Otomatik Kontrol I - yildiz.edu.tromurlu/CF/OKI/12.pdf · PI kontrol ile beraber sistemin transfer fonksiyonu K P =30, K I =70. PID kontrol PID kontrol ile beraber kapalı çevrim

Otomatik Kontrol I

P(oransal)I(integral)D(türevsel) kontrol

Dr. Vasfi Emre Ömürlü

By Vasfi Emre Ömürlü, Ph.D., 2005 2

PID kontrol matematiği

Doğru akım motoru üzerinde uygulama


PID kontrol

Kullanım kolaylığı dolayısıyla endüstride çoğunlukla

kullanılmaktadır.

Oransal

İntegral

Türevsel PIDPID

Oransal İntegral TürevselOransal İntegral Türevsel


PID blok diagramı PID

denetleyicie(t) u(t)

1

TdsKp

1/(Tis)

e(t) u(t)


Oransal kontrol

Hatanın sabit değeri için sabit denetleyici çıkışı üretilir. Hatanın

devam etme durumunda kontrol çıkışı değişmez.

• Hata miktarına ve Kp katsayısına bağlı olarak oransal

kontrol, denetleyici çıkışını üretir

• Sistemin statik doğruluğunu ve dinamik cevabını artırır

• Hatanın ve oransal kontrol katsayısının doğrudan

fonksiyonudur

up = Kp . (hata miktarı)


İntegral kontrol – birikimli/kümülatif

Hatanın sıfırdan farklı olma durumunda kontrol miktarını artırır

•Ki kontrol katsayısına ve hata miktarına göre denetleyici

çıkışı ayarlanır.

• Dinamik cevapdan feragat ederek statik doğruluk

miktarını artırır

• Hata birikiminin ve integral kontrolcü katsayısının

fonksiyonudur.


Türevsel kontrol

Hatanın sabit olma durumunda, türevsel kontrol bir çıkış

üretmez. Fakat kontrol hatanın değişme hızına bağlı olarak

üretilir.

• Hatanın değişme hızına ve Kd türevsel kontrol

katsayısına bağlı olarak, denetleyici çıkışı ayarlanır

• Dinamik cevabı artırır veya geliştirir

• Hatanın değişme hızının ve türevsel kontrol katsayısının

doğrudan fonksiyonudur

Oransal İntegral Türevsel

up = Kp . (hata) uI =Ki ∫(hata).dt uD =Kd .(de/dt)

PID kontrolü

PID denetleyicinin üç uyarlaması daha mevcuttur

k

b

x

M

F

Örnek

Bu sistemin dinamik denklemi

•Bu sistemin dinamik denklemi

Let,

•M=1kg

•B= 10 N.s/m

•K=20 N/m

•F(s)=1

Açık çevrim sistem davranışı şöyle olacaktır,

Sadece oransal kontrol uygulayacak olursak

X(s)

F(s)

KP

s2 + 10s + (20+KP)

Oransal kontrol katsayısı KP=300

Oransal-Türevsel kontrol uygulayacak olursak

PD kontrol ile beraber kapalı çevrim sistemin transfer fonksiyonu

KP=300, KD =10

PI kontrol uygulayacak olursak

PI kontrol ile beraber sistemin transfer fonksiyonu

KP=30, KI =70

PID kontrol

PID kontrol ile beraber kapalı çevrim sistemin transfer fonksiyonu

Kp=350, Ki=300, Kd=50

Grafiklerin yorumu• Oransal kontrol yükselme

zamanını ve kararlı hal

hatasını azaltmış, üstaşımı

artırmış ve yerleşme

zamanını azaltmıştır

•Türevsel kontrol üstaşımı ve

yerleşme zamanını düşürür.

Fakat yükselme zamanına ve

kararlı hal hatasına az etkisi

vardır.

• İntegral kontrol kararlı hal

hatasını azaltacaktır. Yalnız

oransal kontrol katsayısı

düşürülür ki integral kontrolde

oransal kontrol gibi üstaşımı

artırıcı etkiye sahiptir.

•PID kontrol uygulanmasıyla

üstaşımsız, hızlı yükselme

zamanlı ve kararlı hal hatası

olmayan bir cevap elde

edilmiştir.

• Gerekli olmadığı takdirde oransal, integral ve türevsel

kontrolün üçünün aynı anda uygulanmasına gerek yoktur.

Kontrolcünün mümkün olduğunca basit tutulmasında

da fayda vardır.

