Optimización de Funciones

Tema 5

Optimizacion de funciones

5.1. Extremos de funciones de varias variables

Definicion 5.1.1. Sean f : D Rn R, ~x0 D y el problema de optimizacion:

maximizar /minimizar f(x1, x2, , xn), (x1, x2, , xn) D

en el cual el conjunto D recibe el nombre de conjunto factible y la funcion f el de

funcion objetivo

~x0 es un extremo absoluto si:

~x D, f(~x0) f(~x) (maximo) o f(~x0) f(~x) (mnimo).

~x0 es un extremo relativo si existe un entorno de ~x0, U(~x0) tal que:

~x U(~x0) D, f(~x0) f(~x) (maximo) o f(~x0) f(~x) (mnimo).

~x0 es un extremo (absoluto - relativo) estricto si las desigualdades son estrictas

para ~x 6= ~x0.

Definicion 5.1.2. Sea f : D Rn R, diferenciable en ~x0 D~x0 es un punto crtico o estacionario de f si f(~x0) = ~0.

~x0 es un punto de silla de f si es un punto crtico y si existe U(~x0) D tal que

x1, x2 U(~x0) : f(~x1) > f(~x0) y f(~x2) < f(~x0).

63

Curso 2014/2015 Matematicas (Grado en Qumica)

Proposicion 5.1.3. (Condicion necesaria de extremo relativo). Sea f : D Rn R,diferenciable en ~x0 D. Si ~x0 es un extremo relativo de f , entonces ~x0 es un punto crticode f .

Un extremo relativo siempre es un punto crtico, pero no todo punto crtico es un

extremo relativo (tambien puede ser punto de silla)

Proposicion 5.1.4. (Condicion suficiente de extremo relativo). Sea f : D Rn R,dos veces diferenciable en un punto crtico ~x0 D y q(x1, . . . , xn) la forma cuadraticaasociada al Hessiano de f en ~x0, es decir,

q(x1, , xn) = (x1, . . . , xn)Hf(~x0)

x1...

xn

.si q es definida positiva, ~x0 es un mnimo relativo estricto.

si q es definida negativa, ~x0 es un maximo relativo estricto.

si q es indefinida, ~x0 es un punto de silla.

si q es semidefinida, no podemos asegurar nada.

5.2. Extremos bajo restricciones de igualdad

(Multiplicadores de Lagrange).

Definicion 5.2.1. Sean f, gi : D Rn R, ~x0 D tal quegi(~x0) = 0, (i = 1, 2, m < n) y el problema de optimizacion:

maximizar /minimizar f(x1, x2, , xn), (x1, x2, , xn) Dsi

g1(x1, x2, , xn) = 0g2(x1, x2, , xn) = 0

...

gm(x1, x2, , xn) = 0en el cual las restricciones gi(~x) = 0, (i = 1, 2, m < n) reciben el nombre de ecuacionesde ligadura, el conjunto D = {~x D : gi(~x) = 0} recibe el de nombre de conjuntofactible y la funcion f el de funcion objetivo.

64

Grupos A y D Curso 2014/2015

~x0 es un extremo absoluto condicionado si:

~x D, f(~x0) f(~x) (maximo) o f(~x0) f(~x) (mnimo).

~x0 es un extremo relativo condicionado si existe U(~x0) tal que:

~x U(~x0) D, f(~x0) f(~x) (maximo) o f(~x0) f(~x) (mnimo).

~x0 es un extremo (absoluto - relativo) condicionado estricto si las desigual-

dades so estrictas para ~x 6= ~x0.

Si de las m restricciones es posible despejar m variables en funcion de las restantes,

el problema de optimizacion con restricciones se reduce a uno de optimizar una funcion

de nm variables sin restricciones; sin embargo, el dominio del nuevo problema no tieneporque ser todo Rnm.

Por ejemplo, si el problema original consiste en buscar los extremos de la funcion

f(x, y) = x2 +y sobre la circunferencia x2 +y2 = 1, podemos despejar x2 = 1y2 y tratarde buscar los extremos de la funcion de 1 variable F (y) = 1 y2 + y; pero el dominiodonde habra que buscar los extremos sera el conjunto [1, 1], pues en la circunferenciaoriginal, la variable y solo puede tomar valores entre 1 y 1.

