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LES OPTIONS ET LE DIVIDENDE Makram BELLALAH et Armand DERHY Résumé Nous présentons dans cet article les concepts d'une évaluation rationnelle des options et nous développons les principaux modèles en présence de distribution de dividendes sur l'actif support. L'évaluation des options est fondée sur les principes d'évaluation des warrants. Plusieurs auteurs ont établi des formules analytiques comportant un ou plusieurs termes arbitraires, sans pour autant aboutir à une formule finale satisfaisante. De fait, il a fallu attendre l'année 1973, pour qu'une formule analytique soit mise en oeuvre par Black et Scholes. Un résultat identique a été avancé par Merton (1973) dans un contexte plus général, où le taux d'intérêt fluctue d'une façon aléatoire. Des résultats équivalents en temps discret sont proposés par Cox, Ross et Rubinstein (1979). L'équivalence entre ces résultats et la convergence des prix des options des modèles en temps discret vers les modèles en temps continu est vérifiée par plusieurs auteurs. Dès lors, nous avons assisté à un foisonnement des recherches sur l'évaluation d'autres actifs contingents comme les options exotiques et de seconde génération en conservant à l'esprit la difficulté de prendre en considération les dividendes. La question du dividende est considérablement simplifiée lorsqu'on considère un taux de rendement à la place d'un montant donné lors de la procédure de calcul du prix de l'option. Mais, cette solution n'est pas appropriée lors de l'évaluation d'une option américaine sur action. Le problème fondamental dans l'évaluation des options sur action émane du profil exact de détachement des dividendes dans le temps, de sa fréquence et de son montant. La connaissance de ce profil n'est pas sans effet sur la probabilité d'un exercice prématuré d'une option et par conséquent sur son prix. Au fond, l'une de ses conséquences immédiates est que le paiement de l'option et la probabilité d'un exercice prématuré sont affectés. L'absence d'un théorème de parité entre les options d'achat et de vente pour les options américaines, analogue à celui des options européennes, conduit à une étude spécifique pour chaque type d'option. L'analyse exige dans chaque situation une étude des motivations du porteur de l'option et son attitude face à l'exercice de son option. Étant donné l'effet du dividende sur les prix des options, cet article analyse les points importants et suggère les solutions appropriées pour les options européennes et américaines. Alors que l'effet du dividende sur les prix des options européennes peut être négligé, tel n'est pas le cas pour les options américaines. Pour ces options, l'auteur conclut à la préférence vers les modèles en temps discret lorsque la contrainte concernant le temps de calcul est

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LES OPTIONS ET LE DIVIDENDE Makram BELLALAH et Armand DERHY

Rsum Nous prsentons dans cet article les concepts d'une valuation rationnelle des options et nous dveloppons les principaux modles en prsence de distribution de dividendes sur l'actif support. L'valuation des options est fonde sur les principes d'valuation des warrants. Plusieurs auteurs ont tabli des formules analytiques comportant un ou plusieurs termes arbitraires, sans pour autant aboutir une formule finale satisfaisante. De fait, il a fallu attendre l'anne 1973, pour qu'une formule analytique soit mise en oeuvre par Black et Scholes. Un rsultat identique a t avanc par Merton (1973) dans un contexte plus gnral, o le taux d'intrt fluctue d'une faon alatoire. Des rsultats quivalents en temps discret sont proposs par Cox, Ross et Rubinstein (1979). L'quivalence entre ces rsultats et la convergence des prix des options des modles en temps discret vers les modles en temps continu est vrifie par plusieurs auteurs. Ds lors, nous avons assist un foisonnement des recherches sur l'valuation d'autres actifs contingents comme les options exotiques et de seconde gnration en conservant l'esprit la difficult de prendre en considration les dividendes. La question du dividende est considrablement simplifie lorsqu'on considre un taux de rendement la place d'un montant donn lors de la procdure de calcul du prix de l'option. Mais, cette solution n'est pas approprie lors de l'valuation d'une option amricaine sur action. Le problme fondamental dans l'valuation des options sur action mane du profil exact de dtachement des dividendes dans le temps, de sa frquence et de son montant. La connaissance de ce profil n'est pas sans effet sur la probabilit d'un exercice prmatur d'une option et par consquent sur son prix. Au fond, l'une de ses consquences immdiates est que le paiement de l'option et la probabilit d'un exercice prmatur sont affects. L'absence d'un thorme de parit entre les options d'achat et de vente pour les options amricaines, analogue celui des options europennes, conduit une tude spcifique pour chaque type d'option. L'analyse exige dans chaque situation une tude des motivations du porteur de l'option et son attitude face l'exercice de son option. tant donn l'effet du dividende sur les prix des options, cet article analyse les points importants et suggre les solutions appropries pour les options europennes et amricaines. Alors que l'effet du dividende sur les prix des options europennes peut tre nglig, tel n'est pas le cas pour les options amricaines. Pour ces options, l'auteur conclut la prfrence vers les modles en temps discret lorsque la contrainte concernant le temps de calcul est

surmonte. Toutefois, il est honnte d'avouer que les modles en temps continu rpondent beaucoup plus aux besoins des oprateurs qui grent des positions importantes en temps rel sur les marchs.

I. INTRODUCTION Nous analysons dans cet article les concepts d'une valuation rationnelle des options europennes et amricaines en prsence de dtachement de dividendes. Ces concepts sont mis en oeuvre dans les travaux pionniers de Black et Scholes (1973) et Merton (1973) pour les modles en temps continu et l'article de Cox, Ross et Rubinstein (1979) pour les modles en temps discret. La connaissance de ces concepts est fondamentale pour calculer les prix des options et pour comprendre les fondements de l'approche moderne d'valuation des actifs contingents. Ces concepts couvrent essentiellement les notions de portefeuilles de couverture, d'arbitrage et de duplication. La plupart des options ngociables sur actions, sinon la majorit, sont amricaines, dtachent des dividendes et sont exerces avant la date d'chance. Plus prcismment, les options europennes portent sur des chances relativement longues et sont trs rarement ngocies. Ds lors, il s'impose de prendre en considration ces deux caractristiques dans l'valuation des options. Alors qu'une partie du travail ncessaire est facilement effectue dans le cadre des modles en temps discret, la tche est plus fastidieuse pour les modles en temps continu. En effet, en l'absence de versement de dividendes, le modle de Black et Scholes s'applique l'valuation des options sur action puisqu'il n'existe aucune motivation exercer une option d'achat d'une faon prmature. Dans ce contexte, la valeur d'une option europenne est quivalente celle d'une option amricaine. Tel est galement le cas pour les options europennes avec et sans les dividendes puisque le porteur de l'option ne dispose pas de la possibilit de l'exercer avant sa date d'chance. En prsence d'un dtachement de dividendes en continu, une lgre modification est opre dans la formule analytique d'valuation des options europennes pour calculer le prix de l'option. Cette approximation n'est pas toujours approprie lorsque le dividende est inquitablement rparti au cours du temps. Pour les options amricaines, il s'impose d'tudier sparemment l'effet du dividende sur l'option d'achat et l'option de vente. Cette ncessit est dicte

