Upload
filip-ivetic
View
9
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Osnovne trigonometrijske funkcije.
Citation preview
OSNOVNE TRIGONOMETRIJSKE
FUNKCIJE
Marijana Milosevic
∗ verzija radena u Tex-u ∗
1
Trigonometrija (lat. trigonon - trougao, metron - mera)je deo matem-atike koji izucava zavisnost izmedu strana i uglova tougla (trigonometrija uuzem smislu), a takode i osobine trigonometrijskih funkcija i vezu medu njima(goniometrija). Sam naziv trigonometrija asocira na operacije s trouglovima.U pocetku je za cilj imala izracunavanje vrednosti svih elemenata jednogtrougla (visine, tezisnih duzi, simetrala, poluprecnika, povrsine i uglova)pomocu podataka dovoljnih za odredivanje trougla. Njen prvobitni cilj jedanas prevaziden, pa je njena osnovna uloga izracunavanje trigonometrijskihfunkcija.
1 Poreklo
Prvi koreni trigonometrije su nadeni u zapisima iz Egipta i Mesopotamije.Tamo je nadena vavilonska kamena ploca (oko 1900-1600. p.n.e.) koja sadrziprobleme sa relacijama koje odgovaraju savremenom sec2. Egipatski pa-pirus Rind (oko 1650. p.n.e.) sadrzi probleme sa odnosima stranica trouglaprimenjenim na piramide. Niti Egipcani, niti Vavilonci nisu imali nase sh-vatanje mere ugla, a relacije tog tipa su smatrali osobinama trouglova, prenego samih uglova.
Prve primene trigonometrijskih funkcija bile su vezane za tetivu kruga iza poimanje da je njena duzina razapeta nad datim uglom x bila (u danasnjojterminologiji) 2 ∗ sin(x/2).
A
B
MO C
α
2
Vazan napredak napravljen je u Grckoj u vreme Hipokrata iz Kiosa(Elementi, oko 430. p.n.e.), koji je proucavao odnose izmedu centralnihuglova kruznice i tetiva. Hiparhus je 140. p.n.e. napravio tablicu tetiva(prvu pretecu savremenih sinusnih tablica). Menelaj iz Aleksandrije (Sfernageometrija, oko 100. nove ere) je prvi koristio sferne trouglove i sfernutrigonometriju. Ptolomej (Almagest, oko 100. n.e.) je napravio tablicutetiva uglova izmedu 0,5 stepeni i 180 stepeni sa intervalom od pola stepena.On je takode istrazivao trigonometrijske identitete.
Drugi skup trigonometrijskih funkcija, par tangensa i kotangensa, razviose iz proucavanja duzina senki koje bacaju objekti razlicitih visina. Talessa Mileta je oko 600. godine p.n.e. koristio duzine senki kako bi izracunaovisine piramida. Kako indijska tako i arapska matematika su obe razviletrigonometrijsku tradiciju zasnovanu na duzinama senki, koje su s drugestrane ostvarile uticaj na evropsku matematiku.
Grcku trigonometriju su dalje razvijali Hindu matematicari koji su ost-varili napredak razmestanjem tetiva preuzetih od Grka na polu tetive krugasa datim radijusom, tj. ekvivalentom nasoj sinusnoj funkciji. Prve takvetablice bile su u Sidhantasu (sistem za astronomiju) u IV i V veku ove ere.Poput brojeva, moderna trigonometrija nam dolazi od Hindu matematicarapreko Arapskih matematicara. Prevodi sa arapskog na latinski jezik tokomXII veka uveli su trigonometriju u Evropu.
Osoba odgovorna za ”modernu”trigonometriju bio je renesansni matematicarRegiomontanus. Od doba Hiparha, trigonometrija je bila jednostavno alatza astronomska izracunavanja. Regiomontanus ( De triangulis omni modis,1464; publikovano 1533.) bio je prvi koji je trigonometriju tretirao kao sub-jekt po sebi. Dalji napredak su napravili Nikola Kopernik u De revolutionibusorbium coelestium (1543.) i njegov ucenik Retikus. U Opus palatinum detrianulis (kompletirao njegov ucenik 1596.), Retikus je ustanovio upotrebusest osnovnih trigonometrijskih funkcija, praveci tablice njihovih vrednosti,i drzeci se ideje da te funkcije predstavljaju odnose stranica u pravouglomtrouglu (rade nego tradicionalne polu-tetive krugova).
