 x2 s1 s2 s3 s4 w1 bs1 0 3 1 1 0 0 0 0 200s2 0 5 5 0 1 0 0 0 400s3 0 3 5 0 0 1 0 0 400w4 0 1 0 0 0 0 -1 1 400zj-cj 200 180 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 Vystupújucou premennou je s1 a vedúci prvok je 34. Doplňte hodnoty do tabuľky a určte vedúci prvok

cj 200 180 0 0 0 0 1B cB x1 x2 s1 s2 s3 s4 w1 bs4 0 0 0,333 0,333 0 0 0 0 26,67s2 0 0 3,333 -1,67 1 0 0 0 66,67s3 0 0 4 -1 0 -3 0 0 200x1 200 1 0,333 0,333 0 0 1 -1 66,67

zj - cjI 0 113,4 - 66,6 0 0 -200 201 13 334

zj - cjII

5. Je dané nasledujúce optimálne riešenie: z* = 15 600 x1= 60 x2= 20s1= 0 s2= 0 s3= 120 s4= 20

Interpretujte optimálne riešenie z pohľadu aranžovania jednotlivých druhov kytíc a jednotlivých druhov kvetov. Ekonomicky zdôvodnite, prečo sú hodnoty doplnkových premenných s1 a s2 nulové a hodnota s4 = 20.

Odpoveď: Kytíc 1. druhu sa naaranžuje 60 ks, kytíc 2.druhu 20 ks. Zároveň sa minú všetky ruže a margarétky. Na sklade zostane 120 ks nezábudiek chýba ešte uviazať 20 kytíc, aby bola splnená objednávka.6. Formulujte k pôvodnej úlohe úlohu duálnu min q(u) = 200u1+400u2 +400u3+40u4

3u1+ 5u2 + 3u3 + u4 > 200 u1+ 5u2 + 5u3 > 180 u1, u2, u3 > 0

u4 < 07. Preverte, či je riešenie u * = (10, 34, 0, 0) zodpovedajúcim optimálnym riešením duálnej úlohy! min q(u) = 200u1+400u2 +400u3+40u4

(200 . 10) + (400 . 34) + (400 . 0) + (40.0) = 2000+13600+0+0 = 15 600Dané riešenie je optimálne.

14

Test č.5

Teoretické otázky: 1. Formulujte rovnicu endogenných a exogenných zdrojov v maticovom modeli podniku! x = (I-A) –1 y S= B(I-A) –1 y y = (I-A)x S=Bx2. Napíšte vzťah pre určenie vedúceho stĺpca v simplexovej tabuľke v minimalizačnej úlohe !Zk – Ck = min (Zj – Cj / Zj – Cj < 0) j



i=1 nj=1 aij . xij



k=1 ak un-k

1. príkladNa plastickej chirurgii pracujú dvaja lekári 8 hodín denne. Za hodinu prídu do čakárne 2 pacientky.

Priemerný čas ošetrenia pacientky je 50 minút. Ak sú obidvaja lekári obsadení, nová pacientka zostane čakať v čakárni.Určte a vypočítajte:1. Pravdepodobnosť že nepracuje ani jeden lekár 2. Pravdepodobnosť že pacientka musí na ošetrenie čakať 3. Priemerný počet pacientiek čakajúcich na ošetrenie a priemerný počet pacientiek na chirurgii 4. Priemerný čas čakania pacientiek v čakárni a priemerný čas pobytu pacientiek na chirurgii 5. V percentách využitie jedného lekára za pracovný čas a koľko minút môže lekár počas svojho pracovného dňa oddychovať

2. príklad:Novozaložená firma má na začiatku svojej činnosti 100 nových technických zariadení, ktoré majú životnosť 3 roky. (9. kapitola – nemáme)

3. príkladV kvetinárstve sa aranžujú 2 druhy kytíc. 1. druh je zostavený z 3 ruží, 5 margarét a 3 nezábudiek, jeho cena je 200 Sk. 2. druh sa aranžuje z 1 ruže, 5 margarét a 5 nezábudiek, jeho cena je 180 Sk. Kvetinárstvo má k dispozícii 100 ruží, 200 margarét a 200 nezábudiek. Kvetinárstvo už pritom obdržalo 20 objednávok na kyticu 1. druhu, ktoré musí minimálne splniť. Cieľom je stanoviť také počty jednotlivých druhov kytíc, aby bol zisk maximálny.1. Formulujte problém ako úlohu lineárneho programovania (dodržte poradie ohraničení).max z(x) = 200x1+180x2

3x1 + x2 < 100 5x1 + 5x2 < 200

3x1+ 5 x2 < 200 x1 > 20 x1, x2 > 0

15

2. Riešte úlohu graficky.3x1 + x2 < 100 5x1 + 5x2 < 200 3x1+ 5 x2 < 200x1 =33,33 x1 =40 x1 =66,67x2 =100 x2 =40 x2 =40

3. Zostavte úvodnú tabuľku pre riešenie danej ÚLP primárnym simplexovým algoritmom a určte vedúci prvok. Báza cj 200 180 0 0 0 0 1

cb x1 x2 s1 s2 s3 s4 w1 bs1 0 3 1 1 0 0 0 0 100s2 0 5 5 0 1 0 0 0 200s3 0 3 5 0 0 1 0 0 200w4 0 1 0 0 0 0 -1 1 20zj-cj 200 180 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 Vystupújucou premennou je s1 a vedúci prvok je 3.4. Doplňte hodnoty do tabuľky a určte vedúci prvok

cj 200 180 0 0 0 0 1B cB x1 x2 s1 s2 S3 s4 w1 bs4 0 0 0,333 0,333 0 0 0 0 13,33s2 0 0 3,333 -1,67 1 0 0 0 33,33s3 0 0 4 -1 0 -3 0 0 100x1 200 1 0,333 0,333 0 0 1 -1 33,33

zj - cjI 0 113,4 -66,6 0 0 -200 201 6 666

zj - cjII

5. Je dané nasledujúce optimálne riešenie: z* = 7 800 x1= 30 x2= 10s1= 0 s2= 0 s3= 60 s4= 10

Interpretujte optimálne riešenie z pohľadu aranžovania jednotlivých druhov kytíc a jednotlivých druhov kvetov. Ekonomicky zdôvodnite, prečo sú hodnoty doplnkových premenných s1 a s2 nulové a hodnota s4 = 10.

Odpoveď: Kytíc 1. druhu sa naaranžuje 30 ks, kytíc 2.druhu 10 ks. Zároveň sa minú všetky ruže a margarétky. Na sklade zostane 60 ks nezábudiek, chýba ešte uviazať 10 kytíc, aby bola splnená objednávka.6. Formulujte k pôvodnej úlohe úlohu duálnumin q(u) = 100u1+200u2 +200u3

3u1+ 5u2 + 3u3 + u4 > 200 u1+ 5u2 + 5u3 > 180 u1, u2, u3 > 0

u4 < 07. Preverte, či je riešenie u * = (10, 34, 0, 0) zodpovedajúcim optimálnym riešením duálnej úlohy! min q(u) = 100u1+200u2 +200u3+20u4

(100 . 10) + (200 . 34) + (200 . 0) + (20.0) = 1000+6800+0+0 = 7 800Dané riešenie je optimálne.