Proposicion 5.2.2. (Condicion necesaria de extremo relativo condicionado).

Sean f, gi : D Rn R funciones de clase C1 en D y ~x0 D tal que los vecto-res g1(~x0), g2(~x0), ,gm(~x0) son linealmente independientes. Si ~x0 es un extremorelativo condicionado, entonces existen 1, 2, , m R que reciben el nombre de mul-tiplicadores de Lagrange, tales que:

f(~x0) = 1g1(~x0) + 2g2(~x0) + + mgm(~x0)

o, equivalentemente, tales que ~x0 es un punto crtico de la funcion lagrangiana asociada:

L(x1, x2, , xn) = f(x1, x2, , xn)1g1(x1, x2, , xn) . . .mgm(x1, x2, , xn).

Proposicion 5.2.3. (Condicion suficiente de extremo relativo condicionado).

Sean f, gi : D Rn R de clase C2 en D y ~x0 D un punto crtico de la fun-cion lagrangiana asociada al problema y q la forma cuadratica asociada al Hessiano de

L(x1, x2, , xn) en ~x0. Consideremos el subespacio vectorial

T (~x0) = {~x Rn : gj(~x0) ~x = 0, j = 1, ,m}.

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Si q|T (~x0) es definida positiva, ~x0 es un mnimo relativo condicionado.

Si q|T (~x0) es definida negativa, ~x0 es un maximo relativo condicionado.

5.3. Ejercicios resueltos

1.- Calcular los maximos y mnimos de las siguientes funciones:

a) f(x, y) = x4 2px2 y2 + 3

SOLUCION:

Calculemos las derivadas parciales e igualemos a 0 para hallar los puntos crti-

cos:f

x= 4x3 4px = 4x(x2 p); f

y= 2y.

Esta claro quef

y= 0 y = 0, pero para la Parcial respecto de x hay que

tener en cuenta el signo de p.

Si p > 0, fx

= 4x(x2 p) = 0 x = 0,p, y los puntos crticos sonP1 = (0, 0), P2 = (

p, 0) y P3 = (p, 0).

Si p = 0, fx

= 4x3 = 0 x = 0, y el unico punto crtico es P1 = (0, 0).

Si p < 0, fx

= 4x(x2 p) = 0 x = 0, y el unico punto crtico esP1 = (0, 0).

Calculemos ahora el Hessiano para estudiar si los puntos obtenidos son maxi-

mos, mnimos o puntos de silla.

2f

x2=

x(4x3 4px) = 12x2 4p

2f

xy=

y(4x3 4px) = 0

2f

yx=

x(2y) = 0

2f

y2=

y(2y) = 2

Por tanto el Hessiano es H(x, y) =

12x2 4p 00 2

.Estudiemos los puntos crticos segun los valores del parametro p.

p > 0: En este caso hay 3 puntos crticos.

66


H(0, 0) =4p 00 2

= 8p > 0, y D1 = 4p < 0. Por tanto, el puntoP1 = (0, 0) es un Maximo Relativo.

H(p, 0) =8p 00 2

= 16p < 0. Por lo tanto, los puntos P2 =(p, 0) y P3 = (p, 0) son Puntos de Silla.

p < 0: En este caso solo el origen es punto crtico:

H(0, 0) =

4p 00 2 = 8p < 0, luego es un Punto de Silla.

p = 0: En este caso solo el origen es punto crtico, pero al calcular elHessiano, se observa que H(0, 0) = 0 y no obtenemos informacion. En este

caso particular, la funcion queda de la siguiente forma:

f(x, y) = x4 y2 + 3

Pero podemos comprobar que en las cercanas del origen hay puntos por

encima y por debajo de f(0, 0):

f(x, 0) = 3 + x4 > 3 = f(0, 0) f(0, y) = 3 y2 < 3 = f(0, 0).

Por lo tanto, P1 = (0, 0) es un Punto de Silla.

b) f(x, y) = x(ex ey)

SOLUCION:

Calculemos las derivadas parciales e igualemos a 0 para hallar los puntos crti-

cos:f

x= (ex ey) + xex = (x+ 1)ex ey y f

y= xey.

Esta claro quef

y= 0 x = 0, y si sustituimos en la parcial respecto de

x, obtenemos que (0 + 1)e0 ey = 0 1 ey = 0 y = 0. Por lotanto el unico punto crtico es el origen P = (0, 0).

