Osnovni Pojmovi o Matematici

MATEMATIKA

Matematika je formalna i egzaktna nauka koja je nastala izučavanjem figura i

računanjem brojevima. Iako ne postoji opšteprihvaćena definicija matematike, pod

matematikom se u širem smislu podrazumeva nauka o količini (aritmetika), strukturi

(algebra), prostoru (geometrija) i promeni (analiza). Matematika se razvila iz potrebe

da se obavljaju proračuni u trgovini, vrše merenja zemljišta i predviđaju astronomski

događaji. Ove tri početne primene matematike se mogu dovesti u vezu sa grubom

podelom matematike na izučavanje strukture, prostora i promena. U današnje vreme

matematika uglavnom proučava i opisuje osobine struktura koje sama stvara ili koje

potiču iz drugih nauka, a najčešće iz fizike.

Istorija matematike

Sve do kraja XVI veka glavne grane matematike bile su geometrija i aritmetika. U XVI

veku je započeo razvoj algebre, a u XVII je stvaranje diferencijalnog i integralnog

računa označilo početak intenzivnog razvoja analize. Nastale teorije diferencijalnih

jednačina postale su važno sredstvo u ispitivanju zakona prirode u klasičnoj i

nebeskoj mehanici. Pojavom neeuklidskih geometrija, matematičke logike i teorije

skupova u XIX veku započeta je kritička revizija do tada izgrađenih matematičkih

teorija, što je bitno uticalo na karakter, metode i načine daljeg razvoja matematike. U

XX veku, postojeće oblasti su se proširile, a razvijene su i nove oblasti, kao što su

teorija verovatnoće, statistika, topologija, apstraktna algebra i druge.

Oblasti proučavanja

1) Aritmetika – bavi se proučavanjem brojeva. Njihovim proučavanjem je započeto i

proučavanje struktura. Od svih skupova brojeva, najpre su formirani i proučavani

prirodni brojevi, a zatim celi brojevi. Nakon toga formirani su realni brojevi, kao

brojevi koji predstavljaju kontinualne veličine. Kasnije je, zbog matematičkih razloga,

uveden koncept kompleksnih brojeva.

2) Algebra – bavi se proučavanjem matematičkih struktura, a obuhvata:

kombinatoriku, teoriju brojeva, teoriju grupa, teoriju grafova, teoriju nizova, linearnu i

osnovnu algebru. Osnovna pravila za aritmetičke operacije su definisana u osnovnoj

algebri, a dodatna svojstva celih brojeva se izučavaju u teoriji brojeva. Izučavanje

metoda za rešavanje jednačina dovelo je do razvoja apstraktne algebre, koja

prvenstveno izučava prstenove i polja, tj. strukture koje generalizuju osobine koje

poseduju brojevi. Važan fizički koncept vektora izučava se u linearnoj algebri. Radi

pojašnjavanja i izučavanja osnova matematike, razvijene su oblasti teorija skupova,

matematička logika i teorija modela.

3) Geometrija – izučavanje prostora započelo je geometrijom, koja obuhvata:

osnovnu, diferencijalnu, algebarsku i fraktalnu geometriju, trigonometriju, topologiju i

teoriju mera. Najpre je nastala euklidska geometrija i trigonometrija u pojmljivom

trodimenzionalnom prostoru koja se kasnije proširila na neeuklidske geometrije, koje

imaju centralnu ulogu u opštoj relativnosti. Moderna polja geometrije su diferencijalna

geometrija i algebarska geometrija.

4) Analiza – bavi se proučavanjem beskonačno malih promena, a obuhvata:

osnovnu, vektorsku, diferencijalnu i kompleksnu analizu, dinamičke sisteme i teoriju

haosa. Teorija diferencijalnog računa je razvijena iz potreba prirodnih nauka za

razumevanjem i opisivanjem promena koje se izvrše kod merljivih varijabli. Centralni

koncept kojim se opisuje promena varijable je funkcija. Mnogi prirodni problemi su

vodili uspostavljanju veze između vrednosti i količine izmene. Metode koje su

razvijene za opisivanje i proučavanje ovakvih problema se izučavaju u teoriji

diferencijalnih jednačina. Brojevi koji predstavljaju kontinualne veličine su realni

brojevi i detaljno izučavanje njihovih svojstava i funkcija je predmet matematičke

analize. Zbog matematičkih razloga, uveden je koncept kompleksnih brojeva koji se

izučavaju u kompleksnoj analizi.