16

6. TEST

Teoretické otázky1. Popíšte význam komplexných koeficientov exogénnych zdrojov v maticovom modeli podniku Význam koeficientov je analýza spotreby k-tého zdroja celkového produktu výrobkov j-teho druhu2. Definujte prípustné riešenie ÚLP! Prípustné riešenie je taký vektor x = (x1,x2…xn), kt. vyhovuje podmienkam LP. n

j=1 aij . xij < , =, > bi i = 1,2, ...n xj>0 j = 1, 2,...m3. Ako sa prejaví v simplexovej tabuľke úloha s neohraničenou množinou prípustných riešení Má nekonečne veľa riešení – optimálne riešenie je nekonečné4. Ekonomicky interpretujte ocenenia duálnych premenných a vzťah pre ich výpočetui* = ∆z / ∆bi Hodnoty duálnej premennej interpretuje jako miera deficitosti zdrojov5. Odvoťte (graficky a numericky) Wilsonov vzorec Derivácia nákladovej funkcie podľa množstva Q a potom ju položíme = 0C˝(Q) = - ca + 1 cs = 0 Q2 2Q* = ½ 2ca / cs6. Definujte úlohu kompromisného programovaniaJe založená na určení vektora „žiadúcich hodnôt“ tzv. hodnôt pre dosiahnutie. „Žiadúce hodnoty“ ks je potrebné určiť pre všetky ÚF.7. Napíšte vzťah pre výpočet optimálnej životnosti, ak poznáte náklady na údržbu na začiatku prevádzkovania a koeficient ich narastania (nemáme vedieť)

1. príkladV malom mestečku sa rozhodla banka otvoriť pobočku a predmetom rozhodnutia je určenie optimálneho počtu okienok tak, aby náklady boli minimálne. Predpokladá sa pritom, že do banky príde priemerne 20 klientov za hodinu a priemerný čas vybavenia jedného klienta bude 5 minút. Náklady, vyplývajúce z pobytu klienta v banke, možno ohodnotiť sumou 200 Sk a náklady na činnosť jednej prepážky možno ohodnotiť sumou 250 SK za hodinu. Určte optimálny počet prepážok! n = 3,

17

2. príkladJe daná distančná matica medzi 10 mestami, pričom smer pohybu dopravných spojov môže ísť obidvomi smermi. Hľadáme najkratšiu cestu z mesta A do mesta J.

mestá A B C D E F G H IA - 30 25 42 - - - - -B 30 - 22 - 50 - - - -C 25 22 - 18 26 - - - -D 42 - 18 - 31 52 - - -E - 50 26 31 - 46 38 24 -F - - - 52 46 - 12 - 63G - - - - 38 12 - 22 -H - - - - 24 - 22 - 30I - - - - - 63 - 30 -

18

3. príkladV dielni vyrábajú kovové poličky, pričom na výrobu jednej potrebujú 4 ks dĺžky 45 cm, 12 ks tyčí dĺžky 80 cm a 4 ks tyčí dĺžky 120 cm. Celkovo treba vyrobiť presne 10 ks kovových poličiek. K dispozícii sú však len štnadardné tyče dľžky 2 m a 2,5 m, pričom dvaapolmetrové tyče sú k dispozícii v počte 80 ks a dvojmetrové tyče v neobmedezenom množstve. Aby odpad pri rezaní tyčí nebol veľký, možno použiť len také spôsoby rezania štandardných tyčí, pri ktorých odpad nie je väčší ako 10 cm.1. Formulujte problém ako úlohu lineárneho programovania (dodržte poradie ohraničení)! Spôsob rezania Pož.početdĺžka 2m 2,5m ks pre 10tyče S1 S2 S3 S4 S5

120 1 2 1 0 0 4080 1 0 1 3 2 12045 0 0 1 0 2 40

Odpad 0 10 5 10 0 min z(x) = 10x2+5x3 +10x4

x1 + 2x2 + x3 = 40 x1 + x3+ 3x4 + 2x5 = 120

x3+ 2x5 = 40

x2+ x3+ x4 + x5 < 80 x1 x2 x3 x4 x5 > 02. Zostavte úvodnú tabuľku pre riešenie danej ÚLP primárnym simplexovým algoritmom a určte vedúci prvok.

cj 0 10 5 10 0 0 0 0 1B cB X1 x2 x3 X4 x5 W1 w2 W3 S4 bx1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 0 40x4 0 1 0 1 3 2 0 1 0 0 120x5 0 0 0 1 0 2 0 0 1 0 40s4 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 80

zj - cjI

zj - cjII

Vedúci prvok je 33. Doplňte hodnoty do tabuľky a zdôvodnite, prečo je optimálna:

cj 0 10 5 10 0 0 0 0 1B cB X1 x2 x3 x4 x5 w1 w2 w3 s4 bx1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 40x4 0 0 -0,67 0,333 1 0 -0,33 0,333 -0,33 13,33x5 0 0 0 0,5 0 1 0 0 0,5 20s4 1 0 1,667 0,833 0 0 0,333 -0,33 -0,17 66,66

zj - cjI

zj - cjII

x1 = 40 , x2 =0 , x3 =0 , x4 =13,33 , x5 = 20 , z = 133,33 , s4 = 46,67

4.Interpretujte optimálne riešenie z pohľadu použitia jednotlivých rezných plánov, vypočítajte celkový odpad a vypíšte vypočítané hodnoty duálnych premenných.40 krát třeba rezať 1. sp (z tyčí 2m rezať 1 tyč dlžky 120cm, 1 tyč dlžky 80cm pri odpade 0), 13,33 krát 4 spôs. (z 2 m tyčí 3 x 80 pri odpade 10 cm), a 20 krát 5 spôs. (z 2,5 m 2 x 45 a 2 x 80). Hodnota doplnk prem. s4 = 46,67 znamená, že z celk. počtu 2,5 m (80) zostane ešte 46,67 ks. Celk. min odpad bude 133,33 cm.