Calculemos ahora el Hessiano para estudiar si los puntos obtenidos son maxi-

mos, mnimos o puntos de silla.2f

x2=

x((x+ 1)ex ey) = ex + (x+ 1)ex = (x+ 2)ex

2f

xy=

y((x+ 1)ex ey) = ey

2f

yx=

x(xey) = ey

2f

y2=

y(xey) = xey

67


Por tanto el Hessiano es H(x, y) =

(x+ 2)ex ey

ey xey

.En particular, H(0, 0) =

2 11 0 = 1 > 0 y como D1 = 2 > 0, el punto es un

Mnimo Relativo.

2.- Calcular los maximos y mnimos de las siguientes funciones:

a) f(x, y) = x4 + y4 + 4axy + 8a4, (a R).

SOLUCION

En primer lugar, hallemos los puntos crticos, calculando las parciales e igua-

lando a 0.

x= 4y3 + 4ay = 0 ay = x3 (1)

y= 4x3 + 4ax = 0 ax = y3 (2).

Esta claro que el caso a = 0 habra que estudiarlo aparte:

Si a = 0, entonces, el unico punto crtico es P0 = (0, 0) y la funcion esf(x, y) = x4 + y4. Pero en este caso, f(x, y) 0 = f(0, 0), luego el puntoP0 es un mnimo.

Si a 6= 0, entonces podemos despejar y en (1): y = x3

a. Ahora sustituimos

en (2) y obtenemos:

ax = x9

a3 a4x = x9 x9a4x = 0 x(x8a4) = 0

x = 0 o x8 = a4 x = 0 o x = |a|.Es decir,

Si a > 0, tenemosx = 0, luego y = 03a = 0;x =a, luego y =

a3

a = aa

a = a;

x = a, luego y = a3

a = aa

a =a.

Por lo tanto, obtenemos 3 puntos: P0 = (0, 0), P1 = (a,a), P2 =

(a,a).

68


Si a < 0, tenemosx = 0, luego y = 03a = 0;x =a, luego y =

a3a = a

aa =

a;x = a, luego y =

a3a = (a)

aa =

a.Obtenemos 3 puntos: P0 = (0, 0), P1 = (

a,a), P2 = (a,a).

Para ver que tipo de puntos son, vamos a calcular el Hessiano:2

x2 = 12x2 2

xy = 4a

2

yx = 4a2

y2 = 12y2

Por lo tanto, H(x, y) =

12x2 4a

4a 12y2

Veamos, en cada caso, que puntos obtenemos

Si a > 0, entonces

H(0, 0) =

0 4a4a 0 = 4a2 < 0 Punto de Silla, pues la forma

cuadratica es indefinida..

H(a,a) =

12a 4a4a 12a = 128a2 > 0.

Pero como D1 = 12a > 0, la forma cuadratica es definida posi-

tiva luego tenemos un mnimo.

H(a,a) =12a 4a4a 12a

= 128a2 > 0Pero como D1 = 12a > 0, tenemos un mnimo.

Si a < 0, entonces

H(0, 0) =

0 4a4a 0 = 4a2 < 0 Punto de Silla.

H(a,a) =

12a 4a4a 12a = 128a2 > 0.

Pero como D1 = 12a > 0, tenemos un mnimo.

H(a,a) =12a 4a4a 12a

= 128a2 > 0Pero como D1 = 12a > 0, tenemos un mnimo.

b) z = xyex2y2 .

SOLUCION:

Calculemos las parciales e igualemos a 0.

69


z

x= y(1 2x2)ex2y2 = 0 (1).

z

y= x(1 2y2)ex2y2 = 0 (2).

Gracias a (1), tenemos 2 opciones: O bien y = 0 o bien 1 2x2 = 0.

Si y = 0, entonces (2) resulta: xex2

= 0 x = 0 y obtenemos el puntoP0 = (0, 0).

Si 12x2 = 0, es decir, x = 12, entonces (2) resulta 1

2(1+2y2)e1/2y

2

= 0

1 2y2 = 0 y = 12.

Por tanto obtenemos 4 puntos:

P1 =(

12, 1

2

), P2 =

(12, 1

2

), P3 =

( 1

2, 1

2

), P4 =

( 1

2, 1

2

).