Primenjena matematika

Primenjena matematika koristi saznanja iz matematike kako bi došla do rešenja

stvarnih problema. Ona obuhvata:

– matematičku fiziku,

– dinamiku fluida,

– numeričku analizu,

– optimizaciju,

– teoriju verovatnoće,

– statistiku,

– kriptografiju,

– finansijsku matematiku,

– teoriju igara,

– matematičku biologiju,

– matematičku hemiju,

– matematičku ekonomiju,

– teoriju kontrole.

U važnije oblasti primenjene matematike spadaju verovatnoća i statistika, koje se

bave izučavanjem i predviđanjem slučajnosti i slučajnih pojava.

Brojevni sistem je formalni matematički sistem za prikazivanje brojeva. On

omogućava predstavljanje brojeva pomoću skupa simbola i pravila njihovog

kombinovanja. Osnovna podela brojevnih sistema je na:

– nepozicione,

– pozicione.

Nepozicioni brojevni sistem se sastoji od skupa simbola koji se nazivaju cifre. Kod

ovog brojevnog sistema, vrednost cifre ne zavisi od pozicije na kojoj se ona nalazi u

zapisu broja već samo od njene sopstvene vrednosti. To znači da simbol koji

označava broj uvek ima istu vrednost, nezavisno od toga gde se nalazi u zapisu

broja.

Primer nepozicionog brojevnog sistema su rimski brojevi, koji se zapisuju pomoću

sedam cifara: I, V, X, L, C, D, M. Vrednost zapisa broja računa se tako što se cifre

jednostavno saberu. Jedini izuzetak je kad se manja cifra nalazi ispred veće, i tada

se ona od te veće oduzima, a umesto te dve cifre u krajnji zbir ulazi rezultat tog

oduzimanja.

Primeri:

– MCI = 1000 + 100 + 1 = 1101,

– MMCCII = 1000 + 1000 + 100 + 100 + 1 + 1 = 2202.

Nezavisno od pozicije, M je uvek 1000, C je uvek 100, a I je uvek 1.

Pozicioni brojevni sistem se sastoji od baze i skupa simbola koji se nazivaju cifre.

Ukupan broj simbola za zapisivanje brojeva u svakom pozicionom brojevnom

sistemu jednak je vrednosti baze. Kod ovog brojevnog sistema, cifre imaju različitu

vrednost u zavisnosti od pozicije na kojoj se nalaze u zapisu broja (cifre su različite

težine, tj. imaju različit udeo u vrednosti samog broja). Vrednost cifre u zapisu broja

jednaka je proizvodu njene sopstvene vrednosti i vrednosti pozicije na kojoj se ta

cifra nalazi u zapisu broja. Vrednost broja dobija se tako što se saberu vrednosti svih

cifara u njegovom zapisu.

U pozicione brojevne sisteme spadaju:

– dekadni sistem (baza 10),

– binarni sistem (baza 2),

– oktalni sistem (baza 8)

– heksadekadni sistem (baza 16).

Primeri:

– 22,

– 2202.

U dekadnom sistemu, cifra 2 ima vrednost 2, ali i 20, 200 i 2000, zavisno od pozicije

na kojoj se nalazi u zapisu broja.

DEKADNI SISTEM

Dekadni brojevni sistem je pozicioni brojevni sistem sa bazom 10 u kojem se zapis

sastoji od cifara 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Negativni brojevi se označavaju

predznakom “−”, dok se predznak “+” za pozitivne brojeve obično izostavlja. Brojevi

mogu da sadrže nulu (0) kao čuvara mesta u svom zapisu, ali ona nema nikakvu

vrednost. Svaki broj se može predstaviti kao zbir eksponenata broja 10, na primer:

– 569 = 5 ∙ 102 + 6 ∙ 101 + 9 ∙ 100 = 500 + 60 + 9 = 569,

– 8724 = 8 ∙ 103 + 7 ∙ 102 + 2 ∙ 101 + 4 ∙ 100 = 8000 + 700 + 20 + 4 = 8724.

