Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 11 de Outubro de 2015LIGA DELFOS 2015-2016 JORNADA 1

Os problemas são a vossa força

1. Uma sequência de letras, com ou sem sentido, diz-se alternada quando é formada alternadamentepor consoantes e vogais. Por exemplo, ANAKIN, LUKE, VADER e OBI são palavras alternadas,mas PADME, CORUSCANT, LEIA e ORGANA não são.Calculem o número de anagramas de CINEMATICA (incluindo a sequência CINEMATICA) quesão sequências alternadas.

2. Num hexágono regular [ABCDEF ] com lado de comprimento 1, seja M o ponto médio do seg-mento [DE]. As rectas AM e BM intersectam a diagonal CF nos pontos N e O. Determinem aárea do triângulo [MNO].

3. Sejam a, b e c números reais positivos tais que a(b + c) = 152, b(c + a) = 162 e c(a + b) = 170.Determinem o valor de abc.

4. Uma pirâmide de base quadrada, e cujo vértice superior projecta-se no centro da base, tem alturaigual a 12 metros e base de lado igual a 6 metros. Determinem as dimensões do cubo que estáinscrito na pirâmide de tal modo que a base do cubo está contida na base da pirâmide.

5. A soma de um certo número de inteiros positivos consecutivos é igual a 2010. Determinem essesinteiros.

6. Determinem as funções f : R → R tais que

f(xy + f(x)) = xf(y) + f(x)

para quaisquer números reais x e y.

7. Determinem o mais pequeno inteiro n com a seguinte propriedade: em qualquer n-sequência deinteiros positivos cuja soma é 2013, existem alguns termos consecutivos cuja soma é 31.

(A sequência 9, 3, 3, 1, 1, 7, 2 é um exemplo de uma 7-sequência, sendo 3, 3, 1 um exemplo de trêstermos consecutivos dessa 7-sequência com soma 7.)

Alfredo Costa delfos@mat.uc.pt

Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 5 de Dezembro de 2015LIGA DELFOS 2015-2016 JORNADA 2

Olimpíadas Nacionais de outros países1. Seja N um número inteiro cuja representação na base b é igual a 777. Encontrem o mais pequeno

inteiro b para o qual N é a potência quarta de um inteiro.

2. Encontrem um triângulo tal que os três lados e uma das suas alturas formam quatro inteiros con-secutivos. Encontrem um de tais triângulos de tal modo que essa altura divida o triângulo em doistriângulos rectângulos de lados inteiros; mostrem que existe apenas um de tais triângulos.

3. No plano da figura seguinte, foram marcados 16 pontos negros. Quantos desses pontos temos quecolorir de vermelho de modo a que não existam quadrados com vértices nos restantes pontos negroscom a propriedade de que os seus lados tenham comprimento inteiro ou igual a

√2 ? Justifiquem a

vossa resposta.

4. O paralelogramo [ABCD] é tal que ∠ABC = 105o. Sabe-se que no interior do paralelogramoexiste um ponto M tal que o triângulo [BMC] é equilátero e ∠CMD = 135o. Seja K o pontomédio do lado [AB]. Determinem ∠BKC.

5. Para cada inteiro ímpar n ≥ 3, determinem o número de raízes reais do polinómio

fn(x) = (x− 1)(x− 2) · · · (x− n+ 1) + 1.

6. No triângulo [ABC] temos |AB| = 1 e ∠ABC = 120o. A perpendicular a AB no ponto B

intersecta AC no ponto D. Sabe-se que |DC| = 1. Determinem o comprimento de [AD].

7. Determinem as funções f : R→ R tais que a igualdade f(f(x−y)) = f(x)·f(y)−f(x)+f(y)−xyse verifica para todos os números reais x e y.

