OSN_SMP_2012_day1

7/30/2019 OSN_SMP_2012_day1

1/6

Tutur Widodo Pembahasan OSN SMP Tahun 2012

Pembahasan OSN SMP Tingkat Nasional Tahun 2012

Bidang Matematika

Hari Pertama

Pontianak, 30 Juni 2012

1. Jika diketahui himpunan

H= {(x, y)|(x y)2 + x2 15x + 50 = 0, dengan x dan y bilangan asli},

tentukan banyak himpunan bagian dari H.

Penyelesaian :

Misalkan P(x, y) = (xy)2 +x215x+50, sehingga (x, y) H jika dan hanya jika(x, y) adalah solusi dari P(x, y) = 0. Karena (x y)2 0 maka agar P(x, y) = 0haruslah x2 15x + 50 0. Padahal himpunan penyelesaian dari x2 15x + 50 =

(x 5)(x 10) 0 terletak pada interval 5 x 10. Dengan mengingat x adalahbilangan asli, maka nilai yang mungkin untuk x adalah 5, 6, 7, 8, 9, 10. Selanjutnya

tinggal dicek satu persatu sebagai berikut :

i. Jika x = 5 atau x = 10, jelas x2 15x + 50 = 0. Oleh karena itu agarP(x, y) = 0 maka (x y)2 = 0 x = y. Jadi, diperoleh dua solusi yaitu(5, 5) dan (10, 10)

ii. Jika x = 6 maka diperoleh P(6, y) = (6 y)2 + 62 15 6 + 50 = (6 y)2 4.Oleh karena itu, agar P(6, y) = 0 maka haruslah

(6 y)2 = 4 6 y = 2 atau 6 y = 2 y = 4 atau y = 8

Jadi, diperoleh dua solusi yaitu (6, 4) dan (6, 8)

iii. Jika x = 7 maka diperoleh P(7, y) = (7 y)2 + 72 15 7 + 50 = (6 y)2 6.Karena y bilangan asli maka tidak ada nilai y yang memenuhi sehingga diperoleh

P(7, y) = 0.

Jadi, untuk kasus ini tidak ada solusi yang memenuhi.

iv. Jika x = 8 maka diperoleh P(8, y) = (8 y)2 + 82 15 8 + 50 = (6 y)2 6.Karena y bilangan asli maka tidak ada nilai y yang memenuhi sehingga diperoleh

1

7/30/2019 OSN_SMP_2012_day1

2/6


P(8, y) = 0.

Jadi, untuk kasus ini tidak ada solusi yang memenuhi.

v. Jika x = 9 maka diperoleh P(9, y) = (9

y)2 + 92

15

9 + 50 = (9

y)2

4.

Oleh karena itu, agar P(9, y) = 0 maka haruslah

(9 y)2 = 4 9 y = 2 atau 9 y = 2 y = 7 atau y = 11

Jadi, diperoleh dua solusi yaitu (9, 7) dan (7, 11)

Oleh karena itu himpunan H memiliki 6 anggota yaitu

H=

{(5, 5), (6, 4), (6, 8), (9, 7), (9, 11), (10, 10)

}. Sehingga banyak himpunan bagian

dari H adalah 26 = 64.

2. Seorang pesulap menyatakan dirinya ahli menebak pikiran dengan pertunjukkan

berikut. Salah seorang penonton awalnya diminta secara tersembunyi menuliskan

sebuah bilangan lima angka, lalu menguranginya dengan jumlah angka - angka

penyusun bilangan tersebut, kemudian menyebutkan empat dari lima angka penyusun

bilangan hasil (dengan urutan sebarang). Selanjutnya pesulap tersebut dapat menebak

angka yang masih disembunyikan. Sebagai contoh, jika penonton menyebutkan em-

pat bilangan hasil : 0, 1, 2, 3, maka pesulap akan tahu bahwa angka yang disem-

bunyikan adalah 3.

a. Berilah suatu contoh Anda sendiri dari proses di atas.

b. Jelaskan secara matematis bentuk umum dari proses tersebut.

Penyelesaian :

Misalkan bilangan awal sebelum proses kita misalkan N dan bilangan hasil dari

proses seperti pada soal dimisalkan H.

a. Contoh lain untuk proses di atas, misalkan penonton menyebut angka - angka 3,4, 6, 7 maka bilangan yang disembunyikan adalah 7.

b. Untuk penjelasan secara matematisnya adalah sebagai berikut :

Misalkan N = abcde = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e maka setelah melalui

proses seperti yang diminta pesulap diperoleh bilangan hasil

H= 10000a+1000b+100c+ 10d+e(a+b+c+d+e) = 9999a+999b+99c+ 9d

Jadi diperoleh H adalah bilangan kelipatan 9. Oleh karena itu, jumlah digit -

digit penyusun H juga harus habis dibagi 9. Sehingga jika penonton menyebut

0, 1, 2, 3 sebagai contoh, karena jumlah 0 + 1 + 2 + 3 = 6 maka bilangan yang

disembunyikan adalah 9 6 = 3.

2

7/30/2019 OSN_SMP_2012_day1

3/6


3. Pada suatu keranjang buah terdapat 20 apel, 18 jeruk, 16 mangga, 10 nanas dan

6 pepaya. Jika seseorang ingin mengambil 10 buah dari keranjang tersebut, ada

berapa banyak komposisi buah terambil yang mungkin?

