OSNOVE ISTRAŽIVAČKOG RADA

FAKULTET ZA DENTALNU MEDICINU I ZDRAVSTVO

STUDIJ FIZIOTERAPIJE

Sadržaj

• Statistika

• Varijable

• Mjere sredine i raspršenja

• Vjerojatnost – osnovni pojmovi

• Teorijske distribucije

• Rad s tekstom

• Statistički testovi

Vjerojatnost

• Teorija vjerojatnosti je matematička teorija slučajnih događaja.

• Slučajni događaj je događaj koji ima više mogućih ishoda, a ne možese unaprijed predvidjeti koji će se ishod realizirati

Vjerojatnost

Događaj Mogući ishodi

Bacanje novčića Pismo (p), glava (g)

Bacanje igraće kocke 1,2,3,4,5,6

Bacanje dva novčića (p,p), (p,g), (g,p), (g,g)

Određivanje krvne grupe jedneosobe

A, B, 0, AB

Određivanje krvne grupe dvijuosoba

(A,A), (A,B), (A,0), (A, AB)(B,A), (B,B), (B,0), (B,AB)(0,A), (0,B), (0,0), (0,AB)(AB, A), (AB, B), (AB, 0), (AB, AB)

Vjerojatnost

• Klasična definicija vjerojatnosti (vjerojatnost a priori): vjerojatnostrealizacije nekog ishoda je omjer broja povoljnih ishoda i broja svihmogućih ishoda za neki događaj.

• Relativna frekvencija događaja – omjer broja povoljnih ishoda iukupnog broja ishoda promatranog događaja.

• ZAKON VELIKIH BROJEVA: kada broj pokusa raste, apsolutna razlikaizmeđu relativne frekvencije i vjerojatnosti se smanjuje.

Događaj Mogući ishodiBroj

mogućihishoda

Bacanje novčića Pismo (p), glava (g) 2

Bacanje igraćekocke

1,2,3,4,5,6 6

Bacanje dva novčića (p,p), (p,g), (g,p), (g,g) 4

Određivanje krvnegrupe jedne osobe

A, B, 0, AB 4

Određivanje krvnegrupe dviju osoba

(A,A), (A,B), (A,0), (A, AB)(B,A), (B,B), (B,0), (B,AB)(0,A), (0,B), (0,0), (0,AB)(AB, A), (AB, B), (AB, 0), (AB, AB)

16

Vjerojatnost

• Odredite kolika je vjerojatnost da prilikom bacanja novčića padnepismo.

• Odredite vjerojatnost da slučajno izabrani student među vama imakrvnu grupu A

• Odredite vjerojatnost da prilokom bacanja igraće kocke padne broj 3

• Odredite vjerojatnost da prilikom bacanja igraće kocke padne brojmanji ili jednak broju 3.

Vjerojatnost

• Vjerojatnost realiziranja nekog događaja je uvijek broj između 0 i 1

• Ako je vjerojatnost realiziranja nekog događaja jednaka 0, događaj se sigurno neće realizirati

• Ako je vjerojatnost relaiziranja nekog događaja jednaka 1, događaj ćese sigurno realizirati

• Ako je vjerojatnost da se dogodi događaj A jednaka P(A), onda je vjerojatnost da se događaj A ne dogodi jednaka 1-P(A)

Vjerojatnost

• Pravilo komplementiranja: Ako je vjerojatnost da se dogodi događaj A jednaka P(A), onda je vjerojatnost da se događaj A ne dogodi jednaka1-P(A)

• Primjer:

• Vjerojatnost da se rodi muško dijete je P(A) = 0,56

• Vjerojatnost da se ne rodi muško dijete je 1 - P(A) = 0,44

Događaji

• Disjunktni

• Komplementarni

• Nezavisni

Disjunktni događaji

• Događaji koji se međusobno isključuju, ne mogu nastupiti istovremeno.

• Složeni događaj obuhvaća realizaciju nekoliko disjunktnih događaja: dogodio se događaj A ili događaj B (ili događaj C…)

• Za složene događaje vrijedi pravilo adicije vjerojatnosti: ukupna vjerotanost složenog događaja je zbroj vjerojatnosti realiziranja pojedinog događaja:

𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵)

Disjunktni događaji

• Primjer:

U nekoj populaciji vjerojatnosti pojedinih krvnih grupa su:

P(O)=0.41, P(A)=0.44, P(B)=0.12 i P(AB)=0.03.

Kolika je vjerojatnost da slučajno odabrani pripadnik te populacije ima krvnu grupu A ili B?

Nezavisni događaji

• Mogu nastupiti istovremeno, pri čemu realizacija nekog od njih ne ovisi o realizaciji drugih.

