Opplæringshefte i GeoGebra for mellomtrinnet og …E6ringshefte%20i%20GeoGebra%20for… · 4 Hvordan kommer jeg i gang med å bruke programmet? For å komme raskt i gang, er det

1

Opplringshefte i GeoGebra

for mellomtrinnet og

ungdomstrinnet

av Sigbjrn Hals

Bokml

2

Innhold:

Del 1. Generell informasjon om GeoGebra ..........................................................................................3 Kva er GeoGebra? ..........................................................................................................................3 Kvar kan eg f tak i dette programmet? ...........................................................................................3 Korleis kjem eg i gong med bruke programmet? ...........................................................................4 Korleis hentar og legg eg til nye verkty i GeoGebra? .....................................................................5 Korleis endrar eg p innstillingane langs aksane i koordinatsystemet? ............................................5

Del 2. Felles oppgver for bli kjende med GeoGebra ........................................................................7 Koordinatar .....................................................................................................................................7

Kompetanseml etter 7. rstrinn: ................................................................................................7 Kompetanseml etter 10. rstrinn: ..............................................................................................7 Oppgve 1 ..................................................................................................................................7 Lysing p oppgve 1 ................................................................................................................7

Rotasjon .........................................................................................................................................8 Kompetanseml etter 7. rstrinn: ................................................................................................8 Kompetanseml etter 10. rstrinn: ..............................................................................................8 Oppgve 2 ..................................................................................................................................9 Lysing p oppgve 2 .............................................................................................................. 10

Del 3. Oppgver for mellomtrinnet ..................................................................................................... 10 Spegling ....................................................................................................................................... 10

Kompetanseml etter 7. rstrinn: .............................................................................................. 10 Oppgve 3 ................................................................................................................................ 10 Lysning p oppgve 3............................................................................................................. 10

Koordinatsystemet ........................................................................................................................ 12 Kompetanseml etter 7. rstrinn: .............................................................................................. 12 Oppgve 4 ................................................................................................................................ 12 Lysing p oppgve 4 .............................................................................................................. 13

Undervisningsopplegg om diameter, omkrins og pi ........................................................................ 15 Kompetanseml etter 7. rstrinn: .............................................................................................. 15 Oppgve 5. Tips til lraren ....................................................................................................... 15 Oppgve 5. Elevskjema ............................................................................................................ 16

Vinklar i regulre mangekantar .................................................................................................... 17 Kompetanseml etter 7. rssteget............................................................................................. 17 Oppgve 6 ................................................................................................................................ 17 Lysing p oppgve 6 .............................................................................................................. 17

Del 4. Oppgver for ungdomstrinnet .................................................................................................. 19 Stigningstal og konstantledd ......................................................................................................... 19

Kompetanseml etter 10. rstrinn ............................................................................................. 19 Oppgve 7 ................................................................................................................................ 19 Lysning p oppgve 7............................................................................................................. 19

To likningar med to ukjende .......................................................................................................... 20 Kompetanseml etter 10. rstrinn ............................................................................................. 20 Oppgve 8 ................................................................................................................................ 20 Lysing p oppgve 8 .............................................................................................................. 20

Eksamensoppgve (Oppgve 2.2, vren 2008) ............................................................................. 22 Oppgve 9 ................................................................................................................................ 22 Lysing av oppgve 9 med GeoGebra ...................................................................................... 22

Eksamensoppgve (Eksempeloppgve 2. Del 2, nr. 3) .................................................................. 24 Kommentar i rettleiinga: ............................................................................................................ 24 Oppgve 10 .............................................................................................................................. 24 Lysing p oppgve 10 med GeoGebra .................................................................................... 24

3

Del 1. Generell informasjon om GeoGebra

Hva er GeoGebra?

GeoGebra er et gratis dataprogram for dynamisk geometri, laget av Markus Hohenwarter fra sterrike. Navnet GeoGebra er satt sammen av ordene geometri og algebra. Med GeoGebra kan vi lett konstruere ulike geometriske figurer i planet og tegne og analysere grafer og funksjonsuttrykk. GeoGebra finnes p en rekke sprk, og er ogs oversatt til bokml og nynorsk. Programmet kan brukes med bde Windows, Linux og Mac.