par l'absence d'un thorme de parit entre les options amricaines, analogue celui des options europennes. En rgle gnral, il n'est pas optimal d'exercer une option amricaine d'achat pour laquelle le support ne verse pas de dividendes. En effet, dans ce cas, l'option amricaine d'achat montre plusieurs similarits avec l'option europenne d'achat. En particulier, il est dans l'intrt du porteur de conserver son option jusqu' sa date d'chance pour profiter des variations probables de la valeur du support. Cette rgle n'est pas vrifie pour les options de vente "en jeu" puisque ces options subissent en outre l'effet de la variation des taux d'intrt. En effet, l'exercice d'une option amricaine de vente n'est pas uniquement fonction du profil de dividendes, mais galement des effets des taux d'intrt sur le prix de l'option. Lorsque l'actif support dtache un dividende, l'option d'achat doit tre exerce juste avant la date de dtachement et l'option de vente juste aprs cette date. L'exercice de l'option d'achat est comprhensible puisque le dividende conduit une baisse du prix du support et par consquent un prix plus faible de l'option. Dans ce cas, il est prfrable d'exercer cette option juste avant la date de dtachement de dividendes pour viter la baisse de son prix en prsence d'une seule date de dividende. S'il existe plusieurs dates de dividendes, il convient de conserver l'option jusqu' la dernire date de dtachement pour profiter des variations des cours. La baisse du prix du support conscutive au dtachement du dividende augmente le prix de l'option de vente. En effet, la valeur d'une option de vente est donne par la diffrence espre actualise entre le prix d'exercice et le prix du support. Plus la valeur du support est faible, plus le prix de l'option est lev. Dans la mesure o le prix de cette option est plus important aprs le dtachement du dividende, il est naturel de choisir de l'exercer aprs la date de dtachement. Cet article rpond ces diffrentes proccupations et s'organise de la faon suivante. Dans la section II nous prsentons le modle en temps continu de Black et Scholes (1973), ci-aprs BS, avec et sans les dividendes. La section III dveloppe les extensions du modle de BS (1973) pour valuer des options europennes et amricaines d'achat et de vente sur actions en prsence d'un ou de plusieurs dividendes. D'abord, la problmatique du dividende est analyse et les rsultats des principaux modles sont proposs pour les options amricaines d'achat. Ensuite, une tude similaire est effectue pour les options amricaines de vente. La section IV illustre le modle discret de Cox, Ross et Rubinstein (1979), CRR. Dans un premier temps, nous proposons les extensions du modle pour l'valuation des options europennes et amricaines sur actions en l'absence de distribution de dividendes. Dans un deuxime temps, nous analysons l'effet de dividende sur les prix des options.

La section V est rserve aux conclusions. Par souci pdagogique, l'annexe 1 reprend les principales limites du prix d'une option en prsence de dividendes; ce qui permet au lecteur de comprendre sans difficult particulires les principaux dveloppements ultrieurs. L'annexe 2 propose une approximation de la fonction de rpartition de la loi normale pour permettre aux lecteurs de programmer les principaux rsultats dans cet article. II. LE MODELE DE BLACK ET SCHOLES ET LES DIVIDENDES Ce modle conu au dpart pour l'valuation des options europennes sur action prsente des formules analytiques simples et attrayantes. Le modle de BS (1973) et le modle binomial de CRR (1979) sont fonds sur les cinq hypothses suivantes : il n'y a pas d'impt, ni de cot de transaction, les oprations de prt et d'emprunt s'effectuent au taux d'intrt sans risque, les ventes dcouvert sont autorises dans la mesure o un investisseur peut vendre un actif qu'il ne dtient pas dans son portefeuille, l'actif support de l'option ne verse pas de dividendes et les prix suivent une distribution log-normale, l'option est de type europen. En utilisant les notations suivantes, nous dveloppons d'abord le modle de BS en l'absence de dividendes et nous prsentons ensuite les ajustements ncessaires pour les dividendes : S : le prix de l'actif support, c : le prix d'une option europenne d'achat, C : le prix d'une option amricaine d'achat, p : le prix d'une option europenne de vente, P : le prix d'une option amricaine de vente, K : le prix d'exercice de l'option europenne ou amricaine, r : le taux d'intrt sans risque, : la volatilit de l'actif support, T : la date d'chance de l'option, N(.) : la fonction de rpartition de la loi normale. La drivation du modle : L'volution du prix de l'action dans ce modle est donne par le processus de diffusion : dS/S = dt + dz (1)

o indique la tendance du mouvement du titre et dz correspond un processus de Wiener standard.

Dans ce contexte, il est possible de crer une position couverte en achetant des actions et en vendant des options. L'ajustement de ce portefeuille s'effectue sur chaque intervalle de temps suite aux variations conscutives du prix du support. Le nombre d'actions vendre dans une position couverte est donn par l'inverse de la drive du prix de l'option par rfrence son premier argument, S, que l'on note simplement, cs(S,t). La variation de la valeur de l'actif support d'un faible montant S gnre une variation de l'option de cs(S,t)S et un changement dans le nombre d'options dans la position couverte gal (1/cs(S,t)) S. La variation qui en rsulte pour la position en actions pourrait tre couverte par la quantit (1/cs(S,t)) options. la limite, cette approximation pourrait devenir exacte et le rendement sur la position aurait tendance se comporter indpendamment du changement de la position en actions. Ce raisonnement conduit l'quation fondamentale suivante pour l'valuation des options d'achat et de vente : 1/22S2 (2c/S2) - r S(c/S) + rc - (c/t ) = 0, (2)

Le terme 2S2 provient de l'utilisation des proprits de la table des intgrales stochastiques d'It applique au calcul du carr de l'quation de diffusion (1). La valeur d'une option d'achat est dtermine en utilisant la condition suivante qui correspond sa valeur la date d'chance : c(S,T) = Max[0, ST - K ] (3)

En utilisant un changement de variables de la forme c(S,t) = f(t) y(u1,u2) o f(t) et y(u1,u2) sont des fonctions inconnues dterminer, l'quation (2) devient :2 y/u2 = 2y/u1

(4)

C'est l'quation de diffusion de la chaleur sous sa forme la plus simple, qu'il simpose de rsoudre pour obtenir le prix de l'option. La transformation du problme d'valuation de l'option en un problme plus simple de rsolution de l'quation de la chaleur, provient des proprits du processus de diffusion suivi par le cours de l'actif support de l'option. Comme le cours suit une diffusion, le changement de variables utilis conduit une quation de diffusion de la chaleur. Une dmonstration dtaille des tapes de rsolution de cette quation figure dans Bellalah, Bryis et Mai (1997). Dans le contexte de ces hypothses, la solution pour le prix d'une option d'achat s'crit : c = SN(d1) - K exp(-rT) N(d2) avec :

d1= (Ln(S/K) + (r + 0.5 2)T )/ T d2 = d1 - T o N(.) dsigne la fonction de rpartition de la loi normale.

(5)

En utilisant l'quation (2) et la condition suivante pour la valeur de l'option de vente sa date d'chance: p(S,T) = Max[0, K - ST ] le prix d'une option de vente s'crit : p = - SN (-d1) + K exp(-rT) N(-d2) avec : d1= (Ln(S/K) + (r + 0.5 2)T )/ T d2 = d1 - T (6)

(7)

Les deux formules (5) et (7) concernent les valeurs des options d'achat et de vente en l'absence de dividendes dans le contexte des hypothses numres ci-dessus. Dans la mesure o une option europenne prsente la mme valeur qu'une option amricaine en l'absence de possibilits d'exercice prmatur, le modle de BS s'applique galement pour valuer ces options. Cette situation est vrifie en l'absence d'un dtachement de dividendes. En ralit, la valeur d'une option amricaine est gale la valeur d'une option europenne augmente du droit d'un exercice anticip accord au porteur de l'option. Lorsqu'il n'existe pas de facteurs conduisant un exercice anticip, comme le dividende pour une option d'achat, la valeur du privilge d'exercer chaque moment avant la date d'chance est nulle. Dans ce cas, le prix d'une option europenne est gal au prix d'une option amricaine sur le mme support. Par souci pdagogique, nous rsumons dans l'annexe 1 les conditions d'exercice et les limites des prix des options pour permettre au lecteur de suivre sans difficult particulire les dveloppements ultrieurs. Comme le modle de BS exige des conditions assez restrictives et s'applique fondamentalement aux options europennes en l'absence de dividendes, la question se pose de savoir si ce modle peut tre prolong pour prendre en compte les dividendes lors de l'valuation des options europennes et amricaines. L'ajustement du modle pour les dividendes Le modle de BS peut tre ajust pour la prise en compte d'un dtachement de dividendes lors de l'valuation des options europennes sur actions. En effet, l'ajustement s'effectue en amputant la valeur du support S, de la valeur actualise des dividendes qui se dtachent au cours de la vie de l'option. Cet ajustement s'applique uniquement lorsque l'option est europenne, le montant et la date du