5. Formulujte k pôvodnej úlohe úlohu duálnu. max q(u) = 40u1 + 120u2 + 40u3 + 80u4

u1 + u2 < 0 2u1 + u4 < 10

u1 + u 2+ u3 + u4 < 5

3u2+ + u4 < 10 2u 2+ 2u3 + u4 < 0

u1 , u 2 , u3 - voľné u4 < 0

19

6. Vypočítajte hodnotu účelovej funkcie duálnej úlohy!

min z(x) = 10x2+5x3 +10x4

x1 = 40 , x2 =0 , x3 =0 , x4 =13,33 , x5 = 20 , z = 133,33 , s4 = 46,67

min z(x) = 10 . 0 + 5 . 0 + 10 . 133,33133,33

7. Interpretujte hodnoty uvedené v tabuľke pre analýzu senzitívnosti koeficientov ÚF! Koeficient Min. hodnota Pôv. hodnota Max. hodnota

b2 80 120 260

b4 33,333 80 +

8. Zapíšte pre danú úlohu účelovú funkciu, keď by cieľom nebola minimalizácia odpadu, ale minimalizácia celkového počtu tyčí štandardnej dĺžky 2 m a 2,5 m! g (u) = 120x1 + 80x2 + 45x3 + 10x5 + 5x6 + 10x7

u1 + v1 < 1 u2 + v1 < 0 u3 + v1 < 3u1 + v2 < 1 u2 + v2 < 1 u3 + v2 < 0u1 + v3 < 0 u2 + v3 < 1 u3 + v3 < 0u1 + v4 < 2 u2 + v4 < 1 u3 + v4 < 2u1 + v5 < 0 u2 + v5 < 0 u3 + v5 < 2

4. príklad:Sieť veľkopredajní odoberá ročne liehové nápoje od 4 výrobcov. Vzdialenosti medzi jednotlivými veľkopredajňami a liehovarmi sú uvedené v tabuľke. Predajňa 1 má záujem o dodanie 300 fliaš liehových nápojov, predajňa 2 o 600 fliaš, predajňa 3 o 300 fliaš a predajňa 4 o 200 fliaš. Liehovary sú schopné dodať do veľkopredajní 200 fliaš, 400 fliaš, 500 fliaš a 300 fliaš liehovín.

veľkopredajňa 1 veľkopredajňa 2 veľkopredajňa 3 veľkopredajňa 4liehovar 1 25 40 32 45liehovar 2 42 28 26 35liehovar 3 36 38 44 24liehovar 4 34 46 50 30

1. Zapíšte danú úlohu ako úlohu lineárneho programovania a k nej zostrojte duálnu úlohu! (6b)

2. Vogelovou aproximačnou metódou nájdite východiskové prípustné riešenie a zodpovedajúcu hodnotu ÚF. (6b)

3. Zistite, či Vami vypočítané východiskové prípustné riešenie je optimálne. Ak nie je, vypočítajte ho! Ekonomicky ho interpretujte! (6b)

20

4. Zistite, či je možné uplatniť vlastnosť viacej za menej a ak nie, definujte všetky podmienky ktoré musí úloha spĺňať, aby sa dala aplikovať vlastnosť viacej za menej! (2b)

21

Test č.7

Teoretické otázky:1. Formulujte rovnicu endogenných a exogenných zdrojov v maticovom modeli podniku! x = (I-A) –1 y S= B(I-A) –1 y y = (I-A)x S=Bx2. Napíšte vzťah pre určenie vedúceho stĺpca v simplexovej tabuľke v minimalizačnej úlohe !Zk – Ck = min (Zj – Cj / Zj – Cj < 0) j



i=1 nj=1 aij . xij



k=1 ak un-k

1. príklad:Elektrotechnický podnik vyrába spotrebnú elektroniku. Všetky súčiastky produkuje sám, len integrované obvody a tranzistory nakupuje. Ročne podnik vyrobí 8000 spotrebičov. Dodávateľ predáva podniku integrované obvody a tranzistory v sadách po 820.-Sk. Náklady dodávky predstavujú 250.- Sk, náklady skladovania 16 Sk/jednotku/rok a dodacia lehota je 12 týždňov (predpokladáme, že rok má 52 týždňov). Určte a vypočítajte: = 8000 ks, cp = 820 Sk, ca = 250 Sk, cs = 16 Sk/jednotku/rok, T = 12/52 = 0,23 roka4. Celkové náklady. 5. Výšku variabilných nákladov. 1. Optimálnu veľkosť dodávky

Q = ½ 2ca / csQ = ½ 2 . 8000 . 250/16 = 500 ksNajmenšie náklady sa dosiahnu, ak veľkosť 1 dodávky bude 500 ks. 2. Hladina objednania a počet dodávok na ceste r = T – m Q* dod.cyklus: T = Q*/ = 500/ 8000 = 0,0625r = 8000.0,23-3.500 m = T /T = 0,23/0,0625= 3,68 = 3 r = 1840 – 1500 3 -počet dodávok na cester = 340 ksNa ceste bude stále 5 objednávok a ak na sklade bude 340 ks spotrebičov, treba objednať novú dodávku.3. Dĺžka dodacieho cyklu a spotrebu počas neho T = Q*/ = 500/ 8000 = 0,0625 = 22 dní spotreba počas dodacej lehoty: = T


4. Celkové nákladyC(Q) = Cv (Q*) + cp = 8 000 + 8000.820 = 6 568 0005. Výška variabilných nákladovCv(Q) = ½ 2ca cs = ½ 2.8000.250.16 = 8 000

2. príklad:

22

Je daná distančná matica medzi 10 mestami, pričom smer pohybu dopravných spojov môže ísť obidvomi smermi. Hľadáme najkratšiu cestu z mesta A do mesta J.

mestá A B C D E F G H I JA - 30 28 35 - - - - - -B 30 - - - 20 - - - - -C 28 - - 29 - 40 - - - -D 35 - 29 - 21 - - - - -E - 20 - 21 - 25 36 24 - 52F - - 40 - 25 - 23 - 35 -G - - - - 36 23 - - - 72H - - - - 24 - - - - 31I - - - - - 35 - - - 42J - - - - 52 - 72 31 42 -

1. Zostavte graf, ktorý popisuje spojenie jednotlivých ciest (2b)

2. Vypočítajte pomocou Dantzigovho algoritmu najkratšiu cestu z mesta A do mesta J (6b)

3. Určte najkratšie cesty z mesta A do ostatných miest (2b)

3. príklad:Drevársky podnik vyrábajúci nábytok pozostáva z 3 závodov, ktorými sú: výroba elektrickej energie, spracovanie dosiek, výroba nábytku. Časť výstupov z týchto závodov sa spotrebúva v rámci podniku a časť je určená na odbyt. Abstrahuje sa od surovín potrebných na výrobu energie. V závode, kde sa vyrábajú opracované dosky sa spotrebuje 12 kWh elektrickej energie a 3,8 t dreva. V závode vyrábajúcom nábytok sa spotrebuje 11 kWh elektrickej energie a 1,4 t opracovaných dosiek. Odbyt elektrickej energie do spotrebnej siete je 10 kWh a v maloobchodných predajniach je odbyt dosiek 1,5 t a nábytku 100 kusov. Úlohy:1. Zostavte schému tokov medzi jednotlivými závodmi!