Hvor kan jeg f tak i dette programmet?

Den letteste mten skaffe og installere GeoGebra p, er g til www.geogebra.org, klikke p Download og p Webstart. D blir programmet automatisk installert p datamaskinen, og du trenger ikke vre tilkoblet Internett neste gang du skal bruke programmet. Det legger seg da et ikon p skrivebordet. Nr du senere klikker p dette ikonet, blir GeoGebra pnet fra din egen maskin. Viktig: For at GeoGebra skal fungere, trenger du ha installert en ny utgave av Java

p datamaskinen. Java kan lastes ned gratis fra: www.java.com/en/download/index.jsp Dersom du har problemer med pne GeoGebra-filene, kan du g til www.inter-ped.no/GeoGebra og se opplringsvideoen Fr installasjon av GeoGebra.

http://www.geogebra.org/http://www.java.com/en/download/index.jsphttp://www.inter-ped.no/GeoGebrahttp://www.inter-ped.no/GeoGebra

4

Hvordan kommer jeg i gang med bruke programmet?

For komme raskt i gang, er det lurt starte med gjre seg kjent med de ulike vinduene (feltene) og verktyene i GeoGebra. Nedenfor finner du en oversikt over disse: 1 2

3 4 5

6 7

1 Verktylinja. Hvert ikon har en trekant i nederste hgre hjrne. Ved klikke p denne trekanten fr du fram flere verkty. Vi skal se p disse etter hvert.

2 Angreknapp. Ved klikke p disse pilene, kan du g ett skritt fram eller ett tilbake for hvert klikk.

3 Algebrafeltet. Her kommer likningene eller funksjonsuttrykkene som du har

skrevet inn i inntastingsfeltet (6). Her ser vi ogs lengder p linjestykker, areal av mangekanter og alle mlinger eller utregninger som du ber programmet om utfre.

4 Grafikkfeltet. Her fr du tegnet geometriske figurer eller grafer. Du kan vise eller skjule aksene og rutenettet ved klikke p Vis, og fjerne eller vise merke foran disse ordene i menyen. Ved hyreklikke p grafikkfeltet kan du forandre p verdiene langs aksene og justere mange andre egenskaper.

5 Regnearket. Dette fungerer mye p samme mten som et vanlig regneark,

men er mindre avansert enn for eksempel Excel og Calc. Fordelen med dette regnearket er at det fungerer dynamisk sammen med verdier i Algebrafeltet og i Grafikkfeltet.

5

6 Inntastingsfeltet. I dette feltet skriver du inn kommandoer for f fram det du nsker i grafikkfeltet og i algebrafeltet. Du kan for eksempel skrive Avstand[A,B] og trykke Enter. Da fr du avstanden mellom de to punktene A og B som du har plassert i grafikkfeltet p forhnd.

7 Kommandofeltet. Dersom du klikker p pila til hyre for dette feltet, kommer det fram en alfabetisk kommandomeny som du kan velge fra. Velger du for eksempel Midtpunkt, kommer Midtpunkt[] fram i inntastingsfeltet. Da trykker du Enter for komme mellom parentesene og skriver inn navnet p et linjestykke eller to punkt. (For eksempel Midtpunkt[a] eller Midtpunkt[A,B].) Da fr du tegnet et punkt som ligger midt p linjestykket a eller et punkt som ligger midt mellom A og B. Du fr koordinatene til dette midtpunktet i algebrafeltet.

Hvordan henter og legger jeg til nye verkty i GeoGebra?

Tidligere var det veldig tungvint tegne hyder i trekanter med GeoGebra. Fra versjon 3.0 kan vi lage vre egne verkty og legge inn verkty som andre har laget. N vil vi frst legge inn verktyet Hyde.ggt. Her er kort forklart hvordan du kan legge til det ferdige verktyet Hyde.ggt p verktylinja.

G til nettsida www.inter-ped.no/GeoGebra

Klikk p fila Hyde.ggt og lagre denne p datamaskinen, slik at du lett finner verktyet igjen senere.

pne GeoGebra og velg Fil og pne. pne fila Hyde.ggt. Du ser n at du har ftt et nytt ikon p verktylinja.