Sonuç


)(

)()()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(1

)()(

)()(

)(1

)()(

)(

)()()()(

)()()()(

)()()()(

)(

)(

2

)(

)(

2

2

)(

sTKKBRsJRBLsJL

sLRsV

KKBRsJRBLsJL

Ks

sTK

sLRs

K

KKBRsJRBLsJLsV

sTK

sLRsK

K

BsJsLRsV

sKsTK

sK

BsJsLRsV

sTK

sK

BsJsI

sKsIsLRsV

sTsBsIKssJ

sKsIsLsIRsV

TBiKJ

vdt

diLiRv

L

fonksiyonutransferarasırasıntorkuyükvehıızmotor

sT

s

tvaaaa

aaex

fonksiyonutransferarasırasınvoltajıtahrikvehıızmotor

sV

s

tvaaaa

t

L

t

aa

t

tvaaaaex

L

t

aav

t

aaex

vL

tt

aaex

L

tt

a

vaaaex

Lat

vaaaaex

Lat

tK

bemfa

aaaex

Lex

v

PM DC Motor ModellemeElektriksel kısmın diferansiyel denklemi

Mekanik kısmın diferansiyel denklemi

Yukarıdaki denklemlerin sıfır başlangıç şartıyla

Laplace dönüşümlerinin alınması


PM DC motorun açık çevrim blok

diagramı

Yukarıdaki denklemler bu blok diagram ile

ifade edilebilir. Bu blok diagramı çözerseniz

aynı diferansiyel denklemlerle karşılaşırsınız


PM DC Motor Kontrol ProblemDC motorda neyi kontrol ederiz?

1. Hız kontrolü

2. Sistem veriminin artırılması

3. Bozucu etkilerin etkisinin azaltılması


PM DC Motor Kontrol Problem

Kapalı çevrim transfer fonksiyonu


DC motor kontrol


DC motorun kapalı çevrim kontrolü

Açık çevrim ve kapalı çevrim sistem bozucu etkiye nasıl cevap verir?

LT = 0 , OL І

LT 0 , OL Π

LT = 0 , CL Ш

LT 0 , CL ІV


Oransal kontrolün etkisiІ _ Think of proportional controller whith proportionality constant of K

Vex = K.r in steady_state, rAKyss .. if ryA

K ss 1

If 0LT

Π _ Lss TBArKy ... if A

K1

Lss TBry .

If LT = 0 , CL

Ш _ Vex = K.(r-y)

11

.1

11

.

21

21

ss

AK

ss

AK

sR

sY

sTBsRKAsssY L...11 21

ryAKrKA

KAy ssss

1

.1

.

ІV _

)(11

)(11

.

2121

sTss

BsR

ss

AKsY L

Lss TAK

Br

AK

AKy

.1.1

.


PM DC Motor Control - Result

OL CL

TL = 0 0LT TL = 0 0LT

ryss

if disturbance is

zero andmodel of

the systemcorrect,

selecting control

constant

Lss TBry .

if disturbance is not

zero, we will

observe the

amplified effect of

disturbance of the

output

rKA

KAyss

.1

.

if no disturbance

increasing gain K

willresult in

reducing

steady_state error,

ryss

Lss TAK

Br

AK

AKy

.1.1

.

in case of disturbance,

increasing K will decrease

the effect of disturbance


PM DC Motor Control - ResultFor the system, increasing gain K decreases steady_state error. However, is there a limit

increasing gain K ?

Physical system limitations, stability

Check stability by locking at the pole locations of the system for increasing gain K


PM DC Motor Control ProblemFor given example (DC motor speed control), proportional control does not result in 0sse

Apply integral control

t

I

dteT

Kptu

0

.)( sT

Kp

sE

sU

I

)(

)( IT = integtal time (reset time)

t

I

pdtyr

T

KVex

0

feedback control

L

t

I

pTBdtyr

T

KAyyy .)(

0

2121

L

Iy

TBrT

KpAy

T

KpAyyy .

.)( 2121

in steady_state if LT =0 ryss


PM DC Motor Control Problem -

Stability


Example

If we have mechanic system with transfer function1

1)(

ss

T

Kt G(s)+-

Ω(s)T

PIDΩr(s)

Kt+-

Ω(s)T

Ωr(s)

sT

sTsTTK

i

idip

12

1

1

s


Example cont.

For a DC motor we studied transfer function (relation) betweenexcitation voltage and output angular velocity Ω(s)/Vex(s).However we know that armature current is directly (almost)related to generated torque.

Kt: torque constant (Nm/A).

If we think of only bearing damping and carried load, a conveyor transfer function is simply J: motor inertia

B:bearing damping

T:excitation torque

This is a linear system, yet conveyor load is subject to change, so disturbance changes.

BJss

T

1)(


Example – Open Loop Response

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

time (sec)

Angula

r velo

city (

rad/s

ec)

Unit Step Response of the Open Loop DC motor System (Electrical Dynamics

are neglected)


Example – Performance?ess = ? =

%Mp

tr = 1,8/ωn

ts = 4,6/ ωn.ζ

tp = π/ ωd

In standard 2nd order form

If TD is selected to be 1;

Char. eq. of the system

sTss rs

1...lim0

itpiD

tp

itpiD

iitp

iiD

tpiD

tp

TKKTT

KKs

TKKTT

TTKKs

sTsTTKKTT

KK

sT

...