Moderna analiticka geometrija datira od vremena Fransoisa Vietea, kojije uradio tablice sest funkcija do najblize minute (1579). Viete je takodeizveo formulu za proizvod, tangensnu formulu i formule za vise uglova. Kra-jem XV veka je prvi put upotrebljen naziv ”trigonometrija”.
3
2 Podela:
Trigonometrija se deli na sledece tri oblasti:
1)Ravninska trigonometrija, trigonometrija u uzem smislu; proucava
o Trigonometrijske funkcije, posebno: sinus, kosinus, tangens, kotangens,sekans i kosekans;
o Inverzne trigonometrijske funkcije, tzv. ciklometrijske, ili arkus-funkcije;
2) Sferna trigonometrija, na povrsi sfere;
3)Hiperbolicka trigonometrija, trigonometrija Lobacevskog;
Osnovna linija razvoja trigonometrija bila je primena u geometrijskimistrazivanjima. Razvoj prve i druge od nabrojanih trigonometrija isao jeuz Euklidsku ravan, tj. elementarna geometrija i povrsinu sfere, a treca odtrigonometrija je bar u pocetku (XIX vek) bila vezana za otkrica neeuklid-skih geometrija, (geometrija Lobacevskog, zatim Rimanova geometrija).
Ravninska trigonometrija
Ravninska trigonometrija, ili jednostavno trigonometrija, je granamatematike koja se bavi resavanjem trouglova Euklidske planimetrije, tj. el-ementarne geometrije jedne ravni. Ona je od ogromnog prakticnog znacajau razlicitim oblastima kao sto su inzenjerstvo, arhitektura, geodezija, navi-gacija i astronomija. Trigonometrijske funkcije imaju posebno vaznu uloguu analizi i koriste se za predstavljanje talasa i drugih periodicnih pojava.
4
3 Trigonometrijske funkcije
Trigonometrijske funkcije su funkcije ugla:sinus, kosinus, tangens,kotangens, sekans, kosekans. Ponekad ih nazivamo trigonometrijskim odnosima.Za tangens cemo ovde koristiti uobicajenu anglosaksonsku oznaku tan, madase kod nas se cesce koristi tg ; za kotangens, umesto cot mi obicno pisemo ctg ;kosekans, koji inace retko koristimo, zajedno sa anglosaksonskim csc pisemoi cosec. Ostale navedene trigonometrijske funkcije imaju jednake skracenicekod nas i u vecem delu sveta. Danas se veoma retko srecu jos dva nazivatrigonometrijskih funkcija: sinus versus i kosinus versus.
3.1 Pravougli trougao
Na slici je figura: pravougli trougao Na slici 1. je figura: pravougli trougaoABC, sa istoimenim stranicama (mala slova abecede) nasuprot temena (ve-lika slova) i uglom alfa (malo grcko slovo α ) u temenu A. Dakle, naspramnakateta temenu A je a, nalegla kateta je b, hipotenuza je c. Definisemo os-novne cetiri trigonometrijske funkcije: sinus, kosinus, tangens i kotangens,istog ugla alfa. ABC, sa istoimenim stranicama (mala slova abecede) na-suprot temena (velika slova) i uglom alfa (malo grcko slovo α) u temenu A.Dakle, naspramna kateta temenu A je a, nalegla kateta je b, hipotenuza je c.Definisemo osnovne cetiri trigonometrijske funkcije: sinus, kosinus, tangensi kotangens, istog ugla alfa.
A C
B
α
a ”naspramna”
b
”nalegla”
c”hipotenuza”
Na slici prikazan je pravougli trougao ABC i oznacene su hipotenuza kaoi ”naspramna”i ”nalegla”u odnosu na oznaceni ugao α.
Kod svakog pravouglog trougla, mozemo uociti sest razlicitih odnosa nje-govih stranica: odnos naspramne i hipotenuze, nalegle i hipotenuze, naspramne
5
i nalegle i tako dalje. Svaki od tih odnosa predstavlja po jednu trigonometri-jsku funkciju i ima svoje istorijsko ime i skracenicu, koja ucenicima omogucavajednostavniji zapis.
Odnos naspramne stranice i hipotenuze nazivamo sinusnom funkcijomili sinus i skraceno zapisujemo sin. Odnos nalegle i hipotenuze nazivamokosinusnom funkcijom ili kosinus i skracenica je cos. Odnos naspramne inalegle se naziva tangens i skracenica je tg.