Klikk p Innstillinger og Lagre innstillinger. N vil det nye verktyet alltid

vre der hver gang du pner GeoGebra.

Hvordan forandrer jeg p innstillingene langs aksene i koordinatsystemet?

Fr vi starter med tegne punkt og linjer i GeoGebra, kan det vere greit vite hvordan vi zoomer ut og inn. Dette kan du gjre p flere ulike mter i GeoGebra:

1. Klikk p trekanten nede i hyre hjrne p dette ikonet p verktylinja: Velg Forminsk, og klikk flere ganger p nsket sted p grafikkfeltet. Ulempen med denne metoden, er at det blir forminskning langs bde x-aksen og y-aksen samtidig.

2. Hyreklikk et sted p grafikkfeltet og velg x-akse:y-akse. Prv med 1:10 eller et annet forhold mellom verdiene langs x-aksen og y-aksen.

3. Hyreklikk et sted p grafikkfeltet og velg Egenskaper. Da kan du selv velge

innstillingene langs aksene.

http://www.inter-ped.no/GeoGebra

6

4. Du kan rulle med musehjulet for zoome ut eller inn.

5. Nr du har trykket p dette ikonet , er det lett dra i og flytte p aksene.

I alle andre menyvalg kan du ogs klikke og dra i aksene dersom du holder nede Shift samtidig.

6. Du kan holde nede hyre mustast og dra et rektangel over det omrdet du vil

zoome inn til. Prv disse mtene nr du har lagt inn noe p grafikkfeltet. OBS! For f rett form p sirkler og for f hyder og normaler til se ut til vre vinkelrette p de aktuelle linjene, m forholdet mellom x-aksen og y-aksen vre 1:1.

7

Del 2. Felles oppgaver for bli kjent med GeoGebra

Koordinater

Kompetanseml etter 7. rstrinn:

Geometri Ml for opplringen er at eleven skal kunne

bruke koordinater til beskrive plassering og bevegelse i et koordinatsystem, p papiret og digitalt


Geometri

Ml for opplringen er at eleven skal kunne

bruke koordinater til avbilde figurer og finne egenskaper ved geometriske former

Oppgave 1

a) Plasser disse punktene i koordinatsystemet:

A: (-5 , -1) B: (-2 , 1) C: (2 , 1

2) D: (5 , 1)

E: (6 , -3) F: (11 , -2) G: (11 , 2)

b) Tegn linjestykker mellom AB, BC, CD, DE, EF og FG. Hva skal figuren forstille?

c) Hvor langt er det p figuren mellom punktene A og B?

Hvor langt er det p figuren mellom punktene F og G?

Lsning p oppgave 1

a) Klikk p ikonet for punkt p verktylinja og plasser etter tur punktene i koordinatsystemet.

En alternativ mte gjre dette p, er skrive koordinatene inn i inntastingsfeltet. Da plasserer GeoGebra punktene p rett plass. Denne mten er kanskje ikke like godt egnet til lre elevene om koordinatsystemet.

8

Pass p skrive store bokstaver for punkt. Skriver du for eksempel a = (5,1) fr du ikke et punkt, men en vektor.

Du fr sannsynligvis ikke se alle punktene, fordi aksene p grafikkfeltet ikke er rett innstilt. Da zoomer du ut slik det er forklart p side 5 - 6 i dette heftet. b) Klikk p den lille trekanten nede i hyre hjrne p ikonet for linjer og linjestykker. Velg Linjestykke mellom to punkt. Klikk p punkt A og slipp. Klikk s p punkt B.

Gjenta dette for alle punktene bortover. Figuren viser en skisse av Karlsvogna. c) I algebrafeltet kan vi lese av at avstanden mellom A og B er 3,61 cm p figuren, og avstanden mellom F og G er 4 cm p figuren.