Alfredo Costa delfos@mat.uc.pt

Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 17 de Janeiro de 2016LIGA DELFOS 2015-2016 JORNADA 3

Lógica1. Seis pessoas,A,B, C,D,E e F , viajam na mesma carruagem de um comboio. Há nesse grupo uma

pessoa de cada uma das cidades de Nova Iorque, Chicago, Tulsa, São Luís, Milwaukee e Atlanta.Os seguintes factos são conhecidos:

(a) A e o homem de Nova Iorque são médicos.

(b) E e a mulher de Chicago são professores.

(c) A pessoa de Tulsa e C são engenheiros.

(d) B e F são veteranos da Guerra do Golfo, mas a pessoa de Tulsa nunca fez serviço militar.

(e) A pessoa de Milwaukee é mais velha do que A.

(f) A pessoa de Atlanta é mais velha do que C.

(g) Em São Luís, B e o homem de Nova Iorque saem do comboio.

(h) Em São Francisco, C e o homem de Milwaukee saem do comboio.

Identifiquem as cidades e as profissões de cada uma das pessoas.

2. Determinem as soluções do seguinte problema cripto-aritmético:

S E V E N+ E I G H T

T W E L V E

3. Existem irracionais positivos α e β tais que αβ é racional?

4. Têm 80 pérolas. Uma é mais leve do que as outras. Usando uma balança de pratos, expliquem comodeterminar a pérola mais leve com apenas quatro pesagens.

5. Seja S = {1, 2, . . . , n} e seja U o conjunto dos subconjuntos de S que não contêm elementosconsecutivos de S. Dado A ∈ U , seja m(A) o produto dos elementos de A, onde m(∅) = 1.Provem que ∑

A∈U

m(A)2 = (n+ 1)!.

6. Sejam x e y números reais tais que x+ y, x2 + y2, x3 + y3 e x4 + y4 são inteiros. Provem que, paraqualquer inteiro positivo n, o número xn + yn é um inteiro.

7. No triângulo [ABC], o ponto P situa-se no seu interior de tal modo que a seguinte condição ésatisfeita: ∠BPC−∠BAC = ∠APC−∠ABC = ∠APB−∠BCA. Supondo que ∠BAC = 45o

e que AP = 12, determinem a área do triângulo cujos vértices são os pés das perpendiculares aoslados do triângulo [ABC] que passam por P .

Alfredo Costa delfos@mat.uc.pt

Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 14 de Fevereiro de 2016LIGA DELFOS 2015-2016 JORNADA 4

Problemas românticos

1. (a) Pórcia, a filha única do mais importante mercador de Veneza, sempre achou que a principalqualidade a exigir a um marido era a inteligência. Por isso, quando chegou à idade de casar,arranjou três cofres, um de ouro, um de prata e outro de chumbo. Na tampa de cada um delesgravou uma inscrição e depois meteu o seu retrato num dos cofres, anunciando que casaria comquem descobrisse em que cofre estava o retrato. Um certo rapaz, que a amava em segredo,resolveu tentar a sorte. Pórcia mostrou-lhe os cofres fechados e avisou-o que “no máximo sóuma das três inscrições é verdadeira”:

• Inscrição no cofre de Ouro: O retrato está neste cofre.• Inscrição no cofre de Prata: O retrato não está neste cofre.• Inscrição no cofre de Chumbo: O retrato não está no cofre de ouro.

Que cofre deve escolher o seu apaixonado?

(b) O apaixonado escolheu o cofre certo, por isso casaram e foram felizes. Tiveram uma filha,Pórcia II, tão bela e inteligente como a mãe. Também ela, quando chegou à idade de casar,resolveu adoptar o método dos cofres. Para garantir que o marido fosse inteligente, submeteuos pretendentes a duas provas:

Primeira prova: Gravou duas afirmações em cada cofre e informou que não havia mais doque uma declaração falsa em cada cofre:

• Primeira inscrição no cofre de Ouro: o retrato não está aqui.• Segunda inscrição no cofre de Ouro: o autor do retrato é veneziano.• Primeira inscrição no cofre de Prata: o retrato não está no cofre de ouro.• Segunda inscrição no cofre de Prata: o autor do retrato é florentino.• Primeira inscrição no cofre de Chumbo: o retrato não está aqui.• Segunda inscrição no cofre de Chumbo: o retrato está no cofre de prata.

