Kontrola kvalitete 09 - unizg.hr · Vjerojatnosti od P 1 do P 6 su uvjetne vjerojatnosti, te vjerojatnost dobitka (za jedan stupac u listi ću) iznosi: 40 1 41 2 42 3 43 4 44 5 45

11/30/2009

1

KONTROLA KVALITETEProf.dr.sc.Vedran Mudronja

DEFINICIJA KVALITETE

Ishikawa o kvaliteti:

� Kvaliteta je ekvivalent sa zadovoljstvom kupca.� Kvaliteta mora biti definirana opsežno. Nije dovoljno

samo reći da je proizvod visoke kvalitete. Moramo fokusirati pažnju na kvalitetu svakog aspekta organizacije.

� Potrebe i zahtjevi kupca se mijenjaju. Stoga, se i definicija kvalitete uvijek mijenja.

� Cijena proizvoda ili usluge je bitan dio njene kvalitete. Ako je proizvod precijenjen ne može pridobiti zadovoljstvo kupca.

11/30/2009

2

Kvaliteta – zadovoljstvo kupca

� Danas o kvaliteti govorimo isključivo u kontekstu zadovoljstva kupca. To znači da je kvaliteta: kvaliteta proizvoda ili usluge, rok isporuke, cijena, organizacija poslovanja, sustav upravljanja i dr.

� Kvaliteta u užem smislu (tehnička strana kvalitete) pretpostavlja ispunjavanje svih tehničkih zahtjeva na kvalitetu proizvoda ili usluge.

� Najznačajnija mjera kvalitete u užem smislu je veličina rasipanja značajke procesa (proizvoda). Najočitiji argument poboljšavanja kvalitete procesa (proizvoda) je stalno smanjivanje rasipanja.

Suvremena kontrola kvalitete

� Temeljna zadaća i razlog postojanja odjela kontrole kvalitete je stalna borba s rasipanjem. To znači mjeriti, bilježiti i analizirati dobivene rezultate, te iz tih rezultata (podataka) učiti.

� Svrha mjerenja je prikupiti podatke iz kojih se izvodi zaključak.

11/30/2009

3

vrijeme

LSL USL

Niska kvaliteta

Visoka kvaliteta

σ - mjera kvalitete

� U statistici je σσσσ mjera rasipanja. Možemo s toga reći da je σσσσmjera kvalitete.

� Pojam “standard deviation” koji se danas označava s grčkim slovom σ prvi put je uveo Karl Pearson (1857.-1936.) 1893. godine, iako je ideja bila starija stotinjak godina.

� Hrvatski nazivi:• standardna devijacija• standardno odstupanje• standardni odmak • normni odmak

11/30/2009

4

Zašto interval od ± 3σ ?

3σσσσ

x

3σσσσ

99,73%

σσ -- mjera preciznostimjera preciznosti

precizno = kvalitetno = precizno = kvalitetno = malo rasipanje!malo rasipanje!Točnost se postiže Točnost se postiže usporedbom s usporedbom s referencama. referencama. Ima li smisla govoriti o Ima li smisla govoriti o točnosti u slučaju loše točnosti u slučaju loše preciznosti?preciznosti?

............

.

..

..

.

precizan (dobar) strijelacprecizan (dobar) strijelac

neprecizan (loš) strijelacneprecizan (loš) strijelac

11/30/2009

5

σ - mjera kvalitete rezultata mjerenja

�Mjerni niz A: Mjerni niz B:

7, 8, 9, 7, 9 4, 10, 8, 6, 12

Rezultat mjerenja:

xA=8 xB=8

Standardno odstupanje:

σσσσσσσσ A=1 σσσσσσσσ B=3,2

Mjerna nesigurnost u=f(σσσσσσσσ)20151050

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Density

1

3,2

StDev

Normal; Mean=8

AA

BB

Dobra kvalitetaRasipanje je manje od zahtjeva!Pojava nesukladnosti je rezultat nedostatne kontrole procesa!

L Uxx

11/30/2009

6

Loša kvalitetaRasipanje je veće od zahtjeva!

L U

6σσσσ

x

TAGUCHIJEVA FUNKCIJA GUBITAKA

11/30/2009

7

Rođen 01. siječanja 1924. u Tokamachi, Japan.Inženjer i statističar. Od 1950-e nadalje Taguchi je razvijao filozofiju i metodologiju primjene statistike za poboljšavanje kvalitete proizvedenih dobara.Taguchijeve metode su dugo bile sporne među mnogim konvencionalnim zapadnim statističarima i stručnjacima kvalitete.

Genichi Taguchi

TAGUCHIJEVA FUNKCIJA GUBITAKATAGUCHIJEVA FUNKCIJA GUBITAKA

T

LSL USL

loše dobro loše

gu

bic

i

T

LSL USL

11/30/2009

8

T

LSL USL

gu

bic

i

GUBITAK (Y) = k ⋅⋅⋅⋅ ( Y – CILJANA VRIJEDNOST)2

k - konstanta ovisna o strukturi troškova gubitaka,y - trenutna vrijednost značajke kvalitete

Cp=1

Funkcija gubitaka

UL

Cp=2

U – gornja granica dopuštenih odstupanja

L – donja granica dopuštenih odstupanja

Cp – indeks sposobnosti procesa

11/30/2009

9

ŠEST SIGMA

Šest sigma - statistička definicija

Najčešća statistička definicija programa «Šest sigma» glasi:

� «Šest sigma» znači 99,9996 % uspješnosti. Ova razina uspješnosti (savršenstva) je ekvivalentna pojavi 3,4 greške na milijun mogućnosti (DPMO – defects per million opportunities).

� Greška može biti bilo što, od greške na proizvodu do pogrešnog računa kupcu.

U tumačenju podatka od 3,4 greške na milijun mogućnosti pretpostavlja se (iskustveno) pomak procesa od 1,5σ.

11/30/2009

10

Širina zahtjevaU - L

Vjerojatnost%

DPMO Pomak od 1,5σσσσVjerojatnost ,% DPMO

± 1σ 68,27 317 300 30,23 697 700

± 2σ 95,45 45 500 69,13 308 700

±±±± 3σσσσ 99,73 2 700 93,32 66 810

± 4σ 99,9937 63 99,3790 6 210

± 5σ 99,999 943 0,57 99,976 70 233

±±±± 6σσσσ 99,999 999 8 0,002 99,999 660 3.4

Normalna raspodjela i DPMONormalna raspodjela i DPMO

�

� Uzimajući da je 6σ gotovo savršen rezultat mogu se određene� aktivnosti promatrati na slijedeći način:�

� računi u restoranima i liječničke uputnice zbog rukopisa supouzdane 2,9σ

� prosječna organizacija djeluje na oko 3σ

� vrhunska organizacija djeluje na bar 5,7σ

� prtljagom na aerodromima se rukuje sa sigurnošću od oko 3,2σ

� smrtnost u zračnom prometu je 6,2σ

σσσσσσσσ razina kvaliteterazina kvalitete

11/30/2009

11

KOMBINATORIKA

1. PERMUTACIJE BEZ PONAVLJANJA

Permutacije bez ponavljanja pokazuju na koliko se načina može poredati niz od n elemenata.

Računaju se pomoću izraza:

P(n) = n!

Znak «!» označava faktorijele. Pri tome je:

n! = n (n – 1) (n – 2) ⋅ ⋅ ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1

Po dogovoru 0! = 1.

Primjer: Na koliko se načina mogu poredati elementi A, B i C.

n = 3; P(n = 3) = 3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6

A B C B A C C A BA C B B C A C B A

2. PERMUTACIJE S PONAVLJANJEM

!!...!

!

21

)(

,...,, 21

k

nrrr rrr

nP

k=

Permutacije s ponavljanjem pokazuju na koliko se načina može poredati niz od n elemenata ako je r1, r2, … , rk istih među njima.

Računaju se pomoću izraza:

Primjer: Na koliko se načina mogu poredati elementi A, B, C, C.

n=4r1=1r2=1r3=2

121211

1234

!2!1!1

!4

!!!

!

321

)(

,, 321=

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

⋅⋅==

rrr

nP n

rrr

A B C C B A C C C A B C C C B A

A C B C B C A C C B A C C A C B

A C C B B C C A C C A B C B C A

11/30/2009

12

3. VARIJACIJE BEZ PONAVLJANJA

)!(

!)(

rn

nV n

r−

=

Broj mogućih popunjavanja r mjesta, ako je na raspolaganju n elemenata.

4. VARIJACIJE S PONAVLJANJEM

rnr nV =

)(

Broj mogućih popunjavanja r mjesta, ako je na raspolaganju n elemenata pri čemu se isti element može pojaviti dva ili više puta.

Primjer : Koliko se različitih registarskih pločica može izraditi ako se koriste 4 brojčane oznake i 2 slovne oznake (na raspolaganju su 23 slova)?

rnr nV =

)(

Za brojčane oznake:

10000104)10(

4 ==V

Za brojčane oznake:

529232)23(

2 ==V

Broj različitih registarskih pločica iznosi: 10000 x 529 = 5290000

11/30/2009

13

5. KOMBINACIJE BEZ PONAVLJANJA

)!(!

!)(

rnr

n

r

nK n

r−

=

=

Tvore se od n različitih elemenata slogovi od r elemenata. Dvije kombinacije razlikuju se jedino onda ako ne sadrže iste elemente.

Primjer : Koliko bi kuna trebalo uplatiti za siguran dobitak na lotu 6/45? Cijena listića (8 kombinacija) iznosi 13,00 Kn.

)!(!

!)(

rnr

n

r

nK n

r−

=

=

8145060123456

404142434445

!39!6

!45

6

45)45(

6 =⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅=

=K

Vjerojatnost dobitka za 1 listić (8 kombinacija): %0001,0%1008145060

8≈⋅=P

Broj listića: 1018132,5 (1 018 133)

Uplata: 13 235 729 Kn

11/30/2009

14

Vjerojatnost

n

AmAP

)()( =

Vjerojatnost događaja A je omjer broja m(A) elementarnih događaja koji realiziraju događaj A i broja n jednako mogućih elementarnih događaja.

nAm ≤)(

P(A)=0 - nemogući događaj

P(A)=1 - siguran događaj

Protivna vjerojatnost

1)()(

)(1)(

)(1)(

=+

−=

−=

AQAP

APAQ

APAP

Zbrajanje vjerojatnosti

P(A1+ A2+...+Ak)=P(A1)+P(A2)+...+P(Ak)

∑∑ =

ii

ii APAP )(

Primjer : Kolika je vjerojatnost da kocka padne na broj 5 ili 6?

3

1

6

1

6

1=+=P

Pretpostavimo da se događaji A1, A2,...,Ak međusobno isključuju. Pod događajem A1+ A2+...+Ak podrazumijeva se događaj koji nastaje ako se dogodi ili događaj A1 ili događaj A2

ili... ili događaj Ak. Vjerojatnost tog novog događaja jednaka je sumi vjerojatnosti pojedinih događaja A1, A2,...,Ak:

A1

A2

11/30/2009

15

Množenje vjerojatnosti

Pretpostavimo da se događaji A1, A2,...,Ak međusobno ne isključuju. Istovremeno pojavljivanje događaja predstavlja složen događaj s vjerojatnošću: kAAA ∩∩∩ ...21

)...( 21 kAAAP ∩∩∩

Za dva događaja A1 i A2 kažemo da su nezavisni ako vrijedi:

)()()( 2121 APAPAAP ⋅=∩

A1A2

21 AA ∩

Primjer : Kolika je vjerojatnost dobitka na lotu 6/45 uz uplatu jednog listića?

Vjerojatnost pojavljivanja jednog broja na lotu 6/45 iznosi:

45

1=P

Za prvo izvlačenje vjerojatnost pojavljivanja jednog od 6 brojeva iznosi:

45

6=P

11/30/2009

16

Za drugo izvlačenje vjerojatnost pojavljivanja jednog od preostalih 5 brojeva iznosi:

44

5

145

5=

−=P

Za šesto izvlačenje vjerojatnost preostalog posljednjeg broja iznosi:

40

1

545

1=

−=P

Vjerojatnosti od P1 do P6 su uvjetne vjerojatnosti, te vjerojatnost dobitka (za jedan stupac u listiću) iznosi:

40

1

41

2

42

3

43

4

44

5

45

6654321 ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= PPPPPPP

Ako se dobivena vjerojatnost množi s 8 (listić) i 100% dobiva se vjerojatnost od %0001,0≈

Diskontinuirana slučajna varijabla je takva varijabla x koja poprima vrijednost x1, x2,..., xn ali svaku od njih s određenom vjerojatnošću:

Diskontinuirane slučajne varijable

x1, x2,..., xn

p(x1), p(x2),..., p(xn)

Pri tome vjerojatnost p(xi) treba zadovoljiti jednakost:

∑=

=n

iixp

1

1)(

Skup svih parova čini razdiobu slučajne varijable.{ })(, ii xpx

Zakon P(x) koji svakoj vrijednosti xi pridruži teorijsku vrijednost p(xi) zove se funkijom vjerojatnosti slučajne varijable x.