Rotasjon


Geometri


beskrive og gjennomfre speiling, rotasjon og parallellforskyving


Geometri


utforske, eksperimentere med og formulere logiske resonnementer ved hjelp av geometriske ideer, og gjre greie for geometriske forhold som har srlig mye si i teknologi, kunst og arkitektur

9

Oppgave 2

a) G til nettsiden www.inter-ped.no/Kurs og hent GeoGebra-fila Rotasjon.ggb. pne denne fila med GeoGebra.

b) Flytt glideren til 90. Hvor mange figurer vil vi se, dersom vi holder fram med rotere hver figur 90? Vi vil se ____ figurer. Klikk p avkryssingsboksen ved Vis alle for sjekke om svaret ditt stemmer. Fjern merket i avkryssingsboksen og g til neste punkt.

c) Flytt glideren til 60. Hvor mange figurer vil vi se, dersom vi holder fram med rotere hver figur 60? Vi vil se ____ figurer. Klikk p avkryssingsboksen ved Vis alle for sjekke om svaret ditt stemmer. Fjern merket i avkryssingsboksen og g til neste punkt.

d) Flytt glideren til 15.

Hvor mange figurer vil vi se, dersom vi holder fram med rotere hver figur 15? Vi vil se ____ figurer. Klikk p avkryssingsboksen ved Vis alle for sjekke om svaret ditt stemmer. Fjern merket i avkryssingsboksen og g til neste punkt.

e) Flytt glideren til 75. Hvor mange figurer vil vi se, dersom vi holder fram med rotere hver figur 75? Vi vil se ____ figurer. Klikk p avkryssingsboksen ved Vis alle for sjekke om svaret ditt stemmer. G til neste punkt. La merket i avkryssingsboksen vre.

f) Kryss av for de rotasjonene som du tror vil gi 24 figurer.

15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300 315 330 345 360

Flytt p glideren og sjekk svarene dine.

http://www.inter-ped.no/Kurs

10

g) Kan du forklare hva som er felles for de rotasjonene som gir 24 figurer, og hvorfor vi ikke fr s mange figurer ved de andre rotasjonene?

Lsing p oppgave 2

Se ekstra utdelt ark.

Del 3. Oppgaver for mellomtrinnet

Speiling


Geometri Ml for opplringen er at eleven skal kunne

beskrive og gjennomfre speiling, rotasjon og parallellforskyving

Oppgave 3

a) Tegn en trekant og speil denne om ei linje. Kan du si noe om avstandene fra punktene til linja? b) Tegn en trekant og speil denne om et punkt. Kan du si noe om avstandene fra punktene til speilingspunktet? c) G til www.inter-ped.no/Kurs. Hent ned bildet av den halve sommerfuglen eller av Lisa eller Homer Simpson, og speil et av disse bildene om ei linje.

Lsning p oppgave 3

a) Velg verktyet for mangekant og lag en trekant i grafikkfeltet. Det er lurt ha fjernet akser og rutenett frst. (Bruk Vis-menyen p verktylinja.)

Tegn ogs ei linje p skr nr trekanten ved hjelp av verktyet Linje gjennom to punkt. Velg verktyet Speil objekt om linje, klikk p trekanten og deretter p linja. Trekk linjestykker mellom A og A, mellom B og B og mellom C og C. Finn skjringspunktene mellom disse linjene og speilingslinja. Du kan mle vinkler og lengder p linjestykke slik figuren p neste side viser.


11

Vi ser godt at avstanden fra et punkt til speilingslinja er lik avstanden fra det speilte punktet til den samme linja.

For f stiplet linjestykket, hyreklikker du p en av linjene, velg Egenskaper, Stil og s ei stipla linje under Linjestil.

Vi kan omdpe linjestykkene ved hyreklikke p dem og velge Gi nytt navn. Vil vi vise bde navnet p linjestykket og verdien, hyreklikker vi p linjestykket, velger Egenskaper, Grunninnstillinger og velger Navn og verdi under Vis. Flytt p et punkt for se forandringene. b) Gjenta det samme som i oppgave a, men velg n Speiling om punkt.

12

c)

G til www.inter-ped.no/Kurs og hent ned bildet Sommerfugl, Lisa eller Homer. Lagre bildet slik at det blir lett finne igjen nr du skal bruke det.

Klikk p den lille trekanten nede i hyre hjrne p dette ikonet og velg

ikonet for sette inn et bilde:

Klikk p grafikkfeltet der du vil ha nedre venstre hjrne av bildet. Velg bildet du vil bruke fra der du lagret det.