Koef.12 + 1,811 + 1001,4 - 1003,8 + 2,9

V1 V2 V3 Y XV1 0 12 11 10 33V2 0 0 1,4 1,5 2,9V3 0 0 0 100 100S1 0 3,8 0 0 0

23

2. Zostavte sústavu bilančných rovníc! 0 12 11 33 10

X = 0 0 1,4 S = 0 3,8 0 X 2,9 Y 1,5 0 0 0 100 100

3. Definujte maticový model I! 0 4,14 0,11 1 -4,14 -0,11

A= 0 0 0,014 B= 0 1,3 0 I – A= 0 1 -0,014 0 0 0 0 0 1

4. Ekonomicky interpretujte jednotlivé koeficienty matice A a B! Endog. Zdroje su v matici AExog. Zdroje su v matici B (1,3)

5. Ekonomicky interpretujte maticový model I! Na 1 tonu spracovaných dosiek sa spotrebuje 4,14 kWh a 1,3t dreva, na Y vyr. nábytok sa spotrebuje 0,11 kWh a 0,014t dosiek. X 1 4,14 0,11 x1 1 -4,14 -0,11 33 S = 0 1 0,014 .X => x2 = 0 1 -0,014 . 2,9

0 0 1 x3 0 0 1 1000 1,3 0 s1 0 1,3 0

6. Ak matica (I-A)-1 má tvar 1 4,14 0,17 zostavte maticový model II! 0 1 0,014 X (1-x) -1

0 0 1 B (1-A)-1 S = 3(1-x) –1 . (Y)

7. Popíšte koeficienty matice (I-A)-1 a B(I-A)-1 , predovšetkým prvok (1,3) inverznej matice ! (2b)

8. Ekonomicky interpretujte maticový model II! (2b)

9. Vypočítajte vplyv zvýšenia celkového množstva nábytku na 120 na odbyt a exogénny zdroj! (2b)

10. Ak potrebuje dať do siete o 50 % viac elektrickej energie a nábytku, zistite ako sa zmenia hodnoty celkovej produkcie a exogénneho zdroja! (2b)

24

4. príklad:Firma vlastní tri pekárne, ktoré rozvážajú chlieb do piatich predajní. Pekáreň A denne vyprodukuje 150

kg, pekáreň B 230 kg a pekáreň C 180 kg chleba. Jednotlivé predajne denne odoberajú 70 kg (predajňa 1), 90 kg (predajňa 2 a 4), 120 kg (predajňa 3) a 100 kg (predajňa 5). Prepravné náklady v Sk sú uvedené v tabuľke.

predajňa 1 predajňa 2 predajňa 3 predajňa 4 predajňa 5pekáreň A 13 11 10 15 12pekáreň B 14 9 15 11 14pekáreň C 12 11 15 15 10

1. Zapíšte danú úlohu ako úlohu lineárneho programovania a k nej zostrojte duálnu úlohu!min f(x) = 13x11+11x12+ 10x13+ 15x14 +12x15+14x21+9x22+15x23 +11x24 +14x25 +12x31+11x32+15x33+15x34 +10x35

13x11+11x12+ 10x13+ 15x14 +12x15 = 150 14x21+9x22+15x23 +11x24 +14x25 = 230

12x31+11x32+15x33+15x34 +10x35= 18013x11+ 14x 21+ 12x31 = 70

11x12 + 9x22+ 11x32 = 90 10x13+ 15x23+ 15x33 = 120 15x14+ 11x24+ 15x34 = 90 12x15+ 14x25+ 10x35 = 100

x11, x12, x13, x14, x15,x21, x22, x23, x24, x25,x31, x32 , x33 x34, x35 > 0 xij > 0 i = 1,...m j = 1,....n

max q(u) = 150u1+ 230u2+ 180u3+ 70v1 + 90v2+ 100v3+ 90v4+ 100v5

u1+ v1 < 13 u1+ v2 < 11 u1+ v3 < 10

u1+ v4 < 15 u1+ v5 < 12

u2+ v1 < 14 u2+ v2 < 9 u2+ v3 < 15

u2+ v4 < 11 u2+ v5 < 14

u3+ v1 < 12 u3+ v2 < 11 u3+ v3 < 15 u3+ v4 < 15 u3+ v5 < 10

ui, vj = voľné

2. Vogelovou aproximačnou metódou nájdite východiskové prípustné riešenie a zodpovedajúcu hodnotu ÚF.

1 2 3 4 5 D1 D2 D3 D5

A 20 13 11 120 10 15 10 12 0 150 30 10 s1 1 1 1

B 50 14 90 9 15 90 11 14 0 230 140 9 25* 0

C 12 11 15 15 90 10 90 0 180 30 10 1 1 270 90 120 90 100 901 2 5 5* 2 0

D4 1 25* 2

25

m + n – 1 3 + 5 = 83. Zistite, či Vami vypočítané východiskové prípustné riešenie je optimálne. Ak nie je, vypočítajte ho! Ekonomicky ho interpretujte!

0 -5 -3 -3 -1 -11 0 -5 -3 -3 -3 -13

13 20 138

11 120 1010

15 10 122

+ 1 13 20 138

11 120 1010

15 10 12 10 0

14 50 14 90 911

15 90 1113

143

0 14 50 -14 90 911

15 90 1111

141

+ 0

11 11 12

6 11

8 15

8 15 90+10 90 - 0 13 13

+ 128

1110

1510

15 100 10 80 - 0

Vypočítané východiskové prípustné riešenie je optimálne.Pekáreň C vyprodukuje pre predajňu 1 70 kg chlebaPekáreň B vyprodukuje pre predajňu 2 90 kg chlebaPekáreň A vyprodukuje pre predajňu 3 120 kg chlebaPekáreň B vyprodukuje pre predajňu 4 90 kg chlebaPekáreň B vyprodukuje pre predajňu 5 100 kg chlebaZvyšných 90 kg vyprodukujú pekárne pre ďalšie predajne.

4. Zistite, či je možné uplatniť vlastnosť viacej za menej a ak nie, definujte všetky podmienky ktoré musí úloha spĺňať, aby sa dala aplikovať vlastnosť viacej za menej!20 13 11 120 10 15 12 10 0

14 90 9 15 90 11 14 50 0

50 12 11 15 15 100 10 80 0

Nie je možné uplatňovať viac za menej, úloha je nedegenerovaná, má riešenie. Nie je splnená podmienka, neexistuje pole, v ktorom by bola splnená podmienka Cij < 0

26

10. TEST

Teoretické otázky1. Napíšte vzťah pre výpočet finálnej produkcie v maticovom tvare! Xi = n

j=1 xij + yij i = 1,2,...n2. Napíšte vzťah pre určenie vedúceho stĺpca v simplexovej tabuľke! Zk – Ck = min (Zj – Cj / Zj – Cj < 0) j