Uvjeti funkcije vjerojatnosti P(x):

0)( ≥xP ∑=

=n

iixp

1

1)( { }∑=

≤==k

ikik xxPxpxF

1

)()(1. 2. 3.

11/30/2009

17

Binomna razdioba

Koristi se u slučaju kada je broj elemenata osnovnog skupa N značajno veći u odnosu na veličinu uzorka n.

Funkcija vjerojatnosti:

;)(xnx qp

x

nxP −⋅⋅

= ,1=+ qp qp <<

Rekurzivna formula:

);1(1

)( −⋅⋅+−

= xPq

p

x

xnxP nqP =)0(

Definirana je sljedećim parametrima: { }pnB ,

Poissonova razdioba

Kada a tada se binomna razdioba transformira u Poissonovu razdiobu (rijetki događaj).

,∞→n 0→p


);1()( −⋅= xPx

mxP

meP −=)0(

Rekurzivna formula:

;!

)( mx

ex

mxP −⋅= pnm ⋅=

11/30/2009

18

Omjer loših jedinica

p = 0,001

p = 0,01

p = 0,1

Veličina uzorka

n

Raspo- djela

x = 0 x = 1 x >>>> 1 x = 0 x = 1 x >>>> 1 x = 0 x = 1 x >>>> 1 50

B 0,951 0,048 0,001 0,605 0,306 0,089 0,005 0,029 0,966

50

P 0,951 0,048 0,001 0,606 0,303 0,091 0,007 0,035 0,958

500

B 0,606 0,303 0,091 0,007 0,033 0,960 ∼ 0 ∼ 0 ∼ 1

500

P 0,606 0,303 0,091 0,007 0,035 0,958 ∼ 0 ∼ 0 ∼ 1

5000

B 0,007 0,034 0,959 ∼ 0 ∼ 0 ∼ 1 ∼ 0 ∼ 0 ∼ 1

5000

P 0,007 0,035 0,958 ∼ 0 ∼ 0 ∼ 1 ∼ 0 ∼ 0 ∼ 1

VJEROJATNOSTI POJAVLJIVANJA LOŠIH JEDINICA U UZORCIMA

Oznake:B – binomna raspodjelaP - Poissonova raspodjelax – broj loših jedinica u uzorku

Kontinuirane razdiobe

� Slučajna varijabla kod kontinuiranih razdioba može poprimiti bilo koju vrijednost u zadanom intervalu i to sa određenom vjerojatnošću.

y

x

x1 x2xi

f(x)

P x1<<<<xi<<<<x2

11/30/2009

19

� Funkcija vjerojatnosti za kontinuiranu varijablu x je takva funkcija f(x) koja ima svojstva:

∫+∞

∞−

= 1)( dxxf

{ }∫ <<=2

1

21)(

x

x

xxxPdxxf

0)( ≥xf

∫∞−

=x

dxxfxF )()( Funkcija distribucije

� Pri tom su x1 i x2 bilo koje dvije vrijednosti varijable x koje zadovoljavaju nejednakost x1<x2

� Najvažnija kontinuirana razdioba koju susrećemo u teoriji i primjenama matematičke statistike, pa tako i na području mjeriteljstva i kontrole kvalitete;

� Pošto ju je definirao Carl Friedrich Gauss još je zovemo i Gaussova razdioba;

� Mnogo je problema u raznim područjima primjene koji se rješavaju upravo ovom razdiobom. Zbog tih njenih svojstava kad je to god moguće i druge se razdiobe nastoje aproksimirati normalnom razdiobom;

� Za slučajnu varijablu x kažemo da je distribuirana po zakonu normalne

razdiobe ako je područje njenih vrijednosti [-∞, +∞], a funkcija vjerojatnosti

2

2

2

)(

2

1)( σ

µ

πσ

−−

⋅=x

exf

Normalna razdioba

11/30/2009

20

� Razabiremo da je normalna razdioba jednoznačno određena očekivanjem µ i varijancom σ² pa se označava sa N{µ, σ²}.

µµ-σ µ+σ

T1 T2

x

y

� Krivulja vjerojatnosti je simetrična s obzirom na x= µ te na tom mjestu ima maksimum koji je pozitivan;

� Krivulja je zvonolikog oblika s tjemenom na pravcu x= µ i asimptotski se približava osi x.

Slika 1. Normalna razdioba

� Površina ispod krivulje jednaka je 1;

� Točke infleksije T1 i T2 imaju apscise µ ±±±± σ pa je krivulja to uža, dakle i viša što je σ manji;

� Kod svih kontinuiranih varijabli vjerojatnosti pridružujemo intervale, što znači da svakom intervalu pripada površina ispod krivulje. Prema toj interpretaciji pojedinoj vrijednosti slučajne varijable xi pripada vjerojatnost nula, što nije slučaj kod diskontinuirane razdiobe.

Neposredno slijedi da je:

∫∫ −=⋅==<<−−2

1

2

22

1

)()(2

1)()( 12

2

)(

21

x

x

xx

x

i xFxFdxedxxfxxxP σ

µ

πσ

gdje su F(x1) i F(x2) funkcije distribucije tj.

∫∞−

=1

)()( 1

x

dxxfxF ∫∞−

=2

)()( 1

x

dxxfxF

11/30/2009

21

Varijanca normalne razdiobe iznosi:

( )∑=

−=n

iix

n 1

22 1µσ

n – neovisna opažanja (broj ponovljenih mjerenja)

µ – očekivanje (istinita vrijednost), koja se kod rezultata mjerenja procjenjuje s aritmetičkom sredinom rezultata mjerenja

xi – slučajna varijabla (i-ti rezultat mjerenja)

Iz varijance se može izračunati standardno odstupanje σ (sigma):

( )∑=

−=n

iix

n 1

21µσ

-6σ –5σ –4σ -3σ -2σ -σ 0 σ 2σ 3σ 4σ 5σ 6σ

x

y

t µ ± σ { }σσ +<<− xxxP Postotak ispod

krivulje

0,67 µ ± 0,67σ 0,5000 50

1 µ ± 1σ 0,6827 68,27

1,96 µ ± 1,96σ 0,9500 95

2 µ ± 2σ 0,9545 95,45

3 µ ± 3σ 0,9973 99,73

6 µ ± 6σ 0,999999998 99,9999998

11/30/2009

22

x

y

30 32 34 36282624

N1{µ=30, σ²= 1}

N2{µ=30, σ²= 4}

Odnos više normalnih razdioba različitih varijanci i očekivanja

N3{µ=32, σ²= 4}

N4{µ=26, σ²= 1}

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

Izvršimo li zamjenu , ona prelazi u:

gdje je φ(z) funkcija vjerojatnosti jedinične normalne razdiobe za µ=0 i σ² =1.

.

Jedinična normalna razdioba

zx

=−

σ

µ )(1

2

1)(

2

2

1

zetfz

ϕσπσ

==−

11/30/2009

23

Vjerojatnosti pri normalnoj razdiobi

Izvršimo li zamjenu zx

=−

σ

µ

∫∫−−

⋅==<<2

1

2

22

1

2

)(

212

1)()(

x

x

xx

x

i dxedxxfxxxP σ

µ

πσ

dobivamo:

∫−

=<<2

1

2

2

1

212

1)(

z

z

z

i dzexxxPπ

Pri tom je:1

1 zx

=−

σ

µ2

2 zx

=−

σ

µ

Uzmemo li x1= µ slijedi da je z1=0 pa imamo

∫−

=<<=2 2

0

2

1

222

1)()(

zz

i dzexxPuPπ

µ

x

y

P(z2)

µ x2

Toj vjerojatnosti odgovara površina prikazana na donjoj slici. Za različite vrijednosti z vjerojatnosti P(z) dane su u tablicama za normalnu razdiobu.

11/30/2009

24

Primjer 1.

Zadana je normalna razdioba N1{µ=20, σ²= 4}. Potrebno je izračunati:

a) vjerojatnost P(17<x<21,5)?

b) Kolika je vjerojatnost da varijabla x poprimi bilo koju vrijednost manju od 21,5?

c) Kolika je vjerojatnost da varijabla x poprimi neku vrijednost veću od 21,5?

y

x

P(z2)

20 21,517

P(z1)

b) Prema slici vidimo da je vjerojatnost da varijabla x poprimi bilo koju vrijednost manju od 21,5 jednaka:

P(x<21,5)=0,5+P(z2)=0,5+0,27337=0,77337

c) P(x>21,5)=0,5 - P(z2)=0,5 - 0,27337=0,22663

a) P(17<x<21,5)=P(z1)+P(z2)

,50,12

20171 −=

−=z 75,0

2

205,212 =

−=z

Iz tablice očitamo:

43319,0)( 1 =zP

,27337,0)( 2 =zP pa je onda:

70656,027337,043319,0)5,2117( =+=<< xP

11/30/2009

25

P(z2)P(z1)

Primjer 2.

Mjerenjem dimenzije nekog komada dobiveni su rezultati koji se pokoravaju zakonu normalne razdiobe N1{µ=20 mm, σ²= 0,04 mm}. Za tu dimenziju propisane su granice tolerancija (19,45; 20,40). Koliko će posto proizvoda imati dimenziju izvan tolerancijskog polja?

20,4019,45

Gornja granica

Donja granica

[ ])()(1 21 zPzPŠ +−=

75,22,0

55,011 −=

−=

−=

σ

µxz

00,22,0

4,022 ==

−=

σ

µxz

Iz tablice očitamo:

,49702,0)( 1 =zP 47725,0)( 2 =zP

pa je onda:

,02573,0)47725,049702,0(1 =+−=Š odnosno 2,57 %.

y

x

20

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359

0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753

0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141

0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517

0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879

0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224

0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549

0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852

0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133

0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389

1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621

1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830

1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015

1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177

1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319

1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441

Površina ispod krivulje jedinične normalne razdiobe

11/30/2009

26

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545

1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633

1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706

1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767

2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817

2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857

2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890

2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916

2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936

2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952

2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964

2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974

2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981

2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986

3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990

Intervalna procjena očekivanja

{ }x

N σµ ,

Ako je varijabla x raspodijeljena po zakonu normalne razdiobe N{µ, σ²} aritmetičke sredine uzoraka od n elemenata pokoravaju se zakonu normalne razdiobe gdje je:

nx

22 σ

σ = nx

σσ =- varijanca, - standardno odstupanje

y

N{µ, σ²}

µ

{ }2,

xN σµ

xx,

Osnovni skup

Skup aritmetičkih sredina od n

mjerenja

11/30/2009

27

Intervalna procjena očekivanja:

xxzxzx σµσ +≤≤−

Ako se σ² zamijeni s nepristranom procjenom s²:

xxzsxzsx +≤≤− µ

gdje je:

n

ss

x

22 =

Studentova t - razdioba

� kontinuirana razdioba;

� Definirao ju je William S. Gosset 1908. godine koji je u to vrijeme radio na poslovima statistike u pivarskoj kompaniji Guinness. Zbog rada u pivovari radove je objavljivao pod pseudonimom ’’student’’ pa se zbog toga i razdioba zove studentovom razdiobom;

� Varijabla t- raspodjele može se opisati slijedećim idealiziranim eksperimentom:

Ako je x normalna varijabla čije je očekivanje µ i varijanca σ², aritmetička sredina slučajnog uzorka veličine n, a s2 nepristrana procjena varijance σ²,

onda je:

ns

xt

/

µ−=

x

varijabla Studentove razdiobe sa stupnjem slobode k=n-1.

11/30/2009

28

x

y

N1{µ=0, σ²= 1}

t-razdioba, k=1

t-razdioba, k=10

t-razdioba, k=15t-razdioba, k=30

t-razdioba, k=1

t-razdioba, k=10

t-razdioba, k=15t-razdioba, k=30

Odnos normalne i studentove razdiobe

� Studentova razdioba je također simetrična s obzirom na t=0 pa su stoga metode koje se tiču dvostranih i jednostranih granica pri računanju vjerojatnosti ispod krivulje analogne onima kod normalne razdiobe.

� Razdioba je jednoznačno određena parametrom k, koji je jednak n-1, a zove se stupanj slobode.

� Studentova razdioba teži jediničnoj normalnoj razdiobi kad k teži u beskonačno. Stoga će za dovoljno veliki k (u primjenama kad je k veći od 30) dovoljno dobro dati aproksimirati normalnom razdiobom.

