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Física III Semestre de Otoño 2005__________________________________________________________

Ejemplo 8

Problema 3.

Consideremos una onda monocromática plana que se propaga en el vacío a lo largo del eje y que viene descrita por el campo eléctrico en la forma:

a) Hallar el campo magnético b) Calcule el ángulo que hacen entre sí los campos y el

ángulo que hace cada campo con la dirección de propagación c) Exprese el campo magnético en función del campo eléctricod) Hallar la relación entre las magnitudes de los campos eléctrico y

magnético e) Calcule la densidad de energía electromagnética definida por

f) Calcule el vector de Poynting definido por

g) Encuentre la relación entre el vector de Poynting y la densidad de energía electromagnética

h) Calcule la Intensidad o Irradiancia de la onda electromagnética, definida como el promedio temporal del módulo del vector de Poynting

i) Calcule el promedio temporal de la densidad de energía

electromagnética definido por

j) Encuentre la relación entre la Irradiancia o intensidad de la onda y el promedio temporal de la densidad de energía electromagnética

Metodología: Usaremos las ecuaciones de Maxwell en una región sin cargas, , y donde no hay materiales conductores presentes, , es decir, la densidad de corriente es cero:

Para este caso específico, las ecuaciones de Maxwell vienen dadas por:

_____________________________________________________________________Profesores: Dr. Edmundo Lazo & Dr. Héctor Calisto

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Ejemplo 8

En este ejemplo, los campos eléctrico y magnético están polarizados elípticamente, ya que al avanzar la onda en la dirección , la punta del vector campo eléctrico (y también la del campo magnético) va girando describiendo una órbita elíptica, como se puede ver si escribimos el campo eléctrico en componentes:

Estas expresiones pueden ser re escritas en la siguiente forma:

Elevando al cuadrado y sumando, tenemos la siguiente ecuación de trayectoria elíptica:

Gráficamente, mientras la onda avanza, la punta del vector campo eléctrico (en azul) describe una elipse que va girando a la izquierda al variar . En la figura se muestran tres campos eléctricos , correspondientes a tres posiciones consecutivas. El campo magnético siempre es perpendicular al campo eléctrico (en rojo)


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zE

yE

1E 2E

3E

2B

1B

x

y

z

2E

3E

1E 1B


Ejemplo 8

Solución:

a) Dado que conocemos el campo eléctrico , podemos obtener el campo

usando la ecuación de Maxwell .

Primero calculamos el rotor del campo eléctrico y luego integramos parcialmente en el tiempo para obtener el campo magnético, es decir,

.

Calculemos el rotor, sabiendo que:

, ,

Derivando, se obtiene:

Reemplazando en la integral , obtenemos

Ahora calculamos las integrales parciales respecto a :

Por lo tanto, el campo magnético viene dado por:

Pero , donde es la velocidad de la luz

en el vacío. Finalmente escribimos


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Ejemplo 8

Gráficamente, en forma esquemática lo que ocurre es lo siguiente:

Otro esquema gráfico donde se muestra la longitud de onda , la cual se relaciona con la velocidad de propagación en la forma:

donde es la frecuencia de la onda. Recordemos además que el número angular de onda o módulo del vector de propagación viene dado por:

y que la frecuencia angular se relaciona con la frecuencia a través de:.


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Ejemplo 8

b) Para calcular los ángulos entre los vectores, realizaremos varios productos punto. Para facilitar la escritura usaremos la siguiente sustitución:

Es decir:

Dado que el producto punto entre los campos es cero, para todo valor de y para todo valor de , podemos asegurar que los campos eléctrico y magnético siempre son ortogonales entre sí cuando se mueven en el espacio y en el tiempo. Veamos ahora los productos punto entre los campos y la dirección de propagación :

Dado que los productos punto son cero, , se confirma que los campos eléctrico y magnético son perpendiculares a la dirección de propagación y que los tres forman una triada ordenada.

c) Para expresar el campo magnético en función del campo eléctrico, basta comparar las dos expresiones de los campos:

y

Podemos demostrar que el campo magnético se puede escribir en la siguiente forma:

Para demostrarlo, basta con realizar el producto cruz de la derecha:

finalmente obtenemos:

resultado que coincide con la expresión del campo magnético.Queda así demostrado que


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Ejemplo 8

donde el vector unitario representa un vector en la dirección de propagación de la onda, el eje en este ejemplo.

d) Calculemos ahora los módulos de cada campo y la relación que existe entre ellos.Módulo del campo eléctrico:

Nótese que el módulo del campo varía al variar , como debe ser, ya que el campo está polarizado elípticamente.

Módulo del campo magnético:

Comparando las dos expresiones, vemos que entre los módulos existe la siguiente relación:

Lo cual implica que la magnitud del campo magnético es muy pequeña comparada con la magnitud del campo eléctrico .

e) Calculemos la densidad de energía electromagnética definida por

En el punto d) calculamos y obtuvimos:

también calculamos y obtuvimos:

Reemplazando estos resultados en la expresión de la densidad de energía electromagnética, obtenemos:

luego,


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Ejemplo 8

O en función del módulo del campo eléctrico

Explícitamente

f) Calculemos el vector de Poynting definido por

Usando la forma del determinante del producto cruz, podemos escribir:

Obtenemos un vector en la dirección de propagación de la onda :

Pero , luego

Explícitamente nos queda:

Veamos otra forma de calcular el vector de Poynting, usando la relación entre

encontrada en el punto c):

Usando la identidad vectorial: , obtenemos:


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Ejemplo 8

Pero (como vimos en punto b)), pues son perpendiculares, luego se tiene una expresión general en función del módulo cuadrado del campo eléctrico:

Donde hemos usado la relación: . Pero en el punto d) obtuvimos el

módulo del campo eléctrico:

Reemplazando obtenemos

Expresión idéntica a la obtenida más arriba por otro método. Explícitamente nos queda:

Nótese que el vector de Poynting es una función altamente variable en el espacio y en el tiempo y que apunta en la dirección de propagación.

g) Encontremos la relación entre el vector de Poynting y la densidad de energía electromagnética Usemos los resultados obtenidos:

Reemplazando en obtenemos

Usando el valor de la velocidad de la luz en el vacío , nos queda:

Es decir, el vector de Poynting transporta densidad de energía a la velocidad de la luz en la dirección de propagación de la onda.


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Ejemplo 8

h) Calculemos la Intensidad o Irradiancia de la onda electromagnética, definida como el promedio temporal en un periodo del módulo del

vector de Poynting

Usemos la última forma general del vector de Poynting

tomemos su módulo:

explícitamente

Tomemos ahora los promedios temporales para tener una magnitud medible, dado que el campo es altamente variable en el tiempo:

Explícitamente:

Donde los paréntesis indican el promedio temporal:

y

donde el periodo viene dado por


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Ejemplo 8

del mismo modo:

Entonces la Irradiancia o Intensidad de la onda viene dada por:

i) Calculemos el promedio temporal de la densidad de energía electromagnética.Consideremos el promedio temporal de

Pero ya conocemos el valor de los promedios de las funciones armónicas, por lo tanto, obtenemos

j) Encontremos la relación entre la Irradiancia o intensidad de la onda y el promedio temporal de la densidad de energía electromagnética Tomemos promedio temporal al módulo de la última relación encontrada,

, es decir,

Pero es la Irradiancia o Intensidad de la onda, luego la relación es:

Cuando la onda avanza en la dirección de propagación, el eje en este ejemplo, el campo eléctrico y el campo magnético van rotando, pero siempre se mantienen perpendiculares entre sí y además cada uno de ellos es perpendicular a la dirección de propagación.


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