3. Ako sa prejavuje alternatívnosť v simplexovej tabuľke? Získame viac rovnocenných riešení4. Napíšte vzťah pre hodnoty ÚF v maticovom tvare, ktorý platí v slabej vete o dualite, ak je primárna úloha maximalizačná? c T x < u T b5.Napíšte vzťah pre zistenie degenerovanosti v dopravnej úlohe! Ak m+n-1 > úloha je degenerovaná6. Napíšte dve základné podmienky, ktoré musí spĺňať optimálne riešenie dopravnej úlohy, aby sa dala použiť vlastnosť viacej za menej!Riešenie musí byť optimálne a nedegenerované 7. Napíšte vzťah pre výpočet spádu pri nákladovej analýze kritickej cestyaij = cij - Cij pre všetky Dij dij Dij - dij

8. Napíšte vzťah pre výpočet hladiny objednania v deterministickom modeli zásob bez deficitu!R = T – m. Q 9. Ako možno rozdeliť modely hromadnej obsluhy podľa dĺžky čakania? Bez čakania, s čakaním a to ohraničené a neohraničené10. Napíšte všeobecný vzťah pre výpočet koeficientu prestoja v MHO! Ko = no / n n-počet obslužných kanálov, no – priemerný počet voľných kanálov

Povinné príklady:1. príklad:

Ročná spotreba výrobku je 10 000 kusov. Nákupná cena je 500 Sk, za skladovanie sa počítajú náklady 2% nákupnej ceny za mesiac, náklady na dodávku sú 8 000 Sk, dodacia lehota sú 2 mesiace (1/6 roka). Vypočítajte! = 10 000 ks, cp = 500 Sk, ca = 8000 Sk, cs = 500 * 0,02 Sk/jednotku/mes.=120 Sk/j/rok, T =1/6 = 0,166 roka1. Optimálnu veľkosť dodávky

Q = ½ 2ca / csQ = ½ 2 . 10 000 . 8000/120 = 1154 ksNajmenšie náklady sa dosiahnu, ak veľkosť 1 dodávky bude 1154 ks. 2. Výška variabilných nákladovCv(Q) = ½ 2ca cs = ½ 2.10 000.8000.120 = 138 5643. Hladina objednania a počet dodávok na ceste r = T – m Q* dod.cyklus: T = Q*/ = 1154/ 10 000 = 0,1154r = 10 000.0,166-1.1154 m = T /T = 0,166/ 0,1154= 1,44r = 1666– 1154 1 -počet dodávok na cester = 512 ksNa ceste bude stále 1 objednávok a ak na sklade bude 512 ks spotrebičov, treba objednať novú dodávku.4. Dĺžka dodacieho cyklu a spotrebu počas neho T = Q*/ = 1154/ 10 000 = 0,1154 = 42 dní spotreba počas dodacej lehoty: = T


5. Celkové nákladyC(Q) = Cv (Q*) + cp = 138 564 + 10 000.500 = 5 138 5646. Graficky znázornite vypočítané hodnoty v súradnicovom systéme s časom na osi x a veľkosťou spotreby na osi y.

27

7. Ak je prípustný deficit, náklady z neho vyplývajúce sú 10% nákupnej ceny za kus a mesiac. Vypočítať optimálnu veľkosť dodávkyQ* (s) = ½ 2ca (cs+cd) / cs.cdQ* (s) = ½ 2 . 10 000 . 8000 (120+600) / 120 .600 = 1264 ks8. Vypočítajte optimálnu veľkosť deficitus* = ½ 2ca . cs / (cs+cd) cd s* = ½ 2 . 10 000 . 8000 . 120 / (120+600) . 600 = 210 ks9. Vypočítajte variabilné a celkové náklady Cv(Q,s) = /Q ca + 1/2Q (Q-s)2 . cs + s2 . cdCv(Q,s) = 10 000/ 1154 . 8000 + 1/ 2 . 1154 (1154-210)2 . 120 + 2102 . 600Cv(Q,s) = 69324 + 1/ 2 .1154 106 936 320 + 26 460 000 = 127 121 Sk

C(Q*,s*) = Cv (Q,s) + . cpC(Q*,s*) = 127 121 + 10 000 . 500 = 5 127 121 Sk2. príklad:

V dielni vyrábajú kovové poličky, pričom na výrobu jednej potrebujú 4 ks tyčí dĺžky 45 cm, 12 ks tyčí dĺžky 80 cm a 4 ks tyčí dĺžky 120 cm. Celkovo treba vyrobiť presne 5 ks kovových poličiek. K dispozícii sú však len štnadardné tyče dľžky 2 m a 2,5 m, pričom dvaapolmetrové tyče sú k dispozícii v počte 40 ks a dvojmetrové tyče v neobmedezenom množstve. Aby odpad pri rezaní tyčí nebol veľký, možno použiť len také spôsoby rezania štandardných tyčí, pri ktorých odpad nie je väčší ako 10 cm.1. Formulujte problém ako úlohu lineárneho programovania (dodržte poradie ohraničení)! (6b) Spôsob rezania Pož.početdĺžka 2m 2,5m ks pre 5tyče S1 S2 S3 S4 S5

120 1 2 1 0 0 2080 1 0 1 3 2 6045 0 0 1 0 2 20

Odpad 0 10 5 10 0 min z(x) = 10x2+5x3 +10x4

x1 + 2x2 + x3 = 20 x1 + x3+ 3x4 + 2x5 = 60

x3+ 2x5 = 20

x2+ x3+ x4 + x5 < 40 x1 x2 x3 x4 x5 > 0

2. Zostavte úvodnú tabuľku pre riešenie danej ÚLP primárnym simplexovým algoritmom a určte vedúci prvok.


zj - cjI

zj - cjII

Vedúci prvok je 33. Doplňte hodnoty do tabuľky a zdôvodnite, prečo je optimálna: (2b)


zj - cjI

zj - cjII

28

4. Interpretujte optimálne riešenie z pohľadu použitia jednotlivých rezných plánov, vypočítajte celkový odpad a vypíšte vypočítané hodnoty duálnych premenných. 40 krát třeba rezať 1. sp (z tyčí 2m rezať 1 tyč dlžky 120cm, 1 tyč dlžky 80cm pri odpade 0), 13,33 krát 4 spôs. (z 2 m tyčí 3 x 80 pri odpade 10 cm), a 20 krát 5 spôs. (z 2,5 m 2 x 45 a 2 x 40). Hodnota doplnk prem. s4 = 46,67 znamená, že z celk. počtu 2,5 m (40) zostane ešte 46,67 ks. Celk. min odpad bude 133,33 cm.


u1 + u2 < 0 2u1 + u4 < 10

u1 + u 2+ u3 + u4 < 5

3u2+ + u4 < 10 2u 2+ 2u3 + u4 < 0

u1 , u 2 , u3 - voľné u4 < 0

6. Vypočítajte hodnotu účelovej funkcie duálnej úlohy! 7. Interpretujte hodnoty uvedené v tabuľke pre analýzu senzitívnosti koeficientov ÚF!