Mesna vrednost je vrednost cifre u zavisnosti od njenog mesta u nekom broju. To

znači da se prvobitna vrednost cifre množi brojem 10 za svaku poziciju levo od

poslednje cifre u zapisu broja. Na primer, za broj 8724 mesna vrednost cifara je:

– cifra 4 se nalazi na prvoj poziciji (na mestu jedinica), pa je njena mesna vrednost 4,

– cifra 2 se nalazi na drugoj poziciji (na mestu desetica), zbog čega se njena

vrednost množi brojem 10, pa je njena mesna vrednost 20,

– cifra 7 se nalazi na trećoj poziciji (na mestu stotina), zbog čega se njena vrednost

množi brojem 100, pa je njena mesna vrednost 700,

– cifra 8 se nalazi na četvrtoj poziciji (na mestu hiljada), zbog čega se njena vrednost

množi brojem 1000, pa je njena mesna vrednost 8000.

Decimalni zarez označava početak razlomljenog dela broja. U zapisu brojeva bez

razlomljenog dela, odnosno celih brojeva, decimalni zarez se izostavlja. Razlomljeni

deo se koristi za zapisivanje veličina manjih od 1, a većih od 0. Deseti deo jedinice

piše se 0,1, stoti deo 0,01, hiljaditi deo 0,001 itd. Dakle, za svaku poziciju desno od

decimalnog zareza nominalna vrednost cifre se deli brojm 10. Tako, na primer, broj

0,008 predstavlja osam hiljaditih delova jedinične vrednosti.

Kako se u svakodnevnom životu koristi dekadni brojevni sistem, često se u

informatici javlja potreba za pretvaranjem brojeva iz dekadnog u neki drugi pozicioni

brojevni sistem i obrnuto. Prevođenje brojeva iz dekadnog u neki drugi brojevni

sistem vrši se tako što se dati broj deli brojem koji predstavlja bazu brojevnog

sistema u koji se prevodi dati broj. Deljenje se vrši sve dok količnik ne bude jednak

nuli (0), a zatim se ostaci deljenja zapisuju unazad, tj. suprotnim redosledom od onog

kojim su dobijeni. Tako se dobija zapis datog broja u odgovarajućem brojevnom

sistemu.

Dekadni brojevni sistem razvili su Indusi i Arapi, pa se nekad naziva indo-arapski

brojevni sistem. Ovaj sistem je najrasprostranjeniji sistem za zapisivanje brojeva na

svetu.

BINARNI SISTEM

Binarni brojevni sistem je pozicioni brojevni sistem sa bazom 2 u kojem se zapis

sastoji samo od dve cifre: 0 i 1. To znači da se svaki broj može predstaviti kao zbir

eksponenata broja 2. Koncept ovog brojevnog sistema omogućen je tek sa

uvođenjem pojma nule u sistemu arapskih cifara. Binarni sistem je, zbog

jednostavnosti primene u elektronskim kolima, svoju glavnu praktičnu upotrebu

našao u računarstvu. Gotovo svi moderni računari koriste binarnu logiku, tj. podatke

zapisuju i interpretiraju u obliku nula i jedinica.

Prevođenje brojeva iz dekadnog u binarni sistem

Da bi se broj preveo iz dekadnog u binarni sistem potrebno je izvršiti jednostavan

postupak deljenja brojem 2. Ostaci pri deljenju se zapisuju, a postupak se nastavlja

sve dok količnik ne bude jednak nuli.

Primeri:

a) prevođenje broja 11:

– prvo se broj 11 deli brojem 2:

11 : 2 = 5, i ostatak 1,

– ostatak se zapisuje sa strane (1), a količnik (5) se deli brojem 2:

5 : 2 = 2, i ostatak 1,


2 : 2 = 1, i ostatak 0,


1 : 2 = 0, i ostatak 1.

Zatim treba zapisati sve ostatke, ali suprotnim redosledom od onog kojim su dobijeni

(odozdo ka gore) – 1011. I to je broj 11 zapisan u binarnom sistemu.

b) prevođenje broja 53:


53 : 2 = 26, i ostatak 1,


26 : 2 = 13, i ostatak 0,


13 : 2 = 6, i ostatak 1,


6 : 2 = 3, i ostatak 0,


3 : 2 = 1, i ostatak 1,


1 : 2 = 0, i ostatak 1.