dividende sont connus avec certitude. Lorsque l'option est amricaine, des modles plus appropris sont utiliss pour tudier l'impact du dividende sur la probabilit d'un exercice prmatur. En effet, cet ajustement simplifi ignore la possibilit d'un exercice anticip et rpond uniquement aux besoins des oprateurs sur les marchs qui dsirent utiliser une formule analytique simple et attrayante, indpendamment de son degr de prcision. L'exemple suivant illustre l'application du modle de BS dans ce contexte. Exemple : Considrons les donnes suivantes : S = 18, K = 15, r = 10%, T = 0,25, = 15%. Supposons qu'un dividende de 0,2 soit vers dans 45 jours. Dans ce cas, la valeur actualise du dividende est 0,197, soit : 0,2 exp(-0,1(0,125)). Ainsi, ce montant doit tre retranch de la valeur du support S, pour obtenir une nouvelle valeur S*. Cette valeur du support sans les dividendes est calcule de la faon suivante : S* = S - Dexp(-rT ) = 18 - 0,197 = 17,8 Lorsque cette valeur est remplace dans la formule (5), il vient : d1 = 2,6528, d2 = 2,5778, c = 17,8 N(2,6528) - 14,6296 N(2,5778), ce qui donne un prix de 3,18 pour l'option d'achat, soit : c = 17,8 (0,996) - 14,6296 (0,994) = 3,18 Ce calcul est effectu d'une faon manuelle en utilisant l'approximation de la loi normale propose en annexe 2. Comme le prix de l'option dans le cas d'un dividende nul est 3,3659, il est clair que la prsence d'un dividende rduit sigificativement la valeur d'une option d'achat. Si le montant du dividende est plus important et la valeur du support est infrieure au prix d'exercice, le prix de l'option peut tendre vers zro. En revanche, si le dividende est important et le prix du support dpasse largement le prix d'exercice, la valeur d'une option de vente peut tendre vers zro. D'o l'importance du motant du dividende et de sa date d'apparition sur le calcul du prix d'une option. III. LES EXTENSIONS DU MODLE ET LES DIVIDENDES Dans cette section, nous tudions les caractristiques du problme d'valuation d'une option amricaine d'achat (de vente) sur actions en relation avec la possibilit d'un exercice anticip et prsentons les rcents dveloppements concernant cette question. Nos contributions concernent essentiellement la dfinition de la nature exacte du problme et la sensibilisation des lecteurs aux directions de recherches futures. La problmatique pour l'option amricaine d'achat et le dividende

Lors de l'ajustement du modle de BS, le prix du titre est rduit du montant du dividende actualis. Le prix d'une option europenne d'achat tend vers la quantit (S - D exp(-rT) ) - K exp(-rT). Si le montant du dividende est important, cette quantit est infrieure (S - K), qui reprsente la valeur d'un exercice immdiat. Ainsi, il est clair qu'une option amricaine doit valoir plus chre qu'une option europenne ayant les mmes caractristiques, en raison de la possibilit d'un exercice anticip. Lorsqu'une option europenne d'achat est "en jeu" et en prsence d'un versement de dividendes, il s'impose de l'exercer juste avant la date de dtachement. D'une faon plus gnrale, en prsence de plusieurs dates de versement de dividendes, l'exercice d'une option amricaine d'achat apparat juste avant le dtachement du dernier dividende. En revanche, le dtachement d'un dividende augmente la valeur de la possibilit offerte au porteur d'exercer son option amricaine de vente puisqu'il rduit la valeur du support et augmente le prix de l'option. Lorsque le montant du dividende par action Dj vers plusieurs instants j, pour j = 1 n, est connu et le taux d'intrt est constant, une condition suffisante de non exercice de l'option d'achat est : K > (8) D(t)B( -t ) / [1 - B()].t=0

o B() dsigne le prix d'une obligation sans coupons payant 1 dollar dans annes. Lorsque le montant du dividende par action est D(S,t), l'quation (2) est lgrement modifie pour obtenir l'quation de Merton (1973) : 1/22S2 (2C/S2) + ( r S - D) (C/S) - r C - (C/t ) = 0 o C(S, , K) est le prix de l'option amricaine d'achat. Cette quation doit tre rsolue sous les conditions suivantes : C(0, , K) = 0 (10) C(S, 0, K ) = max[0, S - K] (11) C(S, , K) max[0, S - K] (12) La condition (10) montre que le prix de l'option s'annule lorsque la valeur du support est zro. La condition (11) donne le prix de l'option la date d'chance. La condition (12) montre que le prix de l'option amricaine doit tre suprieur chaque instant sa valeur intrinsque. Elle indique chaque instant , la prsence d'une probabilit d'un exercice anticip et un niveau de l'action I() pour lequel pour chaque valeur de l'actif support, S > I(), il est prfrable d'exercer l'option. (9)

Comme la valeur d'un exercice immdiat est ( S - K), pour que ce problme soit bien pos, la condition supplmentaire suivante doit tre vrifie : C(I(), , K) = I() - K = h o C(I(), , K) vrifie l'quation (9) pour 0 S I() (13)

Comme I() est une fonction inconnue du temps, ce problme devient complexe puisque les conditions limites dpendent du temps et du comportement du porteur de l'option vis vis de l'exercice. Merton (1973, 1992) montre que I() doit tre dtermine par rfrence au comportement du porteur de l'option, en ajoutant une condition de rgularit. Pour expliquer ce point, considrons une fonction f(S,; K, I()), solution du problme pour un I() donn, avec: C(S, , K) = max{I} f(S, ; K, I) (14) La valeur optimale I() est indpendante du prix du support et la condition suivante, appele " high contact" doit tre vrifie : C(I(), , K)/S = 1 (15) La condition (15) montre que la drive du prix de l'option par rapport au support est gale l'unit. La dmonstration de ce rsultat est simple. En effet, pour une fonction f(x,I) , ( drivable et concave ), la drive par rapport I tout au long de la frontire d'exercice x = I est : df/dI = dh/dI = f1(I,I) + f2(I,I). Cette fonction admet un maximum pour I = I* , f2(x, I*) = 0. Comme, df/dI = dh/dI = f1(I*,I*) et h = I - K, alors f1(I*,I*) = dh/dI =1. Ce qui achve la dmonstration. La solution ce problme donne le prix de l'option en prsence de dividendes. McKean (1965, 1969) et Merton (1973) n'ont pas propos une solution analytique ce problme. En revanche, lorsque l'chance de l'option d'achat est infinie, la solution est donne par l'quation (46) de Merton (p 172). Depuis, plusieurs approximations sont proposes dans la littrature. Ces modles incluent Roll (1977), Geske (1977, 1978, 1979), Whaley (1981), Bellalah (1990) ... Cette problmatique tmoigne de la difficult rencontre par les chercheurs lors de la rsolution de la question d'valuation de l'option amricaine d'achat en prsence d'un dividende. En effet, la difficult n'est pas d'ordre financier, mais plutt mathmatique puisqu'on ne sait pas encore rsoudre correctement cette famille d'quations aux drives partielles. Pour s'en rendre compte des difficults, nous prsentons les modles et les rsultats de quelques travaux qui ont essay de surmonter les problmes souleves.