Koeficient Min. hodnota Pôv. hodnota Max. hodnotab2 40 60 130

b4 16,667 40 +

8. Zapíšte pre danú úlohu účelovú funkciu, keď by cieľom nebola minimalizácia odpadu, ale minimalizácia celkového počtu tyčí štandardnej dĺžky 2 m a 2,5 m! (

3. príklad:Sú známe vzdialenosti medzi 6 mestami (vzdialenosti sú obojsmerne rovnaké):

1-2 2km, 1-3 8km, 2-3 10km, 2-4 1km, 2-5 7km, 3-5 2km, 3-6 1km, 4-5 4km, 5-6 4km, 1. Zostrojte sieť. (2b)

29

2. Nájdite pomocou príslušného algoritmu najkratšiu vzdialenosť medzi vrcholom 1 a 10 (hodnota v km a vyznačenie cesty). (6b)

3. Nájdite najkratšiu cestu medzi vrcholmi 1 a 6 (hodnota v km a vyznačenie cesty). (2b)..................................................................................................................................................................................

Voliteľné príklady:Vypočítajte najskôr možný deň ukončenia stavby, ak výstavba začala v stredu, 25.06.1997, pričom sa

pracuje 7 dní v týždni, pričom činnosti s dĺžkou trvania a náklady sú uvedené v tabuľke.Predchádzajúca Dĺžka trvania Náklady

Činnosť činnosť normálna minimálna normálne maximálneA - 5 4 1000 2000B - 4 2 700 900C - 3 2 500 600D A 10 8 1800 2600E A, B 9 7 4000 6000F A, B 3 2 2500 2500G C, F 3 2 500 700H E, G 4 2 700 900I C, F 8 6 1100 1400J D, H 5 3 900 1100K I, J 5 4 900 1700

1. Zostavte sieť. (6b)

30

2. Pomocou tabuľky vypočítajte kritickú cestu na základe normálneho trvania činností a vypočítajte zodpovedajúce náklady na stavebné úpravy. (6b)

3. Určte presný deň dokončenia výstavby! (2b)..................................................................................................................................................................................4. Určte, o koľko dní možno skrátiť kritickú cestu a aké náklady sú s tým spojené. (4b)....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................6. Formulujte problém ako úlohu lineárneho programovania. (6b)

2. príklad:Na pracovisko cez konkurz vybrali pre tri miesta troch uchádzačov. Personálny manažér sa rozhodol vykonať dodatočný test pre vybraných pracovníkov, na základe ktorého sa mali zistiť schopnosti nových pracovníkov pre dané pracovné miesto. Boli pripravené tri skupiny otázok pre tri pracovné miesta. Hodnotenie sa vykonalo na základe udelenia trestných bodov za nezodpovedané alebo nedostatočne zodpovedané otázky. Trestné body sú uvedené v tabuľke.Úlohou je priradiť pracovníkov na jednotlivé pracovné miesta tak, aby ich výkonnosť bola maximálna (t.z. minimalizovať ich straty pri testoch).

1. Zapíšte danú úlohu ako úlohu lineárneho programovania a k nej zostrojte duálnu úlohu! (6b)

2. Vogelovou aproximačnou metódou nájdite východiskové prípustné riešenie a zodpovedajúcu hodnotu ÚF. (6b)

3. Zistite, či Vami vypočítané východiskové prípustné riešenie je optimálne. Ak nie je, vypočítajte ho! (8b)

4. Zapíšte všeobecný tvar priraďovacieho problému v zložkovom tvare a určte, čím sa líši od dopravnej úlohy! (4b)

pracovník prac.miesto 1. 2. 3.A 10 20 10B 10 5 35C 10 5 10

31

11. TEST

Teoretické otázky1. Napíšte vzťah pre výpočet finálnej produkcie v maticovom tvare! Xi = n

j=1 xij + yij i = 1,2,...n

2. Napíšte vzťah pre určenie vedúceho riadku v simplexovej tabuľke! Xrk = min XBi / Xik > 0 j Xik

3.Ako sa prejavuje degenerovanosť v simplexovej tabuľke? Počet riešení je menší jako m+n-14. Napíšte vzťah pre hodnoty ÚF v maticovom tvare, ktorý platí v slabej vete o dualite, ak je primárna úloha minimalizačná? c T x > u T b5. Napíšte vzťah pre zistenie nevybilancovanosti v dopravnej úlohe! Ak m

i=1 ai > mj=1 . bj alebo <

6. Napíšte dve základné podmienky, ktoré musí spĺňať optimálne riešenie dopravnej úlohy, aby sa dala použiť vlastnosť viacej za menej! Riešenie musí byť optimalne a nedegenerovane7. Napíšte vzťah pre výpočet spádu pri nákladovej analýze kritickej cesty! aij = cij - Cij pre všetky Dij dij Dij - dij

8. Napíšte vzťah pre výpočet hladiny objednania v deterministickom modeli zásob s deficitom! r = T – m. Q* - s* = - m.Q* -s* 9. Ako možno rozdeliť modely hromadnej obsluhy podľa dĺžky čakania? Bez čakania, s čakaním – neohranič., ohranič.10. Napíšte všeobecný vzťah pre výpočet koeficientu využitia v MHO! Kz = nz/z

Povinné príklady:1. príklad Ročná spotreba výrobku je 20 000 ks. Nákupná cena je 500Sk, za skladovanie sa počítajú náklady 2% nákupnej ceny za mesiac, náklady na dodávku sú 8000 sk, dodacia lehota sú 2 mesiace (1/6 roka). = 20 000 ks, cp = 500 Sk, ca = 8000 Sk, cs = 500 * 0,02 Sk/jednotku/mes.=120 Sk/j/rok, T =1/6 = 0,166 roka1. Optimálnu veľkosť dodávky

Q = ½ 2ca / csQ = ½ 2 . 20 000 . 8000/120 = 1632 ksNajmenšie náklady sa dosiahnu, ak veľkosť 1 dodávky bude 1632 ks. 2. Výška variabilných nákladovCv(Q) = ½ 2ca cs = ½ 2.20 000.8000.120 = 195 9593. Hladina objednania a počet dodávok na ceste r = T – m Q* dod.cyklus: T = Q*/ = 1632/ 20 000 = 0,0816r = 20 000.0,166-2.1632 m = T /T = 0,166/0,0816= 2 r = 3333 – 3264 2 -počet dodávok na cester = 69 ksNa ceste bude stále 2 objednávok a ak na sklade bude 69 ks spotrebičov, treba objednať novú dodávku.4. Dĺžka dodacieho cyklu a spotrebu počas neho T = Q*/ = 1632/ 20 000 = 0,0816 = 29 dní spotreba počas dodacej lehoty: = T