Ove tri funkcije nazivamo elementarnim trigonometrijskim funkcijama iprikazane su na sledecim slikama:
sin α = naspramna
hipotenuza, cos α = nalegla
hipotenuza
tanα = naspramna
nalegla, cot α = nalegla
naspramna
Pravougli trougao
sin α = ac, cos α = b
c
tanα = ab, cot α = b
a
Mozda cete se pitati zasto ove odnose ne nazivamo trigonometrijskimodnosima vec trigonometrijskim funkcijama. Ako pogledamo funkciju y =sinx, ”ugao”x, moze biti bilo koji broj. Prema tome, y = sinx je odnosizmedu brojeva x i y , i to nije neophodno dovoditiu vezu sa geometrijom.
Preostala tri od sest odnosa stranica pravouglog trougla su: odnos hipotenuzei naspramne, odnos hipotenuze i nalegle i odnos nalegle i naspramne.
Odnos hipotenuze i naspramne stranice nazivamo kosekans i skraceno za-pisujemo csc. Odnos hipotenuze i nalegle nazivamo sekans i skracenica jesec. Odnos nalegle i naspramne se naziva kotangens i skracenica je ctg.
Pogledajmo prikaz formula opisanih funkcija na sledecim slikama:
csc α = hipotenuza
naspramana, sec α = hipotenuza
nalegla
Primetimo, da su ove funkcije, csc, sec, cot jednake reciprocnoj vrednostiredom funkcija sin, cos, tan.
csc α = ca, sec α = c
b
6
Kosekans se kod nas cesce pise cosec α. Kao sto je definisano, tri od ovihfunkcija su reciprocne ostalim tri:
cotα = 1
tan α, csc α = 1
sin α, sec α = 1
cos α
Iz istih definicija izvodimo:
tan = sinαcos α
, cot α = csc αsec α
, tanα · cot α = 1
Sledece osnovne relacije, koje se nazivaju osnovni trigonometrijski iden-titeti, ili Pitagorini identiteti, zasnovane su na Pitagorinoj teoremi:
sin2 α + cos2 α = 1, 1 + tan2 α = sec2, 1 + cot2 α = csc2 α.
3.2 Osnovni uglovi
Vrednosti trigonometrijskih funkcija za neke uglove se mogu dobiti jednos-tavno iz jednakostranicnog trougla i kvadrata, koji imaju uglove 600, 350, 450.
A B
C
D
a/2
a ah
Na slici imamo figuru jednakostranicnog trougla ABC stranica duzinea. Njegovi unutrasnji uglovi su po 600, a ugao u temenu C izmedu visine istranice je 300. Visina CD ima duzinu h = a
√3
2, sto se lako dobija primenom
Pitagorine teoreme na pravougli trougao ADC. Iz istog pravouglog trouglanalazimo vrednosti:
7
sin 600 =√
3
2, cos 600 = 1
2,tan 600 =
√3, sin 600 =
√3
3,
sin 300 = 1
2, cos 300 =
√3
2,tan 300 = 1
2,cot 300 =
√3
Na sledecoj slici kvadrat je stranice a. Temena AC spojena su dijago-nalom d = a
√2,sto se lako dobije primenom Pitagorine teoreme na pravougli
trougao ABC.
A B
CD
d
a
a
π/4
U istom pravouglom trouglu nalazimo da je:sin 450 =
√2
2, cos 450 =
√2
2, tan 450 = 1, cot 450 = 1.