Speil bildet om ei linje, slik vi gjorde i oppgave a.

Koordinatsystemet


Geometri


bruke koordinater til beskrive plassering og bevegelse i et koordinatsystem, p papiret og digitalt

Oppgave 4

G til nettsiden www.inter-ped.no/Kurs og hent GeoGebra-fila Skattekart.ggb.

Bruk skattekartet p neste side. Antall skritt er det samme som avstand. Nr det str at en skal merke punktet med en stein, betyr det at en skal plassere et punkt der. Bruk verktyene som str p verktylinja i denne fila.

http://www.inter-ped.no/Kurshttp://www.inter-ped.no/Kurs

13

Lsning p oppgave 4

Nr du tror du har funnet skatten, og mener at koordinatene til dette punktet er for eksempel (40,50), skriver du Skatten=(40,50) i inntastingsfeltet og trykker Enter. Da skal skatten dukke opp, om du har funnet de rette koordinatene. Svaret er ikke (40,50). Du finner det nok selv.

14

St under bjrka. G mot eika og tell hvor mange skritt du bruker. Snu s nitti grader mot hyre og g like mange skritt som du alt har gtt. Merk stedet med en stein. G tilbake til bjrka. G mot grana og tel skrittene dine p nytt. Snu s nitti grader mot venstre, og g like mange skritt som fra bjrka til grana. Merk dette stedet med en ny stein. Skatten ligger midt mellom de to steinene.

15

Undervisningsopplegg om diameter, omkrets og pi


Mling

Ml for opplringen at eleven skal kunne

bruke mlestokk til regne ut avstander og lage enkle kart og arbeidstegninger

Oppgave 5. Tips til lreren

1. Ikke gi elevene formelen for sammenhengen mellom diameter og omkrets,

men la dem f oppdage denne formelen selv ved hjelp av opplegget nedenfor.

2. Bruk en sirkelformet gjenstand (en frisbee, ei rund bosskorg, en cola-boks eller lignende) og forklar ordene diameter, radius og omkrets.

3. La elevene mle diameter og omkrets p noen sirkelformede gjenstander som de velger ut selv. De skriver svarene i tabellen p neste side (kopieringsoriginal.)

4. La elevene regne ut omkrets delt p diameter for de ulike gjenstandene. Diskuter mleusikkerhet og hvilke verdier resultatet ser ut til ligge mellom.

5. La elevene bruke den ferdige GeoGebra-fila Utforsking av pi.ggb til mle nyaktige verdier av forholdet mellom omkrets og diameter. La de bruke to desimaler i svaret.

6. Se om elevene klarer finne fram til en generell formel for forholdet mellom omkrets og diameter.

7. La elevene bruke formelen O d og regne noen varierte oppgaver til disse kunnskapene er automatiserte.

16

Oppgave 5. Elevskjema

Ml omkrets og diameter p fem sirkelformede gjenstander

Gjenstand Omkrets Diameter Omkrets

Diameter

Ml omkrets og diameter p fem sirkler med GeoGebra

Bruk fila Utforsking av pi.ggb fra www.inter-ped.no/Kurs

Mling nr. Omkrets Diameter Omkrets

Diameter

1

2

3

4

5

Formuler med dine egne ord en regel om forholdet mellom omkretsen av en sirkel og diameteren i den samme sirkelen. ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ Kall omkretsen for O og diameteren for d. Skriv en formel for sammenhengen mellom O og d. _________________


17

Vinkler i regulre mangekanter

Kompetanseml etter 7. rstrinnet

Tal og algebra Ml for opplringen er at eleven skal kunne

stille opp og forklare utregninger og fremgangsmter, og argumentere for lsningsmetoder

utforske og beskrive strukturer og forandringer i enkle geometriske mnster og tallmnster

Oppgave 6

a) Tegn en regulr trekant, firkant, femkant og sekskant og ml de innvendige vinklene i hver av dem.

b) Hva blir summen av vinklene i hver av disse regulre mangekantene?

c) Kan du finne fram til en formel for summen av vinklene i en regulr n-kant?

n Hver vinkel er: Summen av vinklene er:

3 60 180

4

5

6

Lsning p oppgave 6

Velg verktyet Regulr mangekant. Merk av to punkt A og B, skriv inn 3 i feltet for Punkt og klikk Bruk. Klikk p verktyet for mle vinkler og klikk deretter et sted inne i trekanten. Vi kan n lese av hvor store vinklene er.