Les modles et les rsultats Avant d'avancer la solution la plus "approprie" pour la fonction prix d'une option, il n'est pas inutile de prsenter les principales formules utilises dans la thorie financire et les professions bancaire et boursire lors de l'tude de la question du dividende. Cette analyse permet de justifier les avantages et les inconvnients de chaque formule. Le modle pseudo-amricain de Black Black (1975) propose une simple approximation pour l'ajustement du modle de BS. L'ajustement consiste d'abord supposer un exercice de l'option uniquement la date d'chance, en dduisant du prix du support la valeur actualise des dividendes verser jusqu' la date d'chance de l'option. Ensuite, on suppose que l'option est exerce juste avant le dtachement du dividende. La valeur de l'option est calcule avec la valeur du support sans les dividendes et la date d'chance maturit est diminue du temps allant jusqu' la date du dividende. Le prix d'exercice est diminu galement du montant des dividendes. En fait, comme le dividende est payable peu de temps aprs la date du dtachement, le dividende doit tre actualis entre l'instant o il est vers et l'instant o il est reu. En utilisant ces diffrents ajustements, il est possible d'appliquer le modle de B-S l'valuation des options amricaines. La valeur de l'option dans ce modle n'est pas trs diffrente de la juste valeur d'une option amricaine d'achat. Quoi qu'il est utilisable, ce modle est moins prcis que d'autres modles comme le modle binomial ou la version en temps continu de Roll, Geske et Whaley. L'approximation propose peut tre raisonnable lorsque le support dpasse largement le prix d'exercice et la date d'chance de l'option est loigne. L'ajustement de Roll et de Geske Lors de la drivation d'une formule d'valuation d'une option d'achat, Roll (1977) a cherch surmonter un problme de discontinuit des cours des actions conscutif un versement de dividendes. Son ide tait de soustraire la valeur actualise des dividendes et de construire un portefeuille hypothtique groupant trois options dnommes respectivement, (a), (b) et (c). Alors que les options (a) et (b) sont values en utilisant la formule de BS, la valeur de l'option (c) est calcule partir de l'approche de l'option compose de Geske. Toutefois, deux remarques s'imposent sur le travail de Roll (1977): d'abord la formule ne prend en considration qu'un seul versement de dividendes. Ensuite, elle ne constitue qu'une simple approximation de la question du dividende puisqu'elle ignore le fait que le processus de diffusion est susceptible d'tre affect par le niveau du titre support. De plus, pour l'option dsigne par (b), le prix d'exercice devrait

tre de S*t et non pas de S*t + D. Ce dernier point fut avanc par Whaley (1981), qui a montr que la formule de Roll tait mal spcifie. Lorsque nous ignorons cette critique, nous pouvons gnraliser la formule d'valuation pour prendre en considration plusieurs versements de dividendes. Cependant, la difficult d'valuer N options sur N options constitue un obstacle la gnralisation de la formule. Il n'empche que l'essai de Geske, pour amliorer la formule de Roll, a permis une simplification intressante de la formule d'valuation. L encore, la simplification opre n'a pas gnre une formule sans ambiguts. En effet, la formule de Geske (1977, 1979) a t galement mal explicite, puisqu'elle comporte une confusion au niveau du calcul du coefficient de corrlation. Le modle de Roll, Geske et Whaley Ce modle s'applique aux options amricaines ngociables sur des actifs dtachant des dividendes. Il a t dvelopp dans une srie d'articles proposs par Roll (1977), Geske (1979) et Whaley (1981). Le modle est fond sur l'ide suivante: une option amricaine peut tre identifie comme tant un portefeuille d'options. La dfinition de ce portefeuille permet d'valuer une option amricaine d'achat. Pour s'en rendre compte, considrons les trois portefeuilles suivants : a) l'achat d'une option europenne de prix d'exercice K et d'chance T, b) l'achat d'une option europenne d'achat de prix d'exercice, Scr et d'chance t ( > 0, 0) , o Scr dsigne le prix critique du support qui conduit l'exercice et t indique la date du dividende. c) la vente d'une option europenne d'achat sur le portefeuille a) avec un prix d'exercice Scr + D - K et une chance t . Nous pouvons montrer que la valeur de ces portefeuilles est quivalente celle d'une option amricaine d'achat dtachant un dividende. Dans ce contexte, l'application des formules de BS(1973) pour l'option a) et b) et de Geske (1979) pour l'option c), donne la formule propose par Whaley (1981). Call amricain = Call a) + Call b) - Call c) = Ca + Cb - Cc avec: Ca = S N(a1)- K exp(-rT) N(a2)Cb = S N(d1)- (Scr + D)exp(-r t) N(d2) Cc = S N(a1, b1, t/T) - K exp(-rT) N(a2, b2, t/T)(-Scr + D - K)exp(-rt) N(b2)

(16)

et : a1 = [ ln(S/K) + (r + 1/2 2)T ]/ T a2 = a1 - T

b1 = [ ln(S/Scr) + (r + 1/2 2)t ]/ t b2 = b1 - t d1 = [ ln(S/Scr + D) + (r + 1/2 2)t ]/ t d2 = d1 - t o N(a, b, ) dsigne la fonction de rpartition de la loi normale bivarie avec a et b les bornes d'intgration et le coefficient de corrlation. En utilisant la proprit suivante de la loi normale bivarie : N(a,-b,-) = N(a) - N(a,b,) et en rassemblant les termes en S et K, la formule d'valuation (16) devient :C(S,T,K) = S [N( b1)+ N(a1, b1, t/T) ]

(17)

- Kexp(-rT) [N( b2) exp(r(T- t) ) + N(a2, - b2, - t/T) ] + Dexp(-rt) N(b2)

Le niveau critique du prix du support correspondant un exercice prmatur de l'option, Scr, est calcul par une procdure numrique itrative partir de l'quation suivante :C(Scr, T, K) = Scr + D - K (18)

Dans ce contexte, l'utilisation d'un algorithme de recherche par dichotomie ou de la mthode de Newton-Raphson suffisent pour la recherche du prix critique. Les simulations Les simulations effectues par l'auteur dans les cas prcdents (pour l'ajustement de Black et les modles de Roll et Geske) montrent que l'erreur d'valuation peut atteindre dans certains cas plus que 30 % du prix de l'option par comparaison un modle en temps discret. Tel est spcifiquement le cas lorsque l'chance s'approche et le motant du dividende est important. En revanche, le modle de Roll, Geske et Whaley (1981) semble offrir des rsultats plus raisonnables par rapport aux modles prcdents. La base de comparaison tant les modles en temps discret. Les formules (16, 17) et (18) sont utilises pour calculer les prix des options pour diffrents niveaux du support en prsence des paramtres suivants : Le prix d'exercice : K = 100 , La date de dtachement du dividende : t = 6 mois, L'chance de l'option : T = 1 an, Le taux d'intrt semestriel : r = 0,04, La volatilit ( semestrielle) de l'action = 0,2, Le montant du dividende, D = 5 . Tableau 1

Les simulations des prix de l'option amricaine d'achat en prsence d'un dividende et la dtermination du prix critique du support dans le contexte du modle de Roll, Geske et Whaley (1981). Les paramtres utiliss sont : K = 100, t = 0,5 annes, T = 1 anne, r = 0,04, = 0,2, et D = 5. La premire colonne contient les diffrents niveaux du prix du support S. La deuxime colonne indique le prix du support avec le dividende dtach. La troisime colonne donne le prix citique calcul par une procdure itrative. La dernire colonne indique le prix de l'option dans ce modle. S S ex-dividende Scr C(S,T) 82 77,196 123,5818 3,8050 85 80,196 123,5818 4,8175 87 82,196 123,5818 5,5758 90 85,196 123,5818 6,8389 92 87,196 123,5818 7,7645 95 90,196 123,5818 9,2759 97 92,196 123,5818 10,3636 100 95,196 123,5818 12,1113 102 97,196 123,5818 13,3506 105 100,196 123,5818 15,3155 107 102,196 123,5818 16,6922 110 105,196 123,5818 18,8509 112 107,196 123,5818 20,3486 115 110,196 123,5818 22,6759 117 112,196 123,5818 24,2774 120 115,196 123,5818 26,7476 122 117,196 123,5818 28,4363 125 120,196 123,5818 31,0255 Ce tableau montre pour diffrentes valeurs du support S allant de 82 jusqu' 125 les prix des options amricaines d'achat dans le contexte du modle de Roll, Geske et Whaley. La deuxime colonne donne la valeur du support avec le dividende dtach qui varie de 77,196 120,196. La troisime colonne montre un prix critique du support de 123,5818, correspondant un exercice prmatur optimal de l'option. Ce prix est calcul avec une prcision de l'ordre de 10-6. La dernire colonne donne les prix des options amricaines d'achat dans ce contexte partir de la formule (16). Ces prix montrent que le prix de l'option est une fonction croissante du support. Ils rvlent aussi que le prix critique est constant indpendemment du prix du support puisqu'il n'existe qu'un seul prix correspondant un exercice prmatur optimal dans le contexte des paramtres utiliss. Dans le cas particulier d'un rendement de dividende, les difficults prcdentes sont limines en utilisant le modle de Barone-Adesi et Whaley (1987), BAW. Toutefois, il est honnte d'avouer que le rendement de