– 110101. I to je broj 53 zapisan u binarnom sistemu.

c) prevođenje broja 217:


217 : 2 = 108, i ostatak 1,


108 : 2 = 54, i ostatak 0,


54 : 2 = 27, i ostatak 0,


27 : 2 = 13, i ostatak 1,


13 : 2 = 6, i ostatak 1,


6 : 2 = 3, i ostatak 0,


3 : 2 = 1, i ostatak 1,


1 : 2 = 0, i ostatak 1.


–11011001. I to je broj 217 zapisan u binarnom sistemu.

Svaki broj se pretvara iz dekadnog u binarni sistem na isti način, tj. deljenjem i

zapisivanjem ostataka od krajnjeg ka početnom. Krajnji količnik mora uvek biti 0, a

samim tim i krajnji ostatak 1.

Brojevi se mogu prevoditi i u druge pozicione brojevne sisteme (npr. oktalni) takođe

deljenjem onim brojem koji odgovara broju cifri u tom sistemu (binarni ima dve cifre,

pa se brojevi dele brojem 2) i zapisivanjem ostataka.

Prevođenje brojeva iz binarnog u dekadni sistem

Prilikom prevođenja nekog broja iz binarnog u dekadni sistem, poslednja cifra u

binarnom zapisu tog broja se množi sa 20, pretposlednja sa 21, sledeća sa 22 i tako

redom. Zatim se dobijeni proizvodi saberu i tako se dobija njegov ekvivalent u

dekadnom sistemu.

Primeri:


101 = 1 ∙ 22 + 0 ∙ 21 + 1 ∙ 20 = 4 + 0 + 1 = 5

Broj 5 u dekadnom sistemu je ekvivalent broja 101 u binarnom sistemu.


10111 = 1 ∙ 24 + 0 ∙ 23 + 1 ∙ 22 + 1 ∙ 21 + 1 ∙ 20 = 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = 23



1101110 = 1 ∙ 26 + 1 ∙ 25 + 0 ∙ 24 + 1 ∙ 23 + 1 ∙ 22 + 1 ∙ 21 + 0 ∙ 20 = 64 + 32 + 0 + 8 + 4

+ 2 + 0 = 110


OKTALNI SISTEM

Oktalni brojevni sistem je pozicioni brojevni sistem sa bazom 8 u kojem se zapis

sastoji od cifara 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. To znači da se svaki broj može predstaviti kao

zbir eksponenata broja 8. Oktalni sistem se često primenjuje u računarstvu i

informatici.

Prevođenje brojeva iz dekadnog u oktalni sistem

Da bi se broj preveo iz dekadnog u oktalni sistem potrebno je izvršiti jednostavan

postupak deljenja brojem 8. Ostaci pri deljenju se zapisuju, a postupak se nastavlja

sve dok količnik ne bude jednak nuli.

Primeri:



49 : 8 = 6, i ostatak 1,


6 : 8 = 0, i ostatak 6.


(odozdo ka gore) – 61. I to je broj 49 zapisan u oktalnom sistemu.



85 : 8 = 10, i ostatak 5,


10 : 8 = 1, i ostatak 2,


1 : 8 = 0, i ostatak 1.


– 125. I to je broj 85 zapisan u oktalnom sistemu.



159 : 8 = 19, i ostatak 7,


19 : 8 = 2, i ostatak 3,


2 : 8 = 0, i ostatak 2.


– 237. I to je broj 159 zapisan u oktalnom sistemu.

Svaki broj se pretvara iz dekadnog u oktalni sistem na isti način, tj. deljenjem i


krajnji ostatak može biti bilo koji broj od 1 do 7.

Brojevi se mogu prevoditi i u druge pozicione brojevne sisteme (npr. heksadekadni)

takođe deljenjem onim brojem koji odgovara broju cifara u tom sistemu (oktalni ima

osam cifara, pa se brojevi dele brojem 8) i zapisivanjem ostataka.

Prevođenje brojeva iz oktalnog u dekadni sistem

Prilikom prevođenja nekog broja iz oktalnog u dekadni sistem, poslednja cifra u

oktalnom zapisu tog broja se množi sa 80, pretposlednja sa 81, sledeća sa 82 i tako

redom. Zatim se dobijeni proizvodi saberu i tako se dobija njegov ekvivalent u

dekadnom sistemu.