� Studentova razdioba nam omogućava da na bazi malog uzorka procijenimo očekivanje µ varijable x osnovnog skupa iz kojeg potječe uzorak. Odaberemo li t0 tako da je tada uz vjerojatnost 1- ααααvrijedi nejednakost:

,00 ts

xt

x

<−

<−µ

nssx

/=a pri tom je

{ } α=> 0ttP

11/30/2009

29

Prethodna nejednakost ekvivalentna je nejednakosti:

xxstxstx 00 +<<− µ

xxsxsx 145,2145,2 +<<− µ

Koja u stvari nije ništa drugo nego intervalna procjena očekivanja. Za unaprijed zadanu pouzdanost i stupanj slobode k=n-1 može se iz tablice za studentovu razdiobu direktno očitati t0, tako da je npr. uz pouzdanost 0,95 intervalna procjena očekivanja na bazi uzorka od n=15 elemenata (k=14) dana izrazom:

n k 0t

2 1 12,706

5 4 2,776

15 14 2,145

30 29 2,045

∞ ∞ 1,960

STATISTIČKA OBRADA I PRIKAZIVANJE EMPIRIJSKIH PODATAKA

11/30/2009

30

Rezultati mjerenja:

x1, x2, x3,…. xn-1,……xn

�Srednja vrijednost rezultata mjerenja:

1. Aritmetička sredina

n

x

nxxx

n

ii

nx∑

== =+++ 121 ...

x

n

xf

fffxfxfxf

n

iii

n

nnx∑

=

⋅

+++

⋅++⋅+⋅== 1

21

2211

...

...

Ukoliko ima istih podataka:

fi – frekvencija i-tog podatka (broj pojavljivanja i-tog podatka)

11/30/2009

31

�Primjer:

Rezultati mjerenja: 7,4,5,3,3,5,4,6,6,3;

6,41046

103664533547 === +++++++++x

ili

6,41046

122237162524233 ===

++++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅x

2. Medijan

Medijan je podatak u sredini rastućeg ili padajućeg niza.

�Neparni broj podataka 12 += kn

Medijan je onaj rezultata od kojeg ima isti broj manjih i većih vrijednosti.

1~

+= kxx

�Primjer

Rezultati mjerenja: 7,4,5,3,3,5,4,6,3;

Podaci poredani po veličini: 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7

)(~50xx

x~

11/30/2009

32

�Parni broj podataka kn 2=

Medijan je aritmetička sredina vrijednosti od kojih ima isti broj većih i manjih.

21~ ++

= kk xxx

�Primjer:


Podaci poredani po veličini: 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7

5,4~2

54 == +x

3. Mod Mo

Mod je rezultata koji ima najveću frekvenciju.

�Primjer:


Mo = 3

11/30/2009

33

�Rasipanje rezultata mjerenja:

1. Raspon R

Raspon je razlika najveće i najmanje vrijednosti rezultata.

minmax xxR −=

�Primjer:


437 =−=R

xmaxxmin

2. Procijenjeno standardno odstupanje s

( )

11

2

−

−∑==

n

xxn

ii

s

�Primjer:


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

43,19

6,436,466,466,446,456,436,436,456,446,4710

1

2222222222

==

∑=

−+−+−+−+−+−+−+−+−+−i

s

( )

11

2

2

−

−∑===

n

xxn

ii

sV

3. Procijenjena varijanca V

04,22 == sV

11/30/2009

34

Podaci grupirani u intervalne razrede

n

xf

fffxfxfxf

n

iii

n

nnx∑

=

⋅

+++

⋅++⋅+⋅== 1

21

2211

...

...

ix - sredina i–tog razreda

if - frekvencija i–tog razreda (broj podataka u i-tom razredu)

Napomena:

Aritmetička sredina podataka grupiranih u intervalne razrede daje aproksimativnu vrijednost jer se aritmetička sredina podataka u jednom razredu ne podudara sa sredinom tog razreda.


2. Medijan

L1 - donja granica medijalnog razreda

Σf1 - suma frekvencija do medijalnog razreda

fM - frekvencija medijalnog razreda

i - širina medijalnog razreda

n - zbroj frekvencija

iLxM

n

f

f⋅+=

∑−12

1~

x~

11/30/2009

35

3. Mod Mo

L1 - donja granica modalnog razreda

a - frekvencija pred modalnog razreda

b - frekvencija modalnog razreda

c - frekvencija post modalnog razreda

i - veličina modalnog razreda

( ) ( ) iLMo cbabab ⋅+=

−+−−

1


21

1

2

xsn

xfn

iii

−=−

∑=

3. Procijenjena varijanca V

21

2 1

2

xsn

xfn

iii

−=−

∑=

Napomena:

Procijenjena varijanca podataka grupiranih u intervalne razrede daje aproksimativnu vrijednost varijance skupa empiričkih podataka.

11/30/2009

36

�Ako je broj podataka n nekoliko desetaka tada je broj razreda G ≈ 6 do 8

�Ako je broj podataka n 100 do 200 tada je broj razreda G ≈ n

�Ako je broj podataka n nekoliko stotina i više tada je broj razreda G do 15

�Širina razreda i1

minmax

−

−=

G

xxi

2min

ixDg −=�Donja granica prvog razreda gD

Smjernice za grupiranje podataka u intervalne razrede

�Primjer:

Rezultati mjerenja: n = 30

0,16 0,19 0,10 0,12 0,18 0,19

0,16 0,13 0,21 0,17 0,17 0,17

0,17 0,15 0,15 0,22 0,25 0,21

0,23 0,16 0,14 0,11 0,17 0,14

0,14 0,19 0,16 0,16 0,20 0,14

11/30/2009

37

�Primjer:

Rezultati mjerenja poredani po veličini:

0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,14

0,14 0,14 0,15 0,15 0,16 0,16

0,16 0,16 0,16 0,17 0,17 0,17

0,17 0,17 0,18 0,19 0,19 0,19

0,20 0,21 0,21 0,22 0,23 0,25

xmin= 0,10; xmax= 0,25; R = 0,15;

;168,0=x ;165,0~ =x 035,0=s

G = 6

03,01 5

10,025,0minmax ==−

−=

−

G

xxi

09,0885,0015,010,02

min ≈=−=−=i

xDg

�Grupiranje podataka u razrede:

11/30/2009

38

Razredi Sredina razreda xi

Frekvencijafi

0,09-0,12 0,105 xxx 3

0,12-0,15 0,135 xxxxxxx 7

0,15-0,18 0,165 xxxxxxxxxxx 11

0,18-0,21 0,195 xxxxxx 6

0,21-0,24 0,225 xx 2

0,24-0,27 0,255 x 1

Histogram

0,09 0,12 0,15 0,18 0,21 0,24 0,270

2

4

6

8

10

12

Fre

kven

cija

11/30/2009

39

Poligon frekvencija

Fre

kven

cija

0,09 0,12 0,15 0,18 0,21 0,24 0,270

2

4

6

8

10

12

Stupci

0

2

4

6

8

10

12

0,105 0,135 0,165 0,195 0,225 0,255

11/30/2009

40


165,030

95,41 ===∑

=

⋅

n

xfn

iii

x

2. Medijan

164,003,011

101515,0~ 12

1 =⋅−

+=⋅∑

+=−

iLxMe

n

f

f

x~

x

3. Mod Mo

( ) ( ) 163,003,0)611()711(

71115,01 =⋅

−+−

−+=⋅+=

−+−− iLMo

cbabab


047,0165,029

85455,0 22

11

2

=−=−∑

=−

= xs n

xfn

iii

11/30/2009

41

PLANOVI UZORKOVANJA (PRIJEMA)

IZBOR NAČINA KONTROLE

Treba odgovoriti na slijedeća pitanja:

1. U slučaju promatranog dijela najekonomičnije je provoditi 100 %-tnu kontrolu, uzorkovati, ili uopće ne provoditi kontrolu?

2. Ako je odabrano uzorkovanje, koji plan uzorkovanja treba koristiti i koji pokazatelji kvalitete trebaju biti odabrani?

100% kontrolaUzorkovanjeBez kontrole

T

T1 / p

Lmax

Pb

P, %

Lmin

L

11/30/2009

42

T1 – jedinični trošak kontrole (trošak kontrole jednog komada)T1/p – trošak pronalaska (izdvajanja) jednog nesukladnog (lošeg) komadaL – procijenjena šteta (trošak) nastala propuštanjem lošeg komadaLmax – procijenjena najveća šteta zbog propuštanja lošeg komadaLmin – procijenjena najmanja šteta zbog propuštanja lošeg komadapb – granični postotak nesukladnosti (škarta)

pb = T1/L

Procijenjena šteta (trošak) nastala propuštanjem lošeg komada (L) može biti trošak popravka (dorade) nesukladne jedinice. U tom slučaju se umjesto termina pb često koristi termin BEP (break-even-point).

Proračun za BEP vrijednost se može napraviti za jedan dio ili jednu značajku kvalitete dijela (sklopa).

100 %-tna kontrola

100% kontrola uvijek ima, u pravilu, prednost pred uzorkovanjem. Ima nekoliko značajki 100 % kontrole koje imaju nedostatke u usporedbi s uzorkovanjem. To su:

1. Skupa je. Svaki izrađen dio se mora pojedinačno provjeravati. Efikasnost se postiže samo primjenom mjernih (kontrolnih) automata, a ne aktivnošću kontrolora.

2. Nerazumijevanje značenja (postupka) 100%-tne kontrole. 100 %-tna kontrola je rijetko, u pravilu nikada, potpuna kontrola svih značajki dijela. To je provjera samo određenih značajki. Izjava ˝100 %-tna kontrola

je potrebna˝ u pravilu dovodi do pretjerane kontrole pri čemu se propušta ono što je ključno.

3. Uključuje sortiranje. U biti, 100 %-tna kontrola znači odvajanje(sortiranje)

loših dijelova od dobrih. To je tzv. «brojanje mrtvih», odnosno postupak koji je potpuno stran suvremenom (preventivnom) pristupu kontroli kvalitete.

11/30/2009

43

4. Može rezultirati prihvaćanjem nekih nesukladnih ili oštećenih dijelova. Brojne nezavisne provjere pouzdanosti 100 %-tne kontrole u odvajanju loših dijelova od dobrih bacili su značajnu sumnju na njenu efikasnost. Monotonija ponavljajućih operacija kontrole može rezultirati nenamjernim prihvaćanjem loših dijelova.

5. Može rezultirati neprihvaćanjem dobrih dijelova. Nekada kontrolori misle da njihov posao nije opravdan od njihovih nadređenih ako stalno prihvaćaju dijelove. To ponekad rezultira prekritičnim interpretacijama specifikacija i neprihvaćanjem zadovoljavajućih dijelova.

6. Može biti nepraktično. U slučajevima gdje su potrebna razorna ispitivanja 100 %-tna kontrola je, naravno, nemoguća.

� Vjerojatnost uništenja imovine ili opasnost od ozljeda čini 100 %-tnu kontrolu nužnom.

Uzorkovanje

� Pouzdan postupak uzorkovanja može biti relativno jeftin u odnosu na 100 %-tnu kontrolu.

� Uzorkovanje može značajno smanjiti monotoniju kontrole.� U slučaju razornih ispitivanja to je jedina mogućnost.

Kad se može koristiti uzorkovanje?

� Veliki problem u nekim industrijskim primjenama je bila upotreba planova uzorkovanja u situacijama za koje nisu prikladni.

� Razorno ispitivanje čini uzorkovanje imperativom.� Da li treba uzorkovanje biti primijenjeno može postati pitanje

praktičnosti ako će nesukladne jedinice biti uklonjene kasnije u toku proizvodnje.

11/30/2009

44

N

n

PRIHVAĆANJE ODBIJANJE

slučajni izbor

X ≤ Ac X ≥ Re

SHEMA UZORKOVANJA

N – veličina isporuke (serije)n – veličina slučajno odabranog uzorkax – broj nesukladnih (loših) jedinica u uzorkuAc – broj za prihvaćanjeRe – broj za odbijanje

Prihvaćanje: Ako se isporuka prihvaća odlazi u tzv. ulazno skladište. Iz ulaznog skladišta uzimaju se dijelovi za potrebe proizvodnje.

Odbijanje: Odbijanje ne znači vraćanje isporuke dobavljaču (osim u ugovorenim situacijama). To znači da isporuku treba sortirati, odnosno 100 % kontrolirati i odvojiti loše od dobrih jedinica. Loše jedinice dobavljačzamjenjuje dobrima.

11/30/2009

45

Planovi uzorkovanja (planovi prijema)

Temeljno pitanje koje se postavlja pri kontroli uzorkovanjem glasi: «Koliki uzorak treba kontrolirati da bi nalaz kontrole bio pouzdan glede procjene razine kvalitete cijele isporuke?»

Taj problem se može efikasno rješavati upotrebom planova uzorkovanja.

Ovisno o primijenjenom planu uzorkovanja odluka o prihvaćanju (odbijanju) isporuke može se donijeti nakon:

1. kontrole jednog slučajno odabranog uzorka (jednostruko uzorkovanje);2. kontrole najviše dva slučajna uzorka (dvostruko uzorkovanje);3. kontrole više od dva slučajna uzorka (višestruko uzorkovanje).

Ti planovi (tablice) su nadomjestile u mnogo primjera sve druge pristupe u kontroli prijema ulaznih materijala i dijelova.

Planovi se također široko upotrebljavaju u završnoj kontroli radi provjere kvalitete isporuke prije isporučivanja kupcu.

Ponešto različita i jednako važna potreba za primjenom planova uzorkovanja odnosi se i na kontrolu dijelova i sklopova tijekom procesa proizvodnje.