dividendes est une hypothse assez restrictive qui s'applique beaucoup plus un indice d'actions qu' une action individuelle. En effet, alors qu'une action peut dtacher entre un et quatre dividendes par an, un indice boursier comme le CAC 40 dtache 40 dividendes par an. D'o la simplification exagre par l'utilisation d'un rendement de dividendes pour une option sur action. Cette hypothse est nanmoins prfre celle de l'absence de dividendes et elle admise dans le monde professionnel. Le modle de Barone-Adesi et Whaley Jusqu' prsent, il n'existe pas de solutions exactes permettant d'valuer des options amricaines sur un actif payant un dividende en continu. Il existe, toutefois, des solutions approximatives. La formule propose par BAW (1987) constitue l'une de ces approximations. Elle permet d'valuer les prix d'une option d'achat et d'une option de vente en prsence d'un dtachement de dividendes en continu. En utilisant une extension de la formule propose par BS, BAW (1987) ont prsent un modle gnral pour valuer les "commodity options" sur un actif au comptant ou un contrat terme. Les spcificits du modle sont facilement adaptes plusieurs catgories d'options par une dfinition prcise du cot de portage b. Par exemple, ce cot est gal (r - d) o d dsigne le taux proportionnel de distribution de dividendes pour une option sur action ou une option sur indices. Il est gal ( r - r*) pour une option de change o r indique le taux d'intrt domestique et r* le taux d'intrt tranger.... Dans ce modle, le prix d'une option europenne d'achat en prsence d'un dividende continu est : c = S exp(b-r) T N(d1) - K exp(-rT) N(d2) avec : d1 = [Ln(S /K) + (b + 1/2 2)]/ T d2 = d1 - T (19)

o les diffrents paramtres ont la mme signification que prcdemment. Dans le mme contexte, le prix d'une option amricaine d'achat en prsence d'un dividende continu est : C(S,T) = c(S,T) + A2(S/Scr)q2 si S < Scr C(S,T) = S - K si S Scr avec : A2 = ( Scr/q2) { 1 - exp(b - r)T N(d1(Scr))} q2 = [ - (N - 1) + (N -1 )2 + 4 M/k]/2 M = 2r/2 N = 2b/2 k = 1 - exp(-rT) (20)

La formule (20) montre que le prix d'une option amricaine, C(S,T), est gal au prix d'une option europenne donn par (19) , augmente d'un certain terme, A2(S/Scr)q2 . Ce dernier value la possibilit offerte au porteur d'exercer son option avant la date d'chance. Il s'agit de la prime d'un exercice prmatur attache aux options amricaines. La validit de cette dcomposition et les thormes d'existence et d'unicit de la solution sont dmontrs dans des revues de mathmatiques et de probabilit par Jacka (1991), Karatzas (1988), Myneni (1992), Carr, Jarrow et Myneni (1992), parmi d'autres. La formule (20) indique la prsence d'un certain prix de l'actif support, S, appel Scr, au dessus duquel l'option est exerce. Ce prix critique est calcul par une procdure itrative partir de l'galit suivante: Scr - K = c(Scr,T) + { 1 - exp(b - r)T N(d1(Scr))}Scr/q2 (21)

Lorsque le prix du support est infrieur ce prix critique, le prix d'une option amricaine est donn par le prix de B-S augment de la prime d'exercice anticip. Lorsque le prix du support est suprieur au prix critique, l'option est exerce et elle vaut juste sa valeur intrinsque, (S - K). La dtermination de Scr s'effectue galement par rfrence d'autres approches algorithmiques proposes par Jaillet, Lamberton et Lapeyre (1990), Lamberton (1993), ...etc. Le tableau suivant donne les prix des options europennes et amricaines d'achat en fonction de diffrents prix de l'actif support en utilisant les formules (19) (21) dans le contexte du modle de Barone-Adesi et Whaley (1987). Tableau 2 Simulations des prix des options europennes, c, et amricaines, C, d'achat dans le contexte du modle de Barone-Adesi et Whaley (1987) pour les paramtres suivants : K = 100 r = 0.08, T= 0.25, b = 0.04, = 0.2 S 90 100 110 120 N(d1) 0,2090 0,4718 0,7270 0,8896 N(d2) 0,1730 0,4160 0.6779 0.8240 c 1,110 4,463 10,175 17,890 C 1,1859 4,4717 10,949 20,000 Scr 118,35 118,35 118,35 118,35

La premire colonne donne les prix de l'actif support qui varient de 90 120. La deuxime et la troisime colonne prsentent les valeurs des probabilits qui affectent respectivement le prix du support et le prix d'exercice. La quatrime colonne donne le prix de l'option europenne d'achat sur actions. La cinquime colonne indique le prix de l'option amricaine dans le mme contexte. La dernire colonne prsente le prix critique du support calcul par la procdure itrative partir de l'quation (21). Le lecteur peut observer que dans les deux cas, le prix de l'option est une fonction croissante du prix du support. La diffrence de prix entre l'option europenne et l'option amricaine correspond au montant de la prime d'un exercice anticip. La prime d'un exercice anticip est faible pour un niveau du support infrieur au prix d'exercice. Elle devient de plus en plus importante lorsque le prix du support dpasse le prix d'exercice. Les rsultats des tests empiriques des modles proposs :

En utilisant les donnes des options du CBOE, Whaley (1982) compare la version du modle de Roll, Geske et Whaley (1981) aux modles pseudoamricain comme celui de Black et au modle de B-S. Il constate que l'erreur moyenne d'valuation se situe l'intrieur de la fourchette cote et que la version de Roll, Geske et Whaley (1981) est beaucoup plus performante que les autres versions. Ces modles prsentent une tendance systmatique survaluer les options ngocies sur des actions prsentant une volatilit leve et inversement. L'tude de Blomeyer et Klemkosky (1983) sur le CBOE montre que le modle de BS et la version Roll, Geske et Whaley (1981) prsentent des biais similaires. Geske et Roll (1984) et Sterk (1982, 1983) montrent la supriorit de la version de Roll, Geske et Whaley (1981) par rapport aux autres modles la BS. Les recherches empiriques tmoignent de la performance et de la robustesse du modle de Roll, Geske et Whaley (1981) lorsque les dividendes sont connus avec certitude. Les tests similaires effectus sur le march parisien par Bellalah (1990) aboutissent des rsultats quivalents. En effet, ces tests montrent la supriorit de la version de Roll, Geske et Whaley (1981) par rapport aux modles prcits dans les sections prcdentes. La problmatique pour l'option amricaine de vente et le dividende L'valuation d'une option amricaine d'achat est une question plus simple analyser que celle d'une option amricaine de vente avec et sans les dividendes. En effet, alors que les valeurs des options europennes et amricaines d'achat sont identiques en l'absence de distributions de dividendes, ce rsultat n'est pas vrifi pour les options europennes ou amricaines de vente. La raison en est que la valeur d'une option de vente d'chance infinie est nulle. Par consquent, l'absence d'un thorme de parit pour les options amricaines, analogue celui des options europennes, implique un traitement spare pour l'option de vente. En effet, Merton (1973) montre que l'option amricaine de vente peut tre exerce mme en l'absence de dividendes et que son prix doit vrifier l'quation suivante : 1/22S2 (2P/S2) + r S(P/S) - rP - (P/t ) = 0, sous les conditions suivantes : P(, , K) = 0 P(S, 0 , K) = max[0, K - S] P(S, , K) max[0, K - S] (22) (23) (24) (25)

L galement, comme pour le cas d'une option d'achat, l'analyse montre l'absence d'une solution pour une option de vente ayant une chance fixe. Lorsque l'chance est infinie, le prix de l'option amricaine de vente en l'absence de dividendes est donne par Merton (1973), ( quation 52, p 174).