5. Celkové nákladyC(Q) = Cv (Q*) + cp = 195 959 + 20 000.500 = 10 195 959

6. Graficky znázorni vypočítané hodnoty v súradn. systéme s časom na osi x a veľkosťou spotreby na osi y

32

7. Ak je prípustný deficit, náklady z neho vyplývajúce sú 10% nákupnej ceny za kus a mesiac. Vypočítať optimálnu veľkosť dodávkyQ* (s) = ½ 2ca (cs+cd) / cs.cdQ* (s) = ½ 2 . 20 000 . 8000 (120+600) / 120 .600 = 1789 ks8. Vypočítajte optimálnu veľkosť deficitus* = ½ 2ca . cs / (cs+cd) cd s* = ½ 2 . 20 000 . 8000 . 120 / (120+600) . 600 = 299 ks9. Vypočítajte variabilné a celkové náklady Cv(Q,s) = /Q ca + 1/2Q (Q-s)2 . cs + s2 . cdCv(Q,s) = 20 000/ 1632 . 8000 + 1/ 2 . 1632 (1632-299)2 . 120 + 2992 . 600Cv(Q,s) = 98039,22 + 1/ 2 .1632 213226680 + 53640600 = 98039,22 + 81760,8 = 179 800 Sk

C(Q*,s*) = Cv (Q,s) + . cpC(Q*,s*) = 179 800 + 20 000 . 500 = 10 179 800 Sk

2. príklad:V dielni vyrábajú kovové poličky, pričom na výrobu jednej potrebujú 4 ks tyčí dĺžky 45 cm, 12 ks tyčí dĺžky 80 cm a 4 ks tyčí dĺžky 120 cm. Celkovo treba vyrobiť presne 10 ks kovových poličiek. K dispozícii sú však len štnadardné tyče dľžky 2 m a 2,5 m, pričom dvaapolmetrové tyče sú k dispozícii v počte 40 ks a dvojmetrové tyče v neobmedezenom množstve. Aby odpad pri rezaní tyčí nebol veľký, možno použiť len také spôsoby rezania štandardných tyčí, pri ktorých odpad nie je väčší ako 10 cm.1. Formulujte problém ako úlohu lineárneho programovania (dodržte poradie ohraničení)! (6b) Spôsob rezania Pož.početdĺžka 2m 2,5m ks pre 10tyče S1 S2 S3 S4 S5

120 1 2 1 0 0 4080 1 0 1 3 2 12045 0 0 1 0 2 40

Odpad 0 10 5 10 0 min z(x) = 10x2+5x3 +10x4

x1 + 2x2 + x3 = 40 x1 + x3+ 3x4 + 2x5 = 120

x3+ 2x5 = 40

x2+ x3+ x4 + x5 < 40 x1 x2 x3 x4 x5 > 02. Zostavte úvodnú tabuľku pre riešenie danej ÚLP primárnym simplexovým algoritmom a určte vedúci prvok.


zj - cjI

zj - cjII



zj - cjI

zj - cjII

33



u1 + u2 < 0 2u1 + u4 < 10

u1 + u 2+ u3 + u4 < 5

3u2+ + u4 < 10 2u 2+ 2u3 + u4 < 0

u1 , u 2 , u3 - voľné u4 < 0

6. Vypočítajte hodnotu účelovej funkcie duálnej úlohy! 7. Interpretujte hodnoty uvedené v tabuľke pre analýzu senzitívnosti koeficientov ÚF!


b4 16,667 40 +

8. Zapíšte pre danú úlohu účelovú funkciu, keď by cieľom nebola minimalizácia odpadu, ale minimalizácia celkového počtu tyčí štandardnej dĺžky 2 m a 2,5 m!

3. príklad:Sú známe vzdialenosti medzi 6 mestami (vzdialenosti sú obojsmerne rovnaké):

1-2 4km, 1-3 16km, 2-3 20km, 2-4 2km, 2-5 14km, 3-5 4km, 3-6 2km, 4-5 8km, 5-6 8km, 1. Zostrojte sieť. (2b)

34

2. Nájdite pomocou príslušného algoritmu najkratšiu vzdialenosť medzi vrcholom 1 a 10 (hodnota v km a vyznačenie cesty). (6b)

3. Nájdite najkratšiu cestu medzi vrcholmi 1 a 6 (hodnota v km a vyznačenie cesty). (2b)..................................................................................................................................................................................

Voliteľné príklady:Vypočítajte najskôr možný deň ukončenia stavby, ak výstavba začala v stredu, 25.06.1997, pričom sa

pracuje 7 dní v týždni, pričom činnosti s dĺžkou trvania a náklady sú uvedené v tabuľke.Predchádzajúca Dĺžka trvania Náklady

Činnosť činnosť normálna minimálna normálne maximálneA - 10 4 1000 2000B - 8 2 700 900C - 6 2 500 600D A 20 8 1800 2600E A, B 18 7 4000 6000F A, B 6 2 2500 2500G C, E 6 2 500 700H F, G 8 2 700 900I C, E 16 6 1100 1400J D, H 10 3 900 1100K I, J 10 4 900 1700

1. Zostavte sieť. (6b)

35

2. Pomocou tabuľky vypočítajte kritickú cestu na základe normálneho trvania činností a vypočítajte zodpovedajúce náklady na stavebné úpravy. (6b)

3. Určte presný deň dokončenia výstavby! 4. Určte, o koľko dní možno skrátiť kritickú cestu a aké náklady sú s tým spojené6. Formulujte problém ako úlohu lineárneho programovania.

2. príklad:Na pracovisko cez konkurz vybrali pre tri miesta troch uchádzačov. Personálny manažér sa rozhodol

vykonať dodatočný test pre vybraných pracovníkov, na základe ktorého sa mali zistiť schopnosti nových pracovníkov pre dané pracovné miesto. Boli pripravené tri skupiny otázok pre tri pracovné miesta. Hodnotenie sa vykonalo na základe udelenia trestných bodov za nezodpovedané alebo nedostatočne zodpovedané otázky. Trestné body sú uvedené v tabuľke.Úlohou je priradiť pracovníkov na jednotlivé pracovné miesta tak, aby ich výkonnosť bola maximálna (t.z. minimalizovať ich straty pri testoch).

1. Zapíšte danú úlohu ako úlohu lineárneho programovania a k nej zostrojte duálnu úlohu!

2. Vogelovou aproximačnou metódou nájdite východiskové prípustné riešenie a zodpovedajúcu hodnotu ÚF.

3. Zistite, či Vami vypočítané východiskové prípustné riešenie je optimálne. Ak nie je, vypočítajte ho!

4. Zapíšte všeobecný tvar priraďovacieho problému v zložkovom tvare a určte, čím sa líši od dopravnej úlohy!

pracovník prac.miesto 1. 2. 3.A 20 40 20B 20 10 70C 20 10 20

36

12. TEST

Teoretické otázky1. Popíšte význam komplexných koeficientov exogénnych zdrojov v maticovom modeli podniku Význam koeficientov je analýza spotreby k-tého zdroja celkového produktu výrobkov j-teho druhu2. Definujte prípustné riešenie ÚLP! Prípustné riešenie je taký vektor x = (x1,x2…xn), kt. vyhovuje podmienkam LP. n

j=1 aij . xij < , =, > bi i = 1,2, ...n xj>0 j = 1, 2,...m3. Ako sa prejaví v simplexovej tabuľke úloha s neohraničenou množinou prípustných riešení Má nekonečne veľa riešení – optimálne riešenie je nekonečné4. Ekonomicky interpretujte ocenenia duálnych premenných a vzťah pre ich výpočetui* = ∆z / ∆bi Hodnoty duálnej premennej interpretuje jako miera deficitosti zdrojov5. Odvoťte (graficky a numericky) Wilsonov vzorec Derivácia nákladovej funkcie podľa množstva Q a potom ju položíme = 0C˝(Q) = - ca + 1 cs = 0 Q2 2Q* = ½ 2ca / cs6. Definujte úlohu kompromisného programovaniaJe založená na určení vektora „žiadúcich hodnôt“ tzv. hodnôt pre dosiahnutie. „Žiadúce hodnoty“ ks je potrebné určiť pre všetky ÚF.7. Napíšte vzťah pre výpočet optimálnej životnosti, ak poznáte náklady na údržbu na začiatku prevádzkovania a koeficient ich narastania (nemáme vedieť)