Planovi uzorkovanja se dijele u dvije temeljne skupine:

1. Planovi prijema za atribute (rezultat kontrole je atribut: dobro – loše, broj grešaka i sl.). Temelje se na binomnoj i Poissonovoj raspodjeli.

2. Planovi uzorkovanja za varijable (rezultat kontrole je mjerni podatak). Temelje se na normalnoj i Studentovoj raspodjeli.

11/30/2009

46

Pai

p, %

AOQi

p, %

0

1

0

0

0

α rizik

β rizik

LQpiAQL

OC

OC u slučaju 100% kontrolePa

AQL pi

AOQL

Fi

TERMINOLOGIJA PLANOVA UZORKOVANJA

OPERATIVNA (RADNA) KRIVULJA PLANA UZORKOVANJA - OC

p % - postotak nesukladnih (loših) jedinica u isporucip – omjer nesukladnih (loših) jedinica u isporuciPa % - vjerojatnost prihvaćanja isporuke (0 – 100 %)Pa – vjerojatnost prihvaćanja isporuke (0 – 1)

11/30/2009

47

AQL – prihvatljiva razina kvalitete (Acceptable Quality Level)

� AQL je najznačajniji i najčešće navođen ugovorni zahtjev na kvalitetu.

� AQL je, s gledišta dobavljača, najveći postotak nesukladnosti škarta) koji se može prihvatiti kao zadovoljavajući prosjek procesa.

� Ukoliko dobavljačev proces proizvodnje daje škart koji je veći od AQL-a tada nije moguće udovoljiti kupčevom zahtjevu na kvalitetu.

� Nedostatak AQL-a je u tome što je njegova vrijednost uvijek veća od nule.

LQ – granična kvaliteta (Limiting Quality)

� LQ je razina kvalitete značajno lošija od prihvatljive (AQL).� LQ se definira na razini vjerojatnosti prihvaćanja isporuke od 5

% ili 10 %.� LQ ima određen značaj samo u slučaju kontrole radi prihvaćanja

pojedinačnih isporuka.

11/30/2009

48

αααα - rizik

α - rizik je rizik dobavljača da će mu dobra isporuka (isporuka koja sadržava postotak škarta koji je jednak AQL) biti odbijena.

α - rizik se računa za postotak škarta koji je jednak AQL-u.

ββββ - rizik

β - rizik je rizik kupca da prihvati isporuku značajno lošije kvalitete od zahtijevane.

β - rizik se računa za postotak škarta koji je jednak QL-u. (U pravilu, QL se određuje temeljem β - rizika koji je na razini od 5 % ili 10 %).

KRIVULJA PROSJEČNE IZLAZNE KVALITETE

AOQ – prosječna izlazna kvaliteta (Average Outgoing Quality)

� AOQ je prosječan postotak škarta na ulaznom skladištu. (Na ulazno skladište odlaze isporuke nakon provedenog uzorkovanja).

� AQL ima smisla razmatrati u slučaju dovoljno velikog broja isporuka.

11/30/2009

49

AOQL – granična vrijednost prosječne izlazne kvalitete (Average Outgoing Quality Limit)

� AOQL je najveći postotak škarta koji može biti na ulaznom skladištu nakon dovoljno velikog broja pristiglih isporuka.

� AOQL je uvijek veći od AQL-a.� Često se u ugovorima zahtjev za kvalitetom iskazuje preko

AOQL-a. Planovi uzorkovanja koji se temelje na AOQL vrijednostima su orijentirani u davanju povjerenja da prosječna prihvaćena kvaliteta "na duge staze" neće biti gora odzahtijevane AOQL vrijednosti.

PRIMJERI OPERATIVNIH KRIVULJA

AQL = 0,5 %LQ = 2,0 %

� Veći uzorak je povoljniji za dobavljača (manji α - rizik).� Kada je Ac = 0 operativna krivulja nema točku infleksije.

0

0,

1

0,

2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

a Pa

p, %

N=1000

n=240

Ac=2

N=1000

n=170

Ac=1

N=1000

n=100

Ac=0

11/30/2009

50

n = 20 Ac = 0

� Zadržavanjem konstantne veličine uzorka n i broja za prihvaćanje Ac, a promjenom veličine isporuke N, praktički nema promjena uvjeta za kupca i dobavljača.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,.6

0,7

0,8

0,9

1

0 2 4 6 8 10 12 14

Pa

p, %

N=1000

n=20

Ac=0 N=200

n=20

Ac=0

N=100

n=20

Ac=0N=50

n=20

Ac=0

Ac = 0N/n = 10

� Promjenom veličine isporuke N, uz zadržavanje odnosa N/n konstantnim, drastično se mijenjaju i kupčeve i dobavljačeve pogodnosti (odgovarajući rizici).

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0.8

0,9

1

0 2 4 6 8 10 12 14

Pa

P, %

N=1000

n=100

Ac=0

N=100

n=10

Ac=0

N=50

n=5

Ac=0

N=200

n=20

Ac=0

11/30/2009

51

OCJENJIVANJE KVALITETE DOBAVLJAČA (INDEKSI KVALITETE)

Rezultate dobivene kontrolom uzoraka uzastopnih isporuka treba bilježiti i analizirati tijekom vremena.Ti podaci, između ostalog, mogu dobro poslužiti u postupcima ocjenjivanja kvalitete dobavljača.Planovi za atribute:� Praćenje postotaka nesukladnih dijelova (ili broja grešaka) od isporuke

do isporuke. Korisno je primijeniti p (loše jedinice) ili u kontrolnu kartu (greške).

� Periodičkom analizom karata mogu se procijeniti indeksi sposobnosti procesa dobavljača ( ili ), ili izračunati tzv. Bendix indeks kvalitete

dobavljača.Planovi za varijable:� Praćenje kretanja aritmetičkih sredina i standardnih odstupanja izmjera

uzoraka. ( – s kontrolna karta).� Periodičkom analizom kontrolne karte može se vrlo pouzdano procijeniti

sposobnost procesa dobavljača.

p u

x

PPA01

PLANOVI PRIJEMA ZA ATRIBUTIVNE

KARAKTERISTIKE

HRN ISO 2859-1

11/30/2009

52

PPA02

NESUKLADNOSTI

NESUKLADNOST:. Odstupanje od značajke kvalitete čija je posljedica da proizvod, proces ili usluga ne odgovara određenim zahtjevima. Nesukladnosti se općenito razvrstavaju u razrede prema stupnju njihove ozbiljnosti.

NESUKLADNOST RAZREDA “A”

NAJVEĆA VAŽNOST ZA PROIZVOD

VEOMA MALA VRIJEDNOST AQL-a

NESUKLADNOST RAZREDA “B”

NIŽI STUPANJ VAŽNOSTI ZA PR.

VEĆA VRIJEDNOST AQL-a

PPA03

NESUKLADNA JEDINICA: jedinica proizvoda ili usluge koja sadrži barem jednu nesukladnost. Nesukladne jedinice općenito se prema stupnju njihove ozbiljnosti razvrstavaju u razrede.

POSTOTAK NESUKLADNIH JEDINICA

=BROJ NESUKLADNIH JEDINICA

UKUPAN BROJ JEDINICAX 100

BROJ NESUKLADNOSTI NA STO JEDINICA =

BROJ NESUKLADNOSTI

UKUPAN BROJ JEDINICA

X 100

11/30/2009

53

PPA04

VELIČINA ISPORUKE N

RAZINA KONTROLE S-1; S-2; S-3; S-4; I, II; III

SLOVNA OZNAKA

UGOVOR

KUPAC

DOBAVLJAČ

AQL

VIŠESTRUKI PLAN PRIJEMA

DVOSTRUKI PLAN PRIJEMA

JEDNOSTRUKI PLAN PRIJEMA

SMANJENA KONTROLA

NORMALNA KONTROLA

POOŠTRENA KONTROLA

PREKID KONTROLE

PLANOM PRIJEMA

PPA05

- 5 isporuka nije prihvaćeno pri strožem pregledu

- 2 od 5 ili manje uzastopnih isporuka nije prihvaćeno

- Prethodnih 10 isporuka prihvaćeno uobičajenim pregledom, - Prethodnih 10 isporuka prihvaćeno s ukupnim brojem nesukladnih jedinica jednakim ili manjim od graničnog broja - Proizvodnja je pod kontrolom, - Odobreno od strane ocjenjivača

SMANJENA KONTROLA

NORMALNA KONTROLA

POOŠTRENA KONTROLA

PREKID KONTROLE

PLANOM PRIJEMA

- Isporuka nije prihvaćena, - Isporuka je prihvaćena, ali broj nesukladnih jedinica leži između broja prihvaćanja i odbijanja - Proizvodnja nije pod kontrolom, - Drugi uvjeti upozoravaju na potrebu prijelaza.

- Dobavljač poboljšao kvalitetu

- 5 uzastopnih isporuka je prihvaćeno

POČETAK

11/30/2009

54

PPA06

JEDNOSTRUKI PLAN PRIJEMA

Tablica II-A; II-B; II-C

VELIČINA UZORKA n BROJ PRIHVAĆANJA Ac BROJ ODBIJANJA Re

Tablica I

SLOVNA OZNAKA A...R

ODBITI ISPORUKU

PRIHVATITI ISPORUKU

BROJ NESUKLADNIH JEDINICA X

X≤Ac X≥Re

Veličina isporuke NRazina kontrole S-1; ..; III

Slovna oznaka A....RPrihvatljivi nivo kvalitete

AQL

ISPITATI UZORAK n

PPA07

DVOSTRUKI PLAN PRIJEMA

Tablica III-A; III-B; III-C VELIČINA PRVOG UZORKA n1 VELIČINA DRUGOG UZORKA n2

BROJ PRIHVAĆANJA Ac1

BROJ ODBIJANJA Re1

BROJ PRIHVAĆANJA Ac2 BROJ ODBIJANJA Re2

Tablica I SLOVNA OZNAKA A...R

ODBITI ISPORUKU

PRIHVATITI ISPORUKU

BROJ NESUKLADNIH JEDINICA XX≤Ac1 X≥Re1

Veličina isporuke NRazina kontrole S-1; ..; III

Slovna oznaka A....RPrihvatljivi nivo kvalitete

AQL

Ac1< X < Re1

ISPITATI UZORAK n1

ISPITATI UZORAK n2

BROJ NESUKLADNIH JEDINICA U OBA UZORKA Y

Y≤Ac2 Y≥Re2

11/30/2009

55

11/30/2009

56

11/30/2009

57

PPA08

PRIBLIŽNE GRANIČNE VRIJEDNOSTI PROSJEČNE IZLAZNE KVALITETE

AOQL

k – iz tablica za jednostruki plan prijema

Tablica V-A : normalnu kontrolu

Tablica V-B : pooštrenu kontrolu

−⋅=

ISPORUKEVELIČINA

UZORKAVELIČINAkAOQL 1

11/30/2009

58

PPA09

OPERATIVNA KRIVULJA PLANA PRIJEMA ZA ATRIBUTIVNE KARAKTERISTIKE

Binomna razdioba: B{n ; p}


xnxqp

x

n)x(P

−⋅

=

Rekurzivna formula:

nq)(P;)x(Px

p

x

1x-nP(x) =−⋅⋅

+= 01

PPA10

Poissonova razdioba: P{m}


.konstpnm;e!x

m)x(P m

x

≈⋅=⋅= −

Rekurzivna formula:

me)(P;)x(Px

mP(x) −=−⋅= 01

Sa binomne na Poissonovu razdiobu prelazi se ako je: n≥20, p≤0,05 ili n≥100, np≤10.

11/30/2009

59

PPM01

PLANOVI PRIJEMA ZA MJERLJIVE

KARAKTERISTIKE

ISO 3951

PPM11

USPOREDBA PLANOVA PRIJEMA ZA MJERLJIVE I ATRIBUTIVNE KARAKTERISTIKE

Uzorci su manji nego kod atributivnog ocjenjivanja za isto kodno slovo.

Nema dvostrukog i višestrukog uzorkovanja.

Nema koncepcije AOQ.

Mjerenje je zahtjevnije, a time i troškovi uzorkovanja veći.

Dobivaju se pouzdanije informacije o ispitivanoj karakteristici.

Postupak je ponekad teško razumljiv (isporuka se može odbaciti iako su sve mjere unutar dopuštenih odstupanja.

Poželjno je paralelno koristiti kontrolne karte za mjerljive karakteristike.

Uzorkovanje je složeno ukoliko treba mjeriti više značajki proizvoda (za svaku mjernu značajku treba primijeniti poseban plan prijema).

11/30/2009

60

PPM02

PRIMJENA PLANOVA PRIJEMA ZA MJERLJIVE KARAKTERISTIKE

Kontinuirana proizvodnja u serijama u komadnoj proizvodnji.

Primjenjuju se na jednu mjerljivu karakteristiku x. Ako postoji više mjerljivih karakteristika svaka se tretira zasebno.