La structure de ce problme implique la prsence d'un certain prix critique du support, I(), pour lequel l'exercice de l'option dpend du comportement de maximisation du porteur. La dtermination de ce prix ncessite d'utiliser la condition suivante : P(I*, , K)/t = - 1 (26) L'analyse de Merton (1973) donne le prix de l'option de vente pour une chance infinie. Lorsque nous prenons en considration le dividende, l'option peut tre exerce chaque instant. En effet, comme le porteur de l'option de vente dispose de la possibilit de placer dans un compte le produit de l'exercice, cette condition est suffisante pour justifier l'exercice prmatur de son option. Lorsque le porteur dcide de retarder l'exercice de son option, il "perds" l'intrt sur le placement du produit de l'exercice. Le porteur doit ainsi comparer chaque moment l'effet du dividende et du taux d'intrt sur le prix de l'option amricaine en effectuant un arbitrage. Cet arbitrage entre l'intrt et le dividende le conduit un dilemme. C'est la principale difficult dans l'valuation des options de vente. Aprs avoir expos la problmatique, nous prsentons brivement la porte et les limites des principaux modles utiliss. Les modles et les rsultats Plusieurs approximations des prix de l'option amricaine de vente avec et sans dividendes sont proposes dans la littrature financire et dans des revues de mathmatiques. Par souci pdagogique, nous rduisons notre tude aux modles les plus appliqus dans la profession bancaire et boursire. L'tude de Parkinson Parkinson (1977) a mis en oeuvre une solution analytique pour l'option amricaine de vente en ignorant la question de dividendes. Les simulations effectues sur sa formule, montrent des dviations importantes la hausse par comparaison au prix du march. Son modle n'est pas appropri pour l'valuation des options amricaines de vente en prsence de dividendes. L'tude de Geske et Johnson La formule propose pour l'option de vente demeure subordonne la construction d'un portefeuille o la duplication doit tre parfaite. Comme l'exercice d'une option de vente apparat n'importe quel instant, l'existence par moments d'une probabilit d'un exercice prmatur a permis ces auteurs de ramener le problme en question l'valuation d'une squence infinie d'options portant sur des options. La recherche d'une solution partir d'un ensemble d'approximations sur une srie infinie d'options portant sur des options peut tre l'origine de rsultats non conclusifs. En effet, ce modle est difficilement utilisable et montre sinultanment des biais de sous-valuation et de survaluation par rapport aux prix du march. L'tude de Geske et Shastri

L'tude empirique de Geske et Shastri (1985) avance un certain nombre de remarques sur les travaux prcdents : - la formule de Parkinson prsente, tantt des erreurs de sous-valuations, tantt des erreurs de sur-valuations d'ampleur non ngligeable; - l'approximation de Johnson est inadquate; - les approximations de Geske et Johnson semblent aboutir des rsultats contradictoires. Le souci d'obtenir une formule analytique qui rpond aux besoins des oprateurs sur les marchs en temps rel d'une part et la difficult d'obtenir une formule satisfaisante pour valuer les options amricaines de vente d'autre part sont l'origine de la mise en oeuvre de modles fonds sur un rendement de dividendes. En effet, il s'est avr impossible de concilier jusqu' aujourd'hui le souci d'obtenir une formule analytique simple et de prendre simultanment en considration le profil rel de dtachement des dividendes. Dans ce contexte, il semble appropri d'utiliser un modle avec un rendement de dividendes pour approcher le prix d'une option de vente au lieu de recourir un modle qui donne des rsultats "errons". Le modle de Barone-Adesi et Whaley rpond en partie cette exigence. L'tude de Barone-Adesi et Whaley Le modle propos par Barone-Adesi et Whaley, BAW (1987) permet de dterminer les prix des options europennes et amricaines de vente dans le mme contexte que les options d'achat. En conservant les mmes notations, la valeur d'une option europenne de vente est : p = - S exp(b -r ) T N(- d1) + K exp(-r T) N(- d2) avec : d1= [Ln(S /K) + (b + 1/2 2)]/ T d2 = d1 - T La valeur d'une option amricaine de vente est : P(S,T) = p(S,T) + A1((S/Scr)q1 si S > Scr P(S,T) = K - S si S < Scr A1 = -( Scr/q1){ 1 - exp((b - r)T ) N(-d1(Scr))} q1 = [-(N - 1) - (N-1)2 + 4M/k]/2 M = 2r/2, N = 2b/2 k = 1 - exp(-rT) Le niveau critique du support est calcul itrativement partir de l'galit suivante : (29) K - Scr = p(Scr,T) - {1- exp(b-r)T N(-d1(Scr))}Scr/q1 La connaissance du prix critique du support est importante car ce prix caractrise la valeur du support correspondant un exercice prmatur optimal de l'option. Le tableau (3) simule les prix des options europennes et amricaines de vente (28) (27)

par rfrence aux formules (27) (29) en fonction de diffrents prix du support et des paramtres suivants. Tableau 3 Simulations des prix des options europennes, p, et amricaines, P, de vente partir du modle de Barone-Adesi et Whaley (1987) pour les paramtres suivants : K = 100 r = 0.08, T= 0.25, b = - 0.04, = 0.2 S 90 100 110 120 N(-d1) 0,8759 0,5596 0,2105 0,0454 N(-d2) 0,8582 0,5199 0.1820 0.0364 p 10,893 4,396 1,1330 0,2140 P 11,251 4,485 1,166 0,228 Scr 85,186 84,230 85,180 85,080

La premire colonne donne les prix de l'actif support qui varient de 90 120. La deuxime et la troisime colonne indiquent les valeurs des probabilits qui affectent respectivement le prix du support et le prix d'exercice. La quatrime colonne donne le prix de l'option europenne de vente sur actions. La cinquime colonne indique le prix de l'option amricaine de vente dans le mme contexte. La dernire colonne prsente le prix critique du support calcul par la procdure itrative partir de l'quation (29). Le lecteur peut apprcier la valeur du droit d'un exercice prmatur donne par la diffrence entre le prix d'une option europenne et celui d'une option amricaine. Les formules analytiques mises en oeuvre sont suffisantes pour valuer des options sur actions ou sur indices en prsence de quelques dtachements de dividendes ou d'un rendement de dividendes tout en prsentant une certaine marge d'erreur. En revanche, en prsence de plusieurs dtachements de dividendes en temps discret, il est plus appropri d'utiliser le modle binomial ou une approche numrique. Les approches numriques et en particulier les mthodes des diffrences finies sont trs utiles pour valuer des options sur indices en prsence de diffrents profils de dtachement de dividendes. Le lecteur peut consulter ce sujet les travaux de Bellalah (1990 a, b) et de Bellalah et Jacquillat (1991) . I V. L'VALUATION DES OPTIONS ET LE MODLE DE CRR Contrairement aux modles en temps continu, qui montrent le double avantage de prsenter des formules analytiques et de dterminer les prix des options instantanment, les modles binomiaux exigent des itrations et un temps de calcul relativement long pour calculer les prix des options. Toutefois, malgr l'inconvnient qu'ils montrent en terme de temps de calcul par rapport aux modles en temps continu, les modles binomiaux sont beaucoup plus flexibles que les modles en temps continu. L'approche binomiale propose initialement par CRR est pdagogique et calcule le prix de l'option sans recourir des mathmatiques compliques. Ce modle

suppose que le prix de l'actif support peut tre approch par un processus binomial, c'est--dire sur chaque intervalle de temps, il bouge la hausse de (u) ou la baisse de (d). Par souci de clart, ce modle est prsent d'abord sous une version une priode puis dans une version plusieurs priodes en l'absence de dividendes. Ensuite, le modle est ajust pour les dividendes. Le modle en l'absence de dividendes Le point crucial de cette approche est la formation d'un portefeuille d'arbitrage sans risque en achetant l'actif support et en vendant l'option. Ce portefeuille est sans risque parce qu' la fin de la priode son prix est certain. C'est la raison pour laquelle notre expos du modle binomial dbute par l'illustration de la notion de portefeuille d'arbitrage. La cration d'un portefeuille de couverture ncessite l'achat d'une unit du support, S, et la vente d'un nombre H d'options : (S - HC). Il est possible galement de crer ce portefeuille en achetant une option et en vendant 1/H titres. Le ratio de couverture H est donn par l'expression : H=S (u d) Cu C d