Onde está o retrato?

Segunda prova: Um pretendente conseguiu superar a primeira prova. Foi depois levado auma segunda sala onde estavam outros três cofres com as seguintes inscrições:

• Primeira inscrição no cofre de Ouro: o retrato não está neste cofre.• Segunda inscrição no cofre de Ouro: o retrato está no cofre de prata.• Primeira inscrição no cofre de Prata: o retrato não está no cofre de ouro.• Segunda inscrição no cofre de Prata: o retrato está no cofre de chumbo.• Primeira inscrição no cofre de Chumbo: o retrato não está neste cofre.• Segunda inscrição no cofre de Chumbo: o retrato está no cofre de ouro.

Pórcia II informou que num dos cofres as duas afirmações eram verdadeiras, noutro eramas duas falsas, e no sobrante uma era verdadeira e a outra falsa. Onde está o retrato?

Alfredo Costa delfos@mat.uc.pt

Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 14 de Fevereiro de 2016LIGA DELFOS 2015-2016 JORNADA 4

2. Han e Leia jogam um jogo com as seguintes regras. Primeiro concordam na escolha de um númeronatural N . Depois escrevem alternadamente números naturais no quadro. Leia começa por escrevero número 1. De seguida, quando um deles escreve o número n, o outro escreve n+ 1 ou 2n, desdeque o número não seja maior do que N . Ganha quem escrever no quadro o número N . Determinemquem tem estratégia vencedora quando N = 2015. Determinem os inteiros positivos N ≤ 2015

para os quais Han tem uma estratégia vencedora.

3. Orfeu e Eurídice foram a uma festa com quatro outros casais. À chegada, houve um certo númerode cumprimentos. Naturalmente, ninguém cumprimentou o conjugue, nem a si próprio! Quandomais tarde Orfeu perguntou a todos os participantes da festa quantas pessoas cumprimentaram, eleobteve nove respostas diferentes. Quantas pessoas Eurídice cumprimentou?

4. Uma princesa habita num palácio com 17 quartos alinhados ao longo de uma reta. Cada quartotem uma porta para o exterior, e uma porta entre quartos adjacentes. A princesa passa cada dia numquarto que é adjacente ao quarto em que esteve na noite anterior. Um dia chega um príncipe, oriundode um país muito longínquo, para conquistar a princesa. O guardião do palácio explica ao príncipeos hábitos da princesa e as regras que a ele se aplicam: em cada dia pode bater na porta exteriorque quiser; se a princesa estiver no quarto atrás da porta, ela abre a porta e casará com ele; casocontrário, nada acontece, e o príncipe terá uma nova oportunidade no dia seguinte. Infelizmente, ovisto do príncipe só é válido por 30 dias. Terá ele tempo suficiente para conquistar a princesa?

5. Doze cavaleiros estão sentados em torno de uma mesa redonda. Cada cavaleiro detesta os doiscavaleiros vizinhos, mas não detesta qualquer um dos restantes cavaleiros. Um grupo de cinco ca-valeiros é incumbido de salvar uma princesa em apuros. Nenhum par de cavaleiros que se detestampode ser incluído no grupo. De quantas maneiras pode ser selecionado um grupo?