Koristi se kada je proizvodnja stabilna, a mjerljiva karakteristika x distribuirana je po normalnoj razdiobi.

Kada ugovor ili norma definira gornju granicu dopuštenih odstupanja U ili donju L ili obje granice dopuštenih odstupanja ( odvojeno ili povezano).

M1

y

x

L

AQLL

y

x

U

AQLU

ZADANA SAMO GORNJA GRANICA DOPUŠTENOG ODSTUPANJA

ZADANA SAMO DONJA GRANICA DOPUŠTENOG ODSTUPANJA

Poznato: AQLU

Škart: X>U

Poznato: AQLL

Škart: X<L

PPM03

11/30/2009

61

PPM04

AQLUAQLL

y

x

UL

y

x

UL

AQL

ZADANE ODVOJENO GORNJA I DONJA GRANICA DOPUŠTENOG ODSTUPANJA

ZADANE POVEZANO GORNJA I DONJA GRANICA DOPUŠTENOG ODSTUPANJA

Poznato: AQLU i AQLL

Škart: X>U ili X<L

Poznato: AQL

Škart: X>U ili X<L

PPM05

PRIMJENA PLANOVA PRIJEMA ZA MJERLJIVE KARAKTERISTIKE - METODE

“s” metoda

“σ” metoda

“R” metoda

Napomena: Prijem treba početi primjenom “s” ili “R” metode

Prihvaćanje (odbijanje) donosi sa na temelju “s” i “ X

Prihvaćanje (odbijanje) donosi sa na temelju prosječnog raspona “ R ” i “ ” X

Prihvaćanje (odbijanje) donosi sa na temelju konstantnog “σ” i “ “ X

11/30/2009

62

PPM06

VELIČINA ISPORUKE N

RAZINA KONTROLE S-3; S-4; I, II; III

SLOVNA OZNAKA B...P

UGOVOR

KUPAC

DOBAVLJAČ

AQL

R metoda

σ

metodas

metoda

SMANJENA KONTROLA

NORMALNA KONTROLA

POOŠTRENA KONTROLA

PREKID KONTROLE

PLANOM PRIJEMA

PPM07

- 5 isporuka nije prihvaćeno pri strožem pregledu

- 2 od 5 ili manje uzastopnih isporuka nije prihvaćeno

- Prethodnih 10 isporuka prihvaćeno uobičajenim pregledom, - Proizvodnja je pod kontrolom, - Odobreno od strane ocjenjivača

SMANJENA KONTROLA

NORMALNA KONTROLA

POOŠTRENA KONTROLA

PREKID KONTROLE

- Isporuka nije prihvaćena, - Proizvodnja nije pod kontrolom, - Drugi uvjeti upozoravaju na potrebu prijelaza.

- Dobavljač poboljšao kvalitetu

- 5 uzastopnih isporuka je prihvaćeno

POČETAK

11/30/2009

63

PPM08

“s” METODA - POSTUPAK

UGOVOR KUPAC -DOBAVLJAČ

NA TEMELJU REZULTATA MJERENJA UZORKA

IZ TABLICA

-veličina isporuke N -razina kontrole S-3....III (uobičajeno II) - AQL (vrijednost iz tablice)

-slovna oznaka B....P (Tablica I-A) -veličina uzorka n (Tablica I-B) -konstanta prihvaćanja k (Tablica II-A; II-B II-C)

- ; s -gornja statistička kvaliteta QU (zadana gornja granica U)

-donja statistička kvaliteta QL (zadana donja granica L)

X

s

xUQ U

−=

s

LxQ L

−=

11/30/2009

64

11/30/2009

65

11/30/2009

66

PPM09

ZADANA GORNJA GRANICA DOPUŠTENOG ODSTUPANJA

ZADANA DONJA GRANICA DOPUŠTENOG ODSTUPANJA

PRIJEM Qu≥k

ODBIJANJE QU<k

PRIJEM QL ≥k

ODBIJANJE QL <k

U

s

PRIHVAĆANJE

ODBIJANJEx

ODBIJANJE

PRIHVAĆANJE

s

L

x

skUx ⋅−=

skLx ⋅+=

PPM10

ZADANA GORNJA I DONJA GRANICA DOPUŠTENOG ODSTUPANJA (nepovezane)

PRIJEM Qu≥k i QL ≥k

ODBIJANJE QU<k ili QL <k

SAMO GRAFIČKO RJEŠENJE

ZADANA GORNJA I DONJA GRANICA DOPUŠTENOG ODSTUPANJA (povezane)

PRIHVAĆANJE

L

UODBIJANJE

s

x

PRIHVAĆANJE

ODBIJANJE

U

L

s

x

skUx ⋅−=

skUx ⋅−=

skLx ⋅+=

skLx ⋅+=

MSDMaksimalno standardno odstupanje uzorka MSD

MSD=f·(U – L) “f “iz tablice IV

11/30/2009

67

KONTROLNE KARTE

Većina kontrolnih karata koje se danas primjenjuju u aktivnostima kontrole kvalitete nastala je u drugoj polovici dvadesetih godina prošlog stoljeća u laboratorijima Bell Telephone Company. Autor tih karata bio je dr. Walter A. Shewhart, koji je svoja istraživanja i saznanja vezana uz mogućnost primjene kontrolnih karata objavio 1931. god. u svojoj knjizi ''Economic Control of Quality of Manufactured Product''.

Dr. Walter A. Shewhart

VRSTE KONTROLNIH KARATA

Kontrolne karte dijele se u dvije temeljne skupine:

1. kontrolne karte za mjerljive karakteristike: -R karta, -Rkarta, - s karta, x – MR karta, CuSum karta, EWMA karta. Matematska podloga ovih karata je normalna raspodjela.

2. kontrolne karte za atributivne karakteristike: p karta, np

karta, c karta, u karta. Matematska podloga ovih karata je binomna i Poissonova raspodjela.

11/30/2009

68

TEHNIKA KONTROLNIH KARATA

Tehnika kontrolnih karata sastoji se od uzimanja većeg broja malih uzoraka iz procesa. Uzorci se uzimaju, ako je to primjenljivo, u slučajnim obilascima.

Važno je naznačiti da se kontrolom kartom prate varijacije procesa u vremenu. To znači da uzorci uvijek moraju biti zadnjeproizvedene jedinice.

Kontrolna karta i histogramKontrolna karta i histogram�� Prije primjene statističkog postupka mjerne podatke Prije primjene statističkog postupka mjerne podatke

treba “vidjeti” korištenjem odgovarajućih grafičkih treba “vidjeti” korištenjem odgovarajućih grafičkih prikaza. Tada se donosi odluka o svrsishodnosti prikaza. Tada se donosi odluka o svrsishodnosti primjene statističkih proračuna. Statistika treba potvrditi i primjene statističkih proračuna. Statistika treba potvrditi i kvantificirati očekivanje. kvantificirati očekivanje.

�� Statistika je “igra velikih brojki”. Stvaranje zaključaka Statistika je “igra velikih brojki”. Stvaranje zaključaka temeljem malog broja podataka je uglavnom “opasna” temeljem malog broja podataka je uglavnom “opasna” filozofija.filozofija.

�� Kontrolnom kartom dobiva se uvid u varijabilnost Kontrolnom kartom dobiva se uvid u varijabilnost podataka u vremenu, a podataka u vremenu, a histogramomhistogramom “normalnost” “normalnost” podataka. Nužno je primijeniti oba prikaza.podataka. Nužno je primijeniti oba prikaza.Ako varijabilnost podataka nije slučajna treba tražiti Ako varijabilnost podataka nije slučajna treba tražiti

uzroke!uzroke!

11/30/2009

69

n=30n=30

Histogram of Var1

Spreadsheet1 10v*30c

Var1 = 30*0,5*normal(x; 10,0018; 0,9708)

7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5 14,0 14,5

Var1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

No

of o

bs

Histogram of Var2


Var2 = 30*0,5*normal(x; 9,7151; 0,8976)

7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0

Var2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

No

of o

bs

Histogram of Var3


Var3 = 30*0,5*normal(x; 10,0653; 0,9548)

7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5

Var3

0

1

2

3

4

5

6

7

8

No

of o

bs

Histogram of Var4


Var4 = 30*0,5*normal(x; 9,8886; 0,9036)

8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0

Var4

0

1

2

3

4

5

6

7

8

No

of o

bs

Histogram of Var5


Var5 = 30*0,5*normal(x; 9,9136; 0,9172)

7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0

Var5

0

1

2

3

4

5

6

7

No

of o

bs

Histogram of Var6


Var6 = 30*0,5*normal(x; 9,8224; 1,1278)

7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5

Var6

0

1

2

3

4

5

6

7

No

of o

bs

Histogram of Var7


Var7 = 30*0,5*normal(x; 10,2778; 0,8275)

8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0

Var7

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

No

of o

bs

Histogram of Var8


Var8 = 30*0,5*normal(x; 10,0478; 1,0725)

7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5

Var8

0

1

2

3

4

5

6

7

No

of o

bs

Histogram of Var9


Var9 = 30*0,5*normal(x; 10,1977; 0,9123)

8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5 14,0

Var9

0

2

4

6

8

10

12

No

of o

bs

n=50n=50

Histogram of Var2


Var2 = 50*0,5*normal(x; 9,8417; 0,9408)

7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5

Var2

0

2

4

6

8

10

12

No

of o

bs

Histogram of Var3


Var3 = 50*0,5*normal(x; 10,2689; 1,0847)

6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5 14,0

Var3

0

2

4

6

8

10

12

14

No

of o

bs

Histogram of Var4


Var4 = 50*0,5*normal(x; 10,0264; 1,0068)

6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0

Var4

0

2

4

6

8

10

12

14

No

of o

bs

Histogram of Var6


Var6 = 50*0,5*normal(x; 10,2035; 1,1047)

7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5 14,0

Var6

0

2

4

6

8

10

12

No

of o

bs

Histogram of Var8


Var8 = 50*0,5*normal(x; 10,3862; 1,1051)

7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5

Var8

0

2

4

6

8

10

12

No

of o

bs

Histogram of Var9


Var9 = 50*0,5*normal(x; 10,0348; 1,0904)

6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5

Var9

0

2

4

6

8

10

12

No

of o

bs

Histogram of Var1


Var1 = 50*0,5*normal(x; 9,6386; 0,857)

6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5

Var1

0

2

4

6

8

10

12

No

of o

bs

Histogram of Var5


Var5 = 50*0,5*normal(x; 10,178; 0,9868)

7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5 14,0

Var5

0

2

4

6

8

10

12

No

of

ob

s

Histogram of Var7


Var7 = 50*0,5*normal(x; 9,9101; 1,0533)

6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0

Var7

0

2

4

6

8

10

12

No

of o

bs

11/30/2009

70

n=100n=100

Histogram of Var1


Var1 = 100*0,5*normal(x; 9,9809; 0,9792)

7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5

Var1

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

No

of o

bs

Histogram of Var2


Var2 = 100*0,5*normal(x; 10,0818; 0,9284)

7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0

Var2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

No

of o

bs

Histogram of Var3


Var3 = 100*0,5*normal(x; 9,9357; 0,9759)

7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0

Var3

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

No

of

ob

s

Histogram of Var4


Var4 = 100*0,5*normal(x; 9,9327; 0,9531)

7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0

Var4

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

No

of o

bs

Histogram of Var5


Var5 = 100*1*normal(x; 9,9449; 1,1067)

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Var5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

No

of o

bs

Histogram of Var6


Var6 = 100*0,5*normal(x; 10,0221; 0,9771)

7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0

Var6

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

No

of o

bs

Histogram of Var7


Var7 = 100*0,5*normal(x; 9,9571; 1,0051)

7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0

Var7

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

No

of o

bs

Histogram of Var8


Var8 = 100*0,5*normal(x; 10,0692; 1,0573)

7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5 14,0

Var8

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

No

of o

bs

Histogram of Var9


Var9 = 100*1*normal(x; 9,9764; 1,095)

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Var9

0

5

10

15

20

25

30

35

40

No

of o

bs

n=300n=300

Histogram of Var1


Var1 = 300*0,5*normal(x; 10,0745; 0,9862)

6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5

Var1

0

10

20

30

40

50

60

70

No

of

ob

s

Histogram of Var2


Var2 = 300*0,5*normal(x; 10,0048; 0,9926)

6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5

Var2

0

10

20

30

40

50

60

No

of o

bs

Histogram of Var3


Var3 = 300*0,5*normal(x; 10,0368; 1,0028)

7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5

Var3

0

10

20

30

40

50

60

70

No

of o

bs

Histogram of Var4


Var4 = 300*0,5*normal(x; 9,9256; 1,0194)

6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5 14,0

Var4

0

10

20

30

40

50

60

70

No

of o

bs

Histogram of Var5


Var5 = 300*0,5*normal(x; 9,9518; 1,0106)

6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5 14,0

Var5

0

10

20

30

40

50

60

70

No

of o

bs

Histogram of Var6


Var6 = 300*1*normal(x; 10,0831; 0,9649)

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Var6

0

20

40

60

80

100

120

No

of o

bs

Histogram of Var7


Var7 = 300*0,5*normal(x; 9,9846; 1,0039)

6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5 14,0

Var7

0

10

20

30

40

50

60

70

No

of o

bs

Histogram of Var8


Var8 = 300*0,5*normal(x; 10,0182; 0,9832)

6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5

Var8

0

10

20

30

40

50

60

70

No

of o

bs

Histogram of Var10


Var10 = 300*0,5*normal(x; 10,0348; 0,9146)

6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0

Var10

0

10

20

30

40

50

60

70

No

of o

bs

11/30/2009

71

Izobrazba za zeleni pojas

“Opasnost” od pogrešnog zaključka“Opasnost” od pogrešnog zaključka

Za iste podatke karta pokazuje rastući trend, dok histogram pokazuje “normalnost” podataka.