(30)

Dans la mesure o la fin de la priode la valeur du portefeuille de couverture devient R (S - HC), elle doit aussi tre gale la valeur finale (uS - HCu) . Si ces deux valeurs ne sont pas gales, il est possible de mettre en oeuvre des portefeuilles d'arbitrage permettant de raliser des profits sans risque en achetant le portefeuille le moins cher et en vendant l'autre. De ce fait, les deux portefeuilles prsentent la mme valeur, soit : R (S - HC) = (uS - HCu) Dans cette expression, R dsigne un plus le taux d'intrt sans risque. En isolant la valeur de l'option C dans cette galit, il vient :C= S( R u) + Hcu HR

(31)

Il suffit de remplacer le ratio de couverture par sa valeur dans (31) pour obtenir la valeur de l'option : ( R d) (u R) C = Cu + Cd /R (u d ) (u d)

(32)

Cette expression correspond exactement la formule d'valuation d'une option europenne d'achat dans le modle binomial une priode. Le prix de l'option dans ce modle est donn par sa valeur espre actualise au taux d'intrt sans risque sous la probabilit neutre au risque. Dsignons par T la date d'chance de l'option que l'on divise en N intervalles de longueur t . Au cours de chaque intervalle de temps, l'actif support, S, augmente d'un montant u pour prendre la valeur Su avec la probabilit p et baisse de d pour atteindre la valeur Sd avec la probabilit (1-p). Il est souvent

suppos que d = 1/u. Les paramtres u, d et p sont donns par la moyenne et l'cart type de S sur l' intervalle t . Dans une conomie neutre au risque, la valeur espre du support S correspond au placement de cette valeur au taux d'intrt sans risque, soit S exp(rt) , en utilisant l'actualisation en temps continu ou R est remplac par exp(rt) . Elle est gale aussi la probabilit de hausse qui multiplie le prix du support dans l'tat correspondant, pSu augmente de la probabilit de la baisse qui multiplie le prix du support dans l'tat en question, soit (1-p)Sd. En calculant la valeur espre du titre et sa variance, en utilisant le fait que u = 1/d, et en effectuant les calculs ncessaires, nous montrons que les relations suivantes sont vrifies: u = exp( t ) d = exp(- t ) m = exp(r t) p = (m -d)/(u - d) (33) (34) (35) (36)

Disposant de ces valeurs, il est possible de gnrer un arbre binomial dans lequel la valeur du support chaque noeud s'crit : Sujdi - j pour j variant de 0 i o l'indice i correspond la priode et l'indice j indique la position. L'valuation d'une option europenne ou amricaine n'importe quelle position (i, j) sur l'arbre, note, Fi,j s'effectue par une procdure rcursive, en commenant partir de la date d'chance T, et en parcourant l'arbre jusqu' l'instant prsent. la date d'chance T, la valeur d'une option europenne d'achat est : FN,j = max [0, Suj dN-j - K] (37) Cette condition approxime la valeur de l'option la date d'chance: max [0, ST - K] o Suj dN-j correspond la valeur du support aprs j mouvements la hausse et (N - j) mouvements la baisse. la mme date, la valeur d'une option europenne de vente est : FN,j = max [0, K - Suj dN-j ] (38)

Cette condition approxime la valeur de l'option de vente la date d'chance : max [0, K - ST] o Suj dN-j correspond la valeur du support aprs j mouvements la hausse et (N - j) mouvements la baisse. La valeur de l'option n'importe quel noeud est obtenue partir des deux suivants en actualisant la valeur trouve au taux d'intrt sans risque, soit : Fi,j = exp(-rt) [ p Fi+1, j+1 + (1-p) F i+1,j] pour 0 i M-1 0ji ( 39)

Cette fonction donne le prix de l'option en fonction des deux valeurs probables actualises. Si l'option est amricaine, une condition supplmentaire s'impose traduisant le fait que le prix de l'option doit tre au moins gal sa valeur intrinsque, soit pour une option d'achat: Fi,j = Max [Suj di-j - K, exp(-rt) ( pFi+1,j+1 + (1-p) Fi+1,j)] (40)

La condition suivante donne la valeur de l'option amricaine de vente : Fi,j = Max [K - Suj di-j , exp(-rt) ( pFi+1,j+1 + (1-p) Fi+1,j)] (41)

La programmation de cette formule peut s'effectuer facilement sur un tableur. Le modle et les dividendes L'approche binomiale peut tre facilement adapte pour la prise en compte des dtachements des dividendes. L'analyse propose par Hull (1997) est intressante puisqu'elle vite les "cassures" dans l'arbre binomiale conscutives au dtachement d'un dividende. En effet, supposons qu'il existe une seule date de dtachement de dividendes , entre les instants kt et (k+1) t o t correspond une priode. La prise en compte des dividendes permet d'crire chaque instant ( t + i t) , les prix du support comme suit : quand i t < : S* (t) uj di-j + D exp(-r ( i t)) pour j = 0, 1, 2,... i o S* correspond au prix du support sans les dividendes. Cette ingalit montre qu'avant la date de versement des dividendes, l'ajustement consiste ajouter au prix du support la valeur actualise des dividendes qui se dtachent au cours de la dure de vie de l'option. Quand i t > : S* (t) uj di-j pour j = 0, 1, ... i (42)

Cette ingalit montre qu'aprs la date de versement des dividendes, l'ajustement consiste prendre les diffrentes valeurs du support sans les dividendes chaque noeud sur l'arbre binomiale. L'application suivante illustre l'utilisation de cette version du modle binomial pour valuer des options en prsence de versements de dividendes. Applications Le prix d'une option europenne de vente en prsence d'un dtachement de dividendes est calcul en utilisant les donnes suivantes : S* = 40,0000, S = 42,0000, K = 45,0000, r = 0,1, N = 5, T = 5 mois, t = 1 mois, = 0,4, D = 2,05, date de dividende t = 105 jours.

En utilisant les formules (33) (36), il vient : u =1,1224 ,d= 0,8909 , m = 1,0084, p = 0,5073, q= (1-p)= 0,4927. En partant d'une valeur du support sans les dtachements des dividendes, (40), augmente de la valeur actualise des dividendes, (2), soit au total 42, nous obtenons l'volution suivante pour les valeurs du support sur les cinq priodes : Schma 1 volution du prix du support dans le cadre d'un modle binomial cinq priodes71,2525 63,4822 9* 57,6107 52,4258 46,9136 42 1* 2* 42,0344 37,6556 3* 33,7859 6* 30,3403 8* 25,2039 11* 25,4554 13* 5* 37,6893 31,7515 18,2889 4* 7* 46,9475 50,3914 10* 44,8960 12* 56,5593

40,0000 35,6379

: date du dividende

Les dtails des calculs des diffrentes valeurs du support indiques sur le schma (1) par les positions (1*) (13*) sont ainsi calcules selon que l'on se situe avant ou aprs la date de dtachement : 1* : 2* : 3* : 4* : 5* : 6* : 7* : S0,0 = S* (uodo) + D exp(-r/12) S1,1 = S* (u1do) + D exp(-r(-1)/12) S1,0= S* (uod1) + D exp(-r(-1)/12) S2,2 = S* (u2do) + D exp(-r(-2)/12) S2,1 = S* (u1d1) + D exp(-r(2)/12) S2,0 = S* (uod2) + D exp(-r(-2)/12) S3,3 = S* (u3do) + D exp(-r(-3)/12)

8* : S 3,0 = S*(uod3) + D exp(-r(-3)/12) Quand on se situe aprs la date de dtachement de dividendes, il vient : 9* : S4,4 = S*(u4do) 10*: S4,3 = S*(u3d1) 11*: S4,0 = S*(uod4) 12*: S5,5 = S* (u5do) 13*: S5,0 = S* (uod5) En calculant le prix de l'option de vente la date d'chance ( voir par exemple le dtail de calcul de 14*) et en procdant d'une faon rcursive ( voir par exemple le dtail de calcul de 15* ), les prix possibles de l'option aux diffrents noeuds de l'arbre sont donns dans le schma 2. Schma 2 volution du prix de l'option dans le cadre d'un modle binomial cinq priodes0 0 0 0,0248 1,1294 3,1876 5,8190 8,6274 12,1375 15,9673 19,4226 15* 22,5446 14* 5,3610 8,6183 12,8751 16,7111 2,2861 4,6266 9,3621 0,0508 0,1040

Dtails des calculs : 14*: P5,0 = max [0, K - S5,0] 15*: P4,0 = [p P5,1 + q P 5,0 ]/m Nous obtenons un prix de l'option de vente l'instant initial gal 5,8190. En pratique, il s'impose de calculer ce prix pour 150 priodes.