18

Gjenta dette med de samme startpunktene A og B for de andre mangekantene. (Elevene kan bruke GeoGebra som kalkulator og skrive 5*108 i inntastingsfeltet for regne ut summen av vinklene i en femkant.) N kan elevene se om de ser et system, fylle ut for andre mangekanter (uten mle) og se om dei finner en generell formel for summen av vinklene i en n-kant. Til slutt kan de teste formelen sin ved tegne for eksempel en 10-kant.

N Hver vinkel er: Summen av vinklene er:

Ml 3 60 180

4

5

6

7 Tipp og regn ut

8

9

10

n

19

Del 4. Oppgaver for ungdomstrinnet

Stigningstall og konstantledd

Kompetanseml etter 10. rstrinn

Funksjoner Ml for opplringen er at eleven skal kunne

lage, p papiret og digitalt, funksjoner som beskriver numeriske sammenhenger og praktiske situasjoner, tolke dem og omsette mellom ulike representasjoner av funksjoner, som grafer, tabeller, formler og tekst.

Oppgave 7

Forklar hvordan grafen til y = a x b forandrer seg nr vi justerer p a og b.

Lsning p oppgave 7

Klikk p Fil og velg Ny. Svar Nei for lagre fila.

Skriv i inntastingsfeltet: a = 2 og trykk Enter.

Skriv i inntastingsfeltet b = 3 og trykk Enter.

Skriv f(x) = a*x + b OBS. Ikke glem stjerne som gangetegn mellom a og x. Du m ha * nr det er a, b, c osv. som konstanter i stedet for tall.

Hyreklikk p a i algebrafeltet og velg Vis objekt. Du fr n en glider i grafikkfeltet. Om du vil, kan du hyreklikke p glideren, vege Egenskaper, klikke p arkfana Glider og justere minimums- og maksimumsverdiene til -10 og 10. (Du kan ogs f fram gliderne ved klikke p merkene foran a og b i algebrafeltet.)

Gjr det samme og lag en glider for b.

Flytt p en glider om gangen og se hva som skjer nr du forandrer a og b.

Forklar med egne ord hvordan stigningstallet og konstantleddet pvirker grafen til funksjonen. ___________________________________________________________ ___________________________________________________________

20

To likninger med to ukjente

Kompetanseml etter 10. rstrinn

Tall og algebra Ml for opplringen er at eleven skal kunne

lse likninger og ulikskaper av frste grad og enkle ligningssystem med to ukjente

Funksjoner Ml for opplringen er at eleven skal kunne

lage, p papiret og digitalt, funksjoner som beskriver numeriske sammenhenger og praktiske situasjoner, tolke dem og omsette mellom ulike representasjoner av funksjoner, som grafer, tabeller, formler og tekst

Oppgave 8

a) Bruk GeoGebra til lse likningssettet

2x + y = 13 4x - 5y = 5

b) La GeoGebra ordne likningene p formen y a x b

c) Finn den minste vinkelen mellom disse linjene.

Lsning p oppgave 8

a) Skriv 2x + y = 13 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv 4x - 5y = 5 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Vi ser n at grafene skjrer hverandre nr x = 5 og y = 3 Om vi vil, kan vi klikke p ikonet for sette inn punkt, fre musa over skjringspunktet, slik at begge linjene blir mrkere, og s klikke. Da fr vi koordinatene til skjringspunktet (5,3) i algebrafeltet.

21

b) Hyreklikk p en av likningene i algebrafeltet og velg y = ax + b Gjr det samme med den andre likningen. Da fr du dem p denne forma:

c) Lag et punkt p hvert av vinkelbeina slik figuren til venstre under viser.

Klikk p ikonet for mle vinkler . Klikk s p punktet p hyre vinkelbein, p skjringspunktet mellom linjene og til slutt p punktet p venstre vinkelbein. Alts: hyre, spissen, venstre (eller B, A og C). Da fr du strrelsen p vinkelen mellom di to linjene i algebrafeltet.