X and Moving R Chart; variable: Var1

Histogram of O bservati ons

0 1 2 3 4 5-202468

101214161820

X: 9 ,26 67 (9,2 667 ); S i gm a: 1 ,06 96 (1,0 696 ); n : 1,

5 1 0 1 5 2 0 2 5 30

6,0579

9,2667

12,475

Histo g ra m o f M oving Ranges

02

46

810

1214

1618

-0,50,00,51,01,52,02,53,03,54,04,5

M ov ing R: 1, 206 9 (1 ,20 69); S ig ma : ,91 18 2 (,9 11 82); n: 1,

5 1 0 1 5 2 0 2 5 30

0,0000

1,2069

3,9424

Expected Normal, Sigma = 4,5

-5 0 5 10 15 20

X <= Category Boundary

0

2

4

6

8

10

12

14

16

No.

of o

bs.

Sigma = 1 Sigma = 4,5


Pomak procesaPomak procesa

Vjerojatni uzroci:

� Dva izvora (stroja, smjene, …).

� Loše podešavanje stroja.

� Razdešenost mjernog instrumenta.

X and Mov ing R Chart; variable: Var2Hist ogr am of O bser vat ions

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

X: 4, 6500 ( 4, 6500); Sigma: , 79671 ( , 79671) ; n: 1,

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

2, 2599

4, 6500

7, 0401

Hist ogram of Moving Ranges

0 10 20 30 40 50 60 70 80-0, 5

0, 0

0, 5

1, 0

1, 5

2, 0

2, 5

3, 0

3, 5

Moving R: , 89899 ( , 89899); Sigma: , 67920 ( , 67920) ; n: 1,

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0, 0000

, 89899

2, 9366

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-3,*S(T) LSL Nominal USL +3,*S(T)

0

5

10

15

20

11/30/2009

72


Nedovoljna osjetljivost mjernog Nedovoljna osjetljivost mjernog instrumentainstrumenta

Beskorisna mjerenja! Potrebno je primijeniti mjerni instrument bolje rezolucije očitanja.

Histogram of Observations

0 10 20 30 40 50 60 70 80479,6

479,7

479,8

479,9

480,0

480,1

480,2

X: 479,95 (479,95); Sigma: ,05354 (,05354); n: 1,

10 20 30 40 50 60 70 80 90

479,79

479,95

480,11

Histogram of Moving Ranges

0 10 20 30 40 50 60 70 80-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

Moving R: ,06042 (,06042); Sigma: ,04565 (,04565); n: 1,

10 20 30 40 50 60 70 80 90

0,0000

,06042

,19735

Histogram of KOLI?INA BENZENA, % v/vSuper 36v*96c

KOLI?INA BENZENA, % v/v = 86*0,05*normal(x; 0,7953; 0,0893)

0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00

KOLI?INA BENZENA, % v/v

0

5

10

15

20

25

30

35

40

No

of o

bs


Promjena razine kvalitetePromjena razine kvalitete

Vjerojatni uzroci:

� Istrošenost alata, neadekvatno stezanje, … .� Mjerni instrument (elektronske komponente i sl.).

His togram of Obs erv ations

050

100150

200250

300350

400450

500550

-10

0

10

20

30

40

50

60

X: 9,8827 (9 ,8827); Sigma: 4 ,3106 (4,3106); n: 1 ,

100 200 300 400 500 600 700

-3,0491

9,8827

22,815

His togram of M ov ing Ranges

050

100150

200250

300350

400450

500550

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

M oving R: 4,8640 (4,8640); Sigma: 3,6748 (3,6748); n: 1 ,

100 200 300 400 500 600 700

0,0000

4,8640

15,888

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40

-3,*S(T)LSL

NominalUSL

+3,*S(T)

0

50

100

150

200

250

300

350

11/30/2009

73


Pomaci procesaPomaci procesa

Mogući uzroci:� Loša podešavanja sustava (stroja).� Nedovoljno učestalo preventivno održavanje

elemenata sustava.

Specifications: LSL=3,00000 Nominal=3,25000 USL=3,50000

Normal: Cp=,6403 Cpk=,3953 Cpl=,8853 Cpu=,3953

2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6

-3,s LSL NOMINAL USL +3,s

0

10

20

30

40

50

60

70

Fre

qu

en

cy

Hist ogram of O bservat ions

0 10 20 30 40 50 60 702, 6

2, 8

3, 0

3, 2

3, 4

3, 6

3, 8

4, 0

4, 2

4, 4

X: 3, 3457 (3, 3457) ; Sigma: , 13015 ( , 13015) ; n: 1,

50 100 150 200

2, 9552

3, 3457

3, 7361

Hist ogram of M oving Ranges

0 20 40 60 80 100 120 140-0, 2

0, 0

0, 2

0, 4

0, 6

0, 8

1, 0

1, 2

1, 4

Moving R: , 14686 ( , 14686) ; Sigm a: , 11095 ( , 11095) ; n: 1,

50 100 150 200

0, 0000

, 14686

, 47972


Raspodjela je “odsječena” na granici Raspodjela je “odsječena” na granici zahtjevazahtjeva

Mogući uzroci:� Namjerno prikrivanje nesukladnosti. “Opasna” pojava.

X and Moving R Chart; variable: B-54Hist ogram of O bservat ions

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-50

0

50

100

150

200

250

300

X: 118, 76 ( 118, 76) ; Sigm a: 37, 584 ( 37, 584) ; n: 1,

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6, 0033

118, 76

231, 51

Hist ogram of Moving Ranges

0 2 4 6 8 10 12 14 16-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Moving R: 42, 409 ( 42, 409) ; Sigma: 32, 041 ( 32, 041); n: 1,

5 10 15 20 25 30 35 40 45

0, 0000

42, 409

138, 53

-40 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280

-3,*S(T) Nominal USL +3,*S(T)

0

2

4

6

8

10

12

11/30/2009

74

STATISTIČKA POVEZANOST UZORAKA S OSNOVNIM SKUPOM (PROCESOM)

Povezanost uzoraka (pripadnih statističkih parametara) i osnovnog skupa (procesa) iz kojeg se uzorci uzimaju statistički je određena na slijedeći način:

kR...RRR

R k321++++

=

X0-sredina osnovnog skupa (procesa)

- aritmetička sredina i-tog uzorkak – broj uzorkan – veličina uzorka

Veza :x0 σiσ

nσ

=σ0

x

Veza raspona :0σiR

02σd=R

)n(f=d2

Veza :0σiσ

kσ+...+σ+σ

=σ k21

02σc=σ

)n(f=c2

Veza :0σ σiσ

02σ σa=σ

)n(f=a2

iX

kx...xxx

xx n3210

+++=≈

UCL (GKG)

xCL (SL)

xi

x

x0

3σ03σ0

3σX3σX

xi

uzorci

LCL (DKG)

11/30/2009

75

ZNAČAJKE KONTROLNIH KARATA

Na svakoj kontrolnoj karti treba odrediti kontrolne granice i središnju liniju.

Kontrolne granice su:

� donja kontrolna granica DKG (lower control limit LCL)� gornja kontrolna granica GKG (upper control limit UCL)

Kontrolne granice su statističke granice i nisu povezane s granicama specifikacije (zahtjeva).

Kontrolne granice se postavljaju (računaju) na granice rasipanja (± 3σ ) statističkog parametra (, R, s, p i drugo) koji se prati kontrolnom kartom (računa iz uzoraka). Pored kontrolnih granica mogu se koristiti i tzv. granice upozorenja (postavljaju se na ± 2σili ± 1σ).

Podatak izvan kontrolne granice (iznad GKG ili ispod DKG)pokazuje da se u procesu, statistički promatrano, dogodio ne slučajan već značajan uzrok varijacije (odstupanja).

Najefikasniji postupak poboljšavanja kvalitete praćenog procesa je promptno otkrivanje uzroka značajnih varijacija i provođenje odgovarajućih popravnih radnji.

11/30/2009

76


Značajna varijacijaZnačajna varijacija

Ako se značajna varijacija pojavila jednom, pojavit će se opet.Istražiti uzroke i dovesti proces u stanje kontrole.

37332925211713951

57

54

51

48

45

Sample

Sample Mean

__X=50,59

UC L=56,01

LC L=45,17

37332925211713951

20

15

10

5

0

Sample

Sample Range

_R=9,40

UC L=19,87

LC L=0

1

Xbar-R Chart

37332925211713951

57

54

51

48

45

Sample

Sample Mean

__X=50,45

UC L=57,27

LC L=43,63

37332925211713951

60

45

30

15

0

Sample

Sample Range

_R=11,83

UC L=25,01

LC L=0

1

Xbar-R Chart

Kada nema podataka izvan kontrolnih granica onda se koristi termin «PROCES JE POD KONTROLOM».

Termin «POD KONTROLOM» je statistički termin kojim se pokazuje da proces varira samo pod utjecajem slučajnih, procesu svojstvenih, utjecaja.

Za proces koji je «pod kontrolom» često se koristi i termin «STABILAN PROCES».

Kada su podaci izvan kontrolnih granica to nipošto ne znači da proces daje nesukladne jedinice (proizvode).

11/30/2009

77

Kontrolne karte se mogu i trebaju primjenjivati kako za procese koji nužno daju nesukladne proizvode (Cp < 1), tako i za sposobne procese (Cp > 1).

U slučaju određivanja (računanja) kontrolnih granica za proces za koji nemamo prethodnih saznanja (nepoznate varijacije procesa) potrebno je provesti korekciju granica u slučaju pojave podataka izvan kontrolnih granica.

Korekcija (ponovno računanje granica) provodi se nakon eliminacije uzoraka (odgovarajućih statističkih parametara koji se prate) koji su izvan kontrolnih granica.

Za poznate procese (poznato rasipanje) kontrolne granice se postavljaju prije uzimanja uzoraka. To je i najprirodniji način korištenja kontrolnih karata jer se eventualna pojava značajnih odstupanja promptno može istražiti. Kontrolne karte treba «odmaknuti» od računala i približiti radnom mjestu (stroju).

Središnja linija procesa SL (Central line CL) predstavlja liniju aritmetičke sredine statističkog parametra koji se prati kontrolnom kartom.

11/30/2009

78

OSJETLJIVOST KONTROLNE KARTE

DDDD

xi

xi

xi

DDDD

xi

CILJEVI

Ciljevi primjene kontrolnih karata su slijedeći:

� Dovođenje procesa u stanje statističke kontrole, odnosno u stanje «POD KONTROLOM»;

� Utvrđivanje trendova i pomaka procesa u cilju zaštite od neželjenih rezultata (pojave dijelova lošije kvalitete, nesukladnih dijelova i sl.).

R

20

30

40

10

20

30

x

UCL

UCL

LCL

LCL

11/30/2009

79

� Utvrđivanje potreba za remontom ili nabavom nove opreme elemenata procesa i sl.

� Dobivanje svih saznanja o mogućnostima poboljšavanja procesa i mogućnostima postizanja zahtijevane kvalitete proizvoda (procjenjivanje sposobnosti procesa). Temeljno pravilo mora biti: kontrolne karakteristike biraju se radi pružanja maksimalne količine informacija u procesu uz minimalne troškove. U navedenom kontekstu treba se riješiti i slijedeće zablude: proizvodnja se odvija u vrlo malim

serijama, pa se ne može primijeniti kontrolna karta.

TRAJNO POBOLJŠAVANJE PROCESA

Niti jedno poboljšanje procesa ne odvija se preko noći. Poboljšanja se sastoje od «sitnih koračića» u dugom vremenskom razdoblju. Važno je znati kojim redom koračati (izbor prioriteta).

Dinamiku korištenja kontrolnih karata treba prilagoditi učincima, mogućnostima poboljšavanja, preventivi i sl. Važno je znati što se hoće a ne samo stvarati lijepa kolor izvješća radi formalnog opravdanja svoje aktivnosti.

S vremenom će i to sigurno prijeći u dosadu.