Plusieurs extensions de ce modle portent sur la rduction du temps de calcul et l'ajustement du modle aux donnes du march en offrant des algorithmes plus efficaces. ce titre, le lecteur peut consulter les travaux de Breen (1991), Kim et Byun (1994) et Rubinstein (1994). D'autres extensions portent sur l'application de ce modle l'valuation des options de seconde gnration et aux calculs des paramtres de gestion d'une position d'options. Le lecteur peut consulter ce sujet, les travaux de Ritchken (1995), Pelsser et Vorst (1994)...etc. Toutefois, il est honnte d'avouer que la majorit sinon la plupart des travaux sur les options exotiques et de seconde gnration ne traitent que les situations correspondants un rendement de dividendes et non un dividende discret. Le lecteur peut consulter ce sujet l'ouvrage de Bellalah, Briys et Mai (1997). V. CONCLUSION Nous avons prsent dans cet article les principaux concepts, outils et mthodes permettant d'valuer des options sur actions, voir mme des options sur certains indices, en prsence d'un dtachement de dividendes en continu ou en discret. Le prix d'une option est fonction du prix de son actif support, du prix d'exercice, de la date d'chance, du taux d'intrt court terme, de la volatilit de l'actif support et du montant des dividendes. La revue de la littrature montre qu'il existe deux approches d'valuation des options : l'approche en temps continu la Black et Scholes, BS, et l'approche en temps discret la CRR (1979). L'avantage de cette dernire approche est qu'elle s'applique sans difficults particulires l'valuation des options europennes et amricaines avec et sans les dividendes. Son inconvnient majeur est qu'elle ncessite un temps de calcul relativement long pour dterminer le prix d'une option. Cette approche est analyse en dtail et applique l'valuation des options europennes et amricaines. L'avantage des modles en temps continu et en particulier, le modle de Black et Scholes, est qu'il donne des solutions exactes pour les prix des options. Ce modle constitue le dveloppement thorique le plus russi et la formule propose reprsente probablement la formule la plus utilise dans l'histoire des sciences conomiques et sociales. L'application du modle de BS pour les options sur actions est ralise, tout en expliquant comment ce modle peut tre ajust pour la prise en compte des dividendes. Ces ajustements sont insuffisants puisque la plupart des options ngociables sur actions sont amricaines. En revanche, les options amricaines d'achat sont assimiles des options europennes en l'absence de dtachements de dividendes, et sont values en consquence, par ce modle. La valeur d'un exercice prmatur des options amricaines est dtermine par le march et doit tre prise en considration lors de l'valuation de ces options. Pour cette raison, nous avons propos les dtails des extensions du modle binomial et les versions du modle pseudo-amricain de Black et des

modles de Roll, Geske, Whaley et Barone-Adesi et Whaley .... pour valuer des options amricaines d'achat et de vente en prsence d'un ou de plusieurs dtachements de dividendes en temps discret ou temps en continu. Les rsultats des principaux tests empiriques montrent la supriorit de la version de Roll, Geske et Whaley pour l'valuation des options en prsence de dividendes. Il appartient aux utilisateurs d'effectuer le choix entre les modles en temps continu et les modles en temps discret. Le choix doit tre justifi par un arbitrage entre le temps de calcul et la prcision du prix.

ANNEXE 1. LES LIMITES DU PRIX DES OPTIONS EN PRSENCE DE DIVIDENDES Une option d'achat (de vente) est un actif contingent qui donne le droit son porteur d'acheter ( de vendre) l'actif sous-jacent de l'option un certain prix appel le prix d'exercice pendant une priode de temps fixe appele l'chance. Cette dfinition permet de dfinir les limites du prix d'une option d'achat, call, ou d'une option de vente, put. Les principaux rsultats de Merton (1973) constituent une rfrence indispensable pour valuer les options en prsence de dividendes. Thorme 1 : La valeur d'une option amricaine d'achat qui ne dtache pas de dividendes avant l'chance doit vrifier la relation suivante : C(S,t) max [0, S - K exp(-rT)] Thorme 2 : Si le thorme 1 s'applique chaque instant, alors une option amricaine d'achat C(S,t) ne sera jamais exerce avant son chance maturit. Dans ce contexte, sa valeur sera gale celle d'une option europenne d'achat. Thorme 3 : La valeur d'une option europenne d'achat ( option amricaine d'achat ) dont l'chance est infinie est gale la valeur du titre support. Thorme 4 : Si pour chaque instant t < T, le prix de l'option amricaine d'achat est infrieur la quantit (K(1-exp(-rT))), il existe alors une probabilit non nulle d'un exercice prmatur. De ce fait, le prix d'une option amricaine est suprieur au prix d'une option europenne. Thorme 5 : Si le rendement des actions est invariant par rapport aux dividendes distribus et si chaque date de versement de dividendes l'ajustement du prix d'exercice est ralis de faon ce que le nombre d'actions acqurir (par le montant du prix d'exercice) augmente de D/S*, alors l'option est dite protge. Dans cette expression, D indique le dividende distribu et S* reprsente le prix de l'action avec dividende-dtach. Ce thorme montre qu'un investisseur est incit exercer son option lorsqu'elle n'est pas protge contre les dtachements de dividendes. La protection est effectue par l'ajustement du prix d'exercice. Corollaire 1 : Si les dividendes sont distribus au taux constant d et si le taux d'intrt est constant au cours de la dure de vie de l'option, alors une condition ncessaire pour le non exercice prmatur est que le prix d'exercice K soit suprieur d/r.

Comme une thorie d'valuation rationnelle des options intresse la fois les options d'achat et les options de vente, il s'impose d'tudier galement les caractristiques des options de vente et les relations possibles entre les deux types d'options. En appliquant la thorie d'arbitrage un portefeuille qui englobe les options d'achat, les options de vente et l'actif support, Merton ( 1973) a avanc le thorme suivant : Thorme 6 : Si le taux prteur est gal au taux emprunteur, alors la relation suivante est toujours vrifie : p(S,t) = c(S,t) - S + K exp(-rT) C'est la relation de parit put-call des options europennes. Proposition 1 : La valeur d'une option amricaine de vente P(S,t) doit satisfaire chaque instant l'ingalit suivante : P(S,t) max [0, K - S ] Proposition 2 : L'existence chaque instant d'une probabilit d'exercice prmatur a pour consquence que la valeur d'une option amricaine de vente P(S,t) est plus leve que celle d'une option europenne quivalente : P(S,t) p(S,t) Proposition 3 : Une option de vente ne vaut jamais plus que sa valeur certaine actualise et prsente une valeur minimale nulle: K exp(-rT) p(S,t) 0 Ce rsultat s'applique aussi bien aux options europennes, qu'aux options amricaines. Par ailleurs, Merton (1973) a dmontr qu'il n'existe pas un thorme analogue celui donnant la relation de parit pour les options amricaines. ANNEXE 2 : L'approximation de la fonction de rpartition de la loi normale La loi normale peut tre approche en utilisant les relations suivantes: N(x) = 1 - N'(x) (a1k + a2 k2 + a3 K3) si x 0 Si x < 0, alors N(-x) = 1 - N(x) avec : k = 1/( 1+bx) b = 0,33267 a1 = 0,4361836 a2 = -0,1201676 a3 = 0,9372980 N'(x) = (1/ 2)exp(-0,5x2) BIBLIOGRAPHIE

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