.

...

..

1.....

.

)(2

2

)1..(

.

/1.1.

.

)(2

2

tpi

tp

i

tp

tp

KKT

KKss

TssKK

KK

sT

)1..(

.,12,0

)1..(

. 22

tpi

tp

nn

tpi

tp

KKT

KK

KKT

KKss


Example – Little Talk

If KpKt is very large compared to 1, then, numerator gain will be almost 1. Also, if Ti is close to 1 then, numerator has one zero at s=0.

Q: If ts is able to be set?

A: No, since ts is already set to 9,2 sec. Because of TD =1 and so 2ζωn=1

)1.(

.2

1

tpi

tp

KKT

KK


Example – cont.In what condition ess will be minimum?

In this case

For Ωr (s) = 1/s unit step

ess = 0

For Ωr (s) = 1/s2 unit ramp

ess = Type I

If Ti is very small Kp is large enough, ess →0

sTsse rs

ss

1...lim0

)1.(

.

1.

1

1.

1

)](1[2

2

KtKpTi

KtKpss

sKtKp

sKtKp

sT

KtKp

Ti

.


Example – cont.Performance specs as, %Mp = %10, tr ≤ 1 sec

tr = 1,8/ωn ≤ 1 sec, ωn ≥ 1,8

.

)1.(718.0

.

)1.(24.3

.

)1.(718.0

.)1.(718.0.

59.0

)1.(

.2

159.0

3.5

3.2

)1,0(ln

1,0ln

)1.0(ln)1.0(ln,1/1.0ln,1.0

)1.(24.3

.),1.(24.3.,8.1

)1.(

.

222

2222221/ 2

tp

tp

i

tp

tp

i

tp

tp

itpitp

tpi

tp

tp

tp

itpitp

tpi

tp

n

KK

KKT

KK

KKT

KK

KKTKKTKK

KKT

KK

e

KK

KKTKKTKK

KKT

KK

or


Example – Closed Loop Results

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

time(sec)

angula

r velo

city (

rad/s

ec)

Closed Loop PID control of a DC motor

(Electrical Dynamics are Neglected)

Kp=10, Td=1

Ti=0.0293 black

Ti=0.0351 brown

Ti=0.0410 light blue

Ti=0.0468 red

Ti=0.0527 green

Ti=0.0585 blue


Example%Mp = %1, ts ≤ 6 sec

is required. Find

constants K and b. a=1


Example

What is the system steady state error for unit step input and system type

882.068.1

)67.1)(1(67.1)(

)(

)(2

ss

sssT

sR

sY

882.068.1

)67.167.2(67.11

1.lim)(1)(.lim

2

2

00ss

ss

sssTsRse ssss

16.2882.068.1

9.178.267.0lim

2

2

0

ss

sss type 0


Example

if ζ = 0,1 is archievable for various K in the system, find it b = 1.67 a = 1

various ways to solve

1_ from roots of char. eq.

2_ from standart nd2 order dif. eq.

2_ 0222 nn

ss assuming K>0

01

67.1

1

67.22

K

Ks

K

Ks 067.167.2

1

2

mmssK

Km

mn 67.12 mn 67.22

03.167.12

67.2 m

m

m

K

K

196.01.0

K

K

1096.0 2

K = 0.01


0.11.1

1.7 0.10

0.90

1.700

20

40

60

80

100

se

ttli

ng

tim

e (

se

c)

b

K

Dependence on settling time on PID parameters

K and b

80.00-100.00

60.00-80.00

40.00-60.00

20.00-40.00

0.00-20.00

0.10

0.50

0.90

1.30

1.61

1.65

1.69

2.00

0.10

1.300

5

10

15

20

25

30

35

40

Pe

rce

nt

Ov

ers

ho

ot

b

K

Dependencies of Percent overshoot on PID

parameters K and b

35.00-40.00

30.00-35.00

25.00-30.00

20.00-25.00

15.00-20.00

10.00-15.00

5.00-10.00

0.00-5.00

0.10

0.50

0.90

1.30

1.61

1.65

1.69

2.00

0.10

1.200.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

60.00

70.00

pe

ak

tim

e

K

b

Dependencies of peak time on PID parameters K

and b

60.00-70.00

50.00-60.00

40.00-50.00

30.00-40.00

20.00-30.00

10.00-20.00

0.00-10.00

Documents

Otomatik Kontrol I - yildiz.edu.tromurlu/CF/OKI/12.pdf · PI kontrol ile beraber sistemin transfer fonksiyonu K P =30, K I =70. PID kontrol PID kontrol ile beraber kapalı çevrim