Para saber que tipo de puntos son los obtenidos, debemos calcular el Hessiano.

2z

x2= 2xy(3 2x2)ex2y2

2z

xy= (1 2x2)(1 2y2)ex2y2

2z

xy= (1 2x2)(1 2y2)ex2y2

2z

y2= 2xy(3 2y2)ex2y2

Por tanto:

H(0, 0) =

0 11 0 = 1 < 0 Punto de Silla al ser la forma cuadratica indefi-

nida.

H(

12, 1

2

)=

2e1 0

0 2e1

= 4e2 > 0Pero comoD1 = 2e1 < 0, tenemos un maximo, al ser la forma cuadratica

definida negativa.

H( 1

2, 1

2

)=

2e1 0

0 2e1

= 4e2 > 0Pero como D1 = 2e1 < 0, tenemos un maximo.

H( 1

2, 1

2

)=

2e1 0

0 2e1

= 4e2 > 0Pero como D1 = 2e

1 > 0, tenemos un mnimo, pues la forma cuadratica

es definida positiva.

H(

12, 1

2

)=

2e1 0

0 2e1

= 4e2 > 0Pero como D1 = 2e

1 > 0, tenemos un mnimo.

70


3.- Obtener los extremos de la funcion f(x, y) = x + y que se encuentren en la circun-

ferencia x2 + y2 = 4

SOLUCION

En primer lugar consideramos la funcion lagrangiana asociada al problema que viene

dada por F (x, y, ) = x+ y (x2 + y2 4) . Obtenemos los puntos crticos:

F (x, y, ) =

1 2x1 2y

x2 y2 + 4

=

0

0

0

1 2x = 01 2y = 0

x2 + y2 = 4

=

1

2x

=1

2y

= x = y

Entonces, x2 + x2 = 4 x = 2, y = 2 =

2

4.

Por tanto, los puntos crticos de la lagrangiana son: P1(

2,

2,

2

4), P2(

2,

2,

2

4).

Para clasificar los puntos se obtiene la matriz hessiana de la funcion lagrangiana con

respecto a las variables principales del problema: H(x,y)L(x, y, ) =

2 00 2

y se sustituyen los puntos crticos obtenidos anteriormente:

H(x,y)L(

2,

2,

2

4) =

2

20

0

2

2

representa una forma cuadratica definidanegativa en R2, por tanto sera definida negativa en cualquier subespacio, en particu-

lar el subespacio T (~x0) que se indica en teora. Por tanto P1(

2,

2) es un maximo

del problema con f(

2,

2) = 2

2.

Analogamente, H(x,y)L(

2,2,

2

4) =

2

20

0

2

2

representa una formacuadratica definida positiva en R2, por tanto sera definida positiva en cualquier

subespacio, en particular el subespacio T (~x0) que se indica en teora. Por tanto

P2(

2,2) es un mnimo del problema con f(2,2) = 22.

71


4.- Obtener los extremos de la funcion f(x, y) = x3 + 2xy + y2 que se encuentren en la

recta x+ y = 0

SOLUCION

En primer lugar consideramos la funcion lagrangiana asociada al problema: F (x, y, ) =

x3 + 2xy + y2 (x+ y) . Obtenemos los puntos crticos:

F (x, y, ) =

3x2 + 2y 2x+ 2y x y

=

0

0

0

De la tercera ecuacion: y = x que sustituida en la segunda: 2x2x = 0 = 0

Sustituido este valor en la primera ecuacion: 3x2 2x = 0, x = 0, x = 23

Por lo que los puntos crticos de la lagrangiana son. P1(0, 0, 0), P2(2

3,2

3, 0).

Clasificamos los puntos construyendo la matriz hessiana:H(x,y)L(x, y, ) =

6x 22 2

y se sustituyen los puntos crticos obtenidos anteriormente:

H(x,y)L(2

3,2

3, 0) =

4 22 2

Como D1 = 4 > 0, D2 = 4 > 0 representa una formacuadratica definida positiva en R2, por tanto sera definida positiva en cualquier

subespacio, en particular el subespacio T (~x0). Por tanto P1(2

3,2

3) es un mnimo

del problema con f(2

3,2

3) = 4

27.