22

Eksamensoppgave (Oppgave 2.2, vren 2008)

Oppgave 9

a) Tegn inn punktene A (-4, -2) og B (3, 5) i et koordinatsystem, og trekk linja gjennom punktene.

b) Finn funksjonsuttykket du tegnet i a) og kall dette for y1

En annen funksjon er uttrykt ved y2 = 0,5x2 2.

c) Lag verditabell og tegn grafen til y2 i samme koordinatsystem som y1.

Bruk gjerne disse verdiene:

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y2 6

d) Bruk figuren og finn for hvilke x-verdier y1 < y2.

Lsning av oppgave 9 med GeoGebra

a) og b)

1. Du kan skrive koordinatene i Inntastingsfeltet nederst p siden og trykke Enter. Skriv da (-4 , -2) og trykk Enter. GeoGebra kaller punktet for A. Skriv deretter (3 , 5) og trykk Enter. GeoGebra kaller dette punktet for B.

2. Alternativt kan du klikke p ikonet for sette inn punkt. . Klikk deretter i koordinatsystemet p koordinatene (-4 , 2) og (3 , 5)

Da er det tid for tegne linja gjennom de to punktene.

3. Klikk p den lille trekanten nede i hyre hjrne p ikonet for linjer og linjestykker og velg Linje gjennom to punkt. (Her kunne du ogs ha klikket direkte p ikonet, fordi Linje gjennom to punkt ligger verst p menyen p verktylinja.

23

4. Klikk p dei to punktene A og B. Du ser n at likningen for linja kommer opp i algebrafeltet.

5. Hyreklikk p likningen i algebrafeltet og velg formen y = ax + b.

Du ser n at likningen for linja er y = x + 2 (Dette kan dyktige elever se direkte ut fra grafen.)

c)

6. Skriv i inntastingsfeltet y = 0.5x2 2 og trykk Enter. Du fr fram 2 ved holde nede Alt-tasten og s trykke 2. Du finner ogs denne eksponenten i nedtrekksmenyen rett til hyre for inntastingsfeltet. (OBS. Bruk punktum og ikke komma i 0.5)

7. Klikk p Vis og merk av for Regneark. Skriv inn verdiene fra og med -4 til og med 4 i celle A1 til A9. (Du kan ev. skrive inn -4 i A1 og -3 i A2, merke disse og kopiere nedover slik en gjr i andre regneark.) I celle B1 skriver du =0.5*A12 - 2. Trykk Enter. Kopier dette nedover til og med celle B9.

d) Vi ser av figuren at y1 < y2 nr x < 2 eller nr x > 4

24

Eksamensoppgave (Eksempel oppgave 2. Del 2, nr. 3)

Kommentar i rettledningen:

Oppgaven prver eleven i geometri, herunder konstruksjon, og mling, herunder mlestokk. Klassisk konstruksjon med blyant, passer og linjal og konstruksjon med dynamisk geometriverkty godkjennes p lik linje. Delpoeng vurderes. konstruksjonsforklaring kreves i oppgaven. Konstruksjon med dynamisk geometriverkty krever uansett konstruksjonsforklaring (se vurderingsveiledning).

Oppgave 10

Tegningen nedenfor viser en del av dekket p ei oljeplattform. I oppgavene 1, 2, 3, 4 og 5, er det vist til denne tegningen.

(3 cm)

(4 cm) La 1,0 cm svare til 2,0 m, og konstruer den delen av dekket som tegningen viser. Husk konstruksjonsforklaring.

Lsning p oppgave 10 med GeoGebra

pne ei ny GeoGebra-fil. Skjul rutenett og akser.

Bruk verktyet Linjestykke med fast lengde, klikk i grafikkfeltet der du vil ha punkt A, og skriv inn 12 i feltet for lengde. Klikk OK.

25

Klikk i punkt A, og lag et nytt linjestykke med fast lengde 4.

Hyreklikk p dette punktet (som har ftt navnet C), velg Gi nytt navn, og kall punktet F.

Velg verktyet Normal. Klikk p punkt F og deretter p linjestykket AB. Klikk p punkt B, og deretter p linjestykket AB.