11/30/2009

80

Kontrolne karte za mjerljive karakteristike

Rx − karta

� Daje uvid u kretanje procesa na osnovu statističke teorije i vjerojatnosti, a njom se registriraju dva važna pokazatelja procesa:

-kretanje aritmetičkih sredina uzoraka i

-kretanje raspona uzoraka Ri

ix

� Prvi podatak daje uvid u centriranost procesa, dok drugi, Ri govori o njegovom rasipanju

ix

� Primjena joj dolazi kod izražaja kod serijske i velikoserijske komadne proizvodnje gdje se kontrola svodi na mjerenje malih uzoraka (n=2 do 10 komada), te su troškovi kontrole znatno smanjeni.

�

� Kontrolne granice za ovu kartu moguće je postaviti na dva načina:

1. Praćenjem nepoznatog procesa u cilju ustanovljavanja njegovih prirodnih mogućnosti u pogledu centriranosti i rasipanja

2. Na temelju poznatih prošlih podataka o procesu

Kontrolne granice na temelju praćenja nepoznatog procesa

a) Kontrolne granice za kretanje aritmetičkih sredina uzoraka

nxxKG

xx

GD

033σ

σ ±=±=

Budući da je:

,2

0 d

R=σ ,

k

RR i∑

=

11/30/2009

81

nd

RxKG

x

GD

2

3±=

Označi li se s koeficijentom A2, koji je isključivo funkcija

veličine uzorka n, dobiva se konačno:

nd

R

2

3

RAxKGx

GD 2±=

gdje je k broj obilazaka kontrolora, odnosno broj uzetih uzoraka, dobiva se:

b) Kontrolne granice za kretanje raspona uzoraka

Iz pojedinačnih raspona Ri dobiva se prosječni raspon:

,k

RR i∑

=

Kontrolne granice se u ovim slučajevima postavljaju na udaljenost od tri standardne devijacije pa slijedi:

Rd

b

d

RbRbRRKG RR

GD )

31(333

2

2

2

202 ±=±=±=±= σσ

Označi li se s D4, a s D3 dobivaju se kontrolne granice: 2

231

d

b+

2

231

d

b−

,4 RDGKGR = RDDKGR 3=

11/30/2009

82

� Zaključno se može navesti slijedeće:

• kontrolne se granice postavljaju na određene mjerljive karakteristike

• svi se podaci dobivaju neposredno mjerenjem na uzorcima uzimanim iz procesa

• svi su koeficijenti (A2, D3, D4, d2) funkcije veličine uzorka (uzorci moraju biti iste veličine)

• Pomoću i d2 moguće je odrediti prirodno rasipanje procesa.

),,,,,( nkRxxx ii

R

n A2 D3 D4 d2

2 1,880 0 3,267 1,128 3 1,023 0 2,575 1,693 4 0,729 0 2,282 2,059 5 0,577 0 2,115 2,326 6 0,483 0 2,004 2,534 7 0,419 0,076 1,924 2,704 8 0,373 0,136 1,864 2,847 9 0,337 0,184 1,816 2,970

10 0,308 0,223 1,777 3,078

Tablica 1. Koeficijenti kontrolnih granica za kartu Rx −

σ3±

Izvođenje korekcije

� Ukoliko je vrijednost ili bilo kojeg uzorka izvan proračunatih kontrolnih granica, mora se izvesti korekcija.

� Korekcija se vrši tako da se taj kompletni uzorak čija je vrijednost ili izašla izvan kontrolnih granica, zanemari, tj. vrši se proračun novih kontrolnih granica bez rezultata tog uzorka.

� Na taj način se odstranjuju značajni uzroci varijacija.

� Korekcija se vrši sve dok rezultati preostalih uzoraka ne budu unutar kontrolnih granica.

Rx

Rx

11/30/2009

83

X-bar Chart for Col_1

0 4 8 12 16 20

Subgroup

19

21

23

25

27

29

X-b

ar

CTR = 22,94

UCL = 26,60

LCL = 19,28

Range Chart for Col_1

0 4 8 12 16 20

Subgroup

0

3

6

9

12

15

Ran

ge

CTR = 6,35

UCL = 13,43

LCL = 0,00

Slika 1. Primjer karteRx −

X-bar Chart for Col_1

Subgroup

X-b

ar

CTR = 22,67

UCL = 26,35

LCL = 19,00

0 4 8 12 16 2019

21

23

25

27

29

Range Chart for Col_1

Subgroup

Ran

ge

CTR = 6,37

UCL = 13,47

LCL = 0,00

0 4 8 12 16 200

3

6

9

12

15

sx − karta

� Isto kao i tako i karta prati dvije karakteristike procesa:

-njegovu centriranost preko kretanja aritmetičkih sredina uzoraka

-njegovo rasipanje preko kretanja standardnih odstupanja

� Budući da se računaju standardna odstupanja uzoraka, uzorci trebaju biti

veći nego kod karte. Tako se preporuča da veličina uzorka bude

veća od 25.

Rx −

Rx − sx −

sx −

� Stoga se ove karte primjenjuju u procesima koji su zaokruženog tipa i

odvijaju se u zatvorenim ciklusima određene dužine trajanja kada se

proces ne može pratiti dok je ciklus u toku, nego se na kraju ciklusa

mogu uzeti veći uzorci i koristeći karte donositi zaključke o

procesu.

11/30/2009

84

Kontrolne granice na temelju praćenja nepoznatog procesa

a) Kontrolne granice za kretanje aritmetičkih sredina uzoraka

nxxKG

xx

GD

033σ

σ ±=±=

Budući da je:02σcs = dobiva se:

nc

sxxKG

xx

GD

2

33 ±=±= σ

Pri čemu je aritmetička sredina standardnih odstupanja svih uzoraka, tj.:s

k

ss i∑

=

Označi li se s koeficijentom A1, koji je isključivo funkcija

veličine uzorka n, dobiva se konačno:

nc2

3

sAxKGx

GD 1±=

11/30/2009

85

b) Kontrolne granice za kretanje standardnih odstupanja uzoraka

0233 σσσ assKGsGD ±=±=

Budući da je:

02σcs = dobiva se:

)3

1(2

2

c

asKGs

GD ±=

Označi li se s B4, a s B3 dobivaju se kontrolne granice: 2

231

c

a+

2

231

c

a−

,4 sBGKGs = sBDKGs 3=

n A1 B3 B4 c2

10 1,028

0,284 1,716 0,9227 15 0,816 0,428 1,572 0,9400 20 0,697 0,510 1,490 0,9619 25 0,619 0,565 1,435 0,9696 30 0,562 0,603 1,397 0,9748 35 0,518 0,633 1,367 0,9784 40 0,483 0,658 1,342 0,9811 45 0,455 0,678 1,322 0,9832 50 0,431 0,695 1,305 0,9849 60 0,392 0,723 1,277 0,9874 70 0,363 0,744 1,256 0,9892

Tablica 2. Koeficijenti kontrolnih granica za kartu sx −

11/30/2009

86

X - MR (x - mooving range) karta

� Upotrebljava se u situacijama kada se zbog tehnološke prirode procesa ne može uzeti više od jedne jedinice (komada) što nije tzv. statistički uzorak.

� U x kartu se unose rezultati individualnih mjerenja.

a) Kontrolne granice za kretanje individualni vrijednosti mjerenja

MRxKGxGD 66,2±=

gdje su:

,1

k

xx

k

ii∑

== .1

1

1

−=∑

−

=

k

MRMR

k

i

b) Kontrolne granice za kretanje MR vrijednosti

MRGKGMR 27,3=

,121 xxMR −= ,...232 xxMR −=

0=MRDKG

11/30/2009

87

X Chart for Col_2

0 4 8 12 16 20

Observation

15

18

21

24

27

30

X

CTR = 22,20

UCL = 29,20

LCL = 15,20

MR Chart for Col_2

0 4 8 12 16 20

Observation

0

2

4

6

8

10

MR

(2)

CTR = 2,63

UCL = 8,60

LCL = 0,00

Slika 2. Primjer karteMRx −

POMOĆ A B POMOĆ B A PODESITI A, B A, B IZRADA A, B IZRADA A B IZRADA B A IZRADA A B IZRADA B A

Predkontrola (Pre-control)

11/30/2009

88

� Prije uzimanja parova mora 5 uzastopnih dijelova ’’pasti’’ u zeleno područje.

� Ako je A ili B u crvenom području treba izvršiti podešavanje.

� Postupak se može primijeniti samo za stabilne (poznate) procese.

KKA01

KONTROLNE KARTE ZA ATRIBUTIVNE

KARAKTERISTIKE

11/30/2009

89

KKA02

p - karta

Prikazuje grafičko kretanje proporcije loših komada u uzorcima. Veličine uzoraka pri tome mogu biti različite. Matematička osnova je binomna razdioba. Radi nesimetrije karta vrlo dobro odgovara tek ako je broj loših komada u uzorku barem 4 ( ). 4≥⋅pn

Srednja vrijednost omjera loših komada :p

uzorcimasvimukomadabrojukupan

uzorcimasvimukomadalošihbrojukupanp =

∑

∑

=

==++

+++=

k

i

i

k

i

ii

k

kk

n

pn

n.....nn

pn.......pnpnp

1

1

21

2211

k- broj uzimanja uzoraka

KKA02

p - karta

Omjer loših komada u uzorku:

( )k....in

x

uzorku"i"ukomadabroj

uzorku"i"ukomadalošihbrojp

i

ii 1===

k

p

k

p.......ppp

k

i

i

k

∑==

+++= 121


Srednja vrijednost omjera loših komada :p

11/30/2009

90

KKA03

p - karta

Kontrolne granice:

( )n

pppKGG

D

−±=

13

( )n

ppp

−=σ

1

n

ppKGG

D 3±= Ako je 100,p ⟨

KKA03

11/30/2009

91

KKA04

np - karta

Direktno prikazuje broj pronađenih škart jedinica. Ova je karta primjenjiva kada je veličina uzoraka konstantna.

Prosječan broj loših komada po uzorku :pn

uzorakauzimanihbroj

uzorcimasvimukomadalošihbrojukupanpn =

k

pn

k

pn.......pnpnpn

k

i

ii

kk

∑==

+++= 12211


11/30/2009

92

KKA05

np - karta

Kontrolne granice:

( )ppnpnKGG

D −±= 13 ( )ppnnp −=σ 1

pnpnKGG

D 3±= Ako je 100,p ⟨

KKA06

u - karta

Prikazuje prosječan broj grešaka (ne loših komada) pronađenih u jednoj isporuci i to na jedinicu proizvoda. Veličine uzoraka pri tome mogu biti različite.

uzorcimasvimukomadabrojukupan

komadimasvimnagrešakabrojukupanu =

∑

∑

=

==+++

+++=

k

i

i

k

i

ii

k

kk

n

un

n....nn

un.......ununu

1

1

21

2211

Prosječan broj grešaka na jedinicu proizvoda :u

11/30/2009

93

KKA06

u - karta

( ))k....in

g

uzorku"i"ukomadabroj

uzorku"i"ugrešakabroju

i

ii 1===

k

u

k

u.......uuu

k

i

i

k

∑==

+++= 121

Prosječan broj grešaka na jedinicu proizvoda za “k” uzoraka :u

Prosječan broj grešaka u “i” uzorku na jedinicu proizvoda ui :


KKA07

u - karta

Kontrolne granice:

n

uu =σ

n

uuKG

G

D 3±=

11/30/2009

94

KKA08

c - karta

Prati broj grešaka na jednom proizvodu ili uzorku. Uzorci moraju biti iste veličine.

Prosječan broj grešaka po uzorku :c

uzorakauzimanihbroj

uzorcimasvimugrešakabrojukupanc =

k

c

k

c.......ccc

k

i

i

k

∑==

+++= 121

KKA09

c - karta

Kontrolne granice:

cc =σccKGG

D 3±=

11/30/2009

95

KKA09

11/30/2009

96

PROCJENJIVANJE SPOSOBNOSTI PROCESA

DEFINICIJA

Sposoban proces je onaj proces koji može proizvoditi jedinice (dijelove) unutar zahtijevanih granica (granica specifikacije).

Sposobnost procesa se procjenjuje računanjem tzv. indeksa sposobnosti procesa.

PRETPOSTAVKE

Računanje i pravilna interpretacija indeksa sposobnosti procesa temelji se na slijedećim pretpostavkama:

� raspodjela podataka se može aproksimirati normalnom raspodjelom;� proces koji se razmatra je stabilan i bez značajnih uzroka varijacija

(proces je «pod kontrolom»);� pouzdana procjena sposobnosti procesa može se donijeti samo

temeljem praćenja procesa primjenom odgovarajuće kontrolne karte i nakon dovođenja procesa u stanje statističke kontrole (stanje «pod kontrolom»).

Ukoliko proces nije «pod kontrolom» računanje indeksa sposobnosti je puka formalnost i zavaravanje!

Otklanjanjem značajnih uzroka varijacija u procesu i dovođenjem sredine procesa u okoliš ciljane vrijednosti ima smisla procjenjivati njegovu sposobnost.

11/30/2009

97

TEMELJNI UVJET SPOSOBNOSTI PROCESA

Proces je sposoban ako je raspon zahtjeva veći ili jednak od raspona procesa.