6. Romeu e Julieta guardaram em casa de cada um deles um tetraedro regular. Longe um do outro,atribuem a cada vértice algum número real positivo. Depois, associam a cada aresta o produto dosnúmeros associados às suas duas extremidades. Finalmente, escrevem em cada face do tetraedro asoma dos três números associados às arestas que formam o bordo da face. Depois do fim trágicodo casal, os Capuletos e os Montéquios descobrem, comovidos, que os quatro números escritos nasfaces do tetraedro de Romeu coincidem com os quatro números escritos nas faces do tetraedro deJulieta. Será que os quatro números que Romeu usou para etiquetar os vértices do seu tetraedro sãoos mesmos quatro números que Julieta usou para etiquetar os vértices do seu tetraedro?

7. Um grupo de cupidos forma um polígono convexo com um número par de lados. No interior dopolígono encontra-se o jovem Tristão, que não está entre quaisquer dois cupidos. Tristão não querficar enamorado antes das férias de Verão, por falta de tempo. Mas os cupidos têm outros planose disparam as suas flechas em simultâneo para Tristão. O jovem é demasiado rápido, pelo que asflechas não acertam e prosseguem o seu percurso, atingindo os lados do polígono. Provem que pelomenos um dos lados do polígono não é atingido.

Alfredo Costa delfos@mat.uc.pt

Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 9 de Abril de 2016LIGA DELFOS 2015-2016 JORNADA 5

Sem título

1. Qual é o maior número de cavalos que se pode colocar num tabuleiro 8 × 8 de tal modo que nãoexistem dois cavalos atacando-se mutuamente? Provem a vossa resposta.

2. Determinem todas as funções f : R→ R tais que f(x)+xf(1−x) = x2+1, para qualquer x ∈ R.

3. Três números reais a, b, c satisfazem as equações

a+ 2b+ 3c = 12, 2ab+ 3ac+ 6bc = 48.

Determinem a, b, c.

4. Considerem um triângulo [ABC] de lados AB = 5, BC = 7 e CA = 6. Determinem o compri-mento da bissectriz interna do ângulo ∠BAC.

5. Determinem as soluções racionais da equação x3 + 3y3 + 9z3 − 9xyz = 0.

6. Um dos números 1, 2, 3 escreve-se em cada quadrícula de uma tabela rectangular quadriculadacom quatro linhas e n colunas. Para cada conjunto de três colunas distintas, existe uma linha queintersecta as colunas em quadrículas com números diferentes. Determinem o número máximo n

para o qual existe uma tal tabela.

7. Determinem todos os polinómios f(x) = x3+ bx2+ cx+ d, onde b, c, d são números reais, tais quef(x2 − 2) = −f(−x)f(x), para qualquer x ∈ R.

Alfredo Costa delfos@mat.uc.pt

Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 14 de Maio de 2016LIGA DELFOS 2015-2016 JORNADA 6

Geometria plana

1. Seja [ABCD] um trapézio retângulo de bases [AB] e [CD], com ângulos retos em A e D. Sabe-seque a diagonal menor [BD] é perpendicular ao lado [BC]. Determinem o menor valor possível paraa razão CD

AD.

2. Sejam H , I e O o ortocento, o incentro e o circuncentro do triângulo [ABC], respetivamente. A retaCI corta o circuncírculo de [ABC] no ponto L, distinto de C. Sabe-se que AB = IL e AH = OH .Determinem os ângulos do triângulo [ABC].

3. Considerem um triângulo [ABC] de área 18 tal que BC = 5, e onde as medianas que passampor B e C são perpendiculares entre si. Determinem os comprimentos dos dois outros lados dotriângulo [ABC].

4. Seja [ABC] um triângulo tal que ∠C = 90o e AC = 1. A mediana AM intersecta a circunferênciainscrita nos pontos P e Q tais que AP = QM . Determinem o comprimento de [PQ].

5. Na circunferência C1 de centro O, a corda [AB] não é um diâmetro. O ponto M é o ponto médiode [AB]. Seja C2 a circunferência de diâmetro OM , e seja T um qualquer ponto de C2. A tangentea C2 em T intersecta C1 em P (e num outro ponto). Mostrem que PA

2+ PB

2= 4PT

2.