3.3 Trigonometrijska kruznica
Trigonometrijske funkcije ugla α se mogu definisati i pomocu trigonometri-jske kruznice. Trigonometrijska kruznica je poluprecnika 1sa centrom uishodistu koordinatnih osa. Na slici poluprecnici OA, OC i OE su jedinicneduzine. Tacka O je ishodiste koordinatnog sistema, ovde Dekartovog pravou-glog. Ugao α je AOC, gde je krak OA nepokretan. Apscisa i ordinata(horizontalna i vertikalna osa brojeva) su kosinusna i sinusna osa. Tangen-sna i kotangensna osa se definisu kao tangente na trigonometrijsku kruznicuu krajnjoj tacki desno, odnosno gore. Ishodiste tangensne ose na slici bibila tacka A, a kotangensne E. Uporedivanjem kruznice, OA = OC = 1, ipravouglog trougla, nalazimo:
8
O A
E F
DC
Bα
III
III IV
sin α=BC=ac, sinus ugla α
cos α=OB= bc, kosinus ugla α
tanα=AD=ab,tanges ugla α
cotα=EF= ba,kotanges ugla α
sec α=OD= cb,sekans ugla α
csc α=OF= ca,kosekans ugla α
Medutim, na trigonometrijskoj kruznici mozemo dosledno definisati vred-nosti trigonometrijskih funkcije za uglove 00, 900, pa i za ostale. Projekcijatacke C na kosinusnu osu (tacka B) je kosinus ugla α, sinus je projekcijatacke S na sinusnu (obicno Y ) osu, produzetak pokretnog kraka OC datogugla preseca tangensnu i kotangensnu osu u vrednostima tangensa i kotan-gensa tog ugla.
Znak trigonometrijske funkcije:
Kvadrant Velicina ugla sin cos tan cot sec cscI od 00 do 900 + + + + + +II od 900 do 1800 + − − − − +III od 1800 do 2700 − − + + − −IV od 2700 do 3600 − + − − + −
9
3.4 Merenje ugla
Uglove merimo u stepenima - uobicajenim u praksi, u radijanima - uobicajenimu teoriji, i retko u gradima (Gradus - korak, stepen, stupanj):
- Stepen je 90-ti deo pravog ugla, ugao od jednog stepena oznacava se 10.Prema tome, pun ugao je 3600, ispruzen ugao je 1800.
- Radijan je centralni ugao nad lukom trigonometrijske kruznice cijaje duzina jednaka radijusu. Kako pun ugao odgovara duzini cele kruznice(obimu)2πr,, jedan radijan ima 360
2π= 57017′44′′s tacnoscu od 1”. Obratno,
1 radijan = 57, 30.
- Grad je stoti deo pravog ugla, pise se p. Jedan grad se deli na sto de-lova koji se nazivaju metricke minute (1′) i ciji se stoti deo naziva metrickasekunda (1”). Grad kao jedinica mere bio je uveden zajedno sa metarskimsistemom mera krajem XVIII veka. Medutim, grad nije postigao siroku pri-menu u praksi.
Vrednost trigonometrijskih funkcija:
Stepen Radijan sin cos tan cot sec csc00 0 0 1 0 ∞ 1 ∞300 π/2 1/2
√3/2
√3/3
√3 2
√3/3 2
450 π/4√
2/2√
2/2 1 1√
2√
2
600 π/3√
3/2 1/2√
3√
3/3 2 2√
3/3900 π/2 1 0 ∞ 0 ∞ 1
10
4 Osnovne trigonometrijske formule
4.1 Funkcije jednog ugla
sin2 α + cos2 α = 1, sin αcos α
= tan α, sinα · csc α = 1
sec2 α − tan2 α = 1, cos α · sec α = 1
csc2 α − cot2 α = 1, cos αsinα
= cotα, tanα · cotα = 1
4.2 Medusobno izrazavanje funkcija
sin α =√
1 − cos2 α = tan α1+tan2 α
cos α =√
1 − sin2 α = 1
1+tan2 αtan =
= sin α√1−sin2 α
= 1
cot αcot =
√1−sin2 α
sinα= 1
tan α
4.3 Funkcije zbira i razlike
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
tan(α ± β) = tan α±tan β
1∓tan α tan β
cot(α ± β) = cot α cot β∓1
cot β±cot α
4.4 Funkcije visekratnog ugla
sin 2α = 2 sinα cos α, sin 3α = 3 sin α − sin3 α,
cos 2α = cos2 α − sin2 α, cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α,
tan 2α = 2 tan α1−tan2 α
, tan 3α = 3 tan α−tan3 α1−3 tan2 α
,
cot 2α = cot2 α−1
2 cot α, cot 4α = cot4 α−6 cot2 α+1
4 cot3 α−4 cot α,
tan 4α = 4 tan α−4 tan3 α1−6 tan2 α+tan4 α
, cot 4α = cot4 α−6 cot2 α+1
4 cot3 α−4 cot α.