Raspon zahtjeva (tolerancijsko područje) T je područje između gornje (USL) i donje granice zahtjeva (LSL), odnosno T = USL - LSL.

Raspon procesa podrazumijeva područje unutar ± 3 standardna odstupanja (6⋅σ) u odnosu na sredinu procesa (99,73 % površine ispod krivulje normalne raspodjele kojom se aproksimira proces).

Temeljni uvjet sposobnosti procesa je:

T ≥ 6⋅σ

INDEKSI SPOSOBNOSTI PROCESA

U literaturi se mogu naći različita tumačenja tzv. indeksa sposobnosti procesa. Ta su tumačenja često kontradiktorna i mogu unijeti zbrku u primjeni. Zbrka je uglavnom povezana s načinom procjenjivanja raspona procesa (standardnog odstupanja) i s tim u svezi primijenjene terminologije.Pregled indeksa sposobnosti procesa koji je naveden u nastavku sukladan je tumačenju tvrtke FORD.

Uvažavajući vrijeme odvijanja procesa procjenjivanje sposobnosti (pripadajući indeksi) može pripadati jednoj od slijedeće tri kategorije:

1. Sposobnost procesa u dužem vremenskom razdoblju (Long-Term Process Capability);

2. Preliminarna sposobnost procesa (Preliminary Process Capability);3. Sposobnost u kratkom vremenskom razdoblju (Short-Term

Capability).

11/30/2009

98

1. Sposobnost procesa u dužem vremenskom razdoblju (Long-Term Process Capability)

Indeksi sposobnosti procesa računaju se nakon odvijanja procesa tijekom razložno dugog vremenskog razdoblja u kojem su se mogli pojaviti svi mogući utjecaji varijacija procesa. Preporuka je 20 proizvodnih dana. Indeksi su slijedeći:

Potencijalna sposobnost Cp

(Potential Capability)

Dobiva se iz temeljnog uvjeta sposobnosti, odnosno:

Cp = σ

T

6


Standardno odstupanje se procjenjuje analizom odgovarajuće kontrolnekarte, odnosno iz izraza:

(u slučaju primjene kontrolne karte) ili

(u slučaju primjene kontrolne karte).

Ovako procijenjeno standardno odstupanje naziva se «standardno «standardno odstupanje iz uzoraka»odstupanje iz uzoraka» ili «unutrašnje standardno odstupanje»«unutrašnje standardno odstupanje» (within subgroups or internal standard deviation).

Procjena standardnog odstupanjaProcjena standardnog odstupanja

2dR

=σ̂

2cs

=σ̂

Rx −

sx −

11/30/2009

99

Iznos indeksa Cp neposredno pokazuje je li proces može biti sposoban. Što je iznos indeksa veći to je rasipanje procesa manje.

U razvijenim zemljama danas se zahtjeva da najmanja vrijednost indeksa Cp iznosi 1,33. Taj zahtjev neke kompanije podižu na 1,67, odnosno na Cp ≥ 2.

6σ

6σ

3σ3σ

2σ2σ

σσ

TL U

Cp = 1

Cp = 1,33

Cp = 1,67

Cp = 2

6σ

6σ

11/30/2009

100

Omjer sposobnosti Cr(Capability Ratio)

Iznos ovog indeksa je recipročna vrijednost indeksa Cp , odnosno:

Cr = 1/ Cp

Ako se iznos ovog indeksa prikaže u postocima (Cr ⋅ 100, %) dobiva se postotak tolerancijskog područja koji je «iskorišten» rasponom procesa.Za sposoban proces iznos indeksa Cr treba biti manji od 1.

Donja i gornja potencijalna sposobnost CpL i CpU(Lower and Upper potential capability)

Iznosi indeksa CpL i CpU računaju se korištenjem slijedećih izraza:

CpL = (sredina procesa – L) / 3⋅

CpU = (U – sredina procesa) / 3⋅

Sredina procesa je središnja linija primijenjene kontrolne karte.U slučaju računanja statističkih parametara iz svih podataka sredina procesa odgovara aritmetičkoj sredini tih podataka.

σ̂

σ̂

11/30/2009

101

Indeksi Cp i Cr ne pokazuju kako je smješten proces u odnosu na granice specifikacija. To se može utvrditi usporedbom iznosa indeksa CpL i CpU:

� identični iznosi ukazuju na potpunu centriranost procesa (iznosi indeksa jednaki su iznosu indeksa Cp);

� iznos manji od 1 ukazuje na pojavu nesukladnosti;� proces je pomaknut prema granici specifikacije manjeg iznosa

indeksa.

Ovi indeksi se računaju u slučaju procjenjivanja sposobnosti procesa kada je dan jednostrani zahtjev na proces (samo jedna granica specifikacije).

x

3σ3σ

U

CpU = 1

11/30/2009

102

L

x

3σ3σ

CpL = 0

Faktor korekcije necentriranosti k

Non-centering correction

Iznos indeksa Cp može se korigirati zbog necentriranosti računanjem faktora korekcije necentriranosti k:

k = abs(D – sredina procesa) / (1/2 ⋅(USL - LSL))

gdje je D ciljana vrijednost procesa, odnosno:

D = (USL + LSL)/2

11/30/2009

103

Demonstrirana izvrsnost Cpk

Demonstrated excellence

Korigirana vrijednost indeksa Cp zbog necentriranosti iznosi:Cpk = (1 - k) ⋅ Cp

Ako je proces idealno centriran tada je k jednak nuli i Cpk = Cp.

Pomicanjem procesa od ciljane vrijednosti (sredine područja tolerancija) k se povećava a Cpk postaje manji od Cp.

3σ3σ

UL

D

CpL = 1

CpU = 0

k = 1

CpK = 0

Cp = 0,5

2. Preliminarna sposobnost procesa (Preliminary Process Capability)

Preliminarno procjenjivanje sposobnosti procesa provodi se na početku odvijanja procesa ili nakon relativno kratkog vremena praćenja procesa. Preporuka je da se razmatra uzorak od najmanje 100 jedinica ili kontrolna karta s najmanje 20 uzoraka.

U nazivlju indeksa se umjesto termina sposobnost (Capability) koristi termin značajka (Performance). U tom smislu se indeksi označavaju kao Pp, PpL, PpU, Ppk, a računaju se na isti način kao Cp , CpL, CpU , Cpk.

Zahtjevi na najmanje iznose indeksa Pp i Ppk su stroži nego za iznose indeksa Cp i Cpk (npr. ako je zahtjev za Cp ≥ 1,33 tada je ekvivalentni zahtjev za Pp ≥ 1,67).

U SPC softverima za računanje ovih indeksa koristi se ukupno standardno odstupanje.

11/30/2009

104

1-n

x-x

s

n

1i

2i∑

= =

)(

Ukupno standardno odstupanje računa se iz izraza:

3. Sposobnost u kratkom vremenskom razdoblju (Short-Term Capability)

Za analizu sposobnosti procesa u kratkom vremenskom razdoblju često se koristi termin «analiza sposobnosti stroja» (Machine Capability Analysis).

Primjenjuje se, u pravilu, prilikom pred-preuzimanja ili preuzimanja stroja. Preporučuje se provođenje analize na uzorku od najmanje 50 jedinica. Temeljni interes je informacija o rasipanju podataka oko ciljane vrijednosti D.

11/30/2009

105

Potencijalna sposbnost stroja Cpm(Potential Machine Capability)

Cpm se računa korištenjem alternativne procjene standardnog odstupanja koja sadrži efekt slučajne necentriranosti (rasipanja oko ciljane vrijednosti), odnosno:

= {∑(xi - D)2/(n -1)}½

Cpm = (USL – LSL)/ 6⋅σ̂

σ̂

ANALIZA MJERNOG SUSTAVA U PROIZVODNIM

UVJETIMA

NACIONALNI LABORATORIJ ZA DULJINUNATIONAL LABORATORY FOR LENGTH

11/30/2009

106

PROCJENA MJERNOG SUSTAVA

TRI

OSNOVNA

PITANJA

Ima li mjerni sustav zadovoljavajuće razlučivanje?

Je li mjerni sustav stabilan?

Je li mjerni sustav sposoban za kontrolu procesa (proizvoda)?


POTREBE ZA ANALIZOM MJERNOG SUSTAVA

Preuzimanje nove mjerne opreme

Usporedba mjernih karakteristika različitih mjernih sredstava

Utvrđivanje sustavnih pogrešaka

Usporedba mjernih karakteristika prije i poslije popravka mjerne opreme

Određivanje sastavnica varijacija procesa mjerenja i ocjenjivanjeprihvatljivosti za kontrolu proizvodnog procesa.


11/30/2009

107

ELEMENTI ZA ANALIZU MJERNOG SUSTAVA

1. NETOČNOST

4. PONOVLJIVOST

5. OBNOVLJIVOST

2. NESTABILNOST

3. NELINEARNOST


NETOČNOST

REZULTAT MJERENJA

Netočnost je razlika između dobivenog rezultata mjerenja i referentne vrijednosti.

Referentna vrijednost je vrijednost koja služi kao dogovorena referenca za mjernu vrijednost, a može biti utvrđena na osnovi srednje vrijednosti rezultata više mjerenja provedenih mjernom opremom više razine točnosti.

REFERENTNA VRIJEDNOST

NETOČNOST


11/30/2009

108

NESTABILNOST

Nestabilnost je totalna varijacija mjerenja jedne karakteristike tijekom dužeg vremenskog razdoblja.

VRIJEME 1

VRIJEME 2

NESTABILNOST


NELINEARNOST

Nelinearnost je stalan (linearni) rast ili pad vrijednosti pogreške rezultata mjerenja (netočnosti) unutar određenog dijela mjernog područja instrumenta.

MJERNO PODRUČJE

MANJA NETOČ.


IZMJERENA VRIJEDNOST

VEĆA NETOČNOST

.




11/30/2009

109

NELINEARNOST

REFERENTNA VRIJ.


PR. REGRESIJE

PRAVAC REGRESIJE y= ax + bPrimjer:(y= 1,022x - 0 002)mm

ODSTUPANJE OD NELINEARNOSTI

0,022mm/mm

22µm/mmn

xayb∑ ∑−

=( )∑ ∑∑ ∑ ∑

−

−=

22 xxn

yxxyna


PONOVLJIVOST

Ponovljivost je rasipanje rezultata mjerenja dobiveno od strane jednog mjeritelja pri višestrukom mjerenju iste karakteristike dijela uz korištenje istog instrumenta.

Ponovljivost u najvećoj mjeri određuje utjecaj mjerila u varijaciji mjernog sustava.

PONOVLJIVOST

VJEROJATNOST, P


11/30/2009

110

OBNOVLJIVOST

Obnovljivost je rasipanje rezultata mjerenja dobiveno od strane većeg broja mjeritelja pri višestrukom mjerenju iste karakteristike na istim dijelovima uz korištenje istog ili različitog mjernog instrumenta.

Obnovljivost u najvećoj mjeri određuje utjecaj mjeritelja u varijaciji mjernog sustava.

MJERITELJ A

MJERITELJ B

MJERITELJ C

OBNOVLJIVOST


SPOSOBNOST MJERNOG SUSTAVA

Sposobnost mjernog sustava predstavlja udio varijabilnosti mjernogsustava (R&R) iskazanog postotkom područja dopuštenog odstupanja (T).

T

R&R

L U

%100&

⋅=T

RRSUSTAVAMJERNOGSPOSOBNOST


11/30/2009

111

IZVORI VARIJABILNOSTI

REALNO VRIJEME

REALNA OKOLINA

PREDMET MJERENJA

MJERITELJ

MJERNA METODA


PROCJENA SPOSOBNOSTI MJERNOG SUSTAVA

METODA ARITMETIČKIH SREDINA I RASPONA ( )RX −

g

RR

d

REV

stponovljivo

OPREMEVARIJACIJA

∑== ;15,5

)(

2

minmax0

2

2

2

2

0 115,515,5

)(

XXR

rnd

R

d

RAV

stobnovljivo

MJERITELJAVARIJACIJA

−=

⋅

−

=

•

⊗⋅=

2

15,5d

RPV

DIJELOVAVARIJACIJA

p

22& AVEVRR

STOBNOVLJIVOISTPONOVLJIVO

+= ( ) 22& PVRRTV

VARIJACIJAUKUPNA

+=


11/30/2009

112

PROCJENA SPOSOBNOSTI MJERNOG SUSTAVA

Ukoliko je udio R&R u tolerancijskom polju T ili ukupnoj varijaciji TV:

< 10 %

10 % - 30%

>30 %

mjerni sustav se može smatrati zadovoljavajućim (ovisno o značajnosti primjene)

potrebna su poboljšanja u mjernom sustavu

mjerni sustav je zadovoljavajući


Documents

Kontrola kvalitete 09 - unizg.hr · Vjerojatnosti od P 1 do P 6 su uvjetne vjerojatnosti, te vjerojatnost dobitka (za jedan stupac u listi ću) iznosi: 40 1 41 2 42 3 43 4 44 5 45