6. Num triângulo [ABC], tem-se AC > BC > AB. Os pontos D e K são escolhidos nos lados BC

e AC, respetivamente, de tal modo que CD = AB e AK = BC. Os pontos F e L são os pontosmédios dos segmentos [BD] e [KC], respetivamente. Os pontos R e S são os pontos médios doslados [AC] e [AB], respetivamente. As retas SL e FR intersectam-se no ponto O, e sabe-se que∠SOF = 55o. Determinem ∠BAC.

7. Sejam M , N e L pontos pertencentes ao lado BC do triângulo [ABC]. Sabe-se ∠BAM = ∠CAN

e que AL é a bissectriz do ângulo ∠BAC. Provem que BMMC

+ NBNC

≥ 2 · BLLC

. Quando é que aigualdade ocorre?

Alfredo Costa delfos@mat.uc.pt

Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 1 de Julho de 2016LIGA DELFOS 2015-2016 JORNADA 7

Determinem!

1. Determinem todas as funções f : R→ R tais que f(x+ y) ≤ f(x) + f(y) ≤ x+ y para quaisquernúmeros reais x e y.

2. Determinem todas as funções f : N → N tais que f(m + n)f(m − n) = f(m2) para quaisquerinteiros positivos m e n satisfazendo m > n.

3. Determinem todas as funções f : R→ R estritamente monótonas tais que f(x+ f(y)) = f(x) + y

para quaisquer números reais x e y.

4. Determinem todas as funções f : R → R tais que (x + y)(f(x) − f(y)) = (x − y)f(x + y) paraquaisquer números reais x e y.

5. Determinem todas as funções f : Q → Q tais que f(x + y) + f(x − y) = 2f(x) + 2f(y) paraquaisquer números racionais x e y.

6. Determinem todas as funções f : N0 → N0 tais que para qualquer n ∈ N0 se tem a igualdadef(f(n)) + f(n) = 2n+ 6.

7. Determinem todas as funções g : R → R para as quais existe uma função estritamente crescentef : R→ R tal que f(x+ y) = f(x)g(y) + f(y) para quaisquer números reais x e y.

Alfredo Costa delfos@mat.uc.pt

Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 17 de Setembro de 2016LIGA DELFOS 2015-2016 JORNADA 8

Die Königin der Mathematik!Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften und die Zahlentheorie ist die Königin der Mathematik (Gauß).

1. Determinem todos os números naturais x e y tais que x+ 2y + 3xy= 2012.

2. Provem que, para qualquer inteiro positivo n, existe um inteiro positivo k que é um múltiplo de n ecujos algarismos têm soma igual a n.

3. Determinem os números naturais x e primos p tais que x8 + 22x+2 = p.

4. Um inteiro positivo n diz-se simpático se cada divisor d de n tal que 1 < d < n for igual à diferençade dois divisores d1, d2 de n que satisfaçam 1 ≤ d1, d2 ≤ n. Determinem os mais pequeno múltiplosimpático de 401 que é maior do que 401.

5. Suponham que o natural p = 8n+7 é um número primo tal que p−12

é primo. Existe algum inteiro a

tal que 2a2 + 1 é divisível por p?

6. Seja m um número natural. Um inteiro g é uma raiz primitiva módulo m se a ordem de g módulo m

for igual a ϕ(m). Dêem uma prova do seguinte: 2 é uma raiz primitiva módulo 3n, qualquer queseja n ≥ 1. Deduzam que se 3k divide 2n+1, então 3k−1 divide n, quaisquer que sejam os númerosnaturais k e n.

(É um resultado bem conhecido que os números naturais m com raízes primitivas são precisamente2, 4 e as potências da forma pk e 2pk, com p primo ímpar e k natural.)

7. Determinem todos os números primos p para os quais existem inteiros m e n tais que p = m2 + n2

e p |m3 + n3 − 4.

Alfredo Costa delfos@mat.uc.pt