Velg verktyet Vinkel med fast strrelse. Klikk p punkt F og p punkt A. Bruk en vinkel p 45 mot klokka. Klikk OK.

Velg verktyet Strle gjennom to punkt og klikk i punkta A og F. Velg verktyet Skjring mellom to objekt og klikk p strlen og p normalen til AB, gjennom F.

Hyreklikk p skjringspunktet, velg Gi nytt navn, og kall punktet for E.

Velg verktyet Sirkel definert ved sentrum og radius, klikk i punkt E og skriv inn 3 for radius. Klikk OK.

Finn skjringspunktet D mellom sirkelen og normalen til AB, som gr gjennom F. (Det blir to skjringspunkter, men vi er interesserte i det som ligger over punktet E.)

Lag en normal i punktet D, slik figuren verst p neste side viser.

26

Finn skjringspunktet mellom den nye normalen og normalen du lagde gjennom B. Kall skjringspunktet for C.

Velg verktyet Vinkel med fast strrelse. Klikk i C og deretter i B. Skriv inn 30, og velg Med klokken. Klikk OK.

Trekk en strle fra B og gjennom C.

Finn skjringspunktet mellom denne strlen og normalen gjennom E og C. Kall skjringspunktet for G (dersom det ikke alt har dette navnet).

Velg verktyet Halvsirkel mellom to punkt. Klikk i G og deretter i C.

Skjul sirkelen og de to strlene ved hyreklikke p dem og velge Vis objekt. (OBS. Du m ikke slette dem, for da kollapser figuren.) Skjul ogs punktene C, F og E1.

Hyreklikk p en av dei tre normalene gjennom E og C, gjennom F og E eller gjennom B og C. Velg Egenskaper. Merk overskriften Linjer under Grunninnstillinger, og fjern merket foran Vis navn.

27

Klikk p Stil, og velg ei stiplet linje fra Linjestil.

Velg verktyet Linjestykke mellom to punkt, og trekk linjestykkene AD, DE og EG.

Tegn linjestykkene FD, BC og BG.

Hyreklikk p de tre siste linjestykkene, velg Egenskaper, Stil og velg ei stipla linje fra Linjestil.

Vi vil n skjule navnene p linjestykkene. Det gjr vi ved hyreklikke p ett av dem og velge Egenskaper. Klikk p overskriften Linjestykker, slik at alle blir merket, og klikk to ganger slik at merket kommer fram og forsvinner igjen i boksen for Vis navn i Grunninnstillinger. Klikk p Lukk.

Vi vil ogs markere de rette vinklene. Velg verktyet Vinkel (ikke Vinkel med fast strrelse) og klikk etter tur i B, F og D. Gjr det samme for C, B og F og for F, E og C.

28

Hyreklikk p en av vinklene og velg Egenskaper. Klikk p overskriften Vinkel og skift fra Navn og verdi til Verdi.

Bruk ev. Flyttverktyet og juster litt p plasseringen av punkt og vinkelstrrelser.

N gjenstr det bare skrive litt tekst til figuren. Klikk p tekstverktyet og klikk der du vil skrive inn teksten. Skriv inn tekstene og plasser dem slik figuren nedenfor viser.

N vil vi ha figuren og en konstruksjonsforklaring inn i et skriveprogram,

(som for eksempel Word). Bruk da Flyttverktyet og dra et rektangel over det omrdet av figuren som du vil vise. Trykk Ctrl, Shift og C, og lim inn figuren i Word.

Vi trenger ogs en konstruksjonsforklaring. Klikk p Vis, og merk av for Konstruksjonsforklaring. Klikk p Fil, og p Forhndsvis utskrift. Du kan n skrive ut denne, eller kopiere forklaringen og lime henne inn i Word etter konstruksjonen. Det er klarert fra Utdanningsdirektoratet at en slik automatisk generert konstruksjonsforklaring skal godkjennes p lik linje med en tradisjonell og handlaget forklaring.

29

Eksempelsett 2. Del 2. Nr. 3

Documents

Opplæringshefte i GeoGebra for mellomtrinnet og …E6ringshefte%20i%20GeoGebra%20for… · 4 Hvordan kommer jeg i gang med å bruke programmet? For å komme raskt i gang, er det