11
4.5 Zbir i razlika funkcija
sin α + sin β = 2 sin α+β
2cos α−β
2
sin α − sin β = 2 cos α+β
2sin α−β
2
cos α + cos β = 2 cos α+β
2cos α−β
2
cos α − cos β = −2 sin α+β
2sin α−β
2
tanα ± tanβ = sin α±β
cos α cos β, cot α ± cot β = sin α±β
sinα sin β,
tanα + cot β = cos α−β
cos α sinβ, cotα − tanβ = cos α+β
cos β sin α,
4.6 Proizvod funkcija
sin α sin β = 1
2[cos(α − β) − cos(α − β)],
cos α cos β = 1
2[cos(α − β) + cos(α − β)],
sin α sin β = 1
2[cos(α − β) + cos(α + β)].
4.7 Funkcije polovine ugla
sin α2
=√
1−cos α
2,
cos α2
=√
1+cos α
2,
tan α2
=√
1−cos α1+cos α
,
cot α2
=√
1+cos α1−cos α
,
4.8 Stepenovanje funkcija
sin2 α = 1
2(1 − cos 2α),cos2 α = 1
2(1 + cos 2α),
sin3 α = 1
4(3 sinα − sin 3α),cos3α = 1
4(3 cos α + cos 3α),
sin4 α = 1
8(cos 4α − 4 cos 2α + 3),cos4 α = 1
8(cos 4α + 4 cos 2α + 3).
12
5 Grafici i tok trigonometrijskih funkcija
5.1 Kosinusna funkcija
Kosinusna funkcija je definisna za svaki ugao x. Njen tok u intrvalu0 ≤ x ≤ 2π, moze se ispitati tako sto se pusti da krajnja tacka M ugla xobide potpun trigonometrijski krug i prati kretanje njene projekcije na xosi.Dobija se sledeca tablica:
x 0 π/2 π 3π/2 2πcos(x) 1 ց 0 ց -1 ր 0 ր 1
U ovom intervalu grafik mozemo konstruisati tacku po tacku. Kako jeova funkcija periodicna, s periodom 2π, njen grafik za sve vrednosti x dobicese translacijom prethodnog grafika za 2π paralelno x osi.
Kosinusna funkcija je parna - dvema suprotnim vrednostima argume-nata xodgovaraju dve jednake vrednosti funkcije y. Kriva y = cosx imabeskonacno mnogo osa simetrije koje su paralelne y osi i prolaze kroz tackex = kπ,y = 0.
x
y
−2π −π−3π2
0−π2
ππ2
2π3π2
1
−1
13
5.2 Sinusna funkcija
Sinusna funkcija je definisna za svaki ugao x. Njen tok u intrvalu 0 ≤ x ≤2π moze se ispitati tako sto se pusti da krajnja tacka M ugla x obide potpuntrigonometrijski krug i prati kretanje njene projekcije na x osi. Dobija sesledeca tablica:
x 0 π/2 π 3π/2 2πsin(x) 0 ր 1 ց 0 ց -1 ր 0
U ovom intervalu grafik mozemo konstruisati tacku po tacku. Kako jeova funkcija periodicna, s periodom 2π, njen grafik za sve vrednosti x dobicese translacijom prethodnog grafika za 2π paralelno x osi.
Sinusna funkcija je neparna - ze dve suprotne vrednosti argumenta x ifunkcija y dobija dve suprotne vrenosti.
Kriva y = sinx ima beskonacno mnogo osa simetrije koje su paralelne yosi i prolaze kroz tacke x = π
2+ kπ, y = 0.
x
y
−2π −π−3π2
0−π2
ππ2
2π3π2
1
−1
14
5.3 Tangensna funkcija
Tangensna funkcija je definisana za sve realne vrednosti x, izuzev zavrenosti oblika x = π
2+ kπ. Njen period je π . Ispitacemo je u intervalu
duzine π u kome je ona svugde definisana −π2≤ x ≤ π
2.
Tok tangensne funkcije mozemo ispitati prateci pomeranje tacke T natangesnoj osi i odgovarajucu krivu nacrtati tacku po tacku. Funkcija je ucelom posmatranom intervalu rastuca . Asimtote ove krive su −π
2i π
2.
Grafik funkcije y = tgx sastoji se od niza krivih koje se dobijaju trans-latornim pomeranjem krive paralelno x osi za duzinu . Asimptote kojih imabeskonacno su oblika x = π
2= kπ.