1. príklad:V malom mestečku sa rozhodla banka otvoriť pobočku a predmetom rozhodnutia je určenie optimálneho počtu okienok tak, aby náklady boli minimálne. Predpokladá sa pritom, že do banky príde priemerne 15 klientov za hodinu a priemerný čas vybavenia jedného klienta bude 6 minút. Náklady, vyplývajúce z pobytu klienta v banke, možno ohodnotiť sumou 170 Sk a náklady na činnosť jednej prepážky možno ohodnotiť sumou 250 SK za hodinu. Určte optimálny počet prepážok!

2. príklad:Je daná distančná matica medzi 10 mestami, pričom smer pohybu dopravných spojov môže ísť obidvomi smermi. Hľadáme najkratšiu cestu z mesta A do mesta J.

mestá A B C D E F G H I JA - 42 38 - 36 - - - - -B 42 - - 21 15 - - - - -C 38 - - - 14 27 - - - -D - 21 - - - - 32 - - -E 36 15 14 - - 13 26 - - -F - - 27 - 13 - - 11 26 -G - - - 32 26 - - 41 - 37H - - - - - 11 41 - 12 -I - - - - - 26 - 12 - 18J - - - - - - 37 - 18 -

4. Zostavte graf, ktorý popisuje spojenie jednotlivých miest!

5. Vypočítajte pomocou Dantzigovho algoritmu najkratšiu cestu z mesta A do mesta J!6. Určte najkratšie cesty z mesta A do ostatných miest!

37

3. príklad:V dielni vyrábajú kovové poličky, pričom na výrobu jednej potrebujú 4 ks tyčí dĺžky 45 cm, 12 ks tyčí dĺžky 80 cm a 4 ks tyčí dĺžky 120 cm. Celkovo treba vyrobiť presne 5 ks kovových poličiek. K dispozícii sú však len štnadardné tyče dľžky 2 m a 2,5 m, pričom dvaapolmetrové tyče sú k dispozícii v počte 40 ks a dvojmetrové tyče v neobmedezenom množstve. Aby odpad pri rezaní tyčí nebol veľký, možno použiť len také spôsoby rezania štandardných tyčí, pri ktorých odpad nie je väčší ako 10 cm.1. Formulujte problém ako úlohu lineárneho programovania (dodržte poradie ohraničení)! (6b) Spôsob rezania Pož.početdĺžka 2m 2,5m ks pre 5tyče S1 S2 S3 S4 S5

120 1 2 1 0 0 2080 1 0 1 3 2 6045 0 0 1 0 2 20

Odpad 0 10 5 10 0 min z(x) = 10x2+5x3 +10x4

x1 + 2x2 + x3 = 20 x1 + x3+ 3x4 + 2x5 = 60

x3+ 2x5 = 20

x2+ x3+ x4 + x5 < 40 x1 x2 x3 x4 x5 > 0

2. Zostavte úvodnú tabuľku pre riešenie danej ÚLP primárnym simplexovým algoritmom a určte vedúci prvok.


zj - cjI

zj - cjII



zj - cjI

zj - cjII



u1 + u2 < 0 2u1 + u4 < 10

u1 + u 2+ u3 + u4 < 5

3u2+ + u4 < 10 2u 2+ 2u3 + u4 < 0

u1 , u 2 , u3 - voľné u4 < 0

38

6. Vypočítajte hodnotu účelovej funkcie duálnej úlohy! 7. Interpretujte hodnoty uvedené v tabuľke pre analýzu senzitívnosti koeficientov ÚF! (2b)


b4 16,667 40 +

8. Zapíšte pre danú úlohu účelovú funkciu, keď by cieľom nebola minimalizácia odpadu, ale minimalizácia celkového počtu tyčí štandardnej dĺžky 2 m a 2,5 m!

4. príklad:Textilný podnik má 4 prevádzky, v ktorých vyrába látky. Ich denná produkcia je 200, 400, 300 a 700

metrov látok. Podnik má ďalej 3 prevádzky, lokalizované mimo výrobní látok, v ktorých sa z látok šijú odevy. Tieto prevádzky požadujú dodávať týždenne 550, 450 a 600 metrov látky. Vzdialenosti medzi jednotlivými prevádzkami sú uvedené v tabuľke.

dielňa 1 dielňa 2 dielňa 3výrobňa látok 1 4 3 2výrobňa látok 2 3 1 4výrobňa látok 3 1 6 5výrobňa látok 4 2 5 3

1. Zapíšte danú úlohu ako úlohu lineárneho programovania a k nej zostrojte duálnu úlohu! (6b)min f(x) = 4x11+3x12+ 2x13+3x21+x22+4x23 +x31+6x32+5x33+2x41 +5x42+3x43

x11+x12+x13 = 200 x21+x22+x23 = 400

x31+x32+x33 = 300x41+x42+x43 = 700

x11,x12,x13,x21,x22,x23,x31,x32,x33,x41,x42,x43 > 0

max q(u) = 200u1+ 400u2+ 300u3+ 700u4 + 550x1+ 450x2+ 600x3

u1+ v1 < 4 u1+ v2 < 3 u1+ v3 < 2 u2+ v1 < 3 u2+ v2 < 1 u2+ v3 < 4 u3+ v1 < 1 u3+ v2 < 6 u3+ v3 < 5 u4+ v1 < 2 u4+ v2 < 5 u4+ v3 < 3u1,u2,u3,u4,v1,v2,v3 - voľné2. Vogelovou aproximačnou metódou nájdite východiskové prípustné riešenie a zodpovedajúcu hodnotu ÚF.

3. Zistite, či Vami vypočítané východiskové prípustné riešenie je optimálne. Ak nie je, vypočítajte ho! Ekonomicky ho interpretujte!

4. Zistite, či je možné uplatniť vlastnosť viacej za menej a ak nie, definujte všetky podmienky ktoré musí úloha spĺňať, aby sa dala aplikovať vlastnosť viacej za menej!

39

Documents

Operačný výskum