Consideramos ahora P2(0, 0, 0), H(x,y)L(0, 0, 0) =

0 22 2

Como D1 = 0 tenemosque recurrir a los autovalores. Dado que las autovalores son 1 = 1 +

5 > 0, 2 =

15 < 0, representa una forma cuadratica indefinida por lo que hay que restringirla forma cuadratica al subespacio T (x, y) = g(0, 0)(x, y) = 0. Como g(x, y) =(1, 1), g(0, 0) = (1, 1). La ecuacion implcita del subespacio T es T (x, y) = {(x, y) R2 : x+ y = 0}.

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Como la forma cuadratica es

q(x, y) = (x, y)

0 22 2

xy

= 2y2 + 4xyrestringida a T, (y = x), queda:

q(x) = 2x2 4x2 = 2x2 < 0

que es definida negativa, por tanto, (0, 0) es un maximo del problema con f(0, 0) = 0.

5.4. Ejercicios propuestos

1.- Obtenga y clasifique los puntos crticos de las siguientes funciones:

a) f(x, y) = x2 (y 2)2, b) f(x, y) = x2 y2, c) f(x, y) = x3 + y2

2.- Calcula los extremos relativos de las funciones:

a) f(x, y) = x4 + x2y + y2, b) f(x, y) = xyex+2y, c) f(x, y) =4

x+

9

y+ x+ y + 1

2.- Hallar, bajo la restriccion que se indica, los maximos y mnimos de f : R2 R:

f(x, y) = 8x2 xy + 12y2 restringida a x+ y = 42 (x, y 0)f(x, y) = x2y2 restringida a x2 + y2 = 1 (x, y 0)

f(x, y) = x+ (y 1)2 + 10 restringida a x2 + (y 1)2 = 9 (x, y 0)f(x, y) = 6 4x 3y restringida a x2 + y2 = 1f(x, y) = ex + ey restringida a x+ y = 2

3.- Dada la funcion f(x, y) = ax2 + 2xy + by2 + x + y + 1 con a, b R tales queab 6= 1, y a 6= 0 , discutanse los extremos de f(x, y) segun los valores de a y b.

4.- Para que valores de b R el punto P (1, 1,1) es un mnimo de la funcion

f(x, y, z) = x2 + y2 + bxy + x+ y + 2z

restringida a la esfera unidad (x2 + y2 + z2 = 1)?.

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5.- Determina tres numeros positivos x, y, z tales que:

a) xyz es maximo sujeto a x+ y + z = 18.

b) x+ y + z es mnimo sujeto a xyz = 27.

6.- a) Hallar los extremos de la funcion f(x, y) = xy3 + x3y sobre la circunferencia

unidad.

b) Calcular los extremos de la funcion f(x, y, z) = x 2y + 2z sobre la esfera decentro el origen y radio 3, ( x2 + y2 + z2 = 9).

c) Halla los valores maximos y mnimo de f(x, y, z) = xy+yz+ zx+x+y+ z sobre

la esfera x2 + y2 + z2 = 1.

7.- La superficie exterior de un volcan viene modelizada por la funcion f(x, y) = 12000, 002x2 0, 005y2.

a) Calcula la altura maxima del volcan.

b) Un excursionista se encuentra en el punto del volcan de coordenadas (300, 100)

cuando este entra en erupcion.

(i) A que altura se encuentra el excursionista?

(ii) En que direccion debe correr para comenzar bajar al mayor ritmo posible?

(iii) Cual sera ese ritmo?

8.- La cantidad de calor que se desprende en una reaccion qumica al interactuar x

moleculas de un compuesto e y moleculas de otro se modeliza por la funcion Q(x, y) =

5x28y22xy+42x+102y. Halla x e y para que la cantidad de calor sea maxima.

9.- Una planta de fabricacion de productos qumicos puede producir z unidades de un

producto Z dadas x unidades del compuesto qumico X e y unidades del compuesto

Y , donde z = 500x0,6y0,3. El producto X cuesta 10epor unidad, mientras que el

producto Y cuesta 25epor unidad. La compana desea maximizar la produccion de Z

con una restriccion presupuestaria de 2.000e. Establece el problema de optimizacion

en terminos de multiplicadores de Lagrange y calcula cual es la produccion maxima

de Z. cuantas unidades de los productos X e Y son necesarias para alcanzar dicho

maximo?

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