Funkcija y = tgx je neparna - za dve suprotne vrednosti argumenta x ifunkcija y dobija dve suprotne vrednosti
x
y
− 3π
2
−π −π
2O π
2
π 3π
2
15
5.4 Kotangensna funkcija
Kotangensna funkcija je definisana za sve realne vrednosti x, izuzev zavrenosti oblika x = kπ.Njen period je π.Ispitacemo je u intervalu duzine π ukome je ona svugde definisana 0 ≤ x ≤ π.
Tok kotangensne funkcije mozemo ispitati prateci pomeranje tacke L nakotangesnoj osi i odgovarajucu krivu nacrtati tacku po tacku. Funkcija jeu celom posmatranom intervalu opadajuca. Asimptote ove krive su x = 0 ix = π.
Grafik funkcije y = ctgx sastoji se od niza krivih koje se dobijaju transla-tornim pomeranjem krive paralelno x osi za duzinu π. Asimptote kojih imabeskonacno su oblika x = kπ.
Funkcija y = ctgx je neparna - za dve suprotne vrednosti argumenta x ifunkcija y dobija dve suprotne vrednosti.
x
y
− 3π
2
−π
−π
2
O
π
2
π
3π
2
−2π 2π
16
6 Ciklometrijske funkcije (arkus)
Arkus-funkcijama od x(inverznim trigonometrijskim) nazivamo veliciney merene u radijanima, odredene jednacinama:
y = arcsinx (arkus-sinus), ako je x = siny
y = arccosx (arkus-kosinus), ako je x = cosy
y = arctanx (arkus-tangens), ako je x = tany
y = arccotx (arkus-kotangens), ako je x = coty
Glavne vrednosti arkus funkcije su viseznacne; njihove glavne vrednostisu ogradene. Oznacavamo ih sa arcsinx, arccosx, arctanx, arccotx, (posled-nje dve, mi cesto oznacavamo arctgx, arcctgx).
−π2≤ arcsin x ≤ π
2, 0 ≤ arcsin x ≤ π,
−π2≤ arctanx ≤ π
2, 0 ≤ arccotx ≤ π.
6.1 Izrazavanje jednih arkus-funkcija s drugima
Sledece formule tacne su samo za glavne vrednosti arkus-funkcija, a for-mule u uglastim zagradama samo za pozitivne vrednosti x (jer su graniceglavnih vrednosti razlicito odredene za razne funkcije).
arcsin x = − arcsin(−x) = π2−arccos x = arccos
√1 − x2 = arctan x√
1−x2=
arctan√
1−x2
x,
arccos x = π−arccos(−x) = π2−arcsin x = [arcsin
√1 − x2] = [arctan
√1−x2
x] =
arctan x√1−x2
,
arctanx = − arctan(−x) = π2− arctan x = arcsin x√
1+x2= arccos 1√
1+x2=
arccot 1
x,
arccotx = π−arccot(−x) = π2−arctan x = arcsin 1√
1+x2= arccos 1√
1+x2=
arctan 1
x.
17
7 Literatura
:
1. Matematika - Opsta enciklopedija Larousse,
Vuk Karadzic, 1974.god.
2. Matematika za maturante - Vladimir Stojanovic,
Matematiskop, Beograd, 2000.god.
3. Matematika za drugi razred srednje skole- Gradimir Vojvodic-Vojislav Petrovic- Radivoje Despotovic- Branimir Seselj,
Zavod za udzbenike i nastavna sredstava, Beograd, 2001.god.
4. Analiza 1 - Zoran Kadelburg, Dusan Adnadevic,
Matematicki fakultet, Beograd, 2003.god
5. http://sr.wikipedia.org
18
Sadrzaj
1 Poreklo 2
2 Podela: 4
3 Trigonometrijske funkcije 53.1 Pravougli trougao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Osnovni uglovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3 Trigonometrijska kruznica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.4 Merenje ugla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Osnovne trigonometrijske formule 114.1 Funkcije jednog ugla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Medusobno izrazavanje funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.3 Funkcije zbira i razlike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.4 Funkcije visekratnog ugla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.5 Zbir i razlika funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.6 Proizvod funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.7 Funkcije polovine ugla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.8 Stepenovanje funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5 Grafici i tok trigonometrijskih funkcija 135.1 Kosinusna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.2 Sinusna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.3 Tangensna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.4 Kotangensna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6 Ciklometrijske funkcije (arkus) 176.1 Izrazavanje jednih arkus-funkcija s drugima . . . . . . . . . . 17
7 Literatura 18
19