Penyelesaian :

Misalkan, x1 = apel, x2 = jeruk, x3 = mangga, x4 = nanas dan x5 = pepaya.

Selanjutnya banyaknya komposisi buah yang terambil equivalen dengan banyaknya

penyelesaian (x1, x2, x3, x4, x5) dari persamaan

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 10

dengan 0 xi 10.Padahal kita tahu banyaknya penyelesaian dari x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 10 adalah

C1410

= 1001. Akan tetapi karena x5 6 maka nilai 1001 harus dikurangi denganbanyaknya penyelesaian jika x5 = 7, 8, 9, 10. Selanjutnya kita hitung banyak kemu-

ngkinan tersebut :

i. Jika x5 = 7 maka diperoleh x1 + x2 + x3 + x4 = 3. Oleh karena itu banyaknya

penyelesaian ada C63

= 20.

ii. Jika x5 = 8 maka diperoleh x1 + x2 + x3 + x4 = 2. Oleh karena itu banyaknya


= 10.

iii. Jika x5 = 9 maka diperoleh x1 + x2 + x3 + x4 = 1. Oleh karena itu banyaknya


= 1.

iv. Jika x5 = 10 maka diperoleh x1 + x2 + x3 + x4 = 0. Oleh karena itu banyaknya

penyelesaian ada 1.

Oleh karena itu banyaknya komposisi buah terambil yang mungkin adalah 1001 (20 + 10 + 4 + 1) = 966.

3

7/30/2019 OSN_SMP_2012_day1

4/6


4. Di dalam Taman Khatulistiwa akan dibuat bangunan berbentuk limas dengan alas

segitiga sama sisi berbahan tembus pandang dengan panjang sisi alas 8

3 m dan

tinggi 8 m. Sebuah bola dunia akan ditempatkan di dalam limas tersebut. Dengan

mengabaikan ketebalan bahan pembuat limas, tentukan panjang terbesar jari - jaribola dunia yang mungkin dapat dibuat.

Penyelesaian :

Perhatikan sketsa di bawah ini! Jari - jari bola dunia akan maksimum jika bola

menyinggung keempat bidang sisi limas.

A

B

C

P

E

D

A E

P

D

T

F

Titik D adalah proyeksi P terhadap bidang ABC sehingga PD tegak lurus dengan

ABC dengan kata lain PD adalah tinggi limas P.ABC sehingga PD = 8. KarenaAD = BD = CD maka D adalah pusat lingkaran luar segitiga ABC. Karena ABC

segitiga sama sisi maka AD =8

3

2 sin60 =8

3

2 3

2

= 8. Selanjutnya misalkan jari

- jari bola dunia adalah r maka r = TD = TF. Untuk mencari panjang AE bisa

menggunakan dalil pitagoras pada ABE yaitu

AE2 = AB2 BE2= (8

3)2 (4

3)2

= 144

AE= 12

4

7/30/2019 OSN_SMP_2012_day1

5/6


oleh karena itu, DE = EF = 4 dan PE = 4

5. Lebih jauh PF = 4

5 4 danPT = 8 r. Terakhir dengan dalil pitagoras pada PTF diperoleh,

PT2

= PF2

+ TF2

(8 r)2

= (45 4)2

+ r2

64 16r + r2 = 16(

5 1)2 + r2 16r = 64 16(

5 1)2

r = 4 (

5 1)2 r = 2

5 2

Jadi, panjang jari - jari bola dunia maksimum adalah 2

5 2 m.

5. Berapakah sisa dari 2012

2012

+ 2014

2012

dibagi oleh 2013

2

?Penyelesaian :

Untuk menyederhanakan penulisan, misalkan 2013 = n maka kita perlu mencari

sisa dari (n 1)2012 + (n + 1)2012 jika dibagi oleh n2. Berdasarkan Binom Newtondiperoleh,

(n 1)2012 =2012i=0

C2012i

n2012i(1)i

=2010

i=0C2012

i n2012

i

(1)i C20122011n + 1

= n2

2010i=0

C2012i

n2010i(1)i 2012n + 1

= pn2 2012n + 1

dengan p =

2010

i=0C2012

in2010i(1)i.

Selain itu didapat pula,

(n + 1)2012 =2012i=0

C2012i

n2012i

=

2010i=0

C2012i

n2012i

+ C2012

2011n + 1

= n2

2010i=0

C2012i

n2010i

+ 2012n + 1

= qn2 + 2012n + 1

dengan q=

2010

i=0C2012

in2010i.

5

7/30/2019 OSN_SMP_2012_day1

6/6


Oleh karena itu diperoleh,

(n 1)2012 + (n + 1)2012 = (pn2 2012n + 1) + (qn2 + 2012n + 1)= n

2

(p + q) + 2

karena p + q adalah bilangan bulat maka sisa pembagian (n 1)2012 + (n + 1)2012dari n2 adalah 2.

Disusun oleh : Tutur Widodo

Apabila ada saran, kritik maupun masukan

silakan kirim via email ke

[email protected]

Terima kasih.

My blog : http://mathematic-room.blogspot.com

6

Documents

OSN_SMP_2012_day1