• Za nezavisne događaje vrijedi pravilo multiplikacije vjerojatnosti: ako se istodobno realiziraju dva (ili više njih) nezavisna događaja, ukupna vjerojatnost je umnožak vjerojatnosti realizacije pojedinog nezavisnog događaja

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵)

Nezavisni događaji

• Primjer:

Ako je vjerojatnost svijetle kose 0.35, a vjerojatnost crnih očiju 0.18, kolika je vjerojatnost istovremenog pojavljivanja svijetle kose i crnih očiju?

Opće pravilo adicije

• Vrijedi za događaje koji mogu nastupiti istodobo:

𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

Uvjetna vjerojatnost

• Osnovna vjerojatnost u prirodnim i humanističkim istraživanjima

• Ishodu nekog događaja prethodi neki drugi događaj kao uvjet za slijedeći potencijalni događaj

• Primjer: letalitet (stopa umrlih od neke bolesti) je tipična uvjetnavjerojatnost - mora biti zadovoljen uvjet da je osoba oboljela od te bolesti

Uvjetna vjerojatnost

• Vjerojatnost događaja A uz uvijet da se dogodio događaj B dana je izrazom:

𝑃 𝐴 𝐵 =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵)

ZadatakU tablici je prikazan broj ispitanika prema zadovoljstvu kvalitetomživota, prema godinama školovanja opažen na uzorku od 161 ispitanika:

Školovanje

(godine)

Zadovoljstvo kvalitetom života

Zadovoljni (K2)Nezadovoljni

(K1)Ukupno

1 – 3 (A) 22 53 75

4 – 8 (B) 9 23 32

9 – 19 (C) 10 27 37

11i više (D) 5 12 17

Ukupno 46 115 161

Zadatak

• Kolika je vjerojatnost da će slučajno odabrani ispitanik biti zadovoljan kvalitetom života?

• Kolika je vjerojatnost da će slučajno odabrani ispitanik biti zadovoljan kvalitetom života i imati 4 do 8 godina školovanja?

• Kolika je vjerojatnost da slučajno odabrani ispitanik ima 11 i više godina školovanja uz uvjet da je nezadovoljan kvalitetom života?

• Kolika je vjerojatnost da je slučajno odabrani ispitanik zadovoljan kvalitetom života ili ima manje od 4 godine školovanja ili oboje?

Binomna (Bernoullijeva) raspodjela

• koristi se za binomne (dihotomne) varijable, kod kojih postoje samo dva ishoda,

• vjerojatnost da se dogodi jedan ishod je p, a vjerojatnost za drugi ishod je q, vrijedni odnos: p+q = 1

Teorijske raspodjele podataka

• Binomna (Bernoullijeva) raspodjela

• Poissonova raspodjela

• Normalna raspodjela

Binomna (Bernoullijeva) raspodjela

• pokus se izvodi n puta i bilježe se rezultati

• Vjerojatnost da događaj A u nizu do n pokusa nastupi x puta dana je Bernoullijevom formulom:

𝑃 𝑥 =𝑛𝑥

𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥,

gdje je 𝑛𝑥

=𝑛!

𝑥! 𝑛−𝑥 !binomni koeficijent

Binomna (Bernoullijeva) raspodjela

• Binomna raspodjela je skup svih uređenih parova

{x, P(x)}, x = 0,1,2, …., n

• Binomna raspodjela je diskretna raspodjela

Zadatak

U populaciji odraslih osoba proporcija pušača je 26%. Kolika je vjerojatnost da će u slučajnom uzorku od 20 odraslih biti:

a) Tri pušača?

b) Manje od tri pušača?

c) Tri i više pušača?

Poissonova raspodjela

• Nastala je kao granični slučaj Bernoullijeve raspodjele za jako velikbroj pokusa n

• Koristi se za opisivanje slučajne raspodjele u događaja vremenu ilisitnih čestica u prostoru

• Funkcija Poissonove raspodjele:

𝑃 𝐴 =𝜇𝑥𝑒−𝜇

𝑥!gdje je e = 2,71828 baza prirodnog logaritma

Zadatak

U nekoj populaciji mjesečno se dijagnosticira u prosjeku 5 novihslučajeva karcinoma. Ako mjesečna incidencija karcinoma u tojpopulaciji slijedi Poissonovu raspodjelu, kolika je vjerojatnost da udanom mjesecu bude dijagnosticirano:

a) 7 novih slučajeva?

b) Niti jedan novi slučaj?

Normalna raspodjela

• Za podatke koji prate normalnu raspodjelu vrijedi: Aritmetička sredina = medijan =mod

Normalna raspodjela

• Površina ispod krivulje normalne raspodjele u intervalu između dvijevrijednosti koje su definirane udaljenošću od aritmetičke sredineizražene u standardnim devijacijama je KONSTANTNA bez obzira nastvarne vrijednosti aritmetičke sredine i standardne devijacije upojedinom slučaju

Normalna raspodjela