Primeri:


16 = 1 ∙ 81 + 6 ∙ 80 = 8 + 6 = 14

Broj 14 u dekadnom sistemu je ekvivalent broja 16 u oktalnom sistemu.


512 = 5 ∙ 82 + 1 ∙ 81 + 2 ∙ 80 = 320 + 8 + 2 = 330



2003 = 2 ∙ 83 + 0 ∙ 82 + 0 ∙ 81 + 3 ∙ 80 = 1024 + 0 + 0 + 3 = 1027


HEKSADEKADNI SISTEM

Heksadekadni brojevni sistem je pozicioni brojevni sistem sa bazom 16 u kojem se

zapis sastoji od cifara 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i slova A, B, C, D, E, F. To znači da se

svaki broj može predstaviti kao zbir eksponenata broja 16. Vrednosti navedenih slova

su sledeće:

– A = 10,

– B = 11,

– C = 12,

– D = 13,

– E = 14,

– F = 15.

Dakle, cifre heksadekadnog sistema su od 0 do F po heksadekadnom označavanju,

odnosno od 0 do 15 po dekadnom shvatanju njihovih vrednosti. Ovaj brojevni sistem

koristi se u kombinaciji sa binarnim sistemom u računarstvu, jer se prevođenje

brojeva može lako obavljati.

Prevođenje brojeva iz dekadnog u heksadekadni sistem

Da bi se broj preveo iz dekadnog u heksadekadni sistem potrebno je izvršiti

jednostavan postupak deljenja brojem 16. Ostaci pri deljenju se zapisuju, a postupak

se nastavlja sve dok količnik ne bude jednak nuli.

Primeri:



37 : 16 = 2, i ostatak 5,


2 : 16 = 0, i ostatak 2.


(odozdo ka gore) – 25. I to je broj 37 zapisan u heksadekadnom sistemu.



95 : 16 = 5, i ostatak 15 (F = 15),

– ostatak se zapisuje sa strane (F), a količnik (5) se deli brojem 16:

5 : 16 = 0, i ostatak 5.


– 5F. I to je broj 95 zapisan u heksadekadnom sistemu.



458 : 16 = 28, i ostatak 10 (A = 10),

– ostatak se zapisuje sa strane (A), a količnik (28) se deli brojem 16:

28 : 16 = 1, i ostatak 12 (C = 12),

– ostatak se zapisuje sa strane (C), a količnik (1) se deli brojem 16:

1 : 16 = 0, i ostatak 1.


– 1CA. I to je broj 458 zapisan u heksadekadnom sistemu.

Svaki broj se pretvara iz dekadnog u heksadekadni sistem na isti način, tj. deljenjem i


krajnji ostatak može biti bilo koji broj od 1 do 15.

Brojevi se mogu prevoditi i u druge pozicione brojevne sisteme (npr. binarni) takođe

deljenjem onim brojem koji odgovara broju cifara u tom sistemu (heksadekadni ima

šesnaest cifara i slova, pa se brojevi dele brojem 16) i zapisivanjem ostataka.

Prevođenje brojeva iz heksadekadnog u dekadni sistem

Prilikom prevođenja nekog broja iz heksadekadnog u dekadni sistem, poslednja cifra

u heksadekadnom zapisu tog broja se množi sa 160, pretposlednja sa 161, sledeća sa

162 i tako redom. Zatim se dobijeni proizvodi saberu i tako se dobija njegov

ekvivalent u dekadnom sistemu.

Primeri:


61 = 6 ∙ 161 + 1 ∙ 160 = 96 + 1 = 97

Broj 97 u dekadnom sistemu je ekvivalent broja 61 u heksadekadnom sistemu.

b) prevođenje broja 2CE:

2CE = 2 ∙ 162 + 12 ∙ 161 + 14 ∙ 160 = 512 + 192 + 14 = 718

Broj 718 u dekadnom sistemu je ekvivalent broja 2CE u heksadekadnom sistemu.

c) prevođenje broja 12B4:

12B4 = 1 ∙ 163 + 2 ∙ 162 + 11 ∙ 161 + 4 ∙ 160 = 4096 + 512 + 176 + 4 = 4788

Broj 4788 u dekadnom sistemu je ekvivalent broja 12B4 u heksadekadnom sistemu.

Documents

Osnovni Pojmovi o Matematici